Mechanika Kwantowa

WYKŁAD 11

Orbitalny moment pędu

III. Proste zagadnienia kwantowe

Plan wykładu• operator orbitalnego momentu pędu we

współrzędnych kartezjańskich,• operator orbitalnego momentu pędu we

współrzędnych sferycznych,• operator kwadratu orbitalnego momentu

pędu we współrzędnych sferycznych,• wartości własne i funkcje własne powyższych

operatorów,• harmoniki sferyczne.

Operator orbitalnego momentu pędu

W tym wykładzie będziemy korzystać z wyników otrzymanych dla ogólnego momentu pędu J

(Wykład 10)

Operator orbitalnego momentu pędu

Operator orbitalnego momentu pędu (omp) podstawowe informacje

rprL i

qnmnqm pxL

qmnqnm xixL ,

qmnqnm pipL ,

qmnqnm LiLL ,

Operator orbitalnego momentu pędu

Wprowadzamy operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako:

oraz (niehermitowskie) operatory:- „podnoszący”:

- „obniżający”:

23

22

21

2 LLL L

21 iLLL

21 iLLL

Operator orbitalnego momentu pędu

Podstawowe własności wprowadzonych operatorów

0,2 kLL

LLL ,3

32, LLL

0,2 LL

23

2

21

LLLLL L

332 LLLL L

Operator orbitalnego momentu pędu

Ponieważ operatory L2 i L3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych:

gdzie: . Dodatkowo mamy:

lmlllm 122 L

lmmlmL 3

Zml ,

mmllmllm

Operator orbitalnego momentu pędu

Elementy macierzowe

mmllllmllm 122 L

mmllmmlLlm 3

1,11 mmllmmllmlLlm

Operator orbitalnego momentu pędu

Elementy macierzowe

1,

1,1

11

112

mm

mmll

mmll

mmllmlLlm

1,

1,2

11

112

mm

mmll

mmll

mmlli

mlLlm

Operator omp we współrzędnych kartezjańskich

Składowe operatora omp (L) w reprezentacji położeniowej (współrzędne kartezjańskie):

xy

yxiLL

zx

xziLL

yz

zyiLL

z

y

x

3

2

1

Operator omp we współrzędnych sferycznych

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

xy

zyx

z

zyxr

tg

cos222

222

element objętości

Operator omp we współrzędnych sferycznych

Operatory Li we współrzędnych sferycznych:

iL

iL

iL

z

y

x

sinctgcos

cosctgsin

Operator omp we współrzędnych sferycznych

Operatory L+ we współrzędnych sferycznych:

Operator L2 we współrzędnych sferycznych:

ctg

ctg

ieL

ieL

i

i

2

2

222

sin1

sinsin1

L

Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:

2

22222

2

22

2222

cosctgcossinctgcosctg

ctgcossin2sin

cossinsin

xL

2

22222

2

22

2222

sinctgcossinctgsinctg

ctgcossin2sin

cossincos

yL

2

222

zL

Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:

2

22

2

222 ctg1ctg

L

22

sin1

ctg1

2

2

22

222

sin

1ctg

L

Zagadnienie własne omp

Wprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych:

gdzie jest kątem bryłowym.

Warunek ortonormalności:

Warunek zupełności:

sin1

Idd ˆsin0

2

0

Zagadnienie własne omp

Ze względu na zależności:

możemy napisać:

lmlllm 122 L

lmmlmL 3

lmll

lm

1

sin1

sinsin1

2

2

2

22

lmmlmi

Zagadnienie własne omp

Na podstawie powyższych równań widzimy, że można dokonać faktoryzacji funkcji własnych, tzn.

skąd otrzymamy:

lmFglm

imeg

lmlm FllF

m1

sinsin

sin1

2

2

...,2,1,0l

llllm ,1...,,1,0,1...,,1,

2gg

Zagadnienie własne omp

Żądanie, aby liczba kwantowa m była liczbą całkowitą wynika z żądania niezmienniczości

układu fizycznego przy obrotach o kąt 2.

Z faktu, że m jest liczbą całkowitą wynika, że liczba kwantowa l też musi być liczbą całkowitą, ponieważ zmienia się od –l do l co jeden.

Harmoniki sferyczne

Harmoniki sferyczne to funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji

położeniowej

Własności:

lm

imlm FelmY ,

mmllmllm ddYY

0

2

0

* sin,,

sin1

,,0

*

l

l

lmlmlm YY

Harmoniki sferyczne

Konstrukcja harmonik sferycznych

1)

2)

3)

0 llL

0,ctg

lli Yie

0ctg

llll Fld

dF

Harmoniki sferyczne

Wyniki

lill

l

ll el

lY

sin

4!12

!21

,

lml

ml

m

im

lmlmd

deAY 2sin

cossin,

lml

mlmim

lmlmd

deBY 2sin

cossin,

!

!

4

12

!2

1

ml

mll

lA l

l

lm

!!

4

12

!2

1ml

mll

lB l

ml

lm

Harmoniki sferyczne

Kilka przykładów

41

00,0,0 Y

sin83

11,1,1ieY

cos43

10,0,1 Y

Harmoniki sferyczne

Kilka przykładów

1cos3165

20, 20,2

Y

cossin815

12,1,2ieY

sin3215

22, 22,2

ieY

Harmoniki sferyczne

Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych

Kolor czerwony – część dodatnia funkcji harmonik, kolor zielony – część ujemnaźródło - Wikipedia