Geometria Różniczkowa 1

5/9/2018 Geometria R niczkowa 1 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-rozniczkowa-1 1/83

Podrozmaitości przestrzeni afinicznych 1

Celem niniejszego wykładu jest przedstawienie podstawowych metod badania podzbiorówprzestrzeni R

n opisanych funkcjami różniczkowalnymi. Zakładamy znajomość głównychpojęć i twierdzeń analizy matematycznej w zakresie funkcji wielu zmiennych rzeczywistych(z pojęciem całki i twierdzeniem Stokes’a) oraz gruntowną znajomość algebry liniowej.Będziemy korzystać niemal ze wszystkich twierdzeń wchodzących do programu wykładu

Geometrii i Algebry Liniowej na I roku studiów na Wydziale Matematyki, Informatyki iMechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Niekiedy będziemy się do nich odwoływać, piszącpo prostu GAL. Spośród podręczników analizy matematycznej zawierających wykorzystanetutaj fakty w zbliżonej formie wymienimy ”Analizę matematyczną, funkcje wielu zmien-nych” A. Birkholca. Do zrozumienia nielicznych twierdzeń i rozwiązania niektórych zadańprzydadzą się wiadomości z równań różniczkowych zwyczajnych. Polecamy np. ”Równaniaróżniczkowe zwyczajne” W. I. Arnolda. Każdy rozdział kończy się zadaniami, w dużej więk-szości albo przerabianymi przez autorów na ćwiczeniach albo pochodzącymi z kolokwiów iegzaminów. Inicjatorem opublikowania tego wykładu był Prof. Andrzej Białynicki-Birula.Jemu też zawdzięczamy zarys programu, sposób ujęcia i część zadań. Za to wszystko i za

zachętę do utrwalenia w druku składamy najserdeczniejsze podziękowanie. Prof. Piotr Haj-łasz był uprzejmy przeczytać całość, poczynił wiele cennych uwag, które przyczyniły siędo ulepszenia tekstu i zaproponował wiele ciekawych zadań. Wyrażamy Mu za to wielkiedzięki. Materiał tej publikacji tworzony przez wiele pokoleń kilku ostatnich wieków pocho-dzi z rozmaitych źródeł, głównie podręczników geometrii różniczkowej. Nie pretendujemydo oryginalności, trudno by nam było jednak podawać odsyłacze do źródeł. Czytelnikowizainteresowanemu pogłębieniem swoich wiadomości polecamy przede wszystkim następu- jące podręczniki:A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965, Biblioteka Matematyczna, t. 26.W. Klingenberg, A course in differential geometry, Springer-Verlag, New York 1978, Gra-duate Texts in Mathematics, vol. 51.J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, War-szawa 2002.Drugi i trzeci z nich zawierają w swoich spisach literatury inne ciekawe pozycje.

1. Podrozmaitości przestrzeni afinicznych

Zaczniemy od przypomnienia kilku pojęć z algebry liniowej i analizy oraz ustalenia ozna-czeń.

Prawie wszystkie zbiory, które będziemy rozważać, będą podzbiorami przestrzeni afinicznejnad ciałem liczb rzeczywistych R . Przestrzeń afiniczna n-wymiarowa składa się ze zbiorupunktów R

n i n-wymiarowej przestrzeni liniowej wektorów swobodnych, którą będziemyoznaczali symbolem T ( R

n). Zarówno punkty, jak i wektory, to n-elementowe ciągi liczb rze-czywistych. Aby odróżnić punkty od wektorów, współrzędne punktów będziemy zapisywaćw nawiasach okrągłych, współrzędne wektorów — w kwadratowych. Wektor możemy do-dać do punktu i otrzymujemy wtedy punkt, różnicą dwóch punktów jest wektor. Wektorybazy standardowej przestrzeni T (R

n) będziemy oznaczali symbolami e1, e2,...,en, a punkt(0,..., 0) ∈ R

n będziemy zapisywali w skrócie symbolem 0. Termin „przestrzeń euklideso-




wa R

n” będzie oznaczał przestrzeń afiniczną R

n ze standardowym iloczynem skalarnym[x1,...,xn], [y1,...,yn] =

ni=1 xiyi na przestrzeni wektorów swobodnych T (R

n).

1.1. Definicja. Przekształcenie Φ = (Φ1,..., Φm) : W −→ R

m określone na otwartympodzbiorze W przestrzeni R

n nazywa się gładkie wtedy i tylko wtedy, gdy Φ jest klasy C ∞

(co oznacza, że Φ jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne, czyli funkcje współrzędneΦi mają ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów).

1.2. Uwaga. Otwartość zbioru W jest jednym z warunków gładkości przekształcenia.Dla wygody będziemy jednak czasem używać terminu „przekształcenie gładkie” w odnie-sieniu do przekształceń zbiorów niekoniecznie otwartych. Zawsze będziemy wtedy mieli namyśli obcięcia przekształceń gładkich określonych na zbiorach otwartych.

1.3. Stwierdzenie. Dla x ∈ W różniczka dΦx : T ( R

n) −→ T (R

m) przekształcenia Φw punkcie x jest równa pochodnej kierunkowej

dΦx(v) = limt→0

Φ(x + tv) − Φ(x)

t

,

gdzie v ∈ T (R

n). Różniczka jest przekształceniem liniowym o macierzy

Φ(x) =

∂ Φi

∂x j(x)

,

zwanej macierzą Jacobiego. Wyznacznik J Φ(x) := detΦ(x) macierzy Jacobiego Φ(x)nazywa się jakobianem przekształcenia Φ w punkcie x.

1.4. Definicja. Jeżeli przy powyższych oznaczeniach m = n, Φ jest gładkie i przekształ-ca zbiór otwarty W wzajemnie jednoznacznie na zbiór otwarty Φ(W ) oraz przekształcenieodwrotne Φ−1 : Φ(W ) −→ W jest gładkie, to Φ nazywa się dyfeomorfizmem lub ukła-dem współrzędnych na W .

1.5. Uwaga. Różniczka złożenia przekształceń jest równa złożeniu różniczek tych prze-kształceń: d(Φ◦Ψ) p = dΦΨ( p)◦dΨ p. Zatem macierze Jacobiego spełniają wzór na pochodnązłożenia (Φ ◦ Ψ)( p) = Φ(Ψ( p)) · Ψ( p). Wynika z niego w szczególności, że jakobian J Φ(x)dyfeomorfizmu Φ w dowolnym punkcie x ∈ W jest różny od zera. Bardzo ważne jestnastępujące twierdzenie odwrotne do tego faktu:

1.6. Twierdzenie (o odwzorowaniu odwrotnym). Jeśli W ⊂ R

n jest podzbioremotwartym, x0 ∈ W , a Φ : W −→ R

n jest przekształceniem gładkim oraz J Φ(x0) = 0, toistnieje otoczenie W 0 ⊂ W punktu x0 przekształcane dyfeomorficznie na Φ(W 0), tzn. takie,że Φ

|W 0 : W 0

−→Φ(W 0) jest dyfeomorfizmem. 2

1.7. Definicja. Niech p : U −→ R

n będzie gładkim przekształceniem określonym naotwartym podzbiorze U przestrzeni R

m. Przekształcenie p nazywa się immersją w punk-cie u ∈ U wtedy i tylko wtedy, gdy dpu : T ( R

m) −→ T (R

n) jest monomorfizmem (wtedyw szczególności m n). Przekształcenie p nazywa się immersją, jeśli jest immersją wkażdym punkcie u ∈ U .

1.8. Przykład. Przekształcenie r : R −→ R

2 określone wzorem r(t) = (cos t, sin t) dlat ∈ R jest immersją.




1.9. Przykład. Jeśli n m, to włożenie i : R

m −→ R

n określone wzoremi(x1,...,xm) = (x1,...,xm, 0, ..., 0) jest immersją.

1.10. Twierdzenie (o immersji). Jeżeli p : U −→ R

n jest immersją w punkcie u ∈ U ,to istnieje taki dyfeomorfizm Φ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

n określony na otoczeniu W punktu p(u) w R

n, że (Φ◦ p)(u1,...,um) = (u1,...,um, 0,..., 0) dla (u1,...,um) należących do pewnego

otoczenia U 0 punktu u w R

m.

Rys. 1.1.

Dowód. Skoro p jest immersją w u, to rząd macierzy p(u) jest równy m, więc pewnakwadratowa podmacierz stopnia m macierzy p(u) jest nieosobliwa. Można założyć, że jestto podmacierz złożona z pierwszych m wierszy (w przeciwnym wypadku złożylibyśmy p zdyfeomorfizmem R

n zmieniającym kolejność współrzędnych). Definiujemy przekształcenieΨ : U

×R

n−m

−→R

n wzorem

Ψ(u1,...,um, um+1,...,un) := p(u1,...,um) +n

i=m+1

uiei.

Jak łatwo sprawdzić, jakobian J Ψ(u, 0) = 0, więc z twierdzenia o odwzorowaniu od-wrotnym (1.6.) wynika, że Ψ przekształca dyfeomorficznie pewne otoczenie punktu (u, 0)na pewne otoczenie W punktu p(u). Wtedy Φ = Ψ−1 przekształca dyfeomorficznie W na Φ(W ) oraz Φ ◦ p(u1,...,um) = Ψ−1 ◦ Ψ(u1,...,um, 0,..., 0) = (u1,...,um, 0, ..., 0) dla(u1,...,um) ∈ U 0 := Φ(W ) ∩ (R

m × 0). 2

1.11. Definicja. Niech f : W −→ R

k będzie gładkim przekształceniem określonymna otwartym podzbiorze W przestrzeni R

n. Przekształcenie f nazywa się submersją wpunkcie w ∈ W wtedy i tylko wtedy, gdy df w : T (R

n) −→ T (R

k) jest epimorfizmem (wte-dy w szczególności n k). Przekształcenie f nazywa się submersją, jeśli jest submersjąw każdym punkcie w ∈ W .

1.12. Przykład. Jeśli n k, to rzut f : R

n −→ R

k określony wzorem f (x1,...,xn) =(x1,...,xk) jest submersją.

1.13. Twierdzenie (o submersji). Jeżeli f : W −→ R

k jest submersją w punkciew ∈ W , to istnieje taki dyfeomorfizm Φ : W 0 −→ Φ(W 0) ⊂ R

n określony na otoczeniuW 0 ⊂ W punktu w w R

n, że f ◦ Φ−1(y1,...,yk,...,yn) = (y1,...,yk) dla (y1,...,yn) ∈ Φ(W 0).

Rys. 1.2.

Dowód. Skoro f jest submersją w w, to rząd macierzy f (w) jest równy k, więc pewnakwadratowa podmacierz stopnia k macierzy f (w) jest nieosobliwa. Tym razem możnazałożyć, że jest to podmacierz złożona z pierwszych k kolumn. Definiujemy przekształcenieΦ : W −→ R

k × R

n−k = R

n wzorem

Φ(x1,...,xk, xk+1,...,xn) := (f 1(x1,...,xn),...,f k(x1,...,xn), xk+1,...,xn).




Jak łatwo sprawdzić, znowu jakobian J Φ(w) = 0, więc z twierdzenia o odwzorowaniuodwrotnym (1.6.) wynika, że Φ przekształca dyfeomorficznie pewne otoczenie W 0 punktuw na Φ(W 0). Jeżeli (y1,...,yn) ∈ Φ(W 0) i (x1,...,xn) = Φ−1(y1,...,yn), to

(y1,...,yk, yk+1,...,yn) = Φ(x1,...,xn) = (f 1(x1,...,xn),...,f k(x1,...,xn), xk+1,...,xn).

Zatem f ◦

Φ−1(y1,...,yn) = f (x1,...,xn) = (y1,...,yk). 2

1.14. Definicja. Podzbiór M przestrzeni afinicznej R

n nazywamy m-wymiarową pod-rozmaitością (lub krócej rozmaitością) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktux ∈ M istnieje taki dyfeomorfizm Φ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

n = R

m × R

n−m określo-ny na pewnym otoczeniu W punktu x w R

n, że M ∩ W = Φ−1( R

m × {0}). Obcięcieφ : W ∩ M −→ φ(W ∩ M ) ⊂

R

m dyfeomorfizmu Φ nazywamy lokalnym układemwspółrzędnych lub mapą na podrozmaitości M .

Rys. 1.3.

1.15. Uwaga. Rozmaitości 1-wymiarowe nazywamy krzywymi gładkimi, a rozmaito-ści 2-wymiarowe — powierzchniami gładkimi.

Niżej podamy trzy naturalne charakteryzacje rozmaitości.

1.16. Definicja. Immersja p : U −→ R

n podzbioru otwartego U w R

m, która jesthomeomorfizmem U na zbiór p(U ) rozpatrywany z topologią indukowaną z R

n, nazywa sięparametryzacją zbioru p(U ). Zbiór p(U ) nazywa się wtedy m-wymiarowym płatem.

1.17. Stwierdzenie. M ⊂ R

n jest m-wymiarową podrozmaitością R

n wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x0

∈M istnieje parametryzacja pewnego otoczenia x0 w M .

Dowód. =⇒: Dla x0 istnieje taki dyfeomorfizm Φ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

n, że M ∩ W =Φ−1(R

m × {0}). Wtedy tezę spełnia p := Φ−1|Φ(W )∩(R

m×{0}).

Rys. 1.4.

⇐=: Niech p : U −→ p(U ) x0 = p(u0) będzie daną parametryzacją. Z twierdzeniao immersji (1.10.) wynika, że istnieje dyfeomorfizm Φ : W −→ Φ(W ) ⊂

R

n pewnegootoczenia W punktu x0 = p(u0) w R

n taki, że Φ

◦ p(u) = (u, 0)

∈R

m

×R

n−m = R

n dla

u należących do pewnego podzbioru otwartego U 0 ⊂ U . Wykażemy, że dyfeomorfizm Φobcięty do pewnego otoczenia punktu x0 spełnia warunek z definicji rozmaitości. Ponieważ p jest homeomorfizmem U na p(U ), więc istnieje takie otoczenie W 0 ⊂ W punktu x0 w

R

n, że p(U 0) = M ∩ W 0 (bo topologia na p(U ) jest indukowana z R

n). Na ogół zbiór W 0 jest jeszcze za duży (zachodzi inkluzja M ∩ W 0 ⊂ Φ−1( R

m × {0}), ale nie musi zachodzićinkluzja przeciwna). Rozpatrzmy W 1 = W 0 ∩ Φ−1(U 0 × R

n−m). Wtedy W 1 jest zbioremotwartym w R

n oraz M ∩ W 1 = M ∩ W 0 = p(U 0). Zamiast Φ rozpatrzmy Φ1 = Φ|W 1.Mamy teraz p(U 0) = M ∩ W 1 ⊂ Φ−1

1 (U 0 × 0). Inkluzja Φ−11 (U 0 × 0) ⊂ p(U 0) wynika z

różnowartościowości Φ1. 2




1.18. Uwaga. Jeśli p jest różnowartościową immersją, to p(U ) nie musi być podroz-maitością. Przykładem może być „ósemka”, która jest obrazem immersji p : (0, 2π) =U −→ p(U ) ⊂ R

2 danej wzorem p(x) = (sin x, sin2x). Innym przykładem jest tzw. war-szawska sinusoida, czyli obraz immersji p : (−3, −1) ∪ (0, ∞) −→ R

2 danej wzorem p(x) = (x, sin 1

x) dla x > 0 oraz p(x) = (0, x + 2) dla x ∈ (−3, −1).

Rys. 1.5.

1.19. Wniosek. Płaty są podrozmaitościami. Podrozmaitości można parametryzowaćlokalnie.

1.20. Definicja. Przekształcenie ϕ = p−1 : p(U ) −→ U odwrotne do parametryzacjipłata p(U ) nazywa się układem współrzędnych albo mapą na płacie p(U ).

1.21. Przykład. Funkcja p : (

−π, π)

×(

−π2

, π2

)

−→S 2

⊂R

3 określona wzorem

p(ϕ, θ) = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, r sin θ) to tzw. parametryzacja sferyczna (płata nasferze o promieniu r w R

3). Odwzorowanie p jest homeomorfizmem, bo można je rozszerzyćdo dyfeomorfizmu zbioru otwartego (0, ∞) × (−π, π) × (−π/2, π/2) przestrzeni R

3 zmien-nych (r,ϕ,θ), danego podanym wzorem na podzbiór otwarty R

3 (współrzędne kuliste).Przekształcenie odwrotne przyporządkowuje punktowi sfery jego współrzędne sferycz-ne: długość geograficzną ϕ i szerokość geograficzną θ. Obrazem parametryzacji sferycznej jest sfera bez jednego południka.

Rys. 1.6.1.22. Przykład. Sferę bez jednego punktu można sparametryzować przy użyciu tzw.rzutu stereograficznego. Niech S 2 ⊂

R

3 oznacza sferę o promieniu 1 i środku w punk-cie (0, 0, 0) i niech N = (0, 0, 1). Niech q ∈ S 2 będzie dowolnym punktem różnym odN . Punkty q i N wyznaczają prostą w R

3, jej punkt przecięcia z płaszczyzną P opisanąrównaniem z = 0 oznaczmy przez η(q). Przekształcenie η : S 2 \ {N } −→ P określo-ne w ten sposób nazywa się rzutem stereograficznym i we współrzędnych ma po-

stać η(x,y,z) =

x

1 − z,

y

1 − z, 0

. Przekształcenie p : R

2 −→ S 2 określone wzorem

p(u, v) = η−1(u,v, 0) dla (u, v) ∈ R

2 ma we współrzędnych postać

p(u, v) = 2u

u2 + v2 + 1 ,2v

u2 + v2 + 1 ,u2 + v2

−1

u2 + v2 + 1 i jest parametryzacją sfery S 2 bez punk-tu N .

Rys. 1.7.



n wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x ∈ M istnieje taka submersja f : W −→ R

n−m określona na




pewnym otoczeniu W punktu x w R

n, że M ∩ W = f −1(0).

Dowód. =⇒: Bierzemy Φ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

m × R

n−m z definicji podrozmaitościi kładziemy f := π ◦ Φ, gdzie π : R

m × R

n−m −→ R

n−m jest rzutem na drugi czynnikkartezjański.

⇐=: Rozpatrzmy submersję f . Z Twierdzenia o submersji (1.13.) wynika, że istnieje takidyfeomorfizm Φ : W 0 −→ Φ(W 0) ⊂ R

n, określony na pewnym otoczeniu W 0 ⊂ W punktux ∈ R

n, że f ◦ Φ−1(y1,...,ym, ym+1,...,yn) = (ym+1,...,yn) ∈ R

n−m. Na W 0 mamy zatemf = π ◦ Φ oraz M ∩ W 0 = f −1(0) = Φ−1(R

m × {0}). 2

1.24. Uwaga. Przeciwobraz f −1(b) punktu b ∈ B przy przekształceniu f : A −→ Bbędziemy nazywać włóknem przekształcenia f nad punktem b. Powyższe stwierdzeniemożemy zatem sformułować w sposób następujący: podzbiór M ⊂ R

n jest podrozmaitościąR

n wtedy i tylko wtedy, gdy M lokalnie jest włóknem submersji określonej na zbiorzeotwartym w R

n.

1.25. Wniosek. Jeśli f : W −→ R

n−

m

jest submersją określoną na otwartym podzbiorzeR

n, to niepuste włókna f −1(y) są m-wymiarowymi podrozmaitościami R

n.

1.26. Przykład. Sfera w R

3 jest włóknem submersji f : R

3 \ {0} −→R

1 określonejwzorem f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 − r2.



n wtedy i tylkowtedy, gdy każdy punkt x ∈ M posiada takie otoczenie w M , które jest wykresem gładkiejfunkcji φ : R

m ⊃ U −→ R

n−m, przy czym R

m oraz R

n−m oznaczają podprzestrzenieR

n rozpięte na odpowiednio dobranych osiach układu współrzędnych, a U ⊂ R

m jestpodzbiorem otwartym.

Rys. 1.8.

Dowód. =⇒: Submersję z poprzedniego stwierdzenia można traktować jako układrównań opisujący podrozmaitość M , którego macierz pochodnych cząstkowych ma rządn − m. Teza wynika z twierdzenia o funkcji uwikłanej.

⇐=: Zostawiamy jako ćwiczenie. Zarówno parametryzacja wykresu funkcji gładkiej, jak jego przedstawienie w postaci włókna submersji, są bardzo łatwe. 2

1.28. Przykład. Otwarty podzbiór sfery wR 3 (górna półsfera) jest wykresem funkcji

f : R

2 −→ R określonej wzorem f (x, y) =√

r2 − x2 − y2.

Wprowadzimy teraz pojęcie przekształcenia gładkiego pomiędzy podrozmaitościami. Dwiemożliwości wydają się naturalne: jedna w terminach parametryzacji podrozmaitości, dru-ga — w terminach obcięć przekształceń gładkich przestrzeni afinicznych, w których tepodrozmaitości są zawarte. Okazuje się, że obie drogi prowadzą do tego samego celu.

1.29. Definicja. Niech M ⊂ R

n i S ⊂ R

k będą podrozmaitościami wymiarów od-powiednio m i s, a F : M −→ S — dowolnym przekształceniem ciągłym. F nazywa




się przekształceniem gładkim wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej parametryzacji p : U −→ p(U ) zbioru p(U ) otwartego w M i dla dowolnej parametryzacji q : V −→ q(V )zbioru q(V ) otwartego w S złożenie q−1 ◦ F ◦ p : p−1(F −1(q(V ))) −→ V ⊂ R

s określonena zbiorze otwartym w R

m jest przekształceniem gładkim. Funkcja q−1 ◦ F ◦ p nazywa sięlokalnym przedstawieniem F przy parametryzacjach p i q (lub w mapach p−1 i q−1).

Rys. 1.9.

1.30. Lemat. Jeśli U ⊂ R

m jest podzbiorem otwartym, p : U −→ p(U ) ⊂ R

n jest para-metryzacją, a x0 = p(u0), to istnieje otoczenie U 0 punktu u0 w U oraz gładkie rozszerzenief : W −→ U 0 przekształcenia ( p|U 0)−1 określone na otoczeniu W punktu x0 w R

n.

Dowód. Z Twierdzenia o immersji (1.10.) wynika, że istnieje taki dyfeomorfizmΦ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

n, że Φ ◦ p(u) = (u, 0) ∈ R

m × R

n−m dla u ∈ U 0. Niechπ : R

m

×R

n−m

−→R

m będzie rzutem na pierwszy czynnik kartezjański. Wtedy π◦

Φ◦

p jest identycznością na U 0 i f := π ◦ Φ jest gładkim rozszerzeniem ( p|U 0)−1. 2

1.31. Stwierdzenie. Przekształcenie F : M −→ S rozmaitości M ⊂ R

n w S ⊂ R

k jestgładkie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x0 ∈ M istnieje otoczenie W tegopunktu w R

n oraz rozszerzenie gładkie F : W −→ R

k obcięcia F |M ∩W .

Dowód. Niech p : U −→ p(U ) ⊂ M i q : V −→ q(V ) ⊂ S będą parametryzacjmi, p(u0) = x0, q(v0) = F (x0) = y0. Niech g i h będą rozszerzeniami gładkimi przekształceń( p|U 0)−1 i odpowiednio (q|V 0)−1, o których jest mowa w lemacie.

=

⇒: Z założenia q−1

◦F

◦ p jest gładkie, więc również F = q

◦q−1

◦F

◦ p

◦g jest gładkie

na otoczeniu W punktu x0 wR n i F |M ∩W = F |M ∩W .

⇐=: q−1 ◦ F ◦ p = h ◦ F ◦ p jest gładkie, jako złożenie przekształceń gładkich międzyzbiorami otwartymi przestrzeni afinicznych. 2

Zarówno z definicji jak i z ostatniego stwierdzenia wynikają następujące własności prze-kształceń gładkich.

1.32. Wniosek. Złożenie przekształceń gładkich jest przekształceniem gładkim. Prze-kształcenie gładkie w sensie przestrzeni afinicznych, którego obraz jest zawarty w rozma-itości M , jest gładkie jako przekształcenie rozmaitości.

1.33. Definicja. Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie F : M −→ S rozmaitości M na rozmaitość S nazywamy dyfeomorfizmem rozmaitości wtedy i tylko wtedy, gdy obaprzkształcenia F i F −1 są gładkie. Rozmaitości M i S są dyfeomorficzne, jeśli istniejedyfeomorfizm przekształcający M na S .

1.34. Wniosek. Dowolne dwie rozmaitości tego samego wymiaru są lokalnie dyfeomor-ficzne, tzn. każdy punkt jednej rozmaitości ma otoczenie dyfeomorficzne z pewnym oto-czeniem wybranego punktu drugiej rozmaitości.

1.35. Przykład. Niech b : R

2 −→ C oznacza bijekcję przestrzeni R

2 ze zbiorem C liczb




zespolonych określoną wzorem b(u, v) = u+iv, niech p : R

2 −→ S 2 oznacza parametryzacjęczęści sfery pochodzącą od rzutu stereograficznego (1.22.) i niech N = (0, 0, 1), S =(0, 0, −1). Niech przekształcenie j : C \ {0} −→ C \ {0} będzie zadane wzorem j(w) = w−1

dla w ∈ C \ {0}. Nietrudno jest sprawdzić, że odpowiadające mu na sferze przekształcenieI = p ◦ b−1 ◦ j ◦ b ◦ p−1 : S 2 \ {N, S } −→ S 2 \ {N, S } jest symetrią sfery względem osi x.

Po pierwsze, kładąc I (N ) = S, I (S ) = N , rozszerzamy I do symetrii całej sfery. Po drugieI oczywiście rozszerza się do symetrii przestrzeni R

3, (która jest dyfeomorfizmem R

3), awięc I jest dyfeomorfizmem sfery.

1.36. Przykład. Przyjmujemy oznaczenia z poprzedniego przykładu. Niech f : C −→ C

będzie dowolnym wielomianem o współczynnikach zespolonych. Wielomian f , podobnie, jak poprzednio przekształcenie j, wyznacza (poprzez rzut stereograficzny) gładkie prze-kształcenie sfery S 2 bez punktu N . Oznaczmy je przez g, tzn. g = p ◦ b−1 ◦ f ◦ b ◦ p−1 :S 2\{N } −→ S 2\{N }. Wykażemy, że g rozszerza się do gładkiego przekształcenia całej sferyw siebie. Jeśli wielomian f jest stały, to wyznacza stałe (więc gładkie) przekształcenie sfery.Załóżmy, że f jest dodatniego stopnia. Określamy g(N ) = N . Wystarczy sprawdzić gład-

kość g w otoczeniu punktu N . Skorzystamy z dyfeomorfizmu I : S 2 −→ S 2 z poprzedniegoprzykładu. Mianowicie, przekształcenie g jest gładkie w otoczeniu N wtedy i tylko wtedy,gdy przekształcenie I −1 ◦ g ◦ I jest gładkie w otoczeniu S . Ponieważ p jest parametryzacją,ten warunek jest równoważny gładkości funkcji j−1 ◦ f ◦ j (dodatkowo przeprowadzającej0 na 0) w otoczeniu punktu 0 ∈ C , a ta wynika z tego, że w → j−1 ◦ f ◦ j(w) = 1/f (w−1) jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej przyjmującą wartość 0 w punkcie 0.

1.37. Definicja. Niech M będzie m-wymiarową podrozmaitością R

n, a x dowolnympunktem M . Przestrzenią styczną do rozmaitości M w punkcie x nazywamy zbiórT xM wszystkich wektorów postaci γ (0), gdzie γ : I −→ M jest dowolnym przekształ-ceniem gładkim odcinka I

⊂R

1 takim, że 0∈

I , a γ (0) = x. (Przypomnijmy, żeγ (0) = limt→0[γ (t) − γ (0)]/t ∈ T ( R

n), więc T xM ⊂ T (R

n)).

Rys. 1.10.

Interpretacja mechaniczna tej definicji jest następująca. Funkcja t → γ (t) opisuje ruchpunktu po rozmaitości M , taki że w chwili t = 0 poruszający się punkt znajduje się wx. Wektor γ (0) to wektor prędkości takiego punktu w chwili 0. Przestrzeń styczna składasię zatem z wektorów prędkości wszystkich możliwych poruszających się po M punktów,

które w chwili t = 0 znajdują się w punkcie x.1.38. Twierdzenie. Niech M będzie m-wymiarową podrozmaitością R

n, a x dowolnympunktem M . Niech p : U −→ p(U ) będzie parametryzacją otoczenia p(U ) punktu x wM , x = p(u), a f : W −→ R

n−m niech będzie taką submersją określoną na otoczeniu W punktu x w R

n, że M ∩ W = f −1(0). Wtedy T xM = im dpu = ker df x.

Dowód. Skoro f ◦ p = 0 (jest przekształceniem stałym), więc d(f ◦ p)u = df x ◦ dpu = 0i im dpu ⊂ ker df x. Skoro dpu jest monomorfizmem, więc dim im dpu = m, a ponieważ df x jest epimorfizmem, więc dimker df x = n−(n−m) = m. Zatem im dpu = ker df x. Skoro dla




dowolnego γ złożenie f ◦ γ = 0, więc (f ◦ γ )(0) = df x(γ (0)) = 0 i γ (0) ∈ ker df x. ZatemT xM ⊂ ker df x. Wykażemy, że im dpu ⊂ T xM . Rozpatrzmy dowolny wektor dpu(w) ∈im dpu. Zdefiniujmy γ (t) = p(u + tw) i zauważmy, że γ (0) = p(u) = x, a γ (0) = dpu(w).Zatem im dpu ⊂ T xM . 2

1.39. Wniosek. T xM jest podprzestrzenią liniową T (R

n). Obrazy wektorów bazy stan-dardowej e1, e2,...,em przestrzeni T (R

m) przy różniczce dpu parametryzacji p tworzą bazęprzestrzeni stycznej T xM . Będziemy ją oznaczać p1(u), p2(u),...,pm(u). Wektory tej bazy,to pochodne cząstkowe

∂p

∂u1(u),

∂p

∂u2(u), ...,

∂p

∂un(u).

Czasem wygodnie jest traktować przestrzeń styczną do rozmaitości M ⊂ R

n jako podzbiórR

n. Dlatego przyjmujemy następujące określenie.

1.40. Definicja. Podprzestrzeń afiniczną AxM = x + T xM przestrzeni R

n nazywamyafiniczną przestrzenią styczną do M w punkcie x.

1.41. Uwaga. Niektórzy autorzy wolą traktować przestrzenie styczne do M w różnychpunktach jako rozłączne i za przestrzeń styczną do M w x uważają iloczyn kartezjański{x} × im dpx ⊂ M × R

n.

1.42. Definicja. Niech F : M −→ S będzie gładkim przekształceniem rozmaitości,x ∈ M, y = F (x) i niech v ∈ T xM będzie wektorem stycznym do M w punkcie x. Wtedyv = γ (0) dla pewnego przekształcenia gładkiego γ : I −→ M takiego, że γ (0) = x. WzórdF x(v) := (F ◦ γ )(0) określa przekształcenie dF x : T xM −→ T yS zwane różniczką (lubprzekształceniem stycznym) przekształcenia F w punkcie x.

Rys. 1.11.

1.43. Uwaga. Jeśli W jest otoczeniem punktu x w R

n, a F : W −→ R

k jest rozsze-rzeniem przekształcenia F |M ∩W do przekształcenia gładkiego przestrzeni afinicznych, todF x(v) = dF x(v) dla dowolnego wektora v ∈ T xM . Mianowicie dF x(v) = (F ◦ γ )(0) =(F ◦ γ )(0) = dF x(γ (0)) = dF x(v). Wynika stąd, że definicja dF x(v) nie zależy od wyboruγ (bo prawa strona nie zależy) oraz, że dF x jest przekształceniem liniowym.

1.44. Uwaga. Podobnie, jak to ma miejsce w przypadku przekształceń przestrzeni afi-

nicznych, różniczka złożenia gładkich przekształceń rozmaitości jest równa złożeniu różni-czek tych przekształceń.

1.45. Definicja. Niech M będzie m-wymiarową podrozmaitością R

n. Podzbiór K ⊂ M nazywamy k-wymiarową podrozmaitością M wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktux ∈ K istnieje taka mapa φ : V −→ φ(V ) ⊂ R

m = R

k × R

m−k określona na otoczeniu V punktu x w M , że φ−1( R

k × {0}) = K ∩ V .

1.46. Stwierdzenie. Niech K będzie podzbiorem m-wymiarowej podrozmaitści M prze-strzeni R

n. Następujące warunki są równoważne:




a) K jest k-wymiarową podrozmaitością R

n.b) K jest k-wymiarową podrozmaitością M .c) Dla każdego x ∈ K istnieje taki dyfeomorfizm Φ : W −→ Φ(W ) ⊂ R

n = R

k × R

m−k ×R

n−m określony na otoczeniu W punktu x w R

n, że M ∩ W = Φ−1( R

k × R

m−k × {0}) iK ∩ W = Φ−1(R

k × {0} × {0}).

Dowód. Pozostawiamy jako ćwiczenie. 2

Zadania

1.1. Czy przekształcenie ϕ : R

2 −→ R

2 określone wzorem ϕ(x, y) = (ex cos y, ex sin y) jest dyfeomorfizmem? Jeśli nie, to znajdź maksymalny podzbiór otwarty U ⊂ R

2 taki, żeϕ|U : U −→ ϕ(U ) jest dyfeomorfizmem.

1.2. a) Czy istnieje dyfeomorfizm koła (otwartego) na kwadrat (otwarty)?

b) Czy istnieje dyfeomorfizm koła domkniętego na kwadrat domknięty? Dokładniej (por.Uwagę 1.2.): czy istnieje dyfeomorfizm pewnego zbioru otwartego w R

2 zawierającego kołodomknięte na pewien zbiór otwarty w R

2 zawierający kwadrat domknięty, przy którymobrazem koła będzie kwadrat?

1.3. a) Wskaż przykład immersji ϕ : R

2 −→ R

2 nie będącej dyfeomorfizmem.b) Znajdź przykład immersji R

2 na R

2 nie będącej dyfeomorfizmem.Wskazówka. Rozpatrz np. przekształcenie p(s, t) = γ (t) + esγ (t), gdzie γ : R

1 −→ R

2 jestodpowiednią krzywą parametryczną w R

2.

1.4. Znajdź zbiór punktów, w których jest immersją przekształcenie ϕ : R

2 −→ R

3 okre-

ślone wzorem ϕ(x, y) = (x

2

, y

2

, (x

2

+ y

2

+ 1)

2

).1.5. Czy jest immersją przekształcenie ϕ : R

2 −→ R

3 określone wzorem ϕ(x, y) =(x cos y, x sin y, x)?

1.6. Znajdź zbiór punktów, w których jest submersją przekształcenie ϕ : R

2 \ {(0, 0)} −→R

2 określone wzorem

ϕ(x, y) =

x

x2 + y2,

y

x2 + y2

.

1.7. Wykaż, że dla dowolnego przekształcenia gładkiego g : U −→ R

m określonego nazbiorze otwartym U

⊂R

n, zbiór tych punktów u

∈U , w których g jest a) submersją, b)

immersją, jest zbiorem otwartym w U.

1.8. Dane są takie funkcje gładkie f 1, f 2,...,f k : R

5 −→R , że zbiórM = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈

R

5 : f 1(x1, x2, x3, x4, x5) = f 2(x1, x2, x3, x4, x5) = ... = f k(x1, x2, x3, x4, x5) = 0} jest 3 –wymiarową podrozmaitością R

5 i dany jest punkt p ∈ M . Czy z tego wynika, żea) k = 3?

b) rząd macierzy

∂f i∂x j

( p) jest równy 2?

c) istnieją takie funkcje gładkie ϕ, ψ : R

3 −→ R

2 i otoczenie U punktu p w R

5, że




U ∩ M = U ∩ {(x1, x2, x3, ϕ(x1, x2, x3), ψ(x1, x2, x3)) : (x1, x2, x3) ∈ R

3}?d) istnieje taka funkcja gładka F : U −→ R określona na pewnym otoczeniu U punktu pw R

5, że M ∩ U ⊂ F −1(0) oraz gradF ( p) = 0?e) istnieje taka immersja ϕ : R

3 −→ R

5, że f i(ϕ(x1, x2, x3)) = 0 dla wszystkich (x1, x2, x3) ∈R

3 i dla wszystkich i = 1, 2, 3, 4, 5?

1.9. Wykaż, że są podrozmaitościami R

3 następujące zbiorya) {(x,y,z) ∈ R

3 : xy + yz + zx = −1, xyz = 1},b) {(x,y,z) ∈ R

3 : y3 + z4 = 2, x2 + z = 2},c) {(x,y,z) ∈ R

3 : x2 − xy − 4yz − 8z2 − 4z + 2y = 0, xz = 1},d) {(x,y,z) ∈

R

3 : xy = z2 − 3, yz = x + x2}.Wskazówka: Przedstaw te podzbiory jako włókna pewnych submersji (niekoniecznie okre-ślonych na całej przestrzeni R

3).

1.10. Wykaż, że są podrozmaitościami R

n2 następujące grupy macierzya) SL(n) = {A ∈ R

n2 : det A = 1}.

b) O(n) = {A ∈ R

n2

: AT

· A = I }.1.11. Wykaż, że cykloida C = {(t − sin t, 1 − cos t) : t ∈ R } nie jest podrozmaitością R

2.Wskazówka: I sposób: Wykaż, że C nie jest wykresem żadnej funkcji gładkiej.II sposób: Każde przekształcenie f klasy co najmniej C 2 określone na otoczeniu punktu(0, 0) w R

2 i o wartościach rzeczywistych można zapisać w postaci

f (x, y) = f (0, 0) +∂f

∂x(0, 0) · x +

∂f

∂y(0, 0) · y+

+12

∂ 2f

∂x2(0, 0) · x2 + 2

∂ 2f

∂x∂y(0, 0) · xy +

∂ 2f

∂y2(0, 0) · y2

+ (x2 + y2) · Ψ(x, y),

gdzie Ψ jest pewną funkcją ciągłą w (0, 0) i spełniającą warunek Ψ(0, 0) = 0. Zastosujpowyższy fakt do wykazania, że C nie leży we włóknie żadnej submersji.

1.12. Jakie przykłady podrozmaitości otrzymamy ustalając wartości niektórych współ-rzędnych w układach współrzędnych a) afinicznych, b) biegunowych, c) cylindrycznych, d)sferycznych?

1.13. Znajdź opis torusa w R

3 (czyli powierzchni obrotowej powstałej przez obrót okręguwokół osi leżącej w płaszczyźnie okręgu i nie przecinającej tego okręgu) przy pomocyrównania i przy pomocy parametryzacji możliwie dużego podzbioru otwartego. Zrób tosamo dla powierzchni w R

3 otrzymanej przez obrót wokół osi z dowolnej krzywej leżącej

w płaszczyźnie xz.1.14. Znajdź taką parametryzację p paraboloidy hiperbolicznej opisanej równaniem z =x2 − y2, przy której linie współrzędne p(s0, t) i p(s, t0) są prostymi.

1.15. Znajdź dyfeomorfizm okręgu C = {(x, y) ∈ R

2 : x2 + y2 = 1} na rozmaitośćE = {(x, y) ∈ R

2 : x4 + y4 = 1}.

1.16. Wykaż, że M = {(x,y,z) ∈ R

3 : x2 = y2z, y = 0} jest podrozmaitością R

3 i znajdźte punkty m ∈ M , że AmM (0, 0, 1).



Krzywe w przestrzeniach euklidesowych 12

1.17. Źródło światła znajduje się w punkcie (1, 1, 1) w R

3. Przedstaw brzeg oświetlonejczęści paraboloidy z + x2 + y2 = 0 na tej parabolidzie jako obraz odpowiedniej immersjir : R −→ R

3.

1.18. Wykaż, że M = {(x,y,z) ∈ R

3 :

|z| = x2 + y2 + 1} jest podrozmaitością R

3.Znajdź parametryzację podzbioru otwartego M . Znajdź układ współrzędnych y1, y2, y3 napewnym zbiorze otwartym W ⊂ R

3, taki, że M ∩ W = {w ∈ W : y3(w) = 0}. Czy istniejątakie dwa różne punkty w M , w których afiniczne przestrzenie styczne są równe?

1.19. Czy na paraboloidzie hiperbolicznej M = {(x,y,z) ∈ R

3 : z = x2−y2} istnieją takiedwa różne punkty, w których afiniczne przestrzenie styczne są równoległe?

1.20. Niech H = {(x,y,z) : xy = z} ⊂ R

3 oznacza paraboloidę hiperboliczną. Czy istniejetaki punkt p ∈ H , żea) różniczka dπ p rzutu π : H −→ {(x,y,z) ∈

R

3 : z = 0} wzdłuż osi z jest monomorfi-zmem?b) różniczka d p rzutu : H

−→ {(x,y,z)

∈R

3 : x = y = 0}

wzdłuż płaszczyzny xy jestepimorfizmem?

1.21. Dana jest rozmaitość M = {(x,y,z) ∈ R

3 \{(0, 0, 0)} : x2 + xy2−z3 = y, x2 = yz2}.Czy afiniczna prosta styczna do M w punkcie (1, 1, 1) przecina M poza tym punktem?

1.22. Wykaż, że wszystkie afiniczne przestrzenie styczne do powierzchni opisanej równa-niem z = x ·φ(x−1y), gdzie φ jest dowolną funkcją gładką, przechodzą przez punkt (0, 0, 0).Jak geometrycznie uzasadnić ten fakt?

1.23. Znajdź te punkty powierzchni opisanej równaniem z = x4 − 2xy3, w których płasz-czyzny styczne są prostopadłe do wektora [−2, 6, 1].

1.24. Wykaż, że M = {(x,y,z) ∈ R

3 : x3 + y3 + z3 − xyz = 2} jest podrozmaitością R

3.Czy (M ∩ A pM ) \ { p} jest krzywą gładką, jeśli p = (1, 1, 1)?

1.25. Mówimy, że dwie podrozmaitości M i N przestrzeni R

k przecinają się transwersal-nie w punkcie p ∈ M ∩ N , jeśli T pM + T pN = T (R

k). M i N przecinają się transwersalnie, jeśli przecinają się transwersalnie w każdym punkcie p ∈ M ∩N . Wykaż, że jeśli podrozma-itości M i N przestrzeni R

k przecinają się transwersalnie, to M ∩ N jest podrozmaitościąR

k.

1.26. Niech M ⊂ R

3 będzie powierzchnią gładką, p ∈ M dowolnym punktem i niech H będzie dowolną płaszczyzną afiniczną zawierającą punkt p. Wykaż, że jeśli M

∩H =

{ p

},

to H = A pM .

2. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych

Będziemy się zajmować głównie krzywymi w R

3 i R

2, chociaż wiele wyników można uogól-nić na przypadek krzywych w przestrzeni większego wymiaru. Krzywymi nazwaliśmy pod-rozmaitości 1-wymiarowe. W zastosowaniach często jednak mamy do czynienia ze zbio-rami nieco bardziej ogólnymi (przykład — cykloida), które ponadto występują razem z




konkretną „parametryzacją”, np. w opisie ruchu punktu w przestrzeni. W związku z tymprzyjmujemy następujące określenie.

2.1. Definicja. Krzywą parametryczną nazywamy dowolne gładkie przekształcenieprzedziału (niekoniecznie otwartego) r : I −→ R

n. Krzywą parametryczną nazywamyregularną wtedy i tylko wtedy, gdy r jest immersją (tzn. wtedy, gdy r(t)

= 0 dla t

∈I ).

2.2. Definicja. Dwie krzywe parametryczne r : I −→ R

n oraz r : I −→ R

n są rów-noważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dyfeomorfizm zamiany parametrów σ prze-kształcający I na I taki, że r = r ◦ σ. Krzywe parametryczne r i r są równoważne zzachowaniem orientacji, jeśli ponadto spełniony jest warunek σ(t) > 0 dla każdegot ∈ I .

Krzywą parametryczną r : I −→ R

n wygodnie jest interpretować jako opis ruchu punktuw przestrzeni. W takim ujęciu

r(t) = limh→0

r(t + h) − r(t)

h ∈T (R

n)

oznacza wektor prędkości, a r(t) wektor przyspieszenia tego punktu w chwili t. Liczbę|r(t)| nazywa się zwykle szybkością punktu w chwili t.

2.3. Definicja. Długość krzywej parametrycznej r : I −→ R

n określamy jako I |r(t)|dt

(może to być liczba nieujemna lub +∞). Z twierdzenia o całkowaniu przez podstawieniewynika, że długości krzywych parametrycznych równoważnych są równe.

2.4. Uwaga. Przyjęta tu analityczna definicja długości uogólnia charakteryzację dłu-gości odcinka jako całki z szybkości po czasie. Czytelnikom, którzy wolą definicje geome-tryczne proponujemy sprawdzenie, że długość krzywej parametrycznej r :< a, b >−→ R

n

jest równa granicy długości linii łamanych o wierzchołkach r(t0), r(t1),...,r(tm), przy czymt0, t1,...,tm ∈ I, a = t0 < t1 < ... < tm = b, oraz max{ti − ti−1; i = 1,...,m} −→ 0.

2.5. Definicja. Krzywą parametryczną r : I −→ R

n nazywamy unormowaną wte-dy i tylko wtedy, gdy |r(t)| = 1 dla każdego t ∈ I . Argument użyty w parametryzacjiunormowanej nazywa się parametrem naturalnym.

2.6. Stwierdzenie. a) Dla dowolnej regularnej krzywej parametrycznej r : I −→ R

n

istnieje unormowana krzywa parametryczna

r równoważna z r z zachowaniem orientacji.

b) Jeśli r i r = r ◦σ są unormowanymi równoważnymi krzywymi parametrycznymi, to

σ(t) = ±t + c.

Dowód. a) Należy znaleźć taki rosnący dyfeomorfizm θ : I −→ I , żeby krzywa parame-tryczna r = r ◦ θ spełniała warunek |r(s)| = 1 dla s ∈ I . Warunek ten jest równoważnywarunkowi |r(θ(s))| · θ(s) = 1, a więc także i warunkowi σ(t) = |r(t)| dla t ∈ I , gdzieσ = θ−1. Oczywiście

σ(t) := tt0

|r(τ )|dτ

(czyli długość krzywej r od pewnego punktu r(t0) do r(t)) spełnia ten warunek.




b) Dla t ∈ I niech s = σ(t). Różniczkując względem t obie strony równości r = r ◦ σotrzymujemy równość |r(t)| = |r(s)| · |σ(t)| = 1. Wynika z niej, że |σ(t)| = 1 dla każdegot ∈ I , a więc σ(t) = ±1 i σ(t) = ±t + c. 2

2.7. Przykład. Znajdziemy krzywą unormowaną równoważną z linią śrubową, okre-śloną wzorem r(t) = (a cos t, a sin t,bt) dla t

∈R , w którym a > 0 i b

= 0 są liczbami

rzeczywistymi. Liczymy długość łuku:

r(t) = [−a sin t, a cos t, b], |r(t)| =√

a2 + b2, s = σ(t) = t0

√ a2 + b2dτ = t

√ a2 + b2,

następnie znajdujemy funkcję odwrotną (czyli wyrażamy t poprzez s) t = s/√

a2 + b2.Parametryzacją unormowaną jest więc funkcja

r(s) = r(t(s)) =

a cos

s√ a2 + b2

, a sins√

a2 + b2,

bs√ a2 + b2

.

Rys. 2.1.

Wykonane rachunki zachowują poprawność także w przypadku, gdy b = 0: unormowanaparametryzacja okręgu o środku w 0 i promieniu a leżącego w płaszczyźnie z = 0 jestpostaci r(s) =

a cos

s

a, a sin

s

a, 0

.

2.8. Uwaga. Powyższe stwierdzenie ma duże znaczenie teoretyczne, w praktyce nato-miast rzadko daje się zastosować do znalezienia równoważnej krzywej parametrycznej unor-mowanej z powodu kłopotów z obliczeniem całki i ze znalezieniem funkcji odwrotnej. Do-wód powyższego stwierdzenia uzasadnia nazwę długość łuku dla parametru naturalnego.Od tej pory parametr naturalny będziemy z reguły oznaczać literą s.

2.9. Uwaga. Przypomnijmy, że każda krzywa gładka (tzn. rozmaitość jednowymiaro-wa) lokalnie posiada parameryzację (por. 1.17.). Zatem lokalnie krzywą gładką możemytraktować jako regularną krzywą parametryczną (nawet unormowaną, jeśli potrzeba). Wgeometrii krzywych najbardziej będą nas interesować te wielkości i te własności, które są jednakowe dla krzywych równoważnych (lub — w słabszym sensie — przynajmniej dlakrzywych równoważnych z zachowaniem orientacji) i w związku z tym odnoszą się tak-że do krzywych gładkich (podrozmaitości jednowymiarowych). Będziemy mówić, że mają

charakter geometryczny. Przykładem wielkości geometrycznej jest długość krzywej.Od tego miejsca ograniczymy się do przypadku krzywych w R

3. Najpierw zajmiemy siękrzywymi unormowanymi.

Krzywe unormowane w R

3

Gdy badamy krzywą parametryczną w R

3, w naturalny sposób pojawiają się różne wek-tory. Wygodnie jest zapisywać je w bazie związanej z daną krzywą, a nie np. w bazie




standardowej R

3. Omawianie geometrii krzywych w R

3 zaczniemy od konstrukcji takiejbazy.

2.10. Uwaga. Jeśli krzywa parametryczna r : I −→ R

3 jest unormowana, to różniczku- jąc stronami równość r(s), r(s) = 1 otrzymujemy r(s), r(s) = 0. Oznacza to, że dlakrzywej unormowanej wektor przyspieszenia jest prostopadły do wektora prędkości (ale,być może, równy 0).

2.11. Definicja. Krzywą parametryczną (niekoniecznie unormowaną) r : I −→ R

3 na-zywamy niezdegenerowaną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t ∈ I wektory r(t)oraz r(t) są liniowo niezależne.

2.12. Uwaga. Z definicji równoważności krzywych wynika, że jeśli dwie krzywe parame-tryczne są równoważne i jedna z nich jest niezdegenerowana, to druga też.

2.13. Definicja. Niech r : I −→ R

3 będzie niezdegenerowaną unormowaną krzywą pa-rametryczną, a s ∈ I dowolnym punktem. Wektor r1(s) = r(s) nazywamy wersorem

stycznym do krzywej r w punkcie s, wektor r2(s) = r(s)/|r(s)| nazywamy wersoremnormalnym głównym, a wektor r3(s) = r1(s) × r2(s) wersorem binormalnym dokrzywej r w punkcie s. Z Uwagi 2.10. wynika, że układ r1(s), r2(s), r3(s) jest bazą orto-normalną dodatnio zorientowaną przestrzeni T ( R

3). Nazywa się on trójnogiem Frenetaunormowanej krzywej parametrycznej r w punkcie s.

Rys. 2.2.

Często wersory trójnogu Freneta oznacza się symbolami t(s), n(s), b(s) związanymi z ich

nazwami. Płaszczyzna liniowa (lub afiniczna przechodząca przez punkt r(s)) rozpięta nawersorach stycznym i normalnym głównym w punkcie s nazywa się liniową (lub afinicz-ną) płaszczyzną ściśle styczną do krzywej parametrycznej w punkcie s. Płaszczyznęprostopadłą do wektora stycznego (a więc rozpiętą na wersorach normalnym głównym ibinormalnym) nazywamy płaszczyzną normalną, a płaszczyznę prostopadłą do dwóchwymienionych (czyli rozpiętą na wersorach stycznym i binormalnym) nazywamy płasz-czyzną prostującą.

2.14. Uwaga. Krzywa parametryczna r : I −→ R

3 nie musi być różnowartościowa. Dla-tego przy rozpatrywaniu krzywej parametrycznej wygodniej jest wektory trójnogu Frenetaprzyporządkowywać parametrom s

∈I , a nie odpowiadającym im punktom r(s)

∈R

3.

Różniczkując (jak w Uwadze 2.10.) iloczyny skalarne ri(s), r j(s) = δij (delta Kronec-kera), otrzymujemy ri(s), ri(s) = 0 oraz ri(s), r j(s) + ri(s), r j(s) = 0 dla i = j.Ponadto r1(s) = r(s) = |r(s)|r2(s). Ponieważ trójnóg Freneta r1(s), r2(s), r3(s) jest baząortonormalną, współczynniki wektorów r1(s), r2(s), r3(s) w tej bazie są równe iloczynomskalarnym tych wektorów przez odpowiednie wektory bazy. Otrzymujemy zatem:

2.15. Twierdzenie (Wzory Freneta). Niech r : I −→ R

3 będzie niezdegenerowaną




unormowaną krzywą parametryczną, a s ∈ I dowolnym punktem. Wtedyr1(s) = κ(s) · r2(s)r2(s) = −κ(s) · r1(s) +τ (s) · r3(s)r3(s) = −τ (s) · r2(s)

,

gdzie κ(s) > 0 oraz τ (s) są współczynnikami zależącymi od s. 2

2.16. Definicja. Współczynniki κ(s) i τ (s) nazywają się odpowiednio krzywizną iskręceniem unormowanej krzywej parametrycznej r w punkcie s.

2.17. Stwierdzenie. Wektory trójnogu Freneta oraz krzywiznę i skręcenie unormowanejkrzywej parametrycznej można wyliczyć z następujących wzorów, w których wszystkiewielkości są funkcjami parametru naturalnego s:

r1 = r, r2 =r

|r| , r3 =r × r

|r| ,

κ =|r

|, τ =

det(r, r, r)

r

, r

.

Dowód. Wzory na wektory trójnogu Freneta oraz na krzywiznę wynikają z definicji.Wyprowadzimy wzór na skręcenie:

τ = −r3, r2 = −[r1 × r2], r2 = −r1 × r2, r2 − r1 × r2, r2 =

= r1 × r2, r2 = det(r1, r2, r2).

Ponieważ

r1 = r, r2 =r

|r| =r

κ, r2 =

r

κ− κ

κ2r,

więc

τ = det(r1, r2, r2) = 1κ2

det

r, r, r − κ

κr

=

=1

κ2det(r, r, r) =

det(r, r, r)r, r .2

2.18. Uwaga. Krzywiznę κ(s) określamy (wzorem κ(s) = |r(s)|) także wtedy, gdywektory r(s) i r(s) są proporcjonalne (a więc dla krzywych zdegenerowanych). Wtedyκ(s) = 0.

Posługując się przykładami omówimy teraz geometryczną interpretację krzywizny i skrę-

cenia krzywej.

2.19. Przykład. Obliczymy krzywiznę okręgu o promieniu R w R

3. Rachunki przepro-wadzimy dla szczególnego przypadku okręgu o środku 0 leżącego w płaszczyźnie z = 0.

Funkcja r : R

1 −→ R

3 określona wzorem r(s) =

R coss

R, R sin

s

R, 0

jest (lokalnie)

unormowaną parametryzacją tego okręgu (por. Przykład 2.7.). Liczymy jej pochodne:

r(s) = −sin

s

R, cos

s

R, 0

r(s) =− 1

Rcos

s

R, − 1

Rsin

s

R, 0

.




Zatemκ(s) = |r(s)| =

1R

.

Okazuje się więc, że krzywizna unormowanej parametryzacji danego okręgu jest równaodwrotności jego promienia. Ten sam wynik uzyskamy dla unormowanej parametryzacji

r(s) = p + R cos sR v + R sin sR

w

okręgu o dowolnym środku p ∈ R

3 zawartego w dowolnej płaszczyźnie p + lin(v, w), gdziewektory v, w ∈ T (R

3) są ortonormalne. Rachunki pozostawiamy Czytelnikowi.


3 będzie unormowaną i niezdegenerowaną krzywąparametryczną i niech s ∈ I . Wtedy istnieje dokładnie jeden okrąg w R

3, o parametryzacjiunormowanej ρ takiej, że ρ(0) = r(s), ρ(0) = r(s), ρ(0) = r(s). Nazywa się onokręgiem ściśle stycznym do krzywej parametrycznej r : I −→ R

3 w punkcie s ∈ I .Środek tego okręgu nazywa się środkiem krzywizny krzywej r w punkcie s.

Rys. 2.3.

2.21. Wniosek. Krzywizna krzywej r w punkcie s jest równa odwrotności promieniaR okręgu ściśle stycznego w tym punkcie (κ(s) = |r(s)| = |ρ(0)| = 1/R). W związku ztym wektor przyspieszenia r(s) unormowanej krzywej parametrycznej nazywa się takżewektorem krzywizny tej krzywej w punkcie s.

Inna interpretacja krzywizny wynika ze wzorów Freneta: mianowicie krzywizna krzywejmierzy prędkość zmian wersora stycznego w zależności od parametru naturalnego. Podob-

nie, skręcenie mierzy prędkość zmian wersora binormalnego (lub prostopadłej do niegopłaszczyzny ściśle stycznej) także w zależności od parametru naturalnego.

2.22. Stwierdzenie. 1) Unormowana krzywa r : I −→ R

3 ma stałą zerową krzywiznęwtedy i tylko wtedy, gdy jej obraz jest zawarty w pewnej prostej.2) Niezdegenerowana krzywa unormowana r ma stałe zerowe skręcenie wtedy i tylko wtedy,gdy jest krzywą płaską, tzn. jej obraz jest zawarty w pewnej płaszczyźnie.

Dowód. Pierwsza część jest oczywista, bo warunek κ(s) = |r(s)| = 0 jest równoważnyliniowej zależności r od s. Przechodzimy do dowodu drugiej części.=⇒: Wybierzmy dowolny punkt s0 ∈ I . Z trzeciego wzoru Freneta wynika, że r3(s) = 0

dla s ∈ I , zatem r3(s) = r3(s0). Rozważmy funkcję f (s) := r(s) − r(s0), r3(s0). Wtedyf (s) = r1(s), r3(s0) = 0, więc f jest stałą równą f (s0) = 0, zatem r(s) leży w płaszczyźnieprzechodzącej przez r(s0) i prostopadłej do wektora r3(s0).⇐=: Załóżmy, że H ⊂ R

3 jest płaszczyzną i że r(s) ∈ H dla s ∈ I . Różniczkującotrzymujemy r1(s) = r(s) ∈ T (H ), a także r2(s) = r(s)/|r(s)| ∈ T (H ). Zatem r3(s) =r1(s) × r2(s) ⊥ T (H ), a więc r3(s) = const. Wynika stąd, że r3(s) = 0 i z trzeciego wzoruFreneta otrzymujemy, że skręcenie jest zerowe. 2

2.23. Twierdzenie (podstawowe o krzywych przestrzennych). a) Niech κ > 0 iτ będą dowolnymi funkcjami gładkimi na przedziale I . Niech s0 ∈ I, xo ∈ R

3, a wektory




v1, v2, v3 niech tworzą dodatnio zorientowaną bazę ortonormalną T ( R

3). Wtedy istniejedokładnie jedna unormowana niezdegenerowana krzywa parametryczna r : I −→ R

3 taka,że κ i τ są odpowiednio jej funkcjami krzywizny i skręcenia, r(s0) = x0 oraz ri(s0) = vi

dla i = 1, 2, 3.b) Dwie unormowane niezdegenerowane krzywe parametryczne r,

r : I −→ R

3 mają takie

same funkcje krzywizny i funkcje skręcenia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka izometriaA : R

3 −→ R

3 zachowująca orientację, że r = A ◦ r. (Taka izometria A jest postaciA(x) = q + L(x) dla x ∈

R

3, gdzie q ∈R

3, a L : T ( R

3) −→ T ( R

3) jest liniowymprzekształceniem ortogonalnym o wyznaczniku 1, GAL).

Dowód. a) Będziemy szukali krzywej r razem z jej trójnogiem Freneta r1, r2, r3, a do-kładniej, najpierw znajdziemy trójnóg Freneta, a potem dopiero samą krzywą r. Funkcjer1, r2, r3 mają wartości w T ( R

3) i są jednoznacznie wyznaczone przez następujące trzywarunki: 1) dla każdego s wektory r1(s), r2(s), r3(s) tworzą dodatnio zorientowaną bazęortonormalną T ( R

3), 2) spełnione są wzory Freneta, 3) ri(s0) = vi dla i = 1, 2, 3. Zastosu- jemy notację macierzową. Niech X oznacza macierz, której wierszami są szukane funkcje

(wektorowe) r1, r2, r3, a C — macierz (antysymetryczną)

C (s) =

0 κ(s) 0−κ(s) 0 τ (s)

0 −τ (s) 0

.

Pierwsze dwa warunki opisujące funkcje r1, r2, r3 mają bardzo czytelną postać macierzo-wą: X jest macierzą ortogonalną o wyznaczniku +1 oraz X = C · X . Z teorii równańróżniczkowych zwyczajnych wynika, że liniowe równanie różniczkowe X = C · X posiadadokładnie jedno rozwiązanie

X (s) = r1(s)r2(s)r3(s)

gładkie i określone na całym przedziale I , spełniające warunek początkowy

X (s0) =

v1v2v3

.

Funkcję r : I −→ R

3 określamy jako r(s) = x0 + ss0

r1(t)dt. Pozostaje nam jeszcze dosprawdzenia, czy X jest macierzą ortonormalną o wyznaczniku +1. Aby to udowodnić,zauważmy, że (X T X ) = (X T )X + X T X = (CX )T X + X T CX = X T C T X + X T CX =

−X T CX + X T CX = 0. Po drodze skorzystaliśmy z tego, że macierz C jest antysymetrycz-

na. Wiemy, że X (s0)·X T (s0) = I , zatem X T (s0) = X (s0)−1, więc również X T (s0)·X (s0) =I . Z przeprowadzonego rachunku wynika, że X T X = const = X T (s0) · X (s0) = I . Zatemrównież XX T = const = I , a to oznacza, że wiersze macierzy X dla każdej wartości s ∈ I tworzą bazę ortonormalną dodatnio zorientowaną przestrzeni T ( R

3).b) ⇐=: Jeśli A(x) = q + L(x) i r = A ◦ r, to r = L ◦ r, r = L ◦ r, więc ri = L ◦ ri dlai = 1, 2, 3. Równania Freneta dla r mają taką samą postać, jak dla r, więc κ = κ i τ = τ .=⇒: Niech s0 ∈ I i niech r, r mają takie same funkcje krzywizny κ i funkcje skręceniaτ . Wtedy istnieje taki liniowy ortogonalny izomorfizm L : T ( R

3) −→ T ( R

3) zachowu- jący orientację, że ri(s0) = L(ri(s0)) dla i = 1, 2, 3. Istnieje też taki punkt q ∈ R

3, że




r(s0) = q + L(r(s0)). Niech A(x) = q + L(x) i niech r = A ◦ r. Krzywe r i r mają takiesame funkcje krzywizny i skręcenia oraz spełniają te same warunki początkowe, są więcrówne, tzn. r = r = A ◦ r. 2

Zbadamy teraz, jak się zmienią trójnóg Freneta oraz krzywizna i skręcenie, gdy przejdziemydo innej krzywej parametrycznej, również unormowanej, która jest równoważna z daną.Otóż, niech r : I −→ R

3 będzie unormowaną krzywą parametryczną równoważną z krzywąr : I −→ R

3 i niech θ : I −→ I będzie takim dyfeomorfizmem, że r = r ◦ θ. Przypomnijmy,że jeśli krzywe r i r są równoważne z zachowaniem orientacji, to s = θ(s) = s+c dla pewnejstałej c, a jeśli są równoważne ze zmianą orientacji, to s = θ(s) = −s + c dla pewnej stałejc (por. 2.6.). Wersory trójnogu Freneta oraz krzywizna i skręcenie krzywej r w punkcies = θ(s) wyrażają się poprzez kolejne pochodne funkcji r w punkcie s. Pochodne te z koleiłatwo jest wyrazić przez pochodne funkcji r w punkcie s, mianowicie:

drd

s

(

s) = ±dr

ds(s),

d2rd

s2

(

s) =

d2r

ds2(s),

d3rd

s3

(

s) = ±d3r

ds3(s),

gdzie s =±s+c oraz górny znak odpowiada krzywej równoważnej z zachowaniem orientacji,

a dolny krzywej równoważnej ze zmianą orientacji.

2.24. Wniosek. Niech r : I −→ R

3 oraz r = r ◦ θ : I −→ R

3 będą dwoma krzywymiparametrycznymi unormowanymi. Jeśli krzywe r oraz r są równoważne z zachowaniemorientacji, to trójnóg Freneta oraz krzywizna i skręcenie krzywej r w dowolnym punkcies ∈ I są równe odpowiednio trójnogowi Freneta oraz krzywiźnie i skręceniu krzywej r wpunkcie s = θ(s) ∈ I . Jeśli krzywe r oraz r są równoważne ze zmianą orientacji, to wersornormalny główny oraz krzywizna i skręcenie krzywej r w dowolnym punkcie s ∈ I sąrówne odpowiednio wersorowi normalnemu głównemu oraz krzywiźnie i skręceniu krzywejr w punkcie s = θ(

s) ∈ I , natomiast wersory styczny i binormalny do krzywej

r są równe

wersorowi stycznemu i binormalnemu krzywej r ze zmienionym znakiem.Przejdźmy teraz do krzywych nieunormowanych.

Krzywe nieunormowane w R

3


3 będzie niezdegenerowaną krzywą parametrycznąniekoniecznie unormowaną, a t ∈ I dowolnym punktem. Niech r : I −→ R

3 będzie unor-mowaną krzywą parametryczną równoważną z r z zachowaniem orientacji, r = r ◦ θ orazniech t = θ(s). Trójnóg Freneta krzywej r w punkcie t określamy jako trójnóg Freneta

krzywej r w punkcie s, tzn. ri(t) := ri(s) dla i = 1, 2, 3. Podobnie postępujemy z krzy-wizną i skręceniem: krzywiznę κ(t) i skręcenie τ (t) krzywej r w punkcie t określamy jakokrzywiznę κ(s) i skręcenie τ (s) krzywej r w punkcie s.

Z ostatniego wniosku wynika po pierwsze, że powyższa definicja jest poprawna, a po drugie,że krzywizna, skręcenie i trójnóg Freneta są pojęciami geometrycznymi (trójnóg Frenetaw słabszym sensie — zależy od „kierunku przebiegu parametru”). W związku z tym, jeślirozpatrujemy krzywą jako podrozmaitość jednowymiarową w R

3, to możemy mówić okrzywiźnie i skręceniu tej krzywej w danym punkcie (ale tym razem punkt ten znajdujesię na krzywej, czyli w R

3, a nie w zbiorze parametrów, bo takiego nie ustaliliśmy).




2.26. Stwierdzenie. Niech r : I −→ R

3 będzie niezdegenerowaną krzywą parame-tryczną, a t ∈ I dowolnym punktem. Wtedy trójnóg Freneta krzywej r w punkcie t jestukładem trzech wektorów r1(t), r2(t), r3(t) ∈ T ( R

3) określonym jednoznacznie przez na-stępujące trzy warunki:1. r1(t) jest dodatnią wielokrotnością wektora r(t),

2. r1(t), r2(t) tworzą bazę przestrzeni ściśle stycznej zorientowaną zgodnie z bazą r

(t), r

(t),3. Układ r1(t), r2(t), r3(t) jest ortonormalną dodatnio zorientowaną bazą przestrzeni T ( R

3).

Dowód. Po pierwsze powyższe trzy warunki jednoznacznie wyznaczają układ wektorówr1(t), r2(t), r3(t), po drugie, w przypadku, gdy krzywa jest unormowana, wersory trójnoguFreneta spełniają te warunki. Ponieważ trójnóg Freneta nie zmienia się przy przejściu dokrzywej równoważnej, wektory spełniające trzy podane warunki tworzą trójnóg Freneta.2

2.27. Stwierdzenie. Trójnóg Freneta oraz krzywiznę i skręcenie nieunormowanej krzy-wej parametrycznej można wyliczyć z następujących wzorów:

r1(t) = r

(t)|r(t)| , r3(t) = r

(t) × r

(t)|r(t) × r(t)| , r2(t) = r3(t) × r1(t),

κ(t) =|r(t) × r(t)|

|r(t)|3 , τ (t) =det(r(t), r(t), r(t))

|r(t) × r(t)|2 .

Dowód. Wzory na wersory trójnogu Freneta wynikają łatwo z poprzedniego stwierdze-nia. Wyprowadzimy wzory na krzywiznę i na skręcenie. Użyjemy oznaczeń z definicji, po-nadto oznaczymy przez σ funkcję odwrotną do funkcji θ. Dla ułatwienia wyrazimy najpierwpochodne funkcji

r względem zmiennej s przez pochodne funkcji r względem zmiennej t.

Ponieważ r(s) = r(θ(s)), więc r(s) = r(t)·

θ(s), a zatem (różniczkujemy stronami)r(s) = θ(s)2 · r(t) + θ(s) · r(t)

oraz (znowu różniczkujemy stronami)r(s) = θ(s)3 · r(t) + 3θ(s)θ(s) · r(t) + θ(s) · r(t).

Zauważmy jeszcze, że θ(s) = σ(t)−1 =1

|r(t)| .

Aby obliczyć krzywiznę, zauważmy najpierw, że na mocy pierwszego wzoru Freneta

r(s) ×

r(s) =

r1(s) × [

κ(s)

r2(s)] =

κ(s)

r3(s).

Dlatego

κ(t) = κ(s) = |r(s) × r(s)| = |θ(s) · r(t) × [θ(s)2 · r(t) + θ(s) · r(t)]| =

= θ(s)3|r(t) × r(t))| =|r(t) × r(t))|

|r(t)|3 .

Obliczamy skręcenie:Wiemy, że

τ (t) = τ (s) =det(r(s), r(s), r(s))

r(s), r(s) .




Wstawiamy do tego wzoru wyrażenia pochodnych funkcji r względem zmiennej s przezpochodne funkcji r względem zmiennej t. Następnie w liczniku wykonujemy odpowiednieoperacje elementarne na kolumnach wyznacznika, a w mianowniku podstawiamy

|r(s)| = κ(t) =

|r(t) × r(t)|

|r(t)

|3

.

Otrzymujemy τ (t) =det(θ(s) · r(t), θ(s)2 · r(t) + θ(s) · r(t), θ(s)3 · r(t) + 3θ(s)θ(s) · r(t) + θ(s) · r(t))

r(s), r(s)=

det(r(t), r(t), r(t))σ(t)6r(s), r(s) =

det(r(t), r(t), r(t))|r(t) × r(t)|2 . 2

2.28. Przykład. Znajdziemy krzywiznę i skręcenie linii śrubowej (por 2.7.). Liczymykolejne pochodne krzywej r:

r(t) = [−a sin t, a cos t, b], r(t) = [−a cos t, −a sin t, 0], r(t) = [a sin t, −a cos t, 0],

długość |r(t)| = √ a2 + b2, następnie iloczyn wektorowy r(t)×r(t) = [ab sin t, −ab cos t, a2], jego długość |r(t) × r(t)| = a

√ a2 + b2, wyznacznik det(r(t), r(t), r(t)) = a2b, wstawia-

my do wzorów na krzywiznę i skręcenie i otrzymujemy: κ(t) =|r(t) × r(t)|

|r(t)|3 =a√

a2 + b2√ a2 + b2

3 =

a

a2 + b2, τ (t) =

det(r(t), r(t), r(t))|r(t) × r(t)|2 =

a2b

a2(a2 + b2)=

b

a2 + b2. Okazało się więc, że zarów-

no krzywizna, jak skręcenie linii śrubowej są stałe. Czytelnikowi pozostawiamy sprawdze-nie, że jeśli κ > 0 i τ = 0 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to liczby a =

κ

κ2 + τ 2, b =

τ

κ2

+ τ 2

spełniają równościa

a2

+ b2

= κ,b

a2

+ b2

= τ , zatem linia śrubowa określona

wzorem r(t) = κ

κ2 + τ 2cos t,

κκ2 + τ 2

sin t,τ

κ2 + τ 2t

dla t ∈ R ma stałą krzywiznę κ

i stałe skręcenie τ . Po unormowaniu zgodnie z Przykładem 2.7. otrzymujemy krzywąr(s) =

κ

κ2 + τ 2cos(

√ κ2 + τ 2s),

κ

κ2 + τ 2sin(

√ κ2 + τ 2s),

τ

κ2 + τ 2t

. Zgodnie z Twierdze-

niem podstawowym o krzywych przestrzennych (por. 2.23.), jest to jedyna (z dokładnościądo zachowującej orientację izometrii przestrzeni R

3) krzywa unormowana o stałej krzywiź-nie κ i stałym skręceniu τ . Zwróćmy uwagę na to, że dla b = 0 nie istnieje izometria R

3

zachowująca orientację, przy której obrazem krzywej ra,b(t) = (a cos t, a sin t,bt) jest krzy-wa ra,−b(t) = (a cos t, a sin t, −bt), bo ich skręcenia są różne. Krzywa ra,−b jest natomiastobrazem krzywej ra,b przy izometrii (x,y,z)

→(x,y,

−z), która zmienia orientację.

Krzywe w R

2

W R

2 przyjmujemy orientację wyznaczoną przez bazę standardową e1, e2, zakładamy też,że wektor e2 jest po lewej stronie od wektora e1.

2.29. Definicja. Jeśli r : I −→ R

2 jest unormowaną krzywą parametryczną, to wersoryFreneta określamy w ten sposób, aby pierwszy z nich był wersorem stycznym oraz aby




razem tworzyły bazę ortonormalną dodatnio zorientowaną przestrzni T (R

2). Zatem jeślir1(s) = r(s) = [x, y] dla pewnych x i y, to r2(s) = [−y, x] (i wskazuje w lewo od wektorar1(s)).

Jak poprzednio, zachodzą wzory Freneta:

2.30. Twierdzenie (Wzory Freneta). Jeśli r : I −→ R 2 jest unormowaną krzywąparametryczną, to

r1(s) = κ(s) · r2(s)r2(s) = −κ(s) · r1(s)

,

dla pewnego współczynnika κ(s). Współczynnik ten nazywa się krzywizną zorientowanąkrzywej r i nie musi być dodatni. 2

Krzywą płaską r : I −→ R

2 moglibyśmy traktować jako krzywą przestrzenną (zanurzającR

2 w R

3). Krzywizna otrzymanej krzywej jest równa modułowi zorientowanej krzywiznykrzywej wyjściowej (jej skręcenie jest zerowe). Krzywizna zorientowana daje zatem nieco

więcej informacji o krzywej płaskiej niż jej krzywizna jako krzywej przestrzennej.Znak krzywizny zorientowanej zależy od tego, w którą stronę krzywa „się zakrzywia”.Jeśli posuwając się wzdłuż krzywej skręcamy w stronę r2(s) (a więc w lewo), to krzywiznazorientowana jest dodatnia, jeśli skręcamy w prawo, to ujemna. Krzywiznę zorientowanąkrzywej unormowanej obliczamy z następującego wzoru.

2.31. Twierdzenie. κ(s) = det(r(s), r(s)).

Dowód. κ(s) = κ(s)det(r1(s), r2(s)) = det(r1(s), κ(s)r2(s)) = det(r1(s), r1(s)) == det(r(s), r(s)).2

Niech φ(s) oznacza kąt zorientowany między e1 a wektorem stycznym r

(s). Kąt ten jestwyznaczony tylko modulo 2π; wartości φ(s) wybieramy tak, żeby funkcja φ była ciągła. Zgładkości krzywej wynika, że wtedy funkcja φ jest gładka i można ją różniczkować.

Rys. 2.4.

2.32. Stwierdzenie. Przy oznaczeniach jak wyżej, κ(s) = φ(s). Krzywizna zorientowa-na mierzy zatem prędkość zmian kąta φ(s).

Dowód. r1(s) = r(s) = [cos φ(s), sin φ(s)], r2(s) = [−

sin φ(s), cos φ(s)], zatemr1(s) = [−φ(s)sin φ(s), φ(s)cos φ(s)] = φ(s)r2(s), a więc κ(s) = φ(s).2

Krzywiznę zorientowaną krzywej parametrycznej nieunormowanej r : I −→ R

2 określamy jako krzywiznę zorientowaną krzywej unormowanej r : I −→ R

2 równoważnej z daną zzachowaniem orientacji. Obliczamy ją ze wzoru:

2.33. Twierdzenie.

κ(t) =det(r(t), r(t))

|r(t)|3 .




Dowód. Niech r(s) = r ◦ θ(s), a t = θ(s). Wtedy

κ(t) = κ(s) = det(r(s), r(s)) = det(r(t)θ(s), r(t)(θ(s))2 + r(t)θ(s)) =

= (θ(s))3 det(r(t), r(t)) = det(r(t), r(t))/|r(t)|3.2

Na koniec wspomnijmy też, że zachodzi

2.34. Twierdzenie (podstawowe o krzywych płaskich). a) Niech κ będzie dowolnąfunkcją gładką na przedziale I . Niech s0 ∈ I, xo ∈ R

2, a wektory v1, v2 niech tworzą dodat-nio zorientowaną bazę ortonormalną T (R

2). Wtedy istnieje dokładnie jedna unormowanakrzywa parametryczna r : I −→ R

2 taka, że κ jest jej funkcją krzywizny zorientowanej,r(s0) = x0 oraz ri(s0) = vi dla i = 1, 2.b) Dwie unormowane niezdegenerowane krzywe parametryczne r, r : I −→ R

2 mają takiesame funkcje krzywizny zorientowanej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka izometriaA : R

2 −→ R

2 zachowująca orientację, że r = A ◦ r. (A jest postaci A(x) = q + L(x) dlax ∈ R

2, gdzie q ∈ R

2, a L : T (R

2) −→ T ( R

2) jest obrotem tzn. liniowym przekształceniem

ortogonalnym o wyznaczniku 1, GAL).Dowód. Pomijamy, jest podobny do dowodu w przypadku przestrzennym. 2

Zadania

2.1. Sparametryzuj część wspólną sfery o promieniu 2 i walca obrotowego o promieniu1 przechodzącego przez środek sfery. Dokładniej: znajdź krzywą parametryczną, którejobrazem jest opisany powyżej zbiór. Pod jakim kątem otrzymana krzywa parametryczna(zwana krzywą Vivianiego) przecina się sama z sobą? Znajdź krzywiznę tej krzywej, jej

skręcenie oraz trójnóg Freneta w dowolnym punkcie.2.2. Sparametryzuj krzywą opisaną układem równań: x2+y2−z2 = 1, (x−1)2+y2+z2 = 4.Pod jakim kątem przecina się ona sama ze sobą?

2.3. Torus T powstał w wyniku obrotu okręgu o promieniu r wokół osi L leżącej w płasz-czyźnie okręgu i odległej o R od jego środka. Sparametryzuj krzywą w kształcie ósemkibędącą częścią wspólną torusa T i płaszczyzny odległej o R − r od osi L. Znajdź warunekna R i r, równoważny przecinaniu się tej krzywej samej ze sobą pod kątem prostym.

2.4. Krzywa parametryczna r : R −→ R

2 jest określona wzorem r(t) = (t2, t3). Wykaż, żer jest złożeniem immersji a : R

−→R

3 z submersją b : R

3

−→R

2. Czy istnieje krzywaparametryczna regularna równoważna z r?

2.5. Oblicz długość krzywej parametrycznej r(t) = (acht, asht,at) od t0 do t1.

2.6. Znajdź krzywą unormowaną równoważną z krzywąa) r(t) = (et cos t, et sin t, et),b) r(t) = (t,

√ 2 ln t, t−1).

2.7. Kardioida K opisana jest równaniem r = 1 + cos ϕ we współrzędnych biegunowych.Prosta L przechodząca przez punkt S = (0, 0) przecina kardioidę K w punktach P, Q i S .




Zbadaj zależność kąta między stycznymi do kardioidy K poprowadzonymi w punktach P i Q od wyboru prostej L.

2.8. Lemniskata Bernoulliego jest opisana równaniem (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2), gdziea jest stałą dodatnią. Znajdź parametryzację jej części leżącej w półpłaszczyźnie x > 0przyjmując jako parametr kątową współrzędną biegunową ϕ. Zbadaj zależność kąta międzywektorem wodzącym, a wektorem prędkości od ϕ. Wykaż, że iloczyn odległości punktu nalemniskacie od punktów F 1 = (a, 0) i F 2 = (−a, 0) jest stały.

Rys. 2.5.

2.9. Znajdź krzywą parametryczną opisującą ruch punktu położonego na okręgu o pro-mieniu 1 toczącym sięa) po prostej (cykloida, por. zad. 1.11.),b) na zewnątrz okręgu o dowolnym promieniu R (epicykloida),c) na zewnątrz okręgu o promieniu R = 1 (kardioida),d) wewnątrz okręgu o dowolnym promieniu R (hipocykloida),e) wewnątrz okręgu o promieniu R = 4 (asteroida).W przypadku asteroidy znajdź długość odcinka stycznej zawartego między osiami współ-rzędnych (zakładamy, że asteroida jest położona w R

2 w ten sposób, że jej cztery „ostrza”leżą na osiach układu współrzędnych).

Rys. 2.6.

2.10. Znajdź krzywą parametryczną opisującą ruch punktu sztywno związanego z okręgiemo promieniu 1 i leżącego w odległości 3/2 od środka tego okręgu, gdy ten okrąg toczy sięwewnątrz okręgu o promieniu 3. Otrzymaną krzywą można wykorzystać do konstrukcjiprzykładu immersji R

2 na R

2 nie będącej dyfeomorfizmem (por. zad. 1.3).

2.11. Wykaż, że wszystkie afiniczne płaszczyzny normalne krzywej parametrycznej r(t) =(a sin2 t, a

√ 2sin t cos t, a cos2 t) przechodzą przez punkt (0,0,0).

2.12. Wykaż, że wszystkie afiniczne płaszczyzny normalne krzywej C przechodzą przezpunkt p wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa C leży na pewnej sferze o środku w p.

2.13. Wykaż, że wszystkie proste styczne do krzywej C są równoległe do pewnej płaszczy-zny wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa C jest zawarta w pewnej płaszczyźnie (jest krzywąpłaską).

2.14. Dla każdej z krzywych parametrycznych oblicz krzywiznę i skręcenie w dowolnympunkcie oraz zbiór środków krzywizny (por. 2.20.):a) r(t) = (a cos t, a sin t,bt),b) r(t) = (1 − cos t, t − sin t, 4sin t

2).




2.15. Znajdź wersory Freneta oraz krzywiznę i skręcenie w dowolnym punkcie krzywejparametrycznej określonej wzorem r(t) = (cos3 t, sin3 t, cos2t) dla t ∈ R . Czy obraz r jestpodrozmaitością R

3?

2.16. Znajdź wersor normalny główny krzyweja) r(t) = (t, t2, et) w punkcie t = 0,

b) x2 + y2 − z2 = 1

xy = z2w punkcie (1,1,1).

Oblicz krzywiznę i skręcenie tych krzywych w podanych punktach.

2.17. Wykaż, że krzywa r(t) = (w1(t), w2(t), w3(t)) jest płaska, jeśli w1(t), w2(t), w3(t) sąwielomianami kwadratowymi.

2.18. Czy {(x,y,z) ∈ R

3 : x2 = 2z, y2 = z} jest zawarty w pewnej płaszczyźnie?

2.19. Wykaż, że dla danej krzywej niezdegenerowanej r : I −→ R

3 następujące warunkisą równoważne:

a) wektory styczne tworzą stały kąt z pewnym kierunkiem,b) wektory binormalne tworzą stały kąt z pewnym kierunkiem,c) wektory normalne główne są równoległe do pewnej płaszczyzny,d) stosunek skręcenia do krzywizny jest stały.Krzywa spełniająca powyższe warunki nazywa się uogólnioną krzywą śrubową.

2.20. Dana jest unormowana niezdegenerowana krzywa parametryczna r : I −→ R

3 okrzywiźnie κ(s), leżąca w płaszczyźnie z = 0. Oblicz krzywiznę i skręcenie parametrycznejkrzywej przestrzennej R(s) = (r(s), s) = r(s) + se3. Wykaż, że krzywa R jest uogólnionąkrzywą śrubową.

2.21. Niech r : I −→ R

3

będzie unormowaną niezdegenerowaną krzywą parametryczną odanej funkcji krzywizny κ(s) i danej funkcji skręcenia τ (s). Podaj założenie o r w terminachκ(s) i τ (s), przy którym przekształcenie p : I × R −→ R

3 określone wzorem p(s, t) =r(s) + (cos t)r2(s) + (sin t)r3(s) jest immersją.

2.22. Parametryczna krzywa unormowana r(s) ma krzywiznę κ(s) i skręcenie τ (s) niezerujące się na przedziale I . Wyznacz krzywiznę i skręcenie krzywej utworzonej przezkońcea) wektorów binormalnych krzywej r zaczepionych w ustalonym punkcie p,b) wektorów normalnych głównych krzywej r zaczepionych w ustalonym punkcie p,c) wektorów stycznych krzywej r zaczepionych w ustalonym punkcie p.

2.23. Niech r : (a, b) −→R

3 będzie krzywą parametryczną unormowaną i niezdegenero-waną, r1, r2, r3 wersorami trójnogu Freneta, a κ i τ odpowiednio funkcjami krzywizny iskręcenia. Niech y1, y2, y3 będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Definiujemy funkcje d iR : (a, b) −→ T (R

3) wzorami d = τ r1+κr3, R = y1r1+y2r2+y3r3. Wykaż, że R = d×R. (dnazywa się wektorem Darboux lub wektorem prędkości kątowej trójnogu Freneta.)

2.24. Niech r1(s), r2(s), r3(s) będą wersorami trójnogu Freneta parametrycznej krzywejunormowanej r : I −→ R

3 o stałym skręceniu τ (s) = c > 0. Znajdź krzywiznę krzywej




parametrycznej

γ (u) = 0 − 1c

r2(u) + uu0

r3(s)ds.

2.25. Dane są dwa okręgi o promieniu 1, jeden ma środek w punkcie (−1, 0), a drugi

w punkcie (1, 0). Okręgi te obracają się ze stałymi prędkościami kątowymi przeciwnie doruchu wskazówek zegara, przy czym prawy okrąg obraca się dwa razy szybciej, niż drugi.Na każdym z okręgów wybrano po jednym punkcie i połączono odcinkiem. W chwili t = 0wybrane punkty znajdowały się w punktach (−2, 0) i (2, 0).a) Znajdź krzywą parametryczną r : R −→ R

2 opisującą ruch środka odcinka łączącegowybrane punkty.b) Oblicz kąt, pod którym krzywa r przecina się sama ze sobą w punkcie (−1/2, 0).c) Oblicz krzywiznę zorientowaną krzywej r w dowolnym punkcie.

2.26. Niech dana będzie submersja F : U −→ R , gdzie U ⊂ R

2 jest podzbiorem otwartymi niech C = F −1(0). Jeśli C = ∅, to jest krzywą (por. 1.25.). Kierunek obiegu krzywej

C dobieramy w ten sposób, żeby układ złożony z wektora prędkości i wektora gradF byłdodatnio zorientowaną bazą T R

2. Wykaż, że wtedy na krzywej C zachodzi równość

κ =

F 11 F 12 F 1F 21 F 22 F 2F 1 F 2 0

/(F 21 + F 22 )3/2 =2F 12F 1F 2 − F 22F 21 − F 11F 22

(F 21 + F 22 )3/2.

Wskazówka. Skorzystaj z twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Ewolutą płaskiej niezdegenerowanej krzywej parametrycznej r : I −→ R

2 o niezerują-cej się κ(t) nazywamy krzywą jej środków krzywizny q : I −→ R

2 określoną wzoremq(t) = r(t) + κ(t)−1r2(t). Ewolwentą krzywej płaskiej nazywamy każdą taką krzywą pła-

ską, której ewolutą jest dana krzywa. Znajdziemy wzór na ewolwentę danej niezdegenerowa-nej krzywej parametrycznej r : I −→ R

2. Oznaczmy szukaną ewolwentę przez e : I −→ R

2.Zachodzi wtedy związek r(t) = e(t) + ρ(t)e2(t), gdzie ρ(t) = κ(t)−1 jest promieniem krzy-wizny ewolwenty. Oczywiście do opisu obu krzywych został użyty ten sam parametr t.Nie zakładamy o nim, że jest parametrem naturalnym ani dla krzywej r ani dla e. Wczasie obliczeń wygodnie będzie użyć parametrów naturalnych, oznaczmy je odpowiednioprzez sr i se. Różniczkując stronami po t równość r(t) = e(t) + ρ(t)e2(t) otrzymujemyr(t) = e(t) + ρ(t)e2(t) + ρ(t)e2(t) = |e(t)|e1(t) + ρ(t)e2(t) + ρ(t)(−κ(t))e1(t)se(t) =ρ(t)e2(t) (bo, jak pamiętamy se(t) = |e(t)|). Z drugiej strony, r(t) = sr(t)r1(t). Zateme2(t) = ±r1(t) oraz ρ(t) = ±sr(t). Oznacza to, że styczna do krzywej r jest jednocześnienormalną do ewolwenty oraz, że ρ(t) =

±(sr(t)

−a). Zatem e(t) = r(t)

−ρ(t)e2(t) =

r(t) − (±(sr(t) − a)) · (±r1(t)) = r(t) − (sr(t) − a)r1(t). Wykazaliśmy więc, że jeśli krzy-wa e jest ewolwentą krzywej r, to e(t) = r(t) − (sr(t) − a)r1(t) dla t ∈ I . PozostawiamyCzytelnikowi do sprawdzenia, że krzywa opisana tym wzorem na dowolnym przedziale, naktórym sr(t) = a, rzeczywiście jest ewolwentą krzywej r. Obrazowo można otrzymany wzóre(t) = r(t)−(sr(t)−a)r1(t) wyjaśnić tak: jeśli do danej krzywej r przylepimy nić, następnieprzetniemy ją w dowolnym miejscu (w punkcie t, gdzie sr(t) = a) i zaczniemy odrywać nićtak, aby cały czas była napięta, to koniec nici będzie się poruszał po ewolwencie. Opis tenuzasadnia nazwę — ewolwenta z greckiego znaczy „odwijana”. Ściślej mówiąc, odwijanie




odpowiada tylko tym wartościom parametru t, dla których sr(t) > a. Wartościom, dlaktórych sr(t) < a, odpowiada nawijanie nici.

Rys. 2.7.2.27. Wykaż, że krzywa płaska i jej ewolwenta mają krzywizny zorientowane tego samegoznaku.

2.28. Znajdź ewolwenty okręgu.

2.29. Wykaż, że koła zębate ewolwentowe (tzn. takie, których zęby mają kształt ewolwentyokręgu) dobrze się zazębiają (tzn. stałej prędkości kątowej jednego koła odpowiada stałaprędkość kątowa drugiego koła), a punkt styku dwóch zębów wędruje ze stałą prędkościąpo prostej stycznej do dwóch okręgów.

Rys. 2.8.

2.30. Znajdź długość kardioidy zadanej we współrzędnych biegunowych równaniem ρ =a(1 + cos φ) na dwa sposoby:a) jako całkę z szybkości,b) licząc najpierw ewolutę kardioidy, następnie sprawdzając, że to też jest kardioida, wresz-cie znajdując przyrost promienia krzywizny pierwszej kardioidy.

2.31. Wykaż, że ewoluta cykloidy jest też cykloidą. Sprawdź, że jeśli punkt materialny po-

rusza się pod działaniem siły ciężkości równej −e2 po cykloidzie {(ϕ + sin ϕ, −1 − cos ϕ) :ϕ ∈ (−π, π)}, to wychylenie s mierzone długością łuku wzdłuż cykloidy od punktu najniż-szego jest iloczynem stałej ujemnej przez drugą pochodną s względem czasu t (składowąstyczną przyspieszenia). Wynika stąd, że ruch jest harmoniczny i okres drgań nie zależyod wychylenia. Wahadło o takiej własności nazywa się izochroniczne. Ch. Huyghens dokonstrukcji wahadła izochronicznego użył własności cykloidy wspomnianej na początkuzadania. Jak?

Rys. 2.9.

Przez parametryzację owalu rozumiemy krzywą parametryczną r :< a, b >−→ R

2 nie-zdegenerowaną i różnowartościową na przedziale < a,b), spełniającą warunki r(a) = r(b)oraz r(n)(a) = r(n)(b) dla pochodnych dowolnego rzędu n. Taką krzywą można przedlużyćna R do gładkiej krzywej parametrycznej o okresie b − a. Z ciągłości wektora stycznegowynika, że dla każdego punktu na owalu istnieje taki punkt (nazywany punktem przeciwle-głym), że wektory styczne w tych punktach są równoległe. Szerokością owalu w kierunkuw nazywamy odległość między prostymi stycznymi do owalu w takich dwóch punktachprzeciwległych, w których te styczne są prostopadłe do w.



Rozmaitości riemannowskie 28

2.32. Wykaż, że każdy owal o stałej szerokości d ma obwód πd. Wskazówka: jeśli r : R −→M jest unormowaną parametryzacją owalu M , to przedstaw punkt p(s) przeciwległy dor(s) w układzie bazowym wyznaczonym przez wersory Freneta w punkcie r(s). Następniewykaż, że wektor łączący dwa punkty przeciwległe jest prostopadły do kierunku stycznegow tych punktach. W końcu skorzystaj z tego, że

|r1(s)|ds =

| p(s)|ds.

2.33. Wykaż, że suma promieni krzywizny owalu o stałej szerokości w punktach prze-ciwległych jest równa d. Wskazówka: wyraź krzywiznę w punkcie przeciwległym poprzezkrzywiznę w punkcie danym.

2.34. Niech n będzie liczbą naturalną i niech dla i = 0, 1, 2,...,n−1 dane będą takie gładkieunormowane krzywe parametryczne ri :< i,i + 1 >−→ R

2 o stale dodatniej krzywiźniezorientowanej, że1) ri(i + 1) = ri+1(i + 1) dla i = 0, 1, 2,...,n − 2 oraz rn−1(n) = r0(0) (tzn. krzywar :< 0, n >−→ R

2 określona wzorem r(s) = ri(s), jeśli i s i + 1 jest zamknięta);2) ri(i + 1) = −ri+1(i + 1) dla i = 0, 1, 2,...,n − 2 oraz rn−1(n) = −r0(0) (tzn. w każdym z

„punktów zwrotu” i = 0, 1, 2,...,n − 1 suma wektora stycznego „wchodzącego” i wektorastycznego „wychodzącego” jest równa zero);3) wektory styczne do krzywej r dla różnych s z przedziału < 0, n) nie są równoległe.Wykaż, żea) n jest liczbą nieparzystą.b) teoriomnogościowa suma ewolwent krzywych ri poprowadzonych z „punktów zwrotu” jest owalem klasy C 1 o stałej średnicy równej 1.c) dla dowolnej liczby d > 1 istnieje owal klasy (niestety tylko) C 2 o stałej szerokości d

przechodzący przez punkty ri(i)− d − 12

ri(i) dla i = 0, 1,...,n−1 utworzony z odpowiedniodobranych ewolwent krzywych ri.

Rys. 2.10.

3. Rozmaitości riemannowskie

Niech M będzie m−wymiarową podrozmaitością R

n. Dla x ∈ M standardowy iloczyn ska-larny na T ( R

n) wyznacza iloczyn skalarny Gx : T xM × T xM −→ R na przestrzeni stycznej

T xM wzorem Gx(v, w) = v, w dla v, w ∈ T xM . Nazywa się on I formą podstawowąpodrozmaitości M . Niech p : U −→ p(U ) ⊂ M będzie dowolną parametryzacją otoczenia p(U ) punktu x w M i niech x = p(u). Przypomnijmy, że wtedy wektory p1(u) := dpu(e1) =(∂p/∂x1)(u), p2(u) := dpu(e2) = (∂p/∂x2)(u),...,pm(u) := dpu(em) = (∂p/∂xm)(u) tworząbazę przestrzeni stycznej T xM (zob. 1.39.). Funkcje gij : U −→ R określone wzoramigij(u) = Gx( pi(u), p j(u)) dla i, j = 1,...,m są gładkie i nazywają się współczynnikami Iformy odpowiadającymi parametryzacji p. Współczynniki te, to wyrazy macierzy iloczynuskalarnego Gx w bazie p1(u),...,pm(u) (GAL). Macierz tę będziemy nazywali macierzą Iformy i oznaczali symbolem M (Gx).




3.1. Przykład. Znajdziemy współczynniki I formy odpowiadające parametryzacji sfe-rycznej p(ϕ, θ) = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, r sin θ) sfery o promieniu r w R

3 (por. 1.21.).Znając współrzędne wektorów p1, p2 w bazie standardowej R

3:

p1(ϕ, θ) = pϕ(ϕ, θ) := dp(ϕ,θ)(e1) = (∂p/∂ϕ)(ϕ, θ) = [−r cos θ sin ϕ, r cos θ cos ϕ, 0],

p2(ϕ, θ) = pθ(ϕ, θ) := dp(ϕ,θ)(e2) = (∂p/∂θ)(ϕ, θ) = [−

r sin θ cos ϕ,−

r sin θ sin ϕ, r cos θ],

łatwo znajdziemy współczynniki gij: gij(ϕ, θ) = pi(ϕ, θ), p j(ϕ, θ). Mamy: g11(ϕ, θ) =r2 cos2 θ, g12(ϕ, θ) = g21(ϕ, θ) = 0, g22(ϕ, θ) = r2, co można zapisać w postaci macierzy

M (G p(ϕ,θ)) =

g11(ϕ, θ) g12(ϕ, θ)g21(ϕ, θ) g22(ϕ, θ)

=

r2 cos2 θ 0

0 r2

.

Wartości poszczególnych wyrazów tej macierzy mają następującą interpretację: g12 = g21 =0 oznacza, że linie współrzędne t → p(t, θ0) (czyli równoleżniki) i linie s → p(ϕ0, s) (czylipołudniki) przecinają się pod kątem prostym; g22 = r2 = const oznacza, że południkisą obiegane ze stałą szybkością; wreszcie g11 = r2 cos2 θ przedstawia zależność szybkościobiegu równoleżnika od szerokości geograficznej.

Pojęcie I formy na podrozmaitości można uogólnić w następujący sposób.

3.2. Definicja. Metryką riemannowską (lub tensorem metrycznym) na rozma-itości M nazywamy taki wybór iloczynu skalarnego Gx w każdej przestrzeni stycznej T xM (gdzie x jest dowolnym punktem M ), że dla każdej parametryzacji p : U −→ p(U ) ⊂ M funkcje gij : U −→ R określone wzorem gij(u) = G p(u)( pi(u), p j(u)) są gładkie. RozmaitośćM , na której określona jest metryka riemannowska nazywa się rozmaitością rieman-nowską. Zamiast Gx(v, w) będziemy na ogół pisać v, wx.

3.3. Przykład. Torus T ⊂ R

3 można w naturalny sposób zanurzyć również w R

4,

φ : T −→S

1

×S

1

−→R

2

×R

2

=R

4

. Te dwa zanurzenia (wR

3

i wR

4

) można wykorzystać dozdefiniowania dwóch metryk riemannowskich na T . Mianowicie dla dowolnego punktu t ∈ T i wektorów v, w ∈ T tT niech Gt(v, w) = v, w(3) i niech H t(v, w) = dφt(v), dφt(w)(4). Wewzorach tych symbole <, >(3) i <, >(4) oznaczają standardowy iloczyn skalarny na R

3 i R

4

odpowiednio. W przyszłości wykażemy, że metryka H istotnie się różni od I formy G (por.4.45.).

3.4. Stwierdzenie. Niech p : U −→ p(U ) oraz p = p ◦ φ : U −→ p(U ) będą dwie-ma parametryzacjami podzbioru otwartego p(U ) w M , gdzie φ : U −→ U jest dyfe-omorfizmem zmiany współrzędnych. Dla każdego punktu x ∈ p(U ) niech będzie zadanyiloczyn skalarny <, >x w przestrzeni stycznej T xM . Wtedy macierze (gij) i (

gij) tego ilo-

czynu skalarnego w bazach p1(u),...,pm(u) oraz p1(u), ..., pm(u) są związane zależnością(gij(u)) = φ(u)T (gij(u)) φ(u), gdzie u = φ(u) (GAL). W szczególności z gładkości wszyst-kich funkcji gij wynika gładkość wszystkich funkcji gij.

Dowód. Symbolami ui oraz ui oznaczać będziemy współrzędne punktów U i U odpo-wiednio. Mamy przy u = φ(u)

gij(u) = pi(u), p j(u) p(u) =

∂p ◦ φ

∂ ui

(u),∂p ◦ φ

∂ u j

(u) p(u) =




=

k

∂p

∂uk(u)

∂φk

∂ ui(u),

r

∂p

∂ur(u)

∂φr

∂ u j(u)

p(u) =

=k,r

∂φk

∂

ui

(

u)

∂φr

∂

u j

(

u)

∂p

∂uk(u),

∂p

∂ur(u)

p(u)

=

= k,r

∂φk

∂ ui(u)∂φr

∂ u j(u) pk(u), pr(u) p(u) =

=k,r

∂φk

∂ ui

(u)∂φr

∂ u j

(u)gkr(u) =k,r

∂φk

∂ ui

(u)gkr(u)∂φr

∂ u j

(u)

i stąd wynika teza stwierdzenia. 2

Powyższą definicję i stwierdzenie można podsumować w następujący sposób. Metryka rie-mannowska na rozmaitości M , to wybór iloczynu skalarnego w każdej przestrzeni stycznejT xM zależący w sposób gładki od punktu x, tzn. tak, że gładkie są jego współczynnikiodpowiadające dowolnej parametryzacji.

3.5. Uwaga. Metryka riemannowska jest przykładem pewnego jeszcze ogólniejszego po- jęcia. Definiuje się tensory typu (p,q) w punkcie x ∈ M jako elementy przestrzeni liniowej(T xM )⊗ p ⊗ [(T xM )∗]⊗q = T xM ⊗ ... ⊗ T xM ⊗ (T xM )∗ ⊗ ... ⊗ (T xM )∗ lub równoważnie jakoprzekształcenia wieloliniowe (T xM )∗ × ... × (T xM )∗ × T xM × ... × T xM −→ R (GAL).Można w naturalny sposób określić pola tensorowe gładkie na M , szczegóły pomijamy. Wtej terminologii metryka riemannowska jest symetrycznym i niezdegenerowanym gładkimpolem tensorowym typu (0,2).

Metryka riemannowska umożliwia rozpatrywanie na rozmaitościach różnych wielkości zwią-zanych z iloczynem skalarnym, tzn. długości krzywych, kątów i pola powierzchni (lub ogól-

niej objętości).3.6. Definicja. Długością krzywej parametrycznej r : I −→ M ⊂ R

n na rozma-itości riemannowskiej M nazywamy całkę po I z długości wektora stycznego (liczonejoczywiście w sensie danej metryki riemannowskiej). W przypadku, gdy metryka pochodziod standardowego iloczynu skalarnego w przestrzeni R

n, definicja ta jest zgodna z definicjądługości krzywej w R

n.

3.7. Wniosek. Jeśli obraz r(I ) krzywej jest zawarty w obrazie pewnej parametryzacji p : U −→ p(U ) ⊂ M zbioru otwartego p(U ) w M , to krzywą r można przedstawić wpostaci r = p

◦γ , gdzie γ = (γ 1, γ 2,...,γ m) : I

−→U jest krzywą parametryczną w zbiorze

parametrów U . Gdy u = γ (t), to r(t) = dpuγ (t) = i pi(u)γ i(t), zatem|r(t)| =

r(t), r(t)r(t) =

i,j

gij(γ (t))γ i(t)γ j(t),

a więc długość krzywej r jest równa I

i,j

gij(γ (t))γ i(t)γ j(t)dt.

3.8. Uwaga. Metryka riemannowska G indukuje na rozmaitości spójnej M metrykę wsensie odległości. Mianowicie, dla dwóch punktów x, y ∈ M określamy ich odległość jako




ρ(x, y) = infimum długości wszystkich takich ciągłych i kawałkami gładkich krzywychparametrycznych r : I −→ M , że r(0) = x, r(1) = y.

3.9. Stwierdzenie. Niech F : M −→ M będzie dyfeomorfizmem m−wymiarowychrozmaitości riemannowskich. Następujące warunki są równoważne.a) F zachowuje długości krzywych, tzn. dla dowolnej krzywej parametrycznej r : I

−→M

długości krzywych r i F ◦ r są równe.b) Dla każdego punktu x ∈ M różniczka dF x : T xM −→ T F (x)

M jest izomorfizmemeuklidesowym, czyli zachowuje iloczyn skalarny.

Dowód. b) =⇒ a): Dla r : I −→ M zachodzi (F ◦r)(t) = dF r(t)(r(t)), więc długośćkrzywej F ◦ r jest równa

I |(F ◦ r)(t)|dt =

I |dF r(t)(r(t))|dt =

I |r(t)|dt = długość r.

a) =⇒ b): Niech x ∈ M i v ∈ T xM . Wybieramy krzywą r :< a, b >−→ M taką,że a < 0 < b,r(0) = x i r(0) = v. Z założenia wynika, że dla dowolnego s ∈< a, b >zachodzi równość

sa |dF r(t)(r(t))|dt =

sa |r(t)|dt. Biorąc pochodną po s otrzymujemy

|dF r(0)(r(0))| = |r(0)|. Ponieważ r(0) = v, znaczy to, że |dF x(v)| = |v|. Ze znanej

własności iloczynu skalarnego (GAL) wynika, że dF x zachowuje iloczyn skalarny, tzn.GF (x)(dF x(v), dF x(w)) = Gx(v, w) dla v, w ∈ T xM , gdzie Gx oznacza iloczyn skalarnyna przestrzeni T xM , a GF (x) oznacza iloczyn skalarny na T F (x)

M . 2

3.10. Definicja. Dyfeomorfizm F spełniający powyższe warunki nazywa się izometriąwewnętrzną rozmaitości riemannowskich M i M .

3.11. Uwaga. Termin „wewnętrzny” w geometrii odnosi się do własności rozmaitościwyrażających się poprzez metrykę riemannowską na tych rozmaitościach, bez odwoływaniasię do przestrzeni euklidesowych zawierających te rozmaitości. Dla odróżnienia od izometriiwewnętrznych definiuje się izometrie zewnętrzne podrozmaitości M ⊂ R

n i

M ⊂ R

n

jako obcięcia takich izometrii Φ :R

n

−→ R

n

, że Φ(M ) = M .3.12. Przykład. Niech L = {(t, 0) : t ∈ R } ⊂ R

2 i niech r : R −→ C ⊂ R

2 będzieparametryzacją unormowaną płaskiej krzywej gładkiej C . Wtedy przekształcenie F : L −→C określone wzorem F (t, 0) = r(t) dla t ∈ R jest izometrią wewnętrzną. Jeśli krzywa C nie jest prostą, to F nie jest izometrią zewnętrzną (bo izometrie przestrzeni euklidesowychprzeprowadzają proste na proste).

3.13. Stwierdzenie. Niech F : M −→ M będzie dyfeomorfizmem rozmaitości rieman-nowskich i niech p : U −→ M będzie parametryzacją rozmaitości M . Wtedy p = F ◦ p :U −→

M jest parametryzacją

M . Niech gij oraz

gij oznaczają współczynniki metryki rie-

mannowskiej na M i na M odpowiadające parametryzacjom p i p. Dyfeomorfizm F jestizometrią wewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy gij = gij dla wszystkich i, j.

Rys. 3.1.

Dowód. Oznaczmy metryki riemannowskie na M i M przez G i G odpowiednio. F jestizometrią wewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ M różniczka dF x jest




izomorfizmem euklidesowym, tzn. przy x = p(u) zachodzi równośćGF (x)(dF x( pi(u)), dF x( p j(u))) = Gx( pi(u), p j(u))

dla wszystkich i, j. Ponieważ F ◦ p = p, więc F (x) = p(u), dF x( pi(u)) = pi(u), zatemgij(u) =

gij(u). 2

3.14. Definicja. Gładkie przekształcenie F : M −→ M rozmaitości riemannowskich M i M nazywa się lokalną izometrią wewnętrzną, jeśli każdy punkt x ∈ M posiada takieotoczenie V ⊂ M , że F |V : V −→ F (V ) jest izometrią wewnętrzną.

3.15. Definicja. Rozmaitość riemannowska M nazywa się rozmaitością płaską, jeślikażdy punkt x ∈ M posiada otoczenie izometryczne wewnętrznie z podzbiorem otwar-tym przestrzeni euklidesowej ze standardowym iloczynem skalarnym. Zwróćmy uwagę naróżnicę pomiędzy krzywą płaską, a jednowymiarową rozmaitością płaską.

3.16. Przykład. Każda krzywa gładka (podrozmaitość 1-wymiarowa R

n) jest rozma-itością riemannowską płaską. Izometrią z otwartym podzbiorem prostej jest odwrotność

dowolnej parametryzacji unormowanej.3.17. Przykład. Produkt kartezjański M × N rozmaitości riemannowskich M i N manaturalną strukturę rozmaitości riemannowskiej. Produkt M × N rozmaitości riemannow-skich płaskich jest rozmaitością riemannowską płaską. W szczególności produkt krzywych jest rozmaitością riemannowską płaską (por. 3.3.).

Następnym pojęciem, które można określić przy pomocy metryki riemannowskiej, jest kątmiędzy krzywymi.

3.18. Definicja. Niech r : I −→ M i c : J −→ M będą dwiema regularnymi krzywymiparametrycznymi na rozmaitości riemannowskiej M i niech x = r(t0) = c(s0). Naśladującprzypadek krzywych w przestrzeni euklidesowej określamy kąt między krzywymi r i c wpunkcie x jako kąt między ich wektorami stycznymi w punkcie przecięcia, tzn. jako takąliczbę α ∈< 0, π >, że

cos α =r(t0), c(s0)x|r(t0)| · |c(s0)| .

Jeśli p : U −→ p(U ) ⊂ M jest parametryzacją otoczenia punktu x ∈ M , to r = p ◦ γ, c = p ◦ λ dla pewnych krzywych γ : I −→ U i λ : J −→ U . Niech gij oznaczają współczynnikimetryki riemannowskiej G na M odpowiadające parametryzacji p. Wtedy

cos α = i,j gij(x)γ i(t0)λ j(s0)

i,j gij(x)γ i(t0)γ j(t0) · i,j gij(x)λi(s0)λ j(s0)

.

3.19. Definicja. Dyfeomorfizm F : M −→ M rozmaitości riemannowskich M i M nazywa się odwzorowaniem wiernokątnym (lub konforemnym), jeśli zachowuje kątymiędzy krzywymi w punktach ich przecięcia.

3.20. Stwierdzenie. Niech F : M −→ M będzie dyfeomorfizmem rozmaitości rieman-nowskich i niech p : U −→ M będzie parametryzacją rozmaitości M . Wtedy p = F ◦ p :U −→ M jest parametryzacją M . Niech gij oraz gij oznaczają współczynniki metryki




riemannowskiej na M i na M odpowiadające parametryzacjom p i p. Dyfeomorfizm F jest przekształceniem wiernokątnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja gładkaa : U −→ (0, +∞), że gij(u) = a(u)gij(u) dla u ∈ U i dla wszystkich i, j.

Dowód. (Inny dowód, zob. zadanie 3.10.) Oznaczmy metryki riemannowskie na M i

M

przez G i G odpowiednio. Przypuśćmy, że istnieje funkcja a o własnościach jw. Wtedybezpośrednio ze wzoru na cosinus kąta wynika, że F jest przekształceniem wiernokąt-nym. Aby udowodnić wynikanie w drugą stronę, przypuśćmy, że F jest przekształceniemwiernokątnym. Niech x = p(u) będzie dowolnym punktem M , wtedy F (x) = p(u). Zzachowywania przez F kątów wynika, że dla dowolnych dwóch wektorów v, w ∈ T xM rów-ność Gx(v, w) = 0 jest równoważna równości GF (x)(dF x(v), dF x(w)) = 0. Dla ustalonegov = 0, v ∈ T xM rozważmy dwa funkcjonały liniowe φv, ψv : T xM −→ R określone wzoramiφv(w) = Gx(v, w) i ψv(w) = GF (x)(dF x(v), dF x(w)). Ponieważ ker φv = ker ψv, więc ist-nieje taka liczba av > 0 (równa ψv(v)/φv(v)), że ψv = avφv. Udowodnimy, że liczba av niezależy od wektora v. Jeśli wektory v, v ∈ T xM są liniowo niezależne, to i funkcjonały φv

i φv są liniowo niezależne. Wyrazimy funkcjonał ψv+v w terminach φv i φv. Mianowicie,ψv+v = ψv + ψv = avφv + avφv . Z drugiej strony ψv+v = av+vφv+v = av+vφv + av+vφv.Z liniowej niezależności φv i φv wynika, że av = av+v = av. Możemy zatem przyjąća(u) = av. Biorąc v = pi(u) i w = p j(u) mamy, podobnie jak w dowodzie stwierdzenia3.13.: gij(u) = GF (x)( pi(u)), p j(u)) = GF (x)(dF x( pi(u)), dF x( p j(u))) = ψ pi(u)( p j(u)) =

= a(u)φ pi(u)( p j(u)) = a(u)Gx( pi(u), p j(u)) = a(u)gij(u).

Stąd wynika gładkość i dodatniość funkcji a. 2

3.21. Przykład. Sprawdzimy, że jest przekształceniem wiernokątnym odwzorowanie

Merkatora F : S

2

\ P −→ (−π, π)×R

⊂R

2

, gdzie P jest południkiem, przyporządkowu- jące punktowi sfery jednostkowej o współrzędnych sferycznych (ϕ, θ) punkt płaszczyzny owspółrzędnych kartezjańskich (ϕ, lntg(θ/2+ π/4)). Niech p : (−π, π)×(−π/2, π/2) −→ S 2

będzie parametryzacją sferyczną. Macierz I formy sfery odpowiadająca tej parametryzacji jest równa (zob. 3.1.)

M (G p(ϕ,θ)) =

cos2 θ 0

0 1

.

Parametryzacja p = F ◦ p : (−π, π)×(−π/2, π/2) −→R

2 ma postać p(ϕ, θ) = (ϕ, lntg(θ/2+π/4)), znajdujemy więc wektory

pϕ = [1, 0] i

pθ = [0, 1/ cos θ], a następnie obliczamy ma-

cierz I formy

M ( G p(ϕ,θ)) = 1 00 1/ cos2 θ .

Ponieważ te dwie macierze są proporcjonalne, przekształcenie F jest wiernokątne.

Z postaci wzoru przedstawiającego odwzorowanie Merkatora wynika, że można je przed-stawić w postaci złożenia następujących dwóch przekształceń. Pierwsze, to pewne prze-kształcenie sfery (bez południka) na opisany na niej walec o osi zawierającej bieguny sfery,przy którym obrazami południków są tworzące walca. Drugie, to izometria wewnętrznawalca (bez tworzącej) na część płaszczyzny.




Rys. 3.2.

3.22. Uwaga. Odwzorowanie Merkatora można również przedstawić jako złożenie rzutustereograficznego i gałęzi logarytmu. Oba te przekształcenia są wiernokątne (por. zadania3.8. i 3.17.).

3.23. Definicja. Niech p : U −→ p(U ) ⊂ M będzie parametryzacją otwartego podzbioru p(U ) m-wymiarowej rozmaitości riemannowskiej M , niech gij oznaczają współczynnikimetryki riemannowskiej odpowiadające parametryzacji p i niech g = det(gij). Dla takiegopodzbioru A ⊂ p(U ), że p−1(A) jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a w R

m, liczbęµ(A) =

p−1(A)

g(u)du nazywamy m-wymiarową miarą zbioru A. Nie zależy ona od

wyboru parametryzacji p. Dla m = 1 jest równa długości zdefiniowanej poprzednio, dlam = 2 nazywa się polem (powierzchni). Przypomnijmy, że jeżeli f : A −→ R jest funkcjącałkowalną względem miary µ, to

A f dS :=

A f dµ =

p−1(A) f ( p(u))

g(u)du.

3.24. Definicja. Dyfeomorfizm F : M −→M m-wymiarowych rozmaitości riemannow-

skich M i M zachowuje m-wymiarową miarę, jeśli dla dowolnego podzbioru A ⊂ M mającego m-wymiarową miarę, miara zbioru F (A) jest równa mierze zbioru A. W przypad-ku m = 2 taki dyfeomorfizm F nazywa się odwzorowaniem wiernopowierzchniowym.

3.25. Stwierdzenie. Niech F : M −→ M będzie dyfeomorfizmem rozmaitości rieman-nowskich m-wymiarowych i niech p : U −→ M będzie parametryzacją rozmaitości M . Wte-dy p = F ◦ p : U −→ M jest parametryzacją M . Niech gij oraz gij oznaczają współczynnikimetryki riemannowskiej na M i na M odpowiadające parametryzacjom p i p. Dyfeomor-fizm F zachowuje m-wymiarową miarę wtedy i tylko wtedy, gdy det(gij(u)) = det(gij(u))dla u ∈ U .

Dowód. F zachowuje m-wymiarową miarę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioruA ⊂ M mającego miarę zachodzi równość p−1(A)

det(gij(u))du =

p−1(A)

det(gij(u))du,

bo p−1(F (A)) = p−1(A), a to jest równoważne równości det(gij(u)) = det(gij(u)). 2

3.26. Przykład. Sprawdzimy, że jest wiernopowierzchniowe odwzorowanie walcoweF : S 2 \ P −→ R

2 przyporządkowujące punktowi sfery jednostkowej o współrzędnychsferycznych (ϕ, θ) punkt płaszczyzny o współrzędnych kartezjańskich (ϕ, sin θ). Macierz Iformy sfery odpowiadająca parametryzacji sferycznej jest równa (zob. 3.1.)

M (G p(ϕ,θ)) = cos2

θ 00 1 .

Parametryzacja p = F ◦ p : (−π, π) × (−π/2, π/2) −→ R

2 ma postać p(ϕ, θ) = (ϕ, sin θ),znajdujemy więc wektory pϕ = [1, 0] i pθ = [0, cos θ], a następnie obliczamy macierz I formy

M ( G p(ϕ,θ)) =

1 00 cos2 θ

.

Ponieważ obie macierze mają równe wyznaczniki, przekształcenie F jest wiernopowierzch-niowe.




Rys. 3.3.

Zadania

3.1. Znajdź I formę podstawową powierzchni wR

3

o parametryzacji p(u, v) = (x,y,z),gdzie:a) x = u(3v2 − u2 − 1/3), y = v(3u2 − v2 − 1/3), z = 3uv;b) x = u cos v, y = u sin v, z = 2v (helikoida lub powierzchnia śrubowa);c) x = (R + r cos u)cos v, y = (R + r cos u)sin v, z = r sin u (torus w R

3),d) x = f (u)cos v, y = f (u)sin v, z = g(u) (dowolna powierzchnia obrotowa).

3.2. Znajdź na helikoidzie o parametryzacji p(u, v) = (u cos v, u sin v, 2v):a) linie dzielące na połowy kąty pomiędzy liniami współrzędnymi.b) kąty wewnętrzne trójkąta utworzonego przez krzywe u = v2, u = −v2, v = 2.

3.3. Znajdź na paraboloidzie z = xy krzywe przecinające pod kątem prostym jej tworzące.3.4. Loksodromą na powierzchni obrotowej nazywa się linia przecinająca wszystkie po-łudniki pod tym samym kątem. Dla dwóch danych punktów na jednostkowej sferze w R

3

znajdź loksodromy zawierające te punkty.

3.5. Na powierzchni riemannowskiej z metryką g11(u, v) = 1, g12(u, v) = 0, g22(u, v) =1/(u2 + 1) znajdź sumę kątów wewnętrznych trójkąta utworzonego przez linie u = v, u =−v, v = −1.

3.6. Oblicz pole powierzchni torusa w R

3 powstałego przez obrót okręgu o promieniu rwokół prostej leżącej w płaszczyźnie okręgu i odległej od środka okręgu o R.

3.7. Niech γ : I =< s0, s1 >−→ R

3 będzie unormowaną, niezdegenerowaną i różno-wartościową krzywą parametryczną i niech r będzie dostatecznie małą liczbą rzeczywistądodatnią. Dla każdego s ∈ (s0, s1) niech C s oznacza okrąg o promieniu r i środku w punkcieγ (s) leżący w płaszczyźnie normalnej do krzywej γ w punkcie s. Niech M oznacza sumęteoriomnogościową okręgów C s. Wykaż, że M jest powierzchnią gładką i oblicz jej pole.

3.8. Sprawdź, że rzut stereograficzny (por. 1.22.) jest przekształceniem wiernokątnym.

3.9. Czy sinusoida {(x, sin x) : x ∈ R } i spirala opisana we współrzędnych biegunowychrównaniem r = ϕ są krzywymi izometrycznymi wewnętrznie?

3.10. Uzupełnij szczegóły następującego szkicu dowodu Stwierdzenia 3.20. Wystarczy wy-kazać, że obrazem bazy ortonormalnej przy dF x jest baza ortogonalna złożona z wektorów jednej długości. Przypuśćmy, że tak nie jest i dla dwóch wektorów bazowych v, w zbadajmyobraz wektora v + w. Okazuje się, że kąt między v a v + w jest inny, niż kąt między ichobrazami.

3.11. Czy rzut ze środka sfery jednostkowej na płaszczyznę styczną do tej sfery jest od-wzorowaniem a) wiernokątnym, b) wiernopowierzchniowym otwartej półsfery na tę płasz-czyznę?




3.12. Dane są dwie paraboloidy: hiperboliczna H = {(x,y,z) ∈ R

3 : z = 2xy} i eliptycznaE = {(x,y,z) ∈ R

3 : z = x2 + y2}. Sprawdź, czy rzut g : H −→ E wzdłuż osi z jesta) przekształceniem wiernopowierzchniowym,b) przekształceniem wiernokątnym.

3.13. W kartografii do przedstawiania map świata często używane jest wiernopowierzch-niowe odwzorowanie Mollweidego. Zapisz je wzorem wiedząc, że:a) przekształca elipsę o polu 4π i stosunku osi 2 : 1 na sferę jednostkową (bez jednegopołudnika),b) równik jest obrazem długiej osi elipsy, a równoleżniki — odcinków równoległych do niej.Czym są przeciwobrazy południków? Czym jest przeciwobraz półsfery opisanej nierówno-ścią −π/2 < ϕ < π/2?(Wsk. Przeciwobrazem pasa na sferze opisanego nierównością 0 < θ < θ0 ma być pas naelipsie. Dobierz tak jego szerokość, żeby oba pasy miały równe pola.)

3.14. Odwzorowanie Bonne’a przyporządkowuje każdemu punktowi sfery o współrzęd-

nych sferycznych −π < ϕ < π ,−π/2 < θ < π /2 punkt płaszczyzny o współrzędnychbiegunowych r = π2

− θ, α = ϕ(π2

− θ)−1 cos θ. Sprawdź, że przekształcenie Bonne’a jestwiernopowierzchniowe. Naszkicuj obraz sfery i siatkę współrzędnych (”mapę świata”).

3.15. Udowodnij, że część powierzchni o parametryzacji (u, v) −→ (u cos v, u sin v, u + v) jest izometryczna wewnętrznie z hiperboloidą x2 + y2 − z2 = 1 bez jednej prostej.(Wsk. Sparametryzuj część hiperboloidy przez (w, ϕ) → (

√ 1 + w2 cos ϕ,

√ 1 + w2 sin ϕ, w)

i znajdź izometrię wewnętrzną postaci (w, ϕ) → (w, f (w, ϕ))).

3.16. Znajdź izometrię wewnętrzną otwartego podzbioru katenoidy zadanej poprzez para-metryzację p(u, v) = (ach

u

acos v, ach

u

asin v, u) z otwartym podzbiorem helikoidy opisanej

parametryzacją q(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ,aϕ), gdzie a jest stałą dodatnią.(Wsk. Szukaj izometrii w podanych współrzędnych postaci (u, v) → (Φ(u), v) = (r, ϕ)).

Rys. 3.4.

3.17. Przy utożsamieniu R

2 z C wykaż, że różnowartościowe przekształcenie f : U −→f (U ) ⊂ C zbioru otwartego i spójnego U ⊂ C jest wiernokątne wtedy i tylko wtedy, gdy f lub f jest funkcją holomorficzną oraz ma niezerową pochodną zespoloną w każdym punkciez

∈U .

3.18. Niech H oznacza płaszczyznę Łobaczewskiego, tzn. H = {(x, y) ∈ R

2 : y > 0}z metryką riemannowską g11(x, y) = g22(x, y) = 1/y2, g12(x, y) = 0 i niech h będzie takąhomografią płaszczyzny R

2, że h(H ) = H . Udowodnij, że h|H : H −→ H jest izometriąwewnętrzną. (Homografie płaszczyzny, to przekształcenia, które w zapisie zespolonymmają postać z → (az + b)/(cz + d), gdzie a,b,c,d ∈ C oraz ad − bc = 0).

3.19. Wykaż, że każdy dyfeomorfizm rozmaitości riemannowskich zachowujący prostopa-dłość krzywych jest przekształceniem wiernokątnym.



Geometria powierzchni 37

3.20. Niech M, M , N , N będą rozmaitościami riemannowskimi, a M × N i M × N pro-duktami kartezjańskimi wyposażonymi w naturalne metryki riemannowskie z przykładu3.17. Przekształcenia gładkie F : M −→ M i Φ : N −→ N wyznaczają przekształcenieF × Φ : M × N −→ M × N .a) Wykaż, że jeżeli F i Φ są (lokalnymi) izometriami wewnętrznymi, to F × Φ też jest

(lokalną) izometrią wewnętrzną.b) Podaj przykład takich odwzorowań wiernokątnych F i Φ, że F × Φ nie jest odwzorowa-niem wiernokątnym.c) Wykaż, że jeżeli F i Φ są dyfeomorfizmami zachowującymi miary, to F × Φ też jestdyfeomorfizmem zachowującym miarę.

4. Geometria powierzchni

Od tej pory będziemy się zajmować powierzchniami w R

3, tzn. dwuwymiarowymi pod-

rozmaitościami gładkimi R 3. Większość twierdzeń można uogólnić na przypadek hiperpo-wierzchni dowolnego wymiaru m, tzn. podrozmaitości m-wymiarowych przestrzeni R

m+1.Ponadto wiele rezultatów można rozszerzyć do przypadku powierzchni immersyjnych, tzn.zadanych przy pomocy immersji, która nie musi być homeomorfizmem na obraz.

Przypomnijmy, że wybór bazy przestrzeni liniowej (nad ciałem liczb rzeczywistych) wyzna-cza orientację przestrzeni i rozróżnia bazy zorientowane dodatnio od baz zorientowanychujemnie (GAL). Dalej będziemy traktować R

3 jako euklidesową przestrzeń zorientowanąze standardowym iloczynem skalarnym i orientacją wyznaczoną przez wybór bazy stan-dardowej.

4.1. Definicja. Orientacją powierzchni M nazywamy wybór orientacji każdej prze-strzeni stycznej T xM dla x ∈ M , zgodny w tym sensie, że dla każdego punktu x ∈ M istnieje taka parametryzacja p : U −→ p(U ) otoczenia otwartego p(U ) tego punktu w M ,że wszystkie bazy p1(u), p2(u),...,pm(u), gdzie u ∈ U , są zorientowane zgodnie z wybranąorientacją. Powierzchnia z zadaną orientacją nazywa się powierzchnią zorientowaną. Roz-patrując parametryzację powierzchni zorientowanej będziemy zawsze zakładać, że jest onazgodna z wybraną orientacją.

4.2. Wniosek. Jeśli powierzchnia posiada (globalną) parametryzację, to posiada takżeorientację.

4.3. Przykład. Niech przekształcenie q : (−1, 1) × R −→ R

3

będzie dane wzoremq(s, t) = ((2+s cos t2)cos t, (2+s cos t

2)sin t, s sin t

2). Jego obraz, czyli tzw. wstęga Mobiusa,

jest rozmaitością nieorientowalną, tzn. taką, na której nie istnieje orientacja.

Rys. 4.1.

4.4. Przykład. Niech f : R

3 −→ R będzie takim przekształceniem gładkim, które jestsubmersją w każdym z punktów włókna M = f −1(0). Jak pamiętamy z rozdziału 1, M




jest wtedy gładką powierzchnią. Powierzchnia ta jest orientowalna, orientację M możnaokreślić np. wybierając w każdym punkcie x ∈ M taką bazę v1(x), v2(x) przestrzeni T xM ,że układ v1(x), v2(x), gradf (x) jest dodatnio zorientowaną bazą T ( R

3).

Przypomnijmy, że wektor gradf (x) jest prostopadły do T xM dla x ∈ M . Konstrukcję zpowyższego przykładu można uogólnić:

Dla dowolnej zorientowanej 2-wymiarowej podrozmaitości M ⊂ R

3 z parametryzacją p :U −→ M określamy gładkie pole wersorów normalnych N : M −→ T (R

3). W punkciex = p(u) przyjmuje ono wartość

N x :=p1(u) × p2(u)| p1(u) × p2(u)| ∈ (T xM )⊥.

Rys. 4.2.

Przypomnijmy (GAL), że wtedy układ wektorów p1(u), p2(u), N p(u) jest dodatnio zoriento-waną bazą T (R

3). Warto także zapamiętać równość | p1(u) × p2(u)| =

det M (Gx), którawynika z definicji iloczynu wektorowego i która przydaje się w rachunkach.

4.5. Przykład. Znajdziemy pole wersorów normalnych na sferze o promieniu r z para-metryzacją sferyczną p(ϕ, θ) = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, r sin θ). (por. 1.21. i 3.1.). Wtedy pϕ(ϕ, θ) = [−r cos θ sin ϕ, r cos θ cos ϕ, 0], pθ(ϕ, θ) = [−r sin θ cos ϕ, −r sin θ sin ϕ, r cos θ],więc pϕ(ϕ, θ) × pθ(ϕ, θ) = [r2 cos2 θ cos ϕ, r2 cos2 θ sin ϕ, r2 sin θ cos θ] == r2 cos θ[cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ], zatem | pϕ(ϕ, θ)× pθ(ϕ, θ)| = r2 cos θ, (bo θ ∈ (−π

2, π2

)).Widzimy, że N p(ϕ,θ) = [cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ] = 1/r

·( p(ϕ, θ)

−0), jest więc skie-

rowany na zewnątrz sfery. Zwróćmy również uwagę, że zachodzi wspomniana równość| p1(u) × p2(u)| =

det M (Gx) (por. 3.1.).

4.6. Uwaga. Aby uprościć sformułowania niektórych wzorów, niekiedy będziemy polemwersorów normalnych nazywać funkcję, przyporządkowującą wektor N x nie punktowi x ∈M , a temu punktowi u ∈ U , którego obrazem przy parametryzacji p : U −→ M jest x.Pole to będziemy również oznaczać literą N , ale argument u będziemy pisać w nawiasie,inaczej mówiąc, zamiast N p(u) będziemy pisać po prostu N (u). Symbol N i będzie wtedyoznaczać pochodną cząstkową funkcji N po i-tej zmiennej ui.

4.7. Definicja. Niech M

⊂R

3 będzie gładką powierzchnią zorientowaną. Odwzorowa-

niem sferycznym Gaussa tej powierzchni nazywamy przekształcenie η : M −→ S 2 ⊂ R 3

określone wzorem η(x) = 0 + N x. Każdemu punktowi x ∈ M przyporządkowuje ono zatemkoniec wersora normalnego N x odpowiadającego temu punktowi i zaczepionego w punkcie0 ∈ R

3.

4.8. Przykład. W przypadku płaszczyzny odwzorowanie sferyczne Gaussa jest prze-kształceniem stałym, w przypadku sfery jednostkowej zaś, identycznością lub przekształ-ceniem antypodycznym, w zależności od wyboru orientacji.

Zauważmy, że dla dowolnego punktu x ∈ M wektorowa płaszczyzna T η(x)S 2 styczna do




sfery S 2 w punkcie η(x) jest prostopadła do wektora N x, a zatem jest równa płaszczyźniestycznej T xM do powierzchni M w punkcie x.

4.9. Definicja. Różniczka ze zmienionym znakiem Lx = −dηx : T xM −→ T η(x)S 2 =T xM nazywa się odwzorowaniem Weingartena powierzchni M w punkcie x. Wartośćoperatora Weingartena na wektorze w będziemy zapisywać bez nawiasu, tzn. w postaciLxw.

4.10. Przykład. Niech M oznacza walec o promieniu R w R

3 o parametryzacji zadanejwzorem p(u, v) = (v, R cos u, R sin u) i niech x = p(u0, v0) ∈ M będzie dowolnym punktem.Niech w = apu(u0, v0) + bpv(u0, v0) ∈ T xM będzie dowolnym wektorem. W celu zilustrowa-nia wartości przekształcenia Weingartena Lx : T xM −→ T xM na wektorze w, przedstawmyten wektor jako wektor prędkości odpowiedniej linii śrubowej t → x(t) = p(u0+ at,v0+ bt),wtedy x = x(0), v = x(0). Wektory N x(t) pola normalnego w punktach krzywej x(t) za-czepione w punkcie 0 ∈ R

3 mają końce na sferze jednostkowej S , wyznaczają więc krzywąparametryczną t → η(x(t)) = (0, cos(v0 + bt), sin(v0 + bt)) na tej sferze. Jej wektor pręd-

kości w punkcie t = 0, to dηx(w) = dη(x(t))dt (0) = dN x(t)dt (0) = b[0, − sin u0, cos u0], więc

Lx(w) = b[0, sin u0, − cos u0].

Rys. 4.3.

Z definicji różniczki (por. 1.42.) wynika, że jeśli v ∈ T xM , to Lxv opisuje zmiany, jakichdoznaje −N , gdy przesuwamy się po powierzchni M przez punkt x w kierunku wektorav. Dzięki temu odwzorowanie Weingartena jest wygodnym narzędziem służącym do opisu

położenia powierzchni w przestrzeniR

3

.4.11. Uwaga. Z powyższej interpretacji wynika w szczególności, że traktując N jakofunkcję na U , mamy

Lx pi(u) = −∂N

∂ui(u) = N i(u).

W następującym twierdzeniu i stwierdzeniu x = p(u), symbole pi, pij, N oraz N i oznaczająwartości tych funkcji w punkcie u, inaczej mówiąc będziemy opuszczać powtarzający sięargument u.

4.12. Twierdzenie. Odwzorowanie Weingartena Lx : T xM

−→T xM jest operatorem

samosprzężonym, tzn. dla dowolnych wektorów v, w ∈ T xM zachodzi równośćLxv, w = v, Lxw.

Dowód. Wystarczy udowodnić żądaną równość dla wektorów bazy p1, p2. Skoro Lx pi =−N i, to

Lx pi, p j = −N i, p j = N, p ji = N, pij =

= −N j, pi = Lx p j, pi = pi, Lx p j.




Korzystaliśmy tutaj z oznaczeń

pij :=∂ 2 p

∂u j∂ui:=

∂

∂u j

∂p

∂ui

,

równości pochodnych mieszanych i równości N i, p j + N, p ji = 0 wynikającej ze zróż-niczkowania funkcji

N, p j

= 0 względem zmiennej ui. 2

4.13. Wniosek. Wzór Bx(v, w) := Lxv, w = v, Lxw określa na T xM × T xM syme-tryczne przekształcenie dwuliniowe o wartościach rzeczywistych.

4.14. Definicja. Określone powyżej przekształcenie Bx nazywa się II formą podsta-wową powierzchni M w punkcie x.

4.15. Stwierdzenie. Macierz M (Bx) drugiej formy w bazie p1, p2 jest równa M (Bx) =(N, pij)i,j=1,2 = M (Gx) · M (Lx), gdzie M (Gx) i M (Lx) oznaczają odpowiednio macierzpierwszej formy i macierz odwzorowania Weingartena w punkcie x (w bazie p1, p2).

Dowód. Przypomnijmy dwie równoważne charakteryzacje macierzy przekształcenia dwu-liniowego (GAL). Po pierwsze w miejscu (i, j) tej macierzy stoi obraz pary ( pi, p j) przytym przekształceniu. W naszym przypadku jest to

Bx( pi, p j) = Lx pi, p j = −N i, p j = N, p ji = N, pij,

i stąd wynika pierwsza równość w tezie. Po drugie, macierz M (Bx) w bazie p1, p2, to takamacierz, że dla dowolnych dwóch wektorów v = v1 p1 + v2 p2, w = w1 p1 + w2 p2 o kolum-nach współrzędnych odpowiednio równych M (v) = [v1, v2]T , M (w) = [w1, w2]T zachodzirówność Bx(v, w) = M (v)T M (Bx)M (w). Obliczamy zatem

M (v)T M (Bx)M (w) = Bx(v, w) = Lxv, w = v, Lxw = M (v)T M (Gx)M (Lx)M (w).

Wynika stąd, że M (Bx) = M (Gx)M (Lx). 2

Liczby bij(u) := Bx( pi(u), p j(u)) = N (u), pij(u) nazywają się współczynnikami IIformy w punkcie x.

Rozważmy teraz gładką unormowaną krzywą parametryczną r = p ◦ γ : I −→ M napowierzchni M . Z krzywą tą w naturalny sposób związana jest następująca ortonormalnadodatnio zorientowana baza przestrzeni T ( R

3): r(s), N r(s) × r(s), N r(s). Oznaczmy wektorN r(s) × r(s) przez rg(s). Układ wektorów r(s), rg(s) jest bazą ortonormalną dodatniozorientowaną przestrzeni stycznej T r(s)M .

Rys. 4.4.

Wektor przyspieszenia r(s) jest prostopadły do r(s), więc można go zapisać jako kom-binację liniową r(s) = κg(s)rg(s) + κn(s)N r(s). Współczynniki κg(s) i κn(s) nazywają sięodpowiednio krzywizną geodezyjną i krzywizną normalną krzywej r w punkcie s.Jeśli γ (s) = (γ 1(s), γ 2(s)), to r(s) =

γ i(s) pi(γ (s)), a r(s) =

γ i(s)γ j(s) pij(γ (s)) +

γ i (s) pi(γ (s)). Możemy teraz obliczyć krzywiznę normalną κn krzywej r. Mianowicie,

κn(s) = r(s), N r(s) =

γ i(s)γ j(s) pij(γ (s)), N r(s) =




=

γ i(s)γ j(s)Br(s)( pi(γ (s)), p j(γ (s))) = Br(s)(r(s), r(s)).

Wynika stąd w szczególności, że wartość krzywizny normalnej κn danej krzywej w danympunkcie zależy tylko od wektora stycznego tej krzywej. Mając dany wersor styczny v ∈ T xM możemy rozpatrzyć na przykład przekrój powierzchni płaszczyzną normalną w punkcie xwyznaczoną przez wektor v, tzn. płaszczyzną x + lin(v, N x). Krzywizna geodezyjna takiejkrzywej w punkcie x jest oczywiście zerowa, więc jej krzywizna zorientowana κ(s) jestrówna krzywiźnie normalnej. W związku z tym krzywizna ta nazywa się także krzywiznąprzekroju normalnego powierzchni M w punkcie x w kierunku v i jest oznaczana poprostu przez κn(v). Zakładamy tu, że płaszczyzna lin(v, N x) ma orientację wyznaczonąprzez bazę v, N x, zatem krzywizna zorientowana κ(s) jest dodatnia wtedy i tylko wtedy,gdy krzywa zakręca w stronę wektora N x i jest ujemna, jeśli zakręca w stronę przeciwną.

Rys. 4.5.

Udowodniliśmy zatem następującą własność II formy:

4.16. Stwierdzenie. Dla dowolnego unormowanego wektora v ∈ T xM wartość Bx(v, v) jest równa krzywiźnie przekroju normalnego κn(v) powierzchni M w punkcie x w kierunkuv, a także krzywiźnie normalnej κn(s) dowolnej gładkiej unormowanej krzywej parame-trycznej r : I −→ M na powierzchni M takiej, że r(s) = x oraz r(s) = v. 2

Okazuje się, że istnieje prosty wzór na krzywiznę dowolnej krzywej na powierzchni, a wszczególności dla przekroju dowolną płaszczyzną (niekoniecznie prostopadłą do powierzch-ni).

4.17. Twierdzenie (Meusniera). Niech r : I −→ M będzie unormowaną niezdegene-rowaną krzywą parametryczną na powierzchni M . Niech s ∈ I będzie dowolnym punktemi niech x = r(s). Niech v = r(s) ∈ T xM będzie wektorem stycznym, a w = r(s) ∈ T (R

3)wektorem przyspieszenia. Niech α oznacza kąt między wektorem w, a wersorem normalnymN x. Wtedy, jeśli α = π/2, to krzywizna κ krzywej r w punkcie s jest równa

κ =κn(v)cos α

.

Dowód. Przypomnijmy, że w, N x = Bx(v, v) = κn(v). Oznacza to, że

cos α =κn(v)

|w|, zatem κ =

|w

|=

κn(v)

cos α

. 2

4.18. Przykład. Obliczymy krzywiznę normalną i krzywiznę geodezyjną równoleżnika ipołudnika na sferze. Niech m = p(ϕ0, θ0), gdzie p(ϕ, θ) = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, r sin θ) jest parametryzacją sferyczną. Zacznijmy od równoleżnika.I sposób, rachunkowy. Wybieramy parametryzację unormowaną równoleżnika zawierające-go punkt m:

r(s) = p

s

r cos θ0, θ0

=

r cos θ0 cos

s

r cos θ0, r cos θ0 sin

s

r cos θ0, r sin θ0

,




przy czym niech s0 = rϕ0 cos θ0, wtedy m = r(s0). Wektor prędkości tej parametryzacji

r(s0) =− sin

s0r cos θ0

, coss0

r cos θ0, 0

= [− sin ϕ0, cos ϕ0, 0],

a wektor przyspieszenia

r(s0) =1

r cos θ0 − coss0

r cos θ0,−

sins0

r cos θ0, 0 =

1

r cos θ0[−

cos ϕ0,−

sin ϕ0, 0].

Przypomnijmy (por. 4.5.), że wektor normalny N m = [cos θ0 cos ϕ0, cos θ0 sin ϕ0, sin θ0].Zatem krzywizna normalna κn(s0) = r(s0), N m =

=1

r cos θ0[− cos ϕ0, − sin ϕ0, 0], [cos θ0 cos ϕ0, cos θ0 sin ϕ0, sin θ0] = −1

r,

a krzywizna geodezyjna

κg(s0) = r(s0), rg(s0) = r(s0), N m × r(s0) = det(r(s0), N m, r(s0)) =tg θ0

r.

II sposób, prawie bez rachunków. Równoleżnik przechodzący przez m jest okręgiem o pro-mieniu r cos θ0, więc wektor przyspieszenia w na nim ma długość 1/(r cos θ0) i jest skie-

rowany do środka tego okręgu. Wektor ten tworzy kąt π − θ0 z wersorem normalnym N ,zatem na mocy twierdzenia Meusniera κn = cos(π − θ0) · 1/(r cos θ0) = −1/r. Kąt między

wektorami w i rg jest równyπ

2− θ0, więc κg = w, rg = |w| cos

π

2− θ0

=

tg θ0r

.

Aby obliczyć krzywiznę normalną i krzywiznę geodezyjną południka w punkcie m, zauważ-my, że leży on w płaszczyźnie normalnej do sfery w m, zatem wektor przyspieszenia teżleży w tej płaszczyźnie, a więc jest równoległy do wersora normalnego. Wynika z tego,że krzywizna geodezyjna południka jest zerowa, a krzywizna normalna jest równa minuskrzywiźnie okręgu o promieniu r (dlatego minus, że wektor przyspieszenia jest skierowanydo środka, a wersor normalny przy parametryzacji sferycznej na zewnątrz sfery, por. 4.5.),

tzn. κn = −1/r. Zauważmy, że na sferze krzywizna normalna każdej krzywej jest równa−1/r bo, jak wiemy zależy tylko od wersora stycznego do krzywej, a sfera w kierunkukażdego wersora stycznego jest taka sama. Dokładniej, jeśli x i y są dowolnymi punktamisfery S , a v ∈ T xS, w ∈ T yS dowolnymi wersorami stycznymi, to istnieje taka izometriaf : R

3 −→ R

3, że f (S ) = S, f (x) = y, df x(v) = w.

Wektory własne operatora Weingartena Lx nazywają się kierunkami (lub wektorami)głównymi powierzchni M w punkcie x, a wartości własne nazywają się krzywiznamigłównymi. Z faktu, że operator Weingartena Lx jest samosprzężony, wynika, że istniejeortonormalna baza dodatnio zorientowana T xM złożona z wektorów własnych tego ope-ratora (GAL). Oznaczmy przez w1 i w2 wektory tej bazy (kierunki główne), a przez κ1 i

κ2 odpowiednie wartości własne (krzywizny główne). Krzywizny główne i kierunki głównewyznaczyć można w następujący sposób.

4.19. Stwierdzenie. Liczba κ jest krzywizną główną powierzchni M w punkcie x = p(u)wtedy i tylko wtedy, gdy det(M (Bx) − κM (Gx)) = 0, wektor w ∈ T xM o kolumnie współ-rzędnych M (w) w bazie p1(u), p2(u) jest kierunkiem głównym odpowiadającym krzywiźniegłównej κ wtedy i tylko wtedy, gdy (M (Bx) − κM (Gx)) · M (w) = 0.

Dowód. Liczba κ jest krzywizną główną w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzirówność det(M (Lx) − κI ) = 0, tezę otrzymujemy mnożąc obie jej strony przez det M (Gx)




i korzystając z równości M (Lx) = M (Gx)−1M (Bx). Analogicznie wyprowadzamy warunekna kierunki główne. 2

Dowolny wektor unormowany v ∈ T xM możemy zapisać w postaci v = cos ϕw1 + sin ϕw2,gdzie ϕ jest kątem między w1 a v. W terminach kąta ϕ łatwo możemy wyrazić krzywiznęprzekroju normalnego w kierunku v: κn(v) = Bx(v, v) = Bx(cos ϕw1 + sin ϕw2, cos ϕw1 +sin ϕw2) = κ1 cos2 ϕ + κ2 sin2 ϕ = κ2 + (κ1 − κ2)cos2 ϕ.

4.20. Wniosek. Wartości ekstremalne krzywizny przekroju normalnego κn są równekrzywiznom głównym i są przyjmowane w kierunkach głównych.

4.21. Definicja. Iloczyn krzywizn głównychK x = κ1κ2 = det M (Lx) = det M (Bx)/ det M (Gx)

w punkcie x powierzchni M nazywa się krzywizną Gaussa (tej powierzchni w punkciex), a średnia arytmetyczna krzywizn głównych

H x =1

2

(κ1 + κ2) =1

2

Tr(M (Lx)) =1

2

Tr(M (Gx)−1M (Bx))

nazywa się krzywizną średnią w tym punkcie.

Przy danej parametryzacji p wprowadzamy (podobnie, jak poprzednio dla pola wersorównormalnych, skrócone oznaczenia K (u) := K p(u) i H (u) := H p(u).

4.22. Uwaga. Jeśli chcemy obliczyć krzywiznę średnią i jednocześnie uniknąć oblicza-nia macierzy odwrotnej do macierzy I formy, możemy posłużyć się sposobem z dowoduostatniego stwierdzenia. Mianowicie, krzywizny główne są pierwiastkami równania kwa-dratowego det(M (Bx) − κM (Gx)) = 0. Korzystając z dwuliniowości wyznacznika możemyto równanie zapisać w postaci κ2 det M (Gx) − κ[det[B1G2]+det[G1B2]]+det M (Bx) = 0,gdzie [B1G2] oznacza macierz, której pierwsza kolumna jest pierwszą kolumną macierzyM (Bx), a druga jest drugą kolumną macierzy M (Gx), a [G1B2] – odwrotnie. Krzywiznęśrednią H (u) w punkcie x = p(u), czyli połowę sumy pierwiastków, można znaleźć ze wzoruViete’a:

H (u) =det[B1G2] + det[G1B2]

2det M (Gx)=

b11g22 + b22g11 − 2b12g122(g11g22 − g212)

,

gdzie dla uproszczenia zapisu przyjęliśmy gij := gij(u) oraz bij := bij(u).

4.23. Uwaga. Krzywizna Gaussa ma następującą interpretację geometryczną w termi-nach odwzorowania sferycznego Gaussa. Niech ∆ ⊂ U będzie małym otwartym podzbiorempłaszczyzny zawierającym ustalony punkt u0. Wtedy x = p(u0) ∈ D := p(∆) ⊂ M orazη

(x

) ∈η

(D

) ⊂S 2

. Załóżmy, żeL

x jest izomorfizmem. Wtedyη

◦p

jest parametryzacjąpodzbioru sfery, zatem pola zbioru D i zbioru η(D) są równe odpowiednio

µM (D) = ∆

| p1(u) × p2(u)|du,

µS 2(η(D)) = ∆

|N 1(u) × N 2(u)|du = ∆

| det M (L p(u)) p1(u) × p2(u)|du.

Ostatnia równość wynika z Uwagi 4.11. i z definicji macierzy przekształcenia liniowego(GAL). Przy kurczeniu się zbioru D do punktu p(u) otrzymujemy

limµS 2(η(D))

µM (D)=

|N 1(u) × N 2(u)|| p1(u) × p2(u)| = | det(M (Lx))| = |K x|.




Znak K x zależy od tego, czy przekształcenie Weingartena Lx zachowuje, czy zmienia orien-tację T xM . K x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Lx nie jest izomorfizmem.

4.24. Definicja. Punkt x na powierzchni M nazywa się1) punktem eliptycznym, jeśli krzywizny główne κ1(x) i κ2(x) są tych samych znaków(tzn. gdy K x > 0).2) punktem hiperbolicznym, jeśli κ1(x) i κ2(x) są różnych znaków (tzn. gdy K x < 0).3) punktem parabolicznym, jeśli przynajmniej jedna z krzywizn głównych κ1(x) i κ2(x) jest równa 0 (tzn. gdy K x = 0).

Oprócz tego wyróżniamy tzw. punkty ombiliczne, w których obie krzywizny główne sąrówne. Dzielą się one na punkty sferyczne (lub kołowe), jeśli te krzywizny są różne odzera i punkty spłaszczenia, w których obie krzywizny główne są równe zero.

Z powyższej definicji i z Wniosku 4.20. wynika następująca charakteryzacja typów punktówna powierzchni.

4.25. Wniosek. 1) Punkt jest eliptyczny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przekrojenormalne powierzchni w tym punkcie są zakrzywione w jedną stronę, powierzchnia w oto-czeniu tego punktu przypomina wyglądem pagórek lub dołek.2) Punkt jest hiperboliczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa przekroje normalnepowierzchni w tym punkcie zakrzywione w różne strony, powierzchnia w otoczeniu tegopunktu przypomina przełęcz.3) Pozostałe punkty są paraboliczne.

Rys. 4.6.

4.26. Uwaga. Ponieważ K p = det M (L p) = det M (B p)/ det M (G p), a det M (G p) > 0 wdowolnym punkcie p powierzchni, to punkt p jest eliptyczny, hiperboliczny lub parabolicznywtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio det M (B p) > 0, det M (B p) < 0, lub det M (B p) = 0.

Omówimy teraz kilka ważnych przykładów.

Wykresy funkcji

4.27. Przykład. Niech f : R

2

⊃U

−→R będzie funkcją gładką. Obliczymy krzywiznę

Gaussa oraz zbadamy typy punktów na powierzchni M będącej wykresem tej funkcji.

Rys. 4.7.

Naturalna parametryzacja powierzchni M ma postać p(x, y) = (x,y,f (x, y)). Obliczamywektory pochodne:

px(x, y) = [1, 0, f x] i py(x, y) = [0, 1, f y]




oraz pxx(x, y) = [0, 0, f xx], pxy(x, y) = [0, 0, f xy] i pyy(x, y) = [0, 0, f yy ]

(gdzie f x, f y, f xx, f xy, f yy oznaczają pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (x, y)). Ma-cierz M (G p(x,y)) pierwszej formy podstawowej w punkcie p(x, y) jest równa

M (G p(x,y)) = 1 + f 2

x f xf yf xf y 1 + f 2y .

Wersor normalny jest równy

N p(x,y) =px × py

| px × py| =1

f 2x + f 2y + 1[−f x, −f y, 1].

Macierz M (B p(x,y)) drugiej formy podstawowej w punkcie p(x, y) jest równa

M (B p(x,y)) =

f xx f xy

f xy f yy

1

f 2x + f 2y + 1.

Krzywizna Gaussa w punkcie p(x, y) jest równa

K (x, y) =det M (B p(x,y))det M (G p(x,y))

=f xxf yy − f 2xy

(f 2x + f 2y + 1)2.

Zatem punkt p(x, y) ∈ M jest eliptyczny, hiperboliczny lub paraboliczny w zależności odtego, czy wyznacznik macierzy drugich pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie (x, y) jest dodatni, ujemny, czy równy zero. 2

Powierzchnie określone równaniem

4.28. Przykład. Niech F : W −→ R

będzie gładką funkcją określoną na otwartymzbiorze W ⊂ R

3, M powierzchnią określoną równaniem F (x1, x2, x3) = 0. Przez F i, F ij,...będziemy oznaczali odpowiednie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu rozpa-trywanych funkcji wielu zmiennych. Załóżmy, że na otoczeniu W 0 ⊂ W pewnego punktupowierzchni M pochodna F 3(x1, x2, x3) = 0 i z twierdzenia o funkcjach uwikłanych M ∩W 0 jest wykresem funkcji x3 = f (x1, x2). Wyrazimy krzywiznę Gaussa M ∩W 0 przez pochodnecząstkowe funkcji F korzystając z poprzedniego przykładu.

Różniczkując równość F (x1, x2, f (x1, x2)) = 0 względem zmiennej xi otrzymujemy F i +

F 3f i = 0, a stąd f i = − F iF 3

dla i = 1, 2; pochodne cząstkowe tutaj i dalej są wzięte w

punktach (x1, x2, x3) przy x3 = f (x1, x2). Różniczkując powtórnie względem zmiennej x jdla j = 1, 2 dostajemy

F ij + F i3f j + (F 3 j + F 33f j)f i + F 3f ij = 0,

a uwzględniając powyższe wyrażenie pochodnych cząstkowych f przez pochodne cząstkoweF , otrzymujemy

F 23 F ij − F 3F i3F j − F 3F 3 jF i + F 33F jF i + F 33 f ij = 0.

Stądf ij = F −33 (F i3F jF 3 + F j3F iF 3 − F ijF 23 − F 33F iF j).




Na mocy Przykładu 4.27. krzywizna Gaussa K =f 11f 22 − f 212

(f 21 + f 22 + 1)2=

l

m, gdzie m = F 23 (F 21 +

F 22 + F 23 )2, a l = (2F 13F 1F 3 − F 11F 23 − F 33F 21 )(2F 23F 2F 3 − F 22F 23 − F 33F 22 ) − (F 13F 2F 3 +F 23F 1F 3−F 12F 23 −F 33F 1F 2)2 = F 23 (F 11F 33F 22 + F 22F 33F 21 + 2F 13F 23F 1F 2−F 213F 22 −F 223F 21 −2F 12F 33F 1F 2) + F 33 (−2F 13F 22F 1 − 2F 11F 23F 2 + 2F 13F 12F 2 + 2F 23F 12F 1) + F 43 (F 11F 22 − F 212),

bo składniki zawierające F 3 w potędze zerowej i pierwszej redukują się.Dla układu funkcji Φijk wprowadźmy oznaczenie sumy cyklicznej

S Φ123 := Φ123 + Φ231 + Φ312.

Zauważmy, że przy tym oznaczeniu

l = F 23 [S (F 11F 22 − F 212) − S (F 212F 23 ) + 2S (F 13F 23F 1F 2) − 2S (F 12F 33F 1F 2)].

Zatem krzywizna Gaussa

K =S [(F 11F 22 − F 212)F 23 + 2(F 13F 23 − F 12F 33)F 1F 2]

(F 21 + F 22 + F 23 )2.

Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że

l = −F 23 det

F 11 F 12 F 13 F 1F 21 F 22 F 23 F 2F 31 F 32 F 33 F 3F 1 F 2 F 3 0

.

Otrzymany wzór na krzywiznę Gaussa możemy zatem zapisać w postaci

K =

− det

F 11 F 12 F 13 F 1F 21 F 22 F 23 F 2F 31 F 32 F 33 F 3F 1 F 2 F 3 0

(F 21 + F 22 + F 23 )2 .

Ponieważ oba powyższe wzory są symetryczne względem wskaźników 1, 2, 3, więc są onesłuszne nie tylko dla punktów M ∩ W 0, ale na całej powierzchni M , pod warunkiem, żegradF nie zeruje się na M . Szczególnie prostą postać uzyskujemy, gdy pochodne mieszanesię zerują (tzn. F ij = 0 dla i = j):

K =F 11F 22F 23 + F 22F 33F 21 + F 33F 11F 22

(F 21 + F 22 + F 23 )2.

4.29. Uwaga. Powyższy wzór na krzywiznę Gaussa przypomina wzór z zadania 2.26.Jeden i drugi są przypadkami szczególnymi odpowiedniego wzoru dotyczącego hiperpo-

wierzchni w R n+1, por. początek tego rozdziału. Podobne uogólnienie posiada równieżwzór z zadania 4.24.

Powierzchnie obrotowe

4.30. Przykład. Niech C będzie krzywą płaską w R

3 o parametryzacji r(t) = (f (t), 0, h(t))określonej na otwartym przedziale I , przy czym f (t) > 0 dla t ∈ I . Niech M oznacza po-wierzchnię otrzymaną przez obrót krzywej C wokół osi z. Ustalony punkt krzywej C przy




obrotach wokół osi z zakreśla okrąg zwany równoleżnikiem. Obraz krzywej C przy usta-lonym obrocie wokół osi z nazwijmy południkiem.

Rys. 4.8.Niech J będzie przedziałem otwartym o długości 2π. Przekształcenie p : I ×J −→ M okre-ślone wzorem p(t, ϕ) = (f (t)cos ϕ, f (t)sin ϕ, h(t)) jest parametryzacją powierzchni M bez jednego południka, bo jest złożeniem parametryzacji I × J −→ (0, +∞) × J × R przepro-wadzającej (t, ϕ) na (f (t), ϕ , h(t)) = (r,ϕ,z) i dyfeomorfizmu współrzędnych walcowych(r,ϕ,z) na współrzędne kartezjańskie (x,y,z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z). Obliczamy wektory po-chodne w punkcie (t, ϕ): pt = [f (t)cos ϕ, f (t)sin ϕ, h(t)], pϕ = [−f (t)sin ϕ, f (t)cos ϕ, 0]oraz ptt = [f (t)cos ϕ, f (t)sin ϕ, h(t)], ptϕ = [−f (t)sin ϕ, f (t)cos ϕ, 0], pϕϕ = [−f (t)cos ϕ, −f (t)sin ϕ, 0]. Macierz M (G p(t,ϕ)) pierwszej formy podstawowej wpunkcie p(t, ϕ) jest równa

M (G p(t,ϕ)) = f (t)2 + h(t)2 00 f (t)2

.


N p(t,ϕ) =pt × pϕ

| pt × pϕ| =1

f (t)

f (t)2 + h(t)2· [−f (t)h(t)cos ϕ, −f (t)h(t)sin ϕ, f (t)f (t)] =

=1

f (t)2 + h(t)2· [−h(t)cos ϕ, −h(t)sin ϕ, f (t)].

Macierz M (B p(t,ϕ)) drugiej formy podstawowej w punkcie p(t, ϕ) jest równa

M (B p(t,ϕ)) = 1 f (t)2 + h(t)2

f

(t)h

(t) − f

(t)h

(t) 00 f (t)h(t) .

Krzywizna Gaussa w punkcie p(t, ϕ) jest równa

K (t, ϕ) =det M (B p(t,ϕ))det M (G p(t,ϕ))

=(f (t)h(t) − f (t)h(t))h(t)

f (t)(f (t)2 + h(t)2)2.

Zatem typ punktu p(t, ϕ) na powierzchni M zależy od znaku liczby (f (t)h(t)−f (t)h(t))h(t).W przypadku szczególnym, gdy f (t) = t dla t ∈ I , zależy to od znaku h(t)h(t), gdy zaśh(t) = t dla t ∈ I , zależy to od znaku −f (t). Równanie na krzywizny główne ma postać

f (t)h(t) − f (t)h(t)

f (t)2 + h(t)2 −κ(f (t)2 + h(t)2)

f (t)h(t)

f (t)2 + h(t)2 −κf (t)2 = 0.

Jego pierwiastkami są liczby

κ1 =f (t)h(t) − f (t)h(t)

(f (t)2 + h(t)2)3i κ2 =

h(t)

f (t)

f (t)2 + h(t)2.

Odpowiednimi wektorami własnymi są pt i pϕ. Można się o tym przekonać metodami alge-bry liniowej, my to sprawdzimy bez liczenia. Oznaczmy przez m punkt p(t, ϕ) i rozpatrzmypołudnik przechodzący przez m. Leży on w płaszczyźnie P zawierającej oś obrotu z. Za-uważmy, że do T (P ) należy wektor normalny N do M w dowolnym punkcie południka.




Zatem również pochodna wektora normalnego w kierunku wektora stycznego do południkanależy do T (P ), a wobec tego także i „minus” ta pochodna, czyli obraz wektora pt przyodwzorowaniu Weingartena Lm. Oznacza to, że wektor styczny do południka jest wekto-rem własnym odwzorowania Weingartena, jest więc wektorem głównym. Ponieważ wektorprostopadły do wektora głównego też jest wektorem głównym, również wektor styczny do

równoleżnika jest wektorem głównym.Zauważmy, że krzywizna główna κ1 jest krzywizną zorientowaną południka na płaszczyź-nie P zorientowanej przez bazę złożoną z wektora łączącego punkt osi z z punktem m iwektora kierunkowego e3 osi z. Krzywizna ta jest równa krzywiźnie zorientowanej krzywejC w punkcie przecięcia C z równoleżnikiem przechodzącym przez m, na zorientowanejpłaszczyźnie xz.

Rys. 4.9.

Sprawdzimy, czy κ2 spełnia tezę tw. Meusniera, gdy punkt m ∈ C . Oznaczmy przez β kąt zorientowany pomiędzy wektorem kierunkowym e1 osi x, a wektorem (f (t), 0, h(t))stycznym do krzywej C w punkcie m. Wtedy kąt α pomiędzy wersorem N m normalnymdo powierzchni, a wektorem przyspieszenia −f (t)e1 na równoleżniku jest równy π/2 − β ,zatem

κ2 =h(t)

f (t)

f (t)2 + h(t)2=

sin β

f (t)=

cos α

f (t).

Krzywizna równoleżnika równa się1

f (t)=

κ2

cos α.

Wynika stąd, że jeśli h(t) = 0, to środek krzywizny przekroju normalnego odpowiadającegokierunkowi stycznemu do równoleżnika leży na osi obrotu.

Powierzchnie prostokreślne

4.31. Definicja. Niech I ⊂ R będzie przedziałem otwartym, U ⊂ I × R będzie podzbio-rem otwartym i niech dane będą dwie gładkie funkcje r : I −→ R

3 oraz a : I −→ T (R

3)takie, że |r(u)| = 1 i |a(u)| = 1 dla wszystkich u ∈ I . Jeśli funkcja p : U −→ R

3 określo-

na wzorem p(u, v) = r(u) + v · a(u) jest parametryzacją powierzchni, to ta powierzchnianazywa się prostokreślna.

Rys. 4.10.

Mówiąc obrazowo, powierzchnia prostokreślna powstaje w wyniku ruchu linii prostej (tzw.tworzącej) w przestrzeni R

3. Parametr u opisuje położenie tworzącej (przechodzi onaprzez punkt r(u) i ma wektor kierunkowy a(u)), a parametr v opisuje położenie punktu




na tworzącej. Wśród powierzchni kwadratowych prostokreślne są hiperboloidy jednopow-łokowe i paraboloidy hiperboliczne oraz walce i stożki.

Zaczniemy od znalezienia macierzy I formy. Ponieważ pu(u, v) = r(u)+va(u), a pv(u, v) =a(u), więc

M (G p(u,v)) = 1 + 2vr

(u), a

(u)b + v2

a

(u), a

(u) r

(u), a(u)r(u), a(u) 1 .


N p(u,v) =pu × pv

|( pu × pv)| =r(u) × a(u) + v · a(u) × a(u)

det M (G),

przy czym pochodne cząstkowe p są brane w punkcie (u, v), a M (G) = M (G p(u,v)). Ponie-waż puu(u, v) = r(u) + va(u), puv(u, v) = a(u), a pvv(u, v) = 0, to macierz M (B p(u,v))drugiej formy podstawowej w punkcie p(u, v) jest równa

M (B p(u,v)) = puu(u, v), N p(u,v)

r(u) × a(u), a(u)

det M (G)r(u) × a(u), a(u) det M (G)

0

.

Wynika stąd, że

det M (B p(u,v)) = −r(u) × a(u), a(u)2det M (G p(u,v))

,

a więc

K (u, v) =det M (B p(u,v))det M (G p(u,v))

= −r(u) × a(u), a(u)2(det M (G p(u,v)))2

.

Widzimy zatem, że krzywizna Gaussa w każdym punkcie powierzchni prostokreślnej jestniedodatnia.

4.32. Definicja. Powierzchnia prostokreślna nazywa się powierzchnią rozwijalną, jeśli ma zerową krzywiznę Gaussa w każdym punkcie.

4.33. Uwaga. Powierzchnia prostokreślna o parametryzacji p(u, v) = r(u) + v · a(u) jest rozwijalna wtedy i tylko wtedy, gdy K (u, v) = 0 ⇐⇒ r(u) × a(u), a(u) = 0 ⇐⇒det(r(u), a(u), a(u)) = 0 dla każdego (u, v) ∈ U .

Postaramy się teraz opisać dokładniej powierzchnie rozwijalne. Niech więc M będzie taką

powierzchnią z parametryzacją p(u, v) = r(u) + v · a(u), spełniony jest zatem warunekdet(r(u), a(u), a(u)) = 0 dla (u, v) ∈ U . Jeśli a(u) = const, to M jest walcem. Jeślia(u) = 0, to wektory a(u) i a(u) są liniowo niezależne (ponieważ |a(u)| = 1, to a(u) ia(u) są prostopadłe), zatem wektor r(u) jest ich kombinacją liniową, tzn. istnieją takieskalary λ(u) i µ(u), że r(u) = λ(u)a(u) + µ(u)a(u). Rozpatrzmy teraz krzywą r opisanąwzorem r(u) = r(u) − µ(u)a(u). Następnie rozpatrzmy nową parametryzację powierzchniM , opisaną wzorem p(u, v) = r(u) + va(u). Krzywa r jest tak dobrana, że r(u) = r(u) −µ(u)a(u) − µ(u)a(u) = (λ(u) − µ(u))a(u). Jeśli r(u) = const, to M jest stożkiem. Jeśli




r(u) = 0, to r(u)||a(u), a to oznacza, że tworzące są prostymi stycznymi do krzywej r;M nazywa się wtedy powierzchnią stycznych krzywej r.

Rys. 4.11.Na odwrót, nietrudno jest sprawdzić, ze jeśli M jest walcem lub stożkiem lub powierzchniąstycznych do pewnej krzywej, to krzywizna Gaussa M jest stale równa zero.

4.34. Uwaga. Trzy główne typy: walce, stożki i powierzchnie stycznych nie są jedynymipowierzchniami rozwijalnymi. Łatwo jest na przykład utworzyć powierzchnię rozwijalnąsklejając stożek z walcem wzdłuż pewnej tworzącej. Nietrudno jest udowodnić, że jeśli napowierzchni rozwijalnej M określić zbiory W , S i P składające się z tych punktów, wotoczeniu których M jest odpowiednio walcem, stożkiem i powierzchnią stycznych, to W ,S i P są zbiorami otwartymi, a domknięcie ich sumy w M jest równe całej powierzchni M .

4.35. Uwaga. Często dziedzina U parametryzacji powierzchni rozwijalnej nie jest równaI × R , tzn. powierzchnia nie zawiera całych tworzących, a tylko ich podzbiory. Na przykładze stożka (w sensie teoriomnogościowej sumy prostych przechodzących przez dany punktoraz przecinających daną krzywą) trzeba na ogół usunąć co najmniej wierzchołek, abyotrzymać powierzchnię gładką. Podobnie z powierzchni utworzonej przez proste styczne dokrzywej należy zwykle usunąć przynajmniej punkty tej krzywej.

4.36. Twierdzenie. Powierzchnie rozwijalne są lokalnie izometryczne wewnętrznie zpłaszczyzną.

Dowód. Twierdzenie to wynika z faktu, który będzie podany później (zob. 5.30.), moż-

na je jednak łatwo udowodnić już teraz. Przypadek walca i stożka pozostawiamy jakozadanie, proponujemy użyć na płaszczyźnie odpowiednio współrzędnych kartezjańskich ibiegunowych. Tu zajmiemy się tylko powierzchnią stycznych do krzywej parametrycznejr : I −→ R

3. Ma ona parametryzację postaci p(u, v) = r(u) + va(u), gdzie a(u) = r(u),przy czym zakładamy, że r jest krzywą unormowaną niezdegenerowaną. Zachodzą zatemrówności r(u), a(u) = a(u), a(u) = 1, r(u), a(u) = 0 oraz a(u), a(u) = κ2(u).Otrzymujemy więc macierz I formy następującej postaci

M (G p(u,v)) =

1 + κ2(u)v2 1

1 1

.

Widać, że macierz ta zależy tylko od krzywizny krzywej r w punkcie u. Jeśli więc zastąpi-

my krzywą r przez krzywą płaską unormowaną r o tej samej funkcji krzywizny (możemyto zrobić dzięki Twierdzeniu 2.34.), to uzyskamy powierzchnię stycznych, która z jednejstrony będzie zawarta w płaszczyźnie, a z drugiej będzie miała tę samą macierz I formy,czyli będzie izometryczna wewnętrznie z pierwszą powierzchnią. Ściślej mówiąc, nową po-wierzchnię stycznych otrzymamy tylko lokalnie, ponieważ na ogół różne styczne do krzywejr będą się przecinać ze sobą (przekształcenie p określone wzorem p(u, v) = r(u) + vr(u) jest immersją, gdy v = 0, więc lokalnie (ale niekoniecznie globalnie) jest parametryzacją).2




Powierzchnie minimalne

Zajmiemy się teraz opisem zmian pola danej powierzchni przy zaburzeniu jej kształtu.

Niech p : U −→ M będzie parametryzacją powierzchni M ⊂ R

3 i niech W ⊂ U będzie

takim podzbiorem otwartym, że jego domknięcie W jest zbiorem zwartym i że W ⊂ U .Niech Z = p(W \ W ), a P = p(W ). Niech f : U −→ R będzie funkcją gładką zerującą siępoza W i niech M f,t będzie powierzchnią o parametryzacji p : U −→ R

3 danej wzorem p(u) = p(u) + tf (u)N (u).

Powierzchnia M f,t powstaje w wyniku zaburzenia kształtu powierzchni M w kierunkunormalnym. Sposób zaburzenia jest zadany poprzez funkcję f , a jego wielkość zależy odparametru t ∈ R . Ponieważ f zeruje się poza W , zaburzenie dotyczy tylko zbioru p(W ).

Zaczniemy od obliczenia pochodnych funkcji p. Skoro pi = pi + tf iN + tf N i, oraz wektory pi i N i są prostopadłe do N , to

gij = pi, p j = pi, p j + tf ( pi, N j + N i, p j) + t

2

(...) = gij − 2tf bij + t

2

(...).Zatem wyznacznik macierzy (gij) = ( pi, p j) można zapisać w postaci

det(gij) = det(gij)−2tf (g11b22+g22b11−2g12b12)+t2(...) = det(gij)−4tf H det(gij)+t2(...),

gdzie H oznacza krzywiznę średnią (por. 4.22.).

Zauważmy, że z tego wynika istnienie takiej liczby ε > 0, że jeśli |t| < ε, to det(gij) > 0na U , a więc w szczególności wektory pól p1 i p2 są liniowo niezależne w każdym punkcieU . Można udowodnić, że dla małych wartości parametru t funkcja p jest rzeczywiścieparametryzacją, a M f,t powierzchnią gładką.

Niech P f (t) oznacza pole powierzchni zbioru p(W )

⊂ M f,t (wtedy P f (0) jest równe polu

zbioru p(W ) ⊂ M ). Naszym celem będzie znalezienie warunku, który jest spełniony, jeślipowierzchnia M ma następującą własność minimalizacji pola: P f (t) P f (0) dla dowol-nej funkcji gładkiej f i małych t. Modelami powierzchni minimalizujących pole są błonkimydlane rozpięte na konturze z drutu Z , ponieważ takie błonki dzięki siłom przyciąganiapomiędzy cząsteczkami dążą do zmniejszenia swojej powierzchni.

Zauważmy, że jeśli powierzchnia M minimalizuje pole, to dla dowolnej funkcji f zeruje siępochodna P f (0).

PonieważP f (t) = W det(gij)(u, t)du,

to

P f (0) = W

∂

det(gij)

∂t(u, 0)du =

W

[det(gij)]t(u, 0)

2

det(gij)(u, 0)du =

= W

−4f det(gij)H

2

det(gij)du = −

W

2f H

det(gij)du.

Pochodna ta jest równa zero dla każdej funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy krzywiznaśrednia H jest stale równa zero na W . Ten wynik uzasadnia następującą definicję.




4.37. Definicja. Powierzchnię M ⊂ R

3 nazywamy powierzchnią minimalną, jeśli jejkrzywizna średnia jest wszędzie równa zero.

Otrzymaliśmy zatem następujące

4.38. Twierdzenie. Jeśli powierzchnia P

⊂R

3 minimalizuje pole wśród powierzchni

S ⊂ R 3, dla których S \ S = Z , to P jest powierzchnią minimalną. 2

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej z ze-rowania pochodnej w punkcie nie wynika wcale, że funkcja ma w tym punkcie minimum.

4.39. Przykład. Helikoida (powierzchnia śrubowa) o parametryzacji danej wzorem p(u, v) =(u cos v, u sin v,hv) jest powierzchnią minimalną. Sprawdzenie tego i dalsze rachunki pozo-stawiamy Czytelnikowi jako zadanie. Pierwiastek z wyznacznika macierzy I formy (którycałkujkemy licząc pole) jest równy

√ h2 + u2. Przy zaburzeniu danym przez funkcję stałą

f = 1 i dowolny parametr t, otrzymujemy funkcję podcałkową√

h2

+ u2 1 −

t2h2

(h2 + u2)2 ,widać więc, że dla t bliskich zeru pole kawałka zaburzonej powierzchni jest mniejsze odpola odpowiedniego kawałka danej powierzchni. Z tego jeszcze nie wynika, że twierdzenieodwrotne nie jest prawdziwe, bo funkcja stała równa 1 wyznacza zaburzenie, które nie jestskupione na żadnym podzbiorze zwartym.

W rzeczywistości jednak odpowiednio duży kawałek helikoidy jest przykładem na to, żepole powierzchni minimalnej może się zmniejszyć przy zaburzeniu danym przez funkcjęzerującą się na brzegu. Oznacza to, że nie uda się utrzymać błonki mydlanej o kształcieodpowiednio dużego kawałka helikoidy (będzie ona niestabilna). Z drugiej strony nato-

miast, powierzchnie minimalne rzeczywiście są w następującym sensie „minimalne” lo-kalnie. Każdy punkt powierzchni minimalnej ma takie otoczenie, że każde zaburzenie tejpowierzchni przy pomocy funkcji gładkiej zerującej się poza tym otoczeniem ma większepole niż wyjściowa powierzchnia. Czytelnika zainteresowanego tymi zagadnieniami odsy-łamy do literatury specjalistycznej.

W mechanice znany jest następujący fakt, który podamy bez dowodu.

4.40. Prawo Poissona. Granica między dwoma ośrodkami znajdującymi się w równo-wadze jest powierzchnią o stałej krzywiźnie średniej, proporcjonalnej do różnicy ciśnień.2

4.41. Przykład. Bańka mydlana, rozdziela dwa środowiska o różnych ciśnieniach (i jestsferą, która rzeczywiście ma stałą krzywiznę średnią). Błonka mydlana rozpięta na pętli zdrutu, rozdziela dwa środowiska o jednakowych ciśnieniach i ma zerową krzywiznę średnią.

Powracamy do badania dowolnych powierzchni.

Symbole Christoffela, theorema egregium




W dalszym ciągu będziemy zakładać, że dana jest powierzchnia M z parametryzacją p : U −→ P ⊂ R

3. W każdym punkcie p(u) tej powierzchni wektory p1(u), p2(u) orazN (u) tworzą bazę przestrzeni T ( R

3), zatem pochodne cząstkowe funkcji p1, p2 oraz N pozmiennych u1 i u2 w tym punkcie można zapisać jako kombinacje liniowe wektorów tejbazy.

Niech bi j(u) oznacza macierz przekształcenia Weingartena w punkcie p(u). Z definicji

przekształcenia Weingartena (por. 4.9. oraz 4.11.) wynika równość funkcji−N j =

i

bi j pi.

Aby zapisać pij, zauważmy, że z równości pij, N = bij wynika, że w tym zapisie współ-czynnik przy wektorze normalnym N jest równy bij . Pozostałe współczynniki oznacza siętradycyjnie symbolami Γk

ij, mamy więc wzór

pij =k

Γkij pk + bijN.

W literaturze pierwsza z tych zależności nosi nazwę wzorów Weingartena, druga —

wzorów Gaussa. Funkcje gładkie Γkij nazywają się współczynnikami (lub symbola-mi) Christoffela drugiego rodzaju. (Współczynniki Christoffela pierwszego rodzaju sąokreślone jako Γijk = pij, pk, nie będziemy ich jednak używać.) Z równości pochodnychmieszanych pij = p ji wynika równość Γk

ij = Γk ji. Aby wyznaczyć współczynniki Christoffe-

la drugiego rodzaju, zróżniczkujmy po ui równość p j, pr = g jr . Uwzględniając symetrięotrzymujemy

pij, pr + p j, pri =∂g jr

∂ui

.

Cyklicznie permutując indeksy otrzymujemy

p jr , pi

+

pr, pij

=

∂gri

∂u j

pri, p j + pi, p jr =∂gij

∂ur

.

Dodając stronami pierwsze dwie równości i odejmując trzecią otrzymujemy

2 pij, pr =∂g jr

∂ui+

∂gri

∂u j− ∂gij

∂ur.

Wstawiając pij =

k Γkij pk + bijN otrzymujemy równość

12

∂g jr

∂ui+

∂gri

∂u j− ∂gij

∂ur

=

2k=1

Γkijgkr.

Tę równość można w następujący sposób zinterpretować macierzowo. Dla ustalonych in-deksów i, j iloczyn wektora [Γ1

ij, Γ2ij] przez macierz (gkr) jest równy wektorowi, którego

dwie współrzędne są równe prawej stronie ostatniej równości dla r równych kolejno 1 i 2.Mnożąc tę równość macierzową z prawej strony przez macierz (grl) odwrotną do macierzypierwszej formy otrzymujemy wzór na symbole Christoffela:

4.42. Twierdzenie. Symbole Christoffela drugiego rodzaju wyrażają się poprzez współ-czynniki pierwszej formy wzorem

Γkij =

12

2r=1

gkr

∂g jr

∂ui+

∂gir

∂u j

− ∂gij

∂ur

. 2




4.43. Wniosek. Symbole Christoffela drugiego rodzaju są niezmiennikami izometrii we-wnętrznych.

Zajmiemy się teraz pochodnymi cząstkowymi trzeciego rzędu parametryzacji powierzchni.Wyrazimy je jako kombinacje liniowe wektorów bazy p1, p2, N . Mówiąc ściślej, zrobimy totylko dla pochodnych p112 i p211, a następnie otrzymane wyrażenia przyrównamy do siebie,korzystając z równości mieszanych pochodnych cząstkowych funkcji gładkiej. Tam, gdzieto nie prowadzi do nieporozumień, pochodną cząstkową po zmiennej ui będziemy oznaczaćprzy pomocy indeksu i. Przypomnijmy jeszcze, że −N j =

i bi

j pi, (bi j są wyrazami macierzy

odwzorowania Weingartena) oraz że pij =

k Γkij pk + bijN . Mamy więc:

p112 = (k

Γk11 pk + b11N )2 =

k

∂ Γk11

∂u2 pk +

k

Γk11 pk2 +

∂b11∂u2

N + b11N 2 =

=k

∂ Γk11

∂u2 pk +

k,r

Γk11Γr

k2 pr +k

Γk11bk2N +

∂b11∂u2

N − r

b11br2 pr.

Analogicznie p211 = (

k

Γk21 pk + b21N )1 =

k

∂ Γk21

∂u1 pk +

k

Γk21 pk1 +

∂b21∂u1

N + b21N 1 =

=k

∂ Γk21

∂u1

pk +k,r

Γk21Γr

k1 pr +k

Γk21bk1N +

∂b21∂u1

N − r

b21br1 pr.

Jak wspomnieliśmy wyżej, te pochodne są równe, w szczególności równe są ich współczyn-niki przy wektorze p2:

∂ Γ211

∂u2+

kΓk11Γ2

k2 − b11b22 =∂ Γ2

21

∂u1+

kΓk21Γ2

k1 − b21b21.

Zatem∂ Γ2

11

∂u2− ∂ Γ2

21

∂u1+

k

(Γk11Γ2

k2 − Γk21Γ2

k1) = b11b22 − b21b21.

Korzystając z równości macierzy M (Bx) = M (Gx)M (Lx) (por. 4.15.), możemy przekształ-cić prawą stronę:

b11b22 − b21b21 = (g11b11 + g12b21)b22 − (g11b12 + g12b22)b21 = g11(b11b22 − b12b21) = g11 det L = g11K.

Prowadzi to do następującego wzoru na krzywiznę Gaussa. Wzór ten co prawda jest dośćskomplikowany, ale ma bardzo duże znaczenie, bo wyraża krzywiznę Gaussa w terminachwielkości zależących wyłącznie od metryki riemannowskiej. Gauss był tak zachwycony

otrzymanym wynikiem, że sam nadał mu nazwę theorema egregium (twierdzenie chwaleb-ne).

4.44. Twierdzenie (Theorema egregium Gaussa). Krzywizna Gaussa wyraża sięwzorem

K =1

g11

∂ Γ2

11

∂u2

− ∂ Γ221

∂u1+

k

(Γk11Γ

2k2 − Γk

21Γ2k1)

,

jest więc niezmiennikiem izometrii wewnętrznych. 2




4.45. Wniosek. Można wykazać, że prawa strona nie zmienia swojej wartości przy zmia-nie współrzędnych. Zatem przy pomocy powyższego wzoru można określić krzywiznę Gaus-sa dla dowolnej abstrakcyjnej powierzchni riemannowskiej (w której metryka nie pochodziod zanurzenia w przestrzeń euklidesową). Na przykład krzywizna Gaussa torusa w R

4 (por.3.3. i 3.17.) jest stała i równa zero ponieważ ten torus jest rozmaitością płaską. Zatem torus

S 1

× S 1

⊂ R

2

× R

2

=R

4

nie jest wewnętrznie izometryczny z żadnym torusem obrotowymT ⊂ R

3 z metryką riemannowską pochodzącą z R

3.

4.46. Uwaga. Z porównania pochodnych p122 = p221 i N 12 = N 21 wynikają następnewzory, nazywane w literaturze wzorami Gaussa, Codazziego i Mainardiego. Jak się oka-zuje, stanowią one jedyną zależność między współczynnikami pierwszej i drugiej formyparametryzacji powierzchni:

4.47. Twierdzenie. Niech U ⊂ R

2 będzie podzbiorem otwartym, u0 ∈ U dowolnympunktem i niech dane będą takie dwie funkcje gładkie (gij) i (bij) określone na U , którychwartościami są 2 × 2 macierze symetryczne, że:

a) macierze (gij(u)) są dodatnio określone orazb) spełnione są równania Gaussa, Codazziego i Mainardiego.Wtedy funkcje (gij) i (bij) są odpowiednio macierzami I i II formy pewnej parametryzacjipowierzchni w R

3 określonej w pewnym otoczeniu punktu u0. Odpowiadająca tym for-mom powierzchnia jest przy tym wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izometriiprzestrzeni R

3. 2

Zadania

4.1. Niech M ⊂ R

3 oznacza powierzchnię z parameryzacją p(u, v) = (u cos v, u sin v, v +

u2

/4) dla u > 0, v ∈ (0, 2π).a) Oblicz krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią w dowolnym punkcie M .b) Znajdź punkty paraboliczne, eliptyczne i hiperboliczne na M .c) Znajdź punkty spłaszczenia i punkty sferyczne na M .

4.2. Oblicz krzywiznę Gaussa elipsoidy {(x,y,z) ∈ R

3 : x2/2+ y2/3+ z2/6 = 1} w punkcie(1, 1, 1).

4.3. Udowodnij, że jeśli spójna powierzchnia w R

3 składa się z punktów sferycznych, toa) krzywizna główna κ jest stała,b) a jeśli κ > 0, to powierzchnia ta leży na pewnej sferze o promieniu κ−1.

4.4. Zbadaj typy punktów (w szczególności opisz punkty sferyczne i punkty spłaszczenia)powierzchni będącej wykresem funkcjia) f (x, y) = x4 + y4 − x2y2,b) g(x, y) = xy2 − x2,c) h(x, y) = x3 − 3xy2 (małpie siodło).

Rys. 4.12.




4.5. Powierzchnia M powstała przez obrót wokół osi z krzywej z = x4 − 6x2 + 5, y = 0.a) Oblicz krzywiznę Gaussa w dowolnym punkcie powierzchni M .b) Oblicz krzywizny przekrojów normalnych w kierunkach południka i równoleżnika wpunkcie (1,0,0).c) Zbadaj typy punktów na M .

4.6. Krzywa parametryczna leży na powierzchni i dwie spośród funkcji: krzywizny, krzy-wizny geodezyjnej i krzywizny normalnej są stałe. Wykaż, że trzecia krzywizna też jestfunkcją stałą.

4.7. Wykaż, że jeśli M ⊂ R

3 jest powierzchnią gładką, styczną do płaszczyzny H wpunktach pewnej krzywej gładkiej, to każdy z tych punktów jest punktem parabolicznymna M .

4.8. Dany jest stożek obrotowy otrzymany z kąta prostego na płaszczyźnie przez sklejenie jego ramion. Oblicz krzywiznę geodezyjną okręgu o promieniu r leżącego na tym stożku (zwybraną orientacją).

4.9. Niech r : I −→ M będzie unormowaną krzywą na powierzchni M ⊂ R

3. Zapisz po-chodne wersorów bazy r(s), rg(s), N (s) = N r(s) jako kombinacje wektorów tej bazy. Wy-każ, że macierz współczynników jest antysymetryczna, występują w niej liczby κg(s), κn(s)i trzecia liczba będąca współczynnikiem przy N (s) w przedstawieniu rg(s), zwana skrę-ceniem geodezyjnym i oznaczana τ g(s).

4.10. Oblicz pole obrazu hiperboloidy jednopowłokowej H = {(x,y,z) : x2 + y2 − z2 =1} ⊂ R

3 przy przekształceniu sferycznym Gaussa.

4.11. Niech r : I −→ M będzie unormowaną krzywą na sferze o promieniu R w R

3 z

polem normalnym skierowanym na zewnątrz.a) Wykaż, że κn(s) = const i oblicz tę stałą wartość.b) Wykaż, że skręcenie geodezyjne (por. zadanie 4.9) τ g(s) = 0 dla s ∈ I .c) Wykaż, że jeśli κg(s) = const, to obraz r jest zawarty w pewnym okręgu.

4.12. Oblicz krzywizny główne paraboloidy eliptycznej z = x2 + ay2 w punkcie (0, 0, 0) wzależności od wartości rzeczywistego parametru a > 0.

4.13. Wykaż, że krzywizny główne powierzchni M w punkcie x ∈ M spełniają równaniecharakterystyczne κ2 − 2H xκ + K x = 0.

4.14. Regularna krzywa parametryczna na powierzchni nazywa się linią krzywiznową,

jeśli w każdym punkcie tej krzywej jej wektor styczny jest wektorem głównym powierzch-ni. Wykaż, że na powierzchni przez każdy punkt x, który nie jest punktem ombilicz-nym przechodzą dwie linie krzywiznowe r i r, które się przecinają prostopadle w punkciex = r(t) = r(t), a ich wektory styczne r(t) i r(t) spełniają równości Gx(r(t), r(t)) =0, Bx(r(t), r(t)) = 0.

4.15. Niech p : U −→ M będzie parametryzacją powierzchni M ⊂ R

3. Wykaż, że jeślimacierze I i II formy podstawowej są diagonalne, to krzywe współrzędne u1 → p(u1, u2) iu2 → p(u1, u2) są liniami krzywiznowymi. Czy stwierdzenie odwrotne jest prawdziwe?




4.16. Opisz linie krzywiznowe naa) dowolnej powierzchni obrotowej,b) dowolnym stożku (niekoniecznie obrotowym) bez punktów spłaszczenia,c) paraboloidzie hiperbolicznej o parametryzacji p(u, v) = (u + v, u − v, 2uv).

4.17. Powierzchnie M i M w R

3 przecinają się wzdłuż gładkiej krzywej C pod stałymkątem (tzn. w każdym punkcie krzywej C kąt między wersorami normalnymi do M i doM jest taki sam). Wykaż, że jeśli C jest linią krzywiznową na M , to także jest liniąkrzywiznową na M .

4.18. Niech Φ : U −→ V będzie dyfeomorfizmem zbiorów otwartych w R

3. Oznaczmy

Φi(u) =∂ Φ∂ui

(u) dla u = (u1, u2, u3) ∈ U i i = 1, 2, 3. Załóżmy, że krzywe współrzędne

ui → Φ(u) przecinają się ortogonalnie, czyli iloczyny skalarne Φi, Φ j = 0 dla i = j.Wykaż, że na obrazach części wspólnych U z płaszczyznami równoległymi do płaszczyznwspółrzędnych przy przekształceniu Φ, krzywe współrzędne są liniami krzywiznowymi.Np. przy ustalonym u

3przekształcenie p(u

1, u

2) = Φ(u

1, u

2, u

3) jest parametryzacją po-

wierzchni M , a krzywe u1 → p(u1, u2) i u2 → p(u1, u2) są liniami krzywiznowymi. (Wsk.zróżniczkuj równości Φi, Φ j = 0 i przez rozwiązanie układu trzech równań liniowych wy-

każ, że przy oznaczeniu Φ jk =∂ 2Φ

∂uk∂u jzachodzi równość Φ12, Φ3 = 0, zatem macierze I i

II formy podstawowej parametryzacji p są diagonalne).

4.19. Regularna krzywa parametryczna r : I −→ M na powierzchni M nazywa się li-nią asymptotyczną, jeśli jej wektor styczny r(t) spełnia dla każdego t ∈ I warunekBr(t)(r(t), r(t)) = 0. Wykaż, żea) przez każdy punkt hiperboliczny na powierzchni przechodzą dwie linie asymptotyczne

o nierównoległych wektorach stycznych,b) krzywizna normalna powierzchni M w kierunku linii asymptotycznej jest zerowa,c) płaszczyzna ściśle styczna niezdegenerowanej linii asymptotycznej w punkcie r(t) jestrówna T r(t)M .

4.20. Wykaż, że na powierzchni o ujemnej krzywiźnie Gaussa linie asymptotyczne dwóchrodzin są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy krzywizna średnia jest równa zero.

4.21. Znajdź linie krzywiznowe i linie asymptotyczne na powierzchni o parametryzacji p(u, v) = (u cos v, u sin v, 6 ln u).

4.22. Znajdź linie asymptotyczne na powierzchni opisanej równaniem postaci z = f (x)−f (y). Dobierz funkcję f tak, żeby dwie rodziny linii asymptotycznych były wzajemnie

prostopadłe.

4.23. Sprawdź, żea) dla powierzchni w R

3 opisanej równaniem f (x1)+g(x2)+h(x3) = 0, gdzie lewa strona jest

submersją na danym zbiorze w R

3, krzywizna Gaussa K =f gh2 + ghf 2 + hf g2

(f 2 + g2 + h2)2;

b) dla powierzchni w R

3 opisanej równaniem c1xk1 + c2xk

2 + c3xk3 = 1, gdzie k oraz ci są

liczbami rzeczywistymi, a lewa strona jest submersją na danym zbiorze w R

3, krzywizna




Gaussa K (x1, x2, x3) =(k − 1)2c1c2c3xk−2

1 xk−22 xk−2

3

(c21x2k−21 + c22x2k−2

2 + c23x2k−23 )2

;

c) dla elipsoidyx21

a21+

x22

a22+

x23

a23= 1, hiperboloidy jednopowłokowej

x21

a21+

x22

a22− x2

3

a23= 1,

oraz hiperboloidy dwupowłokowejx21

a21+

x22

a22 −x23

a23=

−1 krzywizna Gaussa K (x

1, x

2, x

3) =

ε

a21a22a23

x21

a41+

x22

a42+

x23

a43

2 , gdzie ε = 1 dla elipsoidy i hiperboloidy dwupowłokowej oraz

ε = −1 dla hiperboloidy jednopowłokowej.

4.24. Niech M oznacza powierzchnię opisaną w R

3 równaniem F (x1, x2, x3) = 0, zorien-towaną przy pomocy przy pomocy gradientu funkcji F , por. Przykład 4.4. Sprawdź, że

krzywizna średnia powierzchni M wyraża się wzorem H =3

i,k=1(F iF kF ik − F 2i F kk)

2

F 21 + F 22 + F 23

3 .

4.25. Sprawdź, że zbiór rozwiązań równania xey + yez + zex = 0 w R

3 jest powierzchniągładką i oblicz jej krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią w punkcie (0, 0, 0).

4.26. Wykaż poprzez bezpośrednie wyliczenie, że dowolny walec i stożek z usuniętymwierzchołkiem są powierzchniami lokalnie izometrycznymi wewnętrznie z płaszczyzną.

4.27. Wykaż, że spójna powierzchnia prostokreślna M jest rozwijalna wtedy i tylko wtedy,gdy jej pole wersorów normalnych jest lokalnie stałe wzdłuż tworzących.

4.28. Niech I = (0; 1). Powierzchnia prostokreślna M jest utworzona przez proste binor-malne unormowanej krzywej r : I −→ R

3 o niezerowej krzywiźnie κ : I −→ R i skręceniu

τ : I −→ R

.a) Oblicz krzywiznę Gaussa powierzchni M w dowolnym punkcie.b) Podzbiór A ⊂ M składa się z tych punktów leżących na M , których odległość wzdłużtworzących od krzywej r(I ) jest mniejsza od 1. Przy założeniu, że τ = const oblicz polepowierzchni zbioru A.

4.29. Wykaż, że jeśli prosta L jest tworzącą powierzchni prostokreślnej M o niezerowejkrzywiźnie Gaussa, to graniczne wartości wersora normalnego na obu krańcach prostej Ltworzą kąt półpełny (twierdzenie Chasles’a).

4.30. Wykaż, że powierzchnia opisana równaniem z = f (x, y) jest minimalna wtedy i tylko

wtedy, gdy (1 + f 2

x)f yy − 2f xf yf xy + (1 + f 2

y )f xx = 0.4.31. Wykaż, że są powierzchnami minimalnymi:a) katenoida, czyli powierzchnia obrotowa powstała przez obrót linii łańcuchowej x =ach

z

a, y = 0, gdzie a > 0 jest dowolnym parametrem,

b) powierzchnia Scherka, opisana równaniem ez =cos y

cos x(por. zadania 4.20. i 4.22.).

4.32. Niech a będzie stałą dodatnią, M powierzchnią w R

3, A : R

3 −→ R

3 podobieństwemo skali a, a M = A(M ). Wyraź funkcję krzywizny Gaussa K : M −→ R przez funkcję



Pochodna kowariantna, geodezyjne 59

krzywizny Gaussa K : M −→ R . Podobnie wyraź krzywiznę średnią. Jak otrzymanewyrażenia zależą od tego, czy A zmienia orientację, czy nie?

4.33. Znajdź krzywiznę Gaussa powierzchni o tensorze metrycznym (we współrzędnychu, v):a) g11 = g22 = λ(u, v), g12 = 0,b) g11 = g22 = 1, g12 = cos ω(u, v),c) g11 = g22 = (u2 + v2 + 1)−2, g12 = 0,d) g11 = g22 = v−2, g12 = 0, jeśli v > 0 (płaszczyzna hiperboliczna).

4.34. Powierzchnia ma metryką riemannowską o macierzy G(u,v) =

f (u, v) 0

0 f (u, v)

we

współrzędnych u, v. Wyraź jej krzywiznę Gaussa powierzchni poprzez laplasjan logarytmufunkcji f . (Laplasjan, to operator ∆ = ∂ 2/∂u2 + ∂ 2/∂v2).

5. Pochodna kowariantna, geodezyjneNiech r : I −→ M będzie gładką krzywą parametryczną na powierzchni M ⊂ R

3.

5.1. Definicja. Polem stycznym do M wzdłuż krzywej r nazywa się taka funkcjagładka V : I −→ T ( R

3), że dla każdego t ∈ I wektor V (t) jest elementem przestrzeniT r(t)M .

Naturalnym przykładem pola stycznego wzdłuż krzywej parametrycznej r jest pochodnar, czyli pole prędkości krzywej r.

Niech V : I

−→T (R

3) będzie polem stycznym do M wzdłuż krzywej parametrycznej

r : I −→ M . Pole to jest funkcją o wartościach w R 3 i można tę funkcję zróżniczkować.Pochodna

dV

dt(t) = lim

h−→0

V (t + h) − V (t)h

w dowolnym punkcie t ∈ I jest wektorem przestrzeni T (R

3) = T r(t)M ⊕ linN r(t). Oznaczmyprzez τ r(t),M : T ( R

3) −→ T r(t)M rzut na płaszczyznę styczną do M w kierunku wektoranormalnego N r(t).

5.2. Definicja. Pochodną kowariantną pola V nazywa się pole wektorowe DV dt

stycznedo M wzdłuż r, określone jako składowa styczna do M zwykłej pochodnej dV

dt, tzn.

DV

dt (t) = τ r(t),M dV

dt (t) ,

co krócej zapisujemyDV

dt= τ M

dV

dt

.

5.3. Twierdzenie. Dla dowolnych pól wektorowych V i W wzdłuż krzywej r : I −→ M i dowolnej funkcji gładkiej f : I −→ R zachodzą równości

D(V + W )dt

=DV

dt+

DW

dt,




D(f V )dt

=df

dtV + f

DV

dt,

dV, W dt

=

DV

dt, W

+

V,

DW

dt

.

Dowód. Teza wynika z własności zwykłej pochodnej i własności rzutu. 25.4. Uwaga. Niech p : U −→ M ⊂ R

3 będzie parametryzacją powierzchni M , γ =(γ 1, γ 2) : I −→ U krzywą parametryczną, a r = p ◦ γ . Pole V można jednoznacznieprzedstawić w postaci V =

2 j=1 V j p j ◦ γ , gdzie V j są pewnymi funkcjami gładkimi na I .

Wtedy

DV

dt=

j

V j p j ◦ γ + V jτ M

i

γ i pij ◦ γ

=

k

V k +i,j

γ iV jΓkij ◦ γ

pk ◦ γ.

5.5. Definicja. Pole V nazywa się polem równoległym wzdłuż krzywej r : I −→ M

wtedy i tylko wtedy, gdyDV

dt = 0.

5.6. Stwierdzenie. Dla dowolnego punktu t0 ∈ I i wektora v ∈ T r(t0)M istnieje dokład-nie jedno pole wektorowe V równoległe wzdłuż r i spełniające warunek V (t0) = v.

Dowód. Układ równań różniczkowych liniowych zwyczajnych V k+

i,j γ iV jΓkij◦γ = 0 dla

k = 1, 2 o dwóch funkcjach niewiadomych V 1, V 2 ma dokładnie jedno rozwiązanie gładkieokreślone na całym przedziale I spełniające warunki początkowe V k(t0) = vk, gdzie vk sąwspółczynnikami wektora v w bazie p1(γ (t0)), p2(γ (t0)), tzn. v =

k vk pk ◦ γ (t0). 2

5.7. Definicja. Niech krzywa gładka r : I −→ M będzie określona na przedziale I =

[t0, t1]. Dla dowolnego wektora v ∈ T r(t0)M niech v oznacza jedyne pole równoległe wzdłuż rspełniające warunek v(t0) = v. Przekształcenie P : T r(t0)M −→ T r(t1)M określone wzoremP (v) = v(t1) nazywa się przeniesieniem równoległym wzdłuż r.

5.8. Stwierdzenie. Przeniesienie równoległe wzdłuż r jest izomorfizmem euklidesowym,tzn. jest izomorfizmem liniowym i zachowuje iloczyn skalarny (a więc także kąty i długościwektorów).

Dowód. Niech v, w ∈ T r(t0)M będą dowolnymi wektorami. Niech V, W będą takimipolami równoległymi wzdłuż r, że V (t0) = v i W (t0) = w. Wtedy wzdłuż r mamy:dV, W

dt=

DV

dt, W

+

V,

DW

dt = 0. Zatem funkcja V, W jest stała, a więc w szcze-

gólności v, w = V (t0), W (t0) = V (t1), W (t1) = P (v), P (w). Podobnie z 5.3. wynika,że P jest liniowe. 2

5.9. Uwaga. O polu równoległym wzdłuż r i o przeniesieniu równoległym można mówićtakże w przypadku, gdy krzywa r jest ciągła i kawałkami gładka.

5.10. Definicja. Gładka krzywa parametryczna r : I −→ M na powierzchni M nazywa

się geodezyjną, jeśli jej pole prędkości r jest równoległe wzdłuż r, tzn. gdyDr

dt= 0.




5.11. Stwierdzenie. Dla gładkiej krzywej parametrycznej r : I −→ M na powierzchniM następujące warunki są równoważne:

a) krzywa r jest geodezyjną,

b) r(t)

⊥T r(t)M dla t

∈I (czyli wektor przyspieszenia jest prostopadły do powierzchni).

2

5.12. Wniosek. Długość wektora prędkości na geodezyjnej jest stała.

Dowód. Wynika ze Stwierdzenia 5.8. 2

5.13. Stwierdzenie. Gładka unormowana krzywa parametryczna r : I −→ M na po-wierzchni M jest geodezyjną wtedy i tylko wtedy, gdy jej krzywizna geodezyjna κg jeststale zerowa. 2

Interpretacja fizyczna geodezyjnej jest następująca. Jeżeli na punkt materialny poruszającysię po powierzchni działają tylko „siły więzów” prostopadłe do tej powierzchni i utrzymu-

jące punkt na niej, to punkt porusza się po geodezyjnej, i na odwrót. Geodezyjne są więc„najprostszymi” krzywymi na powierzchni.

Opis geodezyjnych we współrzędnych jest następujący. Niech, jak poprzednio p : U −→M ⊂ R

3 będzie parametryzacją powierzchni M , γ = (γ 1, γ 2) : I −→ U krzywą parame-tryczną, r = p ◦ γ oraz niech rg(t) = N r(t) × r(t). Wtedy r =

γ j p j ◦ γ , zatem z 5.4.

otrzymujemyDr

dt=

k

γ k +i,j

γ iγ jΓkij ◦ γ

pk ◦ γ.

Wynika stąd następujące

5.14. Stwierdzenie. Krzywa parametryczna r = p◦γ : I −→ M na sparametryzowanejpowierzchni M jest geodezyjną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równania

γ k +i,j

γ iγ jΓkij ◦ γ = 0 dla k = 1, 2.2

5.15. Wniosek. Ponieważ symbole Christoffela są niezmiennikami izometrii wewnętrz-nych, obraz krzywej geodezyjnej przy izometrii wewnętrznej jest krzywą geodezyjną. Po-nadto można mówić o geodezyjnych, a także o polu równoległym wzdłuż danej krzywej nadowolnej powierzchni riemannowskiej.

W definicji geodezyjnej ważny jest sposób parametryzacji. Jeżeli r jest niestałą geodezyjną,a σ jest dyfeomorfizmem zamiany parametrów, to r◦σ jest geodezyjną wtedy i tylko wtedy,gdy σ(t) = at+b. Niektórzy autorzy definiują geodezyjne jako odpowiednie podrozmaitości jednowymiarowe. Ze względu na to, że na geodezyjnej długość wektora prędkości jest stała,oba podejścia są niemal równoważne.

5.16. Przykład. Geodezyjnymi na płaszczyźnie są linie proste sparametryzowane linio-wo r(t) = q + tv. Dla nich r = 0, więc w szczególności r(t)⊥T r(t)M .

5.17. Przykład. Geodezyjnymi na sferze są okręgi wielkie (ze stałą szybkością parame-




tryzacji). Wektor przyspieszenia jest skierowany do środka sfery, więc znowu spełniony jestwarunek r(t)⊥T r(t)M .

5.18. Przykład. Geodezyjnymi na walcu lub stożku są te krzywe, które po rozwinięciuna płaszczyźnie stają się prostymi.

Rys. 5.1.

5.19. Definicja. Geodezyjna r : I −→ M na powierzchni M nazywa się maksymalna, jeśli nie można jej rozszerzyć do geodezyjnej określonej na większym przedziale otwartymI ⊃ I .

5.20. Przykład. Maksymalna geodezyjna nie musi być określona na całej prostej. NaM = R

2 \ {(0, 0)} krzywa parametryczna r(t) = (0, t) dla t > 0 jest maksymalną geode-zyjną. Zauważmy również, że na M istnieją takie dwa punkty, których nie można połączyć

geodezyjną.5.21. Twierdzenie. Niech x ∈ M będzie dowolnym punktem. Wtedya) dla każdego wektora v ∈ T xM istnieje dokładnie jedna maksymalna geodezyjna rv :I −→ M spełniająca warunki rv(0) = x, rv(0) = v.b) istnieje otoczenie U ⊂ T xM wektora 0 i takie gładkie przekształcenie exp: U −→ M ,że dla każdego v ∈ U zachodzi równość exp(v) = rv(1). Krzywe t → exp(tv) = rtv(1) =rv(t) są geodezyjnymi dla t bliskich 0.

Dowód. Niech r = p ◦ γ, γ = (γ 1, γ 2). Pierwsza część tezy wynika z twierdzenia o istnie-niu i jednoznaczności rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych nieliniowych

drugiego rzędu γ k +i,j γ iγ jΓkij ◦γ = 0 dla k = 1, 2. Przedział I może zależeć od warunkówpoczątkowych. Z postaci przytoczonego układu równań wynika, że jeżeli r : I −→ M jestmaksymalną geodezyjną, a s liczbą rzeczywistą, to krzywa t → r(st) jest maksymalnągeodezyjną określoną na zbiorze {t ∈ R : st ∈ I }, czyli na przedziale s−1I , gdy s = 0.Dlatego rv(st) = rsv(t). Gładkość przekształcenia exp, to inaczej gładka zależność rozwią-zania układu równań różniczkowych zwyczajnych od warunków początkowych, wynika onatakże z odpowiedniego twierdzenia z teorii równań różniczkowych. 2

5.22. Definicja. Parametryzacja p : U −→ M powierzchni M nazywa się półgeode-zyjna, jeśli współczynniki metryki riemannowskiej gij spełniają warunki g11 = 1, g12 = 0,

tzn. metryka ta ma macierz 1 00 g22 (wtedy g22 > 0).

Układy współrzędnych półgeodezyjnych mają wiele zastosowań. Jednym z powodów jestto, że stosunkowo prostą postać przyjmuje w nich wzór na krzywiznę Gaussa.

5.23. Stwierdzenie. Załóżmy, że p : U −→ p(U ) ⊂ M jest półgeodezyjną parametry-zacją otwartego podzbioru powierzchni M i że macierz I formy jest równa

M (G p(u1,u2)) =

1 00 g(u1, u2)

.




Wtedy symbole Christoffela są równe

Γ111 = 0, Γ1

12 = Γ121 = 0, Γ1

22 = −12

∂g

∂u1,

Γ211 = 0, Γ2

12 = Γ221 =

12

g−1∂g

∂u1, Γ2

22 =12

g−1∂g

∂u2,

a krzywizna Gaussa w punkcie p(u1, u2) wyraża się wzorem

K = − 1√ g

∂ 2√

g

∂u21

.

Dowód. Bezpośrednie obliczenie (pozostawiamy je Czytelnikowi). 2

5.24. Wniosek. W parametryzacji półgeodezyjnej krzywe u1 → p(u1, u2) są geodezyj-nymi.

Dowód. Wynika z równań 5.14. i równości Γk11 = 0 danej powyżej. 2

5.25. Twierdzenie. Niech r : I −→ M będzie krzywą regularną na powierzchni rieman-nowskiej M , określoną na przedziale otwartym, t0 ∈ I, x0 = r(t0). Wtedy istnieje otoczenieU punktu (0, t0) w R × I oraz taka parametryzacja półgeodezyjna p : U −→ M otoczeniapunktu x0 w M , że p(0, u2) = r(u2) dla (0, u2) ∈ U .

Rys. 5.2.

Dowód. Przy ustalonej parametryzacji otoczenia x0 w M wyznaczone są orientacje prze-strzeni stycznych T xM . Niech dla dowolnego u2 bliskiego t0, u1

→p(u1, u2) będzie maksy-

malną geodezyjną taką, że p(0, u2) = r(u2), a p1(0, u2) jest wersorem przestrzeni T r(u2)M prostopadłym do r(u2) i takim, że układ p1(0, u2), p2(0, u2) = r(u2) wyznacza powyżejwybraną orientację. Z równań geodezyjnych dla rozważanej parametryzacji i gładkiej za-leżności rozwiązań od warunków początkowych wynika, że tak określone przekształcenie p otoczenia punktu (0, t0) w M jest gładkie. Ponieważ wektory p1(0, t0), p2(0, t0) są li-niowo niezależne, więc p na pewnym prostokątnym otoczeniu U punktu (0, t0) w R

2 jestparametryzacją otoczenia punktu x0 w M . Wektory prędkości p1(u1, u2) na geodezyjnychu1 → p1(u1, u2) mają stałą długość 1, więc g11 = 1. Z równań geodezyjnych (dla parame-tryzacji p) wynika, że Γk

11 = 0, więc

0 = Γk

11 =

1

2 r gkr ∂g1r

∂u1 +

∂g1r

∂u1 −∂g11

∂ur = r gkr ∂g1r

∂u1 = gk2∂g12

∂u1 .

Skoro g22 = 0 lub g12 = 0, więc∂g12∂u1

= 0. Wynika stąd, że g12(u1, u2) = g12(0, u2) = 0. 2

5.26. Twierdzenie. Niech r : I −→ M będzie geodezyjną na powierzchni riemannow-skiej M , a s0 ∈ IntI . Jeżeli s1 < s2 są liczbami z I dostatecznie bliskimi s0, to r|[s1,s2] jestnajkrótszą krzywą na M łączącą punkty r(s1) i r(s2). Jeżeli r : [a, b] −→ M jest najkrótsząkrzywą regularną łączącą punkty r(s1) i r(s2), to r jest równoważna r|[s1,s2].




Rys. 5.3.

Dowód. Można założyć, że s0 = 0 i że r jest unormowana. Niech p : U −→ M będzieparametryzacją półgeodezyjną otoczenia punktu r(0) taką, że p(u1, 0) = r(u1). Parame-tryzacja taka jest wyznaczona przez dowolną krzywą przechodzącą przez punkt r(0) iprostopadłą do krzywej r (por. 5.25.). Istnieje taka liczba ε > 0, że gdy

|s1

|< ε,

|s2

|< ε,

to punkty (s1, 0) i (s2, 0) należą do U oraz długość każdej krzywej wychodzącej z r(0)poza p(U ) jest większa od 2ε. Niech |s1| < ε, |s2| < ε, s1 < s2, a r : [a, b] −→ M niechbędzie krzywą od r(a) = r(s1) do r(b) = r(s2). Jeżeli r wychodzi poza p(U ), to długośćr > 2ε > s2 − s1 = długość r|[s1,s2]. Jeżeli r leży w p(U ), to r = p ◦ γ, γ = (γ 1, γ 2) i długośćr =

ba |r(t)|dt =

ba

γ 21 (t) + g22(γ (t))γ 22 (t)dt b

a |γ 1(t)|dt ba γ 1(t)dt = γ 1(b)−γ 1(a) =

s2 − s1 = długość r|[s1,s2]. Jeżeli długość r jest równa długości r, to γ 2 = 0 i γ 1 0, co dlar regularnej oznacza, że γ 2 = 0, γ 1 jest dyfeomorfizmem przedziałów i r = r ◦ γ 1. 2

5.27. Twierdzenie. Każdy punkt x ∈ M posiada takie otoczenie V ⊂ M , że dla każdegoy

∈V istnieje geodezyjna łącząca x z y.

Dowód. Ponieważ dla przekształcenia exp z Twierdzenia 5.21. exp(tv) = rv(t), więcd exp0 = idT xM . Zatem przekształcenie exp odwzorowuje pewne otoczenie wektora 0 ∈T xM dyfeomorficznie na pewne otoczenie V punktu x w M . Teza wynika teraz z definicjiprzekształcenia exp. 2

5.28. Wniosek. Jeśli r : [a, b] −→ M jest najkrótszą unormowaną krzywą łączącą danepunkty x = r(a) i y = r(b), to r jest geodezyjną.

Dowód. Z dwóch poprzednich twierdzeń wynika, że lokalnie r jest geodezyjną, a więc jest geodezyjną. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: okręgi wielkie na sferze obieganeze stałą szybkością są geodezyjnymi na sferze. Większy łuk takiego okręgu jest geodezyjną,ale nie jest najkrótszą krzywą łączącą jego końce. 2

5.29. Uwaga. Istnieje duże podobieństwo między geodezyjnymi, a powierzchniami mini-malnymi. Jedne i drugie stanowią przykłady rozwiązań zagadnień rachunku wariacyjnego.Powierzchnie minimalne (por. 4.37. i dalej) lokalnie minimalizują pole (ich niewielkie za-burzenia i to ograniczone do małego kawałka powierzchni mają większe pole niż danapowierzchnia, natomiast zaburzenia duże lub rozległe już nie zawsze). Dokładnie takiesame własności mają linie geodezyjne w odniesieniu do długości.

Powierzchnie o stałej krzywiźnie Gaussa

Płaszczyzna euklidesowa E 2 jest powierzchnią o stałej zerowej krzywiźnie Gaussa. Inneprzykłady to powierzchnie rozwijalne, czyli powierzchnie prostokreślne o zerowej krzywiź-nie Gaussa.

Sfera S 2 o promieniu a jest powierzchnią o stałej dodatniej krzywiźnie równej 1/a2.

Przykładem powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie Gaussa −1/a2 jest tzw. pseudosfera,powierzchnia powstała przez obrót traktrysy opisanej w płaszczyźnie xz przez x(t) =




a sin t, z(t) = a(lntg t2

+ cos t), gdzie t ∈ (0, π/2) wokół osi z (czyli swojej asymptoty).Sprawdzenie pozostawiamy jako zadanie.

Rys. 5.4.Inny przykład, to płaszczyzna hiperboliczna Łobaczewskiego H , określona jako H = {(x, y) ∈R

2 : y > 0} z metryką riemannowską o macierzy

G(x,y) =

y−2 0

0 y−2

,

por. zadania 3.18. i 4.33.

Na płaszczyźnie i na sferze oraz na płaszczyźnie hiperbolicznej (zadanie 5.19.) każda mak-symalna geodezyjna jest określona na całej prostej rzeczywistej R . Na dowolnej powierzchnirozwijalnej ten warunek nie musi być spełniony, nie jest on spełniony również na pseudos-

ferze.Dalszą część rozdziału poświęcimy dowodowi następującego twierdzenia.

5.30. Twierdzenie. Dwie powierzchnie o równych stałych krzywiznach Gaussa są lo-kalnie izometryczne wewnętrznie. Dokładniej, niech M i M będą powierzchniami o stałejkrzywiźnie Gaussa K , oraz niech dane będą: dowolny punkt q ∈ M i unormowany wektorv ∈ T qM oraz dowolny punkt q ∈ M i unormowany wektor v ∈ T q M . Wtedy istnieją oto-czenia U punktu q w M i U punktu q w M oraz taka izometria wewnętrzna f : U −→ U ,że f (q) =

q oraz df q(v) =

v.

Dowód. Pamiętamy, że przy izometrii wewnętrznej obrazem geodezyjnej jest geodezyj-na. Aby znaleźć żądaną izometrię wewnętrzną, posłużymy się parametryzacjami półge-odezyjnymi obu powierzchni (”zbudowanymi na geodezyjnych”), mając nadzieję, że jeśliodwzorujemy na siebie linie współrzędne obu parametryzacji, to otrzymamy izometrię.Zajmijmy się na razie powierzchnią M . Oznaczmy przez r : I −→ M taką geodezyjnąokreśloną na pewnym przedziale I 0, że r(0) = q oraz r(0) = v. Następnie wprowa-dzamy współrzędne półgeodezyjne u1, u2 w otoczeniu U punktu q na M , przyjmując jakokrzywą wyjściową tę geodezyjną. Odpowiednią parametryzację oznaczymy literą p. MacierzI formy na M ma postać

M (G p(u1,u2)) =

1 00 g(u1, u2)

.

Ze Stwierdzenia 5.23. wynika, że

K = − 1√ g

∂ 2√

g

∂u21

.

Zatem funkcja

g(u1, u2) jest rozwiązaniem równania

∂ 2ϕ

∂u21

+ Kϕ = 0.

Jest to równanie różniczkowe ze względu na zmienną u1 z parametrem u2. Znajdziemy terazdwa warunki początkowe, jakie spełnia rozwiązanie ϕ(u1) =

g(u1, u2). Przypomnijmy




jeszcze, że g(u1, u2) = p2(u1, u2), p2(u1, u2) oraz, że p(0, u2) = r(u2) (por. 5.25.) Mamyϕ(0) =

g(0, u2) = | p2(0, u2)| = |r(u2)| = |v| = 1, bo długość wektora stycznego na

geodezyjnej jest stała. Teraz obliczymy ϕ(0). Zauważmy, że skoro u2 −→ p(0, u2) jestgeodezyjną, to spełnia równania

γ

k

+ i,j γ

i

γ

j

Γk

ij ◦γ = 0 dla k = 1, 2.

W naszym przypadku γ 1 = 0, γ 2(u2) = u2, więc pierwsze z równań przybiera postać

−12

∂g

∂u1(0, u2) = 0.

Wynika stąd, że

ϕ(0) =∂ √

g

∂u1(0, u2) =

1

2

g(0, u2)· ∂g

∂u1(0, u2) = 0.

Dokładnie takie same rozważania i rachunki prowadzimy dla powierzchni

M . Otrzymujemy,

że macierz I formy ma postaćM ( G p(u1,u2)) =

1 00 g(u1, u2)

przy pewnej parametryzacji półgeodezyjnej otoczenia U punktu q na M . Możemy założyć,że dziedziny parametryzacji p i p są równe, ewentualnie zmniejszając je odpowiednio. Jakpoprzednio, funkcja ϕ(u1) =

g(u1, u2) jest rozwiązaniem równania różniczkowego

∂ 2ϕ

∂u21

+ Kϕ = 0

i spełnia takie same warunki początkowe, jakie spełnia rozwiązanie ϕ(u1) = g(u1, u2). Z jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych wynika, że rozwiązania ϕ i ϕ są równe,a zatem i funkcje g(u1, u2) i g(u1, u2) są równe. Wobec tego równe są macierze I formy napowierzchniach M i M we współrzędnych u1, u2, zatem przekształcenie f : U −→ U przy-porządkowujące punktowi p(u1, u2) ∈ U punkt p(u1, u2) ∈ U jest izometrią wewnętrzną.2

5.31. Uwaga. Założenie o stałości krzywizny Gaussa w powyższym twierdzeniu jestkonieczne, por. zad. 5.21.

Zadania

5.1. Krzywiznę geodezyjną i krzywiznę normalną krzywej nieunormowanej r : I −→ M ⊂R

3 na powierzchni M w punkcie t ∈ I określa się odpowiednio jako krzywiznę geodezyjnąi krzywiznę normalną krzywej unormowanej r : I −→ M ⊂ R

3 równoważnej z r z zacho-waniem orientacji w takim punkcie s ∈ I , że r(s) = r(t). Wykaż, że krzywizna geodezyjnai krzywizna normalna krzywej nieunormowanej r wyrażają się wzorami

κg =r × r, N ◦ r

|r|3 , κn =r, N ◦ r

|r|2 .




5.2. Oblicz krzywiznę geodezyjną linii śrubowej r(t) = (a cos t, a sin t,bt)a) na helikoidzie,b) na walcu.

5.3. Znajdź geodezyjne (lub przynajmniej ich równania) na powierzchni z tensorem me-trycznyma) g11(u, v) = cos2 u, g12(u, v) = 0, g22(u, v) = 1, dla u ∈ −π

2, π2 (por. Przykład 3.1.),

b) g11 = 1, g22 = u2, g12 = 0 dla u = 0 (stożek).

5.4. Udowodnij, że każda płaska niezdegenerowana geodezyjna jest linią krzywiznową.

5.5. Niech γ : J −→ Γ będzie łukową parametryzacją krzywej Γ leżącej na powierzchnizorientowanej M w R

3 i niech t, n, b będą wektorami trójnogu Freneta dla γ , a N polemwektorów normalnych do M ustalającym orientację.

a) Wykaż, że jeśli γ jest geodezyjną na M , tod

ds( t(s) × N (γ (s))) = − t(s) × Lγ (s)( t(s)),

gdzie L p =

−dN p : T pM

−→T pM jest przekształceniem Weingartena.

b) Wykaż, że jeśli Γ jest jednocześnie linią geodezyjną i linią krzywiznową, to Γ jest liniąpłaską (tzn. b(s) jest wektorem stałym).

5.6. Dwie powierzchnie w R

3 przecinają się transwersalnie (por. zad. 1.25.) wzdłuż krzywej,która jest geodezyjną na każdej z nich. Wykaż, że ta krzywa jest zawarta w prostej.

5.7. Wykaż, że obrazy dowolnych dwóch maksymalnych geodezyjnych na stożku obroto-wym, nie leżące na tworzącej, są figurami podobnymi w R

3 (i w szczególności każda z nichtyle samo razy ”okrąża” wierzchołek).

5.8. Niech M oznacza stożek obrotowy w R

3 o kącie ϕ między osią obrotu a tworzącą.

Wyraź przez ϕ liczbę punktów samoprzecięcia dowolnej maksymalnej geodezyjnej na M nie będącej półprostą.

5.9. Oblicz symbole Christoffela II rodzaju na powierzchni obrotowej o parametryzacji p(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, h(r)).

5.10. Wykaż, że kąt α pomiędzy południkiem na powierzchni obrotowej, a geodezyjnąspełnia warunek r sin α = const (twierdzenie Clairaut), por. Przykład 5.18.

5.11. Wykaż, że jeśli r : I −→ M jest maksymalną geodezyjną na powierzchni obrotowejM określoną na przedziale I zawierającym 0 i r(0) jest wektorem stycznym do równoleż-nika, to r(0) jest punktem tej geodezyjnej leżącym najbliżej osi obrotu, I jest przedziałem

symetrycznym względem 0 i geodezyjna jest symetryczna względem płaszczyzny zawiera- jącej oś obrotu i punkt r(0), czyli zachodzi równość r(−t) = A(r(t)), gdzie A jest symetriąwzględem wymienionej płaszczyzny.

5.12. Powierzchnia M ma metrykę

v 00 u

we współrzędnych u, v, gdzie u > 0, v > 0.

Czy na tej powierzchni któraś z linii współrzędnych jest geodezyjną?

5.13. Powierzchnia prostokreślna M jest utworzona przez proste binormalne danej krzywejprzestrzennej r unormowanej i niezdegenerowanej. Wykaż, że krzywa r jest geodezyjną na




M .

5.14. Dana jest powierzchnia z pierwszą formą kwadratową g11(u, v) = 1, g12(u, v) =0, g22(u, v) = 1 + u2 + v2. Znajdź geodezyjną na tej powierzchni wychodzącą z punktu owspółrzędnych u = 1, v = 1 w kierunku wektora pu(1, 1).

5.15. Oblicz krzywiznę geodezyjną równoleżnika z = a na hiperboloidzie x2 + y2 − z2 = 1.5.16. Wyraź krzywiznę geodezyjną linii współrzędnej r(v) = p(u0, v) powierzchni o para-metryzacji p poprzez współczynniki I formy tej powierzchni.

5.17. Powierzchnia obrotowa S jest opisana równaniem x2 + y2 +(ln z)2 = 1. Dane są dwawektory v i w styczne do S w punkcie (0, 0, e), przy czym |v| = |w|. Wykaż, że istnieje takaciągła, kawałkami gładka krzywa D na S , że przeniesienie równoległe wektora v wzdłuż Ddaje wektor w.

5.18. Niech M będzie powierzchnią riemannowską, x ustalonym punktem M , exp prze-kształceniem z Twierdzenia 5.21. i niech wektory e1, e2 tworzą bazę ortonormalną prze-strzeni T xM . Definiujemy przekształcenie q(u1, u2) = exp(u1e1 + u2e2) na otoczeniu 0 wR

2 i przekształcenie p(r, ϕ) = q(r cos ϕ, r sin ϕ) na zbiorze (0, a)× (0, 2π) przy dostateczniemałym a > 0.a) Wykaż, że p jest parametryzacją półgeodezyjną o współczynniku g22 = g metryki rie-mannowskiej takim, że

g(r, ϕ) = rh(r, ϕ), a funkcja h posiada gładkie rozszerzenie na

podzbiór (−a; a) × R płaszczyzny R

2 spełniające równość h(0, ϕ) = 1. (Wsk. Dla wykaza-nia, że g12(r, ϕ) jest stała ze względu na r, można naśladować koniec dowodu Twierdzenia5.25. Aby policzyć granicę lim

r−→0g12(r, ϕ) oraz przekonać się o własnościach funkcji h, można

korzystając ze Stwierdzenia 3.4. wyrazić g12 oraz g przez współczynniki metryki rieman-

nowskiej w parametryzacji q).b) Niech L(r) oznacza długość obrazu okręgu o promieniu r < a i środku w 0 ∈ T xM przy przekształceniu exp (czyli tzw. okręgu geodezyjnego na M o promieniu r i środku

w x). Wykaż, że krzywizna Gaussa K x =3π

limr−→0+

2πr − L(r)r3

. (Wsk. Wyraź L(r) przy

pomocy g, dwukrotnie zastosuj regułę de l’Hospitala, twierdzenie o różniczkowaniu całki zparametrem, wzór na krzywiznę Gaussa ze Stwierdzenia 5.23. oraz a)).c) Niech A(r) oznacza pole obrazu koła o promieniu r < a i środku w 0 ∈ T xM przy prze-

kształceniu exp. Wykaż, że krzywizna Gaussa K x =12π

limr−→0+

πr2 − A(r)r4

. (Wsk. Wyraź

A(r) przy pomocy g, wykaż, że∂A

∂r= L, zastosuj regułę de l’Hospitala oraz b)).

d) Wykaż, że jeśli krzywizna Gaussa jest stale ujemna na M , to geodezyjne wychodzącez x oddalają się od siebie (tzn. długości łuków okręgów geodezyjnych zawartych międzytymi geodezyjnymi rosną wraz ze wzrostem r), a jeśli krzywizna Gaussa jest stale dodatniana M , to geodezyjne wychodzące z x początkowo oddalają się od siebie, a potem mogą(ale nie muszą) się zbliżać. Podaj odpowiednie przykłady. (Wsk. Zapisz długości łukówokręgów geodezyjnych przy pomocy g i skorzystaj z własności g).

5.19. Znajdź maksymalne geodezyjne na płaszczyźnie Łobaczewskiego H = {(x, y) ∈ R

2 :



Twierdzenie Gaussa–Bonneta 69

y > 0} z metryką riemannowską g11(x, y) = g22(x, y) = 1/y2, g12(x, y) = 0 i wykaż, że sąokreślone na całej prostej R .Wskazówka:1) sprawdź, że półproste x = const są geodezyjnymi przy odpowiedniej parametryzacji,2) skorzystaj z zadania 3.18.

5.20. W przestrzeni R

3 dane są dwie powierzchnie M 1, M 2. Wykaż, że:a) może się zdarzyć, iż M 1∩M 2 jest krzywą gładką na której istnieje pole gładkie wektorówstycznych równoległe na M 1, ale nierównoległe na M 2.b) Wykaż, że przypadek a) nie może się zdarzyć jeśli M 1 oraz M 2 są styczne wzdłużM 1 ∩ M 2, czyli gdy przestrzenie styczne do M 1 i M 2 w punktach M 1 ∩ M 2 są równe.

5.21. Wykaż, że powierzchnie o parametryzacjach p, q : (0, +∞)×(0, 2π) −→ R

3 zadanychwzorami p(u, v) = (u cos v, u sin v, v), q(u, v) = (u cos v, u sin v, ln u) mają równe krzywiznyGaussa w odpowiednich punktach. Wykaż, że żaden podzbiór otwarty jednej z tych po-wierzchni nie jest izometryczny wewnętrznie z podzbiorem otwartym drugiej. Wskazówka:

z istnienia izometrii wewnętrznej wynikałoby istnienie takiego dyfeomorfizmu f : U −→ V zbiorów otwartych U, V ⊂ (0, +∞) × (0, 2π), że parametryzacje p, q ◦ f : U −→ R

3 wy-znaczają te same macierze I formy. Z pierwszej części zadania wywnioskuj, że f = (f 1, f 2)musiałoby spełniać warunek f 1(u, v) = ±u, a następnie znajdź sprzeczność.

6. Twierdzenie Gaussa–Bonneta

W rozdziale poświęconym krzywym płaskim udowodniona została równość krzywizny zo-rientowanej krzywej i pochodnej kąta pomiędzy stałym wektorem e1 ∈ T (R

2), a wektoremstycznym do krzywej. Teraz zajmiemy się podobnymi charakteryzacjami pewnych kątówzwiązanych z krzywą na powierzchni.

6.1. Twierdzenie. Niech r : I −→ M będzie unormowaną krzywą parametryczną napowierzchni M ⊂ R

3. Niech V : I −→ T ( R

3) będzie jednostkowym polem wektorowymstycznym do M i równoległym wzdłuż r. Dla s ∈ I niech θ(s) oznacza kąt zorientowanypomiędzy wektorami V (s) i r(s), zależny w sposób ciągły od s. Wtedy krzywizna geode-zyjna κg(s) krzywej r w punkcie s jest równa pochodnej kąta θ(s) względem długości łuku:κg(s) = θ(s).

Dowód. Przypomnijmy, że wektory r(s) i rg(s) = N r(s) × r(s) tworzą dodatnio zorien-towaną bazę ortonormalną płaszczyzny stycznej T r(s)M . Różniczkując stronami równość

cos θ(s) = V (s), r(s) otrzymujemy

−θ(s)sin θ(s) =dV, r

ds(s) =

DV

ds(s), r(s)

+

V (s),

Dr

ds(s)

=

=

V (s),

Dr

ds(s)

= V (s), κg(s)rg(s) = κg(s)V (s), rg(s).

Skoro V (s), r(s) = cos θ(s), to V (s), rg(s) = cos(π2

+ θ(s)) = − sin θ(s), a więc κg(s) =θ(s). Można założyć, że sin θ(s) = 0, wybierając w razie potrzeby inne pole V i korzystając




z faktu, że kąt zorientowany między dwoma polami równoległymi jest stały (por. 5.8.),zatem θ(s) nie zależy od wyboru pola V . 2

6.2. Definicja. Niech p : U −→ p(U ) ⊂ M będzie parametryzacją otwartego podzbio-ru powierzchni M ⊂ R

3 zgodną z orientacją M . Niech B będzie podzbiorem U home-omorficznym z domkniętym kołem, którego brzeg jest obrazem ciągłej, kawałkami gładkiejkrzywej γ : I =< a, b >−→ B ⊂ U obieganej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.Zakładamy, że γ (a) = γ (b), γ jest różnowartościowa na przedziale < a, b) i istnieją ta-kie liczby a = s0 < s1 < s2 < ... < sn−1 < sn = b, że γ |<si−1,si> są regularne. NiechA := p(B), Γ = p ◦ γ : I −→ A. Załóżmy, że Γ|<si−1,si> są krzywymi unormowanymi, a dlapochodnych jednostronnych zachodzą nierówności Γ−(si) = −Γ+(si) dla i = 1, 2,..,n − 1oraz Γ−(b) = −Γ+(a) (brak ”punktów zwrotu”). Taki zbiór A nazywamy zakrzywionymwielobokiem. Zbiory Γ(< si−1, si >) nazywamy bokami A, a punkty Γ(si) wierzchoł-kami A. Liczba boków n może być tutaj dowolną liczbą naturalną większą od 1. Sam zbiórA nie wyznacza jednoznacznie wierzchołków ani boków. W dalszym ciągu mówiąc o za-krzywionym wieloboku będziemy z nim wiązali ustalony zbiór jego wierzchołków i boków.

Wierzchołki, boki i sam zakrzywiony wielobok A będziemy nazywali ścianami A wymiarówodpowiednio 0, 1 i 2.

Rys. 6.1.

6.3. Uwaga. Niech C będzie podzbiorem R

2, homeomorficznym z okręgiem (czyli krzywąJordana). Wiadomo, że R

2 \ C ma dwie składowe: jedną U 0 ograniczoną, a drugą U ∞nieograniczoną (tw. Jordana o rozcinaniu płaszczyzny) oraz że domknięcie U 0 =U 0

∪C i jest homeomorficzne z domkniętym kołem (tw. Schoenfliesa).

6.4. Lemat. W sytuacji z powyższej definicji niech V : I −→ T ( R

3) będzie jednostko-wym polem wektorowym stycznym do M i równoległym wzdłuż Γ. Dla s ∈ I wybieramyw sposób ciągły (na całym I ) zorientowany kąt ϕ(s) pomiędzy wektorami p1(γ (s)) i V (s).Wtedy przyrost ∆ϕ tego kąta na przedziale I wyraża się wzorem ∆ϕ =

A KdS (całka z

krzywizny Gaussa względem miary na powierzchni M z Definicji 3.23.).

Dowód. Oznaczmy dla parametryzacji półgeodezyjnej p współczynnik I formy g22 =: g.Funkcja ϕ jest gładka na każdym przedziale < si−1, si > i cos ϕ = V, p1 ◦ γ . Różniczkującotrzymujemy

−ϕ

sin ϕ = V,

D( p1◦

γ )ds + DV

ds , p1 ◦ γ = V,

D( p1◦

γ )ds ,

boDV

ds= 0.

Pochodna ϕ nie zależy od wyboru pola V , bo kąt zorientowany między dwoma polamirównoległymi wzdłuż Γ jest stały (por. 5.8.). Ustalmy liczbę s ∈ I i ze Stwierdzenia 5.6.wybierzmy pole V tak, by

V (s) =p2(γ (s))| p2(γ (s))| .




Wtedy sin ϕ(s) = 1 i z powyższego wzoru

−ϕ(s) =

V (s),

D( p1 ◦ γ )ds

(s)

= V (s),

i

γ i(s)Γ21i(γ (s)) · p2(γ (s)) =

= V (s), γ 2(s)Γ212(γ (s)) · p2(γ (s)) = γ 2(s)Γ2

12(γ (s))

g(γ (s)).

Korzystaliśmy tu z tego, że p1(γ (s)) ⊥ V (s), Γ211 = 0 (por. 5.23.) i

V (s), p2(γ (s)) = | p2(γ (s))| =

g(γ (s)).

Stąd

ϕ = −γ 2Γ212 ◦ γ · √

g ◦ γ = −

∂ √

g

∂u1◦ γ

γ 2,

bo z 5.23. mamy

Γ212 =

12

g−1∂g

∂u1=

1√ g

∂ √

g

∂u1

.

Zatem, (całkując po każdym przedziale < si−1

, si

>)

∆ϕ = I

ϕds = − I

∂ √ g∂u1

◦ γ

γ 2ds = − γ

∂ √ g∂u1

du2.

W ostatniej równości skorzystaliśmy ze wzoru I [(P ◦ γ (s)) · γ 1(s) + (Q ◦ γ (s)) · γ 2(s)]ds =

γ

P du1 + Qdu2.

Ze wzoru Greena (Stokesa) wynika, że

∆ϕ = − B

∂

∂u1

∂ √

g

∂u1

du1 ∧ du2 =

B

− 1√

g

∂ 2√

g

∂u21

√ gdu1du2 =

A

KdS

(por. 5.23.). 2

6.5. Uwaga. Inaczej mówiąc, przeniesienie równoległe z punktu m do tego samego punk-tu m wzdłuż brzegu zakrzywionego wieloboku A jest obrotem o kąt

A KdS .

6.6. Definicja. Dla wierzchołka Γ(si) wieloboku A z definicji 6.2., przy i = 1, 2,...,n−1,zewnętrznym kątem narożnym nazywamy kąt zorientowany αi ∈ (−π, π) między wek-torem stycznym „wchodzącym” Γ−(si), a wektorem stycznym „wychodzącym” Γ+(si). Dlawierzchołka Γ(sn) zewnętrzny kąt narożny jest zorientowanym kątem αn ∈ (−π, π) międzyΓ−(sn), a Γ+(s0), gdzie s0 = a, a sn = b są końcami przedziału I . Kątem wewnętrznymnarożnym przy wierzchołku Γ(si) nazywamy liczbę β i := π − αi ∈ (0, 2π). Będziemymówili, że wielobok A ma gładki brzeg, gdy wszystkie jego zewnętrzne kąty narożne αi sąrówne 0. W tym przypadku Γ jest klasy C 1 na całym przedziale < a, b > i jest klasy C ∞

na < a, b > \{si}ni=0, ale nie musi być klasy C ∞ na całym < a, b >.

6.7. Twierdzenie (Gaussa–Bonneta, lokalne). Niech A będzie zakrzywionym wie-lobokiem z Definicji 6.2. na płacie danym przez parametryzację półgeodezyjną z krzywąΓ : I −→ A opisującą zorientowany brzeg A względem tego płata i z zewnętrznymi kątaminarożnymi α1, α2,...,αn. Wtedy

AKdS +

I

κgds +n

i=1

αi = 2π.




Dowód. Będziemy używali oznaczeń z Definicji 6.2. zakrzywionego wieloboku. NiechV : I −→ T (R

3) będzie dowolnym jednostkowym polem wektorowym stycznym do M i równoległym wzdłuż Γ. Dla s ∈ I wybieramy następujące kąty zorientowane: ϕ(s) —pomiędzy wektorem p1(γ (s)), a wektorem V (s), θ(s) — pomiędzy wektorem V (s), a wek-torem Γ(s) (Γ+(si) przy s = si dla i = 0, 1,...,n − 1, a Γ+(s0) = Γ

+(a) przy s = sn = b),

i ψ(s) — pomiędzy wektorem p1(γ (s)), a wektorem Γ

(s) (przy s = si jak dla kąta θ(s)).Kąty te wybieramy tak, by funkcja ϕ była ciągła na całym przedziale I , funkcje θ i ψ byłyciągłe na na przedziałach < si−1, si), a w punktach si dla i = 1, 2,...,n uzyskiwały skokαi = θ(si)−θ(si−) = ψ(si)−ψ(si−), gdzie θ(si−) i ψ(si−) oznaczają granice lewostronne.Można dokonać tych wyborów tak, by ψ(s) = ϕ(s) + θ(s) dla każdego s ∈ I . Intuicyjniezrozumiałym faktem, znanym jako twierdzenie Hopfa, jest, że przyrost ∆ψ = ψ(b) − ψ(a)kąta ψ(s) wzdłuż krzywej Γ jest równy 2π (okrążając obszar A raz dookoła zwiększamykąt ψ o kąt pełny). Z twierdzenia 6.1. i lematu 6.4. wynika, że

2π = ∆ψ = ∆ϕ +n

i=1

∆iθ +n

i=1

αi = A

KdS + I

κgds +n

i=1

αi,

gdzie ∆iθ = θ(si−) − θ(si−1) jest przyrostem kąta θ na przedziale < si−1, si > gładkościΓ. 2

6.8. Uwaga. Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla takich jednospójnych zbiorów A, któ-re nie są zawarte w obrazie parametryzacji półgeodezyjnej, ale dają się rozbić na skończeniewiele obszarów spełniających ten warunek. Mamy tu na myśli podział zbioru A spełniają-cy warunki późniejszej Definicji 6.14. Na przykład, gdy A = A1 ∪ A2, to tezę otrzymamydodając stronami równości z tezy lokalnego twierdzenia Gaussa – Bonneta dla zbiorów A1

i A2. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi; należy zauważyć, że całki z krzywizny geode-zyjnej po wspólnym kawałku brzegu A1 i A2 się zredukują, ponieważ krzywizna geodezyjnazmienia znak wraz ze zmianą kierunku przebiegu krzywej na przeciwny. Kąty narożne teżsię odpowiednio zredukują.

Podamy teraz kilka przypadków szczególnych lokalnego twierdzenia Gaussa–Bonneta.

6.9. Wniosek. Jeśli wielobok A ma gładki brzeg (por. 6.6), to A

KdS + I

κgds = 2π.

(Przypomnijmy (3.23.), że jeśli r : I −→ C jest parametryzacją krzywej C , a f : C −→ R ,to

C f ds =

I f (r(t))|r(t)|dt).

6.10. Wniosek. Jeśli brzeg Γ składa się z geodezyjnych, to

A

KdS + ni=1

αi = 2π.

6.11. Przykład. Dla trójkąta geodezyjnego o kątach wewnętrznych β 1, β 2, β 3 mamy A KdS +

3i=1(π−β i) = 2π, więc

A KdS = β 1+β 2+β 3−π. Liczba π−(β 1+β 2+β 3) nazywa

się defektem trójkąta. Jeśli trójkąt leży na powierzchni o stałej krzywiźnie Gaussa,to defekt trójkąta jest proporcjonalny do pola tego trójkąta. Na sferze o promieniu Rotrzymujemy np. następujący wzór

pole trójkąta = R2(β 1 + β 2 + β 3 − π).




Obliczymy z lokalnego twierdzenia Gaussa–Bonneta całkę z krzywizny Gaussa na sferze ina torusie.

6.12. Przykład. Pole sfery o promieniu R jest równe 4πR2, krzywizna Gaussa R−2,więc całka z krzywizny Gaussa „powinna” się równać 4π. Sprawdźmy: dzielimy sferę nadwie półsfery i dla każdej z nich rzeczywiście otrzymujemy KdS = 2π (bo brak kątównarożnych i brzeg jest geodezyjną).

6.13. Przykład. Jeśli na torusie wytniemy jeden równoleżnik i jeden południk, to pozo-stanie obszar jednospójny A (homeomorficzny z kwadratem). Nie jest on zawarty w obrazieparametryzacji półgeodezyjnej, ale twierdzenie się do niego stosuje: można np. wykorzystaćUwagę 6.8. Mamy zatem

A KdS + 2π = 2π, a więc

A KdS = 0.

Przejdziemy teraz do wersji globalnej. M ⊂ R

3 będzie oznaczać dowolną powierzchnięzwartą.

6.14. Definicja. Podziałem M nazywamy skończony zbiór P = {Ai}, i = 1, 2,...,s

zakrzywionych wieloboków Ai pokrywających M i takich, że dla każdych i, j zbiór Ai ∩ A j

albo jest pusty, albo jest sumą pewnych wspólnych ścian Ai i A j.

Rys. 6.2.

6.15. Definicja. Niech w będzie liczbą wszystkich wierzchołków wieloboków Ai w P, bbędzie liczbą wszystkich boków wieloboków Ai w P, a s będzie liczbą wszystkich wielobo-ków Ai w P. Liczbę χ(P) := w − b + s nazywamy charakterystyką Eulera podziału Ppowierzchni M .

6.16. Przykład. Dla sfery S 2 i podziału P otrzymanego przez podział sfery równikiemi czterema południkami w = 6, b = 12, s = 8, zatem χ(P) = 6 − 12 + 8 = 2.

6.17. Przykład. Dla torusa T 2 i podziału P otrzymanego przez podział torusa oboma„równikami” i dwoma południkami w = 4, b = 8, s = 4, zatem χ(P) = 4 − 8 + 4 = 0.

Rys. 6.3.

Wiadomo, że każda zwarta powierzchnia w R

3 jest orientowalna i posiada podział na

wieloboki krzywoliniowe.

6.18. Twierdzenie (Gaussa–Bonneta, globalne). Niech M będzie zwartą powierzch-nią w R

3, a P jej podziałem. Wtedy M KdS = 2πχ(P).

Dowód. Przyjmujemy oznaczenia z definicji charakterystyki Eulera podziału (6.15.). Dlakażdego wieloboku Al podziału P zachodzi lokalne twierdzenie Gaussa–Bonneta

Al

KdS + I l

κlgds +

m

αlm = 2π,




gdzie I l jest dziedziną krzywej Γl opisującej brzeg Al, κlg jest krzywizną geodezyjną Γl, a

αlm są zewnętrznymi kątami narożnymi wieloboku Al.

Tezę otrzymamy dodając wszystkie te równości stronami. Całki z krzywizny Gaussa w su-mie dadzą

M KdS , całki z krzywizny geodezyjnej się zredukują, ponieważ krzywizna geo-

dezyjna zmienia znak przy zmianie kierunku przebiegu krzywej na przeciwny, a każdy bokpodziału P jest przebiegany w obie strony (tu korzystamy z orientowalności M ). Po prawejstronie dostaniemy oczywiście 2sπ. Należy tylko zbadać sumę wszystkich zewnętrznych ką-tów narożnych. Wybierzmy i−ty wierzchołek. Oznaczmy liczbę boków spotykających się wtym wierzchołku przez bi (wtedy

i bi = 2b, bo każdy bok wystąpi w tej sumie dwa razy).

Dalej, oznaczmy zewnętrzne kąty narożne odpowiadające i−temu wierzchołkowi przez αi j

gdzie j = 1, 2,...,bi, a odpowiednie wewnętrzne kąty narożne przez β i j . Wtedybi

j=1

αi j =

bi j=1

(π − β i j) = biπ −bi

j=1

β i j = biπ − 2π.

Sumujemy to po wszystkich wierzchołkach i otrzymujemy 2bπ

−2wπ. Mamy więc M KdS +

2bπ − 2wπ = 2sπ, zatem M KdS = (2w − 2b + 2s)π = 2πχ(P). 2

6.19. Uwaga. Wszystkie twierdzenia tego rozdziału można uogólnić do przypadku zwar-tych zorientowanych powierzchni riemannowskich.

6.20. Wniosek. Charakterystyka Eulera podziału P zwartej powierzchni M nie zależyod podziału, a tylko od M . Dlatego wspólną wartość χ(P) oznacza się χ(M ) i nazywacharakterystyką Eulera powierzchni M . Globalne twierdzenie Gaussa–Bonneta możnazatem zapisać w postaci

M KdS = 2πχ(M ).

6.21. Wniosek. Jeżeli powierzchnie M i M są dyfeomorficzne, to χ(M ) = χ( M ), a więc M KdS =

M Kd S .

6.22. Przykład. Niech T będzie dowolną powierzchnią riemannowską dyfeomorficzną ztorusem. Ponieważ charakterystyka Eulera torusa jest równa zero, więc całka z krzywiznyGaussa po T jest równa zero. Zatem na T nie można określić takiej metryki riemannow-skiej, przy której krzywizna Gaussa w każdym punkcie byłaby dodatnia (ani też w każdympunkcie ujemna). Na torusie w R

3 istnieją zarówno punkty hiperboliczne, w których krzy-wizna Gaussa jest ujemna, jak i eliptyczne, w których jest dodatnia. Na torusie w R

4

określonym w przykładzie (por. 3.3.) krzywizna Gaussa jest stale równa zero (por. 4.45.).

6.23. Uwaga. Dla przekształcenia gładkiego F : M −→ S zorientowanych powierzchnizwartych i spójnych można zdefiniować liczbę całkowitą deg F zwaną stopniem. Mierzyona, „ile razy M nawija się przy F na S ”. Okazuje się, że dla przekształcenia sferycznegoGaussa η : M −→ S 2 zwartej i spójnej powierzchni M ⊂ R

3, deg η = 12

χ(M ) i dlatego M KdS = 4π deg η.

Punkty osobliwe gładkich pól wektorowych




Do końca rozdziału M będzie oznaczać zwartą zorientowaną powierzchnię riemannowską(w szczególności dowolną powierzchnię zwartą w R

3).

Rys. 6.4.6.24. Definicja. Polem wektorowym na M nazywamy funkcję W przyporządkowu- jącą każdemu punktowi m ∈ M wektor W m ∈ T mM .

6.25. Przykład. Jeśli p : U −→ p(U ) jest parametryzacją otwartego podzbioru p(U )powierzchni M , to przyporządkowania p(u1, u2) → p1(u1, u2) i p(u1, u2) → p2(u1, u2) sąpolami wektorowymi na p(U ).

Pole wektorowe W lokalnie, w obrazie parametryzacji p : U −→ p(U ) ⊂ M można zapisać jako kombinację liniową pól p1 i p2, W p(u1,u2) = a1(u1, u2) p1(u1, u2) + a2(u1, u2) p2(u1, u2).

6.26. Definicja. Pole wektorowe W nazywa się gładkie, jeśli dla każdego punktu naM i parametryzacji otoczenia tego punktu, określone powyżej współczynniki a1 i a2 sąfunkcjami gładkimi. Nietrudno sprawdzić, że ta definicja nie zależy od wybranych para-metryzacji.

6.27. Definicja. Punkt x ∈ M nazywa się punktem osobliwym pola W , jeśli W x = 0.

Do końca W będzie oznaczać gładkie pole wektorowe na M o skończonej liczbie punktówosobliwych.

6.28. Definicja. Niech x = p(u) oznacza wybrany punkt w obrazie parametryzacji p.Niech X oznacza dowolne unormowane pole wektorowe gładkie określone na otoczeniu p(U )

punktu x. Określamy krzywą parametryczną γ : I =< 0, 1 >−→ U okrążającą punkt xwzorem γ (t) = (u1 + R cos2πt,u2 + R sin2πt). Niech r = p ◦ γ :< 0, 1 >−→ p(U ). PromieńR ma być tak mały, że w obszarze ograniczonym krzywą r jedynym punktem osobliwympola W jest co najwyżej x. Niech α(t) będzie zorientowanym kątem między wektorem X r(t)a wektorem W r(t) w zorientowanej przestrzeni stycznej T r(t)M , wybranym tak, by funkcjaα : I −→ R była ciągła. Wtedy α(1) − α(0) = 2π · J X(W, x) dla pewnej liczby całkowi-tej J X(W, x), którą nazywamy indeksem pola W w punkcie x. Zauważmy, że liczbaJ X(W, x) zależy od R w sposób ciągły, a skoro przyjmuje wartości całkowite, w istocie niezależy od R dla małych R. Z ciągłości funkcji W z, X z|W z|−1 dla z ∈ p(U ) wynika, że jeśliW x = 0, to dla odpowiednio małych R i dowolnych t ∈ I , wartości cos γ (t) różnią się mało

od liczby W x, X x|W x|−1

, więc J X(W, x) = 0. Wreszcie, jeśli Y jest innym unormowanympolem wektorowym na p(U ), to oczywiście J X(W, x) = J Y (W, x)+J X(Y, x) = J Y (W, x), boJ X(Y, x) = 0 na mocy ostatniej uwagi. Podobnie, J X(W, x) nie zmieni się, gdy zastąpimyokrąg γ inną krzywą okrążającą punkt u jeden raz przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.Indeks pola W w punkcie x będziemy odtąd oznaczać symbolem J (W, x).

6.29. Definicja. Określamy indeks J (W ) pola W na M jako J (W ) =

x J (W, x) (toma sens, jeśli pole W ma skończoną liczbę punktów osobliwych).

6.30. Twierdzenie (o indeksie). Jeśli M jest zwartą powierzchnią riemannowską, a




W gładkim polem wektorowym na M o skończonej liczbie punktów osobliwych, to J (W ) =χ(M ).

Dowód. Wybieramy podział P powierzchni M na wieloboki zakrzywione tak, by każdyz nich zawierał co najwyżej jeden punkt osobliwy, i to w swoim wnętrzu. Dla każdegowieloboku A

∈P z krzywą Γ = p

◦γ : I

−→A opisującą jego zorientowany brzeg, podobnie

jak w lokalnym twierdzeniu Gaussa – Bonneta 6.7., niech ϕ będzie funkcją z lematu 6.4.,θ(s) niech będzie zorientowanym kątem między V (s) a W Γ(s) w sposób ciągły zależnym ods ∈ I oraz niech α := ϕ + θ. Przyrost θ na całym przedziale I lub na jakimś podprzedzialenie zależy od wyboru pola V stycznego do M i równoległego wzdłuż Γ. α(s) jest kątemzorientowanym między p1(γ (s)) a W Γ(s). Ze spostrzeżeń na końcu definicji indeksu pola wpunkcie (6.28.) i lematu 6.4. wynika, że przyrost

∆α = ∆ϕ + ∆θ = A

KdS + ∆θ

jest zerem gdy A nie zawiera punktów osobliwych, a równa się 2πJ (W, x), gdy A zawierapunkt osobliwy x. Sumując po wszystkich wielobokach A

∈P otrzymujemy

2πJ (W ) = M

KdS,

bo przyrosty θ znoszą się, ponieważ każdy bok przebiegamy dwukrotnie w przeciwnychkierunkach. Z globalnego twierdzenia Gaussa–Bonneta (6.20.) wynika, że J (W ) = χ(M ).2

6.31. Wniosek. Z równości J (W ) =1

2π

M

KdS wynika, że J (W ) nie zależy od pola

W .

6.32. Wniosek. Jeżeli na zwartej orientowalnej powierzchni riemannowskiej M istniejenieznikające gładkie pole wektorowe, to χ(M ) = M

KdS = 0.

6.33. Przykład. Na torusie istnieje gładkie nieznikające pole wektorowe (np. pole jed-nostkowe styczne do równoleżników). Na sferze nie istnieje takie pole, bo

KdS > 0

(argument, że χ(S 2) = 0 też jest dobry).

Zadania

6.1. Czy na powierzchni złożonej z punktów hiperbolicznych może istnieća) geodezyjna przecinająca się sama ze sobą i będąca brzegiem obszaru jednospójnego?b) para geodezyjnych przecinających się w dwóch punktach i ograniczająca obszar jedno-spójny?

6.2. Wyraź pole czworoboku geodezyjnego na płaszczyźnie hiperbolicznej przez sumę jegokątów wewnętrznych.

6.3. Oblicz całkę z krzywizny Gaussa po paraboloidzie obrotowej opisanej w R

3 równaniemz = x2 + y2.

6.4. Co można powiedzieć o płacie powierzchniowym, którego linie współrzędne są geode-zyjnymi przecinającymi się pod stałym kątem?




6.5. Opisz przeniesienie równoległe z punktu na sferze o promieniu r do tego samegopunktu wzdłuż równoleżnika θ = θ0.

6.6. Dla danych punktów p,q,r na sferze o promieniu R wskaż kawałkami gładką para-metryczną krzywą zamkniętą o początku i końcu w p, przechodzącą przez q i r i taką, żeprzeniesienie równoległe wzdłuż niej z p do p jest identycznością.

6.7. Opisz te równoleżniki z = z0 na paraboloidzie z = x2 + y2, dla których przeniesienierównoległe z punktu do tego samego punktu wzdłuż nich jest identycznością.

6.8. Punkty p i q leżą na powierzchni riemannowskiej M , a przeniesienie równoległe z pdo q wzdłuż kawałkami gładkiej drogi nie zależy od wyboru tej drogi. Wykaż, że M jestrozmaitością płaską.

6.9. Niech M = {(x,y,z) ∈ R

3 : z = xy} oznacza paraboloidę hiperboliczną i niechr : R −→ M będzie unormowaną krzywą okresową o okresie T bez samoprzecięć, tzn.r(u) = r(v) jeśli 0 < |u − v| < T . Wykaż, że

T 0 κg(s)ds > 2π.

6.10. Wykaż, że jeśli dana jest gładka krzywa zamknięta o niezerowej krzywiźnie w R

3 taka,że jej wersor normalny główny zakreśla na sferze jednostkowej krzywą bez samoprzecięć,to ta ostatnia krzywa rozcina sferę na dwa obszary o równych polach. Wskazówka: możeszskorzystać z twierdzenia Schoenfliesa (por. Uwaga 6.3.), ze wzorów Freneta 2.15., zadania5.1. zastosowanego do nieunormowanej krzywej r2 i z Wniosku 6.9.

6.11. Każda zwarta spójna orientowalna powierzchnia riemannowska jest homeomorficznaz „preclem z pewną liczbą otworów”, np. sfera jest homeomorficzna z „preclem z zeromaotworami”, torus jest homeomorficzny z „preclem z jednym otworem”. Oblicz charaktery-stykę Eulera „precla z n otworami”.

Wskazówka: uzyskaj ten precel z „precla z n − 1 otworami” i torusa.

Rys. 6.5.

6.12. Czy metryka riemannowska o stałej ujemnej krzywiźnie Gaussa istniejea) na sferze,b) na torusie,c) na hiperboloidzie dwupowłokowej,d) na walcu obrotowym?

6.13. Dla każdego z następujących pól wektorowych na płaszczyźnie R

2 oblicz jego indeksw punkcie (0, 0):a) V (x,y) = [x, y],b) V (x,y) = [−x, −y],c) V (x,y) = [x, −y],d) V (x,y) = [x2 − y2, 2xy],e) V (x,y) = [x2 − y2, −2xy].

6.14. Niech M będzie zwartą zorientowaną powierzchnią w R

3. Dla liczby rzeczywistej t




oznaczmy przez M t zbiór punktów postaci y = x+tN x przy x przebiegającym powierzchnięM . Wykaż, żea) Jeżeli t jest dostatecznie bliskie 0, to M t jest zwartą powierzchnią.b) Pole M t jest równe a0 + a1t + a2t2, gdzie a0 =

M 1dS jest polem M , a1 = −2

M HdS ,

a a2 =

M KdS .

(Wsk. Lokalnie użyj parametryzacji p rozważanej przy powierzchniach minimalnych na str.51 dla funkcji f = 1 i oblicz p1 × p2.)c) Jeżeli t jest dostatecznie małą liczbą dodatnią, to M t ∪ M −t jest powierzchnią o polub0 + b2t2, gdzie b0 jest dwukrotnym polem M , a b2 = 4πχ(M ).



Skorowidzasteroida 24bok wieloboku zakrzywionego 70

charakterystyka Eulera podziału 73charakterystyka Eulera powierzchni 74cykloida 11defekt trójkąta 72długość krzywej parametrycznej w R

n 13długość krzywej parametrycznej na roz-

maitości riemannowskiej 30długość łuku 14dyfeomorficzne rozmaitości 7dyfeomorfizm 2dyfeomorfizm rozmaitości 7epicykloida 24ewoluta krzywej płaskiej 26ewolwenta krzywej płaskiej 26forma podstawowa I 28forma podstawowa II 40geodezyjna 60geodezyjna maksymalna 62gładkie pole wektorowe 75helikoida 36hipocykloida 24

homografia 36immersja 2immersja w punkcie 2indeks pola 75indeks pola w punkcie 75izometria wewnętrzna 31izometria wewnętrzna lokalna 32izometria zewnętrzna 31 jakobian przekształcenia gładkiego prze-

strzeni afinicznych 2

kardioida 23katenoida 36kierunek główny 42krzywa gładka 4krzywa parametryczna 13krzywa parametryczna niezdegenerowana

15krzywa parametryczna regularna 13krzywa parametryczna unormowana 13

krzywa Vivianiego 23krzywa śrubowa uogólniona 25

krzywe parametryczne równoważne 13krzywe parametryczne równoważne z za-chowaniem orientacji 13

krzywizna Gaussa 43krzywizna geodezyjna 40krzywizna główna 42krzywizna krzywej 16, 19krzywizna przekroju normalnego 41krzywizna średnia 43 krzywizna normalna

40krzywizna zorientowana krzywej płaskiej

22laplasjan 59lemniskata Bernoulliego 24linia asymptotyczna 57linia krzywiznowa 56linia śrubowa 14linie współrzędne 11lokalne przedstawienie przekształcenia gład-

kiego rozmaitości 7lokalny układ współrzędnych na rozmaito-

ści 4loksodroma 35macierz Jacobiego przekształcenia gładkie-

go przestrzeni afinicznych 2macierz I formy podstawowej 28małpie siodło 55mapa na płacie 5mapa na rozmaitości 4metryka riemannowska 29miara m-wymiarowa 34

odległość na rozmaitości riemannowskiej30

odwzorowanie Bonne’a 36odwzorowanie konforemne 32odwzorowanie Merkatora 33odwzorowanie Mollweidego 36odwzorowanie sferyczne Gaussa 38odwzorowanie walcowe 34odwzorowanie Weingartena 39

79



SKOROWIDZ 80

odwzorowanie wiernokątne 32odwzorowanie wiernopowierzchniowe 34okrąg geodezyjny 68okrąg ściśle styczny 17orientacja powierzchni 37

owal 27parametr naturalny 13parametryzacja 4parametryzacja półgeodezyjna 62parametryzacja sferyczna 5płaszczyzna Łobaczewskiego 36płaszczyzna normalna 15płaszczyzna prostująca 15płaszczyzna ściśle styczna 15płat 4

pochodna kowariantna 59podrozmaitość m-wymiarowa R

n 4podział powierzchni zwartej 73Poissona prawo 52pole równoległe wzdłuż krzywej 60pole wektorowe 75pole styczne wzdłuż krzywej 59pole wersorów normalnych 38południk 47powierzchnia gładka 4powierzchnia minimalna 52powierzchnia prostokreślna 48powierzchnia rozwijalna 49powierzchnia Scherka 58powierzchnia stycznych krzywej 50przekształcenie exp 62przekształcenie gładkie przestrzeni afinicz-

nych 2przekształcenie gładkie rozmaitości 7przekształcenie styczne 9przekształcenie zachowujące m

−wymiarową

miarę 34przeniesienie równoległe wzdłuż krzywej

60przestrzeń styczna 8przestrzeń styczna afiniczna 9punkt eliptyczny 44punkt hiperboliczny 44punkt kołowy 44punkt ombiliczny 44

punkt paraboliczny 44punkt sferyczny 44punkt spłaszczenia 44rozmaitość 4rozmaitość płaska 32

rozmaitość riemannowska 29równoleżnik 47różniczka przekształcenia gładkiego prze-

strzeni afinicznych 2różniczka przekształcenia gładkiego roz-

maitości 9rzut stereograficzny 5skręcenie krzywej 16, 19skręcenie geodezyjne 56stożek 49

submersja 3submersja w punkcie 3suma cykliczna 46symbole Christoffela II rodzaju 53szerokość owalu 27szybkość 13środek krzywizny 17tensor metryczny 29tensor typu ( p,q) 30theorema egregium 54torus 11transwersalne przecięcie podrozmaitości 12trójnóg Freneta 15, 19twierdzenie Chasles’a 58twierdzenie Clairaut 67twierdzenie Jordana o rozcinaniu płasz-

czyzny 70twierdzenie Gaussa–Bonneta lokalne 71twierdzenie Gaussa–Bonneta globalne 73twierdzenie Meusniera 41twierdzenie o immersji 3

twierdzenie o indeksie 75twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym 2twierdzenie o submersji 3twierdzenie podstawowe o krzywych pła-

skich 23twierdzenie podstawowe o krzywych prze-

strzennych 17twierdzenie Schoenfliesa 70tworząca 48



SKOROWIDZ 81

układ współrzędnych 2układ współrzędnych na płacie 5wahadło izochroniczne 27walec 49warszawska sinusoida 5

wektor Darboux 25wektor główny 42wektor krzywizny 17wektor prędkości kątowej 25wersor binormalny 15, 21wersor normalny główny 15, 21wersor styczny 15, 21wewnętrzny kąt narożny 71wierzchołek wieloboku zakrzywionego 70włókno przekształcenia 6

współczynniki Christoffela II rodzaju 53współczynniki I formy podstawowej 28współczynniki II formy podstawowej 40współrzędne sferyczne 5wstęga Mobiusa 37wzory Freneta 15, 22wzory Gaussa 53wzory Weingartena 53zakrzywiony wielobok 70zewnętrzny kąt narożny 71



82

Spis treści

1. Podrozmaitości przestrzeni afinicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych ............................................ 12

Krzywe unormowane w R

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Krzywe nieunormowane w R

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Krzywe w R

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Rozmaitości riemannowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 . Geometr ia powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

W y k r e s y f u n k c j i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

Powierzchnie określone równaniem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Powierzchnie obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Powierzchnie prostokreślne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Powierzchnie minimalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Symbole Christoffela, theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Pochodna kowariantna, geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Powierzchnie o stałej krzywiźnie Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. Twierdzenie Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Punkty osobliwe gładkich pól wektorowych ........................................74

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

S k o r o w i d z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9



Cezary Bowszyc i Jerzy Konarski

WSTĘP DO GEOMETRIIRÓŻNICZKOWEJ

Warszawa 2006

Geometria Różniczkowa 1

Documents

Transcript of Geometria Różniczkowa 1