Wstęp do geometrii różniczkowej

Paweł G. Walczak

1 Wstęp

Przedmiotem badań geometrii różniczkowej są krzywe, powierzchnie i ichwielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami.Metody geometrii różniczkowej oparte są na rachunku różniczkowym: krzy-we (powierzchnie, hiperpowierzchnie itp.) opisuje się przy pomocy funkcjiróżniczkowalnych (tj. gładkich, jednej i wielu zmiennych), a ich własnościgeometryczne bada się przy pomocy pochodnych (pierwszych, drugich i wyż-szych) zwyczajnych i cząstkowych tych funkcji. Wykład oparty będzie nawybranych fragmentach książki [Op], a słuchaczom proponujemy równieżlekturę odpowiednich framentów jednej (lub kilku) z pozostałych książekwymienionych w Bibliografii.

Spis treści

1 Wstęp 1

2 Geometria krzywych 22.1 Pojęcie krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Długość krzywej regularnej, parametryzacja naturalna . . . . . 42.3 Krzywizna i skręcenie, trójścian Freneta . . . . . . . . . . . . 6

3 Powierzchnie 93.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Przestrzeń styczna, wektor normalny, orientacja . . . . . . . . 113.3 Pierwsza forma podstawowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Koneksja Levi-Civita i współczynniki Christoffela . . . . . . . 143.5 Przeniesienie równoległe i geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . 17

1

3.6 Druga forma podstawowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Krzywizna normalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8 Odwzorowanie i krzywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . 253.9 Wzory Codazziego i podstawowe twierdzenie teorii powierzchni 29

2 Geometria krzywych

2.1 Pojęcie krzywej

Intuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej prze-strzeni (metrycznej, topologicznej, płaszczyzny, trójwymiarowej lub n-wymia-rowej przestrzeni euklidesowej itp.). W fizyce, krzywa to trajektoria ruchupunktu materialnego. Tu rozważać będziemy przede wszystkim krzywe po-łożone w przestrzeni trójwymiarowej lub na płaszczyźnie. Ponieważ niektórepojęcia i fakty przenoszą się ”automatycznie” na przypadek przestrzeni odowolnym wymiarze przyjmiemy następującą definicję.

Definicja 1 Krzywą w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn nazywa-my ciągłe przekształcenie γ przedziału (otwartego lub domkniętego, właści-wego lub nie) J ⊂ R w Rn.

Ciągłość przekształcenia γ = (γ1, . . . , γn) jest równoważna ciągłości wszyst-kich jego współrzędnych γj, j = 1, . . . , n.

Ponieważ trajektoria opisywana przez poruszający się punkt nie zależy odprędkości ruchu przyjmuje się często, że dwie krzywe γ : J → Rn i δ : I → Rn

są równoważne, gdy istnieje funkcja f : J → I ciągła, rosnąca i taka, żef(J) = I oraz δ = γ ◦ f . Oczywiście, tak określona relacja równoważnościjest zwrotna, symetryczna i przechodnia, można więc mówić o jej klasachabstrakcji. Każda taka klasa jest wyznaczone jednoznacznie przez dowolnegoswego reprezentanta, a każda krzywa (w sensie Def. 1) należy do pewnej klasyabstrakcji. Dlatego można też przyjąć inne określenie krzywej:

Definicja 2 Krzywą w Rn nazywamy klasę abstrakcji (względem relacji opi-sanej powyżej) dowolnego ciągłego przekształcenia γ pewnego przedziałuJ ⊂ R w Rn. Wtedy, każde przekształcenie reprezentujące tę klasę nazy-wamy parametryzacją krzywej przez nie reprezentowanej. Jeżeli J = [a, b]jest przedziałem domkniętym i γ(a) = γ(b), to krzywą o parametryzacji γnazywamy zamkniętą. (Oczywiście, określenie to jest poprawne, to czy krzy-wa jest zamknięta czy nie nie zależy od wyboru jej parametryzacji.)

2

Dobrze znanymi przykładami krzywych są m. in. prosta (γ(t) = x0 + ta,t ∈ R, gdzie x0 ∈ R jest ustalonym punktem zaś a ∈ Rn ustalonym ele-mentem zwanym czasem wektorem kierunkowym prostej), okrąg (γ(t) =(x0 + r cos t, y0 + r sin t), t ∈ [0, 2π], gdzie (x0, y0) ∈ R jest jego środkiem,a r > 0 - jego promieniem) oraz krzywe stożkowe: elipsa o parametryzacjiγ(t) = (a cos t, b sin t), hiperbola o parametryzacji γ(t) = (a cosh t, b sinh t) iparabola o parametryzacji γ(t) = (t2, t), t ∈ R. Krzywą płaską (o parame-tryzacji γ(t) = (t, f(t))) jest też wykres dowolnej funkcji ciągłej f : J → R.Niektóre krzywe (np. okrąg) można opisać równaniem postaci F (x, y) = 0,gdzie F jest funkcją ciągłą dwu zmiennych rzeczywistych; w przypadku okrę-gu o środku (x0, y0) i promieniu r równaniem takim jest - jak dobrze wiemy- (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2. Z twierdzenia o funkcji uwikłanej (por. wykładanalizy matematycznej) wynika, że jeśli F jest funkcją różniczkowalną klasyC1, to równanie F (x, y) = 0 opisuje pewną krzywą przechodzącą przez takipunkt (x0, y0) dziedziny funkcji F w którym F (x0, y0) = 0 i wektor

dF (x0, y0) =(∂F

∂x(x0, y0),

∂F

∂y(x0, y0)

)

jest niezerowy.Krzywe w sensie powyższej definicji mogą być bardzo skomplikowane i

trudne do zbadania. Np., Peano (1890) wykazał istnienie krzywej przecho-dzącej przez wszystkie punkty pewnego obszaru płaszczyzny (np. kwadratu).Dlatego ograniczymy się tu do badania krzywych znacznie węższej klasy:

Definicja 3 Krzywą γ = (γ1, . . . , γn) : J → Rn nazywamy różniczkowal-ną lub gładką (klasy Ck, k = 1, 2, . . . ,∞), gdy wszystkie funkcje γj, j =1, . . . , n, są k-krotnie różniczkowalne, a ich k-te pochodne γ(k) są ciągłe. Wek-tor γ′(t) = (γ′1(t), . . . γ′n(t)) nazywamy stycznym do krzywej γ w chwili t ∈ J .Krzywą γ nazywamy regularną, gdy jest gładka klasy (przynajmniej) C1 iγ′(t) 6= 0 dla dowolnego t ∈ J . Prostą R 3 s 7→ γ(t) + s · γ′(t) nazywamystyczną do krzywej regularnej γ w chwili t (lub w punkcie γ(t)).

Uwaga 1 Jeśli J jest przedziałem (jedno- lub obustronnie) domkniętym i ajest jednym z jego końców, to przez γ′j(a) rozumiemy odpowiednią pochodnąjednostronną funkcji γj.

Wspomniane powyżej krzywe: prosta, okrąg i krzywe stożkowe są różnicz-kowalne klasy C∞ i regularne. Nie wszystkie krzywe opisujące nawet prostezjawiska fizyczne są regularne:

3

Przykład 1 Przypuśćmy, że koło o promieniu r toczy się (bez poślizgu) poprostej doń stycznej. Dowolny punkt okręgu tego koła porusza się po krzywejγ(t) = (r(t − sin t), r(1 − cos t)) zwanej cykloidą. Cykloida jest oczywiścieróżniczkowalna klasy C∞ ale nie jest regularna: γ′(t) = 0 gdy t jest całkowitąwielokrotmością liczby 2π. Krzywą γ(t) = (rt− a sin t, r− a sin t) nazywa się(dlaczego ?) cykloidą wydłużoną (odp., skróconą), gdy r < a (odp., r > a).Słuchacz bez trudu zbada (!) różniczkowalność i regularność tych krzywych.

Przykład 2 Prostym przykładem krzywej przestrzennej jest linia śrubowaγ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R, gdzie a i b są stałymi dodatnimi. Krzywata jest położona na powierzchni walca, którego osią jest trzecia oś układuwspółrzędnych, a promień wynosi a; liczbę b nazywa się skokiem linii śrubowjγ.

2.2 Długość krzywej regularnej, parametryzacja natu-ralna

Jeżeli γ : [a, b]→ Rn (lub γ : [a, b]→ X, gdzie X jest przestrzenią metryczną)jest dowolną krzywą, to jej długość L(γ) określamy jako kres górny długościłamanych wpisanych w γ; dokładniej,

L(γ) = sup{m∑j=1

d(γ(tj), γ(tj+1); a ¬ t1 ¬ t2 ¬ · · · ¬ tm ¬ tm+1 ¬ b,m ∈ N},

gdzie d jest odległością w Rn (odp. w X).

Definicja 4 Krzywa γ jest prostowalna, gdy L(γ) <∞.

Bardzo łatwo skonstruować przykłady krzywych nieprostowalnych (np.,na płaszczyźnie). Stosując nierówność trójkąta można też sprawdzić, że jeślikrzywa γ jest prostowalna, to

L(γ) = limk→∞

k∑j=1

d(γ(tk,j, tk,j+1),

gdzie τk = {tk,1, . . . , tk,k+1}, k = 1, 2, . . . , jest dowolnym normalnym ciągiempodziałów przedziału [a, b] (tzn., a = tk,1 < tk,2 < · · · < tk+1 = b i średnica

δk = maxj|tk,j − tk,j+1|

4

podziału τk dąży do 0, gdy k →∞.Jeżeli γ : [a, b] → Rn jest krzywą regularną, to funkcja ‖γ′(t)‖, t ∈ [a, b],

jest funkcją ciągłą, jest więc całkowalna w sensie Riemanna.

Twierdzenie 1 Dowolna krzywa regularna γ : [a, b] → Rn jest prostowalnaoraz

L(γ) =∫ b

a‖γ′(t)‖dt. (2.2.1)

Dowód. Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że dla dowolnych s, t ∈[a, b] (s < t) istnieją liczby θi ∈ (s, t) takie, że

γi(t)− γi(s) = (t− s)γ′i(θi),

gdzie γi, i = 1, . . . , n, są współrzędnymi krzywej γ. Jeśli więc τk, k ∈ N, jest- tak jak powyżej - ciągiem normalnym podziałów przedziału [a, b], to

k∑j=1

d(γ(tk,i, γ(tk,i+1) =k∑j=1

(tk,i+1 − tk,i) ·√∑

i

(γ′i)2(θk,i,j)

dla pewnych θk,i,j ∈ (tk,j, tk,j+1). Łatwo zauważyć, że powyższe sumy przybli-żają (z dowolną dokładnością, gdy k jest dostatecznie duże) sumy Riemannacałki w (2.2.1).

Jeżeli symbolem L(t) oznaczymy długość krzywej γ|[a, t], to otrzymamyfunkcję różniczkowalną L : [a, b]→ R określoną wzorem

L(t) =∫ t

a‖γ′(s)‖ds,

której pochodna w dowolnym punkcie t wynosi L′(t) = ‖γ′(t)‖ i jest dodatnia.Funkcja L jest więc ściśle rosnąca i L([a, b]) = [0, L(γ)]. Niech φ = L−1 będziefunkcją doń odwrotną. Złożenie γ ◦φ przedstawia tę samą krzywą, przy czym

(γ ◦ φ)′(s) =1

L′(φ(s))· (γ′(φ(s))

dla wszystkich s ∈ [0, L(γ)]. Zatem,

‖(γ ◦ φ(s)‖ = 1

dla dowolnego s.

5

Definicja 5 Parametryzację γ krzywej regularnej nazywamy naturalną, gdy‖γ′(t)‖ = 1 dla wszystkich t.

Z powyższego rozumowania wynika co następuje.

Twierdzenie 2 Każda krzywa regularna posiada parametryzację naturalną.

Uwaga 2 Słuchacz bez trudu odpowie na pytanie następujące: Czym różniąsię dwie parametryzacje naturalne tej samej krzywej regularnej ?

Z powyższego twierdzenia wynika, że w zasadzie możnaby mówić wyłącz-nie o krzywych sparametryzowanych w sposób naturalny, jednak ponieważ wwielu przypadkach całki wyrażające długość krzywej są trudne do wyliczenia,będziemy często wracali do krzywych o parametryzacji dowolnej.

Przykład 3 Funkcja t 7→ x0 + tv jest parametryzacją naturalną prostejwtedy i tylko wtedy, gdy ‖v‖ = 1. Funkcja t 7→ (r cos t

r, r sin t

r) jest parame-

tryzacją naturalną okręgu o promieniu r.

2.3 Krzywizna i skręcenie, trójścian Freneta

Niech γ : (a, b) → R3 będzie przestrzenną krzywą regularną klasy C3 oparametryzacji naturalnej. Niech T (t) = γ′(t) bedzie wektorem stycznym doγ w chwili t. T (t) jest - dla dowolnego t - wektorem jednostkowym, a zatem

0 =d

dt‖T‖2 = 2(T · T ′)

i wektor T ′(t) jest prostopadły do krzywej γ w punkcie γ(t).

Definicja 6 Liczbę κ(t) = ‖T ′(t)‖ nazywamy krzywizną krzywej γ w chwilit.

Jeśli κ(t) 6= 0, to wzór

T ′(t) = κ(t)N(t) (2.3.1)

wyznacza jednoznacznie wektor jednostkowy N(t). Niech B(t) = T (t)×N(t).Wtedy B(t) jest wektorem jednostkowym prostopadłym do T (t) i N(t). Po-nieważ ‖N(t)‖ = 1 dla każdego t, więc wektor N ′(t) jest prostopadły do

6

N(t), jest zatem liniową kombinacją wektorów T (t) i B(t), a ponieważ po-nadto 0 = (T ·N)′ = T ′ ·N + T ·N ′ = κN + T ·N ′, więc zachodzi wzór

N ′(t) = −κ(t)T (t) + τ(t)B(t) (2.3.2)

dla pewnej liczby τ(t). Ponadto,

B′ = T ′ ×N + T ×N ′ = κN ×N − κT × T + τT ×B,

a więcB′(t) = −τ(t)N(t). (2.3.3)

Wzory (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3) nazywa się wzorami Freneta.Wektory T (t), N(t) i B(t) zaczepione w punkcie γ(t) tworzą tzw. trój-

ścian Freneta i noszą odpowiednio nazwy: wektor styczny, normalny głównyi binormalny. Podobnie (styczna, normalna główna i binormalna) nazywająsię przechodzące przez γ(t) proste o kierunkach tych wektorów. Płaszczy-ny przechodzące przez γ(t) i rozpięte przez pary (T (t), N(t)), (T (t), B(t))i (N(t), B(t)) nazywa się odpowiednio płaszczyzną ścisle styczną, prostu-jącą i normalną. Jak widać z wcześniejszych rozważań, trójścian Freneta (iwszystkie jego elementy) jest dobrze określony we wszystkich punktach t, dlaktórych κ(t) 6= 0. Punkty t, dla których κ(t) = 0 nazywa się punktami wypro-stowania krzywej γ, podczas, gdy te punkty t, dla których τ(t) = 0 nazywasię punktami spłaszczenia tej krzywej. Jest tak dlatego, że (jak łatwo spraw-dzić !) krzywa złożona z samych punktów wyprostowania jest fragmentemlinii prostej, podczas gdy krzywa złożona z samych punktów spłaszczenia le-ży na pewnej płaszczyżnie. Krzywiznę i skręcenie można więc zinterpretowaćodpowiednio jako miarę odchylenia krzywej od prostej stycznej i płaszczyznyściśle stycznej. Znak skręcenia wyznacza kierunek odchylenia od płaszczyznyściśle stycznej.

Z definicji wynika, że krzywizna κ(t) krzywej przestrzennej γ jest liczbąnieujemną. W przypadku krzywej płaskiej można też zdefiniować krzywi-znę opatrzoną stosownym znakiem: Jeżeli n(t) jest wektorem jednostkowym,prostopadłym do T (t) i takim, że para (T (t), n(t)) tworzy na płaszczyżniebazę zorientowaną dodatnio, to T ′(t) = k(t)n(t) dla pewnej liczby rzeczy-wistej k(t). Liczbe tę nazywa się krzywizną krzywej płaskiej. Oczywiście,κ(t) = |k(t)|.

Zauważmy, że jeżeli γ : [a, b] → R3 jest dowolną krzywą regularną klasyC3, a δ = γ ◦ φ : [0, L(γ)]→ R3 jej parametryzacją naturalną, to

T = δ′ = φ′ · γ′ ◦ φ,

7

φ′ = ‖γ′ ◦ φ‖−1,

T ′ = δ′′ = φ′′ · γ′ ◦ φ+ (φ′)2 · γ′′ ◦ φ = κ ·N.

Mnożąc obie strony ostatniej równości wektorowo przez T otrzymujemy, że

κ · T ×N = (φ′)3 · (γ′ × γ′′) ◦ φ,

a więc krzywizna krzywej γ (rozumiana jako krzywizna jej reparametryzacjinaturalnej) w dowolnym punkcie t ∈ [a, b] wynosi

κ(t) =‖γ′(t)× γ′′(t)‖‖γ′(t)‖|3

. (2.3.4)

Podobnie, (słuchacz sprawdzi bez trudu, że) skręcenie τ krzywej γ (znowurozumiane jako skręcenie jej repramatryzacji naturalnej) dane jest wzorem

τ(t) =(γ′(t)× γ′′(t)) · γ′′′(t)‖γ′(t)× γ′′(t)‖2

. (2.3.5)

Łatwo też sprawdzić, że jeśli krzywa γ jest dana od razu w parametryza-cji naturalnej, to wzory (2.3.4) i (2.3.5) redukują się do tych wynikajacychbezpośrednio ze wzorów Freneta.

Przykład 4 Okrąg o promieniu r ma krzywiznę 1/r. Linia prosta ma krzy-wiznę tożsamościowo równą zeru. Linia śrubowa z przykładu 2 ma krzywiznęi skręcenie stałe i równe odpowiednio

κ =a

a2 + b2, τ =

b

a2 + b2.

Krzywizna i skręcenie wyznaczają krzywą z dokładnością do izometrii. Ztwierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla układów równań różniczkowychzwyczajnych wynika łatwo następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3 Dla dowolnych funkcji rzeczywistych gładkich κ i τ określo-nych na przedziale I istnieje krzywa γ : I → R3, której krzywzina wynosiκ, a skręcenie – τ . Dwie takie krzywe γ1 i γ2 różnią się tylko położeniem wprzestrzeni: γ2 = ι ◦ γ1 dla pewnej izometrii ι przestrzeni R3 (i stosowniedobranych (jak ?) parametryzacji naturalnych).

8

Dowód. Równania Freneta prowadzą do następującego układu liniowychrównań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu:

γ′ = T, T ′ = κN, N ′ = −κT + τB, B′ = −τB, (2.3.6)

o niewiadomych γ, T,N,B i danych współczynnikach κ i τ . Przy danychwarunkach początkowych γ(t0) = x0, T (n0) = T0, N(t0) = N0 i B(t0) = B0,układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli wektory (T0, N0, B0)tworzą bazę ortonormalną, to i wektory (T (t), N(t), B(t)) tworzą takąż bazędla dowolnego t. Istotnie, jeżeli T = (u1, u2, u3), N = (v1, v2, v3) i B =(w1, w2, w3), to dla dowolnych i i j mamy

(d/dt)(uiuj + vivj + wiwj) = u′iuj + uiu′j + v′ivj + viv

′j + w′iwj + wiw

′j

= κviuj + κuivj + . . . ... = 0.

Zatem funkcje uiuj + vivj +wiwj, i, j = 1, 2, 3, są stałe i (wobec ortonormal-ności warunków początkowych) przyjmują wartości δij (równe zeru gdy i 6= ji jedności gdy i = j). Oznacza to, że macierzu1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

jest ortogonalna, co dowodzi iż nasze wektory są ortonormalne. Oczywiście,krzywa γ otrzymana z rozwiązania układu (2.3.6) ma krzywiznę κ i skrę-cenie τ . Ponadto, zmiana warunków początkowych (x0, T0, N0, B0) na inne(spełniające też powyższe warunki ortonormalności) powoduje zastąpienierozwiązania γ przez A · γ + b, gdzie A jest ustaloną macierzą ortonormalną,zaś b ustalonym elementem przestrzeni R3.

3 Powierzchnie

3.1 Definicja i przykłady

Przypomnijmy najpierw, że odwzorowanie F : X → Y między przestrzenia-mi metrycznymi (ogólniej, topologicznymi) jest homeomorfizmem, gdy jestciągłe, różnowartościowe, F (X) = Y i przekształcenie odwrotne F−1 jestteż ciagłe. Przypomnijmy także, iż odwzorowanie F = (F1, . . . , Fn) zbioruotwartego V ⊂ Rk w Rn jest różniczkowalne klasy Cr (r = 1, 2, . . . ,∞), gdy

9

wszystkie jego współrzędne posiadają wszystkie pochodne cząstkowe rzędu¬ r ciągłe. Odwzorowanie takie jest dyfeomorfizmem klasy Cr, gdy jest róż-nowartościowe i rząd macierzy[

∂Fi∂xj

(x); i ¬ n, j ¬ k

]

wynosi k w każdym punkcie x ∈ V .

Definicja 7 Podzbiór S przestrzeni Rn nazywamy hiperpowierzchnią k-wy-miarową, gdy każdy punkt p ∈ S posiada otoczenie U ⊂ Rm takie, że S ∩U jest homeomorficzne z pewnym podzbiorem otwartym V przestrzeni Rk.Hiperpowierzchnię S nazywamy regularną klasy Cr, gdy każdy punkt p ∈ Sposiada otoczenie Cr dyfeomorficzne z podzbiorem otwartym przestrzeni Rk.Hiperpowierzchnię 2-wymiarową nazywamy po prostu powierzchnią. Liczbęn− k nazywamy kowymiarem hiperpowierzchni S.

Przykład 5 Układ równań liniowychn∑i=1

aijxi = bj, j = 1, . . . n− k,

o macierzy [aij] rzędu n− k wyznacza w Rn hiperpłaszczyznę k-wymiarową.Hiperpłaszczyzna taka jest hiperpowierzchnią wymiaru k i klasy C∞. Sfera

Sn(r) ={x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn;

n+1∑i=1

x2i = r2

}

jest hiperpowierzchnią kowymiaru 1 i klasy C∞. Istotnie, jeżeli x, y ∈ Sn

sa punktami antypodycznymi, to rzut stereograficzny z punktu y jest ho-meomorfizmem otoczenia Sn \ {y} punktu x na Rn, a jego odwrócenie jestdyfeomorfizmem klasy C∞. Powierzchnia stożka

{(x, y, z) ∈ R3; z2 = x2 + y2, z ­ 0}

jest powierzchnią (odpowiednim homeomorfizmem jest rzutowanie na płasz-czyznę Ox,y), ale nie jest powierzchnią regularną. Powierzchniami regularny-mi w R3 są też paraboloidy (eliptyczna i hiperboliczna) oraz hiperboloidy(jedno - i dwupowłokowa). Słuchacz bez trudu znajdzie odpowiednie dyfe-omorfizmy.

Inne przykłady powierzchni pojawią się póżniej i na ćwiczeniach.

10

3.2 Przestrzeń styczna, wektor normalny, orientacja

Niech S ⊂ Rn będzie hiperpowierzchnią regularną wymiaru k i niech p ∈S. Symbolem TpS oznaczmy zbiór wszystkich (zaczepionych w p) wektorówstycznych w p do krzywych regularnych położonych na S:

v ∈ TpS ⇔ v = γ′(0),

gdzie γ : (−ε, ε)→ S ⊂ Rn (ε > 0) jest krzywą regularną i γ(0) = p.

Lemat 1 TpS jest k-wymiarową przestrzenią liniową.

Dowód. Niech F : V → S będzie takim dyfeomorizmem pewnego otocze-nia V ⊂ Rk punktu 0 ∈ Rk, że F (0) = p. Niech

vi =(∂F1

∂xi(0), . . . ,

∂Fn∂xi

(0))∈ Rn, i = 1, . . . , k.

Wtedy vi = γ′i(0), gdzie γi(t) = F (0, . . . , t, . . . , 0) dla t ∈ (−ε, ε), ε > 0 jestdostatecznie małe i t ”stoi” na ”i”-tym miejscu w ciągu współrzędnych. Za-tem, vi ∈ TpS dla wszystkich i ¬ k. Z regularności odwzorowania F wynika,że wektory v1, . . . , vk są liniowo niezależne. Wreszcie, jeżeli γ : (−ε, ε) → Sjest dowolną krzywą na S taką, że γ(0) = p, to γ = F ◦ (F−1 ◦γ) i z twierdze-nia o rózniczkowaniu funkcji złożonej wynika, że γ′(0) jest liniową kombinacjąwektorów v1, . . . , vk. TpS jest więc przestrzenią liniową o bazie v1, . . . , vk.

Przykład 6 Przestrzenią styczną do hiperpłaszczyzny jest ta sama hiper-płaszczyzna. Przestrzenią styczną do sfery (o środku w początku układuwspółrzędnych) w punkcie p jest przestrzeń złożona ze wszystkich wektorówprostopadłych do p.

Jeżeli S ⊂ R3 jest (dwuwymiarową) powierzchnią regularną i p ∈ S,to istnieją dokładnie dwa jednostkowe wektory prostopadłe do płaszczyznystycznej TpS. Np., jesli F : V → R3, V ⊂ R2, jest odwzorowaniem regularnymopisującym S w otoczeniu punktu p, to wektorem takim jest zaczepiony w pwektor

N(p) =v1 × v2

‖v1 × v2‖, (3.2.1)

gdzie vi = ∂F/∂ui i (u1, u2) są współrzędnymi na płaszczyznie R2. Wektorten nazywamy normalnym do powierzchni.

11

Zmieniajac w powyższym wzorze punkt p otrzymujemy przyporządko-wanie p 7→ N(p), tj. funkcję N o wartosciach wektorowych. Funkcje takienazywamy polami wektorowymi. N jest wiec polem wektorowym określonymw pewnym otoczeniu punktu p ∈ S.

Definicja 8 Powierzchnię regularną S nazywamy orientowalną, gdy istniejena niej globalne (tj. określone na całym S ciągłe pole normalne N . Wybórtakiego pola nazywa się orientacją powierzchni. (Każda powierzchnia orien-towalna ma więc dokładnie dwie orientacje.)

Przykład 7 Hiperpłaszczyzny, sfery, paraboloidy i hiperboloidy sa oriento-walne. Przykładem powierzchni nieorientowalnej jest tzw. wstega Mobiusaktórą otrzymuje się z prostokątnego paska papieru poprzez sklejenie krót-szych jego boków po uprzednim skręceniu jednego z nich w stosunku dodrugiego o 180◦. Dokładniej, wtęga Mobiusa jest obrazem w R3 obszaru pła-skiego

V = {(u1, u2);u1 ∈ R, |u2| < 1}

w odwzorowaniu F danym wzorem

F (u1, u2) =(

(2− u2 sinu1

2) cosu1, (2− u2 sin

u1

2) sinu1, u2 cos

u1

2

).

(Łatwo sprawdzić, że F jet regularne...)

Można wykazać, że każda regularna powierzchnia zwarta w R3 jest orien-towalna. Przykładem zwartej powierzchni nieorientowalnej (w R4) jest tzw.butelka Kleina, którą otrzymuje sie z powierzchni bocznej walca obrotowegopoprzez skejenie brzegowych okręgów ”zorientowanych przeciwnie”. (Ćwicze-nie: Opisz butelkę Kleina równaniami.)

Twierdzenie 4 Powierzchnia regularna S jest orientowalna wtedy i tylkowtedy, gdy posiada pokrycie otwarte (Ui; i ∈ N) takie, że Ui = Fi(Vi), gdzieVi ⊂ R2, Fi : Vi → Ui jest dyfeomorfizmem i dla dowolnych i, j ∈ N zachodzinierówność

det[∂Gijr(u1, u2)

∂us; r, s = 1, 2

]> 0, (3.2.2)

gdzie Gij = (Gij1, Gij2) = (F−1i ◦ Fj).

12

Dowód. Jeżeli (Ui) jest takim pokryciem jak w Twierdzeniu, to pola nor-malne Ni określone na Ui wzorem (3.2.1) z F zastąpionym przez Fi wyzna-czają jedno globalne pole normalne N . Istotnie, z (3.2.2) wynika, że Ni = Nj

na Ui ∩Nj.Odwrotnie, jeżeli N jest globalnym polem normalnym na powierzchni S

i (Ui), jest dowolnym pokryciem otwartym S zbiorami postaci Ui = fi(Vi),gdzie Vi są spójnymi podzbiorami otwartymi płaszczyzny, zaś fi : Vi → Ui -różnowartościowymi odwzorowaniami regularnymi (istnienie takiego pokry-cia wynika bezpośrednio z określenia powierzchni regularnej), to to samopokrycie wraz z odwzorowaniami Fi określonymi następująco: Fi = fi, gdywyznaczone przez fi wzorem (3.2.1) pole normalne Ni pokrywa się z N naUi, zaś Fi = fi ◦ s, gdzie s : R2 → R2 jest dane wzorem

s(u1, u2) = (u2 ◦ u1),

w przeciwnym razie, spełnia warunek (3.2.2).Twierdzenie to pozwala uogólnić (uważny Słuchacz odgadnie bez tru-

du jak) pojęcia orientowalności i orientacji na przypadek dowolnej hiperpo-wierzchni.

3.3 Pierwsza forma podstawowa

Niech S będzie znowu k-wymiarową hiperpowierzchnią regularną w Rn. Na-turalny iloczyn skalarny 〈·, ·〉 w Rn indukuje iloczyn skalarny w każdej prze-strzeni stycznej TpS, p ∈ S. Jeżeli F = (f1, . . . fn) : V → Rn, V ⊂ Rk, jestodwzorowaniem regularnym opisującym powierzchnię S w pewnym otoczeniuU , zaś

Xj =∂F

∂uj=(∂f1

∂uj, . . . ,

∂fn∂uj

),

j = 1, . . . , k, są bazowymi polami wektorowymi na U stycznymi do S, towspomniany powyżej iloczyn skalarny wyznacza, dla każdego p ∈ U , dodatniookreśloną, symetryczną formę dwuliniową g daną wzorem

g(X, Y ) =k∑

i,j=1

gijxiyj, (3.3.1)

gdzie X =∑i xiXi i Y =

∑j yjYj są polami wektorowymi na U stycznymi

do S, zaś

gij = 〈Xi, Xj〉 =n∑l=1

∂fl∂ui· ∂fl∂uj

. (3.3.2)

13

Definicja 9 Formę g daną wzorami (3.3.1), (3.3.2) nazywa się pierwsząformą podstawową powierzchni S.

Jak zobaczymy później, pierwsza forma podstawowa zawiera w sobie wieleinformacji o geometrii powierzchni S.

Przykład 8 Słuchacz bez trudu wyznaczy współczynniki pierwszej formypodstawowej dowolnej hiperpłaszczyzny. Dla sfery jednostkowej Sn ⊂ Rn+1

i odwzorowania F , będącego odwróceniem rzutu stereograficznego z biegunapółnocnego n = (1, 0, . . . , 0) mamy gij = 0 gdy i 6= j oraz

gii(u) = (1 + ‖u‖2)2

(por. przykład 5). Torus otrzymany przez obrót okręgu o promieniu r wokółosi położonej w płaszczyźnie tego okręgu i oddalonej od jego środka o R,R > r, można opisać parametrycznie przy pomocy równań:

x = (R + r cosu1) cosu2, y = (R + r cosu1) sinu2, z = r sinu1.

Wtedy pierwsza forma podstawowa torusa przyjmuje postać:

g11(u) = (R−r sinu1)2+r2 cos2 u1, g12(u) = g21(u) = 0, g22(u) = (R+r cosu1)2.

dla wszystkich u = (u1, u2) ∈ R2.

3.4 Koneksja Levi-Civita i współczynniki Christoffela

Przez pole wektorowe na hiperpowierzchni S ⊂ Rn (dimS = m) rozumiemyfunkcję X, która każdemu punktowi p ∈ S przypisuje wektor X(p) stycznydo S w punkcie p: X(p) ∈ TpS dla wszystkich p ∈ S. Lokalnie, w obrazieF (U) ⊂ S odwzorowania F parametryzującego S, pole takie jest postaci

X =m∑j=1

fj∂F

∂uj, (3.4.1)

gdzie fj : U → R są funkcjami rzeczywistymi. Pole X jest gładkie, gdyfunkcje fj są różniczkowalne (klasy conajmniej C1).

Ponieważ odzworowanie F jest lokalnie odwracalne, więc gładkie polewektorowe przedłuża się lokalnie do pola w otoczeniu V otwartym w Rn:X|V ∩S = Y |V ∩S, gdzie Y = (Y1, . . . Yn) , Yj : Rn → R, jest gladkim polem

14

wektorowym na Rn. Mając takie pole Y i wektor v = (v1, . . . vn) ∈ Rn, możnaróżniczkować Y w kierunku v. Pochodna kierunkowa DvY (p) (p ∈ Rn) danajest oczywiście wzorem

DvY (p) =

∑j

vj∂Y1

∂xj(p), . . . ,

∑j

vj∂Yn∂xj

(p)

, (3.4.2)

jest więc wektorem złożonym z pochodnych kierunkowych składowych Yjpola Y (w kierunku v i w punkcie p). Z określenia pochodnej kierunkowejwynika, że

DvY (p) = (d/dt)(Y ◦ γ)(0), (3.4.3)

gdy γ : (−ε, ε) → Rn jest krzywą przechodzącą w chwili t = 0 przez p istyczną tam do v: γ(0) = p i γ′(0) = v. Pochodna ta zależy więc tylko odwartości pola Y wzdłuż takiej krzywej γ. Jeżeli v ∈ TpS, to v = γ′(0) dlapewnej krzywej γ położonej na S, a więc DvY (p) zalezy tylko od wartościpola Y na S. W szczególności, pochodna DvX(p) jest dobrze określona, gdyX jest polem wektorowym na S i v ∈ TpS, p ∈ S.

A priori, wektor DvX(p) nie jest styczny do S i można go rozłożyć nasumę składowej stycznej ∇vX(p) i składowej normalnej (której przyjrzymysię później).

Definicja 10 Odwzorowanie∇ przyporządkowujące wektorowi v stycznemudo S i polu wektorowemu X na S pochodną ∇vX nazywa się koneksją Leci-Civita na S.

Z własności pochodnej kierunkowej wynikają od razu następujące wła-sności koneksji ∇:

∇a1v1+a2v2 = a1∇v1 + a2∇v2 ,

∇(X1 +X2) = ∇X1 +∇X2,

∇v(fX) = Dv(f)Y (p) + f(p)∇vX,

gdy a1, a2 ∈ R, v, v1, v2 ∈ TpS, p ∈ S, f jest gładką funkcją rzeczywistą na S,zaś X,X1 i X2 są polami wektorowymi na S. Tutaj, Dvf oznacza oczywiściepochodną kierunkową funkcji f , która jest określona wzorem analogicznymdo (3.4.3); dla wektorów v stycznych do S określenie to jest poprawne mimoiż f nie jest określona w otwartym podzbiorze przestrzeni Rn.

15

Jeżeli pola wektorowe X1, . . . , Xm są liniowo niezależne w każdym punkcie(podzbioru otwartego) hiperpowierzchni S, to dowolne pole wektorowe X, wszczególności pochodne ∇XiXj, i, j ¬ m, można przedstawić jednoznaczniew postaci liniowej kombinacji pól Xk:

∇XiXj =m∑k=1

ΓkijXk. (3.4.4)

Funkcje Γkij, i, j, k = 1, . . .m, nazywa się współrzędnymi koneksji ∇ lub sym-bolami Chrsitoffela (drugiego rodzaju). Jeżeli F : U → S jest parametryzacjąlokalną powierzchni S i Xi = ∂F/∂ui, to mamy natępujące

Twierdzenie 5 Dla dowolnych i, j i k ¬ m zachodzi równość

Γkij =12·m∑r=1

gkr(∂gir∂uj

+∂gjr∂ui− ∂gij∂ur

), (3.4.5)

gdzie grs, r, s ¬ m, są współrzędnymi pierwszej formy podstawowej powierzch-ni S, zaś (grs) jest macierzą odwrotną do (grs).

Dowód. Niech Xi = ∂F/∂ui będą polami bazowymi pochodzącymi odparametryzacji F . Wtedy

DXiXj =∂2F

∂uiuj, (3.4.6)

a więcDXiXj = DXjXi

dla wszystkich i oraz j. Z określenia funkcji Γkij wynika, że

Γkij =∑r

grkΓijr, . (3.4.7)

gdzieΓijr = 〈DXiXj, Xr〉.

Ponadto,∂

∂ukgij = Γkij + Γkji. (3.4.8)

16

Podobnie,

∂

∂uigjk = Γijk + Γikj oraz

∂

∂ujgik = Γjil + Γjki. (3.4.9)

Wreszcie, (3.4.6) oznacza, że

Γijk = Γjik (3.4.10)

dla wszystkich i, j i k. Odejmując stronami (3.4.8) od sumy równości (3.4.9) iredukując wyrazy podobne (po zastosowaniu (3.4.10)) otrzymujemy (3.4.5).

3.5 Przeniesienie równoległe i geodezyjne

Z rozważań paragrafu 3.4 wynika, że jeżeli γ : J → S jest określoną naprzedziale J krzywą (gładką) na (hiper-)powierzchni S, zaś X : J → TS jestpolem wektorowym wzdłuż γ, tzn. X jest funkcją przypisującą liczbom t ∈ Jwektory X(t) styczne do S w punkcie γ(t), to dobrze określona jest pochodnakowariantna X ′ = ∇γX. Pochodna ta jest znowu polem wzdłuż γ. Jeżelikrzywa γ przebiega w zbiorze F (U), gdzie F : U → Rn jest prametryzacjąhiperpowierzchni S i — jak poprzednio — Xi = ∂F/∂ui, to X =

∑mi=1 hiXi◦γ

i γ =∑mi=1 γ

′iXi ◦ γ dla pewnych funkcji hi : J → R; tu m = dimS i γi jest

i-tą współrzędną złożenia F−1 ◦ γ. Wtedy

X ′ =m∑k=1

h′k +m∑

i,j=1

γ′ihjΓkij

·Xk. (3.5.1)

Pole X wzdłuż krzywej γ na S nazywamy równoległym, gdy X ′ = 0.Z (3.5.1) wynika, że warunek równoległości jest równoważny jednorodnemuukładowi liniowych równań różniczkowych zwyczajnych

h′k +m∑

i,j=1

γ′ihjΓkij ◦ γ = 0, k = 1, . . .m, (3.5.2)

o niewiadomych h1, . . . , hm. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności roz-wiązań dla takich układów wynika, że jeżeli a ∈ J i v jest wektorem stycznymdo S w punkcie γ(a), to istnieje dokładnie jedno pole Xv : J → TS wzdłużγ, które jest równoległe i spełnia warunek początkowy Xv(a) = v. Przy tym,

17

Xa1v1+a2v2 = a1Xv1 + a2Xv2 dla dowolnych liczb a1, a2 ∈ R i wektorów v1, v2

stycznych do S w γ(a). Zatem, jeżeli a, b ∈ J i c = γ|J , to przyporządkowanie

τc : Tγ(a)S 3 v 7→ Xv(b) (3.5.3)

jest przekształceniem liniowym przestrzeni stycznej do S w punkcie począt-kowym krzywej c w przestrzeń styczną do S w punkcie końcowym tej krzywej.

Definicja 11 Przekształcenie liniowe τc : Tc(a)S → Tc(b)S nazywamy prze-niesieniem równoległym wzdłuż krzywej c.

Łatwo zaobserwować, że τc jest izomorfizmem przestrzeni stycznych. Istot-nie, jeśli c− jest krzywą daną wzorem c−(t) = c(a + b − t) dla t ∈ [a, b], toprzeniesienie τc− jest przekształceniem odwrotnym do τc. Podobnie, jeśli dwiekrzywe c1 : [a, b] → S i c2 : [b, d] → S mają wspólny koniec c1(b) = c2(b),to wzory c(t) = c1(t) dla t ¬ b i c(t) = c2(t) dla t ­ b określają krzywąc : [a, d] → S oznaczaną zwykle przez c2 ∗ c1. Na ogół, krzywa ta jest tyl-ko kawałkami gładka, tzn. przedział [a, d] można podzielić na części [ti, ti+1],gdzie a = t0 < t1 < . . . tk = d, tak by c|[ti, ti+1] było krzywą gładką dlakażdego i; jeśli jest ona gładka, to

τc2∗c1 = τc2 ◦ τc1 , (3.5.4)

co pozwala w naturalny sposób (tzn. jak ?) określić przeniesienie równole-głe wzdłuż dowolnej krzywej kawałkami gładkiej; przy tym równość (3.5.4)zachowuje się.

Definicja 12 Krzywą γ : J → S nazywamy geodezyjną, gdy pole γ jestrównoległe, tj. wtedy, gdy

∇γ γ = 0. (3.5.5)

Zapisując układ (3.5.2) dla pola X = γ otrzymujemy układ równań róż-niczkowych drugiego rzędu

γ′′k +m∑

i,j=1

γ′iγ′jΓ

kij ◦ γ = 0, k = 1, . . .m, (3.5.6)

równoważny warunkowi (3.5.5). Korzystając znowu ze stosownych twierdzeńteorii równań różniczkowych zwyczajnych otrzymujemy

18

Twierdzenie 6 Dla dowolnego punktu x ∈ S i dowolnego wektora v stycz-nego w x do S istnieje geodezyjna γ : J → S określona na pewnym przedzialeJ , 0 ∈ J , taka, że

γ(0) = x i γ(0) = v. (3.5.7)

Dwie takie geodezjne γ1 : J1 → S i γ2 : J2 → S pokrywają się na zbiorzeJ1 ∩ J2. Zatem, istnieje dokładnie jedna maksymalna geodezyjna spełniającawarunki początkowe (3.5.7).

Z (3.5.5) wynika łatwo, że

‖γ‖′ = 0 i ‖γ‖ = const.,

tj., że geodezyjne są sprametryzowane proporcjonalnie do długości łuku.

Przykład 9 Geodezyjnymi na (hiper-)płaszczyznach są (sparametryzowa-ne proporcjonalnie do długości łuku) linie proste, na sferach — okręgi kółwielkich, na powierzchniach obrotowych — m. in. tworzące i “równoleżniki”odpowiadające punktom ekstremalnego oddalenia tworzącej od osi obrotu.

Pojawia się naturalne pytanie o geometryczne znaczenie linii geodezyj-nych. Aby je wyjaśnić rozważmy dowolną wariację krzywej regularnej γ :[a, b] → S, tj. takie odwzorowanie gładkie f : [a, b] × (−ε, ε) → S, żeγ = f(·, 0). Wobec twierdzenia 1, nie zmniejszymy ogólności zakładając,że γ ma parametryzację naturalną, tj. ‖γ(s)‖ = 1 dla wszystkich s ∈ [a, b].Oznaczmy przez L(t) długość krzywej γt = f(·, t). Ponieważ f jest gład-kie, a krzywa γ – regularna, więc funkcja L jest różniczkowalna w pewnymotoczeniu punktu 0. Wyznaczymy pochodną L′(0):

L′(0) =d

dt

∫ b

a‖(∂f/∂s)(s, t)‖ ds (0) =

∫ b

a

d

dt‖(∂f/∂s)(s, t)‖ds (0)

=∫ b

a

〈(∂2f/∂t∂s)(s, 0), (∂f/∂s)(s, 0)〉‖(∂f/∂s)(s, 0)‖(s, 0)‖

ds

=∫ b

a〈(∂2f/∂s∂t)(s, 0), (∂f/∂s)(s, 0)〉ds

=∫ b

a〈∇γX, γ〉 ds =

∫ b

a((d/ds)〈X, γ〉 − 〈X,∇γ γ〉) ds

= 〈X, γ〉|ba −∫ b

a〈X,∇γ γ〉 ds,

19

gdzie X = (∂f/∂t)(·, 0) jest tzw. polem wariacji f . Jeżeli wariacja f jestwłaściwa, tzn. gdy f(a, t) = γ(a) i f(b, t) = γ(b) dla wszystkich t, to X(a) =X(b) = 0 i powyższy wzór redukuje się do następującego:

L′(0) = −∫ b

a〈X,∇γ γ〉 ds. (3.5.8)

Jeśli więc krzywa γ jest najkrótszą spośród krzywych na S łączących danepunkty x = γ(a) i y = γ(b), to równość (3.5.8) zachodzi dla dowolnegopola X wzdłuż γ zerującego się na końcach przedziału [a, b], skąd łatwo (!)wywnioskować, że γ jest geodezyjną. Innymi słowy mamy następujące

Twierdzenie 7 Jeżeli krzywa γ jest najkrótszą krzywą na hiperpowierzchniS łączącą dane punkty x, y ∈ S, to γ jest geodezyjną.

Odnotujmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, bo np. okrąg koławielkiego na sferze jest geodezyjną zamkniętą, a więc łączącą pewien punktx ze sobą, podczas gdy najkrótszą krzywą łączącą x ze sobą jest oczywiściekrzywa stała (o długości 0). Jest tak dlatego, że — jak dobrze wiemy – punktkrytyczny funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej nie musi być punktemekstremum tej funkcji.

3.6 Druga forma podstawowa

Załóżmy, że S jest n-wymiarową hiperpowierzchnią w Rn+1 zaś N jednost-kowym polem wektorowym prostopadłym do S. Wtedy

〈N(x), N(x)〉 = 1 i〈N(x), v〉 = 0 (3.6.1)

dla wszystkich x ∈ S i v ∈ TxS. Z (3.6.1) wynika, że

〈N(x), DvN〉 =12v(‖N‖2) = 0,

. Zatem, wzórA(v) = −∇vN, v ∈ TxS, x ∈ S, (3.6.2)

określa endomorfizm przestrzeni stycznych TxS; jest on zwany operatoremWeingartena hiperpowierzchni S. Oczywiście, A zależy od wyboru N : jeślizastąpimy N przez −N , to A przejdzie na −A.

20

Definicja 13 Druga forma podstawowa hiperpowierzchni S jest to formadwuliniowa b dualna do A w sensie następującym:

b(v, w) = 〈Av,w〉, v, w ∈ TxS, x ∈ S. (3.6.3)

Innymi słowy,b(v, w) = 〈DvN,w〉. (3.6.4)

Jeżeli F : U → S jest parametryzacją lokalną hiperpowierzchni S, toforma b jest (na F (U)) jest wyznaczona jednoznacznie przez macierz [bij] jejwspółczynników danych wzorami

bij = b(∂F/∂ui, ∂F/∂uj).

Ponieważ

D∂F/∂ui

∂F

∂uj=

∂2F

∂ui∂ujoraz

∂2F

∂ui∂uj=

∂2F

∂uj∂ui,

więc z (3.6.4) wynika od razu, że bij = bji dla wszystkich i, j, że więc b jestdwuformą symetryczną. Wracając do operatora Weingartena otrzymujemy

Lemat 2 Operator Weingartena na dowolnej hiperpowierzchni jest samo-sprzężony, tj.

〈Av,w〉 = 〈v,Aw〉, v, w ∈ TxS, x ∈ S. (3.6.5)

Z powyższego lematu i twierdzenia spektralnego (por. np. [La]) wynika, żeoperator Weingartena A posiada tylko rzeczywiste wartości własne k1, . . . , knzwane krzywiznami głównymi hiperpowierzchni S. Odpowiadające im wekto-ry własne ei (Aei = kiei) tworzą bazę ortonormalną przestrzeni stycznej TxSi wyznaczają tzw. kierunki główne na S. Krzywe na S styczne we wszystkichswoich punktach do kierunków głównych nazywa się liniami krzywiznowymi.Jeżeli w pewnym punkcie x0 hiperpowierzchni S wszystkie krzywizny głów-ne są różne, to w pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje ortogonalna siatkazłożona z linii krzywiznowych.

21

Przykład 10 Druga forma podstawowa hiperpłaszczyzny jest równa tożsa-mościowo zeru; mówimy więc, że hiperpłaszczyzna jest hiperpowierzchnią cał-kowicie geodezyjną. Punkt x0 hiperpowierzchni S, w którym wszystkie krzy-wizny główne są równe nazywamy umbilikalnym (lub kulistym); sfera Sn(r)o promieniu r składa się z samych punktów kulistych bo jej operator Wein-gartena wynosi A = (1/r) · id i k1 = · · · = kn = 1/r, mówimy więc, że sferajest hiperpowierzchnią całkowicie umbilikalną. Na takiej sferze druga formapodstawowa jest proporcjonalna do pierwszej: bij = (1/r)gij dla wszystkichi, j. (Można wykazać, że każda hiperpowierzchnia całkowicie umbilikalna wRn+1 jest kawałkiem hiperpłaszczyzny lub sfery, a każda hiperpowierzchniacałkowicie geodezyjna — kawałkiem hiperpłaszczyzny.) Tworzące i równo-leżniki na powierzchniach obrotowych są liniami krzywiznowymi: istotnie,wzdłuż danego południka γ pole N leży w płaszczyźnie zawierającej γ, za-tem i N ′ = DγN leży w tej płaszczyźnie, skąd wynika iż ∇γN jest równoległedo γ i — w konsekwencji — γ jest linią krzywiznową.

Elementarne funkcje symetryczne σj wartości własnych endomorfizmu Adostarczają najbardziej naturalnych niezmienników endomorfizmu. W przy-padku operatora Weingartena A,

σj =∑

1¬i1<···<ij¬nki1ki2 · · · · · kij ,

jest tzw. j-tą krzywizną średnią hiperpowierzchni S (n = dimS). Szczegól-nie ważną rolę w geometrii odgrywa pierwsza krzywizna średnia σ1 (lub jej”uśredniony” odpowiednik H = 1

n

∑i ki zwany po prostu krzywizną średnią)

oraz krzywizna Gaussa-Kroneckera σn = k1k2 · · · · · kn. Zauważmy, że σ1 topo prostu ślad operatora Weingartena A.

Hiperpowierzchnie o zerowej krzywiźnie średniej nazywa się minimalny-mi gdyż są punktami krytycznymi funkcjonału pola przypisującego hiperpo-wierzchniom zwartym (ew. z brzegiem) S ich n-wymiarową miarę Lebesgue’a|S|:

|S| =∫U

√det[gij]du, (3.6.6)

gdy hiperpowierzchnia S jest opisana przy pomocy jednego odwzorowaniaF : U → S, a gij są współrzędnymi jej pierwszej formy podstawowej (por.wzór (3.3.2)). Istotnie, z (3.6.6) wynika poprzez proste różniczkowanie, żejeżeli Ft, t ∈ (−ε, ε), jest jednoparametrową rodziną odwzorowań regularnychokreślonych na wspólnej dziedzinie U i takich, że Ft = F0 poza pewnymzbiorem zwartym zawartym w U , to

22

Twierdzenie 8 Zachodzi równość

d

dt|St|(0) = −n

∫UH · 〈N,X〉

√det[gij]du, (3.6.7)

gdzie X = (t 7→ Ft)′(0) jest polem wariacji (Ft), a St = Ft(U) jest hiperpo-wierzchnią daną przez Ft.

Dowód. Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że pole X jest ortogonalnedo S i zróżniczkujmy funkcję P : (−ε, ε)→ R daną wzorem

P (t) =∫U

√det[gij(t)]du,

gdzie

gij(t) = 〈∂Ft∂ui

,∂Ft∂uj〉

są współrzędnymi pierwszej formy podstawowej na St. Korzystając z definicjiwyznacznika otrzymujemy

P ′(0) =12·n∑k=1

∫U

det

g11(0) . . . ∂g1kdt

(0) . . . g1n(0). . . . . . . . . . . . . . .

gn1(0) . . . ∂gnkdt

(0) . . . gnn(0)

·(det[gij(0)])−1/2 du.

Ponadto,

∂gkkdt

(0) = 2〈 ∂2Ft

dtduk,∂F

∂uk〉 = 2〈∂X

∂uk,∂F

∂uk〉

= 2〈∇∂F/∂ukX,∂F

∂uk〉 = −2b(

∂F

∂uk,∂F

∂uk).

Obliczając wyrażenie podcałkowe w powyższym wzorze na P ′(0) możemyprzyjąć, że w danym punkcie x mamy gij(x) = δij. Wtedy rozwinięcie Lapla-ce’a daje, że wyrażenie to w punkcie x wynosi

−∑k

bkk(x)〈X,N〉 = −nH〈X,N〉(x).

Zestawiając powyższe równości otrzymujemy (3.6.7).Najprostszymi przykładami powierzchni minimalnych w R3 są płaszczy-

zna (tu b ≡ 0, więc i H = 0), helikoida (powierzchnia zbudowana z ”pozio-mych” linii prostych przechodzących przez punkty linii śrubowej i odpowied-nie punkty osi ”z”) i katenoida (powierzchnia otrzymana przez obrót linii

23

łańcuchowej y = coshx). Teoria (hiper-) powierzchni minimalnych jest bar-dzo rozwinięta i pełna pięknych przykładów oraz interesujących i zaskakują-cych wyników. Zainteresowanego Słuchacza odsyłamy do bogatej literatury;zob. np. [Ni] i bibliografia tamże.

3.7 Krzywizna normalna

Niech γ będzie krzywą regularną o parametryzacji naturalnej na hiperpo-wierzchni S. Na ogół, wektor krzywizny γ′′ nie jest styczny do S, ale zawszemożna go rozłożyć na składowe: styczną do S (γ′′)> i prostopadłą do S (γ′′)⊥.Długości tych składowych (opatrzone ewentulanie stosownym znakiem) nazy-wa się odpowiednio krzywizną geodezyjną kg i krzywizną normalną kn krzywejγ. Ponieważ γ′′ = Dγ′γ

′, więc kg jest długością wektora ∇γ′γ′ i γ jest geode-

zyjną wtedy i tylko wtedy, gdy kg ≡ 0. Krzywizna normalna kn jest równa

kn = 〈γ′′, N ◦ γ〉, (3.7.1)

gdzie N jest ustalonym jednostkowym polem wektorowym prostopadłym doS. Oczywiście, kn zależy (tak jak operator Weingartena i krzywizny główne)od N . Z (3.7.1) i określenia drugiej formy podstawowej wynika od razu, że

kn = b(γ′, γ′). (3.7.2)

Zachodzi zatem natępujące

Twierdzenie 9 Krzywizna normalna krzywej γ położonej na hiperpowierzch-ni S zależy tylko od wektora γ′ stycznego do γ.

Innymi słowy, dowolne dwie krzywe położone na S, przechodzące w chwilit0 przez punkt x0 ∈ S i styczne tam do tego samego wektora v0 mają tą samąkrzywiznę normalną w chwili t0.

Co więcej, w przypadku ”zwykłej” powierzchni (tj. gdy dimS = 2 iS ⊂ R3), krzywizna normalna krzywej γ położonej na S pokrywa się ze”zwykłą” krzywizną krzywej otrzymanej jako przekrój normalny powierzch-ni S płaszczyzną styczną do γ. W tym przypadku mamy też kolejne

Twierdzenie 10 (Meusnier) Środek z0 okręgu ściśle stycznego w punkcie x0

do krzywej regularnej γ na powierzchni S jest rzutem prostokątnym na płasz-czyznę ściśle styczną w x0 do γ środka okręgu ściśle stycznego w x0 do prze-kroju normalnego powierzchni S płaszczyzną styczną w x0 do γ.

24

Przypomnijmy, że okrąg ściśle styczny do krzywej regularnej γ w jej punk-cie x0 ∈ R3, to jedyny okrąg O przechodzący przez x0 i posiadający tam zkrzywą γ rząd styczności > 1. Okrąg taki leży w płaszczyźnie ściśle stycznejdo γ i ma promień równy odwrotności krzywizny κ tej krzywej (= ∞, gdyκ = 0; wtedy okrąg ścisle styczny staje się prostą i — oczywiście — pokrywasię z prostą styczną do γ).

Dowód. Niech z′0 będzie środkiem krzywizny wspomnianego przekroju nor-malnego. Wtedy

z′0 − x0 =1kn·N(x0).

Rzutując punkt z′0 na płaszczyznę ściśle styczną do γ otrzymujemy punkt z′′0taki, że

z′′0 − x0 = 〈(z′0 − x0), n(x0)〉 · n(x0) =1κ· n(x0),

gdzie n oznacza wektor normalny główny krzywej γ, a κ jest jej krzywizną.Zatem, z′′0 = z0.

Zauważmy jeszcze, że w przypadku powierzchni dwuwymiarowej krzy-wizny główne są maksymalną i minimalną wartością krzywizny normalnejpośród wszystkich krzywych położonych na danej powierzchni S i przecho-dzących przez dany punkt x0. Istotnie, jeśli k1 i k2 są krzywiznami główny-mi powierzchni S w punkcie x0, a v1 i v2 — ortogonalnymi wektorami jed-nostkowymi wyznaczającymi odpowiadające im kierunki główne, przy czymk1 ¬ k2, to dla dowolnej krzywej γ : (−ε, ε) → S z γ(0) = x0 istnieje liczbarzeczywista α, dla której γ′(0) = cosαv1 + sinαv2 oraz

kn(0) = cos2 αk1 + sin2 αk2,

skądk1 ¬ kn(0) ¬ k2.

3.8 Odwzorowanie i krzywizna Gaussa

Ograniczmy się teraz do przypadku ”zwykłej” dwuwymiarowej, regularnejpowierzchni S ⊂ R3 i załóżmy, że N jest jednostkowym polem ortogonalnymdo S.

Definicja 14 Odwzorowaniem Gaussa powierzchni S nazywamy przekształ-cenie Γ : S → S2 przyporządkowujące każedmu punktowi x ∈ S koniecwektora N(x) zaczepionego w początku 0 ∈ R3 układu współrzędnych w R3.

25

Odwzorowanie Γ jest oczywiście różniczkowalne, a jego różniczka dΓ(x)przekształca płaszczyznę styczną TxS w punkcie x do S w równoległą dońpłaszczyznę styczną TΓ(x)S

2 w punkcie Γ(x) do sfery jednostkowej S2. Utożsa-miając te płaszczyzny poprzez ”zwykłe” przeniesienie równoległe w R3 może-my różniczkę dΓ(x) traktować jako endomorfizm dwuwymiarowej przestrzeniliniowej TxS. Zatem, dobrze zdefiniowany jest wyznacznik

K(x) = det dΓ(x)(

= det(a bc d

) ), (3.8.1)

gdy dΓ(x)(e1) = ae1 + be2, dΓ(x)(e2) = ce1 + de2, zaś e1, e2 tworzą paręliniowo niezależnych wektorów stycznych w x do S; oczywiście, wartość K(x)w (3.8.1) nie zależy od wyboru wektorów e1, e2.

Definicja 15 LiczbęK(x) w (3.8.1) nazywamy krzywizną Gaussa powierzch-ni S w punkcie x.

Zauważmy po pierwsze, że K(x) nie zależy od wyboru pola N prostopa-dłego do S. Istotnie, zmiana N na −N powoduje zmianę odwzorowania Γna −Γ i zmianę znaku wszystkich liczb a, b, c, d w (3.8.1), ale nie powodujezmiany wyznacznika K(x) = ad− bc. Po drugie, zauważmy, że twierdzenie ozamianie zmiennych pod znakiem całki podwójnej pozwala wyrazić krzywinęK(x) w natępujący, bardziej geometryczny, sposób:

K(x) = ε(x) · limD→{x}

|Γ(D)||D|

, (3.8.2)

gdzie D jest małym otoczeniem punktu x na S, |D| jest jego polem, |Γ(D)|- polem jego obrazu sferycznego danego przez odwzorowanie Gaussa Γ, zaśε(x) = sgn det dΓ(x) jest znakiem wyznacznika różniczki tego odwzorowania.Wreszcie, z (3.8.1), oczywistego wzoru

dΓ(x)(v) = DvN

oraz określenia drugiej formy podstawowej powierzchni S wynika od razuwzór

K =det bdet g

=b11b22 − b2

12

g11g22 − g212, (3.8.3)

26

gdzie bij i gij są odpowiednio współrzędnymi drugiej b i pierwszej g fromypodstawowej powierzchni S (oczywiście w tej samej parametryzacji F ). Po-nadto, wzór (3.8.1) można wyrazić w postaci

K(x) = k1k2, (3.8.4)

gdzie k1 i k2 są krzywiznami głównymi powierzchni S w punkcie x.Ze względu na znak krzywizny Gaussa punkty powierzchni dzielimy na

eliptyczne (tj. takie, w których krzywizna Gaussa jest dodatnia), hiperbo-liczne (w których krzywizna Gaussa jest ujemna) i paraboliczne (w którychkrzywizna Gaussa jest równa zeru). Zatem, punkt x ∈ S jest eliptyczny,gdy obie krzywizny główne mają ten sam znak (dodatni lub ujemny), hiper-boliczny — gdy krzywizny główne są przeciwnych znaków, paraboliczny —gdy jedna z krzywizn głównych jest równa zeru. Ponadto, jeżeli w punkciex ∈ S obie krzywizny główne są równe zeru, to x nazywa się punktem spłasz-czenia powierzchni S. Tak więc, sfery i elipsoidy składają się wyłącznie zpunktów eliptycznych, hiperboloida jednopowłokowa — z samych punktówhiperbolicznych, powierzchnia walca obrotowego — z samych punktów para-bolicznych (nie będących punktami spłaszczenia), płaszczyzna — z samychpunktów spłaszczenia. Oczywiście, istnieją powierzchnie zawierające punktywszystkich rodzajów.

W definicji krzywizny Gaussa i wzorach (3.8.1) - (3.8.4) występują ele-menty tzw. geometrii zewnętrznej powierzchni S. Okazuje się jednak, że krzy-wizna Gaussa należy do geometrii wewnętrznej powierzchni: można ją wyra-zić przy pomocy samych współrzędnych pierwszej formy podstawowej i ichpochodnych. Fakt ten został zuważony już przez Gaussa i jest zawarty wsłynnym twierdzeniu zwanym Theorema Egregium:

Twierdzenie 11 (Theorema Egregium) Jeżeli F : U → S jest odwzoro-waniem parametryzującym powierzchnię S i takim, że g12 = 0 (tj. takim,że krzywe s 7→ F (s, u2) i t 7→ F (u1, t) są dla wszystkich wartości u1 i u2

prostopadłe), to

K = − 1√g11g22

[∂

∂u1

(1√g11·∂√g22

∂u1

)+

∂

∂u2

(1√g22·∂√g11

∂u2

)]. (3.8.5)

Dowód. Dowód jest w zasadzie czysto rachunkowy, więc go tylko naszki-cujemy.

27

Dla uproszczenia oznaczeń przyjmijmy, że

Fi = (∂F )/(∂ui), Fij = (∂2F )/(∂ui∂uj)

itd. Zatem, gij = 〈Fi, Fj〉, zaś bij = 〈Fij, N〉, gdzie N jest jak zwykle jednost-kowym polem wektorowym prostopadłym do S. Przyjmijmy, że

F11 = aF1 + bF2 + cN.

Ponieważ g12 = 0, więca = 〈F11, F1〉 · g−1

11 .

Ponadto,∂g11

∂u1= 2〈F11, F1〉,

skąd

a =1

2g11· ∂g11

∂u1.

Podobnie,

b = − 12g22

· ∂g11

∂u2i c = b11/

Zatem,

F11 =1

2g11· ∂g11

∂u1· F1 −

12g22

· ∂g11

∂u2· F2 + b11N. (3.8.6)

Podobnie,

F12 =1

2g11· ∂g11

∂u2· F1 −

12g22

· ∂g22

∂u1· F2 + b12N (3.8.7)

orazF22 =

12g11

· ∂g22

∂u1· F1 −

12g22

· ∂g22

∂u2· F2 + b22N. (3.8.8)

Ponieważ wektor F112−F121 jest równy zeru, więc wszystkie jego współrzędnew bazie {F1, F2, N} również się zerują. Różniczkując prawe strony wzorów(3.8.6) i (3.8.7) odpowiednio względem u2 i u1, przedstawiając różnicę wy-ników różniczkowania we wspomnianej bazie przy użyciu wzorów (3.8.6) -(3.8.8) i wyliczając współczynnik przy F2 otrzymujemy

0 =1

4g11g22· ∂g11

∂u1· ∂g22

∂u1− ∂

∂u2

(∂g11/∂u2

2g22

)− 1

4g222· ∂g11

∂u2· ∂g22

∂u2

+1

4g11g22· ∂g11

∂u2· ∂g22

∂u2− ∂

∂u1

(∂g22/∂u1

2g22

)− 1

4g222· ∂g22

∂u1· ∂g22

∂u1

− b11b22 − b212

g22.

28

Dzieląc obie strony ostatniej równości przez g11, przenosząc ostatni składnik(równy krzywiźnie Gaussa !) na lewą stronę i porządkując wyrazy pozostałepo prawej stronie otrzymujemy (3.8.5).

Stosunkowo łatwo pokazać, że współrzędne ortogonalne (tj, takie, że g12 =0) istnieją na dowolnej powierzchni. Znacznie trudniej udowodnić, że na do-wolnej powierzchni istnieją tzw. współrzędne izotermiczne, tj, takie współ-rzędne ortogonalne, dla których g11 = g22. Istnienie takich współrzędnychpokazał S. S. Chern w [Ch]. Jeżeli g11 = g22 = ρ2, to wzór (3.8.5) przyjmuje(wykazać !) prostą postać

K = − 1ρ2· 4 ln ρ, (3.8.9)

gdzie — jak zwykle — 4 oznacza zwykły operator Laplace’a na R2.

3.9 Wzory Codazziego i podstawowe twierdzenie teoriipowierzchni

Niech A i b będą odpowiednio operatorem Weingartena i drugą formą pod-stawową hiperpowierzchni S. Dla dowolnych pól wektorowych stycznych doS przyjmijmy

(∇XA)(Y ) = ∇X(AY )− A(∇XY ) (3.9.1)

oraz

(∇Xb)(Y, Z) = DX(b(Y, Z))− b(∇XY, Z)− b(Y,∇XZ). (3.9.2)

Proste rachunki pokazują, że operatory ∇A : (X, Y ) 7→ (∇XA)(Y ) oraz∇b : (X, Y, Z) 7→ (∇Xb)(Y, Z) są liniowe nad pierścieniem funkcji różnicz-kowalnych na S ze względu na wszystkie zmienne, tj., że jeśli np. X i Y sąpolami wektorowymi stycznymi do S, a f : S → R jest funkcją różniczkowal-ną, to

(∇fXA)(Y ) = (∇XA)(fY ) = f · (∇XA)(Y ).

Twierdzenie 12 Dla dowolnych pól X i Y stycznych do S zachodzi równość

(∇XA)(Y ) = (∇YA)(X). (3.9.3)

Dowód. Ze względu na wpomnianą powyżej wieloliniowość operatora ∇Awystarczy udowodnić równość (3.9.3) w przypadku, gdy X = ∂F/∂ui i Y =

29

∂F/∂uj dla pewnej parametryzacji F naszej hiperpowierzchni i dowolnychi, j ¬ n = dimS. W tym przypadku mamy

(∇XA)(Y ) = −∇XDYN +D∇XYN = −(

∂2N

∂ui∂uj

)>+D(

∂2F∂ui∂uj

)>Ni (3.9.3) wynika od razu poprzez zastosowanie równości

∂2Z/∂ui∂uj = ∂2Z/∂uj∂ui

odpowiednio do Z = N i Z = F .

Wniosek 1 Dla dowolnych pól wektorowych X, Y i Z stycznych do S mamy

(∇Xb)(Y, Z) = (∇Y b)(X,Z). (3.9.4)

W konsekwencji, dla dowolnych i, j i k ¬ n = dimS mamy

∂bjk∂ui−∑l

bjlΓlik =∂bik∂uj−∑l

bilΓljk, (3.9.5)

gdzie brs i Γmrs są współczynnikami drugiej formy podstawowej i symbolamiChristoffela na S.

Równania (3.9.3) oraz równoważne im (3.9.4) i (3.9.5) nazywa się wzoramiCodazziego.

Na zakończenie sformułujmy (bez dowodu, który polega na zastosowaniustosownych twierdzeń teorii równań różniczkowych) tzw. podstawowe twier-dzenie teorii powierzchni.

Twierdzenie 13 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to by formy sy-metryczne g = g11x

2 + 2g12xy + g22y2 i b = b11x

2 + 2b12xy + b22y2 określone

w pewnym obszarze płaskim D ⊂ R2 były pierwszą i drugą formą podstawo-wą pewnej powierzchni S potrzeba i wystarcza by g była określona dodatniooraz by były spełnione równania Gaussa (3.8.3) z K danym przez (3.8.5) iCodazziego (3.9.5).

30

Literatura

[Bie] M. Biernacki, Geometria różniczkowa, I i II, PWN, Warszawa1954/55.

[Car] M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Pren-tice Hall, 1986.

[Ch] S. S. Chern, An elementary proof of the existence of isotermal pa-pameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 771–782.

[GO] J. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej,Wyd. UJ, Kraków 2003.

[Goe] A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.

[Ku] W. Kuhnel, Differential Geometry, Amer. Math. Soc., 2002.

[La] S. Lang, Algebra, PWN, Warszawa.

[Ni] J. C. C. Nitsche, Vorlesungen uber Minimalflachen, Springer Verlag,1975.

[Op] J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, War-szawa 2002.

31