Topologia i geometria różniczkowa - anow/ps-dvi/dv.pdf · Topologia i geometria różniczkowa...

Topologia i geometria różniczkowa

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń(e-mail: [email protected])

Marzec 1995

Spis treści

1 Wstępne informacje topologiczne 11.1 Topologia ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Przestrzenie lokalnie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Przestrzenie parazwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Rozkład jedności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Rozmaitości topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Wstęga Mobiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.8 Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Nakrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grupa podstawowa 92.1 Drogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Drogi homotopijnie równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Definicja grupy podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Homotopia odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Wyższe grupy homotopii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Hipoteza Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 153.1 Działanie grupy na zbiór . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Przestrzeń orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Produkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Działania wspólnie rozłączne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Działania wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Snopy i algebry funkcji ciągłych 204.1 Presnopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Snopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Algebra funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ideały maksymalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

ii Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 265.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Rodziny wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Przekroje rodziny wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 316.1 Różniczka funkcji rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Odwzorowania rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Algebra funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Derywacje lokalne 407.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.6 Morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Wiązka styczna 518.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2 Wiązka styczna i krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Pola wektorowe i derywacje 559.1 Gładkie wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.3 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.7 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Działanie*funktora na wiązkę 6110.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2 Definicja poglądowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3 Wiązka kostyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4 Potęga zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11 Formy różniczkowe 6311.1 Moduł form różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.3 Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12 Rozmaitość Rn 6512.1 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.2 Derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.4 Wiązka styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa iii

12.5 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.6 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.7 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.9 Formy wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.10Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13 Całkowanie pól wektorowych 7313.1 Krzywa całkowa pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.5 Formalne systemy równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 Grupy Liego i ich algebry Liego 7814.1 Grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.2 Niezmiennicze pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7914.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8114.4 Algebra Liego grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8114.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8214.6 Algebra Liego grupy GLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8314.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Grupa specjalna SLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Grupa ortogonalna On . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Specjalna grupa ortogonalna SOn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Grupa unitarna Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Specjalna grupa unitarna SUn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Grupy symplektyczne Spn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Grupy zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8714.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . 8814.10Związek między grupami Liego i algebrami Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Twierdzenia Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9114.11Grupy formalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9114.12Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

15 Algebry Liego 9315.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9315.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9415.3 Małe wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515.4 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9615.5 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9615.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 10016.1 Systemy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10016.2 Grupa Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10116.3 Pierwiastki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.4 Macierz Cartana i V-graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.5 Diagramy Dynkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

17 Półproste algebry Liego 10517.1 Proste i półproste algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10517.2 Specjalna algebra Liego sl2(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10617.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10817.4 Podalgebry Cartana i torusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10817.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10917.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . 10917.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Spis cytowanej literatury 113

Indeks 114

1. Wstępne informacje topologiczne 1

1 Wstępne informacje topologiczne

1.1 Topologia ilorazowa

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X −→ Y funkcją. Wprowadzamy nazbiorze Y topologię przy pomocy rodziny

Uf = U ⊆ Y ; f−1(U) otwarte w X.

Rodzina Uf spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowana Y (zadana przy pomocy odwzorowania f). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym.

1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte

Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktux ∈ X, istnieje zbiór otwarty U 3 x taki, że zbiór U jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T3 12 (Tichonowa).Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi.

1.3 Przestrzenie parazwarte

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.3.1. Rodzinę Ass∈S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeślikażdy punkt x ∈ X ma otoczenie (otwarte) U , które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementówtej rodziny, tzn., gdy zbiór s ∈ S; As ∩ U 6= ∅ jest skończony.

Jeżeli Ass∈S jest rodziną lokalnie skończoną, to⋃s∈S As =

⋃s∈S As.

Definicja 1.3.2. Niech A = Ass∈S , B = Btt∈T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, żepokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S −→ T taka, że As ⊆ Bλ(s) dlawszystkich s ∈ S.

Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa orazw każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone.

Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7].

Stwierdzenie 1.3.4.(1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta.(2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta.(3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta.(4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T4).(5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X × Y jest parazwarte.

1.4 Rozkład jedności

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X −→ R funkcją ciągłą.

Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f) = f−1(R r 0).

Załóżmy, że U = Uii∈I jest otwartym pokryciem przestrzeni X.

Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę ess∈S , funkcji cią-głych z X do R takich, że:(1) ∀s∈S∀x∈X es(x) > 0,

(2) ∀s∈S∃i∈I Supp(es) ⊆ Ui,(3) rodzina Supp(es)s∈S jest lokalnie skończona,(4) ∀x∈X

∑s∈S es(x) = 1.

2 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina Supp(es)s∈S jest pokryciem(domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x ∈ X. Wtedy, z (4), istnieje s ∈ S takie, że es(x) 6= 0, azatem x ∈ Supp(es).

Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istniejewtedy rozkład jedności względem U.

Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X ⊆ Rn) jest w [25].

1.5 Rozmaitości topologiczne

Niech M będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p ∈ M nazywamy każdą parę (U,ϕ), w której U jestzbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U −→ Rn jest homeomorfizmem na pewien otwartypodzbiór w Rn.

Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map (Uα, ϕα) takich, że⋃α Uα = M nazywamy

n-wymiarowym atlasem przestrzeni M .

Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną.

1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa

Przez Sn oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn.

Sn = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1; x21 + · · ·+ x2n+1 = 1.

W szczególności: S0 = −1, 1, S1 = (x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1. Topologia na Sn jest indukowana zRn+1.

Niech Pn(R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci x,−x, gdzie x ∈ Sn iniech p : Sn −→ Pn(R) będzie funkcją określoną wzorem

p(x) = x,−x, dla x ∈ Sn.

Funkcja p jest surjekcją.

Definicja 1.6.1. Zbiór Pn(R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarowąprzestrzenią rzutową rzeczywistą.

Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej.Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób.Niech ∼ będzie relacją w Sn zdefiniowaną wzorem:

x ∼ y ⇐⇒ x = ±y.

Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x ∈ Sn jest dwuelementowym zbioremx,−x. Zatem Pn(R) = Sn/∼, gdzie topologia na Sn/∼ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanonicznąsurjekcję).

To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zaj-miemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z2 = −1, 1. Sfera Sn jest Z2-przestrzenią z działaniem

Z2 × Sn, (a, x) 7→ ax.

Przestrzeń rzutowa Pn(R), to nic innego, jak przestrzeń orbit Sn/Z2. Dzięki temu otrzymujemy (patrzodpowiednie fakty w Rozdziale 3):


Stwierdzenie 1.6.2.(1) Odwzorowanie p : Sn −→ Pn(R), x 7→ x,−x, jest otwarte i domknięte.(2) Przestrzeń Pn(R) jest zwarta.(3) Przestrzeń Pn(R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną.

Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH23.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń Pn(R) jest spójna.

Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział5). W zbiorze Rn+1 r 0 wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ∼ następująco:

(x1, . . . , xn+1) ∼ (y1, . . . , yn+1) ⇐⇒ ∃0 6=a∈R∀i∈1,...,n+1 yi = axi.

Klasę abstrakcji każdego elementu (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1r0 (względem tej relacji) oznaczamy przez(x1 : · · · : xn+1). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abs-trakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanieϕ : P −→ Pn(R) określone jako

(x1 : · · · : xn+1) 7−→ x||x|| ,−x||x||,

gdzie x = (x1, . . . , xn+1), ||x|| =√x21 + · · ·+ x2n+1. Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określo-

ną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U ⊆ P jest otwartyw P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(U) jest otwarty w Pn(R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesują-cych własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianegozagadnienia.

Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D2/∼, gdzie D2 jestdyskiem (x, y) ∈ R2; x2 + y2 6 1 z topologią indukowaną z R2 oraz

x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S1 ⊂ D2 ∧ x = −y).

Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K2/∼, gdzie K2 jestkwadratem (x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 z topologią indukowaną z R2 oraz

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′)∨ x, x′ = 1, 0 ∧ y = 1− y′∨ y, y′ = 1, 0 ∧ x = 1− x′.

Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P2(R) −→ R4, x,−x −→ (x21−x22, x1x2, x1x3, x2x3), jest ciągłei różnowartościowe.

Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P2(R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Mobiusa. Zatem P2(R)można interpretować jako wstęgę Mobiusa z doklejonym dyskiem.

Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymia-ru 1 jest sfera S1. Ponieważ P1(R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S1 i P1(R)są homeomorficzne.

1.7 Wstęga Mobiusa

Rozpatrzmy cylinder

C = (x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 = 1, −1 6 z 6 1

z topologią indukowaną z R3. Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postacix,−x, gdzie x ∈ C. Niech p : C −→M będzie surjekcją x 7→ x,−x.


Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Mobiusa.

Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamyrelację równoważności:

a ∼ b ⇐⇒ a = −b.Wtedy zbór C/∼, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Mobiusa.Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K2/∼, gdzie K2 jest

kwadratem (x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, a ∼ jest relacją równoważności w K2 zdefiniowanąjako:

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′) ∨ x, x′ = 0, 1, y = y′.

Wstęgę Mobiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K2 względemrelacji równoważności ∼ określonej jako:

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′) ∨ x, x′ = 0, 1, y = 1− y′.

Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Mobiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupyZ, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonympaskiem

X = (x, y) ∈ R2; − 12 6 y 6 12

z topologią indukowaną z R2. Rozpatrzmy działanie

Z×X −→ X, m(x, y) = (m+ x, (−1)my).

Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą Mobiusa M.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga Mobiusa M jest przestrzenią spójną.

Wstęgę Mobiusa można zanurzyć w R3. Odwzorowanie f :M −→ R3, określone wzorem

a,−a 7−→ ((x2 − y2)(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz),

gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym.

W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homo-topijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Mobiusa M i cylinder C, to dwie przestrzeniehomotopijnie równoważne ([16] 138).

1.8 Powierzchnie

Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną.

NiechX1, X2 będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamypowierzchnię, oznaczaną przez X1#X2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchnimałego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X1#X2 nie zależy od wyborudysków oraz, że X1#X2 jest istotnie powierzchnią.

Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z na-stępujących powierzchni:

(a) S2#T# . . .#T︸︷︷︸m

, gdzie m > 0 i T = S1 × S1 (torus),

(b) S2#P2(R)# . . .#P2(R)︸︷︷︸m

, gdzie m > 1.

Uwaga 1.8.2 ([16]).(a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina.(b) T#P2(R) ≈ P2(R)#P2(R)#P2(R).


1.9 Nakrycia

Niech p : E −→ X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych.

Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E −→ X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktux ∈ X istnieje otoczenie otwarte U 3 x takie, że

p−1(U) =⋃j∈J Vj ,

gdzie zbiory postaci Vj są:(a) otwarte,(b) parami rozłączne oraz takie, że(c) odwzorowania p|Vj : Vj −→ U są homeomorfizmami.

Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X.

Z tej definicji wynika:

Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to:(1) przestrzenie postaci p−1(x), x ∈ X, są dyskretne;(2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e ∈ E istnieje zbiór otwarty

V 3 e taki, że p(V ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p|V : V −→ p(V ) jest homeomor-fizmem;(3) odwzorowanie p jest surjekcją;(4) odwzorowanie p jest otwarte;(5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E.

Dowód. (1). Niech x ∈ X. Niech U 3 x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicjinakrycia. Wtedy

p−1(x) =⋃j∈J(Vj ∩ p−1(x)).

Zbiory postaci Vj∩p−1(x) są oczywiście otwarte w p−1(x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeślia, b ∈ Vj∩p−1(x), to a, b ∈ Vj oraz p(a) = p(b) = x. Ale p|Vj jest odwzorowaniem różnowartościowym,zatem a = b.Niech a ∈ p−1(x). Istnieje wtedy j ∈ J takie, że a ∈ Vj ∩ p−1(x). Wtedy Vj ∩ p−1(x) = a.

To implikuje, że a jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p−1(x) jestzbiorem otwartym.(2). Niech e ∈ E. Wtedy x = p(e) ∈ X. Istnieje więc zbiór otwarty V 3 x taki, jak w definicji

nakrycia. Wtedy e ∈ p−1(U), więc e ∈ Vj , dla pewnego j ∈ J . Zbiór p(Vj) = U jest otwarty w X orazp|Vj : Vj −→ p(Vj) = U jest homeomorfizmem.(3). Niech x ∈ X i niech U 3 x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ

p|Vj : Vj −→ U jest surjekcją oraz x ∈ U , więc istnieje e ∈ Vj takie, że p(e) = x.(4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem

otwartym.(5). Jest to konsekwencja (3) i (4).

Zanotujmy kilka przykładów nakryć.

Przykład 1.9.3.(0) Odwzorowanie tożsamościowe X −→ X jest nakryciem.(1) Odwzorowanie p : R1 −→ S1, p(t) = e2πit, jest nakryciem. Jeśli x ∈ S1, to zbiór otwarty U 3 x

(występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S1, zawierającym x.(2) p : S1 −→ S1, p(z) = zn.(3) Niech p : Sn −→ Pn(R) (gdzie Pn(R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzoro-

waniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem.(4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G −→

G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem.(5) C r 0 −→ C r 0, z 7→ zn.(6) C −→ C r 0, z 7→ ez =

∑∞n=0

zn

n! .


Stwierdzenie 1.9.4. Jeśli p1 : E1 −→ X1, p2 : E2 −→ X2 są nakryciami, to odwzorowanie

p : E1 × E2 −→ X1 ×X2, (e1, e2) 7→ (p1(e1), p2(e2)),

jest nakryciem.

1.10 Uwagi

1.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d′ : X ×X −→ R będzie funkcją określoną wzorem

d′(x, y) = d(x,y)1+d(x,y) .

Stwierdzenie 1.10.1. Funkcja d′ jest metryką w X.

Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z ∈ X. Oznaczmy: a = d(x, y),b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c > 0 oraz a+ b > c. Należy pokazać, że

a1+a +

b1+b −

c1+c =

a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)−c(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)(1+c) > 0.

Sprawdzamy:a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c)− c(1 + a)(1 + b)

= a+ ab+ ac+ abc+ b+ ab+ bc+ abc− c− ac− bc− abc

= (a+ b− c) + 2ab+ abc > 0.

Stwierdzenie 1.10.2. Metryki d i d′ są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d′) są home-omorficzne.

1.2 Jeśli X,Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X −→ Y jest homeomorfizmem, to (dla każdegox ∈ X) przestrzenie X r x i Y r h(x) są homeomorficzne ([16] 34).

Przykład 1.10.3. Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne.

Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzuć-my z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1]r 0 jest spójne, a (0, 1)r h(0) nie jest spójne.

Stwierdzenie 1.10.4 ([16] 146). Niech f : (0, 1) −→ (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokład-nie jeden homeomorfizm h : [0, 1] −→ [0, 1] taki, że H | (0, 1) = f .

1.3 Przestrzenie Sn−1 × R i Rn r 0 są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przypo-rządkowanie (x, t) 7→ 2tx. W szczególności S× R ≈ R2 r 0 ≈ C r 0.

1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] −→ R jest funkcją ciągłą i f(0)f(1) 6 0, to istnieje t ∈ [0, 1] takie, że f(t) = 0.Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I −→ I ma punkt stały. Oto inna konsekwencjatego faktu.

Stwierdzenie 1.10.5 ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S1 −→ R przeprowadza pewną parę punktówantypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t ∈ S1 takie, że f(t) = f(−t).

Dowód. Niech f : S1 −→ R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S −→ R,e : I −→ S1 określone wzorami:

h(t) = f(t)− f(−t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx).

Wtedy funkcja he : I −→ R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości:

he(0) = h(1) = f(1)− f(−1), he(1) = h(−1) = f(−1)− f(1).

Istnieje zatem a ∈ I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f(t) = f(−1).

Z tego stwierdzenia wynika:


Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punktyo tej samej temperaturze.

Można udowodnić:

Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A,B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymipole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części orównych polach.

W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki.Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą byćrozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednegokawałka).

Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole.Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części orównych polach.

1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I −→ X nazywamydrogą w X. Istnieją drogi σ : I −→ I2 będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I2. Takie drogiskonstruował Peano (ok. 1890 roku).

1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S1 −→ R2 nazywa się krzywą Jordana.

Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech τ : S1 −→ R2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R2 rτ(S1) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jestzbiór τ(S1). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona.

Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałobysię oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku.

Zastąpmy okrąg S1 odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy:

Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). Niech σ : I −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R2 r σ(I) jestspójny.

1.7 Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku.

Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : Sn −→ Sn−1 taka, że

f(−x) = −f(x),

dla wszystkich x ∈ Sn.

Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobnodowód jest trudny.

Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f(−x) = −f(x),dla x ∈ S2, to istnieje x0 ∈ S2 takie, że f(x0) = 0.

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 6= 0, dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ S1,przyjmując g(x) = ||f(x)||−1f(x). Wtedy g(−x) = −g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym.

Wniosek 1.10.13 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x ∈ S2 takie, żef(x) = f(−x).

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 6= f(−x), dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ R2,przyjmując g(x) = f(x) − f(−x). Wtedy g(−x) = −g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższegowniosku - g(x0) = 0, dla pewnego x0 ∈ S2. Stąd f(x0) = f(−x0) wbrew naszemu przypuszczeniu.

Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodycznepunkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie.Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku

(sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z Sn do Rn. Stąd dajesię udowodnić:


Wniosek 1.10.14 ([16] 183). Żaden podzbiór w Rn nie jest homeomorficzny z Sn.

Wniosek 1.10.15 ([16] 185, PH121). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : Sn −→ S1 (n > 1), spełniającezwiązek f(−x) = −f(x), dla wszystkich x ∈ Sn.

Twierdzenie 1.10.16 (o kanapce, [16]). Niech A,B,C będą ograniczonymi podzbiorami w R3, posiadają-cymi objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości.

2. Grupa podstawowa 9

2 Grupa podstawowa

Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy prze-konał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni,nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S3. Pytanie, czy funktory homologiiwespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarego ([6]8).

Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175.

W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domkniętyodcinek [0, 1] ⊂ R.

2.1 Drogi

Każde przekształcenie ciągłe σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiemdrogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I −→ X jest zamknięta jeśli początek pokrywasię z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcieσ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym.

Niech p, q ∈ X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początkuw punkcie p i końcu w punkcie q.

Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I −→ Xsą drogami w X takimi, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), gdzie p, q, r ∈ X. Definiujemy wtedy drogęστ ∈ D(p, r), przyjmując:

στ(t) =

σ(2t), gdy 0 6 t 6 1

2 ,

τ(2t− 1), gdy 12 6 t 6 1.

Z każdą drogą σ ∈ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ′ ∈ D(q, p), którą określa sięwzorem

σ′(t) = σ(1− t).

2.2 Drogi homotopijnie równoważne

Niech p, q ∈ X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ ∈ D(p, q). Mówimy, że drogiσ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ ∼ τ , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłeF : I × I −→ X takie, że:

F (s, 0) = σ(s) dla s ∈ I,F (s, 1) = τ(s) dla s ∈ I,F (0, t) = p dla t ∈ I,F (1, t) = q dla t ∈ I.

Powyższe odwzorowanie F : I × I −→ X nazywa się homotopią od σ do τ .

Jeśli F : I × I −→ X jest homotopią, od σ do τ , to (dla każdego t ∈ I) przez Ft : I −→ Xoznaczamy odwzorowanie określone wzorem

Ft(s) = F (s, t), dla s ∈ I.

Każde odwzorowanie postaci Ft jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F0 = σ, F1 = τ .

Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ∼ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q).

Dowód. Niech σ, τ, µ ∈ D(p, q).Zwrotność. Odwzorowanie F : I× I −→ X, (s, t) 7→ σ(s), jest homotopią od σ do σ.


Symetryczność. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do τ . Definiujemy odwzorowanieG : I × I −→ X, przyjmując:

G(s, t) = F (s, 1− t), dla s, t ∈ I.

Wtedy G jest homotopią od τ do σ.Przechodniość. Niech F,G : I × I −→ X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ.

Definiujemy odwzorowanie H : I × I −→ X następująco:

H(s, t) =

F (s, 2t), dla s ∈ I, 0 6 t 6 1

2 ,

G(s, 2t− 1), dla s ∈ I, 12 6 t 6 1.

Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ.

Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg.

Stwierdzenie 2.2.2. Niech σ, σ′ ∈ D(p, q), τ, τ ′ ∈ D(q, r). Jeśli σ ∼ σ′ i τ ∼ τ ′, to στ ∼ σ′τ ′.

Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ′ i niech G : I × I −→ X będziehomotopią od τ do τ ′. Wówczas, dla każdego t ∈ I mamy drogi Ft ∈ D(p, q) i Gt ∈ D(q, r). Drogi temożemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I×H −→ X przyjmując H(s, t) = FtGt(s), dlas, t ∈ I, tzn.

H(s, t) =

F (s, t), dla 0 6 s 6 1

2 ,

G(2s− 1, t), dla 12 6 s 6 1.

Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ′τ ′.

Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), µ ∈ D(r, s), gdzie p, q, r, s ∈ X. Wtedy(στ)µ ∼ σ(τµ).

Dowód.

(στ)µ(t) =

σ(4t), gdy 0 6 t 6 1

4 ,

τ(4t− 1), gdy 14 6 t 6 1

2 ,

µ(2t− 1), gdy 12 6 t 6 1.

σ(τµ)(t) =

σ(2t), gdy 0 6 t 6 1

2 ,

τ(4t− 2), gdy 12 6 t 6 3

4 ,

µ(4t− 3), gdy 34 6 t 6 1.

Homotopię od (στ)µ do σ(τµ) zadaje odwzorowanie

F (s, t) =

σ( 4st+1 ), gdy 0 6 s 6 t+1

4 ,

τ(4s− t− 1), gdy t+14 6 s 6 t+2

4 ,

µ( 4s−t−22−t ), gdy t+24 6 s 6 1.

Stwierdzenie 2.2.4. Niech σ, τ ∈ D(p, q) i niech σ′, τ ′ ∈ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowied-nio do σ i τ . Jeśli σ ∼ τ , to σ′ ∼ τ ′.

Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ′. Wtedy G : I × I −→ X, G(s, t) =F (1− s, t), jest homotopią od σ′ do τ ′.

Stwierdzenie 2.2.5. Niech σ ∈ D(p, q) i niech σ′ ∈ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedyσσ′ ∼ ep, σ′σ ∼ eq, gdzie ep ∈ D(p, p), eq ∈ D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartościodpowiednio p i q.

Dowód. Homotopię od σσ′ do ep zadaje odwzorowanie

F (s, t) =

σ(2s), gdy 0 6 s 6 1−t

2 ,

σ(2− 2t− 2s), gdy 1−t2 6 s 6 1− t,

p, gdy 1− t 6 s 6 1.

Podobnie określa się homotopię od σ′σ do eq.


2.3 Definicja grupy podstawowej

Jeśli σ ∈ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji ∼.

Niech p ∈ X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiórD(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p.

Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ ∈ D(p, p), oznaczamy przezπ1(X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p.

Mnożenie w π1(X, p) jest określone wzorem

[σ][τ ] = [στ ], dla σ, τ ∈ D(p, p).

Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, żezbiór π1(X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętlistałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ′], gdzie σ′ jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ,tzn. [σ]−1 = [σ′].

Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 2.3.2. Niech p, q ∈ X i niech τ ∈ D(p, q). Odwzorowanie

π1(X, q) −→ π1(X, p), [σ] 7−→ [τ ][σ][τ ]−1,

jest izomorfizmem grup.

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q ∈ Xistnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika:

Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p ∈ X, to grupa podstawowa π1(X, p) niezależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q ∈ X, grupy π1(X, p) i π1(X, q) są izomor-ficzne.

Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π1(X, p) (gdzie p ∈ X) oznaczasię krótko przez π1(X).

Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych.

Stwierdzenie 2.3.4.(1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną.(2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi).(3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w Rn jest łukowo spójny.

Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wy-różnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzeniątopologiczną i p ∈ X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X −→ Y takie, żef(p) = q. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany:

f∗ : π1(X, p) −→ π1(Y, f(p)), [σ] 7−→ [f σ].

Łatwo sprawdza się, że f∗ jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f g)∗ = f∗ g∗, (1X)∗ = id. Mamyzatem:

Wniosek 2.3.5. π1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnio-nym punktem do kategorii grup.


2.4 Homotopia odwzorowań

Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I −→ X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równo-ważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimydowolną przestrzenią topologiczną Y . W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowypodzbiór A = 0, 1 ⊂ I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I −→ X takie, że σ|A = τ |A.

Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ Y będzie ustalonym podzbio-rem.

Definicja 2.4.1. Niech f, g : Y −→ X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f |A = g|A.Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f ∼A g,jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że:

F (y, 0) = f(y), dla y ∈ Y,

F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,

F (y, t) = f(y) = g(y), dla y ∈ A, t ∈ I.

Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g.

Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcjiciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A.

Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy A = ∅, piszemy f ∼ g (zamiast f ∼A g) i mówimy, że funkcjef i g są homotopijne.

Zatem funkcje f, g : Y −→ X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłeF : Y × I −→ X takie, że:

F (y, 0) = f(y), dla y ∈ Y,

F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,

Przykład 2.4.3. Niech X = Y = Rn. Niech f, g : Rn −→ Rn będą funkcjami takimi, że f jestidentycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie

F : Rn × I −→ Rn, (x, t) 7−→ tx,

jest homotopią od f do g.

Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jesthomotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna.

Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i matrywialną grupę podstawową.

Twierdzenie 2.4.6 ([12]19).(1) Przestrzeń X jest ściągalna ⇐⇒ dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje

ciągłe z Y do X są homotopijne.(2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.(3) Każdy wypukły podzbiór w Rn jest ściągalny.(4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna.

Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X −→Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψY −→ X takie, żeϕψ ∼ 1X i ψϕ ∼ 1Y . Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mająten sam typ homotopii.


W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii,co przestrzeń jednopunktowa.Wiemy, że π1 jest funktorem. Jeśli więc f : X −→ Y jest homeomorfizmem, to grupy π1(X, p),

π1(Y, f(p)) są izomorficzne. Założenie ”f jest homeomorfizmem” można osłabić:

Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ϕ : X −→ Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π1(X, p), π1(Y, ϕ(p))są izomorficzne.

Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tymbardziej niezmiennikiem topologicznym).

Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest

przestrzenią spójną ([16] 138).

2.5 Przykłady

Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). π1(X × Y, (p, q)) ≈ π1(X, p)× π1(Y, q).

Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31).

π1(Sn) =

Z, gdy n = 1,

0, gdy n > 1.

Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającejtyp homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S1 ×In dla każdego n = 1, 2, . . . , a także na przykład dla wstęgi Mobiusa. Grupa podstawowa torusaS1 × · · · × S1 (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych:

π1(S1 × · · · × S1︸︷︷︸n

) = Z× · · · × Z︸︷︷︸n

.

Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S1 nie jest retraktem koła domkniętego.Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym:każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25).

Przestrzeń rzutową Pn = Pn(R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery Sn, otrzymanąprzez utożsamienie punktów antypodycznych.

Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31).

π1(Pn) =

Z, gdy n = 1,

Z2, gdy n > 1.

Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnymdzielnikiem normalnym, to π1(G/H, 1) ≈ H.

Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym,to grupa π1(G, e) jest abelowa.

2.6 Wyższe grupy homotopii

Na podstawie [16] 155.

Grupę π1(X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks”1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I1

do X. W ogólnym przypadku można określić πn(X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przezodwzorowania ciągłe σ : In −→ X. Przedstawiamy szkic konstrukcji.

Niech p ∈ X będzie wyróżnionym punktem.


Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki In nazywamy zbiór

∂In = (a1, . . . , an) ∈ In; ai = 0 lub ai = 1, dla pewnego i.

Definicja 2.6.2. Przez Pn(X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : In −→ Xtakich, że σ(∂In) = p.

Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania σ, τ : In −→ X, należące do Pn(X, p) są homotopij-nie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu ∂In, tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanieF : In × I −→ X takie, że

F (y, 0) = σ(y), dla y ∈ In,

F (y, 1) = τ(y), dla y ∈ In,

F (y, t) = p, dla y ∈ ∂In, t ∈ I.

Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze Pn(X, p). Klasy abstrakcjioznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez πn(X, p). Mnożenie w πn(X, p)definiuje się jako

[σ][τ ] = [σ ∗ τ ],

gdzie

σ ∗ τ(t1, . . . , tn) =

σ(2t1, t2, . . . , tn), gdy 0 6 t1 6 1

2 ,

τ(2t1 − 1, t2, . . . , tn), gdy 12 6 t1 6 1.

Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór πn(X, p), z takim mnożeniem jest grupą.

Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156).(1) Jeśli istnieje droga σ ∈ D(p, q), to grupy πn(X, p) i πn(X, q) są izomorficzne.(2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomor-

ficzne.(3) Jeśli n > 2, to grupa πn(X, p) jest abelowa.(4) Niech X,Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y będzie funkcją ciągłą. Okre-

śla się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f∗ : πn(X, p) −→ πn(Y, f(p)). Jeśli wszystkiehomomorfizmy f∗ (dla każdego n > 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością.

2.7 Hipoteza Poincare

Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną)wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S3.

Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n > 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnąłpozytywnie sam Poincare. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n > 5, a w 1981 roku M. Friedmandla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15

3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną

3.1 Działanie grupy na zbiór

Niech X będzie zbiorem, a G grupą.

Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie(zwane działaniem grupy G na X)

· : G×X −→ X, (g, x) 7−→ gx,

spełniające warunki:(1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G,(2) g(hx) = (gh)x, dla g, h ∈ G, x ∈ X.

Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→ S(X), gdzie S(X) jest grupąwszystkich permutacji zbioru X.

Przykład 3.1.2.(1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Dzia-

łanie G×X −→ X określamy jako (g, x) 7→ g(x), tzn. gx = g(x).(2) G = Z2 = −1, 1, X = Sn. Z2 × Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax, tzn. (±)x = ±x.(3) G = Z, X = R, ax = x+ a.(4) G = Z× Z, X = R2, (a, b)(x, y) = (x+ a, y + a).(5) G = Z, X = (x, y) ∈ R2; − 12 6 y 6 1

2, Działanie Z × X −→ X określamy wzorem(a, (x, y)) 7→ (x+ a, (−1)ay).(6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H × G −→ G, (h, g) 7→ hg. Grupa

G jest więc H-zbiorem.(7) Niech G będzie grupą i X = 2G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy

G× 2G −→ 2G, przyjmując(g, U) 7−→ gU = gu; u ∈ U.

Zbiór 2G jest więc G-zbiorem.

Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X −→ X postaci x 7→ gx, jest bijekcją.

3.2 Przestrzeń orbit

Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ∼ w X, przyjmując:

x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G y = gx.

Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x ∈ X, toorbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór

Gx = gx; g ∈ G.

Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbitG-zbioru X.

Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem.

Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X.

Przykład 3.2.2.(1) G = Z2 = −1, 1, X = Sn, Z2 × Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax. Wtedy Sn/Z2 = Pn(R) jest

przestrzenią rzutową rzeczywistą.(2) G = Z, X = R, Z× R −→ R, ax = x+ a. Wtedy R/Z = S1.(3) G = Z, X = (x, y) ∈ R2; − 12 6 y 6 1

2, Z ×X −→ X, (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)ay). WtedyX/Z jest wstęgą Mobiusa.


Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x ∈ X, to oznaczamy:

Gx = g ∈ G; gx = x.

ZbiórGx jest podgrupą grupyG, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbitpostaci G/Gx. Zbiór G/Gx pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupyGx.

Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x 7→ gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G×X −→ X jestciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G×X −→ X, to nic innego, jak homomorfizmgrup G −→Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X.

Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym.

Dowód. Odwzorowanie η : X −→ X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową).Niech U ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(U) jest zbiorem otwartym w X/G,tzn., że zbiór η−1η(U) jest otwarty w X. Wynika to z równości:

η−1η(U) =⋃g∈G gU.

Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem.

Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzoro-wanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→ Gx, jest domknięte.

Dowód. Niech F ⊆ X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(F ) jest zbioremdomkniętym w X/G, tzn., że zbiór η−1η(F ) jest domknięty w X. Wynika to z równości:

η−1η(F ) =⋃g∈G gF.

Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. Zbiór η−1η(F ) jest więcskończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym.

3.3 Produkty

Niech G1, G2 będą grupami. Załóżmy, że X1 jest G1-przestrzenią, a X2 jest G2-przestrzenią. Mamywówczas ciągłe działanie

(G1 ×G2)× (X1 ×X2) −→ X1 ×X2, (a, b)(x1, x2) = (ax1, bx2).

Przestrzeń X1 ×X2 jest więc G1 ×G2-przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X1 ×X2/G1 ×G2.

Stwierdzenie 3.3.1 (PH15). Przestrzenie topologiczne X1 × X2/G1 × G2 i (X1/G1) × (X2/G2)są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] 7→ ([a], [b]).

Przykład 3.3.2.(1) Niech Z× Z działa na R2 jako: (a, b)(x, y) = (a+ x, b+ y). Wtedy

R2/(Z× Z) ≈ (R/Z)× (R/Z) ≈ S1 × S1 (torus).

(2) Niech G = Z, X = C r 0. Rozpatrzmy działanie

Z×X −→ X, ax = 2ax.

Zbiór C r 0 jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C r 0)/Z jest home-omorficzna z torusem S1 × S1.(3) ([16] 55). Niech T : Rn r 0 −→ Rn r 0 będzie homeomorfizmem określonym wzorem

T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = T i; i ∈ Z. Grupa ta działa na Rn r 0 (T ix = T i(x)). Możnapokazać, że (Rn r 0)/G ≈ Sn−1 × S1.


3.4 Zwartość

Jest oczywiste, że jeśli f : X −→ Y jest ciągłą surjekcją przestrzeni topologicznych, gdzie X jestprzestrzenią quasi-zwartą (tzn. spełniającą warunek zwartości ale bez założenia o hausdorffowości),to Y jest również przestrzenią quasi-zwartą. Stąd wynika w szczególności:

Stwierdzenie 3.4.1. Jeśli X jest quasi-zwartą G-przestrzenią, to przestrzeń orbit X/G jest quasi-zwarta.

Dla przestrzeni orbitX/Gmoże być kłopot z hausdorffowością. JeśliX jest przestrzenią Hausdorffa,to X/G nie musi być taką (Stwierdzenie 3.8.1). Jednakże dla grup skończonych własność ta przechodzi.Stąd mamy:

Stwierdzenie 3.4.2. Niech X będzie G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną. Jeśli przestrzeńX jest zwarta, to X/G jest również przestrzenią zwartą.

Wiemy już, że rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn(R) jest homeomorficzna z przestrzenią orbitSn/Z2. Mamy zatem:

Wniosek 3.4.3. Rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn(R) jest zwarta.

3.5 Działania wspólnie rozłączne

Niech X będzie G-przestrzenią.

Definicja 3.5.1 ([16] 167). Mówimy, że działanie grupy G na X jest rozłączne (lub wspólnie roz-łączne), jeśli dla każdego x ∈ X, istnieje otwarte otoczenie V 3 x takie, że gV ∩g′V = ∅, dla wszystkichg, g′ ∈ G, g 6= g′.

Twierdzenie 3.5.2 ([16] 167, PH113). Niech X będzie G-przestrzenią. Jeśli działanie G na Xjest wspólnie rozłączne, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G jest nakryciem.

Definicja nakrycia jest w Podrozdziale 1.9.Dowód. Niech Gx = gx; g ∈ G będzie dowolnym elementem w X/G. Ponieważ działanie jest

wspólnie rozłączne, więc istnieje zbiór otwarty V w X, zawierający x taki, że gV ∩ g′V = ∅, dlawszystkich g, g′ ∈ G, g 6= g′. Oznaczmy U = η(V ). Zbiór U jest otwarty w X/G (Stwierdzenie 3.2.3)i Gx ∈ U . Zauważmy, że

η−1(U) = η−1η(V ) =⋃g∈G gV.

Zbiory postaci gV są otwarte w X (bo odwzorowanie x 7→ gx jest homeomorfizmem) i parami roz-łączne.Należy jeszcze pokazać, że odwzorowanie η|gV jest homeomorfizmem pomiędzy przestrzeniami gV

i U . Odwzorowanie η|gV jest oczywiście ciągłe i otwarte oraz η(gV ) = η(V ) = U . Wystarczy zatemtylko pokazać, że η|gV jest odwzorowaniem różnowartościowym. Niech a, b ∈ gV , η(a) = η(b). WtedyGa = Gb, więc a = g′b, dla pewnego g′ ∈ G. Zatem a ∈ gV ∩ g′gV . Jeśli g′ 6= e, to gV ∩ g′gV = ∅.Stą wynika, że g′ = e, czyli a = g′b = eb = b.

3.6 Działania wolne

Niech X będzie G-przestrzenią. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G.

Definicja 3.6.1 ([16] 88). Mówimy, że działanie grupy G na X jest wolne (lub, że grupa G działana X w sposób wolny) jeśli gx 6= x, dla wszystkich g ∈ Gr e, x ∈ X.

Stwierdzenie 3.6.2. Działanie grupy G na X jest wolne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X,stabilizator Gx = g ∈ G; gx = x jest trywialny (tzn. równy e).

Stwierdzenie 3.6.3 ([16] 168, PH110). Niech G będzie skończoną grupą działającą w sposób wol-ny na przestrzeń Hausdorffa X. Wówczas działanie G×X −→ X jest wspólnie rozłączne.


Korzystając z tego stwierdzenia można udowodnić:

Twierdzenie 3.6.4 (PH111). Niech X będzie n-wymiarową rozmaitością topologiczną zwartą, bę-dącą G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną działającą w sposób wolny. Wtedy przestrzeń orbitX/G jest również n-wymiarową rozmaitością topologiczną.

Przy założeniach tych samych co w powyższym twierdzeniu można udowodnić, że prawdziwa jesttakże implikacja odwrotna, tzn. jeśli X/G jest n-wymiarową rozmaitością, to X również ([16] 94 zad.d).

Niech M będzie powierzchnią (tzn. zwartą i spójną rozmaitością 2-wymiarową). Załóżmy, że Mjest G-przestrzenią, gdzie G jest skończoną grupą cykliczną nieparzystego rzędu. Wtedy M/G jestrównież powierzchnią. Nie musimy tu zakładać, że działanie jest wolne ([16] 107).

3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit

Niech X będzie łukowo spójną G-przestrzenią. Załóżmy, że działanie grupy G na X jest wspólnierozłączne. Wiemy, że wtedy odwzorowanie kanoniczne η : X −→ X/G jest nakryciem. Jaki jest związekgrupy podstawowej π1(X/G) z grupą π1(X)?Niech η∗ : π1(X) −→ π1(X/G) będzie homomorfizmem grup indukowanym przez η. Można udo-

wodnić:

Twierdzenie 3.7.1 ([16] 179). Przy powyższych założeniach, grupy G i π1(X/G)/η∗(π1(X) są izo-morficzne.

Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, jeśli jest łukowo spójna oraz jejgrupa podstawowa jest zerowa. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy:

Wniosek 3.7.2. Jeśli X jest przestrzenią jednospójną oraz działanie grupy G na X jest wspólnierozłączne, to grupy π1(X/G) i G są izomorficzne.

Przykład 3.7.3. π1(S1) = Z.

Dowód. Grupa Z działa na R następująco: ar 7→ a + r. Wiemy, że S1 ≈ R/Z. Oczywiście R jestprzestrzenią jednospójną. Pokażemy, że działanie Z na R jest wspólnie rozłączne. Niech r ∈ R. NiechU = (r − 13 , r +

13 ). Wtedy U jest zbiorem otwartym w R, zawierającym r i takim, że dla a, b ∈ Z,

a 6= b, zbiór aU ∩ bU jest pusty. Teza wynika zatem z powyższego wniosku.

Przykład 3.7.4. Niech X = S3 ⊂ C2.

S2 = (z0, z1) ∈ C2; |z0|2 + |z1|2 = 1.

Niech p > 1 będzie liczbą naturalną. Rozpatrzmy odwzorowanie h : S3 −→ S3 określone wzorem

h(z0, z1) = (z0e2πip , z1e

2πip ) = e

2πip (z0, z1).

Odwzorowanie to jest homeomorfizmem sfery S3 takim, że hp = id. Niech G = Zp będzie grupącykliczną rzędu p i rozpatrzmy działanie G na S3, określone jako:

n(z0, z1) = hn(z0, z1).

Grupa Zp działa w sposób wolny na S3. Działanie to jest więc wspólnie rozłączne. Mamy zatemnakrycie S3 −→ S3/Zp. Z powyższego wniosku wynika, że π1(S3/Zp) = Zp.

Na mocy tych przykładów mamy:

Wniosek 3.7.5. Każda grupa cykliczna jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowospójnej).

Łącząc ten wniosek z twierdzeniem o grupie podstawowej produktu otrzymujemy:

Wniosek 3.7.6. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest grupą podstawową pewnej prze-strzeni topologicznej (łukowo spójnej).


3.8 Uwagi

3.1 Grupa (Q,+), addytywna grupa liczb wymiernych, działa na przestrzeń R. Działanie określone jestwzorem qr = r + q. Odwzorowania postaci r 7→ qr są oczywiście ciągłe. R jest więc Q-przestrzenią.

Stwierdzenie 3.8.1 (PH19). Przestrzeń R/Q jest trywialna, tzn. zbiorami otwartymi są tylko: zbiór pustyi cała przestrzeń.

Dowód. Niech η : R −→ R/Q będzie naturalną surjekcją. Załóżmy, że A jest niepustym zbiorem otwartymw R/Q i niech r + Q ∈ A. Wtedy η(r) = r + Q ∈ A, więc r ∈ η−1(A). Zbiór η−1(A) jest otwarty w R (boR/Q ma topologię ilorazową), jest więc sumą mnogościową otwartych odcinków. Do jednego z tych otwartychodcinków należy oczywiście element r. Istnieją zatem liczby rzeczywiste u < v takie, że

r ∈ (u, v) ⊆ η−1(A).

Rozpatrzmy teraz dowolną orbitę s + Q należącą do R/Q. Pokażemy (i to wystarczy), że s + Q ∈ A. Niech tbędzie taką liczbą wymierną, że −s+ u < t < −s+ v. Wtedy t+ s ∈ (u, v) ⊆ η−1(A), czyli

s+Q = s+ t+Q = η(s+ t) ∈ A.

Zatem A = R/Q.

Ze stwierdzenia tego wynika, że jeśli X jest G-przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być przestrzeniąHausdorffa.


4 Snopy i algebry funkcji ciągłych

4.1 Presnopy

Definicja 4.1.1. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez X oznaczamy kategorię, którejobiektami są wszystkie zbiory otwarte w X, a morfizmami włożenia, tzn. jeżeli U, V są otwartymipodzbiorami w X (czyli obiektami w X), to

Morf (U, V ) =

∅, gdy U 6⊆ V,U → V , gdy U ⊆ V.

Zbiór morfizmów w kategorii X jest co najwyżej jednoelementowy.

Niech A będzie kategorią.

Definicja 4.1.2. Każdy funktor kontrawariantny F : X −→ A nazywamy presnopem przestrzenitopologicznej X o wartościach w A.

Zakładać będziemy, że obiekty kategorii A ”żyją” na kategorii zbiorów, a morfizmy są przedewszystkim funkcjami.

Definicja 4.1.3. Jeżeli F : X −→ A jest presnopem i U ⊆ V , to jedyny morfizm F (U → V ) :F (V ) −→ F (U) oznaczamy przez FVU i nazywamy ograniczeniem V do U .

Zatem FVU : F (V ) −→ F (U). Z definicji funktora kontrawariantnego wynika:

Stwierdzenie 4.1.4.(1) FUU = 1F (U).(2) Jeśli U ⊆ V ⊆W , to FWU = FVU FWV .

4.2 Snopy

Pewne presnopy nazywać będziemy snopami. Przed ich zdefiniowaniem wprowadźmy następujące nowepojęcie.

Definicja 4.2.1. Niech F : X −→ A będzie presnopem i U =⋃α Uα otwartym pokryciem w X.

Zgodną rodziną (tego pokrycia względem F ) nazywamy każdą rodzinę fα taką, że:

(a) ∀α fα ∈ F (Uα),

(b) ∀α,β FUαUα∩Uβ (fα) = FUβUα∩Uβ (fβ) (równość w F (Ua ∩ Uβ)).

Przykład 4.2.2. Niech F : X −→ A będzie presnopem i U =⋃α Uα otwartym pokryciem w X. Niech

f ∈ F (U). Dla każdego α definiujemy element fα jako

fα = FUUα(f).

Wtedy fα jest zgodną rodziną rozpatrywanego pokrycia względem F .

Dowód. Ponieważ FUUα : F (U) −→ F (Uα) więc fα = FUUα(f) ∈ F (Uα). Mamy ponadto (na mocyStwierdzenia 4.1.4):

FUαUα∩Uβ (fα) = FUαUα∩UβF

UUα(f) = F

UUα∩Uβ (f) = F

UβUα∩UβF

UUβ(f) = FUβUα∩Uβ (fβ).

Definicja 4.2.3. Mówimy, że zgodna rodzina fα (pokrycia U =⋃α Uα względem presnopa F )

ma własność sklejania jeśli istnieje dokładnie jeden element f ∈ F (U) taki,że fα jest rodziną zpowyższego przykładu, tzn. ∀α fα = FUUα(f).

4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 21

Definicja 4.2.4. Presnop F : X −→ A nazywamy snopem jśli dla każdego otwartego pokrycia w Xkażda zgodna rodzina, tego pokrycia względem F , ma własność sklejania.

Z encyklopedii: ”Teoria snopów” to specjalny matematyczny aparat, służący do ustalenia związków między lo-

kalnymi i globalnymi własnościami przestrzeni topologicznych. Aparat ten stosowany jest we współczesnej algebrze,

geometrii, topologii i analizie.

Przykład 4.2.5. Niech X będzie dyskretną przestrzenią topologiczną (każdy podzbiór jest otwarty) iniech Y będzie ustalonym zbiorem. Określamy funktor F : X −→ Set przyjmując za F (U) (gdzie U jestpodzbiorem w X) zbiór wszystkich zwykłych funkcji z U do Y . Jeśli U ⊆ V , to FVU : F (V ) −→ F (U)określamy jako FVU (f) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ). Funktor F jest snopem.

Dowód. Jest oczywiste, że F jest presnopem. Niech fα będzie zgodną rodziną pokrycia U =⋃α Uα względem F . Definiujemy f : U −→ Y przyjmując (dla każdego u ∈ U) f(u) = fα(u), gdzie αjest takie, że u ∈ Uα. Zauważmy, że definicja tej funkcji jest poprawna. Jeśli bowiem u należy też doUβ , to u ∈ Uα ∩Uβ i wtedy fα(u) = fβ(u), gdyż fα | Uα ∩Uβ = fβ | Uα ∩Uβ . Jedyność funkcji f jestoczywista.

Oto uogólnienie tego przykładu.

Przykład 4.2.6. Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. Określamy funktor F : X −→ Setprzyjmując za F (U) (gdzie U jest otwartym podzbiorem w X) zbiór wszystkich funkcji ciągłych z Udo Y . Jeśli U ⊆ V , to FVU : F (V ) −→ F (U) określamy jako FVU (f) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ).Funktor F jest snopem.

Dowód. Sprawdzamy to dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie. Musimy jedyniewykazać, że funkcja f : U −→ Y (patrz dowód poprzedniego przykładu) jest ciągła. Wynika to znastępującego lematu

Lemat 4.2.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech U =⋃α Uα będzie otwartym

pokryciem w X. Załóżmy, że f : U −→ Y jest zwykłą funkcją taką, że wszystkie funkcje fα = f | Uαsą ciągłe. Wtedy f jest funkcją ciągłą.

Dowód. Wynika to z równości f−1(V ) =⋃α f−1α (V ), gdzie V ⊆ Y .

Przykład 4.2.8 (Presnop, który nie jest snopem). Niech X = a, b będzie dwuelementowąprzestrzenią dyskretną i niech Y = p, q będzie ustalonym dwuelementowym zbiorem. Określamyfunktor F : X −→ Set przyjmując:

F (∅) = p,

F (X) = F (a) = F (b) = Y.

Morfizmy określamy następująco. Jeśli U ⊆ V , to

FVU =

1Y , gdy U 6= ∅,

funkcja stała = p, gdy U = ∅.

Jest oczywiste, że F jest presnopem. Nie jest to jednak snop, gdyż zgodna rodzina p, q (pokryciaX = a ∪ b względem F ) nie ma własności sklejania.

4.3 Algebra funkcji ciągłych

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C[X] oznaczać będziemy R-algebrę wszystkich funkcjiciągłych z X do R. O pewnych snopowych własnościach tej algebry wspomnieliśmy w Przykładzie4.2.6. Teraz podamy informacje o ideałach maksymalnych i derywacjach tej algebry.

Zanotujmy najpierw kilka drobnych spostrzeżeń.


Lemat 4.3.1. Niech f : X −→ R będzie funkcją ciągłą taką,że f(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ X. Wtedyg : X −→ R, x 7→ 1/f(x), też jest funkcją ciągłą.

Dowód. Wiemy, że funkcja ϕ : Rr0, x 7→ 1/x jest ciągła. Zatem funkcja g = ϕf też jest ciągła,gdyż jest złożeniem dwóch funkcji ciągłych.

Stąd wynika:

Stwierdzenie 4.3.2. Funkcja f ∈ C[X] jest odwracalna w C[X] ⇐⇒ ∀x∈X f(x) 6= 0.

Ideały maksymalne. Jeśli p ∈ X, to przez mp[X] oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f ∈ C[X],zerujących się w punkcie p. Zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C[X] oraz C[X]/mp[X] ≈ R(gdyż mp[X] jest jądrem surjekcji C[X] −→ R, f 7→ f(p)).

Stwierdzenie 4.3.3. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to każdy ideał maksymalny w C[X] jest postacimp[X], dla pewnego p ∈ X.

Dowód. Niech M będzie ideałem maksymalnym w C[X]. Jeśli f ∈ M , to przez Af oznaczaćbędziemy domknięty zbiór f−1(0). Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że Af 6= ∅.Rozpatrzmy rodzinę Af ; f ∈ M. Rodzina ta jest scentrowana (tzn. każdy skończony przekrój

zbiorów z tej rodziny jest niepusty). Istotnie, przypuśćmy, że Af1 ∩ · · · ∩ Afs = ∅, dla pewnychf1, . . . , fs ∈ M . Wtedy funkcja f21 + · · · + f2s należy do M i w każdym punkcie jest różna od zera.Funkcja ta jest więc odwracalna w C[X] wbrew temu, że należy ona do M .Niech A =

⋂f∈M Af . Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, więc A 6= ∅. Niech p ∈ A. Wtedy

f(p) = 0, dla wszystkich f ∈ M . Zatem M ⊆ mp[X]. Ale M jest ideałem maksymalnym, więcM = mp[X].

W powyższym dowodzie nie korzystaliśmy z tego, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Podobny faktzachodzi więc dla przestrzeni quasi-zwartych. Jeśli przestrzeń X nie jest zwarta, to w pieścieniu C[X]mogą istnieć ideały maksymalne, które nie są postaci mp[X].

Przykład 4.3.4 (AP384). Niech X = 1, 2, . . . będzie przestrzenią dyskretną. Istnieje wtedy mak-symalny ideał w C[X], który nie jest postaci mp[X].

Dowód. Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji f : X −→ R takich, że f(x) = 0 dla prawiewszystkich x ∈ X. Jest jasne, że A jest właściwym ideałem w C[X]. Przypuśćmy, że A ⊆ mp[X], dlapewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

g(x) =

1, dla x = p,

0, dla x 6= p.

Wtedy g ∈ Ar mp[X], a zatem mamy sprzeczność.Ideał A nie jest więc zawarty w żadnym ideale postaci mp[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M ,

nie będący postaci mp[X], zawierający A.

Ideał A, rozpatrywany w tym dowodzie, nie jest pierwszy. Niech f, g : X −→ R będą funkcjami takimi, że f(n) = 0i g(n) = 1 dla nieparzystych n oraz f(m) = 1 i g(m) = 0 dla parzystych m. Wtedy fg = 0 ∈ A, f 6∈ A, g 6∈ A.

Przykład 4.3.5. Niech X = R. Istnieje ideał maksymalny w C[X], który nie jest postaci mp[X].

Dowód (St. Balcerzyk). Przypomnijmy, że jeśli f : X −→ R jest funkcją ciągłą, to jej nośnikiemSupp(f) nazywamy domknięcie zbioru f−1(Rr0). Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłychf : X −→ R takich, że zbór Supp(f) jest ograniczony. Łatwo sprawdzić, że A jest ideałem w C[X],różnym od C[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M , zawierający A. Przypuśćmy, że A = mp[X], dlapewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

g(x) =

0, dla x > p+ 1 lub x 6 p− 1,

x+ 1− p, dla p− 1 6 x 6 p,

−x+ 1 + p, dla p 6 x 6 p+ 1.


Wtedy g ∈ Ar mp[X], co jest sprzecznością.

Twierdzenie 4.3.6 ([8]294). Jeśli X jest przestrzenią Tichonowa (tzn. T3 12 ), to X jest przestrzeniązwartą ⇐⇒ każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci mp[X]. To samo dotyczy pierścienia C∗[X],wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych z X do R.

Dodatkowe informacje o ideałach maksymalnych (a także o ideałach pierwszych) w C[X] są w AP378-96. Patrz też

ZadAlg397-104.

Derywacje. Jeśli f : X −→ R jest zwykłą funkcją, to oznaczmy:

f+ = max(f, 0), f− = −min(f, 0).

Wtedy f = f+ − f− oraz f+ > 0, f− > 0. Ponieważ f+ = 12 (|f | + f), f− = 12 (|f | − f) więc, jeśli

f ∈ C[X], to f+, f− ∈ C[X].

Stwierdzenie 4.3.7. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Jeśli d : C[X] −→ C[X] jestR-derywacją, to d = 0.

Dowód. Niech h ∈ C[X]. Pokażemy, że d(h) = 0. W tym celu musimy wykazać, że d(h)(p) = 0,dla wszystkich p ∈ X. Niech więc p ∈ X. Niech r = h(p) i rozpatrzmy funkcję f = h − r. Ponieważf(p) = 0, więc f+(p) = 0, f−(p) = 0. Wiemy, że f+ > 0 i f− > 0. Istnieją zatem ciągłe funkcjea =√f+, b =

√f− : X −→ R i przy tym a(p) = b(p) = 0. Mamy wtedy:

d(h)(p) = d(h− r)(p) = d(f)(p) = d(f+ − f−)(p)= d(a2 − b2)(p) = (2ad(a)− 2bd(b))(p)= 2a(p)d(a)(p)− 2b(p)d(b)(p) = 0d(a)(p)− 0d(b)(p) = 0.

Zatem d(h) = 0.

Następne stwierdzenie ma dokładnie taki sam dowód.

Stwierdzenie 4.3.8. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A = C∗[X] (R-algebrawszystkich funkcji ciągl ych i ograniczonych x X do R) lub A = F [X] (R-algebra wszystkich funkcji zX do R). Jeśli d : A −→ A jest R-derywacją, to d = 0.

Ustalmy teraz jeden punkt p ∈ X i niech σp : C[X] −→ R będzie R-algebrowym homomorfizmemf 7→ f(p). Dzięki temu homomorfizmowi R staje się C[X]-modułem z mnożeniem ∗ : C[X]×R −→ R,f ∗ r = σp(f)r = f(p)r. Można zatem badać R-derywacje δ : C[X] −→ R (patrz [19]), czyli R-linioweodwzorowania takie, że

δ(fg) = f(p)δ(g) + g(p)δ(f), dla f, g ∈ C[X].

Nazywamy je derywacjami p-lokalnymi. Przepisując poprzedni dowód otrzymujemy:

Stwierdzenie 4.3.9. Jeśli δ : C[X] −→ R jest derywacją p-lokalną, to δ = 0.

To samo zachodzi, gdy zamiast algebry C[X] rozpatrzymy R-algebry ograniczonych funkcji ciągłych lub wszystkich

funkcji z X do R.

Pytanie 4.3.10. Czy ΩR(C[X]) (modułem różniczek algebry C[X], patrz [19]) jest modułem zero-wym?


4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech p ∈ X. Przez Ap[X] oznaczać będziemy zbiór wszyst-kich par postaci (U, f), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ Rjest funkcją ciągłą. W zbiorze Ap[X] wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną na-stępująco:

(U, f) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:(1) p ∈W ⊆ U ∩ V,(2) f |W = g |W.

Klasę abstrakcji elementu (U, f) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiempunktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op[X]. W zbiorze Op[X] definiujemydodawanie i mnożenie w następujący sposób:

[U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],

[U, f ] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].

Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op[X] z takimi działaniamijest przemienną R-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniempunktu p przestrzeni X lub pierścieniem ciągłych kiełków w punkcie p przestrzeni X. Z taką algebrąstowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op[X] −→ R zdefiniowany wzorem

νp([U, f ]) = f(p)

(dla wszystkich [U,F ] ∈ Op[X]), którego jądrem jest ideał

Mp[X] = [U, f ]; f(p) = 0.

Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp([X, a]) = a,gdzie a : X −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:

Stwierdzenie 4.4.1. Mp[X] jest ideałem maksymalnym w Op[X] oraz Op[X]/Mp[X] = R.

Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg398). Pierścień Op[X] jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnymMp[X].

Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op[X]rMp[X]. Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracalnymw Op[X]. Niech V = f−1(Rr0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w X zawartym w U i zawierającym p(gdyż f(p) 6= 0 ponieważ [U, f ] 6∈Mp[X]). Ponadto, [V, f |V ] = [U, f ] oraz (f |V )(v) 6= 0 dla wszystkichv ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f(v), dla v ∈ V . Jest to funkcjaciągła (Lemat 4.3.1) i mamy [U, f ][V, g] = 1.

Stwierdzenie 4.4.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to R-algebryOp[X] i Op(U) są izomorficzne.

Dowód. OdwzorowanieOp[X] −→ Op(U), [V, f ] 7→ [V ∩U, f | (V ∩U)] jest izomorfizmem R-algebr.

Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni topologicznych i niech p ∈ X.Mamy wówczas odwzorowanie

O(ϕ) : Oϕ(p)[Y ] −→ Op[X], [V, g] 7→ [ϕ−1(V ), gϕ].

Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 4.4.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p)[Y ]) ⊆Mp[X].


Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii przestrzeni topo-logicznych z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścieńpunktu jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op[X] z pierścieniem C[X]mp[X], gdzie C[X] jestR-algebrą wszystkich funkcji ciągłych z X do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp[X] = f ∈C[X]; f(p) = 0.

Stwierdzenie 4.4.5 (ZadAlg3101). Odwzorowanie

α : C[X]mp[X] −→ Op[X], f/g 7→ [X, f ][X, g]−1,

jest dobrze określonym homomorfizmem R-algebr.

Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C[X] −→ Op[X], f 7→ [X, f ]. Jeśli g ∈ C[X] r mp[X],to g(p) 6= 0 i wtedy [X, g] = β(g) jest odwracalne w Op[X] (czyli [X, g] 6∈ Mp[X]). Zatem β możnarozszerzyć do homomorfizmu

α : C[X]mp[X] −→ Op[X], f/g 7→ β(f)/β(g) = [X, f ][X, g]−1.

Stwierdzenie 4.4.6 (ZadAlg3102). Jeśli X jest T4-przestrzenią (w szczególności metryczną lubzwartą), to R-algebry C[X]mp[X] i Op[X] są izomorficzne. Dokładniej, homomorfizm α z poprzedniegostwierdzenia jest izomorfizmem R-algebr.

Dowód. (1) α jest surjekcją. Niech [V, f ] ∈ Op[X]. Rozpatrzmy domknięty zbiór F = X r V .Ponieważ p 6∈ F więc istnieją rozłączne zbiory otwarte U1, U2 takie, ze p ∈ U1 i F ⊆ U2 (ponieważX jest T4, a więc T3 12 ). Mamy więc p ∈ U1 ⊆ X r U2 i zbiór X r U2 jest domknięty. Stąd

p ∈ U1 ⊆ U1 ⊆ X r U1 ⊆ X r F = V.

Rozpatrzmy funkcję f | U1. Ponieważ X jest T4, więc funkcję tę można przedłużyć do ciągłej funkcjif1 : X −→ R. Zatem [V, f ] = [X, f1] = α(f1/1).(2) α jest różnowartościowe. Niech α(f/g) = 0, f, g ∈ C[X], g(p) 6= 0. Wtedy [X, f ][X, g]−1 = 0 w

Op[X], więc [X, f ] = 0 w Op[X]. Istnieje zatem zbiór otwarty U 3 p taki, że f | U = 0. Niech h : X −→R będzie funkcją ciągłą taką, że h(p) = 1 oraz h(x) = 0 dla x ∈ X r U (funkcja h istnieje ponieważX jest T4). Teraz h 6∈ mp[X] (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem f/g = (hf)/(hg) = 0/(hg) = 0.

Uwaga. Porównaj [20] (rozdział ”Lokalny pierścień punktu”).

26 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe

5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną

5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej

Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad ciałem R. Istnieje wtedy przekształcenie linioweα : V −→ Rn będące izomorfizmem. Przy pomocy tego przekształcenia można przetrzeni V zadaćstrukturę przestrzeni topologicznej. Zbiory otwarte w V definiuje się następująco:

Definicja 5.1.1. Podzbiór U ⊆ V jest otwarty w V jeśli obraz α(U) jest otwarty w Rn.

Dzięki tej topologii izomorfizm α staje się homeomorfizmem.

Wyjaśnimy teraz, że powyższa topologia na V nie zależy od wyboru izomorfizmu α : V −→ Rn.W tym celu przypomnijmy dwa następujące lematy.

Lemat 5.1.2. Każdy automorfizm liniowy σ : Rn −→ Rn jest homeomorfizmem, a nawet dyfeomor-fizmem klasy C∞.

Dowód. Wynika to np. z faktu, że automorfizm σ ma postać:

σ(x1, . . . , xn) = (∑j a1jxj , . . . ,

∑j anjxj),

gdzie wszystkie elementy aij należą do R. Odwzorowanie σ jest więc ciągłe, a nawet klasy C∞. Tosamo dotyczy odwzorowania σ−1.

Lemat 5.1.3. Jeśli α, β : V −→ Rn są izomorfizmami przestrzeni liniowych, to istnieje automorfizmliniowy σ : Rn −→ Rn taki, że α = σ−1β, β = σα.

Dowód. σ = α−1β.

Teraz możemy wykazać, ze topologia przestrzeni wektorowej V nie zależy od wyboru izomorfizmuα : V −→ Rn.

Stwierdzenie 5.1.4. Niech α : V −→ Rn będzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Załóżmy, żetopologia na V jest taka, jak w Definicji 5.1.1. Niech β : V −→ Rn będzie drugim izomorfizmemprzestrzeni liniowych i niech U będzie podzbiorem w V . Wtedy zbiór U jest otwarty w V ⇐⇒ obrazβ(U) jest otwarty w Rn.

Dowód. Z poprzednich lematów wiemy, że α = σ−1β, β = σα, gdzie σ : Rn −→ Rn jest pewnymhomeomorfizmem. Jeśli więc U jest otwarte w V , to α(U) jest otwarte w Rn, a zatem β(U) = σα(U)jest otwarte w Rn. Jeśli β(U) jest otwarte w Rn, to α(U) = σβ(U) jest otwarte w Rn i stąd U jestotwarte w V .

Wniosek 5.1.5. Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad Rn. Istnieje dokładnie jednatopologia na V taka, że każdy izomorfizm liniowy β : V −→ Rn jest homeomorfizmem.

Powyższą jedyną topologię na V nazywa się topologią przestrzeni wektorowej.

Stwierdzenie 5.1.6. Jeśli f : V −→W jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych nadR, to f jest odwzorowaniem ciągłym.

Dowód. Niech α : V −→ Rn, β : W −→ Rm będą izomorfizmami przestrzeni liniowych. Wiemy,że α i β są homeomorfizmami. Rozpatrzmy odwzorowanie h = βfα−1 : Rn −→ Rm. Jest to oczywiścieodwzorowanie ciągłe (bo jest liniowe). Widzimy więc, że f = β−1hα jest złożeniem trzech odwzorowańciągłych.

5. Wiązki wektorowe 27

5.2 Rodziny wektorowe

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 5.2.1. Rodziną wektorową nad X nazywamy każdą trójkę E = (E, p,X) taką, że:(1) E jest przestrzenią topologiczną,(2) p : E −→ X jest odwzorowaniem ciągłym,(3) dla każdego x ∈ X zbiór Ex = p−1(x), zwany włóknem nad x, jest skończenie wymiarową

przestrzenią liniową nad R, przy czym topologia na Ex, indukowana z E, jest zgodna z topologiąprzestrzeni wektorowej.

Z tej definicji wynika:

Stwierdzenie 5.2.2. Niech (E, p,X) będzie rodziną wektorową nad X. Wtedy:(a) Ex ∩ Ey = ∅, dla x 6= y ∈ X.(b) E =

⋃x∈X Ex,

(c) p : E −→ X jest surjekcją.

Każda rodzina wektorowa nad X jest więc przestrzenią topologiczną będącą rozłączną sumą mno-gościową przestrzeni wektorowych nad R.

Definicja 5.2.3. Jeśli E = (E, p,X), E′ = (E′, p′, X) są rodzinami wektorowymi nad X, to ichmorfizmem (lub odwzorowaniem) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe f : E −→ E′ takie, że:(a) p′f = p,(b) dla każdego x ∈ X odwzorowanie fx = f |: Ex −→ E′x jest przekształceniem liniowym.

Z warunku (a) wynika, że f(Ex) ⊆ E′x. Istotnie, niech e ∈ f(Ex). Wtedy e = f(u), gdzie u ∈ Ex =p−1(x), czyli p(u) = x. Stąd p′(e) = p′f(u) = p(u) = x, czyli e ∈ E′x.

Przykład 5.2.4. Niech V będzie przestrzenią wektorową na R. Rozpatrzmy trójkę (E, p,X) określonąnastępująco:

E = X × V, p : E −→ X, (x, v) 7→ x.

Trójka ta jest rodziną wektorową nad X (patrz PH1143).

Definicja 5.2.5. Rodzinę wektorową (X × V, p,X) z Przykładu 5.2.4 nazywamy trywialną.

Niech E = (E, p,X) będzie rodziną wektorową na X i niech Y ⊆ X będzie dowolnym podzbiorem.Rozpatrzmy trójkę (p−1(Y ), q, Y ), w której

q = p| : p−1(Y ) −→ Y.

Zauważmy, że jeśli x ∈ Y , to q−1(x) = p−1(x). Każdy zbiór postaci q−1(x), gdzie x ∈ Y , jest więcprzestrzenią wektorową nad R. Trójka (p−1(Y ), q, Y ) jest zatem rodziną wektorową nad Y .

Definicja 5.2.6. Rodzinę wektorową (p−1(Y ), q, Y ) oznaczamy przez E | Y i nazywamy ogranicze-niem rodziny E do Y .

Stwierdzenie 5.2.7. Jeśli E jest trywialną rodziną wektorową nad X, to każde jej ograniczenie E | Yjest trywialną rodziną wektorową nad Y .

Dowód. E = (X × V, p,X), gdzie V jest przestrzenią liniową i p : X × V −→ X jest rzutowaniem(x, v) 7→ x. Wtedy p−1(Y ) = Y × V i q : Y × V −→ Y jest rzutowaniem na Y .


5.3 Przekroje rodziny wektorowej

Niech E = (E, p,X) będzie rodziną wektorową nad przestrzenią topologiczną X.

Definicja 5.3.1. Przekrojem rodziny E (ang. section) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe s :X −→ E takie, że ps = 1X . Zbiór wszystkich przekrojów rodziny wektorowej E oznaczmy przez Γ(E).

Niech s : X −→ E będzie przekrojem rodziny E. Jeśli x ∈ X to ps(x) = x, a zatem s(x) jestelementem przestrzeni liniowej Ex = p−1(x). Załóżmy, że f : X −→ R jest funkcją ciągłą. Mamywówczas, dla każdego x ∈ X, wektor f(x)s(x) należący do przestrzeni Ex. Mamy zatem przekrójfs : X −→ E określony wzorem

(fs)(x) = f(x)s(x), x ∈ X.

Jeśli s1, s2 : X −→ E są przekrojami rodziny E, to definiujemy dodawanie s1 + s2 : X −→ E,przyjmując:

(s1 + s2)(x) = s1(x) + s2(x), x ∈ X,gdzie s1(x) + s2(x) jest sumą wektorów s1(x) i s2(x) w przestrzeni liniowej Ex. Jest oczywiste, żes1 + s2 jest przekrojem rodziny E.Widzimy więc, że w zbiorze Γ(E) określone jest dodawanie oraz mnożenie przez elementy pierścienia

C[X], funkcji ciągłych z X do R.

Stwierdzenie 5.3.2. Zbiór Γ(E), wraz z powyższymi działaniami, jest C[X]-modułem.

Niech E = (E, p,X) i E′ = (E′, p′, X) będą rodzinami wektorowymi nad X i niech ϕ : E −→ E′będzie morfizmem tych rodzin. Definiujemy wówczas odwzorowanie Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E′), przyjmując

Γ(ϕ)(s) = ϕs, s ∈ Γ(E).

Zauważmy, że Γ(f)(s) jest istotnie przekrojem rodziny E′. Mamy bowiem (dla x ∈ X):

p′(Γ(ϕ)(s)) = p′ϕs = ps = 1X .

Stwierdzenie 5.3.3. Funkcja Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E′) jest homomorfizmem C[X]-modułów.

Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Definicja 5.2.3), że jeśli x ∈ X, to funkcja

ϕx = ϕ |: Ex −→ E′x

jest przekształceniem liniowym. Niech s ∈ Γ(E), f ∈ C[X] oraz x ∈ X. Wtedy:

(Γ(ϕ)(fs))(x) = (ϕ (fs))(x) = ϕx(f(x)s(x))

= f(x)ϕx(s(x)) = f(x)(ϕs)(x)

= f(x)(Γ(ϕ)(s))(x) = (fΓ(ϕ)(s))(x).

Zatem Γ(ϕ)(fs) = fΓ(ϕ)(s). W podobny sposób sprawdzamy addytywność.

Wniosek 5.3.4. Γ jest funktorem kowariantnym z kategorii rodzin wektorowych nad X do kategoriiC[X]-modułów.

Stwierdzenie 5.3.5. Jeśli E = (X × V, p,X) jest trywialną rodziną wektorową, to Γ(E) jest C[X]-modułem wolnym rangi dimR V .

Dowód. Niech e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni V nad R. Niech ε1, . . . , εn : X −→ X × Vbędą funkcjami zdefiniowanymi następująco:

εi(x) = (x, ei), x ∈ X, i = 1, . . . , n.

Funkcje te są oczywiście przekrojami rodziny E i tworzą bazę C[X]-modułu Γ(E).

5. Wiązki wektorowe 29

5.4 Wiązki wektorowe

Definicja 5.4.1. Wiązką wektorową (lub krótko wiązką) nad przestrzenią topologiczną X nazywamykażdą rodzinę wektorową E nad X, która jest lokalnie trywialna, tzn., dla każdego x ∈ X istnieje zbiórotwarty U ⊆ X, zawierający x taki, że rodzina wektorowa E | U jest trywialna.

Każda trywialna rodzina wektorowa nad X jest oczywiście wiązką nad X.

Stwierdzenie 5.4.2. Jeśli E jest wiązką wektorową nad X oraz U ⊆ X jest otwartym podzbiorem,to rodzina wektorowa E | U jest wiązką wektorową nad U .

Dowód. Niech x ∈ U . Ponieważ x ∈ X więc istnieje zbiór otwarty U ′ ⊆ X taki, że E | U ′ jesttrywialną rodziną wektorową. Wtedy (na mocy Stwierdzenia 5.2.7) rodzina wektorowa

(E | U) | (U ∩ U ′) = (E | U ′) | (U ∩ U ′)

jest trywialna.

Z definicji wiązki wektorowej E = (E, p,X) wynika, że X =⋃i Ui, gdzie każde Ui jest zbiorem

otwartym w X takim, że rodzina wektorowa E | Ui jest trywialna. Mówić będziemy w tym przypadku,że X =

⋃i Ui jest pokryciem trywializującym wiązki E.

Stwierdzenie 5.4.3. Jeśli E = (E, p,X) jest wiązką wektorową nad spójną przestrzenią topologicznąX, to wszystkie włókna Ex mają ten sam wymiar.

Dowód. Niech X =⋃i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym. Ustalmy jeden punkt x ∈ X

i jeden zbiór otwarty Ui 3 x. Niech n = dimREx. Wtedy, dla wszystkich y ∈ Ui, dimREy = n.Rozpatrzmy dwa następujące podzbiory zbioru I.

I1 = i ∈ I; ∀y∈Ui dimREy = n, I2 = i ∈ I; ∀y∈Ui dimREy 6= n.

Podzbiory te spełniają związki: I1 ∩ I2 = ∅, I = I1 ∪ I2 oraz I1 6= ∅. Przyjmijmy:

A =⋃i∈I1 Ui, B =

⋃i∈I2 Ui.

Wtedy A i B są otwartymi zbiorami w X takimi, że X = A ∪B, A ∩B = ∅, A 6= ∅. Stąd wynika, żeB = ∅, gdyż X jest przestrzenią spójną.

Definicja 5.4.4. Morfizmem wiązek wektorowych E i E′ nad X nazywamy każdy morfizm rodzinwektorowych E i E′ (w sensie Definicji 5.2.3).

5.5 Funkcje przejścia

Niech E = (E, p,X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Załóżmy, że wszystkiewłókna Ex mają stały wymiar. Tak jest np. gdy X jest przestrzenią spójną (Stwierdzenie 5.4.3). NiechX =⋃i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym rozważanej wiązki.

Ponieważ włókna mają stały wymiar nad R, więc wszystkie przestrzenie postaci Ex, x ∈ X, sąizomorficzne z tą samą przestrzenią wektorową V . Dla każdego x ∈ X oraz dla każdego i ∈ I takiego,że x ∈ Ui, istnieje więc izomorfizm przestrzeni wektorowych ϕi,x : Ex −→ V .Niech teraz X ∈ Ui ∩ Uj . Mamy wtedy dwa izomorfizmy ϕi,x, ϕj,x : Ex −→ V . Oznaczmy przez

gij(x) automorfizm przestrzeni V określony wzorem

gij(x) = ϕj,x ϕ−1i,x : V −→ V.

Automorfizmy tej postaci nazywamy funkcjami przejścia wiązki E (ang. coordinate transformations).Bez trudu wykazujemy:

Stwierdzenie 5.5.1.(1) gij(x) gjk(x) = gik(x), dla x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk;(2) gii(x) = 1V , dla x ∈ Ui.


Można udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 5.5.2 (PH1152). Niech X będzie przestrzenią topologiczną i Uii∈I jej otwartympokryciem. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad R oraz niech gij(x) : V −→ V , dla x ∈ Ui∩Uj,będą automorfizmami liniowymi, spełniającymi związki (1), (2) poprzedniego stwierdzenia. Istniejewtedy jedyna wiązka wektorowa (E, p,X) taka, że funkcje postaci gij(x) są jej funkcjami przejścia.

5.6 Uwagi

5.1 Niech E = (E, p,X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Podprzestrzeń topolo-giczną E0 ⊆ E wraz z odwzorowaniem p0 = p|E0 : E0 −→ X nazywamy podwiązką wiązki E jeśli (E0, p0, X)jest wiązką nad X (patrz PH1182).

5.2 Jeśli E1 = (E1, p1, X), E2 = (E2, p2, X) są wiązkami nad X, to ich sumą prostą nazywamy wiązkę nadX, którą oznaczamy przez E1 ⊕ E2. Definiujemy ją następująco:

E = (e1, e2) ∈ E1 × E2; p1(e1) = p2(e2),

p : E −→ X, (e1, e2) 7−→ p1(e1) = p2(e2).Jest to tzw. suma Whithey’a. Nie istnieją sumy proste dowolnej (nieskończonej) ilości wiązek.

Twierdzenie 5.6.1. Jeśli przestrzeń topologiczna X jest parazwarta i E0 jest podwiązką wiązki E nad X, toistnieje podwiązka E1 wiązki E taka, że E = E0 ⊕ E1.

Twierdzenie 5.6.2. Dla każdej wiązki E nad przestrzenią zwartą istnieje wiązka E1 taka, że E ⊕ E1 jestwiązką trywialną.

Twierdzenie 5.6.3 (PH1188). Γ(E1 ⊕ E2) = Γ(E1)⊕ Γ(E2).

5.3 Iloczynem skalarnym w wiązce E nazywamy każde odwzorowanie ciągłe w : E ⊕ E −→ R takie, że dlakażdego x ∈ X, obcięcie w| : Ex × Ex −→ R jest iloczynem skalarnym przestrzeni wektorowej Ex.

Twierdzenie 5.6.4 (Milnor). Każda wiązka nad przestrzenią parazwartą posiada iloczyn skalarny.

5.4 Wiemy, że jeśli wiązka E (nad X) jest trywialna, to Γ(E) jest wolnym C[X]-modułem. Jeśli X jestprzestrzenią zwartą, to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Wiązki nad przestrzeniami zwartymi mająspecjalne własności.

Twierdzenie 5.6.5 (PH1186). Niech E będzie wiązką nad przestrzenią zwartą.(1) Γ(E) jest skończenie generowanym C[X]-modułem projektywnym.(2) Każdy skończenie generowany C[X]-moduł projektywny jest postaci Γ(E).(3) Wiązki E i E′ są izomorficzne ⇐⇒ C[X]-moduły Γ(E) i Γ(E′) są izomorficzne.(4) Wiązka E jest trywialna ⇐⇒ moduł Γ(E) jest wolny (nad C[X]).

5.5 W tym rozdziale (i w dalszych rozdziałach) wykorzystano zeszyty A. Prószyńskiego [23] i [22].

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 31

6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej

6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej

Przypominamy podstawowe definicje i fakty (których dowody są np. w [25]) o różniczce funkcji rze-czywistej.

Niech U ⊆ Rn będzie zbiorem otwartym, niech a ∈ U i niech f : U −→ Rm będzie funkcją. Jeślix = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, to przez ||x|| oznaczamy normę punktu x, tzn., ||x|| =

√x21 + · · ·+ x2n.

Definicja 6.1.1. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a jeśli istnieje przekształcenieR-liniowe T : Rn −→ Rm takie, że

limh→0

||f(a+ h)− f(a)− T (h)||||h||

= 0.

Łatwo się pokazuje, że jeśli powyższe przekształcenie liniowe TRn −→ Rm istnieje, to dokładniejedno.

Definicja 6.1.2. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to jedyne przekształcenie linioweT : Rn −→ Rm (istniejące na mocy poprzedniej definicji) ozanaczamy przez Df(a) lub D(f)(a) inazywamy różniczką (lub pochodną) funkcji f w punkcie a.

Różniczka Df(a) jest więc przekształceniem R-liniowym Df(a) : Rn −→ Rm. Łatwo pokazać, że jeśliróżniczka Df(a) istnieje, to f jest ciągłe w a.

Oto podstawowe własności różniczki:

Twierdzenie 6.1.3.(1) Jeśli f jest funkcją stałą, to Df(a) = 0.(2) Jeśli f : Rn −→ Rm jest przekształceniem R-liniowym, to Df(a) = f .(3) Niech f, g : U −→ Rm będą funkcjami i niech a ∈ U . Jeśli różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to

istnieje różniczka D(f + g)(a) i zachodzi równość D(f + g)(a) = Df(a) +Dg(a).(4) Niech r ∈ R. Jeśli Df(a) istnieje, to D(rf)(a) istnieje i D(rf)(a) = rDf(a).(5) Jeśli funkcja f : U −→ Rm (gdzie a ∈ U ⊆ Rn) jest różniczkowalna w punkcie a, a funkcja

g : Rm −→ Rp jest różniczkowalna w punkcie f(a), to funkcja gf : U −→ Rp jest różniczkowalna wpunkcie a i zachodzi równość D(gf)(a) = Dg(f(a)) Df(a).

Twierdzenie 6.1.4. Niech a ∈ U ⊆ Rn. Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ Rm, gdzie f1, . . . , fm : U −→R. Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a ⇐⇒ funkcje f1, . . . , fm są różniczkowalne wpunkcie a.

Dla funkcji rzeczywistych z Rn do R mamy dodatkowe własności:

Twierdzenie 6.1.5. Niech f, g : U −→ R będą funkcjami, gdzie a ∈ U ⊆ Rn.(1) Jeśli różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka funkcji f · g : U −→ R (określonej

jako (f · g)(u) = f(u)g(u) dla u ∈ U) w punkcie a i zachodzi równość:

D(f · g)(a) = f(a)Dg(a) + g(a)Df(a).

(2) Jeśli funkcja fg : U −→ R ma sens i różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczkaD( fg )(a) i zachodzi równość:

D( fg )(a) = g(a)−2(g(a)Df(a)− f(a)Dg(a)).

Różniczki wygodnie jest przedstawiać przy pomocy pochodnych cząstkowych. Przypomnijmy coto są pochodne cząstkowe. Definiuje się je tylko dla funkcji z Rn do R


Definicja 6.1.6. Niech f : U −→ R, gdzie a = (a1, . . . , an) ∈ U ⊆ Rn. Niech i ∈ 1, . . . , n. Jeśliistnieje granica

limh→0

f(a1, . . . , ai + h, . . . , an)− f(a1, . . . , an)h

,

to granicę tę oznaczamy przez ∂f∂xi (a) i nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie a.

Pochodna cząstkowa ∂f∂xi (a) jest więc liczbą należącą do R.

Twierdzenie 6.1.7. Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ Rm, gdzie f1, . . . , fm : U −→ R, przy czyma ∈ U ⊆ Rn. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieją wszystkie pochodne cząstkowe∂fj∂xi(a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m i, dla h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn, zachodzi równość Df(a)(h1, . . . , hn) =

(r1, . . . , rm), gdzie r1 =

∂f1∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂f1∂xn (a)hn

...rm = ∂fm

∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂fm∂xn (a)hn.

Definicja 6.1.8. Macierz [∂fj∂xi ], występującą w powyższym twierdzeniu oznacza się przez f′(a) i

nazywa macierzą Jacobiego funkcji f w punkcie a.

Zapamiętajmy więc, że jeśli f = (f1, . . . , fm) : U −→ Rm, gdzie U ⊆ Rn, to f ′(a) jest m×n (najpierwkodziedzina, a potem dziedzina) macierzą:

f ′(a) =

∂f1∂x1(a), . . . , ∂f1

∂xn(a)

......

∂fm∂x1(a), . . . , ∂fm

∂xn(a)

.W szczególności dla m = 1 mamy:

Wniosek 6.1.9. Jeśli f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn, jest różniczkowalne w punkcie a ∈ U , to istniejąpochodne cząstkowe ∂f∂x1 (a), . . . ,

∂f∂xn(a) i zachodzi równość:

Df(a)(h1, . . . , hn) =∂f∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)hn,

dla wszystkich (h1, . . . , hn) ∈ Rn. Ponadto, f ′(a) = [ ∂f∂x1 (a), . . . ,∂f∂xn(a)].

Z istnienia wszystkich pochodnych cząstkowych w punkcie a nie wynika istnienie różniczki w tympunkcie. Zachodzi to jednak przy pewnym dodatkowym założeniu:

Twierdzenie 6.1.10. Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ Rm, gdzie f1, . . . , fm : U −→ R, przy czyma ∈ U ⊆ Rn. Jeśli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe ∂fj∂xi (a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m i wotoczeniu punktu a pochodne te są ciągłe, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a.

Niech f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn. Jeśli pochodna cząstkowa ∂f∂xi (u) istnieje dla wszystkich punktówu ∈ U , to mamy funkcję U −→ R, u 7→ ∂f

∂xi(a). Można zatem rozpatrywać pochodne cząstkowe tej

funkcji. W ten sposób pojawiają nam się pochodne mieszane postaci ∂2f

∂xj∂xi(a) i analogicznie pojawiają

się pochodne mieszane wyższych rzędów.

Twierdzenie 6.1.11. Niech f : U −→ R, U ⊆ Rn, a ∈ U . Jeśli pochodne mieszane ∂2f∂xj∂xi

(a) i∂2f∂xi∂xj

(a) istnieją i są w otoczeniu punktu a ciągłe, to są one równe.

Bez założenia o ciągłości pochodne mieszane nie muszą być równe. Spivak [25] (strona 38) podajenastępujący przykład.


Przykład 6.1.12. Niech f : R2 −→ R będzie funkcją określoną wzorami:

f(x, y) =

xy x2−y2x2+y2 , gdy (x, y) 6= (0, 0),

0 gdy (x, y) = (0, 0).

Wtedy pochodne mieszane ∂2f∂x∂y (0, 0),

∂2f∂y∂x (0, 0) istnieją, ale są różne.

6.2 Rozmaitości różniczkowe

Przypomnijmy (patrz Podrozdział 1.5), że każdą przestrzeń topologicznąM posiadającą n-wymiarowyatlas, nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną.Niech (Uα, ϕα) będzie n-wymiarowym atlasem przestrzeni topologicznej M . Niech (Uα, ϕα),

(Uβ , ϕβ) będą dwiema mapami z tego atlasu takimi, że Uα∩Uβ 6= ∅. Wtedy ϕα(Uα∩Uβ) i ϕβ(Uα∩Uβ)są niepustymi podzbiorami otwartymi w Rn i mamy homeomorfizm

ϕαϕ−1β : ϕβ(Uα ∩ Uβ) −→ ϕα(Uα ∩ Uβ).

Definicja 6.2.1. Homeomorfizm ϕαϕ−1β oznaczać będziemy przez ϕαβ .

Definicja 6.2.2. Mówimy, że atlas (Uα, ϕα) jest klasy Cr (gdzie r = 0, 1, . . .∞, ω), jeśli wszystkiehomeomorfizmy postaci ϕαβ są klasy Cr. Przez funkcje klasy Cω rozumiemy funkcje analityczne.

Definicja 6.2.3. Mówimy, że dwa n-wymiarowe atlasy (Uα, ϕα), (Vi, ψi) klasy Cr rozmaitościM są równoważne jeśli rodzina (Uα, ϕα), (Vi, ψi) również jest atlasem klasy Cr tej rozmaitości.

Dana rozmaitość topologiczna M może posiadać atlasy tej samej klasy, które nie są równoważne.

Przykład 6.2.4. Przestrzeń M = R1 ma co najmniej dwa nierównoważne atlasy klasy Cr, gdzier > 1. Jednoelementowe atlasy (R1, ϕ) i (R1, ψ), gdzie ϕ(t) = t, ψ(t) = t3, są klasy Cr. Natomiastatlas (R1, ϕ), (R1, ψ), nie jest klasy Cr. Funkcja ϕψ−1 : R1 −→ R1, t 7→ 3

√t, nie jest bowiem

różniczkowalna w zerze.

Równoważność atlasów jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich atlasów klasy Cr

rozmaitości M . Klasę abstrakcji tej relacji nazywamy n-wymiarową strukturą różniczkową (klasy Cr)na M (patrz [24] 16). Łatwo pokazać, że każdy n-wymiarowy atlas klasy Cr zawarty jest w dokład-nie jednym, równoważnym z nim, atlasie maksymalnym. Struktury różniczkowe na M możemy więcutożsamiać z atlasami maksymalnymi. Warto zanotować następującą prostą charakteryzację maksy-malnych atlasów.

Stwierdzenie 6.2.5. Atlas A jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego p ∈M i każdegozbioru otwartego V ⊆M istnieje mapa (U,ϕ) ∈ A taka, że x ∈ U ⊆ V .

Definicja 6.2.6. Rozmaitością różniczkową klasy Cr (gdzie r = 0, 1, . . .∞, ω), nazywamy każdąprzestrzeń topologiczną M wraz z wyróżnioną n-wymiarową strukturą różniczkową klasy Cr.

Liczne przykłady rozmaitości różniczkowych znajdziemy np. w [4], [24], [25], [26].

Przykład 6.2.7 (Produkt rozmaitości różniczkowych). Załóżmy, że (M,A), (N,B) są rozma-itościami klasy Cr wymiarów odpowiednio m i n. Niech A = (Uα, ϕα)α i B = (Vi, ψi)i. WtedyM × N (jako przestrzeń topologiczna z topologią produktową) ma strukturę rozmaitości klasy Crwymiaru m+n. Atlas na M ×N definiujemy jako (Uα×Vi, ϕα×ψi)α,i, gdzie ϕα×ψi : Uα×Vi −→Rm × Rn, (a, b) 7→ (ϕα(a), ψi(b)).

Każda rozmaitość różniczkowa klacy C∞ jest T1-przestrzenią. Istnieją takie rozmaitości, które niesą T2 (Hausdorffa), patrz np. [4]. Można wykazać, że rozmaitość różniczkowa klasy C∞ jest T2 wtedyi tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta.

W dalszym ciągu zajmować się będziemy rozmaitościami gładkimi, tzn. rozmaitościami różniczko-wymi klasy C∞, będącymi przestrzeniami Hausdorffa. Przez słowo ”rozmaitość” rozumieć będziemy”rozmaitość gładką”. Zapamiętajmy zatem:


Stwierdzenie 6.2.8. Każda rozmaitość jest przestrzenią lokalnie zwartą.

Ponieważ (jak już wiemy) lokalnie zwarta przestrzeń ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą, więc:

Stwierdzenie 6.2.9. Każda rozmaitość ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą.

Można też wykazać, że rozmaitość jest przestrzenią spójną ⇐⇒ jest łukowo spójną.

6.3 Odwzorowania rozmaitości

Niech (M,A), (N,B) będą rozmaitościami odpowiednio wymiarów m i n.

Definicja 6.3.1. Mówimy, że zwykła funkcja f :M −→ N jest gładka w punkcie p ∈M jeśli istniejąmapy (U,ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B takie, że:(1) p ∈ U ,(2) f(p) ∈ V ,(3) f(U) ⊆ V ,(4) odwzorowanie rzeczywiste ψfϕ−1 : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest klasy C∞ w punkcie ϕ(p) (jest to

odwzorowanie z otwartego podzbioru w Rm do otwartego podzbioru w Rn).

Odwzorowanie ψfϕ−1 występujące w tej definicji jest funkcją z otwartego podzbioru w Rm dootwartego podzbioru w Rn.Czasem podaje się inną definicję gładkości odwzorowania w punkcie. Słowo ”istnieją” zamienia się

na ”dla każdych”. Łatwo wykazać, że to jest to samo. Z definicji rozmaitości wynika bowiem:

Stwierdzenie 6.3.2. Jeśli f : M −→ N jest funkcją gładką w punkcie p ∈ M , to dla każdych map(U,ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B spełniających warunki (1), (2), (3) spełniony jest warunek (4).

Definicja 6.3.3. Mówimy, że funkcja f : M −→ N jest gładka jeśli jest gładka w każdym punkciep ∈M .

W przypadkuM = Rm,N = Rn odwzorowania gładkie pokrywają się z odwzorowaniami klasy C∞.W ogólnym przypadku odwzorowanie f :M −→ N jest gładkie ⇐⇒ wszystkie funkcje postaci ψfϕ−1(dla wszystkich odwzorowań ϕ,ψ występujących w odpowiednich atlasach takich, że ψfϕ−1 ma sens)są klasy C∞

Każde odwzorowanie gładkie jest ciągłe. Złożenie odwzorowań gładkich jest gładkie. RzutowaniaM ×N −→M , M ×N −→ N są gładkie. Włożenie sfery Sn w Rn+1 jest odwzorowaniem gładkim.

Definicja 6.3.4. Odwzorowanie f :M −→ N nazywamy dyfeomorfizmem jeśli jest bijekcją i odwzo-rowania f, f−1 są gładkie.

Jeśli A i B są dwoma atlasami klasy C∞ wymiaru n tej samej rozmaitości M , to atlasy te sąrównoważne wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność (M,A) −→ (M,B) jest dyfeomorfizmem.

6.4 Algebra funkcji gładkich

Przestrzeń R = R1 jest rozmaitością (gładką) z jednoelementowym atlasem (R, 1R). Jeśli (M,A) jestdowolną rozmaitością (rozumie się, że gładką), to wiemy już co to znaczy, że dana funkcja f :M −→ Rjest gładka. Przypomnijmy:

Wniosek 6.4.1. Funkcja f : M −→ R jest gładka ⇐⇒ dla każdej mapy (U,ϕ) ∈ A odwzorowaniefϕ−1 : ϕ(U) −→ R jest klasy C∞.

Definicja 6.4.2. Zbiór wszystkich funkcji gładkich z M do R oznaczamy przez C∞(M) lub C(M)i nazywamy algebrą funkcji gładkich na M .

Jest jasne, że C(M) jest przemienną R-algebrą z jedynką. Dodawanie, mnożenie i mnożenie przezskalar definiuje się w naturalny sposób.


Definicja 6.4.3. Jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem (gładkim) rozmaitości, to przez C(f) (lubC∞(f)) oznaczamy R-algebrowy homomorfizm C(f) : C(N) −→ C(M), g 7→ gf .

Mamy zatem funktor kontrawariantny z kategorii gładkich rozmaitości do kategorii przemiennychR-algebr.

Twierdzenie 6.4.4 (PH1166). Niech M będzie rozmaitością (gładką). Niech A,B będą rozłączny-mi podzbiorami domkniętymi w M . Załóżmy, że A jest zwarte. Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M) taka,że:(1) f(M) ⊆ [0, 1],(2) f(a) = 1 dla a ∈ A,(3) f(b) = 0 dla b ∈ B.

Twierdzenie to jest konsekwencją następujących pięciu lematów.

Lemat 6.4.5. Funkcja f : R −→ R, określona wzorem

f(t) =

e−

1t , dla t > 0,

0 dla t 6 0,

jest klasy C∞.

Lemat 6.4.6. Jeśli a < b, to funkcja g : R −→ R, określona wzorem

g(t) = f(t− a)f(b− t)

(gdzie f : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C∞, znika poza przedziałem (a, b) ijest dodatnia w przedziale (a, b).

Lemat 6.4.7. Jeśli a < b, to funkcja h : R −→ R, określona wzorem

h(t) =

∫ btg(u)du∫ bag(u)du

(gdzie g : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C∞. Jest to funkcja nierosnąca oraz

h(t) =

1, dla t 6 a,

0, dla t > b.

Ponadto h′(t) = cg(t), dla pewnego c ∈ R.

Lemat 6.4.8. Jeśli r < s, to funkcja ψ : Rn −→ R, określona wzorem

ψ(x) = h(||x||2) = h(x21 + · · ·+ x2n), dla a = r2, b = s2

(gdzie h : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C∞. Ponadto, 0 6 ψ(x) 6 1 oraz

ψ(x) =

1, dla ||x|| 6 r,

0, dla ||x|| > s.

Lemat 6.4.9 (PH1165). Niech A,B będą rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w Rn, przy czymniech A będzie zbiorem zwartym. Istnieje wtedy funkcja ϕ : Rn −→ R, klasy C∞ taka, że:(1) ϕ(Rn) ⊆ [0, 1],(2) ϕ(a) = 1 dla a ∈ A,(3) ϕ(b) = 0 dla b ∈ B.


Dowód. Dla każdego a ∈ A istnieje kula K(a, ra) ⊂ Rn, rozłączna ze zbiorem B. Ponieważ zbiórA jest zwarty, więc istnieje skończona ilość punktów a1, . . . , am ∈ A oraz promieni r1, . . . , rm takich,że A ⊂

⋃mi=1K(ai, ri) i każda kula postaci K(ai, ri) jest rozłączna z B. Na mocy poprzedniego lematu

istnieją funkcje ψ1, . . . , ψm : Rn −→ R, klasy C∞ takie, że

ψi(x) =

1, dla ||x− ai|| 6 ri,

0, dla ||x− ai|| > 2ri,i = 1, . . . ,m.

Definiujemy funkcję ϕ : Rn −→ R przyjmując ϕ = 1− (1− ψ1) · · · (1− ψm).

Teraz już nie jest trudno udowodnić Twierdzenie 6.4.4.

Ponieważ każda rozmaitość gładka jest przestrzenią lokalnie zwartą, więc z Twierdzenia 6.4.4 wy-nika:

Wniosek 6.4.10. Niech M będzie rozmaitością gładką, niech p ∈ M i niech V 3 x będzie zbioremotwartym w M . Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M) taka,że f | U = 1, dla pewnego zbioru otwartegoU 3 p zawartego w V oraz f |M r V = 0.

Twierdzenie 6.4.11 (PH1166). Niech U będzie otwartym podzbiorem rozmaitości (gładkiej) M .Niech f ∈ C(U) i niech W będzie zbiorem otwartym takim, że W ⊆ W ⊆ U . Istnieje wtedy funkcjag ∈ C(M) taka, że g |W = f |W .

Twierdzenie 6.4.12 (PH1164). Niech M,N będą rozmaitościami gładkimi i niech f : M −→ Nbędzie zwykłą funkcją. Następujące dwa warunki są równoważne:(1) f jest odwzorowaniem gładkim;(2) f jest funkcją ciągłą oraz, dla każdego zbioru otwartego V ⊆ N i dla każdej funkcji α ∈ C(V ),

funkcja α f | f−1(V ) jest elementem algebry C(f−1(V )).

Niech M będzie rozmaitością (gładką). Przypomnijmy, że przez M oznaczamy kategorię, którejobiektami są wszystkie zbiory otwarte wM , a morfizmami włożenia. Oznaczmy przez R-Alg kategorięprzemiennych R-algebr z jedynką. Rozważmy funktor kontrawariantny F : M −→ R-Alg określonynastępująco:

Definicja 6.4.13.(a) Jeśli U jest zbiorem otwartym w M , to F (U) = C(U) = C∞(U).(2) Jeśli U ⊆ V są zbiorami otwartymi w M , to FVU : F (V ) −→ F (U) jet R-algebrowym homo-

morfizmem określonym wzorem FVU (f) = f | U , dla wszystkich f ∈ F (V ) = C(V ).

Stwierdzenie 6.4.14 (PH359). F jest snopem rozmaitości M o wartościach w R-Alg.

O pewnych własnościach snopa F (pozwalających odtworzyć rozmaitość M) mamy w PH1163.

Zanotujmy jeszcze informację dotyczącą rozkładu jedności (patrz Rozdział 1). Wiemy, że każdatopologiczna przestrzeń parazwarta ma, dla każdego otwartego pokrycia, rozkład jedności względemtego pokrycia. W szczególności każda ośrodkowa rozmaitość (gładka) ma taki rozkład jedności. Możnaudowodnić więcej:

Twierdzenie 6.4.15. Niech M będzie ośrodkową rozmaitością gładką. Wówczas dla każdego otwar-tego pokrycia rozmaitości M istnieje rozkład jedności względem tego pokrycia, składający się z funkcjigładkich (czyli należących do C(M)).

Jeśli p ∈M , to przez mp(M) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji gładkich f :M −→ R zerującychsię w punkcie p, tzn.

mp(M) = f ∈ C(M); f(p) = 0.

Jest jasne, że zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C(M), będącym jądrem R-algebrowej surjekcjiC(M) −→ R, f 7→ f(p). W szczególności C(M)/mp(M) ≈ R.


Stwierdzenie 6.4.16. Jeśli M jest gładką rozmaitością zwartą, to każdy ideał maksymalny w C(M)jest postaci mp(M), dla pewnego p ∈M .

Dowód jest dokładnie taki sam, jak dowód Twierdzenia 4.3.3, opisującego wszystkie ideały mak-symalne w algebrze C[X], funkcji ciągłych z X do R, gdzie X jest zwartą przestrzenią topologiczną.

Stwierdzenie 6.4.17. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech F : C(M) −→ R będzieR-algebrowym homomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden punkt p ∈M taki, że F (f) = f(p), dlawszystkich f ∈ C(M).

Dowód. Wykażemy najpierw, że jeśli punkt p istnieje, to dokładnie jeden. Przypuśćmy, że takiepunkty są dwa. Oznaczmy je przez p i q. Wtedy p, q ∈M , p 6= q. Z Twierdzenia 6.4.4 wynika, że istniejefunkcja f ∈ C(M) taka, że f(p) = 0 i f(q) = 1. Mamy zatem sprzeczność: 0 = f(p) = F (f) = f(q) = 1.Udowodnimy teraz istnienie punktu p. W tym celu zauważmy najpierw, że F jest surjekcją (bo

F (1) = 1 i F (r) = r, dla r ∈ R). Jądro homomorfizmu F jest więc ideałem maksymalnym w C(M).Istnieje zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, punkt p ∈ M taki, że KerF = mp(M). Niechf ∈ C(M). Wtedy f − f(p) ∈ mp(M), a zatem

0 = F (f − f(p)) = F (f)− F (f(p)) = F (f)− f(p),

czyli F (f) = f(p).

Stwierdzenie 6.4.18. NiechM będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M) −→ C(M) będzieR-algebrowym endomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jedna funkcja gładka ϕ : M −→ M taka, żeΦ(f) = f ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M).

Dowód. Niech p ∈ M . Rozważmy R-algebrowy homomorfizm Fp : C(M) −→ R, f 7→ Φ(f)(p).Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że istnieje (jedyny) punkt ϕ(p) ∈ M taki, że Fp(f) = f(ϕ(p)),dla wszystkich f ∈ C(M). W ten sposób pojawia nam się funkcja ϕ :M −→M , spełniająca warunekΦ(f)(p) = Fp(f) = f(ϕ(p)) (dla f ∈ C(M), p ∈M), czyli Φ(f) = f ϕ. Gładkość funkcji ϕ wynika ztego, że gładkie są wszystkie funkcje postaci f ϕ, dla f ∈ C(M).Wykażemy teraz, że taka funkcja ϕ jest jedyna. Przypuśćmy, że ϕ1 :M −→M jest drugą funkcją,

różną od ϕ taką, że Φ(f) = f ϕ1. Istnieje wtedy punkt p ∈M taki, że ϕ(p) 6= ϕ1(p). Istnieje zatem(na mocy Twierdzenia 6.4.4) funkcja f ∈ C(M) o własności f(ϕ(p)) = 1, f(ϕ1(p)) = 0. Mamy wtedysprzeczność: 1 = f(ϕ(p)) = f ϕ(p) = Φ(f)(p) = f ϕ1(p) = f(ϕ1(p)) = 0.

Stwierdzenie 6.4.19. NiechM będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M) −→ C(M) będzieR-algebrowym automorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden dyfeomorfizm ϕ : M −→ M taki, żeΦ(f) = f ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M).

Dowód. Powtarzamy dowód poprzedniego stwierdzenia dla endomorfizmów Φ i Φ−1 i z łatwościąstwierdzamy, że ϕ jest bijekcją oraz funkcje ϕ i ϕ−1 są gładkie.

Powyższe trzy stwierdzenia zachodzą również dla rozmaitości parazwartych ([1] 231). Zwróćmyuwagę, że podobne stwierdzenia istnieją w geometrii algebraicznej, gdzie rolę algebry C(M) odgry-wa algebra funkcji regularnych danej rozmaitości afinicznej (patrz [20], rozdział o odwzorowaniachregularnych i uwagi do tego rozdziału).

6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków

W Podrozdziale 4.4 opisalimy lokalny pierścień Op[X], ciągłych kiełków przestrzeni topologicznejX w punkcie p ∈ X. W tym podrozdziale opiszemy podobny pierścień dla punktu p gładkiej rozmaito-ści M . Pierścień ten oznaczać będziemy przez Op(M). Przedstawione tu definicje i konstrukcje będąpodobne do odpowiednich definicji i konstrukcji z Podrozdziału 4.4. Słowa ”przestrzeń topologiczna”i ”funkcja ciągła” zamienimy odpowiednio na ”rozmaitość gładka” i ”funkcja gładka”. Zaznaczmy


jeszcze, że w podobny sposób wprowadza się, w geometrii algebraicznej, lokalny pieścień kiłków regu-larnych (patrz [20]).

NiechM będzie rozmaitością gładką i niech p ∈M . Przez Ap(M) oznaczać będziemy zbiór wszyst-kich par postaci (U, f), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ Rjest funkcją gładką. W zbiorze Ap(M) wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowanąnastępująco:

(U, f) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:(1) p ∈W ⊆ U ∩ V,(2) f |W = g |W.

Klasę abstrakcji elementu (U, f) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiempunktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op(M). W zbiorze Op(M) definiujemydodawanie i mnożenie w następujący sposób:

[U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],

[U, f ] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].

Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op(M) z takimi działaniamijest przemienną R-algebrą z jedynką [M, 1] i zerem [M, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniempunktu p rozmaitości M lub pierścieniem gładkich kiełków w punkcie p rozmaitości M .Z taką algebrą stowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op(M) −→ R zdefiniowany

wzoremνp([U, f ]) = f(p)

(dla wszystkich [U,F ] ∈ Op(M)), którego jądrem jest ideał

Mp(M) = [U, f ]; f(p) = 0.

Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp([M, a]) = a,gdzie a :M −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:

Stwierdzenie 6.5.1. Mp(M) jest ideałem maksymalnym w Op(M) oraz Op(M)/Mp(M) = R.

Stwierdzenie 6.5.2 (ZadAlg398). Pierścień Op(M) jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnymMp(M).

Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op(M)r Mp(M). Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracal-nym w Op(M). Niech V = f−1(R r 0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w M zawartym w U i zawie-rającym p (gdyż f(p) 6= 0 ponieważ [U, f ] 6∈ Mp(M)). Ponadto, [V, f |V ] = [U, f ] oraz (f |V )(v) 6= 0dla wszystkich v ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f(v), dla v ∈ V .Jest to oczywiście funkcja gładka i mamy [U, f ][V, g] = 1.

Stwierdzenie 6.5.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w M zawierającym punkt p, to R-algebryOp(M) i Op(U) są izomorficzne.

Dowód. Odwzorowanie Op(M) −→ Op(U), [V, f ] 7→ [V ∩ U, f | (V ∩ U)] jest izomorfizmemR-algebr.

Niech ϕ : M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich i niech p ∈ M . Mamywówczas odwzorowanie

O(ϕ) : Oϕ(p)(N) −→ Op(M), [V, g] 7→ [ϕ−1(V ), gϕ].

Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 6.5.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p)(N)) ⊆Mp(M).


Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaitości gład-kich z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścień punktujest niezmiennikiem gładkich dyfeomorfizmów.

Zanotujmy następującą konsekwencję Twierdzenia 6.4.11.

Stwierdzenie 6.5.5. Jeśli [U, f ] ∈ Op(M), to istnieje g ∈ C(M) takie, że [U, f ] = [M, g].

Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op(M). Wtedy U 3 p jest zbiorem otwartym w M oraz f : U −→ Rjest funkcją gładką. RozmaitośćM jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną. Istnieje zatem zbiórotwarty W ⊆M taki, że p ∈W ⊆W ⊆ U . Stąd, na mocy Twierdzenia 6.4.11, istnieje funkcja gładkag :M −→ R taka, że g|W = f |W . Zatem [U, f ] = [M, g].

Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op(M) z pierścieniem C(M)mp(M), gdzie C(M) jestR-algebrą wszystkich funkcji gładkich z M do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp(M) = f ∈C(M); f(p) = 0.

Stwierdzenie 6.5.6 (PH362). Jeśli M jest rozmaitością gładką i p ∈ M , to R-algebry Op(M) iC(M)mp(M) są izomorficzne.

Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C(M) −→ Op(M), f 7→ [M,f ]. Jeśli g ∈ C(M)r mp(X),to g(p) 6= 0 i wtedy [M, g] = β(g) jest odwracalne w Op(M) (czyli [M, g] 6∈Mp(X)). Zatem β możnarozszerzyć do homomorfizmu

α : C(M)mp(M) −→ Op(X), f/g 7→ β(f)/β(g) = [M,f ][M, g]−1.

Pokażemy, że α jest bijekcją.(1) α jest surjekcją. Niech [U, f ] ∈ Op(M). Wiemy, ze Stwierdzenia 6.5.5, że [U, f ] = [M, g], dla

pewnego g ∈ C(M). Zatem [U, f ] = [M, g] = α(g/1).(2) α jest różnowartościowe. Niech α(f/g) = 0 = [M, 0], f, g ∈ C(M), g(p) 6= 0.Wtedy [M,f ][M, g]−1 =

0 w Op(M), więc [M,f ] = 0 = [M, 0] w Op(M). Istnieje zatem zbiór otwarty U 3 p taki, że f | U = 0.Niech h : M −→ R będzie funkcją gładką taką, że h(p) = 1 oraz h(m) = 0 dla m ∈ M r U (funk-cja h istnieje na mocy Twierdzenia 6.4.4). Teraz h 6∈ mp(M) (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatemf/g = (hf)/(hg) = 0/(hg) = 0.

6.6 Uwagi

6.1 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową nad R. Jeśli 1 < r < n, to przezGr(V ) oznaczamyzbiór wszystkich r-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni V . Można udowodnić, że na zbiorze Gr(V ) istniejenaturalna (jedyna) struktura rozmaitości gładkiej wymiaru r(n − r). Rozmaitość tę nazywamy rozmaitościąGrassmanna. Jest to rozmaitość zwarta. Szczegóły znajdziemy np. w [10]76, [27]151 (patrz też PH46, 23).

6.2 Można udowodnić:

Twierdzenie 6.6.1 (Whitney’a). Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to istnieje dyfeomorfizmτ :M −→ R2n+1 taki, że zbiór τ(M) jest domknięty w R2n+1.

Dowód można znaleźć np. w książce [2] (strony 144 - 158 w tł. polskim). Poniższe zdania są przepisane ztej książki.”Z twierdzenia tego wynika, że każdą rozmaitość gładką można potraktować jako podrozmaitość prze-

strzeni Rn dostatecznie wysokiego wymiaru. Wydawać by się mogło, że wobec tego badania abstrakcyjnychrozmaitości gładkich mają tylko charakter ćwiczeniowy i że równie dobrze moglibyśmy nigdy nie wyjść pozaramy przestrzeni euklidesowych. Wszelako takie ograniczenie nie byłoby zgodne z naturalnym podejściem dowiększości rozmaitości różniczkowalnych i rozwojem intuicyjnego poglądu na ich własności”.


7 Derywacje lokalne

Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈M . Stosujemy następujące oznaczenia:

C(M) = R-algebra funkcji gładkich z M do R;

mp(M) = f ∈ C(M); f(p) = 0 (ideał maksymalny w C(M));

Dp(C(M)) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z C(M) do R

Op(M) = R-algebra kiełków gładkich rozmaitości M w punkcie p;

Mp(M) = [U, f ] ∈ Op(M); f(p) = 0 (jedyny ideał maksymalny w Op(M));

Dp(Op(M)) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z Op(M) do R.

Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie d : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia C(M),jeśli

d(fg) = f(p)d(g) + g(p)d(f), dla f, g ∈ C(M).

Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie δ : Op(M) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia Op(M),jeśli

δ([U, f ][V, g]) = f(p)δ([V, g]) + g(p)δ([U, f ]), dla [U, f ], [V, g] ∈ Op(M).

Jest oczywiste, że zbiory Dp(C(M)) i Dp(Op(M)), wszystkich derywacji p-lokalnych, są przestrze-niami liniowymi nad R. Derywacje p-lokalne są zwykłymi derywacjami (takimi, jak w [19]) z pierścieniado modułu.

O derywacjach p-lokalnych, ale dla pierścienia C[X], funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznejX do R, wspominaliśmy w Rozdziale 1. Wykazaliśmy tam, że jedynymi takimi derywacjami są od-wzorowania zerowe. Tak jednak już nie będzie, gdy pierścień C[X] zastąpimy pierścieniem C(M) lubOp(M). Przekonamy się o tym w tym rozdziale. Przestrzenie liniowe Dp(C(M)) i Dp(Op(M)) (które,jak wykażemy, są izomorficzne) odgrywają ważną rolę w geometrii (topologii, analizie) różniczkowej.Są to przestrzenie styczne do M w punkcie p. Wyjaśnimy to też w tym rozdziałe.

7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych

Rozpatrzmy R-algebrowy homomorfizm

β : C(M) −→ Op(M), f 7→ [M,f ].

Homomorfizm ten wykorzystaliśmy już w dowodzie Stwierdzenia 6.5.6.

Lemat 7.1.1. Jeśli δ ∈ Dp(Op(M)), to δβ ∈ Dp(C(M)).

Dowód. Niech d = δβ, f, g ∈ C(M). Wtedy:

d(fg) = δβ(fg) = δ([M,f ][M, g])

= f(p)δ([M, g]) + g(p)δ([M,f ])

= f(p)δβ(g) + g(p)δβ(f)

= f(p)d(g) + g(p)d(f).

Stwierdzenie 7.1.2 (PH365). Przestrzenie liniowe Dp(Op(M)) i Dp(C(M)) są izomorficzne.Dokładniej: odwzorowanie

H : Dp(Op(M)) −→ Dp(C(M)), δ 7→ δβ

jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R.

7. Derywacje lokalne 41

Dowód. Jest jasne, że odwzorowanie H jest R-liniowe. Wykażemy, że H jest bijekcją.(1) Różnowartościowość. Niech H(δ) = 0, gdzie δ ∈ Dp(Op(M)). Wtedy, dla każdego f ∈ C(M),

δ([M,f ]) = δβ(f) = H(δ)(f) = 0. Niech [U, h] będzie dowolnym elementem pierścienia Op(M). Namocy Stwierdzenia 6.5.5, [U, h] = [M, g] dla pewnego g ∈ C(M). Mamy zatem δ([U, h]) = δ([M, g]) =0, tzn. δ = 0.(2) Surjektywność. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Wiemy (patrz dowód Stwier-

dzenia 6.5.6), że każdy element z Op(M) jest postaci [M,f ][M, g]−1, gdzie f, g ∈ C(M), g(p) 6= 0.Definiujemy odwzorowanie δ : Op(M) −→ R, przyjmując

δ([M,f ][M, g]−1) = g(p)−2(g(p)d(f)− f(p)d(g)).

Standardowym rachunkiem sprawdzamy, że δ jest dobrze określone oraz, że δ jest derywacją p-lokalną.Jeśli f ∈ C(M), to

H(δ)(f) = δβ(f) = δ([M,f ]) = δ([M,f ][M, 1]−1) = 1(p)−2(1(p)d(f)− f(p)d(1)) = d(f).

Zatem H(δ) = d.

Wniosek 7.1.3. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f : M −→ R jest funkcjągładką taką, że f | U = 0 dla pewnego zbioru otwartego U , zawierającego p, to d(f) = 0.

Dowód (Pierwszy). Istnieje (na mocy Twierdzenia 7.1.2) derywacja p-lokalna δ : Op(M) −→ Rtaka, że d = δβ. Zauważmy, że [M,f ] = [U, f |U ] = [U, 0] = [M, 0] = 0. Zatem d(f) = δβ(f) =δ([M,f ]) = δ(0) = 0.

Dowód (Drugi). Niech W będzie zbiorem otwartym w M takim, że p ∈ W ⊆ W ⊆ U orazW jest zbiorem zwartym (W istnieje ponieważ M jest lokalnie zwarte). Wtedy (Twierdzenie 6.4.4)istnieje funkcja gładka h ∈ C(M) taka, że H|W = 1 i h|(XrU) = 0. Niech g = (1−h)f . Oczywiścieg ∈ C(M). Zauważmy, że g = f . Istotnie, jeśli a ∈ U , to g(a) = (1−h(a))f(a) = (1−h(a))0 = 0 = f(a).Jeśli a 6∈ U , to g(a) = (1−h(a))f(a) = (1− 0)f(a) = f(a). Mamy zatem d(f) = d(g) = d((1−h)f) =(1− h(p))d(f) + f(p)d(1− h) = (1− 1)d(f) + 0d(1− h) = 0.

Wniosek 7.1.4. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f, g :M −→ R są funkcjąmigładkimi takimi, że f | U = g | U dla pewnego zbioru otwartego U , zawierającego p, to d(f) = d(g).

7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2

Przypomnijmy najpierw kilka ogólnych faktów z [20] (rozdział o lokalnym pierścieniu punktu).

Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z jedynką) i M jego ideałem maksymalnym. Niech sbędzie liczbą naturalną. Mamy wówczas dwa ideały

Ms ⊇Ms+1,

a więc dwa R-moduły (moduł i podmoduł). Mamy zatem R-moduł ilorazowy Ms/Ms+1. Moduł tenma strukturę R/M -modułu z mnożeniem R/M ×Ms/Ms+1 −→Ms/Ms+1 określonym wzorem

(r +M)(a+Ms+1) = ra+Ms+1, dla r ∈ R, a ∈Ms.

Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Jeśli r, r′ ∈ R, a, a′ ∈Ms są takie, że r+M = r′+M ,a+Ms+1 = a′ +Ms+1, to r − r′ ∈M , a− a′ ∈Ms+1, a zatem (r − r′)a ∈Ms+1, r′(a− a′) ∈Ms+1,czyli ra− r′a′ = (r− r′)a+ r′(a− a′) ∈Ms+1. Zatem Ms/Ms+1 jest przestrzenią liniową nad ciałemR/M .

Rozpatrzmy teraz pierścień ułamków RM (lokalizację pierścienia R względem ideału maksymalnegoM) i jego jedyny ideał maksymalny MRM . Mamy w tym przypadku izomorfizm ciał

RM/MRM ≈ (R/M)(0) = R/M, f/g +MRM 7→ fg−1 +M

(patrz [20]). Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe Ms/Ms+1 i (MRM )s/(MRM )s+1 nad tymsamym ciałem R/M .


Stwierdzenie 7.2.1 ([20]). Jeśli M jest ideałem maksymalnym w pierścieniu R i s > 0, to prze-strzenie Ms/Ms+1 i (MRM )s/(MRM )s+1 są izomorficzne.

Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M . Zastosujmy powyższe fakty dla pierścieniOp(M), C(M) i ich ideałów maksymalnychMp(M),mp(M). Ponieważ pierścienieOp(M) i C(M)mp(M)są izmorficzne (Stwierdzenie 6.5.6), więc ze Stwierdzenia 7.2.1 wynika:

Stwierdzenie 7.2.2. Jeśli M jest rozmaitością gładką oraz s > 0, to przestrzenie R-liniowe

Mp(M)s/Mp(M)s+1 i mp(M)s/mp(M)s+1

są izomorficzne.

Niech m = mp(M). Zajmiemy się teraz przestrzenią liniową m/m2 i jej przestrzenią dualną

(m/m2)∗ = HomR(m/m2,R).

Twierdzenie 7.2.3 (PH370). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i m = mp(M). Prze-strzeń Dp(C(M)), derywacji p-lokalnych z C(M) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (m/m2)∗.

Dowód. Jeśli δ ∈ Dp(C(M), to δ(f) = 0 dla wszystkich f ∈ m2. Definiujemy odwzorowanieδp : m/m2 −→ R przyjmując

δp(f +m2) = δ(f), dla f ∈ mp.

Mamy wtedy R-liniowe przekształcenie

γ : Dp(C(M)) −→ (m/m2)∗, δ 7→ δp.

Pokażemy, że γ jest bijekcją.(1) Różnowartościowość. Jeśli γ(δ) = 0, to δp = 0 czyli δ(f) = 0 dla wszystkich f ∈ m. Niech

f ∈ C(M). Wtedy f − f(p) ∈ C(M) i mamy δ(f) = δ(f − f(p)) = 0. Zatem δ = 0.(2) Surjektywność. Niech h : m/m2 −→ R będzie przekształceniem R-liniowym. Definiujemy δ :

C(M) −→ R wzorem:δ(f) = h(f − f(p) +m2), dla f ∈ C(M).

Ponieważ fg − f(p)g − g(p)f + f(p)g(p) = (f − f(p))(g − g(p)) ∈ m2, więc:

δ(fg) = h(fg − f(p)g(p) +m2)

= h(fg − f(p)g − g(p)f + f(p)g(p) + f(p)g + g(p)f − 2f(p)g(p) +m2)

= h(f(p)g + g(p)f − 2f(p)g(p) +m2)

= f(p)h(g − g(p) +m2) + g(p)h(f − f(p) +m2)

= f(p)δ(g) + g(p)δ(f).

Zatem δ jest derywacją p-lokalną. Ponadto, γ(δ) = h. Istotnie, jeśli f ∈ m, to γ(δ)(f +m2) = δ(f) =h(f − f(p) +m2) = h(f − 0 +m2) = h(f +m2).

W ten sam sposób można udowodnić następne twierdzenie. Nie musimy dowodu przedstawiać,gdyż twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją poprzednich faktów.

Twierdzenie 7.2.4 (PH369). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i M = Mp(M). Prze-strzeń Dp(Op(M)), derywacji p-lokalnych z Op(M) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (M/M2)∗.


7.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych

Lemat 7.3.1 (PH371, [25]44). Niech f ∈ C(Rn) i p = (p1, . . . , pn) ∈ Rn. Istnieją wtedy funkcjef1, . . . , fn ∈ C(Rn) takie, że

f(x) = f(p) +∑ni=1(xi − pi)fi(x),

dla wszystkich x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Ponadto, fi(p) = ∂f∂xi(p) dla i = 1, . . . , n.

Dowód. Niech h : R −→ R będzie funkcją określoną wzorem h(t) = f(p + (x − p)t), dla t ∈ R.Wtedy h′(t) =

∑ni=1

∂f∂xi(p+ (x− p)t)(xi − pi). Niech

fi(x) =∫ 10∂f∂xi(p+ (x− p)t)dt, i = 1, . . . , n.

Mamy wówczasf(x) = f(p) + h(1)− h(0) = f(p) +

∫ 10 h′(t)dt

= f(p) +∫ 10

∑ni=1

∂f∂xi(p+ (x− p)t)(xi − pi)dt

= f(p) +∑ni=1(xi − pi)fi(x).

Ponadto fi(p) =∫ 10∂f∂xi(p)dt = ∂f

∂xi(p)∫ 10 dt =

∂f∂xi(p).

Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, niech p ∈M i niech (U,ϕ) będzie mapą taką, żep ∈ U . Jeśli f ∈ C(M), to (na mocy definicji odwzorowania gładkiego) fϕ−1 ∈ C(Rn). Oznaczmy

∆ϕi (f) =∂fϕ−1

∂xi(ϕ(p)), dla f ∈ C(M), i = 1, . . . , n.

Stwierdzenie 7.3.2 (PH372). Odwzorowania ∆ϕ1 , . . . ,∆

ϕn : C(M) −→ R są derywacjami p-lokalnymi.

Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M). Wtedy:

∆ϕi (fg) =∂∂xi(fg ϕ−1)(ϕ(p))

= ∂∂xi(fϕ−1 · gϕ−1)(ϕ(p))

= (fϕ−1 ∂∂xi gϕ−1 + gϕ−1 ∂∂xi fϕ

−1)(ϕ(p))

= f(p)∆ϕi (g) + g(p)∆ϕi (f).

Odwzorowanie ϕ : U −→ Rn jest postaci ϕ = (ϕ(1) . . . , ϕ(n)), gdzie ϕ(1), . . . , ϕ(n) ∈ C(U). Z Twier-dzenia 6.4.11 wiemy, że istnieją funkcje ψ(1), . . . , ψ(n) ∈ C(M), takie, że ψ(i) | U = ϕ(i), dla wszystkichi = 1, . . . , n.

Definicja 7.3.3. Powyższe funkcje ψ(1), . . . , ψ(n) ∈ C(M) oznaczać będziemy odpowiednio przezϕ[1], . . . , ϕ[n].

Zatem każde ϕ[i] jest funkcją gładką z M do R taką, że ϕ[i] | U = ϕ(i). Funkcje ϕ[1], . . . , ϕ[n]

nie muszą być wyznaczone jednoznacznie. Z Wniosku 7.1.4 wiemy jednak, że jeśli d : C(M) −→ Rjest derywacją p-lokalną, to liczby rzeczywiste d(ϕ[1]), . . . , d(ϕ[n]) są jednoznacznie wyznaczone; zależątylko od mapy (U,ϕ) (i oczywiście od derywacji d).

Stwierdzenie 7.3.4. ∆ϕi (ϕ[j]) = δij, gdzie δij jest deltą Kroneckera.

Dowód.∆ϕi (ϕ

[j]) = ∂∂xi(ϕ[j] ϕ−1)(ϕ(p))

= ∂∂xi(ϕj ϕ−1)(ϕ(p))

= ∂∂xi(πj ϕ ϕ−1)(ϕ(p))

= ∂∂xi(πj)(ϕ(p)) = δij(ϕ(p)) = δij ,

gdzie πj : Rn −→ R jest rzutowaniem.

Z tego stwierdzenia otrzymujemy:


Stwierdzenie 7.3.5 (PH372). Derywacje ∆ϕ1 , . . . ,∆

ϕn są liniowo niezależne nad R.

Udowodnimy teraz następne stwierdzenie.

Stwierdzenie 7.3.6 (PH372). Derywacje ∆ϕ1 , . . . ,∆

ϕn generują przestrzeń Dp(C(M)) nad R.

Dowód. Niech d ∈ Dp(C(M)). Niech f ∈ C(M)). Wtedy fϕ−1 : Rn −→ R jest rzeczywistąfunkcją klasy C∞ (czyli należy do C(Rn)). Z Lematu 7.3.1 wiemy, że

fϕ−1(x) = fϕ−1(ϕ(p)) +∑ni=1(xi − ai)αi(x),

gdzie (a1, . . . , an) = ϕ(p) oraz α1, . . . , αn ∈ C(Rn). Wiemy ponadto, że αi(ϕ(p)) = ∂fϕ−1

∂xi(ϕ(p)). Dla

wszystkich u ∈ U mamy więc

f(u) = fϕ−1(ϕ(u)) = fϕ−1(ϕ(p)) +∑ni=1(ϕi(u)− ai)αi(ϕ(u)),

gdzie (ϕ1, . . . , ϕn) = ϕ. Stąd dalej wynika, że na zbiorze U zachodzi równość:

f = fϕ−1(ϕ(p)) +∑ni=1(ϕ

[i] − ai)αi(ϕ[1], . . . , ϕ[n]).

Stąd otrzymujemy (na mocy Wniosku 7.1.4),że d(f) = d(g), gdzie g jest funkcją występującą poprawej stronie powyższej równości. Mamy zatem:

d(f) = d(fϕ−1(ϕ(p))) +∑ni=1 d((ϕ

[i] − ai)αi(ϕ[1], . . . , ϕ[n]))

= 0 +∑ni=1(ϕ

[i](p)− ai)d(αi(ϕ[1], . . . , ϕ[n])) +∑ni+1 αi(ϕ(p))d(ϕ

[i] − ai)

=∑ni=1 0d(αi(ϕ

[1], . . . , ϕ[n])) +∑ni=1 αiϕ(p)d(ϕ

[i] − ai)

=∑ni=1

∂fϕ−1

∂xi(ϕ(p))d(ϕ[i])

=∑ni=1 d(ϕ

[i])∆ϕi (f).

Zatem d = d(ϕ[1])∆ϕ1 + · · ·+ d(ϕ[n])∆ϕn.

Ostatnie zdanie tego dowodu warto zapamiętać. Zapiszmy to jeszcze raz:

Wniosek 7.3.7. Jeśli d : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną, to

d = d(ϕ[1])∆ϕ1 + · · ·+ d(ϕ[n])∆ϕn.

Udowodniliśmy zatem:

Twierdzenie 7.3.8. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n i p ∈ M , to dimR Dp(C(M)) = n.Derywacje ∆ϕ1 , . . . ,∆

ϕn tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M)) nad R.

Korzystając z udowodnionych wcześniej izomorfizmów otrzymujemy:

Wniosek 7.3.9. Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, p ∈ M , m = mp(M) oraz M =Mp(M). Wtedy wszystkie przestrzenie Dp(C(M)), Dp(Op(M)), m/m2, M/M2, (m/m2)∗, (M/M2)∗mają wymiar n nad R.

7.4 Krzywe i przestrzeń styczna

NiechM będzie rozmaitością gładką wymiaru n i niech J = (−1, 1) będzie odcinkiem otwartym w R1,traktowanym jako rozmaitość gładka z jednoelementowym atlasem.

Definicja 7.4.1. Krzywą na M nazywamy każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ M . Środkiemkrzywej σ nazywamy punkt σ(0).


Z tej definicji wynika, że jeśli A jest atlasem rozmaitości M , to σ : J −→ M jest krzywą na Mjeśli σ jest odwzorowaniem ciągłym oraz każde odwzorowanie postaci ϕσ| : σ−1(U) −→ Rn, gdzie(U,ϕ) ∈ A, jest klasy C∞ (zwróćmy uwagę, że σ−1(U) ⊆ J ⊆ R1).W dalszym ciągu odwzorowanie postaci ϕσ| : σ−1(U) −→ Rn oznaczać będziemy przez ϕσ : J −→

Rn, rozumiejąc przez to funkcję częściową określoną w otoczeniu punktu σ(0).Dla każdej mapy (U,ϕ) punktu σ(0) (tzn. U 3 σ(0)), istnieje różniczka odwzorowania ϕσ w punkcie

0, czyli przekształcenie R-liniowe D(ϕσ)(0) : R1 −→ Rn. Różniczka ta zależy od wyboru atlasu (U,ϕ).Przekonuje nas o tym następujący lemat.

Lemat 7.4.2. Niech σ : J −→ M będzie krzywą i niech (Ui, ϕi), (Uj , ϕj) będą mapami punktu σ(0).Wtedy

D(ϕjσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) D(ϕiσ)(0).

Dowód. Przypomnijmy, że ϕji = ϕjϕ−1i | : ϕi(Ui ∩ Uj) −→ ϕj(Ui ∩ Uj), są bijekcjami klasy C∞,przy czym ϕi(Ui ∩ Uj) ⊆ Rn, ϕj(Ui ∩ Uj) ⊆ Rn. Z własności różniczki funkcji złożonej otrzymujemy:

D(ϕjσ)(0) = D(ϕjϕ−1i ϕiσ)(0) = D(ϕji ϕiσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) D(ϕiσ)(0).

Definicja 7.4.3. Mówimy, że krzywe σ, τ : J −→M są równoważne jeśli:(a) σ(0) = τ(0),(b) istnieje mapa (U,ϕ) punktu σ(0) = τ(0) taka, że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0).

W tej definicji ”istnieje mapa” można zastąpić ”dla każdej mapy”:

Stwierdzenie 7.4.4. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to dla każdej mapy (U,ϕ) punktuσ(0) = τ(0), zachodzi równość D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0).

Dowód. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą punktu σ(0) = τ(0) (istniejącą na mocy definicji) taką,że D(ϕiσ)(0) = D(ϕiτ)(0). Niech (Uj , ϕj) będzie drugą mapą punktu σ(0) = τ(0). Pokażemy, żeD(ϕjσ)(0) = D(ϕjτ)(0). Wynika to z Lematu 7.4.2:

D(ϕjσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) D(ϕiσ)(0)

= D(ϕji)(ϕiτ(0)) D(ϕiτ)(0)

= D(ϕjτ)(0).

Z tego stwierdzenia wynika w szczególności:

Stwierdzenie 7.4.5. Równoważność krzywych naM jest relacją typu równoważności w zbiorze wszyst-kich krzywych na M .

Niech p ∈M będzie ustalonym punktem.

Definicja 7.4.6. Klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klasabstrakcji postaci [σ], gdzie σ(0) = p, oznaczamy przez TpM i nazywamy przestrzenią styczną do Mw punkcie p.

Wykażemy teraz, że TpM ma strukturę przestrzeni liniowej nad R. W tym celu udowodnimynajpierw następujący lemat.

Lemat 7.4.7. Niech σ1, . . . , σs : J −→ M będą krzywymi o środkach w punkcie p i niech r1, . . . , rsbędą liczbami rzeczywistymi takimi, że r1 + · · ·+ rs = 1. Niech (Ui, ϕi), (Uj , ϕj) będą mapami punktup. Rozważmy krzywe λi, λj : J −→M zdefiniowane wzorami:

λi = ϕ−1i (r1ϕiσ1 + · · ·+ rsϕiσs),

λj = ϕ−1j (r1ϕjσ1 + · · ·+ rsϕjσs).

Krzywe λi, λj są równoważne. Ponadto λi(0) = λj(0) = p.


Dowód. Sprawdzamy najpierw, że λi(0) = λj(0) = p:

λi(0) = ϕ−1i (∑sm=1 rmϕiσm(0)) = f

−1i (∑sm=1 rmϕi(p)) = ϕ

−1i (1 · ϕi(p)) = ϕ

−1i ϕi(p) = p.

Podobnie λj(0) = p. Teraz wykażemy, że

D(ϕji)(ϕi(p)) D(ϕiλi)(0) = D(ϕjλj)(0). (7.1)

Sprawdzamy:D(ϕjλj)(0) = D(

∑sm=1 rmϕjσm)(0)

=∑sm=1 rmD(ϕjσm)(0)

7.4.2=∑sm=1 rmD(ϕji)(ϕi(p)) D(ϕiσm)(0)

= D(ϕji)(ϕi(p)) ∑sm=1 rmD(ϕiσm)(0)

= D(ϕji)(ϕi(p)) D(∑sm=1 rmϕiσm)(0)

= D(ϕji)(ϕi(p)) D(ϕiλi)(0).

Chcąc pokazać, że krzywe λi, λj : J −→M są równoważne, musimy udowodnić, że dla każdej mapy(Uk, ϕk) punktu p zachodzi równość:

D(ϕkλi)(0) = D(ϕkλj)(0). (7.2)

W tym celu rozpatrzmy jeszcze trzecią krzywą

λk = ϕ−1k (r1ϕkσ1 + · · ·+ rmϕkσm).

Mamy wówczas:

D(ϕkλi)(0)7.4.2= D(ϕki)(ϕiλi(0)) D(ϕiλi)(0)

= D(ϕki)(ϕi(p)) D(ϕiλi)(0)(7.1)= D(ϕkλk)(0)

i analogicznie:

D(ϕkλj)(0)7.4.2= D(ϕkj)(ϕjλj(0)) D(ϕjλj)(0)

= D(ϕkj)(ϕj(p)) D(ϕjλj)(0)(7.1)= D(ϕkλk)(0).

Wykazaliśmy równość (7.2), a zatem krzywe λi, λj są równoważne.

Niech [σ], [τ ] ∈ TpM , r ∈ R i niech (U,ϕ) będzie mapą punktu p. Definiujemy krzywe ρ, ω :ϕ−1(U) −→M , przyjmując:

ρ = ϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p)),ω = ϕ−1(rϕσ + (1− r)ϕ(p)).

(ϕ(p) traktujemy jako odwzorowanie stałe, przyporządkowujące każdemu t ∈ J punkt ϕ(p)). Zauważ-my, że ρ(0) = ω(0) = p. Określamy teraz dodawanie [σ] + [τ ] oraz mnożenie r[σ].

Definicja 7.4.8. [σ] + [τ ] = [ρ], r[σ] = [ω].

Z Lematu 7.4.7 wynika, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., nie zależy od wyboru mapy (U,ϕ)punktu p. Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 7.4.9. Zbiór TpM , wraz z powyższymi działaniami, jest przestrzenią liniowąnad R.


Zerem w TpM jest klasa abstrakcji krzywej stałej, przyjmującej dla każdego t ∈ J stałą wartość p. Zdefinicji dodawania i mnożenia przez skalar w TpM wynika:

Stwierdzenie 7.4.10. Jeśli σ1, . . . , σs : J −→ M są krzywymi o środku w punkcie p ∈ M orazr1, . . . , rs ∈ R, to dla każdej mapy (U,ϕ) punktu p, zachodzi równość∑s

j=1 rj [σj ] = [ϕ−1(∑sj=1 rjϕσj + (1−

∑sj=1 rj)ϕ(p))],

w szczególności ∑sj=1[σj ] = [ϕ

−1(∑sj=1 ϕσj + (1− s)ϕ(p))].

Ustalmy mapę (U,ϕ) punktu p. Niech a ∈ Rn. Wprowadzamy następujące dwie funkcje:

Definicja 7.4.11.a : J −→ Rn, t 7−→ ta,

aϕ : J −→M, t 7−→ ϕ−1(ta+ ϕ(p)).

Funkcja aϕ jest krzywą na M o środku w p. Ponadto,

D(ϕaϕ)(0)(e) = ea,

gdzie e jest ustalonym wektorem bazowym w R1.

Lemat 7.4.12. Niech a, b ∈ Rn, r ∈ R.(1) [aϕ] + [bϕ] = [(a+ b)ϕ],(2) r[aϕ] = [(ra)ϕ],(3) [aϕ] = 0 ⇐⇒ a = 0,(4) dla każdej krzywej σ : J −→ M o środku w p istnieje dokładnie jeden wektor a ∈ Rn taki, że

[σ] = [aϕ].

Dowód. Własności (1), (2) i (3) są oczywiste. Dla dowodu (4) przyjmujemy a = D(ϕσ)(0)(e).Wtedy [σ] = [aϕ]. Jedyność wynika z (3).

Z lematu tego wynika:

Stwierdzenie 7.4.13. Przestrzeń TpM jest izomorficzna z przestrzenią Rn. Dokładniej, odwzorowa-nie Rn −→ TpM , a 7−→ [aϕ] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R.

7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne

Niech M będzie rozmaitością gładką i p ∈ M . Zmierzamy do wykazania, że przestrzeń TpM jestizomorficzna z przestrzenią Dp(C(M)), derywacji p-lokalnych z C(M) do R.

Lemat 7.5.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→M są równoważne i f ∈ C(M), to D(fσ)(0) = D(fτ)(0).

Dowód. Niech (U,ϕ) będzie mapą punktu p = σ(0) = τ(0). Wtedy D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0) (Stwier-dzenie 7.4.4), a zatem

D(fσ)(0) = D(fϕ−1ϕσ)(0) = D(fϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ)(0)= D(fϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕτ)(0) = D(fϕ−1ϕτ)(0)= D(fτ)(0).

Ustalmy wektor bazowy e przestrzeni R1. Niech [σ] ∈ TpM . Definiujemy odwzorowanie d[σ] :C(M) −→ R przyjmując, dla każdego f ∈ C(M),

d[σ](f) = D(fσ)(0)(e).

Zauważmy, że D(fσ)(0) jest przekształceniem liniowym z R1 do R1. Zatem D(fσ)(0)(e) ∈ R.


Stwierdzenie 7.5.2. Odwzorowanie d[σ] jest derywacją p-lokalną.

Dowód. R-liniowość jest oczywista. Mamy ponadto, dla f, g ∈ C(M),

d[σ](fg) = D((fg)σ)(0)(e) = D((fσ)(gσ))(0)(e)

= fσ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(fσ)(0)(e)

= f(p)d[σ](g) + g(p)d[σ](f).

Stwierdzenie 7.5.3. Jeśli [σ], [τ ] ∈ TpM , r ∈ R, to d[σ]+[τ ] = d[σ] + d[τ ] oraz dr[σ] = rd[σ].

Dowód. Niech (U,ϕ) będzie mapą punktu p i niech f ∈ C(M). Niech ρ = ϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p)).Wtedy

d[σ]+[τ ](f) = d[ρ](f) = D(fρ)(0)(e)

= D(fϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0)(e)

= (D(fϕ−1)(ϕσ(0) + ϕτ(0)− ϕ(p)) D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0))(e)

= (D(fϕ−1)(ϕ(p))(D(ϕσ)(0) +D(ϕτ)(0)))(e)

= (D(fϕ−1)(ϕ(p))D(ϕσ)(0))(e) + (D(fϕ−1)(ϕ(p))D(ϕτ)(0))(e)

= D(fσ)(0)(e) +D(fτ)(0)(e) = d[σ](f) + d[τ ](f)

= (d[σ] + d[τ ])(f).

Wykorzystaliśmy tu równość D(ϕ(p))(0) = 0, która wynika z faktu, że różniczka odwzorowania stałegojest zerowa.W podobny sposób wykazujemy drugą równość. Niech ω = ϕ−1(rϕσ + (1− r)ϕ(p)). Wtedy

dr[σ](f) = d[ω](f) = D(fω)(0)(e)

= D(fϕ−1(rϕσ + (1− r)ϕ(p))(0)(e)

= (D(fϕ−1)(rϕσ(0) + (1− r)ϕ(p)) D(rϕσ + (1− r)ϕ(p))(0))(e)

= D(fϕ−1)(ϕ(p))(rD(ϕσ)(0))(e)

= rD(fϕ−1)(ϕ(p))D(ϕσ)(0)(e)

= rD(fσ)(0)(e) = rd[σ](f)

= (rd[σ])(f).

Zatem dr[σ] = rd[σ].

Niech (U,ϕ) będzie w dalszym ciągu ustaloną mapą punktu p ∈M i niech

e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)

będzie standardową bazą przestrzeni Rn. Oznaczmy

bi : J −→ Rn, t 7→ tei, dla i = 1, . . . , n.

Funkcje b1, . . . , bn są oczywiście odwzorowaniami klasy C∞. Przy pomocy tych funkcji definiujemykrzywe λ1, . . . , λn : J −→M , przyjmując:

λi = ϕ−1(bi + ϕ(p)), dla i = 1, . . . , n.

Zauważmy, że λ1(0) = · · · = λn(0) = p.Przypomnijmy jeszcze, że przez ∆ϕ1 , . . . ,∆

ϕn oznaczamy derywacje p-lokalne z C(M) do R określone

wzorami:∆ϕi (f) =

∂fϕ−1

∂xi(ϕ(p)), dla f ∈ C(M), i = 1, . . . , n.

Wiemy (Twierdzenie 7.3.8), że derywacje te tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M)).


Stwierdzenie 7.5.4. d[λi] = ∆ϕi , dla i = 1, . . . , n.

Dowód. Jest oczywiste, że D(bi)(0)(e) = ei. Zatem, dla f ∈ C(M),

d[λi](f) = D(fλi)(0)(e) = D(fϕ−1(bi + ϕ(p))(0)(e)

= D(fϕ−1)(ϕ(p))(D(bi + ϕ(p))(0)(e)) = D(fϕ−1)(ϕ(p))(D(bi)(0)(e))

= D(fϕ−1)(ϕ(p))(ei) =∑nj=1

∂fϕ−1

∂xj(ϕ(p))(ei)

= ∂fϕ−1

∂xi(ϕ(p)) = ∆ϕi (f).

Twierdzenie 7.5.5. Odwzorowanie Φ : TpM −→ Dp(C(M)), [σ] 7−→ d[σ], jest izomorfizmem prze-strzeni liniowych nad R.

Dowód. R-liniowość odwzorowania Φ wynika ze Stwierdzenia 7.5.3. Z poprzedniego stwierdzeniawnioskujemy, że Φ jest surjekcją (ponieważ derywacje postaci ∆ϕi tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M))).Wystarczy zatem pokazać, że Φ jest różnowartościowe. Niech więc σ : J −→M będzie krzywą o środkuw p taką, że d[σ] = 0. Wówczas, dla każdego f ∈ C(M), przekształcenie liniowe D(fσ)(0) jest zerowe.Ale D(fσ)(0) = D(fϕ−1ϕσ)(0) = D(fϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ)(0), zatem dla każdego f ∈ C(M)) mamyrówność

D(fϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ)(0) = 0.

Przyjmując za f kolejno funkcje ϕ[1], . . . , ϕ[n] ∈ C(M) takie, jak w Podrozdziale 7.3, stwierdzamy, żeD(ϕσ)(0) = 0. Oznacza to (patrz definicja równoważności krzywych), że [σ] = 0.

7.6 Morfizmy

Niech M,N będą rozmaitościami gładkimi, wymiarów odpowiednio m i n. Niech p ∈ M i niechf :M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim.

Lemat 7.6.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to krzywe fσ, fτ : J −→ N też sąrównoważne.

Dowód. Niech σ(0) = τ(0) = p. Wtedy fσ(0) = fτ(0) = f(p). Istnieją mapy (U,ϕ) punktup i (V, ψ) punktu f(p) takie, że odwzorowanie ψfϕ−1| : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest gładkie. Wiemy,że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0). Zatem D(ψfσ)(0) = D(ψfϕ−1ϕσ)(0) = D(ψfϕ−1)(f(p)) D(ϕσ)(0) =D(ψfϕ−1)(f(p)) D(ϕτ)(0) = D(ψfϕ−1ϕτ)(0) = D(ψfτ)(0).

Definiujemy odwzorowanie Tpf : TpM −→ Tf(p)N przyjmując:

(Tpf)([σ]) = [fσ],

dla wszystkich [σ] ∈ TpM . Z powyższego lematu wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone.Odwzorowanie to nazywa się różniczką odwzorowania f w punkcie p.

Stwierdzenie 7.6.2. Odwzorowanie Tpf : TpM −→ Tf(p)N jest przekształceniem R-liniowym.

Dowód. Niech [σ], [τ ] ∈ TpM . Istnieją mapy (U,ϕ) punktu p i (V, ψ) punktu f(p) takie, żeodwzorowanie ψfϕ−1| : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest gładkie. Niech ρ = ϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p)) i rozpatrzmykrzywe fρ, ρ : J −→ N określone wzorami

fρ = fϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p)), ρ = ψ−1(ψfσ + ψfτ − ψf(p)).

Są to dwie równoważne krzywe o środkach w punkcie f(p). Zachodzi bowiem równość:

D(ψρ)(0) = D(ψfρ)(0).


Sprawdzamy:

D(ψρ)(0) = D(ψfσ + ψfτ − ψf(p))(0)

= D(ψfσ)(0) +D(ψfτ)(0) = D(ψfϕ−1ϕσ)(0) +D(ψfϕ−1ϕτ)(0)

= D(ψfϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ)(0) +D(ψfϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕτ)(0).

D(ψfρ)(0) = D(ψfϕ−1(ϕσ + ϕτ − ϕ(p)))(0)

= +D(ψfϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0)

= D(ψfϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕσ)(0) +D(ψfϕ−1)(ϕ(p)) D(ϕτ)(0).

Zatem [ρ] = [fρ] i stąd otrzymujemy:

Tpf([σ] + [τ ]) = Tpf([ρ]) = [fρ] = [ρ] = [fσ] + [fτ ] = Tpf([σ]) + Tpf([τ ]).

Analogicznie sprawdzamy, że Tpf(r[σ]) = rTpf([σ]), dla r ∈ R.

Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 7.6.3.(1) Tp(1M ) = 1TpM .(2) Tp(g f) = Tf(p)g Tpf .

Wniosek 7.6.4. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Tpf : TpM −→ Tf(p)N jest izomorfi-zmem przestrzeni liniowych.

Przedstawimy teraz wszystkie powyższe fakty w języku derywacji lokalnych.

Załóżmy, że f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim. Mamy wtedy R-algebrowy homomorfizmC(f) : C(N) −→ C(M), α 7→ αf . Jeśli δ : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną, to odwzorowanied = δ C(f) : C(N) −→ R jest derywacją f(p)-lokalną. Istotnie, niech α, β ∈ C(N). Wtedy:

d(αβ) = δC(f)(αβ) = δ(αβf) = δ((αf)(βf))

= αf(p)δ(βf) + βf(p)δ(αf) = α(f(p))d(β) + β(f(p))d(α).

Mamy zatem odwzorowanie R-liniowe

Dpf : Dp(C(M)) −→ Df(p)(C(N)), δ 7−→ δ C(f).

Łatwo sprawdzić:

Stwierdzenie 7.6.5.(1) Dp(1M ) = 1Dp(C(M)).(2) Dp(g f) = Dϕ(p)g Dpf .

Wniosek 7.6.6. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Dpf : DpM −→ Dϕ(p)N jest izomorfi-zmem przestrzeni R-liniowych.

Niech Φ(M) : TpM −→ Dp(C(M)), [σ] 7−→ d[σ], będzie izomorfizmem rozpatrywanym w Twier-dzeniu 7.5.5. Niech Φ(N) : Tf(p)N −→ Df(p)(C(N)), [τ ] 7−→ d[τ ], będzie też takim izomorfizmem.

Stwierdzenie 7.6.7. Jeśli f :M −→ N jest odwzorowaniem gładkim i p ∈M , to

Φ(N) Tpf = Dpf Φ(M).

8. Wiązka styczna 51

8 Wiązka styczna

Podamy trzy równoważne definicje wiązki stycznej. W pierwszej definicji wykorzystamy funkcjeprzejścia, a w następnych krzywe i derywacje lokalne.

Zakładamy w tym rozdziale, że M jest rozmaitością gładką wymiaru n i A = (Ui, ϕi)i∈I jest jejustalonym atlasem.

8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia

Wiemy (patrz Podrozdział 5.5), że wiązkę wektorową można definiować przy pomocy funkcji przej-ścia.

Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj , to definiujemy automorfizm R-liniowy gij(x) : Rn −→ Rn, przyjmując:

gij(x) = D(ϕij)(ϕj(x)).

Sprawdza się łatwo, że odwzorowania

gij : Ui ∩ Uj −→ AutR(Rn)

spełniają warunki (1) i (2) definicji funkcji przejścia (patrz Podrozdział 5.5). Definiują nam zatemwiązkę wektorową, którą nazywamy wiązką styczną do M .

8.2 Wiązka styczna i krzywe

Przypomnijmy, że przez TpM oznaczamy przestrzeń styczną do M w punkcie p. Pamiętamy, że[σ] oznaczamy klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M . TpM jest zbiorem wszystkich klas abstrakcjikrzywych na M o środku w punkcie p, tzn., TpM = [σ]; σ(0) = p.

Definicja 8.2.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji krzywych naM oznaczamy przez TM i nazywamywiązką styczną do rozmaitości M . Przez π oznaczamy odwzorowanie z TM do M określone wzoremπ([σ]) = σ(0).

Odwzorowanie π jest dobrze określone. Jeśli bowiem [σ] = [σ′], to oczywiście σ(0) = σ′(0). Zauważmy,że π−1(p) = TpM jest przestrzenią wektorową nad R.

Stwierdzenie 8.2.2. Odwzorowanie π : TM −→M jest surjekcją.

Dowód. Niech p ∈M . Rozpatrzmy funkcją stałą σp : J −→M , t 7→ p. Funkcja ta jest krzywą naM i π([σp]) = σp(0) = p.

Wykażemy, że trójka (TM,π,M) jest wiązką wektorową (w sensie topologicznym) oraz, że TMjest rozmaitością gładką i π jest odwzorowaniem gładkim.

Przez e oznaczamy ustalony wektor bazowy przestrzeni R1.

Niech (Ui, ϕi) będzie mapą z atlasu A. Wtedy

π−1(Ui) = [σ] ∈ TM ; σ(0) ∈ Ui.

Definiujemy odwzorowanie Φi : π−1(Ui) −→ Ui × Rn, przyjmując:

Φi([σ]) = (σ(0), D(ϕiσ)(0)(e)).

Z definicji równoważności krzywych wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone.

Stwierdzenie 8.2.3. Odwzorowanie Φi : π−1(Ui) −→ Ui × Rn jest bijekcją.


Dowód. Różnowartościowość wynika z definicji równoważności krzywych. Pokażemy, że Φi jestsurjekcją. Niech (x, v) ∈ Ui×Rn. Rozpatrzmy krzywą τ : J −→ Rn określoną wzorem τ(t) = tv+ϕi(x).Niech σ = ϕ−1i τ : J −→M . Wtedy Φi([σ]) = (x, v).

Stwierdzenie 8.2.4. Niech x ∈ Ui ∩ Uj, v ∈ Rn. Wtedy

ΦiΦ−1j (x, v) = (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)).

Dowód. Niech (x, v) = Φj([σ]), gdzie [σ] ∈ π−1(Ui), σ(0) = x. Wtedy:

ΦiΦ−1j (x, v) = ΦiΦ−1j Φj([σ]) = Φi([σ])

= (σ(0), D(ϕiσ)(0)(e))

= (σ(0), D(ϕiϕ−1j ϕjσ)(0)(e))

= (σ(0), D(ϕij)(ϕj(x)) D(ϕjσ)(0)(e)

= (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)).

Stwierdzenie 8.2.5. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą punktu x ∈M . Niech [σ], [τ ] ∈ TxM , r ∈ R.(a) Jeśli Φi([σ]) = (x, a), Φ([τ ]) = (x, b), gdzie a, b ∈ Rn, to Φi([σ] + [τ ]) = (x, a+ b).(b) Jeśli Φi([σ]) = (x, a), gdzie a ∈ Rn, to Φi(r[σ]) = (x, ra).

Dowód. Dowodzimy tak samo jak Stwierdzenie 7.5.3.

W zbiorze TM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi orazfunkcja π są ciągłe. Zbiory otwarte w TM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆π−1(Ui) takich, że zbiór Φj(Wj) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π−1(Ui) −→ Ui×Rnsą homeomorfizmami. Mamy zatem następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 8.2.6. Trójka (TM,π,M) jest wiązką wektorową nad M .

Wyjaśnijmy jeszcze, że przestrzeń TM ma strukturę rozmaitości gładkiej taką, że surjekcja π :TM −→M jest odwzorowaniem gładkim. Atlas dla TM konstruuje się w następujący sposób.Niech Ψi : π−1(Ui) −→ R2n będzie złożeniem

π−1(Ui)Φi−→ Ui × Rn ϕi×1−→ Rn × Rn,

czyliΨi([σ]) = (ϕi(σ(0)), D(ϕiσ)(0)(e)).

Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem. Ze Stwierdzenia 8.2.4 wynika:

Stwierdzenie 8.2.7. ΨiΨ−1j (a, v) = (ϕij(a), D(ϕij)(a)(v)).

Stąd otrzymujemy:

Wniosek 8.2.8. Odwzorowania Ψij = ΨiΨ−1j są klasy C∞.

Mamy zatem

Wniosek 8.2.9. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to TM jest też rozmaitością gładką ijej wymiar jest równy 2n. Atlasem rozmaitości TM jest rodzina (π−1(Ui),Ψi)i∈I . Z powyższych konstrukcji wynika, że jeśli M jest rozmaitością klasy Cr, to TM jest rozmaitością klasy Cr−1.

Zauważmy jeszcze, że rozważana tu wiązka styczna (TM,π,M) pokrywa się z wiązką stycznąwprowadzoną w poprzednim podrozdziale (przy pomocy funkcji przejścia). Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj orazgij(x) : Rn −→ Rn jest określone wzorem

gij(x)(v) = D(ϕij)(ϕj(x))(v),

to (na mocy Stwierdzenia 8.2.4) (x, gij(x)(v)) = ΦiΦ−1j (x, v).

8. Wiązka styczna 53

8.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne

Zdefiniujemy wiązkę styczną do M przy pomocy derywacji x-lokalnych z C(M) do R, gdzie x ∈M . Wiązkę tę oznaczać będziemy (chwilowo) przez WM , a jej włókna przez WxM . Zachowujemypoprzednie oznaczenia TM i TxM dla, dobrze nam znanych, zbiorów klas abstrakcji krzywych naM . Przypomnijmy jeszcze, że przez Dx(C(M)) oznaczamy przestrzeń wektorową nad R, wszystkichderywacji x-lokalnych z C(M) do R.

Definicja 8.3.1.WxM = x × Dx(C(M)), WM =

⋃x∈M

WxM,

p :WM −→M, (x, d) 7−→ x.

Zbiór WM nazywamy wiązką styczną do M .

Odwzorowanie p jest oczywiście surjekcją oraz p−1(x) =WxM .

Podamy szkic dowodu następującego twierdzenia.

Twierdzenie 8.3.2.(a) Na zbiorze WM można wprowadzić topologię taką, że trójka (WM, p,M) stanie się wiązką

wektorową nad M (w sensie topologicznym).(b) Przestrzeń topologiczna WM , z topologią wprowadzoną w (a), ma naturalną strukturę rozma-

itości gładkiej taką, że odwzorowanie p jest gładkie.(c)Wiązka styczna (TM,π,M), wprowadzona w poprzednim podrozdziale, jest izomorficzna z wiąz-

ką (WM, p,M).

Szkic dowodu. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą rozmaitości M . Mamy wtedy równość

p−1(Ui) =⋃x∈Ui

WxM.

Przypomnijmy (patrz Podrozdział 7.3), że jeśli x ∈ Ui oraz d ∈ Dx(C(M)), to

d = d(ϕ[1]i )∆ϕi1 + · · ·+ d(ϕ

[n]i )∆

ϕin ,

gdzie ∆ϕi1 , . . . ,∆ϕin są derywacjami x-lokalnymi tworzącymi bazę przestrzeni Dx(C(M)) nad R, nato-

miast ϕ[1]i , . . . , ϕ[n]i :M −→ R są funkcjami gładkimi takimi, że ϕ[j]i | Ui = ϕ

(j)i , dla j = 1, . . . , n, przy

czym (ϕ(1)i , . . . , ϕ(n)i ) = ϕi. Przypomnijmy również, że

∆ϕij (f) =∂fϕ−1

i

∂xj(ϕi(x)), dla f ∈ C(M), j = 1, . . . , n.

Widzimy więc, że z każdą derywacją d ∈ Dx(C(M)) stowarzyszony jest wektor

(d(ϕ[1]i ), . . . , d(ϕ[n]i )) ∈ Rn.

Wektor ten zależy oczywiście od wybranej mapy (Ui, ϕi) punktu x.

Definiujemy teraz odwzorowanie

Φi : p−1(Ui) −→ Ui × Rn,

przyjmując, dla (x, d) ∈WxM ,

Φi(x, d) = (x, (d(ϕ[1]i ), . . . , d(ϕ

[n]i )).

Jest jasne, że odwzorowania postaci Φi są bijekcjami.


W zbiorze WM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi orazfunkcja p są ciągłe. Zbiory otwarte w WM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆p−1(Ui) takich, że zbiór Φj(Wj) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π−1(Ui) −→ Ui×Rnsą homeomorfizmami. Zatem trójka (WM, p,M) jest wiązką wektorową nad M .

Wprowadzimy teraz na WM strukturę różniczkową. Atlas dla WM konstruujemy dokładnie taksamo, jak atlas dla wiązki stycznej TM , z poprzedniego podrozdziału. Powtórzmy to jeszcze raz.Niech Ψi : p−1(Ui) −→ R2n będzie złożeniem

p−1(Ui)Φi−→ Ui × Rn ϕi×1−→ Rn × Rn.

Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem.Teraz wykazuje się następujące dwa stwierdzenia, które są dokładnie takie same, jak odpowiednie

stwierdzenia z poprzedniego podrozdziału.

Stwierdzenie 8.3.3. Niech x ∈ Ui ∩ Uj, v ∈ Rn. Wtedy

ΦiΦ−1j (x, v) = (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)).

Stwierdzenie 8.3.4. ΨiΨ−1j (a, v) = (ϕij(a), D(ϕij)(a)(v)).

Stąd widzimy, że wszystkie odwzorowania postaci Ψij = ΨiΨ−1j są klasy C∞. Jeśli więc M jest

rozmaitością gładką wymiaru n, to WM jest też rozmaitością gładką i jej wymiar jest równy 2n.Atlasem rozmaitościWM jest rodzina (p−1(Ui),Ψi)i∈I . Teraz jest oczywiste, że wiązka (WM, p,M)jest izomorficzna z wiązką (TM,π,M). Dowód naszego twierdzenia został więc zakończony.

9. Pola wektorowe i derywacje 55

9 Pola wektorowe i derywacje

9.1 Gładkie wiązki wektorowe

W Rozdziale 5 przedstawiliśmy ogólne pojęcia dotyczące wiązek wektorowych nad przestrzeniamitopologicznymi. W poprzednim rozdziale podaliśmy równoważne opisy wiązki stycznej do rozmitościgładkiej M . Wiązka styczna jest oczywiście wiązką wektorową w sensie Rozdziału 5. Ma ona jednakdodatkowe własności. Przestrzenie topologiczne, występujące w wiązce stycznej, są rozmaitościamigładkimi, a rzutowanie jest odwzorowaniem gładkim. Spełnione są jeszcze inne własności. Każdawiązka styczna jest tzw. wiązką gładką, którą definiuje się następująco.

Definicja 9.1.1 ([4]48). NiechM będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Gładką wiązką wektorowąnad M nazywamy trójkę (E, p,M) taką, że:(1) E jest rozmaitością gładką;(2) p : E −→M jest gładką surjekcją;(3) dla każdego x ∈M , zbiór p−1(x) jest przestrzenią wektorową nad R i topologia tej przestrzeni

jest zgodna z topologią indukowaną z topologii na E;(4) E jest loklanie trywialne, tzn., dla dowlnego x ∈M istnieje zbiór otwarty U ⊆M , zawierający

x taki, że zbiór p−1(U) jest izomorficzny z U × Rn w następującym sensie: istnieje dyfeomorfizmΦ : U × Rn −→ p−1(U) taki, że

(a) pΦ(u, a) = u, dla (u, a) ∈ U × Rn,(b) jeśli u ∈ U , to odwzorowanie Φ(u, ) : Rn −→ p−1(u) jest liniowym izomorfizmem.

Łatwo wykazać:

Stwierdzenie 9.1.2 ([4]48). Jeśli (E, p,M) jest gładką wiązką wektorową nad M i U ⊆ M jestzbiorem otwartym, to trójka (p−1(U), p|U,U) jest gładką wiązką wektorową nad U .

Definicja 9.1.3. Wiązkę (p−1(U), p|U,U) (z powyższego stwierdzenia) oznaczamy przez E|U i na-zywamy ograniczeniem wiązki E do U .

Stwierdzenie 9.1.4. Wiązka styczna do rozmaitości gładkiej M jest gładką wiązką wektorową nadM .

9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych

O przekrojach dla rodzin wektorowych nad przestrzenią topologiczną mówiliśmy w Rozdziale 5. Terazprzedstawimy pewne ogólne własności przekrojów gładkich dla gładkiej wiązki wektorowej.

Niech E = (E, p,M) będzie gładką wiązką wektorową (w sensie definicji z poprzedniego podroz-działu).

Definicja 9.2.1. Przekrojem (gładkim) wiązki E nazywamy każde odwzorowanie gładkie s :M −→ Etakie, że ps = 1M .

Odwzorowanie gładkie s :M −→ E jest więc przekrojem (gładkim) wiązki E, jeśli

s(x) ∈ Ex = p−1(x), dla x ∈M.

Zbiór wszystkich przekrojów gładkich wiązki E oznaczamy przez Γ(E). Przekroje można dodawać imnożyć przez funkcje gładkie z M do R. Jeśli s1, s2, s ∈ Γ(E) oraz f ∈ C(M), to przekroje s1 + s2oraz f · s definiujemy nastąpująco. Jeśli x ∈M , to

(s1 + s2)(x) = s1(x) + s2(x) dodawanie w przestrzeni p−1(x),

(f · s)(x) = f(x)s(s) mnożenie przez skalar w przestrzeni p−1(x).

Stwierdzenie 9.2.2. Zbiór Γ(E) jest C(M)-modułem.


Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 9.2.3 ([4]50). Niech s1, . . . , sn ∈ Γ(E) będą takimi przekrojami, że dla każdego punk-tu x ∈M , wektory s1(x), . . . , sn(x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p−1(x). Wtedy, dla dowolnegoprzekroju s ∈ Γ(E) istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje gładkie α1, . . . , αn ∈ C(M) takie, żes = α1s1 + · · ·+ αnsn.

Stwierdzenie to możemy wysłowić również w następujący sposób.

Stwierdzenie 9.2.4. Załóżmy, że istnieją przekroje s1, . . . , sn ∈ Γ(E) takie, że dla każdego punktux ∈M , wektory s1(x), . . . , sn(x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p−1(x). Wtedy Γ(E) jest modułemwolnym nad C(M) i przekroje s1, . . . , sn tworzą jego bazę.

Przykład 9.2.5. Niech E = M × Rn, p(x, a) = x, gdzie M jest rozmaitością gładką. Trójka E =(M × Rn, p,M) jest gładką wizązką wektorową, zwaną wiązką trywialną. Jeśli e1, . . . , en jest baząprzestrzeni Rn nad R, to odwzorowania si : M −→ M × Rn, si(x) = (x, ei), i = 1, . . . , n tworzą bazęmodułu Γ(E) nad C(M).

Ponieważ każda gładka wiązka wektorowa jest lokalnie trywialna, więc (na mocy powyższego przy-kładu) każda gładka wiązka wektorowa posiada lokalną bazę, tzn.:

Stwierdzenie 9.2.6 ([4]51). Niech s ∈ Γ(E). Wtedy, dla każdego x ∈ M , istnieje zbiór otwartyU ⊆ M , zwierający x, istnieją przekroje s1, . . . , sn ∈ Γ(E|U) i istnieją jednoznacznie wyznaczonefunkcje gładkie α1, . . . , αn ∈ C(U) takie, że dla wszystkich u ∈ U zachodzi równość:

s(u) = α1(u)s1(u) + · · ·+ αn(u)sn(u).

9.3 Pola wektorowe

Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Mamy wtedy wiązkę styczną TM = (TM,π,M),która jest gładką wiązką wektorową nadM w sensie Definicji 9.1.1. Mamy zatem C(M)-moduł Γ(TM),wszystkich przekrojów tej wiązki.

Definicja 9.3.1. Każdy element modułu Γ(TM) nazywamy polem wektorowym na M .

Polem wektorowym na M jest więc każde odwzorowanie gładkie s : M −→ TM takie, że s(x) ∈TxM , dla wszystkich x ∈M .

Niech Der(C(M)) będzie C(M)-modułem wszystkich R-derywacji pierścienia C(M)) (tzn. R-liniowych odwzorowań z C(M) do C(M), spełniających warunek Leibniza). Udowodnimy następującetwierdzenie.

Twierdzenie 9.3.2. C(M)-moduły Der(C(M)) i Γ(TM) są izomorficzne.

Podamy dwa dowody tego faktu. Najpierw jednak przedstawimy pewne uwagi o derywacjach pier-ścienia C(M).

9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich

Niech, tak jak poprzednio,M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Rozpoczynamy od następującegooczywistego stwierdzenia.

Stwierdzenie 9.4.1. Jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją i x ∈M , to odwzorowanie

dx : C(M) −→ R, f 7−→ d(f)(x),

jest derywacją x-lokalną.

Z tego stwierdzenia oraz Wniosku 7.3.7 otrzymujemy:


Stwierdzenie 9.4.2. Niech d : C(M) −→ C(M) będzie R-derywacją. Niech x ∈ M i niech (U,ϕ)będzie mapą punktu x. Wtedy, dla wszystkich f ∈ C(M), zachodzi równość:

d(f)(x) =∑ni=1

∂fϕ−1

∂xi(ϕ(x))d(ϕ[i])(x).

W szczególności, dla M = Rn (z jednoelementowym atlasem), mamy:

Stwierdzenie 9.4.3. Niech π1, . . . , πn : Rn −→ R będą rzutowaniami. Jeśli d : C(Rn) −→ C(Rn)jest R-derywacją, to

d = d(π1) ∂∂x1 + · · ·+ d(πn)∂∂xn

.

9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie

Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy krzywych. Podamy izomorfizmF : Γ(TM) −→ Der(C(M)).

Istotną rolę odgrywać będzie Lemat 7.5.1 mówiący o tym, że jeśli krzywe σ, τ : J −→ M sąrównoważne i f ∈ C(M), to D(fσ)(0) = D(fτ)(0).Niech s : M −→ TM będzie polem wektorowym na M . Definiujemy wtedy odwzorowanie δs :

C(M) −→ C(M), przyjmując

δs(f)(x) = D(fσ)(0)(e) =d(fσ)dt (0),

dla f ∈ C(M), x ∈ M , gdzie σ : J −→ M jest krzywą taką, że s(x) = [σ] ∈ TxM . Element e jest,tak jak zwykle, ustalonym wektorem bazowym z R1. Definicja ta jest poprawna. Wiemy bowiem, namocy Lematu 7.5.1, że δs(f)(x) nie zależy od wyboru reprezentanta σ.

Lemat 9.5.1. Odwzorowanie δs : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją.

Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M), x ∈M . Wtedy

ds(fg)(x) = D((fg)σ)(0)(e) = D((fσ)(gσ))(0)(e)

= fσ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(fσ)(0)(e)

= f(x)ds(g)(x) + g(x)ds(f)(x) = (fds(g) + gds(f))(x).

Zatem ds(fg) = fds(g) + gds(f).

Lemat 9.5.2. Niech s1, s2, s ∈ Γ(TM), h ∈ C(M). Wtedy:(1) δs1+s2 = δs1 + δs2 ,(2) δhs = hδs.

Dowód. Niech f ∈ C(M), x ∈ M . Niech s1(x) = [σ1], s2(x) = [σ2], s(x) = [σ]. Załóżmy jeszcze,że (U,ϕ) jest mapą punktu x i niech

ρ = ϕ−1(ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x)), ω = ϕ−1(h(x)ϕσ + (1− h(x))ϕ(x)).

Wtedy (s1 + s2)(x) = ([σ1] + [σ2] = [ρ], (hs)(x) = h(x)[σ] = [ω]. Mamy zatem:

(δs1 + δs2)(f)(x) = δs1(f)(x) + δs2(f)(x)

= D(fσ1)(0)(e) +D(fσ2)(0)(e)

= D(fϕ−1ϕσ1)(0)(e) +D(fϕ−1ϕσ2)(0)(e)

=[D(fϕ−1)(ϕ(x)) D(ϕσ1)(0) +D(fϕ−1)(ϕ(x) D(ϕσ2)(0)

](e)

=[D(fϕ−1)(ϕ(x)) (D(ϕσ1)(0) +D(ϕσ2)(0))

](e)

=[D(fϕ−1)(ϕ(x)) (D(ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0))

](e)

= D(fϕ−1(ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0)(e)

= D(fρ)(0)(e)

= δs1+s2(f)(x).


(hδs)(f)(x) = f(x)δs(f)(x)

= h(x)D(fσ)(0)(e)

= h(x)D(fϕ−1ϕσ)(0)(e)

= h(x)D(fϕ−1)(ϕ(x)) D(ϕσ)(0)(e)

= D(fϕ−1)(ϕ(x)) D(h(x)ϕσ + (1− h(x)ϕ(x))(0)(e)

= D(fω)(0)(e)

= δhs(f)(x).

Zatem δs1+s2 = δs1 + δs2 oraz δhs = hδs.

Przypomnijmy, że zerem 0x w TxM jest klasa abstrakcji krzywej stałej J −→ M , t 7→ x. Jeśliσ : J −→ M jest krzywą o środku w x, to [σ] = 0x ⇐⇒ D(ϕσ)(0) = 0, gdzie (U,ϕ) jest mapąpunktu x (wynika to z definicji równoważności krzywych). Zerowym polem wektorowym na M jestwięc odwzorowanie s :−→ TM takie, że s(x) = 0x, dla wszystkich x ∈M .

Lemat 9.5.3. Jeśli δs = 0, to s = 0.

Dowód. Niech x ∈ M , s(x) = [σ] i niech (U,ϕ) będzie mapą punktu x. Musimy pokazać, żeD(ϕσ)(0)(e) = 0. Niech ϕ[1], . . . , ϕ[n] : M −→ R będą funkcjami gładkimi wprowadzonymi w pod-rozdziale 7.3. Ponieważ δs = 0, więc δs(ϕ[j])(x) = 0, czyli D(ϕ[j]σ)(0)(e) = 0, dla j = 1, . . . , n. Wotoczeniu 0 ∈ J zachodzi oczywiście równość ϕσ = (ϕ[1]σ, . . . , ϕ[n]σ). Zatem:

D(ϕσ)(0)(e) =

D(ϕ[1]σ)(0)(e)

...

D(ϕ[1]σ)(0)(e)

=0

...

0

= 0.

Lemat 9.5.4. Jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją, to istnieje doładnie jedno pole wektorowes na M takie, że d = δs.

Dowód. Jedyność wynika z poprzednich lematów. Niech x ∈ M . Zdefiniujemy element s(x) ∈TxM . W tym celu niech (U,ϕ) będzie mapą punktu x i niech ϕ[1], . . . , ϕ[n] :M −→ R będą funkcjamigładkimi wprowadzonymi w Podrozdziale 7.3. Niech

a1 = d(ϕ[1])(x), . . . , an = d(ϕ[n])(x).

Wtedy a = (a1, . . . , an) ∈ Rn. Rozpatrzmy krzywą σx : J −→ M określoną wzorem (dla t bliskichzera):

σx(t) = ϕ−1(at+ ϕ(x)).

Wtedy σx(0) = x. Przyjmujemy: s(x) = [σx]. Nie jest trudno pokazać, że w ten sposób mamy zdefinio-wane odwzorowanie gładkie s :M −→ TM (patrz w jaki sposób określa się strukturę różniczkową nawiązce stycznej TM , zadanej przy pomocy krzywych) i odwzorowanie to spełnia warunek s(x) ∈ TxM ,dla wszystkich x ∈M . Zatem s jest polem wektorowym na M . Należy jeszcze wykazać, że d = δs. Wtym celu wystarczy pokazać, że (przy ustalonym x ∈ M) dla każdego f ∈ C(M) zachodzi równośćd(f)(x) = D(fσx)(0)(e). Jest to konsekwencja Stwierdzenia 9.4.2. Mamy bowiem:

d(f)(x) =∑ni=1

∂fϕ−1

∂xi(ϕ(x))d(ϕ[i])(x)

=∑ni=1

∂fϕ−1

∂xi(ϕ(x))ai

= D(fϕ−1)(ϕ(x))(a1, . . . , an)

= D(fϕ−1)(ϕ(x))D(ϕσx)(0)(e)

= D(fσx)(0)(e).

Z powyższych czterech lematów otrzymujemy:


Wniosek 9.5.5. Odwzorowanie F : Γ(TM) −→ Der(C(M)), s 7−→ δs, jest izomorfizmem C(M)-modułów.

9.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie

Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy derywacji lokalnych. Podamy izo-morfizm G : Der(C(M)) −→ Γ(WM).

Wiemy, że jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją, to dla każdego punktu x ∈M , odwzorowanie

dx : C(M) −→ R, f 7−→ d(f)(x),

jest derywacją x-lokalną. Z każdą więc derywacją d ∈ Der(C(M)) stowarzyszone jest odwzorowanie

sd :M −→WM, sd(x) = (x, dx), dla x ∈M.

Spełniony jest wtedy warunek sd(x) ∈ WxM (dla wszystkich x ∈ M) i można udowodnić, że s jestodwzorowaniem gładkim. Mamy zatem:

Lemat 9.6.1. sd ∈ Γ(WM).

Dalej z łatwością dowodzimy:

Lemat 9.6.2. Jeśli d1, d2, d ∈ Der(C(M)), h ∈ C(M), to sd1+d2 = sd1 + sd2 oraz shd = hsd.

Lemat 9.6.3. Jeśli sd = 0, to d = 0.

Teraz wykażemy:

Lemat 9.6.4. Dla każdego pola wektorowego s : M −→ WM istnieje dokładnie jedna R-derywacjad ∈ Der(C(M)) taka, że s = sd.

Dowód. Jedyność wynika z poprzedniego lematu. Ponieważ s jest polem wektorowym więc, dlakażdego x ∈ M , istnieje derywacja x-lokalna δx : C(M) −→ R taka, że s(x) = (x, δx). Definiujemyd : C(M) −→ C(M) przyjmując

d(f)(x) = δx(f), dla f ∈ C(M), x ∈M.

Jest jasne, że d jest R-derywacją oraz s = sd.

Z powyższych czterech lematów otrzymujemy:

Wniosek 9.6.5. Odwzorowanie G : Der(C(M)) −→ Γ(TM), d 7−→ sd, jest izomorfizmem C(M)-modułów.

9.7 Nawias Liego pól wektorowych

Definicja 9.7.1. Algebrą Liego (nad ciałem k) nazywamy przestrzeń liniową L wraz z dwuliniowymdziałaniem [ , ] : L× L −→ L spełniającym warunki:(1) [a, a] = 0, dla a ∈ A,(2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego).

Niech M będzie rozmaitością gładką. Wtedy Der(C(M)) jest algebrą Liego nad R z nawiasem[d1, d2] = d1d2 − d2d1. Wiemy, że C(M)-moduły Γ(TM) i Der(C(M)) są izomorficzne. Są więc toizomorficzne przestrzenie liniowe nad R. Ponieważ druga przestrzeń jest algebrą Liego, więc przestrzeńΓ(TM) też ma strukturę algebry Liego.

Wniosek 9.7.2. Moduł Γ(TM) jest algebrą Liego nad R z nawiasem:

[s1, s2] = s ⇐⇒ [δs1 , δs2 ] = δs,

Dodatkowe informacje na ten temat są w PH431.


9.8 Uwagi

9.1 Dowody następujących dwóch stwierdzeń są w PH1191.

Stwierdzenie 9.8.1. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p,M) jest wiązką nad rozmaitością gładką M . Jeślis(x) 6= 0 dla wszystkich s ∈M , to C(M)-moduł C(M)s jest wolny i s jest jego wolnym generatorem.

Stwierdzenie 9.8.2. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p,M) jest wiązką nad rozmaitością gładką M . Jeśli Mjest przestrzenią parazwartą, to następujące dwa warunki są równoważne.(1) s(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈M ;(2) C(M)-moduł C(M)s jest modułem wolnym będącym składnikiem prostym modułu Γ(E).

9.2 Rozważmy sferę Sn = a ∈ Rn+1; ||a|| = 1. Jest to oczywiście rozmaitość gładka. Korzystając z teoriihomotopii (np. z faktu, że H2(S2) = Z), można udowodnić:

Twierdzenie 9.8.3 (o zaczesaniu). Jeśli s ∈ Γ(TS2n), to istnieje x ∈ S2n takie, że s(x) = 0.

Z tego twierdzenia oraz ze Stwierdzenia 9.8.2 wynika:

Wniosek 9.8.4. Jeżeli n jest liczbą parzystą, to Γ(TSn) nie jest modułem wolnym, a nawet nie posiadawolnego składnika prostego.

10. Działanie funktora na wiązkę 61

10 Działanie*funktora na wiązkę

Przez V oznaczamy kategorię skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad R. Będziemy roz-ważali ciągłe funktory z V do V, tzn. takie funktory F : V −→ V, dla których ciągłe są wszystkieodwzorowania postaci

F | Hom(V, V ′) : Hom(V, V ′) −→ Hom(F (V ), F (V ′))

w przypadku, gdy funktor F jest kowariantny i postaci

F | Hom(V, V ′) : Hom(V, V ′) −→ Hom(F (V ′), F (V )),

gdy funktor F jest kontrawariantny.Zbiory postaci Hom(V, V ′) oraz Hom(F (V ), F (V ′)) lub Hom(F (V ′), F (V )) są przestrzeniami wektorowymi nad R.

Są to więc przestrzenie topologiczne z naturalnymi topologiami przestrzeni wektorowych. Nie jest trudno pokazać, że

każdy addytywny funktor F : V −→ V jest ciągły.

Przedstawimy w skrócie dwa sposoby definiowania działania funktora F na wiązkę. Wspomnimyo przekrojach pewnych wiązek i przypomnimy definicje i własności pewnych znanych funktorów.

10.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia

Niech M będzie rozmaitością gładką.

Definicja 10.1.1 (PH42). Niech E = (E, p,M) będzie wiązką (gładką) wyznaczoną przez funkcjeprzejścia gij : Ui∩Uj −→ AutR(V ), gdzie Ui jest pokryciem trywializującym. Jeśli F : V −→ V jestfunktorem ciągłym, to przyjmujemy

F (E) = (F (E), F (p),M),

gdzie (F (E), F (p),M) jest wiązką o tym samym pokryciu trywializującym Ui i funkcjach przejścia

gij : Ui ∩ Uj −→ AutR(F (V ),

zdefiniowanych (dla każdego x ∈ Ui ∩ Uj) wzorem

gij(x) =

F (gij(x)), gdy F jest funktorem kowariantnym,

F (gji(x)), gdy F jest funktorem kontrawariantnym.

10.2 Definicja poglądowa

Niech E = (E, p,M) będzie wiązką i niech F : V −→ V będzie funktorem ciągłym. Definiujemy wiązkęF (E) = (F (E), F (p),M) przyjmując:

F (E) =⋃x∈M F (Ex).

Odwzorowanie F (p) : F (U) −→ M określamy tak by F (p)−1(x) = F (Ex): jeśli u ∈ F (Ex), toprzyjmujemy F (p)(u) = x.Należy jeszcze wprowadzić topologię w zbiorze F (E). Topologię tę wprowadza się stopniowo w

następujący sposób.

Przypadek 1. E =M × V . Topologię przenosi się poprzez kanoniczne bijekcje:

F (E) =⋃x∈M F (Ex) =

⋃x∈M F (x × V ) ≈

⋃x∈M F (V ) ≈M × F (V ).

Przypadek 2. E ≈M × V . Wykorzystujemy bijekcję F (E) ≈M × F (V ) i stosujemy Przypadek1.

Przypadek 3. E jest dowolne. Jeśli U ⊆M jest zbiorem otwartym oraz E|U ≈ U × V , to mamyindukowany izomorfizm

F (E) | U = F (E|U) ≈ U × F (V ).Podzbiór W ⊆ F (E) jest otwarty o ile, dla każdego zbioru otwartego U ⊆ M takiego, że wiązka E|Ujest trywialna, zbiór W ∩ F (E|U) jest otwarty.


10.3 Wiązka kostyczna

Zastosujemy poprzednie definicje dla wiązki stycznej TM i funktora kontrawariantnego ∗ : V −→ V.Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad R, to V ∗ = HomR(V,R). Jeśli f : V −→ W jest przekształ-ceniem liniowym, to przekształcenie liniowe f∗ :W ∗ −→ V ∗ jest określone wzorem

f∗(α) = α f, dla α ∈W ∗.

Niech M będzie rozmaitością gładką. Zadziałajmy funktorem ∗ na wiązkę styczną TM . Otrzy-mujemy wtedy wiązkę, którą oznaczamy przez (TM)∗ lub TM∗ i nazywamy wiązką kostyczną dorozmaitości M . Mamy wtedy:

TM∗ =⋃x∈M (TxM)∗ (suma rozłączna).

Rzutowanie p : TM∗ −→ M jest takie, że p−1(x) = (TxM)∗, tzn. jeśli u ∈ (TxM)∗, to p(u) =x. Strukturę różniczkową na TM∗ zadajemy podobnie jak strukturę różniczkową na TM . Wiązkakostyczna TM∗ jest wiązką gładką.

C(M)-moduł przekrojów wiązki TM∗ oznaczamy, tak jak zwykle, przez Γ(TM∗). Moduł ten odgry-wać będzie w dalszym ciągu ważną rolę. Nazywa się go modułem form różniczkowych pierwszego rzędu.Tym zajmiemy się później. Przypomnijmy tylko, że przekrojem wiązki TM∗ jest każde odwzorowaniegładkie s :M −→ TM∗ takie, że s(x) ∈ (TxM)∗, dla wszystkich x ∈M .

10.4 Potęga zewnętrzna

Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Rozważmy kowariantny funktor∧p : V −→ V, p-tej potęgi

zewnętrznej. Zadziałajmy tym funktorem na wiązkę styczną lub wiązkę kostyczną do rozmaitościgładkiejM . Otrzymujemy wtedy wiązki gładkie

∧p TM lub∧p TM∗. Dla nas szczególnie interesująca

będzie wiązka∧p TM∗. Mamy tu:∧p TM∗ =

⋃x∈M∧p(TxM)∗ (suma rozłączna).

Rzutowanie p :∧p TM∗ −→ M jest takie, że p−1(x) =

∧p(TxM)∗, tzn. jeśli u ∈ ∧p(TxM)∗, top(u) = x.

C(M)-moduł Γ(TM∗), przekrojów wiązki∧

TM∗ odgrywać będzie w dalszym ciągu ważną rolę.Nazywa się go modułem form różniczkowych p-tego rzędu. Tym zajmiemy się później. Przypomnijmytylko, że przekrojem wiązki

∧p TM∗ jest każde odwzorowanie gładkie s : M −→∧p TM∗ takie, że

s(x) ∈∧p(TxM)∗, dla wszystkich x ∈M .

Nie jest trudno wykazać następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 10.4.1. Istnieje naturalny izomorfizm C(M)-modułów:

Γ(∧p(TM∗)) ≈ ∧p(Γ(TM∗)).

11. Formy różniczkowe 63

11 Formy różniczkowe

11.1 Moduł form różniczkowych

Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą.

Definicja 11.1.1 (PH42). Formą różniczkową p-tego rzędu na M nazywamy każdy przekrój (gład-ki) wiązki

∧p(TM∗).O takich formach wspomnieliśmy już w podrozdziale 10.4.

Formy różniczkowe p-tego rzędu na M to nic innego, jak elementy C(M)-modułu Γ(∧p(TM∗)).

Moduł ten w dalszym ciągu oznaczać będziemy przez Ωp(M) i nazywać modułem form różniczkowychp-tego rzędu na M . Zatem:

Ωp(M) = Γ(∧p(TM∗)).

W szczególności:Ω0(M) = C(M),

Ω1(M) = Γ(TM∗).Nie jest trudno wykazać:

Stwierdzenie 11.1.2. Ωp(M) = Γ(∧p(TM∗)) ≈ ∧p(Γ(TM)∗) ≈ (Γ(∧p(TM)))∗ ≈ · · ·

Z własności p-tej potęgi zewnętrznej wynika:

Stwierdzenie 11.1.3. Jeśli p > dimM , to Ωp(M) = 0.

Jeśli M , N są rozmaitościami gładkimi oraz f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim, to wnaturalny sposób określa się homomorfizm

Ωp(f) : Ωp(N) −→ Ωp(M).

Jest to homomorfizm C(N)-modułów. Moduł Ωp(M) ma strukturę C(N)-modułu, zadaną poprzezR-algebrowy homomorfizm C(f) : C(N) −→ C(M), α 7→ αf .

Przez Ω(M) oznacza się algebrę z gradacją, zwaną algebrą form różniczkowych na M , zdefiniowanąjako:

Ω(M) =⊕p>0 Ω

p(M) =⊕p>0

∧p(Γ(TM)∗).Jest to oczywiście algebra zewnętrzna modułu Γ(TM)∗ = Γ(TM∗). Mnożenie w Ω(M), oznaczaneprzez ∧, określa się tak jak w algebrze zewnętrznej. Jeśli ωp ∈ Ωp(M), ωq ∈ Ωq(M), to ωp ∧ ωq jestelementem w Ωp+q(M) takim, że dla każdego x ∈M ,

(ωp ∧ ωq)(x) = ωp(x) ∧ ωq(x).

11.2 Forma df

Niech M będzie rozmaitością gładką. Jeśli f ∈ C(M), to definiujemy odwzorowanie

df :M −→ TM∗

takie, że dla każdego x ∈M ,(df)(x) : TxM −→ R

jest przekształceniem liniowym. Przyjmujemy:

(df)(x)([σ]) = D(fσ)(0)(1) = d(fσ)dt (0),

gdzie [σ] ∈ TxM . Sprawdzaliśmy już (patrz Lemat 7.5.1), że powyższe określenie jest poprawne;nie zależy od wyboru krzywej σ : J −→ M , reprezentującej element [σ]. Wykazuje się prosto, żedf :M −→ TM∗ jest odwzorowaniem gładkim. Mamy więc:


Stwierdzenie 11.2.1. Jeśli f ∈ C(M), to df ∈ Ω1(M).

Przypomnijmy, że Ω0(M) = C(M). Mamy zatem odwzorowanie

d : Ω0(M) −→ Ω1(M), f 7−→ df.

Łatwo sprawdzić:

Stwierdzenie 11.2.2. Jeśli f, g ∈ C(M), r ∈ R, to:(1) d(f + g) = df + dg,(2) d(rf) = r(df),(3) d(fg) = fdg + gdf .

Następny fakt ma również prosty dowód.

Twierdzenie 11.2.3. Niech ω ∈ Ωp(M). Dla każdego punktu x ∈M istnieje otoczenie otwarte U 3 xi istnieje forma ω′ ∈ Ωp(U) postaci

ω′ =∑k f0k(df1k) ∧ · · · ∧ (dfpk)

takie, że wszystkie elementy postaci fik należą do C(U) oraz ω | U = ω′.

11.3 Kompleks de Rhama

Niech M będzie rozmaitością gładką.

Twierdzenie 11.3.1. Istnieje dokładnie jeden ciąg odwzorowań liniowych (nad R)

dp : Ωp(M) −→ Ωp+1(M), (p = 0, 1, . . . )

taki, że:(1) d0 = d,(2) d1d0 = 0,(3) dp+q(ωp ∧ ωq) = dp(ωp) ∧ ωq + (−1)pωp ∧ dq(ωq).

Odwzorowania dp spełniają ponadto własności:(4) dp+1dp = 0,(5) jeśli f :M −→ N jest odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich, to

dpMΩp(f) = Ωp+1(f)dpN .

Mamy zatem kompleks

0 −→ Ω0(M) d0−→ Ω1(M) d1−→ Ω2(M) −→ . . .

Jest to tzw. kompleks de Rhama. Oznacza się go (tak jak algebrę form różniczkowych) przez Ω(M).Moduły Hp(Ω(M)) nazywa się p-wymiarowymi grupami (przestrzeniami) kohomologii rozmaitości Mo współczynnikach w R i oznacza się je zwykle przez Hp(M,R).

12. Rozmaitość Rn 65

12 Rozmaitość Rn

Przestrzeń Rn jest n-wymiarową rozmaitością gładką z jednoelementowym atlasem (Rn, id). Dla tejrozmaitości opiszemy wszystkie wprowadzone wcześniej pojęcia. Podamy też pewne specjalne własno-ści tej rozmaitości.

12.1 Krzywe i przestrzeń styczna

Niech J = (−1, 1). Każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn, o środku w punkcieσ(0).Jeśli σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn, to σ = (σ1, . . . , σn), gdzie σ1, . . . , σn : J −→ R są funkcjami

gładkimi. Wówczas różniczka odwzorowania σ w punkcie 0 jest przekształceniem liniowym (nad R)D(σ)(0) : R1 −→ Rn, o n× 1 macierzy [dσidt (0)]. Jeśli więc e ∈ R, to

D(σ)(0)(e) = (dσ1dt (0)e, . . . ,dσndt (0)e) = e(

dσ1dt (0), . . . ,

dσndt (0)).

Dwie krzywe σ = (σ1, . . . , σn), τ = (τ1, . . . , τn) : J −→ Rn są równoważne ⇐⇒ σ(0) = τ(0)oraz D(σ)(0) = D(τ)(0), a zatem ⇐⇒ σi(0) = τi(0) (dla i = 1, . . . , n) oraz dσidt (0) =

dτidt (0) (dla

i = 1, . . . , n).

Niech p ∈ Rn będzie ustalonym punktem.

Wiemy, że przestrzeń styczna TpRn jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji zbioru krzywych ośrodku w p, względem powyższej relacji równoważności. Dodawanie i mnożenie przez skalar w TpRndefiniuje się następująco. Jeśli σ, τ : J −→ Rn są krzywymi o środku w p oraz r ∈ R, to

[σ] + [τ ] = [σ + τ − p], r[σ] = [rσ + (1− r)p].

Zerem w TpRn jest klasa abstrakcji krzywej stałej p : J −→ Rn.

Jeśli a = (a1, . . . , an) ∈ Rn, to definiujemy krzywą a(p) : J −→ Rn przyjmując:

a(p)(t) = ta+ p, dla t ∈ J.

Krzywe tego rodzaju wprowadziliśmy w podrozdziale 7.4. Oznaczaliśmy je przez aϕ. Przypomnijmyzatem (co łatwo sprawdzić bezpośrednio), że jeśli a, b ∈ Rn i r ∈ R, to

[a(p)] + [b(p)] = [(a+ b)(p)], r[a(p)] = [(ra)(p)].

Zauważmy, że [0(p)] jest zerem w TpRn. Dla każdej krzywej σ : J −→ Rn, o środku w p, istniejedokładnie jeden wektor a ∈ Rn taki, że [σ] = [a(p)]. Wektorem tym jest a = D(σ)(0)(1). Widzimyzatem, że przyporządkowanie a 7→ [a(p)] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych Rn i TpRn.

W dalszym ciągu możemy więc utożsamiać:

TpRn = p × Rn.

Przy takim utożsamieniu stuktura przestrzeni liniowej na TpRn przedstawia się następująco:

(p, a) + (p, b) = (p, a+ b), r(p, a) = (p, ra), (12.1)

dla wszystkich a, b ∈ Rn, r ∈ R.

Chcąc zrozumieć strukturę różniczkową przestrzeni Rn nie musimy znać wszystkich ogólnych de-finicji i konstrukcji, wprowadzonych wcześniej. Przestrzeń styczną TpRn możemy zdefiniować tak, jakpowyżej, tzn. TpRn = p × Rn i działania w TpRn są zdefiniowane wzorami (12.1). Taką definicjęznajdziemy np. w [25].


12.2 Derywacje lokalne

Niech p ∈ Rn. Rozważmy przestrzeń liniową Dp(C(Rn)), wszystkich derywacji p-lokalnych z C(Rn) doR. Elementami tej przestrzeni są w szczególności derywacje p-lokalne ∆(p)1 , . . . ,∆(p)n : C(Rn) −→ R,określone wzorem:

∆(p)i (f) =∂f∂xi(p), dla f ∈ C(Rn), i = 1, . . . , n.

(Derywacje te oznaczaliśmy wcześniej odpowiednio przez ∆ϕi ).

Oznaczmy przez π1, . . . , πn : Rn −→ R rzutowania. Z faktów udowodnionych Rozdziale 7 otrzy-mujemy:

Twierdzenie 12.2.1. Derywacje ∆(p)1 , . . . ,∆(p)n tworzą bazę przestrzeni Dp(C(Rn)) nad R.

Twierdzenie 12.2.2. Jeśli d : C(Rn) −→ R jest derywacją p-lokalną, to

d = d(π1)∆(p)1 + · · ·+ d(πn)∆(p)n .

Wniosek 12.2.3. Jeśli d : C(Rn) −→ R jest derywacją p-lokalną, to

d(f) = d(π1)∂f∂x1(p) + · · ·+ d(πn) ∂f∂xn (p), dla f ∈ C(Rn).

Twierdzenie 12.2.4. Przestrzeń styczna TpRn = p × Rn jest izomorficzna z przestrzeniąDp(C(Rn)). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie

(p, (a1, . . . , an)) 7−→ a1∆(p)1 + · · ·+ an∆(p)m .

12.3 Derywacje

W Podrozdziale 9.4 wykazaliśmy:

Stwierdzenie 12.3.1. Jeśli d : C(Rn) −→ C(Rn) jest R-derywacją, to

d = d(π1) ∂∂x1 + · · ·+ d(πn)∂∂xn

.

Z faktu tego wynika:

Twierdzenie 12.3.2. Der(C(Rn)) jest C(Rn)-modułem wolnym rangi n. Jego bazę tworzą pochodnecząstkowe ∂

∂x1, . . . , ∂∂xn .

Zajmujemy się funkcjami gładkimi, tzn. funkcjami klasy C∞. Rozważmy teraz przez momentfunkcje klasy Cr, gdzie r <∞. JeśliM jest rozmaitością odpowiedniej klasy (np. rozmaitością gładką),to przez Cr(M) oznaczamy R-algebrę wszystkich funkcji zM do R klasy Cr. W szczególności C0(M) =C[M ] jest R-algebrą wszystkich funkcji ciągłych.Udowodniliśmy, że jedyną R-derywacją R-algebry C0(M) jest derywacja zerowa (Stwierdzenie

4.3.7). Opiszemy teraz drogę, która może doprowadzić do dowodu, że tę samą własność mają R-algebry postaci Cr(M), gdzie r <∞. Wyjaśnimy to w przypadkuM = Rn. Uzasadnienie dla dowolnejrozmaitości M jest w [1] 235-237.Wszystkie derywacje rozpatrywane do tej pory były odwzorowaniami z pierścienia do tego samego

pierścienia. Można badać derywacje w nieco szerszym sensie. Załóżmy, że A ⊂ B są R-algebrami(np. przemiennymi z jedynkami). Derywacją z A do B nazywamy każde R-liniowe odwzorowanied : A −→ B takie, że d(xy) = xd(y) + d(x)y, dla wszystkich x, y ∈ A. Rozpatrzmy w szczególnościR-algebry A = Cr+1(Rn) i B = Cr(Rn). Jest oczywiste, że Cr+1(Rn) ⊂ Cr(Rn). Pochodne cząstkowe∂∂x1

, . . . , ∂∂xn są derywacjami z Cr+1(Rn) do Cr(Rn). Powtarzając dowody faktów, które doprowadziły

do Stwierdzenia 12.3.1 (rozpoczynając od Lematu 7.3.1) i zamieniając przy tym odwzorowania gładkiena odwzorowania odpowiedniej klasy, otrzymujemy:


Lemat 12.3.3. Jeśli d : Cr+1(Rn) −→ Cr(Rn) jest derywacją, to

d = f1 ∂∂x1 + · · ·+ fn∂∂xn

,

gdzie f1, . . . , fn ∈ Cr(Rn).

Stwierdzenie 12.3.4. Jedyną derywacją R-algebry Cr+1(Rn), gdzie r <∞, jest derywacja zerowa.

Dowód (szkic wymagający wyszlifowania). Niech d : Cr+1(Rn) −→ Cr+1(Rn) będzie R-derywacją. Ponieważ Cr+1(Rn) ⊂ Cr(Rn), więc derywacja d jest, na mocy poprzedniego lematu,postaci d = f1 ∂∂x1 + · · ·+fn

∂∂xn, gdzie f1, . . . , fn ∈ Cr(Rn). Jeśli d 6= 0, to istnieje (o czym zapewniają

autorzy pracy [1] 237, nie podając jednak dowodu) funkcja g ∈ Cr+1(Rn) taka, że d(g) ∈ Cr(Rn) rCr+1(Rn).

12.4 Wiązka styczna

Wiązką styczną do Rn jest trójka (TRn = R2n, p,Rn), gdzie p : Rn ×Rn −→ Rn jest rzutowaniem(a, b) 7→ a. Jeśli x ∈ Rn, to włókno p−1(x) jest przestrzenią styczną TxRn = x×Rn. Wiązka stycznaTRn jest oczywiście wiązką trywialną.

12.5 Pola wektorowe

Polem wektorowym na Rn jest każde odwzorowanie gładkie s : Rn −→ TRn = R2n takie, że dlakażdego x ∈ Rn, s(x) ∈ TxRn = x × Rn. Zbiór wszystkich pól wektorowych na Rn jest C(Rn)-modułem, oznaczanym przez Γ(TRn).Niech s : Rn −→ R2n będzie polem wektorowym na Rn. Wtedy, dla każdego x ∈ Rn, mamy

równość:s(x) = (x, (s1(x), . . . , sn(x))), (12.2)

gdzie s1(x), . . . , sn(x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Z polem s stowarzyszone są więc jedno-znacznie wyznaczone funkcje s1, . . . , sn : Rn −→ R. Ponieważ s, jako pole wektorowe, jest odwzoro-waniem gładkim, więc funkcje s1, . . . , sn również są gładkie. Zachodzi też oczywiście odwrotnie; każdyciąg s1, . . . , sn, funkcji gładkich z Rn do R, wyznacza dokładnie jedno pole wektorowe na Rn, określonewzorem (12.2).Oznaczmy s = (s1, . . . , sn). Wtedy s : Rn −→ Rn. Z tego co powiedzieliśmy powyżej wynika, że

s : Rn −→ R2n jest polem wektorowym na Rn dokładnie wtedy, gdy odwzorowanie s jest gładkie.Zapamiętajmy zatem:

Stwierdzenie 12.5.1. Odwzorowanie s : Rn −→ R2n jest polem wektorowym na Rn wtedy i tylkowtedy, gdy istnieje (dokładnie jedno) odwzorowanie gładkie s : Rn −→ Rn takie, że

s(x) = (x, s(x)),

dla wszystkich x ∈ Rn, tzn. s = (id, s).

Wiemy, że C(Rn)-moduł Γ(TRn) jest izomorficzny z C(Rn)-modułem Der(C(Rn)), wszystkichR-derywacji pierścienia C(Rn). Tak jest dla każdej rozmaitości gładkiej. W naszym przypadku mamy:

Stwierdzenie 12.5.2. Odwzorowanie Γ(TRn) −→ Der(C(Rn)), określone wzorem

s = (id, (s1, . . . , sn)) 7−→ s1∂∂x1+ · · ·+ sn ∂∂xn ,

jest izomorfizmem C(Rn)-modułów.

Przypomnijmy jeszcze raz, że Γ(TRn) jest C(Rn)-modułem wolnym rangi n. Wynika to na przykładz powyższego stwierdzenia, gdyż wiemy już, że Der(C(Rn)) jest C(Rn)-modułem wolnym rangi n.Wynika to również z (prostego w dowodzie) ogólnego faktu: moduł przekrojów wiązki trywialnej jestwolny.


12.6 Nawias Liego pól wektorowych

Wiemy (patrz Podrozdział 9.7), że jeśliM jest rozmaitością gładką, to moduł Γ(TM), pól wektorowychna M , jest algebrą Liego nad R z nawiasem:

[s1, s2] = s ⇐⇒ [δs1 , δs2 ] = δs.

Poniższe stwierdzenie opisuje ten nawias w przypadku, gdy M = Rn.

Stwierdzenie 12.6.1 (PH433). Niech s = (id, (s1, . . . , sn)), t = (id, (t1, . . . , tn)) będą polami wek-torowymi na Rn. Wtedy [s, t] = (id, (u1, . . . , un)), gdzie

uj =∑ni=1

(∂tj∂xi

si − ∂sj∂xi ti), j = 1, . . . , n.

Dowód. Rozpatrzmy derywacje δs, δt oraz δ = δ[s,t] = [δs, δt]. Wiemy, że:

δs =∑ni=1 si

∂∂xi

, δt =∑ni=1 ti

∂∂xi

, δ =∑ni=1 ui

∂∂xi

.

Niech f ∈ C(Rn). Mamy wtedy:∑nj=1 uj

∂f∂xj

= δ(f) = [δs, δt](f) = δs (δt(f))− δt (δs(f))

= δs

(∑nj=1

∂f∂xj

tj

)− δt(∑n

j=1∂f∂xj

sj

)=∑nj=1

[∂f∂xj

δs(tj) + tjδs(∂f∂xj)− ∂f

∂xjδt(sj)− sjδt( ∂f∂xj )

]=∑nj=1

∑ni=1

[∂f∂xj

∂tj∂xi

si + tj∂2f∂xj∂xi

si − ∂f∂xj

∂sj∂xi

ti − sj ∂2f

∂xj∂xiti

]=∑nj=1

(∑ni=1

(∂tj∂xi

si − ∂sj∂xi ti))

∂f∂xj

i stąd wynika teza.

12.7 Forma df

Niech f : Rn −→ R będzie funkcją gładką. W Podrozdziale 11.2 zdefiniowaliśmy odwzorowanie gładkie

df : Rn −→ (TRn)∗

takie, że dla każdego x ∈ Rn,(df)(x) : TxRn −→ R

jest przekształceniem liniowym. Odwzorowanie to określiliśmy wzorem

(df)(x)([σ]) = D(fσ)(0)(1) = d(fσ)dt (0), gdzie [σ] ∈ TxRn.

Wiemy, że TxRn = x × Rn. Wiemy też, że każdy element postaci (x, a) ∈ TxRn, to nic innego,jak klasa abstrakcji krzywej a(x) : J −→ Rn, t 7→ ta+ x. Mamy zatem:

(df)(x)(x, a) = df(at+x)dt (0) = ∂f∂x1(x)a1 + · · ·+ ∂f

∂xn(x)an.

W przypadku rozmaitości Rn nie musimy znać wcześniejszych ogólnych pojęć, by zrozumieć co tojest df . Odwzorowanie to można zdefiniować następująco.

Definicja 12.7.1. Jeśli f ∈ C(Rn), to przez df oznaczamy odwzorowanie z Rn do (TRn)∗ takie, żedla każdego x ∈ Rn, (df)(x) jest elementem przestrzeni (TxM)∗ (czyli jest przekształceniem liniowymz x × Rn do R) określonym wzorem

(df)(x)(x, a) = ∂f∂x1(x)a1 + · · ·+ ∂f

∂xn(x)an, (12.3)

dla wszystkich (x, a) ∈ TxRn.


W szczególności dla rzutowań π1, . . . , πn : Rn −→ R mamy:

(dπi)(x)(x, a) = ai, i = 1, . . . , n.

Niech e1, . . . , en będzie standardową bazą przestrzeni Rn nad R. Wtedy, dla każdego x ∈ Rn,wektory (x, e1), . . . , (x, en) stanowią bazę przestrzeni TxRn = x × Rn. Przez εx1 , . . . , εxn oznaczaćbędziemy bazę dualną w TxRn, tzn. εx1 , . . . , εxn : TxRn −→ R są przekształceniami liniowymi (nad R)takimi, że

εxi (x, ej) = δij ,

gdzie δij jest deltą Kroneckera.

Lemat 12.7.2. εxi = (dπi)(x), dla i = 1, . . . , n.

Dowód. εxi (x, ej) = δij = (dπi)(x)(x, ej).

Z równości (12.3) wynika, że dla każdego x ∈ Rn i dla każdego (x, a) ∈ TxRn zachodzi równość:

(df)(x)(x, a) = ∂f∂x1(x)(dπ1)(x)(x, a) + · · ·+ ∂f

∂xn(x)(dπn)(x)(x, a).

Stąd dalej wynika, że dla każdego x ∈ Rn, zachodzi następująca równość elementów z (TxRn)∗:

(df)(x) = ∂f∂x1(x)(dπ1)(x) + · · ·+ ∂f

∂xn(x)(dπn)(x).

Elementy postaci df należą oczywiście do C(Rn)-modułu Ω1(Rn). Widzimy zatem, że w Ω1(Rn) mamyrówność:

Stwierdzenie 12.7.3. df = ∂f∂x1

dπ1 + · · ·+ ∂f∂xn

dπn.

W analizie matematycznej powyższą równość zapisuje się często w postaci

df = ∂f∂x1

dx1 + · · ·+ ∂f∂xn

dxn,

rozumiejąc przez to formalną sumę ze współczynnikami. Elementy dx1, . . . , dxn są w takim zapisietylko pewnymi symbolami. Widzimy zatem, że symbole te mają swoje znaczenie, są to po prostuodwzorowania dπ1, . . . , dπn.

12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu

W tym podrozdziale opiszemy C(Rn)-moduł Ω(Rn) = Γ((TRn)∗, form różniczkowych 1-go rzędu naRn.Przypomnijmy, że formą różniczkową 1-go rzędu na Rn nazywamy każde odwzorowanie gładkie

ω : Rn −→ (TRn)∗ takie, że ω(x) ∈ (TxRn)∗, dla wszystkich x ∈ Rn.Każde odwzorowanie postaci df , gdzie f ∈ C(Rn) (którym zajmowaliśmy się w poprzednim pod-

rozdziale) jest przykładem takiej formy różniczkowej. Powiemy więc, że df ∈ Ω1(Rn). Co więcej,ponieważ Ω1(Rn) jest C(Rn)-modułem, więc każde odwzorowanie postaci

g1df1 + · · ·+ gkdfk, f1, g1, . . . , fk, gk ∈ C(Rn)

jest formą różniczkową 1-go rzędu na Rn.Czy są inne przykłady? Pokażemy, że nie ma.Niech ω ∈ Ω1(Rn). Niech x ∈ Rn. Wtedy ω(x) ∈ (TxRn)∗. Przypomnijmy (patrz poprzedni

podrozdział), że przekształcenia εx1 , . . . , εxn tworzą bazę przestrzeni (TxRn)∗ nad R. Zatem

ω(x) = w1(x)εx1 + · · ·+ wn(x)εxn, (12.4)

gdzie w1(x), . . . , wn(x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Tak jest dla każdego x ∈ Rn. Pojawiłynam się zatem funkcje w1, . . . , wn : Rn −→ R. Pamiętajmy jednak, że ω : Rn −→ (TRn)∗ jestodwzorowaniem gładkim. Wnikając w struktuę (TRn)∗, jako rozmaitości gładkiej, stwierdzamy, żeodwzorowania w1, . . . , wn są gładkie. Zatem w1, . . . , wn ∈ C(Rn). Wiemy jednak, że εxi = dπi(x),dla i = 1, . . . , n. Zatem ω = w1dπ1 + · · · + wndπn, gdzie w1, π1, . . . , wn, πn ∈ C(Rn). W ten sposóbwykazaliśmy:


Stwierdzenie 12.8.1. Moduł Ω1(Rn) jest generowany nad C(Rn) przez formy postaci df , gdzie f ∈C(Rn).

Pokazaliśmy nawet więcej:

Stwierdzenie 12.8.2. Formy dπ1, . . . , dπn generują C(Rn)-moduł Ω1(Rn).

Jest oczywiste, że formy dπ1, . . . , dπn są liniowo niezależne nad C(Rn). Mamy zatem:

Twierdzenie 12.8.3. Ω1(Rn) jest C(Rn)-modułem wolnym rangi n. Formy dπ1, . . . , dπn tworzą jegobazę.

Uwaga 12.8.4. Formy różniczkowe (gładkie) 1-go stopnia na Rn można zdefiniować inaczej, nie powołując się przytym na wcześniejsze ogólne pojęcia. Potraktujmy wiązkę (TRn)∗ jako zwykłą mnogościową sumę (rozłączną) wszystkichprzestrzeni liniowych postaci (TxRn)∗ = (x × Rn)∗. Niech ω : Rn −→ (TRn)∗ będzie zwykłą funkcją spełniającąwarunek: ω(x) ∈ (TRn)∗, dla x ∈ Rn. Wówczas, dla każdego x ∈ Rn istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby rzeczy-wiste w1(x), . . . , wn(x) takie, że zachodzi równość (12.4). Mówimy, że ω jest formą różniczkową 1-go rzędu na Rn, jeśliwszystkie funkcje w1, . . . , wn : Rn −→ R są gładkie. Taką definicję spotykamy np. w [25].

Wiemy, że odwzorowanie d : C(Rn) −→ Ω1(Rn), f 7→ df jest R-derywacją C(Rn)-modułu Ω1(Rn).

Twierdzenie 12.8.5. Para (Ω1(Rn), d) jest modułem różniczek R-algebry C(Rn), w sensie definicjipodanej w [19].

Dowód. Niech M będzie C(Rn)-modułem i niech ∆ : C(Rn) −→ M będzie jego R-derywacją.Oznaczmy

m1 = ∆(π1), . . . , mn = ∆(πn).

Ponieważ (jak wykazaliśmy) Ω1(Rn) jest modułem wolnym nad C(Rn) z bazą dπ1, . . . , dπn, więcistnieje dokładnie jeden C(Rn)-homomorfizm F : Ω1(Rn) −→ M taki, że F (dπi) = mi, dla i =1, . . . , n. Zatem (F d)(πi) = ∆(πi) dla i = 1, . . . , n, czyli F d = ∆.

Pytanie 12.8.6. Czy powyższe twierdzenie prawdziwe jest dla dowolnej rozmaitości gładkiej?

12.9 Formy wyższych rzędów

Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Pamiętamy, że formą różniczkową rzędu p na Rn nazywamykażdy element C(Rn)-modułu

Ωp(Rn) =∧p(Γ((TRn)∗)) =

∧pΩ1(Rn).Ponieważ moduł Ω1(Rn) jest wolny i jego bazą jest dπ1, . . . , dπn, więc struktura C(Rn)-modułuΩ1(Rn) jest dość oczywista.

Stwierdzenie 12.9.1. Każda forma różniczkowa ω rzędu p na Rn ma jednoznaczne przedstawieniew postaci

ω =∑16i1<···<ip6n wi1...ipdπi1 ∧ · · · ∧ dπip , (12.5)

gdzie wszystkie elementy postaci wi1...ip są gładkimi funkcjami z Rn do R, czyli są elementami algebryC(Rn).

Stwierdzenie powyższe można przyjąć za definicję różniczkowej formy (gładkiej) rzędu p na Rn. Z taką definicją

spotykamy się np. w [25].

Wniosek 12.9.2. Ωp(Rn) jest C(Rn)-modułem wolnym rangi(np

).


12.10 Kompleks de Rhama

Spójrzmy na Twierdzenie 11.3.1. Wiemy, na mocy tego twierdzenia, że istnieje dokładnie jeden ciągodwzorowań liniowych (nad R)

dp : Ωp(Rn) −→ Ωp+1(Rn), (p = 0, 1, . . . )

taki, że:(1) d0 = d,(2) d1d0 = 0,(3) dp+q(ωp ∧ ωq) = dp(ωp) ∧ ωq + (−1)pωp ∧ dq(ωq), dla ωp ∈ Ωp(Rn), ωq ∈ Ωq(Rn).

Odwzorowania dp spełniają ponadto własność:(4) dp+1dp = 0.

Odwzorowania postaci dp można zdefiniować następująco.

Definicja 12.10.1. Niech ω ∈ Ωp(Rn). Załóżmy, że forma ω ma przedstawienie

ω =∑16i1<···<ip6n wi1...ipdπi1 ∧ · · · ∧ dπip ,

gdzie wi1...ip ∈ C(Rn). Wtedy dp(ω) ∈ Ωp+1(Rn) określamy wzorem

dp(ω) =∑16i1<···<ip6n dwi1...ip ∧ dπi1 ∧ · · · ∧ dπip .

W standardowy sposób sprawdza się (patrz np. [25]), że tak zdefiniowane odwzorowania d0, d1, . . .spełniają warunki Twierdzenia 11.3.1.

W dalszym ciągu wszystkie odwzorowania d0, d1, . . . (o ile nie doprowadzi to do nieporozumień)oznaczać będziemy przez d. W szczególności własność (4) zapisywać będziemy jako dd = 0.

Definicja 12.10.2 ([25]). Mówimy, że forma ω ∈ Ωp(Rn) jest zamknięta, jeśli dω = 0. Mówimy, żeforma ω ∈ Ωp(Rn) jest dokładna, jeśli istnieje forma η ∈ Ωp−1(Rn) taka, że ω = dη.

Stwierdzenie 12.10.3. Każda forma dokładna jest zamknięta.

Dowód. ddω = 0.

Można się spytać czy zachodzi stwierdzenie odwrotne, tzn.:

Pytanie 12.10.4. Czy każda forma zamknięta jest dokładna?

Podamy odpowiedź na to pytanie.

Przykład 12.10.5. Rozpatrzmy R2. Rzutowania π1, π2 : R1 −→ R oznaczmy odpowiednio przez xi y. Niech ω ∈ Ω1(R2). Wiemy, że

ω = Pdx+Qdy,

gdzie P,Q : R2 −→ R są jednoznacznie wyznaczonymi funkcjami gładkimi. Mamy zatem

dω = dP ∧ dx+ dQ ∧ dy

= (∂P∂x dx+∂P∂y dy) ∧ dx+ (

∂Q∂x dx+

∂Q∂y dy) ∧ dy

= (∂Q∂x −∂P∂y )dx ∧ dy.

Stąd wynika, żedω = 0 ⇐⇒ ∂P

∂y =∂Q∂x .

Korzystając z tego można łatwo wykazać (patrz [25]), że forma ω jest zamknięta wtedy i tylko wtedy,gdy jest dokładna.


W przypadku, gdy ω ∈ Ω1(R2), to (jak pokazuje powyższy przykład) odpowiedź na Pytanie 12.10.4jest pozytywna.

Wszystkie rozważane w tym rozdziale pojęcia mają podobne interpretacje, gdy zamiast rozma-itości Rn rozpatrzymy otwarty podzbiór U w Rn. Wówczas odpowiedź na pytanie 12.10.4 może byćnegatywna.

Przykład 12.10.6 ([25]102). Niech U = R2 r (0, 0). Forma

ω = −yx2+y2 dx+

xx2+y2 dy

jest zamknięta ale nie jest dokładna.

Definicja 12.10.7 ([25]). Mówimy, że podzbiór U ⊆ Rn jest gwiaździsty, jeśli z tego, że x ∈ Uwynika, że odcinek łączący punkty 0 i x jest zawarty w U .

Twierdzenie 12.10.8 (Lemat Poincarego). Jeśli U ⊆ Rn jest otwartym zbiorem gwiaździstym,to każda forma różniczkowa zamknięta na U jest dokładna.

Dowód. Patrz Spivak [25] 103.

Cała rozmaitość Rn jest oczywiście zbiorem gwiaździstym. Mamy zatem odpowiedź na Pyta-nie 12.10.4.

Wniosek 12.10.9. Jeśli ω ∈ Ωp(Rn), to ω jest formą zamkniętą wtedy i tylko wtedy, gdy jest formądokładną.

Stąd dalej wynika:

Wniosek 12.10.10. Kompleks de Rhama

. . . −→ Ωp(Rn) dp−→ Ωp+1(Rn) dp+1−→ Ωp+2(Rn) −→ . . .

jest dokładny.

13. Całkowanie pól wektorowych 73

13 Całkowanie pól wektorowych

13.1 Krzywa całkowa pola wektorowego

Niech J = (−1, 1) ⊂ R będzie otwartym odcinkiem. Odcinek ten jest jednowymiarową rozmaitościągładką (z jednoelementowym atlasem). Wiązka styczna TJ jest zbiorem wszystkich klas abstrakcjikrzywych (gładkich) na J , tzn. odwzorowań gładkich z J do J .

Jeżeli a ∈ R1, to przez εa : J −→ R1 oznaczmy krzywą określoną wzorem εa(t) = a+ t, dla t ∈ J .Jest to krzywa o środku w punkcie a = εa(0). Przez ε oznaczamy przekrój

ε : J −→ TJ, a 7−→ [εa].

Załóżmy, że M jest rozmaitością gładką.

Definicja 13.1.1. Jeśli σ : J −→M jest krzywą na M to przez σ′ oznaczamy odwzorowanie

Jε−→ TJ T(σ)−→ TM,

tzn. σ′(a) = [σεa], dla a ∈ J .

Jeśli s :M −→ TM jest polem wektorowym na M oraz σ : J −→M jest krzywą na M , to mamyodwzorowanie

Jσ−→ M

s−→ TM.

Mamy więc wtedy dwa odwzorowania gładkie σ′, sσ : J −→ TM .

Definicja 13.1.2. Krzywą całkową pola wektorowego s : M −→ TM nazywamy każdą krzywą σ :J −→M taką, że σ′ = sσ.

13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1

Wyjaśnimy, co to są krzywe całkowe w przypadku, gdy M = R1.

Wiązka styczna TR1 jest (na mocy definicji) zbiorem klas abstrakcji krzywych na R1. Wiemyjednak, że wiązka ta jest izomorficzna z wiązką trywialną R1 × R1. Izomorfizm zadaje odwzorowanie

F : TR1 −→ R1 × R1, [σ] 7−→ (σ(0), dσdt (0)).

Niech s : R1 −→ TR1 będzie polem wektorowym na R1. Wiemy, że Fs : R1 −→ R1 × R1 jestodwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s : R1 −→ R1takie, że

Fs(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ R1.

Rozważmy krzywą σ : J −→ R1. Niech ξ ∈ J . Wtedy:

Fsσ(ξ) = (σ(ξ), s(σ(ξ))),

Fσ′(ξ) = F ([σεξ]) = (σεξ(0),dσεξdt (0)) = (σ(ξ),

dσdt (ξ))

Stąd wynika:

Stwierdzenie 13.2.1. Odwzorowanie σ : J −→ R1 jest krzywą całkową pola s : R1 −→ TR1 wtedy itylko wtedy, gdy

dσ(t)dt = s(σ(t)).


13.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn

Wiązka styczna TRn jest zbiorem klas abstrakcji krzywych na Rn. Wiązka ta jest izomorficzna związką trywialną Rn × Rn. Izomorfizm zadaje odwzorowanie

F : TRn −→ Rn × Rn, [σ] 7−→(σ(0), (dσ1dt (0), . . . ,

dσndt (0))

),

gdzie σ1, . . . , σn : J −→ R1 są funkcjami gładkimi takimi, że (σ1, . . . , σn) = σ.Niech s : Rn −→ TRn będzie polem wektorowym na Rn. Wtedy Fs : Rn −→ Rn × Rn jest

odwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s = (s1, . . . , sn) :Rn −→ Rn takie, że

Fs(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ Rn.Rozważmy krzywą σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ Rn. Niech ξ ∈ J . Wtedy:

Fsσ(ξ) = (σ(ξ), s(σ(ξ))) = (σ(ξ), (s1(σ(ξ)), . . . , sn(σ(ξ))) ,

Fσ′(ξ) = F ([σεξ]) =(σεξ(0), (

dσ1εξdt (0), . . . ,

dσnεξdt (0))

)=(σ(ξ), (dσ1dt (ξ), . . . ,

dσndt (ξ))

).

Stąd wynika:

Stwierdzenie 13.3.1. Odwzorowanie σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ Rn jest krzywą całkową pola s =(id, (s1, . . . , sn)) : Rn −→ TRn wtedy i tylko wtedy, gdy

dσ1(t)dt = s1(σ1(t), . . . , σn(t)),...

dσn(t)dt = sn(σ1(t), . . . , σn(t)).

(13.1)

Powyższy układ równań różniczkowych (13.1) nazywa się dynamicznym układem stacjonarnym lubukładem autonomicznym.

Wniosek 13.3.2. Niech s = (id, (s1, . . . , sn)) : Rn −→ TRn będzie polem wektorowym na Rn. Poleto posiada krzywą całkową wtedy i tylko wtedy, gdy układ (13.1) posiada rozwiązanie.

13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych

Zanotujmy twierdzenie, które dowodzi się teorii równań różniczkowych.

Twierdzenie 13.4.1. Niech s = (s1, . . . , sn) : Rn −→ Rn będzie odwzorowaniem gładkim w pewnymotoczeniu otwartym punktu a ∈ Rn. Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆ Rn, 0 ∈ J ⊆ R takie,że dla każdego b ∈ U , istnieje dokładnie jedna krzywa gładka σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ Rn spełniającanastępujące dwa warunki:(1) σ(0) = b,(2) σ jest rozwiązaniem układu (13.1).

Ponadto, jeśli tę krzywą oznaczymy przez σb, to odwzorowanie

ψ : J × U −→ Rn, ψ(t, b) = σb(t), dla (t, b) ∈ J × U,

jest gładkie.

Istnieje następujące uogólnienie tego twierdzenia dla dowolnych rozmaitości gładkich.

Twierdzenie 13.4.2. Niech M będzie rozmaitością gładką. Niech S : M −→ TM będzie polem wek-torowym i niech a ∈M . Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆M , 0 ∈ J ⊆ R takie, że dla każdegob ∈ U , istnieje dokładnie jedna krzywa σb : J −→ Rn, o środku w punkcie b, będąca krzywą całkowąpola s. Ponadto, odwzorowanie

ψ : J × U −→M, ψ(t, b) = σb(t), dla (t, b) ∈ J × U,

jest gładkie.


Podobne twierdzenia zachodzą dla odwzorowań i rozmaitości ustalonej klasy Cr.

Do tej pory przez krzywą na rozmaitościM rozumieliśmy odwzorowanie gładkie σ : J −→M , gdzieJ był ustalonym odcinkiem otwartym J = (−1, 1) ⊂ R. Jest jasne, że ustalenie tego odcinka jest zby-teczne. Wystarczy zamiast (−1, 1) przyjąć dowolny zbiór otwarty w R zawierający 0. Wszystkie faktypodane wcześniej funkcjonują dla takich właśnie krzywych. Takie krzywe występują w powyższychtwierdzeniach.Mając daną krzywą σ : J −→ M , np. krzywą całkową jakiegoś pola wektorowego na M , gdzie

0 ∈ J 6= R, można się spytać czy krzywą tę można przedłużyć do gładkiej krzywej określonej na całymzbiorze R. Na ogół tego zrobić nie można.

Przykład 13.4.3. Rozważmy pole wektorowe (gładkie) s : R1 −→ TR1 określone wzorem

s(x) = (x, 1 + x2), x ∈ R1.

Wówczas krzywa σ : (−π/2, π/2) −→ R1,

σ(t) = tg(t),

jest jedyną krzywą całkową pola s, o środku w 0. Istotnie, σ(0) = 0 oraz

dσ(t)dt = 1 + σ(t)

2.

Krzywej tej nie można przedłużyć na cały zbiór R.

Sytuacja taka, jak w powyższym przykładzie, nie zachodzi dla rozmaitości zwartych.

Twierdzenie 13.4.4. Niech s :M −→ TM będzie polem wektorowym na gładkiej rozmaitości zwartejM . Wówczas, dla każdego punktu a ∈M , istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa pola s, o środku wpunkcie a, której dziedziną jest cały zbiór R.

13.5 Formalne systemy równań różniczkowych

Twierdzenia podane w poprzednim podrozdziale mają swoje odpowiedniki dla układów równańróżniczkowych w pierścieniu szeregów formalnych. Wykazaliśmy to w pracy [18]. Przypomnijmy z tejpracy najważniejsze fakty dotyczące omawianego zagadnienia.

Zakładamy, że k jest pierścieniem przemiennym zawierającym ciało Q liczb wymiernych, k[X] =k[x1, . . . , xn] jest pierścieniem wielomianów n-zmiennych nad k oraz k[X][[t]] = k[x1, . . . , xn][[t]] jestpierścieniem szeregów jednej zmiennej t nad pierścieniem k[X].

Niech s1, . . . , sn będą szeregami należącymi do k[X][[t]].

Twierdzenie 13.5.1 ([18] 14). Dla każdego punktu a = (a1, . . . , an) ∈ kn istnieją jednoznaczniewyznaczone szeregi σ1, . . . , σn ∈ k[[t]] takie, że:(1) wyrazy stałe szeregów σ1, . . . , σn są równe odpowiednio elementom a1, . . . , an;(2) szeregi σ1, . . . , σn spełniają następujący układ równości:

dσ1(t)dt = s1(σ1(t), . . . , σn(t)),...

dσn(t)dt = sn(σ1(t), . . . , σn(t)).

(13.2)

Jeśli a ∈ kn, to szeregi σ1, . . . , σn ∈ k[[t]], istniejące na mocy powyższego twierdzenia, oznaczamyodpowiednio przez σ1(t, a), . . . , σn(t, a). Ciąg tych szeregów oznaczać będziemy przez σ(t, a), tzn.

σ(t, a) = (σ1(t, a), . . . , σn(t, a)).

Ciąg σ(t, a) nazywamy formalnym rozwiązaniem lub formalną krzywą całkową układu (13.2) w punkciea. Rozpatrywany układ równań różniczkowych zapisywać będziemy w skrócie przez

dXdt = s(X), X[0] = a. (13.3)


Twierdzenie 13.5.2 ([18] 17). Istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany wij ∈ k[X] (dlai = 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . ) takie, że

σi(t, a) =∑∞j=0 wij(a)t

n,

dla wszystkich a ∈ kn oraz wszystkich i = 1, . . . , n.

Sytuacja się znacznie upraszcza, gdy dane szeregi s1, . . . , sn nie zależą od t, tzn., gdy są tylko wie-lomianami należącymi do k[X] = k[x1, . . . , xn]. W takim przypadku, formalna krzywa całkowa σ(t, a)nazywa się potokiem lub formalnym potokiem, natomiast (13.3) nazywa się układem stacjonarnym lubautonomicznym. W tym przypadku można podać proste wzory wyznaczające σ(t, a).

Twierdzenie 13.5.3 ([18]). Niech s1, . . . , sn ∈ k[X] = k[x1, . . . , xn], niech a ∈ kn i niech d :k[X] −→ k[X] będzie k-derywacją wyznaczoną przez wielomiany s1, . . . , sn, tzn.,

d = s1 ∂∂x1 + · · ·+ sn∂∂xn

.

Wtedyσi(t, a) =

∑∞j=0

1j!dj(xi)(a)tj ,

dla i = 1, . . . , n.

Jest godne uwagi, że szeregi Ed(x1), . . . , Ed(xn) ∈ k[X][[t]], zdefiniowane jako

Ed(x1) =∞∑j=0

1j!dj(x1)tj , , . . . , Ed(xn) =

∞∑j=0

1j!dj(xn)tj ,

(pojawiające się w powyższym twierdzeniu), wyznaczają k[[t]]-automorfizm Ed pierścienia k[X][[t]].

Przez cały czas k jest dowolnym pierścieniem przemiennym zawierającym Q. Można więc w szcze-gólności przyjąc zamiast k pierścień szeregów k[[u]], gdzie u jest analitycznie niezależne od t, wtedyłatwo się pokazuje (patrz wcześniejsza wersja pracy [18]), że σ(t+ u, a) i σ(t, σ(u, a)), to rozwiązaniaukładu

dXdt = s(X), X[0] = σ(u, a).

Ponieważ takie rozwiązanie jest jedyne, więc stąd otrzymujemy:

Stwierdzenie 13.5.4. σ(t+ u, a) = σ(t, σ(u, a)).

13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów

Niech M będzie rozmaitością gładką. Przez DYF(M) oznaczać będziemy grupę wszystkich dyfe-omorfizmów (gładkich) z M do M .

Definicja 13.6.1. Każdy homomorfizm grup T : (R,+) −→ DYF(M) nazywamy jednoparametrowągrupą dyfeomorfizmów rozmaitości M .

Definicja 13.6.2. Mówimy, że pole wektorowe s :M −→ TM jest specjalne jeśli, dla każdego a ∈M ,istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa tego pola, o środku w a i określona na całym zbiorze R, liczbrzeczywistych.

Z twierdzenia 13.4.4 wynika:

Wniosek 13.6.3. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde jej pole wektorowe jest specjalne.

Załóżmy, że s :M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym. Jeśli a ∈M , to przez σa : R −→Moznaczamy jedyną krzywą całkową tego pola, o środku w a. Istnienie takiej krzywej wynika z definicjipola specjalnego. Ustalmy a ∈M oraz r ∈ R. Rozpatrzmy krzywą

η : R −→M, η(t) = σa(t+ r), dla t ∈ R,

oraz krzywą σσa(r) : R −→ M . Są to dwie krzywe (gładkie) o środku w punkcie σa(r). Bez trudustwierdzamy, że są to krzywe całkowe pola s. Z jednoznaczności istnienia krzywych całkowych odanym środku wynika zatem następujący analog Stwierdzenia 13.5.4.


Stwierdzenie 13.6.4. Jeśli s :M −→ TM jest polem specjalnym, to dla dowolnych r, t ∈ R, zachodzirówność:

σa(r + t) = σσa(r)(t).

Niech w dalszym ciągu s : M −→ TM będzie polem specjalnym. Jeśli t ∈ R, to oznaczmy przezT t :M −→M odwzorowanie określone wzorem

T t(a) = σa(t), dla a ∈M.

Można udowodnić, że odwzorowanie T t jest gładkie. Mamy ponadto:

Lemat 13.6.5.(1) T 0 =id,(2) T t+r = T t T r.

Dowód. T 0(a) = σa(0) = a,T r+t(a) = σa(r + t) = σσa(r)(t) = T

t(σa(r)) = T tT r(a).

Z lematu tego wynika w szczególności, że id = T t T−t = T−tT t. Zatem T t jest dyfeomorfizmemoraz (T t)−1 = T−1.Z każdym więc polem specjalnym s stowarzyszona jest rodzina T tt∈R dyfeomorfizmów rozma-

itości M . Mamy zatem odwzorowanie R −→DYF(M), t 7→ T t. Z powyższego lematu wynika, żeodwzorowanie to jest homomorfizmem grup, działającym z grupy (R,+) do grupy DYF(M). Zanotuj-my:

Stwierdzenie 13.6.6. Jeśli s :M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym, to odwzorowanie

T : (R,+) −→ DYF(M), T t(a) = σa(t), dla t ∈ R, a ∈M,

jest jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów rozmaitości M .

Teraz z Twierdzenia 13.4.4 wynika:

Twierdzenie 13.6.7. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde pole wektorowe na M wyznacza jed-noparametrową grupę dyfeomorfizmów tej rozmaitości.

Założenie o zwartości rozmaitości M potrzebne było do tego, by odpowiednie krzywe całkowe były globalne (tzn.określone na całym zbiorze R). Bez założenia o zwartości, otrzymujemy podobne wyniki z tym, że krzywe całkowe okre-ślone są na pewnych otwartych podzbiorach w R, zawierających 0. Wówczas otrzymujemy tzw. lokalną jednoparametrowągrupę dyfeomorfizmów rozmaitości M .

Powyższe fakty zachodzą również dla rozmaitości i odwzorowań klasy Cr, r > 1.

13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa

Istnieje pewne uogólnienie Twierdzenia 13.4.4, o istnieniu krzywych całkowych dla zwartej rozma-itości M . Do wysłowienia tego uogólnienia potrzebne są pewne nowe pojęcia, których nie będziemytu wprowadzać.Zamiast jednego przekroju s :M −→ TM rozważa się p przekrojów s1, . . . , sp :M −→ TM takich,

że wektory s1(x), . . . , sp(x) ∈ TxM są liniowo niezależne nad R. Przekroje te tworzą tzw. p-wymiarowyukład różniczkowy. Oznaczmy ten układ przez D. Definiuje się całkę układu D. Nie jest to krzywa,ale pewne odwzorowanie gładkie f : N −→ M , gdzie N jest pewną rozmaitością gładką. Następniewprowadza się przestrzeń R-liniową A(D), zależną od D, która jest podprzestrzenią R-przestrzeniΓ(TM), wszystkich pól wektorowych na rozmaitości M . Wprowadza się również pewien ideał I(D)algebry Ω(M) =

⊕∞j=0 Ω

j(M).

Wspomniane uogólnienie Twierdzenia 13.4.4 brzmi następująco:

Twierdzenie 13.7.1 (Frobeniusa). Niech D będzie p-wymiarowym układem różniczkowym na roz-maitości M . Następujące warunki są równoważne.(1) Układ D jest całkowalny.(2) ∀s,t∈A(D) [s, t] ∈ A(D), tzn., A(D) jest podalgebrą Liego algebry Liego Γ(TM).(3) ∀w∈I(D) dpw ∈ I(D) (gdzie dp jest p-tą różniczką z kompleksu de Rhama).


14 Grupy Liego i ich algebry Liego

14.1 Grupy Liego

Definicja 14.1.1. Grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z odwzorowaniami gładkimi· : G×G −→ G i −1 : G −→ G, spełniającymi zwykłe aksjomaty grupy.

Grupą Liego jest więc każda grupa topologiczna G, która jest jednocześnie rozmaitością gładką,przy czym struktury algebraiczna i różniczkowa są zgodne, tzn. odwzorowanie

G×G −→ G, (g, h) 7−→ gh−1,

jest gładkie. Wymiarem grupy Liego G nazywamy wymiar rozmaitości G. Jeśli G1, G2 są grupamiLiego, to ich homomorfizmem nazywamy każdy homomorfizm grup ϕ : G1 −→ G2, będący odwzoro-waniem gładkim.

Przykład 14.1.2. Każda przestrzeń wektorowa V na R z dodawaniem wektorów, jako działaniemgrupowym, jest grupą Liego. W szczególności (Rn,+) jest grupą Liego.

Przykład 14.1.3. Grupy GLn(R), GLn(C) są grupami Liego. Grupy te są rozmaitościami gładkimi,gdyż są otwartymi podzbiorami rozmaitości odpowiednio Rn2 i R2n2 . Odwzorowanie (A,B) 7→ AB−1

jest oczywiście gładkie.

Przykład 14.1.4. Niech G = (a, b) ∈ R2; a 6= 0 = R2 r (0 × R). Zbiór ten jest otwarty w R2.Ma zatem strukturę rozmaitości gładkiej (z jednoelementowym atlasem). Wprowadzamy w zbiorze Gmnożenie G×G −→ G przyjmując

(a, b)(c, d) = (ac, ad+ b).

Łatwo sprawdzić, że G wraz z tym mnożeniem jest zwykłą grupą. Elementem neutralnym jest para(1, 0). Ponadto, (a, b)−1 = (a−1,−a−1b). Widzimy zatem, że odwzorowania · : G × G −→ G oraz−1 : G −→ G są gładkie. Rozmaitość G jest zatem grupą Liego.Grupa ta jest izomorficzna z grupą odwracalnych 2× 2 macierzy postaci[

a b0 1

], a, b ∈ R, a 6= 0.

Ta z kolei grupa jest izomorficzna z grupą wszystkich przekształceń afinicznych z R do R, tzn. odwzo-rowań f : R −→ R postaci f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0.

Przykład 14.1.5. Okrąg S1 = (x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1 = z ∈ C; |z| = 1 (z mnożeniem) jest1-wymiarową grupą Liego.

Są tylko dwie 1-wymiarowe grupy Liego: (R1,+) i (S1, ·). Na sferze S2 nie ma struktury grupy Liego.Istnieje natomiast struktura grupy Liego na S3. Jeśli H jest ciałem kwaternionów, to (H r 0, ·) jestgrupą Liego (patrz [15]). Zachodzi fakt ogólniejszy:

Stwierdzenie 14.1.6 ([15]). Niech A będzie skończenie wymiarową R-algebrą z 1 i niech µ(A) będziejej grupą multyplikatywną. Wtedy µ(A) jest grupą Liego.

Zanotujmy także:

Stwierdzenie 14.1.7 ([15]).(1) Jeśli G jest grupą Liego i H ⊆ G jest jej domkniętą podgrupą i podrozmaitością, to H jest

grupą Liego.(2) Jeśli H jest domkniętym dzielnikiem normalnym grupy Liego G, to G/H jest grupą Liego.(3) Produkt grup Liego jest grupą Liego.

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 79

Inne przykłady grup Liego podamy później.

Niech G będzie grupą Liego. Jeśli g ∈ G, to przez lg : G −→ G oznaczamy odwzorowanie, zwanelewym przesunięciem, określone wzorem

lg(x) = gx, dla x ∈ G.

Analogicznie definiujemy prawe przesunięcie rg : G −→ G, x 7→ xg. Przesunięcia (lewe i prawe) sąoczywiście dyfeomorfizmami rozmaitości G.

14.2 Niezmiennicze pola wektorowe

Niech G będzie grupą Liego. Każde lewe przesunięcie lg indukuje odwzorowanie

T(lg) : TG −→ TG,

wiązki stycznej do G. Dla każdego h ∈ G mamy wówczas odwzorowanie R-liniowe

Th(lg) : ThG −→ Tlg(h)G = TghG,

określone wzoremTh(lg)[σ] = [lg σ] = [gσ], dla [σ] ∈ ThG.

Ponieważ lg jest dyfeomorfizmem, więc Th(lg) : ThG −→ TghG jest izomorfizmem przestrzeni R-liniowych.

Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Wówczas, dla każdego g ∈ G mamy diagram

Gs−→ TG

lg ↓ ↓ T(lg)

Gs−→ TG

(14.1)

Diagramy tej postaci nie muszą być, na ogół, przemienne.

Definicja 14.2.1. Mówimy, że pole wektorowe s : G −→ TG jest niezmiennicze (lewostronnie) jeśli,dla każdego g ∈ G, powyższy diagram jest przemienny.

Przez e oznaczamy element neutralny grupy G.

Stwierdzenie 14.2.2 (PH435). Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Następujące wa-runki są równoważne.(1) Pole s jest niezmiennicze.(2) s(g) = Te(lg)(s(e)), dla wszystkich g ∈ G.

Dowód. Niech g ∈ G. Wtedy Te(lg) jest przekształceniem R-liniowym z TeG do Tlg(e)G = TgG.Ponadto, s(e) ∈ TeG, s(g) ∈ TgG. Zatem elementy Te(lg)(s(e) i s(g) należą do tej samej przestrzeniTgG.(1) ⇒ (2). Załóżmy, że wszystkie diagramy postaci (14.1) są przemienne i niech g ∈ G. Wtedy

T(lg)s = slg. Zatem, dla dowolnego h ∈ G, mamy

slg(h) = T(lg)s(h) = Th(lg)s(h).

W szczególności, dla h = e, otrzymujemy:

s(g) = slg(e) = Te(lg)s(e).

(2) ⇒ (1). Załóżmy, że zachodzi warunek (2). Należy pokazać, że

slg(h) = Th(lg)s(h), dla wszystkich h ∈ G.


Sprawdzamy:slg(h) = s(gh) = Te(lgh)s(e)

= Te(lg lh)s(e) = (Th(lg) Te(lh)) s(e)= Th(lg) (Te(lh)s(e))= Th(lg)s(h).

Powyższe stwierdzenie mówi, że niezmiennicze pola wektorowe są jednoznacznie wyznaczone przezswoją wartość w punkcie e. Jeśli znamy s(e), to znamy s(g), dla dowolnego g ∈ G, bowiem s(g) =Te(lg)(s(e)).Przypomnijmy, że przez Γ(TG) oznaczamy zbiór wszystkich przekrojów z G do TG, czyli zbiór

wszystkich pól wektorowych rozmaitości G. Zbiór ten jest C(G)-modułem, zatem jest przestrzeniąliniową nad R.

Lemat 14.2.3. Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy G, jest podprzestrzeniąprzestrzeni Γ(TG).

Dowód. Niech s ∈ A, r ∈ R. Ponieważ, dla każdego g ∈ G, odwzorowanie Te(lg) : TeG −→ TgGjest przekształceniem liniowym, więc

(rs)(g) = r · s(g) = r · Te(lg)(s(e)) = Te(lg)(r · s(e)) = Te(lg)(rs(e)).

Zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, pole rs należy do A.Niech s1, s2 ∈ A. Wówczas, dla każdego g ∈ G, mamy:

(s1 + s2)(g) = s1(g) + s2(g)

= Te(lg)(s1(e)) + Te(lg)(s2(e))= Te(lg)(s1(e) + s2(e))= Te(lg)((s1 + s2)(e)).

Z poprzedniego stwierdzenia wynika zatem, że s1 + s2 ∈ A. Niech v będzie ustalonym wektorem przestrzeni TeG. Definiujemy odwzorowanie sv : G −→ TG,

przyjmując:sv(g) = Te(lg)(v), dla g ∈ G. (14.2)

Lemat 14.2.4. Odwzorowanie sv jest niezmienniczym polem wektorowym grupy Liego G.

Dowód. Przypomnijmy, że p : TG −→ G jest odwzorowaniem gładkim, zdefiniowanym wzoremp([σ]) = σ(0), gdzie [σ] ∈ TG. Sprawdzenie, że odwzorowanie sv jest gładkie zostawiamy czytelnikowi.Sprawdźmy, że psv = id. Niech v = [σ], gdzie σ(0) = e. Niech g ∈ G. Wtedy:

psv(g) = pTe(lg)(v) = pTe(lg)([σ])= p([lgσ]) = p([gσ]) = gσ(0) = ge = g.

Zatem sv jest polem wektorowym. Zauważmy teraz, że sv(e) = v. Istotnie,

sv(e) = Te(le)(v) = Te(id)(v) = v.

Stąd wynika, że sv(g) = Te(lg)(sv(e)), a zatem (na mocy poprzedniego stwierdzenia) pole sv jestniezmiennicze.

Stwierdzenie 14.2.5 (PH435). Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Lie-go G, jest przestrzenią liniową nad R izomorficzną z przestrzenią TeG. Dokładniej, odwzorowanieα : TeG −→ A, v 7→ sv, jest izomorfizmem przestrzeni liniowych.

Dowód. Jest oczywiste, że α jest przekształceniem liniowym. Jeśli sv = sv′ , to v = sv(e) =sv′(e) = v′, a zatem α jest różnowartościowe. Jeśli s : G −→ TG jest dowolnym niezmienniczympolem wektorowym, to s = sv, gdzie v = s(e). Istotnie, z poprzedniego stwierdzenia wynika, że:

sv(g) = Te(lg)(v) = Te(lg)(s(e)) = s(g).

Zatem α jest surjekcją.


14.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego

Niech G będzie n-wymiarową grupą Liego. Wykażemy, że niezmiennicze pola wektorowe grupy Ggenerują (nad C(G)) moduł Γ(TG), wszystkich pól wektorowych grupy G. Wykażemy nawet więcej;udowodnimy, że moduł ten jest wolny rangi n oraz, że ma bazę składającą się z niezmienniczych pólwektorowych.

Stwierdzenie 14.3.1. Jeśli wektory v1, . . . , vn ∈ TeG są liniowo niezależne na R, to niezmienniczepola wektorowe s1 = sv1 , . . . , sn = svn , zdefiniowane wzorami (14.2), są liniowo niezależne nad C(G).

Dowód. Niech∑ni=1 fisi = 0, gdzie f1, . . . , fn ∈ C(G). Niech g ∈ G. Wtedy∑n

i=1 fi(g)si(g) = 0,

a zatem0 = Tg(lg−1) (

∑ni=1 fi(g)si(g))

=∑ni=1 fi(g)Tg(lg−1)(si(g))

=∑ni=1 fi(g)Tg(lg−1)Te(lg)(vi)

=∑ni=1 fi(g)Te(le)(vi)

=∑ni=1 fi(g)(vi).

Z liniowej niezależności wektorów v1, . . . , vn wynika, że f1(g) = · · · = fn(g) = 0.

Stwierdzenie 14.3.2. Jeśli wektory v1, . . . , vn ∈ TeG generują (nad R) przestrzeń TeG, to niezmien-nicze pola wektorowe s1 = sv1 , . . . , sn = svn , zdefiniowane wzorami (14.2), generują moduł Γ(TG)nad C(G).

Dowód (szkic). Niech s : G −→ TG będzie dowolnym polem wektorowym. Ponieważ przekształ-cenie liniowe Te(lg) : TeG −→ TgG jest izomorfizmem oraz

si(g) = Te(lg)(vi), i = 1, . . . , n,

więc wektory s1(g), . . . , sn(g) generują przestrzeń TgG nad R, dla dowolnego g ∈ G. Zatem

s(g) = f1(g)s1(g) + · · ·+ fn(g)sn(g), dla γ ∈ G,

gdzie f1(g), . . . , fn(g) są pewnymi elementami z R. Stąd s =∑ni=1 fisi i można wykazać, że funkcje

f1, . . . , fn są gładkie.

Z powyższych dwóch stwierdzeń wynika:

Twierdzenie 14.3.3 (PH436). Jeśli G jest n-wymiarową grupą Liego, to C(G)-moduł Γ(TG) jestwolny rangi n (tzn. wiązka TG jest trywialna).

14.4 Algebra Liego grupy Liego

indexalgebra*Liego*grupy Liego Wiemy, że przekrojom wiązki stycznej TG odpowiadają (w sposóbwzajemnie jednoznaczny) R-derywacje pierścienia C(G). Jeśli s : G −→ TG jest przekrojem (czylipolem wektorowym na G), to odpowiadająca derywacja δs : C(G) −→ C(G) określona jest wzorem

δs(f)(g) =d(fσ)dt (0), gdzie [σ] = s(g).

Niech δ : C(G) −→ C(G) będzie dowolną R-derywacją.


Definicja 14.4.1. Mówimy, że derywacja δ : C(G) −→ C(G) jest niezmiennicza (lewostronnie) jeśli,dla każdego g ∈ G, przemienny jest diagram

C(G) δ−→ C(G)

C(lg) ↓ ↓ C(lg)

C(G) δ−→ C(G)

, (14.3)

gdzie C(lg)(f) = f lg, dla f ∈ C(G).

Łatwo udowodnić następujące dwa lematy.

Lemat 14.4.2. Jeśli δ1, δ2 : C(G) −→ C(G) są derywacjami niezmienniczymi, to derywacja [δ1, δ2] =δ1δ2 − δ2δ1 też jest niezmiennicza.

Lemat 14.4.3. Pole wektorowe s ∈ Γ(TG) jest niezmiennicze ⇐⇒ derywacja δs jest niezmiennicza.

Stąd wynika:

Wniosek 14.4.4. Jeśli pola s, t ∈ Γ(TG) są niezmiennicze, to przekrój [s, t] również jest niezmien-niczy.

Wszystkie niezmiennicze pola wektorowe grupy G tworzą więc algebrę Liego nad R.

Definicja 14.4.5. Algebrę Liego wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Liego G ozna-czamy przez L(G) i nazywamy algebrą Liego grupy G.

Z faktów wykazanych w tym i poprzednim podrozdziale wynika:

Twierdzenie 14.4.6. Algebrą Liego grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa TeG, w której iloczynLiego określony jest wzorem

[u, v] = [su, sv](e),

dla u, v ∈ TeG.

14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn

Wiemy (patrz Podrozdział 12.3), że każda R-derywacja δ pierścienia C(Rn) ma jednoznaczneprzedstawienie w postaci

δ = f1 ∂∂x1 + · · ·+ fn∂∂xn

,

gdzie f1, . . . , fn są funkcjami należącymi do C(Rn). Wtedy fi = δ(πi), dla i = 1, . . . , n, gdzie πi :Rn −→ R jest i-tym rzutowaniem.

Stwierdzenie 14.5.1. R-derywacja δ : C(Rn) −→ C(Rn) jest niezmiennicza ⇐⇒

δ = v1 ∂∂x1 + · · ·+ vn∂∂xn

, gdzie v1, . . . , vn ∈ R. (14.4)

Dowód. Załóżmy, że derywacja δ jest niezmiennicza. Wtedy, dla wszystkich a ∈ Rn oraz g ∈C(Rn), zachodzi równość

C(la)δ(g) = δC(la)(g), czyli δ(g) la = δ(g la),

gdzie la : Rn −→ Rn jest przesunięciem określonym wzorem la(x) = x+a, dla x ∈ Rn. W szczególności,jeśli g = πi : Rn −→ R jest i-tym rzutowaniem oraz δ(πi) = vi ∈ C(Rn), to

vi(x+ a) = vi(x),


dla wszystkich a, x ∈ Rn. To implikuje, że vi jest funkcją stałą, tzn. vi ∈ R. Zatem

δ =∑ni=1 δ(πi)

∂∂xi=∑ni=1 vi

∂∂xi

,

gdzie v1, . . . , vn ∈ R. Wykazaliśmy więc, że jeśli derywacja δ jest niezmiennicza, to jest postaci (14.4).Implikacja w przeciwnym kierunku jest oczywista.

Inny dowód powyższego stwierdzenia jest w PH447.

Stwierdzenie 14.5.2. Jeśli R-derywacje δ1, δ2 ∈ Der(C(Rn)) są niezmiennicze, to [δ1, δ2] = 0.

Dowód. Z poprzedniego stwierdzenia wiemy, że δ1 =∑ni=1 vi

∂∂xi, δ2 =

∑ni=1 ui

∂∂xi, gdzie v1, . . . , vn, u1, . . . , un ∈

R. Zatem:[δ1, δ2] =

[∑ni=1 vi

∂∂xi

,∑nj=1 uj

∂∂xj

]=∑ni=1

∑nj=1 viuj

[∂∂xi

, ∂∂xj

]=∑ni=1

∑nj=1 viuj0 = 0.

Z powyższych dwóch stwierdzeń otrzymujemy:

Twierdzenie 14.5.3 (PH447). Algebrą Liego grupy Liego (Rn,+) jest przestrzeń Rn z zerowymnawiasem Liego.

14.6 Algebra Liego grupy GLn(R)

Przez Mn(R) oznaczamy R-liniową przestrzeń wszystkich (n × n)-macierzy o współczynnikachw R. Przez GLn = GLn(R) oznaczamy podzbiór w Mn(R), składający się z wszystkich macierzyodwracalnych. Podzbiór ten jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Wyjaśniliśmy już wcześniej(patrz Podrozdział 14.1), że GLn jest n2-wymiarową grupą Liego. Opiszemy algebrę Liego tej grupyLiego.

Przez E oznaczać będziemy (n×n)-macierz jednostkową. Jeśli A ∈Mn(R), to przez τA oznaczamyczęściowe odwzorowanie

τA : J −→ GLn, t 7−→ E + tA.

Jest jasne, że dla małych t ∈ J , macierz E + tA jest odwracalna. Ponadto, τA(0) = E. Funkcja τAjest więc określona w pewnym otoczeniu otwartym liczby 0. Mamy zatem krzywą na GLn o środku wpunkcie E.

Wiemy, że algebrą Liego dowolnej grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa TeG, czyli zbiór klasabstrakcji wszystkich krzywych na G o środku w punkcie e. W naszym przypadku należy zatem zbadaćR-przestrzeń liniową TE(GLn).

Lemat 14.6.1. Dla każdej krzywej σ : J −→ GLn, o środku w E, istnieje dokładnie jedna macierzA ∈Mn(R) taka, że [σ] = [τA].

Dowód. Zauważmy najpierw, że

dτAdt (0) =

d(E+tA)dt (0) = A.

Jeśli więc [τA] = [τB ], to A = B. Stąd wynika jedyność macierzy A. Niech σ : J −→ GLn będziedowolną krzywą taką, że σ(0) = E. Niech A = dσdt (0). Wtedy [σ] = [τA].

Stąd z łatwością otrzymujemy:

Stwierdzenie 14.6.2. Przyporządkowanie

Mn(R) −→ TE(GLn), A 7−→ [τA],

jest izomorfizmem przestrzeni R-liniowych.


Spójrzmy na niezmiennicze pola wektorowe s : GLn −→ T(GLn). Jeśli G jest dowolną grupą Liego,to wiemy (Stwierdzenie 14.2.5), że każde niezmiennicze pole wektorowe s : G −→ TG określone jestwzorem

s(g) = Te(lg)(v), dla g ∈ G,gdzie v jest wektorem należącym do TeG. Każdemu wektorowi v ∈ TeG odpowiada dokładnie jednotakie pole.W naszym przypadku wektory v ∈ TE(GLn) są jednoznacznie wyznaczone przez macierze A ∈

Mn(Rn). Dokładniej, każdy wektor z TE(GLn) jest postaci [τA], gdzie A jest jednoznacznie wyznaczonąmacierzą należącą do Mn(R). Każde zatem niezmiennicze pole wektorowe z GLn do T(GLn) madokładnie jedną postać SA, gdzie

SA(X) = TE(lX)([τA]) = [lX τA] = [XτA], dla X ∈ GLn.

Wniosek 14.6.3. Jeśli s : GLn −→ T(GLn) jest niezmienniczym polem wektorowym, to istniejedokładnie jedna macierz A ∈Mn(R) taka, że s = SA, tzn.

s(X) = SA(X) = [X(E + tA)],

dla wszystkich X ∈ GLn.

Przechodzimy teraz do opisu wszystkich R-derywacji pierścienia C(GLn), odpowiadających prze-krojom postaci SA. Przechodzimy więc do opisu derywacji niezmienniczych. W tym celu wprowadźmynajpierw nowe oznaczenie.Jeśli A ∈ Mn(R) oraz i, j ∈ 1, . . . , n, to przez Aij oznaczać będziemy funkcję z GLn do R,

określoną wzoremAij(X) = (XA)ij , dla X ∈ GLn,

gdzie (XA)ij jest wspólczynnikiem macierzy XA, stojącym w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, tzn.

Aij(X) =∑nr=1XirArj .

Z łatwością sprawdzamy:

Lemat 14.6.4.∂Aij∂xpq(X) =

0, gdy i 6= p,

aqj , gdy i = p.

Przypomnijmy, że jeśli M jest dowolną rozmaitością gładką oraz s : M −→ TM jest dowolnympolem wektorowym, to z polem tym stowarzyszona jest jednoznacznie wyznaczona derywacja δs :C(M) −→ C(M), określona wzorem (dla f ∈ C(M), x ∈M):

δs(f)(x) =d(fσ)dt (0), gdzie [σ] = s(x).

Definicja 14.6.5. Jeśli A ∈ Mn(R), to przez DA : C(GLn) −→ C(GLn) oznaczamy derywację δSA ,tzn. derywację stowarzyszoną z polem SA.

Ponieważ pole wektorowe SA jest niezmiennicze, więc derywacja DA też jest niezmiennicza.

Stwierdzenie 14.6.6. DA =∑ni=1

∑nj=1Aij

∂∂xij.

Dowód. Wiemy, że jeśli X ∈ GLn, to SA(X) = [X(E + tA)]. Niech f ∈ C(GLn), X ∈ GLn.Wtedy:

DA(f)(X) =df(X(E+tA))

dt (0)

=[∑i,j∂f∂xij(X(E + tA))d(X(E+tA))ijdt

](0)

=∑i,j(XA)ij

∂f∂xij(X)

=∑ni=1

∑nj=1Aij(X)

∂f∂xij(X).


Stwierdzenie 14.6.7. Jeśli A,B ∈Mn(R), to [DA, DB ] = D[A,B], gdzie [A,B] = AB −BA.

Dowód. Niech X ∈ GLn oraz f ∈ C(GLn). Wykażemy najpierw, że prawdziwe są następującedwie równości:

DA(Bij)−DB(Aij) = [A,B]ij , (14.5)∑ij

(BijDA(

∂f∂xij)−AijDB( ∂f∂xij )

)= 0. (14.6)

Wykazujemy równość (14.5):[DA(Bij)−DB(Aij)

](X) =

∑s,t

(Ast(X)

∂Bij∂xst(X)−Bst(X)∂Aij∂xst

(X))

14.6.4=∑nt=1

(Ait(X)

∂Bij∂xit(X)−Bit(X)∂Aij∂xit

(X))

=∑nt=1 ((XA)itBtj − (XB)itAtj)

= ((XA)B − (XB)A)ij= (X(AB −BA))ij

= [A,B]ij(X).

Wykazujemy równość (14.6):∑ij

(BijDA(

∂f∂xij)−AijDB( ∂f∂xij )

)=∑ij

(Bij∑p,q Apq

∂2f∂xpqxij

−Aij∑p,q(

∂2f∂xpqxij

))

=∑ij

∑pq BijApq

∂2f∂xpqxij

−∑ij

∑pq AijBpq

∂2f∂xpqxij

= 0.

Z powyższych równości wynika:

[DA, DB ](f)(X) = (DADB(f)−DBDA(f))(X)

=(DA(∑i,j Bij

∂f∂xij−DB(

∑i,j Aij

∂f∂xij

)(X)

=(∑

i,j

(DA(Bij)

∂f∂xij+BijDA(

∂f∂xij)−DB(Aij) ∂f∂xij −AijDB(

∂f∂xij)))(X)

(14.6)=

(∑i,j

(DA(Bij)−DB(Aij)

)∂f∂xij

)(X)

(14.5)=

(∑ij [A,B]ij

∂f∂xij

)(X)

= D[A,B](f)(X).

Zatem [DA, DB ] = D[A,B].

Udowodniliśmy więc:

Twierdzenie 14.6.8 (PH440). Algebrą Liego grupy Liego GLn(R) jest przestrzeń liniowaMn(R), wszystkich (n× n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A,B] = AB −BA.

14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLnPrzez K oznaczamy ciało R lub C. Grupa GLn(K) (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 44). Algebrą

Liego grupy Liego GLn(K) jest przestrzeń Mn(K), wszystkich (n × n)-macierzy nad K, z nawiasemLiego [A,B] = AB −BA.

Grupa specjalna SLn.

SLn(K) = A ∈ GLn(K); detA = 1.


SLn(R) nazywamy specjalną grupą rzeczywistą, a SLn(C) specjalną grupą zespoloną. Grupy te (dlan > 1) nie są zwarte ([27] 44). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez sln(R) isln(C).

Twierdzenie 14.7.1 ([27] 125). sln(K) = L(SLn(K)) = A ∈Mn(K); trA = 0.

Grupa ortogonalna On. Mówimy, że macierz A ∈ GLn(K) jest ortogonalna jeśli ATA =E. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych, należących do GLn(K), jest podgrupą (Liego) grupyGLn(K), którą oznaczamy przez On(K). Zatem:

On(K) = A ∈ GLn(K); ATA = E.

On(R) nazywamy ortogonalną grupą rzeczywistą, a On(C) ortogonalną grupą zespoloną. Rzeczywistagrupa ortogonalna jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 45). AlgebryLiego tych grup oznacza się odpowiednio przez on(R) i on(C).indexgrupa*Liego*ortogonalna

Twierdzenie 14.7.2 ([27] 125). on(K) = L(On(K)) = A ∈Mn(K); AT = −A.

Mówimy, że macierz A ∈ Mn(K) jest antysymetryczna, jeśli AT = −A. Algebra on(K) jest więczbiorem wszystkich (n×n)-macierzy antysymetrycznych (o współczynnikach należących do K). Pewneinformacje o on(K) znajdziemy w PH442.

Specjalna grupa ortogonalna SOn.

SOn(K) = SLn(K) ∩On(K) = A ∈ GLn(K); det = 1, ATA = E.

SOn(R) nazywamy specjalną grupą ortogonalną rzeczywistą, a SOn(C) specjalną grupą ortogonalnązespoloną. Specjalna grupa ortogonalna rzeczywista jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) niejest zwarta ([27] 45). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez son(R) i son(C).

Twierdzenie 14.7.3 ([27] 125).

son(K) = L(SOn(K)) = sln(K) ∩ on(K) = A ∈Mn(K); AT = −A, trA = 0.

Pewne informacje o son(K) znajdziemy w PH441.

Grupa unitarna Un. Mówimy, że macierz A ∈ GLn(C) jest unitarna jeśli A = (AT )−1, gdzie Ajest macierzą sprzężoną do macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy unitarnych, należących do GLn(C),jest podgrupą (Liego) grupy GLn(C), którą oznaczamy przez Un i nazywamy grupą unitarną. Zatem:

Un = A ∈ GLn(C); A = (AT )−1.

Grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). Algebrę Liego grupy unitarnej Un oznaczamy przez un.

Twierdzenie 14.7.4 ([27] 125). un = L(Un) = A ∈Mn(C); A = −A.

Specjalna grupa unitarna SUn.

SUn = SLn(C) ∩Un = A ∈ GLn(C); det = 1, A = (AT )−1.

SUn nazywamy specjalną grupą unitarną. Specjalna grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). AlgebręLiego tej grupy oznacza się przez sun.

Twierdzenie 14.7.5 ([27] 125).

sun = L(SUn) = sln(C) ∩ un = A ∈Mn(C); A = −A, trA = 0.


Grupy symplektyczne Spn. Opiszemy teraz trzy grupy: Spn, Spn(R) i Spn(C). Niech Enbędzie (n× n)-macierzą jednostkową i niech Ω będzie (2n× 2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem

Ω =

[0 En

−En 0

].

Definiujemy następujące trzy grupy macierzy zachowujących macierz Ω.

Spn = A ∈ U2n; ATΩA = Ω,

Spn(R) = A ∈ GL2n(R); ATΩA = Ω,

Spn(C) = A ∈ GL2n(C); ATΩA = Ω.

Grupy te nazywamy odpowiednio: symplektyczną, liniową symplektyczną rzeczywistą, liniową sym-plektyczną zespoloną. Grupa symplektyczna Spn jest zwarta. Pozostałe dwie grupy nie są zwarte ([27]45). Algebry Liego tych grup oznaczamy odpowiednio przez spn, spn(R), spn(C).

Twierdzenie 14.7.6 ([27] 125).

spn(R) = L(Spn(R)) = A ∈M2n(R); ATΩ = −ΩA,

spn(C) = L(Spn(C)) = A ∈M2n(C); ATΩ = −ΩA,

spn = L(Spn) = A ∈M2n(C); ATΩ = −ΩA, A = −A = spn(C) ∩ u2n.

Grupy zwarte. Wszystkie powyższe grupy są lokalnie zwarte (bo są rozmaitościami gładkimi).Każda z nich jest domkniętą podgrupą pewnej grupy postaci GLn(K). Podczas przedstawiania tychgrup zaznaczaliśmy, które z nich są zwarte, a które nie.

Stwierdzenie 14.7.7 ([27] 44). Grupy On(R), SOn(R), Un, SUn, Spn są zwarte. Pozostałe grupy,tzn. GLn(R), GLn(C), SLn(R), SLn(C), On(C), SOn(C), Spn(R), Spn(C) nie są zwarte.

Wymiary. (Patrz [27] 44).

GLn(C) 2n2GLn(R) n2

SLn(C) 2n2 − 2SLn(R) n2 − 1On(C) n2 − nOn(R) (n2 − n)/2

SOn(C) n2 − n− 1SOn(R) (n2 − n)/2Un n2

SUn n2 − 1Spn(C) 4n2 + 2nSpn(R) n2 + n2Spn 2n2 + n

14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego

Wiemy już, że z każdą grupą Liego G stowarzyszona jest algebra Liego L(G). Może się tak zdarzyć,że dwie grupy Liego nie są izomorficzne, natomiast odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne.Takimi nieizomorficznymi grupami Liego są np. (R1,+) i (S1, ·). Grupy te mają wspólną algebręLiego, którą jest R1 z zerowym nawiasem.Podobna niejednoznaczność już nie zachodzi, gdy zamiast grup Liego rozpatrzymy lokalne grupy

Liego.

W Encyklopedii [17] lokalna grupa Liego zdefiniowana jest następująco.

Definicja 14.8.1 ([17]). Lokalną grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z elementeme ∈ G (zwanym jedynką) i parą gładkich odwzorowań · : U ×U −→ U , −1 : U −→ U , gdzie U 3 e jestotwartym podzbiorem w G, przy czym spełnione są warunki:(1) Istnieje otoczenie otwarte V takie, że e ∈ V ⊆ U oraz xe = ex = x, dla x ∈ V .(2) Istnieje otoczenie otwarte V ′ takie, że e ∈ V ′ ⊆ U oraz xx−1 = x−1x = e, dla x ∈ V ′.(3) Istnieje otoczenie otwarte W takie, że e ∈W ⊆ U oraz x(yz) = (xy)z, dla x, y, z ∈W .


Kiriłow [15], lokalną grupę Liego definiuje tak:

Definicja 14.8.2 ([15]). Lokalną grupą Liego nazywamy parę (V, ϕ), w której V jest otwartympodzbiorem w Rn zawierającym 0, a ϕ : V × V −→ Rn jest odwzorowaniem gładkim. Zakładamyponadto, że:(1) ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(ϕ(x, y), z),(2) ϕ(0, x) = ϕ(x, 0) = x,(3) istnieje odwzorowanie gładkie η : V −→ Rn takie, że ϕ(x, η(x)) = ϕ(η(x), x) = 0;

przy czym warunki te są spełnione o ile mają sens.

Przyjmijmy pierwszą z tych definicji. Odcinek (−1, 1) z dodawaniem jest oczywiście lokalną grupąLiego. Każdy przedział otwarty w R1, zawierający 0 jest też taką grupą. Każdy zbiór otwarty w Rzawierający 1 jest lokalną grupą Liego, ze względu na mnożenie.

Definicja 14.8.3. Homomorfizmem lokalnych grup Liego (G1, e1) i (G2, e2) nazywamy każde od-wzorowanie gładkie f : U1 −→ G2, gdzie U1 3 e1 jest otwartym podzbiorem w G1, takie, że:(1) f(e1) = e2,(2) f(ab) = f(a)f(b), dla a, b ∈ U ′1 ⊆ U1 (o ile to ma sens).

Homomorfizm taki oznaczamy jako f : G1 −→ G2.

Złożenie homomorfizmów lokalnych jest homomorfizmem lokalnym. Można więc zdefiniować izo-morfizm lokalnych grup Liego.

Z każdej grupy Liego można otrzymać nieskończenie wiele lokalnych grup Liego. Są one wszystkieizomorficzne.

Załóżmy, że dane są dwie grupy Liego G1 i G2 i rozpatrzmy dwie lokalne grupy Liego G′1 i G′2,

otrzymane odpowiednio z G1 i G2. Może się tak zdarzyć, że grupy lokalne G′1, G′2 są izomorficzne,

natomiast grupy G1, G2 nie są izomorficzne.

Przykład 14.8.4 (PH468). G1 = R1, G2 = S1, G′1 = (−π, π), G′2 = S1r−1. Lokalne grupy G′1,G′2 są izomorficzne, gdyż np. odwzorowanie α(x) = e

ix jest dyfeomorfizmem. Grupy Liego G1, G2 niesą izomorficzne (bo np. π1(R) = 0, π1(S1) = Z).

Z każdą lokalną grupą Liego można stowarzyszyć algebrę Liego. Konstruuje się ją dokładnie taksamo, jak algebrę Liego grupy Liego.

Twierdzenie 14.8.5 ([15]).(1) Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego.(2) Dwie lokalne grupy Liego są izomorficzne ⇐⇒ odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne.

Twierdzenie 14.8.6 (o monodromii, [15]). Niech G będzie spójną, jednospójną grupą Liego iniech H będzie dowolną grupą Liego. Wtedy każdy lokalny homomorfizm z G do H przedłuża sięjednoznacznie do globalnego homomorfizmu z G do H.

Twierdzenie 14.8.7 ([15]). Niech G będzie grupą Liego. Każda jednowymiarowa lokalna podgrupaLiego w G przedłuża się do podgrupy Liego (już nie lokalnej).

14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze

Niech G będzie grupą Liego. Przypomnijmy najpierw pewne fakty z Podrozdziałów 13.4 i 13.6.Jeśli s : G −→ TG jest polem wektorowym i a ∈ G, to istnieje (dokładnie jedna) krzywa całkowaσa : J −→ G, o środku w a, określona w pewnym otoczeniu liczby 0. Można udowodnić następującestwierdzenie.

Stwierdzenie 14.9.1 ([27] 116). Jeśli s : G −→ TG jest niezmienniczym polem wektorowym grupyLiego G i a ∈ G, to krzywa σa (jedyna krzywa całkowa pola s, o środku w a) jest określona na całymzbiorze liczb rzeczywistych.


Mówimy, że dane pole wektorowe jest specjalne (patrz Podrozdział 13.6), jeśli jego jedyne krzywecałkowe są określone na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Z powyższego stwierdzenia wynika zatem,że jeśli G jest grupą Liego, to każde jej niezmiennicze pole wektorowe jest specjalne, a zatem wyzna-cza (na mocy Stwierdzenia 13.6.6) jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów rozmaitości G. Wiemyponadto, że niezmiennicze pola wektorowe na G są jednoznacznie wyznaczone przez wektory należącedo przestrzeni TeG, czyli do algebry Liego L(G). Mamy zatem:

Stwierdzenie 14.9.2. Jeśli G jest grupą Liego, to dla każdego wektora v ∈ L(G) istnieje dokładniejedna krzywa σv : R −→ G, o środku w e taka, że [σv] = v oraz

σv(t1)σv(t2) = σv(t1 + t2),

dla wszystkich t1, t2 ∈ R.

Niech v ∈ L(G) i niech σv będzie krzywą taką, jak w powyższym stwierdzeniu. Można pokazać,że w otoczeniu liczby 0 krzywa ta jest różnowartościowa. Ponieważ σv(t1)σv(t2) = σv(t1 + t2), (orazσv(0) = e), więc:

Wniosek 14.9.3. Krzywa σv : (R,+) −→ G jest homomorfizmem grup Liego. W szczególności, obrazσv(R) jest 1-wymiarową podgrupą Liego grupy Liego G.

Teraz możmy zdefiniować odwzorowanie wykładnicze.

Definicja 14.9.4. Niech G będzie grupą Liego i L = L(G) jej algebrą Liego. Odwzorowaniem wy-kładniczym grupy G nazywamy odwzorowanie exp : L −→ G określone wzorem

exp(v) = σv(1),

dla wszystkich v ∈ L.

Odwzorowanie wykładnicze ma własności funktorialne.

Stwierdzenie 14.9.5 (PH470). Jeśli ϕ : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to następu-jący diagram

L(G1)L(ϕ)−→ L(G2)

exp ↓ ↓ exp

G1ϕ−→ G2

jest przemienny. (Odwzorowanie L(ϕ) : L(G1) −→ L(G2) jest przekształceniem liniowym Teϕ :Te1G1 −→ Te2G2, gdzie e1, e2 są elementami neutralnymi odpowiednio grup G1, G2).

Załóżmy teraz, że G = GLn = GLn(R) jest grupą Liego wszystkich odwracalnych (n×n)-macierzynad R. Wiemy, że algebra Liego L(GLn) jest n2-wymiarową przestrzenią liniową Mn(R), wszystkich(n×n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A,B] = AB−BA. Jeśli A ∈Mn(R), to macierz exp(A) ∈GLn oznacza się często przez eA. Nie jest trudno wykazać:

Stwierdzenie 14.9.6 ([27] 116). eA = exp(A) =∑∞p=0

1p!Ap.

Przez∑∞p=0

1p!Ap rozumiemy, tak jak zwykle, granicę odpowiednich sum cząstkowych, przy czym

zbieżność jest względem normy:

||A|| =√∑

ij A2ij ,

a zatem po współrzędnych (patrz [27] 40). Mamy w szczególności:

Stwierdzenie 14.9.7. Niech A,B ∈Mn(R).(1) Jeśli AB = BA, to eAeB = eA+B,(2) e0 = E,(3) (eA)−1 = e−A,(4) Odwzorowanie σA : (R,+) −→ GLn, t 7→ etA jest homomorfizmem grup Liego.


14.10 Związek między grupami Liego i algebrami Liego

Przypomnijmy jeszcze raz, że każdej grupie Liego G można przyporządkować jej algebrę LiegoL(G). Przyporządkowanie to nie jest jednak jednoznaczne. Istnieją nieizomorficzne grupy Liego posia-dające te same algebry Liego (np. (R1,+) i (S1, ·)). Przy pewnych dodatkowych założeniach możnajednak tę niejednoznaczność ominąć. Wyjaśnijmy to dokładniej.W Podrozdziale 1.9 zdefiniowaliśmy nakrycia. Nakryciem jest każda ciągła (otwarta) surjekcja

p : E −→ X (gdzie E,X są przestrzeniami topologicznymi) spełniająca pewne warunki. PrzestrzeńE nazywa się wtedy przestrzenią nakrywającą. Jeśli przestrzeń nakrywająca jest jednospójna (tzn.jeśli jej grupa podstawowa jest trywialna), to mówi się, że dane nakrycie jest uniwersalne. Możnaudowodnić, że każda spójna grupa Liego posiada uniwersalne nakrycie. Dokładniej:

Twierdzenie 14.10.1 (PH449). Dla każdej spójnej grupy Liego G istnieją grupa Liego G orazgładka surjekcja p : G −→ G takie, że:(1) p jest lokalnym homeomorfizmem,(2) p jest homomorfizmem grup Liego,(3) grupa G jest spójna i jednospójna.

Stąd w szczególności wynika, że algebry Liego L(G) i L(G) są izomorficzne.

Można udowodnić również:

Twierdzenie 14.10.2. Jeśli G1, G2 są spójnymi i jednospójnymi grupami Liego, to grupy te są izo-morficzne wtedy i tylko wtedy, gdy algebry Liego L(G1), L(G2) są izomorficzne.

Wspominaliśmy w poprzednim podrozdziale, że każda (skończenie wymiarowa) R-algebra Liegojest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego. Można udowodnić więcej:

Twierdzenie 14.10.3 (Cartan). Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liegopewnej grupy Liego.

Dokładniejsze sformułowanie tego twierdzenia przedstawia się następująco:

Twierdzenie 14.10.4. Niech L będzie skończenie wymiarową R-algebrą Liego.(1) Istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) spójna i jednospójna grupa Liego G

taka, że L = L(G).(2) Wszystkie spójne grupy Liego G′ takie, że L(G′) = L, są postaci G/D, gdzie G jest taką grupą

Liego, jak w (1), a D jest dyskretnym dzielnikiem normalnym grupy G, leżącym w jej centrum.

Funktor L ustala więc równoważność kategorii spójnych i jednospójnych grup Liego z kategoriąskończenie wymiarowych R-algebr Liego.

Zanotujmy pewne dodatkowe własności funktora L.

Twierdzenie 14.10.5 ([17]III 247).(1) L(G1 ×G2) ≈ L(G1)⊕ L(G2).(2) Jeśli H jest podgrupą Liego grupy Liego G, to L(H) jest podalgebrą Liego w L(G). Jeśli podgrupa

H jest normalna, to L(H) jest ideałem Liego w L(G) oraz L(G/H) ≈ L(G)/L(H).(3) (char = 0). L(

⋂iGi) ≈

⋂i L(Gi).

(4) Jeśli f : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to L(Kerf) ≈ KerL(f).(5) Jeśli L′ jest podalgebrą Liego w L(G), to istnieje jedyna podgrupa Liego H ⊆ G taka. że

L(H) = L′. Podgrupa H nie musi być domknięta.(5) Algebra Liego L(G) jest rozwiązalna (odpowiednio: nilpotentna, półprosta) ⇐⇒ grup Liego G

jest taka.

Fakty przedstawione w powyższym twierdzeniu zapisaliśmy na podstawie Encyklopedii [17]III 247.W innym miejscu tej encyklopedii (patrz III 255) czytamy: Grupa Liego jest dość trudnym obiektemdo badania. Pewne problemy można zredukować do problemów czysto algebraicznych. Grupie Liegoprzyporządkowuje się algebrę Liego. Algebry Liego to obiekty bardziej uchwytne i mniej złożone.


Twierdzenie 14.10.6 ([17]III). Niech H będzie podgrupą Liego spójnej grupy Liego H. Wtedypodgrupa H jest normalna ⇐⇒ L(H) jest ideałem w L(G). Jeśli przy tym H jest domknięte, toL(G/H) ≈ L(G)/L(H).

Twierdzenie 14.10.7 ([17]III). Grupa Aut(G), automorfizmów spójnej grupy Liego G, jest grupąLiego, którą utożsamia się z podgrupą grupy Aut(L(G)). W szczególności, jeśli grupa G jest jednospój-na, to Aut(G) ≈ Aut(L(G) oraz L(Aut(G)) ≈ Der(L(G)).

Twierdzenia Liego. W Encyklopedii [17] (III 282) czytamy: Twierdzenia Liego, to trzy kla-syczne twierdzenia teorii grup Liego, opisujące związek lokalnej grupy Liego z jej algebrą Liego. Są topodstawowe twierdzenia pochodzące z dziewiętnastego wieku, udowodnione przez Liego i jego uczniów.Wysłowienie tych twierdzeń w takiej formie, jak to przedstawiono we wspomnianej encyklope-

dii, wymaga skomplikowanych zapisów. Dzisiaj te twierdzenia można przedstawić (mniej więcej) wnastępuącej postaci (o wszystkich faktach wspominaliśmy już wcześniej).

Twierdzenie 14.10.8 (Liego).(1) Niech H będzie podzbiorem spójnej grupy Liego G. Wtedy(a) H jest spójną podgrupą Liego ⇐⇒ L(H) jest podalgebrą Liego w L(G).(b) H jest spójnym dzielnikiem normalnym w G ⇐⇒ L(H) jest ideałem Liego w L(G).

Ponadto, L(G)/L(H) ≈ L(G/H).(2) Algebra Liego wyznacza jednoznacznie (z dokładnością do lokalnego izomorfizmu) lokalną grupę

Liego.(3) Dla każdej (skończenie wymiarowej) R-algebry Liego L istnieje grupa Liego G taka, że L(G) ≈

L.

14.11 Grupy formalne

Na podstawie zeszytu A. Prószyńskiego [21].

Przedstawimy pewien związek pomiędzy grupami Liego, algebrami Liego i grupami formalnymi.

Niech k będzie ciałem. Grupy formalne to ciągłe (względem ⊗) struktury Hopfa na algebrachszeregów k[[X]] = k[[x1, . . . , xn]].

Definicja 14.11.1. Grupą formalną nad ciałem k nazywamy każdą trójkę (k[[X]],∆, ε), w której

∆ : k[[X]] −→ k[[X]]⊗k[[X]] = k[[X,Y ]], ε : k[[X]] −→ k,

(gdzie X = x1, . . . , xn, Y = y1, . . . , yn), są k-algebrowymi homomorfizmami spełniającymi wa-runki:(1) ε(xi) = 0, dla i = 1, . . . , n,(2) (1⊗∆)∆ = (∆⊗ 1)∆,(3) (1⊗ ε)∆ = 1 = (ε⊗ 1)∆.

Liczbę n (ilość zmiennych) nazywamy wymiarem grupy formalnej.Zauważmy, że warunki (2), (3) występują w definicji koalgebry.

Przyjmując ∆(xi) = Fi(X,Y ) otrzymujemy:

Stwierdzenie 14.11.2. n-Wymiarową grupą formalną nad ciałem k jest każdy ciąg szeregówF = (F1, . . . , Fn), spełniający następujące trzy warunki:(a) Fi = Fi(X,Y ) ∈ k[[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn]], i = 1, . . . , n;(b) F (X,Fi(Y, Z)) = F (Fi(X,Y ), Z), i = 1, . . . , n;(c) F (X, 0) = X, F (0, Y ) = Y .

Oto dwa przykłady 1-wymiarowych grup formalnych:

Przykład 14.11.3. (n = 1), F (x, y) = x+ y.


Przykład 14.11.4. (n = 1), F (x, y) = x+ y + xy.

W naturalny sposób definiuje się homomorfizm grup formalnych. Wszystkie grupy formalne tworząwięc pewną kategorię. Oznaczmy ją przez GF. Oznaczmy ponadto przez GL i AL kategorie odpo-wiednio grup Liego (analitycznych) i skończenie wymiarowych algebr Liego. Wprowadzimy teraz dwafunktory H : GF −→ AL oraz M : GL −→ GF.

Niech F = (F1, . . . , Fn) będzie grupą formalną. Wtedy

F (X,Y ) = X + Y +B(X,Y ) + C(X,Y ),

gdzie B(X,Y ) jest ciągiem wielomianów jednorodnych stopnia 2, a C(X,Y ) jest ciągiem szeregów bezskładowych jednorodnych stopni 6 2. W tej sytuacji definiujemy k-algebrę Liego

H(F ) = (kn, [ , ]F ), gdzie [u, v]F = B(u, v)−B(v, u), dla u, v ∈ kn.

Chcąc wykazać, że H(F ) jest istotnie algebrą Liego, pokazuje się najpierw, że B(X,B(Y, Z)) =B(B(X,Y ), Z) co oznacza, że działanie ∗ : kn × kn −→ kn, a ∗ b = B(a, b), jest łączne. Wtedy[a, b] = a ∗ b− b ∗ a i dalej następują standardowe przeliczenia.Określa się też H na morfizmach. Mamy więc kowariantny funktor H : GF −→ AL. Można

udowodnić:

Twierdzenie 14.11.5. Jeśli char(k) = 0, to funktor H ustala równowaność kategorii GF, grup for-malnych, z kategorią AL, skończenie wymiarowych k-algebr Liego.

Na grupy formalne (w przypadku zerowej charakterystyki) można więc patrzeć jak na kategorięskończenie wymiarowych algebr Liego.

Przejdźmy do zdefiniowania funktora M : GL −→ GF. Załóżmy, że G jest grupą Liego. Niech(U,ϕ) będzie mapą w G taką, że U 3 e, ϕ(e) = 0, U · U ⊆ U . Określamy odwzorowania analityczne

Ψi : U × U ·−→ Uϕ−→ kn

πi−→ k,

dla i = 1, . . . , n. W pewnym otoczeniu punktu (e, e) każde odwzorowanie postaci Ψi jest jednoznaczniewyznaczone przez szereg formalny Fi(X,Y ). Przyjmujemy wtedy:

M(G) = (F1, . . . , Fn).

Sprawdza się teraz, że M(G) jest grupą formalną. Łączność mnożenia w G implikuje kołączność wM(F ). Ponadto, Fi(X, 0) = X, F (0, Y ) = Y . Dalej określa się M na morfizmach i w ten sposóbotrzymuje się kowariantny funktor M : GL −→ GF. Można udowodnić (dla k = R):

Twierdzenie 14.11.6. Funktor L : GL −→ AL, przyporządkowujący każdej grupie Liego jej algebręLiego, jest złożeniem funktorów M : GL −→ GF i H : GF −→ AL.

14.12 Uwagi

14.1 Ponieważ grupy Liego są szczególnymi grupami topologicznymi, powstaje naturalne pytanie czy ist-nieje ich charakteryzacja jedynie w terminach algebraiczno-topologicznych. Problem ten (zwany piątym proble-mem Hilberta) był przez wiele lat jednym z centralnych zagadnień teorii grup Liego. Jego całkowite (pozytyw-ne) rozwiązanie podali Gleason, D. Montgomery i Zippin w latach pięćdziesiątych (patrz [27] 110). Pokazanowtedy (patrz [15]), że każda grupa topologiczna, będąca rozmitością klasy C0, ma strukturę grupy Liego.

14.2 Grupę Liego zdefiniowaliśmy jako zwykłą grupę, będącą rozmaitośćią gładką z gładkimi działaniami.Co się stanie, gdy ”gładkość” zamienimy na ”analityczność”? Można pokazać ([27]), że każda grupa topolo-giczna ma co najwyżej jedną strukturę rozmaitości gładkiej, w której działania grupowe są odwzorowaniamigładkimi. Innymi słowy: każda grupa topologiczna ma co najwyżej jedną strukturę (gładkiej) grupy Liego. Zfaktu tego można wywnioskować, że (gładkie) grupy Liego i analityczne grupy Liego, to dokładnie te sameobiekty.

15. Algebry Liego 93

15 Algebry Liego

Niniejszy rozdzial (jak również następny) został opracowany na podstawie książek [3], [13], [14], [15],[11] oraz zeszytów [21], AL, PH1, PH4 i PN2. Przedstawiamy w nim podstawowe pojęcia i fakty do-tczące k-algebr Liego, gdzie k jest ciałem. Zajmujemy się głównie skończenie wymiarowymi algebramiLiego.

15.1 Podstawowe definicje

Definicję algebry Liego podaliśmy w Podrozdziale 9.7. Przepiszmy ją jeszcze raz.

Definicja 15.1.1. Algebrą Liego nad ciałem k (lub k-algebrą Liego) nazywamy przestrzeń liniową Lwraz z dwuliniowym odwzorowaniem [ , ] : L×L −→ L (zwanym nawiasem Liego w L) spełniającymwarunki:(1) [a, a] = 0, dla a ∈ A,(2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego).

Z warunku (1) wynika, że [a, b] = −[b, a], dla a, b ∈ L. Mówimy, że algebra Liego L jest przemienna,jeśli [ , ] = 0.

Stwierdzenie 15.1.2. Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] : L × L −→ Lbędzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech ei; i ∈ I będzie bazą przestrzeni L nad k. Para (L, [ , ])jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy:(a) [ei, ei] = 0, dla i ∈ I,(b) [ei, ej ] = −[ej , ei], dla i, j ∈ I,(c) [[ei, ej ], ep] + [[ej , ep], ei] + [[ep, ei], ej ] = 0, dla i, j, p ∈ I.

Dla małych wymiarów można założyć mniej:

Przykład 15.1.3. Niech L = ke1⊕ke2 oraz [e1, e1] = [e2, e2] = 0, [e1, e2] = −[e2, e1]. Wtedy (L, [ , ])jest k-algebrą Liego.

Przykład 15.1.4. Niech L = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, [ei, ei] = 0, [ei, ej ] = −[ej , ei], dla i, j = 1, 2, 3, oraz[[e1, e2], e3] + [[e2, e3], e1] + [[e3, e1], e2] = 0. Wtedy (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego.

Stwierdzenie 15.1.5 (AL 41). Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] :L × L −→ L będzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech ei; i ∈ I będzie bazą przestrzeni L nadk. Jeśli i, j ∈ I, to niech

[ei, ej ] =∑p∈I cijpep, gdzie cijp ∈ k.

Para (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy:(a) ciip = 0,(b) cijp = −cjip,(c)∑r∈I(cijrcrpq + cjprcriq + cpircrjq) = 0,

dla wszystkich i, j, p, q ∈ I.

Definicja 15.1.6. Jeśli L1, L2 są k-algebrami Liego, to ich homomorfizmem nazywamy każde prze-kształcenie k-liniowe f : L1 −→ L2 spełniające warunek:

f([a, b]) = [f(a), f(b)], dla wszystkich a, b ∈ L1.

Niech L będzie k-algebrą Liego.Jeśli A,B ⊆ L są podzbiorami, to przez [A,B] oznaczamy podprzestrzeń k-liniową w L generowaną

przez zbiór [a, b]; a ∈ A, b ∈ B.

Definicja 15.1.7. Podprzestrzeń k-liniową M ⊆ L nazywamy:(a) podalgebrą Liego w L, jeśli [M,M ] ⊆M ;(b) ideałem Liego w L, jeśli [M,L] ⊆M .


Jeśli M ⊆ L jest ideałem Liego w L, to k-przestrzeń liniowa L/M jest k-algebrą Liego zwanąilorazową algebrą Liego. Nawias Liego w L/M określony jest wzorem

[a+M, b+M ] = [a, b] +M, dla a, b ∈ L.

Jeżeli podzbiory A,B ⊆ L są ideałami Liego w L, to [A,B] również jest ideałem Liego.

Jeżeli L1, L2 są k-algebrami Liego, to ich produktem nazywamy k-przestrzeń L = L1 × L2 =(a, b); a ∈ L1, b ∈ L2 z nawiasem Liego

[(a1, b1), (a2, b2)] = ([a1, a2], [b1, b2]), a1, a2 ∈ L1, b1, b2 ∈ L2.

Rzutowania L1 × L2 −→ L1, L2 są homomorfizmami algebr Liego.

Centrum k-algebry Liego L, to zbiór

Z(L) = x ∈ L; [x, y] = 0 dla y ∈ L.

Centrum Z(L) jest ideałem Liego w L.

Mówimy, że k-algebra Liego L jest łączna jeśli [[a, b], c] = [a, [b, c]], dla wszystkich a, b, c ∈ L.

Stwierdzenie 15.1.8 (AL 49). Algebra Liego L jest łączna⇐⇒ [L,L] ⊆ Z(L).

Dowód. Jeśli [L,L] ⊆ Z(L), to [[a, b], c] = [a, [b, c]], gdyż wtedy [[a, b], c] = 0 oraz [a, [b, c]] = 0.Załóżmy teraz, że algebra L jest łączna i niech a, b, c ∈ L. Wtedy

0 = [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [[a, b], c] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]]

= [b, [c, a]],

a zatem [L,L] ⊆ Z(L).

15.2 Przykłady

Przykład 15.2.1. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to A jest k-algebrą Liego z nawiasem [a, b] = ab−ba,a, b ∈ A.

Szczególnym przypadkiem tego przykładu jest:

Przykład 15.2.2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech A = Endk(V ) będziealgebrą wszystkich k-endomorfizmów przestrzeni V . Wtedy A, z nawiasem [f, g] − f g − g f , jestk-algebrą Liego.

W szczególności, jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to otrzymujemy, dobrze namznany przykład k-algebry LiegoMn(k), wszystkich (n×n)-macierzy nad k, z nawiasem Liego [A,B] =AB −BA. Tę k-algebrę Liego oznacza się zwykle przez gln(k).

W Podrozdziale 14.7 opisaliśmy pewne algebry Liego nad R, pochodzące od grup Liego. Godnymzapamiętania jest fakt (Twierdzenie Cartana), że każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jestalgebrą Liego pewnej grupy Liego.Algebry Liego przedstawione w Podrozdziale 14.7 są podalgebrami Liego w gln(k), gdzie k jest

ciałem R, liczb rzeczywistych. Takie same algebry Liego istnieją dla dowolnego ciała k. Mamy zatemnastępujące przykłady k-algebr Liego:

sln(k) = A ∈ gl(k); trA = 0 specjalna,

on(k) = A ∈ gln(k); AT = −A ortogonalna

son(k) = A ∈ gln(k); AT = −A, trA = 0 specjalna ortogonalna

spn(k) = A ∈ gl2n(k); ATΩ = −ΩA, symplektyczna.


Macierz Ω, występująca w symplektycznej algebrze Liego jest (2n×2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem

Ω =

[0 En

−En 0

].

Istnieją jeszcze co najmniej dwie ważne algebry Liego:

tn(k) = A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i > j trójkątna,

tn(k) = A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i > j trójkątna z zerami.

15.3 Małe wymiary

Przedstawiamy opis (pochodzący z [15]102) wszystkich k-algebr Liego L wymiaru 6 3, gdzie k jestciałem charakterystyki zero.

dim L = 1. [ , ] = 0 (tylko przemienna).

dim L = 2. Są tylko dwie algebry Liego dwuwymiarowe:

1. przemienna,

2. L = ke1 ⊕ ke2, [e1, e2] = e1 (patrz ZAlg389).

dim L = 3. Niech L1 = [L,L]. Wtedy 0 6 dimL1 6 3.

1. dimL1 = 0. Wtedy [ , ] = 0 (algebra przemienna).

2. dimL1 = 1. Niech x, y, z będzie bazą przestrzeni L nad k. Istnieją wtedy dwie nieizomorficznealgebry Liego:

(a) [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0,

(b) [x, z] = z, [x, y] = [y, z] = 0.

3. dimL1 = 2. Niech x, y będzie bazą przestrzeni L1 i niech z będzie wektorem dopełniającymdo bazy przestrzeni L. Wtedy musi zachodzić równość [x, y] = 0. Ponadto,

[x, z] = ax+ by, [y, z] = cx+ dy, gdzie macierz A =[a bc d

]jest nieosobliwa.

Każda nieosobliwa macierz A zadaje strukturę k-algebry Liego na L. Dwie macierze nieosobliweA i B zadają izomorficzne struktury Liego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją α ∈ k r 0 oraznieosobliwa (2× 2)-macierz C takie, że αA = CBC−1. W szczególności, macierze postaci[

1 00 2n

]wyznaczają serię parami nieizomorficznych k-algebr Liego (char(k)=0).

4. dimL1 = 3. Wtedy L1 = [L,L] = L. W tym przypadku istnieją dwie nieizomorficzne k-algebryLiego:

(a) [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y (iloczyn wektorowy);

(b) [x, y] = 2y, [y, z] = x, [z, x] = 2z.

Istnieje również opis (patrz [15] 103) wszystkich k-algebr Liego wymiaru 4.


15.4 Derywacje

Dobrze wiadomo, że jeśli A jest łączną k-algebrą, to zbiór Derk(A), wszystkich k-derywacji z A doA, wraz z nawiasem [d1, d2] = d1d2 − d2d1, jest k-algebrą Liego. Tę samą własność ma zbiór Der(L),wszystkich derywacji algebry Liego L.Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L −→ L takie, że

d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b ∈ L.

Stwierdzenie 15.4.1. Zbiór Der(L), z nawiasem [d1, d2] = d1d2− d2d1, jest k-algebrą Liego. Jest topodalgebra Liego w Endk(L).

Dowód.

(d1d2 − d2d1)([a, b]) = d1([d2(a), b] + [a, d2(b)])− d2([d1(a), b] + [a, d1(b)])= [d1d2(a), b] + [d2(a), d1(b)] + [d1(a), d2(b)] + [a, d1d2(b)]

−[d2d1(a), b]− [d1(a), d2(b)]− [d2(a), d1(b)]− [a, d2d1(b)]= [d1d2(a), b] + [a, d1d2(b)]− [d2d1(a), b]− [a, d2d1(b)]= [(d1d2 − d2d1)(a), b] + [a, (d1d2 − d2d1)(b)].

Niech L będzie k-algebrą Liego. Jeśli x ∈ L, to przez adx oznaczamy odwzorowanie

adx : L −→ L, y 7−→ [x, y].

Stwierdzenie 15.4.2 (AL 11).(1) Odwzorowanie adx jest derywacją algebry Liego L.(2) Odwzorowanie ad : L −→ Der(L), x 7−→ adx, jest homomorfizmem k-algebr Liego. Jądrem

tego homomorfizmu jest centrum Z(L).(3) Jeśli δ ∈ Der(L), x ∈ L, to [δ, adx] = adδ(x).

Z tego stwierdzenia wynika:

Wniosek 15.4.3 (AL 56). Jeśli L jest k-algebrą Liego z zerowym centrum Z(L), to L można utoż-samiać z ideałem Liego w Der(L).

Dowód. Ponieważ Z(L) = 0, więc z (2) wynika, że homomorfizm ad: L −→ Der(L) jest injekcją.Jego obraz ad(L) jest, na mocy (3), ideałem w Der(L).

Definicja 15.4.4. Każdą derywację postaci adx nazywamy wewnętrzną.

Stwierdzenie 15.4.5 ([3] 92, AL 57). Jeśli L jest k-algebrą Liego taką, że Z(L) = 0 i [L,L] = L,to każda derywacja algebry Liego Der(L) jest wewnętrzna.

15.5 Reprezentacje

Definicja 15.5.1. Reprezentacją k-algebry Liego L nazywamy każdy homomorfizm k-algebr Liego

ϕ : L −→ Endk(V ),

gdzie V jest przestrzenią liniową nad k. Mówimy, że reprezentacja ϕ : L −→ Endk(V ) jest:(a) skończenie wymiarowa, jeśli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa nad k;(b) wierna, jeśli ϕ jest injekcją.

Ze Stwierdzenia 15.4.2 wynika:


Wniosek 15.5.2. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to odwzorowanie

ad : L −→ Der(L) → Endk(L)

jest jej reprezentacją.

Przykład 15.5.3 (PH451). Rozpatrzmy R-algebrę Liego R3 z nawiasem [u, v] = u × v, gdzie ×jest iloczynem wektorowym w R3. Niech x, y, z będzie ortonormalną bazą przestrzeni R3 nad R.Wtedy [x, y] = z, [y, z] = x oraz [z, x] = y. Reprezentacja

ad : R3 −→ EndR(R3) ≈ gl3(R)

jest wtedy określona wzorem:

ad((a, b, c)) =

0 c −b−c 0 ab −a 0

.Reprezentacja ta jest oczywiście wierna. Widzimy zatem, że algebra Liego (R3, [ , ]) jest izomorficznaz ortogonalną algebrą Liego o3(R).

Można udowodnić:

Twierdzenie 15.5.4 (Ado). Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego posiada wierną, skoń-czenie wymiarową reprezentację.

Stąd wynika:

Wniosek 15.5.5. Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego jest podalgebrą Liego algebry Liegogln(k), dla pewnego n.

Definicja 15.5.6. Niech ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ′ : L −→ Endk(V ′) będą reprezentacjami k-algebryLiego L. Homomorfizmem tych reprezentacji nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V −→ V ′

takie, że dla każdego x ∈ L, przemienny jest diagram

Vf−→ V ′

ϕx ↓ ↓ ϕ′x

Vf−→ V ′

.

Definicja 15.5.7. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to L-modułem nazywamy każdą przestrzeń k-liniowąM , wraz z odwzorowaniem · : L×M −→M , spełniającym warunki:(a) (αx+ βy)m = α(xm) + β(ym),(b) [x, y]m = x(ym)− y(xm),

dla wszystkich α, β ∈ k, x, y ∈ L, m ∈M .

Definicja 15.5.8. Jeśli M,M ′ są L-modułami, to ich homomorfizmem nazywamy każde przekształ-cenie k-liniowe f :M −→M ′ taki, że

f(xm) = xf(m), dla x ∈ L,m ∈M.

Jeśli ϕ : L −→ Endk(V ) jest reprezentacją k-algebry Liego L, to przestrzeń V jest L-modułem, zmnożeniem

(x, v) 7−→ ϕ(x)(v).

Zachodzi również odwrotnie. Jeśli V jest L-modułem, to odwzorowanie

ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ(x)(v) = xv,

jest reprezentacją k-algebry Liego L. Podobna wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość istnieje dlahomomorfizmów reprezentacji i homomorfizmów L-modułów.

Zdefiniowaliśmy dwie kategorie: kategorię R(L), wszystkich reprezentacji k-algebry Liego L orazkategorię L-Mod, wszystkich L-modułów. Kategorie te są równoważne. Kategorię L-Mod nazywa siękategorią Grothendiecka.


15.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego

Niech L będzie k-algebrą Liego. Definiujemy dwa zstępujące ciągi ideałów Liego w L:

L0 = L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . oraz L1 ⊇ L2 ⊇ L3 ⊇ . . . ,

przyjmując:L1 = [L,L], L2 = [L,L1], L3 = [L,L2], . . . ,

L1 = L1 = [L,L], L2 = [L1, L1], L3 = [L2, L2], . . . .

Wtedy Ln ⊆ Ln, dla wszystkich n. Ponadto, ilorazowe algebry Liego Ln/Ln+1 oraz Ln/Ln+1 sąprzemienne.

Definicja 15.6.1. Mówimy, że k-algebra Liego L jest:(1) rozwiązalna, jeśli istnieje n takie, że Ln = 0,(2) nilpotentna, jeśli istnieje n takie, że Ln = 0.

Każda przemienna algebra Liego jest nilpotentna. Każda nilpotentna k-algebra Liego jest oczy-wiście rozwiązalna. Przykładem rozwiązalnej k-algebry Liego, nie będącej algebrą nilpotentną, jestalgebra trójkątna

tn(k) = A ∈ gln(k); Aij = 0, dla i > j.

Przykład 15.6.2 (PH476).(1) Każda k-algebra Liego wymiaru 2, jest rozwiązalna. Niech L = kx ⊕ ky. Jeśli [x, y] = x, to

algebra L nie jest nilpotentna.(2) Niech L = kx⊕ ky ⊕ kz.(a) Jeśli [y, z] = x, [x, z] = [x, y] = 0, to algebra L jest nilpotentna.(b) Jeśli [x, y] = x, [z, y] = az, [x, z] = 0, gdzie a ∈ kr 0, to algebra L jest rozwiązalna, ale nie

jest nilpotentna.(c) Niech [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y, (iloczyn wektorowy). Wtedy algebra L nie jest

rozwiązalna.

Nazwa ”rozwiązalna algebra Liego” pochodzi od rozwiązalnych grup Liego. Te zaś zostały tak na-zwane w związku z równaniami różniczkowymi, rozwiązalnymi w kwadraturach (podobnie, jak zwykłegrupy rozwiązalne w związku z rozwiązalnością w pierwiastnikach).Nazwa ”nilpotentna algebra Liego” ma swoje uzasadnienie dzięki następującemu twierdzeniu.

Twierdzenie 15.6.3 (Engel). Skończenie wymiarowa k-algebra Liego L jest nilpotentna ⇐⇒ dlakażdego x ∈ L istnieje n takie, że adnx = 0.

Zanotujmy kilka własności rozwiązalnych i nilpotentnych algebr Liego. Zakładamy, że k-algebraLiego L ma skończony wymiar.

Stwierdzenie 15.6.4.(1) Podalgebra Liego i obraz homomorficzny rozwiązalnej (odp. nilpotentnej) algebry Liego są roz-

wiązalnymi (odp. nilpotentnymi) algebrami Liego.(2) Niech A będzie ideałem Liego w L. Wówczas algebra Liego L jest rozwiązalna ⇐⇒ algebry

Liego A i L/A są rozwiązalne.(3) Własność (2) nie zachodzi, na ogół , dla nilpotentnych algebr Liego.(4) Niezerowa algebra Liego nilpotentna ma niezerowe centrum.(5) Jeśli algebra Liego L/Z(L) jest nilpotentna, to L jest nilpotentną algebrą Liego.

Twierdzenie 15.6.5. Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem cha-rakterystyki zero. Wówczas L jest rozwiązalne ⇐⇒ [L,L] jest nilpotentne.


Następne twierdzenie jest pewnym wzmocnieniem twierdzenia Ado (patrz Twierdzenie 15.5.4)o reprezentacjch.

Twierdzenie 15.6.6 (Lie, Kolchin). Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrąLiego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk(V ) będzieskończenie wymiarową reprezentacją. Wtedy reprezentacja ta jest równoważna z pewną reprezentacjątrójkątną, tzn. jest równoważna z reprezentacją postaci ϕ′ : L −→ Endk(kn), dla pewnego n, gdziewszystkie macierze ϕ′(x) (dla x ∈ L) należą do tn(k).

Równoważność reprezentacji rozumie się tak jak zwykle. Reprezentacje ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ′ :L −→ Endk(V ′) są równoważne jeśli istnieje izomorfizm k-liniowy f : V −→ V ′ taki, że dla każdegox ∈ L, przemienny jest diagram

Vf−→ V ′

ϕx ↓ ↓ ϕ′x

Vf−→ V ′

.

Istotną rolę w dowodzie powyższego twierdzenia odgrywa następujący lemat (który oczywiściewynika z tego twierdzenia).

Lemat 15.6.7. Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrą Liego nad algebraiczniedomkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk(V ) będzie skończenie wymiaro-wą reprezentacją. Istnieje wtedy niezerowy wektor v ∈ V , będący wspólnym wektorem własnym dlawszystkich endomorfizmów ϕx : V −→ V , x ∈ L.

Z powyższego twierdzenia Lie-Kolchina wynika:

Wniosek 15.6.8 (Lie, Kolchin). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebra-icznie domkniętym ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest rozwiązalne, to L jest podalgebrą Liegotrójkątnej algebry tn(k), dla pewnego n.

Wniosek ten nie zachodzi, na ogół, dla ciał char p > 0.

Przykład 15.6.9 (PH480). Niech p = 3, L = kx⊕ ky ⊂ gl3(k), gdzie

x =

0 0 00 1 00 0 2

, y =

0 1 00 0 11 0 0

, [x, y] = −y.Łatwo zauważyć, że x, y nie mają wspólnego wektora własnego w k3, a zatem k3 nie ma L-podmodułuwymiaru 1.

Zanotujmy jeszcze odpowiednik Wniosku 15.6.8 dla nilpotentnych algebr Liego.

Twierdzenie 15.6.10. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie dom-kniętym ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest nilpotentne, to L jest podalgebrą Liego trójkątnejalgebry z zerami tn(k), dla pewnego n.

Definicja 15.6.11. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego, to przez BL : L × L −→ koznaczamy dwuliniową formę symetryczną, zwaną formą Killinga algebry L, określoną wzorem

BL(x, y) = tr(adx ady), dla x, y ∈ L.

Twierdzenie 15.6.12 (Cartan). Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego.(1) L jest rozwiązalne ⇐⇒ BL(x, y) = 0, dla x ∈ L, y ∈ [L,L].(2) L jest nilpotentne ⇐⇒ BL(x, y) = 0, dla x, y ∈ L.


16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina

16.1 Systemy pierwiastków

Przez E oznaczamy skończenie wymiarową przestrzeń euklidesową nad ciałem Q liczb wymiernych, ziloczynem skalarnym ( , ).

Definicja 16.1.1. Jeśli α 6= 0, β ∈ E, to przez n(α, β) oznaczamy liczbę rzeczywistą, zwaną współ-czynnikiem Cartana, określoną wzorem:

n(α, β) = 2 (β,α)(α,α) .

Jak zwykle w przestrzeni euklidesowej, kąt ϕ pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, określonyjest przez warunek:

cosϕ = (α,β)||α||·||β|| , gdzie ||α|| =

√(α, α), ||β|| =

√(β, β).

Lemat 16.1.2. Jeśli ϕ jest kątem pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, to

0 6 n(α, β)n(β, α) = 4 cos2 ϕ 6 4.

Dowód.n(α, β)n(β, α) = 2 (β,α)(α,α) · 2

(α,β)(β,β) = 4

((α,β)||α||·||β||

)2= 4 cos2 ϕ 6 4.

Definicja 16.1.3. Systemem pierwiastków w E nazywamy każdy niepusty podzbiór ∆ w E spełnia-jący następujące warunki.(1) ∆ generuje przestrzeń E nad Q oraz 0 6∈ ∆.(2) α ∈ ∆ =⇒ −α ∈ ∆.(3) α, β ∈ ∆ =⇒ n(α, β) ∈ Z.(4) α, β ∈ ∆ =⇒ β − n(α, β)α ∈ ∆.

Mówimy, że system pierwiastków ∆ jest zredukowany jeśli spełniony jest dodatkowo warunek:(2′) α ∈ ∆, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ ∆ ⇐⇒ c = ∓1).

Uwaga 16.1.4. Warunek (2) wynika z warunku (4). Jeśli bowiem α ∈ ∆, to

−α = α− 2α = α− 2 (α,α)(α,α)α = α− n(α, α)α ∈ Z.

Z Lematu 16.1.2 wynika:

Stwierdzenie 16.1.5. Jeśli ∆ jest systemem pierwiastków w E, to:(a) wszystkie liczby postaci n(α, β), gdzie α, β ∈ ∆, należą do zbioru

0,∓1,∓2,∓3,∓4;

(b) kąt pomiędzy dwoma elementami z ∆ należy do zbioru

0, π6 ,π4 ,π3 ,π2 ,2π3 ,3π4 ,5π6 , π;

(c) jeśli α, β ∈ ∆ i n(α, β)n(β, α) = 4, to wektory α, β są współliniowe.

Stwierdzenie 16.1.6. Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech α, β ∈ ∆.Jeśli wektory α, β są współliniowe, to α = ∓β.

Dowód. Niech α = qβ, gdzie q ∈ Q. Wtedy n(α, β) = 2q ∈ Z oraz n(β, α) = 2/q ∈ Z. Stąd łatwowynika, że β = ∓α, β = 2∓ α lub α = 2∓ β. Dwa ostatnie przypadki są wykluczone, gdyż system ∆jest zredukowany.

16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 101

Stwierdzenie 16.1.7 (PH4101). Każdy system pierwiastków E jest zbiorem skończonym.

Dowód. Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Wtedy na każdej prostej przechodzącejprzez 0 leży co najwyżej 6 pierwiastków należących do ∆. Jeśli bowiem α, β ∈ ∆ i α = qβ, gdzieq ∈ Q, to q = ∓1,∓2,∓1/2 (pokazaliśmy to w dowodzie poprzedniego stwierdzenia).Niech α1, . . . , αn ⊆ ∆ będzie bazą przestrzeni E nad Q (baza jest skończona, bo dimQ E <∞).

Każda prosta w E przechodząca przez 0, na której leżą pierwiastki z ∆, jest wyznaczona przez kąty,jakie tworzy z wektorami α1, . . . , αn. Wiemy (na mocy Stwierdzenia 16.1.5(2)), że kątów takich jesttylko skończona ilość. Stąd wynika, że ∆ jest zbiorem skończonym.

Niech α, β będą niezerowymi wektorami z E. Jeśli n(α, β) = 0, to (α, β) = 0, więc n(β, α) = 0 iwtedy wektory α, β są prostopadłe. Jeśli (α, β) 6= 0, to

n(α,β)n(β,α) =

(||β||||α||

)2.

Stwierdzenie 16.1.8 (PH4 66, 99). Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Załóżmy, że wek-tory α, β ∈ ∆ nie są równoległe i nie są prostopadłe. Oznaczmy przez ϕ kąt pomiędzy α i β. Zachodzićwtedy może dokładnie jeden (z dokładnością do permutacji) z natępujących przypadków:

(1) n(α, β) = 1, n(β, α) = 1, ϕ = π3 , ||α|| = ||β||;

(2) n(α, β) = −1, n(β, α) = −1, ϕ = 2π3 , ||α|| = ||β||;

(3) n(α, β) = 1, n(β, α) = 2, ϕ = π4 , ||α|| =√2 · ||β||;

(4) n(α, β) = −1, n(β, α) = −2, ϕ = 3π4 , ||α|| =√2 · ||β||;

(5) n(α, β) = 1, n(β, α) = 3, ϕ = π6 , ||α|| =√3 · ||β||;

(6) n(α, β) = −1, n(β, α) = −3, ϕ = 5π6 , ||α|| =√3 · ||β||.

Przykład 16.1.9 (PH499). Jeśli dimQ E = 2, to każdy zredukowany sytem pierwiastków ∆ w Ejest postaci

∆ = U ∪ −U,gdzie U jest jednym z następujących czterech zbiorów (przez ϕ oznaczamy kąt pomiędzy α i β):

(A1 ×A1) U = α, β, ϕ = π2 ;

(A2) U = α, α+ β, β, ϕ = 2π3 ; ||α|| = ||β||;

(B2) U = α, 2α+ β, α+ β, β, ϕ = 3π4 ; ||α|| =√2 · ||β||;

(G2) U = α, 3α+ β, 2α+ β, 3α+ 2β, α+ β, β, ϕ = 5π6 ; ||α|| =√3 · ||β||.

16.2 Grupa Weyla

Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E.

Definicja 16.2.1. Jeśli α ∈ ∆, to przez Sα : E −→ E oznaczamy odwzorowanie określone wzorem

Sα(x) = x− n(α, x)α = x− 2 (α,x)(α,α)α, dla x ∈ E.

Łatwo sprawdzić:

Lemat 16.2.2 (PH4100).(1) Sα(α) = −α,(2) (x, α) = 0 =⇒ Sα(x) = x,(3) Sα = S−α,(4) S2α = idE,(5) (Sα(x), Sα(y)) = (x, y),(6) Sα(∆) = ∆.


Stwierdzenie 16.2.3 (PH4100). Odwzorowanie Sα jest automorfizmem Q-przestrzeni E.

Definicja 16.2.4. Grupą Weyla systemu pierwiastków ∆ nazywamy podgrupę W = W (∆) gru-py AutQ(E), wszystkich automorfizmów Q-przestrzeni E, generowaną przez wszystkie automorfizmypostaci Sα, α ∈ ∆.

Przykład 16.2.5. Niech ∆ = A1 ×A1 będzie systemem pierwiastków z Przykładu 16.1.9. WtedyW (A1 ×A1) = Z2 ⊕ Z2.

Stwierdzenie 16.2.6. Grupa Weyla W (∆) jest skończona.

Dowód. Niech Sym(∆) będzie grupą permutacji zbioru ∆. Grupa ta jest skończona, gdyż wiemy(Stwierdzenie 16.1.7), że ∆ jest zbiorem skończonym. Rozważmy odwzorowanie

W (∆) −→ Sym(∆), σ 7−→ σ | ∆.

Jeśli σ ∈ W (∆), to σ(∆) = ∆ (patrz Lemat 16.2.2(6)). Powyższe odwzorowanie jest więc dobrzeokreślone. Jest ono ponadto różnowartościowe (ponieważ zbiór ∆ generuje przestrzeń E nad Q). Zatemgrupa W (∆) ma co najwyżej tyle elementów ile ma grupa Sym(∆).

16.3 Pierwiastki proste

Niech E, tak jak poprzednio, będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową nad Q. Wprzestrzeni E można wprowadzić liniowy porządek > w taki sposób, że E będzie przestrzenią upo-rządkowaną, tzn.:(1) x > y ⇐⇒ x− y > 0,(2) x > 0, y > 0 =⇒ x+ y > 0,(3) x > 0, q ∈ Q, q > 0 =⇒ qx > 0.

Można to zrobić np. w następujący sposób. Niech e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni E nad Q. Wpro-wadzamy w E porządek leksykograficzny: a1e1+· · ·+anen > b1+· · ·+bnen ⇐⇒ istnieje i ∈ 1, . . . , ntakie, że a1 = b1, · · · , ai1 = bi−1 oraz ai > bi (lub a1 > b1). Jest oczywiste, że porządek ten spełniawszystkie powyższe warunki.

Załóżmy więc, że ustalony jest porządek liniowy na E i niech ∆ będzie zredukowanym systemempierwiastków w E.

Definicja 16.3.1. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest dodatni, jeśli α > 0. Zbiór wszystkich pier-wiastków dodatnich w ∆ oznaczamy przez ∆+.

Oczywiście ∆ = ∆+.∪ −∆+.

Definicja 16.3.2. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest prosty, jeśli α ∈ ∆+ oraz α nie jest sumądwóch pierwiastków z ∆+.

Stwierdzenie 16.3.3 (PH4102). Niech r = dimQ E.(1) W systemie ∆ istnieje dokładnie r pierwiastków prostych.(2) Niech α1, . . . , αr będą wszystkimi, parami różnymi, pierwiastkami prostymi w ∆. Wtedy:(a) zbiór α1, . . . , αr jest bazą przestrzeni E nad Q;(b) jeśli β ∈ ∆+, to β = c1α1 + · · ·+ crαr, gdzie c1, . . . , cr > 0.

16.4 Macierz Cartana i V-graf

Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech r = dimQ E i niech α1, . . . , αrbędzie zbiorem wszystkich parami różnych pierwiastków prostych w ∆. Wprowadzamy nowe oznacze-nie:

dij = −n(αj , αi) = −2 (αi,αj)(αj ,αj), dla i, j = 1, . . . , r.

16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 103

Definicja 16.4.1. Macierz [dij ] nazywamy macierzą Cartana systemu ∆.

Stwierdzenie 16.4.2 (PH4103).(1) dii = −2;(2) dij > 0, dla i 6= j;(3) dijdji 6 3, dla i 6= j;(4) (αj , αj)dij = (αi, αi)dji.

Stwierdzenie 16.4.3 (PH4104).(1) Niech x ∈ E. Jeśli x = x1α1 + · · ·xrαr, gdzie x1, . . . , xr ∈ Q, to

Sαi(x) = x1α1 + · · ·+ xi−1αi−1 +(−xi +

∑j 6=i djixj

)αi + xi+1αi+1 + · · ·+ xrαr.

(2) Niech x ∈ E. Wtedy x ∈ ∆ ⇐⇒ x = σ(αi), dla pewnego i ∈ 1, . . . , r oraz pewnegoautomorfizmu σ należącego do grupy Weyla W (∆).(3) Grupa Weyla W (∆) jest generowana przez automorfizmy Sα1 , . . . , Sαr .

Definicja 16.4.4. V -grafem systemu ∆ nazywamy graf, o wierzchołkach 1, . . . , r i krawędziach:

(dij , dji)• −−−−−−−− •i j

W podobny sposób definiuje się grafy Coxetera systemu ∆ (patrz PH4103). Tym nie będziemy się tu zajmować.

Definicja 16.4.5. Mówimy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumą prostą swoichpodzbiorów ∆1 i ∆2, jeśli:(1) ∆ = ∆1 ∪∆2,(2) ∆1 ∩∆2 = ∅,(3) (∆1,∆2) = 0, tzn. (α, β) = 0, dla wszystkich α ∈ ∆1, β ∈ ∆2.

Stwierdzenie 16.4.6 (PH4104). Jeśli zredukowany system ∆ ⊂ E jest sumą prostą podzbiorów ∆1 i∆2, to przestrzeń E jest sumą prostą podprzestrzeni E1 i E2, gdzie E1 = Q∆1 oraz E2 = Q∆2. Wtedy∆1 jest zredukowanym systemem pierwiastków w E1, a ∆2 jest zredukowanym systemem pierwiastkóww E2.

Stwierdzenie 16.4.7 (PH4104). Załóżmy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumąprostą podzbiorów ∆1 i ∆2. Niech (Γ, d) będzie V -grafem systemu ∆ i niech (Γ′, d′), (Γ′′, d′′) będąV -grafami odpowiednio systemów ∆1 i ∆2. Wtedy (Γ, d) = (Γ′, d′)

.∪ (Γ′′, d′′).

Stwierdzenie 16.4.8 (PH4104).(1) Każdy zredukowany system pierwiastków jest sumą prostą nierozkładalnych systemów pierwiast-

ków.(2) System ∆ jest nierozkładalny ⇐⇒ V -graf systemu ∆ jest spójny.


16.5 Diagramy Dynkina

Twierdzenie 16.5.1 (PH4104). Niech ∆ ⊂ E będzie zredukowanym systemem pierwiastków i niech(Γ, d) będzie V -grafem dla ∆. Załóżmy, że graf ten jest spójny. Niech • −−−−− • oznacza (1, 1)• −−−−− • .Wtedy graf (Γ, d) jest izomorficzny z dokładnie jednym grafem następującej listy:

An • −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •1 2 3 4 n− 1 n (n > 1)

Bn(1, 2)• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •

1 2 3 4 n− 1 n(n > 2)

Cn(2, 1)• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •

1 2 3 4 n− 1 n(n > 3)

Dn

2•|

• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •1 3 4 5 n− 1 n

(n > 4)

E6•|

• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •

E7•|

• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •

E8•|

• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •

F4 (1, 2)• −−−−− • −−−−− • −−−−− •

G2 (1, 3)• −−−−− •

Uwaga 16.5.2. C2 ≈ B2, D3 ≈ A3.

Definicja 16.5.3. Wszystkie grafy występujące w powyższym twierdzeniu nazywamy diagramamiDynkina.

Istnieją również tzw. rozszerzone diagramy Dynkina (patrz PH4105).

17. Półproste algebry Liego 105

17 Półproste algebry Liego

Zakładamy, że k jest algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero oraz, że L jest skoń-czenie wymiarową k-algebrą Liego.

17.1 Proste i półproste algebry Liego

Każdy ideał Liego w L jest oczywiście podalgebrą Liego w L. Mówimy, że ideał Liego jest rozwią-zalny, jeśli jest rozwiązalny jako algebra Liego.

Rozpoczynamy od następującego lematu.

Lemat 17.1.1 (PH484). Jeśli A,B są rozwiązalnymi ideałami Liego w L, to ideał Liego A + Brównież jest rozwiązalny.

Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 15.6.4 oraz z izomorfizmu (A+B)/A ≈ B/(A ∩B). Rozwią-zalność ideału B implikuje bowiem rozwiązalność algebry Liego B/(A∩B) (jako algebry ilorazowej),czyli rozwiązalność algebry (A + B)/A. Ponieważ A jest też rozwiązalne, więc (Stwierdzenie 15.6.4)A+B jest rozwiązalne.

Korzystając z tego lematu można wykazać:

Wniosek 17.1.2. Istnieje jedyny maksymalny rozwiązalny ideał Liego w L. Ideał ten jest sumą(algebraiczną) wszystkich rozwiązalnych ideałów Liego w L.

Definicja 17.1.3. Jedyny maksymalny ideał rozwiązalny w L oznaczamy przez rad(L) i nazywamyradykałem algebry Liego L.

Definicja 17.1.4. Mówimy, że k-algebra Liego L jest prosta, jeśli [L,L] 6= 0 i jedynymi ideałamiLiego w L są 0 i L.

Definicja 17.1.5. Mówimy, że k-algebra Liego L jest półprosta, jeśli rad(L) = 0.

Jeśli algebra Liego L jest prosta, to Z(L) = 0 i [L,L] = L. Każda prosta algebra Liego jestoczywiście półprosta. Jeśli L jest dowolną (skończenie wymiarową) k-algebrą Liego, to ilorazowa k-algebra Liego L/Rad(L) jest półprosta.

Twierdzenie 17.1.6. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego (gdzie k jest algebraiczniedomkniętym ciałem charakterystyki zero), to następujące warunki są równoważne.(1) Algebra L jest półprosta.(2) Każdy przemienny ideał Liego w L jest zerowy, tzn. jeśli I jest ideałem Liego w L, to

[I, I] = 0 =⇒ I = 0.

(3) L jest skończoną sumą prostą pewnych prostych nieprzemiennych ideałów Liego w L.(4) (Cartan). Forma Killinga BL jest nieosobliwa.(5) (Weyl). Każdy skończenie generowany L-moduł jest półprosty.

Wyjaśnijmy pewne pojęcia potrzebne do zrozumienia treści powyższego twierdzenia.Punkt (3) mówi, że L = I1 ⊕ · · · ⊕ Is, gdzie I1, . . . , Is są prostymi ideałami Liego (czyli prostymi jako podalgebry

Liego) w L. Stąd wynika, że algebra Liego L jest izomorficzna z produktem postaci I1 × · · · × Is, gdzie I1, . . . , Is sąprostymi k-algebrami Liego.W punkcie (4) mówi się o formie Killinga BL : L×L −→ k. Wprowadziliśmy ją w Podrozdziale 15.6. Nieosobliwość

tej formy oznacza, że ideał x ∈ L; B(x, L) = 0 jest zerowy.Nie mówiliśmy jeszcze co to znaczy, że L-moduł jest półprosty. Pojęcie takie występuje w (5). L-modułM nazywamy

prostym, jeśli M 6= 0 oraz M nie posiada istotnych L-podmodułów. Mówimy, że dany L-moduł M jest półprosty,jeśli jest sumą prostą prostych L-modułów lub równoważnie, jeśli każdy L-podmoduł w M wydziela się jako składnik

prosty. Charakteryzacja L-modułów półprostych jest dokładnie taka sama, jak dobrze znana charakteryzacja zwykłych

modułów półprostych (nad dowolnym pierścieniem). Dodadkowe informacje o półprostych L-modułach znajdziemy w

PH4 86. Wspomnijmy jeszcze, że dla prostych L-modułów zachodzi Lemat Schura. W tym przypadku oznacza to, że jeśli

f :M −→M jest endomorfizmem prostego L-modułu M , to istnieje a ∈ k takie, że f = a · 1M , (czyli EndL(M) ≈ k).

Zanotujmy kilka własności półprostych algebr Liego.


Stwierdzenie 17.1.7 (PH485). Załóżmy, że k-algebra Liego L jest półprosta. Wtedy:(1) Z(L) = 0;(2) [L,L] = L;(3) Podalgebry Liego w L i ilorazowe algebry Liego postaci L/A, są półproste.

Stwierdzenie 17.1.8 (PH485). Jeśli k-algebra Liego L jest półprosta, to homomorfizm Liego ad :L −→ Der(L) jest izomorfizmem.

Stąd wynika:

Wniosek 17.1.9. Jeśli L jest półprostą k-algebrą Liego, to każda derywacja d : L −→ L jest we-wnętrzna.

W następnym stwierdzeniu spotykamy sią z ważnym przykładem półprostej algebry Liego.

Stwierdzenie 17.1.10. Specjalna algebra Liego sln(k) = A ∈ gln(k); tr(A) = 0 jest półprosta.

Dowód dla n = 2 przedstawimy w następnym podrozdziale.

Można udowodnić:

Twierdzenie 17.1.11. Niech L będzie półprostą, skończenie wymiarową, k-algebrą Liego. Jeśli ϕ :L −→ Endk(kn) jest reprezentacją, to ϕ(L) ⊆ sln(k).

Stąd w szczególności otrzymujemy:

Wniosek 17.1.12. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego wsln(k), dla pewnego n.

17.2 Specjalna algebra Liego sl2(k)

W poprzednim podrozdziale wspomnieliśmy, że algebra sln(k), jest ważnym przykładem półprostejk-algebry Liego. Każda skończenie wymiarowa i półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego tejalgebry.W tym podrozdziale zajmiemy się przypadkiem n = 2. Wykażemy, że algebra sl2(k), jest istotnie

półprosta. Podamy również pewne informacje dotyczące prostych sl2(k)-modułów.

Przypomnijmy, że sl2(k) jest zbiorem wszystkich (2× 2)-macierzy[a bc d

], przy czym a+ d = 0.

Rozpatrzmy następujące trzy macierze, należące do sl2(k):

A =[0 10 0

], B =

[0 01 0

], C =

[1 00 −1

].

Lemat 17.2.1. Macierze A,B,C tworzą bazę przestrzeni sl2(k) nad k

Dowód. Liniowa niezależność jest oczywista. Generowanie wynika z równości:[a bc d

]=[a bc −a

]= aC + bA+ cB.

Bez trudu sprawdzamy następne dwa lematy.

Lemat 17.2.2. [C,A] = 2A, [C,B] = −2B, [A,B] = C.


Lemat 17.2.3. Macierze przekształceń liniowych adA, adB, adC , są odpowiednio następujące: 0 0 −20 0 00 1 0

, 0 0 00 0 2−1 0 0

, 2 0 00 −2 00 0 0

.

Wykażemy teraz następny lemat.

Lemat 17.2.4. Forma Killinga algebry sl2(k) ma macierz: 0 4 04 0 00 0 8

,której wyznacznik jest równy −128.

Dowód. Niech B będzie formą Killinga algebry sl2(k). Wiemy, że B(X,Y ) =tr(adX adY ), dlawszystkich macierzy X,Y ∈ sl2(k). Mamy zatem:

B(A,A) = tr(

0 0 −20 0 00 1 0

· 0 0 −20 0 00 1 0

) = tr 0 −2 00 0 00 0 0

= 0,

B(A,B) = tr(

0 0 −20 0 00 1 0

· 0 0 00 0 2−1 0 0

) = tr 2 0 00 0 00 0 2

= 4,itd.

Z ostatniego lematu i Twierdzenia 17.1.6(4) otrzymujemy:

Wniosek 17.2.5 (PH491). Algebra sl2(k) jest półprostą k-algebrą Liego.

W następnym twierdzeniu zawarta jest klasyfikacja wszystkich prostych i skończenie wymiarowychsl2(k)-modułów.

Twierdzenie 17.2.6. Dla dowolnej liczby całkowitej n > 0 istnieje dokładnie jeden (z dokładnościądo izomorfizmu) sl2(k)-moduł prosty Vn, wymiaru n + 1. Każdy skończenie wymiarowy sl2(k)-modułprosty jest izomorficzny z pewnym sl2(k)-modułem postaci Vn.

Struktura sl2(k)-modułu na przestrzeni liniowej Vn (występującej w powyższym twierdzeniu) za-dana je poprzez reprezentację

ϕ(n) : sl2(k) −→ gln+1(k),

określoną na bazie A,B,C wzorami:

ϕ(n)(A) =

n 0 0 . . . 00 n− 2 0 . . . 00 0 n− 4 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . −n

, ϕ(n)(B) =

0 0 0 . . . 0 01 0 0 . . . 0 00 2 0 . . . 0 0.........

......

0 0 0 . . . n 0

,

ϕ(n)(C) =

0 1 0 . . . 00 0 2 . . . 00 0 0 . . . 0.........

...0 0 0 . . . n0 0 0 . . . 0

.

Uwaga 17.2.7. Istnieją sl2(k)-moduły proste nieskończonego wymiaru. Istnieje również nieskończe-nie wymiarowy sl2(k)-moduł, który nie jest półprosty.


17.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva

Twierdzenie 17.3.1 (Cartan, Levi, Malcev). Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Lie-go, to istnieje półprosta podalgebra Liego S w L taka, że

L = Rad(L)⊕ S (suma prosta przestrzeni liniowych).

Jeśli S′ jest drugą półprostą podalgebrą Liego w L taką, że L = Rad(L)⊕S′, to istnieje k-automorfizmLiego ϕ : L −→ L taki, że ϕ | Rad(L) jest tożsamością oraz ϕ(S) = S′.

Z powyższego twierdzenia wynika, że problem klasyfikacji skończenie wymiarowych algebr Liegosprowadza się do opisu wszystkich rozwiązalnych i półprostych algebr Liego. Algebry rozwiązalnedo tej pory nie zostały sklasyfikowane. Istnieje natomiast pełna klasyfikacja wszystkich skończeniewymiarowych półprostych algebr Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero.Wszystkie następne podrozdziały tego rozdziału zmierzają do przedstawienia tej klasyfikacji.

17.4 Podalgebry Cartana i torusy

Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego.

Definicja 17.4.1. Jeśli P jest zbiorem zawartym w L, to centralizatorem zbioru P w L nazywamyideał Liego

CP (L) = x ∈ L; [x, P ] = 0 =⋂p∈P Ker adp.

W szczególności centralizator CL(L) pokrywa się z centrum Z(L).

Definicja 17.4.2. Podalgebrą Cartana w L nazywamy każdą nilpotentną podalgebrę Liego H w Ltaką, że CL(H) = H.

Stwierdzenie 17.4.3. Podalgebra Cartana jest przemienną algebrą Liego (tzn. [H,H] = 0).

Przykład 17.4.4. Podalgebrą Cartana w gln(k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzydiagonalnych. Podalgebrą Cartana w sln(k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzy diago-nalnych z zerowym śladem.

W przypadku skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego (char(k) = 0) podalgebry Car-tana pokrywają się z maksymalnymi torusami.Co to jest torus w L? Wiemy, że jeśli L jest półproste (i skończenie wymiarowe), to odwzorowanie

ad: L −→ Der(L) jest izomorfizmem algebr Liego. Każdy element x ∈ L możemy więc utożsamiać zprzekształceniem k-liniowym adx : L −→ L. Wiemy ponadto, że każdy k-endomorfizm ϕ : L −→ L(ciało k jest algebraicznie domknięte!) ma jednoznaczny rozkład Jordana-Chevalley (patrz [13] lub [18])ϕ = ϕn + ϕs. W szczególności więc każdy element x ∈ L ma (dzięki wspomnianemu utożsamieniu)rozkład x = xn + xs. Rozkład ten nazywamy abstrakcyjnym rozkładem Jordana-Chevalley.

Definicja 17.4.5. Torusem w L (ang. toral subalgebra) nazywamy każdą podalgebrę Liego H w Ltaką, że: x ∈ H =⇒ xn = 0.Mówimy, że dany torus w L jest maksymalny, jeśli jest maksymalny w sensie inkluzji.

Zanotujmy zatem:

Stwierdzenie 17.4.6. Dla skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego pojęcia maksymalnytorus i podalgebra Cartana pokrywają się.

Wykażemy teraz:

Stwierdzenie 17.4.7 (PH492). Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego L posiadatorus.


Dowód. Ponieważ [L,L] = L, więc L nie jest nilpotentne. Istnieje więc (na mocy twierdzenia En-gela) x ∈ L takie, że endomorfizm adx nie jest nilpotentny. Zatem, jeśli x = xn+xs jest abstrakcyjnymrozkładem Jordana-Chevalley, to xs 6= 0. Wówczas K = kxs jest torusem w L.

Stąd wynika:

Wniosek 17.4.8. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego posiada podalgebrę Carta-na.

Można, ponadto udowodnić:

Stwierdzenie 17.4.9 (PH4109). Jeśli H i H ′ są podalgebrami Cartana w L, to istnieje automor-fizm Liego σ : L −→ L taki, że σ(H) = H ′.

Podalgebra Cartana w L jest więc wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu.

17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana

Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego i niech H będzie jej podalge-brą Cartana (tzn. maksymalnym torusem). Przez H∗ oznaczamy przestrzeń Homk(H, k), wszystkichprzekształceń k-liniowych z H do k.

Definicja 17.5.1. Jeśli α ∈ H∗, to przez Lα oznaczamy podzbiór w L, określony następująco:

Lα = x ∈ L; [u, x] = α(u)x, dla wszystkich u ∈ H.

Stwierdzenie 17.5.2.(1) Lα jest podprzestrzenią liniową w L.(2) Lα nie jest, na ogół, podalgebrą Liego w L.(3) L0 = CL(H) = H.

Dowód. (1). Wynika to z równości:

[u, ax+ by] = a[u, x] + b[u, y] = aα(u)x+ bα(u)y = α(u)(ax+ by),

dla u =∈ H, a, b ∈ k, x, y ∈ L.(2). Łatwo sprawdzić, że jeśli x, y ∈ Lα i u ∈ H, to

[u, [x, y]] = 2α(u)[x, y].

(3). Podalgebra Cartana spełnia, na mocy definicji, warunek CL(H) = H.

Stwierdzenie 17.5.3 (PH493).(1) Jeśli α, β ∈ H∗, to [Lα, Lβ ] ⊆ Lα+β.(2) Jeśli x ∈ Lα i α 6= 0, to odwzorowanie adx jest nilpotentne.(3) Niech BL : L×L −→ k będzie formą Killinga algebry Liego L. Niech α, β ∈ H∗. Jeśli α+β 6= 0,

to BL(x, y) = 0 dla wszystkich x ∈ Lα, y ∈ Lβ.(4) Forma Killinga BL, obcięta do podalgebry L0, jest niezdegenerowana.

17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego

Zakładamy, tak jak poprzednio: L jest skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego, H jestpodalgebrą Cartana w L. W poprzednim podrozdziale wprowadziliśmy podprzestrzenie liniowe w L,postaci Lα, gdzie α ∈ H∗ = Homk(H, k).

Definicja 17.6.1. Przez Φ oznaczamy zbiór wszystkich niezerowych przekształceń α ∈ H∗ takich,że Lα 6= 0.

Można wykazać:


Stwierdzenie 17.6.2.(1) Φ jest zbiorem skończonym.(2) Φ generuje przestrzeń H∗ = Homk(H, k).(3) Jeśli α ∈ Φ, to −α ∈ Φ.(4) Jeśli α ∈ Φ, to dimk Lα = 1.

Twierdzenie 17.6.3 (Cartan).L = H ⊕

⊕α∈Φ

Lα.

Jest to tzw. rozkład Cartana półprostej k-algebry Liego L względem maksymalnego torusa H (ang.root space decomposition).

Przypomnijmy, że przez BL : L× L −→ k oznaczamy formę Killinga algebry L.

Stwierdzenie 17.6.4. Odwzorowanie

H −→ H∗, u 7−→ BL(u, ),

jest izomorfizmem przestrzeni k-liniowych.

Definicja 17.6.5. Jeśli α ∈ Φ ⊂ H∗, to przez tα oznaczamy jedyny element z H (istniejący na mocypowyższego stwierdzenia) taki, że α = BL(tα, ).

Stwierdzenie 17.6.6 (PH494). Jeśli α ∈ Φ, to:(1) [x, y] = BL(x, y)tα, dla wszystkich x ∈ Lα, y ∈ L−α;(2) [Lα, L−α] = k · tα;(3) α(tα) = BL(tα, tα).

Definicja 17.6.7. Jeśli α ∈ Φ, 0 6= x ∈ Lα, 0 6= y ∈ L−α, to przez Aα(x, y) oznaczamy liniowąpodprzestrzeń w L określoną wzorem:

Aα(x, y) = k · x+ k · y + k · [x, y].

Podprzestrzeń Aα(x, y) ma szczególne własności:

Stwierdzenie 17.6.8 (PH495).(1) Podprzestrzeń Aα(x, y) nie zależy od wyboru punktów x, y. Dokładniej, jeśli 0 6= x ∈ Lα,

0 6= y ∈ L−α, toAα(x, y) = Lα + L−α + [Lα, L−α].

(2) Podprzestrzeń Aα(x, y) jest podalgebrą Liego w L.(3) Algebra Liego Aα(x, y) jest izomorficzna z sl2(k). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie:

x 7−→[0 10 0

], y 7−→

[0 01 0

], [x, y] 7−→

[1 00 −1

].

Dzięki powyższym faktom można udowodnić następujące dwa stwierdzenia.

Stwierdzenie 17.6.9 (PH496). Jeśli α, β ∈ Φ, to BL(tα, tβ) ∈ Q.

Stwierdzenie 17.6.10 (PH495). Jeśli u, v ∈ H, to

BL(u, v) =∑α∈Φ

α(u)α(v).

Definicja 17.6.11. Przez EH oznaczamy Q-podprzestrzeń w H∗ generowaną przez zbiór Φ.

Można udowodnć (korzystając z powyższych stwierdzeń):


Stwierdzenie 17.6.12. EH jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym

( , ) : EH × Eφ −→ Q,

określonym (na generatorach α, β ∈ Φ) wzorem:

(α, β) = BL(tα, tβ) = α(tβ).

Teraz już nie jest trudno udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 17.6.13 (PH496). Zbiór Φ jest zredukowanym systemem pierwiastków w EH , tzn.:(1) Φ generuje przestrzeń EH nad Q;(2) α ∈ Φ, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ Φ ⇐⇒ c = ∓1);(3) α, β ∈ Φ =⇒ 2 (β,α)(α,α) ∈ Z;(3) α, β ∈ Φ =⇒ β − 2 (β,α)(α,α)α ∈ Φ.

Można ponadto udowodnić:

Stwierdzenie 17.6.14 (PH496). Jeśli elementy α1, . . . , αs ∈ Φ tworzą bazę przestrzeni H∗ =Homk(H, k), to dowolny element α ∈ Φ ma postać

α = c1α1 + · · ·+ csαs,

gdzie c1, . . . , cs ∈ Q.

Stąd można otrzymać:

Wniosek 17.6.15. dimQ EH = dimkH∗, H∗ ≈ EH ⊗Q k.

17.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego

Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad algebraicznie domkniętymciałem k charakterystyki zero.Niech H będzie podalgebrą Cartana w L. Wiemy, że z algebrą H stowarzyszony jest zredukowany

system pierwiastków ΦH = Φ. Z systemem ΦH stowarzyszony jest natomiast V -graf ΓH .Obiekty te są wyznaczone jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli H i H ′ są podal-

gebrami Cartana w L, to istnieje automorfizm Liego ϕ : L −→ L taki, że ϕ(H) = H ′ i wtedy mamyindukowane izomorfizmy: ΦH ≈ ΦH′ , ΓH ≈ ΓH′ . Ta jednoznaczność jest jeszcze w głębszym sensie:

Stwierdzenie 17.7.1. Załóżmy, że L i L′ są izomorficznymi, półprostymi k-algebrami Liego (skończe-nie wymiarowymi). Istnieje wtedy k-izomorfizm Liego ϕ : L −→ L′ ustalający izomorfizm odpowiednichalgebr Cartana H, H ′ oraz zredukowanych systemów pierwiastków ΦH , ΦH′ , jak również V -grafów ΓH ,ΓH′ .

Istnieje więc wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy rozważanymi obiektami. Co więcej,jeśli V -grafy odpowiednich półprostych algebr Liego L i L′ są izomorficzne, to istnieje izomorfizm k-algebr Liego L −→ L′ indukujący izomorfizmy odpowiednich zredukowanych systemów pierwiastków,podalgebr Cartana, itd.Przy tej odpowiedniości prostym algebrom Liego odpowiadają nierozkładalne systemy pierwiast-

ków i konsekwentnie, spójne V -grafy czyli (na mocy Twierdzenia 16.5.1) diagramy Dynkina.Istnieje zatem pełna klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego na algebraicznie

domkniętym ciałem charakterystyki zero (np. nad ciałem C liczb zespolonych).Każda półprosta, skończenie wymiarowa, k-algebra Liego jest sumą prostą prostych algebr Lie-

go. Rozkład jest jednoznaczny. Mamy zatem pełną klasyfikację wszystkich półprostych (skończeniewymiarowych) algebr Liego na algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero.

Spójrzmy jeszcze raz na diagramy Dynkina (Twierdzenie 16.5.1). Z powyższych rozważań wy-nika, że istnieje nieskończenie wiele, parami nieizomorficznych, prostych k-algebr Liego (skończenie


wymiarowych). Są cztery nieskończone serie, odpowiadające diagramom An, Bn, Cn, Dn oraz pięc”sporadycznych” algebr, odpowiadających diagramom E6, E7, E8, F4 i G2.Wymiary (nad k) algebr sporadycznych wynoszą odpowiednio: 84, 133, 248, 52 i 14. Algebry

Liego (wraz z ich wymiarami d i nazwami) odpowiadające nieskończonym seriom przedstawiają sięnastępująco:

An : X ∈ gln+1(k); trX = 0 d = n2 + 2n (specjalna),

Bn : X ∈ gl2n+1(k); XB +BTX = 0 d = 2n2 + n (ortogonalna),

Cn : X ∈ gl2n(k); XC + CTX = 0 d = 2n2 + n (symplektyczna),

Dn : X ∈ gl2n(k); XD +DTX = 0 d = 2n2 − n (ortogonalna).

Macierze B,C,D, występujące powyżej, są odpowiednio (2n + 1 × 2n + 1), (2n × 2n), (2n × 2n)macierzami zdefiniowanymi następująco:

B =

1 0 00 0 En0 −En 0

, C =[0 En−En 0

], D =

[0 EnEn 0

],

gdzie En jest (n× n)-macierzą jednostkową.

Tak jest dla ciała algebraicznie domkniętego, charakterystyki zero (w szczególności dla C). Istniejerównież klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego nad ciałem R, liczb rzeczywi-stych. W tym przypadku mamy 12 nieskończonych serii (wśród których są cztery powyższe serie) oraz23 algebry sporadyczne (patrz np. [15] 106).

Literatura 113

Literatura

[1] R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis and Applications, Addison-Wesley Publ. Comp., 1983.

[2] L. Auslander, R. E. Mac Kenzie, Introduction to differentiable manifolds, McGraw-Hill BookCompany, 1963 (Przekład polski: Rozmaitości różniczkowalne, PWN, Warszawa 1969).

[3] N. Bourbaki, Groupes et Algebras de Lie, I, II, III, Herman Paris, 1972 (tł. ros. Moskwa 1976).

[4] K. Cegiełka, Geometria różniczkowa, Skrypt UW, Warszawa, 1981.

[5] L. M. Drużkowski, Henri Poincare - matematyk, fizyk, astronom i filozof, Wiadomości Matema-tyczne 30(1993), 73 - 84.

[6] R. Duda, Wprowadzenie do topologii, Część II, Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości,PWN, Warszawa, 1986.

[7] R. Engelking, Zarys topologii ogólnej, PWN, Warszawa, 1965.

[8] R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa, 1975.

[9] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN, Warszawa, 1980.

[10] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa, 1987.

[11] M. Goto, F. D. Grosshans, Semisimple Lie Algebras, Marcel Deker, Inc., 1978 (tł. ros., MIR,Moskwa, 1981).

[12] M. J. Greenberg, Lectures on Algebraic Topology, W. A. Benjamin, Inc., 1967 (tł. polskie PWN,Warszawa, 1980).

[13] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, NewYork Heidelberg Berlin, 1972.

[14] J. E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1981.

[15] A. A. Kirillow, Elementy teorii predstawlenij, Nauka, Moskwa 1972.

[16] Cz. Kosniowski, A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, 1980 (tł. rosyj-skie Moskwa MIR, 1983).

[17] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985.

[18] A. Nowicki, Polynomial derivations and their rings of constants, UMK, Toruń, 1994.

[19] A. Nowicki, Moduł różniczek, Preprint 1995.

[20] A. Nowicki, Elementy geometrii algebraicznej, Preprint 1995.

[21] A. Prószyński, Algebry Liego, Wykład D. Simsona, Zeszyt 1977 - 1978.

[22] A. Prószyński, Topologia różniczkowa, Wykład S. Balcerzyka, Zeszyt 1971 - 1972.

[23] A. Prószyński, Wiązki wektorowe, Zeszyt.

[24] M. Skwarczyński, Geometria rozmaitości Riemanna, PWN, Warszawa, 1993.

[25] M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Warszawa, 1977.

[26] F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, 1983(tł. rosyjskie: Moskwa 1987).

[27] W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, Warszawa, 1986.

Skorowidzalgebraform różniczkowych 65funkcjiciągłych 22gładkich 35ograniczonych 23Liego 62, 97grupy Liego 85, 93ilorazowa 98, 110łączna 98małego wymiaru 99nilpotentna 102ortogonalna 89, 99, 117półprosta 110, 117prosta 110przemienna 97, 113rozwiązalna 102, 110specjalna 89, 99, 111, 117specjalna ortogonalna 89, 99specjalna unitarna 90symplektyczna 90, 99, 117trójkątna 99, 102-103trójkątna z zerami 99unitarna 90

atlas 2, 33maksymalny 33

automorfizm 38liniowy 26, 29

Balcerzyk St. 23bazaderywacji lokalnych 44, 68lokalna 58modułu przekrojów 58

brzeg kostki 14butelka Kleina 5

całkowanie pól wektorowych 75centralizator 113centrum algebry Liego 98, 100algebry Liego 113

ciało kwaternionów 81coordinate transformations 29cylinder 4

derywacja 23, 41, 57, 68algebry Liego 100wewnętrzna 100, 111lokalna 23, 41, 48, 55, 68modułu 41niezmiennicza 85, 87pierścienia funkcji gładkich 58, 68, 85

diagram Dynkina 109, 117droga 7, 9odwrotna 9stała 9zamknięta 9

dyfeomorfizm 34, 78, 91działaniefunktora na wiązkę 63grupyna przestrzeń topologiczną 3-4, 15na zbiór 15wolne 18wspólnie rozłączne 17-18

exp 92

formadf 65, 70dokładna 73Killinga 104, 110, 112, 115różniczkowa 65, 71wyższego rzędu 72zamknięta 73

formalne rozwiązanie 78Friedman M. 14funkcjaanalityczna 33gładka 34-35odwracalna 22przejścia 29, 53, 63różniczkowalna 31

funktoraddytywny 63ciągły 63grupy podstawowej 11homologii 9kontrawariantny 20, 25, 35-36, 39, 63kowariantny 28, 63, 95

G-przestrzeń 16-17, 19G-zbiór 15Gleason 96graf-Coxetera 108grupaabelowa 13, 19addytywnaliczb wymiernych 19cykliczna 13, 19dyfeomorfizmów 78, 92formalna 94homotopii 11wyższa 14ilorazowa 13kohomologii 66Liego 81, 93analityczna 96GLn(C) 81GLn(R) 81, 86jednospójna 93lokalna 91, 93przekształceń afinicznych 81Rn 85

114

Indeks 115

rozwiązalna 102specjalna 89specjalna ortogonalna 89specjalna unitarna 90spójna 93symplektyczna 90symplektyczna liniowa 90unitarna 89zwarta 90multyplikatywna 81podstawowa 9, 11, 18skończona 16-17topologiczna 6, 13, 81, 96Weyla 106

gwiaździsty zbiór 74

hipotezaPoincar’e 14

homomorfizmad 100, 111algebr Liego 97grup Liego 81lokalnych grup Liego 91reprezentacji algebr Liego 101

homotopia 9odwzorowań 12

homotopijna równoważność 4, 13dróg 9

ideałLiego 98, 110rozwiązalny 110maksymalny 22, 24, 37-38

iloczyn skalarny 30, 116iloczyn wektorowy 101-102

jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów 78, 92Jordan 7

kategoriaGrothendiecka 102

kąt między wektorami 105kiełek 24, 38kompleksde Rhama 66, 73, 80

koniec drogi 9krzywa 46, 53, 67całkowa 75-76, 92formalna 78Jordana 7równoważność 46

L-moduł 102, 110lemat Schura 111lokalny homeomorfizm 5

macierzCartana 108Jacobiego 32ortogonalna 89

unitarna 89maksymalny torus 114-115mapa 2modułform różniczkowych 64-65, 72pól wektorowych grupy Liego 84projektywny 30przekrojów 28, 58, 83różniczek 24, 72wolny 30, 68, 84

Montgomery D. 96morfizmprzestrzeni stycznych 50rodzin wektorowych 27wiązek wektorowych 29

nakrycie 5-6, 17-18, 93uniwersalne 93

naleśniki 7nawias Liego 62, 70Liego 97

niezmiennik typu homotopii 13gładkich dyfeomorfizmów 39homeomorfizmów 25

nośnik 1, 23

odwzorowanie wykładnicze 92ograniczenie 20rodziny wektorowej 27wiązki 57

okrąg 81orbita 15

Peano 7pętla 9pierścieńkiełkówciągłych 24gładkich 38kołowy 13lokalny 24, 38ułamków 42

pierwiastekdodatni 107prosty 107

pochodna 31cząstkowa 32mieszana 32

początek drogi 9podalgebraCartana 113-114Liego 98

podwiązka 30Poincare H. 9, 14pokrycie 2, 20lokalnie skończone 1-2trywializujące 29wpisane 1

pole wektorowe 57-58, 69, 75nawias Liego 62, 70

116 Indeks

niezmiennicze 82specjalne 79, 92

potęga zewnętrzna 64-65potok 78formalny 78

powierzchnia 5, 18presnop 20-21produktalgebr Liego 98G-przestrzeni 16grup Liego 82przestrzeni topologicznych 1rozmaitości różniczkowych 34

Prószyński 94Prószyński A. 30przekrójrodziny wektorowej 28wiązki 57

przestrzeńderywacji lokalnych 41, 68liniowaM(s)/M(s+1) 42nakrywająca 93orbit 3-4, 15, 17-18rzutowa 2, 5, 13, 16-17styczna 46, 48, 67topologicznadyskretna 5, 22Hausdorffa 1, 17-19, 34ilorazowa 1-5, 15jednospójna 12-13, 18lokalnie zwarta 1, 34łukowo spójna 11-12, 34metryczna 1, 6nakrywająca 5normalna 1ośrodkowa 1, 34, 37parazwarta 1-2, 30, 34, 37-38quasi-zwarta 17spójna 3-4, 18, 29, 34ściągalna 12Tichonowa 1, 23wektorowa 26zwarta 1, 3, 17-18, 22, 30, 37, 77, 79, 90

przesunięcie 82punkt bazowy 11

radykał algebry Liego 110, 113reprezentacja algebry Liego 101, 111skończenie wymiarowa 101wierna 101

retrakt 13rodzinalokalnie skończona 1wektorowa 27trywialna 27zgodna 20

root space decomposition 115rozkład Cartana 115

rozkład Cartana-Levi-Malceva 113rozkład jedności 1, 37rozmaitośćgładka 34Grassmanna 40R1 75Rn 67, 76, 85różniczkowa 33topologiczna 2-3, 18, 33spójna 5zwarta 5

równoważnośćkrzywych 46metryk 6

różniczka 31odwzorowania 50

sfera 7-9, 13, 62, 81sklejanie 21Smale S. 14snop 20-21rozmaitości 37

stabilizator 16, 18struktura różniczkowa 33sumapowierzchni 5systemów pierwiastków 108Whithey’a 30wiązek 30

system pierwiastkównierozkładalny 108zredukowany 105, 115pierwiastków 105

teoriahomotopii 62równań różniczkowych 76snopów 21

topologia przestrzeni wektorowej 26toral subalgebra 114torus 5, 13, 17, 113tożsamość Jacobiego 62, 97twierdzenieAdo 101, 103Borsuka i Ulama 8Brouwera 13Cartana 93, 98, 104, 110, 115Cartana-Levi-Malceva 113de Rhama 66, 73Dynkina 109Engela 103Frobeniusa 80Jordana 7Lie-Kolchina 103Liego 94Milnora 30o istnieniu krzywych całkowych 76o kanapce 8o monodromii 92

Indeks 117

o zaczesaniu 62Poincare 14, 74Weyla 110Whitney’a 40

typ homotopii 13

układ równań różniczkowych 76autonomiczny 76, 78formalny 77p-wymiarowy 80stacjonarny 76, 78

V-graf 108

wiązka wektorowa 29gładka 57kostyczna 64styczna 53, 55, 69, 75trywialna 30, 84

włókno 27współczynnik Cartana 105wstęga Mobiusa 3-4, 13, 16wymiargrupy Liego 81, 90rozmaitości 33

Zippin 96

Topologia i geometria różniczkowa - anow/ps-dvi/dv.pdf · Topologia i geometria różniczkowa...

Documents

Transcript of Topologia i geometria różniczkowa - anow/ps-dvi/dv.pdf · Topologia i geometria różniczkowa...