Geometria 1_MEC

5/10/2018 Geometria 1_MEC - slidepdf.com

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Cadernos MEC - Matematica

geometria 12~edi~ao.

Raimundo NQna10 Tavares, '·;-Franci,scQ Dinrz Junqusha

Manoel Jairo S'ezerra

MINISTERIO DA EDUCACAo E CULT'URA

F E N A M E ' ~ f l J N D A C A O N A C IO N A L D E M A T E R I A L E S C O L A R



Amoroso Costa

.O!":"um belo teerema vale uma bela

obra de arte",



Contaa 'Hi,sto.ria que. Ptolomeu I pedht

a EllIcUdes que usasse 0 metoda mails facitpara ensinar-Ihe a GeomebIa.

PREFAt:IO

Fol categ6rica, a resposta do famoso ma-tematico, g!l1egoao fara6 do Egit'O t HNaoexistem caminhos reais para -s e chegar aGeometria" •

Tinha Euclides autoridadepara assimfal~ar, porque introduzira no-estudo da~ue-la disci'pHna 0 metoda axiomatic.!)" E,S'te

apresentava a Geometria dEtmodo organ:i-zado e ,16gico, eomo ciencia dedutiva, quepartla de certas hipoteses ftmdamentais -os axiomas, os quais erarn consideradosevidentes per sl mesmes, sem necessldadede demonstra~ao, come 0 ponto, a reta e Q

plano, e de cinco postujades a' e,les referen-tes.!) sistema criado pelo gen ia I sabi,o rei-nouabsoluto dlJran'te 3.000'an05,

Napr,imeira metade do seeulo XIX, re-

selveram os matematicos dl,scutil' aq,ue'lesaxlesnas, SUlirgiu, enta~, como conseqtien-cia de fecundos.debates, a Geamet~:ia Nao-·Eu(;lidiana, pela negac;aa do quinto pes-tulado de Euclides, postulado das para le-las, 0 qual susterrtasa q~e por um pentefora de uma reta s6'se pode trac;a,r uma, esomente uma, paralela a esta reta .. CarlosFrederi'c() Gauss, na Alemanha, Jano;s Bo-I'yai, na Htlngl'ia. e Ni:co1lau lvanovich t.oba-



ki, na Russi:a, admitiram .a posslbjll-

e de por u m ponto exter,no p3assar maisrna reta para'lellft a !!.Ima reta dada. DMtou a constru~3o d~ n,ovas geometdas,ndo-se a concltlsao de q u e 0 nu-mero

geometrias pos~1ve's einfinito, depen-do apenas dossi,stemas de postu,lados

dos.

novas concepcdes, po're'm, niiiot:inhamas valor aeadsmlce, NaQ·. Permi'tiram

-hc1'~ncial desen'lol\ii1mento das crenci'asrais, e na Fisicaencontrou ,apli.caQao

osa na elabwatao da 1'eo'l"iada Belatli-e de Einsten.

Assim se condenam, hoje, os precessesg6gicos da ,geometria de Euclides. Aito, escreveu Le Bon; "M. Duclauxie tres justement I'ouyrage d'Euc(i.-e livre" tetrib~lement ennuYel.ls, meti-x, pedant etq:uiS'ubtilise sur tout. H I I

re l'absurdite de veulolr demontr~rverites qu'on salsltear lntuitton tel11es

exemple ce,lJe-ci: un coU quelconquetriangle est ' pli(;l,spetit 'que la sommedeux autres- pr,opositi'on connue d'unumble caniehe, quisait fort bietl que

gne droite est plus court chemin d'unta un autre. Pour quoi vautoir demon-a 1'enfant que deux circoaferences dee rayon sont egal~s? L'~leve s'apetce-parfaltement tout 'Saul que si aprestrace une citconMrenceoavec son com-

pas onvert, il en 'fait ane second sans chan-

ger I'iecalrteme~t du compas ouvett, II tea-cera la meme,cclurbe,que la premiere, fols."Ri-en n",est ph.s pitoyahle;, ecnclut M. Du-etau x, qlle l'ensei,gI1E;lniel1t de 'la~Geometrie.Vojci pliusde tf,~nte aos·q ue je faispasser deexames du baccaraureat et que con statecette decadence. J.e ne crois pas qu'il yaiten c~ moment plus d'un eleve sur vingt quiait le sentiment net €lela Methode Eucli-dlenne, C'est bien la peJinede l'avolr sutvie,et 'ilraiment je crois que, I"ensei;gnementsecm:;ldaire fe'r,art bfen d"y rennencen",

Aeharn os.educadores, nestas cond,iQoes,'que a ob .s (l rvac; ao 'e aexperiencia devem tel'rnai.or apllcal1a·o na aquis·i(fao-d:os eonhecl-melltosgeometfieo$.

Com a orientaeao de renovar oensino daMatematica ,estao perfeit-amente Identlfl-cades os Profess/ires Rafmul1do NonatoTavares, Froallcisco Diniz Junquei:.ra e Ma-noel JairQ Bezerra. Dar 0 e,xito aloaneado

pelat.» ediQao do pre.sente Caderno MEG.-Geometria,quce, certarnente, sera repettdonesta 2." edh;ao ..

Rio de Jan~irQ, dezembro de 1970.

HUMBEBTO GRANDE

Oiretor Executivada Fu,nd'a~ao Nacional de Material Escolar



RalmllndQ , N o . . n s t o Tav,ares

RrQfessor de EnsinG Medio do Estaclo da Guanabara

t Francisco Diniz Junqueira

Professor de EnsinQ Media do Estado da Guanabara

M'anoel Jair,o Bezerra

Professor Catedratico de DidA1ica de Mlltematica do 1nstituto de E,ducacao 00 curso doArtig099, RAdio Mirnisleria da E,ducaclio e Cultura da Universida9'e de Culture. Popular



D i , z o e , m o u e . a Matematica e arid~, dificife destinada aser aprendida por.poucos.

Esperamos que, com sste Caderno, vo.c8verifique que fsto e uma lnverdade.

Voe! certarnente teracde saber de memQ~ria atgumas ·f6,rmul,as. e regrras, mas evite

d ecor a- la s s emcompr ee n dg -Ia s.

Vod pl'ecisara ealcular benr, mas n:io eo sufi/ciente. A (leome'1i:ria t-ambem 0 aju-d'ara no quese refere a compreensl!io e aedesenvolvimento do raelecinlo.

Voce, neste Cademo,. encontrara, alemdp um pouco da hi'st6ria da Geometria,curiosidades, l1ecl 'eaCoes, problemas e gra-vuras escollhidas, Clue, jUJntamente com 0atH cU io e a or:ienta~~o de seu professor, 0

[eva rae a ctesl ; lnvoivero- raciodn'fio e a~Qi~rpreen~er melhor esta parte da Mltte-matlea.

.Ralmund·o Nonalo Tavares

tFrancisco Oiniz Junqueira

Man,oel Jalro B'ezerra



, .,~ ..

~ A SS IM N A S C EU A G EO M E IR IA

Herodoto, - 0 pai da Histo;ria -.quev'ivelJl naG,r,eeia., no se_puQ V antes deCri's~o. an fazer a Mst6cri'a ,doseglpcios noHvll 'o II (Eute,rpe) da sua ohra, refeee-sed~ste mQ{lQ'as origellls da Gee-metria;

"D isserpm~me :que e 'ste rei (S esostris) tinh a re opartido to do ,I) Eglpto, en tre 05 egipcios,e quetinha dado acado um u.mapol'~ao i.~ual eIletangular de tena,com a obriga~ijo de pagarpor ano um ferto 'riiuto. Q ue. se a por:~ao de 'a l g u m fosse diminuida pelo rio ( N i l : o J , e le fos sep rOC i urar 0 rei, e Ihe expusesse 0 que tinha

acontecido usua f e r, li a. Que 110 mesmo tempo,0, reei enviava medidoresao local e falia medira fe rra, Q fim de saber d e quanto e l'a estaya

- d iminuidC i, e de s« ifazer pagor a .riburo con-forme 0 C I , U e livesse fieado de ·ferra.Eu' cre io q uefo t d'ai que naseeu' 0 Geometria e que depois.e la pass oy GO s gregos."

Do livro "'Coneei'tos 'F'undamentai's da Matemati-ca", de Bento Jesus eora ..a.

NOTAS H[STQR'ICAS

E , A S S IM ,C O M E ~ O U A D E S E N V O L V E R - S E

A G · £ O M E lR IA

N.o Antigo !g~ftito., es lS3:cerdotes eram eshomeas rnais pedeeoses do paia.

Erameles que fixavam os dias, de festae q.u.eexig1am aconstru'c~o dos templos.Foram eles tambemq.ue .e><i:g,iorama cons-truca,o alas maJesto$as~p'iran:li,des que-ser-. .. .am tiI ,e tum u lips p~ra 'Q S fara·6s.

Para realizar construcoestao

gigantes~cas, os a'I'quitetos daquela epoca tinhamque sabe,rcome faze,!, a planta dessas obras,como talhar, meeer eoolecar nos seus lu-ga~es enol'm{!s bleees de peqr:a ..

Pat:'3saber tudo Isso.os arqu'ite ' t 'Qs das,piramides I'ealiiizaram d'iversas descobertassabre a "arte de m.cdh,;I, 'istoe, sabre oque nos ch~mal'iYl'oshoje de Geometria.

Mas nao f o o l apenais m) i:gito gueaGeo-metrla se deselilvo,lve\i.l. ce,rca de mH~ui-

lB'metrosa teste do Egirto, entre os riosTigre e Eufrates, e umpoucQ alem, nDres-ceu a dviNz.aca;o.mesopotam:ica, que' muitese assemell1ava a .egl'p~,ia.La", tambe'm; ossaeerdotes Gontinll.laram a es:tll.lda,r a G:eo-metri1a, fazendo maravWlosoS progressosno campo da Astronomla.

E, assim, cQme~ou a de,Senvo!¥er-se aGeometria ..•

9



· PARALElAS Nesta gravura que·apresenta um aspectodo Muse\.! de Arte Moderna, no Rio deJaneiro, voce percebe, em cads pade e "0'

conjunto , 0 que desejamos ressailtail' -a s p a ra l'e la s.

o desenl'l ista deste livro' t~linbem cola-boroa para saLientar melihor o qua, que-rtamos, traeando alg'liImas paralelasquelilaO' pertencem ,a fotocgr~fja origlria,l.

Voce e caRaz d~ identifica-las?

Observe como a Geometrta aparece emcada lu(gar.em cada ccisa e em esda epeca,

Voce ja estudeu a s : p a r a le l 'a s tao reseal-tadas nesta ,gravura?

10



• .. duae retas sao pa~alelas quando per-tencem ao mesmo plaae ~ nlio possuemponto em comum?

• .•• dais , segmer:l'tos, saa parafelos, quando

pertencem a dU3S retas para'ielas~

• •• alta'S semj-JI'e~ss~o para·lelas quand(lseus sunortes tarrtbenlQ sao? -

• .•. existe urn "postulado"qlue diz': "POI'u m pJ),nto naoperteocente -a u rna retapede-se tra~r uma,e apenas uma. para-lela a essa reta"?

• .. a urn cOIl_ju,ntode retas paralelas entre

si,como V ·QCe vi na gravura, chama-sa de"feixe, de retas !parra~lelas1iQU : de ,lfamWade.retas paralelas"?

• •• Q S rates de sol; que VQCe observa, cons-tituem um feixe de para'ielas,?

• .• os lades epostes de urn retangulo s a Qparaleloaf (Observe ag.ravura .•

• •• os. lados;opps:tos de mD paralelogramo(veJa as ~ara:h}Jas tra.~adas pelo desenhistana parte rriais 311ta da dbra de cimentoarmado) sao paralelos-?

VO£8 sabia que:• .. a figura formada pOll' duas paralelasc~l1tadas po~ uma transversal (observe agravura) possuioHo aniguiod

... tra'l;ando uma· rata no chao de suacasa, e eutra no teto, ela,s nao se encon-tram, 8, no entanto, PQdern nao 5el' . p a -ralelas? .

· .• do is :lngul.os de lados paralelos, ou saoiguai~,Qu suplementares1

• •• as VerleS esses oito angu 11os'sao iguais'?(Observe a gr.avura.)

, •. q'ua's paralelas nunca se encontram?· •• se n~o fore-m todes 0$ oit~,~ngulos19ua'is, serao quatr,o a q.tattio iguais?. ., . duas· retas pode1m 11'30 :S e ~ncontrar e

nao serem para1elas?"

· ., . segmeni:os de paralelas, compreendi-dos entre pal'a'l.elas;s3o iguai$?

11



12



Na g roav ura da s ala, com decorac;ao me-derna, YOCenota , ainda;, bern pnesentes, aspara'le,las,; ·ent.retant'o, queremos des\acar,espe,ei3 11mente para voce ', o s r e t c i n . g u , [ o s .

o desenhisita asrescentcu, na fotogra-

f:ja or'iginal, dois 'feUngulos q,ue voce facH·mente identHicara.

Obseruve como as figuras, geom~trica$aparecem t'requrentemente 005 j'n,ais varia-doscenarios~

Talvez voce pudesse assinalar, na gna-vura, uma centena de refangulos. S C i nosdois quadres que ,estao 118paredevcente-mos sete, e rras fates dos, tijo.los de uma. da s pa 'l'edes existem 3'Igtlmas dezenas.,

Mas h a tambem eutras figu'racSgeo-melri'cas que voce jaconheee: quatrocireutos na il'umi'naQao iodilreta; um trian-9ulo num cinze,iflo; e urn hexagono reQtllar,na pecta decerativa junto a parede de tr-joles.

Se voce observar bem esses retangul9'S. 8pode'ra verifiear varias de suas propria- .)

dad'es. suas diag0rllais cortam-se ao rneio.

notara que:

1)

seus I'ados s30 paralel,os dois a dels:

2 )

seus lados oaestes sao igJua'is;

3)

tern dois; 'Iados maliores igtia'is e dais me-neres iguais.j,

4}

seus ~nglJlr0S sao todcs rgruais (~l\gull,osretos) ;

5)

seu perlm:e,t,ro. soma cias'medidas deseuslades, pede ser cal'culiado multipticarrdo-seper dois a soma de deis lad es desiguai,s;

6 )

suas dia,golilais. segmentl>s que unem deisvertices nao c on se cu tlv cs , s ao . iguai's;

7 )

uma diagonal divide 0. retarigulo em dQi~trHlngulos ret~llgulos iguais, e 'B a hipote-nusa comum d@s~eSidoj$:'triangulos;

13



Na sua majestesa 'i mcpone ry c ja , a igrej,a

da tCandelalria domina a grande Aven,id,aPresiidente ,\lalrga:s, no Rio de J'a,neilrio. I:ni,~clada em 1775, fol concluida,em parte,em 1811 . S ua cupula mon!Jm en tal1 fo i mon-tada em 1874- , e suas po-rtas de bronze,em 1901 , .

Nenhuma igreja do Brasil ostenta maierp,rohlsl;lo de marmores de tao varladas,cores, modela(los s~gundQ desenhos deHeltor Cordovll'Je. ,E5ta: revest:ida de pih.tUI:3S de Zeferi'no da Costa.

A igreja da Candelaria

14



Voe ' podera ,observa r a ene rm e va riedad,e

de figuras.geom~'trioas, que se eneontram (cl)na fachada cia .ig'reji'a;da Cand'elaria. 'rlois Ang,l!,Ilos adlacentee de tados exterle-

res em linhareta s~o suplementaJres ....

Esta j6ia da ar.quitetura oitocentistaesta in,crustada entre es modernos edifidoscia Aven:ida P,residente Varg·as, cuja aber-tura se deu em 1'943.

E notara melber a predominancia deparatetas e de I'etangtdos nos grandes edli-1"C,i05 moa:erI1QS•.

Nesta gra:vura, 3,Iem do Ir,ande. 'triAn-gulo da faohada, €los i'fHlmero'Sreta'ngulosque predom:inam nos edificios, e des elr-oulos que ssenceatram nos rel6giGs de,templer, aas redas doscarros, nas placas.

de sinaUzacao e nas baseades pastes deilumina~~o; voce apreci'ara no frontispieioda 19re.ja: a eco s , s em ., ic ir cu lo s , elip*s. po-IIgono80 irre.gulares e. tim sem-numero.. decombi'naQ6'es de linhas, que embelezam amonumental Candelaria e fazem destagrravura uma li~ao sabre 0 empII'@godas fi-mJras geom~tri(:as na Arquqtetura de dif~-rentes epO&as.

ANGULOS

L.eia no set! llvrc-texto, 0 capitulo:Angulo'S.Pl'eencha os pontinhos com uma das

letras V ou F , oonfcrrrre seja verdadeiraau falsa, respectjvamente.

NOTA : Uma afirma~oe verdadeira, sevale em todos os casos. E falsa quandoexiste, pelo menos, um caso em que naose verifique.

Urn exemplo que mostre que urnaafirma~o e falsa chama-se, em Mate-rnatlea, u r n contra-exemplo.

a)

Dois ~ngu'los apostospelo ve.rticeslloigua'is.

b)

rDo'is angulos iguartS s a o opostos pelov ertiQ e •.

I<fi}.

" ' 6 c i , i 5 angulios suplementares sao adjacen-tes...

e)Oo,is angullos adjaeentes: e sIJple.m,entarestern seus I'ados ex.tedor.esl em Unha !!leta.

f)Dois angulos complementares sao agu-dos.

g)

Oois angulos c:omplemehtaressao iguais.

15



m) -4)Duas retassio peJrpendi,eul.aresq,uandofor- 0 .slllplemento do d6bro do eomplementom arn ~nguJos . adjacentes igu,ais" ." d~ um :l,ng.ulo,~ .... vizes. 0 ~ngulo.

h)

Dois angulos fguais sao cemplementares.

i)Dois angulos snplernentares .s~()obtus()s.,

j)

Dois angu'ros retos sao iguais ..

I)

Ools angul ios r$Juais sao retos ..

n)

Ouas retas que se cortam formam~ngul6sadjacentes iguais~ '.'

0)

Duas retass~o obliquas, quando formamanglulos adja,centes desiguais.

p)

Se urn angulo rnede 500, seu compJemento

mede 120°.

q)

S e urn al1gulo mede 80°, a bissetriz d '@'sseangulcrforma, com lim dos ladOS, ",m an-gu 10 de 400 $0' .

16

ANGULOS

e~ercicios e problemas

CQmplete os sels PJ'imeil'os exel'clc'i'oe resolva os outros no seueadem~ derascunhe.

1)

Ocomp1ementode lurran,guloagudo ccmede.

2)

o supiemento do com ,plem en.to de umahgulo x mede .."

~31o replemento do suplemento de urn ang,u-lo zc med~ ,....

5)

Subtrainde-se 180" da soma do com ple-mente com Q suplemente de urn angulo,obtem-se , '0 cemplernen to do

6 )A di.ferenQa entee dais angulos aguaos370 12'. A diferenca entre seus comp're-,nefltos ~ ....

Q [) .A soma de dais ingulos ISigual a 1000, eurn diles e 0 dibro do eomplemento dooutre, Cali,culeesses angulos.



8)

A dlferenca de dQ'i'l!!,angul:o.s e 400 e urnd~les e igull'! a 2/3 do ccmplernento dooutra. Quai:s sao 'esses ~ngutos?

9)

A dicferen~a de dOls ; angiuJ.os vale 560 e asoma de seus complementos e 80°. Cal'culeos angulos,

10)

Urn angul,o excede 0 . sell suplemehto de60°. Calculeo ,angulo.

11)Dais angulos adjacentes de tados exterio-res em linha reta san expresses em 9'l'aU5

por 3 : : c - 2 0 < >e :2 cc + 40°, Calcu l e : :c,

~Dois anguh~)s opostos pelo vertlce medem4:x -. 200e 3::c + 10". Caleule os al'lgu los.

13)

Mostre ClUe, .0 al1gulo f.ormadOc peias b isse-

trizes de dols angl,.lli.o$ adjacentes vale ametade da soma d~sse'S angulos.

14)

Calcul'e .0 angulo formade pelas bissetrizesde 2 angulos adjacentes e complementares.

15)

~ bissetrizes de do is angulos adjacentes

e sUQlementares, sao sempre perpendicu-lar,as? '

t6)< ) ang,uto formado pelas l:iIissetrizes de dols

angulos adjaeen'tes mede 20@,o urn dele 's ,30°. Catcula Q entre alilgl\Jl0.

1 7 )

Em urn angulo, uma semi:'"eJa, cujaori-gem e .0 vertice do all'!gulo e e interna aomesmo, form:l, com seus rados,angulQs320 e 28°, Caleu. le Q angul<J que a '~ernform CDm a bissetrlz {I.D 8.l1gul:o dado.

f8)

Em urn angulo, lAma seml-reta, cuJao:ri-gem e 0 v~rtiee diOarlgu'lo e ~ exterior aomesme, forma, com oa "ados, dais angulosde 1120 e '52°, respectleamente. Calcule .0

:lngulo que essasemi-reta f()rmaCOm abi,ssetriz do angulQ, dado.

19)

Dud retas sao concorrentes e formamangulos tompilementare~, Cs-'cute .0 < maiorangulQ ecnvexo fOl'mado PO l " essas retas.

2 0 )

Duas retas concorrentes formam angulosque diferem die 100 45', ,Gah;ule a men orangulo COt"IVe)(o formado pelas retas t

21)

Ouas retas sao ccncorrentes. 0 menor desangulos formadoS' pelas retas4 urn cnseavca da soma dos demais angu I'DS eonvexos,

Calcute esse angulor.

2 2 )

J S i O l t e 130t sao dais angulo~ aqudos adla-

centes, cula diferen~a ~ -1JOC" = 36°.

ox ea bissetriz de angul'o 1 \ O l : r , OVa bisse-

triz do angulo 1fOc , e O.Z a bissetriz do

angulo 'X(j')r. Calcule .0 anguto f i C i Z .

17



i9ual~dade de triangulos

Norl: Voci ,poderc i e ncon lrar no s eu liv ro -te x too ~ocabulo· 'co,ngruill.cia" no lugar de IIjgual-d,del'. A co ngru en cia e uma re la~iio entrefiguras 'ge om ifricascaliade ritada por um grupode axiomas, denominados: "Axiomas de con-gruinda". -

P re f 8r imo~ usar 0 vocdbulo '~igual"no se ntidointu itivode Ume sm o, tam anh o" •

E clare que , quande do;is trilngulos saoi,g,uais; t@m os tr@s lados'>.e o~ tres !lng,ulos

respeetivamente iguais. Logo, parece na-'hu-al que voce tenlila de verilficar a igual-dade €los tres [ados e do'S t'res a.ngu1los Raragaranti'r,a igualdade de.dois triAngulos. Noentanto, voce dimi'nuira multo eseu tra-halh-<>, econernlzando esf,6r~0 mental etempo, mernorizando os resu ltados seguin-tes, denominades "Critlirios de ,iguald,,-de"" cuja ve,rifi~~~o :pode ser vista atra-v~Scde u-m rac,ioclnio inltuitivo, no seu HV,fQ-

-texto.

cr'ite,rios'

igual'dade de tr:iangulo

1)

Se dois tria.ngulos t@m urn lado igual adjcente a dois a.ngulos, respectivamenteiguais, entao esses triangulos s~o igua(Caso ALA.)

2) ./

Se os dois tri1angulos't,em U M > A.n~ulo igu

compreendlde entre dohl I'ados,"~f!specvamente iguaisj entao 8 . s s e s triangulos siguais. (Case) LAL.) •

3)

Se dois tria.ngulos tem os tres lados rpectivamente iguais, entao esses triangusao iguais. (Caso LLL.)

OBSERVA(

Examinando ate,ntam.ente os crlterlcs arna, Y Q C @ verinear~ que a igualdadedois triangul:os 4gal'antida pela igualdadde t,res elementos, sendo um dssses ementos, pelo menos, urn lado.

Quando desejamos nos certificar d

igualdadede segmentos ou daigualdadede angulos, em.,geral, usamos os crite, rlos deigualdade de triangulos. Parlsso podemos adotar as seguintes normas:

a) .Oonstrulmos, se necessarlo, por meio dlinhas auxiliares, triangulos que tenham, para lados ou para angulos, osegmentos ou os angulos em questlo.



b).' Procuramos enquadrar os tri:lngulos do_item a) num dos criterios de igualdade._de triangulos.

e)Seo item b) fOr satisfeito, eoncluiremospela igualdade dos segmentos ou igual-dade dos~ngulos, pela observanola do se-Quinte resultado: em tri:lngulosiguais,

. a lades iguais op6em-se :lngulos iguais,e reciprocamente.

TRIANGULO Is6sCELES

propriedades:

1.a)Os angulos da base sao iguai.s.

2.a)

A bissetl'iz;, a altura e a : med'iana relatllvasa base \SaQcoinci~er:)tes,e tern p.or supo.r'te

a mediatriz da base.

I X I R c i c l O S

Resolva no seu caderno de rascullho:

~a urn 6A,BC,e a mediana AM , rela-tiva so lade Be. Prolonga-se AM de urn

comprimentoMA' = MA. Oem·onstrarqueA'C = AB. (Sugestao: Aplicall' caso LAL.)

~

'PiIo pento medio M. de urn Segmento AB,traea-se uma reta qua~quer, s6broe a qualse .ma rcam do is pentos P e Q ", eqU id istantesde M. Demol1stra,r APM = BQM. GSuges-tao: Apliear ease l!AL.:)

~ um 6. ABC. AD ' •• 0mesmo tempo,altura e mediana. Demonstrarque:1,0) Q tdangulo e is6.sce~es;2.0) AD ~ tambem bissetri~. (Sug.e$~ao:ApHear caso ALA.)

~..tIm ~ A B C . , . AD e , ao mesmo tempo,'altltra e bissetriz, DemOl1strar que':.1..0) 0 triin.9iulo e isosceles" .2.") AD ~ tam'b~m medlana. (Su,gesUo:Apli,car case ALA.)

./J\. 'A

~ um ~ . ABC , AD e, ao mesmo tempo,rnedial1a e bissetriz. Demonstrar que.:

1.0) 0 tt:-i'~ngU{oe is,6see\es; "2 ,0 ) ADe tambem altura. (Sugestao::Apli-car con'Stru~ao do exerclcio 1.)

~

~ urn tr:i~ngulo, iis6scelesABC (AS = AC),traQam-se as bissetrizes dos angulos dabase. 'Demonstra,rque elas sao iguals.(Sugesta,o: Usar caso ALA.)

, f i r )

~ umt,riang.ullo'is6scetesABC(AB = AC} ,t~a9~u'n-se as med'fanas .reJiativas aos lados.igua·is. D~mlol'lstrar que elas .sao iguais.(Sugesta0 : UtiHzar caso LAL.)

8)S6bre os I'ados OX e OY de urn angul,oXOV, marearn-se, a pa~rtlr de 0, dois seg-mentes iguais OA e, OB·.Tmca-se a bisse.- .1:riz.OD;do.angu'lo. Sendlo Mum ponto qnal-qner dI'OD, demol1sirar qlue M A = MIS.

(S'U'9.esiao: Apliea,r ease LAL)

9}Seja· um a,ngula )tOYe. 'sua bissetriz OA:Per um ponto qualquer M de.OA, traca-sea per~endic\J:lar a OA. Ela i.nterc~ta ostados do Ingulo em B e C. DemonstrarqUE! MB = M,C. ~S.uge,tao: Aplicar ca.soALA.)

19



.. ;J 0, em que BC =

.... B = _ eB - C = 120°: Da'-seu:11i'!:: -. 0 .; .. 0 ~·B'C' de base B!O" =

~ =~e C = 2 B e C' - S' = 40°,

~ - = ~ e e~d9is: tda'ng,ul,6$~sao,

s.....ges"'"~o: Utiliizar caso ALA.)

""s angulos ABC e A'B'ClsaQ iguais.De""'onstrar q\.le as: bissetrizes ,AD e 4\'0,'dos angulos igl1ais sao rguais.

1 Z > -Dois trial1gll!Jl(os ABC e A'B'C' sao iguais.Tra9am-se as, medlanas AM e A'M' relati-

vas aoe I'adrosl!gll!JlaisBC e B'C'. Demonstrarque AM = A'M',

1 3 : )

Sabre 0 ladO O X de U'lmangulQ XOy~ mar-cam-se d'ei,sseg'l~nen.tosQA e DB, .sabreo I:ado: av, marcam-se J!)ut,FGS Idois seg:-mentes OA'e OB' de modo QueOA' = ,QAe 08' = 06. Demonstr~rque:

1.0)AB' = A'S';'

2 .

o}

AB ' e A 'B inte,rce,ptam-se sabre a bis-setlliz do;aillguh) XO¥.

14)Sej"a urn t ,riiingulois~soeles, ABC (A8==AC). TIICllt;a-Seoa mediatdz do lado AB,;el,aeerta AS em 0 e AO ern D'. Traea-se amediaftriz: do lado AC; ela corta AC e l 1 n Ee,AB ern E'" Demons'trarque DO' = EE'.

15)

SeJaum tfi~rigi.ll0 eqUUa±ero ABC, So l : i r ees l'ados, ,aparti.r aos vert i ,ces, e no mes-mo sent~do, l1l'I.arcam-seQ& s~gmentosiguai.s AA'~ BB' e GC '. .

Unem·se es pontes A', S' e.G' a·$sim obti-dosJ Demol1§:tra,r q,llEl 0 triangl!!llio A'B~'e 'eeqiHliatero.

1 , 6 )

S!;lja um tri"angU'lo ABC . Pre'onga-se SAde:um,cempt'irriento:A~' =AB e CA ~e urn

20

COn1,primento At' = AC . Tra~a-se C'BDe'm,onst l 'ar que.: Be := B'C'.

17)S , . e : j ' 8 M urn ponto €1,llalq,ue·reta bissetrizod

ang!ulo Ado tri'angul,0is0see'(es AB(AS = AC). '0, prolangam'Cnto de Bintenepta ACem S' .e 0' prol :ongam'EnOM certa AS, ern C'" Demol1strar qure':

1 1 : Q ) 0 1tdanguilo B M C .~ jlsos'celes;

2.0) BB' = cc-.

U}

Pro;l.o.nga..:seo lado SA de um triangul:ourn cQn1primentQ At) = AC , e C J lade Cde um comp'rimel"l:to AE = AB. Tra~(lc-

E 'D , que"torta a re,taBDem F. Demonstr,a.'f'ue BEF ~ lis6scele,s, e que a bi'ssetr,iz,ang~t!lo. F passa pelo ponto A.

e.xer ICICIOS sabre relat?oes tte

d~sJ[gualdadesnos tri€mgulos

Os e'xerc'lcios sabre iglliJldade de trlangplos> sao relativamentef,a(;~i,s. ~ v9cede~e est~r l1a"hituadoao r'Ii1,eto(lQ.!?eguinas demol1st ra90esque dePe~dem d e ucrit6rio de 19'u~ldad~e. C omo voce deve 'observado, para compr:een.s"a.o exata dexerc1cios ~ue envol')liam os ccritt!dosigualdade, era imperios9 0 conneclmenco'rnpI1eto· daqueles crilt~rio$ e 0 meltodadQtado. na demon$1tragao da igl;.faldade dets segmentos, Ou igua'idade.. de daang;ulos.

Agora apresentaremos ...U'l'I'iraserie'exe,rcfcios sob,rere'la~oes de de.sigualdadp,os triang'~l,es., para OS quals n3'0 seguremos, \exatamen,te~ tun metodo., poisdemonst ra~oes s a , Q !m'ais 8 ' rt !: t ic i .osas , dpendendo , m ultas v e i Z e ~ , de uma con.str



' Q a - o a1UxHIar , . ·Prete,rimos i l ' ldicar,quamlonece~sarlo! slJ,gqstoes paracad'a exerc'·c<ili) .Alem d ' . i s S Q , vo,ce deve te'l ' , de melm6ria, e s

seQ !u in t e s re su lt aae s s

I)Em todo tri,an.gu,IQ, umal1g.ulo exte rno ~ma!ior que qua1lquer do~ ,angulos lntemosque nao [I he ' seja ad'Jatente.

I I)

Se urn triangulo tern dols lados,deSlguais,os 3 1 i i l 9 u! os Q Postos a e s se s Iiadosl sa.O desii.Quats" eae rna~.ar l.ad.Qo:poe~se 0 maior§.ngulo.

111)Se etlil ~m tdlangulo dtYi~ldng!MtQS s a . o des.l-guats, es la~os opestes aesses a9'9ul,05- s30 desigu:ais, e ao..mai'of angl:.ll 'o opoe-se 0

maior I a d o " ,

IV )

Em urn triangul.o, um la 'd o q :u a'lq u.e r e -meno r que a' soma dos outros, dais, .emaior que sua djif~re!l'~a (des'igl!Jal~dadetriangur,ar),.

V), ..Se dots t r iAngulos tem dJoi's lados respee-tivamente ; ig:ualis fOll 'mando Al I )g IU~O! i desi-guais, es terceilroslados ~a'Q tambem d'e~·siguaie$•. e ao maJo'l ' ahgt:ilo opoe-,se 0maior lado..

VI)

Se dols !riiangul'os 1lefl l dots Irad,os"igua'is, eos tercelros I'a~os, desliguais, os ' .angy':I.o$GpO s to s ao s lados'duigu3'i's 810 tambemclesiguais, e ao majlor lad'o opoe-se 0 malorAngulo.

linba s poligonais

eriYolvidas .• envolyenteS

'l1J)

r:bd~' ~~{ft:ti~lltoemertorque qualquerI1nha: p : o 'U 'g . o h a l de mesmosex t remos .

Vll.,} . . 'T6d;a t'tn ha· pol igona l convexa enyotvida.'e , m 'e n9rQuequalquerlinhapoHgonal' eovolVentede mesmos extremos.

E X E R c l C I G S

Responda aos tres· primeiros, exerckiosneste Cad.ernQ e resollva os..Qutros'em outrecaderno ..

1)Com os segmentos 7dm, 8dm e 12dm pod!e--se censtrulr tim triangulo? Pa,rque?

2)

'a's lad:es de um tri.angulol ,u~dem medlrScm,9cm e 20cm? Po'rqu~'?

3)

P ede I< Im rtriangullo tera altura iguata urnl adQ?

4)

Sendo'D urn P < U 1 t O inte,rio,r a Ulm trianguloA B C " , t,ra,(fa~se,D;B e DC.. Demonst'J:ar que.~ >~. (Sugesta(!l.:pro'IQ.ngar DB.aUencontrae ACi'~

5 )

Em urn trian91tAlo, do:is,l ;a.dos nredem res-pectlvamente 5em e atm. Qual '0 menorvalor, eXipressQ' em numeros lntelres, dotereetro lado'? Ii0maior?

2 1



6

Sendo 0 urn pon to tornado sobr-e 0 lado

BC de urn triangu 0ABC. traca-se AD. De-AB + AC·- BC

monstrar que AD> ------2

(Sugest.ao: usar 0 resultado IV.)

7)

&endo D urn ponto interior ao triangu 10

ABC, tra eam-se DA. DB eDC. Demonstrarque: lP < DA -L DB + DC < 2p (onde p e 0

semiperimetro}. Sugestao: use os resu 1 -

tades IV e VI II.'

8}Sendo AM a medi'ana de um tri~ngulo ABC(A B < AC ) , demonstrar que

AC -- AB AC + AB--~<AM<

2 2

(Sug.esiao. p.rolon·gar AM de urn compri-mente MA' =MA e l!tnir a Hl'lhaa C .)

9)

Sendo AM a mediana de urn triangul0 ABC(AB '< AC), demonstrar que ' SAM> N i ' AC " .(Su.gestao: usar constrtl~ao anterior.)

10)

SendoAM a mediana de um triangu[oABC(AB >AC), demonstrar que ~ > C M A .(Sugestllol. utjllzar teorema VI.)

2 2

PARALELAS

Nas figuras seguintes, as setas indicamparalelismo.

( 1.9 -)

E X E R c i c lO

Complete:

a) Se b 7 0 0 , - r

b) Se c

c) Se'S 650, a =

d) Se q

e) Se a

f) S d~ .A_ 7 0 n A_e -1- & .,r-



E X E R c i c lO 2

Complete:

a) Se p = 1500 e q = 160 0,

a= eb=

A . A

b ) Se a = 35° e b = 250,

C =..•....•..

c) Se C ' = 500 e p = 145°,

a = eb =

/'- »<; A »<:d) Se p = 4a e q = 5b,

~ = ....•. b = . . • • . . ' C = .

E X E 'R d C IO 3

Calcule as medidas dos angl.llos illlc6gni,tos,assinalades nas figuras por letrasmiaus-eulas, faze.ndo, se necessario, asconstru-\;oes a u,)dlla res.

D

a) a =

B D

b) '" "X=

B

c) a =

23



B

E D

i =

E X E U I € I: O 4

De ac6rdo com a figura, calcule :x e y.

~ r - ~ - - - - - - - - - - - - - - ~ ~

F

a) x -~

o

c

uma ilusao de 6tio

o

J I f - ! ------"-y--------1

Vocea,cha que; na figur.a aclma,E 'seqmentos paraletos a + bee + dsa

d,esiguais?

Parece que lste e verdade,c Sabendo que a" = d.b = c e que x.e y s~

re,s:p~ctivarnente, as medidas dos -seqrneY = "" .... " .. tosa+>bec+d,provequeX:::Y.

24



PARALELAS

N O T A H I S r 6 R IC A :

Euclides selecionou um grupo de cincopoS1tulados para constru cao dedutiva daGeemetria, conhecida como GeometriaEuHdi'anQ" Oquiinto postulado, Q Postu-IQdo das Parale las, e , numa !'inguagematuaHzad"a, mais ou men os 0 sequinte :

! ' , Q U ( l l I 1 l c ! J ' o duas retas sao cortadas por u ma-seeante e formam com esta angulos cola-terals j'f'lteii'nQs cuja soma lhl11enor do que

dels ,al1.glll,os.retos, 'essas, retas eneentram-se no semiplano desses anguloS": EsseeI1L:1l1ciado1;orn'ou~.se famosa em virtudedas tentativas feila,s durante mais de daisn1ll1eniiospar maternaticos que procuraramdemonstrar ser esse postulado redutivel

aes restantes, isto e , que ele seria umacensequsncia 16gica dos demais.

$o,mel1te, no secullo XIX , tres matematl-,cos geniais (Ex[ste' l iT!i m,uitos! \i,oce poder,aser um deles), 0 atemao Carlos Frederico

Gauss (1777-1855), 0 russo Nicolau Ivane-vich Lobachevski (1793-1856) e 0 hu,ngaroJanos Bolyai (1802-1860), negando 0 IPOS-

tulado de EutHdes, conseguiram construtr"novas" Qe(uiiil.etrias,conhecidas comeGeometrias ·na:9·euclidianaSi., Eles pr .oNQ-ram que esse postul~d() na.o depencUa desrestantes. Cr,edita-seoa forma cem .q qual 0

famoso postulacl\g e ' er!')luMiac\:o atualrnen-te ao matematico jingles John P:I!ayfai1r.

teorema angular de Thales

Trace, de preferencia numa fatha de,cartoliina, I.un ttri~gllio. Corte dois (J'e$ellS

angulos ecoleque-os de forma a ticar eadarum dele.s, oadja,ce,nte 3'Q tertei.ro angulo.Ve,rif1ique, enrtao, q~e fi(lafolrm~ad@ Urn an-glul'o $;Iem eta volta. LogO , a S om a dosao-gulos in,ternos do tdangUilQque voce tra-90t! e ' igua ,1 a 1800

•

V o c @ .acabou de ve,rifllcarte~perimental-lliIel1te, 0 teorema angulaJ" de Tha,les.

25



problemas

Com auxfl!o de seus conheolmentos so-bre 0 pr,ob!lema de duas pa1'alelas cortadaspor uma transversal, Rrove que, na figu raabatxo, a + b +c = 1800.

Se voce Mz' 0 \exerClc io" acabou de de-mon,stral' tim dos mars famosose impor-tantes teerernas da Geometria - 0ang u la rde Thales.

A

B c

Observe bern a de.mQnstra~ao do t't0remaangul!ar de Thal,esque vOte acabou de fazer,v,eja a figura ao lado, felta pelo desenhfstaea gravura da fotoqrafia que apresentamos,

2 6

r--------I

J

III

II

I

--------,III

IIJ

II

Tente a'gol'a faze·r um modele geome-trico seme'lhante {de madeira, plastico,

cartolina 0 1 1 1 papell) que permita verificar,lntuttlvamente;c teQrema angu lar de Tha-les, e que suva come, material dldatico

para au x.;(,ialr 0 pro.fesSor no ensino da de-monstracao desse teorema.

Faca primeiro com urn tdangulo equl-latero, que e mais tacil, e depois com umtri§ngulo iscaceles e urn.escaleno.



E X E R d c l O

B

c

Mostre que, na figura acin;~:

e=S+e

TRIANGULOS

Leia no seu livro-texto 0 capitulo:

T R I A N G U l O S

I) Coloque nas reticencias uma das letrasV au f, conforme cad a urna das proposj'-c o e s · abai i xo seja, respeotivamente, verda-deira ou falsa.

a)Em todo triangulo, um angulo externe is

igual a somados angulos internos que nioIhe sao adjacentes...

b)Em todo triangulo, um angulo externe 6sempre menor que 0 angulo interne qUe,Ihe e adjacente.

c)

Em todo triangulo, um angu:IQexterno Emaior que qualquer dos angul,os internosque nao Ihe sao adjacentes.

d)Em todo triangulo, um lado e igual A omados outros dois•...

e)

Em todo t,riangulo, a mediana relativa au r n des Iados divide ao meio 0 angulooposto a este lado.

f)

Todo trl:lngu 1 0 tern peh) menosdoJsAngu-losagudos. " .

27



g)Em todo tri~ngulo, 0 segmento que une ospontos medics de dois lados a paralelo aoterceiro lado.

h)

Existem triangulos cuja soma dos §;ngu:!i')se maier que 180".

i)Se lim triangulo tem dois lades ,igua'is, os~ngu"os epostos a esses lades s~'o desi-Quais.

j)Em todo tri~.ngulo isosceles, qualquer al-tura e . tam o em bissetriz e mediana •..

I)Dois tria.ngutosque tem os a.ngulos respec-tivamente iguais . s a ( ) iguais •.

m)As tr~s alturas-de um triangulo cencorrernsempre num ponte lnterno ao triangulo.

II) Pl'e~ncha as lacunas segl!linte's:

a)Tri~ngulo .~0 •.......•...•••• de ~ [ados.

b)Altura de, um triangutoe 0 ••• , ••••••• , ••

da perpendicular tracada de um vertlce ao..•... ,.' ....•.. " ..•. do lado opesto.

c)o .segmento que une 'Lim vartice -a e pentomed'io do lado QPosto denomlna-se .... ".•• II •.• ' •• ,. •••• ~• ,. .~•• " ••

d)

o ponto eqUidlstante dos tr~s verth:es dotrHlngul:o e a interse~o a ' a s . . . . . . • . . . . . •.. , ...••.. de tria,ngulo'.

28

e}A interset;ao das bissetri%es internas deurn tda.nguil.o ~ 0 PQ nto " .•dos t,r@ s , ; •• , do trl~ng'u10.

f)

A soma das m.ed,ida'tdIQ$ tr~s, tades de umtriangulo, em li'e ~ a'9 aQa m ,e sma unld ra de decomprlmento, denomtna-se ,. ,;.•. . .... " ., " .....•• , do ·trii3n~ullo.

g)

Um triangulo e acutanaulo quando tem......................... ~Iil;glilasagudos.

h)o triangulo 11,0qual um:ingtlll,o externo ~

suplemento da soma. des angul.os iiilternosque n~o lhe g.~oad:jrc)centes, denemlna-se

• • • • • • • " ' , . , , . • • , i o e •• ••• . II i ••

exercicios sabre pteorem~aan.gular de Thalea

e suascensaquenclas

Reselva, no seu cadernc de rascunhe, osseguintes problemas-

1)Num ~ls.6sceles, um angulo externovale 300 10', Calcule os angulos do ~ 'o c

2) .Se um 1ng'Ul<~de urn b retangiu,lo mede35", quanto vale 0 tel'ceiro angul.o?

S )Prolonga-se 0 lado B'C de urn ~ ABCate 0; J \ S h = 180 e 1(Cb = 370

, Quantamede e sA c 7



4 )Podem os va 1 , 0res 4$0,640 e 7 3 0 ser as medi-das dos angu'los de urn ~ 1 P,Q,rque?

5)Qual 0 valor do terceiro ~ngulo de Utm

L ,se dois de seus angulos medem:

a) 600 e 100°; b) 70° exo; c) 2yo e 4yo;d) t + 10 ° e 2 0 0

- t?

6 )Em um t : : . ABC, SAc = BcA - + A B C .Quantos graus mede 0 angulo BAC?

7) ,

Se A, B e C sao angulos de um L. , e seA . - B = 150 e B - C = 3 0 0 , calcule A.

'8 )

Tres semi-retas tem a mesma origem O.Marcam-se sobre essas semi-retas os seg-mentos OA = _QB = OC. Sa.bend:o que~ = 1 00 0 e B O - C = 1 2 0 0 , calcular os an-gulos do triangulo ABC.

9)Em urn tri,angu 1 0 A B C , A i i C : r = = 380 , A C E r == {W, AD e aa'ltu~ra,e AE e a bissetriz do1 3 A C . Ache EAtr. R:I. 8~

10 )Em um tlii~ngtlloABC,~ = 74°, A B C =

= 280; Pro,longa-se Be ate 10; as bissetrizes

dos angulos ABJ(__e ACO interceptam-seem M; calcule 'l3M(;.

11)

. f u n . . _ um triangulo ABC, 0 A B e - = 3 2 0 eBAC = 4 0 0

• Ache os angulos que a blsse-t,riz do maior dos angulos do triangulodetermina com 0 lade oposto.

R: 940 e 860

12)Em um triangulo ABC, 0 ~ = 11(}9 eA C E r = 50 0

; AD e a altura relativa ao ladoBC; prove que, 15M = = "§At.

13 )Prolonga-se '0 tado Be de um triangulo

ABC ate Dj se 0Aim =ACB-e se A C o =

=X. calcule 0 1 3 A C : .R : 2 :c- 180 0

1 , 4 )

D.~Ym ponto dojgdo BC~um tri,~ngUI'OABC em_aue 15A(; =ABC; pr,ove que~=BAC.

15)ABC e um triangu!Io retangulo em A. AD ea altura relativa a I1lpotenusa BC; proveque ~=~.

16 )Prolonga-se 0 lado BC de um triangl.lloABC ate OJ a bissetriz do B A " e interc~a 0

lado BC em E j prove que A B D + ~C ,D ' '=

= 2 A E D ' .17 )Mostr,e que, em todo tr,iangulo, 0 anguloobtuse formado pelas bissetr'izes de doisangul.os ·internos ou externos vale 9 0 ° . , mais~ m ,e tade do terceiro angulo.

17a)o ang u 10 obtuse formado pelas bisset,rizes'dos a.ngulos agu'dos de , um trianQulo retal1,-gulo mede .. (I. E . 1958) .

17b )Em um triangulo, 0 angulo obtuse for-mado pelas bissetrizes de dois anQulos in-ternos vale 0 triplo do terceiro angulo;Calcule @sseangulo.

R.~ 36Q

17c)Em um triangulo isosceles, 0 .Angulo dovertice e 2 /11 do angulo obtuso formadopelas bissetrizes dos angulos da base.

Calcule os angulos d@ssetriangulo~R: 180 , ,8 1 ,0 e 81°

17d)Em um trUing.ulo, a diferenca entre daisanguJ,j)s vale 1'0° , e 0 al'lcgulo formado pelasbissetrizes desses angl.lles vale 13 0 0

• Cal-c1ule 051 angulos do, triangulo.

. R: 800,550 e 450

2 9~



17e)o angulo oposto a base de um triingulois6sceles e 417 do angulo obtuso formadopefas blssetrtzes dos anguJos da base. Cal-cufe os angulos desse triangulo.

R : : :M o , 78° e 78°

17f)o ~nguf,ol A de um triangulo ABC·mede 480

e eiguall a 25 do angulo 'obtuso formadopelas bisset'rizes dos angu los A e B . Ca leu Ieos Angul'os Be C.

R: 120 e 600

119)Em um tri~ngulo is6sceles~ 0 angulo

obtuso formado pelas biSsetrizes de (loisa _ ' n g u l o s hltern()s v.ale 0 dabro do angulodo v~rtiee. 6alcule os angulo d@sse tri-a,,,,gula.•

R: 6Oo,60"e 600

18)Prove que, em todo triangulo, a anguloagudo formad.a pelas blssetrlaes de doisin-gules iinternos ou externos adjacentes aum mesme lado mede 900 m eno& a metade

do terceLro ,:lngul,o,,,

1'8a)Galcule 0 angul'o A de urn tri~nguto ABC,sabendo qu~ ele ~ igual ao angulo agudof.ormado pelas bissetrizes dos angulos ex-ternos em Be C.

R: 600

t8b)Calcule 0 angulo. agudo formado pelas bis-

setrlzes de dels Ingul.os externos desiguais'd~ tHin trianguto. I'etingulo is6sGe;les.

F t . : 670 30'

1 8 < : )

Em urn, tria."g,ulo is6sceles, 0 'i,ngl410 do

verti<ce 6 8/5 do an·g:u0 ' aoudo formadopetas bissettl',izes des deis anguilos extemosda base" Calcule os angulos desse trian-gul,o.

R : S O ° , 50 0 e 50 0

30

1Sd)Os tres angulos de um trla,nglulQ sao expresses em graus ocr tres numeros Intel-ros e consecutleos. Calc~,le 0an9,uloobtusoformado pelas bissetrizes dos dois maioresangulos externos.

R: 1200 30

1Se)As blssetrizes dos angulos externos adjacentes a base de um .triangulo is6seeleformam urn angulo de 1000

• Calcule oangulos dssse triangulo.

R : 800, SO ° e 2 0

19)Prove que, em todo triangulo, 0 angulo

agudo formado pela bissetriz de urn angu10 interno com a bissetriz de urn anguloexterno, nao adjacente ao primeiro, valemetade do terceiro angulo.

19a)Em urn triangulo ABC, AB = AC. 0 angulo formado pela bissetriz de B combissetriz do angulo externo em C vale 2 0Caleule os angulos do trHingulo.

R: 400, 700 e 7

19b)Em um triangulo ABC, AB = AC. 0angulodo vertice e 1/4 do angulo obtuso formadopelas bissetrizes dos angulos da baseQual 0 valor do angulo obtuso formadopela bissetriz interna de B com a bissetrizexterna de C?

R: 17

19c)Em um triangulo ABC, 0 a.ngulo obtuse

formado pela bJssetrj,z Interna de B combissetriz exte rna deC , vale o quadrup ledo angulo A " SeB - C = 20°1 ealcule oangulos do tr~an'gu'lo ABC.

R: 400, 800 e 6

2 0 )Em um triangulo retangulo, urn dos angulos agudos vale 3/7 do outro. Calculeasses angulos.

R: 270 e 6



2 1 )Em tim; trianglul:o, urn .angulloElxterno 6 ,

igua'l a um dos a.ngy l,o s. ·internos. Calculeos dois menores anQulos, sabendo que adiferenca entre Sies vale 30 ° .

R : 60 ° e 3Qo

22}Em um triangulo retangulo, 0 angulo ob-tuso formado pela hipotenusa e a medianarelativa a mesma mede 1 0 0 0 . Calcule osangulos agudos do trlanqu!c. (Suqestao:

a mediana relativa a hipotenusa vale ametade da hipotenusa.)

R : 500 e 400

2 3 )

Em um triangulo retangulo, a medianarelativa a hipotenusa divide 0 angulo retoem dois angulos cuja diferenca mede 500

•

Calcule os angulos do trianqulo.R: 700 e 200

2 4 )

Em' um triangulo ABC, retanqulo em A,traca-se no interior do angulo reto uma

semi-reta AX que forma com 0 cateto ABum angulo igual a B. Sendo M a intersecaode AX com a hipotenusa BC, demonstreque BM = CM = AM.

2 5)Chama-se triangulo semi-squllatero aotriangulo retanqulo que tem um angulo de3 0 0 (6 0 0

). Prove que, no triangulo semi--equllatero, 0 cateto oposto ao angulo de3 00 vale a metade da hipotenusa. (Suges-

tao: trace a mediana relativa a h ipotenusa.)

2 6)Prove que, em todo triangulo, 0 angulo fo'r-mado pela altura e pela bissetriz, tra~adasdo vertice de um mesmo angulo, vale asemldlterenca dos dois outros .an.gulos.(Examine dois casos: isto e , se a altuca ~interna ou e externa ao triang,t.llo.)

26'3)

E;m tim :tr!alng'~lo A ,Be , a angullp A = '8 00,

e 0 angu,lo formado, pela ailtura e pela bis-setriz tlnadas de A vale '200

, oalcule iilS

angulm! B e C.R: 7~ e 3 0 0

2Gb )

Em.~'m triiangulloABC, a·.~ltur~ 1tra~~da dov~,rtlce A fornta com a b.lssetr!'l de A urnangulo de 1 ' 9 0 ~ 0' 8ngulo formado pelasbissetdzesintel'nas. deB e C . vale 1 , 31 ° .Calcu'le QS anglulos, do hliangulo ABC .

R : 82", 68o.~ ~ O Q

26c )

Em u(Y1triangulo ABC, a altura e a bjsse-triz interna, tracadas de A, formam timangulo de 40 ° . A bissetriz interna de B fOT-

ma com a bissetriz externa de C urn 3l'1gul:ode 10 " . Oaleuleos angu;il,o$ dQ t:riang 1 0 1 1 : 0 .

R : 200." 401 ' , e ~20 °

2~d)

Em urn triangIJI,o ABC" a altura AH fOJ"ma.Com a bi$setr:iz int :e:rna AS, um .anQUlo de:2 00, e ~S' bisset.rizes des ·ang1,lJosexternosem

Beeformam um angulo de 150°. Cal-

cule os angulos do triangulo.R: 12 0° , 50 " e 10 0

26e )Em um triangulo ABC, a bissetriz ililternado angulo B com a bissetriz do angulo ex-terno em C formam um angulo de l686, ea bissetriz do an9t110 A e a.al'hn3I'e:lath/3ao lado Be formam urn angulo de '320

• Cal-cule os angulos do trlanqulo,

R : 2 4 0, 11,0°e 460

26f )Em um triangulo ABC, as blssetrtzes dosangulos externos em B e C formam umangulo de 140", eaa1tura reliaUva ae ladoBC forma com a bissetriz do angalo Aurn angul.o d£l :25°, .Callcule os angurO$ dotriang\lll.o.

3 1



~- ~- ',--- - ~-"--...:.....__-~.---'-----.,-.--~ .. .- -~.

26 )

Em um trHingulo ABC, as bissetrizes dos

~ngu[os B e C formam um angulo de 40°,

e a altura re lativa ao lado BC forma, coma bissetriz do angu[o A, um ang"",llode 15".Calcule os angulos, do triangulo.

R: 100", , 5 5 " e 25"

2 7 )

P e urn ponto de lade AB de um tdangulo

ABC, em ewe AP =PC =Be, e CP e abissetriz interna do angu'lo C. Galcule os

angu los do h'iangu 10.'R : 36 ", 72" e 72"

28)ABC . e Um trrangulo no qual 0 angulo A eo debro,do angulo B; P e o Q sao pontes dos'1ado~ BC e AC tais que A:s =AI' =PQ =,

,-, QQ. Calcut~os an9'\oI105, do trianqulo.

R : 1OS" , 54 " e 18"

2 9)

Prove q'tle, em um tr~angu lo'is~sc-eles, umadas alturas I"etativas .a es lados i,guais

forma, com a base, urn angulo igual arnetade do ,angulo do vertlce.

~O)

Prolonga~se I) lade SA de LIm tr,i~'h;g~l,o

Isosce les A BC (1 '.13 = AG ) de h im segrnento

AD =B A e une-se D a C . Prove que 0

triilngulo'BCD e retangulo.

31)

ProLonga-se. a base Be" de urn tdangUilo

is6sceles ABG, de um segmento CD =AC.

Une-se A a t). Mostr.e que 0 angullo e xternoem A, do triangiulio ABO, e'o trfpio do

angulo CAD ..

32

d'tstancia da terra

a Iua

Voce sabia que, com au xil io do teo-rema angular de Thales, 0'5 astrenornos

podem cal cular 'a distancia da Terra ,<

Lua?

Ima9'ine doi,s ohservat6rios.astronomicossi tuadiG>S em di0,j,s.pontosda Terra,

Esses dois observatdrlos e a Lua formamum triang:,wlo, come voce v e na gravura.

Os ebsereatorlcs-eodem medir os an,gulasda base desse tri-angulo, mas ri~o ha nin-guem na t.uaoara medir 0 terceireanqul»,Todavia,com auxllio de teorema angularde Thales, podemos calcular esse teroceirQ

a n gu 10'"

o conhecimento desse terceiro ,angu,lo simportante para os as'tronomosl po:rque,com ele, f,lodem ealeular a dist..ancia daTerra a Lua.

'"E facil voce ,imaglinar que , quanta me-

nor for esse angulo, maior sera essa dis-

Uncia.

Os astronornos ealcularam que .~ Luadlsta cia Terra, aproximadamente, 400..000quHometros.



POliGONOS

34

Voei sabia que:

· .. pentQ,li,nna, r eta , _S \illpe 'r fh :ie , plano e

espa'~o'nio se definem ' ? S a Q conc.eit9s,primi

tivos.

· .• se.gmento ~ uma p'Qr~i io de reta limi-

tada per dols po~t'Os?

· .. s egmentos coUn eare s sao aqu81es que per

tencem a uma mesma reb 1

· .. « igur. plana eoaquel!a em ( : 1 , u e todos O ,

seus pOfl,tos e : s f a o no mesmo plla~o?

, •. dados n pontes Ph :P2, PSI"•••• Pn, a

linha formada pelosseumentos P, P2 , p~ps

••••• F?n_1 Pn denomina-se uma poligonal?

·•.s~ P, = Pn, a liona peligQnal denemi-

na-se fechada?

, .. poligono'6 a por~ao do plano llmltada

per Ilma Hnna polig,cmal fechad,a?

• .. um poHgonll e convexo quando 0 seg

mento, un indo dois pontcs, quaisquer do

pong'ono, esta inteiramente contid,o n o po

ligono?



soma dos

(\n'9uI05 lnternos de urn

poH'go,no convexo

Na gravura, de .cir;na para baixo. vodencen tra urn 'triiangu ,IQ , urn qU3chilatero,um pehtagon~ e urn he x a go no ,.

Voce ja vlu, neste caderne, que a sama

des ang.ulosJnterno$ do tdangu'lo (3 lados~6 igua'la aOo,i'sto t!:

o quadrllaterc (4 lades) se decompQe emdoi:s (4 - 2) tri~j,gulos; logo, a SOm3 deseus angul: :os internes e 3600 , isto 6:

(4 - 2) X 1800

o pentagon,o C5lados} se decomp5e em .tres (5 - 2) trHllr:lI9il!Jlos! logo, a soma de

seus"3'ngulios'h,ternose 540°,isto 6:"(5- 2) X l800

o hedgono (fi lades) se-decor11 poe emquatro (6- 2) triangulos,; I09 ,o ,a soma deseu,sangulos internes e 720(),.isto e : :

(6 - 2) X 18()o

5 : facil voes conclUiir que urn pol1gonocenve.xo de n lados podera ser decorrrposteem ( 1 1 - 2)' triang,ulos, ,e a soma de seus

a.nrgulos~intemQ~ sera ; (n - 2) ~ 1800

Temos entao a formula que pe,rmitecalcutare soma dos angul!os internos deurn poiigono. ccnvexo de um numero n.quatq,uer de Iados:

Sj = = 180" ( r _ l . ._ : ' 2)__ ~ _ _..J

3 5



soma dos

a n g u T o s externos de urn

p o l i g o n o , c o n v e x o

Voce sa be que a soma dos anguJos e,xter-nos de quaJquer poligono convexo e sempreig'uall a 3600 ? " "

Voce pode verificar isto facilmente.Construa, com carl:olina, um 1 3 0 . 1190no

convexo quaJquer.

Se voce proJongar os lados do P'QJlfgon~o

num mesmo sentido, tera todos os angulosexternos do poli~ono.

Se, agol1a, cortaro e destacar cada umd~sses ~ng'1iI119S"externes, e coloca-les demodo que seus v~rtices coin ci'datn , veraque todes 'eles [urrtos formarlo urn angliliode S60Q

; portante a soma dos angulos ex-ternes de urn polfgono ccnvexo e igual a3 60 gr.aus.

poligonos - problema

Resolva os segwintes problemas', no secaderno a e rasotlnno; £ eoloque os resultados nos lugares 'indiieados.

1)

A soma dos angllios internos de iiim pollgono" convexo de n ladcs-e 720°. 0 po'ligonochama-sa .

~ngUIIO externo de um poligono convex

equi~ncgulo mede 24°.. A soma de seus angulos lnternes e ,

3 )

A soma des angulosinternos de urn pollgono convexa ~ 0 qUlntupl'o da soma dseus angulos externos . .0 mimaro de ladodo polf.g.Q,no e .

4 )

A soma des ~1!'l9",lo$ in temoe-de urn poH

go.no sonvexe eq!~,IU}ngulo exC!:edea somdosseus a:ngulos exterl1o,s de 1.080°.§nglJlo interne do . potrgJono mede •.. , ....

5)A metade de urn §ngu!o j,ntemo de urn po1I90no eonvexo eqiHangulo excede a tereaparte de 'Urn angulo externo do polfgol'1de 46°. 0 ndmero de diagonais do poHgono e .

6 )Tres poifgonos eonvexos tem I respectiva-mente, n, n - + I e ,n + 2 ,Iados. A somQ'os angul,os internes desses pollgonos1,.620°. 0 po:ligono de mener numero dI!ados e o . .

7 )

As mediatrlzes de dais lados consecutlvesde,.um poUgono regular formam urn angule



de 60.0, Urn dos lado$ do poUgono medeScm, 0 perlmetro do poifgono e iguala .

8 )

As bissetrizes de dois ~ngulos consecuti-vos de um pollgono convexo reqular for-mam '-1m Angulo de 45 ° , Se 0 perfmetro do,poillgonoe Igua' a 12cm, um dos lados dopoligono mede .....•..

9)Em urn pollgono regular ABCD, a diagonalAC forma com 0 lade CD 0 angulo ACD == 72°, 0 nurnero de lados do pollqono eigual a .

10.)o pollqono cujo nurnero de diagonais eigual ao numero de lados chama-sa .

11)o OI IJmero de diagonais de urn pOligonoregu'ar e 0 triplo do ntimera de lades. 0angullQ interno dQ p oligo nQ , med'e ... ' .....

12)

o nomer,Qde [ados de um polilgon,o regularconvexoe I,g~al aos 2 / ' 7 do numero de dia-gonalis.. 0 exeesso de urn Angulo internos8br,e UI'Yl angullo externo e igual a

13)A dlferenca entre 0 numero de lados dedois polfgonos convexos e 3. A diferencaentre 0 ntimerQ de diagonais dos do is poll-gon08 ~.1'5. 0 PO,u90li lo, de maior numerodeladQs.iS 0, •••• , .•.• '

14)A soma dos n -I angulos intern,os de mpol'ig,ono tonvexoeqiH,~ngulo e 9450

• 0 nu-mere de lades d@sse PQIIgono e .

'15)Mostre q'ue Urn poligol"!o convexo, eule n u -mera de lados ~(maior que tr@s, nao pede

ter mais de quatre ,Angul,os a,gudos j'n-temos·. .

Resolva os exercicios 16, 17 e 18, u.tili-zalnd'oa pr6pria figura de cada exerciclc.

16)Caleute a soma dos oito ~ngulos, indieadesper letras, na figura.

17)

Calcule a soma dos cinco angulos, indi-cades per letras, na figura.

18)Calcule, em fun«;a.o dos ~ngulos a, beeda figura, 0 replemento do angu'o naoconvexo do quadrtlatero.

37



quadrade - numeros cruzados

I

I 2-

1

3

,

2

1 I

3I

i

R.esponda a s seg,uintes questoe's, colo-cando as respostas no quadrado acima.

1)Q.tlal 0 suplemento de 3501

2 )

.Qual 0 nUimero de gradoseq ,u ivalente a

36001

3 1Urn al'lgu,loInterno d~ urn peritagoliQ "an-vexo mede 35°. Quanta vale a soma doseutros ~ngl;.llosinternos?

VQC@ acabou de eomeletar a q",aclratJ,o?Not,e que as respo'stas podem ser lidas nahorizontal au 'na verttcal, -,

38

I t1

12 3

2I

I1

1

I

3

H O R I Z O N T A l S

1)

Perimetro, em centtmetros, do triangIJ,loequilatero de 61cm de Iado,

2)

Perimetro,em cehttmetro·s, do hexagonoregular de 107cm de lado,

3 )

Medida, em centimetros, do lade de urnoct6gono regular de4.056cm de peri metro .

V E R ~ I C A I S

1)

Pe rlmetro, em .centimetros, do pentag.onoregular de 33.G r il l de ' Iadot.

2)

Peri metro, em centlmetres, de quadradode 210em de lade,

3)

Medida, em centimetres, do lado de umdodecaqono regu lar de 3,.924'cm de perilmetro .

1)

Confira os r.esultados horizontals com osverticais.

2),

Note: a soma dosalgarismos das hori-zontais, .das verticais ou diagonals esempre 12. Isto e oque se chama "Qua-drado magi co" .



triangulo - numeros cruzados

H O R I Z O N ' A IS

1 , )

Anguto: do vertice de urn triangulo is6sce-les em: 'que um angu!o da base ~83" 30'"

3)

Ano do nascimento de Pascal.

5 )

Mia'ior 3ngulo formado nelas bissetrizesdos angulos Internes da base de tAm tri-angulo isosceles, cujo angulo do verticemede 94°,

6)Numero de milimetros da hipotenusa deum triangw!h; retangul~o"..cuJa me,diana re-lativa a hipotenusa mede32<cm.

V £ R T I C A I S

1)Maiolr valor inteiro, em centlmetros, dolado de um triangulo no qual os outrosdais lados medem Scm e gcm, respectl-vamente,

2 )

Valor de um angulo interno de um t.r'ifAn·gulo is6sceles, em que um angulo, externomede 64°,,_

3)Seculo da morte de Pascal,

4)Mienor.angu:,lode um triangul,o retangulo,no qual um dos anglul'os agudos e 2/3 dooutre,

3 9



qua dr ila ter ,o s - pa l"a le lo gra m os

Rese~lva, no eaderno de' rascuoho, os se-guintes prob,lemas:

1)

Em !JIm paraleloqramo, dais Iados diferemde 2cm. Oalcule es lados do parale1Iogra,·mo,sabel1lao que 0 seu perimetro, 'mede

280m.

2 )A diferenc;a entre dois angulos de um para-leloqrarne e de H ) O o ; Calcule Q S angulosdesse paraleleqrame,

8 )Dois ~ngulos de tim pa·rale,I'ogr,amo sao

c e rrm le rn en ta re a ..Calcule um dos ~Iilgulosobtusos do paralel,og!ramo.

4)Em urn paraleloqramo, urn des ang,ulos eigual a soma de outros dois. Oaleu Ie osAngulos desse paraieloqramo.

5 ) ,

B:D = 1&cm e AC = 120m sao as diago-nais de um 'ParalJl~log:ramo, e 0 e a interse-

40

~ao dessas d iagon,ai-s.5e OA = zc + ye08 = 2 cc - y,calcu'le :x .e y.

R::::c=5 y=1

6 )

Dois angulos opostos de um paraleloqramu

sao expressos em graus por 3:x : - 200

e2:::c + 30 ° , respeetivamente. Calcule urndos menores angulos do paralelogramo.

R: 500

7 )Pelo ponto 0, intersecao das diagol'tais, deum paralelogramo ABGD , traca-se limareta que intercepta os lades AB e CO ,em E

'e F, respeetivamente. SaOE = '5cm"calcU'lleOF, justifieando a resposta.

R: Scm

8)

Mostre que, em um paralelograma, as bls-setrizes de dois angulos consecutives. saoperpend ieu lares.Suqestao : Verifique que a metade da somade dois angulos adjacentes de u r n pa.rale-log ramo e 90".

9 )

Qual a figu ra formada peias blseetrizes de

urn paraleloqramo propria mente dito?Justifique a respesta,'

Sugestao: Use 0 exerelclo anterior.

10)Mostre que as bissetrizes de dois ~ngulosopostos de um paraleloqrame proprfamen-te dito sao paralelas,

Suqestao : Prolong'LU! essas b,issetr,izes (etascortarao dois lades opostos). Use seusconheeimentos de paralleJas cortadas por

uma transversal.

11)ABeD e u!R..!'etangullo .. Seo ~ = 82°,ealeule 0 1:>6C".Justifique a resposta,

12)ABCD e um reUnguto. Se 0 A C Ocalcule 0 A B t r . ~



13). ~ABGDe um losango. Se0 ABC = 56°; .eal-,ufe 0 , A O B : :

14)ABCD e um losango. Se 0~ =35°, cal-culeo~.

15)As diagonais de um retangu.lo ABCD cor-tam-se em O. Se 0 A < 5 1 : f =1100

, calcule osAn,gulos BAC e ACD.

16)As diagonais de um retangulo ABCD cor-!em_-se em O. Se 0 . A E W - =74°, calcule 0

DOC. .

17)ASCii) e UN [quadlr,ado;:uma reta CMN cor-ta BD'~em M , _ e AB em N,. S 'e 0 CMb = 800

,

caleule 0 C-NA.

18)Em um retangulo ABCD (AB > AD), umdos angulos formados pelas diagonais va-le 1300

• Traea-se BE, perpendicular a AC,e traca-se a bissetriz do angu 10 DBE, quecorta DC em F. Calcufe 0 angulo BFC.

R: 450

19)ABCDE e urn pentagono regular; ABMN eum quadrado in~o ao pentaqono. Cal-cufe 0 cB i \ 1 r e 0 UBI'r.

R: 18" e 276

20)ABC e um triangulo equllatero: BCMN eBCPQ sao dois quadrados construldos so-bre BC. Calcule os angulos AMB e APB.

R: 75° e 30°

21)As diagonais de um quadrado ABCD cor-tam-se em O. Sobre AB marca-se um pon.toM de modJ2.._queAM = AO . Prove que 0

A6 i \ 1 f = 3 B O M .

2 2 )ABCD e urn losango, no qual 0Angulo B == 108°; CAMN e um outre losango em que

M esta sabre oprolon,gamento de AS. Cal-eule 0 ,ang[ul~()ag'l.Idoque AN forma comB e .

23)ABQO

eunll quadl('ado: ABMI.e!llm trialil-

gulf)eqijjl@tero ilnte,rM ao q,uad,rad:o.Cal-cule 0 'DM 't.

R:156o

24 )Em um paralelogramo ABCD, 6 al'ilgul.oA = 1200

, e a bissetriz do angulo 0 pa:ssapeh) ponto rnedio E do lado AB. Caleule:a) a disUncia do vertlce A ao lado DO, seDE = 6cm;b) 0 angulo DEC.

R: 3cm,.e 90°

25) ,Me Q pontomed,io do ladoAB dieurn tr'iAn-gulo AB&. Pc:rM traca-se uma paif'alela aolado B(~,cQ.rtando AC em N. Mestre ~LJeAN= NC. (Sugestao: trace ~or M umaparalela ao lado AC, cortand'Q Be em D . .)

26 )Em urn trianguto ABC., 0 lade Be = 8em;MeN S~Oj' respectivamente, Q$,-pontosm e -dios dos tades AB'e A C ..Call,culleo,seg[m~n-to MN. (Suqestao: prolonae MN. de urnsegmento NP = MN; una P com 0; proveque 0 tri~ngulo AMN = trHl,ngu!o CN~, everifique que 0 quadrilaterc MPCB ' 4 ! . urnparalelogramo.)

27 )

Prove ettie, em todo trlAngul.o, Q seg1mel1toque une os pontes rnedies de dOli's[adose paralelo ao terceiro lade e vaile a metade

desselado. (Suqestac: proced'aeomo noexel'clc"io anterior.)

28)Em um .qu~tdrilatero ABc[)C, as di<\glonaismedem 14cm e 12cm. Unem-se sucessi-vamente os'pontos madi'os des~equadrila-tero, obtendo-se um nqvQ quadrUa'lte.r.o.Calcule 0 pel'lmetro d @ n;ovoqU'adril.a'tero.

R: 26cm

41



3 3 )

M e urn IPon.to Interne ao trj~nglllo eqU.ilte'ro'ABC. MP, MQ e M R sao as distanc'iado ponte M aes lades do trian.gulo. Mostre1,rtiUzand:o0 I.tem b do exelrclcij,oanterlorque MP

+M i ' G }

+IYrR ~ um'9 censtante

(Sugest~o; bate uma r,:).i;ll'ate:ila• por M,alado B.C e a altura relativa a ~.sse ladLembre-se de' que num tri~ngu'o eqi,ii'tero as alturas s~o "Quails,)

34)A,OS e BOC sao do is angulos adjacentes

2 9} tais que AO B = BO , C = 60 " . M 6 urn poAs diago'na' is de um rcUngulo ABCD cor- to i;ntern9ae a'l'\gulo e · o c " Do pento M trtam-se em 0" e AO > AB. A e lrounte ren- cam-se M'P, MQ e MR perpemHculiares,

cia de centl 'l 'o'A e rate AO carte 0 prolon- respectlvamente a OA, OB e nc. Se MQgamen.to de AB em E. Se K<)& '= 4 tfc)E, / + M R = 29clr:fh -caleule MP. (Sugesta .Q

calcule 0 B A O . trace par M I.una. paralelaa OA. )

'R : 20cS O )

Constroem-se sobr~ es catetos AB e AC deum 1riangulo reta,ngulo AB C osquadradosABO ' E e AOFG .• 'Tracam-se, pelos pontos De F, as perpend'icula1'es,DO' e FF' ao super-te de B C . D e DD' ; + FF' = 25c:m, calculeac. (Sugesta,o: trace a altura AH relativaaB C ..

R: 25cm

31)ABCt> € urn parale1ogramo,. e AX ~ umareta.exterter ae paralelouram«, DoS v~rti-ces B, CeO tracam-se as perpendtcularesBB', C C ' e DO' a AX. Se BB' + PD '=10cm,calcule ce'. (Sugestao,: trace CE perpen-dicu.lar ao supcrte de BB'.)

R';; 10cm

32),D e um ponto M da b ase Be de U!(Yl: trian-

gulo Ijs6s.cel~sABC, tt'a9am-si MP e 'MQ ,perpendrclA,lares respectivamente aos la~des AB e AC,. Areta MP encontra em R 'aparalela ao lado AS tirada por C. Mestreque: 3 ? MQ = MR; b) MP + MQ e ,ig~ala .altura relativa ao .Iado AB . (Su,gestao.Verlflque que os tri~ngullos MCQ' e M,CRs ao ig ·u ais .)

42

'35)

Em urn retgngulo ABOD (A B :> AD) . , traca-se uma paratela a diagonal BO, certando AS e m N,e A.Dem M. ·Por M, tl'a,~a-uma caralela A.dlagoM;1 AC , cortando 'Bem I, e ;BCem P. Pol' Rtraca-se uma pa'r

le'la a diagonal! I3~D,cortande DC en'l,U I 1 ' I 1 a M a -Q. Mostre ,qluerIJ quadril~te~MNPQ 6 iUlM paraleloqrame. Calloule 0 prlm etro d@ sse paralellOgr.amo, S6,a dl'agonaAC = 10cm.. (Suge'st~o: mostre quetr.iarig\.llios.N IBe B I P sao isosceles , e coclua dai que IB 6 a m,ediana do tria,ngulB N P re tatlva ~ h ipotenusa NP.)

' R . : 10c

36 )M6 urn ponto dQlado.A:18 de tun re.tangulAB eD (AB :> AD) e tal que AM > M'Doponte M tra~am~se MP e PQ"perpendculares, respeetivamerrte, a s diagonals Ae BD. Se MP + MQ = 1,2cm, calcule'a dltancia BE do v~rtice B a diagonal AC. (8uges:tao.: tra'ce por M uma paralela. a diagoilal AC, cortando B E em I; h10stre quetria ng'UIQs QM Be I BM :s a0 igu als.)

H: 10c



quadnlateros - trapezlos

Resolva, no caderno de rascunho, os se-guintes problemas:

1)

Em um trapezio, dois angulos medem 1380

e 64° . Calcule os outros dois angulos.

2)

Em um trapezlo is6sceles, dols Angulos. di-ferem de 60°. Ache os angulos do trapezlo.

3)

Em um trapezlo is6sceles, a altura formacom urn dos lados iguais um Angulo de250. Calcule os angulos do trapezlo.

4 )

Em um trapezlo is6sceles, dois angulos saocomplementares. Calcule os angulos dotrapezlo,

5)

Em urn trapezio is6sceles, urn dos angulos: e 0 t,riplo do outre, Seas basesdiferem de8crt\,caIculleaaltura do trapezio.

6 ) .Em urn trap~dois6scel'es, dois Ingulos

.adjMentes a mesma base sao expressos emgrauspor 2 cc + 60°·e4::x:: - 30°. Calcule aaltura do trap6zi(), sabendo que um dosla do s o b l'f,q uo s mede 8cm.

7 )

Em urn trapeZtO i:s6sceles , urn des angulose - 0 d~bfo do outre. S e a base me'nor mede8'cm.,e urn dos lados obHquo$ 6cm, quato perimetro,Cfo trapezio'l

8)

Em urn trap€zioABCD, AS , 6 a base .menore AO = BC. Calcule 0 perimetro do trap~-zlo, sabende que: a) doisanQulos diferemde 60< >; b~ ' a diagonal '8'0 ,. perpendiqllla.I'

a Be; oJ a base manor mede Bcm. R : aOc.m

9)

Em um trapezio ABCD cuja base maior eAS, tern-se BC = CD = AD. Calcule os a r l -gulos d,~ssetrape~io, se AB = AC.

R: 720 e 108"

10)Em, urn trapezi:o ABGD , as bissetrizes dosangtlliOs adjacentes a base malor cortant--sa sobrea base rnener ' CD. S'e}t(D+ BC =

= 12cm,.oallculeCD.R: 12cm

11)Em um trapezio· i~6scel.es, trace a altura-de um dos extremes da base mener, Mos-tre que 0 menor segmento (proje'!t~o deum lado oblique) gue 'Q p e ~essa ailturadetermina na base mah:rf vale a semidife-renca das bases.

12 )Em um trapezio retangulo, a base maiorAB e . . Q d'6bro da base menor CD, eesta ,i g'l l. Ia t a altura do trapezio. Calcule os in-guilos Bee, do trapezio.

13)Em , um trapezio ABeD, AS 'a basemalor,e CO a menor, M e o ponto m'edio de AB,N 0 PO t ::l'to medio de DB" P e ponto m6diode DC.,e Q 0 ponto m~dio de AC . Calcule:a) 0 perimetro do quadri'lUero MN,PQ., seAD + Be, = 1,0cm; b) I) an,gu1:oMNP, sees supol'tes de AD e B e forern perpendi-

culares. (Sugestao: Use a prop,riedade doexerc 'icilo 2 7 , da pagina 41.)

14) ,ABeD e urn t,rapezio retang,ulo em A e D.AB » DC. A'sbjssetrizesdosangulosadja~centes ao lad,o .oblique B e certam-se 58'-bre a altura AD. Se AB +GD = Scm,ealculq B.C. (SugestaQ: Trace pelo pontode inte'rseC;~Q'8 perpenclHo.ulacr~ BC,,)

43



retangulo - numeros cruzados' 9)Maior ~ngulo de um losango, no qual timangule lnterno 6 0 quad ru p- I0 do outre.

1 3 4

6

~.,

- . . . »

9 10. 11

13

8

12


1)

Men .o r ln gu 'lo de u,m paralel.ograrno em

flue ls i m angu 1 ' 0 · mede 144°,

3 )

Menor angulo de urn pa,ratelogramo quetern .angulos internos complernentares.

5)

10/9 do numero de graus de um angulo

qualquer do retangulo.

6)

Perimetro de um r.e·tanQlulo, 'no qual deislados censecutivos sao exp ressos por 36-oce 28 + ec , respectivamente,

7 )

T~r~ parte da soma dos angu,ilos internosde urn paralel'ogramo.

44

12)

Meno r lado de urn retal'7lg'u lo , . eu ]e per~me-tro e9Qcm, e 0 mai:or Lado e 2 4 cm ,

13)Seculo em que viveu 0 geometra Eulelr.

V E R l l C A I S

1)Menor angu'lo de urn paralelog,ramo,cujomaior angl~l)o e '14 9" .• -

2)Menor anguh~ de urn IQs~nge, cuja di~g.o-nal maier forma com um dos lados urnangulo de 30°,

3)Valor, em e en ttm etros , do pe rfm etro deum losango que tem um angu~o de 600

,

no qual a menor di.agona.1 mede 10,5cm.

4)

Menor ftngulo de !JIm paralel.ogram:o,cujadlferenea entre dois de seus angUI :O~ in-ternos e 64°.

7 )

Menor lade de urn l'Ietangulo em que urn-adiaqonal mede 2 4 cm , e forma com a outraum anguh, de 60°. -

8 )Numero de anos que viveu 0 matemati :co·Galois •.

10)Numero de eentimetros do lade de U'm

.q'uadrado, cujo semlpertmetre e 82cm.

11.)Ntlmer:o de cerltimetros que devoacres-centarao menor lado de um reta.nguto,de dimensdes 12cm e 60cm, para obterum quadrado.



trapezia - nurneros cruzados


1)

Angulo agudo de urn trapezlo is6scelesque

tem ~ngulos complementares.

3)Data do nrlmetrc plehi'soilto no Brasil, 110

perhxlo repubJica,no.

5) ,Ano d,a morte do grande matematleo bra-

sileiro Teodoro Ramos.

V E R ' T I C A I S

1)

Soma dos Angulos externos de um trape-zlo , aurnentada de 139 ° .

2 }

3 8° mais 5 v@ZesoAngulo obtuse f,ormad,opelas blssetrizes des angu'los adjaeentes a -

base, maior de urn trapezlo ret~ngulo quete rn urn Angulo de 1 2 0 ° .

3 )Menor angulo de urn trapezio retangulo,no qual a soma de dois ~ngulos e i,guala 259 ° .

4)

Per'iIMert""ode um trapezio is6sceles eujasbases medem 14cm e '6em, eem qlue lim

des ang:ullosf 0 dobro dooutlr.o.

2

45



CIRCUNFER~NGIA

Leia no sell llv ro - texto 0 capitulo Cir.(u"ferenc ia e preencha as reticencias comuma das letras Y 01) F. conforme as propo-si~oes abalxo sej\am verdadei:ras au fal!$a$,;respectivamente.

a)Em uma cireunfer@ncia , todo dilametrodivide a circunfer~n~ia em dois arcosIguaJis...

b)

Em uma circunfer@nci'a, todo diametro euma eorda•..

46

c)Em urna circunfer,~ncia, t6da oorda ISumdi~metro.

d)

Todo raio de uma circut1f.er.~ncia ,~ umacorda .. n

e)T6da tangente a uma circunfer@ncia ~Qbl i . ..qua ao raio que une 0 centro ao ponto decontacto ...

f)

Em t6da cii

rcunfer!.nci>8, 0 diametro · i s amaior corda •..

g)Em t6da circunfersncta, duascord,as iguaisdetermlnam arcOSdesiguais. .

h) •

Em t6da ,cirC\[email protected],duas cordas i:g,uals~ao desig.u,lmente afastadas do centro.

i)

Em t6da circunf_erancia. duas cordas de- ~siguais distam desigualmente do centro.

n

emt6da c lr cu i'lf ·e r@n cla, . umangu lo c e1 n tra l

tem pOl' ntedida a metade da medida dearcoeempreendlde entre seus tad os. n ••

I)

Em' t~da circtmfer@nciia, um an ,g ,u lo Ins -crlte tem POl' medida I)area compreendtdoentre seus lad os.



n'I)Quando duas circunferenclas s~o tangen-tes: exteriormente, a soma dos raios "'maior que a distancia dos centros .

n)Em uma clrcunferencla, todo langulo Ins-crito e agudo. .

0)Quando duas cir~un,fe'l'I@nciass~o secan-tes, a dlstAncia dos' centres esta compre-endida entre a soma e a diferenca dosraios.

p)

Em uma circunferencla, toda reta perpen-dicular a um raio e tangente.

q)

Em clrcunferencias iguais, angulos cen-trais iguaisdeterminam areos iguais ..

r)

Emtlinrta cjr·cunlfer~ncia, u,rm ponto 6 in-terior q,uall.do;:ad,istanci.", do, 'pconto ao een-tro f6r maior do que 0 raio ou igual a ele.

s)Todo quadrllatero convexo inscrito emuma circunferencia tem §ngulos opostossuplementares. ,.

t)

Todo quadrilatero convexo e lnscrlttvel.

u)Se, de um ponto exterior a uma circunfe-rencia, tracam-se duas tangentes, os seg-m ente s de s~s tang~ntes, compreend idosentre 0ponto e es pontos d~ contacto, saoigu,ais•. ".

circule - problemas

a)Representando por I n 0 lado de urn poli~gono regular eonvexo de n lades, inseritaem uma circunferencia, preerroha as fa -cunas do quadro abaixo:

C o r d a A B m - e d id a d oM e n o r a r e o A B

-S = 1 3 AS= ........

AS= 1 4 A B " = ........

-S = 1 5 AS = . . . . . . . . . . . . .

-S

= 1 6AS

=. . . . . . . . . . . . . . .

AB = 1 8 AS = . . . . . . . . . . . . .

--B = 1 10 AS = .........

_..--,.

AS= 11 2 AS = ,.......

47



..........• 1'IIII1II!Irn.as., no seu ca-_DqIjt8 O S resulta-

centro 0, ABdo triangul.onfer@ncia;: 0 ..

centro 0, AIcorda. 0 anguloo lado do poU-. . . . .. ... I.aetas.

e trc u n fe renc1ia,perpendicular aoo = 18°,.a 'corda

-",---- regular inscrito,!ados.

4A8 = I e C = t 530 duas cordas deuma circunferenc&a Se 0 centro da e 'i r-cunfersncta e e te ao ~ngulo S A C . , \ jl

medida desse age ..

5)ABCDE ~ urn pentagono regular convexoinsceito, A.s diagonais AC e BE certam-seem f; 0 angulo CIE Iiigual a ..

6 )

Eml uma drcunfertncia de 'centro 0,AS = Is e MAN e uma tangente a cfrcun-fer6nc la. 0 a.ngL JI'Q ob tuso formade pelatangente com AB mede . '..•••••.

7 )

Se 0 arco .de 'urn segmento circular tlver100gJllaus, Qua lq l.le r a ng u1 lo inscrito nessesegmento. medlra ,. grall'S ( IE-1963) .

48

c)

Resoclva, no seu caderno de raseunho, osseguintes, prob lemass

1)D e um p on toe xte 'rh :;r A a uma ci!nunfe-

rel1lcJ,ia"l'a¢am-se d;lIll$ secan:~es. A prif l1,ei-ra corta a ch.camfelrel'wia nos ,pontos 8 e C(B ,entre .A e C)" e . asequnda corta a ckcUIn{er@ncia noa :pontos 0 e E J . R . entre ' A

e E ). 0 ~u'lo A mede SOo , e eE L = ~BO. ,Calcule B O .

2)

AS 60 }'ado do tri:Angulo eqUI'later'o Insert-to em· uma circunfer.@ncia de centro 0,

Por A . e B tracam -se du as tangentes ' a elr-cl ! . lnfer@n'cia"que,se cortam em M. Calct.l l ,eo:'ngl.!',lo ~M,B.

3)

De um ponto.ex:terior A a uma clrcunfer6n-eta, tra~-se uma tangente AS (B pont.ode' eontacto) e uma secante curtande adlr'C~H1t:erencja nos pontos CeO (C entreA e ID). 0 area BD excede 0 arco Be de60 0

, Calcule 0 a:l1g~lo A.

4 )U rn i n g 1 1 A 1 i o exo@n,tfico de v4rtiee exterioril'll'tercepta, nacilrc.unfell '@n,cia, os aeeosADe CD (A:B> CD).. 0 ar:l,gulo S excedee areaCD de 130, e 0 area .AS 6' I ,gual: aes 5/2 do,~nguloS. Calcule S.

5 )E m umasemieircunferencia de centro 0,traca-se um diAmetro, AB e urna corda ACde tal modo que 0af'lguJo BAC = 50°. PaO,tra~-se 0 rate 00 paraleloa eorda AC,Calcule ,oa.ngulo C O D "

6)

AB = 1 3 e CD = Iedo bases de 1 0 1m tra-p~z10 is6sceles inscl'ito em urn semiclr-'01.110,. Calcule os angul·os do trap6z,io.

7 )Most re que, em todcUluadrHate~o convexeins'cr,lto, es angulos'opostos sao'supleimen-tares.



8 )E.1tiurn triangulo ABC, tra'«;;am~seas bisse-trizes dos angulos internes Bee queseeortam em I, e as bissetrlzes dos anguliosexternos adjacentes ao lad'o B e, qltie seeertarn em I'. Mostre que 0 quadritateroIBI'C

einscritlvel.

9)

BO e CE sao duas alturas de um trianguloacutanuulo ABC. Calcule 0 angulo ABC,sabendo que 0 angulo AOE =60°.

10)A e um ponto exterior a uma circunferen-

cia de centro O. Qe.A tra~m-se duas tan-gentes AB e AG {S , e C pontos de contacto).Trace OA, OB e bc e mostre que AB = AC.

11)Pelas extremidades de um diametro AB,de uma semiclrcunterencia de Cent ro 0;,t racam-se di!;!3:stangentesAXe BY. POI' urnponto C desta semlci rcunferen cia" traca-seuma tanqente-eertando AX em M, e BYemN. Calcule: a) MN, se AM + BN = Scm;b) 0 a.ngulo MON.

12)

Mestre que, em todo quadrllatero convexocircunscrito a um circulo, a soma de doislados opostos e igual a soma dos outroslad os. (Teorema de Pitot.)

13)Calcule 0 perimetro de um trapezlo cir-cunscrito a um circulo, sabendo que asoma das bases e 10cm.

14)

Mostr:e que...em tedS) trapeZio ci"rC\;Inscdtoa u 1')1 of reu 1 '0 0 _ per,metro de trap'ezto e 0

quadrupto dlesl,.ia base media •.

1'5)Cal.ciu'le 0 pe:rimetro de: urn trapezio :is6s-eeles, oireUItiscril0 a um ;t~rcu:lo de raEoiguala 2CIliI, sab,en,do q,ue urn dos,aM,ulosc{o trap~iio m t:de 3 0° .

16}IMostre que, em todo tr,iangulo retangulo,a SOMq des c.atetos e . iigt!..Iala soma da l1i-potenU$a eem o diiametfo do clreulo ,i!1s~ertte no triangul:o.

1 1 7 )

De urn pontOl p. e,xteFi,or a um a clrcunte -,rencia, tra~am~'$e duas 1tangentes PA ;=

= PB ;=; t (A e B ,pontos de contacto). Pol"Ulrn po.nta M (h l menorareo AB , traca-seuma Qcutratmgente ,co:rtando ,P'Aem C.eP.S, e m O . M,ostre.cl'~eo' peri:metro do tr.iijln~gtilO Ace e igual a 2t ..

18)

De tHn ponto A, exterior a tun elroule, t,ra-ca-se umasecante dlamesra] 'qu~ ¢f:lrtaa circ,unferencia nos pon'tos Be C (8 'entre.A e q, e uma tanqente, cujQ ponte de CO~IiI-

taete e O. Uti le -SO Da C e traoa-se a bis-,se:triiz do angulo CAO qlue.encontra a e ordaCD ern M. Cdcute 0 ~n9ulo AM.D "

19~,

De um ponto A, exteri,or a lAma clreunte-renc:ia de. eentr.(), '0, traca:m-se dt"lal$ secan-tes'; a primei,ra eerta a cirCI.HjfeF~."..ci3 nosponto;sB e C (8entl1e A'e 0); e a segundacorta a crrrcul'1fereneJia. nos pontos 0 e E(0 enbe Ae E)...0 ¢~ntro da dl'.cuf!Jf·eTeneiae j'frte:rior ae angul:o CAE. CD = 1 3 eBE =14• Galculle 0 alrtgulo 1 \ " 0

20)

Em um. an,g~lo. XOV, inscreve-se uma dr-cunf.erenc~a de ccmtro 'C . 0: e 0 R'onto de

c@liItacto de OX eom a drcunferel'\cia.. Por0, tr,a~a-se tlma semi-reta Interaa aQa'l1gulo XQG, que Qorta aci,rculiilfer.en.c4arU~~!lontos ./\ e B, de tarl n1~odo,q~J'en arCI);A.[) 'e a metad:e dlo area BO. CaleY"le: a) 0angul,o BOD; b) os al\lcgul1osdo quaddlateroADBG. (Sugestao: 'Trace es rates queunem os.po.l\tos de oentacte d~,sse r Y I l-retasOXe OY.)



4.° oentenarlo da

cldade do R io de Janeiro

Com a ajuda do ano do 4 . , 0 centenarlodacldade do R io de Jane,tfO, esereva osresultados dos, problemas apresentadosa6a;i:)(0': '

1)

Qual ° numero, de grays da soma dosAngulos Internos de um tria.ngulo?

2)

Quantos graus mede 0 A'ngulo formadopelas dlagorials-de urn losang01

3)

Qual'a medida, em graus, do arco.de umaclreulnfer@nlcia,'cujaeorda que subtendee olado do decagona pegu'lar lnscrlto nessacircunfier@ncia1

4)Qvantos graus mede 0 angulo Interne deurn oct6gono regular?

50

problema da sombra

Quando 0 sol vcomeca a nascer, projeta uma sombra, bem grande, de vecsde t6das as coisas.

A medida que @Ie se vai elevando, asombra projetada dlminui,

Se voc@tem um metro e meio de altura,e a sua sombra, projet3da num eertoinstante, 6 igual a 3 metros, voca compara@ssescomprimentos medlantea raz~o 1,5/3ou seja, 1/2.

Se voca comparar outros objetos comsuas sombras, nesse mesmo memento.obtera essa mesma ra~~o: 1/2.

Assim, se, nesse lirlsta,nte', a sombra duma arvore tiver 10m de ecmprimento,altura da arvore e iguala 5 m .

Voce , agora, observando a ,gravura, compreendera como os anti-gos caleulavama altura das pirarnldes, esabera calculartambem a altura de pred'ios e monu-mentos com auxillo das sombras projetadas pelo Sol.

O B S E R V A ( i o

o cateto vertical do men or triAngulo re-tangulo da gravura representa um bas-t30, e 0 cateto horizontal, a sombrad@sseoastao. 0 catetovertlcal do maiortriangulo reUngulo representa a alturada pirAmide; e 0 cateto horizontal, asoma da altura do triangulo da sombrada pirimide com a metade da arestade sua base.



linhas proporcionais

Resolva, no seu caderno de rascunho, ossegu intes prob'lemas:

1)

Urn 1ei'xe de quatro paralelas tleterrnina,sobre uma transvel'sall tt segmentos de2, 3 e 4 centimetros, e,s6bre uma transver-~ad t'.o\iltros se,gme,ntos cuja soma mede18cm. CalCUIle O~ tr@s segmentos determi-nados sob~e f'.

2 )Urn fe:ixe de tres retas ,pQ1ralelasdeter-mina, sabre uma transversal, dols seamen-tos oonsecutivos de 3em e Scm, respe.eti-vamente. Calcule os segmentos censecu-tivosque essas p~i'alelas determinam sobreuma segunda tra,nsversal,' sabendo' que 0

P II'O d IJIQ 'de suas m ecH das vale 6 O c r ; n , 2 . ,

3)Um ieixe de 4 retas palr:alel'as determinat'sabre uma transversal t, segment,os de 3,5 e 8cm,e ,sabre uma transversal t', seg-mentes correspondentes c U J a Soma dosprodutss de suas medidas, tomadas duasa duas, e 19ual a 316cm~. Oaleule os :Seg~mel1to~s da transversal S.

52

4 )ABC e um tri~ngulo." 0 e um ponto do ladoAB. POI' 0, traea-se uma paralela ao lado

BC, cortanda AC'em lE. Mostre que os seg-mentos determinados por essa para lelanos lados AB e AC sao proporcionais.Sugestao: trace par A uma paralela ao

lado Be.

5)

AB = 8erti e AC = 10cm sao dois ladosde um t.riAngulo ABC. S6bre. AS, a partirde A. marca-se um 'ponto 0, tal que AD == 2C'nl. Por 0, ira;.;a-se, uma parale:l-a ao

lado B C , coda;ndo AC em E . Oalcule,. ut,ili.-zando 0 exercitio anterior, AE e EC.

G ) .Em urn tri~ngu,lo ABC, 0 p6 da bissetrlz do§nguJo [nterno A s~6bTe0 lado oposto ~ D.Sabendo que DB e a ta'r~a parte ~e 'BC,

calcule quarrtas 'Iezes 0 lade AC conteme tado AB.

'7) .

o perimetro de um trlang'ulo AB'C 6 igual

a 49cm. A bissetriz interha do anguJlo Ad)etermina, no lada oPcos to , segrn , .e l1 tos ad:i-tlvos de 15,em e Gcm. CaJcuile os lades dotri§nglll 10 .

8)o ,pe rlm etr.o do tr'iangulo ABC e igua:1 a43cm. A Dlisset,rtzdo a'ngu,IR externo em Adetermlna, no suporte do lado eposte, seg-



mentos subtrativos de 25cm e 10cm. Cal-

cule as lados do triingulo.

9)

Mostre que a razao entre as segmentos adl-tivos e a razao entre os segmentos sub-trativos, determiaados I 1 . Q suporte do ladooposto pelos pes dills bissetdzes internae externa tracadas de um mesmo verticedo triangulo, sao iguais.

10)0, E e F sendo, respectivamente, os pesdas bissetrizes internas AD, DE e CF deum triingulo ABC, mostre que:

DB X EC X FA = DC X EA X FB

11)Em um tri~ngulo ABC (AB <AC), traea-sea bissetriz do angulo A, que encontra 0

lado BC, em D. Por 0, traca-se uma pa-ralela ao lado AB, cortando AC no ponto

AB 2 AEE. Se -- =-,calcule-.

AC 3 EC

12)Em um trianQu,lo ABC (AB >AC)., a bisse-triz do inglulo A determinas6bre 0 I'adoBC um pente D., Por 0, traQa-se uma pa-ralela ao Uldo AB q:ue corta 0 lado AC em

AE 4E. Se AB + AC =14cm, e EC =3alcu-

Ie as lados AB e AC.

semelhanca: problemas

ResoiJ\la, ne-seu caderno de rascunho, essegulintes problemas:

'1)

As 'bases de um trapezio medem 1Gcme 12cm, e a aitura, Scm. Calcule a alturado mellor triangulo obtido pelo prolonga-ment-o dos lados nao paralelos do trapeaio.

2)Dois lados de urn ,pal'alelog~al'iYlo medemgem e Gem. A altura l<1elativaQQ mater I'adomede 2cm. Caleule a altura relativa aomenor.

3)

AB,C e urn triangulo obt:usangulo em A. De um ponto do lado B C , de tal mede qlle

o B A b = 'C . Sendo AB =Bcrn, BC =16em,.calcule BD.

R: 4cm

4)Um quad,radoesta inscrito num tri'3ngruloacutangul,Q e tem urn: Ilado aporiada sabrea base do triangulo. A base do triangulomede 20cm, e a altura relativa a basemede 12cm. Calcule 0 perimetro do qua-drado.

Ill: 18cm

5)

Um quadrado esta inserito num trUlnguloe tem um lado assente sobre a base dotrianglUlo. 0p~rimetro doqu'ad.rado e i.guala 1912 em" ea base do bi3I1gJ~lo· mede12cm. Oalcule a altura do t1rlingulo rela-tiva a base.

R:8cm

6 )Urn reUngl.llo esta inscl'ito num tri~nguloacutangulo, e 0 :Iado maio,r estas6breabase do tri2ngl.llo. A base' do trringulomede 12'cm, e a altura correspondente,

53



6ent. Sabendo que um dos lados do retan-gl!lliQ 6 . e dObra do I)utro., calcl.l l ie 0 peri-fil'letro do reUngu 1 0 1 .

R: 18em

7)

UmCluadrado esta inscrlto. lI\u,m triianguloMlutalilgullo, e.tem um I'ado apoiado $obrea base do tria,ng,l.Ilo. 0 lade de ClIlJa€ilrado'igtlal acs 3 15 da altura do tri'ang.ulo rela-tiva a base. CalculeO perfmetro do qua-drad'Q, sabendo que ~ ease do tri,anguloe igllllal a H:!cm.. - .

R: 19,2em

8 )AS = 12cm e CD = 18'cm~ao as bases

de t!lm :b~ap~z'ioque tern de alt'q:r.3 gem".Galcute. 0 segmer:r to i!i1ternQ ao trapeziij:)e pa'raJelo a s bases, sabende que sua dils-fan.(:,ia . a ' base maier e 3'em.

Suges tBo :

Trace, por urn dosexbemcti$ do segmentoin eog!f)j to, uma paralel:a ao lado obliquodo trapez:io oposto a esse extremo, demodo Ii f!)rmarr dots tl'iiangu'los eorn os su-portes das bases. Ti'ace iamb6'm a altura

do trapeziQ pelo extremocenslderado.R: 16em

9), E m um trap ez-i0, as bases medem 32eme 20001, e a ,altura 1Scr:n,.Ca~eule 0 seg-mento· da pa.ralela, eompreendido entre os'Iados dbllq"'os do trape'zio, sabendo quee t e e a dobra da sua distancia a basemenor,

Sugestao:

Use a construcao auxiliardiQ exercicio 8.

10)Em um triangulo acutangul,e .ABC, AB =

= llecme A.O= l'5cm. Se a attura relativa .)1'0 I'ado AC e igual:a 12:cm, caleule a al-tura rel!ativa ao lado AB..

R: 10cm

54

11)Em um trapez,i.oABCD,'a basemenor Be= 6cm. As diagonals AC e BD cortam-seem O. Sabendo que DB = 4cm, e OD= 12cm, calcule a base maior.

R: 18e

12 )Em um triangulo ABC, AB = AC = 6cme BC = 4cm. Sabre 0 prolongamento dBC, no semiplano de origem AB, e qunao contem C, marca-se SB =8cm. Lga-se S ao meio D, de AB, e prolonga-sSD ate encontrar AC em E . Calcule CEo

Sugestao:

Trace por Duma paralela ao lado BCLembre que 0 segmento que une os pontom6diQSde dois lados de urn tri:ingulo vaa metade do terceiro lado.

R: 3,6cm

13)AB = gem e CD = 4cm sao as bases dum trapezio retangulo em A e D. As diagonails AC e BDsao· perpendiculares. Cacute aalt.ura do trapezio.

Sugestao:

Mostre que os trliangllllOS ABD e AGD sasemelhantes, Lembre €Ille .angulos de ladoperpendleulases sa.oig~aiis.

R:6em

14)AI Be CI D sao duas cordas de uma circunferencia. Se IA = 6cm, IB = 2cm, e IG=3cm, caleule ID.

Sugestao:

Trace as cordas AD e BC.

15)Os suportes de duas cordas AB e CD, duma clirc('mfereKlcia:de centro 0, cortam-sem N. B e e D = 2trrJ. DN = 6cm, BN= 3cm; ealcule AB. (BN.e DN saoexterloreao circulo.)



1~ .De um ponto C de uma clrcunferencia, tra-ca-se uma tangente. 0 suporte de umacorda AB corta a tangente em E . Se E A == gem, e EB = 4cm, calcule EG.

Sugestiio:Trace as cordas AC e BG.

R:x = 6em

17)AB C e um triangulo retanqulo em A . AHe a altura relatlva a hipotenusa. Se AB == 8cm, e B H = 6,4cm, calcule B C .

Sugestoo:Verifique que os triangu los A HIB e cAB saosemelhantes.

- R: 10cm

18)AB C e um triangulo retangulo em A . AH

e a altura relativa a hipotenusa. Se B H= 16cm e CH =gcm, calcule AH .

Sugestoo:Verifique que os triangu.los AHB e AHC saosemelhantes. Lembreque, se dels anglJ-los agudos tem os lades perpendieutares,eles sao iguais.

R: 120m

19)Ouas circunferenclas de centro 0 ~ 0' cor-

tam-se em A e B. A,C e 1I11'la co,rda da ¢ir-·cutmferencia 0 , . ta'ngetite a"circunfer~licia 0',Se BG = 9cm e B![) = 4Cn1, catcule a cordacomum AB .

R: 6cm

. 26 )AS 10em e AC 120m sao dois ladoS'de urn triangullQ obtu.sangul,o ABC , inseri-toem urn elrculo. Se a altura AH relativa

a S,C e igual a 4cm, calcule 0 raio do

cJrculo.

Sugestao:Trace 0dlametro AE e una B a E. Verlfiqueque os triangulos AB E e AHC sao seme-Ihantes.

R: 15cm

21 )De Lim ponteextemo a uma ,circunferencitade centro 0 , tr ac ar n- s e duastangentes ABe AC (8 e C pontos de eontacte), Per, B,trace ! 3 M p'~rpendicular ao dlametro CD.Sabendo que AB = 16cm, BM = 5cm, e'eM = 10cm. calcule 0 raio do clrcule.

Sugestiio:Trace AO e Be.

R:8cm

22)

A bissetdz' do angulo A, de urn tlfiangulo.acut§ngu.l,o ABC , -jintercepta 0 lado BC em

'0 e a circunferencia circunscri'ta ,ao tri~n-gulo em E" Mostre que B E i = AE X DE.

Sugestao:Verif'ique que os trrangulOS ABE e BD'E..s~o-semelhantes,

23)ABC e urn UiAngulo ls6sceJlE~sAB =, AG) .Com centroeJl1 0, ponte medio de B e,

tl'a~a-s~ uma semiciircunferencja tal'lgen·te ao lado<AB em 0, e ao lado' AC em E.Por um ponto M do arco DE, tra~-selJlmaian,gente a sem ici r,cl!.I,nlferenda, cortandoAB em P e AC em Q. MostJl'e gue OB2= BP X CQ. '

Sugestao:Trace 0..0., OP, OQ ,e OE. Mestre que est.riarngulos aBP e OCQ s~Q.<semelhantes.

55



-b 1 . . . . . 1

8~ o-' rt ; r

UK I

t = t 3 fUARTO

i-l-'hFf':!" [J,

I~t-t-:-·

" OOZ INHA'-- .. . -;.-.~ ,

I,

i I,

QUARTO ,

S AL,J

HvHtil

56

ESCALAS

Na gravura, voce ve uma casa de ve-raneio e a sua planta feita em escala de

1/200.Voce sabe 0 que significa escala de

1/200?

E simples. Cada 200 metros no terrenoequivaleria a um metro na planta,

Procurecalcu~laras reais dimensees dasdiversas dependenelas da easa, medindo,com duple decimetro ou regua, essasdimensoes na planta. E bom v ( ) c e calcularprimeiro quanto vale no terrene 1mm dacarta.

Tente fazer, a sequir, nu.m papel dedesenho maior, a planta desta mesma casa,na escala de 1/50.



Parque do Flamengo

o "Parque do Flamengo", no Rio de Ja-

neiro, popularmente chamado Aterro, euma area de 1.200.000m2 conquistados aBaia de Guanabara.

o "Parque", ja cortado per varias pistas

de alta velocidade, e onde se erguem 0Monumento ao Exped i cionari o e 0 Museu

de Arte Moderna, foi uma das atracoes do4.° centenario da cidade, em 1965.

Possui maravilhosos jardins projetados

por Burle Marx, pistas publicas de aeromo-

delismo, aquarios, viveiros de plantas,

"playgrounds" infantis ejuven is, pistas de

danca, teatro de marionetes, coreto etc.

Apresentamos para voce, nestas gravu-

ras, a maquete e a planta do moderno



careto,. projetado pelo arquiteto AffonsoEdtfal'do Rei.dy,.Observe que, em vez de escala, na parte

lnferior, a diireita,encontra-S8 a orieotac;aoe 0 vailor de 1m no terreno, a'iem de umaes-eala g.rafica de 0 a 5 metros.

Vod pereebe a vantaqem dessa indi-cac;a.a, que acabftmos de ci1tar,sobre a ou-tra marie'ircil de ind+car POl' meio de umaeseala da f,orma 1 1M , colecada a margemda planta? Se 'nao percebe, pergunte aoseu professor,Veja. se voce caleuta, com auxUio da

indicac;ao que se eneentra na planta, aarea des platatcrrnas maior (mais baixa) e

ss

menor (mais alta) da figure da esquerdada ptanta, Se neceSsirio, peca aoseu pro-

fessor quee erlente,Ag,ravura do coreto e copi:a deuma'foto-

grafia que nao foi tirade de cima. (Ve.ce,talvez, ja tenha aprendide, em 1Qesen h0,.

no(;oes de Perspectiva.) Sera que voce ~capaz de imaginar sua f()rma? Parece umlosango mas, na verdade, . e um quad,rad'o,conforme vocs pode, constatar na fifilurada di·reiita da pl~nta .. Calcule tamb~m aarea da cobertura deste moderno ccrete,onde todo .0 es~oameMo d'e agljB se fazpela coluna cerrtra], suporte da cobertura.

P L A N T A

=



sabia que:

••• Q famoso teor~mi<aJde Piitagoras jii eraconhec1ido pe'los antigos ,egipcios, no caseparticular do triangul0 deIados 3,4 e 51

••• 01 triangulo, retangulo, de lados·3~ lie 5IScortheetdecome "t,riangUilo egl1pcio"?

... segundo Plutarco, a trindade db/inaeg ,ip c ia ~OSl'ri,s,is,is '~ H e rU$~~el'a.slmbo' l iza-dapor esse "triangul'o egipci'o"?

• •• a mane ira mais sImple s de travetr urn8ngulo reto, que e por meie de urn esqua-dro, ja era conhecida do~ ;: tn ti go s eg .1p clo s ,?

· .. para c;:olUlstruJr-Se Unll esquadro, era ne-cessaria saber traQar urn tr;ian'gulo reta'r!-'

gulo?

· .. nao se sabe quem primeiro traceu 1 1 mtria.ngulo retangulo?

· .. e prQv~vel, que os hcmensenearreaa-dos de preparar as Hcordas tom n6s" (co-mo voc'@ve n,a gravura), ~ue 'Se'rviam de

instrumentes d" medida "tenham descc-berto 0 triangulo r,etangulo?

59



1 2 3

4

S

60


numeros cruzados

)

Numero de centlmetros d:o pell'imetro deurn poliqono regular de 14 lades, em queum lado e a hipotenusa do td§:ngutocuj:os

catetos medem 5cm e 12cm.

4 )

Numero de centlmetros do menor catetode um triangulo cu]o maior lade mede1.294cm e Q menor Angu 1 0 300

•

5 )

Numero de milime.tros da medlana rela-tiva a l'li(lote nusa de 'IHYI tri~ngut.o ratan-

gulO, cUjO·maior lado mede'1 metre,

6 )

Numero de centimetrQs da altura de umtrial1gulo retangulol, c·ojos cateres medem30cm e 40cm.

7)Nume.ro de'" centimetros d'operi,metro deum trj,angul'D retangUlo e.m que es doismen ores lados. medem 3cm e 4cm.

9)

Nurrtero de centimetros da altura d'e umtriangu:I'o eqU ilaiero de 84 \ 130m de oert-metro.

10)

Numero de m'2 da area'de um trial'ilguloretangulo, cujos.catetes medem 12m e 5m.



:3

4

Br6~,-+---1----1

6 0

numeros cruzados


)

Numero de centlmetros do perlmetro deum pot:i:gon,o ,r,egulal' de 1,4 lad os, em queum ladoe a htipotenti:sa do triangulo cujos

catetos medem Scm e 12c:m.

4 )

Numero de centlmetros do menor catetode um triangulo cu]o ma,ior lado mede1.294cm e 0 menor at)gulo 300

•

5 )

Numero de mlllmetros da mediana rela-tiva a hipotenusa de um tdangulotetan-

gulo, cujo maior lado mede, 1 metro,

6)Numero de centimetros da altura de umtriangulo retangulo, cujos catetos medem30cm e 40cm. .

7)

Numerode cert'!tlmet,ros do perlmetro deurn trlan,g,ul.o retAl1gulo em que os doismenere s 'Iados,medem S cm e 4cm.

9) . ,Num.ef'O de centlrmetros da altura de umtriM'guio eqilil§tero de,34 V'3cm de peri-metro.

1 , 1 0 )Nume.ro de m '2,cla 'rea de ujn tria.nguloretanguro, cujos catetos medem 12m e 5m.



11)Nurnero de centlmetros do perlmetro deum tri~ngulo, cuja hipotenusa mede 45cm,e um cateto 36cm.

13)

Nurnero de centlmetros da hipotenusa deum triangu.lo., no qual um cateto mede6cm ~ sua IPl'ojle.!{aosobre a hipotenusa,3,6cm.

14)Numero de centimetros da altura de urntrapez io re tanqu 10 , cujas bases medem11cm e 3cm, e 0 lado obliquo. 17cm.

16)Numero de centime tros da altura relatlva

a hipotenusa de u m tri~ngu 10 , sabendo-seque as projecoes dos catetos sabre a hipo-tenusa medem 16cm e 9cm. .

18)Numero de celtlt'imetr,os da altura relativaao I!ado desigua1 de tim: 1;dangul~ :is6scelesem que dois lados medem 41cm e 18ctl\.

19)Numero de centlmetros da diagonal de UIl1

quadrado de 2 00 \f2cm de lado.

V E R T I C A ' I S

1)

Numero de centimetros do perimetro d.eum undecaqono regular, cuJo lado e 0

manor cateto de um triangulo retaligu'll)"no ,qual os eutros lados medem 26cme20cm.

2)Nijmero de centin1etrQS do maier ladO' deurn td~l1gula retangu'lo, c'uja medlanarelativa a h·jpotem.l'sa mede 420cm.

3 )

Numero de miHmetros do cateto epo$to aurn angulo de 6Q1'de urn triangllll;o de1,8 V3cm de tiipotenllsa.

6)Numero de centlmetros da diagonal de umquadrado de 11 V2cm de lado. .

7 )rr4umero de centimetres da altura de urntriang,ulo equllatero de 10 V3cm de lado.

8)N'umero de cerrtlmetros de um cateto,cuja projecao sobre a h ipotenusa, que.mede 15cm, e 9,6cm.

9)

Medida do cateto, em centlmetros, de u,mtrrangulo retangulo cujos outros ladosmedem 50cm e 30cm.

1 1 1 )

Numero de centlmetros da hipo1:enusa deurn tri~ngulo, cuja altura mede 4,8cm, ea .prejec;ao de urn cateto sobre a hipote-nusa, 3,6cm.

1.2)

N'Ci'merode cerrrimetros do menor lade deurn triangulo, cuja hipotenusa mede162cm, e 0 menor angulo meEie30o ,

13)N6mero de ten'Umetr.os do pe"rlmetro do

tri,ang!.llo eqt1ilatero de lade 1 1 9 1 . 1 a l a d i a -90nal de urn retangl'Jl:o, cujas dlme:n-s·oessa,o 35cm e 12cm.

1'5)

Numero calos dois iHUmos algarismos for-mam 0 numero de c~n,tjimetros do maiorcateto de um tr,iangulo, cuja alturarela-tiva a hipetenusa mede 12cm,e a mai.olrproJercaodos. eatetes, 'sobre 0 ma,ior lado,e 16cm.

17)NQmero de centimetres do dlametro doctrcu!o it;scri'to l1um triang'u:IJo eulos cate-tos medem 36em e 48cm.

18)Nu~mero decentlmetros do ralo de urncirculo, no qual aU'as eerdas, de 48'cm,distam '64cm urna da outra.

61



urn problema que

data do ano 1202

6 6



$010(10:

(Tee.rema de Pitagoras)

o problema 'segruinte foi enunciadoem umapubUcatta,o ehlnesa Kin Tschang,2600 a.C., e ~dGitadopilr Tsilll-Kln- Ts~haou,1.250 ancs-antes da era ~c6sta ' .

No secule "X II, o rnatematiico Bascaraassimo pubtieeu 110' "LUavati e VejaGanita":

"LIm b~mbu de 32 c6vadoS', erguenclo-severticalmente sobre urn terrene horiaon-tal, e quebrade numcerto r:1ontopela forc;ado vente. Sua extremldade vem toear aterra a 16 covados deseu p e . Oize, mate-matico, a quantos covados do pe Sle seq[u:ebrou 1"

Chamancto:x:: a dlstancia do pe'ao ponitoem que se quebrou, e a a parte' que estainclinada na,g!ravura, temos um triangulo,cuja' hipctenusa e a e eujos catetos sa·o:x:e 16 cQ vad as,

Pode m es e screve r

cc+ a = 3~cc 2 + '1 6 2 =a2

Se 'lod resolver 0 sistema formadoencentrara, para va,Ior de x, 12 c6vados,que e a resposta do fRoblema.



65

SOlu( IO:

um problema

do seculo VI

o prob'lema ,que apresentaremos a se-guir, do s6culo VI, de Caturveda, colhidona biblioteca do Mosteiro de SlIo Bento,no Rio, pelo professcr WHso,n Belmonte,e , tambem, uma aplicaclio do teorema dePiUgoras:

"U m gato, trepado num muro de 4candos de 'altura, viu um rata perambu-,lando a8 cOvados,do p6 do muro (Figura

sUperi'or da gravura)" Oratotambem per-cebeu 0 gato $ prec,ipi,tou-se para a suaha'bitao~oJ ao pldo muro. Foi, porem,apa-nhado polo gato"qutlpercorrera, di'agonal-mente (sic)" uma distincia igual. Que dis-tancia ,ambos pereorreram 1"

S e voc~chamar cc a essa disUncia, P Q -derA, no menor tri4ng,ulo retangulo dafigura inferior, emprega,ndo, 0Teorema deP'itagoras, obter a resposta: 5 c6vados.



Apresentarernoamatsum problema anti-

go, publicado porG. iBouchenyem HCuri:o-sites et Hecrea'tions M'31:nematiqlues'II, paravocs resolver com auxilio do Teerema dePitagoras.

"Duas torr.es, uma com 30 passes eoutra' com 40 de altura,est~oa diist~nciade 50 paSSGS uma da outsa, Ent,r'e amba'$se acha lima fonte, para a qual dols pas-saros deseem do alto'das t6rres ecmummesmo v60 (sic) e chegam ao mesmo tem-po. Quais as distancias horizontais dafonte a s duas t6rres?"(Leonardo de Pisa, "Liber Abaci" -1202.)

Se voce observar que os dois triAngulos~eUnguJ_Ds da g'ravura t8m a mesma hipe-tenusa, empregando «) Teorema de Pita-goras, v o c e encontra'ra para resposta: 32 e18 passos, - .

SOlU(jO:

67



retacoes metricas,no circulo

Resolva os seguintes problemas, no seucaderno de rascunho:

1)

De uma mesma extremidade de um dia-

metro de urn etrcuto, tracarn-se duas cor-das·. Uma das eerdas mede 12cm e suaproje~a.o sobre 0 d'iametro ~ igl,Jal a 9,6cm.

Calicu'le 0cOn:'lp,r'imento da outra corda, sa-bendo que sua proje~ao s6bre 0 dlametro. e igual a 5,4cm.

2 )Pelas extremidades de um dlametro de umclrcUI,lo, tra~a,m-se duas cerdas, U.ma dascordas mede 150m, e sua projellao sabre° di~metro ~ igllal a 9Qm. Ca~cule o com-primeJilt6 daoutra corda, sabendo-se que'a SUa ,prole~aO' sabre 0 diametro e igual

a 1"6cm.

3)Duas eordas de um clrcuto cortam-se numponte • .os .segmentos de urna €las cordasmedem 2 cm e 9cm. calcule 0 maiorsegmento da 'outra eerda, sacende-se quea soma dbses segmentos ~ iguala 'gem.

4)

Um a eorda AB de um ci rcu 10 , de u 1 1 1 centro

C, ocrta um diametro CD em um ponto S·.J)abendo-se que OS = 3cm, e que os seg-men.tQs da corda AB medem 2cm e 8cm,caleule 0 raio do circulo.

5 )Qe urn ponto externo a uma circunferen-cia, tra~an1-:se dll~S secarrtes. O,segmen1t,ototal e a parte in1terna de uma das secan-1teSmedem 1!8em e 160m, ,r,espectivam,ente.

A parte interna da outra secante medeScm. Calcule 0 segmento total dessa se-cante.

6 )De um ponto exterior a um circulo, tra-ca-se uma tangente e uma secante quepassa pelo centro. 0 segmento da tan-gente compreendido entre 0 ponto externoe 0 ponto de contato mede gem. Calcularo raio do circu!o, sabendo-se que a parteexterna da seeante mede 3cm.

7 )AC = Scme :S O =100m sao as diagonaisde um paraJelogramo ABClD. A circunfe-rsncia clrcunscrrtaaa ~riangulo BCD corta

CA em M. Calcule AM.

8)

AS eo diametrode uma circunferencia decentro O. Por A traea-se urna tangel1te a .circunferencia, 0 suporte da oorda MN,paralela ao dlametro, encentra a tangenteem um ponto P. Sabenclo aue PM = 10cme que 0 raio do clrculo mede 45cm~, calculea distancia do centro a corda MN.

9)

ABC e um tri!nglll"o, re1:angulo em A. AB =

= 6cm e AC = 4cm. Cal,cule 0 rai!) daci rcunfersncia que. passa nor C e , tan-gente ao lado AB em ;B.

R: 6,5cm

1 1 0 )

De um ponta exterior a uma clrcunferen-cia, tracam-se nma tangente., e uma Se:-cante que passa pelo centro ..Mostre que,se 0 seqrnento da tangente, comp.reel1dido

entre0

ponto exterior e0 porrto

deCOI1:-

tacto, If 19ual ao tHai'lnletro da circunferel1-cia, a 'parte externa do seqmertto da se-cante eo seqmente aureo da ta'ngente.

08SERVA~lo

Representandoo segmento d .. tangenteI

por I,voce deve obter: x: = -( \(5-1).2



formulario dos poligonosregulares convexes

' I I "!

R'ln

S = pa S' =p'R

1 F t

22R \[3

,~

R V2, 2

2R

5R'VlO+2'\ji:

8

, 4

5

R

2R

V 5 - 2 \IS

3R2\[i

2

i

I 6

R \fl'

8

R(v;._1)

2

2R (V-l)

5 \ I- RiyHl-2V5:

4 'I

12

OBSERVACAO:

1)

I·rie S~ sao, respectivamente, 0 lado e a

areado polfgono regular convexoclrcuns-crito den lados.

? - )Val6res aproximados dos ruimeros irra-

cicnals que figuram nas f6rmulas prece-

dentes: ,

"2= 1,414 ....---,-~---

V3 = 1,732 , ..

V 5 =2,236 .,'

V 2 - \ f2 ' = 0,765 ...'h + \1 2 = 1,850 .. ,

'112- V3 = 0,518 ...

'112+ V3 = 1,922 ...

V10-2 V5 = 2,351 .. ,

1)10+ 2 V 5 = = 3,804 ...

"5 - 2 V5 = 0,726 . , .

V25-10 V5 = 1,624 .. ,

6 9



urn problema que tem

mais de 4.500 anos



- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

hexaqono regular

numeros cruzados

F E

70


1)

Nurnero de centlmetros do perimetro deum hexaqono regular cujo diametro docircu!o circunscrito mede 12cm.

3)

Numero de centlmetros da soma da maiore da menor diagonal de um hexapono re-gular inscrito em um circulo de raio

12 (2 - V3)cm.

5 )

Numero de cerrtlmetros do apoterna dohexaqono regUl~all'de 20 V'3cm de lado.

3

6)

Numero de centlmetros do lado do hexa-gono regular circunscrito a um clreulo de9 V3cm de raio.

V E R T I C A l S

1)Numero de eentlmetres do ap6tema deum hexaqcno regular inscritoem I.un cir-culo, cujo lade do triianguloequilate.rQ ins-crito no mesmo cinculo mede 64cm.

o

3 )

Soma" em centtmetrcs, de tedas as meno-res diagona'j,s de urn dodecapone reg·ular

rnscrlte num elrcuto de 2cm de rale,

4 )

Numero de gra'US do, angulo csntrlee do, nexagono reg,u,lar •.

5)

Dobro do numero de diagonais. de urn he-xagono convexo.



octogono - numeros cruzados


1)Nu.mero de g.ral,lsde um~,ngulo que, au-mentado de, 1 0 0 ' < ' , e ig,ual a urn angu'lo in-terno de um o'ct6gono regu1lar convexo.

3)AnI) do pri,meiro vag c6smieo.

5)A.na em q,ue Marconi, de Roma, Ilumlneuc Cr,isto Redentor, no Rio.

8)

1 ' 0 / 9 do numero de graus do ~ngulo agudoformado pelas mediatrizes de dois ladosconsecutivos de um oct6gono regular con-vexo,

V E R T I C A l S

1)Nume.ro de g.raus de !Ht!l ang,ulo.qJJe,au-mentado de 6 graus, '6 i,g,uala lurt ~ngu'loexterno de um oct6gprflo reglular cenvexo,

2)N(imero de centlmetros do perimetro deurn oct6gono regular convexo de 70m delado.

3}

Numero cujos algarlsmos das dezenas edas. cer'l:tena$s3Q os' mesmos .a:lga.rismos,

do angulo cujo suelemento e 9 1 :0, (Anoem que fo,i' elabosada e eanclenada a 1,"Cons~itui~~o Republicana do Brasil.)

4 )Numei'O de graus de um angulo que, dl-minuido de 8 2 1 , ° , . e ig:ual ae nt'!tIl1ero degraus da soma dos angu,los internes deum oct6g.6:noeonvexo. (Ano da 1." cemu-nicacao radiotelegrMica entre a Europa 'ea . I. 1; ntt kica .)

6)N";,merode g,rausde um ingl!d'o que, d,i'mi-nuido de 5 0 0 , e igual ao angulo centralde um octc5gono regllllar convexo.

7)

3 /2 do numero de diag'onais de ur n oct6-Q.onoccnvexo.

71



circunferimcias e circulos

voca v e clrculos mals comumente, tal-'iez, do que outras fig'uras geometrlica,s.N~o acred ita , ? • • •

Voceye eirculos nas faces das moedas,no prato onde come e no cope em quebebe. Ate m~ceu voce v e c'irculos no sol ena Iua cheia.

Apesar disso, talvez voce nao saiba que:

· .. existe diferenca entre circunferencia ecirculo.

· .. circunferencia e uma linha curva fe-chada, em que todos os pontos distamigualmente do centro.

· .. ci rcu 1 0 e uma por~ao de plano lim itadapor uma clrcunterencia.

· . . e certo dizer circunferencla de circulo,

· .. corda de um c'j,rcullo 6,0 segmento queune dols ponto~ da circunferincia desseclrculo,

· .. diametro de um clrculo e qualquercorda que passe pelo centro.

· .. a dlstancia do ,¢ent~oa qualque.r pontoda clrcunferencia ehama-se rale,

• •• 0 d ia.metro e 0 d '6 b r .o do ra 10.

· .. 0 clrculo nao item volume.

• •• 0 comprlmente 'de uma clrcunferenciae eatcutadc mul;tJpl'i:cando-se seu dlame-tro pe!o valor de T l .

· .. a area de u rn cire ulo e calculada mul-tiplicando-se 0 quadrado de seu 'raja pelfo

valor de n .



' n ?que e .

Se voce medir 0 diarnetro de uma moeda(ou outro objeto de forma circular) e, comauxillo de uma linha ou cordao, medir 0

comprimento de sua circunferen cia , veri-ficara que a circunferencia e cerca detres vszes 0 seu diametro.

A circunferencia de qualquer circulo eigual a um d eter min ad o num er o de vezeso seu diametro,

Esse determ ina do nu mero nao pode serrepresentado , exatamente, com uma fra-cae 0U "numero decimal. E um numeroirrat ional que n6s representamos pela letragrega n .

1S~w valor e , a:pro"xi1mada-rn.ente,g ~

ou 3 ' , . 1 4 " " r

\lad podler~ calcalar e s s e valor a , 1 4

como, rtluito$ de nOSSQS adunes, tern feito.!Constl '1oen!~ urn eircule de madeira cgll1-pe sad," de 5pm de rale. Com uma trtaOJ.! cordao, medem 0 com,p'riment,o sa cir-eunfel'enGiae e l1 CQntram 81 ,4 « 01 .

A razao entre Ii) c@mpr~mento '31,4c ' i l le 0 d'i~metr.o 10cm e Q valpr apfoxiimadQ

d~ 11 .

Nao pense que 0 valor aproximado den tem apenas duas decimais.

No, "Palrais de la Decouverte", em Pari~,nurrrta da.s~alas do pavHlhao de Matema-tica, e :x i:s te 0 valor de n, .es.c:ritQ ,em voltade tecla, a sala, com 73 1 decirnais.

Nilo e um valor exato nem uma dizima\ peri6dica.

Hoje, os c6rebros eletron icos tem cal-culado 0 vallor de n com muitas centenasde de'cimais.

Eis aq,uri uma sentence que permltees-crever 0 va-lor de n com dez decimals:

"Sou, e medo e ,pavor constante do meni-no vadio, bern vadte," (E 0 n que fala.)

COliltando as ,Ie.tras de cada palavra ~escpevend.Q 0, at:gal'i'sl!l1o CQrres"ondente.voce formara 0 numerc:

.3 ,1.415926535

A sentenc;ia, em fllances:

"Gh~e j'airme '8 falre cenna ttre ce rnol'n-bre uti le a . x .sagesV'em gl.le fal·a 0 p ro .f es sQ r (C omo eu oostode fazer cpn,hecet este n'Um,ero 'util aossabios!) , tambem~ de forma semelhante,dao \la~or de 11com 10 decimais.

7 3



urn modo curioso de

calcular 0 valor den

Por exemplo: Se voce jogar 0 palltoPor mais estranho que pareca, ha um 100 vezes, e ele cair sabre 0 risco de-se-

~oaocu r t e s o e hueres.s~nte,",d' ca"cul~, ro~, , j l r . r u , . , i L , 'o."dOs--tMos.s3;v@zes, 0 qUO",~ciente

v,a,, 0 ,I' € it en, C Q mal!.lhho de peque ! ' lO S e (2X 100,) : 63 = t ' 1 7 '0 valor ap rQX'!lm,,adO,fiinos pedacos de madeira, como vocs ve de n .na gravura, ou ate mesmo com palitos ou _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

f6sforos. Quanto maio far 0 numero de vezesque voce jogar 0 pal ito, mais aproximad,Qsera 0 valor encontrado.a:ra i ISSOI ' basta voc~ Jagar muitasNezes

esses palitos s~ljI:'e 0 assoalhe de' 5ta"C()sdel l1ade,ir,a', de seu gtla;rt:o ou, de sua sala,

E ' 0 caso de voce dizer: E incrivel! Naoa:~redito •..

Velrifique, que voc~ acredltara,

Jog'lOIeum pal ito, de comprimento iguala larqura do taco do assoalho, um grandenumeJro de vezes sebre 0 assoalho.

Divida 0 d~blro do numere de vezes quevoce iog.ou 0 pa!lito ,p~;lo nLime:ro de Vcbe~

qUe'elle eaiu sobre: uma fresta de"separal;:aoentre dois tacos, que , voce enCI!l'IIiI'tra,l'.aumvalor aproximado de n.

Em Parils,. no, "Palais"de la DeCOUVerte'"existe uma ma,quimveletrol1ica que :l'eaHzaessa opera<;~o e faz a contaqern, em'se-gundos.

Nao ache absurdo que 0 I T esteja rela-cionado Com a medida da c'ircunfere'ncia

e com a probabilidade de um palitocalrsabre 0 risco de separacao des taco.s de umassoalho ...

Essa probabilidade depende deonde Q

centro do,pal.ito, oale de como ele ,g il ,ra e l intornro de-seu eentre, Observe que, quando0 . pal:ito gi'ra em torno de seu centro, g e · l 1 a

ttm .9!rC\J~o,e J a I I T f a Q aicl:)ar,a taofabs'wrdo •••

I5



circulo - numeros cruzados


1)Numero de centimetros do' raio de umclreulo de 30cm de cii~metto.

3 )iNumero de.. centirnetrss do raio de um.olreui«) de 314cm~ de Area (Tl = 3,14).

'6)A no die)'nascimento do gr,ande matematicobraslleire Amoroso Costa.

9)Nlumero. de centtmetrcs do raio de umacinu'nfe,rencia de 160 T 1 centi'metro.s, deperlmetre, .

7 6 ,

V E R T I C A l S

1)Numero de lados do undecaaono.

2)Numero de centlmetros do dlametro deum circulo de 625 n em? de area.

4 )Numero de centimetros do lado de umquadrado inscrito em um circulo de 2mde diarnetro (IT= 1,41).

5)NCimero de declmetros do semiperimetrode urn hexag.onQ reg'ulrar, lnsertteem urncirculo de 70clm de c :Wimetro .

7 )NCimere de cehttmetros do apetema deurn tr,i~t1gulo eqUj'llatel'O lnscrttc em umcirculo de H6l::m de rate,

8)Numero de eeatimeteos. do lado de urnqu'adrado ,circlil1scrito a urn circulo de80cm de diametro.



poligono regular

nurneros cruzados

1 2 3

2

-3 -.

1..-


1)

Dobro do nurnero de eentimetros da areade um dodecaqono regular, inscritoem umcirculo de 7em de raio.

2 )Numero de eentimetros do lado de umtriangulo equilatero, inserito em um cir-

eulo de 251 V'3em de raio.

3)

NU1mero de millmetros do lado de um de-cagono r,egular, inserito en; urn circulo de1m de ralo. (CiUtulo.,scom aproximal];aode 0,,001.) ,

V E R t I C A l , S

1)umero de eentlmetros do perimetro do

hexa90Iloregula:r, 'inscritoem tim cl1rculode 92 nem de perrmetro.

2 )Nut1)ero de millmetros do ap6tema de urndecagono regular, inscsito em: urn circulode 2m de d,i3me'tro. (C~le_ulos eom aprexi-mal;ao de 0,001:)

3)

Numero de eentimetros do perimetrc deurn he)(a;gono regular, cuja maior dfa'gonalmede 146cm.

O B S E R V A ( I O

Voee podera verificar se esta certo, no-tando que a soma dos al'garismos das 'Ii-nnas 01.1 das eolunase sernpre igual a Hi.

77



area do paralet;og!ramo

(

V'O'C@a sabe que a area de urn retangulo60 produto da base pela altura (8 =bh).

Fa~, num pedaco de cartolina, a figurado paraleloqramo de cirna.

Recorte @ triangulo do lade esquerdo,como na figura de baixo. Adapte-o ao ladod11i'e:ito da figura resultante, de forma aobtaI' urn retangulo.

78

Voce pode ,afili'mar aue este retanguloe 0 paraleloaramo sao' equ ivo len tes , istoe , tem a mesma ~rea.

Verifique que esses dais quadrilaterost@m a mesma base ea rnesma altura, eescreva, a sequir, a f'ormula da area dopa ra IeIog ra m0:

s=



area do paralelogramo

e do triimgulo

Faca, num pedaco de cartolina, a figLJraao lade.

Recorte as triangulos 1 e2. como ~ es-querda da parte superior d' a gravt.l~a.

Procure formar, com esses dois ~i'ian-gu los, todos os poligonos d'asqua'tro partesque aparecem na gravura.

Sabendo que a area do retangulo ~:S= b l1

conclua do exame da segunda e da tercetra

parte, a f6rmula da area do para,lelogramo.e procu re determ inar iii if6rmula da area do

triangu 10, com au xHiio de cada urna d'astres ultimas partes da gravura.

Veja se, com au xilio de sua professorade Trabalhos Ma1nuais, voc~ podera ima-ginar urn modSlo de madeira, semethanteao da prlmetra parte da gravura. com osdais trianqulos m6veis.

A

A

A

79



Faca, nurn pedaee de calrtollina,.~ figuraabalxo.

Recorte QS ouatro t.riangu]·QS pr~toscomo na figUf8 da esquerda d a g.ravura,

Verifique, inicialmente, se ssses q ,l:.Ia-

tro triangulos sao exatamente iguaiisao~quatro tri§ngulos pretos da figura da di-~ita. .

eubra agQrao, losango da figulra dadireii~acom ~sses qu,atro triangulos.,

Fico~ formado urn retangulo todo preto.?'

A area dhte retangul·o formadoe I)

dobra da ,'rea do ICisango1

Lembre-se da formula da area do ret3n·gulo; procure aescobrir a que correspon-

dem no 10Sango.,.a ease ea aUura do li'eit§:l1·9 1 1 1 1 - 0 ; represente ae ¢H.agonais d ;Q , losangoPQr D e d; e.escreva a f6.rmu.la da ~rea dolos3.l"Igo.

area do Ilosango

80



1

b

B

1

b

6

area do trapezio

2

b

8

2

B

Como voce ja sabe calcular a area deum paralelogramo, calcule a ~area do pa-ralelogramo da gravura, raciiocine comatencao, e escreva a f6rmula q1ue perrnitecalcular a area do trapezio:

Fa ca , num pedaco de cartolina, a fi-gura acima.

Recorte os trapezlos 1 e 2 como na gra-vura. Verifique que sao exatamente iguais.

Coloque-os sobre 0 paralelogramo dagravura, conforme esta indicado. E facilconcluir que a area do paralelogramo e 0

debro da area de cada um dos trapezios,

b

s =

8 · 1



area do trapez[o

b

Faca , num pedaco de cartoljria, a figuraabaixo.

Recorte 0 quadrilatero 1 e 0 triangulo2 do trapezio como na gravura.

Coloque essas duaspartes sobre a figurada parte inferior. Verifique que 0 trapezioque voce recortou e equlvalente .ao trian-gulo maior da figura.

Calcule a area do maior tr ianqu lo dessa

figura e voce tera obtido, de outra maneira,a form u la da area do trapezio.

82



83

area das figuras planas

Resel\la os seguintes problemas, no.seucaderno de rascunho :

1)Em urn paralelogramo ABCD de baseAD =1:2cm e lado AB =6cm, 0angu'l,o B

mede 150°. Calcule a area do paral'elo-g:r,amo.,

2 )

Em urn reUl:1lg'uI 1o! lima dia,gonal' exoede aaltura de 8cm. Calcutea area do. retan-gulo, sabendo-se que a base mede 120m.

3)A diagonal maior de um losango excede amenor de 14cm. 0 pertrnetro do IOsangQe de 68cm. Calcule a area do losango.

4 )

A perpendicular tracada de um 'v~rtJce deurn retangl!.llo a uma das d iagona:is, det~v-mtna, na diiagol1al',ossegmentos de 9,6cm'e 5,4cl1 I1 l. Calc",le a area do ret~ngullo.

5 )

A altura de Urn losango mede24cm, e adi~gonal menof,30cm. Calcule a firea do

losaogo.

6) _ _

Em LJm triangulo ABC, AB =ACe a·altura

AH = 8m. A area do tr'i'anQ'uIQ eigual a48m2• Toma-se um ponto M no interiOlrdo trianqulo, cujas di'stancias a AB e ACsao, respectivamente, 2m e 4m. Calcutea distancia de M ao lade Be (II. E. 1960).

7 )

Em urn trianguloABC;, AB =AC = 8m.Caloule a :area do triangtllo, sabendo-seque 0 angul10 B = 75",



8)

Urn angulo ebtuse de um losanqo mede1200

• eal¢ule a area do losanqo, sabendo-seque 0 seu perimetro mede 40cm.

9)A diferel'\~aentre -os quadrados das basesde urn tra1p,ezio e 80m~ e a altura e iguala semiditeren~ das bases. A area dessetrapilzio e' ........

(E.N.S.K. 1960)

10)Em um se,m,icf'reur,lo de 4cm de raio estainscrito lim, trapezi,o, cujas bases sao"iguais aos lados do he,xSgono t do trian-gulo regulares lnscrltos. Oalcule a area dotrapezio.

11)As bases de um trapezlc medem, respecti-vamente, 6m e 9m. Calcufe 0 compri-mente do segmento pa ra let!<) as bases,

que divide 0 trapez lo em duas partes,&~jas areas sao proporcionais a 2 e 3.

S U G E S T O E S :

a) Trace, pOI' u rn dos extremos do segmen-to inc6gnito, uma paralela ao lado obliqueoposto a es~ extrema, de modo a formar,com os supertes das bases, triangulos se-melhantes.

8'~

b) Trace, pelo extremo considerado, a altu-

ra do trapezio,

c) Ache a razao dos trapezios parciais queo segmento inc6gnito forma com as bases.

d) Ache, em fun<;ao da medida cc do seg-mento incognito, e usandc semelhancanos triangulos obtidos peleitem a, a razaodas alturas dos trapezios parctals for-mados.

12)Em um setor circular de 600 e de raio de3cm, lnscreve-se um circulo. Calcule aarea desse clrculo,

13)Em um crrcuto, o suporte de uma cordaAB e mediatriz de urn ralo ac. Se OC == 6cm, caleule ~~rea. do segmento circularlimitado pela corda ABe palo area ACB.

14)

Calcule a area de uma corea clrcutar limi-tada pelas ei rcunferen cias, inscri;1ta e cir-cunscrita a um oct6gono reglula1r de 2cmde lado.

15)Calcule a area de um hexaaono regular,sabendo que a diferenca entre uma desuas menores diagonais e um de seuslados mede, em centimetros, 2 'f3 - 2.



relacoes entre as areas

Resolva os seguintes problemas, no seucaderno de rascunho:

1)Mostre que, se uma altura de um trian-gulo for iguall a umaaltura de um outre

triangulo, ill I'a~a,o de, suas areas e igual arazao dos lados relativos a essas alturasiguais.

S U G E u l O :

Apllauea f6rmul"a que da a area de umtriangulo em fl.,U'!l¢aode um la(lo e da al-tura relatlva a ~sse lade:

2)Mostre que, se um angu'lo,de um t,riangulofor igual a (ou suplemento de) UIItiI, angulo

de outro triangu 10 , a razao de auas arease igual a razao dos produtos dos lades queformam os angulos igual's OU suplemen~tares.

S U G E S T O E S :

a) Considere um triangulo ABC.

b) Sabre AB (1.0 caso: angulos iguais) ousebre 0 prolongamento de BA (2.0 casorangulos suplementares) marque um pontoD .

c) sebre 0 lado AC marque um ponto E.

d) trace DE e BE.

e) Aplicando 0 resultado do problema 1,

S (ADE) S (ABE)escreva as razoes e ---

S (ABE) S (ABC)

f , Multiplique, membro a membro, asigualdades obtlldas no item e.

Resolva os exercicios seguintes, apllcandoo resultado do exerc'icio 2.

3 )

Mo'stre que a mediana de um triangulodivide 0 triangulo em dois triangulos equl-va·lentes. .

4 ),Mostre que a bisset.riz interna de um an-gulo de uin<tl'ia:ng,ulo dlvide.o tria.nguloem dols triang;ulos, eujas areas s ~o p,ro-petclonals aos tades que fo,rmam ~sseangulo.

5)

Prolongam-se os lados de um trianguloequilatero ABC, num mesmo serrtldc, deccmprimentes B D ' = AB , C E o = Be eAI='= CA. Calcule a area do tria,ngulo DEF,sabendo que a alre.ado triangulo ABC e1nP.

6)Se BO = 2AB, CE = 2BC e AF 2CA,calcule a area do triangulo DEF.

7)

Em u.l1" triangulo ABC, marca-ses6bre AB

urn ponto [) de modo que AD = .!.AB; e4

sob~e AC , urn ponto E de mod-o que

AE =!AC . Se a area do triangulo AB C

~ i'gual a 48mr2 , calcule as areas dos trian-gulos AP'E, DEC e CBD.

S)

ABC .~ um tri§ngul,o. As medianas AD eBE oortam-se em UI. Ca,lcule a area dotrl§ngul6 BGD, sea area do tri:angulo ABC~.igyal a 6m2 ,

9)Chamando k a razao de semelhanea dedo~s,triangulos semelhantes, mostrequea raz~'ode sues areas e k2•

85



- - - - - - - - - - - - ~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

losanqo .....numeres cruzados

H O R l l O N T A I S

" 1 )

Perimetro, em em, de um losango cuiadiagom\'1 menor mede 4cm e no qual dois

86,

anguJos somam 1200 (seculo da funda~~oda cidade do Rio de Janeiro).

2)

Numero de metros quadrados da area deum 108allgo c,ujas diagonais medem 4m

e 9m (seculo do nascimento de RobertFulton, inventor da maquina a vapor).

4)

Numero de graus do menor Angulo de umlosango, no qual urn an~ulo externo mede190 (secu!o em que viveu Q Visconde deMaua, pioneiro da indu,stria nacional).

5)

Numero de metros dQ perimetro do tosan-go, cujas diagonais "11edem 8cm e 6cm(seculo do aparecimento do aviao),

V E R T I C A l S

1)Numero de graus do mener Angulo de urnlosango, cuja soma de doi's de seus angu-los e 3240 (seculo dalnconfiC(@ncia Mi-nei ra).

2)

Numere de mle, tJ I1OS do lade de um losango,no quail as diagonaois dHerem de 14m ecuja area made 24"m2 (seculo em quefoi fundada a cidade de Belem, do Estadodo Para).

3)

Nurnero de graus do angulo q,ue urna dasdiagonais forma com tim €!loslados, de urn

losango, no qual a aliferenlta entre doi,sde seus angulos ede 'HW (secUI'lo em q,uea Princesa Isabel abo1iiu a escravldao), -

4 )

Numero de metros do lado de urn losanqode 96m2 de area, e eircunscrlto a, urnc1rculode4,,8m de raie (dia do m@sdefeve-reiro de 1847; ,en1qu~ nasceu ThomasEdison, inventor da lampad,a eI16tr;ica).



I

\ urn grandematematico brasileiko

o grande matematico brasuelre Amo-roso Costa naseeu a 13 de janetro de 1885,na 'antig~ Capital Federal, atual Estadoda Guanabara.

Formou-se em Engenharia Civi I - emmarco de 1906.

Em 1912 foi nomeado preparador dacadeira de ApUoaC(oesndustriais eEletro-tecnica da atual Escola Nacional de En~genharia. Com a tese "Sabre a forma-~ao de estrelas duplas" habilitou-se a Ij~vre-docencia da ,se'Caode Topografia -e

Astronomia, da mesma Escola, de ondese tornou catedratico de Trigonometria

Esferica, Geodesia e Astronomia, em 21 demalo ,~e 1924.

Puhllcou inumeros trabalhos, a'iguns noestrangeiro.

Delt tim curso na Sorbonne sobre "Geo-metrlas n~o - arquimedianas" Em 1926,reallzcu na- Escola Politectiica do Rlo deJaneiro uma serie de cenferenelaa sabreas " Ideias FUl"ldamentaisda Matema'tica"',que foram reunidas em um volume publl-cado em 1926 e que, lamentavelmente, naQ

foi reeditado.

87

Faleceu a 3 de dezembro de 1928', nurndesastre de aviacao.

O nao menos insigne maternatico Theo-doro Ramos, numestude 'sabre AmorosoCosta, destacou a frase que seencorrtra noini cio deste C a d e r n o .



Esta obra foi impressa pela

Empresa Grafica da Revis! a des .Tribunais S. A., paraF E N A M E - Fundac;ilo Nacional de Material Escolar

em 1970.



j

f f I I M E ~ , f U N D A C A O NAO IDNA l D E M A TE RIA L E SC O LA R

MINISTERlO DA E D U C A <;A O E C U L T U R A

''''.

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