Exercıcios de Geometria Algebrica

IMPA

Professor: Karl-Otto Stohr

Monitor: Roberto Villaflor

Agosto 2016/Junio 2017

Contents

1 Exercıcios Geometria Algebrica I 3

1.1 Geometria projetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Curvas Projetivas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Coordenadas de Plucker e Retas sobre Superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Aneis Noetherianos, Teorema da Base de Hilbert e Modulos Noetherianos . . . . . . . . . 8

1.5 Hilbert Nullstellensatz e Variedades Algebricas Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Bases de Grobner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Teorema das Sizıgias de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Espacos topologicos Noetherianos e irredutiveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 Decomposicao Primaria de ideais e variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10 Morfismos de Variedades Afins e Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11 Equivalencia de Categorias entre Variedades Afins e Algebras Finitamente Geradas . . . . 15

1.12 Morfismos Finitos e Dependencia Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.13 Variedades Projectivas e Nullstellensatz homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.14 Afinitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.15 Mergulho de Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.16 Grassmanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.17 Produtos e Megulho de Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.18 Separabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.19 Variedades de Incindencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.20 Anel de Coordenadas Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Exercıcios Geometria Algebrica II 22

2.1 Espectro de um Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Pre-feixes e Feixes de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Espacos Anelados e Localmente Anelados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

2.4 Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Morfismos de Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Productos Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Algebra Homologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Feixes de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Polinomio de Hilbert-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chapter 1

Exercıcios Geometria Algebrica I

1.1 Geometria projetiva

1. (Lista 1: P2) Usando a forma canonica de Jordan, discuta o conjunto dos pontos fixos de cada

automorfismo de P3(C).

2. (Exercıcios e perguntas 1: Geometria projetiva) Mostre que todas as conicas nao degeneradas sao

iguais na geometria projetiva. Fazendo uma escolha adequada da carta no plano projetivo real, prove

os teoremas de Pappus e Desargues. Utilizando a razao cruzada em P1(R) prove que as quaternas

harmonicas sao preservadas por perspectivas. Utilizando funcoes definidas sobre conjuntos de 6

pontos de P1(R) prove os teoremas de Menelao e Ceva. Utilizando uma carta afim adequada de

P2(R) prove o teorema de Pascal a partir de Menelao e o teorema das cordas (cf. Coxeter: Geometry

Revisited). Vale o teorema das cordas na geometria projetiva?

3. (Exercıcios e perguntas 1: Geometria afim no plano projetivo) Seja L ⊂ P2(k) uma reta. Mostre

que o grupo

GL = {T ∈ PGL(3, k)|T (L) = L}

e isomorfo ao grupo de transformacoes lineares afins do plano Aff(k2) ∼= (k2,+) n GL(2, k), vale

que GL � PGL(3,R)? Dado G < PGL(3,R) tal que G ∼= Aff(k2), e verdade que ∃L ⊂ P2(k) uma

reta, tal que G = GL?

3

4. (Exercıcios e perguntas 1: Realizacao geometrica dos automorfismos projetivos) Dadas duas

retas em P2(k) e dois pontos fora delas, podemos definir um automorfismo de P1(k) como composicao

de duas perspectivas. Obtemos com este metodo todos os automorfismos de P1(k)? Vale o mesmo

para perspectivas de P2(k)’s dentro de P3(k)? Vale em geral para Pn(k)’s dentro de Pn+1(k)? O

que acontece para k nao algebricamente fechado?

5. (Lista 2: P4) Dados 4 pontos A e Ai (i ∈ Z/3Z) no plano projetivo P2(k), tais que cada tres deles

nao sao situados numa reta. Para cada i ∈ Z/3Z seja Bi o ponto de intersecao das retas AAi e

Ai−1Ai+1.

Para cada ponto P ∈ P2(k) \ {A0, A1, A2} sejam

Pi := ponto de intersecao das retas PAi e Ai−1Ai+1,

Qi := imagem de Pi a respeito do automorfismo da reta Ai−1Ai+1, que troca Ai−1

com Ai+1 e deixa Bi invariante.

Mostre que as tres retas AiQi se intersectam num unico ponto, digamos Q, e considere a aplicacao

α : P2(k) \ {A0, A1, A2} −→ P2(k)

P 7−→ Q.

Quais sao as imagens inversas dos pontos A0, A1 e A2?

Mostre que a restricao de α a P2(k) \ {A1A2, A2A0, A0A1} e uma bijecao. Qual e o inverso da

bijecao?

Descreva a aplicacao α explicitamente, quando A0 = (1 : 0 : 0), A1 = (0 : 1 : 0), A2 = (0 : 0 : 1) e

A = (1 : 1 : 1).

6. (Exercıcios e perguntas 2: Principio de dualidade) Considere o plano projetivo dual (P2)∨ :=

conjunto das retas de P2. Este conjunto esta em bijecao natural com P2, dada pela correspondencia

(a : b : c) ∈ P2 7→ L(a:b:c) ⊂ P2 com L(a:b:c) = V (aX0 + bX1 + cX2). Mostre que uma reta em

(P2)∨ respresenta um pencil de retas pasando por um ponto de P2. Suponha char(k) 6= 2, mostre

que uma conica em (P2)∨ representa ao conjunto de retas tangentes a uma conica em P2. O que

acontece se char(k) = 2? Uma curva de grau d em (P2)∨, que tipo de conjunto de retas pode

representar em P2? Utilizando (P2)∨, prove a dualidade entre os teoremas de Pascal e Brianchon, e

entre os teoremas de Menelao e Ceva. Mostre que (P2)∨ pode ser obtido a partir de P2 como uma

polaridade. Dada uma conica qualquer em P2, ela induz uma polaridade que por sua vez induz uma

dualidade entre pontos e retas. Faz sentido a dualidade entre Pascal e Brianchon neste contexto?

E entre Menealo e Ceva?

7. (Exercıcios e perguntas 3: Erlangen Program) Felix Klein afirma que o objeto que distingue

as distintas geometrias e o grupo de transformacoes que preserva seus axiomas, i.e. seu grupo de

automorfismos. Vale que a geometria conforme pode ser realizada dentro do plano projetivo real,

i.e Aut(P1(C)) ↪→ Aut(P2(R))? Vale que Aut(Pm(R)) ↪→ Aut(Pn(R)) para m < n? Vale que

Aut(P1(C)) ↪→ Aut(Pn(R)) para algum n?

8. Seja char(k) 6= 2. Classifique todas as hipersuperfıcies quadricas de Pn modulo equivalencia pro-

jetiva, de modo indutivo ao respeito de n. Mostre que tem exatamente n + 1 classes diferentes.

Mostre que a maioria das hipersuperfıcies quadricas sao obtidas como um cone de una quadrica de

dimensao um a menos, e as que nao sao cones formam uma das classes de equivalencia projetiva.

Faca um desenho das classes de equivalencia projetiva das quadricas para n = 1, 2, 3.

1.2 Curvas Projetivas Planas

1. (Exercıcios e perguntas 2: Teorema de Bezout fraco no plano afim) O objetivo deste exercıcio

e provar o seguinte teorema: Sejam f, g ∈ k[x, y] dois polinomios nao nulos de graus m e n re-

speitivamente (k nao nessesariamente algebricamente fechado). Se f e g nao tem fator comum,

entao

#V (f, g) ≤ mn.

Para isto e sugerido mostrar que #V (f, g) ≤ dimkk[x, y]/(f, g) ≤ mn. (Dica: Para mostrar

a desigualdade da esquerda, mostre que dados finitos {Pi}li=1 ⊂ V (f, g), existem hi ∈ k[x, y]

tais que hi(Pi) 6= 0 e hi(Pj) = 0 para j 6= i. Para provar a desigualdade da direita considere

Wd = {h ∈ k[x, y]|deg(h) ≤ d}. Se a gente supor que a desigualdade nao vale, entao para um d

grande mn < dimkWd/〈f, g〉, mais utilizando o fato que dimkWd =(d+2

2

)mostre que isto nao pode

acontecer, logo segue o resultado.) Usando o teorema de Bezout prove o teorema de Pascal.

2. (Exercıcios e perguntas 2: Moduli das cubicas planas) Mostre que toda cubica nao degenerada

em P2(C) e projetivamente equivalente a y2z = x(x − z)(x − λz) com λ ∈ C, ou a y2z = x3

(isto e conhecido como a forma normal de Weierstrass da cubica). As cubicas da forma y2z =

x(x−z)(x−λz) com λ ∈ C\{0, 1} sao topologicamente um toro, alem como superfıcies de Riemann

sao toros complexos. Mais ainda duas daquelas cubicas sao isomorfas, se e so se, elas sao isomorfas

como variedades complexas. Sao todos os toros complexos isomorfos? Queremos determinar as

classes de equivalencia projetiva das cubicas da forma y2z = x(x − z)(x − λz) com λ ∈ C \ {0, 1}.Prove que para λ, λ′ ∈ C \ {0, 1} os conjuntos {0, 1, λ} e {0, 1, λ′} estam em correspondencia via

uma transformacao afim da reta A1(C), se e so se, λ′ ∈ {λ, 1/λ, 1−λ, 1/(1−λ), (λ−1)/λ, λ/(λ−1)},se e so se, J(λ) := (λ2 − λ+ 1)3/(λ(1− λ))2 = J(λ′). Mostre que se J(λ) = J(λ′) entao as cubicas

correspondentes sao projetivamente equivalentes. (Dica: Pode fazer isto diretamente com mudanzas

de variaveis adequadas, mas tambem pode fazer de maneira geometrica fazendo uma transformacao

afim e utilizando o Teorema de Bezout para curvas projetivas.) Mais ainda, vale o recıproco! Assim

o numero J(λ), chamado de invariante modular, parametriza as classes de equivalencia projetiva

das cubicas planas (nao singulares). Isto mostra que o moduli das curvas elıpticas tem dimensao 1.

1.3 Coordenadas de Plucker e Retas sobre Superfıcies

1. (Lista 1: P1) Mostre que tem exactamente 27 retas contidas na suferfıcie cubica de Fermat:

C := {(x0 : x1 : x2 : x3) ∈ P3(C)|x30 + x3

1 + x32 + x3

3 = 0}

e determine suas coordenadas de Plucker. Quais sao as retas sobre C que nao intersectam as retas

V (X0, X1) e V (X0, X2)? Quais sao as retas sobre C que nao intersetam as retas V (X0, X1) mas que

intersectam V (X0, X2)? Mostre que cada uma das 27 retas intersecta exactamente 10 das demais

26 retas. Quantas retas do espaco projetivo real P3(R) sao contidas na superfıcie cubica C?

2. (Lista 1: P3) Quando um plano V (c0X0 + c1X1 + c2X2 + c3X3) em P2(k) contem uma reta com

as coordenadas de Plucker p01, p02, p03, p12, p13, p23?

3. (Lista 2: P5) Determine as retas sobre a superfıcie quadrica

{(x0 : x1 : x2 : x3) ∈ P3(k)|x21 = x0x2}.

Mostre que estas retas se intersectam num unico ponto. Qual e a imagem do conjunto destas retas

ao respeito da aplicacao de Plucker?

4. (Lista 3: P7) Mostre que a propriedade que um ponto (x0 : x1 : x2 : x3) ∈ P3(k) esteja contido

numa reta com coordenadas de Plucker (p01 : ... : p23) ∈ P5(k), pode ser expresso em termos de

um sistema de 4 equacoes lineares homogeneas em x0, x1, x2, x3, cuja matriz e anti-simetrica de

posto 2.

5. (Lista 3: P8) Determine as retas sobre a superfıcie cubica real (de Clebsch){(x0 : x1 : x2 : x3) ∈ P3(R)|x3

0 + x31 + x3

2 + x33 = (x0 + x1 + x2 + x3)3

}.

6. (Exercıcios e perguntas 3: Retas em superfıcies) Mostre que as condicoes para que uma reta L

com coordenadas de Plucker pij esteja contida numa superfıcie X ⊆ P3 dada pela equacao F = 0,

sao relacoes algebricas entre os pij e os coeficientes de F . (Isto mostra que tanto o conjunto de

retas contidas em X, como o conjunto superfıcies de grau deg(F ) contendo L, sao parametrizados

por um conjunto algebrico.) Mostre que a superfıcie de Fermat de grau d

Xd := V (Xd0 +Xd

1 +Xd2 +Xd

3 ) ⊆ P3

contem pelo menos 3d2 retas. Tem mais?

7. (Lista 4: P15) Seja L uma reta em P3(k) com coordenadas de Plucker (p01 : ... : p23) ∈ P5(k).

Para cada vetor (x0, x1, x2, x3) ∈ k4, colocamos

yi :=

3∑j=0

pijxj (para i = 0, 1, 2, 3).

Mostre que a medida que os vetores (x0, x1, x2, x3) percorrem os pontos de k4, os pontos (y0 : y1 : y2 : y3)

percorrem os pontos da reta L e o “ponto improprio” (0 : 0 : 0 : 0).

8. (Lista 7: P23) Mostre que ha uma bijecao:

P1(k)× P1(k)←→{(z0 : z1 : z2 : z3) ∈ P3(k) | z0z3 = z1z2} =: S

((x0 : x1), (y0 : y1)) 7−→(x0y0 : x0y1 : x1y0 : x1y1)

Determine as retas sobre a superfıcie quadrica S e suas imagens em P1(k)× P1(k).

1.4 Aneis Noetherianos, Teorema da Base de Hilbert e Modulos

Noetherianos

1. (Lista 2: P6) Sejam a e b ideais em k[T1, ..., Tn]. Mostre que

V (a ∩ b) = V (a · b)

onde a · b := ideal gerado pelos produtos ab (a ∈ a, b ∈ b).

2. (Lista 3: P9) Sejam a e b dois ideais em k[T1, .., Tn]. Mostre que

V (a) = V (b)⇔ ∃N > 0 : aN ⊂ b ∧ bN ⊂ a

onde aN := ideal gerado pelos produtos de N elementos de a.

3. (Lista 3: P11) Seja A um anel. Um A-modulo M e chamado artiniano se cada cadeia descendente

de submodulos e estacionaria. Seja

0→M ′ →M →M ′′ → 0

uma sequencia exata de A-modulos. Mostre que

M e artiniano ⇔ M ′ e M ′′ sao artinianos.

4. (Exercıcios e perguntas 3: Ideais finitamente gerados) Considere o anel de polinomios k[x0, ..., xn]

e d ∈ Z>0. Para cada multi-ındice α ∈ Ad := {(i0, ..., in) ∈ Zn+1≥0 |i0 + ... + in+1 = d} seja

xα := xα00 · · ·xαn

n . Considere o morfismo de k-algebras de polinomios

φ : k[{yα}α∈Ad] −→ k[x0, ..., xn]

yα 7−→ xα.

Mostre que Ker(φ) = ({yα1 · · · yαl − yβ1 · · · yβl}l>1α1+...+αl=β1+...+βl). O teorema da base de Hilbert

implica que Ker(φ) e finitamente gerado. Mostre que os geradores para l = 2 sao suficientes para

gerar todo o ideal.

5. (Lista 9: P29) Seja A um anel, e I um ideal.

(i) Mostre que se existe a ∈ A tal que os ideais (I, a) e (I : a) sao finitamente gerados, entao I e

finitamente gerado.

(ii) Mostre que se I e maximal dentro dos ideais que nao sao finitamente gerados, entao I e primo.

(iii) Mostre que A e Noetheriano se e somente se todo ideal primo de A e finitamente gerado.

1.5 Hilbert Nullstellensatz e Variedades Algebricas Afins

1. (Lista 3: P10) Mostre que o conjunto

X :={

(t3, t4, t5) ∈ k3|t ∈ k}

e fechado em k3 e que seu ideal radical I(X) ⊆ k[T1, T2, T3] e primo. Mostre que

I(X) = 〈T 22 − T1T3, T

31 − T2T3, T

23 − T 2

1 T2〉.

Mostre que I(X) nao e gerado por 2 elementos. (Dica: Trabalhar com as variaveis T1, T2 e T3 com

pesos 3, 4 e 5 respectivamente, logo observar que o ideal I(X) e “quase-homogeneo” e procurar

geradores de pesos crescentes.)

2. (Lista 7: P24) Mostre que o conjunto

X :={

(t5, t7, t8, t9)|t ∈ k}

e fechado em k4 e que seu ideal radical I(X) ⊆ k[T5, T7, T8, T9] e primo e “quase-homogeneo”.

Determine uma base de I(X). Mostre que o numero minimo de geradores de I(X) e igual a cinco.

(Dica: Procure geradores “quase-homogeneos” por pesos crescentes. No algoritmo de divisao tra-

balhe com a seguinte ordem total:

(a5, a7, a8, a9) ≤ (b5, b7, b8, b9) ⇐⇒ (∑

ai, b5, b7, b8) ≤lex (∑

bi, a5, a7, a8).)

3. (Lista 8: P27) Seja k um corpo nao algebricamente fechado, I um ideal do anel de polinomios

k[T1, ..., Tn], e

Vk(I) := {x ∈ kn|f(x) = 0,∀f ∈ I}

o conjunto deo pontos k-racionais da variedade algebrica afim Vk(I).

Mostre que existe um polinomio f ∈ I tal que

Vk(I) = Vk(f).

(Dica: Mostre para cada m ≥ 1 que existe hm ∈ k[T1, ..., Tm] tal que Vk(hm) = (0, ..., 0) em km.)

4. (Eisenbud Exer. 4.27 e 4.28)

(i) Sejam A ⊆ B dominios tais que Frac(B)|Frac(A) e uma extensao algebrica de corpos. Mostre

que para todo ideal J 6= 0 de B, vale que J ∩ A 6= 0. Utilizando isto mostre que se A e um

corpo, entao B e um corpo.

(ii) Seja k um corpo nao nessesariamente algebricamente fechado, e k[x1, ..., xn] anel de polinomios.

Mostre que todo ideal maximal de k[x1, ..., xn] pode ser escrito na forma (f1, ..., fn) com

fi ∈ k[x1, ..., xi].

(iii) Utilizando o item (ii) obtenha uma nova prova do Teorema dos zeros de Hilbert, i.e. mostre

que se k e algebricamente fechado, entao os ideais maximais de k[x1, ..., xn] sao da forma

(x1 − a1, ..., xn − an).

1.6 Bases de Grobner

1. (Lista 3: P12) Classificacao dos pontos triplos no plano afim:

(i) Determine todos os ideais a no anel de polinomios k[X,Y ] tais que dimkk[X,Y ]/a = 3,

em descrevendo suas bases reduzidas de Grobner a respeito da ordem lexicografica.

(ii) Quando um ideal do item (i) se anula apenas na origem?

Neste caso determine dimkk[X,Y ]/〈a, bY + cX〉 para cada reta V (bY + cX) pela origem.

(iii) Classifique os ideais do item (ii) a menos de transformacoes lineares.

2. (Lista 4: P13) Detemine a base reduzida de Grobner do ideal

〈T2 − T 21 , T3 − T 3

1 〉 ⊆ k[T1, T2, T3]

a respeito da ordem graduada lexicografica inversa.

3. (Lista 5: P16) (Construcao de bases de intersecoes de ideais)

(i) Sejam b, c ⊆ k[T1, ..., Tn] ideais. Mostre que

b ∩ c = k[T0, ..., Tn]〈T0b + (1− T0)c〉 ∩ k[T1, ..., Tn]

onde k[T0, ..., Tn]〈T0b + (1 − T0)c〉 denota o ideal de k[T0, ..., Tn] gerado pelos polinomios da

forma T0f(T1, ..., Tn) + (1− T0)g(T1, ..., Tn) com f ∈ b e g ∈ c.

(ii) Seja a ⊆ k[T0, ..., Tn] um ideal, e f1, ..., fr uma base de Grobner de a a respeito da ordem

lexicografica. Mostre que os elementos da base que nao dependem de T0 formam uma base de

Grobner de a ∩ k[T1, ..., Tn] a respeito da ordem lexicografica.

4. (Exercıcios e perguntas 4: Elementos do Radical) Seja I = (f1, ..., fk) ⊆ k[x1, ..., xn]. Mostre

que f ∈√I se e so se 1 ∈ (f1, ..., fk, 1 − yf) ⊆ k[x1, ..., xn, y]. Mostre um algoritmo para decidir

quando um elemento esta no radical do ideal.

5. (Lista 6: P22) Determine todos os ideais a de k[X,Y ] tais que

dimkk[X,Y ]/a = 3 e V (a) ∈ V (Y ).

Classifique a menos de transformacoes afins os ideais a de k[X,Y ] tais que

dimkk[X,Y ]/a = 3 e #V (a) = 2.

6. (Lista 8: P26) Pontos quadruplos no plano afim:

Escreva a lista completa de todos os ideais a em k[X,Y ] tais que

dimk(k[X,Y ]/a) = 4 e V (a) = {(0, 0)}

em exibindo suas bases reduzidas de Grobner a respeito da ordem lexicografica.

7. Dada uma matriz (aij)1≤i≤m,1≤j≤n com coeficientes em S := k[T1, ..., Tr], seja A : Sm → Sn o

S-homomorfismo correspondente. Descreva um procedimento agoritmico, que para cada vector

w ∈ Sn decide se ele esta na imagem de A ou nao, e que no caso afirmativo fornece um vetor

v ∈ Sm tal que A(v) = w.

8. Mostre que a menos de transformacoes afins tem 5 pontos quadruplos no plano afim.

1.7 Teorema das Sizıgias de Hilbert

1. (Exercıcios e perguntas 4: Calculando Syzygias e Intersecao de Ideais) Seja k um corpo, S =

k[x1, ..., xn] anel de polinomios, e φ : F → M um morfismo de S-modulos livres de posto finito.

Seja N := φ(F ) e {e1, ..., en} ⊆ F uma base de F . Colocando mi := φ(ei) para i = 1, ..., n,

temos que N = Sm1 + ... + Smn. Se m1, ...,mn sao base de Grobner de N , sabemos determinar

as primeiras syzygias de N , i.e. podemos encontrar geradores para o S-modulo G := Ker(φ) ⊆ F

(mais ainda, aqueles geradores sao base de Grobner de G). No caso geral (quando m1, ...,mn

nao sao base de Grobner) mostre que para encontrar as primeiras syzygias de N basta estender o

conjunto de geradores para uma base de Grobner B, logo encontrar as syzygias para os elementos

da base de Grobner B, e logo obter as syzygias dos geradores originais substituindo em cada syzygia

os elementos de B \ {m1, ...,mn} en termos de m1, ...,mn (o Algoritmo de Buchberger fornece as

relacoes dos elementos B \ {m1, ...,mn} en termos de m1, ...,mn). Agora utilizaremos o metodo

para calcular syzygias, para determinar intersecao de ideais. Sejam I = (f1, ..., fk) e J = (g1, ..., gl)

ideais de S e considere o morfismo de S-modulos

φ : Sk ⊕ Sl −→ I + J

(p, q) 7−→k∑i=1

pifi +

l∑j=1

qjgj .

Sejam π1 : Sk ⊕ Sl → Sk e π2 : Sk ⊕ Sl → Sl as projecoes canonicas. Mostre que

I ∩ J = φ(π1(Ker(φ))) = φ(π2(Ker(φ))).

Considere os polinomios f1 := y2 − xz, f2 := x3 − yz, f3 := z2 − x2y, f4 := z3 − xy3, f5 := z4 − y5

em S = k[x, y, z]. Utilizando o metodo para calcular syzygias determine a intersecao dos seguintes

ideais:I1 = (f1, f2) ∩ (f3)

I2 = (f1, f2) ∩ (f3, f4)

I3 = (f1, f2) ∩ (f3, f4, f5)

e mostre que z2f1 ∈ I2 \ I1 e y3f1 ∈ I3 \ I2.

2. (Exercıcios e perguntas 4: Quocientes de Ideais) Seja A um anel (comutativo com unidade),

I, J ⊆ A ideais. Definimos o ideal quociente

(I : J) := {a ∈ A|aJ ⊆ I}.

Mostre que

(I : (f1, ..., fk)) =

k⋂i=1

(I : (fi)).

Seja I ⊆ A um ideal e g ∈ A um elemento diferente de zero. Mostre que se I ∩ (g) = (h1, ..., hl)

entao (I : (g)) = (h1/g, ..., hl/g). Utilizando o anterior mostre um metodo para calcular o ideal

quociente (I : J) para I, J ⊆ k[x1, ..., xn] ideais finitamente gerados. Calcule

((f1, f2) : (f3, f4))

onde os fi sao do exercıcio anterior.

1.8 Espacos topologicos Noetherianos e irredutiveis

1. (Lista 9: P30) Mostre que um espaco topoloogico e irredutıvel se ele e uniao de subconjuntos

abertos irredutıveis, que se intersectam dois a dois.

1.9 Decomposicao Primaria de ideais e variedades

1. (Lista 4: P14)

(i) Determine a decomposicao em componentes irredutıveis de V (Y 4 −X2, Y 4 −X2Y 2 +XY 2 −X3) ⊆ k2.

(ii) Mostre que V (X2 − Y Z,XZ −X) ⊆ k3 e uniao de tres componentes irredutıveis e determine

geradores do ideal de cada componente.

2. (Lista 5: P17) Determine a decomposicao em irredutiveis de

V (XZ − Y 2, Z3 −X5) ⊆ k3.

(Dica: Inicie o procedimento em procurando no ideal por um polinomio redutıvel.)

3. (Lista 5: P19)

(i) Mostre que um inteiro positivo n e uma potencia de um numero primo se e somente se o ideal

nZ e primario.

(ii) Mostre que o ideal 〈XY, Y 2〉 ⊆ k[X,Y ] tem mais do que uma decomposicao primaria minimal.

4. (Lista 6: P20) Considere o ideal

I := 〈Y 2 −X2(X + 1), XZ − YW, Y Z〉 ⊆ k[X,Y, Z,W ].

Quais sao os componentes irredutiveis de V (I)? Determine geradores para√I.

1.10 Morfismos de Variedades Afins e Pull-back

1. Seja k[{xij}1≤i,j≤3] anel de polinomios em 9 variaveis, e a matriz de 3 × 3 dada por G = (xij).

Seja X ⊂ A9 a variedade algebrica definida pelos menores 2× 2 de G. O objetivo deste exercıcio e

mostrar que X e irredutivel. Para isto:

(i) Mostre que a variedade afim

Y := {(g, y) ∈ A9 × A1|g e visto como matriz de 3× 3 e det(g) · y = 1}

e irredutivel.

(ii) Mostre que Y × Y e um fechado irredutivel de A20.

(iii) Seja m uma matriz 3× 3 de posto 1, e considere o morfismo

φ : Y × Y −→ A9

((g1, y1), (g2, y2)) 7−→ g1mg2.

Mostre que φ(Y × Y ) = X e que X e irredutivel.

1.11 Equivalencia de Categorias entre Variedades Afins e Algebras

Finitamente Geradas

1. (Lista 5: P18) Seja X um espaco topologico compacto Hausdorff, C(X) a R-algebra das funcoes

continuas X → R. Seja

X := {m ⊆ C(X)|m e um ideal maximal de C(X)}

o espectro maximal de C(X), equipado com a topologia de Zariski. Mostre que o mapa

x 7→ mx := {f ∈ C(X)|f(x) = 0}

define um homeomorfismo de X sobre X. (Dica: Utilize a seguinte consequencia do Lema de

Urysohn: “Para cada dois subconjuntos fechados disjuntos A e B de X existe uma funcao f ∈ C(X)

tal que f(a) = 0 para cada a ∈ A e f(b) = 1 para cada b ∈ B.”)

1.12 Morfismos Finitos e Dependencia Integral

1. (Lista 6: P21) Considere o morfismo

π : V (XY 2 + Y + 1) −→ A1

(x, y) 7−→ x.

Mostre que π e um morfismo sobrejetivo e quase-finito, mas nao e finito.

2. (Exercıcios e perguntas 5: Morfismos Finitos) Sejam X e Y variedades afins irredutıveis, e

f : X → Y um morfismo dominante, i.e. f∗ : k[Y ] → k[X] e injetivo. Dizemos que f e finito se

k[X] e k[Y ]-modulo finitamente gerado, i.e. se k[X] e integral sobre k[Y ].

(i) Mostre que a composicao de morfismos finitos e finito.

(ii) Se f : X → Y e finito, mostre que K(Y ) := Frac(k[Y ]) ↪→ K(X) e uma estensao finita de

corpos. Neste caso dizemos que o grau de f e deg(f) := [K(X) : K(Y )].

(iii) Se f : X → Y e finito e ϕ ∈ k[Y ], mostre que f : Xf∗ϕ → Yϕ (restringido nos abertos

principais) e finito.

(iv) Se f : X → Y e finito, e Z ⊆ X e um fechado irredutıvel, mostre que f |Z : Z → f(Z) e finito.

(v) Se f : X → Y e finito, mostre que f e fechado.

3. Mostre que um morfismo f : X → Y de variedades algebricas afins e finito se e somente se cada

ponto y ∈ Y tem uma vizinhanca aberta principal V tal que o morfismo induzido f−1(V ) → V e

finito.

1.13 Variedades Projectivas e Nullstellensatz homogeneo

1. (Lista 7: P25) Seja A =⊕∞

n=0An um anel graduado (cf. Atiyah–Macdonald, p.106). Mostre que:

Se p for um ideal primo no anel graduado A, entao o ideal graduado⊕∞

n=0(p ∩ An) tambem sera

primo. Se o anel graduado A for noetheriano, entao cada ideal radical homogeneo em A sera a

intersecao de um numero finito de ideais primos homogeneos.

2. (Exercıcios e perguntas 5: Projecoes lineares e o lema de Noether)

(a) Um morfismo f : X → Y entre variedades quase-projetivas irredutıveis e finito se todo ponto

y ∈ Y tem uma vizinhanca afim V tal que U = f−1(V ) e afim e f : U → V e finito. Mostre

que as propriedades do exercıcio anterior valem neste contexto.

(b) Seja Λ ' Pk um subespaco linear de Pn e Pn−k−1 um subespaco complementario (i.e. Pn−k−1∩Λ = ∅), defina

πΛ : Pn \ Λ→ Pn−k−1

que envia cada q ∈ Pn \ Λ na intersecao de Pn−k−1 com o (k + 1)-plano gerado por Λ e q. A

aplicacao πΛ e chamada projecao linear desde Λ a Pn−k−1. Mostre que se p0, ..., pk geram Λ,

entao πΛ = π0 ◦ · · · ◦ πk|Pn\Λ onde

πi : Ei+1 \ {pi} → Ei

com Ei o espaco gerado por Pn−k−1 e p0, ..., pi−1. Utilizando isto mostre que as projecoes

lineares sao morfismos.

(c) Seja Λ ⊆ Pn um subespaco linear de dimensao k, e X ⊆ Pn uma variedade projetiva irredutıvel

tal que Λ ∩ X = ∅. Mostre que a projecao linear πΛ : X → πΛ(X) ⊆ Pn−k−1 define um

morfismo finito.

(d) Mostre que para toda variedade projetiva irredutıvel existe um morfismo finito

ϕ : X → Pm

para algum m.

(e) (Lema de Noether) Mostre que para toda variedade afim irredutıvel X existe um morfismo

finito

ϕ : X → Am

para algum m.

3. (Exercıcios e perguntas 5: Dimensao e morfismos finitos) Seja f : X → Y um morfismo finito,

mostre que:

(a) (Lying over) ∀Y ′ ⊆ Y fechado irredutıvel, ∃X ′ ⊆ X fechado irredutıvel tal que f(X ′) = Y ′.

(b) (Going up) ∀Y ′, Y ′′ ⊆ Y fechado irredutıvel, com Y ′′ ⊆ Y ′ e ∀X ′ ⊆ X fechado irredutıvel tal

que f(X ′) = Y ′, ∃X ′′ ⊆ X ′ fechado irredutıvel tal que f(X ′′) = Y ′′.

(c) (Incomparabilidade) ∀X ′ ⊆ X fechado irredutıvel: f(X ′) = Y ⇒ X ′ = X.

(d) dim(X) = dim(Y ).

4. (Exercıcios e perguntas 5: Ramificacao)

(a) Seja f : X → Y um morfismo finito entre variedades irredutıveis, com Y normal, i.e. tal que

possui uma cobertura por abertos afins {Ui} tais que k[Ui] e dominio integralmente fechado

(i.e. e igual a seu fecho integral dentro de Frac(k[Ui])). Para cada y ∈ Ui, escreva f−1(y) =

{x1, ..., xm} e considere a ∈ k[Ui] tal que a(xj) sao todos distintos. Seja F ∈ Frac(k[Ui])[t] o

polinomio minimal de a. Mostre que F ∈ k[Ui][t] e que #f−1(y) ≤ deg(F ) ≤ deg(f).

(b) No mesmo contexto do item (a) f e dito nao ramificado em y ∈ Y se #f−1(y) = deg(f), no

caso contrario e dito ramificado em y (y e chamado um ponto de ramificacao). Seja ∆(F ) o

discriminante de F em k[Ui]. Mostre que y e ponto de ramificacao se e so se ∆(F )(y) = 0,

logo os pontos de ramificacao sao um fechado de Y , mais ainda, mostre que se K(X)|K(Y ) e

separavel este fechado e um subconjunto proprio de Y .

5. (Lista 8: P28) Seja f ∈ k[T0, T1, T2, T3] um polinomio homogeneo nao constante. Mostre que

as retas sobre a superfıcie V (f) ⊆ P3 correspondem bijetivamente aos pontos de uma variedade

algebrica projetiva em P5. Para isto de duas provas, uma usando a cobertura do P5 por seis abertos

afins

P5 =

5⋃i=0

A5i ,

e a outra baseada no problema P15 da Lista 4.

6. (Lista 10: P33) Considere a variedade afim

V = V (Y 2 −X2(X + 1), XZ − YW ) ⊆ A4.

Mostre que a decomposicao em irredutıveis de V e

V = V1 ∪ V2,

onde V1 = V ∩ V (X) e V2 = V \ V (X). Determine equacoes para V1 e V2.

(Dica: Considere V ′ = V (Y 2U −X2(X + U), XZ − YW ) ⊆ P4 no lugar de V .)

1.14 Afinitude

1. (Lista 9: P31) Seja U um subconjunto aberto nao-vazio em Pn e f : U → Pm um morfismo que

nao pode ser estendido para um aberto maior de Pn. Mostre que cada funcao regular sobre U e

constante, logo U nao e afim.

2. Sejam Hi e Hj os hiperplanos de Pn definidos por xi = 0 e xj = 0, com i 6= j. Mostre que toda

funcao regular em Pn \ (Hi ∩Hj) e constante (logo a variedade nao e afim).

1.15 Mergulho de Veronese

1. (Lista 10: P34) Considere o mergulho de Veronese

νd : Pn → PN

com N =(n+dd

)− 1, que envia cada tupla (x0 : ... : xn) na tupla ({yα}α∈I) = ({xα}α∈I) onde

I = {(α0, ..., αn) ∈ Zn+1≥0 : |α| := α0 + ...+ αn = d}

na ordem lexicografica (note que #I = N + 1), e yα = xα = xα00 · · ·xαn

n . Mostre que

I(νd(Pn)) = 〈{YαYβ − YγYδ}α+β=γ+δ〉 ⊆ k[{Yα}α∈I ].

(Dica: Utilize o algoritmo de divisao com a ordem graduada lexicografica inversa em k[{Yα}α∈I ].)

2. (Lista 10: P35) Mostre que as superfıcies quadricas em P3 que contem a curva cubica torcida

C := {(s3 : s2t : st2 : t3) ∈ P3|(s : t) ∈ P1}

sao exactamente da forma

V

det

c0 c1 c2

T0 T1 T2

T1 T2 T3

onde (c0 : c1 : c2) ∈ P2.

Mostre que cada par destas superfıcies quadricas se intersectam na uniao de C com uma reta.

3. (Hartshorne I.3.1, I.3.7)

(a) Mostre que se uma variedade projetiva irredutıvel e afim, entao ela deve ser um ponto.

(b) Utilizando o mergulho de Veronese mostre que se Y ⊆ Pn e variedade projetiva irredutıvel que

nao e um ponto, e se H e uma hipersuperfıcie de Pn, entao Y ∩H 6= ∅.

(c) Mostre que A2 e P2 nao sao homeomorfos com a topologia de Zariski.

4. Consideramos a curva monomial ou curva racional normal C ⊆ Pn definida por

C = νn(P1).

(a) Mostre que se p1, ..., pkn+1 ∈ C sao diferentes, entao todo polinomio F ∈ k[x0, ..., xn]k tal que

F (p1) = ... = F (pkn+1) = 0 pertece a I(C).

(b) Mostre que a imagem de

φ : P1 −→ Pn

(s : t) 7−→(

1µ0s−ν0t : ... : 1

µns−νnt

),

para (µi : νi) ∈ P1 distintos, e projetivamente equivalente a νn(P1). Mostre entao que por

qualquer n+ 3 pontos em Pn em posicao geral passa uma unica curva monomial.

(c) Sejam {p1, ..., pn+3} ⊆ Pn e {p′1, ..., p′n+3} ⊆ Pn. Sejam ϕ1, ϕ2 as parametrizacoes das unicas

curvas monomiais passando por tales conjuntos respetivamente. Sejam qi = ϕ−11 (pi), q

′i =

ϕ−12 (p′i). Mostre que {p1, ..., pn+3} e {p′1, ..., p′n+3} sao projetivamente equivalentes (nesse

ordem) se e so se λ(q1, q2, q3, qi) = λ(q′1, q′2, q′3, q′i) ∀i = 4, ..., n+ 3.

(d) Considere em Pn os subespacos lineares Λi = V (xi−1, xi), para i = 1, ..., n, e para cada λ ∈ P1

os hiperplanos contendo Λi parametrizados por Hi(λ) = V (λ0xi−1 + λ1xi). Mostre que os

Hi(λ) se intersectam num ponto p(λ) e que λ 7→ p(λ) parametriza a curva monomial.

1.16 Grassmanniana

1. (Lista 9: P32) Sejam d e n inteiros tais que 0 ≤ d < n, e seja X um sobconjunto fechado do

Pn. Mostre que os d-planos contidos na variedade algebrica projetiva X formam um subconjunto

fechado da variedade Grassmanniana Gn,d.

2. (Lista 11: P37) Sejam 0 ≤ m ≤ d ≤ e ≤ n inteiros. Mostre que

{(A,B) ∈ Gn,d ×Gn,e|dim(A ∩B) ≥ m}

e fechado em Gn,d ×Gn,e.

1.17 Produtos e Megulho de Segre

1. (Lista 10: P36) Uma variedade algebrica G equipada com a estructura de grupo e chamada um

grupo algebrico se a aplicacao

G×G→ G

definida por (x, y) 7→ xy−1 e um morfismo. Mostre que o grupo linear geral GLn(k) e um grupo

algebrico irredutıvel.

2. (Lista 11: P38) Mostre que o grupo PGLn+1 dos automosrfismos do espaco projetivo Pn e um

grupo algebrico afim.

1.18 Separabilidade

1. (Lista 11: P39) Sejam X, Y , Z variedades quase-projetivas, e f : X → Z, g : Y → Z dois

morfismos. Mostre que o produto fibrado

X ×Z Y := {(x, y) ∈ X × Y |f(x) = g(y)}

e um fechado de X × Y .

1.19 Variedades de Incindencia

1. (i) Considere a Grassmanniana de k-planos em Pn, G = G(k, n), e a variedade de incidencia:

Φ = {(p,Λ) ∈ Pn ×G|p ∈ Λ}.

Mostre que Φ e um fechado de Pn ×G.

(ii) Considere X ⊆ Pn uma variedade projetiva. Mostre que

ΓX := {Λ ∈ G|X ∩ Λ 6= ∅}

e um fechado de G.

(iii) Dados dois fechados X,Y ⊆ Pn definimos a ligacao de X e Y por

J(X,Y ) :=⋃

Λ∈LΛ

onde

L = {Λ ∈ G(1, n)|Λ ∩X 6= ∅,Λ ∩ Y 6= ∅}.

Mostre que J(X,Y ) e um fechado de Pn.

2. (Variedades de Schubert de G(1, 3)) Fixamos uma bandeira V em P3, i.e. uma escolha de um ponto

V0 ∈ P3, uma reta V1 ⊆ P3 contendo V0, e um plano V2 ⊆ P3 contendo V1. Definimos as variedades

de Schubert

Σa,b := {Λ ∈ G(1, 3)|dim(Λ ∩ Va) = 0, dim(Λ ∩ Vb) = 1},

para 1 ≤ a+ 1 ≤ b ≤ 3.

Mostre que as variedades de Schubert sao fechados irredutıveis de G(1, 3).

Para cada (a, b), considere a celula de Schubert Σa,b definida como o complementar em Σa,b da

uniao de todas as outras variedades de Schubert propriamente contidas em Σa,b.

Mostre que Σa,b ' Aa+b−1.

1.20 Anel de Coordenadas Homogeneas

1. (Hartshorne I.3.9) O anel de coordenadas homogeneas nao e invariante por isomorfismos. Por

exemplo, considere X = P1, e Y = ν2(P1). Mostre que X e Y sao isomorfos, mais seus aneis de

coordenadas homogeneas nao sao.

(Dica: Mostre que C(Y ) \ {(0, 0, 0)} ⊆ k3 e um aberto principal (e por tanto afim) de C(Y ).)

Chapter 2

Exercıcios Geometria Algebrica II

2.1 Espectro de um Anel

1. (Lista 1: P1) Seja A =∏ni=1Ai o produto direto dos aneis Ai. Mostre que Spec(A) e a uniao dis-

junta de subespacos abertos (e fechados) Xi, onde Xi e canonicamente homeomorfo com Spec(Ai).

Reciprocamente, seja A um anel qualquer. Mostre que as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(i) X = Spec(A) e disconexo.

(ii) A ' A1 ×A2 onde nenhum dos aneis A1 e A2 e o anel zero.

(iii) A contem um elemento idempotente diferente de 0 e 1.

2. (Lista 1: P3) Seja X = Spec(A) onde

A := k[T1, T2]/〈T 21 , T1T2〉.

Determine os elementos nilpotentes e os divisores de zero do anel A. Mostre que existe um divisor

de zero f de A tal que o aberto principal Xf e denso em X.

3. (Lista 2: P4) Considere o morfismo Spec Z[T ]→ Spec Z induzido pelo homomorfismo de inclusao

Z ↪→ Z[T ].

(i) Mostre que para cada numero primo p a fibra sobre o ponto fechado 〈p〉 ∈ Spec Z e homeomorfa

a Spec Fp[T ].

(ii) Mostre que a fibra sobre o ponto generico de Spec Z e homeomorfa a Spec Q[T ].

22

4. (Lista 2: P5) Seja A um anel local com o ideal maximal m.

(i) Mostre que os pontos fechados do esquema

X := (Spec A) \ {m}

correspondem bijetivamente aos primos p ∈ Spec A tais que #V (p) = 2.

(ii) Mostre que o esquema X nao possui pontos fechados se A e um anel de valorizacao cujo grupo

de valores e isomorfo ao grupo das sequencias de inteiros (n1, n2, n3, ...) equipado com a ordem

lexicografica.

5. (Lista 2 : P7) Seja A um anel booleano, i.e. um anel satisfazendo x2 = x ∀x ∈ A. Mostre que:

(i) 2x = 0 para cada x ∈ A.

(ii) Cada ideal de A e um ideal radical.

(iii) Cada ideal primo de A e um ideal maximal cujo corpo residual tem apenas dois elementos.

(iv) O mapa x 7→ Ax define uma bijecao

A←→ {ideais principais de A}.

(v) Cada ideal finitamente gerado de A e principal.

(vi) Definindo em A a ordem parcial

x ≤ y ⇐⇒ Ax ⊆ Ay

tem-se para cada x, y ∈ Asup(x, y) = x+ y + xy

inf(x, y) = xy.

6. (Lista 3: P10) Seja X o espectro de um anel booleano A. Mostre que:

(i) Os elementos f ∈ A correspondem bijetivamente aos abertos principais Xf de X.

(ii) X \Xf = X1−f , ∀f ∈ A.

(iii) Xf+g = (Xf ∪Xg) \ (Xf ∩Xg), ∀f, g ∈ A.

(iv) Os abertos principais de X sao os abertos-fechados de X (clopen subsets os X).

(v) A topologia de X e compacta (e nao apenas quase-compacta).

(vi) O anel booleano A e isomorfo a algebra das funcoes continuas X → F2 onde o corpo F2 e

equipado com a topologia discreta.

7. (Lista 4: P12) Mostre que a topologia de Zariski do espectro de um anel booleano e totalmente

desconexa, i.e., cada subconjunto conexo nao-vazio consiste de um unico elemento.

8. (Lista 5: P15) Seja X um espaco topologico e B o conjunto de fechados-abertos de X. Mostre

que B e um anel booleano, se a soma e o produto de dois elementos Y, Z ∈ B sao definidos por

(Y ∪ Z) \ (Y ∩ Z) e Y ∩ Z, respectivamente. Mostre que X e homeomorfo ao espectro de B se e

somente se X e compacto e totalmente desconexo.

9. (Lista 6: P17) Sejam k um corpo, N um conjunto infinito, p.e. N = {0, 1, 2, 3, ...}, e seja A o anel

das funcoes N → k. Para cada f ∈ A seja

V (f) := {n ∈ N |f(n) = 0}.

Seja a ( A um ideal. Mostre que

F := {V (f)|f ∈ a}

e um filtro de N , i.e. um conjunto nao vazio de subconjuntos de N satisfazendo

(i) ∅ /∈ F ,

(ii) X,Y ∈ F ⇒ X ∩ Y ∈ F ,

(iii) X ∈ F , X ⊆ Y ⇒ Y ∈ F .

Mostre que tem uma bijecao monotona

{ideais ( A} ←→ {filtros de N}.

Mostre que o ideal a contem o ideal das funcoes de suporte finito se e somente se cada subconjunto

cofinito de N pertenece ao filtro F. Neste caso, o filtro F e nao trivial, i.e.

(iv) X ∈ F ⇒ #X =∞.

Mostre que os ideais maximais de A que contem o ideal das funcoes de suporte finito correspondem

bijetivamente aos ultrafiltros nao triviais sobre N , i.e., aos filtros nao triviais sobre N satisfazendo

(v) N = X t Y ⇒ X ∈ F ou Y ∈ F .

Observacao: Na logica matematica usa-se a existencia dos ultrafiltros nao triviais para provar o

Princıpio de Lefschetz da Geometria Algebrica (cf. Prestel-Delzell, Mathematical Logic and Model

Theory).

2.2 Pre-feixes e Feixes de Grupos Abelianos

1. (Lista 1: P2) Seja Y um subconjunto de um espaco topologico X. Mostre que as seguintes

condicoes sao equivalentes:

(i) Cada subconjunto nao-vazio localmente fechado de X contem um ponto de Y .

(ii) Cada subconjunto fechado Z de X e igual ao fecho de Z ∩ Y em X.

(iii) O mapa Z 7→ Z ∩ Y define uma bijecao entre o conjunto dos fechados de X e o conjunto dos

fechados de Y .

(iv) O mapa U 7→ U ∩ Y define uma bijecao entre i conjunto dos abertos de X e o conjunto dos

abertos de Y .

2. (Lista 2: P6) Sejam s, t ∈ F(X) secoes globais de um feixe F sobre um espaco topologico X.

Mostre que o conjunto dos pontos x ∈ X, onde os talos sao sx e tx coincidem, e um aberto em X.

3. (Lista 3: P9) Mostre que os feixes de grupos abelianos sobre um espaco topologico X, formam

uma categoria abeliana.

4. (Lista 4: P11) Seja X um espaco topologico noetheriano. Seja {Fi}i∈I um sistema direto de feixes

de grupos abelianos sobre X. Mostre que o pre-feixe

U 7→ lim−→i∈IFi(U)

e um feixe

5. (Lista 4: P13) (Colagem de feixes) O objetivo desta pergunta e provar o seguinte resultado:

“ Seja X um espaco topologico. Cosidere {Ui}i∈I uma cobertura aberta de X. Suponha que

para cada i ∈ I temos um feixe Fi sobre Ui, e para cada i, j ∈ I temos um isomorfismo de feixes

ϕij : Fi|Ui∩Uj→ Fj |Ui∩Uj

tais que:

(1) ϕii = idFi, ∀i ∈ I,

(2) ϕik = ϕjk ◦ ϕij sobre Ui ∩ Uj ∩ Uk, ∀i, j, k ∈ I.

Entao existe um feixe F sobre X, junto com isomorfismos ψi : F|Ui→ Fi, tais que para cada

i, j ∈ I, ψj = ϕij ◦ ψi sobre Ui ∩ Uj . Dizemos que F e obtido por colagem dos feixes Fi via os

ismorfismos ϕij . ”

Para isto, antes de provar o caso geral, faca um anunciado e uma prova no caso particular, onde a

cobertura de X consiste de apenas dois abertos.

6. (Lista 5: P14) Seja X um espaco topologico, Z um subconjunto de X, i : Z ↪→ X a aplicacao de

inclusao, e F o feixe de R-algebras sobre X cujas secoes locais sao as funcoes continuas U → R.

Para cada aberto V em Z define-se

F|Z(V ) := {f : V → R|∀p ∈ V,∃Up vizinhanca aberta de p em X e fp ∈ F(Up) t.q. f |V ∩Up = fp|V ∩Up}.

Mostre que:

(a) F|Z e um feixe sobre Z.

(b) Se Z for fechado em X, entao

(i∗F|Z)x =

Fx se x ∈ Z

0 se x ∈ X \ Z

e o morfismo natural de feixes F → i∗F|Z e um epimorfismo (mais ainda, ele e um epimorfismo

nos abertos).

(c) Se X = R e Z = R \ {0}, entao as duas afirmacoes do item (b) nao sao verdadeiras.

(d) Trocando o corpo R por C em todas as partes anteriores, redefinimos os feixes F e F|Z .

Considere X = C e Z = R. Seja H o sub-feixe de F dado pelas funcoes holomorfas nas secoes

locais. Mostre que H → i∗H|Z e um epimorfismo, mas nao e sobrejetiva nas secoes globais.

7. (Lista 6: P19) Seja X um espaco topologico, F um feixe de grupos abelianos sobre X, e Z um

subconjunto de X equipado com a topologia induzida. Para cada aberto V de Z define-se

S(V ) := lim−→V⊆U

F(U)

onde U percorre os abertos de X contendo V . Mostre que para cada par de abertos V ⊆ V ′ tem

de modo natural um homomorfismo S(V ′) → S(V ), e que S e um semi-feixe sobre Z. O feixe

associado ao semi-feixe S e denotado por F|Z e chamado a restricao de F a Z. Mostre que

(F|Z)z = Fz , ∀z ∈ Z.

8. (Lista 7: P20) Seja α : X → Y uma aplicacao continua de espacos topologicos, e sejam F e Gfeixes de grupos abelianos sobre X e Y , respectivamente. Para cada aberto U de X define-se

S(U) := lim−→α(U)⊆V

G(V )

onde V percorre os abertos de Y contendo α(U). Mostre que S e um semi-feixe sobre X. O feixe

associado a S sera denotado por α−1G. Mostre que :

(α−1G)x = Gα(x) , ∀x ∈ X.

Os morfismos α−1G → F correspondem bijetivamente aos morfismos G → α∗F . (Dica: Considere

ainda os morfismos S → F .) Tem morfismos naturais

G → α∗α−1G

α−1α∗F → F .

Forneca exemplos onde α∗ nao e inverso de α−1 (a direita e a esquerda).

9. (Lista 8: P22) Exercıcio 1.19 do capıtulo II do livro de Hatshorne.

10. (Lista 9: P25) Exercıcio 1.15 do capıtulo II do livro de Hatshorne.

11. (Lista 10: P30) (Lema da serpente) Mostre por uma cacada num diagrama que o Lema da

Serpente vale para feixes de grupos abelianos sobre um espaco topologico X.

12. (Lista 11: P31) Exercıcio 1.10 do capıtulo II do livro de Hartshorne.

2.3 Espacos Anelados e Localmente Anelados

1. (Lista 3: P8) Sejam X e Y espacos anelados, e X = ∪iUi uma cobertura aberta de X. Considere

morfismos αi : Ui → Y tais que

αi|Ui∩Uj= αj |Ui∩Uj

, ∀i, j.

Mostre que existe um unico morfismo α : X → Y tal que

α|Ui= αi, ∀i.

2. (Lista 6: P18) Seja (X,OX) um espaco localmente anelado e f ∈ OX(X) uma secao global de X.

Mostre que o conjunto

Xf := {x ∈ X|f(x) 6= 0 em kX,x}

e aberto em X.

2.4 Esquemas

1. (Lista 5: P16) (Colagem de esquemas) Seja (Xi)i∈I uma famılia de esquemas. Suponha que para

cada par de ındices distintos i, j ∈ I tem um aberto Uij em Xi e um isomorfismo de esquemas

ϕij : Uij'−→ Uji tal que ϕji = ϕ−1

ij ,

e tal que para cada tripleta de ındices distintos i, j, k ∈ I tem-se

ϕik = ϕjk ◦ ϕij sobre Uij ∩ Uik e em particular ϕij(Uij ∩ Uik) ⊆ Ujk.

Mostre que existe um esquema X e para cada i ∈ I um aberto Ui em X e um isomorfismo de

esquemas ψi : Xi'−→ Ui tal que

X = ∪i∈IUi , ψi(Uij) = Ui ∩ Uj , ψi = ψj ◦ ϕij sobre Uij para todo i, j ∈ I distintos.

Mostre ainda que X, Ui e ψi sao unicamente determinados a menos de isomorfismo.

2. (Lista 7: P21) Seja X um esquema, x um ponto de X e SX,x a intersecao de todas as vizinhancas

abertas de x em X. Mostre que SX,x equipado com (a topologia induzida por X e) a restricao do

feixe estrutural OX e um esquema afim isomorfo ao espectro do anel local OX,x.

3. (Lista 8: P23) Exercıcio 2.16 do capıtulo II do livro de Hartshone.

4. (Lista 9: P26) (Criterio de afinitude) Exercıcio 2.17 do capıtulo II do livro de Hartshone.

5. (Lista 12: P34) Exercıcio 2.14, itens (a), (b) e (c), do capıtulo II do livro de Hartshorne.

2.5 Morfismos de Esquemas

1. (Lista 10: P28) (Morfismos afins) Seja f : X → Y morfismo de esquemas. Dizemos que f e afim

se f−1(V ) e um aberto afim de X para cada V aberto afim de Y .

(a) Sejam X um esquema, U e V dois abertos afins de X. Mostre que para cada x ∈ U∩V existem

g ∈ OX(U) e h ∈ OX(V ) tais que x ∈ Ug = Vh ⊆ U ∩ V , i.e. que e possivel cobrir U ∩ V por

abertos que sao principais tanto em U como em V .

(b) Mostre que f e afim se e so se existe uma cobertura Y = ∪i∈IVi por abertos afins tais que

f−1(Vi) e afim, ∀i ∈ I. (Dica: P26 da Lista 9.)

2. (Lista 10: P29) (Imersoes fechadas) Seja f : X → Y morfismo de esquemas. Dizemos que f e

uma imersao fechada se, no nivel dos espacos topologicos, f define um homeomorfismo de X sobre

um fechado de Y , e alem disso f# : OY → f∗OX e um epimorfismo.

(a) No caso que X = Spec(A), Y = Spec(B) sao afins, mostre que f e uma imersao fechada se e

so se ϕ : B → A e sobrejetiva, onde ϕ := f#Y : OY (Y )→ OX(X).

(b) Mostre que um morfismo de esquemas f : X → Y e uma imersao fechada se e so se f e

afim e existe cobertura Y = ∪i∈IVi por abertos afins tais que f#Vi

: OY (Vi) → OX(f−1(Vi)) e

sobrejetiva ∀i ∈ I.

3. (Lista 13: P37) Exercıcio 3.12 do capıtulo II do livro de Hartshorne.

4. (Lista 14: P40) (Teorema de Chevalley) O objetivo do exercıcio e provar o seguinte teorema de

Chevalley:

Seja f : X → Y morfismo de tipo finito entre esquemas Noetherianos. Entao a imagem de

qualquer subconjunto constructivel de X e um subconjunto constructivel de Y .

Dizemos que C ⊆ X e constructivel se C = C1 t · · · t Cr onde cada Ci e localmente fechado (i.e.

Ci = Ui ∩ Fi, onde Ui ⊆ X e aberto, e Fi ⊆ X e fechado).

Mostre o principio de inducao Noetheriana: Exercıcio 3.16 do capıtulo II do livro de Hartshorne.

Mostre o teorema de Chevalley por inducao Noetheriana seguindo os itens (a), (b) e (c) do Exercıcio

3.19 do capıtulo II do livro de Hartshorne.

Concluir que se f : X → Y e morfismo de tipo finito dominante entre esquemas Noetherianos,

entao f(X) contem um aberto nao vazio de Y .

Nota: Nao e necessario mostrar o resultado de algebra comutativa do item (b) do exercıcio 3.19.

Para uma prova deste resultado veja o livro de Atiyah & MacDonald, Proposicao 5.23, p. 66.

2.6 Productos Fibrados

1. (Lista 13: P38) (Imersoes fechadas sao estaveis por mudanca de base)

(a) Seja f : X → Y um morfismo de esquemas, V ⊆ Y um aberto e i : V ↪→ Y o morfismo dado

pela inclusao (onde V possui a estructura de esquema induzida por Y ). Mostre que o produto

fibrado X ×Y V e naturalmente isomorfo a f−1(V ) (com a estructura de esquema induzida

por X) e que o diagrama

X Y

f−1(V ) V

f

f

e cartesiano.

(b) Considere o diagrama comutativo de morfismos de esquemas

X ′ Y ′ Z ′

X Y Z

e suponha que o quadrado da direita e cartesiano. Mostre que o quadrado da esquerda e

cartesiano se e so se o quadrado exterior e cartesiano.

(c) Mostre que os morfismos afins sao estaveis por mudanca de base, i.e. que se f : X → Y

e um morfismo afim, e g : Y ′ → Y e um morfismo qualquer, entao o morfismo induzido

f ′ : X ×Y Y ′ → Y ′ e afim. (Dica: P28 (b) da Lista 10.)

(d) Mostre que as imersoes fechadas sao estaveis por mudancas de base, i.e. que se f : X → Y e

uma imersao fechada, e g : Y ′ → Y e um morfismo, entao o morfismo induzido f ′ : X×Y Y ′ →Y ′ e imersao fechada. (Dica: P29 (b) da Lista 10.)

2.7 Algebra Homologica

1. (Lista 8: P24) Seja M um modulo sobre um anel A.

Um A-modulo injetivo I equipado com um monomorfismo M → I e chamado envelope injetivo

de M se para cada A-modulo N um homomorfismo I → N ja e um monomorfismo se o homomor-

fismo composto M → I → N e um monomorfismo.

Um A-modulo projetivo P equipado com um epimorfismo P →M e chamado recobrimento projetivo

de M se para cada A-modulo N um homomorfismo N → P ja e um epimorfismo se o homomorfismo

composto N → P →M e um epimorfismo.

Embora que e conhecido que envelopes injectivos sempre existem, mostre que: O envelope inje-

tivo e o recobrimento projetivo de M sao unicamente determinados a menos de isomorfismos. Se

A = Z e M = Z/mZ onde m ≥ 2 inteiro. entao nao existe um recobrimento projetivo de M .

2. (Lista 9: P27) Seja R um anel e sejam

0←M ← P0 ← P1 ← P2 ← · · ·

0← N ← Q0 ← Q1 ← Q2 ← · · ·

duas sequencias exactas infinitas de R-modulos.

Mostre que: Se os modulos P0, P1, P2, ... sao projetivos, entao cada homomorfismo f : M → N

define uma famılia de homomorfismos fn : Pn → Qn (n = 0, 1, 2, ...) unicamente determinada a

menos de uma homotopia (vide o anunciado mais detalhado no inıcio da aula 17).

3. (Lista 11: P32) Dado um diagrama comutativo de grupos abelianos

......

...

0 C20 C21 C22 · · ·

0 C10 C11 C12 · · ·

0 C00 C01 C02 · · ·

0 0 0

cujas linhas sao exactas a menos da primeira e cujas colunas sao exactas a menos da primeira.

Mostre que os grupos de homologia da primeira linha sao isomorfos aos grupos de homologia da

primeira coluna.

2.8 Feixes de Modulos

1. (Lista 11: P33) Seja (X,OX) um espaco anelado. Mostre que:

Se I for um OX -modulo injectivo, entao para cada aberto U de X o OX |U -modulo I|U tambem

sera injectivo.

(Dica: Associe a cada OX |U -modulo F um OX -modulo em estendendo o feixe F fora de U por

zero, c.f. P22 da Lista 8.)

2. (Lista 12: P35) Exercıcio 5.3 do capıtulo II do livro de Hartshorne.

3. (Lista 14: P41) Seja X um esquema Noetheriano, F um OX -modulo coerente, e r um inteiro nao

negativo. Mostre que

U := {x ∈ X|Fx e um OX,x-modulo livre de posto r}

e um subconjunto aberto de X, e que F|U e localmente livre de posto r. Se o esquema X ainda e

integral, entao existe um aberto denso V de X e um inteiro nao negativo n tal que F|U e livre de

posto n.

2.9 Cohomologia de Feixes

1. (Lista 12: P36) Sejam A = k[T1, T2] anel de polinomios em duas variaveis sobre um corpo k,

m = A〈T1, T2〉 e X = Spec(A) \ {m}. Determine Hn(X,OX) para cada n ≥ 0.

2. (Lista 13: P39) Seja A = k[T1, ..., Tm] anel de polinomios em m variaveis sobre um corpo k,

m = A〈T1, ..., Tm〉 e X = Spec(A) \ {m}. Determine Hn(X,OX) para cada n ≥ 0.

2.10 Polinomio de Hilbert-Serre

1. (Lista 14: P42) Determine o genero aritmetico dos seguintes esquemas projetivos sobre um corpo

k:

(a) Prk := Proj(k[T0, ..., Tr]).

(b) X = Proj(k[T0, ..., Tr]/〈f〉) onde f e um polinomio homogeneo de grau d.

(c) Y = Proj(k[T0, ..., Tr]/〈f, g〉) onde f e g sao polonomios homogeneos sem divisor comum de

graus d1, e d2 respeitivamente.