数値流体力学

筑波大学システム情報工学科

構造エネルギー工学専攻

阿部 豊

講義概要

学期： 秋ＡＢ学期

曜日・時限： 金曜日・３・４時限(12:15-15:00) 教室： 3B402号室

単位数： 2単位

講義担当者： 阿部豊、田中誠三

参考書： 「応用数値解析」、高橋亮一著、朝倉書店

講義予定

1. 第1回目 10/2 阿部 数値シミュレーションの手続き

2. 第2回目 10/9 阿部 差分方程式と差分スキーム

3. 第3回目 10/16 田中 方程式の代数化，連立1次方程式の解法

4. 第4回目 10/23 田中 並列計算法

5. 第5回目 10/30 阿部 MAC法など差分の計算方法

6. 第6回目 11/13 田中 有限要素法

7. 第7回目 11/20 田中 有限要素法

8. 第8回目 12/4 田中 有限要素法，N-Sプログラムによる実習

9. 第9回目 12/11 阿部 乱流・熱流体・多相流

10. 第10回目 12/18 田中 津波解析など事例紹介

11. 第11回目 12/25 (試験予定日)

数値流体力学(CFD)の実例

Cheers Final filling

課題(1) 各自が行ったことのある数値解析（流体解析に限定

しない）について、その対象となった物理、基礎方程式、境界条件、数値解析手法、解析結果、（もしあれば）実験との比較、等に関して、簡潔に纏めなさい。

もし、数値解析の経験がない場合には、数値解析に関して考えるところを述べなさい。

微分方程式の差分解法

微分方程式の差分解法例ー 孤立波の衝突問題 －

4

42

2

2

2

2

2

2

2 xuu

xxu

tu

Boussinesq方程式：

初期条件：

)20(876.0sec048.0)10(073.1sec072.0 22 xhxhu

境界条件：

)( x03

3

2

2

xu

xu

xuu

差分（代数）方程式への変換

基礎方程式：

n

jnj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

uuuuud

uuuc

uuucuuu

21122

21

221

2

1111

464

2/2

22

)1223( j

xtc / 2/ xtd 25.0t 25.0x境界条件：

20)3(876.0sec048.0

10)3(073.1sec072.02

210

xjh

xjhuu jj

)1223( j01223 nn uu nnn uuu 321 nnn uuu 124123122

変数の定義： ntjxuunj ,Program: SOLTN

差分スキームを吟味するための数学的概念

適切性(well-posed) 適合性(consistency) 安定性(stability) 収束性(convergency)

Laxの同等定理

「初期値問題が適切であるとき、差分スキームの差分要素が適合条件を満たしていて、安定であれば収束する。」

変換 ー変化する方程式の定性的性質ー

物理現象(熱流体挙動)

計算モデル(差分方程式)

厳密解

代数方程式数学モデル(偏微分方程式)

差分解 数値解

工学への応用(開発、設計、性能評価)

仮説(定式化)

変換(差分近似)(離散化)

数値計算

適切性 安定性

収束性

適合性

Laxの同等定理

モデル問題： 線形問題に対する解析例

axeyxy 0)( 0)0( yy

前進差分による差分表現：

微分方程式： aydxdy

厳密解：

,1i

ii ayxyy

),,2,1,0( ni

より

21 1 ii yaxy

（適切性）

（適合性）

ii yaxy 11

12 1 yaxy 01 1 yaxy

i=0,1,2,･･･,n に対して記述すると、

11 ii yaxy

辺々掛け合わせることによって、 01 yaxy ii

初期条件：

モデル問題： 線形問題に対する解析例

1)1(0 xa

（安定性）

0i

i yax1y

有界 iax1

のとき

i に対して

10 xa とすると ixx であるから

一方

axeyxy 0)( をx=0のまわりで級数展開すると、

ixaxaxayxy

!3!2!1

1)(32

0 i0 ax1y （収束性）

プログラム例

x(1)=0.0y(1)=y0yex(1)=y0*exp(a*x(1))error(1)=(y(1)-yex(1))/yex(1)*100do 10 i=2,nmax+1x(i)=deltax*float(i-1)y(i)=y(i-1)+deltax*a*y(i-1)yex(i)=y0*exp(a*x(i))error(i)=(y(i)-yex(i))/yex(i)*100

10 continueyfin=(1.0+deltax*a)**nmax*y0

計算結果

i x Numerical Solution Exact Solution error(%)1 0.00000e+00 1.00000e+00 1.00000e+00 0.00000e+002 1.00000e-01 9.00000e-01 9.04837e-01 -5.34621e-013 2.00000e-01 8.10000e-01 8.18731e-01 -1.06638e+004 3.00000e-01 7.29000e-01 7.40818e-01 -1.59529e+005 4.00000e-01 6.56100e-01 6.70320e-01 -2.12138e+006 5.00000e-01 5.90490e-01 6.06531e-01 -2.64466e+007 6.00000e-01 5.31441e-01 5.48812e-01 -3.16514e+008 7.00000e-01 4.78297e-01 4.96585e-01 -3.68284e+009 8.00000e-01 4.30467e-01 4.49329e-01 -4.19776e+0010 9.00000e-01 3.87420e-01 4.06570e-01 -4.70994e+0011 1.00000e+00 3.48678e-01 3.67879e-01 -5.21938e+00

数値解析結果と理論値との比較

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X

YTheory

Numerical

数値流体解析の基礎方程式

流体運動を記述する基礎方程式ー 対流方程式 －

cu

cu

変位 の波が一定の速さcで移動している

モ デ ル 化

cxu xxu

xx x

断 面 積 ： A

モ デ ル 化

cxu xxu

xx x

断 面 積 ： A

変位（波）の伝播のモデル化

tuActuAcuxA xxx

txuxuActuAc xx

txuxAc

xuc

tu

小の極限においてt

xuc

tu

からの流出量からの流入量における変位の蓄積量

間内の時間体積xxx

tAx

)(

対流速度 で変位 が移動している物理を記述

：対流方程式

対流方程式の解

ctxFtxu ,を任意の関数として、F

（証明）ctx とおくと

cFt

FtF

tu

FF

xF

xF

xu 1

xucFc

tu

より

対流方程式の解の性質ー 対流方程式上の波の伝播 －

0xx xxx 0'

tcx

t

x

t

0tt

ttt 0'

0 0xx xxx 0'

tcx

t

x

t

0tt

ttt 0'

0

ttcxFctxF 0''' tcctxF 0' 00 ctxF xxx '0

時刻ｔ‘ のときの波形と、時刻ｔ０ のときの波形とは同じであることを示している。

対流方程式が記述する物理とは、変形しない波の速度 での伝播である。

波動方程式との関係

2

22

2

2

xuc

tu

波の伝播を記述する波動方程式は、以下の解（ダランベールの解）を有する。

ctxgctxftxu ,

0

u

xc

txc

t

波動方程式は、以下のようにも記述できるが、

微分が可換であることを考慮すると、

0

xuc

tu

あるいは 0

xuc

tu

対流方程式が波動方程式と同値なものであることが分かる。

対流方程式の厳密解の挙動

0

xuc

tu

対流方程式：

初期条件と境界条件：

)15/2(0)5/25/1(1

)5/10(00,

xx

xxFxu

0,0 00 ggtu 0,1

xtu

（解） ctxFtxu , Program: ADVEX

流れの中のインクの振舞い

１

１

０x

u(x,0)=u0

c

浅くて狭い長さ1の流路が水平に置かれ、水が流速cで流れている。流路の底と側壁の水との相互作用はなく何の摩擦も働かない理想的な流路とする。流路の上流にインクを落とすと、それは下流に移動する。t=0のときのインク濃度u0が時間ともにどのように変化するか。

問題の定式化

i. １次元流れを仮定。

ii. インクは濃度勾配に比例して拡散すると仮定し、インクの物質流束 j はFickの拡散則に従うとする。

0

xuj

iii. インクの質量に対する質量保存則より（インク濃度の変化率）x

=(対流による正味のインクの流入）＋（拡散による正味の流入）

ここで、u はインク濃度

この物理現象を記述する数学モデルは、

2

2

xu

xuc

tu

モデル問題

対流・拡散方程式

102

2

x

xu

xuc

tu

を次の初期条件

10

100

0,

2

21

1

0

xxxxxxx

uxu

と次の境界条件

0,1,0

tu

xtu

x

を与えて解き、インク濃度u(x,t)の振舞いを求めよ。

Burgers方程式

線形である対流・拡散方程式の定数cを、従属変数uに置き換えると非線形のBurgers方程式となる。

Burgers方程式は、Navier-Stokes方程式と同様の非線形性

2

2

xu

xuu

tu

モデル問題

次のBurgers方程式

202

2

x

xu

xuu

tu

に、次の初期条件

xxu cos10, と次の境界条件

0,2,0

tu

xtu

xを与えて数値的に解け。

Program: BURG

分散性もし波の移動速度が波の変位の関数であるとすると、

0

xuu

tu

この式の意味するところは、変位 が大きいところでは、移動速度も大きくなることを示している。すなわち、

u

x

u

x

変位が大きい所で移動速度大 波が切り立ってくる

衝撃波となる

u

x

u

x

u

x

u

x

変位が大きい所で移動速度大 波が切り立ってくる

衝撃波となる

対流拡散方程式変位の大きい部分が小さい部分へ移動する性質“拡散”を考慮すると、 を拡散係数として、

2

2

xu

xuu

tu

体系が２次元の場合、

2

2

2

2

yu

xu

yuv

xuu

tu

“変位の拡散”を物理的な意味の応力テンソルとみなし、圧力による変位を考慮すると、

xp

yu

xu

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

上式は流体の挙動を記述するNavier-Stokes方程式に他ならない。すなわち、対流方程式は流体挙動を記述する最も基本となる関係式であることが分かる。

モデル問題

対流・拡散方程式

102

2

x

xu

xuc

tu

を次の初期条件

10

100

0,

2

21

1

0

xxxxxxx

uxu

と次の境界条件

0,1,0

tu

xtu

x

を与えて解き、インク濃度u(x,t)の振舞いを求めよ。

差分スキーム

対流・拡散方程式を、陽スキーム、対流項は風上差分、拡散項は中心差分として差分方程式に変換する。

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj uuu

xtuu

xtcuu 1121

1 2

ここで、変域を50分割する。（x=1/50）内点をj=2, 3,……, 51とし、

境界点をj=1, j=52とする。そのため、境界条件の離散化近似を、

nnnn uuuu 515221 , とおくことにする。

Program: INK

)2()(2 11211

1 nj

nj

nj

nj

nj

njn

jnj uuu

xtuu

xtu

uu

)2(2)( 1121111 n

jnj

nj

nj

nj

njn

jnj uuu

xtuu

xtu

uu

)2(2)(3

)(11211

1111 nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

njn

jnj uuu

xtuut

xuuu

uu

)2()( 11211 n

jnj

nj

nj

nj

njn

jnj uuu

xtuu

xtu

uu

風上スキーム：

FTCSスキーム：

蛙とびスキーム：

修正した蛙とびスキーム：

差分スキームによる安定性の比較

数値流体解析の基礎方程式のベクトル・テンソル表示

Navier-Stokes方程式

gpDtvD

ここで

zyxzyxzyx

zyx

zp

yp

xpp

vvtvvv

tv

DtvD

v,v,vv

zzyzxzzyyyxyzxyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx

せん断応力テンソルの成分

zv

xv

yv

zv

xv

yv

v32

zv

2

v32

yv

2

v32

xv2

xzxzzx

zyzyyz

yxyxxy

zzz

yyy

xxx

速度勾配のテンソル表現

zv

zv

zv

yv

yv

yv

xv

xv

xv

v

zyx

zyx

zyx

zv

vyv

vxv

vzv

vyv

vxv

vzvv

yvv

xvv

zv

zv

zv

yv

yv

yv

xv

xv

xv

vvvvv

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

zyx

zyx

zyx

zyx

速度勾配のテンソル表現

vv

vzv

yv

xv

zvv

yvv

xvv

vzv

yv

xv

zv

vyv

vxv

v

vzv

yv

xv

zvv

yvv

xvv

zvv

yvv

xvv

zvv

yvv

xvv

zvv

yvv

xvv

vvvvvvvvvvvvvvvvvv

zyxvv

T

zzyxz

zz

yz

x

yzyxy

zy

yy

x

xzyxx

zx

yx

x

T

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

せん断応力のテンソル表現

0

zv

yv

xv

vvvzyx

v

zyx

zyx

だから T

yxzzz

zxyyy

zyxxx

zyv

xzv

zv

yv

xv

zyv

yxv

z

v

y

v

x

vxzv

yxv

zv

yv

xv

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

速度の２階微分テンソル

T

zzz

yyy

xxx

zzz

yyy

xxx

T

T

zzz

yyy

xxx

zyx

zyx

zyx

zv

zyv

xzv

zyv

y

vyxv

xzv

yxv

xv

zv

yv

xv

zv

yv

xv

zv

yv

xv

zyxv

zv

yv

xv

z

v

y

v

x

vzv

yv

xv

zv

zv

zv

yv

yv

yv

xv

xv

xv

zyxv

2

222

2

2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

せん断応力のテンソル表現

T

zzzyx

yyzyx

xxzyx

T

zyv

xzv

zv

y

v

xv

zyv

yxv

zv

y

v

xv

xzv

yxv

zv

y

v

xv

vv

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Tvv

よって

gpDtvD

課題(2) 以下のテンソル表現で記載されているNavier-

Stokes方程式の各項の成分を書き下しなさい。

ただし、

提出期限は、次回（10/9）までとする。

gpDtvD

Tvv

vv

tvvv

tv

DtvD

v,v,vv zyx

変換 ー変化する方程式の定性的性質ー

物理現象(熱流体挙動)

計算モデル(差分方程式)

厳密解

代数方程式数学モデル(偏微分方程式)

差分解 数値解

工学への応用(開発、設計、性能評価)

仮説(定式化)

変換(差分近似)(離散化)

数値計算

適切性 安定性

収束性

適合性

Laxの同等定理

境界条件と初期条件

工学の問題では、

偏微分方程式の性質そのものよりも、

現実に与えられた境界条件ならびに初期条件の下で、

現象を記述する偏微分方程式の解がどのような挙動をとるのか、が求められる。

偏微分方程式の分類

0

xuB

tuA

0det BA

•すべての固有値が実数のとき方程式は： 双曲型•すべての固有値が0のとき方程式は： 放物型•すべての固有値が複素数のとき方程式は： 楕円型

一階の連立方程式

固有方程式：

線形二階の偏微分方程式： ),( txu ),( yxuまたは

拡散方程式あるいは熱伝導方程式

02

2

xu

tu

固有方程式

xuuuu

21 ,

変数uを次式のようにおく

00

det

すべての固有値は0 放物型

波動方程式

0xuc

tu

2

22

2

2

固有方程式

xuu

tuu

21 ,

変数uを次式のようにおく

0det

c

c

固有値

（c：波動の伝播速度）

c 双曲型

Laplace方程式

02

2

2

2

yu

xu

固有方程式

yuu

xuu

21 ,

変数uを次式のようにおく

01

1det

固有値 i 楕円型

境界条件

uxu

uxu

xu

u

0,0

0,0

α，βによって継の3種類に分けられる

Neumann条件

Robin条件

Dirichlet条件

初期条件

utu

0,0,0utu

0,0tu

0,0u

α，βによって継の3種類に分けられる

Cauchy条件

偏微分方程式とその解析解－数値解のための物差しとしてー

工学機器の設計のためには、あらかじめ

偏微分方程式を数値的に解き数値解を得ることが極めて有効な手段となる。

仮に数値解が得られたとして

数値解の精度を吟味することが必須。

その際の尺度となるのが、厳密解。

数値解析結果と理論値との比較

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X

YTheory

Numerical

axeyxy 0)(

,1i

ii ayxyy

aydxdy

Burgers方程式の厳密解

熱伝導方程式

02

2

xt

に、次の関数

udx

21exp

を代入すると、Burgers方程式

となる。

2

2

xu

xuu

tu

Cole-Hopf変換

先の関係式

udx

21exp

を書き改めると、

xu

12

となる。熱伝導方程式を解くことによって、

この関係式はCole-Hopf変換と呼ばれる。

が求まれば、上式に代入することによって、

u が求まる。

課題(3) 熱伝導方程式

に、次の関数を代入すると、

以下の式が導かれることを示せ。

02

2

xt

udx

21exp

2

2

xu

xuu

tu

解析解のための準備

偏微分方程式の各型毎に、

工学の問題として、直感の働きやすいものを選択し、

初期条件や境界条件を与えて、

あらかじめ解析解を求めておくことにする。

通常、解析解の多くは、関数列で展開される

関数展開の原理

関数F(x) が既知関数

1

2211

)(

)()()()(

kkk

mm

xc

xcxcxcxF

)(,),(),( 21 xxx m

線形結合によって記述されるとする。

係数 mccc ,,, 21 が適切に算出されれば、

任意関数F(x) は、既知関数 )}({ xm

によって記述できたことになる。

関数展開のために望ましい性質

nmdxxxba nm 0)()(

１．直交条件(orthogonal)：

)()( xx nm のときノルム(norm)が定義できる

ba mm dxx)(2

2．正規化条件(normalize)：

正規直交関数

正規直交関数による展開係数の決定

ba mkkm dxxx )()(正規直交関数

)(0)(1kmkm

mk クロネッカのデルタ関数

dxxxcdxxFxba

k

ba kmkm

1)()()()(

m

b

a

b

a mmm cdxxcdxxFx )()()( 2

ここで

}{ mc

長方形のsin波による展開

101)( xxu区間[0 1]における関数

10)12sin(1)(1

xxmcxu

mm

を正弦波で展開すると、

ここで、展開係数cm は、

124

m

cm

長方形を展開するのに十分な展開項数は？

Program: ORTHG

偏微分方程式の厳密解(1/3)

102

2

x

xu

tu

熱伝導方程式

初期条件

1)0,( xu境界条件

0),1(),0(

tux

tu

偏微分方程式の厳密解(2/3)

u(x,t)を で展開 (m=1,2,3,…..)

212sin xm

2

12sin)(),(1

xmtctxum

m

原方程式に代入

1

2

1 212sin

212

212sin

mm

m

mxmmc

dtdcxm

mm cmdtdc 2

212

直交条件より

よって、 tmm

m

ecc2

212

0

偏微分方程式の厳密解(3/3)

初期条件より

10 2

121m

m xmc

よって解析解は

1

2

0 212sin

212exp,

mm xmtmctxu

124

0

mcm

展開係数は

双曲型方程式とその厳密解波動方程式：

1002

22

2

2

x

xuc

tu

初期条件と境界条件：

121122102

0,xx

xxxu

00,

txu

（解）

0 2 12cos12sin

1281,

m

m

ctmxmm

txu

弦の振動を記述するのに十分な展開項数は？

Program: WAVEXVB

)10(02

22

2

2

x

xuc

tu

波動方程式の厳密解

初期条件と境界条件：

0),1(),0()sin()0,(

tutuxxu

（解）

txtxu cossin),(

弦の振動の物理(1/2)

弦の微小部分Sに作用する力

xxx TTF

sinsin

釣合いの位置より弦の位置が小さいとしたら

xu

tansin

従って、

xxuT

xxu

xu

xuT

xuT

xuTF

x

xxxxxx

2

2

2

2

弦の振動の物理(2/2)

弦の単位長さ当りの質量をとすると、

02

22

2

2

xuc

tu

2

2

2

2

xu

tu

T

あるいは

/Tc ：弦の変位が伝播する速度

この方程式に減衰効果を加えると、電信方程式となる。

0112

2

2

2

2

xu

tu

tu

c 損失のある電線を伝わる電波はこの方程式に従う。

初期条件による波動方程式の解の違い

1002

22

2

2

x

xuc

tu

初期条件と境界条件：

xxu sin0,

0,1,0 tutu（解）

txtxu cossin,

波動方程式：

弦の振動を記述するのに十分な展開項数は？

Program: WAVEXVB

(MEX = 5)

対流方程式についての厳密解

0

u

xc

txc

t

波動方程式

0

xuc

tu

対流方程式 (advection equation): 双曲型

1002

22

2

2

x

xuc

tu

対流方程式の厳密解の挙動

0

xuc

tu

対流方程式：

初期条件と境界条件：

)15/2(0)5/25/1(1

)5/10(00,

xx

xxFxu

0,0 00 ggtu 0,1

xtu

（解） ctxFtxu , Program: ADVEX

対流の物理

tux （境界xにおけるインクの流入量）

- （境界x+xにおけるインクの流出量）

2

22

xxx

xxx

xucx

21

xuxcucuc

ucuc

よって、

xuc

tu

2

2

xu

xuc

tu

濃度拡散の効果を考慮すると、対流・拡散方程式：

放物型方程式とその厳密解

熱伝導方程式： 102

2

x

xu

tu

初期条件と境界条件： 10, xu 0,0 tu

0,1

xtu

（解）

1

22

212sin

412exp,

mm xmtmctxu

展開係数

124

m

cm Program: HEATX

熱伝導の物理

ける熱の流出

にお境界

熱の流入

における境界

熱発生

の中での ΔxxxΔxtuΔx

xxxx

xx x

uqxuq

2

3

3

2

2

21 xxux

xu

xu

xuq

xxxxxxx

α=1とする。

2

2

xuΔxΔxg

tuΔx

gxu

tu

2

2

拡散方程式

gxuD

tu

2

2

xuDjx

Fick則

拡散方程式(diffusion equation)

熱伝導方程式と拡散方程式は同じ放物型方程式となる

熱伝導方程式の厳密解

102

2

x

xu

tu

初期条件と境界条件： xxu sin0,

0,1,0 tutu

（解）

xetxu t sin,2

Program: HEATX

熱伝導方程式：

楕円型方程式の厳密解Poisson方程式：

10,1002

2

2

2

yxg

yu

xu

境界条件：

（解）

1,2

0 12cos12sin12

212

24,nm

ymxmnm

gtxu

1001,

1000,100,1100,0

xxuxxuyyuyyu

（Dirichlet条件）

Program: POLAX

Poisson方程式が代表する物理

２次元非定常熱伝導方程式

02

2

2

2

gyu

xu

tu

定常状態とすると

02

2

2

2

gyu

xu

一様加熱される平板上の温度分布、その変化

楕円型方程式の厳密解Laplace方程式：

10,1002

2

2

2

yx

yu

xu

境界条件：

（解）

1sinsinh

sinh112,

m

m

xmymmm

txu

1011,

1000,100,1100,0

xxuxxuyyuyyu

（Dirichlet条件）

Program: POLAX

変係数の１次元Laplace方程式の厳密解

定数σ（σ>0）として変係数の１次元Laplace方程式：

1001

x

dxduu

dxd

境界条件：

（解）

xxu

211

2

,11,00 uu

Program: LAP1X

Laplace方程式の物理

比例定数αが温度uの関数であるとする：

01 uu

変係数の１次元Laplace方程式が得られる。

01

xuuq

より

1001

x

dxduu

dxd

高温であるほど熱伝導係数が大きくなる

高温領域ほど温度勾配が緩やか低温領域ほど温度勾配が急峻となる

一次元Laplace方程式の解

一次元Laplace方程式:

1002

2

xdxud

境界条件: 11

00

uu

（解）

10 xxxu

対流方程式の数値解の挙動～スキームの選択

以下の対流方程式を

以下の境界条件と初期条件の下で、

以下の各スキームを用いて数値的に解析しなさい。• FTCS

• 蛙とび法

• 風上差分

0

xuc

tu

)15/2(0)5/25/1(1

)5/10(00,

xx

xxFxu

0,0 00 ggtu

0,1

xtu

Program: ADVEC

課題(4) 前ページに指定する微分方程式を、与えら

れた境界条件の下で、指定する差分スキームを用いて数値的に解析しなさい。

提出期日： 10月30日（金）

提出物は、・内容の説明したレポート

・プログラムリスト

・解析結果（数値出力、作図結果）

以上の全てを、A4レポート用紙ならびに電子媒体(CD)の両方により提出すること。