1

Automatyka

Wykład 20

Regulacja dyskretna.

2

Rozwój i powszechność zastosowań regulacji cyfrowej można podzielić na okresy: - okres pionierski ok.1955r., - okres bezpośredniego sterowania cyfrowego ok. 1962r., - okres minikomputerów ok. 1972r., - okres mikrokomputerów oraz powszechne zastosowanie sterowania cyfrowego ok. 1980r., - sterowanie rozproszone ok. 1990r. (distributed control).

3

W układach regulacji analogowej (ciągłej) sygnał sterujący u(t) obiektem jest sygnałem analogowym opisanym funkcją ciągłą, która może przyjmować dowolną wartość z ciągłego przedziału (nieskończonego lub ograniczonego zakresem zmienności).

W układach regulacji dyskretnej sygnał sterujący u(t) jest sygnałem dyskretnym, który nie jest funkcją zdefiniowaną dla ciągłego przedziału argumentów, lecz jest ciągiem liczbowym. Każda wartość ciągu nazywa się próbką (ang. sample).

RegulatorObiekt regulacji

w(t) e(t)

–y

u(t) y(t)

Rys. 1. Ogólny schemat blokowy układu regulacji automatycznej

Sygnały dyskretne

4

Rozróżnia się trzy rodzaje sygnałów dyskretnych:• sygnały dyskretne w czasie ( sygnały spróbkowane),• sygnały dyskretne w poziomie ( sygnały skwantowane),• sygnały dyskretne w czasie i w poziomie (sygnały cyfrowe).

Sygnał dyskretny w czasie powstaje w procesie próbkowania sygnału ciągłego. Próbkowanie (dyskretyzacja, kwantowanie w czasie) oznacza proces tworzenia sygnału dyskretnego, reprezentującego sygnał ciągły za pomocą ciągu wartości nazywanych próbkami. W realizacji praktycznej próbki są iloczynem mierzonych w równych odstępach czasu wartości chwilowych sygnału ciągłego oraz powtarzających się impulsów najczęściej prostokątnych (rys. 2).

u

t0 Tp 2Tp 3Tp 4Tp

Rys. 2.

5

Proces regulacji, w którym sygnał sterujący u(t) ma postać impulsów (rys. 3a) powstałych w procesie próbkowania sygnału ciągłego nazywa się regulacją impulsową (regulacją dyskretną w czasie). Jeżeli amplituda impulsów sterujących jest równa lub proporcjonalna do wartości ciągłego sygnału błędu regulacji, to układ regulacji nazywa się układem regulacji impulsowej z modulacją amplitudy impulsów (ang. amplitude modulation) (rys. 3a). W praktyce spotyka się najczęściej układy regulacji impulsowej z modulacją szerokości impulsów (ang. pulse width modulation), w których amplituda impulsów sterujących u(t) jest stała wewnątrz okresu impulsowania, a ich szerokość jest proporcjonalna do wartości błędu regulacji e(t) w chwilach impulsowania (rys. 3b). Regulacja impulsowa z modulacją szerokości impulsów sterujących jest stosowana między innymi w przetwornicach impulsowych napięcia, stanowiących zasadniczą część zasilacza impulsowego.

Rys. 3. Impulsy sterujące: z modulacją amplitudy impulsów (a), z modulacją szerokości impulsów (b)

TpTp0 2Tp

3Tp

u

u(0)u(Tp)

u(2Tp)u(3Tp)

u

2Tp 3Tp0 t t

a) b)

6

Sygnał dyskretny w poziomie powstaje w procesie kwantowania sygnału ciągłego i przyjmuje dwie lub więcej wartości (rys. 4). Sygnał dyskretny w poziomie nazywa się również sygnałem skwantowanym. Proces regulacji, w którym sygnał sterujący jest sygnałem skwantowanym nazywa się regulacją dyskretną w poziomie. Przykładem regulacji dyskretnej w poziomie jest regulacja dwupołożeniowa (dwuwartościowa, przekaźnikowa). Sygnał sterujący u(t) w układzie regulacji dwupołożeniowej przyjmuje tylko dwie wartości (dwa poziomy kwantowania). Regulator dwupołożeniowy jest regulatorem nieliniowym.

u

t0

pozi

omy

kwan

tow

ania

Rys.4. Sygnał dyskretny w poziomie (skwantowany)

7

Sygnał spróbkowany i skwantowany, nazywany również sygnałem cyfrowym, jest to sygnał, którego dziedzina i zbiór wartości są dyskretne (rys. 5).

e(t)

t0 Tp 2Tp 3Tp 4Tp 5Tp 6Tp

Poziomykwantowania

Rys. 5. Skwantowany i spróbkowany błąd regulacji

8

Układ regulacji, w którym sygnał nastawiający uzyskany z ciągu sterującego reprezentującego sygnał cyfrowy ma postać sygnału schodkowego (rys. 6) nazywa się układem regulacji cyfrowej.

Rys. 6. Schodkowy sygnał sterujący w układzie regulacji cyfrowej

9

Układ regulacji cyfrowej składa się z regulatora cyfrowego, zawierającego przetwornik analogowo-cyfrowy, jednostkę liczącą i przetwornik cyfrowo-analogowy oraz obiektu regulacji (rys. 7.).

Układ regulacji cyfrowej

Rys. 7. Schemat blokowy układu regulacji cyfrowej

Regulator cyfrowy przetwarza spróbkowany i skwantowany sygnał błędu regulacji e(nTp) w ciąg sterujący u(nTp). Obliczanie wartości ciągu sterującego u(nTp) odbywa się zgodnie z algorytmem określającym działanie regulatora (algorytm P, PI, PD, PID). Ograniczona liczba bitów w strukturze regulatora cyfrowego, na których zapisywane są zakodowane wartości błędu regulacji w chwilach próbkowania, oznacza ograniczoną liczbę poziomów określających możliwe wartości ciągu sterującego. Przetwornik C/A przetwarza ciąg sterujący u(nTp) w schodkowy sygnał sterujący.

sygnał analogowy Cyfrowy

algorytm regulacji

w0 e(t) e(nTp)u(nTp) u(t)

-y

Sygnał schodkowy

Regulator cyfrowy

Obiekt regulacji

Zegar

C/AA/C

10

Przekształcenie Z

Przekształceniem Z funkcji dyskretnej f(nTp) nazywa się przekształcenie

określone wzorem

przyporządkowujące funkcji dyskretnej f(nTp) funkcję zmiennej zespolonej F(z).

Funkcję f(nTp) nazywa się oryginałem, a funkcję F(z) – transformatą Z funkcji

f(nTp). Przekształcenie Z (przekształcenie Laurenta) oznacza się za pomocą

operatora Z następująco:

Przekształcenie

oznacza odwrotne przekształcenie Z.

0

)()(n

np

def

znTfzF

)]([)( pnTfZzF

)]([)( 1 zFZnTf p

11

Podstawowe własności przekształcenia Z.

Dyskretny skok jednostkowy:

.0

,0

0

1)(

n

n

dla

dlanTp1

Transformata Z dyskretnego skoku jednostkowego:

01

0 11

1)(1)]([

k

kn

npp z

z

zzznTnTZ 1

Dyskretna funkcja wykładnicza

.00

,0)(

ndla

ndlaenTe

pp

anT

panT

1

Transformata Z funkcji wykładniczej:

pp

pp

aTn

aTnanT

panT

ez

z

zezenTeZ

011

1)]([ 1

12

Transformaty Z funkcji przesuniętych.

Transformata Z funkcji dyskretnej ])[( pTknf

przesuniętej w lewo o k okresów próbkowania względem funkcji :)( pnTf

1

0

)()(]})[({k

m

mkp

kp zmTfzFzTknfZ

Transformata Z funkcji dyskretnej przesuniętej w prawo:

W szczególnym przypadku, gdy 0])1[()()0( pp TkfTff

)(]})[({ zFzTknfZ kp

k

m

kmp

kp zmTfzFzTknfZ

1

)()()(]})[({

0)()2()( ppp kTfTfTf W szcególności, gdy

)(]})[({ zFzTknfZ kp

13

Transformaty Z różnic funkcji dyskretnych

)(])1[()( ppp nTfTnfnTf

Różnica pierwszego rzędu:

)0()()1()]([ zfzFznTfZ p

Transformata Z różnicy pierwszego rzędu:

)()1()]([ zFznTfZ p Dla f(0) = 0

Różnica wsteczna pierwszego rzędu:

])1[()()( ppp TnfnTfnTf

Transformata Z różnicy wstecznej pierwszego rzędu:

)-1()()z1()]([ -1 zfzFnTfZ p

Gdy f(-1) = 0

)()z1()]([ -1 zFnTfZ p

14

Różnica drugiego rzędu:

)(])1[()(2ppp nTfTnfnTf

Transformata Z różnicy drugiego rzędu przy zerowych warunkach początkowych:

)()1()]([ 22 zFznTfZ p

Różnica wsteczna drugiego rzędu:

])1[()()(2ppp TnfnTfnTf

Transformata Z różnicy wstecznej drugiego rzędu przy zerowych warunkach początkowych:

)()z1()]([ 2-12 zFnTfZ p

Transformaty Z różnic k-tego rzędu przy zerowych warunkach początkowych:

)()1()]([ zFznTfZ kp

k

)()z1()]([ -1 zFnTfZ kp

k

15

Transformata Z sumy funkcji dyskretnej.

Suma funkcji dyskretnej :)( pnTf

1

0

),2,1()()(m

ip

def

p miTfmT

1

)()(

z

zFz

Transformata Z sumy funkcji dyskretnej.

k

razyk

n

mp

n

m z

zUmTuZ

)1(

)()(

1

0

1

0

Transformata Z k – krotnej sumy funkcji dyskretnej.

16

Twierdzenia o wartościach granicznych.

Twierdzenie o wartości początkowej funkcji dyskretnej:

)(lim)(lim)0(0

zFnTffz

pn

Twierdzenie o wartości końcowej funkcji dyskretnej:

)()1(lim)(lim)(1

zFznTffz

pn

)()z1(lim)(lim)( -1

1zFnTff

zp

n