AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 3)
description
Transcript of AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 3)
AUTOMATYKAi
ROBOTYKA
(wykład 3)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiRNazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Własności statyczne systemów dynamicznych
Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt u(t)u(t) y(t)y(t)
Sposób wyznaczania:1. Podajemy sygnał u o stałej wartości na wejście
obiektu,2. Czekamy, aż wartość wyjścia „y(t)” się ustali,3. Odczytujemy wyjście „y”4. Zmieniamy stałą wartość wejścia „u” i powtarzamy
kroki 1-3
Charakterystyka statyczna opisuje zależność wyjścia systemu dynamicznego od jego wejścia w stanie USTALONYM.
Przykładowy przebieg charakterystyki statycznej:
UWAGA! Charakterystyka statyczna prawie każdego rzeczywistego układu jest nieliniowa!
Wyj
ście
ukł
adu
yW
yjśc
ie u
kład
u y
Wejście uWejście u
Punkt pracyPunkt pracy
Punkt pracy układu
Punkt pracy układuJest zdeterminowany przez warunki konkretnego procesu, np. jest to wymagana temperatura pieca, w której przebiega proces, itp.
W praktyce obiekt może mieć kilka punktów pracy ( np. kilka różnych temperatur)
Linearyzacja statyczna
W niewielkim otoczeniu punktu pracy układ może być uważany za liniowy.
y
u
PunktPunktpracypracy
ZakresZakresliniowyliniowy
ZakresZakresliniowyliniowy
P(u0,y0)
Linearyzacja dynamiczna
Dane jest nieliniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu, opisujące system dynamiczny:
;,...,
;,...,
0),..,,,..,,(
)(
)(
)()(
n
nn
n
nn
nn
dt
ydy
dt
dyy
dt
udu
dt
duu
yyyuuuf
Linearyzacja dynamiczna
0.... )()(
00
)()(
00
n
nn
ny
y
fy
y
fu
u
fu
u
f
Rozwijamy funkcję f w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy P i zaniedbujemy nieliniowe wyrazy rozwinięcia. Równanie zlinearyzowane ma następującą postać:
Dla równania I rzędu powyższa zależność przyjmuje postać następującą:
00000
yy
fy
y
fu
u
fu
u
f
Linearyzacja dynamiczna
Interpretacja geometryczna.
y
u
PunktPunktpracypracy
P(u0,y0)
Przybliżenie liniowe
Transmitancja operatorowa
232
1
1
1
MJJ
ki
J
k
dt
d
vLL
ki
L
R
dt
diu
Model systemu dynamicznego w postaci transmitancji jest drugim, częściowo alternatywnym, częściowo uzupełniającym sposobem opisu systemów dynamicznych dla potrzeb automatyki.
Podstawowa ideą opisu transmitancyjnego jest badanie zachowania się wyjścia obiektu pod wpływem określonych sterowań.
W automatyce rozróżniamy dwa rodzaje transmitancji: transmitancję operatorową oraz transmitancję widmową, przy czym są one z sobą ściśle powiązane.
Dotychczas układy rzeczywiste opisywaliśmy (tworząc ich model matematyczny) równaniami różniczkowymi.
Np. model silnika prądu stałego.
Transmitancja operatorowa układu
Oznaczmy sygnał sterujący oddziałujący na obiekt przez u(t), a sygnał wyjściowy z obiektu przez y(t), a ich transformaty Laplace’a odpowiednio przez U(s) oraz Y(s).
Załóżmy też, że warunki początkowe na zbiornikach energii w układzie są zerowe.
Rozważmy najprostszy schemat systemu dynamicznego.
Załóżmy że: • rozważamy wyłącznie sygnały sterujące działające na obiekt ( nie
uwzględniamy zakłóceń ), • na obiekt działamy tylko jednym sterowaniem, a na wyjściu
obserwujemy tylko jeden sygnał wyjściowy.
Taki schemat procesu nazywamy schematem typu wejście-wyjście.
u(t) y(t)Proces
Definicja transformaty operatorowej
Transmitancją operatorową układu o jednym wejściu i jednym wyjściu nazywamy następujące wyrażenie:
Transmitancja jest więc stosunkiem transformaty Laplace’a wyjścia systemu do transformaty wejścia systemu, przy zerowych warunkach początkowych.
To ostatnie założenie jest bardzo istotne i decyduje o ograniczeniach stosowalności modelu transmitancyjnego. W praktyce, transmitancja ma najczęściej postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, przy czym lokalizacja pierwiastków tych wielomianów ma decydujące znaczenie dla własności układu.
)(
)()(
sU
sYsG
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x.
A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych
( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny
podpierającej,R - współczynnik oporów ruchu
części ruchomych.
pz(t)
A
m
k
R
x(t)
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.
• Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim:• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.
Fp(t) = Apz(t) • Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia
Fs(t)=kx(t) • Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w
rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości:
FR(t)=Rv(t)• jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem:
Fb(t)=ma(t)
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.
Bilans sił można zapisać następująco: Fp = Fs+FR+Fb
Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:
Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) Wiedząc, że:
Otrzymujemy: )()()(
)()(
txtvta
txtv
)()()()( txmtxRtkxtAp z Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych
warunków początkowych na x oraz będzie mieć następującą postać:
APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem –
sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać:
x
kRsms
A
sP
sXsG
z
2)(
)()(
Chrakterystyki czasowe
Definicja:Charakterystyką czasową nazywamy przebieg czasowy wyjścia układu y(t) wywołany określonym wymuszeniem.
Charakterystyka impulsowa: Jest to odpowiedź układu na impuls Diraca δ(t)
Charakterystyka skokowa: odpowiedź układu na skok jednostkowy 1(t)
Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk czasowych:
Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt
zadajnik
y(t)y(t)
t
Rejestrator,System SCADA
u(t) = 1(t),u(t) (t)
Analityczne wyznaczanie charakterystyki czasowej na podstawie transmitancji
)()()( 1 sUsGty L
Dla przypomnienia:
1)(
1)(1
tLs
tL
Przykład
Rozważmy obiekt inercyjny I rzędu: 1)(
Ts
ksG
Charakterystyka czasowa skokowa:
)1(1
1)()()( 111
Tss
kL
Ts
k
sLsGsULty
Powyższą relację rozkładamy na ułamki proste (przypominamy sobie z ćwiczeń):
1)( 1
Ts
B
s
ALty
Gdzie:
kTB
kA
Stąd natychmiast otrzymujemy, że:
T
t
etk
Tss
LkTs
B
s
ALty )(1
111
1)( 11
Transmitancja widmowa
)(
)()(
jU
jYjG
w
w
Definicja
Transmitancją widmową układu nazywamy stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Yw tego układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości zespolonej tego wymuszenia:
Doświadczalne wyznaczanie transmitancji widmowej i charakterystyk częstotliwościowych:
Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt
generator
u(t) = Au sin(t)Rejestracja:M() i ()
y(t)=Ay sin (t+ )
Transmitancja widmowa
Sygnał wejściowy U:
tjUw e)(A)j(U
Odpowiedź obiektu Y:
))(()()( tjYw eAjY
Transmitancja widmowa
Moduł transmitancji:
22 QP
A
AjGM
u
Y )(
)()()(
Faza transmitancji:
P
QtgarcjG )(arg)(
• A(ω) – amplituda,• (ω) – faza
)()()()()( jeMjQPjG
Analityczne wyznaczanie transmitancji widmowej:
Wykorzystujemy związek pomiędzy transmitancją widmową i operatorową, pozwalający na wyznaczenie transmitancji widmowej na podstawie transmitancji operatorowej:
jssGjG
)()(
Przykład
Wyznaczyć transmitancję widmową G(j) dla obiektu I rzędu o transmitancji operatorowej:
1)(
Ts
ksG
1)(
1)(
1
)1(
1)(
22
22
22
T
TkQ
T
kP
T
Tjk
Tj
kjG
Charakterystyki częstotliwościowe
Definicja
Charakterystyką amplitudowo – fazową układu (charakterystyką Nyquista ) nazywamy wykres transmitancji widmowej tego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Przykład:
Q()
P
= 0
M)(
Charakterystyki częstotliwościowe
Definicja
• Logarytmiczną charakterystyką amplitudową (charakterystyką Bodego ) nazywamy zależność 20logM() w funkcji log
Definicja• Logarytmiczną charakterystyką fazy nazywamy zależność w funkcji log
)(
Przykład 20logM()[dB]
)( log
Podstawowe człony dynamiczne
Transmitancja opisująca membranowy siłownik pneumatyczny: kRsms
A
sP
sXsG
z
2)(
)()(
Transmitancja opisująca obwód RLC:1
12
RCsLCssU
sUsG
we
wy
)(
)()(
Transmitancja opisująca zespół masa-tłumik-sprężyna:
mk
RFx
kRsmssF
sXsG
2
1
)(
)()(
Podstawowe człony dynamiczne
• Na podstawie wcześniejszych rozważań możemy zauważyć, że tym samym modelem matematycznym można opisać wiele zupełnie różnych procesów fizycznych.
• W konsekwencji tego, grupy procesów będą mogły być opisane transmitancjami tego samego typu.
• W związku z tym można stwierdzić, że ogromna większość rzeczywistych procesów dynamicznych może być opisana kilkoma podstawowymi transmitancjami, bądź ich połączeniem.
Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny
)(11
)( 1 tkks
Lty
u(t)=1(t)
czas
y(t)y(t)
Transmitancja tego elementu ma postać: G(s) = k
Charakterystyka czasowa:
Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny
Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa:
Charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy:
P(ω)
Q(ω)
k
ω
20logM(ω)
Φ(ω)
20log(k)
ω
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu
Transmitancja tego elementu ma postać:
Charakterystyka czasowa:
gdzie:
k – współczynnik
wzmocnienia,
T – stała czasowa,
A – amplituda skoku
jednostkowego.
1)(
Ts
ksG
T
t
etAkTs
k
sALty )()( 1
1
11
y(t)
A k
T t
0.6388A k
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu
Transmitancja widmowa:
1
1
1)(
22
T
Tjk
Tj
kjG
1)(
22
T
kP
1)(
22
T
TkQ
Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa:
P(ω)
Q(ω)
kω=0
ω=1/T
1)(
22
T
kM
)ctg()( Tar
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy:
ω
20logM(ω)
Φ(ω)
20log(k)
-20dB/dekadę
ω=1/T
-/4
-/2
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu
Transmitancja obiektu:
gdzie:
k – współczynnik wzmocnienia
T1 , T2 – stałe czasowe.
Charakterystyka czasowa:
11)(
21
sTsT
ksG
2121
21
21
1
1)(1
)1)(1(
1)(
T
t
T
t
eTeTTT
tk
sTsT
k
sLty
u(t)=1(t)
czas
y(t)
T2T1
k
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu
Transmitancja widmowa:)1)(1(
)(21
TjTj
kjG
221
22221
21
1)(
TTTT
TTQ
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
k
221222
21
221
1
)1()(
TTTT
TTkP
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa:
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy :
ω
20logM(ω)
Φ(ω)
20log(k)-20dB/dekadę
ω=1/T1
-/2
-
-40dB/dekadę
ω=1/T2
221222
211
)(
TTTT
kM
221
21
1ctg)(
TT
TTar