AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 7)

AUTOMATYKAi

ROBOTYKA

(wykład 7)

Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiRNazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Stabilność układów – kryteria częstotliwościoweStabilność układów – kryteria częstotliwościowe

Cechy kryteriów częstotliwościowych:• wnioskowanie o stabilności układu na podstawie

doświadczalnie wyznaczonej charakterystyki częstotliwościowej układu,

• o stabilności układu zamkniętego wnioskujemy na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego,

• przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza bezpośredniej informacji na temat zapasów stabilności.


1. Zamknięty układ regulacji ( ze sprzężeniem zwrotnym):

G(s)G(s)G(s)G(s)Gr(s)Gr(s)

-+

R(s)

Gdzie:Gdzie: GGrr(s) oznacza transmitancję regulatora, (s) oznacza transmitancję regulatora,

G(s) oznacza transmitancję obiektu regulacjiG(s) oznacza transmitancję obiektu regulacji

Stabilność układów – kryteria Stabilność układów – kryteria częstotliwościoweczęstotliwościowe

2. Załóżmy, że w układzie rozłączamy sprzężenie zwrotne:2. Załóżmy, że w układzie rozłączamy sprzężenie zwrotne:

G(s)G(s)G(s)G(s)Gr(s)Gr(s)

-+

R(s)R(s)

Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa układu otwartegoukładu otwartego ( po ( po rozłączeniu toru sprzężenia zwrotnego):rozłączeniu toru sprzężenia zwrotnego):

)(

)()()()(

sM

sLsGsGsG

o

oro

Stabilność układów – kryteria Stabilność układów – kryteria częstotliwościoweczęstotliwościowe

4. Oznaczmy transmitancję widmową układu otwartego przez GGoo(j(jωω) )

Twierdzenie 1 (kryterium Nyquista)Twierdzenie 1 (kryterium Nyquista)Równanie charakterystyczne układu Równanie charakterystyczne układu zamkniętego zamkniętego ma ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zespolonej ( czyli układ zespolonej ( czyli układ zamkniętyzamknięty jest jest stabilny stabilny ) ) wtedy i tylko wtedy, gdy przyrost argumentu wtedy i tylko wtedy, gdy przyrost argumentu wyrażenia 1+Gwyrażenia 1+Goo(j(jωω) przy zmianie pulsacji ) przy zmianie pulsacji ωω w w

zakresie od 0 do nieskończoności jest równy kzakresie od 0 do nieskończoności jest równy k::

3. Zakładamy że wielomian charakterystyczny układu otwartego Mo(s) ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zespolonej ( i n-k w lewej )

kjGo

)(1arg0


UWAGI: UWAGI: 1.1. W przypadku układu W przypadku układu otwartego otwartego stabilnego k = 0 stabilnego k = 0

przyrost argumentu wyrażenia 1+Go(jprzyrost argumentu wyrażenia 1+Go(jωω) przy ) przy zmianie pulsacji zmianie pulsacji ωω w zakresie od 0 do w zakresie od 0 do nieskończoności powinien być równy 0, aby układ nieskończoności powinien być równy 0, aby układ zamkniętyzamknięty był stabilny. był stabilny.

2.2. Ważna w zastosowaniach praktycznych jest Ważna w zastosowaniach praktycznych jest geometryczna interpretacja kryterium Nyquista. geometryczna interpretacja kryterium Nyquista.

Interpretacja geometryczna kryterium NyquistaInterpretacja geometryczna kryterium Nyquista

Twierdzenie 2 ( kryterium Nyquista)

•Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny. •Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0) na płaszczyźnie zespolonej.


(-1,j0)

Q(ω)

P(ω)

Układ stabilnyUkład stabilny

Układ niestabilnyUkład niestabilny

Układ na granicyUkład na granicy stabilności stabilności



UWAGI:UWAGI:1.1. Kryterium Nyguista pozwala wnioskować o stabilności Kryterium Nyguista pozwala wnioskować o stabilności

układu układu zamkniętego zamkniętego ( z zamkniętą pętlą sprzężenia ( z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego ) na podstawie zachowania się zwrotnego ) na podstawie zachowania się transmitancji widmowej układu transmitancji widmowej układu otwartego otwartego ( z otwartą ( z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego ),pętlą sprzężenia zwrotnego ),

2.2. Warunek z kryterium Nyquista może być sprawdzony Warunek z kryterium Nyquista może być sprawdzony doświadczalnie. doświadczalnie.


Twierdzenie 3 ( kryterium Nyquista) Twierdzenie 3 ( kryterium Nyquista) Załóżmy, że układ Załóżmy, że układ otwarty otwarty jest jest niestabilnyniestabilny i ma k i ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.Układ Układ zamknięty zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartegootwartego obejmuje k/2 razy w kierunku dodatnim obejmuje k/2 razy w kierunku dodatnim punkt (-1,j0) na płaszczyźnie zespolonej. punkt (-1,j0) na płaszczyźnie zespolonej.

UWAGA: kierunek dodatni oznacza kierunek UWAGA: kierunek dodatni oznacza kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Kryterium Nyquista - przykładKryterium Nyquista - przykład

Rozważmy układ otwarty o transmitancji Rozważmy układ otwarty o transmitancji równej: równej:

123

1)(

23

ssssGo

Należy sprawdzić przy pomocy kryterium Nyquista, czy Należy sprawdzić przy pomocy kryterium Nyquista, czy układ po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie układ po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie stabilny.stabilny.

Etap 1Etap 1 Sprawdzamy stabilność układu otwartego przy pomocy Sprawdzamy stabilność układu otwartego przy pomocy kryterium Hurwitza (zob. założenie twierdzenia Nyquista) kryterium Hurwitza (zob. założenie twierdzenia Nyquista) – układ otwarty jest stabilny.– układ otwarty jest stabilny.


Etap 2Etap 2Wyznaczamy charakterystykę amplitudowo – fazową Wyznaczamy charakterystykę amplitudowo – fazową układu układu otwartegootwartego

)2()31(

1

123

1)(

22

23

j

jjjGo


22222

2

22222

2

)2()31(

)2()(

)2()31(

)31()(

Q

P

Punkty charakterystyczne wykresu: Punkty charakterystyczne wykresu:

00

0-0.2

0

010

Q(ω)P(ω)ω

31

533

2


Układ Układ zamkniętyzamknięty stabilny stabilny

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Logarytmiczne kryterium NyquistaLogarytmiczne kryterium Nyquista

Twierdzenie ( logarytmiczne kryterium Twierdzenie ( logarytmiczne kryterium Nyquista)Nyquista)1.1.Rozważmy charakterystykę częstotliwościową Rozważmy charakterystykę częstotliwościową logarytmiczną modułu i fazy układu logarytmiczną modułu i fazy układu otwartego.otwartego.2.2.Załóżmy, że układ otwarty jest Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny.stabilny.Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy dla fazy gdy dla fazy φφ((ωω180180) = -) = - wartość 20log(M( wartość 20log(M(ωω180180))<0))<0

Warunek sformułowany powyżej wynika wprost z Warunek sformułowany powyżej wynika wprost z kryterium Nyquista.kryterium Nyquista.


20log(M(ω))

Φ(ω)

-

U Z niestabilny

U Z stabilny

U Z gran stab


(-1,j0)

Q(ω)

P(ω)


Układ niestabilnyUkład niestabilny

Układ na granicyUkład na granicy stabilności stabilności


Φ(ω)=-

M(ω)=1

Zapas stabilnościZapas stabilności

Dla scharakteryzowania zapasu stabilności rozważymy stabilny układ regulacji o znanym schemacie blokowym:

W s( )G s( )

Y s( )

H s( )

–

Rys. Schemat blokowy układu regulacji


1sT2sT

K(s)G

z1z122

z1

uz

2z1

uz 1)s(T

K(s)G

1)s1)(Ts(T

K(s)G

z2z1

uz

Niech funkcja przejścia układu zamkniętego przyjmie postać (3 warianty):

z1z2 TT przy czym

Z tych funkcji przejścia wynikają charakterystyki:

1) Char. oscylacyjna o dużym przeregulowaniu i dużym czasie regulacji,2) Char. oscylacyjna o małym przeregulowaniu i małym czasie regulacji,3) Char. inercyjna o małym czasie regulacji,4) Char. inercyjna o dużym czasie regulacji.


Rys. Charakterystyki czasowe ukł. dla skokowego sygn. sterującegot

y

K u Aw

1 2 3 4

0 t

y

K u Aw

1 2 3

0 t

y

K u Aw

1 2

0 t

y

K u Aw

1

0 t

y

K u Aw

0

t

w

A w

0 t

w

A w

0


Z pokazanych charakterystyk wynika, że nie wszyst-kie układy regulacji nadają się do praktycznego wy-korzystania, mianowicie:

1. Nadaje się układ o charakterystyce 2 lub 3, mówimy, że ma on właściwy zapas stabilności.

2. Nie nadaje się układ o charakterystyce 1, który ma za mały zapas stabilności.

3. Nie nadaje się układ o charakterystyce 4, który ma za duży zapas stabilności.


Zapas wzmocnienia i fazy w układzie otwartym, są to miary zapasu stabilności.

Zapas stabilności wyrażamy za pomocą charakterystyk:

• amplitudowo-fazowej,

• logarytmicznych amplitudowej i fazowej,


Rys. Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej

R e H j G j( ) ( )ω ω

j Im H j G j( ) ( )ω ωa π

γ φ

ω π

ω φ

-1 R e H j G j( ) ( )ω ω

j Im H j G j( ) ( )ω ω

-1 R e H j G j( ) ( )ω ω


-1 R e H j G j( ) ( )ω ω


R e H j G j( ) ( )ω ω


Zapas stabilności

Więc zapas wzmocnienia:

Dla pulsacji 1K))G(jH(j d

Z rysunku1Ka d

a

1Kd

1Kd 1Kd

1Kd dla układów stabilnych,

dla układów na granicy stabilności,

dla układów niestabilnych, czyli 1.K0 d

Zapas stabilności

Zapas fazy (margines fazowy) zdefiniowany jest wzorem

180

000

dla układów stabilnych,


dla układów niestabilnych.

przy czym:

Zapas stabilności

W praktyce stosuje się wartości:

6030

4K2 d

Zapas fazy ma znaczenie decydujące, natomiast zapas wzmocnienia drugorzędne.

Zapas stabilności na charakterystykach BodegoZapas stabilności na charakterystykach Bodego

-/2

-

20log(M(ω))

Φ(ω)

M [dB]

φ

Zapas stabilności

Stosowane wartościzapasu wzmocnienia i fazy:

6030

12dBM6dB

dla układów stabilnych,


dla układów niestabilnych.0 i 0M

0 i 0M

0 i 0M

Oczywiście zachodzą zależności:


Uwagi:Uwagi:•Zapasy stabilności pozwalają na określenie „marginesu Zapasy stabilności pozwalają na określenie „marginesu bezpieczeństwa” ze względu na stabilność przy bezpieczeństwa” ze względu na stabilność przy możliwych zmianach parametrów układu.możliwych zmianach parametrów układu.•Układ niestabilny ma ujemne wartości zapasów Układ niestabilny ma ujemne wartości zapasów stabilności, które wtedy są miarą, o ile należy stabilności, które wtedy są miarą, o ile należy skorygować parametry np. regulatora dla uzyskania skorygować parametry np. regulatora dla uzyskania stabilności. stabilności.

Jakość regulacjiJakość regulacji

Rozważmy zamknięty układ regulacji (przypomnienie) : Rozważmy zamknięty układ regulacji (przypomnienie) :

gdzie:gdzie:•r – wartość zadana,r – wartość zadana,•E(s) – uchyb regulacji,E(s) – uchyb regulacji,•U(s) – sterowanie,U(s) – sterowanie,•Z(s) –zakłócenie,Z(s) –zakłócenie,•Y(s)–wielkość regulowanaY(s)–wielkość regulowana

GGrr(s) – transmitancja (s) – transmitancja

regulatora,regulatora,G(s) – transmitancja G(s) – transmitancja obiektu regulacjiobiektu regulacji

GGrr(s)(s) G(s)G(s)

Z(s)

r E(s) U(s) Y(s)

+-

+

-

Jakość regulacji – dokładność statycznaJakość regulacji – dokładność statyczna

Uchyb statyczny Uchyb statyczny eestst

Błędem, odchyleniem lub uchybem statycznym Błędem, odchyleniem lub uchybem statycznym nazywamy uchyb regulacji występujący w układzie nazywamy uchyb regulacji występujący w układzie regulacji w regulacji w stanie ustalonym.stanie ustalonym.

Dla układu z powyższego schematu uchyb statyczny Dla układu z powyższego schematu uchyb statyczny jest sumą uchybu pochodzącego od zakłócenia i jest sumą uchybu pochodzącego od zakłócenia i uchybu pochodzącego od wartości zadanej: uchybu pochodzącego od wartości zadanej:

rst

zstst eee


Uchyby statyczne można wyznaczyć na podstawie Uchyby statyczne można wyznaczyć na podstawie twierdzenia o wartości końcowej:twierdzenia o wartości końcowej:

)()(1

)()(lim)(lim)(lim

00 sGsG

sGszsssetee

rsz

sz

t

zst

)()(1

1)(lim)(lim)(lim

00 sGsGsRsssetee

rsr

sr

t

rst

Gdzie R(s) oznacza transformatę Laplace’a Gdzie R(s) oznacza transformatę Laplace’a wartości zadanej.wartości zadanej.


PrzykładPrzykładWyznaczyć uchyby ustalone pochodzące od:Wyznaczyć uchyby ustalone pochodzące od:1. skoku wartości zadanej na wejściu układu regulacji,1. skoku wartości zadanej na wejściu układu regulacji,2. skoku zakłócenia na wejściu obiektu w układzie regulacji 2. skoku zakłócenia na wejściu obiektu w układzie regulacji składającym się z regulatora proporcjonalnego o wzmocnieniu kskładającym się z regulatora proporcjonalnego o wzmocnieniu k rr oraz oraz

obiektu inercyjnego I rzędu. obiektu inercyjnego I rzędu.

1)(;)(

Ts

ksGksG rr

ssRttr

ssZttz

1)()(1)(;

1)()(1)(


r

zst

rs

zst

kk

ke

rsTskk

Tsk

sse

kkTsk

1

01

1

11

1limlim

0

Uchyb ustalony od zakłócenia:Uchyb ustalony od zakłócenia:


r

rst

rsr

s

rst

kke

kkTs

Ts

Tskk

es

s

1

1

1

1

11

1lim

1lim

0

0

Uchyb ustalony od wartości zadanej:Uchyb ustalony od wartości zadanej:

Jakość regulacji – jakość dynamicznaJakość regulacji – jakość dynamiczna

Jakość dynamiczna regulacji może być określana na Jakość dynamiczna regulacji może być określana na podstawie:podstawie:

1. bezpośrednich wskaźników jakości wyznaczanych 1. bezpośrednich wskaźników jakości wyznaczanych na podstawie przebiegu czasowego uchybu regulacji w na podstawie przebiegu czasowego uchybu regulacji w układzie, układzie,

2. parametrów charakterystyki częstotliwościowej 2. parametrów charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego, układu zamkniętego,

3. całkowych wskaźników jakości wyznaczanych na 3. całkowych wskaźników jakości wyznaczanych na podstawie przebiegów czasowych uchybu regulacji.podstawie przebiegów czasowych uchybu regulacji.


Bezpośrednie wskaźniki jakościBezpośrednie wskaźniki jakości

0 2 4 6 8 10 12-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

e(t)

t

em

e2

Tr


Bezpośrednie wskaźniki jakości regulacji:Bezpośrednie wskaźniki jakości regulacji:

1. Czas regulacji T1. Czas regulacji Trr

jest to czas, po jakim uchyb regulacji jest w jest to czas, po jakim uchyb regulacji jest w sposób trwały mniejszy od założonej wartości sposób trwały mniejszy od założonej wartości . Najczęściej przyjmuje się . Najczęściej przyjmuje się =5%. =5%.

2. Odchylenie maksymalne e2. Odchylenie maksymalne emm

3. Przeregulowanie 3. Przeregulowanie ::

%1002 me

e

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 7)

Documents

Transcript of AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 7)