AUTOMATYKAiROBOTYKA(wykad 6)Wykadowca : dr in. Iwona Oprzdkiewicz Nazwa wydziau: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesw AGH

Wymagania stawiane ukadom regulacji Sterowalno systemuObserwowalno systemuStabilno systemu

Sterowalno systemu dynamicznegoDefinicja

System nazywamy sterowalnym, jeeli stosujc ograniczone, przedziaami cige sterowanie mona go przeprowadzi w skoczonym czasie z dowolnego zadanego stanu pocztkowego x0 do zadanego stanu kocowego xk .

Warunek konieczny i dostateczny sterowalnoci 1.

System liniowy stacjonarny jest sterowalny (para macierzy (A,B) jest sterowalna ) wtedy i tylko wtedy gdy rzd macierzy sterowalnoci S jest rwny np-rzd macierzy sterowa B

Sterowalno systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny sterowalnoci 2.

System liniowy stacjonarny o jednym wejciu jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

Sterowalno systemu dynamicznegoPrzykadSprawdzi sterowalno systemu dynamicznego opisanego nastpujco: W powyszym przykadzie:

Sterowalno systemu dynamicznegoCzyli:Rzd macierzy sterowalnoci jest rwny 3 ( wyznacznik 3x3 tej macierzy jest niezerowy),

WNIOSEK:Rozwaany ukad jest sterowalny.

Obserwowalno systemu dynamicznegoDefinicja System dynamiczny jest obserwowalny, jeeli istnieje taka skoczona chwila tk e na podstawie znajomoci sterowania u(t0 , tk] oraz oraz odpowiedzi y(t0 , tk ] w przedziale (t0 , tk ] mona wyznaczy stan pocztkowy x0 w chwili t0 .

Obserwowalno systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny obserwowalnoci 1

System liniowy stacjonarny jest obserwowalny (para macierzy (C,A) jest obserwowalna ) wtedy i tylko wtedy, gdy rzd macierzy obserwowalnoci G jest rwny nr- rzd macierzy C

Obserwowalno systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny obserwowalnoci 2

System liniowy stacjonarny o jednym wyjciu jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

Obserwowalno systemu dynamicznegoPrzykadZbada obserwowalno nastpujcego systemu dynamicznego: Rzd macierzy C rwna si 2,

Obserwowalno systemu dynamicznegoMacierz G z twierdzenia jest rwna:Rzd macierzy G jest rwny 3, ukad jest zatem sterowalny.

Stabilno systemw dynamicznychDefinicja ( Punkt rwnowagi systemu)Punktem rwnowagi systemu nazywamy punkt x = xr dla ktrego: f(xr) = 0. Rozwamy autonomiczny ukad nieliniowy: Uwaga:Ukad nieliniowy moe mie wicej ni 1 punkt rwnowagi.Ukad liniowy ma tylko 1 punkt rwnowagi. Innymi sowy, trajektoria systemu osiga punkt rwnowagi, jeli wszystkie zmienne stanu osigaj warto ustalon.

Stabilno systemw dynamicznychPrzykad:( punkty rwnowagi systemu nieliniowego):Rozwamy nastpujcy, autonomiczny ukad nieliniowy:W punkcie rwnowagi pochodne ze zmiennych stanu si zeruj, co mona zapisa nastpujco: ( * )atwo zauway, e rwnanie (*) jest spenione dla:Czyli ukad ma 2 punkty rwnowagi:P1 (0,0) oraz P2(1,0)

Stabilno systemw dynamicznychOznacza to, e:Ukad dynamiczny uznajemy za stabilny, jeeli jego odpowied na dowolne wymuszenie ograniczone pod wzgldem amplitudy oraz czasu trwania rwnie jest ograniczona. Definicja stabilnoci

Punkt rwnowagi xr nazywamy stabilnym, ( w sensie Lapunova ) jeeli dla kadej liczby dodatniej mona dobra tak liczb (zalen od ) e trajektoria systemu x(t) rozpoczynajca si w punkcie pocztkowym x0 (nie bdcym punktem rwnowagi) lecym wewntrz kuli o promieniu pozostaje wewntrz kuli o promieniu dla dowolnej chwili czasu t >0

Stabilno systemw dynamicznychDefinicja (Stabilno asymptotyczna)Punkt rwnowagi xr nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeeli:Jest stabilny,Speniony jest nastpujcy warunek:

Mwic prociej, rozwizanie jest stabilne asymptotycznie, jeli przy czasie rosncym do nieskoczonoci zmierza do rozwizania ustalonego, czyli wszystkie skadowe przejciowe rozwizania zanikaj do zera.

Stabilno systemw dynamicznychStabilnoci_lokaln nazywamy stabilno dla warunkw pocztkowych lecych w niewielkim otoczeniu punktu rwnowagi.Stabilnoci_globaln nazywamy stabilno dla dowolnych warunkw pocztkowych.UwagaW systemach nieliniowych mona wyrni obszary stabilnoci i obszary niestabilnoci. System liniowy jest stabilny lub niestabilny dla wszystkich warunkw pocztkowych.

Stabilno systemw dynamicznychPrzykady odpowiedzi impulsowych ukadw stabilnych asymptotycznie:

Stabilno systemw dynamicznychPrzykady odpowiedzi skokowych ukadw stabilnych asymptotycznie:

Stabilno systemw dynamicznychPrzykad odpowiedzi skokowej ukadu niestabilnego

Stabilno systemw dynamicznychRozwamy system opisany transmitancj operatorow: Warunek konieczny i dostateczny ( Stabilno )WK i D:System dynamiczny opisany transmitancj operatorow jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji M(s) maj niedodatnie czci rzeczywiste.

Stabilno systemw dynamicznychWKiD ( Stabilno asymptotyczna)System dynamiczny opisany transmitancj operatorow jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji M(s) maj ujemne czci rzeczywiste. UWAGA:O stabilnoci systemu decyduje lokalizacja pierwiastkw mianownika transmitancji obiektu a nie warto tych parametrw.

Kryteria stabilnoci systemw dynamicznych

Kryteria stabilnoci su do lokalizacji pierwiastkw wielomianu charakterystycznego na paszczynie zespolonej bez koniecznoci wyznaczania ich wartoci. Warunek konieczny WK (stabilno)Warunkiem koniecznym stabilnoci systemu dynamicznego opisanego transmitancj operatorow jest, aby wszystkie wspczynniki: a0 , ,an mianownika transmitancji systemu M(s) byy nieujemne ( niedodatnie ).

Stabilno systemw dynamicznychWarunek konieczny WK (stabilno asymptotyczna)

Warunkiem koniecznym stabilnoci asymptotycznej systemu dynamicznego opisanego transmitancj operatorow jest, aby wszystkie wspczynniki: a0 , ,an mianownika transmitancji systemu M(s) byy:1. rne od zera,2. tego samego znaku ( tzn. wszystkie dodatnie lub wszystkie ujemne )UWAGI1.Wspczynniki wielomianu charakterystycznego rwne zero generuj pary pierwiastkw czysto urojonych, ktre s stabilne, ale nie s stabilne asymptotycznie. 2. Wspczynniki o rnych znakach generuj pierwiastki o dodatnich czciach rzeczywistych , ktre s niestabilne.

Stabilno systemw dynamicznychPrzykady: Wielomian charakterystyczny speniajcy WK stabilnoci asymptotycznej :Wielomian charakterystyczny niestabilny ( nie speniajcy WK stabilnoci asymptotycznej): Wielomian charakterystyczny speniajcy WK stabilnoci (ale nie asymptotycznej ) :

Stabilno systemw dynamicznychUWAGI:

Nie spenienie WK oznacza, e ukad jest niestabilny,Spenienie WK dla n = 1, 2 ( system 1 lub 2 rzdu ) oznacza, e system jest stabilny, czyli dla ukadw 1 i 2 rzdu Warunek Konieczny jest Warunkiem Koniecznym i Dostatecznym stabilnoci. Spenienie WK dla systemu 3 rzdu lub wyszego nie daje informacji o stabilnoci, naley zastosowa dodatkowo kryterium stabilnoci.

Kryteria stabilnoci systemw liniowychZe wzgldu na sposb postpowania podczas badania stabilnoci, kryteria stabilnoci systemw liniowych dzielimy na dwie zasadnicze grupy:kryteria algebraiczne przy ich pomocy badamy lokalizacj pierwiastkw wielomianu charakterystycznego na podstawie znajomoci jego wspczynnikw. Nale do nich kryteria Hurwitza i Routha. kryteria czstotliwociowe ich znaczenie polega na tym, e pozwalaj one na badanie stabilnoci na podstawie dowiadczalnie zdjtych charakterystyk czstotliwociowych. Pozwalaj one na podstawie znajomoci przebiegu charakterystyki czstotliwociowej dla ukadu otwartego wnioskowa o stabilnoci ukadu zamknitego. Najbardziej znane jest kryterium Nyquista.

Kryterium HurwitzaRozwamy wielomian charakterystyczny M(s):Zakadamy, e jest speniony WK stabilnoci.Dla wielomianu budujemy macierz Hurwitza o nastpujcej postaci:

Kryterium HurwitzaMinory gwne macierzy H maj posta:

Kryterium HurwitzaTwierdzenie ( Kryterium Hurwitza )Zaoenia:Rozwaamy wielomian charakterystyczny M(s)Zakadamy e jest speniony WK stabilnoci asymptotycznej. (wszystkie wspczynniki ai i =0 ... N tego wielomianu s rne od zera i s tego samego znaku,)

Wielomian M(s) ma wszystkie pierwiastki w lewej ppaszczynie zespolonej wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory gwne H1 Hn macierzy Hurwitza H sa dodatnie.

Kryterium Hurwitza przykad 1macierz Hurwitza H:Minory gwne:Ukad NIESTABILNYRozwamy nastpujcy wielomian charakterystyczny:

Kryterium Hurwitza przykad 2macierz Hurwitza H:Rozwamy nastpujcy wielomian charakterystyczny:

Kryterium Hurwitza przykad 2Minory gwne:

Kryterium Hurwitza przykad 2UWAGA:Nie ma potrzeby badania wyznacznika H , gdy jest on zawsze dodatni jeli H4 jest dodatni. Ukad jest STABILNY

Kryterium RouthaRozwamy wielomian charakterystyczny M(s):Zakadamy, e jest speniony WK stabilnoci.Dla systemu budujemy tablic Routha o nastpujcej postaci :

Kryterium RouthaGdzie:

Kryterium RouthaTwierdzenie ( Kryterium Routha )Zaoenia:Rozwaamy wielomian charakterystyczny M(s)Zakadamy e jest speniony WK stabilnoci asymptotycznej.Liczba pierwiastkw wielomianu M(s) leca w prawej ppaszczynie zespolonej rwna jest liczbie zmian znaku wspczynnikw pierwszej kolumny tablicy Routha.

Kryterium RouthaUWAGIWKiD stabilnoci ukadu wymaga, aby wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego leay w lewej ppaszczynie, czyli liczba zmian znaku wyrazw pierwszej kolumny tablicy dla ukadu stabilnego powinna by rwna zero.Tablica ma n+1 wierszy.

Kryterium RouthaInterpretacja zmian znaku wyrazw w pierwszej kolumnie:2 zmiany znaku:1 zmiana znaku:

Kryterium Routha - przykadRozwamy nastpujcy wielomian charakterystyczny: Tablica Routha ( 6 wierszy ):

Kryterium Routha - przykadGdzie:

Kryterium Routha - przykad

Kryterium Routha - przykadOstatecznie tablica Routha ma posta nastpujc:

Kryterium Routha - przykadWniosek:

W pierwszej kolumnie tablicy Routha wystpuj 3 zmiany znaku, co pozwala na sformuowanie wniosku, e wielomian jest niestabilny i ma 3 pierwiastki w prawej ppaszczynie zespolonej.