Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki · Wydział Elektrotechniki i...

Podstawowe sposoby opisu niepewności,wybrane zagadnienia zastosowania estymacji rekursywnej dla potrzeb monitorowania i diagnostyki w systemach sterowania

Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach SterowaniaMonitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania((MiDwSSMiDwSS))

MiDwSS 2013

Politechnika Gdańska

Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Kierunek: Automatyka i Robotyka

Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji

Studia stacjonarne II stopnia: rok I, semestr II

Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski

Plan prezentacjiPlan prezentacji

• Podstawowe sposoby opisu niepewności

• Liniowe i rekursywne postaci obserwatorów Luenbergera Filtr RLS (ang. Recursive Least Squares) Filtr WRLS (ang. Weighted Recursive Least Squares) Filtr Kalmana (ang. Kalman Filter, KF )

• Nieliniowe i rekursywne postaci obserwatorów

MiDwSS 2013 2

• Nieliniowe i rekursywne postaci obserwatorów Filtr RLS i WRLS Rozszerzony Filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter,

EKF)

• Sformułowanie zadań estymacji punktowej (RLS, WRLS) oraz przedziałowej (ang. set bounded) zmiennych i parametrów obiektów dynamicznych (liniowych/nieliniowych) na ruchomym oknie pomiarowym – zadania optymalizacji

Schemat ideowy układu diagnostykiSchemat ideowy układu diagnostyki

• PRZYKŁADOWE ESTYMATORY

MiDwSS 2013 3

• PRZYKŁADOWE ESTYMATORY

Schemat ideowy układu diagnostykiSchemat ideowy układu diagnostyki

• Estymacja parametrów

Filtr RLS

Filtr WRLS

Rozszerzony Filtr Kalmana

estymatory oparte o metody optymalizacji (rozwiązanie odpowiednich zadań optymalizacji prowadzących do estymatpunktowych lub przedziałowych)

…

MiDwSS 2013 4

…

• Estymacja wyjść/stanu:

Obserwator Laundbergera

Filtr Kalmana, Rozszerzony Filtr Kalmana

estymatory oparte o metody optymalizacji (rozwiązanie odpowiednich zadań optymalizacji prowadzących do estymatpunktowych lub przedziałowych)

…

OB

X Y

Θ

Θ

Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrówestymacja parametrów

MiDwSS 2013

Θ

5

OB - Obiekt

X - sygnał wejściowy

Y - sygnał wyjściowy

- parametry obiektuΘ

- estymata parametrów obiektuΘ

OB

OB

Y)

YX

Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja wyjść/stanuestymacja wyjść/stanu

MiDwSS 2013 6

OB - Obiekt



- estymata sygnału wyjściowego z obiektuY)

YYe)

−= - residuum

OB

X Y

Θ

,Θ

Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrów i/lub wyjścia/stanuestymacja parametrów i/lub wyjścia/stanu

,Y)

Y

MiDwSS 2013

Θ

7

OB - Obiekt






,Y

Estymacja, Estymacja, ObserwatoryObserwatory, Filtry, Filtry

• Estymacja to proces podejmowania decyzji lub wydawania sądu, co do przybliżonej wartości pewnych parametrów czy zmiennych charakteryzujących dany obiekt, na podstawie dostępnej informacji o obiekcie, łącznie z danymi o procesach w nim zachodzących, uporządkowane w danym zbiorze obserwacji.

MiDwSS 2013 8

• Idea obserwatora stanu polega na wykorzystaniu sygnałów wejściowych i wyjściowych systemu dynamicznego do estymacji (śledzenia zmienności) zmiennych stanu.

• Idea filtracji polega na takim przekształceniu sygnału „wejściowego”, przez filtr o odpowiedniej strukturze, aby wynik filtracji jak najmniej różnił się od sygnału „odniesienia” przy założonym kryterium błędu.

• PODSTAWOWE MODELE NIEPEWNOŚCI

MiDwSS 2013 9

• PODSTAWOWE MODELE NIEPEWNOŚCI

Modele niepewnościModele niepewności

• W praktyce każdy zbiór rzeczywistych obserwacji zawiera informacje obarczone błędami, co związane jest to głównie z niepewnością, niedeterministycznym charakterem obiektu.

• Uwzględniając fakt, iż nie zawsze dysponujemy „pełną” informacją pomiarową (chociażby ze względów finansowych)

MiDwSS 2013 10

problem estymacji można zdefiniować jako szacowanie wielkości niemierzonych (nieznanych) parametrów i zmiennych charakteryzujących obiekt na podstawie dostępnych obserwacji (pomiarów) innych parametrów i zmiennych badanego obiektu oraz na bazie modelu matematycznego obiektu opisującego relacje pomiędzy charakteryzującymi go zmiennymi i parametrami.


• Wykorzystanie modeli matematycznych jak i danych pomiarowych, w celu estymacji nieznanych parametrów i zmiennych charakteryzujących obiekt, jednoznacznie wiąże się z niepewnością.

• Źródła niepewności wynikają przede wszystkim z:

MiDwSS 2013 11

błędów struktury modelu matematycznego, niepewnych parametrów modelu matematycznego, błędów pomiarowych obserwowanych wielkości, błędów metod numerycznych i symulacji (dokładność

obliczeń, błędy zaokrągleń itp.), wiedzy a priori oraz heurystyk wykorzystanych przy budowie

modelu systemu (niepewność w tym przypadku jest bardzo trudna do oszacowania).


• Trudno jest wskazać uniwersalną metodę opisu niepewności.

• Przy wyborze jej odpowiedniej reprezentacji należy wziąć pod uwagę między innymi następujące aspekty związane z jej opisem: przyczyny niepewności,

MiDwSS 2013 12

przyczyny niepewności, ilość jak i jakość dostępnej informacji, typ dostępnej informacji, metody przetwarzania dostępnych informacji, itp.


• Wyróżnia się wiele sposobów opisu niepewności, z których najczęściej wykorzystuje się następujące modele:

probabilistyczny model niepewności,

rozmyty model niepewności,

MiDwSS 2013 13

rozmyty model niepewności,

model niepewności wyrażony w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded).


• Probabilistyczny model niepewności:

nieznane wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych losowych wylosowanych ze ściśle określonych zbiorów, niepewność opisana jest przez rozkład prawdopodobieństwa; trajektorie tych wielkości są reprezentowane przez procesy stochastyczne.

MiDwSS 2013 14


• Probabilistyczny model niepewności

Zmienna losowa:

nxxxX ,,,

21K∈

MiDwSS 2013 15

Prawdopodobieństwo że zmienna losowa X przyjmie wartość ze zbioru [a, b]:

[ ]( )baXP ,∈



Średnia

∑=

=

n

i

ix

n

x

1

1

MiDwSS 2013 16

Wartość oczekiwana (najbardziej prawdopodobna w sensie statystycznym)

( ) ∑=

∞→

=

n

i

in

xn

XE

1

1lim

( )x

mmXXE ==== µ

inne oznaczenia



Wariancja

( )( )[ ] ( )[ ] ( )∑=

∞→

−=−=−=

n

i

in

mxn

mXEXEXE

1

222 1limυ

MiDwSS 2013 17

Odchylenie standardowe

υσ =

wartość rozrzutu realizacji wokół wartości średniej

wartość koncentracji realizacji xiw przedziale [m-σ, m+σ]

( )( )[ ] ( ) ( )222

XEXEXEXE −=−=υ



Dystrybuanta zmiennej losowej X:

( )( )

( )xXPn

xnxF ≤== lim

Przykład: rozkład Gaussa

MiDwSS 2013 18

( ) ( )xXPn

xFn

≤==∞→

lim

Wyraża prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą lub równą x

F(x

)



Gęstość prawdopodobieństwa

( )( )

dx

xdFxf = Przykład: rozkład Gaussa

MiDwSS 2013 19

dx

f(x

) ( )

2

2

1

2

1

−−

=σ

πσ

mx

exf

( )2,~ σmNX



Rozkład Gaussa – podstawowe właściwości

Jeżeli a to

2)(1

1

+−

−bamy

( )2,~ σmNX baXY += ( )22,~ σabamNY +

MiDwSS 2013 20

Jeżeli i są niezależne, oraz ito

( ))(

2

1

2

1

+−−

=σ

πσ

a

bamy

ea

yf

( )2111

,~ σmNX1

X2

X ( )2222

,~ σmNX

( )( )

( )

( )22

2

1

2

21)(

2

1

2

2

2

1

21

2

1σσ

σσπ

+

+−

−

+

=+

mmx

exxf



Kowariancja

( ) ( ) ( ) nnyxyxyx ,,,,,,

2211K

MiDwSS 2013 21

( ) ( )yYxXPyxF ≤≤= i ,

( ) ∑=

∞→

==

n

i

in

xx

nXEm

1

1lim ( ) ∑

=

∞→

==

n

i

in

yy

nYEm

1

1lim

( )[ ] ( )∑=

∞→

−=−=

n

i

xin

xxmx

nmXE

1

22 1limυ ( )[ ] ( )∑

=

∞→

−=−=

n

i

yin

yy mxn

mXE

1

22 1limυ



Kowariancja (cd.)

( )( )[ ] ( )( )∑∞→

−−=−−=

n

yixin

yxxymymx

nmYmXEc

1lim

MiDwSS 2013 22

( )( )[ ] ( )( )∑=

∞→i

yixin

yxxyn 1

yx

xy

xy

c

σσρ =

-gdy zmienne niezależne to: ρxy=0- gdy zmienne zależne to: -1 ≤ ρxy ≤ 1



Macierz wariacyjno-kowarjacyjna dla n zmiennych losowych

xxxxx

ccυ L

MiDwSS 2013 23

=

nnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xx

cc

cc

cc

C

υ

υ

υ

L

MMM

L

L

21

2212

1211



Autokorelacja

( ) ( ) ( )[ ]2121

,, tXtXEttR =

MiDwSS 2013 24

Jeżeli proces jest stacjonarny to:21tt −=τ

( ) ( ) ( )[ ]ττ −= tXtXER ,



Biały szum

( )τR

MiDwSS 2013 25

ττ−


• Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded):

niepewne wielkości reprezentowane są w postaci ograniczeń dolnych i górnych, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości, trajektorie ograniczeń są modelowane przez ograniczone zbiory w przestrzeni trajektorii.

MiDwSS 2013 26

t

y

ym(t)

ym(t)-εm(t)

ym(t)-εm(t)

+

-

)()()( ttytymm

ε+=

)()()( tttmmm

+−

≤≤ εεε

znane a priori

Pomiar:


• Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded):

niepewne wielkości reprezentowane są w postaci ograniczeń dolnych i górnych, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości, trajektorie ograniczeń są modelowane przez ograniczone zbiory w przestrzeni trajektorii.

MiDwSS 2013 27

Estymaty zmiennej stanu x(t):

t

x xmax(t)

xmin(t)

x(t)

x(t) ^

2

ˆˆmaxminarg:ˆ zxx

zx

−

∈∈ XX

)](),([)(ˆ maxmintxtxt =X

centrum Czybyszewa


• Rozmyty model niepewności:

bazuje na teorii zbiorów rozmytych, niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych rozmytych, zdefiniowanych bezpośrednio przez funkcję przynależności.

( )eµ

Zbiór rozmyty błędu prędkości eV

MiDwSS 2013 28

( )Veµ

s

m

eV

1

20− 0 20

„bliski zera” „dodatni duży”„ujemny duży”

• ESTYMACJA PARAMETRÓW

MiDwSS 2013 29

• ESTYMACJA PARAMETRÓW

OB

X Y

Θ

Θ

Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrówestymacja parametrów

MiDwSS 2013

Θ

30

OB - Obiekt





Schemat ideowy układu estymacjiSchemat ideowy układu estymacji

UrządzeniaUrządzenia

Stan

Sterowanie

Pomiary wyjść

Estymaty

Źródła błędówsystemu

System/

Obiekt

System/

Obiekt

MiDwSS 2013 31

pomiarowepomiarowe

Estymator

Źródła błędów pomiarowych

Estymaty stanu/

parametrów

Pomiary wejśćUrządzenia

pomiarowe

Urządzenia

pomiarowe

Źródła błędów pomiarowych

Podstawowy model pomiarowyPodstawowy model pomiarowy

• Model pomiarowy

eyy~~

+=

wartość prawdziwawartość mierzona

błąd pomiaru

eyy)

+= ˆ~

yye −=~~

yye ˆ~−=

)

MiDwSS 2013 32

eyy)

+= ˆ~

błąd resztkowy (residuum)

wartość mierzona wartość estymowana

e~

- wartość praktycznie nigdy nieznana; mechanizm generujący ten błądzwykle jest aproksymowany przez pewien znany proces(np. szum gaussowski o zerowej wartości średniej i znanej wariancji σ2

lub zbiór ograniczony o granicach znanych a priori )

e

)

- wartość znana w momencie wyznaczenia wartości estymowanej zmiennej

yye ˆ~−=

)

• ESTYMACJA PARAMETRÓW – LRS, WRLS

MiDwSS 2013 33

• ESTYMACJA PARAMETRÓW – LRS, WRLS

Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))

• Idea RLS

Zakładamy, że pewien obiekt (proces) generuje wektor xskładający się z N zmiennych x(1), x(2),…, x(N)

Zakładamy niezmienność procesu Nie możemy ich zmierzyć bezpośrednio ale dysponujemy

aparaturą pomiarową, która umożliwia pomiar M-

MiDwSS 2013 34

aparaturą pomiarową, która umożliwia pomiar M-elementowego wektora z: z(1), z(2),…, z(M), M>N:

gdzie H to macierz układu pomiarowego o wymiarach MxN

v to addytywny szum pomiarowy

Estymatę x oznaczamy jako a odpowiadający jej błąd

vHxz +=

vxHz ˆˆ +=

x v


• Idea RLS (cd.)

Estymata będzie tym lepsza im mniejszy będzie błąd sumy kwadratów związany z

∑=

==

M

i

i

TvvvJ

1

2ˆˆ

x

v

MiDwSS 2013 35

podstawiając:

J osiąga minimum gdy:

=i 1

( ) 0ˆˆ

=−−=∂

∂xHzH

x

J T

( ) ( )xHzxHzJT

ˆˆ −−=


• Idea RLS (cd.)

Po kolejnych przekształceniach

zHxHHTT

=ˆ

( ) zHHHxTT

1

ˆ−

=

MiDwSS 2013 36

( ) zHHHxTT

ˆ =

Czy jest to rozwiązanie efektywne ?


• Przykład rekurencji

Rekurencyjne wyznaczanie średniej: ∑=

=

n

i

inx

n

x

1

1

=

−

+=+= ∑∑−− 11

11111nn

x

n

xxxx

MiDwSS 2013 37

=

−

+=+= ∑∑== 11 1 i

in

i

innx

nn

x

n

x

n

x

n

x

( )111

111

−−−

−+=−

+=nnnnnxx

n

xx

n

n

x

n


• Standard rekursywnej, adaptacyjnej estymaty parametrów

nowa estymata = jej prognoza + korekta

korekta = wzmocnienie * (pomiar-prognoza pomiaru)

MiDwSS 2013 38

korekta = wzmocnienie * (pomiar-prognoza pomiaru)


• Wyprowadzenie RLS

Wykorzystując poprzednie wyprowadzenie dla metody najmniejszych kwadratów:

i wprowadzając oznaczenie bieżącego pomiaru k:

( ) zHHHxTT

1

ˆ−

=

MiDwSS 2013 39

i wprowadzając oznaczenie bieżącego pomiaru k:

Otrzymuje się ostatecznie rekursywną postać filtru RLS:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kzkHkHkHkxTT

1

ˆ−

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=+−++=+ kxkhkzkKkxkxT

ˆ11ˆ1ˆ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1ˆ1ˆ +−++= kzkzkKkx


• Wyprowadzenie RLS (cd.)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1ˆ1ˆ1ˆ +−++=+ kzkzkKkxkx

nowaestymata

jejprognoza

błąd pomiędzy pomiarem a jego prognozą

MiDwSS 2013 40

korekta

( ) ( ) ( )kxkhkzT

ˆ11ˆ +=+

nowy, znanywektor

staraestymata

Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS i WRLSfiltr RLS i WRLS

• Algorytm estymacji (dla RLS λ=1, dla WRLS λ<1)1. Inicjalizacja: estymata N-elementowego wektora x na podstawie N

pierwszych pomiarów

( )1,,...,,21

λλλ−−

=NNdiagW

( ) ( ) ( )( ) 1−

⋅⋅= NHWNHNPT

( ) ( ) ( ) ( )NzWNHNPNxT

⋅⋅⋅=ˆ

Nk =

MiDwSS 2013 41

2. Nowy pomiar z(k+1), nowe h(k+1) i nowy szum v(k+1):

3. Modyfikacja wzmocnienia:

Nk =

( ) ( ) ( ) ( )11ˆ11ˆ +++⋅+=+ kvkxkhkzT

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

111−

+⋅⋅++=+ khkPkhkcT

λ

( ) ( ) ( ) ( )111 +⋅+⋅=+ kckhkPkK


4. Predykcja parametru – korekta estymaty wielkości szukanej:

5. Modyfikacja macierzy P:

6. Następna iteracja:

( ) ( ) ( )( ) ( )NPkhkKkPT

⋅+⋅+−Ι=+ 111

1λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kxkhkzkKkxkxT )

⋅+−+⋅++=+ 111ˆ1ˆ

MiDwSS 2013 42

6. Następna iteracja:

Skok do kroku 2

1+= kk

Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr WRLS filtr WRLS (ang. (ang. WeightedWeighted RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))

• Idea WRLS

Estymata będzie tym lepsza im mniejszy będzie błąd sumy kwadratów związany z , przy uwzględnieniu diagonalnej macierzy wag W:

∑==

M

ii

TvwvWvJ2

ˆˆ

x

v

MiDwSS 2013 43

podstawiając:

przy czym:

∑=i

ii

1

( ) WzHWHHxTT

1

ˆ−

=

[ ] 0=vE [ ] RvvET=

1−= RW

Przykłady estymacji parametrów Przykłady estymacji parametrów –– filtry RLS, WRLSfiltry RLS, WRLS

• Przykładowe zadanie:

Estymacja parametrów modelu matematycznego opisanego równaniem:

( ) ( )∑=

+−=

1

0

)()(n

kvkhknxky

MiDwSS 2013 44

metodami RLS i WRLS, na podstawie znajmości sygnału wejściowego x(n) i wyjściowego y(n) zaszumionego szumem v(n)

Przy czym jego parametry to x=[-0.987; 2,345]

Zaczerpnięty z [1]


MiDwSS 2013 45


Parametry stałe x=[-0.987; 2,345]

2

4

6

8

10

POMIAR

MiDwSS 2013 46

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-10

-8

-6

-4

-2

0

k

z(k)


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1

-0.95

-0.9

-0.85

-0.8

-0.75

-0.7

-0.65

-0.6

ESTYMATA h1

h1e(k)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20002.3

2.35

2.4

2.45

2.5

2.55

2.6

2.65

2.7

2.75

2.8

ESTYMATA h2

h2e(k)

RLS

MiDwSS 2013 47

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20002.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

ESTYMATA h2

k

h2e(k)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

k

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

k

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1.15

-1.1

-1.05

-1

-0.95

-0.9

-0.85

-0.8

-0.75

-0.7

ESTYMATA h1

k

h1e(k)

WRLS


2

4

6

8

10

POMIAR

Parametry zmienne x=[±0.987; ±2,345]

MiDwSS 2013 48

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-10

-8

-6

-4

-2

0

k

z(k)


RLS

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ESTYMATA h1

k

h1e(k)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-3

-2

-1

0

1

2

3

ESTYMATA h2

k

h2e(k)

MiDwSS 2013 49

WRLS

k k

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-3

-2

-1

0

1

2

3

ESTYMATA h2

k

h2e(k)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ESTYMATA h1

k

h1e(k)

Nieliniowe filtry RLS, WRLSNieliniowe filtry RLS, WRLS

Bardziej szczegółowe informacje na temat liniowych i nieliniowych filtrów RLS i WRLS można znaleźć

MiDwSS 2013 50

nieliniowych filtrów RLS i WRLS można znaleźć między innymi w materiałach wykładowych z

przedmiotu: „Modelowanie i Identyfikacja”

(wykłady 3, 4 i 5, sem. I studiów stacjonarnych I stopnia)

• ESTYMACJA WYJŚĆ/STANU – Obserwator Luenbergera

MiDwSS 2013 51

• ESTYMACJA WYJŚĆ/STANU – Obserwator LuenbergeraKalmana, Rozszerzony Filtr Kalamna

OB

OB

Y)

YU

Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja wyjść/stanuestymacja wyjść/stanu

MiDwSS 2013 52

OB - Obiekt

U - sygnał wejściowy



YYe)

−=

Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu

• Idea obserwatora Luenbergera

wymaga znajomości wszystkich zmiennych stanu, wymagane są „idealne” czujniki pomiarowe o

nieograniczonym paśmie znane wszystkie parametry systemu (opis w przestrzeni

stanu, macierze A, B, C, D)

MiDwSS 2013 53

stanu, macierze A, B, C, D)

• Obserwator Luenbergera rzędu zredukowanego

Więcej szczegółowych informacji o obserwatorach pełnym i zredukowanym Luenbergera można znaleźć między innymi w materiałach wykładowych z przedmiotu: „Teoria Sterowania”

(sem. I studiów stacjonarnych I stopnia)



A, B C

A, B

u(t) x(t) y(t)

( )tx)

Realny system dynamiczny

MiDwSS 2013 54

A, B

Numeryczna kopia systemu

( ) ( ) ( )kBukAxkx +=+1 ( ) ( ) ( )kBukxAkx +=+ ˆ1ˆ

Realny system dynamiczny Numeryczna kopia systemu

Błąd odtworzenia stanu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kxAkBukxAkBukAxkxkxkx~

ˆˆ~

=−−+=−=

( ) ( ) ( )0ˆ00~

xxx −=



A, B C

A, [B L]

u(t) x(t) y(t)

( )tx)

Realny system dynamiczny

C( )ty

MiDwSS 2013 55

A, [B L]

Numeryczna kopia systemu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kxkyLkBukxAkx ˆˆ1ˆ −++=+

Korekta estymaty:

C

Błąd odtworzenia stanu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kxLCAkxkyLkBukxAkBukAxkxkxkx ~ˆˆˆ

~−=−−−−+=−=

( ) ( ) ( ) ( )0ˆ00~

xxLCAx −−=


• Przykład zastosowania obserwatora Luenbergera

MiDwSS 2013 56



40

50

60

70

prawdziwy stan

obserwator L1

obserwator L2

obserwator L3

MiDwSS 2013 57

0 10 20 30 40 50 60 70 80-10

0

10

20

30

40

k

x(k)



10

20

30

40

odchylenie standardowe

MiDwSS 2013 58

0 10 20 30 40 50 60 70 80-50

-40

-30

-20

-10

0

k

x(k)

odchylenie standardoweszumu pomiarowego0.05, 0.25, 0.5


• Idea Filtru Kalmana (estymacja minimalno-średniokwadratowa,

MMS, Minimum Mean Square)

• Filtr Kalmana stosuje się do estymacji wartości obserwowanych zmiennych, minimalizując błędu estymacji stanu w sensie statystycznym.

• Filtr Kalmana uwzględnia informacje o procesie z dwóch źródeł:

xxx ˆ~

−=

MiDwSS 2013 59

• Filtr Kalmana uwzględnia informacje o procesie z dwóch źródeł: urządzenia pomiarowe (wiedza a posteriori), model systemu (wiedza a priori).

• Filtr Kalmana działa zgodnie ze schematem predyktor-korektor

Rudolph. E. Kalman, "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems", Trasactions of the ASME: Journal of Basic Engineering,

vol 82, Series D, pp. 35-45, 1960.


• Idea Filtru Kalmana (zagubieni na morzu)

0.12

0.14

0.16

Określenie pozycji na podstawiepomiaru z1 wykonanego w chwili czasu t1:

• średnia: z1

1z

MiDwSS 2013 60Zaczerpnięto z [3]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

• średnia: z1

• odchylenie standardowe: σz1

• najlepsza estymata położenia: (t1) = z1

• wariancja błędu estymaty: σ2y (t1) = σ2

z1

• z1 może być predykcją pozycji dla kolejnej chwili czasu t2

x

x

1zσ



Ponowne, po krótkiej chwili określeniepozycji x2 na podstawie pomiaru (pomiar dokładniejszy niż poprzednim razem) z2 w chwili czasu t2 ≈ t1:

0.12

0.14

0.161z

2z

MiDwSS 2013 61

razem) z2 w chwili czasu t2 ≈ t1:

• średnia - z2

• odchylenie standardowe - σz2

• konieczna korekcja estymaty położeniadokonanej sekstansem, wyznaczenie - (t2)

• Jak dokonać fuzji informacji z dwóch pomiarów o różnej dokładności?• Założyliśmy rozkład Gaussa

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

x

Zaczerpnięto z [3]

2zσ



Zatem najlepszą estymatą położenia w chwili czasu t2

będzie: (t2) = µx

Z właściwości rozkładu normalnego:

MiDwSS 2013 62

;

Zaczerpnięto z [3]

11)(ˆ ztx =

0.12

0.14

0.16



Skorygowana pozycja w chwili czasu t2 :

• optymalna estymata położenia: (t2) = µ

• wariancja błędu estymaty : σ2x (t2)

1z

2z

µ

x

MiDwSS 2013

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

63

• wariancja błędu estymaty : σ x (t2) (poprzedni slajd)

Zaczerpnięto z [3]


• Idea Filtru Kalmana

Działanie zgodnie ze schematem Predykcja-Korekcja

Optymalna estymata = jej prognoza + korekta

MiDwSS 2013 64

Optymalna estymata = jej prognoza + korekta

korekta = wzmocnienie Kalmana * (pomiar - prognoza pomiaru)

Wariancja estymaty = Wariancja prognozy*(1 - wzmocnienie Kalmana)


• Idea Filtru Kalmana (estymacja minimalno-średniokwadratowa,

MMS, Minimum Mean Square)

• Minimalizuje się funkcję jakości w postaci:

( ) ( )[ ]xxxxEJT

ˆˆ −⋅−=

MiDwSS 2013 65

• Rozważa się model:

proces dynamiczny, niestacjonarny

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++⋅=+

⋅+⋅+⋅=+

111

1

kvkxHkz

kwGkuBkxAkx - model procesu

- model pomiaru

Szczegółowe informacje można znaleźć np. w [2]


• Idea Filtru Kalmana (estymacja MMS)

MiDwSS 2013 66


• Idea Filtru Kalmana (estymacja MMS)

MiDwSS 2013 67


• Idea Filtru Kalman

• Celem filtru Kalmana jest wyznaczenie estymaty a posteriori jako liniowej kombinacji estymaty a priori

i ważonej różnicy pomiędzy aktualnym pomiarem a predykcją pomiaru :

( )1k|1kˆ ++x ( )k|1kˆ +x

( )1k +z

( )k|1kˆ +⋅ xH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k1kxH1k1kKk1kx1k1kx +⋅−+⋅+++=++ z

MiDwSS 2013 69

• Wzmocnienie Kalmana dobiera się tak aby estymacja kowariancji błędu aposteriori była jak najmniejsza

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k1kxH1k1kKk1kx1k1kx +⋅−+⋅+++=++ z

( )1k +K

( )1k|1kP ++

( ) ( ) ( )[ ] 1TT

RHk1kPHHk1kP1kK−

+⋅+⋅⋅⋅+=+



( )( )( ) RHk1kPH

Hk1kP1kK

T

T

+⋅+⋅

⋅+

=+

MiDwSS 2013 70

( )H

11kKlim

0R

=+→

( ) 01kKlim0)1|1k(P

=+→+

Większe zaufanie do pomiaru niżdo predykcji pomiaru

Większe zaufanie do predykcji pomiaru niż pomiaru


• Algorytm Filtru Kalmana

MiDwSS 2013 71


• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana

Odszumianie (filtrowanie) próbkowanych sygnałów zebranych z systemu GPS (10 razy na sekundę) zamontowanego w pojeździe autonomicznym poruszającym się ruchem jednostajnie przyspieszonym (1 m/s2) po prostej drodze. Jakie jest położenie pojazdu?

Pomiar położenia odbywa się z dokładnością 10 m.

Prędkość mierzy się z dokładnością 0.2 m/s.

MiDwSS 2013 72



Jak określić macierze R i Q ?

[ ]TkkER )()( µµ ⋅=

[ ]TkwkwEQ )()( ⋅=

10010)( 22===

sR σ

[ ]

=

⋅

=2

svsEvs

sEQ

MiDwSS 2013 73

[ ]TkwkwEQ )()( ⋅= [ ]

=

⋅

=

2vvs

svsEvs

v

sEQ

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅

=22

2

2

2

2

22

2

)(2

)(

2)(

2)(

TT

T

TTT

Q

vv

vv

σσ

σσ

1.0=T

2.0=vσ



600

800

1000

1200

1400

Pozycja

[m

]

Pozycja pojazdu

prawdziwa

mierzona

estymowana

MiDwSS 2013 74

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200

0

200

400

Czas [s]

Pozycja

[m

]



10

20

30

40

Bla

d P

ozycji [

m]

Blad pomiaru pozycji i Blad estymacji pozycji

pomiaru

estymaty

MiDwSS 2013 75

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-30

-20

-10

0

Czas [s]

Bla

d P

ozycji [

m]



30

40

50

60

Pre

dkosc [

m/s

]

Predkosc pojazdu

prawdziwa

estymowana

MiDwSS 2013 76

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

Czas [s]

Pre

dkosc [

m/s

]



0.1

0.2

0.3

0.4

Bla

d p

redkosci [m

/s]

Blad estymacji predkosci

MiDwSS 2013 77

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.3

-0.2

-0.1

0

Czas [s]

Bla

d p

redkosci [m

/s]



Odszumianie (filtrowanie) próbkowanych sygnałów zebranych z analogowego czwórnika RLC. Napięcie zasilania u

we(t) to napięcie o przebiegu bipolarnym

prostokątnym z przedziału 0-1 V, R=5 kΩ, L=2.5 H i C =0.1 µF. Napięcie na kondensatorze mierzone jest co T=10-4 sekundy.

MiDwSS 2013 78

Odchylenie standardowe szumu pomiarowego i procesu przyjęto na poziomie 0.2.

Zaczerpnięty z [1]



( )

=

11

t2

1

Rdx

xdt

dx

( )dt

du

dt

dxx

c

==1

2t( ) ( )tux

c=t

1

MiDwSS 2013 79

( ) ( ) ( )

+−−= t

1tt

1

21

2u

LCx

L

Rx

LCdt

dx

dt

( )( )

( ) ( )tw

LC

tu

LCtx

tx

L

R

LCdt

dx

dt

dx

⋅

+⋅

+

⋅

−−=

1

1

1

1

1

10

2

1

2

1


• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji stanu

( )

( )( ) ( )twtu

tx

tx

dt

dx

dt

dx

⋅

⋅+⋅

⋅+

⋅

⋅−⋅−=

66

2

1

66

2

1

104

1

104

1

102104

10

( )AT⋅⋅Ι−=

−1

MiDwSS 2013 80

( ) BAeBAT

d⋅⋅Ι−=

−1AT

deA =

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅

+⋅

−−=+ kwkukxkx

13.360

0187.0

13.360

0187.0

8013.013.360

0001.09813.01

( ) [ ] ( ) ( )11011 +⋅++⋅=+ kvkxkz



MiDwSS 2013 81



0 50 100 150 200 250 300-1

0

1

2X1(K) (CZERW) I JEGO POMIAR Z1(K) (NIEB)

k

2X1(K) (CZERW) I JEGO ESTYMATA X1E(K/K)(NIEB)

MiDwSS 2013 82

0 50 100 150 200 250 300-1

0

1

2

k

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2WSPÓŁCZYNNIK WZMOCNIENIA KA1(k)

k



0 50 100 150 200 250 300-2000

0

2000X2(K) (CZERW) I JEGO POMIAR Z2(K) (NIEB)

k

2000X2(K) (CZERW) I JEGO ESTYMATA X2E(K/K)(NIEB)

MiDwSS 2013 83

0 50 100 150 200 250 300-2000

0

2000

k

0 50 100 150 200 250 300-100

-50

0

50WSPÓŁCZYNNIK WZMOCNIENIA KA2(k)

k


• Przykład 3: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji parametrów

• Rozważamy model postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+⋅Θ=

⋅+⋅Θ+⋅Θ=+

1

kvkxHkz

kwGkuBkxAkx

MiDwSS 2013 84

gdzie wektor parametrów jest nieznany.

• Wprowadzając nowy wektor zmiennych stanu:

przy czym

Θ

( )kΘ=Θ

( )( )( )

Θ=

k

kxky


• Przykład 3: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji parametrów

• Otrzymuje się nieliniowy model w przestrzeni stanów:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

+=

+=+

0

,1

kvkyhkz

kwkukyfky

MiDwSS 2013 85

• Rozwiązanie: Rozszerzony Filtr Kalmana (dalsza część wykładu)

przy czym:

( ) ( )( ) ( ) += kvkyhkz

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

,

Θ

⋅Θ+⋅Θ=

k

kuBkxAkukyf

( )( ) ( ) ( ) kxHkyh ⋅Θ=


• Idea Rozszerzonego Filtru Kalmana

• Rozszerzony Filtr Kalmana przeznaczony jest dla obiektów opisanych modelem nieliniowym i/lub nieliniowym równaniem pomiarowym.

• Równania takiego nieliniowego systemu można zapisać jako:

MiDwSS 2013 86

• Rozszerzony Filtr Kalmana jest Filtrem Kalamana linearyzowanym wokół aktualnej średniej i kowariancji – każdej zmiennej stanu.

f(), h() – funkcje nieliniowe Inna notacja niż poprzednio


• Idea Rozszerzonego Filtru Kalmana

• Macierze Jacobiego pochodnych cząstkowych funkcji f() względem x i w:

MiDwSS 2013 87

• Macierze Jacobiego pochodnych cząstkowych funkcji h() względem x i v:

Inna notacja niż poprzednio


• Algorytm Rozszerzonego Filtru Kalmana

MiDwSS 2013 88Inna notacja niż poprzednio


• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana

spadające ciałoNieliniowa dynamika obiektuNieliniowe równanie pomiarowe d

g

MiDwSS 2013 89

radar

x

r1

r2

Zaczerpnięto z [4]



• Model systemu (ciągły)

+

⋅

−=

2

1

2

12

2

1

w

w

x

x

gd

x

x

x

&

&

β1

3

12

1

=

=

=

x

xx

xx

&

MiDwSS 2013 90

• Model pomiaru (ciągły)

3

2

3

2

3

2

0 wxx&

( ) vrxrz +−+=2

21

2

1

β

3

2

20

2

1

x

xed

k

x

⋅

⋅⋅

=

−

ρ

ρ



2

3

4

5

Błą

d e

sty

ma

cji w

yso

ko

ści (ft) 2

3

4

5

Błą

d e

sty

ma

cji p

ręd

ko

ści (ft/s)

Rozszerzony Filtr Kalmana

200

400

600

(l

b/ft2

)

MiDwSS 2013 91

0 5 10 15-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Błą

d e

sty

ma

cji w

yso

ko

ści (ft)

czas (s)

0 5 10 15-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Błą

d e

sty

ma

cji p

ręd

ko

ści (ft/s)

czas (s)

0 5 10 15-600

-400

-200

0

Błą

d e

sty

ma

cji w

sp

. β (l

b/ft

czas (s)



0

2

4

6

8

10x 10

4

ele

vation (

ft)

Pomiar, Prawdziwa pozycja, Estymat

MiDwSS 2013 92

2 4 6 8 10 12 14 16

-2

czas (s)

2 4 6 8 10 12 14 16-4000

-3000

-2000

-1000

0

czas (s)

Pra

wdziw

a p

ozycja

- E

sty

mata



40

60

80

100

120

Błą

d e

sty

ma

cji w

yso

ko

ści (f

t)

40

60

80

100

120

Błą

d e

sty

ma

cji p

ręd

ko

ści (f

t/s)

Filtr Kalmana

4000

5000

6000

(l

b/ft2

)

MiDwSS 2013 93

0 5 10 15-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Błą

d e

sty

ma

cji w

yso

ko

ści (f

t)

czas (s)

0 5 10 15-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Błą

d e

sty

ma

cji p

ręd

ko

ści (f

t/s)

czas (s)

0 5 10 15

0

1000

2000

3000

Błą

d e

sty

ma

cji w

sp

. β (l

b/ft

czas (s)

BibliografiaBibliografia

Materiały wykładowe z przedmiotów (sem. I; studiów I stopnia) : „Modelowanie i Identyfikacja”

„Teoria Sterowania”

[1] Tomasz P.Zieliński, „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – od teorii do zastosowań”. WKŁ, 2007.

MiDwSS 2013

[2] Rudolph. E. Kalman, "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems", Trasactions of the ASME: Journal of Basic Engineering, vol 82, Series D, pp. 35-45, 1960.

[3] Peter S. Maybeck, „Stochastic models, estimation and control“,Academic Press, 1979.

[4] Arthur Gelb, „Applied Optimal Estimation”. The M.I.T Press, 1974.

94

Zakończenie ;)Zakończenie ;)

Koniec części I

MiDwSS 2013

Dziękuję za uwagę !!!

95

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki · Wydział Elektrotechniki i...

Documents

Transcript of Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki · Wydział Elektrotechniki i...