เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์...

12
!"# # ! $" %&!# ’&!() * +, !()# -!$ .# , $ , / 2 / 8 . 9 s m g 0 %112 !"112., % 3 $ 4 %",. %, (&!$ 5 ,! $" , 4 */ 4(%# * 0 5 , ( ! 4.5 $ 4!& "*( #% # / 0 6 7-% 3 ",$ 5 8 %. ,)+, %% "( % %%"5"( 6 $ # 98% *$ ( "! # % +# -# ’"

TAGS:

description

บทความทางคณิตศาสตร์

Transcript of เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์...

Page 1: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� �

��

� ��������� ��������������������������� ������������������� ����������� ���!�"��#�#������� � � ��� �����!�$"����������� ��%�&�!��#'����&����!()�� �������*���+,����������� ��� ���!()���#��-!��$.#����� � ������,�������������$��,����� �/ 2/8.9 smg � 0������������� ����%���112����!�"����112����.,����%�������3��$��������� � 4��%",�.���%���,��������� ��(��&�!�$� ������������ �5,���!�$"�����������,�� 4�� ������*��/� 4����(���%�#'�����������*�0���� �������5,��(������

!�������� 4�.5$�� ��� ����� 4�!��&��"����*(������#������%������ ��� �����#� ��������� �/���������� � ���� ��������0��������������6��� � �7-%��3�",����$��5�8������������������� ��%.������������ �,��)��+,���%�%������������"�(� ��� ������%�%�%"5�"�(����������� �������� ������6���$���� �������� ������#� ��������� ����� ������ ���98�%�����������*��$�� �(��"�!������������#����%���+#��-#�'�"��������������������������

Page 2: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� ��#��$�����8#���-���������� ����������� �������m ����!�$�����$��,�������� g ���� ��(�� ������*��$��u� ��&��������� �� ��������/��� X� 0��( ��5�� �:��

��

�5�� �����"(�����#� ����������� ���������������

� !�� � 4"���#!�$����" �(�����,� .��,��������� ��' ��;��������� �$"����#�� ������� ���� ��

���������� ���%�($�"��������������� �( �� 4��

:][ xx maF �� � � � 0�xa ������,������ ���� �����%����������*�������� x ���� ��(��������� �����8#���-�����������#8 �<���%�($�

� � � � � ����tx

vuu x �� coscos ��,���� ��� � � � �

���� � � � � ��cosu

xt � � � � � � � /:0�

:][ yy maF �� ��� gamamg yy ����� ���/������������"(����������,���%�&�!��#'� Y� ��

�(��' �"��������������� ����"$�����($�������,���� �

:][ 221 tatus yyy �� ���� �� 2

21sin tgtuy ��� � � � � � � ����

����������8#���-���������� ���3�� =� �������%��8#� (9��� !+$<#������������ ��,��������� ������ 4�"�� 4���3��������-��( ��� �� �(������8#���-���������� ������ X ��"�����3������� ���� �5�

u�

v�

X

Y

R

H

Path or Trajectory

Page 3: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

9���1����8�4����%��������� ������ Y ��"�����3���������9���1����.� �($���$��� �( �� 4������ !+$!���������� ��� 4�"�������� �,���,�� �� � �&�"����� /:0� ����,�!�� /=0��%�($"��������������� � 6����"(�����" �8 �<��%��,����&����,���� ����%���(�8#� (� x ���%� y �( �� 4��

2

cos21

cossin �

��

����

��

����

�u

xg

ux

uy �

� 22

2

cos2tan

ugx

xy �� � � � � � ����

�(��' ������5$��������-#��#����%����%8��,�"�����/>0���3��5������"����8���������&���

� ��#����8#���-�"������������� �/>0�� ��5����� �����"����8�������� � ��(�(� khV , ���%���(�1� "� ckhF �, ��(�� ���8������������ �����Y �

�&���(�(��� � � � � kychx ���� 42 � � � � � � ����

���� c ���3��%�%�����(�(�����(�1� "�������������?����8��������������%�-����8���������&������&�( �0����8������ ("�����/>0�!�$�5,!��5����� �����"����8��������( �� 4�

yg

ux

gu

x ���

���

�����

���

��

��� 22222 cos2tancos

2 �

� (8������6$��!�$�5,!��5��&�� �"�"��5�-���

�(��&���222 tancos���

���

gu �� ������ 4�"��$����"������%�($�

22222222222 tancoscos2tancostancos

2 ���

���

����

���

�����

���

����

���

��

gu

yg

ug

ux

gu

x������� �

���

���

������

���

��

gu

yg

ug

ux

2sincos2tancos 2222222 ���� �

� � � ���

���

������

���

��

gu

yg

ug

ux

2sincos2cossin 222222 ���� �� � � /@0�

��� ���� ��"�����/@0�� �"�����/A0��%��*��,������#� ��������� �������������� � �7-%��3�",����$��5�8���������&�� � ��(�(� ��� �

Page 4: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

���

���

��

gu

gu

khV2sin

,cossin

,222 ��� �

��%�%�%�����(�(�����(�1� "��,�� �����

gu

c2cos22 �

� �

�,��� 4�%��3�����"(�!�$��*��,�����*(������#������%���� �� ��� ���������� ��������������"�����8#"5���!�$��*�+ (�(��' ������5$��������-#���,�� 4���

� �������������� ������������������� � �" �����,��� ������5,��������������� X ���%� �����8���������3����"�������( �� 4���%�%������������� �,���,�� �� h2 �

� � � � �g

ug

uR

��� 2sincossin2 22

�� � � � � � ��

/������ �7-��� ��-�#�#�!� ��� cossin22sin � 0�

��������� g

uR

��

2sin2

� ����%�($�,��� 12sinmax �� �R ������� �45�� ��

� ��������������� ���������������� �� �45�� ����������� ������������������������ ������!�����" ����,�� ��

� � � � � �g

uR

2

max � � � � � � � /B0�

� �������������������������������������������8#���-����8#� (� k �����(�(8�������� khV , ���%�($�

� � � � � �����������g

uH

2sin 22 �

� � � � � � � /C0�

!��&����( ��� �� g

uH

2sin 22 �

� � �����%�� 1sin 2max �� �H ������� �90�� ��

�%�($�,�� � � � �g

uH

2

2

max � � � � � � � /D0�

� ������� ������������������������������"#�" ������������ ������������$%&�!'����(��

Page 5: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� ���������� ������!�"�#$������������������&���(�(��"$����� cky �� ��������,��

g

ug

ug

ug

uy

2cossin

22cos

2sin 2

2222222

����� ���� �

���8#���-���������� ���(#��,��#"�%($��������*��$��u �/��,�� ����(������*��$�������������0�!��#'��4���%�%���"5�"�(�������� ��&���-����

]2[ 22 gyuv �� �!���g

uygyu

220

22 ����

��"�����"$��(�����#�6��! g

uy

2

2

� � /:E0�

� �����"�����"��!��������)*����+�����"�����"������ y ����,���,����������"#�" �$�����������������������,����"�����������������,���$������������$���'����!��*���(5�5�� �=���

��5�� �����"(�",����%������#� �������������� ��� ���������� ���(#��,��#"�%�

�� ����!%�&�'��(��)*�+�(��,�-����8#���-����

� g

ug

ug

ug

ug

ug

ucH

22sin

21sin22

cossin22

cos2sin 222

22

2222222

����

���

���������

����

�� �

/������ �7-��� ��-�#�#�!� 1cossin 22 �� �� 0�

u� �

X

Y Directric line : g

uy

2

2

V(h,k)

gu

y2

2

� F(h,k-c)

c

c

u�

Page 6: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� ���������+�,�$��� ��-�"���.�&����,���,���/��,����+,���0���,�$���������"#�$���'����!��*���������"#�" �$�����������������������,����"������������������������������

� .����������)/��(��!�$�����������)����������)/��(��!�$&�0���'��+ ����� c ��(��)*�+�10,�-���������

)/��(��!�$&�0���( ��5�� �>��

�5�� �����"(�����#� ��"������������6�������� �(�� �%�%�����������,�� ����&���(!�$������������"��� �%�%�����������

� � � � � �g

uRI

�2sin2

� ��� � � � � �����

��%�%�%�1� "��g

uc

2cos22 �

� ���!��-%� �����������""���5��#�!�$� ����"5���,�� ��%�%�c ����8�4���

�%�($��� g

ug

ucH II 2

90sin2cos 2222 �� �

����

���������1F���+ ��,���!� �� cos90sin ��� ��

� ���������������*��$�!�����#������������""����,�� �� ���90 ���&�!�$� �%�%����������� �

� � � � g

ug

ug

uRII

��� 2sin2180sin902sin 222

��

��

���

� � /:=0�

���"�����/::0���%�/:=0�8��,��%�%�����������"������������ �,���,�� �����"����($�,���

� ���������� +�������������$��"���'����!��*����,�������������'����!��*������������-�"� c �1���� �����%�� ��-�"2��'����!��*�����"��������������������������"#���,�������� c ����.�&���

u�

X

Y

� F(h,k-c)

c

c

RI=RII

���90

#��������"�

#��������""�

Page 7: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� ������������1�"�+!1�2& ���������� )/��(��!�$3'��(��� yxP , �2�4�� ������"�������

���"��������������� �/>0��(�8#���-�!�$8#� (� yxP , ���3���(��� !()�!��%�����%�($�

2

22

2

22

2tan1

tan2sec

tanu

gxx

ugx

xy�

��

��

���� �

���� � � � � 02

1tan2

tan 2

222 ���

���

�����

���

��

gxyu

gxu

�� ���� � �

6����3�"�����&�� �"��� �&�����3��&������#��=����

� � � � �2

214

22

tan2

2222

���

���

�����

���

��

�gx

yugxu

gxu

� � � �

( �� 4������#�� 4�"���&���(�(���� �

� � � � ���

���

��

���

�����

���

��� 1

2arctan 2

2222

2,1 gxyu

gxu

gxu

� � � � /:>0�

�6��.�� 8<�!��$� 4�*�����- � ������$�@G�� ������������� ��"�������������%��� ��(�( ��� ���$��#�($�����6���&���(���"�����/:>0�� ������ ����2& � 1H ���� 2H ��/5�������������������������)/��(��!�$��������������� ��'��+��(��� �'��

!+��������6"!��������������������������������+-����'��+ � max21 H &���� max4

1 R ���!+����

�����6"!��������������������������'���'��+ � R41 �

� �&���(!�$�� 1� ���%� 2� ���3�����#�������������� 4�"��6���&�!�$"����������� �($����"5�� 1H ���%�

2H �����&�( ����������� 4�"������� �($�%�%�����������,�� ��/�����$�@�0��%�($����" �8 �<��%��,������#���3�� � � � � �9021 ���� �

"&��� ������������ �:�!��������������� �����������

gu

H2sin 1

22

1

�� �

"&��� ������������ �=�!��������������

gu

gu

gu

H2

cos290sin

2sin 1

221

222

22

2

����

���

Page 8: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

���� ���������-#���� 1H ���%� 2H ����� 2121.. HHMA �� �

� � � ������� ���

���

���

gu

gu

MA2

cos2sin

21

.. 122

122 �� �

� � � � ���� ���

���

�����

���

��

gu

gu

221

cossin22

1 2

12

12

2

�� �

� � � � ���� maxmax 41

21

RH �� � �

( �� 4��

�������� � � � �� max21

. HAM � ���������� max41

. RAM � � � � � �����

���8#���-�� ����������-#���� 1H ���%� 2H ����� 21. HHGM �� �

� � � �������� ���

���

����

���

���

gu

gu

GM2

cos2sin

. 122

122 �� �

11

22

11

22

cossin2

cossin2

����g

ug

u����

���

��� �

��������������������������������������������������������$� 1411

2 2sin41

Rg

u����

���

��

� �

� � � � �����$� ���

���

� �����

���

� ��

gu

gu 2

22

2 2180sin41902sin

41 �� ��

� � � � ����� 2412

2 2sin41

Rg

u����

���

���

� �

( �� 4������ � � �

� � � � � � RGM41

. �� � � � � � � � ��%��

�� ��� � �������"���7��&����4����7��2& ���������� )/��(��!�$�0-�(������ �� ������������8�! ��u �

,� ���4��+��2�����"9����/5������ ��0��������6��������3'���/� t �����7���&�'��+-�(����' �3"�����

����+9���ut ��)�����(��9���$�����������%��+������������ ��������'� g �����

Page 9: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

8#���-�"���������������� �/:0���%�/=0���&����,������������ �"&��� ������� �� � i ��5,� ��

� � � � � tux ii �cos� � � � � � � /: 0�

��%� � � tugtygttuy iiii �� sinsin 2212

21 ����� � � � � ��&��

�&�"�����/:H0=����"�����/:B0=���%�($�

iiii utgtyx �� 22222212 sincos ���� �

� � � � � 222212 utgtyx ii ��� � � � � � /:'0�

���"�����/:'0��%��*��,���$3�������� t �����+�,�$���� 4������� i �� ������#,��/�$���������5���ut �

������� �5#��*����$��������� 221,0 gt� ������������������������,������� g � ���5������

�� ��� ������#�&� ������������������"1�����������������8#���-���������� ��������������($�����(������*��$��u ���� ���,��� ������#��� ��(�� � �� 1800 �� � ���%��������� ��#��$������(O �� �%�%� �y h

��� ������ ������#�������)�� ����%��#���� ��(A ����������(B �( ��5�� �A�6���$�����"$��I(��$��/��"$���%�0��"(����������������#� ��������� �6��6���$��%" �. "8( �� �����#� ��������� ( ���,���!��$� 4���"�!���"�����"(��5��,����6���$���

��

���5�� �����"(�6���$������������ �������������������� ������#�� �� 1800 �� � ��

� ����������������#�����������"����� 1� ���%� 2� ��&�!�$��#(����#� ��������� "�������$��

21 �� � ���$��&����,�������#� � " �. "� �6���$������5������(�#���%��(�(��%�������$������ �� ��6��� �!�$��(�)�� �5,�%��,����(� 4�"�� 4��� ���3���(�( ��� �($���

P

Q

R

Page 10: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� 8#���-�� ��(�)�6����#(���"�����#� ������������������ .,���($�����������#�� 1� ���% 2� ��&���(�(�"�����/:>0�������� �&�!�$��(�#� ��%��(�)� ��3���(�( ��� ���� 21 �� � �� �����,����!�$���� "�������� � ���$���,�� �'5�����%�($�

012

2

222

������

���

gxyu

gxu ��

( �� 4����(�#��6����3���(� �5,��6���$�������$"�����%�($�

� � � � � � 2

22

22 ugx

gu

y �� �� � � � � ��*��

"�������*���"(�� �7-%��6���$��6����3��5�8���������&���(�� ��(�(� � ���

���

��

gu2

,02

h ���%��(�1� "�5,� �

h,0 �6���*�����(� ��#��#������(�O �� �����

� :���/�"��!�������"1����������������� ����10���8#���-�� �7-%����������� ����( ��� ��$�CG���,������ ������#�!�$"����������($���#'�������������������,��"����6���$���3��5�8��������( �� 4���5����� ��#(����������6���$�������Y �/(5�5�� �@0��*����5����8��������/���������0�� ���������&���-��#����� ����#� ��������� ����������� 4���J��!�$�,��.5$,�����#(�&���-�,��3�������FK����������� 4�6��� �&������

222

2 ���

���

���

gu

gu

Volume h� �

��5�� �@��"(���#����� ��#(����������6���$�������+�

X

Y Envelope

2: xyAarea ��

} dy

x=f(y)

Page 11: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

� !����$����������� 4�.5$�� ������%��,������� �����%"���!�����&��"�����#����%����������� ��������������� <#���!����������-#�'�"�����8��$����!�$��*������%��+���������%������-#�'�"���� ��FK��!����1I"#�"����%��%��$�!�$.5$�� ����$��������+������%��,���-#�'�"���� �1I"#�"�!�������)�($�����,�8 ����,!�($����'�"�����,�� 4���"&��� �.5$�� ��� � ���,�����,��-#�'�"���� ��%��+���,����!��#+�1I"#�"�������,�+��#+�1I"#�"������,��,+��-#�'�"������� -��6��.5$�� ���#(�,�� �&������,�$����%� � ���,6��6�4�� ��;���1I"#�"�!������ 4��!�������� 4��8��3��&����($�$���,���-#�'�"���� ����"&�� K�8 ����������,���!�$� ��� ����#(� '�%��#� ��,( �,�#+��-#�'�"����6�����&���"5,��"����,����� ���#+���)�� �$������ ��L7; ����-#�'�"�����3�8�4�M����

� ����($��.5$�� ���&�� ��&�����#� ��� ������� �����<#�������������������8������������� �����" KK�-������� � � �7-%��3�"�����+#���8 �<���,�+#��"$��� � � ���� ��� ���� ������ ��� �./�� ��6��!+$� �� ���������� ����,���������!��%�������� ���� �#� ������( �� 4�������"��������-#�'�"���!�$� ����������������8���%����"�����!������$�����-#�'�"����8��&�����$�FK���,��)����� ����"&�� K!�M��%� ��3�� �1I"#�"���#'�������� ��-#�'�"�����%��������3��$���

� ����.5$�� �������,������-�� �1I"#�"�����,�������� ��3����� �(��!�!�����&������.5$�� ����(�������'0(�0"�� '�����"$�������$�,��%��,� ���"�($" �. "� �� ������,�����,�*�#(���.�������,�����(���(���%���3��&�� �!�!�$�������&����� ( ��%� ��-��8��(����

������� ��"�

� �0��'0(�0"�� '�����"$��1����9��!�$!+���'����+ �&��"����+�1�������8N�� �0��'0(�0"�� '�����"$��1����9��!�$1�������8N�

�0��2�����1�30401��������������� �!���"��������#�$%���� 1�5"�6���� 1�����+��7�!�3�� �8����

9�5� �0�

� �G��2/�����)0�5�����1���������$!!��������"&'���� �1�������� 1�#�� ���:����1�;5<0�

� %0��2/�����)0�5�����1��(��������������� #�(���%�����)��*��� #�5"�6���� 1�2�=����:��1�;5<0���

+,-./01/,2+345�6�>?@ABCDBEFG�HIJHKLMHN���>KOPQOR?STBUU?VC�W?XYBG?YBPYOTTHEXTZLAMOJ��

� � ���������� X[\YBPYOTTHP?]T_��H?YBC@?JK@ECXV>VJ@NaT\bAHEOJc?D>deTN��

Page 12: เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

789-:;<73��>?@ABCDBEFG��HIJHKLMHN��20+=39:;<73�f�*�f�f �f&�%�>?@2A=AAHCTKa@_�

B5CDC?E?FGH=4�IC+C�g>>]eh]YK]FBi�=39-4/J�%�j� �� HIkdc?>]?HKXXN��>YHB>CT_��f%��

g>>>YHB>CT_� l?dJXJAMOekH���EhdQMOekH�OCH0��f��f�2:-?KL=?M;N=K��f'� %&*��f�f�

TZA�f��%�f'�f���