100 เรื่à¸à¸‡à¸™à¹ˆà¸²à¸£à¸¹à¹‰à¹€à¸à¸µà¹ˆà¸¢à¸§à¸à¸±à¸ ไดโนเà¸à¸²à¸£à¹Œ
เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์...
description
Transcript of เรขาคณิตของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์...
� �
��
�
� ��������� ��������������������������� ������������������� ����������� ���!�"��#�#������� � � ��� �����!�$"����������� ��%�&�!��#'����&����!()�� �������*���+,����������� ��� ���!()���#��-!��$.#����� � ������,�������������$��,����� �/ 2/8.9 smg � 0������������� ����%���112����!�"����112����.,����%�������3��$��������� � 4��%",�.���%���,��������� ��(��&�!�$� ������������ �5,���!�$"�����������,�� 4�� ������*��/� 4����(���%�#'�����������*�0���� �������5,��(������
!�������� 4�.5$�� ��� ����� 4�!��&��"����*(������#������%������ ��� �����#� ��������� �/���������� � ���� ��������0��������������6��� � �7-%��3�",����$��5�8������������������� ��%.������������ �,��)��+,���%�%������������"�(� ��� ������%�%�%"5�"�(����������� �������� ������6���$���� �������� ������#� ��������� ����� ������ ���98�%�����������*��$�� �(��"�!������������#����%���+#��-#�'�"��������������������������
�
� ��#��$�����8#���-���������� ����������� �������m ����!�$�����$��,�������� g ���� ��(�� ������*��$��u� ��&��������� �� ��������/��� X� 0��( ��5�� �:��
��
�5�� �����"(�����#� ����������� ���������������
� !�� � 4"���#!�$����" �(�����,� .��,��������� ��' ��;��������� �$"����#�� ������� ���� ��
���������� ���%�($�"��������������� �( �� 4��
:][ xx maF �� � � � 0�xa ������,������ ���� �����%����������*�������� x ���� ��(��������� �����8#���-�����������#8 �<���%�($�
� � � � � ����tx
vuu x �� coscos ��,���� ��� � � � �
���� � � � � ��cosu
xt � � � � � � � /:0�
:][ yy maF �� ��� gamamg yy ����� ���/������������"(����������,���%�&�!��#'� Y� ��
�(��' �"��������������� ����"$�����($�������,���� �
:][ 221 tatus yyy �� ���� �� 2
21sin tgtuy ��� � � � � � � ����
�
����������8#���-���������� ���3�� =� �������%��8#� (9��� !+$<#������������ ��,��������� ������ 4�"�� 4���3��������-��( ��� �� �(������8#���-���������� ������ X ��"�����3������� ���� �5�
u�
�
v�
�
X
Y
R
H
Path or Trajectory
9���1����8�4����%��������� ������ Y ��"�����3���������9���1����.� �($���$��� �( �� 4������ !+$!���������� ��� 4�"�������� �,���,�� �� � �&�"����� /:0� ����,�!�� /=0��%�($"��������������� � 6����"(�����" �8 �<��%��,����&����,���� ����%���(�8#� (� x ���%� y �( �� 4��
2
cos21
cossin �
�
��
����
��
����
�u
xg
ux
uy �
�
� 22
2
cos2tan
ugx
xy �� � � � � � ����
�(��' ������5$��������-#��#����%����%8��,�"�����/>0���3��5������"����8���������&���
� ��#����8#���-�"������������� �/>0�� ��5����� �����"����8�������� � ��(�(� khV , ���%���(�1� "� ckhF �, ��(�� ���8������������ �����Y �
�&���(�(��� � � � � kychx ���� 42 � � � � � � ����
���� c ���3��%�%�����(�(�����(�1� "�������������?����8��������������%�-����8���������&������&�( �0����8������ ("�����/>0�!�$�5,!��5����� �����"����8��������( �� 4�
yg
ux
gu
x ���
���
�����
�
���
��
��� 22222 cos2tancos
2 �
� (8������6$��!�$�5,!��5��&�� �"�"��5�-���
�(��&���222 tancos���
���
�
gu �� ������ 4�"��$����"������%�($�
22222222222 tancoscos2tancostancos
2 ���
���
����
�
���
�����
�
���
����
�
���
��
gu
yg
ug
ux
gu
x������� �
���
���
������
�
���
��
gu
yg
ug
ux
2sincos2tancos 2222222 ���� �
� � � ���
���
������
�
���
��
gu
yg
ug
ux
2sincos2cossin 222222 ���� �� � � /@0�
��� ���� ��"�����/@0�� �"�����/A0��%��*��,������#� ��������� �������������� � �7-%��3�",����$��5�8���������&�� � ��(�(� ��� �
���
���
��
gu
gu
khV2sin
,cossin
,222 ��� �
��%�%�%�����(�(�����(�1� "��,�� �����
gu
c2cos22 �
� �
�,��� 4�%��3�����"(�!�$��*��,�����*(������#������%���� �� ��� ���������� ��������������"�����8#"5���!�$��*�+ (�(��' ������5$��������-#���,�� 4���
� �������������� ������������������� � �" �����,��� ������5,��������������� X ���%� �����8���������3����"�������( �� 4���%�%������������� �,���,�� �� h2 �
�
� � � � �g
ug
uR
��� 2sincossin2 22
�� � � � � � ��
/������ �7-��� ��-�#�#�!� ��� cossin22sin � 0�
��������� g
uR
��
2sin2
� ����%�($�,��� 12sinmax �� �R ������� �45�� ��
� ��������������� ���������������� �� �45�� ����������� ������������������������ ������!�����" ����,�� ��
� � � � � �g
uR
2
max � � � � � � � /B0�
�
� �������������������������������������������8#���-����8#� (� k �����(�(8�������� khV , ���%�($�
� � � � � �����������g
uH
2sin 22 �
� � � � � � � /C0�
!��&����( ��� �� g
uH
2sin 22 �
� � �����%�� 1sin 2max �� �H ������� �90�� ��
�%�($�,�� � � � �g
uH
2
2
max � � � � � � � /D0�
� ������� ������������������������������"#�" ������������ ������������$%&�!'����(��
� ���������� ������!�"�#$������������������&���(�(��"$����� cky �� ��������,��
g
ug
ug
ug
uy
2cossin
22cos
2sin 2
2222222
����� ���� �
���8#���-���������� ���(#��,��#"�%($��������*��$��u �/��,�� ����(������*��$�������������0�!��#'��4���%�%���"5�"�(�������� ��&���-����
]2[ 22 gyuv �� �!���g
uygyu
220
22 ����
��"�����"$��(�����#�6��! g
uy
2
2
� � /:E0�
� �����"�����"��!��������)*����+�����"�����"������ y ����,���,����������"#�" �$�����������������������,����"�����������������,���$������������$���'����!��*���(5�5�� �=���
��5�� �����"(�",����%������#� �������������� ��� ���������� ���(#��,��#"�%�
�� ����!%�&�'��(��)*�+�(��,�-����8#���-����
� g
ug
ug
ug
ug
ug
ucH
22sin
21sin22
cossin22
cos2sin 222
22
2222222
����
���
���������
����
�� �
/������ �7-��� ��-�#�#�!� 1cossin 22 �� �� 0�
u� �
X
Y Directric line : g
uy
2
2
�
V(h,k)
gu
y2
2
�
� F(h,k-c)
c
c
u�
� ���������+�,�$��� ��-�"���.�&����,���,���/��,����+,���0���,�$���������"#�$���'����!��*���������"#�" �$�����������������������,����"������������������������������
� .����������)/��(��!�$�����������)����������)/��(��!�$&�0���'��+ ����� c ��(��)*�+�10,�-���������
)/��(��!�$&�0���( ��5�� �>��
�
�5�� �����"(�����#� ��"������������6�������� �(�� �%�%�����������,�� ����&���(!�$������������"��� �%�%�����������
� � � � � �g
uRI
�2sin2
� ��� � � � � �����
��%�%�%�1� "��g
uc
2cos22 �
� ���!��-%� �����������""���5��#�!�$� ����"5���,�� ��%�%�c ����8�4���
�%�($��� g
ug
ucH II 2
90sin2cos 2222 �� �
����
���������1F���+ ��,���!� �� cos90sin ��� ��
� ���������������*��$�!�����#������������""����,�� �� ���90 ���&�!�$� �%�%����������� �
� � � � g
ug
ug
uRII
��� 2sin2180sin902sin 222
��
��
���
� � /:=0�
���"�����/::0���%�/:=0�8��,��%�%�����������"������������ �,���,�� �����"����($�,���
� ���������� +�������������$��"���'����!��*����,�������������'����!��*������������-�"� c �1���� �����%�� ��-�"2��'����!��*�����"��������������������������"#���,�������� c ����.�&���
u�
�
X
Y
� F(h,k-c)
c
c
RI=RII
���90
#��������"�
#��������""�
� ������������1�"�+!1�2& ���������� )/��(��!�$3'��(��� yxP , �2�4�� ������"�������
���"��������������� �/>0��(�8#���-�!�$8#� (� yxP , ���3���(��� !()�!��%�����%�($�
2
22
2
22
2tan1
tan2sec
tanu
gxx
ugx
xy�
��
��
���� �
���� � � � � 02
1tan2
tan 2
222 ���
�
���
�����
�
���
��
gxyu
gxu
�� ���� � �
6����3�"�����&�� �"��� �&�����3��&������#��=����
� � � � �2
214
22
tan2
2222
���
���
�����
�
���
��
�gx
yugxu
gxu
� � � �
( �� 4������#�� 4�"���&���(�(���� �
� � � � ���
���
��
���
�����
���
��� 1
2arctan 2
2222
2,1 gxyu
gxu
gxu
� � � � /:>0�
�6��.�� 8<�!��$� 4�*�����- � ������$�@G�� ������������� ��"�������������%��� ��(�( ��� ���$��#�($�����6���&���(���"�����/:>0�� ������ ����2& � 1H ���� 2H ��/5�������������������������)/��(��!�$��������������� ��'��+��(��� �'��
!+��������6"!��������������������������������+-����'��+ � max21 H &���� max4
1 R ���!+����
�����6"!��������������������������'���'��+ � R41 �
�
� �&���(!�$�� 1� ���%� 2� ���3�����#�������������� 4�"��6���&�!�$"����������� �($����"5�� 1H ���%�
2H �����&�( ����������� 4�"������� �($�%�%�����������,�� ��/�����$�@�0��%�($����" �8 �<��%��,������#���3�� � � � � �9021 ���� �
"&��� ������������ �:�!��������������� �����������
gu
H2sin 1
22
1
�� �
"&��� ������������ �=�!��������������
gu
gu
gu
H2
cos290sin
2sin 1
221
222
22
2
����
���
�
�
���� ���������-#���� 1H ���%� 2H ����� 2121.. HHMA �� �
� � � ������� ���
���
���
gu
gu
MA2
cos2sin
21
.. 122
122 �� �
� � � � ���� ���
���
�����
�
���
��
gu
gu
221
cossin22
1 2
12
12
2
�� �
� � � � ���� maxmax 41
21
RH �� � �
( �� 4��
�������� � � � �� max21
. HAM � ���������� max41
. RAM � � � � � �����
���8#���-�� ����������-#���� 1H ���%� 2H ����� 21. HHGM �� �
� � � �������� ���
���
����
���
���
gu
gu
GM2
cos2sin
. 122
122 �� �
11
22
11
22
cossin2
cossin2
����g
ug
u����
�
���
��� �
��������������������������������������������������������$� 1411
2 2sin41
Rg
u����
�
���
��
� �
� � � � �����$� ���
���
� �����
�
���
� ��
gu
gu 2
22
2 2180sin41902sin
41 �� ��
�
� � � � ����� 2412
2 2sin41
Rg
u����
�
���
���
� �
( �� 4������ � � �
� � � � � � RGM41
. �� � � � � � � � ��%��
�� ��� � �������"���7��&����4����7��2& ���������� )/��(��!�$�0-�(������ �� ������������8�! ��u �
,� ���4��+��2�����"9����/5������ ��0��������6��������3'���/� t �����7���&�'��+-�(����' �3"�����
����+9���ut ��)�����(��9���$�����������%��+������������ ��������'� g �����
8#���-�"���������������� �/:0���%�/=0���&����,������������ �"&��� ������� �� � i ��5,� ��
� � � � � tux ii �cos� � � � � � � /: 0�
��%� � � tugtygttuy iiii �� sinsin 2212
21 ����� � � � � ��&��
�&�"�����/:H0=����"�����/:B0=���%�($�
iiii utgtyx �� 22222212 sincos ���� �
� � � � � 222212 utgtyx ii ��� � � � � � /:'0�
���"�����/:'0��%��*��,���$3�������� t �����+�,�$���� 4������� i �� ������#,��/�$���������5���ut �
������� �5#��*����$��������� 221,0 gt� ������������������������,������� g � ���5������
�� ��� ������#�&� ������������������"1�����������������8#���-���������� ��������������($�����(������*��$��u ���� ���,��� ������#��� ��(�� � �� 1800 �� � ���%��������� ��#��$������(O �� �%�%� �y h
��� ������ ������#�������)�� ����%��#���� ��(A ����������(B �( ��5�� �A�6���$�����"$��I(��$��/��"$���%�0��"(����������������#� ��������� �6��6���$��%" �. "8( �� �����#� ��������� ( ���,���!��$� 4���"�!���"�����"(��5��,����6���$���
��
���5�� �����"(�6���$������������ �������������������� ������#�� �� 1800 �� � ��
� ����������������#�����������"����� 1� ���%� 2� ��&�!�$��#(����#� ��������� "�������$��
21 �� � ���$��&����,�������#� � " �. "� �6���$������5������(�#���%��(�(��%�������$������ �� ��6��� �!�$��(�)�� �5,�%��,����(� 4�"�� 4��� ���3���(�( ��� �($���
P
Q
R
� 8#���-�� ��(�)�6����#(���"�����#� ������������������ .,���($�����������#�� 1� ���% 2� ��&���(�(�"�����/:>0�������� �&�!�$��(�#� ��%��(�)� ��3���(�( ��� ���� 21 �� � �� �����,����!�$���� "�������� � ���$���,�� �'5�����%�($�
012
2
222
������
���
�
gxyu
gxu ��
( �� 4����(�#��6����3���(� �5,��6���$�������$"�����%�($�
� � � � � � 2
22
22 ugx
gu
y �� �� � � � � ��*��
"�������*���"(�� �7-%��6���$��6����3��5�8���������&���(�� ��(�(� � ���
���
��
gu2
,02
h ���%��(�1� "�5,� �
h,0 �6���*�����(� ��#��#������(�O �� �����
� :���/�"��!�������"1����������������� ����10���8#���-�� �7-%����������� ����( ��� ��$�CG���,������ ������#�!�$"����������($���#'�������������������,��"����6���$���3��5�8��������( �� 4���5����� ��#(����������6���$�������Y �/(5�5�� �@0��*����5����8��������/���������0�� ���������&���-��#����� ����#� ��������� ����������� 4���J��!�$�,��.5$,�����#(�&���-�,��3�������FK����������� 4�6��� �&������
222
2 ���
���
���
gu
gu
Volume h� �
�
��5�� �@��"(���#����� ��#(����������6���$�������+�
�
X
Y Envelope
2: xyAarea ��
} dy
x=f(y)
� !����$����������� 4�.5$�� ������%��,������� �����%"���!�����&��"�����#����%����������� ��������������� <#���!����������-#�'�"�����8��$����!�$��*������%��+���������%������-#�'�"���� ��FK��!����1I"#�"����%��%��$�!�$.5$�� ����$��������+������%��,���-#�'�"���� �1I"#�"�!�������)�($�����,�8 ����,!�($����'�"�����,�� 4���"&��� �.5$�� ��� � ���,�����,��-#�'�"���� ��%��+���,����!��#+�1I"#�"�������,�+��#+�1I"#�"������,��,+��-#�'�"������� -��6��.5$�� ���#(�,�� �&������,�$����%� � ���,6��6�4�� ��;���1I"#�"�!������ 4��!�������� 4��8��3��&����($�$���,���-#�'�"���� ����"&�� K�8 ����������,���!�$� ��� ����#(� '�%��#� ��,( �,�#+��-#�'�"����6�����&���"5,��"����,����� ���#+���)�� �$������ ��L7; ����-#�'�"�����3�8�4�M����
� ����($��.5$�� ���&�� ��&�����#� ��� ������� �����<#�������������������8������������� �����" KK�-������� � � �7-%��3�"�����+#���8 �<���,�+#��"$��� � � ���� ��� ���� ������ ��� �./�� ��6��!+$� �� ���������� ����,���������!��%�������� ���� �#� ������( �� 4�������"��������-#�'�"���!�$� ����������������8���%����"�����!������$�����-#�'�"����8��&�����$�FK���,��)����� ����"&�� K!�M��%� ��3�� �1I"#�"���#'�������� ��-#�'�"�����%��������3��$���
� ����.5$�� �������,������-�� �1I"#�"�����,�������� ��3����� �(��!�!�����&������.5$�� ����(�������'0(�0"�� '�����"$�������$�,��%��,� ���"�($" �. "� �� ������,�����,�*�#(���.�������,�����(���(���%���3��&�� �!�!�$�������&����� ( ��%� ��-��8��(����
������� ��"�
� �0��'0(�0"�� '�����"$��1����9��!�$!+���'����+ �&��"����+�1�������8N�� �0��'0(�0"�� '�����"$��1����9��!�$1�������8N�
�0��2�����1�30401��������������� �!���"��������#�$%���� 1�5"�6���� 1�����+��7�!�3�� �8����
9�5� �0�
� �G��2/�����)0�5�����1���������$!!��������"&'���� �1�������� 1�#�� ���:����1�;5<0�
� %0��2/�����)0�5�����1��(��������������� #�(���%�����)��*��� #�5"�6���� 1�2�=����:��1�;5<0���
�
+,-./01/,2+345�6�>?@ABCDBEFG�HIJHKLMHN���>KOPQOR?STBUU?VC�W?XYBG?YBPYOTTHEXTZLAMOJ��
� � ���������� X[\YBPYOTTHP?]T_��H?YBC@?JK@ECXV>VJ@NaT\bAHEOJc?D>deTN��
789-:;<73��>?@ABCDBEFG��HIJHKLMHN��20+=39:;<73�f�*�f�f �f&�%�>?@2A=AAHCTKa@_�
B5CDC?E?FGH=4�IC+C�g>>]eh]YK]FBi�=39-4/J�%�j� �� HIkdc?>]?HKXXN��>YHB>CT_��f%��
g>>>YHB>CT_� l?dJXJAMOekH���EhdQMOekH�OCH0��f��f�2:-?KL=?M;N=K��f'� %&*��f�f�
TZA�f��%�f'�f���
�
�