บทที่4 ล ดับและอนุกรม - Khon Kaen...

บทท 4 ล าดบและอนกรม

(Sequences and Series)

4.1 ล าดบอนนต � ล าดบลเขา, ล าดบลออก, ล าดบทางเดยว, ล าดบมขอบเขต

4.2 อนกรมอนนต � อนกรมลเขา-ลออก, การทดสอบการลออก, อนกรมเรขาคณต 4.3 การทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรม 4.3.1 การทดสอบแบบปรพนธ 4.3.2 การทดสอบแบบเปรยบเทยบและเปรยบเทยบลมต 4.3.3 การทดสอบแบบอตราสวน 4.3.4 การทดสอบแบบถอดรากท n 4.4 อนกรมสลบ

4.6 อนกรมก าลง � หารศมการลเขา 4.7 อนพนธและปรพนธของอนกรมก าลง 4.8 อนกรมเทยเลอร � เปนตวแทนของฟงกชน

4.1 ล าดบอนนต

บทนยาม 4.1.1 ให A �z เราจะเรยกฟงกชน f วาเปนล าดบอนนต (Infinite series) ในเซต A หรอ เรยกสน ๆ วา ล าดบ กตอเมอ

f : A� o โดยท n f(n) f (n) � “พจนท n ของล าดบ f ” ถา f (n)� � f เปนล าดบของจ านวนจรง ถา f (n)� � f เปนล าดบของจ านวนเชงซอน

ให f เปนล าดบของจ านวนจรง เราเขยน f เปนเซตของคอนดบดงน f { (n, f (n)) : n 1, 2, 3, }

และเขยนแทนล าดบ f ในรป

n n 1 n 1 2 3f {a } {a } a , a , a , f

เชน n 1 2 3{2 } 2 ,2 ,2 , 2,4,8,

n n i i{a } {b } a b , i � � ��

โดยทวไปเรามกจะนยามล าดบโดยการบอกพจนท n ของล าดบ

ตวอยาง 4.1.1 (หนา 202)

1. ^ `n 2

1{a } 2 ............................

n �

2. n{a } n{ ( 1) } ...................................�

3. n

n( 1)

{a } ................................n

½� ® ¾¯ ¿

4. n{a } ^ `nnsin ........................................

2

S§ · ¨ ¸© ¹

4.1.1 ลมตของล าดบ

บทนยาม 4.1.2 ให n{a } เปนล าดบและ L�

เรยก L วาลมตของล าดบ n{a } � 0�H! , N� � ซง

na L� � H ส าหรบ n : n N� !

เขยนแทนดวย nnlim a Lof

ถาไมม L� ทท าให nnlim a Lof

แลวล าดบ n{a } ไมมลมตหรอ

ลมตของล าดบ n{a } หาคาไมได

บทนยาม 4.1.3 ¾ n{a } เปนล าดบลเขา (Converge sequence)

� L� � , nnlim a Lof

และกลาววา n{a } ลเขาสคา L ¾ n{a } เปนล าดบลออก (Diverge sequence)

� n{a } ไมมลมตหรอลมตของล าดบ n{a }หาคาไมได

หมายเหต 4.1.3 � ถา n{a } เปนล าดบทมคาบวก และเพมขนไปเรอยๆ เมอ nof

แสดงวา n{a } ไมมลมต เขยนแทนดวย nnlim aof

�f

� ถา n{a } เปนล าดบทมคาลบและลดลงไปเรอยๆ เมอ nof

แสดงวา n{a } ไมมลมต เขยนแทนดวย nnlim aof

�f

ตวอยาง ก าหนดให k เปนคาคงตวใด ๆ พจารณาล าดบ ^ `k เมอ nof แลว ok k เขยนแทนดวย

of

nlim k k

วธท า

ตวอยาง พจารณาล าดบ ^ `1n เมอ nof แลว 1

0no เขยนแทนดวย

n

1lim 0

nof

วธท า

4.1.2 ทฤษฎบททเกยวกบลมตของล าดบ

ทฤษฎบท 4.1.1 ถา n 1nlim a Lof

และ n 2nlim a Lof

แลว 1 2L L

ทฤษฎบท 4.1.2 (หนา 205) ก าหนดให n{a } และ n{b } เปนล าดบลเขาและให c เปนคาคงตว โดยท n

nlim a Aof

และ nnlim b Bof

จะไดวา

1. nlim c cof

2. n nn nlim ca c lim a cAof of

�

3. n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A Bof of of

r r r

4. � � � �n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A Bof of of

� � �

5. n

nn

n n nn

lim aa A

lim ,b lim b B

ofof

of

§ · ¨ ¸

© ¹ เมอ B 0z และ nb 0z ทกคา n

6. � �cn nn n

c clim a lim a Aof of

7. n

nlim a

n

a Anlim c c cof

of 8.

1

n

nlim c 1of

ถา c 0!

9. n

nlim c 0of

ถา c 1�

10. n

nlim cof

fถา c 1!

ตวอยาง จงหาลมตของล าดบตอไปน (ถาม)

1. of

�2

n

1lim

n

2. of

�n

n 1lim

n

3. of

��

5

7n

n 5nlim

n 1

4. of

��

9

9n

3 8nlim

n 13n

5. of

� ��

8 4

6 2n

n n 1lim

n n

6. of

� � � ��

n n n

n n nn

2 10 5 9 3lim

7 2 5 10 1

7. � �

�of

��

n 2 n 2

n 1 nn

7 4lim

7 3

วธท า

ทฤษฎบท 4.1.3 [ฟงกชนตอเนองส าหรบล าดบ] ก าหนดให n{a } เปนล าดบของจ านวนจรง ถา n

nlim a Lof

และ f เปนฟงกชนตอเนองทจด L ซงนยามททกคา na

แลว � �n nn nlim f (a ) f lim a f (L)of of

ตวอยาง 4.1.4 (หนา 205; ฝาก) จงแสดงวา n

n 1lim 1

nof

�

วธท า

ตวอยาง จงหาคาของ �

of

n 1n

nlim e

วธท า

*ทฤษฎบท 4.1.4 ถา x

lim f (x) Lo�f

และ na f(n), n 1,2,3,

แลว nnlim a Lof

ตวอยาง 4.1.7 (หนา 206; ฝาก) จงหาคาของ n

n

2lim

5nof

ตวอยาง จงหาคาของ ofn

nlim

ln(n)

วธท า

ตวอยาง จงหาคาของ of

ne

nn

elim

e

วธท า

ตวอยาง จงหาคาของ ofn

ln(ln(n))lim

n

วธท า


�1n

1n n

e 1lim

วธท า


§ ·¨ ¸�© ¹

n

n

nlim

n 1

วธท า

*ทฤษฎบท 4.1.5 [The Sandwich Theorem for Infinite Sequences]

ให n n{a }, {b } และ n{c } เปนล าดบซง N �� ซง

n n na b cd d ทกคา n N!

ถา n nn nlim a lim c Lof of

แลว nnlim b Lof

ตวอยาง 4.1.13 (หนา 210; ฝาก) จงหาคา n

sinnlim

nof

วธท า

ตวอยาง จงหาคา ofn

cosnlim

n

วธท า

ตวอยาง จงหาคา �

of

n

nlim 2

วธท า

ทฤษฎบท

ให n n{a }, {b } เปนล าดบซง N �� ซง dn na b ทกคา n N!

ถา of

�fnnlim a แลว

of �fn

nlim b

ถา of

�fnnlim b แลว

of �fn

nlim a

ตวอยาง จงหาคา of

�2

nlim n (2 sinn)

วธท า

บทแทรก 4.1.1 (หนา 208) ให n เปนจ านวนเตมบวก และ c เปนคาคงตวทเปนจ านวนบวก (c 0)!

n1

n

n

lnn1. lim 0

n

2. lim n 1

of

of

cn

13. lim 0

nof

nc

n

c4. lim 1 e

nof

§ ·� ¨ ¸© ¹

5. ถา nnlim a 0of

แลว nnlim a 0of

ตวอยาง 4.1.9 (หนา 208; ฝาก) จงหาคาลมตของล าดบ ^ `2n

5n 3�

ตวอยาง 4.1.11 (หนา 209; ฝาก) จงหาคา n

n1lim 1

2nofª º�« »¬ ¼

ตวอยาง 4.1.12 (หนา 209; ฝาก) จงหาคา 2

n

nlim sin

2n 1 nof

S§ ·� ¨ ¸� © ¹

ตวอยาง 4.1.14 (หนา 210) จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอไม

1. 2n 1

3n 2

½�® ¾�¯ ¿

2. n1 ( 1)

2

½� �® ¾¯ ¿

3. n( 1)

n

½�® ¾¯ ¿

4. ^ `2n 2n n� �

วธท า

ตวอยาง จงหาคาลมตของล าดบ 43n 2

5n 1

½�° °§ ·¨ ¸® ¾�© ¹° °¯ ¿

วธท า

ตวอยาง ก าหนดให

3

n

3

sin(n ), 1 n 60

na , n 61

n 5

n 1, n 62

S d d°° ® �°° � t¯

จงพจารณาวาล าดบ n{a } เปนล าดบลเขาหรอล าดบลออก

วธท า

พจารณาล าดบ 1 2 3 na , a , a , , a ,

ถาเราเลอกพจนจาก na มาเพยงบางพจน เชน 4 9 16 21a , a , a , a ,

และก าหนดให 1 4 2 9 3 16 4 21b a , b a , b a , b a ,

เราจะไดวา 1 4 2 9 3 16b a , b a , b a ,

4 21b a , กเปนล าดบซงไดจาก n{a } เรยก n{b } วาล าดบยอยของ

n{a }เขยนเปนนยามไดดงน

บทนยาม 4.1.4 ให n{a }เปนล าดบของจ านวนจรง สรางล าดบ k{n } โดยท kn � และ 1 2 3n n n� � �

ก าหนดให kk nb a จะไดวา k{b } เปนล าดบท

kk nb a

และเรยก k{b } วาเปนล าดบยอย (subsequence) ของ n{a }

ทฤษฎบท 4.1.6 ให n{a }เปนล าดบซง nnlim a Lof

โดยท L�

แลว ทกล าดบยอย n{b } ของ n{a } มลมตเปน L ดวย

**หมายเหต 4.1.3 จากทฤษฎบท 4.1.6 เราไดวา 1. ถา n{a } มล าดบยอยทลออก แลว n{a } เปนล าดบลออก

2. ถา n{a } มล าดบยอย 2 ล าดบซงมลมตตางกน แลว n{a } เปนล าดบลออก

ตวอยาง 4.1.18 (หนา 213;ฝาก)

จงตรวจสอบวาล าดบ 2

n 1 n( 1)

2n 1� ½

� �® ¾�¯ ¿ เปนล าดบลเขาหรอลออก

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ � �^ `� S�n

cos nn 1

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท า

4.1.3 ล าดบทางเดยว (Monotonic Sequences)

บทนยาม 4.1.5 ¾ n{a } เปนล าดบไมลด (Non-decreasing Sequence)

กตอเมอ n n 1a a �d n 1,2,3,�

¾ n{a } วาเปนล าดบไมเพม (Non-increasing

Sequence) กตอเมอ n n 1a a �t n 1,2,3,�

¾ n{a } เปนล าดบทางเดยว (Monotonic Sequence)

ถา n{a } เปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบตอไปนเปนล าดบทางเดยวหรอไม 1. {3n}

2. ^ `�1

n 1

3. n( 1)

n

½�® ¾¯ ¿

4. ล าดบ {c} , เมอ c เปนคาคงตว

การตรวจสอบวาล าดบเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม

ท าไดดงน (1.) พจารณา n 1 na a� �

1.1) ถา n 1 na a 0� � t แลวแสดงวา n{a } เปนล าดบไมลด

1.2) ถา n 1 na a 0� � d แลวแสดงวา n{a } เปนล าดบไมเพม (2.) ถา n{a } เปนล าดบท na 0! ทกคา n 1,2,3,

แลว พจารณาอตราสวน n 1

n

a

a�

2.1) ถา n 1

n

a1

a� t ทกคา n 1,2,3,

แลว n{a } เปนล าดบไมลด

2.2) ถา n 1

n

a1

a� d n 1,2,3,�

แลว n{a } เปนล าดบไมเพม

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม

1. ^ `�n

n 1 2. ^ `2

12

n�

3. ^ `1 2 3 n

1 3 5 (2n 1)

� ��

วธท า

การตรวจสอบวาล าดบเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม (ตอ) (3) ส าหรบล าดบ n{a }ซง na 0! ทกคา n 1,2,3,

ให f (x) เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกคา x 1t และ nf (n) a ทกคา n 1, 2, 3,

3.1) ถา f (x) 0c d ทกคา x 1t แลว n{a } เปนล าดบไมเพม

3.2) ถา f (x) 0c t ทกคา x 1t แลว n{a } เปนล าดบไมลด

ตวอยาง พจารณาล าดบ ^ `nn

{a }2n 1

�

ให x

f (x)2x 1

�

ซง nf (n) a ทกคา n 1,2,3,

และ 2 2

(2x 1)(1) (x)(2) 1f (x) 0

(2x 1) (2x 1)

� � �c d� �

ทก x 1t

ดงนน n{a } เปนล าดบไมเพม

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ ^ `�ln(n 1) เปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม วธท า

4.1.4 ล าดบทมขอบเขต (Bounded Sequence)

บทนยาม 4.1.6 ให n{a } เปนล าดบของจ านวนจรง

และ * *A, A ,B, B �

x A เปนขอบเขตบน (Upper Bound) ของ n{a } � na Ad , n� �

x *A เปนขอบเขตบนทมคานอยทสด (Least Upper Bound) ของ n{a } � A * เปนขอบเขตบนของ n{a } และ A * มคานอยกวาหรอเทากบขอบเขตบนทกตวของ n{a }

x B เปนขอบเขตลาง (Lower Bound) ของ n{a } � na Bt , n� �

x *B เปนขอบเขตลางทมคามากทสด (Greatest Lower Bound) ของ n{a } �B * เปนขอบเขตลางของ n{a }

และ B * มคามาก กวาหรอเทากบขอบเขตลางทกตวของ n{a }

x n{a } เปน ล าดบทมขอบเขต (Bounded)

� n{a } มทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง

ตวอยาง 4.1.21 (หนา 215)

1. n{( 1) } 1, 1, 1, 1, � � � 2. ^ `2n 2, 4, 6,

3. n( 1) 1 1 1 1 1

1, , , , , , n 2 3 4 5 6

½� � � �® ¾¯ ¿

สมบต 4.1.1 [สมบตของความบรบรณ] ให S เปนเซตยอยของเซตของจ านวนจรงซงไมเปนเซตวาง

1. ถา S มขอบเขตบน แลว S จะมขอบเขตบนทมคานอยทสด 2. ถา S มขอบเขตลาง แลว S มขอบเขตลางทมคามากทสด

ทฤษฎบท 4.1.7 ถา n{a } เปนล าดบทลเขา แลว n{a } เปนล าดบทมขอบเขต

ขอสงเกต 4.1.1 1. จากทฤษฎบท 4.1.7 ถา n{a } เปนล าดบทไมมขอบเขต แลว n{a } เปนล าดบทลออก 2. บทกลบของทฤษฎบท 4.1.13 ไมเปนจรง นนคอ ล าดบทมขอบเขตไมจ าเปนตองเปนล าดบลเขาเสมอไป

เชน n{( 1) }� มขอบเขตแตเปนล าดบลออก

ทฤษฎบท 4.1.8 ถา n{a } จะเปนล าดบทางเดยวทมขอบเขต

แลว n{a } จะเปนล าดบทลเขา

หมายเหต 4.1.16 ผลจากทฤษฎบท 4.1.8 ไดวา ถา n{a } เปนล าดบไมลด (หรอล าดบไมเพม) และ มขอบเขตบน แลว n

nlim aof

จะเทากบคาขอบเขตบนทมคานอยทสด (หรอขอบเขต

ลางทมคามากทสด) ของ n{a }

ตวอยาง 4.1.23 (หนา 217) จงพสจนวาล าดบ n2

n!

½® ¾¯ ¿

มลมต

วธท า ให n

n2

an!

พจารณา n 1

n 1n

n

a 2 n! 20

a (n 1) ! n 12

�� !

� � ทก n 1,2,3,

นนคอ n2

n!

½® ¾¯ ¿

เปนล าดบไมเพม ดงนน n2

n!

½® ¾¯ ¿

เปนล าดบทางเดยว

และ n 10 a a 2d d ทก n 1,2,3,

นนคอ n2

n!

½® ¾¯ ¿

เปนล าดบทมขอบเขต

โดยทฤษฎบท 4.1.8 ไดวา n2

n!

½® ¾¯ ¿

เปนล าดบลเขา

4.2 อนกรมอนนต (Infinite Series)

บทนยาม 4.2.1 ถา n{a } เปนล าดบแลวจะเรยกผลบวกในรป

1 2 3 na a a a� � � � �

วาอนกรมอนนต (Infinite Series) หรอ อนกรม เขยนแทนดวย

nn 1

af

¦ หรอ na¦

และเรยก na แตละจ านวนวา พจนท n ของอนกรม

เนองจากมเพยงผลบวกของพจนเปนจ านวนจ ากดเทานนทสามารถหาไดโดยการบวกแบบพชคณตธรรมดา เราจงจ าเปนจะตองใหนยามของผลบวกของอนกรม

ผลบวกยอยท n (nth partial sum) ของอนกรม เขยนแทนดวย nS

หมายถง n 1 2 3 nS a a a a � � � �

ดงนน 1 1S a 2 1 2S a a � 3 1 2 3S a a a � �

เปนเชนนไปเรอย ๆ เราจะเรยกล าดบ 1 2 3 nS , S , S , , S ,

วาล าดบของผลบวกยอย (sequence of partial sum) ซงจะมความสมพนธกบอนกรม ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 4.2.2 ส าหรบอนกรม

n 1 2 3 na a a a a � � � � �¦

มล าดบของผลบวกยอย ^ `nS

x ถา มจ านวนจรง S ซง nnlim S Sof

แลว อนกรม na¦ ลเขา (converge)

และเรยก na¦ วาอนกรมลเขา (convergent series)

x ถา ไมมจ านวนจรง S ซง nnlim S Sof

แลว อนกรม na¦ ลออก (diverge)

และ เรยก na¦ วาอนกรมลออก (divergent series)

x ถา na¦ ลเขาและ nnlim S Sof

แลว เรยก S วาผลบวกของอนกรม และเขยนแทนดวย na S ¦

x ส าหรบอนกรมลออกเราจะกลาววาอนกรมไมมผลบวก

หมายเหต สญลกษณของอนกรมอนนตอาจเปนแบบอน

นอกเหนอจาก nn 1

af

¦ เชน n

n 0

af

¦ หรอ n

n 2

af

¦

ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 4.2.1 (หนา 220) จงกระจายอนกรมตอไปน

1. n 1

1

n

f

¦

2. n 0

1

n 1

f

�¦

3. 2n 2

lnn

n

f

¦

ตวอยาง 4.2.2 (หนา 220;ฝาก) จงแสดงวาอนกรม n 1

1

n(n 1)

f

�¦

เปนอนกรมลเขา พรอมทงหาผลบวกของอนกรม

ตวอยาง 4.2.3 (หนา 220;ฝาก) จงพสจนวา n 1

cos(n )f

S¦ ลออก

ตวอยาง 4.2.4 (หนา 221;ฝาก) จงพจารณาอนกรมตอไปนวาเปนอนกรมลเขาหรอไม ถาเปนอนกรมลเขาใหหาผลบวก

1. nn 1

1

2

f

¦

2. n 1

n 1

( 1)f

�

�¦

3. n 1

nf

¦

ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรม f

�¦n 2

1

n(n 1) เปนอนกรมลเขาหรอลออก

ถาลเขาจงหาผลบวกของอนกรม วธท า

ทฤษฎบท 4.2.1 ถา na¦ เปนอนกรมลเขา แลว nnlim a 0of

*ขอสงเกต 4.2.1 บทกลบของทฤษฎบท 4.2.1 ไมจรง

นนคอ ถา nnlim a 0of

แลว na¦ อาจจะเปนอนกรมลเขา

หรอลออกกได

เชน 2

1

n¦ เปนอนกรมลเขา และ

1

n¦ เปนอนกรมลออก

ทงทอนกรมทงสองม nnlim a 0of

บทแทรก 4.2.1 [การทดสอบการลออกของอนกรม (Test for divergence)]

ถา nnlim a 0of

z แลว na¦ เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 4.2.5 (หนา 222) จงทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรมตอไปน

1. 2

2n 1

n 1

n

f

�¦ 2. � �n 1

n 1

1 3f

�

� �¦

3. n 1

n

2n 1

f

�¦ 4.

n

n 1

n 1

n

f

�§ ·¨ ¸© ¹¦

วธท า

ทฤษฎบท 4.2.2 ให ^ `nS เปนล าดบของผลบวกยอยของ na¦

ซงเปนอนกรมลเขา จะไดวา ส าหรบ 0H! ใด ๆ ทก าหนดให จะมจ านวนจรงบวก N ซงท าให R TS S� �H เมอ R N! และ T N!


อนกรมฮารมอนก n 1

1

n

f

¦ เปนอนกรมลออก

บทนยาม 4.2.3 อนกรมเรขาคณต (Geometric Series) คอ อนกรมทเขยนไดในรป

n 1 2 n 1

n 1

ar a ar ar arf

� �

� � � � �¦

เมอ a 0z เปนตวคงตว และ r เปนอตราสวนรวม

วธหาผลบวกยอยท n ของอนกรมเรขาคณตท าไดดงตอไปน

จาก 2 n 1nS a ar ar ar � � � � �

และ 2 3 n 1 nnrS ar ar ar ar ar� � � � � �

ดงนน nn nS rS a ar� �

ส าหรบ r 1z จะได n

na(1 r )

S1 r

� �

ทฤษฎบท 4.2.3 อนกรมเรขาคณต n 1

n 1

arf

�

¦

1. อนกรมลเขาเมอ r 1� และมผลบวกเปน a

1 r�

2. อนกรมลออกเมอ r 1t

ตวอยาง จงแสดงวาอนกรม

� � � � �2 3 n

1 1 1 1

3 3 3 3

ลเขาและหาผลบวกของอนกรม

วธท า

ตวอยาง ก าหนดอนกรม

�� 2 3 n 1

4 4 4 44

9 9 9 9

จงเขยน nS ใหอยในพจนของ n และ ถาเปนอนกรมลเขาจงหาผลบวกของ

อนกรม วธท า

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม f

�

�¦ 2n 1 n

n 1

3 5 เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

ตวอยาง 4.2.10 (หนา 226;ฝาก) จงแสดงวาสามารถเขยนทศนยมไมรจบ 0.535353 เปนจ านวนตรรกยะ (rational number) ได ตวอยาง จงแสดงวาสามารถเขยนทศนยมไมรจบ 4.921921921 เปนจ านวนตรรกยะ (rational number) ได

วธท า

ทฤษฎบท 4.2.8 ถา na¦ และ nb¦ เปนอนกรมซงมความแตกตาง

กน เฉพาะ m พจนแรก (นนคอ k ka b ถา k m! )

แลว na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลเขาทงค หรอ ลออกทงค

ตวอยาง จงพจารณาวา f

�¦n 1

1

n 100 เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

ทฤษฎบท 4.2.5 ถา na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลเขาทมผลบวก

เทากบ A และ B ตามล าดบแลว

1. n n(a b )�¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ A B�

2. ถา c เปนคาคงตวทเปนจ านวนจรง แลว nca¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ cA

3. n n(a b )�¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ A B�

ทฤษฎบท 4.2.6

ถา na¦ เปนอนกรมลเขา และ nb¦ เปนอนกรมลออก

แลว � �n na b�¦ เปนอนกรมลออก

ขอสงเกต 4.2.2 na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลออกทงคแลว

n n(a b )�¦ อาจจะเปนอนกรมลเขา หรอเปนอนกรมลออกกได

¾ ถา n1

an

และ n1

bn

จะได n n2

a bn

� ทกคา

n 1,2,3, ซง n 1

2

n

f


¾ แต ถา n1

an

และ n1

bn

� จะได n na b 0� ทกคา

n 1,2,3, ซง n 1

0f

¦ เปนอนกรมลเขา

ตวอยาง จงพจารณาการลเขา-ลออกของอนกรม ถาอนกรมลเขา จงหาผลบวก

1. � �

f

�

ª º�« »�¬ ¼

¦ n 1n 1

7 2

n n 1 3 2.

n 1 n

n 2n 1

2 5

3

�f

�

ª º�« »¬ ¼

¦

วธท า

4.3 การทดสอบการลเขาและการลออกของอนกรม

เราจะศกษา 4 วธ คอ 1. การทดสอบแบบปรพนธ 2. การทดสอบแบบเปรยบเทยบ และ

การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต 3. การทดสอบแบบอตราสวน

4. การทดสอบโดยการถอดรากท n

4..3.1 การทดสอบแบบปรพนธ (The integral test)

ทฤษฎบท 4.3.1 [การทดสอบแบบปรพนธ (The integral test)]

ให na¦ เปนอนกรมบวก และให f (x) เปนฟงกชนคาบวก

ทตอเนองและมคาไมเพมขนส าหรบ x 1t

โดยท nf (n) a ส าหรบ n 1,2,3,

แลว อนกรม na¦ และ ปรพนธไมตรงแบบ

�f

o�f

³ ³t

tx 1 x 1

f (x)dx lim f (x)dx

มผลการลเขา - ลออก เหมอนกน

บทนยาม 4.3.1 อนกรมบวก (positive series) หมายถง อนกรม

na¦ ซง na 0! ทกคา n 1,2,3,

หมายเหต ถาอนกรม na¦ ไมไดเรมตนท n 1 การทดสอบแบบ

ปรพนธยงคงใชได (เรมตนทจ านวนเตมบวก N ใด ๆ กได)

นนคออนกรม nn N

af

¦ และปรพนธไมตรงแบบ

�f

o�f

³ ³t

tx N x N

f (x)dx lim f (x)dx

มผลการลเขา - ลออกเหมอนกน โดยขอก าหนดในทฤษฎบท 4.3.1 ตองเปนจรงเสมอส าหรบ n Nt

ตวอยาง 4.3.1 (หนา 232;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก

1. n 1

1

2n 3

f

�¦

2. 2n 1

1

n 4

f

�¦

3. n

n 1

nef

�

¦

ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก

1. f

¦n 1

1

n

2. f

�

¦

2n

n 1

ne

3. f

¦n 1

1

n(lnn)(ln(lnn))

วธท า

บทนยาม 4.3.2 อนกรม p (p-series) คอ อนกรมทอยในรป

pn 1

1

n

f

¦ เมอ p เปนคาคงตวใด ๆ

p 1 � เรยก n 1

1

n

f

¦ วาอนกรมฮารโมนค

ทฤษฎบท 4.3.2 อนกรม p เปนอนกรมลเขาเมอ p 1!

และเปนอนกรมลออกเมอ p 1d


1) อนกรม 4 4 4 4n 1

1 1 1 1

n 1 2 3

f

� � �¦

2) อนกรม 1 1 1 1n 1 2 2 2 2

1 1 1 1

n 1 2 3

f

� � �¦


1. f

¦n 1

1

n

2. f

¦ 2n 1

1

n

3. f

�

¦ 1.0123

n 1

2020n

4. f

�¦ 4n 1

1

n n

วธท า

หมายเหต จากการทดสอบแบบปรพนธ เราไมสามารถสรปวา “ผลบวกของอนกรมเทากบคาปรพนธ”

นนคอ โดยทวไปแลว nn 1 1

a f (x)dxff

z¦ ³

เชน 2n 1

1

6n

f

S ¦ แต 21

1dx 1

x

f

³

4.3.2 การทดสอบแบบเปรยบเทยบและการทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต (Comparison Test and Limit Comparison Test)

ทฤษฎบท 4.3.3 ก าหนดให na¦ อนกรมบวก และ nS เปน

ผลบวกยอยท n ของ na¦

1. ถามจ านวนจรง M ท nS M� ทกคา n แลว na¦ จะลเขา

และมผลบวกนอยกวาหรอเทากบ M

2. ถาไมมคา M ท nS M� ทกคา n แลว na¦ ลออก

ทฤษฎบท 4.3.4 การทดสอบแบบเปรยบเทยบ

(The comparison test)

ก าหนดให na¦ และ nb¦ เปนอนกรมบวก

1. ถา nb¦ ลเขาและ n na bd , n k� t เมอ k ��

แลว na¦ ลเขา

2. ถา nb¦ ลออก และ n na bt , n k� t เมอ k ��

แลว na¦ ลออก


จงพจารณาวาอนกรม n 1n 1

1

3 2

f

� �¦ ลเขาหรอลออก


จงแสดงวา n 1

1

ln(n 1)

f

�¦ ลออก


1. f

�¦ 2n 1

1

2n n 2.

f

�¦n 1

7

2n 5 2.

f

�¦ n 3n 1

1

3 n

วธท า

ขอสงเกต ในการทดสอบแบบเปรยบเทยบพจนของอนกรมทเราตองการทดสอบจะตองเลกกวาพจนของอนกรมทลเขา หรอใหญกวาพจนของอนกรมทลออก แต ถาพจนของอนกรมทเราตองการทดสอบใหญกวาอนกรมทลเขาหรอเลกกวาอนกรมทลออก แลวเราไมสามารถสรปผลจากการทดสอบแบบเปรยบเทยบได

ตวอยางเชน อนกรม nn 1

1

2 1

f

�¦

x เราไมสามารถใชอสมการ n n

1 1

2 1 2!

� ในการทดสอบแบบเปรยบเทยบ

ได เนองจาก n nn 1

1b

2

f

¦ ¦ เปนอนกรมเรขาคณตซงลเขา แต

n na b!

x แต เรารสกวาอนกรม nn 1

1

2 1

f

�¦ นาจะลเขา เพราะมลกษณะคลาย

อนกรมเรขาคณต

n

nn 1 n 1

1 1

22

f f

§ · ¨ ¸© ¹¦ ¦

ซงลเขา

x ส าหรบกรณเชนน เราจะใชการทดสอบอกรปแบบหนง คอ การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต

ทฤษฎบท 4.3.5 การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต

(The limit comparison test)

ก าหนด na¦ และ nb¦ เปนอนกรมบวกและ c�

1. ถา n

n n

alim c 0

bof !

แลว อนกรมทงสองมผลการลเขา - ลออกเหมอนกน

2. ถา n

n n

alim 0

bof และ nb¦ ลเขา

แลว na¦ ลเขา

3. ถา n

n n

alim

bof �f และ nb¦ เปนลออก



1. จงทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรม nn 1

1

2 1

f

�¦

2. จงทดสอบวาอนกรม 2

5n 1

2n 3n

5 n

f

�

�¦ ลเขาหรอลออก

3. จงทดสอบวาอนกรม 2n 1

arctann

n

f

¦ ลเขาหรอลออก


1. f

��¦ 2

n 1

3n 1

(n 1)

2. f

�¦ n nn 1

1

2 5

3. f

� �� ¦

3 2

8 5n 1

3n 2n 4

n n 1

4. f

��¦ 2

n 1

1 nlnn

n 5

วธท า

4.3.3 การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)

ทฤษฎบท 4.3.6 [การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)]

ก าหนดให na¦ เปนอนกรมบวก และ L�

1. ถา n 1

n n

alim L 1

a�

of � แลว na¦ ลเขา

2. ถา n 1

n n

L 1alim

a�

of

! ® f¯


3. ถา n 1

n n

alim 1

a�

of แลว สรปไมไดเกยวกบ na¦


จงพจารณาวาอนกรม n

n 1

1n

2

f

§ ·�¨ ¸© ¹¦ ลเขาหรอลออก


จงพจารณาวาอนกรม n

n 1

n

n!

f

¦ ลเขาหรอลออก


1. f

¦ nn 1

(2n) !

5

2. f

¦

n

n 1

2

n!

วธท า

4.3.4 การทดสอบโดยการถอดรากท n

ทฤษฎบท 4.3.7 [การทดสอบโดยการถอดรากท n

(The thn Root Test)]

ให nn 1

af

¦ เปนอนกรมซง na 0t ทก n 1,2,3,

พจารณา n nnlim a Rof

เมอ R เปนจ านวนจรง จะไดวา

1. ถา R 1� แลว nn 1

af


2. ถา nn

n

R 1lim aof

! ®�f¯

แลว nn 1

af


3. ถา R 1 แลวไมสามารถสรปผลเกยวกบ nn 1

af

¦ ได

หมายเหต ทฤษฎบท 4.3.7 ยงคงเปนจรงเมอแทนเงอนไข na 0t ทก

n 1,2,3, ดวย na 0t ทก n Nt

เมอ N เปนจ านวนเตมบวกคงตว

ตวอยาง 4.3.16 (หนา 242;ฝาก) จงพจารณาการลเขา-ลออกของ

1. 2

nn 1

n

2

f

¦ 2.

n

2n 1

2

n

f

¦ 3.

n

n 1

1

1 n

f

§ ·¨ ¸�© ¹¦


1. f

�§ ·¨ ¸�© ¹¦n

n 1

4n 5

2n 3

2. f

�¦ nn 1

1

(ln(n 1))

วธท า

4.4 อนกรมสลบ (Alternating Series)

บทนยาม 4.4.1 อนกรมสลบ (alternating series) หมายถง อนกรมทมพจนเปนบวกและลบสลบกน ไดแก อนกรม

n

n 1 2 3( 1) a a a a� � � � �¦

หรอ n 1

n 1 2 3 4( 1) a a a a a�� ¦

เมอ na 0! ทกคา n 1,2,3,

ทฤษฎบท 4.4.1 [การทดสอบอนกรมสลบ (Leibniz’s alternating series test)] ถา n{a } เปนล าดบท k k 1a a 0, k�t ! � � และ n

nlim a 0of

แลว n 1

n( 1) a��¦ ลเขา

ขอสงเกต 4.4.1

1. ส าหรบอนกรมสลบในรป n

n( 1) a�¦ เราสามารถพสจนได

เชนกนวา ถา k k 1a a 0, k�t ! � � และ n

nlim a 0of

แลว n

n( 1) a�¦ ลเขา เพราะ n n 1

n n( 1) a ( 1) a�� ¦ ¦

2. ส าหรบอนกรมสลบ n 1

n( 1) a��¦ ซงมคณสมบตวา

k k 1a a 0, k m (m )�t ! � t � และ nnlim a 0of

จะไดวา n 1

n( 1) a��¦ ลเขา

เพราะ m 1

n 1 n 1 n 1n n n

n 1 n m

( 1) a ( 1) a ( 1) a� f� � �

� � � �¦ ¦ ¦

ซงจะเหนวา m 1

n 1n

n 1

( 1) a�

�

�¦ เปนอนกรมจ ากดจะตองลเขา

และ n 1n

n m

( 1) af

�

�¦ ลเขา โดยทฤษฎบท 4.4.1

ดงนนโดยทฤษฎบท 4.2.5 ขอ 1. ไดวา n 1

n( 1) a��¦ ลเขาดวย

3. ส าหรบการทดสอบวาอนกรมสลบลออกนน เราจะใชทฤษฎบท 4.4.1 ไมไดตองกลบไปใชบทแทรก 4.2.1

ตวอยาง 4.4.1 (หนา 246;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1

n 1

( 1)

n

�f


ตวอยาง 4.4.2 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1 n

2n 1

( 1) 2

n

�f

� �¦ ลเขาหรอลออก

ตวอยาง 4.4.3 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1

n 1

( 1)

ln(n 1)

�f

��¦ ลเขาหรอลออก

ตวอยาง 4.4.4 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ

n 1

n 1

3n( 1)

2n 1

f�

� �


ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมสลบตอไปนลเขาหรอลออก

1. �f

��¦

n 1

n 1

( 1)

n 1

2. �f

� ��¦

n 1

n 1

( 1) (1 n)

n(n 1)

วธท า

4.5 การลเขาสมบรณและการลเขามเงอนไข

(Absolute and Conditional Convergence)

บทนยาม 4.5.1 อนกรม nn 1

af

¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ (Absolute

convergence) ถา nn 1

af


ขอสงเกต ถา nn 1

af

¦ เปนอนกรมบวก จะไดวา n na a

ดงนนการลเขาสมบรณกคอการลเขาธรรมดา

ทฤษฎบท 4.5.1 ถา nn 1

af

¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ

แลว nn 1

af

¦ จะเปนอนกรมลเขา

บทนยาม 4.5.2 อนกรม nn 1

af

¦ เปนอนกรมลเขามเงอนไข

(Conditional convergence)

ถา nn 1

af

¦ เปนอนกรมลเขา แต n

n 1

af


ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรมตอไปนลเขาสมบรณ/ลเขาแบบมเงอนไข หรอลออก

1. f

�¦n

2n 1

( 1)

n

2. �f

�¦n 1

n 1

( 1)

n

3. n 1n

n 1

n( 1)

2

f�

� �¦

การทดสอบการลเขาสมบรณ

ทฤษฎบท 4.5.2 [การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)]

ให nn 1

af

¦ เปนอนกรมซง na 0z

พจารณา n 1

n n

alim L

a�

of เมอ L เปนจ านวนจรง จะไดวา

1. ถา L 1� แลว nn 1

af


2. ถา n 1

n n

L 1alim

a�

of

! ®�f¯

แลว nn 1

af


3. ถา L 1 แลว ไมสามารถสรปผลได

ตวอยาง 4.5.2 (หนา 250;ฝาก) จงทดสอบอนกรมตอไปนวาเปนอนกรมลเขาสมบรณ หรอ ลออก

1) n

n 1

2

n!

f

¦ 2) n 1

nn 1

n( 1)

2

f�

� �¦ 3)

n 1n 1

2n 1

3( 1)

n 1

�f�

� �

�¦

ตวอยาง จงทดสอบการลเขาของอนกรมตอไปน

1. �f

�¦n 1 n

n 1

( 1) 2

n!

2. f

� �¦n n

n 1

( 100) n

n!

วธท า

ทฤษฎบท 4.5.3 [การทดสอบโดยการถอดรากท n

(The thn Root Test)]

ให nn 1

af

¦ เปนอนกรมซง na 0z

พจารณา nn

nlim a Rof

เมอ R เปนจ านวนจรง จะไดวา

1. ถา R 1� แลว nn 1

af


2. ถา nn

n

R 1lim aof

! ®�f¯

แลว nn 1

af


3. ถา R 1 แลว ไมสามารถสรปผลได

ตวอยาง 4.5.3 (หนา 250) จงทดสอบอนกรมตอไปนวาเปน

อนกรมลเขาสมบรณ หรอ ลออก

1. n 1n

n 1

1( 1)

n

f�

� �¦ 2.

2n

nn 1

e

2

f

¦

ตวอยาง จงทดสอบการลเขาของอนกรมตอไปน

1. f

�

§ ·� ¨ ¸

© ¹¦

1n

n2

n 1

n 1

1( 1)

n

2. f

�

�¦ n n

n 1

(1 e )

3. �f

�

� �¦n 1 n

n 1n 1

( 1) (n 1)

n

วธท า

บทที่4 ล ดับและอนุกรม - Khon Kaen...

Documents

Transcript of บทที่4 ล ดับและอนุกรม - Khon Kaen...