2-1

บทที่ 2 วงจรตัวตานทาน (Resistive Circuits)

ในบทนี้จะไดกลาวถึงวงจรท่ีประกอบดวยองคประกอบวงจรที่ศึกษาไปในบทที่แลว เรียกวาวงจรตัวตานทาน โดยจะศึกษาทฤษฎีพื้นฐานที่สําคัญมากทฤษฎีหนึ่งคือกฏของเคอชชอฟฟ ซ่ึงจะแบงเปนสองสวนคือ สวนท่ีกลาวเก่ียวกับผลรวมของแรงดันรอบวงรอบ (Loop) ใดๆ ในวงจรจะมีคาเปนศูนย และอีกสวนหนึ่งจะกลาวถึงผลรวมของกระแสที่โนด (Node) ใดๆ ในวงจรจะมีคาเปนศูนย

2.1 กฎของเคอชชอฟฟ ในบทที่แลวเราไดศึกษากฎของโอหมและองคประกอบวงจรตางๆ ในวงจรอยางงายมาบางแลว ในบทนี้จะไดแนะนําทฤษฎีที่จะนํามาใชในกรณีที่นําองคประกอบเหลานี้มากกวาหน่ึงองคประกอบขึ้นไปมาประกอบกันเปนวงจร กฎของเคอชชอฟฟจะชวยใหเราหาความสัมพันธระหวางแรงดันท่ีตกครอมแตละองคประกอบ และชวยหาความสัมพันธของกระแสที่ไหลผานแตละองคประกอบ โดยจะเร่ิมจากวงจรท่ีมีความตานทานเพียงสองตัว ตอกับแหลงจายแรงดันอิสระดังแสดงในรูปท่ี 2.1

รูปท่ี 2.1 วงจรความตานทานสองตวัตออนุกรมและตอกับแหลงจายแรงดันอิสระ

ถาเราถอดตัวตานทาน R2 ออกจากวงจร (หรือใหมีคาเปนอนันต) ดังแสดงในรูปท่ี 2.2 จะไดวาขั้ว b และ c เกิดเปดวงจรขึ้น กระแสระหวางขั้วท้ังสองจะไหลเปนศูนย ไมวาแรงดันตกครอมขั้วทั้งสองจะเปนเทาใดก็ตาม

2-2

รูปท่ี 2.2 เกิดการเปดวงจรขึ้นระหวางโนด b และ c เม่ือถอดความตานทาน R2 ออก

โนด (Node) คือจุดตอระหวางองคประกอบวงจรตั้งแตสองตัวขึ้นไปมาตอกัน

ลูป (Loop) หรือวงรอบ คือถาเราเร่ิมตนจากขั้ว a ในรูปที่ 2.1 ไปเสนทางในวงจร ผานโนด b c และ d กลับมายังโนด a อีกคร้ังเราจะไดเสนทางปด (Closed Path)

ตัวอยางท่ี 2.1 จงหาเสนทางปดทั้งหมดในวงจรในรูปขางลาง วิธีทํา จากรูปพบวามีทั้งหมดสามเสนทางปดคือ 1. a-b-c-d-e-f-a

2. a-b-e-f-a

3. b-c-d-e-b

ขอสังเกต: - สังเกตวาลวดตัวนําในอุดมคติทําใหขั้ว d ขั้ว e และขั้ว f เปนโนดเดียวกัน - นิยมเขียน loop กระแส loop ตามเข็มนาฬิกา

2-3

2.1.1 กฎแรงดันของเคอชชอฟฟ (Kirchhoff’s Voltage Law, KVL) กลาววาผลรวมทางพีชคณิตของแรงดันรอบเสนทางปดใดๆ จะมีคาเปนศูนยตลอดเวลา คําวาผลรวมพีชคณิตหมายความวาตองพิจารณาข้ัวของแรงดันขณะที่เดินทางรอบเสนทางปดใดๆ การท่ีผลรวมของแรงดันรอบเสนทางปดใดๆ มีคาเปนศูนยหมายความวาวงรอบในวงจรใดๆ เปนระบบที่อนุรักษพลังงาน คือพลังงานที่ใชในการเคลื่อนประจุรอบเสนทางปดใดๆ จะเทากับศูนย

สรุป KVL คือผลบวกทางพีชคณิตของแรงดันรอบลูป(loop)ใดๆจะมีคาเทากับศูนย

กําหนดให กระแสท่ีไหลเขาอุปกรณใดๆขาเขาเปนขั้ว + ขาออกเปนขั้ว - ยกเวนแหลงจายแรงดัน

จากวงจรใชหลักการ KVL สามารถเขียนสมการไดดังนี้

จากวงจรใชหลักการ KVL สามารถเขียนสมการไดดังนี้ Loop 1 : 010 31 =++− vv Loop 2 : 01223 =++− vv Loop 3(outer loop) : 01210 21 =+++− vv

0=∑v

0=v-vvv S321 ++

2-4

2.1.2 กฎกระแสของเคอชชอฟฟ (Kirchhoff’s Current Law, KCL) กลาววาผลรวมทางพีชคณิตของกระแสท่ีเขาสูโนดใดๆ จะมีคาเปนศูนยตลอดเวลา นั่นคือประจุไฟฟาไมสามารถสะสมที่โนดใดๆไดเม่ือเขามาสูโนดนั้นจํานวนเทาใดก็จะตองออกจากโนดนั้นเทากันตลอดเวลา

สรุป KCL คือผลบวกทางพีชคณิตของกระแสท่ีไหลเขาสู Node ใดๆจะมีคาเทากับศูนย

กําหนดให กระแสท่ีไหลเขาสู Node เปน + กระแสที่ไหลออกจาก Node เปน -

ตัวอยาง กระแสที่ node สามารถเขียนสมการ KCL ไดดังนี้

0321 =−− iii หรือ 321 iii +=

ตัวอยางที่ 2.2 จากวงจรจงคํานวณหาคา R2 , แรงดันครอม ค.ต.ท ทุกตัว

กําหนดให R1= 8 ohm , i3=2A , R3= 1 ohm

0=∑ i

0=+-+- dcba iiii

2-5

วิธีทํา จากโจทย คํานวณหาคา V3

VRiv 212333 =×== คํานวณหาคา V1 KVL:

8

0102010

1

1

31

Vvv

vv

==−++=−++

คํานวณหาคา V2 KVL:

10

0122012

2

2

23

Vvvvv

−==++−=++−

คํานวณหาคากระแส i1 Ai 23 =

AVRvi 1

88

1

11 ===

คํานวณหาคากระแส i2 KCL:

121

0

2

312

321

Aiiii

iii

−=−=−=

=−−−

คํานวณหาคากระแส R2

Ω=−−

== 101

10

2

22 i

vR

2-6

ตัวอยางท่ี 2.3 จากวงจรจงคํานวณหาคา i1 และ แรงดันครอมแหลงจาย v1

วิธีทํา หาคา i1 KCL: 0521 =+−− Aii

แต Ai 26

122 ==

แทนคา i2 : 0521 =+−− Ai ดังนั้น Ai 31 =

หาคา v1 KCL: 01261 =+−− Ω Vvv

012)63(1 =+Ω×−− VAv

Vv 61 −=

2.2 การหาความตานทานรวม การนําอุปกรณไฟฟาชนิดตัวตานทานมาตอเปนวงจร การคํานวณหาความตานทานรวมจะมีสองแบบ คือ กรณีท่ีตัวตานทานตออนุกรม และกรณีที่ตอขนานกัน

กรณีท่ีตัวตานทานตออนุกรม

สูตร NRRRRR +++= .......321รวม

รูปที่ 2.3 วงจรตัวตานทานตออนุกรม

2-7

พิสูจน จาก KVL : 0.....321 =+++++− NS vvvvv

SN vvvvv =++++ .....321 SN viRiRiRiR =++++ .....321

SN vRRRRi =++++ ).....( 321

ให NS RRRRRR +++== .......321รวม

SvRi =)( รวม

i

vR S=รวม

ดังนั้นความตานทานรวม รวมR หรือ SR แทนตัวตานทานที่ตออนุกรมดังรูปท่ี 2.4

รูปที่ 2.4 วงจรตัวตานทานตออนุกรมดัดแปลงเปนตัวตานทานรวม

กรณีท่ีตัวตานทานตอขนาน กรณีที่ตัวตานทานตอขนานสองตัว

สูตร 21

2121// RR

RRRRR+

==รวม

รูปที่ 2.5 วงจรตัวตานทานตอขนานกันสองตัว

พิสูจน จาก KCL : 021 =++− iiiS

Siii =+ 21

SiRv

Rv

=+21

2-8

SivRR

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

21

11

=Siv

21

21

RRRR+

ให 21

2121// RR

RRRRR+

==รวม

ivR =รวม

กรณีที่ตัวตานทานตอขนานมากกวาสองตัว

สูตร NRRRRR

1......1111

321

++++=รวม

รูปท่ี 2.6 วงจรตัวตานทานตอขนานกันมากกวาสองตัว

พิสูจน จาก KCL : 0......321 =+++++− NS iiiii

SN iiiii =++++ .......321

SN

iRv

Rv

Rv

Rv

=++++ ......321

SN

ivRRRR

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

1......111

321

=Siv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

NRRRR1......111

321

ให NRRRRR //.....//// 321=รวม

NRRRRR

1......1111

321

++++=รวม

หรือ NGGGGG +++= .......321รวม

2-9

2.3 การแบงแรงดัน(Voltage Divider) และ การแบงกระแส(Current Divider)

การแบงแรงดัน(Voltage Divider) คาแรงดันตกครอมตัวตานทานตัวใดตัวหนึ่งท่ีตออนุกรมอยูในวงจร คือสัดสวนของคาความตานทานของมันเองตอความตานทานรวม คูณดวยคาแรงดันของแหลงจาย วงจรนี้แสดงถึงหลักการของการแบงแรงดันเปนสวนๆ เรียกท่ัวไปวา วงจรแบงแรงดัน (Voltage Divider)

สูตร SupplyVRV ×= ั้งหมดผลบวกของRท

ตัวนั้นครอมRใด

รูปที่ 2.7 การแบงแรงดัน(Voltage Divider)

พิสูจน จาก KVL : 11 iRv =

).....( 321 NS RRRRiv ++++=

สัดสวนแรงดัน v1 และ vS

).....( 321

11

NS RRRRiiR

vv

++++=

SN

vRRRR

Rv ×++++

=).....( 321

11

ดังนั้นแรงดันครอม R1 จะมีคาเทากับ R1 หารดวยผลบวกของ R ทั้งหมดคูณดวยแหลงจาย ทํานองเดียวกันกับแรงดันครอม R ตัวอื่นๆ

จะไดสูตรสําหรับคํานวณหาคาแรงดันครอมตัวตานทานที่ตออนุกรมกันดังนี้

สูตร SupplyVRV ×= ั้งหมดผลบวกของRท

ตัวนั้นครอมRใด

2-10

การแบงกระแส(Current Divider) สําหรับตัวตานทานตอขนานกันสองตัวคากระแสไหลผานตัวตานทานตัวใดตัวหนึ่งท่ีตอขนานกันในวงจร คือสัดสวนของคาความตานทานของตัวอื่นตอความตานทานรวม คูณดวยคากระแสของแหลงจาย วงจรนี้แสดงถึงหลักการของการแบงกระแสเปนสวนๆ เรียกทั่วไปวา วงจรแบงกระแส (Current Divider)

สูตร SupplyIRI ×= ั้งสองผลบวกของRท

อีกตัวไหลผานRใด

รูปท่ี 2.8 การแบงกระแส(Current Divider)

พิสูจน จาก KVL : 11Riv =

)//( 21 RRiv S=

สัดสวนกระแส i1 และ iS

1

211 //R

RRii

S

=

SiRRRi ×+

=)( 21

21

ดังนั้นกระแสไหลผาน R1 จะมีคาเทากับ R2 หารดวยผลบวกของ R ทั้งสองคูณดวยแหลงจายกระแส ทํานองเดียวกันกับกระแสไหลผาน R2

จะไดสูตรสําหรับคํานวณหาคากระแสไหลผานตัวตานทานที่ตอขนานกันสองตัวดังนี้

สูตร SupplyIRI ×= ั้งสองผลบวกของRท

อีกตัวไหลผานRใด

หมายเหตุ : วิธีการนี้ใชไดเฉพาะตัวตานทานสองตัวท่ีขนานกันเทานั้น ถาตัวตานทานท่ีมากกวาสองตัวจะตองทําการยุบใหเหลือสองตัวเทานั้นจึงสามารถใชวิธีการน้ีได

2-11

ตัวอยางท่ี 2.4 พิจารณาวงจรในรูป จงหาคาความตานทาน R2 ที่จะใหคาแรงดันตกครอมตัวมันมีคา หนึ่งสวนสี่ของแรงดันจากแหลงจาย VS กําหนดคา R1 = 9 Ohms และถา กําหนดใหคาVS=12V จงหาคากระแสที่ไหลในวงจร

วิธีทํา แรงดันครอมตัวตานทาน R2 คือ

Voltage Divider : SvRR

Rv ×+

=)( 21

22

เนื่องจากเราตองการคา 412 =

Svv ดังนั้น

41

)( 21

2 =+ RRR

21 3RR = จากโจทยกําหนดให R1 = 9 Ω ∴ จะได R2 = 3 Ω

การคํานวณหาคากระแสในวงจร

ตอบ AVRR

vi S 11212

)( 21

=Ω

=+

=

2-12

ตัวอยางท่ี 2.5 พิจารณาวงจรในรูป จงหากระแส i1

วิธีทํา ทําการดัดแปลงวงจรสวนตรงกลางใหงายเขา

ทําการแทนกลับเขาในวงจรเดิมจะไดวงจรดังนี้

ทําการดัดแปลงวงจรสวนตัวตานทาน 3 ตัว ดานหลังดังน้ี สุดทายทําการแทนกลับเขาในวงจรเดิมและคํานวณหาคากระแส i1 ในเทอม iS

2-13

ตัวอยางท่ี 2.6 จากวงจรจงคํานวณหาคา R และ Power ท่ี load 6 Ohms เม่ือกระแส i = 2A

วิธีทํา ทําการดัดแปลงวงจรยุบตัวตานทาน 6 Ω // 30 Ω = 5 Ω

จาก KCL ที่ node a : i1 = 8 - 2 = 6A ใชหลักการ Current Divider หาคากระแส

AR

i 8)57(

)57(×

+++

=

AR

A 812

122 ×+

=

ตอบ Ω= 36R

หาคา Power ที่ Ω 6

ใชหลักการ Current Divider หาคากระแส i2

Ai 6630

302 ×

+=

Ai 52 = WAiP 1506.)5(6. 22

26 =Ω=Ω=Ω

ตอบ WP 1506 =Ω

2-14

ตัวอยางท่ี 2.7 จากวงจรจงคํานวณหาคา R เม่ือ Req = 9 Ohms

short cct ทําใหตัดทิ้ง ค.ต.ท 30 Ω

วิธีทํา ทําการเขียนวงจรใหมใหดูงายขึ้น

ทําการยุบวงจรใหมใหดูงายขึ้น

คํานวณหาคา R

Ω=+++

=

R

Req 95

1011

121

1

ตอบ Ω= 15R

2-15

แบบฝกหัดทายบทที่ 2

1. จากวงจรในรูป (ก) กําหนด R1 = Ω 6 และ R2 = Ω 3 จงหาคากระแส i และแรงดัน v (ข) กําหนด i = 1.5 A และ v = 2 V จงหาคาความตานทาน R1 และ R2 (ค) ถาแหลงจายแรงดันจายกําลัง 24 W และแหลงจายกระแสจายกําลัง 9 W จงหาคากระแส

i และแรงดัน v และหาคาความตานทาน R1 และ R2

2. จากวงจรในรูป จงหาคากําลังที่ตัวตานทานแตละตัวไดรับ 3. จงใชหลักการแบงแรงดันหาคาแรงดัน v1 v2 v3 และ v4 ในวงจรในรูปขางลาง

2-16

4. จงหาคาแรงดัน v ของวงจรในรูป 5. ใหดูแบบฝกหัดในหนังสือภาษาอังกฤษเพิ่มเติม

Richard C. Dorf , “Electric Circuits”, 4th Edition , John Wiley & Son , inc.

ผศ.วิชัย ประเสริฐเจริญสุข 1 มิถุนายน 2552