2-1
บทที่ 2 วงจรตัวตานทาน (Resistive Circuits)
ในบทนี้จะไดกลาวถึงวงจรท่ีประกอบดวยองคประกอบวงจรที่ศึกษาไปในบทที่แลว เรียกวาวงจรตัวตานทาน โดยจะศึกษาทฤษฎีพื้นฐานที่สําคัญมากทฤษฎีหนึ่งคือกฏของเคอชชอฟฟ ซ่ึงจะแบงเปนสองสวนคือ สวนท่ีกลาวเก่ียวกับผลรวมของแรงดันรอบวงรอบ (Loop) ใดๆ ในวงจรจะมีคาเปนศูนย และอีกสวนหนึ่งจะกลาวถึงผลรวมของกระแสที่โนด (Node) ใดๆ ในวงจรจะมีคาเปนศูนย
2.1 กฎของเคอชชอฟฟ ในบทที่แลวเราไดศึกษากฎของโอหมและองคประกอบวงจรตางๆ ในวงจรอยางงายมาบางแลว ในบทนี้จะไดแนะนําทฤษฎีที่จะนํามาใชในกรณีที่นําองคประกอบเหลานี้มากกวาหน่ึงองคประกอบขึ้นไปมาประกอบกันเปนวงจร กฎของเคอชชอฟฟจะชวยใหเราหาความสัมพันธระหวางแรงดันท่ีตกครอมแตละองคประกอบ และชวยหาความสัมพันธของกระแสที่ไหลผานแตละองคประกอบ โดยจะเร่ิมจากวงจรท่ีมีความตานทานเพียงสองตัว ตอกับแหลงจายแรงดันอิสระดังแสดงในรูปท่ี 2.1
รูปท่ี 2.1 วงจรความตานทานสองตวัตออนุกรมและตอกับแหลงจายแรงดันอิสระ
ถาเราถอดตัวตานทาน R2 ออกจากวงจร (หรือใหมีคาเปนอนันต) ดังแสดงในรูปท่ี 2.2 จะไดวาขั้ว b และ c เกิดเปดวงจรขึ้น กระแสระหวางขั้วท้ังสองจะไหลเปนศูนย ไมวาแรงดันตกครอมขั้วทั้งสองจะเปนเทาใดก็ตาม
2-2
รูปท่ี 2.2 เกิดการเปดวงจรขึ้นระหวางโนด b และ c เม่ือถอดความตานทาน R2 ออก
โนด (Node) คือจุดตอระหวางองคประกอบวงจรตั้งแตสองตัวขึ้นไปมาตอกัน
ลูป (Loop) หรือวงรอบ คือถาเราเร่ิมตนจากขั้ว a ในรูปที่ 2.1 ไปเสนทางในวงจร ผานโนด b c และ d กลับมายังโนด a อีกคร้ังเราจะไดเสนทางปด (Closed Path)
ตัวอยางท่ี 2.1 จงหาเสนทางปดทั้งหมดในวงจรในรูปขางลาง วิธีทํา จากรูปพบวามีทั้งหมดสามเสนทางปดคือ 1. a-b-c-d-e-f-a
2. a-b-e-f-a
3. b-c-d-e-b
ขอสังเกต: - สังเกตวาลวดตัวนําในอุดมคติทําใหขั้ว d ขั้ว e และขั้ว f เปนโนดเดียวกัน - นิยมเขียน loop กระแส loop ตามเข็มนาฬิกา
2-3
2.1.1 กฎแรงดันของเคอชชอฟฟ (Kirchhoff’s Voltage Law, KVL) กลาววาผลรวมทางพีชคณิตของแรงดันรอบเสนทางปดใดๆ จะมีคาเปนศูนยตลอดเวลา คําวาผลรวมพีชคณิตหมายความวาตองพิจารณาข้ัวของแรงดันขณะที่เดินทางรอบเสนทางปดใดๆ การท่ีผลรวมของแรงดันรอบเสนทางปดใดๆ มีคาเปนศูนยหมายความวาวงรอบในวงจรใดๆ เปนระบบที่อนุรักษพลังงาน คือพลังงานที่ใชในการเคลื่อนประจุรอบเสนทางปดใดๆ จะเทากับศูนย
สรุป KVL คือผลบวกทางพีชคณิตของแรงดันรอบลูป(loop)ใดๆจะมีคาเทากับศูนย
กําหนดให กระแสท่ีไหลเขาอุปกรณใดๆขาเขาเปนขั้ว + ขาออกเปนขั้ว - ยกเวนแหลงจายแรงดัน
จากวงจรใชหลักการ KVL สามารถเขียนสมการไดดังนี้
จากวงจรใชหลักการ KVL สามารถเขียนสมการไดดังนี้ Loop 1 : 010 31 =++− vv Loop 2 : 01223 =++− vv Loop 3(outer loop) : 01210 21 =+++− vv
0=∑v
0=v-vvv S321 ++
2-4
2.1.2 กฎกระแสของเคอชชอฟฟ (Kirchhoff’s Current Law, KCL) กลาววาผลรวมทางพีชคณิตของกระแสท่ีเขาสูโนดใดๆ จะมีคาเปนศูนยตลอดเวลา นั่นคือประจุไฟฟาไมสามารถสะสมที่โนดใดๆไดเม่ือเขามาสูโนดนั้นจํานวนเทาใดก็จะตองออกจากโนดนั้นเทากันตลอดเวลา
สรุป KCL คือผลบวกทางพีชคณิตของกระแสท่ีไหลเขาสู Node ใดๆจะมีคาเทากับศูนย
กําหนดให กระแสท่ีไหลเขาสู Node เปน + กระแสที่ไหลออกจาก Node เปน -
ตัวอยาง กระแสที่ node สามารถเขียนสมการ KCL ไดดังนี้
0321 =−− iii หรือ 321 iii +=
ตัวอยางที่ 2.2 จากวงจรจงคํานวณหาคา R2 , แรงดันครอม ค.ต.ท ทุกตัว
กําหนดให R1= 8 ohm , i3=2A , R3= 1 ohm
0=∑ i
0=+-+- dcba iiii
2-5
วิธีทํา จากโจทย คํานวณหาคา V3
VRiv 212333 =×== คํานวณหาคา V1 KVL:
8
0102010
1
1
31
Vvv
vv
==−++=−++
คํานวณหาคา V2 KVL:
10
0122012
2
2
23
Vvvvv
−==++−=++−
คํานวณหาคากระแส i1 Ai 23 =
AVRvi 1
88
1
11 ===
คํานวณหาคากระแส i2 KCL:
121
0
2
312
321
Aiiii
iii
−=−=−=
=−−−
คํานวณหาคากระแส R2
Ω=−−
== 101
10
2
22 i
vR
2-6
ตัวอยางท่ี 2.3 จากวงจรจงคํานวณหาคา i1 และ แรงดันครอมแหลงจาย v1
วิธีทํา หาคา i1 KCL: 0521 =+−− Aii
แต Ai 26
122 ==
แทนคา i2 : 0521 =+−− Ai ดังนั้น Ai 31 =
หาคา v1 KCL: 01261 =+−− Ω Vvv
012)63(1 =+Ω×−− VAv
Vv 61 −=
2.2 การหาความตานทานรวม การนําอุปกรณไฟฟาชนิดตัวตานทานมาตอเปนวงจร การคํานวณหาความตานทานรวมจะมีสองแบบ คือ กรณีท่ีตัวตานทานตออนุกรม และกรณีที่ตอขนานกัน
กรณีท่ีตัวตานทานตออนุกรม
สูตร NRRRRR +++= .......321รวม
รูปที่ 2.3 วงจรตัวตานทานตออนุกรม
2-7
พิสูจน จาก KVL : 0.....321 =+++++− NS vvvvv
SN vvvvv =++++ .....321 SN viRiRiRiR =++++ .....321
SN vRRRRi =++++ ).....( 321
ให NS RRRRRR +++== .......321รวม
SvRi =)( รวม
i
vR S=รวม
ดังนั้นความตานทานรวม รวมR หรือ SR แทนตัวตานทานที่ตออนุกรมดังรูปท่ี 2.4
รูปที่ 2.4 วงจรตัวตานทานตออนุกรมดัดแปลงเปนตัวตานทานรวม
กรณีท่ีตัวตานทานตอขนาน กรณีที่ตัวตานทานตอขนานสองตัว
สูตร 21
2121// RR
RRRRR+
==รวม
รูปที่ 2.5 วงจรตัวตานทานตอขนานกันสองตัว
พิสูจน จาก KCL : 021 =++− iiiS
Siii =+ 21
SiRv
Rv
=+21
2-8
SivRR
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
21
11
=Siv
21
21
RRRR+
ให 21
2121// RR
RRRRR+
==รวม
ivR =รวม
กรณีที่ตัวตานทานตอขนานมากกวาสองตัว
สูตร NRRRRR
1......1111
321
++++=รวม
รูปท่ี 2.6 วงจรตัวตานทานตอขนานกันมากกวาสองตัว
พิสูจน จาก KCL : 0......321 =+++++− NS iiiii
SN iiiii =++++ .......321
SN
iRv
Rv
Rv
Rv
=++++ ......321
SN
ivRRRR
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
1......111
321
=Siv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
NRRRR1......111
321
ให NRRRRR //.....//// 321=รวม
NRRRRR
1......1111
321
++++=รวม
หรือ NGGGGG +++= .......321รวม
2-9
2.3 การแบงแรงดัน(Voltage Divider) และ การแบงกระแส(Current Divider)
การแบงแรงดัน(Voltage Divider) คาแรงดันตกครอมตัวตานทานตัวใดตัวหนึ่งท่ีตออนุกรมอยูในวงจร คือสัดสวนของคาความตานทานของมันเองตอความตานทานรวม คูณดวยคาแรงดันของแหลงจาย วงจรนี้แสดงถึงหลักการของการแบงแรงดันเปนสวนๆ เรียกท่ัวไปวา วงจรแบงแรงดัน (Voltage Divider)
สูตร SupplyVRV ×= ั้งหมดผลบวกของRท
ตัวนั้นครอมRใด
รูปที่ 2.7 การแบงแรงดัน(Voltage Divider)
พิสูจน จาก KVL : 11 iRv =
).....( 321 NS RRRRiv ++++=
สัดสวนแรงดัน v1 และ vS
).....( 321
11
NS RRRRiiR
vv
++++=
SN
vRRRR
Rv ×++++
=).....( 321
11
ดังนั้นแรงดันครอม R1 จะมีคาเทากับ R1 หารดวยผลบวกของ R ทั้งหมดคูณดวยแหลงจาย ทํานองเดียวกันกับแรงดันครอม R ตัวอื่นๆ
จะไดสูตรสําหรับคํานวณหาคาแรงดันครอมตัวตานทานที่ตออนุกรมกันดังนี้
สูตร SupplyVRV ×= ั้งหมดผลบวกของRท
ตัวนั้นครอมRใด
2-10
การแบงกระแส(Current Divider) สําหรับตัวตานทานตอขนานกันสองตัวคากระแสไหลผานตัวตานทานตัวใดตัวหนึ่งท่ีตอขนานกันในวงจร คือสัดสวนของคาความตานทานของตัวอื่นตอความตานทานรวม คูณดวยคากระแสของแหลงจาย วงจรนี้แสดงถึงหลักการของการแบงกระแสเปนสวนๆ เรียกทั่วไปวา วงจรแบงกระแส (Current Divider)
สูตร SupplyIRI ×= ั้งสองผลบวกของRท
อีกตัวไหลผานRใด
รูปท่ี 2.8 การแบงกระแส(Current Divider)
พิสูจน จาก KVL : 11Riv =
)//( 21 RRiv S=
สัดสวนกระแส i1 และ iS
1
211 //R
RRii
S
=
SiRRRi ×+
=)( 21
21
ดังนั้นกระแสไหลผาน R1 จะมีคาเทากับ R2 หารดวยผลบวกของ R ทั้งสองคูณดวยแหลงจายกระแส ทํานองเดียวกันกับกระแสไหลผาน R2
จะไดสูตรสําหรับคํานวณหาคากระแสไหลผานตัวตานทานที่ตอขนานกันสองตัวดังนี้
สูตร SupplyIRI ×= ั้งสองผลบวกของRท
อีกตัวไหลผานRใด
หมายเหตุ : วิธีการนี้ใชไดเฉพาะตัวตานทานสองตัวท่ีขนานกันเทานั้น ถาตัวตานทานท่ีมากกวาสองตัวจะตองทําการยุบใหเหลือสองตัวเทานั้นจึงสามารถใชวิธีการน้ีได
2-11
ตัวอยางท่ี 2.4 พิจารณาวงจรในรูป จงหาคาความตานทาน R2 ที่จะใหคาแรงดันตกครอมตัวมันมีคา หนึ่งสวนสี่ของแรงดันจากแหลงจาย VS กําหนดคา R1 = 9 Ohms และถา กําหนดใหคาVS=12V จงหาคากระแสที่ไหลในวงจร
วิธีทํา แรงดันครอมตัวตานทาน R2 คือ
Voltage Divider : SvRR
Rv ×+
=)( 21
22
เนื่องจากเราตองการคา 412 =
Svv ดังนั้น
41
)( 21
2 =+ RRR
21 3RR = จากโจทยกําหนดให R1 = 9 Ω ∴ จะได R2 = 3 Ω
การคํานวณหาคากระแสในวงจร
ตอบ AVRR
vi S 11212
)( 21
=Ω
=+
=
2-12
ตัวอยางท่ี 2.5 พิจารณาวงจรในรูป จงหากระแส i1
วิธีทํา ทําการดัดแปลงวงจรสวนตรงกลางใหงายเขา
ทําการแทนกลับเขาในวงจรเดิมจะไดวงจรดังนี้
ทําการดัดแปลงวงจรสวนตัวตานทาน 3 ตัว ดานหลังดังน้ี สุดทายทําการแทนกลับเขาในวงจรเดิมและคํานวณหาคากระแส i1 ในเทอม iS
2-13
ตัวอยางท่ี 2.6 จากวงจรจงคํานวณหาคา R และ Power ท่ี load 6 Ohms เม่ือกระแส i = 2A
วิธีทํา ทําการดัดแปลงวงจรยุบตัวตานทาน 6 Ω // 30 Ω = 5 Ω
จาก KCL ที่ node a : i1 = 8 - 2 = 6A ใชหลักการ Current Divider หาคากระแส
AR
i 8)57(
)57(×
+++
=
AR
A 812
122 ×+
=
ตอบ Ω= 36R
หาคา Power ที่ Ω 6
ใชหลักการ Current Divider หาคากระแส i2
Ai 6630
302 ×
+=
Ai 52 = WAiP 1506.)5(6. 22
26 =Ω=Ω=Ω
ตอบ WP 1506 =Ω
2-14
ตัวอยางท่ี 2.7 จากวงจรจงคํานวณหาคา R เม่ือ Req = 9 Ohms
short cct ทําใหตัดทิ้ง ค.ต.ท 30 Ω
วิธีทํา ทําการเขียนวงจรใหมใหดูงายขึ้น
ทําการยุบวงจรใหมใหดูงายขึ้น
คํานวณหาคา R
Ω=+++
=
R
Req 95
1011
121
1
ตอบ Ω= 15R
2-15
แบบฝกหัดทายบทที่ 2
1. จากวงจรในรูป (ก) กําหนด R1 = Ω 6 และ R2 = Ω 3 จงหาคากระแส i และแรงดัน v (ข) กําหนด i = 1.5 A และ v = 2 V จงหาคาความตานทาน R1 และ R2 (ค) ถาแหลงจายแรงดันจายกําลัง 24 W และแหลงจายกระแสจายกําลัง 9 W จงหาคากระแส
i และแรงดัน v และหาคาความตานทาน R1 และ R2
2. จากวงจรในรูป จงหาคากําลังที่ตัวตานทานแตละตัวไดรับ 3. จงใชหลักการแบงแรงดันหาคาแรงดัน v1 v2 v3 และ v4 ในวงจรในรูปขางลาง
2-16
4. จงหาคาแรงดัน v ของวงจรในรูป 5. ใหดูแบบฝกหัดในหนังสือภาษาอังกฤษเพิ่มเติม
Richard C. Dorf , “Electric Circuits”, 4th Edition , John Wiley & Son , inc.
ผศ.วิชัย ประเสริฐเจริญสุข 1 มิถุนายน 2552
Top Related