Teoria dos grafos Aula 1 - Introdução ao...

Teoria dos grafosAula 1 - Introducao ao curso

Guilherme Oliveira Mota

Universidade Federal do ABC - UFABC

Sala 530-2 - 5o andar - Torre 2g.mota@ufabc.edu.br

Mota Teoria dos grafos g.mota@ufabc.edu.br 1 / 32

Grafos

Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos

Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆

)e o conjunto de arestas

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo

: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo

: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo: cores nas arestas

, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices

, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas

, pesos nos vertices, orientacao nas arestas

Grafos

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices

, orientacao nas arestas

Grafos

Vertices podem representar pessoas, animais, computadores, fabricas,antenas ...

Arestas podem representar interferencias, relacoes sociais, estradas,conexoes ...

Grafos sao utilizados em areas como Computacao, Ciencias Sociais,Bioinformatica, Linguıstica ...

Grafos

Internet e World Wide Web (WWW)

Redes sociais de amizade

Redes sociais profissionais

Redes de relacionamentos entre empresas

Redes neurais

Redes celulares e metabolicas

Redes de interacao entre genes

Cadeias alimentares

Redes de distribuicao (logıstica, vasos sanguıneos...)

Redes de colaboracao entre pesquisadores

Numero de Erdos

Grafos

Internet e World Wide Web (WWW)

Redes sociais de amizade

Redes sociais profissionais

Redes de relacionamentos entre empresas

Redes neurais

Redes celulares e metabolicas

Redes de interacao entre genes

Cadeias alimentares

Redes de distribuicao (logıstica, vasos sanguıneos...)

Redes de colaboracao entre pesquisadores

Numero de Erdos

Grafos

Grafos pequenos podem ser facilmente visualizados

Grafos

Em grafos grandes a situacao pode ser bem diferente

Grafos

Em grafos grandes a situacao pode ser bem diferente

Grafos

Impossıvel analisar visualmente a estrutura do grafo.O que fazer?

Uso de recursos computacionaisUso de tecnicas sofisticadas envolvendo: combinatoria, probabilidade,algebra ...

Figura: Pesquisadores de Ciencias exatas

Grafos

Objetivos

Conhecer de forma profunda os principais aspectos da Teoria dos GrafosPara isso, vamos entender:

Conceitos basicos

Alguns algoritmos importantes

Propriedades estruturais

Classes importantes de grafos

Resultados classicos em Teoria dos Grafos

Resultados modernos em Teoria dos Grafos

Outros objetivos

Aplicar diversas tecnicas de provas em problemas envolvendo grafos

Adquirir a habilidade de provar resultados com diferentes tecnicas

Acelerar o amadurecimento matematico

Ter contato com diversas vertentes da Teoria dos Grafos

Ver demonstracoes elegantes e importantes

Conseguir resolver problemas reais, utilizando grafos

Informacoes

http://professor.ufabc.edu.br/~g.mota/courses/

Verificar o site com frequencia!

Listas ficarao disponıveis no site

TPI (3-1-4)

Duvidas: g.mota@ufabc.edu.br

Informacoes

TPI (4-0-4)

Informacoes

TPI (4-0-4)

Sobre as aulas

Aulas serao dadas no quadro

Lembrarei alguns conceitos vistos em aulas passadas sempre quenecessario

Perguntas sao sempre bem-vindas! Nao fique sem entender algo porter deixado de fazer uma pergunta

Pre-requisitos

O que e necessario saber para ir bem no curso?Matematica DiscretaProcessamento da InformacaoAlgoritmos e Estruturas de Dados

Pre-requisitos

O que e necessario saber para ir bem no curso?Implicacoes logicasTecnicas de prova (direta, inducao, contrapositiva, contraexemplominimal, contradicao, construtiva, analise de casos, ...)Operacoes e conceitos sobre conjuntosCombinatoria basica

Aula de hoje

Demonstracao / Prova

Teorema

Proposicao

Corolario

Tecnicas de provas

Exemplos de provas

Aula de hoje

Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.

Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.

Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.

Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.

Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.

A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).

Aula de hoje

Metodos de provas

Direta: Usamos uma sequencia de deducoes ate que o resultado sejaprovado.

Contradicao: Supomos que o que se quer provar e falso e obtemosuma contradicao.

Contrapositiva: Para provar resultados do tipo A⇒ B. Supomosque B e falso e provamos que nesse caso A e falso.

Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado e falso econsideramos uma estrutura de menor “tamanho” possıvel em que oresultado e falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existeuma estrutura menor ainda em que o resultado e falso, obtendo umacontradicao.

Metodos de provas

Inducao: Utilizado para provar que propriedades vinculadas aosnumeros naturais sao verdadeiras. Prova-se que o resultado e validopara n = 1, e prova-se que se o resultado e valido para1, 2, . . . , n − 1, entao o resultado e valido para n.

Construtiva: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura exibindo a estrutura desejada.

Probabilıstica: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura atraves de tecnicas probabilısticas. Apesar de garantir aexistencia da estrutura, nao mostra como construı-la.

Analise de casos: Uma certa informacao e particionada em todos oscasos possıveis, e cada um desses casos e demonstradoseparadamente.

Metodos de provas

Provas: tudo muito claro e bem definido

Todos os conceitos devem estar claros

Nao deve haver ambiguidade nas definicoes e nos argumentos

Sempre se pergunte se cada argumento utilizado e valido

Teorema (Um exemplo)

Francisco tem o cabelo grande.

Problema: o que e ter cabelo grande?

Precisamos definir o termo “cabelo grande” de forma clara.

Como provar o teorema?

Exemplo: Prova direta

Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n positivos noteorema a seguir.

Teorema

Se m e n sao numeros pares positivos, entao m + n e par.

Demonstracao.

1 Suponha que m e n sao pares e positivos.

2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.

3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).

4 Logo, por definicao, m + n e par.

Teorema

Demonstracao.1 Suponha que m e n sao pares e positivos.

Teorema

Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstracao.

1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m eımpar ou n e ımpar.

2 Suponha que m + n e ımpar.

3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.

4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.

5 Assuma que n e par.

6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .

7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.

8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.

Teorema

Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e

ımpar ou n e ımpar.

Teorema

Exemplo: Prova por contradicao

Teorema

Demonstracao.

1 Suponha que existem m e n pares e positivos tal que m + n e ımpar.

2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.

3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

5 Mas isso e uma contradicao, pois 2(r + s) e par e 2k + 1 e ımpar.

6 Portanto, como chegamos a uma contradicao, concluımos que m + ne par.

Teorema

Demonstracao.1 Suponha que existem m e n pares e positivos tal que m + n e ımpar.

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Teorema

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Teorema

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Teorema

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Teorema

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Teorema

4 Logo, 2(r + s) = 2r + 2s = m + n = 2k + 1.

Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstracao.

1 Suponha que existem m e n pares e positivos tal que m + n e ımpar.

2 Dentre todos os m e n para os quais vale (1), sejam x e y aquelescom menor soma x + y (e ımpar).

3 Existe inteiro k tal que x + y = 2k + 1.

4 Fazendo x ′ = x − 2, temos quex ′ + y = x − 2 + y = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1

5 Entao x ′ e y formam um par de numeros pares positivos tal quex ′ + y e ımpar.

6 Como x ′ < x , temos uma contradicao com (2).

Teorema

Exemplo: Prova por inducao

Teorema

Demonstracao.

1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.

2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.

3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.

4 Hipotese: Suponha m + n par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

4 Hipotese: Suponha m + n par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .

5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.

Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.

Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .

Portanto n + m = n + 2r

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Teorema

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).

Logo, n + m e par.

Teorema

= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).

Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2

= 2k + 2 = 2(k + 1).

Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2

= 2(k + 1).

Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).

Logo, n + m e par.

Teorema

Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.

Exemplo: Prova por analise de casos

Teorema

Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.

Demonstracao.

Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:

1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.

2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.

3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.

Teorema

Demonstracao.

Teorema

Demonstracao.

Teorema

Demonstracao.

Teorema

Demonstracao.

Exemplo: Prova por construcao

Teorema

Dado um grafo com 5 vertices contendo arestas entre todos os pares devertices, existe uma forma de colorir as arestas desse grafo com duas coresde modo que nao existem triangulos monocromaticos.

Demonstracao.

O grafo a seguir satisfaz a afirmacao.

Exemplo: Prova por construcao

Teorema

Dado um grafo com 5 vertices contendo arestas entre todos os pares devertices, existe uma forma de colorir as arestas desse grafo com duas coresde modo que nao existem triangulos monocromaticos.

Demonstracao.

O grafo a seguir satisfaz a afirmacao.

Exemplo: Prova“se e somente se”

Teorema

Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.

Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.

1 Suponha que m e n sao ımpares.

2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.

3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.

Teorema

Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.

1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.

1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .

Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).

2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.

Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).

Teorema

Mais inducao

Se n ∈ N, entao n2 − n + 41 e primo

Falso! Vale para n = 1, 2, . . . , 40 mas 412 − 41 + 41 = 412, que nao eprimo.

Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito

Falso! O menor valor de n para o qual 991n2 + 1 e um quadradoperfeito e