drJacekNiemiec

Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków

Jacek.Niemiec@ifj.edu.pl

www.oa.uj.edu.pl/J.Niemiec/SymulacjeNumeryczne

1

SymulacjekinetycznePar2cle‐In‐Cellwastrofizycewysokichenergii

Wykład1

SymulacjePar2cle‐In‐Cell

Metodaabini.owfizyceplazmybezzderzeniowej:• rozwiązywanierównańMaxwellanasiatcenumerycznej• rozwiązywanierelatywistycznychrównańruchucząstekwsamouzgodnionympoluEM

Zastosowanie–procesymikrofizycznewplazmie:• relatywistyczneinierelatywistycznefaleuderzeniowe‐ formacjastrukturyszoku‐ generacjapolamagnetycznego‐ przyspieszaniecząstek‐promieniowanie• rekoneksjamagnetyczna• magnetosferypulsarów,Ziemi

Skalemikro<<rozmiarówukładówfizycznych:• symulacjePICwymagająużyciaolbrzymichmocyobliczeniowych(superkomputery)• badaniawymagająwspółpracygrupnaukowych

Wastrofizycewysokichenergiidziedzinastosunkowomłoda(2003‐…)

2

Plazma

3

Układzłożonyznaładowanychcząstek(elektrony,protony,jony),globalnieneutralnyładunkowo.

Wytworzenieplazmywymagawysokiejtemperaturylubistnieniapromieniowaniajonizującego(np.wnętrzegwiazd,obszaryHII)

Plazmastanowi99%materiiweWszechświecie

Różnicezgazemnienaładowanychcząstek:• nawetwplazmieneutralnejładunkowomogąistniećsilneprądygenerującestabilnepolamagetyczne• długozasięgoweoddziaływaniaEMpomiędzycząstkamiprowadządoruchówkolektywnychoraznieliniowychsprzężeńzfalamiwplazmie

Badanieplazmywymagametodinnychniżstosowanewteoriipłynówneutralnych

Plazmabezzderzeniowawobiektachastronomicznych

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Cyg A – gorące plamy (szoki rel.)

Supernowa Keplera – szok nierel.

Błyski Gamma – wewnętrzne i zewnętrze szoki rel.

Krab – szok terminalny wiatru z pulsara (rel.)

4

Listazagadnień

5

• wprowadzeniedofizykiplazmy

• symulacjePar2cle‐In‐Cell‐ ogólnezasadystosowaniametody‐ procedurynumeryczne(kodTRISTAN)‐ wizualizacjawynikóweksperymentównumerycznych‐ niestabilnościnumeryczne‐ symulacjeprostychukładówfizycznych(ćwiczenia)

• programowanierównoległezMessage‐Passing‐Interface(MPI)‐ systemykomputeroweużytecznedosymulacjiPIC‐ metodyrównoleglizacjikodówPIC

• zastosowaniemetodyPICdomodelowaniaprocesówzwiązanychzfalamiuderzeniowymiwplazmiebezzderzeniowej‐ obecnystanbadań‐ wyzwanianaturynumerycznejzwiązaneztematykąszoków

• metodawyznaczaniawidmapromieniowaniacząstekzsymulacjiPIC

• …

Użytecznepodręczniki

6

SymulacjePIC“PlasmaPhysicsViaComputerSimula.on”,C.K.Birdsall,A.B.Langdon

“Computersimula2onusingpar2cles”,R.W.Hockney,J.W.Eastwood

J.M.Dawson,ReviewsofModernPhysics,55,403,19830.Buneman,“TRISTAN”,hmp://www.terrapub.co.jp/e‐library/cspp/pdf/03.pdf

Fizykaplazmy:

“Thephysicsoffluidsandplasmas”,A.R.Choudhuri“Thephysicsofastrophysics”,F.Shu“Introduc.ontoplasmaphysicswithspaceandlaboratoryapplica.ons”,D.A.Gurnem,A.Bhamacharjee

inne…

ModeleukładuNcząstek–teoriedynamiczne

7

Teoriadynamiczna:zbiórzmiennychopisującychstanukładufizycznego+układrównańopisującychewulucjętychzmiennychwczasie

a.teoriakwantowa:funkcjafalowaψ+równanieSchrödingeragazzdegenerowany(gazelektronowywmetalach,białekarły,gwiazdyneutronowe)

b.teoriaklasycznaukładuNcząstek:+prawaNewtona(równaniaHamiltona)

przejściea‐>b:pakietyfalowezwiązanezkażdącząstkąmusząbyćrozdzieloneabyniezachodziłyzjawiskainterferencyjne(tw.Ehrenfesta)

długośćfalideBroglie’a:

średniaodległośćmiędzycząsteczkowa:

ModeleukładuNcząstek–teoriedynamicznec.d.

8

c.teoriakinetycznaukładuN>>1cząstek:funkcjarozkładuwprzestrzenifazowej+równanieBoltzmanna(gazcząsteknienaładowanych)lubrównanieWłasowa(plazma)

d.(magneto)hydrodynamika:+równania(M)HD

Czyukładyastrofizycznemogąbyćopisanejakoośrodkiciągłe?

Kiedynależystosowaćteoriękinetyczną?

Funkcjarozkładu

9

6‐wymiarowaprzestrzeńfazowa:Ncząstek‐>Npunktówwp.f.

–zmienneniezależne,niecharakteryzująceposzczególnychcząstek

–liczbapunktówwmałejobjętościp.f.

Funkcjarozkładu:

gęstośćliczbowa(koncentracja):

normalizacja:

Kinetycznateoriarozrzedzonegogazunienaładowanychcząstek

10

RównanieBoltzmanna:

–opisujedwuciałowezderzeniaelastycznecząstek(oddziaływaniakrótkozasięgowe)

–siłyzewnętrzne;siłyoddziaływaniamiędzycząsteczkowegozawartewfc

–gazcząsteknieoddziałujących:r.BoltzmannawynikaztwierdzeniaLiouvilla

RównanieBoltzmannastosujesiętylkodogazówrozrzedzonych,dlaktórychśredniadrogaswobodnanaoddziaływaniegdziea–promieńcząstek

Przykładowatrajektoriacząstkirozrzedzonegogazuneutralnego

WnioskizrównaniaBoltzmanna

11

Rozwiązaniemr.BoltzmannadlagazówwrównowadzetermodynamicznejjestrozkładMaxwella‐Boltzmanna:

–energiacałkowita

–energiapotencjalnasiłzewnętrznych

DlagazujednorodnegopodsłabymdziałaniemsiłzewnętrznychrozkłademrównowagowymjestrozkładMaxwella:

Równowagowyrozkładprzestrzennycząstek(Boltzmanna):

ProcesdochodzeniadostanurównowagiopisanymrozkłademMaxwellajestprocesemnieodwracalnym(tw.HBoltzmanna,strzałkaczasu).Równowagazapewnionajestdziękioddziaływaniomkrótkozasięgo‐wym(zderzeniombinarnym),któresąodwracalne.Równowagazapewnionajestnaskalach>>

Gazrozrzedzonyjakoośrodekciągły–hydrodynamika

12

Funkcjarozkładuniejestmierzalnąwielkościąfizyczną.Mierzyćmożnajedyniemomentyfunkcjirozkładu(wielkościmakroskopowe)np.:

gęstość:

średniaprędkość:

gęstośćenergiitermicznej:

Opierającsięnazałożeniu,żewzderzeniachmiędzycząstkamispełnionesązasadyzachowaniaenergiiipędumożnaobliczyćmomentyrównaniaBoltzmanna.Otrzymanywtensposóbukładrównań(równaniamomentów)wiążemomentyfunkcjirozkładu,leczliczbatychrównańjestmniejszaodliczbyzmiennych.

Teoriędynamiczną(hydrodynamikę)wyprowadzasięzrównańmomentówzakładając:• lokalnąrównowagętermodynamicznąopisanąrozkłademMaxwellawukładzieodniesieniawspółporuszającymsięzelementempłynu,• możliwośćwystępowaniatylkomałychlokalnychodstępstwodrozładuMaxwella,copozwalauwzględnićzjawiskatransportu(przewodnictwocieplne,lepkość).Przytakichzałożeniachrównaniamomentówprowadządorównaniastanugazudoskonałego.

Równaniahydrodynamiki

13

równanieciągłości:

r.Naviera‐Stokesa:

prawozach.energii:

prędkośćelementupłynuwukładzieLAB,ciśnienie,siłanajednostkęmasy

współczynniklepkości,przewodnościcieplnej

Zfaktu,żelokalnarównowagatermodynamicznazapewnionajestprzezzderzeniapomiędzycząstkamiwidać,żewystępowaniezderzeńjestkonieczneabygazrozrzedzonyzachowywałsięjakośrodekciągły.ZatemopisHDmazastosowaniegdyrozmiarukładu

TesamerównaniaHDmożnatakżewyprowadzićwramachmakroskopowegomodeluośrodkówciągłych.Stosująsięwięconetakżedopłynówgęstych.Zmodelumakroskopowegoniewidaćjednakjasno,żeHDopisujetakżegazrozrzedzony.

Hydrodynamikapoprawnieopisujeukładbezoddziaływańdługozasięgowych.

DługośćekranowaniaDebye’a

14

RozważmywpływnaotoczenieładunkuQumieszczonegowjednorodnejplazmiewrównowadzetermicznej

gęstośćładunku:

Wnowymstanierównowagimamy:

r.Poissona

rozkładładunków(dla)(dla)

Stąd:

Zatem:–ładunekQjestekranowanynaodległościachwiększychod.

–długośćDebye’a(Debyelength)

DługośćekranowaniaDebye’ac.d.

15

Chociażpoleelektrycznezwiązanezładunkiemzasadniczorozciągasiędonieskonczoności,wpływładunkuwplazmiejestodczuwanyprzezinnecząstkitylkowewnątrzobjętościrzęduλD3–objętośćDebye’a.

IlośćcząstekwewnątrzobjętościDebye’adajemiaręliczbycząstek,któreoddziałująjednocześnieisąodpowiedzialnezazjawiskakolektywnewplazmie.

Naskalachplazmastanowigazneutralnyładunkowo.

wiatrsłoneczny,ISM:λD=103cmjonosfera: λD=10‐1cmwyładowaniawgazie:λD=10‐2cmwnętrzeSłońca:λD=10‐9cm

Częstośćplazmowa

16

Rozważmyjednorodnąplazmę,wktórejczęśćelektrówzostałaprzesuniętawzględemrównowagowychpołożeńnaodległość

Przesunięcieładunkówpowodujepojawieniesiępolaelektrycznego,którepróbujeprzywrócićstanrównowagi

Dlamamy:

Pozwólmyterazelektronomporuszaćsię;zgodniezrównaniemruchumamy:

codajerównanieoscylatoraharmonicznego

zczęstością:

częstośćplazmowa(plasmafrequency)oscylacjeLangmuira,

!2pe =

ne2

"0me

Częstośćplazmowac.d.–związekzλD

17

Numerycznawartośćczęstościplazmowejzależytylkoodgęstościplazmy:

Dlaplazmywieloskładnikowejdefiniujesięosobnodlakażdejpopulacji“s”:

leczposzczególnepopulacjenieoscylująniezależnie.Dlaplazmyelektronowo‐protonowej:

,ponieważ

Tylkozaburzeniaoczęstościmogąpowodowaćrozdzielenieładunkówwplazmie.Wprzeciwnymwypadkuszybkieoscylacjeelektrostatyczneprzywrócąlokalnąneutralnośćładunkową.WielkoskalowezjawiskaelektromagnetycznewplazmieprowadzązazwyczajdozaburzeńoczęstościcoodpowiadareżimowiMHD.

CzęstośćplazmowaidługośćDebye’asązwiązaneformułą:

gdziejestprędkościątermicznącząstek.

!2ps =

nse2s

"0ms

Zderzeniacząsteknaładowanychwplazmie

18

Rozpraszaniekulombowskie:• przekrójczynnynarozpraszanierozbieżnydlamałychkątówrozpraszania–dużychparametrówzderzeniab

• ekranowanieDebye’aeliminujetenproblemaλDzadajebmax

• cząstkiwplazmiepodlegaćbędąrozpraszaniuomałekątyczęściejniżrozpraszaniuodużykąt(por.zderzenianeutralnychcząstek)

• zderzeniaburząkolektywneruchyplazmyponieważzazwyczajzachodząpomiędzyparącząstek

• częstośćzderzeńelektron‐jon:

wzórRutherforda

Typowatrajektorianaładowanejcząstkiwplazmie

Definicjaplazmy–parametrplazmowyg

19

Długozasięgoweoddziaływaniaelektrostatycznezapewniająneutralnośćładunkowąplazmydlastatystyczniereprezentatywnejilościcząstek.NierównomiernościwrozkładzieładunkudlaplazmywrównowadzepojawićsięmogąjedynienaskalachprzestrzennychmniejszychodλDiskalachczasowychkrótszychod1/ωpe.

Plazmajestneutralnaładunkowogdy:

Parametrplazmowy:

–układzdominowanyprzezoddziaływaniakolektywne;definicjaplazmy

Stosunekenergiikinetycznejdoenergiipotencjalnejdlaparycząstek:

gdy

Wtejsamejgranicy:plazmabezzderzeniowa(collisionlessplasma)

Reprezentatywneparametryplazmyastrofizycznej

20

Kinetycznateoriaplazmybezzderzeniowej–równanieWłasowa

21

DlaukładuNcząstekoddziałującychpoprzezsiłydługozasięgowemożliwejestsformułowanieteoriikinetycznej,opisującejczasowąewolucjęfunkcjirozkładucząstek,wychodzączpodstawowychtwierdzeńmechanikistatystycznej.Ścisłerozwiązanietejteoriiniejesttrywialne.ZaniedbującoddziaływaniapomiędzyparamicząstekwyprowadzasięrównanieWłasowa(Vlasovequa.on):

–siładziałającanacząstkęwpołożeniupochodzącaododdziaływańdługozasięgowychwszystkichinnychcząstek

RóżnicezbezzderzeniowymrównaniemBoltzmanna:• r.Boltzmannanieuwzględniasiłdługozasięgowych,F–tylkosiłazewnętrzna,zderzeniabinarnezaniedbane• wteoriiplazmyzderzeniapomiędzycząstkamitrudnedozdefiniowania,wodpowiednikuczłonuzfczr.BoltzmannaznajdujesięwrównaniuWłasowadwucząstkowafunkcjakorelacji,któraopisujeoddziaływaniepomiędzynajbliższymicząstkami• zaniedbanietejfunkcjikorelacjioznaczazaniedbaniezderzeń

Kinetycznateoriaplazmybezzderzeniowej–równanieWłasowa

22

DlasiłelektromagnetycznychrównanieWłasowaprzybierapostać:

Funkcjerozkładuzdefiniowanesąoddzielniedlakażdejpopulacjicząstek(np.j=e,pitp.)

Polaelektromagnetycznegenerowanesąprzezruchykolektywnecząstekatakżezewnętrzneładunkiiprądy.ZewzględunatonieliniowesprzężeniepomiędzypolamiEMacząstkamidopełnegoopisuplazmyużywasięrównaniaWłasowairównańMaxwella.Definiującgęstośćładunkuiprądu

mamy:

Równaniatenajpełniejopisujądynamikęplazmybezzderzeniowej.

RównanieWłasowac.d.

23

ZrównaniaWłasowaniedasięwyprowadzićrównowagowejfunkcjirozkładu.

DowolnapoczątkowafunkcjarozkładuniewyewoluujezgodniezrównaniemWłasowadorozkładuMaxwella.

Ogólnateoriakinetycznaplazmypokazujejednak,żeplazmaosiągniestanrównowagiprzyudzialedwucząstkowegorozpraszania(zderzeń)cząstek.StantenjestopisanyrozkłademMaxwella.

EwolucjęfunkcjirozkładuwobecnościrozpraszaniaomałekątyopisujerównanieFokkera‐Plancka.

Magnetohydrodynamika

24

RównaniaMHD:

DwaostatnierównaniatorównanieindukcjiorazuproszczoneprawoOhma.σtowspółczynnikprzewodnościelektrycznej.Zaniedbujesięprądprzesunięciaizakładapolitropowerównaniestanu.

ZakresstosowalnościMHD

25

NiedasięrygorystyczniewyprowadzićMHDzteoriikinetycznej,stądteżniemożnajednoznaczniewyznaczyćgranicstosowalnościopisupłynowegoplazmy.

OgólnierównaniaMHDstosująsiędozjawisk,wktórychreakcjaelektronówijonówjesttakasama(brakrozdzielnościładunkowej).MamywięcL>>λDiT>>1/ωpe.

DladługichodcinkówczasuTniemożnapominąćzderzeńwukładzie,stądplazmabędziewstanierównowagitermodynamicznej.

PolemagnetycznemożetakżeutrzymywaćcząstkiplazmywelemencieorozmiarzepromieniaLarmorarL.ZatemdlaL>>rLmodelośrodkaciągłegomożebyćzastosowanynawetdlaplazmybezzderzeniowej.

DlanierównowagowychfunkcjirozkładuopisMHDmożebyćnieadekwatny(np.tłumienieLandaua)–wyprowadzającrównaniaMHDobliczasiękilkapierwszychmomentówfunkcjirozkładu;dlaniedostatecznieszybkomalejącychfunkcjiczęśćinformacjimożeniezostaćujęta.Doukładówopisanychtakimifunkcjaminależystosowaćteoriękinetyczną(wniektórychprzypadkachmodeldwupłynowy).