Symulacje kinetyczne Parcle‐In‐Cell w astrofizyce wysokich ... · Zastosowanie – procesy...
Transcript of Symulacje kinetyczne Parcle‐In‐Cell w astrofizyce wysokich ... · Zastosowanie – procesy...
drJacekNiemiec
Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków
www.oa.uj.edu.pl/J.Niemiec/SymulacjeNumeryczne
1
SymulacjekinetycznePar2cle‐In‐Cellwastrofizycewysokichenergii
Wykład1
SymulacjePar2cle‐In‐Cell
Metodaabini.owfizyceplazmybezzderzeniowej:• rozwiązywanierównańMaxwellanasiatcenumerycznej• rozwiązywanierelatywistycznychrównańruchucząstekwsamouzgodnionympoluEM
Zastosowanie–procesymikrofizycznewplazmie:• relatywistyczneinierelatywistycznefaleuderzeniowe‐ formacjastrukturyszoku‐ generacjapolamagnetycznego‐ przyspieszaniecząstek‐promieniowanie• rekoneksjamagnetyczna• magnetosferypulsarów,Ziemi
Skalemikro<<rozmiarówukładówfizycznych:• symulacjePICwymagająużyciaolbrzymichmocyobliczeniowych(superkomputery)• badaniawymagająwspółpracygrupnaukowych
Wastrofizycewysokichenergiidziedzinastosunkowomłoda(2003‐…)
2
Plazma
3
Układzłożonyznaładowanychcząstek(elektrony,protony,jony),globalnieneutralnyładunkowo.
Wytworzenieplazmywymagawysokiejtemperaturylubistnieniapromieniowaniajonizującego(np.wnętrzegwiazd,obszaryHII)
Plazmastanowi99%materiiweWszechświecie
Różnicezgazemnienaładowanychcząstek:• nawetwplazmieneutralnejładunkowomogąistniećsilneprądygenerującestabilnepolamagetyczne• długozasięgoweoddziaływaniaEMpomiędzycząstkamiprowadządoruchówkolektywnychoraznieliniowychsprzężeńzfalamiwplazmie
Badanieplazmywymagametodinnychniżstosowanewteoriipłynówneutralnych
Plazmabezzderzeniowawobiektachastronomicznych
The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.
Cyg A – gorące plamy (szoki rel.)
Supernowa Keplera – szok nierel.
Błyski Gamma – wewnętrzne i zewnętrze szoki rel.
Krab – szok terminalny wiatru z pulsara (rel.)
4
Listazagadnień
5
• wprowadzeniedofizykiplazmy
• symulacjePar2cle‐In‐Cell‐ ogólnezasadystosowaniametody‐ procedurynumeryczne(kodTRISTAN)‐ wizualizacjawynikóweksperymentównumerycznych‐ niestabilnościnumeryczne‐ symulacjeprostychukładówfizycznych(ćwiczenia)
• programowanierównoległezMessage‐Passing‐Interface(MPI)‐ systemykomputeroweużytecznedosymulacjiPIC‐ metodyrównoleglizacjikodówPIC
• zastosowaniemetodyPICdomodelowaniaprocesówzwiązanychzfalamiuderzeniowymiwplazmiebezzderzeniowej‐ obecnystanbadań‐ wyzwanianaturynumerycznejzwiązaneztematykąszoków
• metodawyznaczaniawidmapromieniowaniacząstekzsymulacjiPIC
• …
Użytecznepodręczniki
6
SymulacjePIC“PlasmaPhysicsViaComputerSimula.on”,C.K.Birdsall,A.B.Langdon
“Computersimula2onusingpar2cles”,R.W.Hockney,J.W.Eastwood
J.M.Dawson,ReviewsofModernPhysics,55,403,19830.Buneman,“TRISTAN”,hmp://www.terrapub.co.jp/e‐library/cspp/pdf/03.pdf
Fizykaplazmy:
“Thephysicsoffluidsandplasmas”,A.R.Choudhuri“Thephysicsofastrophysics”,F.Shu“Introduc.ontoplasmaphysicswithspaceandlaboratoryapplica.ons”,D.A.Gurnem,A.Bhamacharjee
inne…
ModeleukładuNcząstek–teoriedynamiczne
7
Teoriadynamiczna:zbiórzmiennychopisującychstanukładufizycznego+układrównańopisującychewulucjętychzmiennychwczasie
a.teoriakwantowa:funkcjafalowaψ+równanieSchrödingeragazzdegenerowany(gazelektronowywmetalach,białekarły,gwiazdyneutronowe)
b.teoriaklasycznaukładuNcząstek:+prawaNewtona(równaniaHamiltona)
przejściea‐>b:pakietyfalowezwiązanezkażdącząstkąmusząbyćrozdzieloneabyniezachodziłyzjawiskainterferencyjne(tw.Ehrenfesta)
długośćfalideBroglie’a:
średniaodległośćmiędzycząsteczkowa:
ModeleukładuNcząstek–teoriedynamicznec.d.
8
c.teoriakinetycznaukładuN>>1cząstek:funkcjarozkładuwprzestrzenifazowej+równanieBoltzmanna(gazcząsteknienaładowanych)lubrównanieWłasowa(plazma)
d.(magneto)hydrodynamika:+równania(M)HD
Czyukładyastrofizycznemogąbyćopisanejakoośrodkiciągłe?
Kiedynależystosowaćteoriękinetyczną?
Funkcjarozkładu
9
6‐wymiarowaprzestrzeńfazowa:Ncząstek‐>Npunktówwp.f.
–zmienneniezależne,niecharakteryzująceposzczególnychcząstek
–liczbapunktówwmałejobjętościp.f.
Funkcjarozkładu:
gęstośćliczbowa(koncentracja):
normalizacja:
Kinetycznateoriarozrzedzonegogazunienaładowanychcząstek
10
RównanieBoltzmanna:
–opisujedwuciałowezderzeniaelastycznecząstek(oddziaływaniakrótkozasięgowe)
–siłyzewnętrzne;siłyoddziaływaniamiędzycząsteczkowegozawartewfc
–gazcząsteknieoddziałujących:r.BoltzmannawynikaztwierdzeniaLiouvilla
RównanieBoltzmannastosujesiętylkodogazówrozrzedzonych,dlaktórychśredniadrogaswobodnanaoddziaływaniegdziea–promieńcząstek
Przykładowatrajektoriacząstkirozrzedzonegogazuneutralnego
WnioskizrównaniaBoltzmanna
11
Rozwiązaniemr.BoltzmannadlagazówwrównowadzetermodynamicznejjestrozkładMaxwella‐Boltzmanna:
–energiacałkowita
–energiapotencjalnasiłzewnętrznych
DlagazujednorodnegopodsłabymdziałaniemsiłzewnętrznychrozkłademrównowagowymjestrozkładMaxwella:
Równowagowyrozkładprzestrzennycząstek(Boltzmanna):
ProcesdochodzeniadostanurównowagiopisanymrozkłademMaxwellajestprocesemnieodwracalnym(tw.HBoltzmanna,strzałkaczasu).Równowagazapewnionajestdziękioddziaływaniomkrótkozasięgo‐wym(zderzeniombinarnym),któresąodwracalne.Równowagazapewnionajestnaskalach>>
Gazrozrzedzonyjakoośrodekciągły–hydrodynamika
12
Funkcjarozkładuniejestmierzalnąwielkościąfizyczną.Mierzyćmożnajedyniemomentyfunkcjirozkładu(wielkościmakroskopowe)np.:
gęstość:
średniaprędkość:
gęstośćenergiitermicznej:
Opierającsięnazałożeniu,żewzderzeniachmiędzycząstkamispełnionesązasadyzachowaniaenergiiipędumożnaobliczyćmomentyrównaniaBoltzmanna.Otrzymanywtensposóbukładrównań(równaniamomentów)wiążemomentyfunkcjirozkładu,leczliczbatychrównańjestmniejszaodliczbyzmiennych.
Teoriędynamiczną(hydrodynamikę)wyprowadzasięzrównańmomentówzakładając:• lokalnąrównowagętermodynamicznąopisanąrozkłademMaxwellawukładzieodniesieniawspółporuszającymsięzelementempłynu,• możliwośćwystępowaniatylkomałychlokalnychodstępstwodrozładuMaxwella,copozwalauwzględnićzjawiskatransportu(przewodnictwocieplne,lepkość).Przytakichzałożeniachrównaniamomentówprowadządorównaniastanugazudoskonałego.
Równaniahydrodynamiki
13
równanieciągłości:
r.Naviera‐Stokesa:
prawozach.energii:
prędkośćelementupłynuwukładzieLAB,ciśnienie,siłanajednostkęmasy
współczynniklepkości,przewodnościcieplnej
Zfaktu,żelokalnarównowagatermodynamicznazapewnionajestprzezzderzeniapomiędzycząstkamiwidać,żewystępowaniezderzeńjestkonieczneabygazrozrzedzonyzachowywałsięjakośrodekciągły.ZatemopisHDmazastosowaniegdyrozmiarukładu
TesamerównaniaHDmożnatakżewyprowadzićwramachmakroskopowegomodeluośrodkówciągłych.Stosująsięwięconetakżedopłynówgęstych.Zmodelumakroskopowegoniewidaćjednakjasno,żeHDopisujetakżegazrozrzedzony.
Hydrodynamikapoprawnieopisujeukładbezoddziaływańdługozasięgowych.
DługośćekranowaniaDebye’a
14
RozważmywpływnaotoczenieładunkuQumieszczonegowjednorodnejplazmiewrównowadzetermicznej
gęstośćładunku:
Wnowymstanierównowagimamy:
r.Poissona
rozkładładunków(dla)(dla)
Stąd:
Zatem:–ładunekQjestekranowanynaodległościachwiększychod.
–długośćDebye’a(Debyelength)
DługośćekranowaniaDebye’ac.d.
15
Chociażpoleelektrycznezwiązanezładunkiemzasadniczorozciągasiędonieskonczoności,wpływładunkuwplazmiejestodczuwanyprzezinnecząstkitylkowewnątrzobjętościrzęduλD3–objętośćDebye’a.
IlośćcząstekwewnątrzobjętościDebye’adajemiaręliczbycząstek,któreoddziałująjednocześnieisąodpowiedzialnezazjawiskakolektywnewplazmie.
Naskalachplazmastanowigazneutralnyładunkowo.
wiatrsłoneczny,ISM:λD=103cmjonosfera: λD=10‐1cmwyładowaniawgazie:λD=10‐2cmwnętrzeSłońca:λD=10‐9cm
Częstośćplazmowa
16
Rozważmyjednorodnąplazmę,wktórejczęśćelektrówzostałaprzesuniętawzględemrównowagowychpołożeńnaodległość
Przesunięcieładunkówpowodujepojawieniesiępolaelektrycznego,którepróbujeprzywrócićstanrównowagi
Dlamamy:
Pozwólmyterazelektronomporuszaćsię;zgodniezrównaniemruchumamy:
codajerównanieoscylatoraharmonicznego
zczęstością:
częstośćplazmowa(plasmafrequency)oscylacjeLangmuira,
!2pe =
ne2
"0me
Częstośćplazmowac.d.–związekzλD
17
Numerycznawartośćczęstościplazmowejzależytylkoodgęstościplazmy:
Dlaplazmywieloskładnikowejdefiniujesięosobnodlakażdejpopulacji“s”:
leczposzczególnepopulacjenieoscylująniezależnie.Dlaplazmyelektronowo‐protonowej:
,ponieważ
Tylkozaburzeniaoczęstościmogąpowodowaćrozdzielenieładunkówwplazmie.Wprzeciwnymwypadkuszybkieoscylacjeelektrostatyczneprzywrócąlokalnąneutralnośćładunkową.WielkoskalowezjawiskaelektromagnetycznewplazmieprowadzązazwyczajdozaburzeńoczęstościcoodpowiadareżimowiMHD.
CzęstośćplazmowaidługośćDebye’asązwiązaneformułą:
gdziejestprędkościątermicznącząstek.
!2ps =
nse2s
"0ms
Zderzeniacząsteknaładowanychwplazmie
18
Rozpraszaniekulombowskie:• przekrójczynnynarozpraszanierozbieżnydlamałychkątówrozpraszania–dużychparametrówzderzeniab
• ekranowanieDebye’aeliminujetenproblemaλDzadajebmax
• cząstkiwplazmiepodlegaćbędąrozpraszaniuomałekątyczęściejniżrozpraszaniuodużykąt(por.zderzenianeutralnychcząstek)
• zderzeniaburząkolektywneruchyplazmyponieważzazwyczajzachodząpomiędzyparącząstek
• częstośćzderzeńelektron‐jon:
wzórRutherforda
Typowatrajektorianaładowanejcząstkiwplazmie
Definicjaplazmy–parametrplazmowyg
19
Długozasięgoweoddziaływaniaelektrostatycznezapewniająneutralnośćładunkowąplazmydlastatystyczniereprezentatywnejilościcząstek.NierównomiernościwrozkładzieładunkudlaplazmywrównowadzepojawićsięmogąjedynienaskalachprzestrzennychmniejszychodλDiskalachczasowychkrótszychod1/ωpe.
Plazmajestneutralnaładunkowogdy:
Parametrplazmowy:
–układzdominowanyprzezoddziaływaniakolektywne;definicjaplazmy
Stosunekenergiikinetycznejdoenergiipotencjalnejdlaparycząstek:
gdy
Wtejsamejgranicy:plazmabezzderzeniowa(collisionlessplasma)
Reprezentatywneparametryplazmyastrofizycznej
20
Kinetycznateoriaplazmybezzderzeniowej–równanieWłasowa
21
DlaukładuNcząstekoddziałującychpoprzezsiłydługozasięgowemożliwejestsformułowanieteoriikinetycznej,opisującejczasowąewolucjęfunkcjirozkładucząstek,wychodzączpodstawowychtwierdzeńmechanikistatystycznej.Ścisłerozwiązanietejteoriiniejesttrywialne.ZaniedbującoddziaływaniapomiędzyparamicząstekwyprowadzasięrównanieWłasowa(Vlasovequa.on):
–siładziałającanacząstkęwpołożeniupochodzącaododdziaływańdługozasięgowychwszystkichinnychcząstek
RóżnicezbezzderzeniowymrównaniemBoltzmanna:• r.Boltzmannanieuwzględniasiłdługozasięgowych,F–tylkosiłazewnętrzna,zderzeniabinarnezaniedbane• wteoriiplazmyzderzeniapomiędzycząstkamitrudnedozdefiniowania,wodpowiednikuczłonuzfczr.BoltzmannaznajdujesięwrównaniuWłasowadwucząstkowafunkcjakorelacji,któraopisujeoddziaływaniepomiędzynajbliższymicząstkami• zaniedbanietejfunkcjikorelacjioznaczazaniedbaniezderzeń
Kinetycznateoriaplazmybezzderzeniowej–równanieWłasowa
22
DlasiłelektromagnetycznychrównanieWłasowaprzybierapostać:
Funkcjerozkładuzdefiniowanesąoddzielniedlakażdejpopulacjicząstek(np.j=e,pitp.)
Polaelektromagnetycznegenerowanesąprzezruchykolektywnecząstekatakżezewnętrzneładunkiiprądy.ZewzględunatonieliniowesprzężeniepomiędzypolamiEMacząstkamidopełnegoopisuplazmyużywasięrównaniaWłasowairównańMaxwella.Definiującgęstośćładunkuiprądu
mamy:
Równaniatenajpełniejopisujądynamikęplazmybezzderzeniowej.
RównanieWłasowac.d.
23
ZrównaniaWłasowaniedasięwyprowadzićrównowagowejfunkcjirozkładu.
DowolnapoczątkowafunkcjarozkładuniewyewoluujezgodniezrównaniemWłasowadorozkładuMaxwella.
Ogólnateoriakinetycznaplazmypokazujejednak,żeplazmaosiągniestanrównowagiprzyudzialedwucząstkowegorozpraszania(zderzeń)cząstek.StantenjestopisanyrozkłademMaxwella.
EwolucjęfunkcjirozkładuwobecnościrozpraszaniaomałekątyopisujerównanieFokkera‐Plancka.
Magnetohydrodynamika
24
RównaniaMHD:
DwaostatnierównaniatorównanieindukcjiorazuproszczoneprawoOhma.σtowspółczynnikprzewodnościelektrycznej.Zaniedbujesięprądprzesunięciaizakładapolitropowerównaniestanu.
ZakresstosowalnościMHD
25
NiedasięrygorystyczniewyprowadzićMHDzteoriikinetycznej,stądteżniemożnajednoznaczniewyznaczyćgranicstosowalnościopisupłynowegoplazmy.
OgólnierównaniaMHDstosująsiędozjawisk,wktórychreakcjaelektronówijonówjesttakasama(brakrozdzielnościładunkowej).MamywięcL>>λDiT>>1/ωpe.
DladługichodcinkówczasuTniemożnapominąćzderzeńwukładzie,stądplazmabędziewstanierównowagitermodynamicznej.
PolemagnetycznemożetakżeutrzymywaćcząstkiplazmywelemencieorozmiarzepromieniaLarmorarL.ZatemdlaL>>rLmodelośrodkaciągłegomożebyćzastosowanynawetdlaplazmybezzderzeniowej.
DlanierównowagowychfunkcjirozkładuopisMHDmożebyćnieadekwatny(np.tłumienieLandaua)–wyprowadzającrównaniaMHDobliczasiękilkapierwszychmomentówfunkcjirozkładu;dlaniedostatecznieszybkomalejącychfunkcjiczęśćinformacjimożeniezostaćujęta.Doukładówopisanychtakimifunkcjaminależystosowaćteoriękinetyczną(wniektórychprzypadkachmodeldwupłynowy).