Post on 10-Aug-2020
Sterowanie Procesami CiągłymiDyskretyzacja modeli w przestrzeni stanu ciągłych stacjonarnych
systemów dynamicznych
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś
13.12.2010, Gdańsk
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 1 / 33
Komputerowy system sterowania
Komputersterujący ZOH OBIEKT
e(kT)e(t) u(kT) u(t)yzad(t) y(t)
-
ZOHu(kT) u(t)
e(kT)e(t)
sygnałciągły
sygnał dyskretny
sygnał dyskretny
sygnałciągły
sample (układ próbkujący)
interpolator zerowego rzędu (zero order hold)
Rysunek 1: Komputerowy system sterowania i jego komponenty
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 2 / 33
Komputerowy system sterowania
Błąd nadążania przez wyjście sterowane obiektu y(t) za trajektorią zadanąy zad(t)
e(t) = y zad(t)− y(t)
jest próbkowany (ang. sampled) w chwilach t0 + kT , dla k = 0, 1, 2, 3, . . .produkując ciąg dyskretnych w czasie wartości błędu,
e(t0 + kT ), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie T jest czasem próbkowania (ang. sampling interval)
Definiując
e(k) , e(t0 + kT )
Otrzymujemy dyskretny w czasie sygnałe(k), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie k jest zmienną dyskretnego czasu.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 3 / 33
Próbkowanie sygnału ciągłego
t0 t0+T t0+2T t0+3T t
e(t) e(t0+kT)
t0 t0+T t0+2T t0+3T t
e(t0)
e(t0+T)
e(t0+2T)
e(t0+3T)
e(k)
0 1 2 3 k
e(0)
e(1)
e(2)
e(3)
Rysunek 2: Proces próbkowania sygnału ciągłego
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 4 / 33
Komputerowy system sterowania
Próbkowany sygnał błędu jest przetwarzany przez algorym sterowaniaznajdujący sie w komputerze generując sygnały syterujące,
u(t0 + kT )
w chwilach,tk = t0 + kT
Np.
u(t0+kT ) = 4u(t0+(k−1)T )+2e(t0+kT )+5[e(t0+kT )−e(t0+(k−1)T )]
lub krócej,u(k) = 4u(k − 1) + 2e(k) + 5[e(k)− e(k − 1)]
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 5 / 33
Interpolator
Po to aby skutecznie oddziaływać na obiekt sygnał sterujący dyskretnymusi być przetworzony w sygnał ciągły w czasie. Wymaga to zdefiniowania(interpolacji) wartości sygnału w chwilach pomiędzy kT oraz (k + 1)T
Interpolator zerowego rzędu
u(t) , u(kT ) dla kT ¬ t ¬ (k + 1)T , k̇ = 1, 2, 3, . . .
Jest to sygnał przedziałami stały. Wpływ takiego sygnału na obiektinercyjny na takie wejście pokazana jest na Rysunku (3).
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 6 / 33
Interpolator zerowego rzędu
t0 t0+T t0+2T t0+3T t,k0 1 2 3
t,ky(t)
u(t),u(k)
y(0)y(1)
y(2)
y(3)
u(0)
u(1)
u(2)
u(3)
Rysunek 3: ZOH i wyjście inercji pierwszego rzeduprof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 7 / 33
Interpolator zerowego rzędu
Wyjście obiektu jest ciągłe w czasie, ale komputer sterujący może ocenićna bieżąco jakość generowanego sterowania jedynie w dyskretnychchwilach próbkowania błędu nadążania (fikcyjny sampler na wyjściuobiektu). Projektant układu sterowania potrzebuje znajomości relacji
u(k)→ u(t)
która jest liniowa ale niestacjonarna.Z drugiej strony szybkie (częste) próbkowanie daje dobrą informację ociągłym błędzie e(t), a jak zaraz zostanie pokazane relacja
u(k)→ y(k)
jest zarówno liniowa jak i stacjonarna.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 8 / 33
Dyskretyzacja
Niech model w przestrzeni stanu dynamiki obiektu na Rys. 1 z czasemciągłym będzie opisany,
dxdt
= Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
gdzie, x(t) ∈ Rnx , y(t) ∈ Rny oraz u(t) ∈ Rnu
Potrzebujemyu(kT )→ y(kT ) (1)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 9 / 33
Dyskretyzacja
Wyprowadzimy powyższą zależność pomiędzy próbkami sygnałusterującego i próbkami wymuszanego wyjścia dla obiektu pierwszego rzędu,
dxdt
= ax(t) + bu(t)
y(t) = cx(t)
Stąd otrzymujemy
x(t) = ea(t−t̄0)x(t̄0) +
∫ tt̄0
ea(t−τ)bu(τ)dτ (2)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 10 / 33
Dyskretyzacja
Niech t = t0 + (k + 1)T oraz t̄0 = t0 + kT , wówczas z (2)
x(t0 + (k + 1)T )) = eaT x(t0 + kT ) +
∫ t0+(k+1)T
t0+kTea(t0+(k+1)T−τ)bu(τ)dτ
Niech t0 = 0, wówczas
x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) +
∫ (k+1)T
kTea((k+1)T−τ)b u(τ)dτ =
= eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ (k+1)T
kTe−aτb u(τ)dτ =
= eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ (k+1)T
kTe−aτdτ b u(kT ) (3)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 11 / 33
Dyskretyzacja
Następnie zastosujmy w (3) następujące podstawienie,t = τ − kT
Rozpatrując dolną granice całkowania,τ = kT → t = 0
Dla górnej granicy całkowania,τ = (k + 1)T → t = T
Oraz,dτ = dt
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 12 / 33
Dyskretyzacja
x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ T0
e−a(t+kT )dt b u(kT ) =
= eaT x(kT ) +
∫ T0
e−a(T−t)dt b u(kT ) (4)
Stosujemy w (4) kolejne podstawienie,p = T − t
Rozpatrując dolną granice całkowania,t = 0→ p = T
Dla górnej granicy całkowania,t = T → p = 0
Oraz,dt = −dp
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 13 / 33
Dyskretyzacja
Otrzymujemy
x((k + 1)T ) = eaT x(kT )−∫ 0T
eapdp b u(kT ) =
= eaT x(kT ) +
∫ T0
eapdp b u(kT )
Ostatecznie otrzymujemy:
x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) +∫ T0 eapdp b u(kT )
x(0) = x(t0)(5)
eaT - macierz stanu w modelu dyskretnym w przestrzeni stanu,eaT = eat
∣∣t=T
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 14 / 33
Dyskretyzacja
b∫ T0 eapdp - wzmocnienie sterowania (całka macierzy tranzycji stanu
obiektu ciągłego na przedziale próbkowania) wzmocniona przezwzmocnienie sterowania w modelu obiektu ciągłego w przestrzeni stanu.
Dyskretyzacja równania wyjścia
y(t) = cx(t)∣∣t=kT
y(kT ) = cx(kT ) (6)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 15 / 33
Dyskretyzacja
Ostatecznie równania (5) i (6) stanowią model w przestrzeni stanudokładnie zdyskretyzowanego w sensie wartości próbek wejścia i wyjścia,obiektu ciągłego dla klasy wejść przedziałami stałych. Dlatego ten modelnazywa się równoważnym w sensie ZOH, przy czym to ostatnie dotyczyklasy sygnałów wejściowych.
Każdy sygnał ciągły i gładki można dowolnie dokładnie aproksymowaćsygnałem przedziałami stałym. A wiec dyskretny model może być dowolniebliski ciągłemu jeśli czas próbkowania jest wystarczająco mały.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 16 / 33
Dyskretyzacja
Uwaga 1Parametry modelu zdyskretyzowanego typu ZOH zależą od okresupróbkowania.
Uwaga 2Model (5), (6) sam w sobie jest modelem dyskretnym w przestrzeni stanudynamiki dyskretnej relacji wejście-wyjście (wyjścia dyskretnego obiektudynamicznego).Dane sterowanie u(kT ) w chwili kT oraz stan x(kT ) w chwili kT , nowystan x((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowany przez równanie stanu(5).Wartość wyjścia y((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowana przezrównanie wyjścia (6).
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 17 / 33
Dyskretyzacja
Dla systemów MIMO z czasem ciągłym, dyskretyzacja typu ZOH wprzestrzeni stanu ma postać,
x((k + 1)T ) = F (T )x(kT ) + H(T )u(kT ) (7)
y(kT ) = Cx(kT ) (8)
gdzie,
F (T ) = eAT - macierz tranzycji stanu systemu MIMO.
H(T ) =∫ T0 eApdp B - macierz wzmocnień sterowania
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 18 / 33
DyskretyzacjaPrzybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )
Niech A−1 istnieje, wówczas
H(T ) =
∫ T0
eApdp = A−1[eAp]T0 = A−1[eAT − I ] (9)
Rozważmy w (9) wyrażenie,eAT − I
Z definicji macierzy tranzycji stanu,
eAT = I + AT +12!
A2T 2 +13!
A3T 3 + . . .
więc,
eAT − I = AT +12!
A2T 2 +13!
A3T 3 + . . .
oraz
A−1[eAT − I ] = T +12!
AT 2 +13!
A2T 3 + . . . (10)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 19 / 33
DyskretyzacjaPrzybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )
Wyrażenie (10) jest punktem wyjścia do uzyskania przybliżeń wzorudokładnego (9) w zależności od liczby kolejnych wykorzystanychelementów szeregu (10).
Przybliżenie 1 rzędu Hp1(T )
przybliżenie A−1[eAT − I ] ≈ TI
generuje Hp1(T ) ≈ TB
Przybliżenie 2 rzędu Hp2(T )
przybliżenie A−1[eAT − I ] ≈ TI + T 22 A
generuje Hp2(T ) ≈ (TI + T 22 A)B
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 20 / 33
Sampled data system
ZOH OBIEKTr(kT)r(t) u(t) y(t) y(kT)
Sampled Data System
Rozważmy system przedstawiony na rysunku powyżej z wejście r(t) iwyjście y(t). Dynamika systemu jest taka, że w transformacji wejścia r(t)do wyjścia y(t) uczestniczą zarówno elementy dyskretne (sampler), ciagłe(obiekt) oraz mieszane (ZOH), generując sygnały z czasem zarównociągłym i dyskretnym. Dlatego taki system nosi nazwe,
Sampled Data System
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 21 / 33
Sampled data system
Dynamika obiektu z czasem ciągłym dana jest przez transmitancje,
G (s) =Y (s)
U(s)=
1s + 1
(11)
Zakładając wystarczająco mały czas próbkowania T znajdziemy dyskretnąw czasie aproksymacje ciągłej w czasie relacji wejście - wyjście sampleddata system.Będzie to zależność pomiędzy próbkami,
r(kT ), y(kT )
sygnałów r(t) oraz y(t) pokazany na Rys. 23. Aproksymacja ta będziedokładna dokładna dla sygnałów r(t) przedziałami stałych dla dowolnegoczasu próbkowania.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 22 / 33
Sample Data System
r(t) y(t)Sampled Data System
r(kT) ya(kT)dyskretna w czasie
aproksymacja SDS
Rysunek 4:
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 23 / 33
Sampled data system
W celu zaprojektowania tej aproksymacji zastosujemy dyskretyzacjęobiektu ciągłego metodą ZOH.Rzeczywiście, dla sygnałów r(t) stałych na przedziałach o długości Tzachodzi,
u(kT ) = r(kT )
Dyskretyzacja obiektu metodą ZOH jest dokładna dla sygnałówwejściowych przedziałami stałych. A więc próbki wyjścia SDS będądokładnie takie same jak wyjście dyskretyzacji ZOH obiektu ciągłego,pobudzanej sygnałem dyskretnym r(kT ).
r(kT) ya(kT)=y(kT)dyskretyzacja ZOH obiektu ciągłego
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 24 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłego
Równania stanu
sY (s) + Y (s) = U(s)
Korzystając z odwrotnej tranformaty Laplace’a otrzymujemy,dydt
+ y(t) = u(t)
dydt
= −y(t) + u(t)
Definiującx , y
Otrzymujemydxdt
= −x(t) + u(t)
y(t) = x(t)(12)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 25 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłego
Dyskretyzacja obiektu metodą ZOHZ (12),
eAt = e−t
oraz,F (T ) = e−T
i
H(T ) =
∫ T0
e−pdp = 1− e−T
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 26 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłego
Ostatecznie dykretyzacja ZOH obiektu ma postać,
x(k + 1) = e−T x(k) + (1− e−T )u(k)y(k) = x(k)
(13)
Gdzie,x(k) , x(t0 + kT )
u(k) , u(t0 + kT )
Dyskretyzacja metodą ZOHPonieważ
u(k) = r(k)
wiec z (13) otrzymujemy dokładną aproksymacje dyskretną SDSx(k + 1) = e−T x(k) + (1− e−T )r(k)y(k) = x(k)
(14)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 27 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłegoZależność od czasu próbkowania
Dla dwóch różnych czasów próbkowania,T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek
mamy z (14), żex(k + 1) = 0, 37x(k) + 0, 63u(k) (15)
orazx(k + 1) = 0, 9x(k) + 0, 1u(k) (16)
a więc dwa różne równania stanu.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 28 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłegoZależność od czasu próbkowania
Sprawdzmy teraz dokładność aproksymacji wzmocnienia sterowania,Dla szybkiego próbkowania z T = 0, 1sek ,
Hp1(T ) = TB = 0, 1 · 1 = 0, 1
czyli przybliżenie 1 rzędu jest dokładne.Dla wolnego próbkowania z T = 1sek ,
Hp1(T ) = TB = 1 · 1 = 1 6= 0, 63
oraz,
Hp2(T ) = (TI +T 2
2A)B = (1 +
12
(−1))1 = 0, 5 6= 0, 63
Potrzebne jest zatem przybliżenie rzędu większego niż drugi.
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 29 / 33
Przykład 2
Dany jest SDS, gdzie dynamika ciągłego obiektu dynamicznego jestdrugiego rzędu i opisana jest przez transmitancję,
G (s) =Y (s)
U(s)=
1s(s + 2)
(17)
Model w przestrzeni stanu takiego układu jest następujący,s2Y (s) + 2sY (s) = U(s)
A zatem w dziedzinie czasu,d2ydt2
+ 2dydt
= u(t) (18)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 30 / 33
Przykład 2
Zmienne stanu,c)x1 , yx2 ,
dydt
Stąd równania stanu mają postać,dx1dt
= x2
dx2dt
= −2x1 + u
y = x1
Oraz w postaci macierzowej,dxdt
=
[0 10 −2
]x +
[01
]u
y =[
1 0]
x
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 31 / 33
Przykład 2
Macierz stanu i wejścia obiektu ciągłego ma postac,
A =
[0 10 −2
], B =
[01
]
Stąd macierz tranzycji stanu systemu ciągłego można wyznaczyć jako,
eAt = L−1[(sI − A)−1] =
[1 12(1− e−2t)
0 e−2t
]
Stąd,
F (t) = eAT =
[1 12(1− e−2T )
0 e−2T
]
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 32 / 33
Przykład 2
Oraz macierz wzmocnień sterowania,
H(T ) =
∫ T0
eApdtB =
∫ T0
[1 12(1− e−2p)
0 e−2p
]dp
[01
]
=
[12(T + e−2T−1
2 )12(1− e−2T )
]
Dyskretne modele SDS dla T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek
x(k + 1) =
[x1(k + 1)x2(k + 1)
]=
[1 0, 4320 0, 135
] [x1(k)x2(k)
]+
[0, 2840, 432
]u(k)
oraz
x(k + 1) =
[x1(k + 1)x2(k + 1)
]=
[1 0, 090 0, 82
] [x1(k)x2(k)
]+
[0
0, 1
]u(k)
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 33 / 33