Sterowanie Procesami Ciągłymi‚ad...(5) eaT - macierz stanu w modelu dyskretnym w przestrzeni...

Sterowanie Procesami CiągłymiDyskretyzacja modeli w przestrzeni stanu ciągłych stacjonarnych

systemów dynamicznych

prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś

13.12.2010, Gdańsk

prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 1 / 33

Komputerowy system sterowania

Komputersterujący ZOH OBIEKT

e(kT)e(t) u(kT) u(t)yzad(t) y(t)

-

ZOHu(kT) u(t)

e(kT)e(t)

sygnałciągły

sygnał dyskretny

sygnał dyskretny

sygnałciągły

sample (układ próbkujący)

interpolator zerowego rzędu (zero order hold)

Rysunek 1: Komputerowy system sterowania i jego komponenty



Błąd nadążania przez wyjście sterowane obiektu y(t) za trajektorią zadanąy zad(t)

e(t) = y zad(t)− y(t)

jest próbkowany (ang. sampled) w chwilach t0 + kT , dla k = 0, 1, 2, 3, . . .produkując ciąg dyskretnych w czasie wartości błędu,

e(t0 + kT ), k = 1, 2, 3, . . .

gdzie T jest czasem próbkowania (ang. sampling interval)

Definiując

e(k) , e(t0 + kT )

Otrzymujemy dyskretny w czasie sygnałe(k), k = 1, 2, 3, . . .

gdzie k jest zmienną dyskretnego czasu.


Próbkowanie sygnału ciągłego

t0 t0+T t0+2T t0+3T t

e(t) e(t0+kT)

t0 t0+T t0+2T t0+3T t

e(t0)

e(t0+T)

e(t0+2T)

e(t0+3T)

e(k)

0 1 2 3 k

e(0)

e(1)

e(2)

e(3)

Rysunek 2: Proces próbkowania sygnału ciągłego



Próbkowany sygnał błędu jest przetwarzany przez algorym sterowaniaznajdujący sie w komputerze generując sygnały syterujące,

u(t0 + kT )

w chwilach,tk = t0 + kT

Np.

u(t0+kT ) = 4u(t0+(k−1)T )+2e(t0+kT )+5[e(t0+kT )−e(t0+(k−1)T )]

lub krócej,u(k) = 4u(k − 1) + 2e(k) + 5[e(k)− e(k − 1)]


Interpolator

Po to aby skutecznie oddziaływać na obiekt sygnał sterujący dyskretnymusi być przetworzony w sygnał ciągły w czasie. Wymaga to zdefiniowania(interpolacji) wartości sygnału w chwilach pomiędzy kT oraz (k + 1)T

Interpolator zerowego rzędu

u(t) , u(kT ) dla kT ¬ t ¬ (k + 1)T , k̇ = 1, 2, 3, . . .

Jest to sygnał przedziałami stały. Wpływ takiego sygnału na obiektinercyjny na takie wejście pokazana jest na Rysunku (3).



t0 t0+T t0+2T t0+3T t,k0 1 2 3

t,ky(t)

u(t),u(k)

y(0)y(1)

y(2)

y(3)

u(0)

u(1)

u(2)

u(3)

Rysunek 3: ZOH i wyjście inercji pierwszego rzeduprof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś () Sterowanie Procesami Ciągłymi 13.12.2010, Gdańsk 7 / 33


Wyjście obiektu jest ciągłe w czasie, ale komputer sterujący może ocenićna bieżąco jakość generowanego sterowania jedynie w dyskretnychchwilach próbkowania błędu nadążania (fikcyjny sampler na wyjściuobiektu). Projektant układu sterowania potrzebuje znajomości relacji

u(k)→ u(t)

która jest liniowa ale niestacjonarna.Z drugiej strony szybkie (częste) próbkowanie daje dobrą informację ociągłym błędzie e(t), a jak zaraz zostanie pokazane relacja

u(k)→ y(k)

jest zarówno liniowa jak i stacjonarna.


Dyskretyzacja

Niech model w przestrzeni stanu dynamiki obiektu na Rys. 1 z czasemciągłym będzie opisany,

dxdt

= Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

gdzie, x(t) ∈ Rnx , y(t) ∈ Rny oraz u(t) ∈ Rnu

Potrzebujemyu(kT )→ y(kT ) (1)


Dyskretyzacja

Wyprowadzimy powyższą zależność pomiędzy próbkami sygnałusterującego i próbkami wymuszanego wyjścia dla obiektu pierwszego rzędu,

dxdt

= ax(t) + bu(t)

y(t) = cx(t)

Stąd otrzymujemy

x(t) = ea(t−t̄0)x(t̄0) +

∫ tt̄0

ea(t−τ)bu(τ)dτ (2)


Dyskretyzacja

Niech t = t0 + (k + 1)T oraz t̄0 = t0 + kT , wówczas z (2)

x(t0 + (k + 1)T )) = eaT x(t0 + kT ) +

∫ t0+(k+1)T

t0+kTea(t0+(k+1)T−τ)bu(τ)dτ

Niech t0 = 0, wówczas

x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) +

∫ (k+1)T

kTea((k+1)T−τ)b u(τ)dτ =

= eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ (k+1)T

kTe−aτb u(τ)dτ =

= eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ (k+1)T

kTe−aτdτ b u(kT ) (3)


Dyskretyzacja

Następnie zastosujmy w (3) następujące podstawienie,t = τ − kT

Rozpatrując dolną granice całkowania,τ = kT → t = 0

Dla górnej granicy całkowania,τ = (k + 1)T → t = T

Oraz,dτ = dt


Dyskretyzacja

x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) + ea((k+1)T )∫ T0

e−a(t+kT )dt b u(kT ) =

= eaT x(kT ) +

∫ T0

e−a(T−t)dt b u(kT ) (4)

Stosujemy w (4) kolejne podstawienie,p = T − t

Rozpatrując dolną granice całkowania,t = 0→ p = T

Dla górnej granicy całkowania,t = T → p = 0

Oraz,dt = −dp


Dyskretyzacja

Otrzymujemy

x((k + 1)T ) = eaT x(kT )−∫ 0T

eapdp b u(kT ) =

= eaT x(kT ) +

∫ T0

eapdp b u(kT )

Ostatecznie otrzymujemy:

x((k + 1)T ) = eaT x(kT ) +∫ T0 eapdp b u(kT )

x(0) = x(t0)(5)

eaT - macierz stanu w modelu dyskretnym w przestrzeni stanu,eaT = eat

∣∣t=T


Dyskretyzacja

b∫ T0 eapdp - wzmocnienie sterowania (całka macierzy tranzycji stanu

obiektu ciągłego na przedziale próbkowania) wzmocniona przezwzmocnienie sterowania w modelu obiektu ciągłego w przestrzeni stanu.

Dyskretyzacja równania wyjścia

y(t) = cx(t)∣∣t=kT

y(kT ) = cx(kT ) (6)


Dyskretyzacja

Ostatecznie równania (5) i (6) stanowią model w przestrzeni stanudokładnie zdyskretyzowanego w sensie wartości próbek wejścia i wyjścia,obiektu ciągłego dla klasy wejść przedziałami stałych. Dlatego ten modelnazywa się równoważnym w sensie ZOH, przy czym to ostatnie dotyczyklasy sygnałów wejściowych.

Każdy sygnał ciągły i gładki można dowolnie dokładnie aproksymowaćsygnałem przedziałami stałym. A wiec dyskretny model może być dowolniebliski ciągłemu jeśli czas próbkowania jest wystarczająco mały.


Dyskretyzacja

Uwaga 1Parametry modelu zdyskretyzowanego typu ZOH zależą od okresupróbkowania.

Uwaga 2Model (5), (6) sam w sobie jest modelem dyskretnym w przestrzeni stanudynamiki dyskretnej relacji wejście-wyjście (wyjścia dyskretnego obiektudynamicznego).Dane sterowanie u(kT ) w chwili kT oraz stan x(kT ) w chwili kT , nowystan x((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowany przez równanie stanu(5).Wartość wyjścia y((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowana przezrównanie wyjścia (6).


Dyskretyzacja

Dla systemów MIMO z czasem ciągłym, dyskretyzacja typu ZOH wprzestrzeni stanu ma postać,

x((k + 1)T ) = F (T )x(kT ) + H(T )u(kT ) (7)

y(kT ) = Cx(kT ) (8)

gdzie,

F (T ) = eAT - macierz tranzycji stanu systemu MIMO.

H(T ) =∫ T0 eApdp B - macierz wzmocnień sterowania


DyskretyzacjaPrzybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )

Niech A−1 istnieje, wówczas

H(T ) =

∫ T0

eApdp = A−1[eAp]T0 = A−1[eAT − I ] (9)

Rozważmy w (9) wyrażenie,eAT − I

Z definicji macierzy tranzycji stanu,

eAT = I + AT +12!

A2T 2 +13!

A3T 3 + . . .

więc,

eAT − I = AT +12!

A2T 2 +13!

A3T 3 + . . .

oraz

A−1[eAT − I ] = T +12!

AT 2 +13!

A2T 3 + . . . (10)


DyskretyzacjaPrzybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )

Wyrażenie (10) jest punktem wyjścia do uzyskania przybliżeń wzorudokładnego (9) w zależności od liczby kolejnych wykorzystanychelementów szeregu (10).

Przybliżenie 1 rzędu Hp1(T )

przybliżenie A−1[eAT − I ] ≈ TI

generuje Hp1(T ) ≈ TB

Przybliżenie 2 rzędu Hp2(T )

przybliżenie A−1[eAT − I ] ≈ TI + T 22 A

generuje Hp2(T ) ≈ (TI + T 22 A)B


Sampled data system

ZOH OBIEKTr(kT)r(t) u(t) y(t) y(kT)

Sampled Data System

Rozważmy system przedstawiony na rysunku powyżej z wejście r(t) iwyjście y(t). Dynamika systemu jest taka, że w transformacji wejścia r(t)do wyjścia y(t) uczestniczą zarówno elementy dyskretne (sampler), ciagłe(obiekt) oraz mieszane (ZOH), generując sygnały z czasem zarównociągłym i dyskretnym. Dlatego taki system nosi nazwe,

Sampled Data System


Sampled data system

Dynamika obiektu z czasem ciągłym dana jest przez transmitancje,

G (s) =Y (s)

U(s)=

1s + 1

(11)

Zakładając wystarczająco mały czas próbkowania T znajdziemy dyskretnąw czasie aproksymacje ciągłej w czasie relacji wejście - wyjście sampleddata system.Będzie to zależność pomiędzy próbkami,

r(kT ), y(kT )

sygnałów r(t) oraz y(t) pokazany na Rys. 23. Aproksymacja ta będziedokładna dokładna dla sygnałów r(t) przedziałami stałych dla dowolnegoczasu próbkowania.


Sample Data System

r(t) y(t)Sampled Data System

r(kT) ya(kT)dyskretna w czasie

aproksymacja SDS

Rysunek 4:


Sampled data system

W celu zaprojektowania tej aproksymacji zastosujemy dyskretyzacjęobiektu ciągłego metodą ZOH.Rzeczywiście, dla sygnałów r(t) stałych na przedziałach o długości Tzachodzi,

u(kT ) = r(kT )

Dyskretyzacja obiektu metodą ZOH jest dokładna dla sygnałówwejściowych przedziałami stałych. A więc próbki wyjścia SDS będądokładnie takie same jak wyjście dyskretyzacji ZOH obiektu ciągłego,pobudzanej sygnałem dyskretnym r(kT ).

r(kT) ya(kT)=y(kT)dyskretyzacja ZOH obiektu ciągłego


Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłego

Równania stanu

sY (s) + Y (s) = U(s)

Korzystając z odwrotnej tranformaty Laplace’a otrzymujemy,dydt

+ y(t) = u(t)

dydt

= −y(t) + u(t)

Definiującx , y

Otrzymujemydxdt

= −x(t) + u(t)

y(t) = x(t)(12)



Dyskretyzacja obiektu metodą ZOHZ (12),

eAt = e−t

oraz,F (T ) = e−T

i

H(T ) =

∫ T0

e−pdp = 1− e−T



Ostatecznie dykretyzacja ZOH obiektu ma postać,

x(k + 1) = e−T x(k) + (1− e−T )u(k)y(k) = x(k)

(13)

Gdzie,x(k) , x(t0 + kT )

u(k) , u(t0 + kT )

Dyskretyzacja metodą ZOHPonieważ

u(k) = r(k)

wiec z (13) otrzymujemy dokładną aproksymacje dyskretną SDSx(k + 1) = e−T x(k) + (1− e−T )r(k)y(k) = x(k)

(14)


Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłegoZależność od czasu próbkowania

Dla dwóch różnych czasów próbkowania,T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek

mamy z (14), żex(k + 1) = 0, 37x(k) + 0, 63u(k) (15)

orazx(k + 1) = 0, 9x(k) + 0, 1u(k) (16)

a więc dwa różne równania stanu.


Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłegoZależność od czasu próbkowania

Sprawdzmy teraz dokładność aproksymacji wzmocnienia sterowania,Dla szybkiego próbkowania z T = 0, 1sek ,

Hp1(T ) = TB = 0, 1 · 1 = 0, 1

czyli przybliżenie 1 rzędu jest dokładne.Dla wolnego próbkowania z T = 1sek ,

Hp1(T ) = TB = 1 · 1 = 1 6= 0, 63

oraz,

Hp2(T ) = (TI +T 2

2A)B = (1 +

12

(−1))1 = 0, 5 6= 0, 63

Potrzebne jest zatem przybliżenie rzędu większego niż drugi.


Przykład 2

Dany jest SDS, gdzie dynamika ciągłego obiektu dynamicznego jestdrugiego rzędu i opisana jest przez transmitancję,

G (s) =Y (s)

U(s)=

1s(s + 2)

(17)

Model w przestrzeni stanu takiego układu jest następujący,s2Y (s) + 2sY (s) = U(s)

A zatem w dziedzinie czasu,d2ydt2

+ 2dydt

= u(t) (18)


Przykład 2

Zmienne stanu,c)x1 , yx2 ,

dydt

Stąd równania stanu mają postać,dx1dt

= x2

dx2dt

= −2x1 + u

y = x1

Oraz w postaci macierzowej,dxdt

=

[0 10 −2

]x +

[01

]u

y =[

1 0]

x


Przykład 2

Macierz stanu i wejścia obiektu ciągłego ma postac,

A =

[0 10 −2

], B =

[01

]

Stąd macierz tranzycji stanu systemu ciągłego można wyznaczyć jako,

eAt = L−1[(sI − A)−1] =

[1 12(1− e−2t)

0 e−2t

]

Stąd,

F (t) = eAT =

[1 12(1− e−2T )

0 e−2T

]


Przykład 2

Oraz macierz wzmocnień sterowania,

H(T ) =

∫ T0

eApdtB =

∫ T0

[1 12(1− e−2p)

0 e−2p

]dp

[01

]

=

[12(T + e−2T−1

2 )12(1− e−2T )

]

Dyskretne modele SDS dla T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek

x(k + 1) =

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[1 0, 4320 0, 135

] [x1(k)x2(k)

]+

[0, 2840, 432

]u(k)

oraz

x(k + 1) =

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[1 0, 090 0, 82

] [x1(k)x2(k)

]+

[0

0, 1

]u(k)


Sterowanie Procesami Ciągłymi‚ad...(5) eaT - macierz stanu w modelu dyskretnym w przestrzeni...

Documents

Transcript of Sterowanie Procesami Ciągłymi‚ad...(5) eaT - macierz stanu w modelu dyskretnym w przestrzeni...