1

PrPrąąd zmiennyd zmienny

prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC)

prąd elektryczny, którego nat ężenie zmienia si ę w czasie.

2

Oś czasu

Oś warto ści natężenia prądu

3

Definicja natężenia prądu zmiennego

0≠=dt

dqi

q – ładunek,t – czas

„Nat ężeniem pr ądu nazywamy iloraz warto ści ładunku dq przep ływaj ącego w jednostce czasu dt przez poprzeczny przekrój przewodnika”

4

Prąd elektryczny o sinusoidalnym przebiegu w czasie„pr ąd sinusoidalny”

Jest to pr ąd przemienny, czyli symetryczny wzgl ędem osi czasu, zmieniaj ący si ę w czasie wg zale żności

( )tIi m ωsin=gdzie

i-natężenie prądu (prąd) -wartość chwilowa,

Im-amplituda prądu (największa wartość funkcjisinusoidalnej),

ω - pulsacja

t – czas

5

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωω t

prąd

i

Wykres prądu sinusoidalnego w funkcji kąta. Strzałki pokazują umowny kierunek ruchu ładunków.

6

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360 450 540 630 720 810 900 990 1080

kąt ωωωω t

prą

d i

7

( )tIi m ωsin=

Z wzoru wynika, że

wielkość zawarta w nawiasie (ωt) jest argumentem funkcji trygonometrycznej, a więc jest kątem, czyli jest drogą kątową.

Droga k ątowa = pr ędkość kątowa x czas

t⋅= ωα

Oznacza to, że ω ma sens prędkości kątowej

8

Można również napisać

( )αsinmIi =

Jednostką α (kąta) jest radian lub stopień.

Zależność pomiędzy miarą kąta wyrażoną w stopniach i w radianach jest następująca:

kąt w radianach = (kąt w stopniach/180). π

4180

4545

ππαα =⋅

== o

9

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωωt

prąd

i

ππππ

Im

Wykres prądu sinusoidalnego w zależności od kąta wyrażonego w stopniach i w radianach.

10

Okres

Okres T jest odstępem pomiędzy jednakowymi wartościami prądu sinusoidalnego (rosnącego lub malejącego).

Np. pomiędzy odpowiednimi wartościami zerowymi (rysunek).

Miarą okresu jest czas., po którym następuje powtórzenie przebiegu.

Miarą okresu jest również kąt (okres odpowiada kątowi 2π lub 360 stopniom).

11

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωωtprąd

i

ππππ →→→→ 180o→→→→ 1/2 T

ππππ T/2T

2π2π2π2π

Im

Sinusoida z zaznaczonymi wielko ściami na osi „czasu”.½okresu (1/2T) odpowiada: 180 w stopniach

ππππ w radianach1 okres (T) odpowiada: 360 w stopniach

2ππππ w radianach

12

Częstotliwo ść

Częstotliwość f jest wielkością określającą ile pełnych okresów przebiegu sinusoidalnego przypada na 1 sekundę.

Częstotliwość

Tf

1=

HzT

f 5002,0

11 ===

sT 02,0=

13

HzGHz

HzMHz

HzkHz

9

6

3

101

101

101

=

==

14

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωω t

prą

d i

Częstotliwość 50Hz i 150Hz

Częstotliwość 50Hz i 150Hz

15

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωω t

prą

d i

Częstotliwość 50Hz i 250Hz

16

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 90 180 270 360

kąt ωωωω t

prą

d i

Częstotliwość 50Hz, 150Hz i 250Hz

17

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Wave_frequency.gif

18

Fale radioweTHzkHz 33 −

19

Podzia ł pasma radiowego

LFLow frequency1-10 km30-300

kHz

fale kilometrowe, f

ale długie

VLFVery low frequency

10-100 km3-30kHz

fale myriametrowe,

fale bardzo długie

ULFUltra low frequency

100-1000 km

300-3000 Hz

SLFSuper low frequency

1-10 tys. km

30-300 Hz

ELFExtremely low

frequency10-100 tys.km

3-30Hz

Skrót angielski

Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw

ośćNazwa fal

20

VHFVery high frequency

1-10 m30-300 MHz

fale metrowe, fale ultrakrótkie

HFHigh frequency10-100 m3-30MHzfale

dekametrowe,fale krótkie

MFMedium

frequency100-

1000m300-3000

kHz

fale hektometrowe,

fale średnie

Skrót angielski

Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw

ośćNazwa fal

21

100-1000µm

300-3000 GHz

fale submilimetrow

e

EHFExtremely high

frequency1-10 mm

30-300 GHz

fale milimetrowe

SHFSuper high frequency

10-100 mm

3-30GHzfale

centymetrowe

UHFUltra high frequency

100-1000mm

300-3000 MHz

fale decymetrowe

Skrót angielski

Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw

ośćNazwa fal

22

Faza początkowaPokazane dotychczas przebiegi sinusoidalne były narysowane w taki sposób, że miejsce zerowe sinusoidy przypadało w początku układu współrzędnych.

Jest to wygodny sposób prezentowania przebiegu sinusoidalnego, bowiem w jego opisie matematycznym nie występuje tzw „przesunięcie fazowe”, czyli dodatkowy kąt ilustrujący odłegłośćprzejścia sinusoidy przez zero od początku układu wpspółrzędnych,

Przykłady:

23

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

( )tIi m ωsin=

Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta 0 do 360 stopni

Faza początkowa równa zeru

24

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

( )tIi m ωsin=

Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta -360 do +360 stopni

Faza początkowa równa zeru

25

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

Faza początkowa o30=ψ

Faza początkowa nie jest równa zeru

( )30sin += tIi m ω

26

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

Faza początkowa nie jest równa zeru

Faza początkowa o60−=ψ

( )60sin −= tIi m ω

27

Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym

mI

o45=ψ-15

0

15

-180 -90 0 90 180 270 360

kąt ωωωωt

prą

d i

φφφφ=450

)sin( ψω += tIi m )45sin( += tIi m ω

28

Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym

mI

o45−=ψ

-15

0

15

-180 -90 0 90 180 270 360

kąt ωωωωt

prą

d i

φφφφ=-450

)sin( ψω −= tIi m

)45sin( −= tIi m ω

29

Zakres zmian

odood 3600 == ψψ

30

Przesuni ęcie fazowe

Dwie wielkości sinusoidalne mogą być w fazie tj. φ1=φ2 lub mogą

być przesunięte względem siebie w fazie φ1≠φ2.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

o6021 −==ψψSinusoidy znajduj ące si ę w fazie

31

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

Sinusoidy przesuni ęte wzgl ędem siebie w fazie

o301=ψ

o602 −=ψ

Różnica faz = przesuni ęcie fazowe

21 ψψϕ −=o90)60(30 00 =−−=ϕ

32

1mI2mI

o30=ϕ

( )1sin11 ψω += tIi m

( )2sin22 ψω += tIi m

Ilustracja przesuni ęcia fazowego na wykresie wskazowym

33

1mI2mIo30=ϕ

( )30sin11 += tIi m ω

( )tIi m ωsin22 =

Modyfikacja poprzedniego wykresu o01=ψ

34

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

( )30sin11 −= tIi m ω( )tIi m ωsin22 = czerwony

niebieski

35

Warto ści zast ępcze pr ądu zmiennego

Operowanie wartością chwilową prądu zmiennego jest bardzo kłopotliwe. Wartość ta nie odzwierciedla bezpośrednio działania energetycznego prądu, które jest efektem jego przepływu w dłuższym czasie.

W związku z tym wprowadzono bardzo wygodną metodęzastępowania wielkości chwilowych przez wielkości uśrednione w czasie.

Takimi wielko ściami u średnionymi s ą:warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego, warto ść średnia pr ądu sinusoidalnego

36

Warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego

DEFINICJA

Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego nazywamy takąwartość prądu stałego, który płynąc przez rezystor w czasie t=T wywołuje wydzielenie się takiej samej ilości energii cieplnej jak prąd sinusoidalny.

R I Porównanie

Przy prądzie stałym można napisać:

TRIA 2====

37

R i

Energia przy prądzie zmiennym zmienia się w czasie, wobec zmian wartości prądu. Jej wartość chwilowa Jest proporcjonalna do kwadratu wartości chwilowej prądu.

W dłuższym czasie przyjętym do rozważań, a mianowicie w czasie okresu T, jej wartość jest równa:

∫∫∫∫∫∫∫∫ ========TT

dtiRdtRiA0

2

0

2

Założono tutaj, że rezustancja R=const.

38

Ponieważ dążymy do uzyskania równoważności obu przypadków (prąd stały, prąd zmienne) z punktu widzenia energetycznego przyjmujemy, że przy prądzie zmiennym i odpowiednim prądzie stałym wydziela się taka sama energia cieplna.

∫∫∫∫ ====T

TRIdtiR0

22

Otrzymujemy ogólną (niezależną od przebiegu prądu zmiennego) definicjęwartości skutecznej prądu zmiennego

∫∫∫∫====T

0

2dtiT1

I

39

W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym podstawiamy

( )tIi m ωsin=

(((( ))))dttsinIT1

IT

0

22m∫∫∫∫==== ωωωω

(((( ))))dttsinT1

IIT

0

2m ∫∫∫∫==== ωωωω

40

mm

2m I707,0

2

I

2

II ≈≈≈≈========

Warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego

Interpretację wartości skutecznej prądu przedstawia rysunek poniżej.

-20

0 90 180 270 360

kąt ωωωω t

prą

d i,

kw

adra

t i I

i

~i^2

41

Warto ść średnia pr ądu zmiennego

Wartością średnią wielkości zmiennej w czasie nazywamy wyrażenie

∫∫∫∫====T

0

sr idtT1

I

W przypadku prądu sinusoidalnego (przemiennego) wartośćśrednia jest równa 0.

Wynika to z wykresu funkcji sinusoidalnej, która jest symetryczna ( z przesunięciem o T/2) względem osi czasu. W praktyce wielkość ta ma znaczenie nie dla pełnego okresu, lecz dla T/2, co dotyczy przypadku prostowania prądu zmiennego za pomocą tzw. prostowników. Wtedy definicja wartości średniej jest następująca

42

(((( )))) mm

2

T

0

m

2

T

0

sr I637,0I2

dttsinIT2

idtT2

I ≈≈≈≈============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ππππωωωω

-1 0

0

1 0

0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0

k ą t ωωωω t

prą

d i,

I, Is

r I I sr

43

Podsumowanie

1. Wielkości sinusoidalne mogą mieć różne częstotliwości, różne fazy początkowe, różne przesunięcia fazowe oraz różne amplitudy.

2. W praktyce, zwykle rozważamy sinusoidy o jednakowych częstotliwościach (częstotliwość techniczna 50Hz) o różnych amplitudach, przesunięte w fazie.

3. W celu uproszczenia możliwości operowania prądem sinusoidalnym wprowadza się zastępczą wielkość o nazwie „wartość skuteczna prądu”, która odpowiada prądowi zmiennemu z punktów widzenia efektu energetycznego.

44

4. Uproszczenie ilustracji graficznych wartości prądów, ich przesunięcia fazowego umożliwia przedstawienie prądów na wykresie wskazowym. Wartość skuteczna (lub rzadziej maksymalna) prądu jest tu przedstawiana w postaci strzałki o długości proporcjonalnej do wartości prądu.

5. Usytuowanie strzałki (wskazu) na płaszczyźnie w odniesieniu do osi poziomej określa fazę początkową, zaś w odniesieniu do innego wskazu, określa przesunięcie fazowe pomiędzy wskazami.

45

Podsumowanie dc.

Wszystkie dotychczas pokazane wykresy, zależności i metody dotyczące prądów odnoszą się w tym samym stopniu napięć:

Wyróżniamy zatem w odniesieniu do prądów i napięć:

Wartości chwilowe

Wartości maksymalne

Wartości skuteczne

ui,

mm UI ,

UI ,

46-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

Sinusoida napi ęcia i sinusoida pr ądu

U

Iw

47

Elementy pasywne w obwodach pr ądu zmiennego

Rezystancja (rezystor, opornik)

Indukcyjność (cewka)

Pojemność (kondensator)

[ ]ΩR

[ ]HL

[ ]FC

48

Funkcje energetyczne elementów pasywnych

Rezystor (R):

W rezystorze następuje przetwarzanie energii elektrycznej na energię cieplną.

Cewka (L)

W cewce, energia związana z przepływem prądu elektrycznego, jest magazynowana w polu magnetycznym.

Kondensator (C)

W kondensatorze, energia związana z ładunkami na okładkach jest magazynowana w polu elektrycznym.

49

Trzy elementy pasywne R, L, C odgrywają w obwodach prądu zmiennego zasadniczą rolę przy tworzeniu pola magnetycznego elektrycznego (elektromagnetycznego) i przekształcaniu energii elektrycznej na energię cieplna.

Zależność warto ści R, L, C elementów pasywnych od ich parametrów materiałowych i

konstrukcji

50

l

Sρρρρ

Sl

R ρρρρ====

l

Sρρρρ

Sl

R ρρρρ====

Rezystor:

Rezystor (opornik) charakteryzuje wartość rezystancji (oporności). W przypadku oporników wykonanych z drutu obowiązuje tu zależność:

[ ]Ω=s

lR ρ

51

Wartość rezystancji jest tym większa im dłuższy jest drut, z którego wykonany jest rezystor, im większa jest jego rezystywność oraz im mniejszy przekrój poprzeczny drutu.

Cewka

Cewka (solenoid) jest scharakteryzowana przez wartość jej indukcyjności L.

Wielkość ta jest zależna od liczby zwojów cewki (z) jej wymiarów geometrycznych (długość i przekrój) oraz od ośrodka, w którym wytwarzane jest pole magnetyczne (rdzeń cewki)

[ ]HS

lzL ro ⋅≡ µµ2

52

−oµ−rµ

przenikalność magnetyczna

względna przenikalność magnetyczna

Np. dla próżni (powietrze)

1≈rµFerromagnetyk (np. żelazo)

itpr −÷≈ 50001000µ

53

Indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym jest wielokrotnie większa od indukcyjności cewki bez rdzenia.

Przenikalność magnetyczna rdzenia jest zależna od natężenia pola magnetycznego, jest więc zależna od natężenia prądu w cewce.

Dlatego też indukcyjność cewki z rdzeniem nie jest stała, lecz zależy od prądu.

( )s

lizL ro

Fe

⋅⋅≡ µµ2

54

Kondensator

Jest scharakteryzowany przez wartość pojemności C

Zależy ona od powierzchni „okładek” S, odległości pomiędzy okładkami – d oraz o środowiska wypełniającego przestrzeńmiędzy okładkami

[ ]Fd

SC roεε=

d

S

55

−oε Stała dielektryczna

−rε Względna przenikalność dielektryczna

W celu uzyskania dużej pojemności należy umieszczaćokładki o dużej powierzchni (duże S), blisko siebie (małe d)

Podsumowanie

W obwodach padu zmiennego istotną rolę odgrywają trzy elementy pasywne:

CLR ,,

ekilkanascir ÷≈ 1ε

56

Reaktancje

Symbol ogólny X

W obwodzie prądu zmiennego „na indukcyjno ści” L oraz „na pojemno ści” C istnieją napięcia, zależne od przebiegu prądu w czasie.

Na indukcyjności

Na pojemności

dt

diLuL =

∫= idtC

uc

1

57

W przypadku pr ądu o przebiegu sinusoidalnym

( )tIi m ωsin=

Otrzymujemy dla indukcyjno ści

( )[ ] ( ) ( )tLIdt

tIdLu m

mL ωωω

cossin ==

( )tXIu LmL ωcos=

58

LL IXU =

Reaktancja indukcyjna

L

L

X

UI =

[ ]Ω= LX L ω

Stąd

„Prawo Ohma dla indukcyjności”

59

Otrzymujemy dla pojemno ści

( ) ( )tC

IdttIC

u mmc ωω

ω cos1

sin1

−== ∫

( )tXIu Cmc ωcos−=

60

CC IXU =

Reaktancja pojemno ściowa

C

C

X

UI =

Stąd

„Prawo Ohma dla pojemności”

[ ]Ω=C

XC ω1

61

Podsumowanie :

Przy prądzie zmiennym- sinusoidalnym, na indukcyjności i pojemności istnieją napięcia UL i UC proporcjonalne do wartości reaktancji XL i XC.

Reaktancje XL i XC zależą od pulsacji, czyli od częstotliwości prądu.

Związki pomiędzy wartościami skutecznymi napięć i prądów można zapisać w postaci analogicznej do prawa Ohma.

L

L

X

UI =

C

C

X

UI =

LX L ω=C

XC ω1=

fπω 2=