Pr ąd zmienny - jleszczynski.swspiz.pljleszczynski.swspiz.pl/Prezentacje-pdf/Prezentacja2.pdf · 4...
Transcript of Pr ąd zmienny - jleszczynski.swspiz.pljleszczynski.swspiz.pl/Prezentacje-pdf/Prezentacja2.pdf · 4...
1
PrPrąąd zmiennyd zmienny
prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC)
prąd elektryczny, którego nat ężenie zmienia si ę w czasie.
2
Oś czasu
Oś warto ści natężenia prądu
3
Definicja natężenia prądu zmiennego
0≠=dt
dqi
q – ładunek,t – czas
„Nat ężeniem pr ądu nazywamy iloraz warto ści ładunku dq przep ływaj ącego w jednostce czasu dt przez poprzeczny przekrój przewodnika”
4
Prąd elektryczny o sinusoidalnym przebiegu w czasie„pr ąd sinusoidalny”
Jest to pr ąd przemienny, czyli symetryczny wzgl ędem osi czasu, zmieniaj ący si ę w czasie wg zale żności
( )tIi m ωsin=gdzie
i-natężenie prądu (prąd) -wartość chwilowa,
Im-amplituda prądu (największa wartość funkcjisinusoidalnej),
ω - pulsacja
t – czas
5
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωω t
prąd
i
Wykres prądu sinusoidalnego w funkcji kąta. Strzałki pokazują umowny kierunek ruchu ładunków.
6
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360 450 540 630 720 810 900 990 1080
kąt ωωωω t
prą
d i
7
( )tIi m ωsin=
Z wzoru wynika, że
wielkość zawarta w nawiasie (ωt) jest argumentem funkcji trygonometrycznej, a więc jest kątem, czyli jest drogą kątową.
Droga k ątowa = pr ędkość kątowa x czas
t⋅= ωα
Oznacza to, że ω ma sens prędkości kątowej
8
Można również napisać
( )αsinmIi =
Jednostką α (kąta) jest radian lub stopień.
Zależność pomiędzy miarą kąta wyrażoną w stopniach i w radianach jest następująca:
kąt w radianach = (kąt w stopniach/180). π
4180
4545
ππαα =⋅
== o
9
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωωt
prąd
i
ππππ
Im
Wykres prądu sinusoidalnego w zależności od kąta wyrażonego w stopniach i w radianach.
10
Okres
Okres T jest odstępem pomiędzy jednakowymi wartościami prądu sinusoidalnego (rosnącego lub malejącego).
Np. pomiędzy odpowiednimi wartościami zerowymi (rysunek).
Miarą okresu jest czas., po którym następuje powtórzenie przebiegu.
Miarą okresu jest również kąt (okres odpowiada kątowi 2π lub 360 stopniom).
11
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωωtprąd
i
ππππ →→→→ 180o→→→→ 1/2 T
ππππ T/2T
2π2π2π2π
Im
Sinusoida z zaznaczonymi wielko ściami na osi „czasu”.½okresu (1/2T) odpowiada: 180 w stopniach
ππππ w radianach1 okres (T) odpowiada: 360 w stopniach
2ππππ w radianach
12
Częstotliwo ść
Częstotliwość f jest wielkością określającą ile pełnych okresów przebiegu sinusoidalnego przypada na 1 sekundę.
Częstotliwość
Tf
1=
HzT
f 5002,0
11 ===
sT 02,0=
13
HzGHz
HzMHz
HzkHz
9
6
3
101
101
101
=
==
14
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωω t
prą
d i
Częstotliwość 50Hz i 150Hz
Częstotliwość 50Hz i 150Hz
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωω t
prą
d i
Częstotliwość 50Hz i 250Hz
16
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 90 180 270 360
kąt ωωωω t
prą
d i
Częstotliwość 50Hz, 150Hz i 250Hz
17
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Wave_frequency.gif
18
Fale radioweTHzkHz 33 −
19
Podzia ł pasma radiowego
LFLow frequency1-10 km30-300
kHz
fale kilometrowe, f
ale długie
VLFVery low frequency
10-100 km3-30kHz
fale myriametrowe,
fale bardzo długie
ULFUltra low frequency
100-1000 km
300-3000 Hz
SLFSuper low frequency
1-10 tys. km
30-300 Hz
ELFExtremely low
frequency10-100 tys.km
3-30Hz
Skrót angielski
Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw
ośćNazwa fal
20
VHFVery high frequency
1-10 m30-300 MHz
fale metrowe, fale ultrakrótkie
HFHigh frequency10-100 m3-30MHzfale
dekametrowe,fale krótkie
MFMedium
frequency100-
1000m300-3000
kHz
fale hektometrowe,
fale średnie
Skrót angielski
Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw
ośćNazwa fal
21
100-1000µm
300-3000 GHz
fale submilimetrow
e
EHFExtremely high
frequency1-10 mm
30-300 GHz
fale milimetrowe
SHFSuper high frequency
10-100 mm
3-30GHzfale
centymetrowe
UHFUltra high frequency
100-1000mm
300-3000 MHz
fale decymetrowe
Skrót angielski
Nazwa angielskaDługośćCzęstotliw
ośćNazwa fal
22
Faza początkowaPokazane dotychczas przebiegi sinusoidalne były narysowane w taki sposób, że miejsce zerowe sinusoidy przypadało w początku układu współrzędnych.
Jest to wygodny sposób prezentowania przebiegu sinusoidalnego, bowiem w jego opisie matematycznym nie występuje tzw „przesunięcie fazowe”, czyli dodatkowy kąt ilustrujący odłegłośćprzejścia sinusoidy przez zero od początku układu wpspółrzędnych,
Przykłady:
23
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
( )tIi m ωsin=
Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta 0 do 360 stopni
Faza początkowa równa zeru
24
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
( )tIi m ωsin=
Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta -360 do +360 stopni
Faza początkowa równa zeru
25
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Faza początkowa o30=ψ
Faza początkowa nie jest równa zeru
( )30sin += tIi m ω
26
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Faza początkowa nie jest równa zeru
Faza początkowa o60−=ψ
( )60sin −= tIi m ω
27
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym
mI
o45=ψ-15
0
15
-180 -90 0 90 180 270 360
kąt ωωωωt
prą
d i
φφφφ=450
)sin( ψω += tIi m )45sin( += tIi m ω
28
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym
mI
o45−=ψ
-15
0
15
-180 -90 0 90 180 270 360
kąt ωωωωt
prą
d i
φφφφ=-450
)sin( ψω −= tIi m
)45sin( −= tIi m ω
29
Zakres zmian
odood 3600 == ψψ
30
Przesuni ęcie fazowe
Dwie wielkości sinusoidalne mogą być w fazie tj. φ1=φ2 lub mogą
być przesunięte względem siebie w fazie φ1≠φ2.
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
o6021 −==ψψSinusoidy znajduj ące si ę w fazie
31
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Sinusoidy przesuni ęte wzgl ędem siebie w fazie
o301=ψ
o602 −=ψ
Różnica faz = przesuni ęcie fazowe
21 ψψϕ −=o90)60(30 00 =−−=ϕ
32
1mI2mI
o30=ϕ
( )1sin11 ψω += tIi m
( )2sin22 ψω += tIi m
Ilustracja przesuni ęcia fazowego na wykresie wskazowym
33
1mI2mIo30=ϕ
( )30sin11 += tIi m ω
( )tIi m ωsin22 =
Modyfikacja poprzedniego wykresu o01=ψ
34
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
( )30sin11 −= tIi m ω( )tIi m ωsin22 = czerwony
niebieski
35
Warto ści zast ępcze pr ądu zmiennego
Operowanie wartością chwilową prądu zmiennego jest bardzo kłopotliwe. Wartość ta nie odzwierciedla bezpośrednio działania energetycznego prądu, które jest efektem jego przepływu w dłuższym czasie.
W związku z tym wprowadzono bardzo wygodną metodęzastępowania wielkości chwilowych przez wielkości uśrednione w czasie.
Takimi wielko ściami u średnionymi s ą:warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego, warto ść średnia pr ądu sinusoidalnego
36
Warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego
DEFINICJA
Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego nazywamy takąwartość prądu stałego, który płynąc przez rezystor w czasie t=T wywołuje wydzielenie się takiej samej ilości energii cieplnej jak prąd sinusoidalny.
R I Porównanie
Przy prądzie stałym można napisać:
TRIA 2====
37
R i
Energia przy prądzie zmiennym zmienia się w czasie, wobec zmian wartości prądu. Jej wartość chwilowa Jest proporcjonalna do kwadratu wartości chwilowej prądu.
W dłuższym czasie przyjętym do rozważań, a mianowicie w czasie okresu T, jej wartość jest równa:
∫∫∫∫∫∫∫∫ ========TT
dtiRdtRiA0
2
0
2
Założono tutaj, że rezustancja R=const.
38
Ponieważ dążymy do uzyskania równoważności obu przypadków (prąd stały, prąd zmienne) z punktu widzenia energetycznego przyjmujemy, że przy prądzie zmiennym i odpowiednim prądzie stałym wydziela się taka sama energia cieplna.
∫∫∫∫ ====T
TRIdtiR0
22
Otrzymujemy ogólną (niezależną od przebiegu prądu zmiennego) definicjęwartości skutecznej prądu zmiennego
∫∫∫∫====T
0
2dtiT1
I
39
W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym podstawiamy
( )tIi m ωsin=
(((( ))))dttsinIT1
IT
0
22m∫∫∫∫==== ωωωω
(((( ))))dttsinT1
IIT
0
2m ∫∫∫∫==== ωωωω
40
mm
2m I707,0
2
I
2
II ≈≈≈≈========
Warto ść skuteczna pr ądu sinusoidalnego
Interpretację wartości skutecznej prądu przedstawia rysunek poniżej.
-20
0 90 180 270 360
kąt ωωωω t
prą
d i,
kw
adra
t i I
i
~i^2
41
Warto ść średnia pr ądu zmiennego
Wartością średnią wielkości zmiennej w czasie nazywamy wyrażenie
∫∫∫∫====T
0
sr idtT1
I
W przypadku prądu sinusoidalnego (przemiennego) wartośćśrednia jest równa 0.
Wynika to z wykresu funkcji sinusoidalnej, która jest symetryczna ( z przesunięciem o T/2) względem osi czasu. W praktyce wielkość ta ma znaczenie nie dla pełnego okresu, lecz dla T/2, co dotyczy przypadku prostowania prądu zmiennego za pomocą tzw. prostowników. Wtedy definicja wartości średniej jest następująca
42
(((( )))) mm
2
T
0
m
2
T
0
sr I637,0I2
dttsinIT2
idtT2
I ≈≈≈≈============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ππππωωωω
-1 0
0
1 0
0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0
k ą t ωωωω t
prą
d i,
I, Is
r I I sr
43
Podsumowanie
1. Wielkości sinusoidalne mogą mieć różne częstotliwości, różne fazy początkowe, różne przesunięcia fazowe oraz różne amplitudy.
2. W praktyce, zwykle rozważamy sinusoidy o jednakowych częstotliwościach (częstotliwość techniczna 50Hz) o różnych amplitudach, przesunięte w fazie.
3. W celu uproszczenia możliwości operowania prądem sinusoidalnym wprowadza się zastępczą wielkość o nazwie „wartość skuteczna prądu”, która odpowiada prądowi zmiennemu z punktów widzenia efektu energetycznego.
44
4. Uproszczenie ilustracji graficznych wartości prądów, ich przesunięcia fazowego umożliwia przedstawienie prądów na wykresie wskazowym. Wartość skuteczna (lub rzadziej maksymalna) prądu jest tu przedstawiana w postaci strzałki o długości proporcjonalnej do wartości prądu.
5. Usytuowanie strzałki (wskazu) na płaszczyźnie w odniesieniu do osi poziomej określa fazę początkową, zaś w odniesieniu do innego wskazu, określa przesunięcie fazowe pomiędzy wskazami.
45
Podsumowanie dc.
Wszystkie dotychczas pokazane wykresy, zależności i metody dotyczące prądów odnoszą się w tym samym stopniu napięć:
Wyróżniamy zatem w odniesieniu do prądów i napięć:
Wartości chwilowe
Wartości maksymalne
Wartości skuteczne
ui,
mm UI ,
UI ,
46-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Sinusoida napi ęcia i sinusoida pr ądu
U
Iw
47
Elementy pasywne w obwodach pr ądu zmiennego
Rezystancja (rezystor, opornik)
Indukcyjność (cewka)
Pojemność (kondensator)
[ ]ΩR
[ ]HL
[ ]FC
48
Funkcje energetyczne elementów pasywnych
Rezystor (R):
W rezystorze następuje przetwarzanie energii elektrycznej na energię cieplną.
Cewka (L)
W cewce, energia związana z przepływem prądu elektrycznego, jest magazynowana w polu magnetycznym.
Kondensator (C)
W kondensatorze, energia związana z ładunkami na okładkach jest magazynowana w polu elektrycznym.
49
Trzy elementy pasywne R, L, C odgrywają w obwodach prądu zmiennego zasadniczą rolę przy tworzeniu pola magnetycznego elektrycznego (elektromagnetycznego) i przekształcaniu energii elektrycznej na energię cieplna.
Zależność warto ści R, L, C elementów pasywnych od ich parametrów materiałowych i
konstrukcji
50
l
Sρρρρ
Sl
R ρρρρ====
l
Sρρρρ
Sl
R ρρρρ====
Rezystor:
Rezystor (opornik) charakteryzuje wartość rezystancji (oporności). W przypadku oporników wykonanych z drutu obowiązuje tu zależność:
[ ]Ω=s
lR ρ
51
Wartość rezystancji jest tym większa im dłuższy jest drut, z którego wykonany jest rezystor, im większa jest jego rezystywność oraz im mniejszy przekrój poprzeczny drutu.
Cewka
Cewka (solenoid) jest scharakteryzowana przez wartość jej indukcyjności L.
Wielkość ta jest zależna od liczby zwojów cewki (z) jej wymiarów geometrycznych (długość i przekrój) oraz od ośrodka, w którym wytwarzane jest pole magnetyczne (rdzeń cewki)
[ ]HS
lzL ro ⋅≡ µµ2
52
−oµ−rµ
przenikalność magnetyczna
względna przenikalność magnetyczna
Np. dla próżni (powietrze)
1≈rµFerromagnetyk (np. żelazo)
itpr −÷≈ 50001000µ
53
Indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym jest wielokrotnie większa od indukcyjności cewki bez rdzenia.
Przenikalność magnetyczna rdzenia jest zależna od natężenia pola magnetycznego, jest więc zależna od natężenia prądu w cewce.
Dlatego też indukcyjność cewki z rdzeniem nie jest stała, lecz zależy od prądu.
( )s
lizL ro
Fe
⋅⋅≡ µµ2
54
Kondensator
Jest scharakteryzowany przez wartość pojemności C
Zależy ona od powierzchni „okładek” S, odległości pomiędzy okładkami – d oraz o środowiska wypełniającego przestrzeńmiędzy okładkami
[ ]Fd
SC roεε=
d
S
55
−oε Stała dielektryczna
−rε Względna przenikalność dielektryczna
W celu uzyskania dużej pojemności należy umieszczaćokładki o dużej powierzchni (duże S), blisko siebie (małe d)
Podsumowanie
W obwodach padu zmiennego istotną rolę odgrywają trzy elementy pasywne:
CLR ,,
ekilkanascir ÷≈ 1ε
56
Reaktancje
Symbol ogólny X
W obwodzie prądu zmiennego „na indukcyjno ści” L oraz „na pojemno ści” C istnieją napięcia, zależne od przebiegu prądu w czasie.
Na indukcyjności
Na pojemności
dt
diLuL =
∫= idtC
uc
1
57
W przypadku pr ądu o przebiegu sinusoidalnym
( )tIi m ωsin=
Otrzymujemy dla indukcyjno ści
( )[ ] ( ) ( )tLIdt
tIdLu m
mL ωωω
cossin ==
( )tXIu LmL ωcos=
58
LL IXU =
Reaktancja indukcyjna
L
L
X
UI =
[ ]Ω= LX L ω
Stąd
„Prawo Ohma dla indukcyjności”
59
Otrzymujemy dla pojemno ści
( ) ( )tC
IdttIC
u mmc ωω
ω cos1
sin1
−== ∫
( )tXIu Cmc ωcos−=
60
CC IXU =
Reaktancja pojemno ściowa
C
C
X
UI =
Stąd
„Prawo Ohma dla pojemności”
[ ]Ω=C
XC ω1
61
Podsumowanie :
Przy prądzie zmiennym- sinusoidalnym, na indukcyjności i pojemności istnieją napięcia UL i UC proporcjonalne do wartości reaktancji XL i XC.
Reaktancje XL i XC zależą od pulsacji, czyli od częstotliwości prądu.
Związki pomiędzy wartościami skutecznymi napięć i prądów można zapisać w postaci analogicznej do prawa Ohma.
L
L
X
UI =
C
C
X
UI =
LX L ω=C
XC ω1=
fπω 2=