Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone

I. Metoda Klasyczna Zadanie k.1 Wyznaczyć prąd iw na wyłączniku.

I

R2R

E

R L

t=0iw=?

i4

i2

i1

i3

Układamy równania na podstawie schematu.

42 iiiw =+

Ii3

12 =

Ii3

21 =

043 =+−

dt

diLRiE

Iiiiiw 3

1424 −=−=

Iii =+ 43

43 iIi −=

Iiiw 3

14 −=

044 =++−

dt

diLRiRIE

L

ERI

L

Ri

dt

diL

L −=+

0=+L

Ri

dt

diL

L

L

ERIi

L

Ri LL

−=+′

Równanie charakterystyczne:

2

0=+L

Rr

L

Rr −=

R

EIti

Aeti

Lu

t

LpLR

−=

=−

)(

)(

)0()0( +− = LL ii

R

EIA

AeR

EI

R

EI

R

EIAe

R

EI

tL

R

tL

R

4

3

2

42

42

+−=

=

−−−

−+=−

−

−

tL

R

Lp eR

EIti

−

+−=4

3

2)(

R

EIe

R

EItititi

tL

R

uLLpL −+

+−=+=−

4

3

2)()()( 4

R

EIe

R

EII

R

EIe

R

EItititi

tL

Rt

L

R

Lw −+⋅

+−=−−+⋅

+−=−=−−

3

2

4

3

23

1

4

3

2)()()( 2

Zadanie k.2 Znaleźć taką chwilę czasu tx aby spełniony był warunek i1(tx)=i2(tx) I II

Rozpatrujemy układ I.

0

:/0

1/

1

11

=+

=′+

iL

Ri

LiLRi

Równanie charakterystyczne:

3

0=+L

Rr

L

Rr −=

tr

P Aeti =)(1

0)(1 =ti U rt

PU Aetititi =+= )()()( 111

AR

Eii === +− 2

)0()0( 11

Uzyskujemy wyrażenie na i1(t)

tL

Rtr

eR

Ee

R

Eti

−==

22)(1

Dla układu II możemy napisać:

EiLRi =+ 2/

2

składowa przejściowa:

0

:/0

22/

2/

2

=+

=+

iL

Ri

LRiLi

Równanie charakterystyczne;

L

Rr

L

Rr

−=

=+

0

0

R

Eti

Aeti

u

tr

P

=

=

)(

)(

2

2

R

EAetititi tr

uP +=+= 0)()()( 222

4

−=

−=

=+

==

−

+−

tL

R

eR

Eti

R

EA

R

EA

ii

1)(

0

0)0()0(

2

22

Wyliczamy t przy którym prądy i1(t)=i2(t)

3

2

3:/23

22

12

2/1

2

=

=

=+

−=

−=

−

−

−−

−−

−−

x

x

xx

xx

xx

tL

R

tL

R

tL

Rt

L

R

tL

Rt

L

R

tL

Rt

L

R

e

e

ee

ee

E

Re

R

Ee

R

E

2

3ln

3

2ln

3

2ln

3

2lnln

R

L

R

Lt

tL

R

e

x

x

tL

Rx

=−=

=−

=−

Prądy )(),( 21 titi są sobie równe dla t=2

3ln

R

L

Zadanie k.3

Obliczyć napięcie UC przy założeniu, że C

LR

3=

Na podstawie schematu można napisać poniższe równania :

UcLiRi =′+ 11

5

Izrii =+ 21

cCUi ′=2 Wyznaczamy równanie opisujące uc(t) poprzez przekształcenia:

cUCi

UCIi

IcCUi

C

′′⋅−=′

′⋅−=

=′+

1

1

1

( ) ( )

UccURCcUCLRI

UccUCLcURCRI

UccUCLRcUCI

+′⋅+′′⋅⋅=⋅

=′′⋅⋅−′⋅−⋅

=′′⋅−+′⋅−

Wyznaczamy składową przejściową:

01

0

=+′+′′

=+′⋅+′′⋅

LCcU

L

RcU

UccURCcULC

Równanie charakterystyczne jest postaci:

LCL

R

LCr

L

Rr

4

01

2

2

2

−=∆

=++

Korzystając z założenia C

LR

3= uzyskujemy:

LCLCLCLCLC

L1434

3

2−=−=−=∆

LCL

R

LCj

L

Rr

LCj

LCj

1

2

1,

2

1

2

1

2

11

2,1

2

=−=

±−=

=∆⇒=∆

βα

Znając pierwiastki równania charakterystycznego możemy wyznaczyć składową przejściową: ( ) teAteAtU tt

Cp ββ αα cossin 21 +=

Wyznaczamy składową ustaloną :

( ) IRtUCu =

Napięcie na kondensatorze wyznaczamy jako sumę składowej przejściowej i ustalonej :

6

( ) IRteAteAtU ttC ++= ββ αα cossin 21

Wyznaczamy współczynniki A1 i A2 z warunku komutacji dla kondensatora i cewki:

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) αβ

αβ

βββαβββα αααα

21

21

2211

1

11

0

0'

sincoscossin'

0'0

00

CACACU

AAU

teAteAteAteAtU

UCIi

ii

C

C

ttttC

C

+=

+=

⋅++⋅+⋅=

⋅−=

=

+

+

+−

+−

( ) ( )( )( )

IRA

IRAU

U

UU

C

C

CC

−=

=+=

=

=

−

+−

2

2 00

00

00

( )

CACA

ICACAIi

αβ

αβ

21

211 0

=−

=−−=+

A2=-IR więc podstawiając uzyskujemy:

βα

βααβ

αβ

IRIR

A

IRA

CIRCA

==

=

−=−

1

1

1

Ostatecznie sumując składowe otrzymujemy:

( )

( )

+−=

+−=

1cossin

cosResin

teteIRtU

IRtIteIRtU

ttC

ttC

βββα

βββα

αα

αα

Przebieg uc(t) dla R=1 Ω L=100 µH 10 µF I=1mA przedstawiono na rys. k3

C

L

W1 2

I

0

R

7

Time

0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0msV(U5:2)

0V

1.0mV

2.0mV

Rys. k.3 Zadanie k.4 Obliczyć napięcie na kondensatorze C, gdy R1=2R, R2=3R, R3=2R, tEte m ωsin)( =

R

E

RCj

RV

22

1

2

1=

++ ω

ERCjV =+ )22( ω

RCj

EV

ω22+=

)1(2 RCj

eEV

tjm

ω

ω

+=

)(1

1

2)(

222RCarctge

CR

EV tjm ωβ

ωβω =

+= −

)(

2221

1

2βω

ω−

+== tjm

c eCR

EUV

cc UU Im1 =

)sin(1

1

2)(

2221 βωω

−+

= tCR

EtU m

c

)0()0( +− = cc UU

)0()sin(1

1

2)0(

222 +− =−+

= cm

c UCR

EU β

ω

8

W chwili t=0 następuje przełączenie wyłącznika W:

UcCRz

RRz 6

5=

)()( tURti cz −=

)()(' titCUc =

0)()(' =+ tUtUCR ccz

CRr

z

1−=

rtcp AetU =)(

00 UAt =→=

)0()0()0( ++− =→= ccc UAUU

0)()()()( =+= tUczymprzytUtUtU cucucpc rt

cc eUtU )0()( +=

tCRm

cze

CR

EtU

1

222)sin(

1

1

2)(

−

⋅−+

= βω

Zadanie k.5

Wyznaczyć napięcie na kondensatorze, dla R=C

L.

Układamy równania po otwarciu klucza :

02 ' =++⋅ LiUiR c

iUC c =⋅ ' ''' iUC c =⋅

02 "' =⋅++⋅⋅ ccc CULUUCR

9

02 '" =+⋅+⋅⋅ ccc UCURUCL

gdzie: i to prąd kondensatora. Składowa przejściowa:

02 '" =++⋅ ccc URCUULC

012 '" =++ ccc ULc

UL

RU

Równanie charakterystyczne ma postać:

0122 =++Lc

rL

Rr

∆=

1

444

22

2

Lc

L

LcL

R=− - 0

4=

Lc

=)(tU pc ( 21 AA + t) rte

składowa ustalona:

ucU (t)=0

Całkowite napięcie wynosi:

=)(tUc ( 21 AA + t) rte

Z warunku komutacji dla kondensatora otrzymujemy:

)0()0( +− = cc UU

0)0( =−cU

121 )()0( AetAAU rtc =+=+ , stąd 01 =A

Z warunku komutacji dla cewki:

)0()0( +− == iIic

)0()0( '++ = cc CUi

1' AU c = r rtrtrt treAeAe 22 ++

( ) ICArA

CArACUc

=⋅+

+=+

21

21' )()0(

więc

C

IA =2

Ostatecznie:

10

=)(tUc trteC

I0

gdzie r0 = a

b

2

− =

L

R−

0

R1 CI1

1 2

L

R2

W1 2 3

Przebieg uc(t) (dla R=10 Ω R=20 Ω L=100 µH C=1 µF) przedstawiono na rys. k.5

Time

0s 20us 40us 60us 80us 100us 120us 140us 160usV(3)

0V

4mV

8mV

12mV

Rys. k.5 Zadanie k.6 Obliczyć napięcie na kondensatorze, jeżeli:

tEte m ωsin)( 11 ⋅=

tEte m ωsin)( 22 ⋅=

mm EE 21 >

C

LR

8= ; XL >XC

oraz )sin()( ϕω −= tUtu cmCu

11

Po zamknięciu wyłącznika otrzymamy:

')('''')(')( 111 ccc UteRiURiteURite −=⋅=>+⋅==>+⋅=

)()(''''

)(''')('

)('''

)(''

''''

'''

)('

21

21

2

2

2

teteR

LUU

R

LUCL

teUCLUR

Lte

R

LU

teUCLiLU

teiLiLU

UCiiUC

iiiiii

teiLU

ccc

ccc

cc

Cc

cCCc

CLCL

Lc

+=++⋅⋅

+⋅⋅−−=

+⋅⋅−⋅=

+⋅−⋅=

⋅==>=⋅

+==>+=

+⋅=

Dla składowej przejściowej otrzymujemy:

011

01

'1

''

0'''

2 =++

=++

=++⋅⋅

LCr

RCr

ULC

URC

U

UUR

LUCL

ccc

ccc

LCr

LCr

LCRCr

LC

LCLCCC

LLCCR

3;

1

1

2

1

2

044

8

114

1

21

2,1

222

−=−=

±−=

=∆

>=−=−=∆

Równanie napięcia dla składowej przejściowej ma postać:

12

trtrCP eAeAtU ⋅⋅ ⋅+⋅= 21

21)(

Całkowite napięcie na kondensatorze:

)sin()( 21

21 ϕω −+⋅+⋅= ⋅⋅ tUeAeAtU cmtrtr

C Z warunków komutacji wynika:

)0()0(

)0()0(+

−

+−

=

=

LL

cc

ii

UU

Wyznaczamy wartości prądu płynącego przez cewkę i napięcia na kondensatorze przed komutacją:

( ) ( )

)90sin()( 2

902

90

22

o

CL

j

CLj

CLCL

tXX

Eti

eXX

E

eXX

E

XXj

EI

o

o

−−

=

−=

−=

−= −

ω

( )

tXX

xEtu

XX

XE

XXj

jXEjXIU

CL

Cc

CL

C

CL

CCC

ωsin)(

)()(

2

22

−−=

−−=

−

−=−⋅=

)0()0( +− =

−−= L

CLL i

XX

Ei

)sin()0(0)0( 21 ϕ−++===− +cmCc UAAuu

CLcm

cmL

cmC

cmtrtr

C

CC

L

XX

ECUrCArCA

R

UAAi

e

UrArAU

tUerAerAU

UCR

Uei

−−=−−−−

−++−=

=

−+⋅+⋅=

⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

⋅−−

=

+

+

+

⋅⋅

+++

+

)cos())sin((

)0(

0)0(

)cos()0('

)cos('

)0(')0()0(

)0(

221121

1211

1211

1

21

ϕϕ

ϕ

ωϕω

0)sin(21 =−++ ϕcmUAA

Z ostatniego równania wyznaczamy A2 i wstawiamy do równania przedostatniego. W ten sposób otrzymujemy niewiadome A1 i A2. Znając A1 i A2 otrzymujemy ostateczny wynik

)sin()( 2121 ϕω −+⋅+⋅= ⋅⋅ tUeAeAtu cm

trtrC

13

Zadanie k.7

Obliczyć prąd płynący przez indukcyjność L, dla założenia RC

L 21

==ϖ

ϖ .

tEte m ωsin)( = , RC

L 21

==ϖ

ϖ

e(t)

R

LC

0

W

0

1 2

cUiRte +=)(

LLL

LLL

LLL

LC

LCL

LL

CC

Lc

RiLiRCLite

RiRCLiLite

iLCiR

Lite

LiU

iCUR

LiteR

LiteiLiiRte

iCU

LiU

++=

+=−

+=−

=

+=−

−=⇒+=

=

=

''')(

''')(

''')(

'''

'')(

')(')(

'

'

Wyznaczamy składową przejściową:

011

01

'1

''

0''

2 =++

=++

÷=++

LCr

RCr

LCi

RCi

RCLRiLiRCLi

LL

LLL

04

14444

4

1

41

22222

222

22

=−

−=−=−=∆

−=∆

LCCLLC

LCCLLCC

L

LCCR

ϖϖ

14

trL etAAi

p

0)( 21 +=

RCrgdzie

2

10 −=

Wyznaczamy składową ustaloną:

ω

ω⋅⋅=

⋅⋅=j

m

m

eEE

tEte )sin()(

)90sin(

0

2

9090

0

−=

===

=

=

==

=

−

tX

Ei

eX

E

eX

eE

jX

EI

ii

i

RXXrezonansuDla

Z

EI

L

muL

j

L

mj

L

jm

LL

CL

CL

ϖ

Sumaryczny prąd iL(t):

)90sin()( 21 −++= tX

EetAAi

L

mrt

L ϖ

Z warunków komutacji wyznaczamy współczynniki A:

L

m

L

mL

L

LL

X

EA

X

EAi

i

ii

=

=−=

=

=

+

−

+−

1

1 0)0(

0)0(

)0()0(

)0()0( +− = CC UU

ϖϖ

ϕ

ϕ

ϕϖ

)90cos('

)0(')0(

)90sin()0(

)90sin()(

221

122

1

122

−+++=

=

−−+

=

=

−−+

=

++

−

tX

EtreAeAreAi

Liu

XR

XEu

R

Xarctg

tXR

XEtu

L

mrtrtrtL

LC

C

CmC

C

C

CmC

15

222

2112

21

)90sin(

)90sin(

)0('

ArX

EA

XR

E

XX

LArLAXR

XE

ArAi

C

m

C

m

LC

C

Cm

L

=−−−+

=

+=−−+

+=+

ϖ

ϕ

Ostatecznie

)90sin()90sin( 122−+

−−

++= t

X

Eetr

X

E

XR

E

X

Ei

L

mrt

C

m

L

m

L

mL ϖϕ

ϖ

gdzie:

RCr

R

Xarctg C

2

1

1

−=

=ϕ

Wykres uc(t), il(t) (dla R=4 Ω L= 1.273 mH C=19.894 uF Emax=3 V f=1kHz) przedstawiono na rys. k.7

Time

0s 5ms 10ms 15ms 20ms

V(V1:+) I(L1)

-4.0

0

4.0

Rys. k.7 Zadanie k.8 Obliczyć napięcie na kondensatorze C.

)sin(Im)( φω +⋅= tti

16

Równanie wyjściowe:

)(1

tiURdt

dUC c

c =⋅+

Składowa przejściowa na kondensatorze:

RC

t

cp eAtU−

⋅=)(

Składowa ustalona:

)ctgsin()(1

Im)(

2RCart

RC

RtU cu ωφω

ω−+

+

⋅=

Całkowite napięcie na kondensatorach:

)()()( tUtUtU cucpc +=

Z warunku początkowego:

)sin()(1

Im)(

2RCarctgt

RC

ReAtU RC

t

C ωφωω

−++

⋅+⋅=

−

0)0()0()0( === +

− ccc UUU

)sin()(1

Im0

2RCarctg

RC

ReA RC

t

ωφω

−+

⋅+⋅=

−

)sin()(1

Im2

RCarctgRC

RA ωφ

ω−

+

⋅−=

)]sin()[sin()(1

Im)(

2RCarctgeRCarctgt

RC

RtUc RC

t

ωφωφωω

−⋅−−++

⋅=

−

Zadanie k.9 Obliczyć napięcie na kondensatorze C1.

17

)('

)('

)0(')0(

'

222

111

111

111

21

221

11

tUCi

tUCi

URCUE

RUCUE

iiI

RiURi

RiUE

C

C

CC

CC

C

C

⋅=

⋅=

+⋅+=

⋅⋅+=

+=

⋅+=⋅

⋅+=

++

'1

'1

'

''11

'

)''()(1

'

211

21

11

1122

1

112

1

RiiC

RiiC

Ri

R

UEi

RiRiiC

iC

Ri

iiRiiC

Ri

C

+=++⋅

−=

−+−=⋅

−+−=⋅

2

1

2

1111

2

12

11

2

111

2

1112

1

2

1

21

11

21

2

11

2'''

'2'''

''''2

'

'1

''

RC

U

C

CUURC

RC

E

URC

UU

C

CURC

RC

E

URCUC

C

RC

U

RC

EU

UCi

RiiC

URC

UEU

CCC

CC

CC

CCC

C

C

CC

C

+

+⋅+=

+++=

+=−+−

=

+=−−

+−

04444

14

2

01

'2

''

02'''

22

21

2

21

22

22

21

212

2112

22

122

2

12

12

112

2112

121

2

1

2

1111

>+

=−++

=∆

−

+=∆

=++

+

=+

+⋅+

CCR

CC

CCR

CCCCCC

CCRCRC

CC

UCCR

UCRC

CCU

RC

U

C

CUURC

CCC

CCC

18

22

21

2

21

22

1

121

22

21

2

21

22

1

121

4

2

1

2

2

4

2

1

2

2

CCR

CC

RC

CCr

CCR

CC

RC

CCr

++

−−=

+−

−−=

EU

U

ArArU

eAreArtU

EeAeAtU

EtU

eAeAtU

CUCUQ

CECUQ

QQ

C

C

C

trtrC

trtrC

CU

trtrCP

CC

C

=

=

+=

⋅+⋅=

+⋅+⋅=

=

⋅+⋅=

⋅−⋅=

⋅=⋅=

=

+

+

+

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

++−

−

+−

∑∑

∑∑

)0(

0)0('

)0('

)('

)(

)(

)(

)0()0()0(

)0(

)0()0(

1

1

22111

22111

211

21

2211

111

21

21

21

Na podstawie powyższych równań można wyznaczyć stałe A1 i A2. Zadanie k.10 Obliczyć prąd płynący przez rezystor R3 po otwarciu wyłącznika W.

Po otwarciu wyłącznika prąd i1=i3 :

0)(

)()( 33313 =−++⋅ E

dt

tdiLRRti

Równanie charakterystyczne:

19

313

313

31

3

3

310

331

33313

)0(

)(

)(

)(

)(

0

0)(

)()(

0

0

RR

EAi

RR

EeAti

RR

Eti

eAti

iiti

L

RRr

LrRRdt

tdiLRRti

tr

u

trp

pu

++=

++⋅=

+=

⋅=

+=

+−=

=⋅++

=++⋅

+

⋅

⋅

Z warunków komutacji

33

3322

)0()0(

)0()0()0(

)0()0(

)0()0(

Li

LiLi

WW LL

⋅=Φ

⋅+⋅=Φ

Φ=Φ

=

++

−−−

+−

+−

∑∑∑ ∑

)()()(

)0(

)0(

)0(

3

313

23

32

tititi

RR

EAi

R

REi

R

REi

up

Z

Z

+=

++=

⋅=

⋅=

+

−

−

Otrzymujemy:

331

33

23 )( LA

RR

EL

R

EL

R

RE

Z

⋅++

=⋅+⋅⋅

gdzie

323121 RRRRRRRZ ⋅+⋅+⋅=

po wyliczeniu A:

312

3

23 )(RR

ER

L

LR

R

EA

Z +−+⋅=

zatem:

20

)1()()()()(31

23

233

trtr

Zup e

RR

EeR

L

LR

R

Etititi ⋅⋅ −⋅

++⋅+=+=

Narysować przebiegi prądów dla R1= R2= R3=1 Ω L2= L3= 1 uH oraz E=3V Zadanie k.11 W chwili t=0 zwarto wyłącznik W. Obliczyć przebieg napięcia na C3 wykorzystując szczególe warunki komutacji.

Równania opisujące układ:

∫∫ =−−−tt

RtidttiC

dttiC

E0

2201

02)()(1

)(1

i=i1+i2

R

Ui c

22

2 =

i1=C2Uc2’ Zadanie k.12 Znaleźć napięcie na kondensatorze C1. R t=0 .e(t) C C Uc e(t)= Emsin(wt + ψ) Po zamknięciu klucza:

21

RCr

RCr

teRC

uRCdt

du

uRCdt

dute

cc

cc

2

1

02

1

)(2

1

2

1

2)(

−=

=+

=+

+⋅=

Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe uzyskujemy:

u =)(tcp Aet

RC2

1−

Składowa ustalona napięcia:

ucu(t) = )]2(sin[)2(1 2

RCarctgtRC

Em ωψωω

−+⋅+

Do wyznaczenia stałej A wykorzystuje się warunek komutacyjny dla Qc(0-)=Q(0+) Zadanie k.13 Znaleźć prąd płynący przez kondensator C2.

Stosujemy następujące oznaczenia : i1=iR i2=iC2

Równania na podstawie schematu mają postać :

21

21

11

iii

URi

RiUE

C

C

+=

=

+=

Przekształcając powyższe równania otrzymujemy:

′=′−

=−

21

21

CC

CC

UU

UUE

22

11

11

C

iU

UCi

C

C

=′

′=

′=− 21

CUC

i

i = i1 + i2 więc:

( ) ′=+− 2211

1CUii

C

′== 2222

1 , CC UCiR

Ui

( ) 0

1

2212

21222

2222

1

=′+−−

′=′−−

′=

′+−

CC

CCC

CCC

URCRCU

URCRUCU

UUCR

U

C

( )

( ) 01

0

2122

2212

=+

+′

=′++

CCRUU

URCRCU

CC

CC

Wyznaczamy składową przejściową: Równanie charakterystyczne ma postać:

( )

( )( ) rt

pC AetU

CCRr

CCRr

=

+−=

=+

+

2

21

21

1

01

Składowa ustalona wynosi:

( ) 02 =tU uC

Całkowite napięcie ma postać : ( ) rt

C AetU =2

Ponieważ : ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2211

2211

00

0000

00

00

CUCU

CUcCUcQ

Q

QQ

CC ++

+++

−

+−

=

=+−=

=

=

∑∑

∑∑

23

21 CC UUE +=

Możemy napisać:

( ) ( )( ) ( )++

++

=−

+=

00

00

12

21

CC

CC

UUE

UUE

Korzystając z ostatniego warunku komutacji szczególnej:

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ACC

ECU

CCUEC

CUUCEC

C

CUU

C

C

CC

CC

=+

=

+=

=−

=

+

+

++

++

21

12

2121

22211

1

221

0

0

00

00

Ostatecznie:

( ) rtC e

CC

ECtU

21

12 +

=

Wyznaczamy szukany prąd i2 :

( ) rtC

C

reCC

ECtU

UCi

21

12

222

+=′

′=

Ostateczna odpowiedź :

( )( )

tCCRe

RCC

CECti 21

1

221

212 )( +

−

+−=

W

0

1 2

C2

1

ER

2 3C1

0 Wykresy dla R=10 Ω C1= C2= 1µF E=3V

24

Time

0s 10us 20us 30us 40us 50us 60us 70usV(3) V(2)

0V

1.0V

2.0V

3.0V

Time

0s 10us 20us 30us 40us 50us 60us 70us-I(R3)

0A

50mA

100mA

150mA

Zadanie k.14 Obliczyć rozpływ prądów.

Przyjąć następujące dane: E= 5V; R1=R3 = 1 KΩ, R2=2 KΩ L1=L3=1 H, L2=2H Rozwiązanie:

25

3

5

3

4

3

5

3

5

3

55

)(

21

5

21

5

121

215

)(

)(

21

21

21211

23

23

21

21

+=+

−=

++

+−

++⋅

=

++

+−

++

⋅=

−−

+

+−

+

+−

tt

t

tLL

RR

eeti

eti

RR

Ee

RR

E

RRR

RRE

ti

W

1

2

L2R1

R3

ER2

L3

0

L1

Wykres dla tematowych wartości elementów:

Time

0s 10ns 20ns 30ns 40ns 50ns 60ns 70nsI(R1) -I(R2) -I(L3)

0A

1.0mA

2.0mA

3.0mA

26

Zadanie k.15 Obliczyć napięcie na kondensatorze C2 przy założeniu, że kondensator C1 jest naładowany.

W R

Q0 U2C2C1

Rozwiązanie:

)1()(21

02

rteCC

QtU −

+=

gdzie: 21

21

CRC

CCr

+−=

Zadanie k.16 W chwili t=0 następuje przełączenie wyłącznika, obliczyć prąd i.

Zadanie k.17 Obliczyć prąd kondensatora i2, jeżeli w chwili t=0 następuje przełączenie kluczy w układzie jak na rysunku.

R2

2

C2

2u

0

R1

1

V13Vdc C1

1u

U2

0

1 2U1

0

1 2

27

Oznaczamy szukany prąd jako i. Obliczamy pojemność zastępczą kondensatorów (po chwili t=0).

CCC

CCCz 3

2

2

2=

+⋅

=

/0

/

0

3

43

2

2

CzCz

C

Cz

RCuuU

CUi

RiUU

+=

=

⋅+=

Uzyskujemy równanie charakterystyczne:

RCr

rCR

1

4

3

03

41

⋅−=

=⋅⋅+

rtpCcz

uC

rtpC

Aetutu

tu

Aetu

z

z

z

==

=

=

)()(

0)(

)(

∑ ∑ +− = )0()0( QQ

)0()0()0( 2 +−− += CC QQQ

CEQC ⋅=− )0(

AEUAetU

EU

Q

Ctr

C

C

C

==⇒=

=

=

+

+

)0()(

)0(

0)0(

0

2

t

RCtrtrtrC e

R

Ee

RCCECEreCAreCUti

⋅⋅

−⋅⋅−=

⋅−==== 4

3/

4

31

4

3)( 000

Wykres prądu (dla R1=1 Ω R2=2 Ω C1=1 µF C2=2 µF E=3V) przedstawiono na rys. k.17

Time

0s 1.0us 2.0us 3.0us 4.0us 5.0us-I(R2)

0A

0.5A

1.0A

1.5A

Rys. k.17

28

Zadanie k.18 Obliczyć napięcie na kondensatorze C1, jeżeli E1 < E2.

1

C2

3

E1

4

0

C1E2

2R1

W

0

1 2R2

Wykres uc1(t) (dla R1=2 kΩ, R2=1 kΩ , C1= 100 uF, C2=10 uF, E1=1V,E2=2V) przedstawiono na rys. k.18

Time

0s 0.2us 0.4us 0.6us 0.8us 1.0us

V(2)

0.7V

0.8V

0.9V

1.0V

Rys. k.18