Liczby zespolonePrezentację wykonali uczniowie Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych w Szczucinie:

Sławomir Babiec

Tomasz Warzecha

Krystian Kapel

Marcin Grzesiak

autor i opiekun pracy:

mgr inż. Ryszard Chybicki

Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych

W Szczucinie

Dwie liczby zespolone (a, b) i (c, d) są sobie równe, gdy a= c i b= d

Suma dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona określona w następujący sposób:

Iloczyn dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona, powstała w wyniku mnożenia określonego w następujący sposób:

),(),(),( dbcadcba df

),(),(*),( bcadbdacdcba df

Powyższe trzy właściwości stanowią aksjomaty liczb zespolonych to znaczy przyjmowane są bez dowodu

Właściwości liczb zespolonych:

Równość liczb zespolonych jest:

zwrotna - tzn. (a,b)=(a,b) symetryczna - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) to (c, d)=(a,b) przechodnia - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) i (c, d)=(e, f)

to (a, b)=(e, f)

Dodawanie liczb zespolonych jest:

przemienne - tzn: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

łączne - tzn: [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]

Mnożenie liczb zespolonych jest:

przemienne - tzn.: (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b)

łączne - tzn.: [(a, b)(c, d)](e, f) = (a, b)[(c, d)(e, f)]

rozdzielne względem dodawania - tzn.: [(a, b) + (c, d)](e, f) = (a, b)(e, f) + (c, d)(e, f)

Różnica liczb zespolonych Spróbujmy rozwiązać następujące równanie:

(c, d) + (x, y) = (a, b)

w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą:

mamy:

(c, d) + (x, y) = (c + z, d + y) = (a, b)

stąd:

c + z = a , d + y = b

czyli:

x = a - c , y = b - d

Rozwiązanie równania (liczbę (x, y)) oznaczamy (a, b) - (c, d) i nazywamy

różnicą liczb zespolonych

(a, b) - (c, d) = (a- c, b- d)

Definiujemy ją jako rozwiązanie równania.

(a, b) + (x, y) = (a, b)

czyli zerem jest liczba (0, 0)

Odejmowanie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych.

Zbiór liczb zespolonych zawiera także liczbę zero.

Iloraz liczb zespolonychSpróbujmy rozwiązać następujące

równanie:

(c, d)(x, y) = (a, b)

w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą.

Mamy:

(c, d)(x, y) = (cx - dy, cy + dx) = (a, b)

stąd;

cx – dy = a i cy + dy = b

Rozwiążmy układ tych dwóch równań z dwiema

niewiadomymi: Obliczmy y z pierwszego równania i

podstawmy do drugiego:

wstawiając wyznaczony x otrzymamy że:

22 dc

adbcy

d

acxy

bdx

d

acxc

)( 22 dc

bdacx

Zatem to jedyne rozwiązanie równania(czyli liczbę zespoloną (x, y)) oznaczamy

nazywamy ilorazem liczb zespolonych:),(

),(),(

dc

baya

)0,0(),( dc ),(),(

),(2222 dc

adbc

dc

bdac

dc

ba

Oczywiście dzielenie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych oprócz przypadku, gdy dzielnik jest zerem.

Liczbę (a, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą a czyli:

aa df)0,(

Jest to możliwe dlatego, że liczba (a, 0) ma własności liczby rzeczywistej:

(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0)

(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)

Nie można tego zrobić z liczbami typu (0, a), (0, b)

bo np.:

(0, a)(0, b) = (- ab, 0)

i

(0, a) + (0, b) = (0, a + b)

zatem nie ma analogii w przypadku liczb typu

(0, a) i (b, 0)

Należy zwrócić uwagę na następujące działanie:

(0, a) = (a, 0)(0, 1) = (0, 1)(a, 0)

oznaczmy

zatem

oznaczamy :

jaaja df )0,(),0(

2j

1)0,1()1,0)(1,0(2 dfj

jdf)1,0(

Postać kanoniczna liczby zespolonej.Korzystając z poprzednich równań o liczbach

zespolonych spróbujmy zapisać liczbę (a, b) bez nawiasów:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) =

a + (0, 1)(b, 0) = a + jb

czyli

(a, b) = a + jb

Postać a+jb nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej

(a,b)

A = re (a + jb) - część rzeczywista liczby zespolonej

B = im (a + jb) część urojona liczby zespolonej

Liczbę zespoloną, której część urojona jest zerem, nazywamy liczbą rzeczywistą.

Liczbę zespoloną, której część rzeczywista jest zerem, nazywamy liczbą urojoną.

Od tej pory liczby zespolone będziemy oznaczać literą „z” z indeksem:

z = x + jy

np.

555 jyxz .itp

Liczby zespolone podlegają działaniom identycznym jak

liczby rzeczywiste np.:

Jeżeli i to

Jeżeli to

Jeżeli to

02 z 0zzz

zz

z

z

2

1

2

1

02 z2

12

1 1

zz

z

z

0, 42 zz42

3241

4

3

2

1

zz

zzzz

z

z

z

z

Liczba sprzężona

Każdej liczbie zespolonej z można podporządkować liczbę z

nią sprzężoną z

Jeżeli z = re(z) + im(z) to

z powyższego wynika, że jeżeli

to

iloczyn

)()( zimzrez

21 zz 12 zz

0))(( 22 yxjyxjyxzz

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

)Re(z

)Im(z

y

0 x

sinr

cosr

ryxz 22

Modułem liczby zespolonej

z= x + jy nazywamy nieujemną liczbę

rzeczywistą :

Argumentem liczby zespolonej z = x + jy

nazywamy miarę kąta, jaki tworzy wektor z z osią Re(z) (rys.)

22 yxz

Istnieje nieskończenie wiele miar kątów, jakie tworzy wektor z z osią x, różniących się wielokrotnością kąta 2 Stąd też istnieje nieskończenie wiele argumentów liczby zespolonej z. Jednak ten kąt, którego miara zawiera się w przedziale

(-

nosi nazwę argumentu głównego liczby zespolonejz i dla odróżnienia od pozostałych argumentów oznaczamy go dużą literą:

Arg(z)

Korzystając z tych zależności można zapisać trygonometryczną postać liczby zespolonej:

)sin(cossincos rjrrjyxz

Mnożenie liczb zespolonych Niech będą dane

i

obliczamy iloczyn :

)sin(cos 1111 jrz )sin(cos 2222 jrz

)sin)(cossin(cos 22112121 jjrrzz

)]cossincos(sin)sinsincos[(cos 122212121 jrr

)]sin()[cos( 212121 jrr

Z powyższego wynika, że:

i

Bardzo prosto można wykazać, że iloczyn skończonej liczby liczb

zespolonej wynosi:

2121 zzzz 2121 ArgzArgzzzArg

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk ZArgZZZ

1111

Arg i

Potęgowanie jest szczególnym przypadkiem mnożenia, korzystając z

powyższego wzoru mamy:

i czyli

nn zz nArgzArgz n

))sin()(cos(])sin(cos[ njnrjr nn

gdy r = 1 to

Wzór Moivre’a

Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:

)sin()cos()sin(cos njnj n

n

k

knknk jk

nnjn

0

)()( sincos)()sin()cos(

Dzielenie liczb zespolonychOznaczamy

czyli

zz

11

11 zz 011 j 01Arg

111 zzzz 0)( 11 ArgzArgzzzArg

zz

z1

)1

(1 i

)sin(cos1

)sin(cos

1

jrjr

:np

zArgzArg 1

Twierdzenie ogólne o dzieleniu otrzymamy pisząc:

W wyniku otrzymamy liczbę zespoloną, której:

21

2

1 1

zz

z

z

2

1

21

21

21

2

1 111

z

z

zz

zz

zz

z

z

212

12

12

1 1)

1()( ArgzArgz

zArgArgz

zzArg

z

zArg

:np )]sin()[cos()sin(cos

)sin(cos2121

2

1

222

111

jr

r

jr

jr

Pierwiastek z liczby zespolonej

Niech:

Znaczy to, że

n jrjR )sin(cos)sin(cos

n kjkr )2sin()2[cos(

njRjr ]sin(cos[)sin(cos

Zgodnie z zasadami potęgowania

Zatem

A stąd wynika że:

)]sin()[cos()]sin(cos[ njnRjR nn

)]sin()[cos()sin(cos njnRjr n

n rR

knnk

2 bo

)2cos(cos

)2sin(sin

k

k

Ponieważ:

Więc gdy k=n to pierwiastki by się powtarzały. Istnieje zatem „n” różnych pierwiastków z liczby

knnk

2

n jr )sin(cos

Ostatecznie

)]2

sin()2

[cos()sin(cos knn

jknn

rjr nn

gdzie

)1,...(1,0 nk

Koniec prezentacji