ZARZĄDZANIE RYZYKIEM FINANSOWYM - kozminski.edu.pl · Albert Einstein - wszystko może być tak...

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM

FINANSOWYMKrzysztof Kalicki 601 85 2828

Aswath Damodaran, Ryzyko strategiczne, podstwy zarządzania ryzykiem, Koźminski, Warszawa, 2009

K.Jajuga, Zarządanie ryzykiem, PWN, Warszawa, 2007,

W.Tarczyński, M.Mojsiewicz, Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa, 2001

Z.Marciniak, Zarządzanie wartością i ryzykiem, SGH,W-wa 2001;

P.Jorion, Financial Risk Manager, handbook, WileyFinance, II ed. GARP, 2004

W.Tarczyński, M.Mojsiewicz, Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa, 2002

E.Chrabonszczewska, K.Kalicki,Teoria i polityka kursu walutowego,SGH, 1996; A.Sopoćko, Droga do fortuny, Pochodne, Mediabank, 1999; Ch.W.Smithson, C.W.Smith,Jr, D.S.Wilford, Zarządzanie ryzykiem finansowym, ABC, Kraków 2000; Butler Cormac, Tajniki value at risk,

Liber, Warszawa, 2001; W.Tarczyński, Instrumenty pochodne na rynku kapitałowym, PWE, Warszawa, 2003; ; Marry Jackson, Mike Staunton, Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excla i VBA, Helion, Gliwice2004

Edgar E.Peters, Teoria Chaosu a rynki kapitałowe, WIG Press, Warszawa 1997

Nassim Nicholas Taleb, Fooled by randomness, hidden role of chance in life and markets II wyd,Thomson,texere, NY,2004

Tadeusz Teofil Kaczmarek Ryzyko i zarządzanie ryzykiem DIFIN, Warszawa 2005

Laurent Condamin, Jean-Paul Louisot, Patrick Naim, Risk quantification, Management, Diagnosis and Hedging, Wiley Finance,Chichester, 2006

P.L.Rubinstein, Przeciw Bogom, niezwykłe dzieje ryzyka, WIG Press, Warszawa, 1977,E.Peters, Teoria Chaosu a rynki kapitałowe, WIG Press, Warszawa, 1997,

Heraklit: Much learning does not teach understanding

Albert Einstein - wszystko może być tak proste jak to jest możliwe ale nie prostsze

Walter Wriston CitiCorp: Całe życie to zarządzanie ryzykiem a nie jego eliminacja

PODSTAWY POMIARU RYZYKA• Statystyka deskryptywna: średnia, wariancja, odchylenie standardowe, korelacja,

skośność, kurtoza, podstawy rachunku prawdopodobieństwa, losowość zmiennych gospodarczych, chaos, rozkłady prawdopodobieństwa,

• Teoria finansów: ryzyko i awersja do ryzyka, podstawy kalkulacji ryzyka portfela, CAPM, APT

• Zarządzanie ryzykiem rynkowym: mtm, wrażliwość cen akcji, obligacje - duracja, konweksja, ryzyko portfela, VaR, modele VaR, Sress test

• Instrumenty pochodne: forwards & futures, opcje, swapy, derywaty kredytowe,

• Ryzyko kredytowe: default i recovery, zabezpieczenia, credit rating, rating klienta i ekspozycji, modele niewypłacalności, model Mertona, loss given default i efekty korelacji, spread kredytowy, cena ryzyka, derywaty kredytowe, regulacje

• Ryzyko operacyjne: ramy, kultura i świadomość, zbiór informacji o stratach, samoocena ryzyka, kluczowe wskaźniki, , analiza scenariuszy, raportowanie, governance & compliance

• Rynki i ryzyko próbują zrozumieć ekonomiści, matematycy, psychologowie, gdy to nie wystarcza szuka się inspiracji w gwiazdach, w astrologii.

• Rynki okazują się tak skomplikowane jak człowiek i mogą być de facto nieprzewidywalne.

Solon Grek do Krezusa Króla Lidii „Krezusie człowiek jest całkowicie igraszką przypadku 568 pne

GŁÓWNE BLOKI WYKŁADU• RYZYKO - SYSTEMETYTKA, RYZYKO

FINANSOWE, RYZYKO RYNKOWE,

BADANIE EKSPOZYCJI -POMIAR,


• RYZYKO KURSU WALUTOWEGO, RYZYKO

STOPY %, TEORIA, WEWNĘTRZNE METODY

OGRANICZANIA RYZYKA,

• ZEWNĘTRZNE METODY OGRANICZANIA

RYZYKA, INSTRUMENTY ZABEZPIECZANIA

SIĘ PRZED RYZYKIEM (POCHODNE)

RYZYKO WPROWADZENIE

CZŁOWIEK A RYZYKO,

POJMOWANIE RYZYKA, RYZYKO

PESYMIZM POZNAWCZY

POJMOWANIE RYZYKA• Rozumienie ryzyka nie jest nawet współcześnie jednoznaczne

• (niepewność wynika z braku wiedzy, brak determinizmu, brak kompletu informacji)

• Słownik: możliwość, że coś się nie uda, przedsięwzięcie, którego wynik nie jest znany

• Nassim Taleb: prawdopodobieństwo znaczy coś innego dla nauk ilościowych i dla humanisty, dla kwantysty (ilościowca) znaczy rozkład zdarzeń, dla humanisty sceptycyzm

• Pierwsi tworzą wspaniałe ilościowe narzędzia modelowe - drudzy w nie wątpią

• Dla humanisty ryzyko jest raczej nie kalkulacją, a niepewnością wynikającą z braku wiedzy, tworzeniem metod, które mają zastąpić ignorancję.

• Ilościowcy stworzyli pułapkę losowości (wiele założeń trudnych do spełnienia), ale są fat tails lub zdarzenia jednokrotne – wtedy można mówić o roli szczęścia w finansach

Gregory Chatin mat. Świat o nieskończonym stopniu złożoności (w sensie informatycznym – długość

algorytmu do jego opisania) .

Każda z cyfr omega to jeden nieredukowalny fakt matematyczny. Program do jej obliczenia miałby

nieskończoną długość.

RYZYKO PESYMIZM

ANALITYCZNY• Przyszłość nigdy nie jest zdeterminowana, a więc nie można jej przewidzieć

• Religia ryzyka – niepewność była źródłem wierzeń religijnych, ponieważ nie można powiedzieć, które ryzyko jest groźniejsze to wybór jest arbitralny - jak w religii. Tradycje religijne koiły niepewność i częściowo jej zapobiegały kształtując życie społeczne. Pod wpływem świadomości ryzyka ludzie też kształtują swoje życie.

• Zajmując się ryzykiem też kształtujemy rytuały np. kontrola ryzyka. Krytycy : nie wiele z tego wynika ale tworzy się poczucie bezpieczeństwa.

• Nieustanny spór czy decydować w oparciu o prawidłowości zaobserwowane w przeszłości, czy o intuicję?

RYZYKO PESYMIZM

ANALITYCZNY• Fizycy i matematycy w latach 90 podbili Wall Street ze swoimi

modelami (jak David X.Li)

• Tworzyli modele zwiększające zyski przy redukcji ryzyka (raz na sto lat sic. Często Gaussian Copula Function – czyli rozkład wokół średniej – poszukiwanie uśrednionych prawidłowości )

• Policzalne wydawało się każde ryzyko

• Teraz często teza o roli przypadku w dynamicznych sieciach zależności

• Niezwykle rzadkie zjawiska wyzwalają dynamikę zjawisk społecznych – także finansowych (jak woda, gdy się gotuje pierwsze bąble i nagle parowanie w całej objętości)

• Węzły w sieci nie odzwierciedlają rozkładu normalnego –najważniejsze są centralne elementy struktury a nie średnie

• Nauka o złożoności układów – zasada dynamicznego minimalizmu –czyli nawet niewielka zmiana jednego parametru układu może wywołać fundamentalne zaburzenie

RYZYKO

MĄDROŚĆ POMIARU, POJĘCIE,

KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO,

LOSOWOŚĆ, KONCEPCJE RYZYKA

KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO

4 GŁÓWNE KONCEPCJE RYNKU:

1. Błądzenie przypadkowe (losowe)

2. Zmiany jako skutek myślenia grupowego

3. Zmiany chaotyczne neutralne czynniki fundamentalne, wahania zbiorowych nastrojów

4. Zmiany rynek koherentny - zgodność nastrojów z fundamentami wyraźny trend

Prof. Adrew Lo, MIT, the cosequences can be catastrophic, even if statisticaly improbable

KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO• Założenie losowości zdarzeń gospodarczych. Przypadkowość zdarzeń,

niezależność (kości nie mają pamięci)

• Lub

• Założenie chaosu. Chaos to porządek udający bałagan. Złożoność i prostota przenikają się. Geometryczna reprezentacja chaosu – fraktale. Np. dym z papierosa, postrzępiony brzeg rzeki, wykres giełdowy kursu. Czy to może być przewidywalne?

• Teoria chaosu – osobliwości:

• - Im więcej rozumiesz tym prognozy są mniej przewidywalne,

- - Przyczyną nieprzewidywalności rynku nie jest ich przypadkowość,

- Ruchy rynku nie są czysto przypadkowe, na dłuższą metę rynek jest nieprzewidywalny – niemożliwe pokonanie rynku

- Fraktale deterministyczne i losowe.

LOSOWOŚĆ• Losowość – wyraża brak celowości, przyczyny, nakazu, przewidywalności,

zdarzenia mają niedeterministyczny charakter ale mają jakiś rozkład. W fizyce pojęcie losowości ruchu cząsteczek daje się opisać mechaniką statystyczną, aby wyjaśnić termodynamikę i cechy gazów.

• Mechanika kwantowa nie specyfikuje wyniku eksperymentu a jedynie określa prawdopodobieństwo.

• W biologii pojęcie losowych mutacji, które pozostają w poolu genów.

• W informatyce szum jest losowy

• Losowość a nieprzewidywalność – coś co jest losowe dla jednego obserwatora nie musi być losowe dla innego. Dla jednego zaszyfrowana informacja jest nieczytelna a dla drugie czytelna. Niektórzy twierdzą, że nie ma losowości w świecie jest tylko nieprzewidywalność. Losowość daje się opisywać przez rozkłady.

• Buddyści odrzucają losowość bo wszystko determinują poprzednie uczynki. Chrześcijanie mają problem z wolną wolą i omnipotencją Boga. Bóg wiedział wszystko zanim pojawił się czas. Może nasza wolna wola jest tylko dopuszczalna do pewnego stopnia.

• Losowość pochodzi z przyrody, Brownian motions, lub z chaosu.

LOSOWOŚĆ CEN• Rynek efektywny to zdyskontowanie każdej informacji w cenie, wielka ilość

podmiotów – warunek rzetelności cen, racjonalni inwestorzy. Zbiorowa świadomość rynku przetrawia informację. Tylko nowa informacja zmienia cenę i rynek nie ma pamięci. Stopy zwrotu niezależne a więc losowe i podlegają błądzeniu losowemu. Błądzenie losowe wymaga założenia efektywności rynku (i niezależności zdarzeń) ale nie odwrotnie. (duża rola 1900 Louis Bachelier –uznał, że proces Wienera ma naturę ruchów Browna, Einstein odkrył to 10 lat później). Osborne 1964 oraz Fama 1965.

• Ilość dzienna transakcji jest skończona i nieistotna, cena i wartość są ściśle związane, wartość oczekiwanej stopy zwrotu zależy od jej poziomu i prawdopodobieństwa. Jeżeli transakcja ma dojść do skutku kupujący nie może mieć przewagi nad sprzedającym. Konkluzja, gdy zdarzenia są losowe to rozkład będzie normalny ze stabilną średnią i skończoną wariancją co wynika z prawa wielkich liczb graniczne twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa. Liczba stopni swobody to ilość inwestorów na rynku a inwestorzy z założenia racjonalni. Kierują się wartością oczekiwaną wynikającą z subiektywnego prawdopodobieństwa ustalanego w sposób racjonalny i nieobciążony.

Liczby przenikają wszystkie dziedziny życia ale są bezduszne i mogą stać się fetyszami.

Infantylne gry – ruletka, kości i giełda są poligonem doświadczalnym dla badań nad ryzykiem.

LOSOWOŚĆ CEN• E.Peters podważa efektywność rynków i błądzenie losowe. Teoria

rynków efektywnych dostarcza uzasadnienie do stosowania rachunku prawdopodobieństwa w ekonomii. Ale jeżeli zależności są nieliniowe i dynamiczne wtedy standardowa analiza statystyczna daje błędne wyniki

• Spór o losowość cen:

• Empiria tego nie potwierdza. Kiedy można podważyć losowość cen – gdyby dowieść, że rynek ma długą pamięć i duże zdarzenie z przeszłości przez wiele lat wpływa na rynek. Mandelbrott pokazywał empirycznie, że stopy zwrotu nie mają rozkładu normalnego i formułował hipotezę o stabilnych Paretowskich rozkładach stóp zwrotu. A więc, jeżeli rozkład nie jest normalny to podważona jest hipoteza o rynkach efektywnych i nowoczesna teoria portfelowa.

• Teoria chaosu chce zastąpić paradygmat liniowości – nieliniowością i paradygmat rynków efektywnych ogólnym patrzeniem na rynki w ich złożoności.

• Człowiek chce zrozumieć nieuporządkowany świat przez jego porządkowanie –czas przez zegary, wiedzę przez encyklopedie, prawo przez sądy…

• E.Petres rynki nie zachowują zgodnie z zasadą błądzenia przypadkowego, niektóre zamiany są tak duże, że nie można ich zaliczyć do białego szumu.

• Ekonomiści wychodzili zwykle od pojęcia równowagi – dążenia do równowagi –system pragnie ładu… Równowaga zakładała brak emocji – chciwości, altruizmu … E.Peters zdrowa gospodarka i zdrowy rynek nie zmierzają do równowagi (Teoria Chaosu a Rynki Kapitałowe 1997)

• Ekonomia często ignoruje czynnik czasu (brak pamięci, czasu).

• Model nieliniowy pokazuje, że rynek może mieć bardzo wiele cen spełniających równanie popytu i podaży – więcej niż jeden poziom równowagi.

• Złożoność rynku, gdy przyjąć, że rynki są nieliniowymi systemami dynamicznymi, wtedy są długoterminowe korelacje i trendy (sprzężenia zwrotne), poziomy krytyczne, struktury fraktalne, zmniejsza się trafność prognoz wraz z horyzontem.

• To podważa hipotezę o efektywności rynków, bo inwestorzy nie są racjonalni, nie działają w sposób uporządkowany i systematyczny – rynki są raczej bezładne i skomplikowane.

• Teoria złożoności – wiele rzeczy jest złożonych ale tworzy spójny obiekt lub proces – drzewo, pismo, koryto rzeki…

• Bezwładny motłoch może zmienić się w zwarty tłum i działa tak jakby miał jeden umysł

• Już w latach 60-tych zauważano grube ogony i kurtozy. Problem był też w zakładanej liniowości zjawisk często reakcja inwestorów wynikała z okresowej kumulacji informacji. Fama zauważył, że więcej zdarzeń mieściło się w lewym ogonie niż w prawym – lewa asymetria i wyższa wartość szczytu = leptokurtoza. Rozkład normalny zakłada małe prawdopodobieństwa w przypadku ogonów a obserwacje wskazywały na wartości większe. Niepokojąco niestabilne okazują się odchylenia standardowe. Teoretycznie odchylenia standardowe dla stóp 5 dniowych powinny być pierwiastek kwadratowy z 5 razy odchylenie standardowe dla 5 dni - ale tak nie było. Problem czy istnieją inwestorzy „inteligentny kapitał” czy reagujący na szum informacyjny – wtedy podważa się racjonalne oczekiwania. Wiele badań kwestionuje racjonalność decyzji inwestorów.

• Grube ogony wyjaśnia się, że informacje nie docierają ciągle ale w wiązkach i skokowo. To powoduje leptokutozę. Mandelbrot 1964 pisał, że rozkłady mają wysokie wierzchołki i grube ogony bo są paretowskie. Dalej cechuje je skłonność do wytwarzania trendów i cykli oraz gwałtownych zmian nieciągłych. Ale wtedy wariancja jest nieskończona –czyli nieokreślona. Bez założenia losowości w ekonomii nie ma rachunku prawdopodobieństwa. Problem: ludzie nie zawsze unikają ryzyka (hazard), subiektywne prawdopodobieństwo często nie ma podstaw, ludzie nie reagują liniowo na informację ale pierwsze informacje ignorują a potem działają skokowo, czy racjonalność zbiorowości jest większa niż jednostek (brak dowodu). Specjaliści od zarządzania nie przynosili rezultatów lepszych niż średnio rynek.

• Czy przypadek i konieczność wykluczają się? Czy przypadkowość i porządek też się wykluczają?

• Gdy na obraz telewizora nałożyć biały szum (śnieg) obraz dalej będzie widać. Chartyści twierdzą, że eliminują szum przez średnie kroczące. Jest wiele systemów gdzie, losowość i determinizm współistnieją. W ekonomii panuje Newtonowskie założenie dążenia do równowagi - dynamiki w świecie trójwymiarowym. „Naturalna równowaga podaży i popytu”. A przyroda jest w stanie permanentnych fluktuacji.

IMPLIKACJE ODRZUCENIA

LOSOWOŚCI CEN• EPeters Teoria chaosu..Fraktale ,,,.Natura jest ciągiem powtarzających

się formacji – jest ona lokalnie losowa, globalnie zaś uporządkowana. To co złożone uzyskuje dzięki fraktalom strukturę. Natura jest nieliniowa, a fraktale są geometrią chaosu. Euklides to greckie dążenie do czystych form ale natura nie znosi symetrii – podobnie jak nie znosi równowagi. Fraktale tworzył Benoit Mandelbrot. Fraktal to obiekt, którego części pozostają w pewnej relacji do całości. Każda gałąź drzewa jest podobna do całości. Jak wyjmowanie trójkątów z trójkąta Sierpińskiego przy pomocy geometrii Euklidesowej. Liczba jego wymiarów jest ułamkowa – 1,58. Gdy istnieją dziury w płaszczyznach czy bryłach to obiekty nie są różniczkowalne w całej swojej powierzchni – brak ciągłości. Płatek śniegu Kocha –nieskończona długość w skończonej przestrzeni.

• Tak jest z cenami akcji – z daleka widać powolne zmiany, z bliska postrzępione zmiany cen akcji (jak linia brzegowa z samolotu i z bliska). Fraktal jest atraktorem – zbiorem granicznym. Atraktor nie jest losowy mimo, że ma nieskończenie wiele możliwych rozwiązań. Fraktal jest samopodobny. Mogą być fraktale deterministyczne (symetryczne) oraz losowe (niesymetryczne). Szereg nie ma charakteru losowego bo są zagęszczenia wynikające z korelacji. W szeregach losowych nie ma związków z wcześniejszymi zdarzeniami we fraktalach związek taki istnieje.

KONCEPCJE RYZYKA

• Negatywna koncepcja ryzyka – ryzyko jako zagrożenie –nie osiągnięcie efektu (negatywny wpływ na ludzi, środowisko, gospodarkę)

• Katastrofy (zagrożenie jako zjawisko rzadkie, małoprawdopodobne ale o dużych negatywnych skutkach – piorun)

• Ryzyko jako prawdopodobieństwo zdarzenia (zdarzenia, prawdopodobieństwo w określonym czasie)

• Neutralna koncepcja ryzyka – zagrożenie ale i szansa –efekt różny od zakładanego np. w języku chińskim znak niebezpieczeństwa i szansy (razem)

PODEJŚCIE DO RYZYKA• Podejście do ryzyka – ryzyko a nagroda (użyteczność):

• -risk aversion – awersja do ryzyka – wyższa premia za ryzyko (malejąca użyteczność, [stała lub malejąca awersja do ryzyka ])

• -risk neutrality – neutralność na ryzyko (stała użyteczność)

• - risk seeking – ponoszenie dodatkowego ryzyka dla wyższego zwrotu (rosnąca krańcowa użyteczność)

AWERSJA

NEUTRALNOŚĆ

SKŁONNOŚĆ

UZYTECZNOŚC

WARTOŚĆ

Brenoulli - „Użyteczność będąca wynikiem jakiegokolwiek niewielkiego wzrostu zamożności będzie

odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr uprzednio posiadanych”.

Bernoulli pokazał postać osoby podejmującej ryzyko – motywacje i różne decyzje mimo tych

samych mierzonych prawdopodobieństw

D.Bernoulli Wartość przedmiotu wynika nie z ceny lecz z użyteczności – paradoks Petersburski

RYZYKO POJĘCIE,

ETYMOLOGIA, GENEZA

BADAŃ RYZYKA

Co to jest ryzyko?

Patrząc w przyszłość niektórzy widzą małą chmurkę a inni górę lodową i wielkie cierpienie

RYZYKO• Rozi(k) po persku los

• Risq arabski los, dopust boży

• Al zahr arab. Gra w kości (hazard)

• Ar-risco hiszpański odwaga, niebezpieczeństwo

• Risk, hazard ang.

• Risicare starowłoskie Omijać coś, odważyć się (a więc wybór a nie przeznaczenie)

• Risichio włoski statek powinien ominąć rafę

• Riza grecki ostra skała, rafa ale i Eikos – Prawdopodobieństwo do Prawdy (Sokrates)

• Kindunos – hazard obecnie pojęcie cindynics situation np. Czarnobyl, Challenger, 11.Sept.01

• Probare łac. – sprawdzać ilis możliwość istnienia - probabilistyczny –możliwy do uznania

• Hazard to czysty los, ryzyko w działaniu to los i decyzje

• Ryzyko łączy się z osiąganiem celu, przy deficycie informacji

• Ryzyko czyste i dynamiczne

• Ryzyko nie jest jednorodne stąd trudności definicyjne

• Ryzyko w: ubezpieczeniach, ekonomii, prawie, polityce, technice, ekologii, medycynie, farmacji , psychologiczne, socjologiczne etc.

T.S.Elliot poeta: Tylko ci, którzy zaryzykują pójście o krok za daleko dowiedzą się,

jak daleko można w ogóle dojść

RYZYKO

• Pozytywnie – szansa

(chance)

• Negatywnie – ryzyko (risk)

• Dwa główne zagadnienie:

– Częstotliwość (frequency)

– Dolegliwość (severity of risk)

N.Taleb: Skutkiem nieprzewidzianego ryzyka jest duża asymetria skutków zdarzenia – wielki zysk

lub wielka strata

PROBLEMATYKA RYZYKA• Ryzyko jest jak kurz - jest wszędzie niezależnie od tego

co czynimy, można z nim sobie radzić (zarządzać) ale nie

da się go całkowicie wyeliminować (Penny Cagan).

• Risicare wł. Odważyć się

• Ryzyko można omijać ale nie można go się pozbyć

(Tanya Styblo-Beder)

• Ryzyka nie da się dotknąć ani powąchać (U.Beck)

• Merton Miller Nobel 1990 „..instrumenty pochodne

uczyniły świat bezpieczniejszym, a nie bardziej

ryzykownym”

• Ale pozbyć się całkowicie ryzyka oznacza rezygnację z

zarabiania pieniędzy

Jawaharlal Nehru 1889-1964 The policy of beeing too cautious is the greatest risk of all

GENEZA BADAŃ RYZYKA• Arystoteles opisywał historię Talesa z Miletu ryzyko i funkcjonujące wtedy instrumenty pochodne

• XVI, XVII w ubezpieczenia towarów w handlu

• XVI w gry losowe XVII w Blaise Pascal 1654 klasztor Port Royal, 1662 Logika Sztuka Myślenia, ryzyko to skala zagrożenia oraz prawdopodobieństwo zdarzenia – strach przed piorunem jest nadmierny (małe prawdopodobieństwo rażenia). Pytanie czy jest Bóg czy nie rozważa przez pryzmat przyszłych konsekwencji.

• XVIII idee braci Bernoullich, teoria użyteczności, unikanie ryzyka, 1703 Jacob Bernoulli prawdopodobieństwo na podstawie wyrywkowych danych, niepewność to nieznane prawdopodobieństwo.

• F.Galton 1822-1911 przekształcił dane statystyczne w pojęcie prawdopodobieństwa

• P.S.Laplace każde zdarzenie ma przyczynę. Wybór jest tylko między odrzuceniem lub nieodrzuceniem hipotezy.

• F.Knight 1921 Risk, uncertainty and profit. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. Zbyt wiele wniosków wyciągamy z danych przeszłych. Knigth dzielił na uncertainty incomputable i risk computable

• We francuskim jest hasard (arabskie az-zahr jak kości losowość) oraz fortuit (jak Black swan czysty przypadek)

• Keynes uważał, że nic nie świadczy o tym, że w gospodarce przeszłe zdarzenia powtórzą się w przyszłości.

• John von Naumann (1903-1957) teoria gier użyteczność przyrostu bogactwa jest odwrotnie proporcjonalna do jego wielkości.

• Harry Markowitz 1952 Dobór Portfela, dywersyfikacja, ryzyko i wariancja są u niego synonimami. Duża wariancja to jak głowa w piekarniku a nogi w lodówce. Bez ryzyka nie ma zysku.

• Czas zmienia ryzyko czego nie uwzględniał Markowitz.

• CAPM Sharpe

RYZYKO POJĘCIA

PODSTAWOWE

• Czynnik ryzyka

• Przedmiot ryzyka (object)

• Spełnienie się ryzyka (peril)

• Konsekwencje spełnienia się ryzyka (loss)

• Ryzyko nie może być traktowane tylko jako element pogorszenia się sytuacji ale również jako możliwość poprawy (chance)

RYZYKO POJĘCIA

PODSTAWOWE• Ryzyko to sytuacja, gdzie szkodliwy czynnik ryzyka może się pojawić ale nie

jest w pełni przewidywalny.

• Z naukowego punktu widzenia przyczynowość jest podstawą determinizmu –jeżeli znamy wszystkie przyczyny danego zjawiska to możemy przewidzieć jego pojawianie się i skutki.

• Teoria prawdopodobieństwa jest matematyczną odpowiedzią na niepewność –gdzie zdarzenie nie jest w pełni przewidywalne - teoria - pozwala skwantyfikować możliwą przyszłość

• Prawdopodobieństwo tyle co szansa

• Wiedza redukuje niepewność, wtedy losowość zmniejsza się w stosunku do sytuacji deterministycznej

• Losowość jest tylko rezultatem niekompletnej wiedzy – Heisenberg W, 1927

• Niepewność a wiedza: niepewność wynika z niekompletnej wiedzy, ale często kompletna wiedza jest nie do uzyskania. (dialektyczna sprzeczność wiedzy i niepewności)

• Ryzyko jest ciągle zjawiskiem losowym ale prawdopodobieństwo zależy od czynników (driverów) ryzyka.

Bernstein,P 1996: risk is not a fate but a choice

RYZYKO• Teoria prawdopodobieństwa to matematyczne kwantyfikowanie niepewności

• Klasyczna teoria prawdopodobieństwa:

• Aksjomaty Kołomogorova:

• Ryzyko od zjawisk niemożliwych p=0 do pewnych p=1

• zajście zdarzenia przeciwnego 1-P(E)=1 (pewne jak śmierć)

• suma prawdopodobieństw P(A)+P(B)-P(AiB), iloczyn P(AiB),

• E=suma wszystkich możliwych zdarzeń

• ½ orzeł

• Rzut monetą 50:50,

• ½ reszka

• kostką 6*p=1->p=1/6. Skończona ilość elementów zbioru zdarzeń P=n/m

• Geometryczna definicja prawdopodobieństwa, gdy punkt w przestrzeni należy do q(Q) toP=q/Q

• Teoria prawdopodobieństwa oparata w empirii o częstość względną

• Badanie statystyczne (próba) Prawdopodobieństwo jest granicą z próby P=lim (n1/n), próba musi być reprezentatywna (Mises.R.)

• Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes theorem

• P(A|B)=P(AiB)/(P(B) lub P(B|A)=P(AiB)/(P(A) lub P(A|B)=P(A).P(B|A)/(P(B)

• Zdarzenia niezależne vs. zależne

GENEZA BADAŃ RYZYKA• Rozróżnienie ryzyka i niepewności wprowadził Willet w 1901

roku „ryzyko jest obiektywnie współzależne od subiektywnej niepewności” „niepewność wystąpienia określonych skutków stanów natury”

• Frank H. Knight (1921), Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin Company, Boston.

• Knight opublikował teorię niepewności mierzalnej (ryzyko) i niemierzalnej (niepewność sensu stricto)

• “The practical difference between the two categories, risk and uncertainty, is that in the former the distribution of the outcome in a group of instances is known (either through calculation a priori or from statistics of past experience), while in the case of uncertainty this is not true, the reason being in general that it is impossible to form a group of instances, because the situation dealt with is in a high degree unique.”

• Ryzyko może być wycenione, przy założeniu, że prawdopodobieństwo w przyszłości wiąże się z przeszłością.

RYZYKO I NIEPEWNOŚĆ• Pfeffer 1956 ryzyko jest hazardem i jest mierzone

prawdopodobieństwem, a niepewność jest mierzona poziomem wiary. Stąd ryzyko to stan świata a niepewność to stan umysłu.

• Antonim pewności – niepewność

• Peter L. Bernstein (1996), Against the Gods, John Wiley & Sons Inc., New York.

• Peter Bernstein wskazuje, że myślenie na temat ryzyka wyrosło z hazardu, gdzie prawdopodobieństwo daje się kalkulować. Klasycznie szansa na zdarzenie znajdowała rodowód w ubezpieczeniach – np. Oczekiwany czas życia, prawdopodobieństwo pożaru, wypadku samochodowego etc. daje się zdefiniować oraz wycenić cenowo.

• C.A.Williams, M.L.Smith, P.C.Young ryzyko to potencjalna zmienność zdarzeń

• W przypadku niepewności - uncertainty, nie znane są parametry rozkładu prawdopodobieństwa, nie potrafimy określić ich częstości, a więc i ceny. Np. ptasia grypa, dziś brak jeszcze informacji i doświadczenia.

RYZYKO

• Definicje:

• Ryzyko - możliwa szkoda lub strata związana z wyborem danego lub alternatywnego działania. Tu zwraca uwagę alternatywa wyboru.

• Preferencja ryzyka: preferowany wybór w warunkach ryzyka wynikający z preferencji wybierającego. Pojęcie odrębne od samego ryzyka (risk avers, risk neutral…)

• Miara ryzyka: realna wartość funkcji numerycznej reprezentująca ryzyko wyboru decydenta spośród dostępnych alternatyw.

• Zmienna losowa: funkcja zdefiniowana na zestawie przypadkowych zdarzeń z realnymi wartościami, które są uważane za losowe.

• Uporządkowanie ryzyka: ocena przez podejmującego ryzyko, które z nich jest większe, a które mniejsze

RYZYKO

• Wynik - możliwa konsekwencja działania

• Zakład - skończony zbiór wyczerpujących i wyłącznych wyników działania

• Prawdopodobieństwo - realna liczba między 0,1 wyrażająca stopień przekonania, który osoba przypisuje prawdzie określonej propozycji

• Niepewność - niekompletny stan wiedzy o istocie propozycji np. Jakie mogą być wyniki decyzji

• Alternatywa - wybór między dwiema lub większą ilością loterii

• Decyzja - nieowracalny, nieodwołalny wybór

Pierre Corneille dramaturg XVIIw: Wygrać bez ryzyka to tak, jak przeżyć wielki triumf

bez cienia glorii

RYZYKO

• Ryzyko może być pojęciem jednokierunkowym (negatywny efekt) lub wielokierunkowym (wypadkowa wielu czynników, różne efekty)

• W jednokierunkowym ujęciu ryzyko jest niebezpieczeństwem poniesienia straty

• W jednokierunkowym ujęciu zarządzanie ryzykiem jest minimalizacją straty

• Kryterium opłacalności w wielokierunkowym ujęciu ryzyka jest maksymalizacja zysku nad stratą

• Ryzyko jest zjawiskiem częstym

• Ryzyko nie jest czymś jednorodnym a więc nie ma uniwersalnej definicji ryzyka

• Dwa aspekty ryzyka: obiektywny i subiektywny

• Ryzyko bada się jako: niebezpieczeństwo, hazard, niepewność, prawdopodobieństwo

• Ryzyko jest raczej procesem niż stanem otoczenia

Sting piosenkarz: Wielu ludzi postrzega ryzyko jak wroga, podczas gdy jest ono

uśmiechem losu

NIEPEWNOŚĆ

• TAKTYCZNA:

• ekspozycja transakcyjna, zysk

lub strata na kontraktowym

cash flow wynikająca z FX,

%, commodity, equity, cen,

operacyjna,

• wpływ na rachunek wyników

• ekspozycja translacyjna,

straty lub zyski na aktywach

lub pasywach, wpływ na

bilans, ważne przy M&A

• STRATEGICZNA:

• Ekspozycja na

konkurencyjność, marże,

udziały w rynku,

technologia, kapitały

• Ekspozycja ekonomiczna

- długi okres, trudny

pomiar ryzyka,

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

• Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się modelami ujmującymi zachowanie się obserwowanych zjawisk (np.. Kursów, stóp…)

• Prawdopodobieństwo mierzy się od 0 do 1.

• Zjawiska mogą być deterministyczne 0 lub 1 oraz probabilistyczne (stochastyczne 0<p<1)

• Narzędziem jest abstrakcja matematyczna opisująca rozkład czynnika ryzyka. Każdy czynnik uważa się za zmienną losową (random variable) o określonej charakterystyce rozkładu.

RYZYKO

POJĘCIA PODSTAWOWE,

NIEPEWNOŚĆ A RYZYKO, RODZAJE

RYZYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO,

RYZYKO POJĘCIA

PODSTAWOWE

• Czynnik ryzyka

• Przedmiot ryzyka (object)

• Spełnienie się ryzyka (peril)

• Konsekwencje spełnienia się ryzyka (loss)

• Ryzyko nie może być traktowane tylko jako element pogorszenia się sytuacji ale również jako możliwość poprawy (chance)

RYZYKO POJĘCIA

PODSTAWOWE• Ryzyko to sytuacja, gdzie szkodliwy czynnik ryzyka może się pojawić ale nie

jest w pełni przewidywalny.

• Z naukowego punktu widzenia przyczynowość jest podstawą determinizmu –jeżeli znamy wszystkie przyczyny danego zjawiska to możemy przewidzieć jego pojawianie się i skutki.

• Teoria prawdopodobieństwa jest matematyczną odpowiedzią na niepewność –gdzie zdarzenie nie jest w pełni przewidywalne - teoria - pozwala skwantyfikować możliwą przyszłość

• Prawdopodobieństwo tyle co szansa

• Wiedza redukuje niepewność, wtedy losowość zmniejsza się w stosunku do sytuacji deterministycznej

• Losowość jest tylko rezultatem niekompletnej wiedzy – Heisenberg W, 1927

• Niepewność a wiedza: niepewność wynika z niekompletnej wiedzy, ale często kompletna wiedza jest nie do uzyskania. (dialektyczna sprzeczność wiedzy i niepewności)

• Ryzyko jest ciągle zjawiskiem losowym ale prawdopodobieństwo zależy od czynników (driverów) ryzyka.

Bernstein,P 1996: risk is not a fate but a choice

NIEPEWNOŚĆ A RYZYKO

• Rozróżnienie ryzyka i niepewności wprowadził Willet w 1901 roku „ryzyko jest obiektywnie współzależne od subiektywnej niepewności” „niepewność wystąpienia określonych skutków stanów natury”

• Frank H. Knight (1921), Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin Company, Boston.

• Knight opublikował teorię niepewności mierzalnej (ryzyko) i niemierzalnej (niepewność sensu stricto)

• “The practical difference between the two categories, risk and uncertainty, is that in the former the distribution of the outcome in a group of instances is known (either through calculation a priori or from statistics of past experience), while in the case of uncertainty this is not true, the reason being in general that it is impossible to form a group of instances, because the situation dealt with is in a high degree unique.”

• Ryzyko może być wycenione, przy założeniu, że prawdopodobieństwo w przyszłości wiąże się z przeszłością.

NIEPEWNOŚĆ• Krytyka przenoszenia pojęć z fizyki na ekonomię

• Minimalną niepewność DEFINIOWAŁ Werner Heisenberg 1927 ale to dotyczyło wielkich liczb i cząsteczek - bliżej uśredniania i Gaussa. Krytyka: ale pogoda, czy ekonomia to nie fizyka – epistemic opacity (poznawcza nieprzejrzystość)

• Świat nie jest jak geometria … Matka Natura nie chodziła do wyższej szkoły z geometrią i nie czytała książek Euklidesa z Aleksandrii. To jest zaprzeczeniem tego co pisał o naturze Galileusz, iż… jest napisana w języku matematyki o czcionkami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne.

• Hayek był przeciwnikiem stosowania narzędzi fizyki do nauk społecznych

• Sterylna losowość gier, rzutów kostkami nie przypomina losowości prawdziwego życia

• Im więcej prób tym większe uśrednianie wyników

Henry Adams – Chaos jest prawem natury; porządek marzeniem człowieka

RYZYKO I NIEPEWNOŚĆ• Pfeffer 1956 ryzyko jest hazardem i jest mierzone

prawdopodobieństwem, a niepewność jest mierzona poziomem wiary Stąd ryzyko to stan świata a niepewność to stan umysłu.

• Antonim pewności – niepewność

• Peter L. Bernstein (1996), Against the Gods, John Wiley & Sons Inc., New York.

• Peter Bernstein wskazuje, że myślenie na temat ryzyka wyrosło z hazardu, gdzie prawdopodobieństwo daje się kalkulować. Klasycznie szansa na zdarzenie znajdowała rodowód w ubezpieczeniach – np. Oczekiwany czas życia, prawdopodobieństwo pożaru, wypadku samochodowego etc. daje się zdefiniować oraz wycenić cenowo.

• C.A.Williams, M.L.Smith, P.C.Young ryzyko to potencjalna zmienność zdarzeń

• W przypadku niepewności - uncertainty, nie znane są parametry rozkładu prawdopodobieństwa, nie potrafimy określić ich częstości, a więc i ceny. Np. ptasia grypa, dziś brak jeszcze informacji i doświadczenia.

Z. Bauman – Płynny lęk – „nazwa, jaką nadajemy naszej niepewności,

naszej niewiedzy o zagrożeniu i o tym co należy zrobić …”

RYZYKO

Definicje:

• Ryzyko - możliwa szkoda lub strata związana z wyborem danego lub alternatywnego działania lub stanu. Tu zwraca uwagę alternatywa wyboru.

• Preferencja ryzyka: preferowany wybór w warunkach ryzyka wynikający z preferencji wybierającego. Pojęcie odrębne od samego ryzyka (risk avers, risk neutral…)

• Miara ryzyka: realna wartość funkcji numerycznej reprezentująca ryzyko wyboru decydenta spośród dostępnych alternatyw.

• Zamienna losowa: funkcja zdefiniowana na zestawie przypadkowych zdarzeń z realnymi wartościami, które są uważane za losowe.

• Uporządkowanie ryzyka: ocena przez podejmującego ryzyko, które z nich jest większe, a które mniejsze

RYZYKO

• Wynik - możliwa konsekwencja działania

• Zakład - skończony zbiór wyczerpujących i wyłącznych wyników działania

• Prawdopodobieństwo - realna liczba między 0,1 wyrażająca stopień przekonania, który osoba przypisuje prawdzie określonej propozycji

• Niepewność - niekompletny stan wiedzy o istocie propozycji np. Jakie mogą być wyniki decyzji

• Alternatywa - wybór między dwiema lub większą ilością loterii

• Decyzja - nieowracalny, nieodwołalny wybór

Pierre Corneille dramaturg XVIIw: Wygrać bez ryzyka to tak, jak przeżyć wielki triumf

bez cienia glorii

RYZYKO• Ryzyko może być pojęciem jednokierunkowym (negatywny efekt) lub

wielokierunkowym (wypadkowa wielu czynników, różne efekty)

• W jednokierunkowym ujęciu ryzyko jest niebezpieczeństwem poniesienia straty

• W jednokierunkowym ujęciu zarządzanie ryzykiem jest minimalizacją straty

• Kryterium opłacalności w wielokierunkowym ujęciu ryzyka jest maksymalizacja zysku nad stratą

• Ryzyko jednowymiarowe np. efekt zmiany kursu walutowego, ryzyko wielowymiarowe – efekt zmiany indeksu giełdowego

• Ryzyko jest zjawiskiem częstym

• Ryzyko nie jest czymś jednorodnym a więc nie ma uniwersalnej definicji ryzyka

• Dwa aspekty ryzyka: obiektywny i subiektywny

• Ryzyko bada się jako: niebezpieczeństwo, hazard, niepewność, prawdopodobieństwo

• Ryzyko jest raczej procesem niż stanem otoczenia

Sting piosenkarz: Wielu ludzi postrzega ryzyko jak wroga, podczas gdy jest ono

uśmiechem losu

RYZYKO

• Przyszłość nigdy nie jest zdeterminowana a więc nie można jej przewidzieć.

• Koncentracja ryzyka jest jednym z największych problemów firm i banków, z natury oznacza to silną korelację czynników ryzyka, które w okresie wystąpienia mają silnie zdynamizowany efekt. Korelacja może być między przemysłami, geograficzna, produktowa etc. (multiple risk factors) W zależności od kierunku korelacji ryzyko może rosnąć lub maleć w stosunku do ryzyka poszczególnych czynników.

• Ulrich Beck Społeczeństwo ryzyka : dziś żyjemy w społeczeństwie globalnego ryzyka, większość zdarzeń przekracza granice państwowe, co się dzieje w Chinach wpływa na Polskę (ceny, inwestycje, zatrudnienie)

• Ubezpieczenie od ryzyka tworzy nowe ryzyko

• Ryzyko klimatyczne, finansowe, zatrucia środowiska, kryzysu energetycznego, terroryzmu

RYZYKO A CZAS• Rzuty kostką, karty nie mają pamięci i nie ma znaczenia

co wyrzucono wcześniej – złe i dobre passy są losowe. Wygrywając gracz chce wierzyć, że krótki czas rozwinie się w długi okres, przegrywając wierzy, że długi czas zamieni się w krótki okres. Ale niepomyślna passa może być bolesna. Ryzyko i czas to dwie strony medalu.

• Gdyby nie było jutra nie byłoby ryzyka.

• Często spotyka się tezę, że inwestując na długi okres zmniejsza się ryzyko, ale gdyby tak było to opcje dla długiego okresu musiałyby być bardzo tanie – a przecież są drogie

• Krótki okres jak ruletka

• Długi okres jak rosyjska ruletka

NIEPEWNOŚĆ

• TAKTYCZNA:

• ekspozycja transakcyjna, zysk

lub strata na kontraktowym

cash flow wynikająca z FX,

%, commodity, equity, cen,

operacyjna,

• wpływ na rachunek wyników

• ekspozycja translacyjna,

straty lub zyski na aktywach

lub pasywach, wpływ na

bilans, ważne przy M&A

• STRATEGICZNA:

• Ekspozycja na

konkurencyjność, marże,

udziały w rynku,

technologia, kapitały

• Ekspozycja ekonomiczna

- długi okres, trudny

pomiar ryzyka,

Centralną problemem niepewności nie jest prawdopodobieństwo

ale ocena zdolności poniesienia konsekwencji

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

• Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się

modelami ujmującymi zachowanie się

obserwowanych zjawisk (np.. Kursów, stóp…)

• Prawdopodobieństwo mierzy się od 0 do 1.

• Zjawiska mogą być deterministyczne 0 lub 1 oraz

probabilistyczne (stochastyczne 0<p<1) –

rozróżnienie między populacją a próbą z populacji

Kenneth Arrow: „nasza wiedza owiana jest mgłą niepewności. Wiara w pewność prowadzi

do katastrofalnych nastepstw”

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

• Narzędziem jest abstrakcja matematyczna opisująca rozkład czynnika ryzyka. Każdy czynnik uważa się za zmienną losową (random variable) o określonej charakterystyce rozkładu.

• Proces stochastyczny może mieć różny przebieg:– Zdarzenia losowe, niezależne, o rozkładzie symetrycznym,

normalnym, [ w ekonomii koncepcja rynków efektywnych, losowość krocząca]

– Zdarzenia losowe – gdzie wartość oczekiwana jest warunkowa i zależy od wartości poprzedzających, gdy znana wartość od wcześniejszego momentu s to wartość warunkowa oczekiwana jest równa wartości w momencie s [martyngał, teorii chaosu, fraktale, zmiany nieliniowe, rozkłady niesymetryczne]

RYZYKO

KATEGORIE RYZYKA, RYZYKO

FINANSOWE, RYZYKO RYNKOWE,

CZYNNIKI RYZYKA RYNKOWEGO

J.M.Keynes „ gdy akumulacja kapitału jakiegoś kraju staje się ubocznym produktem gry hazardowej,

wyniki zawsze są opłakane”

„gdyby ludzi nie nęciło próbowanie szczęścia …

niewiele by chyba było inwestycji zrodzonych z chłodnej kalkulacji”

RYZYKO - KRYTERIA

• Kryteria:

• Ryzyko właściwe

– wynik działania prawa wielkich liczb

• Ryzyko subiektywne

– oceniane przez niedoskonałego człowieka

• Ryzyko obiektywne

– absolutna forma niepewności, niemożliwość przewidzenia niektórych zjawisk

• Ryzyko stałe (systematyczne, zewnętrzne, skorelowane)

- dotyczy np. systemu gospodarczego,

• Ryzyko niestałe (niesystematyczne, specyficzne, wewnętrzne, nieskorelowane)

– konkretnego przedsiębiorstwa– Kulpa, 1922,s.4-7

RYZYKO - KRYTERIA• Inny koncept ryzyka:

– Czyste (pure risk)• gdy alternatywą do obecnego stanu jest wystąpienie straty

– Spekulacyjne (speculative risk)• Gdy może wystąpić strata lub zysk

• Egzogeniczne vs endogeniczne

• Ryzyko zwykłe i ekstremalne

• Ekonomiczne, ludzkie, naturalne, przemysłowe

• Ryzyko taktyczne i strategiczne (holistic)

• Ryzyko ubezpieczane (gdzie istnieje rynek ubezpieczania ryzyka)

– Default risk, managemnt risk, business risk, financial risk, bankruptcy risk, liquidity risk, holding period risk, reinvestment risk, convertibility risk, political risk………

Cardano hazardzista „ z gier hazardowych największy pożytek wypływa wówczas,

gdy w ogóle ich nie uprawiamy”

RYZYKO A RYZYKO

FINANSOWE• Niepewność a ryzyko - niepewność mierzalna=ryzyko

• ryzyko to stan świata, niepewność to stan umysłu

• Ryzyko fiansowe - rozumie się tu jako zmienność

strumieni finansowych (volatility).Ryzyko też definiuje

się jako odchylenie między oczekiwanym a uzyskanym

wynikiem - możliwość zwiększenia lub zmniejszenia

rynkowej wartości kapitału w wyniku oddziaływania

czynników wewnętrznych lub zewnętrznych

• Narażenie na ryzyko = prawdopodobieństwo*ekspozycja• Analitycy kredytowi preferują stabilny cash-flow, RoE, RoA,

• Hedge redukuje zmienność strumieni

• Wizualizować ryzyko można poprzez funkcję gęstości (często założenie rozkładu normalnego)

RYZYKO VS. NIEPEWNOŚĆ -

KTYTERIA

Dziawgo,1998, s.16

PRZYSZLE

WYDARZENIA

RYZYKO NIEPEWNOSC

EFEKT ALTERNATYWA MIERZALNOSC NIEPEWNOSC POSTEP

RYZYKO

SPECYFICZNE

wewnetrzne

RYZYKO

SYSTEMATYCZNE

zewnetrzne

RYZYKO

CZYSTE

Tylko strata

RYZYKO

SPEKULACYJNE

Strata lub zysk

FINANSOWE NIEFINANSOWE

CZASU

MIEJSCA

WYSTAPIENIA

SKUTKU

STATYCZNE

DYNAMICZNE

RYZYKO KRYTERIA

RYZYKO TRANSAKCYJNE

WYDATEK =P*Q

RYZYKO TAKTYCZNE

RYZYKO TRANSALCYJNE

BILANSOWE=Pb*Q

np.31.12. p\P&L,A/P

PODATKOWE

RYZYKO STRATEGICZNE

RYZYKO EKONOMICZNE

RYZYKO KONKURENCJI

np.zmiana kursów

inwestycje bezposrednie

RYZYKO

RYZYKO FINANSOWE -

KRYTERIA

• Główne rodzaje ryzyka finansowego w firmach

– Płynności (upłynnienie aktywów)

– Rynkowe (cen rynkowych)

– Kredytowe (kontrahenta, bankructwa)

– Operacyjne ( transferu, wyceny, systemów,

utraty kontroli)

– Biznesowe (sprzedaży, prawne, regulacyjne,

reputacji, nowego produktu)

Kandall, 2000, Socik, 2000 s.51

RYZYKO FINANSOWE

• Ryzyko płynności – czyli stanu, w którym podmiot ma zdolność do wywiązywania się z bieżących oraz przyszłych zobowiązań

• Ryzyko rynkowe – niebezpieczeństwo poniesienia straty w wyniku niekorzystnych zmian parametrów rynkowych

• Ryzyko operacyjne – czyli ryzyko poniesienia straty w wyniku niedostosowania lub zawodności wewnętrznych procesów, techniki, ludzi…

• Ryzyko kredytowe – czyli sytuacja, w której kontrahent, częściowo lub w całości, nie reguluje w umówionym terminie płatności przewidzianej umową.

RYZYKO FINANSOWE

• RYNKOWE główne problemy

• identyfikacja, pomiar (metody),monitorowanie, kontrola/migracja,cashflow at risk,

• OPERACYJNE - główne problemy

• definicja, identyfikacja, modelowanie, wycena, bufor kapitałowy, VaR, modele strat, agregacja ryzyka operacyjnego, zarządzanie/limity

• Prawne, regulacyjne, podatkowe, reputacyjne, przyczyny, skutki, w tym regulacje derywatów,

• KREDYTOWE - główne problemy

• Czynniki ryzyka kredytowego, pomiar, rating, collateral, limity kredytowe,straty kredytowe, aktuariat default risk, proces odzyskiwania, spready a ryzyko, derywaty kredytowe,

• ekspozycja, prawdopodobieństwo straty, zwrot z ekspozycji zagrożonej, rozkład strat

• modelowanie ryzyka kredytowego, dywersyfikacja, migracja ryzyka, regulacje

• PŁYNNOŚCI – główne problemy

• Płynność instrumentów finansowych na rynku, płynność firmy, miary,

zarządzanie płynnością

RYZYKO FINANSOWE

Ryzyko rynkowe Ryzyko kredytowe

Ryzyko płynności Model risk

Ryzyko operacyjne

Ryzyko systemowe

RYZYKO - CZYNNIKI

• Główne czynniki:

– Niebezpieczeństwo (przyczyny, źródła straty)

• Sekwencja niebezpieczeństwa zagrożenie,

realizacja, efekty

– Hazard (zespół warunków i okoliczności)

• Hazard fizyczny, moralny, duchowy

RYZYKO - CZYNNIKI• Price risk

• Interest rates risk

• FX risk

• Credit risk

• Liquidity risk

• Capital risk

• Sovereign, country

risk

• Off-balance sheet risk

• Business risk

• Operational risk

• Technology risk

• Marketability,

liquidation risk

• Purchasing power risk

• War, revolution… risk

• Force major


ZDARZENIE, EKSPOZYCJA, KONSEKWENCJE, CZYNNIK RYZYKA,

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM – DEFINICJA, STRATEGIA A RYZYKO, OGRANICZANIE

RYZYKA,

H. Von Moltke dowódca armii pruskiej: Najpierw rozważ wszelkie możliwości,

potem podejmuje ryzyko


• Dlaczego firmy zajmują się zarządzaniem

ryzykiem?

LIBERALIZACJA

GLOBALIZACJA

KONKURENCJA

R

Y

N

E

K

ZYSK


• Rolą zarządzającego jest utrzymanie przeżycia organizacji i pomyślności w działaniu

• Definicja zarządzania ryzykiem jest koncepcją otwartą (open concept) ale celem jest możliwe ograniczenie ryzyka

• Celem jest ochrona zasobów i reputacji firmy (szerokie) oraz zmniejszenie niepewności co do skutków podejmowanych decyzji

• Różne podejścia:– Zdarzenie niepewne prowokuje stratę (peril)

– Ekspozycja zasobów (object of risk)

– Konsekwencje finansowe (loss)

– Czynniki ryzyka (risk factors)

• Ryzyko twarde (możliwe do analizy) ryzyko miękkie (trudne do analizy)

Apetyt na ryzyko musi być pod kontrolą

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM• Definicja: Zarządzanie ryzykiem to identyfikacja, mierzenie ryzyka oraz

decydowanie o skali akceptacji ryzyka i instrumentach ograniczających ryzyko.

– Rozpoznawanie rodzajów ryzyka

– Pomiar ryzyka

– Wycena ryzyka

– Dezagregacja i integracja wyceny ryzyka

– Kontrola ryzyka

– Informacja o ryzyku

• Inna definicja:Zarządzanie ryzykiem to dopasowywanie poziomu akceptowanego ryzyka do skłonności inwestorów do ponoszenia ryzyka.

• Zarządzanie ryzykiem to stały proces podejmowania i realizowania decyzji, które redukują ryzyko do akceptowalnego poziomu dla ekspozycji danej jednostki

• Inwestorzy: skłonni do ryzyka, neutralni na ryzyko oraz mający awersję do ryzyka

• Pasywne i aktywne zarządzanie ryzykiem

• Kontrola ryzyka fizyczna i finansowa

Best, 2000, s.14, Smithson, 2000

Warren Buffet: Ryzyko rodzi się wtedy, gdy nie wiesz dokładnie co robisz


UNIKANIE

RYZYKA

REDUKCJA

RYZYKA

FIZYCZNA

KONTROLA

RYZYKA

PODJECIE

RYZYKA

TRANSFER

RYZYKA

FINANSOWA

KONTROLA

RYZYKA

RYZYKO

Diacon, 1990, s.78


• Zarządzanie ryzykiem wpisuje się w:

– Cele zarządzania ryzykiem

– Cele organizacji

– Efektywność ekonomiczną

– Bezpieczeństwo środowiska

– Etykę i good citizenship

– Cele funkcjonalne


• Problemy:

• integracja ryzyka (różne rodzaje ryzyka w różnych departamentach)

• zdolność przywiązywania właściwej wagi między ryzykiem biznesowym i rynkowym (ryzyko a apetyt na ryzyko)

• właściwe zarządzanie zmiennością przychodów

• zachowanie właściwych marż na działalności operacyjnej (większe ryzyko - większa marża)

• minimalizowanie prawdopodobieństwa rynkowego kryzysów

• zarządzanie ryzykiem antycypowanych transakcji

• corporate governance w zakresie adekwatnego zarządzania ryzykiem

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM• Celem jest:

– poprawa wyników

– zmniejszenie ryzyka

• Etapy zarządzania:

– rozpoznanie ryzyka

– badanie ekspozycji - pomiar

– kontrola

– informacja

– ocena procesu• Zarządzanie ryzykiem nie polega na jego unikaniu ale na wykorzystanie wiedzy i

umiejętności do jego oszacowania oraz uzyskania przy nim optymalnego dochodu

ZYSK RYZYKO


• Na płynnych (informacyjnie efektywnych) rynkach finansowych zarządzanie aktywne przeciętnie nie zapewnia ponadprzeciętnych stóp zwrotu

• Na mało płynnych rynkach finansowych Alfaczęsto nie jest Alfą (ponadprzeciętną stopą zwrotu), lecz premią za ryzyko braku płynności rynku)

3


Kluczowe pytania:

Jak odpowiednio i efektywnie

zarządzać ryzykiem?

Jak zrozumieć profili ryzyka

w firmie?

Jak zarządzanie ryzykiem

skutecznie wprowadzić w

firmie?

Pomiar ryzyka

Strategia w zakresie

ryzyka

Zarządzanie

kapitałem

Struktura zarządzania

ryzykiem

Czynniki ryzyka i ich wpływ na

firmę?

Wyniki finansowe przy

akceptowanym ryzyku?

Czy warto brać to ryzyko? Czy

lepiej zabezpieczyć się?

Jak zarządzać portfelem

ryzyka?

Jaki jest górny limit ryzyka dla

firmy?

Czy ryzyko jest adekwatnie

zabezpieczone kapitałem?

Jak wdrożyć efektywny system

zarządzania ryzykiem?

ZAGADNIENIA:

WZROST RYZYKA• Zjawisko nieustannego wzrostu ryzka (pieprz, złoto w Hiszpanii, złoto

w USA)

• od XVII do połowy XIX w ceny i kursy były relatywnie stabilne

(wahnięcia w czasie wojen napoleońskich, prusko-francuskiej i I

Wojny Światowej)

• Do 1971 r gold standard, gold bullion, gold foreign-exchange, stabilne

stopy procentowe oraz ceny

• Deregulacja rynków pieniężnych, kapitałowych, walutowych, euro,

azjo-rynki, integracja światowa, liberalizacja rynków energii,

• Enron, Worldcom, Ahold, Parmalat, 11iX01, 3 razy bankrutowała

Argentyna, stopy% od 1% rosły do 21% $, subprime 2007

• Odpowiedź harmonizacja (Sarbanes-Oxley, Basel II, MIFID)• Bill Gates Biznes szybki jak myśl - stan przerywanej równowagi do 1980 i stan przerywanego

chaosu po 1980

Dawniej życie było “stąpaniem po twardej ziemi” dziś to marsz po „ruchomych piaskach‟,

tylko ruch i aktywność chroni przed utonięciem.

OGRANICZANIE RYZYKA

• Wzrost posiadanych informacji

• Przeciwdziałanie ryzyku:

– Unikanie ryzyka

– Wkalkulowanie ryzyka

– Tworzenie rezerw

– Przeniesienie ryzyka

– Kompensacja ryzyka

OGRANICZANIE RYZYKA -

HISTORIA• Wzrost ilości transakcji terminowych spowodował

zagrożenie ryzykiem ostatecznego rozliczenia.

• Transakcje terminowe znali już Grecy na rynku oliwek,

Flamandowie w XII w dokonywali transakcji forward. W

XVII w Holendrzy wprowadzili opcje i futures. W XX w

powstały giełdy na te instrumenty

• Pierwszy swap był zawarty między holenderską firmą

Boskalis i angielskim koncernem ICI w 1976 roku

(wymiana strumienia guldenów na funty) oraz IBM i

Bankiem Światowym

SKALA OPERACJI

• Transakcje terminowe FX 18011 mld $

• Transakcje terminowe % 50015 mld $

• Transakcje terminowe na akcje 1 488 mld

• Transakcje terminowe commodities 10371

• Razem 80300 mld $

• w tym giełdowe 13549 mld $

• w tym Polska 25 mld $

• Źródło: BIS (1998)

RYZYKO – STATE OF ARTMAPOWANIE I PROFILOWANIE RYZYKA

• Podstawą zarządzania

– Risk map lub risk matrix (mapa ryzyka)

– Risk profile (profil ryzyka)

PROSTA

MATRYCA

RYZYKA

Częstość

Dotkliwość Niska Wysoka

Niska A B

Wysoka C D

IDENTYFIKACJA RYZYKA

FINANSOWEGO

TRANSAKCJE

BIZNESOWE

MA

PA

RY

ZY

KA

FILTR

RYZYKA

.TYP RYZYKA

.CZYNNIK RYZYKA

.WRAŻLIWOŚĆ NA RYZYKO

.STRUKTURA CZASOWA

.GEOGRAFIA RYZYKA

.SPONSOR RYZYKA

Kursy, stopy procentowe, ceny, pogoda, kredyt,

Krótki, długi okres

kraj, zagranica

Zła kominikacja, zły management, zły system płac

konkurencja, produkcja, zły marketing

zła logistyka etc.


• Zarządzanie ryzykiem to funkcja ekonomiczna.

Mierzą ją głównie 2 parametry (lub 3)

• OCZEKIWANY KOSZT RYZYKA =

CZĘSTOŚĆ (frequency)* DOTKLIWOŚĆ

(severity – oczekiwany koszt zdarzenia) niekiedy

jeszcze wymiar odchylenia standardowego np.

na 1 rok (F*S* )

NIEKTÓRE POJĘCIA

• KWANTYFIKACJA RYZYKA:

• Ekspozycja (notional - value, volume, object, resource)

• Czynniki ryzyka {r1…..rn}

• Zmienność { 1, 2….. n}

• Korelacje między różnymi rodzajami ryzyka

• wrażliwość {p1,…pn)

• Ekspozycja na ryzyko (risk exposure) { 1r1, 2r2….. nrn}

• Probabilistyka Np. Z poziomem ufności 99% kurs nie zmieni się negatywnie o więcej niż np. 2%w ciągu jednego dnia.

• Relatywne zmiany dzienne mogą być przypadkowe lub losowe i mieć jakiś rozkład np. rozkład normalny

• Relative volatility to nie absolutne odchylenie standardowe ale względna procentowa zmiana np. Z poziomem ufności 99%

RYZYKO

EKSPOZYCJA

STRATA

CZĘSTOŚĆ

ZDARZENIASKUTEK

DRIVERS

UNIKANIE TRANSFER REDUKCJA ABSORPCJA

DIAGNOZOWANIE RYZYKA

• MYŚL JAK FIRMA:

• Analizuj ekspozycję

finansową

• Dokonuj pomiaru

• Określ co powoduje

zmienność cash flow

• CZY RYZYKO JEST

• Mierzalne?

• Hedgeowalne?

• CO TO JEST HEDGE?

• Minimalizowanie

ekspozycji strumieni i

zasobów na przyszłe

zmiany rynkowe

• Zero-Sum-game

• METODY:

• Tradycyjne (non option)

• Nowoczesne (opcyjne)

ZASADY ZARZĄDZANIA

RYZYKIEM

RYZYKO

KULTUTRA RYZYKA & BEZPIECZEŃSTWO

POTWIERDZONE PRAKTYKI MIERZENIA

PROCEDURY

DZIAŁANIA

kwantyfikacja

Brak

kwantyfikacji

RYZYKO RYNKOWE

RYZYKO BRAKU SPŁATY

RYZYKO OPERACYJNE

RYZYKO PRAWNE

FORCE MAJEUR

ETC...

MIERZENIE RYZYKA• Kwantyfikacja ryzyka musi zawierać dwa rodzaje danych:

– wiekość możliwej straty,

– prawdopodobieństwo wystąpienia straty.

• Określenie: ekspozycji, czynników ryzyka, wrażliwości na ryzyko,

probabilistyka

• Podstawą jest rozkład prawdopodobieństwa lub jego określenie przez

parametry - wartość oczekiwana, wariancja.

MIERZENIE RYZYKA- MODEL

XOI

• Exposure, occurance, impact – XOI

• Ekspozycja – ilościowa miara wolumenu podatnego na ryzyko (może to być zmienna losowa)

• Wystąpienie – generalnie dwumianowa zmienna losowa kwantyfikowana jako prawdopodobieństwo

• Skutek – miara dotkliwości poszczególnego wydarzenia

• (czyli źródłowo = object, peril, consequence)

21

Volatility przychodów oraz

wpływ na rynkową

kapitalizację

Group Risk

Credit Risk

Volatility wynikająca ze

zmienności strat kredytu

Credit Losses

Loss

Rate

MeanEL

UL

Volatility wynikająca ze strat

operacyjnych

Operational Risk

Volatility wynikająca ze

zmienności cen rynkowych

Market Risk

EUR/USD Exchange rate

2 Standard Deviations

(VAR)

105

104

103

102

101

100

99

98

97

96

Sta

nd

ard

de

via

tio

n

95

Ryzyko grupuje się w

tzw.“buckets” aby efektywnie

zarządzać

Kluczową kwestią jest integracja ryzyka kredytowego, operacyjnego oraz

rynkowego i przetłumaczenie tego na język KAPITAŁU EKONOMICZNEGO

FIRMY

“KLASYCZNE”

GRUPOWANIE RYZYKA

MIERZENIE RYZYKA

• Trzy modele oceny prawdopodobieństwa:

– Wycena empiryczna – częstość (strata/ekspozycja w

czasie)

– Wycena teoretyczna – zewnętrzne założenia – np.

model Monte Carlo

– Wycena subiektywna - ekspercka

• Modele dla analizy ilościowej, czy jakościowej

mają jakąś wiodącą zasadę (bazę ideologiczną), co

powoduje różnicę ocen prawdopodobieństwa

MIERZENIE RYZYKAScenariusz Object Peril Impact

Błąd w orderze order błąd Koszt usunięcia

błędu

Kradzież kart Karta kredytowa defraudacja Koszt defraudacji

Błąd odsetek Produkt bankowy Roszczenie prawne Kompensata

Ogień w banku bank ogień Koszty napraw utrata

dochodów

Wirusy w serwerze Godziny pracy

serwera

Zawieszenie

systemów

Koszty naprawy,

utrata dochodów

Negatywna zmiana

kursów

Produkty bankowe Zmiana wycen Straty na

transakcjach

KONTROLA RYZYKA

• Celem zarządzania jest możliwa redukcja ryzyka, ponieważ ryzyka nie można stłumić w pełni

• Redukcja ryzyka mikroekonomicznego i makroekonomicznego

• Drivery ryzyka:

– Kontrolowalne

– Przewidywalne

– Obserwowalne

– Ukryte - niemierzalne

CORPORATEMETRICS

• Definiowanie miar ryzyka

• Metodyka mierzenia ryzyka

• Źródła danych i prognoz

• Kalkulacja ryzyka

• Riskmeritcs - koncentracja na wpływie

ryzyka na zmiany wartości finansowej

portfela aktywów, corporatemetrics -

badanie wpływu zmian rynku na wyniki

• Horyzont od 2-24 miesięcy

5

PROCES ZARZĄDZANIA

RYZYKIEMAnalysis ReportingCele firmy

Apetyt na ryzyko

Oczekiwania managerów

ANALIZA RYZYKA

Identifikacja

ryzyka

Pomiar

ryzyka

Portfel ryzykaMiary ryzyka

uwzględniające Risk-Return

Monitoring jako

Early Warning

System

Informacja,

Komunikacja

Kontrola ryzyka,

Rezultat finansowy

Ris

k P

ort

folio

Reszta

Ryzyka

Prewencja

Redukcja

Transfer

Absorpcja

KOSZTY RYZYKA -

FINANSOWANIERyzyko

strat

Oczekiwana

strata

Cat events

Stress test

Premie rezerwy Rezerwy

waluacjeEquity

Retained profitMożliwość

Refinansowania się

Źródło

Pokrycia

kapitałem

CORPORATE RISK BOOK

VS TRADING BOOK

DEAL DEAL DEALDEAL

INVENTORY

BUSINES

EXPOSURE

FINANCIAL

EXPOSURE

INVESTMENT

EXPOSURE

ORIGINAL

POSITION

HEDGE

POSITION

CORP.RISK

BOOK

RISK

LIMIT CFO

TREASURY

OPERATIVE

STAFF

ETAPY ROZWOJU ANALIZY

RYZYKA• Era przed Markowitz – ryzyko finansowe traktowano jako czynnik

korekcyjny oczekiwanego zysku. Wariancja i odchylenie standardowe były podstawą analiz. Ale wariancja nie jest dobrą miarą przy „szerokim ogonie”, czyli dla małych prawdopodobieństw (np..ryzyko bankructwa)

• Markowitz zaproponował wariancję jako miarę powiązaną ze stopą zysku

• JP.Morgan 1994 wprowadził VaR. (miara all or nothing)

• Braki VaR próbuje się nadrobić conditional VaR - CVaR

• Spektralne miary ryzyka (z funkcją odzwierciedlającą awersję do ryzyka)

• Dynamiczne miary ryzyka (wprowadza czynnik czasu)

Start-Up: Risk Management Services

Pure Advisory Service

Centric Client Relationship Bt

Additional Service: Technology

Roll-out RMS in Germany

Creating a Client Service Culture

Building-up of RMS in Europe

Additional Service: Outsourcing Functions

Going Global: Decision to Establish RMS-Teams Internationally

Establishing RMS as the Holistic Risk Management House

1997/1998 1999 2000 2001

RMS EWOLUCJA


• CELE:

• powiązanie strategii

finansowej z ryzykiem

finansowym

• ograniczenie

niepewności taktycznej

oraz strategicznej

• wpływ ryzyka na cele

finansowe

• ZARZĄDZANIE:

• wykorzystanie

związku ryzyka

inwestora i firmy

• ograniczanie ryzyka,

którego nie chce brać

akcjonariusz

Risk is like air in a squishly baloon. You can squeeze the baloon into a shape

you like but the air doesn‟t disappear

RYZYKO TO ODCHYLENIE

MIĘDZY OCZEKIWANYM A

FAKTYCZNYM WYNIKIEMOCZEKIWANA

STOPA ZYSKU

RZECZYWISTA

STOPA ZYSKU

POWRÓT DO PRZESZŁOŚCI

FUNDAMENTY MIERZENIA RYZYKA

KRÓTKIE PRZYPOMNIENIE

NARZĘDZI STATYSTYKI

Georg Chatin – matematyka to rodzaj fikcji. Nie wyjaśnisz stosunków z rodziną lub globalnej

Ekonomii za pomocą prostych równań czy logicznego rozumowania

TEORIA

PRAWDOPODOBIEŃSTWA• Teoria prawdopodobieństwa jest fundamentalnym matematycznym narzędziem służącym

kwantyfikacji niepewności.

• Centralnym problemem teorii prawdopodobieństwa są zmienne losowe, procesy stochastyczne i wydarzenia. Mogą to być wydarzenia jednostkowe lub zmieniające się w czasie w sposób losowy.

• Prawdopodobieństwo jest miarą stopnia niepewności i niewiedzy – niekompletność informacji, złożoność systemu, zjawisko losowe.

• W świecie deterministycznym Newtona nie ma miejsca na prawdopodobieństwo bo, gdy są znane wszystkie czynniki to skutek jest deterministyczny.

• Prawdopodobieństwo jest miarą relacji części zbioru do całości zbioru. Miary, które mogą być nazwane prawdopodobieństwem muszą wypełniać aksjomaty Kołomogorova. Aksjomaty reprezentują naszą intuicję niepewności.

• Zbiór wszystkich wyników E, które mogą się pojawić – rzuty monetą, kostką…

• Jeżeli koło rulety jest równe to prawdopodobieństwo pojawienia się wszystkich cyfr jest równe np. p z zerem =1/37

• Prawdopodobieństwo warunkowe:

• Prawdopodobieństwo A wiedząc, że wystąpi B

• Zdarzenia są niezależne gdy: P(A B)=P(A)*P(B)

• Np. osoba krótkowzroczna P(B)=0,4 i mężczyzna P(A)=0,5 tzn. 0,4*0,5=0,2 mężczyzna krótkowzroczny

• Np.

• P(daltonisci)=P(daltonista|mężczyzna)*P(mężczyzna)+P(daltonista|kobieta)*P(kobieta)=(40/500)*(500/1000)+(5/500)*(500/1000)=0,045

RYZYKO• Teoria prawdopodobieństwa to matematyczne kwantyfikowanie niepewności. Relacja podzbioru

do zbioru wszystkich elementów

• Klasyczna teoria prawdopodobieństwa:

• Aksjomaty Kołomogorova:

• Ryzyko od zjawisk niemożliwych p=0 do pewnych p=1 ; podzbiór E<=0;>=1

• zajście zdarzenia przeciwnego 1-P(E)=1 (pewne jak śmierć)

• suma prawdopodobieństw P(A)+P(B)-P(AiB), iloczyn P(AiB),

• E=suma wszystkich możliwych zdarzeń; prawdopodobieństwo całego zbioru P(E)=1

• ½ orzeł

• Rzut monetą 50:50,

• ½ reszka

• kostką 6*p=1->p=1/6. Skończona ilość elementów zbioru zdarzeń P=n/m

• Geometryczna definicja prawdopodobieństwa, gdy punkt w przestrzeni należy do q(Q) to P=q/Q

• Teoria prawdopodobieństwa oparata w empirii o częstość względną

• Badanie statystyczne (próba) Prawdopodobieństwo jest granicą z próby P=lim (n1/n), próba musi być reprezentatywna (Mises.R.)

• Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes theorem

• P(A|B)=P(AiB)/(P(B) lub P(B|A)=P(AiB)/(P(A) lub P(A|B)=P(A).P(B|A)/(P(B)

• Zdarzenia niezależne vs. zależne

Żołnierze Poncjusz Piłata rzucali losy o szatę Chrystusa

PRAWDOPODOBIEŃSTWO• Teoria prawdopodobieństwa dyskretnego

– Def. Nowoczesna - przestrzeń prób w relacji do wszystkich możliwych wyników

– f(x) należy do <0;1>; suma f(x)=1

– Zdarzenie E jako podzbiór omega

• Teoria prawdopodobieństwa ciągłego:

– Skumulowana funkcja rozkładu F(X)=P(X<=x)

– Własności: F funkcja monotonicznie niemalejąca, Lim F(x) dla – nieskończoności=0 dla +nieskończoności=1

– Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest różniczką F(x) i f(x)=dF(x)/dx

– P(XdoE)= całka xdoE dF(x) lub całka f(x)dx

ZAŁOŻENIA ANALIZ

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Zmienne losowe:

• Gdy R przypisane jest prawdopodobieństwo na całym zbiorze E

• Gdy przypisze się możliwym wynikom X prawdopodobieństwo wtedy mówimy o rozkładzie X

• Dwie zmienne losowe X i Y są niezależne, jeżeli dla każdej pary (X=x) i (Y=y) są niezależne od jakiejkolwiek pary (x,y)

• Czyli P(X=x)|Y=y)=P(X=x)

• Momenty zmiennych:

• Wartość oczekiwana zmiennych losowych jest sumą ważonych prawdopodobieństwem wartości:

• E(X)=x1*P(X-x1)+x2*P(X=x2)+…+xn*P(X=xn)

ZAŁOŻENIA ANALIZ

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Dla każdej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej E(X) można zdefiniować zmienną losową (wariancję) V=(X-E(X))^2=

• (x1-E(X))^2*P(X=x1)+… (xn-E(X))^2*P(X=xn)

• Wariancja lub pierwiastek kwadratowy to odchylenie standardowe

• Dla dwóch zmiennych X, Y, uwzględnia się kowariancję:• Cov(X,Y)=(x1-E(X))^2*P(X=x1)(y1-E(Y))^2*P(Y=y1)+…

(xn-E(X))^2*P(X=xn)(yn-E(Y))^2*P(Y=yn)

• Korelacja dwóch zmiennych X oraz Y jest definiowana jako współczynnik:

• (X,Y)=cov(X,Y)/( (X)* (Y))

ZAŁOŻENIA ANALIZ

PRAWDOPODOBIEŃSTWA• Czynniki ryzyka mają rozkład prawdopodobieństwa

• Każdy czynnik ryzyka jest traktowany jako zmienna losowa (random)

• Każdy czynnik ma funkcję gęstości oraz dystrybuantę

• Te funkcje mogą być opisane przy pomocy momentów (średnia, wariancja, skośność, kurtoza)

• Rozkłady mogą być np. normalne, lognormalne, Studenta, binominalne…

• Klasyczne podejście do prawdopodobieństwa bazuje na koncepcji zmiennej losowej.

• Niezależne obserwacje mają atrakcyjną właściwość, że ich wspólny rozkład jest produktem ich marginalnych rozkładów. Można też przyjąć, że ceny są bliskie losowym a więc niezależnym zdarzeniom.

• To wynika z koncepcji efektywności rynków, gdzie cała informacja jest zdyskontowana w cenie. Zmiana ceny może tylko zależeć od nowych informacji a te są nieprzewidywalne. A więc ceny są nieprzewidywalne a więc są całkowicie losowe – hipoteza „random walk” (to też oznacza, że analiza techniczna jest nonsensem)

• Jeżeli rozkład stóp zwrotu jest stały w czasie to zmienne są niezależne i mają identyczny rozkład.

• Ale losowość może być warunkowana poprzedzającymi zdarzeniami (nieznane rozkłady)

STATYSTYKA

• Niekompletna informacja o populacji (często nieskończonej) wymaga badań statystycznych na próbie (skończonej)

• Skala prawdopodobieństwa - od zdarzenia niemożliwego do zdarzenia pewnego

• Prawdopodobieństwo zdarzenia mieści się pomiędzy 0<=P(A)<=1

• Prawdopodobieństwo: wkład klasyczny zmiennej losowej(a priori, eksperyment Laplace np. Moneta 1/2)(deterministyczne), - empiryczne, subiektywne(stochastyczne 0<P<1)

• Np. rzut monetą daje zmienną losową o rozkładzie dwumianowym

• Koncepcję zmiennej losowej można przenieść na zjawiska gospodarcze – zmienność cen, kursów, stóp zwrotu etc.

1)(AiP

ROZKŁAD STOPY ZYSKU

(HISTOGRAM)

5

10

20

30

20

10

5

0

5

10

15

20

25

30

<-5

%

-5%

0%

5%

10%

15%

>+

15%

Stopa zysku

95% PRAWDOPODOBIEŃSTWA , ŻE NIE MNIEJ NIŻ -5%

P(X=xi)=pi

Suma pi=1P(X=xi)

x

ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ X

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

DYSTRYBUANTA P(X<=x)=p1+p2..pn=1

STATYSTYKA• Częstość względna może być

przybliżeniem prawdopodobieństwa o ile nie różni się istotnie z prawdopodobieństwem =1

• Prawdopodobieństwo w przedziale 0,1

• suma prawdopodobieństwa zdarzenia A i dopełniającego =1

• Dystrybuanta – skumulowana funkcja dystrybucji, dyskretna lub ciągła

• Dystrybuanta empiryczna dla x<xi to suma częstości względnych

• Funkcja gęstości prwadopodobieństwa; funkcja częstości f(x)

• Dystrybuanta, skumulowana funkcja dystrybucji F(x)

N

nnxxwxG

dx

xdFxfudufxF

rozkłozdyskretnyxfxF

xXPxF

APAP

APAPpAP

pN

nP

iii

x

xx

j

n n

nn

i

N

j

11 ...)()(

)()(;)()()(

)()(

)()(

1)()(

)()(1)(0

1}{lim

f(x) F(x)

1

0

PRZYKŁAD 2 KOSTKI

wynik czestosc P(xi) Skumu.P

xi n(x) f(x) F(x)

2 1 0,027778 0,027778

3 2 0,055556 0,083333

4 3 0,083333 0,166667

5 4 0,111111 0,277778

6 5 0,138889 0,416667

7 6 0,166667 0,583333

8 5 0,138889 0,722222

9 4 0,111111 0,833333

10 3 0,083333 0,916667

11 2 0,055556 0,972222

12 1 0,027778 1

36

STATYSTYKA

DESKRYPTYWNA

STATYSTYKA• Zadaniem jest przedstawienie

danych empirycznych w

przejrzysty sposób

• Opracownie informacji

• Główne formy miar

statystycznych - momenty:

• wartość środkowa

• dyspersja

• odchylenie

• ostrość4,3,2,1

)(4

)(3

2

10

)(1

momentyczyli

kurtozapeaknessjesttokorazśredniaadla

asymetriaskewnessjesttokorazśredniaadla

wariancjajesttokorazśredniaadla

średniajesttokorazadla

n

axn

i

k

i

STATYSTYKA

• Miary wartości środkowej:

– średnia, środek matematyczny

– mediana (50% wartości jest <me)

– wartość modalna (typowa)

– kwartyle 1,2,3,(<25%, <50%,<75%)

– percentyle podział zbioru na 100 równych części,

(pierwszy przedział -nieskończoność do V) czyli z

prawdopodobieństwem 1%, że w tym przedziale

będzie (np.strata)

STATYSTYKA

• Wartość średnia = suma

wszystkich wartości/ilość

obserwacji

• (1+1+1+2+3+3+24)/7=5

średnia nie ważona, ważona

• Kwantyl

• mediana jest 2 (wartość

środkowa, gdy spełnia

nierówność)

• dominanta, wartość modalna

(typowa) 1

2

1)(,

2

1)(

2/1)()(

)(*)(

1

1

xXPxXP

medianacgdycduufxF

xdlakwantyluodcieciec

N

n

x

dxxfxxEN

x

i

n

ii

n

ii

x

xx

STATYSTYKA• Rozstęp

• Jeżeli średnia głębokość rzeki wynosi 30

cm, to czy można wejść do niej bez

zastanowienia?

• Trzeba wiedzieć, jak się odchyla głębokość

rzeki od średniej

• Wariancja lub odchylenie standardowe

• wartość 1 1 1 2 3 3 24 średnia 5

• odchylenie -4 -4 -4 -3 -2 -2 19 średnia

odchyleń = 0

• wariancja (16+16+16+9+4+4+361)/6=71

• odchylenie standardowe 71^0.5=8.426

• Xs - zmienna standaryzowana, średnia

standaryzowana=0, odchylenie

standardowe zmiennej standaryzowanej

Ss=1,

1)(,0)(

)()(

2)^(1

)()([)(

2)^(1

1

)(

2

22

2

minmax

ssi

is

typowa

n

j j

n

j j

xSxxS

xxx

xSxxxSx

n

dxxfXExxV

n

xO

xx

xxs

xx

STATYSTYKA - CZASJeżeli stopa zwrotu zależy od

czasu to i wariancja zależy od czasu stąd:

Czyli można przeliczyć wariancję np. dzienną na okresową.

Czyli przy nieskorelowanych stopach zwrotu zmienność rośnie wraz pierwiastkiem kwadratowym czasu.

Dla skorelowanych zależy od wspólczynnika korelacji

Trr

stad

Trr

TrErE

T

T

T

)()(

:

*)()(

*)()(

1

1

22

1

)1(*)(2)(2)()()( 1

2

1

2

1

2

1

2

2

2 rrrrr

STATYSTYKA – MIARY

ZMIENNOŚCI

OKRES PORTFEL ASREDNIA X-XS (X-XS) 2̂

Stopa R Srednia R Odchylenia

1 0,107000 0,110000 -0,003000 0,000009

2 0,115000 0,110000 0,005000 0,000025

3 0,111000 0,110000 0,001000 0,000001

4 0,112000 0,110000 0,002000 0,000004

5 0,105000 0,110000 -0,005000 0,000025

srednia 0,110000 suma 2̂ 0,000064

odchyl.st 0,004000

Rozkład normalny dla (E10)= 0,5015958

ŚREDNIA, ODCHYLENIE STANDARDOWE

PRZYKŁAD

STATYSTYKA – MIARY

ZMIENNOŚCI

• Odchylenie przeciętne

• Współczynnik

zmienności x

xSxV

nxxN

xd i

k

i

i

)()(

1)(

1

STATYSTYKA - SKOŚNOŚĆ

Współczynnik asymetrii (skewness) –

mierzy odchylenie od symetryczności

rozkładu – moment centralny trzeciego

rzędu.

Rozkład dyskretny i ciągły

Wartość ujemna informuje o długiej

ujemnej części „ogona”, a więc o

większym prawdopodobieństwie

zdarzeń negatywnych

3

3

3

2

3

))()]([(

)1

)((

1

)(

dxxfxEx

n

xx

n

xx

Skośność 0

Skośność dodatnia

Skośność ujemna

STATYSTYKA - OSTROŚĆ• Kuroza - miara niezgodności z

rozkładem Gaussa, miara spłaszczenia

– szerokości ogona. Definicja:

• Dla nie Gaussa kurtoza =/ od 0

• Pokazuje ostrość szczytu rozkładu

• Dla rozkładu normalnego:

• Współczynnik Kurtoza dyskretna i

ciągła:

224

224

))((3)(

.

))((3)()(

yEyE

wariancjijedy

yEyEykurt

4

4

42

4

))()]([(

1

)(

1

)(

dxxfxEx

n

xx

n

xx

Kurtoza 3Kurtoza<3

Kurtoza>3

STATYSTYKA - PRZYKŁADWYNIK xj PARWDOPOD.f(x) ŚREDNIA xf(x) WARIANCJA SKOŚNOŚĆ KURTOZA

2 0,0278 0,0556 0,6944 -3,4722 17,3611

3 0,0556 0,1667 0,8889 -3,5556 14,2222

4 0,0833 0,3333 0,7500 -2,2500 6,7500

5 0,1111 0,5556 0,4444 -0,8889 1,7778

6 0,1389 0,8333 0,1389 -0,1389 0,1389

7 0,1667 1,1667 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,1389 1,1111 0,1389 0,1389 0,1389

9 0,1111 1,0000 0,4444 0,8889 1,7778

10 0,0833 0,8333 0,7500 2,2500 6,7500

11 0,0556 0,6111 0,8889 3,5556 14,2222

12 0,0278 0,3333 0,6944 3,4722 17,3611

suma 1,00 7,00 5,83 0,00 80,50

mianownik 14,09 34,03

Srednia Odchylenie stand Skośność kurtoza

7,00 2,42 0,00 2,37

Hazardzista szuka prawdopodobieństwa oczek w 2 rzutach kośćmi. Możliwości rzutów par wyników

jest 36. Następnie buduje tabelę prawdopodobieństwa wyrzucenia oczek od 2 do 12.

STATYTSTYKA ROZKŁAD

WIELOCZYNNIKOWY

• W praktyce występuje jednocześnie wiele

zmiennych losowych determinujących np.

zyskowność portfela. Różne waluty, różne

stopy procentowe.

• Nie zawsze jednak zmienne są niezależne.

• Gdy mamy dwie zmienne możemy policzyć

kowariancję lub współczynnik korelacji

STATYSTYKA -

KOWARIANCJA; KORELACJA

• Kowariancja -

• Współczynnik korelacji jest miarą liniwej zależności [-1;+1] –mierzy czy oba czynniki poruszają się w tym samym kierunku, czy w przeciwnych

21

2121

2

2121122211

1

2,121

)cov(),(

),()]()][([),cov(

XXXX

dxdxxxfXExXExxx

STATYSTYKA FUNKCJE

ZMIENNEJ LOSOWEJ

• Zarządzanie ryzykiem polega na odkryciu

rozkładu zmiennej losowej

• Najczęściej modeluje się rozkład

przychodów z instrumentów finansowych.

STATYSTYKA

LINIOWA TRANSFORMACJA

ZMIENNEJ LOSOWEJ• Zmienna losowa może

zmieniać się liniowo według

stałego parametru b i stałej a:

• Np. portfel 1 mln $ oraz 1000

mln Yen, gdy E(X)=1/100 a

SD(X)=0.10/100=0.001

• E(Y)=1$+1000Y*1/100=

• 11 mln$ a stand

dev.=1000*0.001=1 mln$

)()(

)()(

2 XVbbXaV

XbEabXaE

STATYSTYKA - SUMA

ZMIENNYCH LOSOWYCH

• Gdy np. dwie zmienne losowe w portfelu np.

dwie akcje

),(2)()()(

)()()(

212121

2121

21

XXCOVXVXVXXV

XEXEXXE

XXY

STATYSTYKA – PORTEL

ZMIENNYCH LOSOWYCH

• Jeżeli portfel Y składa się z

i instrumentów o wagach w

oraz stopie zwrotu Xi:

• Wartość oczekiwana

zwrotu z portfela:

• Wariancja portfela:

• Zapis macierzowy

wariancji zwrotu z portfela

• [macierz kowariancji]

wmacierzw

w

w

w

www

wwwYV

wYE

Xw

X

X

X

www

XwY

p

p

N

ijj

ijji

N

i

N

i

ii

N

i

iip

N

i

ii

*cov]'*[

]][][[

)(

)(

'

2

3

2

1

332331

232221

131211

321

2

,11

222

3

2

1

321

STATYSTYKA

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

-40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

STOPA ZYSKU

Skumul

• Rozkład zmiennej losowej (histogram i jego aproksymacja

funkcją gęstości) Zwrot z rynku akcji w USA

• Gęstość prawdopodobieństwa (przy dostatecznie dużej

próbie lim(n1/n)->P(n1)

STATYSTYKA

• Funkcja gęstości prawopodobieństwa oraz dystrybuanta

zmiennej losowej ciągłej (skumulowane

prawdopodobieństwo),

• dla zdarzenia losowego pi=0, ale dla przedziału jest

policzalne i różne od 0

b

a

dxxfbXaP )()(

f(x)F(x)

Przybycie do pracy punktualne

- +

-15 minut +15 minut

Krzywa gęstościKrzywa prawdopodobieństwa

)(

0)(

10 iii

ii

xXxPp

xXPp

a b

x

dttfxXPxF *)()()(

STATYSTYKA

• Rozkład (funkcje

gęstości) różne średnie

x x1

ciagladxxxfXE

skokowaXEi

ii px

})()(

)(

dxxfxExXD

pXExEX iiD

)()]([)(

)]([)(

22

22

0 1 2

1/4 1/2 1/4E(X)=0*1/4+1*1/2+2*1/4=1

Np..X

P(X)

STATYSTYKA• Rozkład dwumianowy (Bernoulli):

• n doświadczeń, gdzie zdarzenie może

być oczekiwane z

prawdopodobieństwem p lub zdarzenie

dopełniające z prawdopodobieństwem

q=1-p (czyli np. opcja 0 lub 1)

• czyli zdarzenie x zachodzi n razy a

przeciwne n-x

• Rozkład symetryczny dla p=0,5 oraz

niesymetryczny dla p=/0,5

• Wartość oczekiwa E(x)=np

• Wariancja D(X)^2=npq

• Asymetria A(X)=(1-2p)/D(X)

)!(!

!)(

..*..)(

knk

n

k

n

qqqqpppppk

nPkf qp

knk

STATYSTYKA

k 10 nad k P(n,k)

0 1 0,001275

1 10 0,012079

2 45 0,051495

3 120 0,130094

4 210 0,215682

5 252 0,245196

6 210 0,193576

7 120 0,104793

8 45 0,037229

9 10 0,007838

10 1 0,000743

win

lose

win

lose

win

lose

Prawdopodobieństwo wygrania w kasynie k razy na czerwone

P=18/37.

Rozkład binominalny - dwumianowy

)!(!

!)(

..*..)(

knk

n

k

n

qqqqpppppk

nPkf qp

knk

STATYSTYKA - ROZKŁAD

NORMALNY• Jeden z najważniejszych rozkładów dla analizy zachowań

behavioralnych (metoda pierwszego wyboru jako pierwsza aproksymacja wielu zmiennych ekonomicznych – kursy, ceny, stopy zwrotów – duża częstość, małe zmiany np. P1=Po(1+r))

• Rozkład dzwonu

• Rozkład normalny można scharakteryzować przez dwa momenty: wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe

• Aby ułatwić sobie analizy często używa się rozkładu normalnego standaryzowanego

• Rozkład jest symetryczny wokół nadziei matematycznej 50% z jednej i 50% z drugiej strony. Skośność = 0, kurtoza dla rozkładu normalnego = 3

• Założenie stabilności parametrów, niezależnych losowych zmiennych

STATYSTYKA

ROZKŁAD NORMALNY

emx

xf 2^2

2)^(

2

1)(• Funkcja gęstości

– prawdopodobieństwa

• Dystrybuanta

– skumulowane

– prawdopodobieństwo

• Wartość oczekiwana:

• Wariancja:

dtxF

x mx

e 2^2

2)^(

2

1)(

mdxxXE emx

2^2

2)^(

2

1)(

222

2

)(

2

1)( 2

2

)( dxmx

X emxD

STATYSTYKA• Rozkład normalny: wiele zjawisk

gospodarczych ma rozkład zbliżony do normalnego: symetryczny, dzwonowaty, od -nieskończoności do + nieskończoności, zdefiniowany przez wartość średnią i odchylenie standardowe

• K.F.Gaussa(1777-1855) funkcja gęstości

• Gdy standaryzowana rozkład normalny o parametrach N(0,1)

• Dystrybuanta dla standaryzowanego = N(d)

e

e

iu

i

ii

i

x

uf

wtedy

xu

daryzowanaszmienna

Xpxf

gestosciFunkcja

2

2^2

2)^(

2

2

1)(

tan

)(2

1)(

STATYSTYKA• Aby obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia się

poniżej wartości a liczymy całkę od - do a :

)(2

1))(Pr( 2

2

aNduauf i

ua

i ei

Ui NORMSDIST(Ui)

-5 0,00000

-4 0,00003

-3 0,00135

-2,3263 0,01000

-2 0,02275

-1,6449 0,05000

-1 0,15866

0 0,50000

1 0,84134

1,6449 0,95000

2 0,97725

2,3263 0,99000

3 0,99865

4 0,99997

5 1,00000

SKUMULOWANE PRAWDOPODOBIEŃSTWO W

ROZKŁADZIE NORMALNYM

STANDARYZOWANYM

0,00000

0,20000

0,40000

0,60000

0,80000

1,00000

1,20000-5 -4 -3

-2,3 -2

-1,6 -1 0 1

1,6

4 2

2,3

3 3 4 5

Ui

N(d

)

Series1

STATYSTYKA• Przedział ufności przy zakładanym

poziomie istotności dla rozkładu

normalnego standaryzowanego

• Przy poziomie istotności 5%, czyli ufności

95% prawdopodobieństwo znalezienia się

poniżej -1,6449 odchylenia standardowego

wynosi 5%, a dla -2,33 wynosi 1%.

• Prawdopodobieństwo, że kurs spadnie

poniżej 3,33 PLN/EUR jest równe 1%

Poziom Ui

a Normsinv

0,001 -3,0903

0,01 -2,3263

0,05 -1,6449

0,1 -1,2816

0,2 -0,8416

0,3 -0,5244

0,4 -0,2533

0,5 0,0000

0,6 0,2533

0,7 0,5244

0,8 0,8416

0,9 1,2816

0,99 2,3263

0,999 3,0903

33,38,32,0*33,2

/8,3;/2,0.

*

EURPLNEURPLNnp

xu ii

ROZKŁAD NORMALNY

-3D(X) -2D(X) -1D(X) E(X) 1D(X) 2D(X) 3D(X)

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

f(ui)

F(u=-3)=0.00135 F(u=-2)=0.02275 F(u=-1)=0.15870 F(u=0)=0.50000 F(u=1)=0.8430 F(u=2)=0.97725 F(u=3)=0.99865

F(ui)1

0

0.3989

0.5

STATYSTYKA

TERMINOLOGIA

a-poziom

istotności

średnia

Funkcja gęstości

1-a poziom ufności

Odchylenie standardowe

volatility

Przedział ufności

Zdarzenia

małoprawdopodobneZdarzenia prawdopodobne

-Ua-wartość krytyczna

rozdziela: Ua-wartość krytyczna

STATYSTYKA

TERMINOLOGIA

f(lnZt) f(lnZt/ )

N(m, )

N(0,1)

U *NOTIONAL UVaR=

Wartość krytyczna

Funkcja gęstości

-poziom

istotności

1- -poziom

ufności

standaryzacja

Standaryzowany rozkład normalny

“łatwy w obsłudze”

1

/2 /2

Skumulowana funkcja gęstości

prawdopodobieństwa to dystrybuanta

STATYSTYKA

ROZKŁAD NORMALNY

-

-2

98%

68%

1.645

95%

DYSTRYBUANTA PRZYJMIE U* -2.330 -1.645 -1.000 0.000 1.000 1.650

ODCHYLENIE STANDARDOWE

PRAWDOPODOBIEŃSTWO 1% 5% 15.9% 50% 84.1% 95.1%

2.33

99%

Odczyt z tablic Gaussa

U

Instrumenty symetryczne eliminuja

ryzyko po obu stronach,

instrumenty niesymetryczne tylko

po jednej stronie

-1.645

5%-2.33

1%

ROZKŁAD NORMALNY

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

X= 1

x= -1

m= 0

S= 1

P(0,049<x<0,05) 0,682689 /=NORMDIST(B3;B5;B6;1)-/NORMDIST(B4;B5;B6;1)

• X;(1,0) ? P(-1<x<1)

• Kluczowe dla rozkładu normalnego jest twierdzenie, że:

• Liniowa kombinacja zmiennych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny

ROZKŁAD LOGNORMALNY• Rozkład normalny nie zawsze jest

teoretycznie poprawny – ponieważ

np. akcje nie mogą mieć wartości

ujemnej, podobnie jak ceny dóbr i

najniższa stopa zwrotu może być -

100%

• Dlatego często stosuje się rozkład

lognormalny:

• Ceny są zawsze dodatnie,

prawostronna skośność, fat tail

),(

1)(

)/ln(1

01

01

rozkladzieo

etr

ePPczyli

PPrer

rt

r

r

P r=lnP/Pt-1 Poexp(exp(B..)

100

110 0,10 110

120 0,09 120

115 -0,04 115

112 -0,03 112

119 0,06 119

108 -0,10 108

90 -0,18 90

10 -2,20 10

ROZKŁAD LOGNORMALNY• Rozkład jest lognormal, gdy ln

zmiennej ma rozkład normalny

• Gdy zmiany są duże lub horyzont długi

to zmienne skokowe i ciągłe dają

różnice w wartościach przyrostów)1))(exp(2exp()(

2exp)(

02

1)(

22

2

2^2

2)^(ln

XD

XE

xdlax

xf

gestosciFunkcja

ex

Ten rozkład lepiej oddaje sytuację, w której wartość akcji nie może być poniżej 0,

bo można stracić tylko akcje - limited liability w spólkach.

ZMIANA DZIENNA ROCZNA

CENA 100 100

CENA T1 101 120

r 1,0000% 20,0000%

LN r 0,9950% 18,2322%

RÓŻNICA -0,0050% -1,7678%

ROZKŁAD LOGNORMALNY

cena akcji 10 volatiliy 0,05

śred R% 0,08%

RANDOM LOSOWY SYMUL.AKCJE

CZESTOŚĆVARIABLE ZWROT AKCJI

0 0,199028892 1,08% 10,10809

0 -0,173883376 -0,79% 9,921369

1 1,044052423 5,30% 10,54432

7 -0,154273238 -0,69% 9,931102

16 0,401229985 2,09% 10,21081

36 0,139076077 0,78% 10,07784

62 1,088693298 5,52% 10,56789

77 -0,017420592 -0,01% 9,99929

93 -0,099595834 -0,42% 9,958289

77 -1,092875758 -5,38% 9,475801

84 1,228362514 6,22% 10,64194

76 -0,56965545 -2,77% 9,726969

68 1,038209212 5,27% 10,54124

44 -1,156412546 -5,70% 9,445746

56 0,310102379 1,63% 10,16439

40 0,001018564 0,09% 10,00851

35 0,530435994 2,73% 10,27698

29 -0,029756059 -0,07% 9,993124

37 -1,065123989 -5,25% 9,488959

31 0,359440805 1,88% 10,18949

14 -0,648811202 -3,16% 9,688548

CZĘSTOŚĆ WARTOŚCI AKCJI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

WARTOŚĆ AKCJI W PLN

rteSrSS 001 )exp(

STATYSTYKA

Okres Stopa zysku Średnia Różnica Kwadrat

1 11.5% 11% 0.5 0.0025

2 11.2% 11% 0.2 0.0004

3 11.0% 11% 0.0 0.0000

4 10.3% 11% -0.7 0.0049

5 11.0% 11% 0.0 0.0000

suma 55% 0.0 0.0078

średnia 11.0% PRAWDOPOD

Odch.st 0.0044159 volatility OBIENSTWO

5%

-1.645*0.0044159*100%=-0.7264

11%-0.7264%<10.2736%

FUNDAMENTALNE

TWIERDZENIA TEORII

PRAWDOPODOBIEŃSTWA• Prawo wielkich liczb – powtarzające się serie zdarzeń

losowych konwergują do deterministycznej równowagi.

• Słabe prawo wielkich liczb stwierdza, że jeżeli nieskończona liczba nieskorelowanych zmiennych losowych, gdzie zmienne mają tę samą oraz wtedy średnia z próby dąży do .

• Central limit theorem, kiedy zmienne losowe mają skończoną wariancję to istnieje konwergencja średniej z próby ze średnią z próby standaryzowanej.

10

)/)...(( 1

n

nXXS n

n

ESTYMACJE

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Teoria prawdopodobieństwa daje narzędzia dla połączenia racjonalnie „wiary” z przekonaniami.

• Prawdopodobieństwo jest zawsze wyznaniem wiary, które może być umacniane przez fakty, informacje, opinie ekspertów i to jest naturą prawdopodobieństwa. Analizy mają tylko zracjonalizować podejmowaną decyzję i pierwotne przekonanie

• A więc dane empiryczne, opinie eksperckie, symulacje

• 1965 FAMA The behaviour of stock market prices sformułował Hipotezę Rynków Efektywnych, gdzie cała informacja jest zdyskontowana i nie można przewidzieć ruchu cen. Niemniej wielu szuka modeli aby przebić rynek. Jeżeli ceny są losowe to zapewne mają rozkład normalny (ale czy są losowe na to pytanie matematyka nie odpowie – to jest kwestią wiary)

• 3 parametry ryzyka EKSPOZYCJA, ZDARZENIOWOŚĆ, SKUTEK

LOSOWOŚĆ CEN AKTYWÓW

ZACHOWANIE LOSOWE• Stopa lub indeks wzrostu aktywów

• Zwrot = (zmiana wartości aktywu +

zakumowany cash flow) / oryginalna

wartość

• Losowa wartość to efekt trendu oraz

odchyleń losowych (tu normalny rozkład)

• Oczekiwany wzrost * upływ czasu

• Po m okresach skumulowany wzrost

• Ilość okresów w całym okresie

• Odchylenie dla całego okresu to

odchylenie dla jednego okresu *dt^0,5

• Łączymy drift + zmienność

• Drift =oczekiwany zwrot=stopa wzrostu

• Volatility – skalowana czasem

2

1

1

2

1

1

2

1

0

)1*ln(

00

0

1

1

1

1

2

1

1

2

1

.

:/

)1(

)1(

)1(

.

*tan..

2

1

)(1

11

2

tStSSS

ttS

SSR

tdewst

losowykomponentkrokowilosctT

eSeStSS

tSS

tSS

S

SSRtoczekiww

dsodoczekiwanawS

SSR

enormRozklad

RRm

Rm

R

S

SSR

iiii

i

iii

Ttmm

m

m

m

ii

i

iii

i

iii

m

i

ii

i

iii

WIENER PROCES• Przechodzimy ze zmiennej skokowej na proces ciągły,

gdzie lim dt=0

• dt przy wartości oczekiwanej pozostaje

• dt przy odchyleniu w procesie Wiener‟a zamienia się E(dX)=0 oraz E(dX^2)=dt

• W procesie Wiener‟a ciągłym; równanie stochastyczne różniczkowe:

SdXSdtdS

To jest stochastyczne równanie różniczkowe dla zmiennej ciągłej

FUNDAMENTY RYZYKA W

TEORII FINANSÓW

TEORIA PORTFELA

POJĘCIA PODSTAWOWE

• TRADEOFF ZYSK A RYZYKO

• PODEJŚCIA DO RYZYKA – AWERSJA,

NEUTRALNOŚĆ, POSZUKIWANIE RYZYKA

– KSZTAŁT FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI

• PROBLEM WIELOŚCI AKTYWÓW –

PROBLEM PORTFELA

• CZY DYWERSYFIKACJA PORTFELA JEST

POŻYTECZNA?

PODEJŚCIE DO RYZYKA

• Podejście do ryzyka:

• -risk aversion – awersja do ryzyka – wyższa premia za ryzyko

• -risk neutrality – neutralność na ryzyko

• - risk seeking – ponoszenie dodatkowego ryzyka dla wyższego zwrotu

AWERSJA

NEUTRALNOŚĆ

SKŁONNOŚĆ

UZYTECZNOŚC

WARTOŚĆ

Brenoulli - „Użyteczność będąca wynikiem jakiegokolwiek niewielkiego wzrostu zamożności będzie

odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr uprzednio posiadanych”.

Bernoulli pokazał postać osoby podejmującej ryzyko – motywacje i różne decyzje mimo tych

samych mierzonych prawdopodobieństw

AWERSJA DO RYZYKA A

UŻYTECZNOŚĆE [r] σ U U=E[r] - 0,005*[A=4]*σ 2̂

5 12,25 5,00 2

10 20,00 10,00 2

15 25,50 15,00 2

20 30,00 20,00 2

25 33,91 25,00 2

30 37,42 30,00 2

35 40,62 35,00 2

40 43,59 40,00 2

STAŁĄ UŻYTECZNOŚĆ=2

Kryterium mean-standard deviation

KRZYWA OBOJĘTNOŚCI E[r] vs σ

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

Odchylenie standardowe

Oczekiw

an

a s

top

a z

wro

tu

WPŁYW ZMIANY WSPÓŁCZYNNIKA

UŻYTECZNOŚCI NA U

E [r] S U A=x U od A U=E[r] - 0,005*[A=4]*S 2̂

5 12,25 2 1 4,25

10 20,00 2 1,5 7

15 25,50 2 2 8,5

20 30,00 2 2,5 8,75

25 33,91 2 3 7,75

30 37,42 2 3,5 5,5

35 40,62 2 4 2

40 43,59 2 4,5 -2,75

STAŁĄ UŻYTECZNOŚĆ=2

Kryterium mean-standard deviation

WPŁYW AWERSJI NA UŻYTECZNOŚĆ

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

MIARA AWERSJI A=X

UŻ

YT

EC

ZN

OŚ

Ć F

UN

KC

JA

KW

AD

RA

TO

WA

WPŁYW AWERSJI NA

UŻYTECZNOŚĆ

PORTFOLIO THEORY• Harry Markowitz 1952 JoF Nobel z Merton Miller i William

Sharp

• Inwestorzy oceniają zwrot i ryzyko inwestycji konstytując portfele – formowanie portfela

• Dochód jest premią za podejmowane ryzyko

• Dywersyfikacja moderuje ryzyko

• Zakładając ,że zwrot z papieru jest zmienną losową to można badać wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe oraz korelacje

• Celem jest optymalizacja oczekiwana stopa zwrotu z portfela oraz jego zmienność – tradeoff risk/return

• Optymalna alokacja portfela - to prowadzi do efficient frontier

PORTFOLIO THEORY

• Hedging i dywersyfikacja

• Dla nieskorelowanych stóp zwrotu z aktywów stopa zwrotu jest niezależna i jest ich średnią ważoną stóp zwrotów

• Zmienność portfela będzie mniejsza niż średnia ważona ich zmienności - free lunch of finance

• Dywersyfikacja to nie hedging, który polega na skompensowaniu ryzyka

• Dywersyfikacja oznacza nieskorelowane ryzyko, a hedge oznacza ujemną korelacje

• Dodanie np. forwardów do portfela może zmniejszyć ale też zwiększyć ryzyko rynkowe ale dodaje nowe ryzyko overlay strategy i lewaruje je

• Dywersyfikacja nie oznacza dodania aktywów do portfela w sensie ilości i wartości

• Lewarowanie zwiększa ryzyko a nie zmniejsza

A- risk averse, B-górne ograniczenie ryzyka

VAR A=1,65 A*V<VAR1,65 B*V

NOWOCZESNE ZARZĄDZANIE

OPTYMALIZACJA

Risk/Return-Profile

Return

Risk

Gdzie chcesz

się znaleźć?

BA

rB

rA

rP

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI WYBORU STRUKTURY PORTFELA TO MAKSYMALIZACJA STOPY ZWROTU POMNIEJSZONEJ

O RYZYKO SKORYGOWANEJ O WSPÓŁCZYNNIK OSTROŻNOŚCI max->rP- *P ^2

(KWADRATOWA FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI)

Funkcja użyteczności zależy od indeksu awersji A

NP. U=E(r)-0,005 A *σ^2

TEORIA PROTFELOWA

• Problem optymalizacji portfela indywidualnego inwestora

• Markowitz 1952 szukał portfeli efektywnych względem średniej i wariancji, gdzie oczekiwany zysk przy danym ryzyku jest najwyższy Markowitz H,Portfolio selection, J of Finance 1952,3

• Składowe kalkulacji E(r),S, macierz wariancji i kowariancji (np. historyczne) dla poszczególnych aktywów (oraz portfela), założenie random walk (przypadkowości kroczącej)

TEORIA PROTFELOWA

• 1952 Markowitz termin efficient frontier, losowe ceny aktywów mają oczekiwane zwroty i zmienność, są też skorelowane

• Optymalny portfel:

• Dla każdego poziomu zmienności istnieją portfele, które mają tę zmienność, a więc kryterium wyboru jest najwyższy zwrot

• Dla każdego oczekiwanego zwrotu istnieją portfele o tym samym zwrocie, kryterium jest wybór tego, który ma najmniejszą zmienność

• Efficient frontier pokazuje zakres wyboru, a górna linia (gold curve) jest optymalna

w

rE

rwr

j

j

n

jjjp

EE

)

)()(

(

1

ji

ij

ij

ji

n

iijji

n

ji

n

iip www

cov

)(1 1

2

1

2

TEORIA PORTFELOWA

• Wartość oczekiwana dla portfela aktywów

• Oczekiwana stopa zwrotu z aktywu

• udział aktywu w portfelu

• wariancja portfela aktywów

• Współczynnik korelacji

OPTYMALIZACJA PORTFELAOczekiwana stopa zysku r, odchylenie standardowe S, udziały w portfelu,

macierz korelacji, macierz wariancji i kowariancji

Oczek.r Odchyl.S

BONY 0,006 0,043

OBLIGACJE 0,021 0,101

AKCJE 0,09 0,208

MACIERZ WSPÓŁ.KORELACJI BONY OBLIGACJEAKCJE UDZIAŁY W PORTFELU

BONY 1 0,63 0,09 0,4

OBLIGACJE 0,63 1 0,23 0,5

AKCJE 0,09 0,23 1 0,1

MACIERZ WARIANCJI I KOWARIANCJI

BONY OBLIGACJEAKCJE

BONY 0,001849 0,0027 0,0008 OCZEK.Rp 2,19%

OBLIGACJE 0,002736 0,010201 0,0048 Wariancja p 0,49%

AKCJE 0,000805 0,004832 0,043264 Odchyl.S 7,01%

σxy=ρxy*σx*σy

TEORIA PORTFELOWA

GRANICA BEZWARUNKOWA

efficient frontierBony 0,006 0,043

Obligacje 0,021 0,101

Portfel 0,022 0,07

Akcje 0,09 0,208

ZYSK/RYZYKO

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25


OC

ZE

KIW

AN

Y D

OC

HO

D

AKCJE

OBLIGACJE

BONY

PORTFEL PRZYKŁAD

PORTFEL Z DWÓCH AKTYWÓW - EFFICIENT FRONTIER

AKTYW A WAGA Rp SD

WAGA 50,00% 0 0,04 10,00% 0,04

Ra 14,00% 0,1 0,05 9,32% 0,05

VOLATILITY 20,00% 0,2 0,06 9,12% 0,06

WARIANCJA 4,00% 0,3 0,07 9,44% 0,07

0,4 0,08 10,24% 0,08

AKTYW B 0,5 0,09 11,40% 0,09

WAGA 50,00% 0,6 0,1 12,84% 0,1

Rb 4,00% 0,7 0,11 14,46% 0,11

VOLATILITY 10,00% 0,8 0,12 16,22% 0,12

WARIANCJA 1,00% 0,9 0,13 18,08% 0,13

1 0,14 20,00% 0,14

KOREALACJA 5,00%

COV 0,10%

WARIANCJA

PORTFELA 1,30%

VOLATILITY

PORTFELA 11,40%

R PORTFELA 9,00%

PORTFEL 2 AKTYWÓW

0

0,05

0,1

0,15

0,00% 5,00% 10,00

%

15,00

%

20,00

%

25,00

%


ST

OP

A Z

WR

OT

U

PO

RT

FE

LA

MARKOWITZ VS

TALMUDYCZNA

DYWERSYFIKACJA• Teoria oczekiwanej użyteczności i klasyczny

model dywersyfikacji Markowitza wartość

oczekiwana/wariancja optymalizują relację

zwrot/ryzyko

• Jednak inwestorzy stosują często Talmudyczną-

Babilońską zasadę 1/3 (lub 1/n) 1/3 depozyty, 1/3

obligacje, 1/3 akcje

• O dziwo dla małych portfeli indywidualnych ta

strategia okazuje się być bardzo dobrą

TEORIA PORTFELOWA

• Wybór portfela zależy funkcji użyteczności –w tym od skłonności do ryzyka =A (np.:<2;4>)

• Funkcja użyteczności np. kwadratowa U:

• Punkt styczny wyznacza optymalny indywidualny portfel

• Funkcja użyteczności indywidualnej

2**5,0)( pp ArEU

Krzywa efektywnych portfeli

Krzywa użyteczności

UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU

MIERZONA ln (W)

MALEJĄCA KRAŃCOWA U(W)WEALTH U(W)=lnW

100000 11,51293 100000

150000 11,91839 150000

200000 12,20607 200000

250000 12,42922 250000

300000 12,61154 300000

350000 12,76569 350000

400000 12,89922 400000

450000 13,017 450000

500000 13,12236 500000

UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU MIERZONA ln(W)

11,4

11,6

11,8

12

12,2

12,4

12,6

12,8

13

13,2

13,4

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

MAJĄTEK

UZ

YT

EC

ZN

OŚ

Ć M

AJĄ

TK

U ln

(W)

UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU

MIERZONA ln(W)

DYWERSYFIKACJA PORTFELA

σp

n akcji

Ryzyko rynku niedywersyfikowalne

Ryzyko jednostkowe

dywersyfikowalne

JAK NISKIE MOŻE BYĆ

RYZYKO PORTFELA

1

21

12

21

21

2

2211

1

:

0

1

)(

ww

w

uzyskacmoznawtedy

doprzyrownacmoznarownanie

wtedyprzeciwnadoskonalekorelacjagdy

wwP

OCZEKIWANY ZWROT Z

PORTFELA W ZALEŻNOŚCI OD

WAGI AKTYWU Z PORTFELUW DLA PAPIERU BEZ RYZYKA

OCZEKIWANA STOPA ZYSKU W ZALEZNOŚCI OD WAGI A

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

18,0%

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5

WAGA A

E(r

p)

OCZEKIWANA WARTOŚĆ E(rp) W

ZALEŻNOŚCI OD sp PRZY

KORELACJI=0,3

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

18,0%

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40


OC

ZE

KIW

AN

A S

TO

PA

ZW

RO

TU

TEORIA PORTFELOWA

• James Tobin 1958 dodał do koncepcji portfela

lewar w postaci aktywów, które dają risk free rate

• Połączył risk free asset z portfelem w efficient

frontier, co umożliwia konstruowanie portfela,

gdzie profil zwrot-ryzyko jest korzystniejszy niż

efficient frontier portfela

• Tangens kąta nachylenia nazywa się capital

market line, czyli efficient frontier z aktywem

wolnym od ryzyka – superefficient portfolio

WŁĄCZENIE DO PORTFELA

AKTYWU WOLNEGO OD RYZYKA

110

%115,0*%22*%22

*

%11%)7%15(*5,0%7

5,0%7%22%15

])([

)1()()(

)1(

ypozyczkachprzyadoodyzmiana

y

y

r

yrr

np

rrEyr

ryryErE

ryyrr

c

pc

c

fpp

fpf

fpc

fpcStopa całkowitego dochodu (rc) z

portfela inwestycji (rp) oraz z

aktywów wolnych od ryzyka (rf)

zależy od wagi ich w portfelu (y)

Czyli ostatecznie zależy od premii

na ryzyko i udziału ryzykownych

aktywów w portfelu

Premia za ryzyko 8% =15%-7%

Podobnie dla rf ryzyko jest 0

dlatego ryzyko całkowite zależy

wprost od y=σc/σp

Relacja premii do ryzyka

E(rp-rf)/σp = 8%/22%

CAPITAL ALLOCATION LINE

RISK/RETURN KOMBINACJE

DLA INWESTORAE[rp}= σp= rf= σc= E [r]

0,15 0,22 0,07

0,00% 7,00%

5,00% 8,82%

10,00% 10,64%

15,00% 12,45%

20,00% 14,27%

25,00% 16,09%

30,00% 17,91%

35,00% 19,73%

40,00% 21,55%

E( [rc]= rf+σc/σp *( E[rp]-rf)*σp

case 1 : gdy pożyczka i y np. 1.4 to:

E (rc ) = 7% + 1 ,4 *8% = 18 ,2

σc=1,4*22%=30,8%

case 2: gdy y=4 to rc:

E (rc) = 7% +4*8% = 31%

σc=4*22%=88%


0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

0,00

%

5,00

%

10,0

0%

15,0

0%

20,0

0%

25,0

0%

30,0

0%

35,0

0%

40,0

0%

0,09

E [

r]

7%

22%

Premia 8%

TNG KĄTA NACHYKENIA


p

fp

p

fp

c

fc

c

rrE

y

rryErrESlope

)()()(

TEORIA PORTFELOWA

CAPITAL MARKET LINE• Gdy się łączy aktyw nie

obciążony ryzykiem z portfelem ryzykownym można znaleźć optymalny portfel, gdzie rp będzie maksymalna, wzrost ryzyka daje liniowy wzrost premii za ryzyko w tej proporcji

• Czyli pojawia się capital allocation line dla portfela złożonego z aktywów ryzykownych oraz wolnych od ryzyka

• Oczekiwany dochód z takiego portfela wyniesie E(rc):

linemarketliniinachyleniaKat

rrE PfP /])([

rf

c

P

fP

fc

rRErRE

))(()(

Krzywa rynku kapitałowego

Tu pożycza się

Tu udziela się pożyczki

σ

Portfel M

CAPTAL MARKET LINE DLA INWESTORA MAJĄCEGO AKTYW RISK FREE

AKTYW A WAGA Rp SD

WAGA 56,40% 0 0,04 0,00% 0,04

Ra 14,00% 0,1 0,05 2,00% 0,05

VOLATILITY 20,00% 0,2 0,06 4,00% 0,06

WARIANCJA 4,00% 0,3 0,07 6,00% 0,07

0,4 0,08 8,00% 0,08

AKTYW B BEZ RYZYKA 0,5 0,09 10,00% 0,09

WAGA 43,60% 0,6 0,1 12,00% 0,1

Rb 4,00% 0,7 0,11 14,00% 0,11

VOLATILITY 0,00% 0,8 0,12 16,00% 0,12

WARIANCJA 0,00% 0,9 0,13 18,00% 0,13

1 0,14 20,00% 0,14

KOREALACJA 20,00%

COV 0,00%

WARIANCJA

PORTFELA 1,27%

VOLATILITY

PORTFELA 11,28%

R PORTFELA 9,64%

PORTFEL 2 AKTYWÓW

0

0,05

0,1

0,15

0,00% 5,00% 10,00

%

15,00

%

20,00

%

25,00

%


ST

OP

A Z

WR

OT

U

PO

RT

FE

LA

KRZYWE OBOJĘTNOŚCI

OPTYMALNY PORTFEL CAPITAL

ALLOCATION

LINE

7%

22%

15%

σc=9,02%

E[rc]=10,28%

PROBLEM KORELACJI

• Generalnie przyjmuje się symetryczną wartość korelacji, ale w praktyce tak nie jest

• Zwroty na aktywach wykazują niższą korelację w przypadku ich wzrostu i bardzo wysoką w przypadku ich spadku.

• Jednocześnie pojawia się problem zmiennej wariancji w czasie

• Rozkład normalny i t-Studenta zakłada symetryczność korelacji

• Stąd problemy z budową modeli portfolio , VaR i Expected Shortfall - mogą niedoszacowywać ryzyka spadku w tzw. grubych ogonach

MODEL JEDNOINDEKSOWY

CAPM

• Model pośredni do zrozumienia

CAPM

• Ustanawia zależność liniową

między aktywem a indeksem

• Nadwyżkowe stopy zwrotu

ponad stopę wolną od ryzyka

• α, β, parametry modelu

• Część systematyczna

• β ryzyko systematyczne

• Reszta

• Wrażliwośći

ii

Iii

ii

iIiii

E

znasystematycR

RR

0)(

RYZYKO SYSTEMATYCZNE

I SPECYFICZNE• Podstawą teorii inwestycji portfelowych są niedoskonale

skorelowane stopy zwrotu z portfela

• Ryzyko całkowite da się podzielić na:

– ryzyko kowariancji (ryzyko niezdywersyfikowane, rynkowe,

systematyczne) beta ryzyko

– ryzyko pozostałe - dywersyfikowalne, specyficzne

• dywersyfikacja powoduje zanikanie wariancji ale nie eliminuje

kowariancji

• przy n składnikach jest n wariancji oraz n^2-n kowariancji

• CAPM

WYCENA AKTYWÓW - CAPM• Z ujęcia mikro Markowitza przechodzi się na ujęcie makro

Sharp, Lintner 1964 (zachowanie wszystkich inwestorów)

• Ryzyko portfela składa się z ryzyka rynkowego –systematic mierzonego β (wynikającego z cen rynkowych aktywów) niezdywersyfikowanego.

• CAPM to model jednoindeksowy (metoda stosowana to regresja względem stopy rynkowej – indeksu rynku) Sharpe W, Capital Assets Prices, …J of Finance 1964,3

• Tobin 1958 uznał za superefektywny portfel cały portfel rynku, a inwestorzy lewarują lub delawarują pozycją w aktywach wolnych od ryzyka, aby osiągnąć pożądane ryzyko portfela

CAPM• W CAPM chodzi o zależność między prawidłową premią na ryzyko

aktywu w stosunku do udziału ryzyka tego aktywu w stosunku do całego portfela rynku . Np. udział i ryzyko akcji IBM

• Ryzyko portfela całego rynku decyduje o premii za ryzyko, które inwestorzy zechcą zaakceptować

),cov(),cov(),cov(...

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(...

......

1

1

1111

1

1

nnIBMnn

n

nIBMIBMIBMIBMIBM

nIBM

nIBM

rrrrrrw

rrrrrrw

rrrrrrw

wwwwagi

Portfel

CAPM• Nagroda za inwestycje w akcje IBM

])([)(),(

])([),(

)(

])([

),(

])([

])([

:

),(

])([

),(

])([

2

2

2

2

fMIBMfIBMIBMM

MIBM

fMM

MIBMfIBM

M

fM

MIBM

fIBM

M

fM

MIBM

fIBM

MIBMIBM

fIBMIBM

rrErrErrCov

rrErrCov

rrE

rrE

rrCov

rrEstad

rrE

rynkuwariancja

rynkuryzykapremia

rynkowegoportfelacalegoDla

rrCov

rrE

rrCovw

rrEw

wariancjidoIBMwklad

ryzykozapremiidoIBMwklad

•Rynkowa cena za ryzyko

•W warunkach równowagi relacja nagroda/ryzyko powinna

być taka sama – stąd linowa zależność

ZAŁOŻENIA CAPM• Założenie, że rozkłady stóp zwrotu mają charakter logarytmiczno-normalny (wtedy

można pominąć indywidualne funkcje użyteczności, lecz bazować na założeniu rozkładu normalnego),

• Majątek inwestorów w stosunku do całego rynku jest nieistotnie mały – investors –price takers, nie wpływają na ceny – perfect competition

• Inwestorzy planują i maksymalizują majątek na jeden okres – myopic –short sighted (suboptymalność)

• Aktywa są przedmiotem powszechnego obrotu, inwestorzy mogą pożyczać po stopie wolnej od ryzyka

• Inwestorzy nie płacą podatków oraz brak kosztów transakcyjnych

• Inwestorzy optymalizują według zasad racjonalności wartość oczekiwana; odchylenie standardowe (Markowtz selection model)

• Inwestorzy mają ten sam pogląd na gospodarkę – czyli tak samo oceniają rozkład prawdopodobieństwa zwrotu cash flow z inwestycji w papiery wartościowe, czyli tak samo wyceniają papiery, czyli też oczekują tych samych zwrotów i mają tę samą macierz wariancji i kowarinacji (korelacji), homogeniczność oczekiwań

• Czyli rynek papierów wartościowych jest efektywny, rynki są płynne,

• JAK WIDAĆ ŚWIAT JEST BARDZIEJ ZŁOŻONY

WYCENA AKTYWÓW - CAPM

• Systematic risk – ryzyko utrzymywania portfela składającego się z całego rynku, gdy rusza się rynek każdy aktyw jest pod jego wpływem -niedywersyfikowalne

• Specific risk – ryzyko indywidualnego aktywu –nieskorelowane z rynkiem - Rynek kompensuje wzięcie ryzyka systematycznego, ale nie kompensuje ryzyka specyficznego – specyficzne –dywersyfikowalne

• Miarą ryzyka systematycznego jest beta

WARTOŚĆ OCZEKIWANA

WARIANCJA PORTFELA• Ryzyko całkowite portfela (wariancja portfela) dzieli się na dwa

składniki:

• ryzyko kowariancji - ryzyko niezdywersyfikowane, rynkowe,

systematyczne, beta, gospodarki

• ryzyko pozostałe - dywersyfikowalne, jednostkowe, specyficzne,

• Dywersyfikowanie pozwala zmniejszać wariancję ale nie eliminuje

kowariancji między stopami zwrotu

• n instrumentów to n wariancji oraz (n^2-n) kowariancji, granicą jest:

ijijiip

n

nn nn

])([1 2

2

2

2

lim

• Market portfolio – to wszystkie akcje – ich ilość przemnożona przez cenę, a udział to wartość danych akcji w proporcji do całego rynku (risky assets)

• Czyli wszystkie aktywa są na efficient frontier ale i na Capital Market Line (CML), czyli na optymalnej alokacji

• Premia za ryzyko jest proporcjonalna do awersji do ryzyka reprezentatywnych inwestorów

])([])([),cov(

)(

:

),cov(

:Pr

01,0*)(

2

2

2

2

fMifM

M

Mifi

M

Mii

M

MfM

rrErrErr

rrE

premiastad

rynkiemzkorelacjarr

proporcjiwrynkuodzalezyryzykozaemia

inwestorowryzykadoawersjipoziomsredniA

rynkowegoportfelawariancja

ArrE

CAPM

• Założenie CAPM – istnieje tylko jeden ryzykowny model optymalny oraz jeden portfel rynkowy (wszystkie akcje wg wag)

• CAPM jest ujęciem teoretycznym między oczekiwanymi stopami zwrotu a oczekiwanymi stopami rynkowymi

• Zależy to od ryzyka systematycznego (rynkowego) β(i), czyli kowariancji akcji i rynku. Dla wszystkich akcji wartość oczekiwana α=0

• β(i), - z danych historycznych np. 60 dni

ryzykozapremiarR

rRrRE

RR

gdzie

EponieważRERE

fMi

fMifi

MMii

iMii

)(

)()(

lub

/),cov(

0)()()(

)

)

2

CAPM – SECURITY MARKET

LINE

• Model wyceny aktywów kapitałowychSecurity

Market

line

Rm

rf

1 βi

E(Ri)

Np.. Rm=12%, rf=5%, βi=0,5 stąd E(Ri)=8%+0,5(12%-5%)=11,5%

Akcje podwartościowe

Akcje nadwartościowe

α>0

α<0E(rm)-rf

1

CAPM

• Np. beta 0,8 oczekiwany zwrot 0,12 stopa wolna 0,02 to oczekiwany zwrot na aktywie=

• E(Ri)= 0,02+0,8[0,12-0,02]=0,1

• Ponieważ założeniem jest liniowość dla każdego z aktywów to liniowa jest też zależność dla portrfela

• E(Rp)=rf+beta[Rm-rf]

• A więc zwrot na inwestycji zależy od beta a nie od volatility, CAPM zakłada istnienie ceny równowagi na aktyw oraz to że inwestorzy mają ten sam pogląd na betę i oczekiwaną stopę zwrotu

• Tzn CAPM jest jak widać teoretyczną koncepcją oderwaną trochę od rzeczywistości

CAPM I PRAKTYKA 5 ZASAD

• Mimo, że model Sharpa jest nauczany w szkołach i dzieli zwrot na α oraz β to w pracy menadżerowie często o tym zapominają i stosują 5 zasad:– Decyzje dotyczące α oraz β powinny być

podejmowane odrębnie

– Gra o sumie zerowej jest naturą aktywnego zarządzania

– Różne kryteria przyjmowane są dla α oraz β

– Wielką wartością jest poziom uzyskiwanego α

– Niezbędność płacenia odpowiednich fees dla pracowników przynoszących duże α

KONKLUZJE• Inwestorzy optymalizując będą się skłaniać do tworzenia

tego samego portfela z wagami takimi, jakie ma rynek M

• Wyrównanie cen i ryzyka będzie następować przez sprzedaż lub zakup aktywów – price adjustment process

• Tworzenie się równowagi rynkowej Capital Market Line staje się Capital Allocation Line a to przez optymalizację prowadzi do Security Market Line – dla całego rynku

• To oznacza, że inwestorzy mogą pominąć wszelkie analizy i kupować aktywa według proporcji całego rynku np. indeks giełdowy

• Lub w indeks funduszy inwestycyjnych – mutual fund theorem – portfel między funduszami i risk free rate

SCURITY MARKET LINE –

CAŁY RYNEKSECURITY MARKET LINE DLA INWESTORA MAJĄCEGO Rm ORAZ RISK FREE

AKTYW A RISK FREEWAGA Rm SDm BETA i E(Ri)

WAGA 56,41% 0,07 0 0,15 20,00% 1,544551 0,188119

Ra 10,00% 0,1 0,145 18,23% 1,448016 0,176361

VOLATILITY 10,00% 0,2 0,14 16,52% 1,351482 0,164604

WARIANCJA 1,00% 0,3 0,135 14,89% 1,254947 0,152846

0,4 0,13 13,39% 1,158413 0,141089

AKTYW B 0,5 0,125 12,04% 1,061879 0,129331

WAGA 43,59% 0,6 0,12 10,92% 0,965344 0,117574

Rb 15,00% 0,7 0,115 10,09% 0,86881 0,105817

VOLATILITY 20,00% 0,8 0,11 9,63% 0,772275 0,094059

WARIANCJA 4,00% 0,9 0,105 9,60% 0,675741 0,082302

1 0,1 10,00% 0,579206 0,070544

KOREALACJA 20,00%

COV 0,40%

σ 2̂ m RYNKU JAKO CAŁOŚCI

PORTFELA RYNKU1,27%

VOLATILITY

σm - rynku 11,29%

SECURITY MARKET LINE

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 0,5 1 1,5 2

BETA i

E(R

i)

7%

12,9%

MODELE JEDNO I

WIELOCZYNNIKOWE

• CAPM• Stopa dochodu z akcji względem dochodu z portfela rynkowego, rozbicie wariancji,

gdzie beta stanowi miarę udziału całkowitych odchyleń stopy dochodu - udziału przypisowanego odchyleniom stopy dochodu z portfela rynkowego.

• Model ryzyka firmy (Flannery, James,1990)

• beta odzwierciedla ryzyko rynkowe a pozostałe gamma ryzyko stóp %, kursu walutowego, cen commodities

eRR itmtiii

eRR itt

c

c

Pit

e

e

iet

iimtiiit P

P

P

P

i

i

c

)()()(,,,

ARBITRAGE PRICE THEORY

• Stephen Ross 1976

• Założenia:

• Model zwrotu z akcji można opisać wieloczynnikowo (czynniki ryzyka)

• Jest dostateczna ilość aktywów zdywersyfikowanych względem czynników ryzyka

• Arbitraż nie pozwala się odchylać cenom w długich okresach

• Np. wykorzystanie arbitrażu na różnych giełdach, różnice w wycenach ryzyka w warunkach różnych cząstkowych nierównowag mogą być wykorzystane, Prawo Jednej Ceny,

ARBITRAGE PRICE THEORY• Jeżeli papiery wartościowe są niewłaściwie wycenione przez rynek to

można dokonywać arbitrażu – jednoczesnego zakupu i sprzedaży aktywu ( to oznacza odejście od cost-free arbitrage)

• Tu problem polega na dekompozycji β na czynniki rynkowe i specyficzne decydujące o kursie akcji – multifactor models, multiple risk sources, z których każdy ma swoją premię za ryzyko

• Stąd pojawia się Multifactor Security Market Line, bo w CAPM jest przybliżenie całego rynku jedną wartością Rm

• Tu każdy czynnik ogólnogospodarczy ma swój odrębny wpływ na korektę oczekiwanej stopy dochodu (np. tempo wzrostu GDP, zmiany stopy%, zmiany udziału w rynku , inflacja etc)

• Model uwzględnia wrażliwość zmiany oczekiwanej stopy zwrotu pod wpływem różnych czynników ryzyka – β-czynnikowa

iniii FrEr )(

ARBITRAGE PRICE THEORY• Teoria wywodzi się z analizy

wieloczynnikowej – podobnej jak w ryzyku, gdzie ryzyko wynikało z ekspozycji i czynników

• Tu o stopie zwrotu z inwestycji np. w akcje decyduje wiele czynników

• Pierwszy wzór jest ex post regresją z czynnikiem losowym

• Drugi wzór jest ex ante wersją oczekiwanego zwrotu

• Czyli ekspozycja czynników mnożona razy czynnik

))([)(

*}{

*

)()(*)()(

,

,

,

fMifi

k

kknnn

k

nkknn

k

nkknn

RRERRE

mXrEf

ubXr

APT

tutbtXtr

RYZYKACZYNNIKI

ARBITRAGE PRICE THEORY -

PZRYKŁAD

NIEOCZEKIWANE ODCHYLENIA WZROSTU, RENTOWNOŚCI OBLIGACJI..

P R O G N O Z A C Z Y N N I K Ó W

E(Rm)

ODCHYLENIA PROGNOZA0,02 0,025 -0,015 0 0,06

CZYNNIKI BETA i W MACIERZY

AKCJE OCZEKIWANIE WZROST OBLIGACJESKALA ROE BETA APT CAPM ATP-CAPM

AMEEX 6,00% 0,17 -0,05 0,19 -0,28 1,16 5,93% 6,96% -1,03%

ATT 6,00% -0,16 0,74 1,47 -0,59 0,84 5,33% 5,04% 0,29%

CHEVRON 6,00% -0,53 -0,24 0,83 -0,72 0,7 3,10% 4,20% -1,11%

COCACOLA 6,00% -0,02 0,3 1,41 1,48 1,06 4,60% 6,36% -1,77%

DISNAY 6,00% 0,13 -0,86 0,71 0,42 1,13 3,05% 6,78% -3,74%

DOW 8,00% -0,64 -0,92 0,48 0,22 1,13 3,70% 6,78% -3,08%

PROGNOZA + KOREKTA Z βi*PROGNOZA CZYNNIKA DAJE ATP

ARBITRAGE PRICE THEORY

• W dobrze zdywersyfikowanym portfelu ryzyko niesystematyczne znosi się i ma wartość oczekiwaną =0

• Tylko ryzyko czynnikowe βp*F decyduje o premii za ryzyko

• Nikt nie może być nagradzany premią za brak dywersyfikacji ryzyka specyficznego

• Jeżeli dwa portfele mają to samo ryzyko rynkowe a różne stopy zwrotu to musi zostać uruchomiony arbitraż i premia za ryzyko musi leżeć na prostej odzwierciedlającej premię za ryzyko uwzględniającej czynniki makro (czyli CAPM mieści się w APT)

RYNKI EFEKTYWNE A

BAHVIORALNE FINANSE• 1953 Maurice Kandall estymował zmiany kursów akcji i nie dawały się one prognozować według

jakiegokolwiek teoretycznego podejścia

• Wyjaśniać to zaczęto zmienną psychologią lub „animal spirits”

• Ale ceny zmieniają się natychmiast w związku z napływającą informacją antycypując przyszłość w cenie bieżącej

• Losowość zmian cen nie oznacza nieracjonalności

• Hipoteza Rynków Efektywnych – dyskontowanie informacji w cenie– Słaba – dyskontuje historyczną informację

– Słabo-silna – cała publiczna informacja jest dyskontowana w cenie

– Silna – dyskontowana informacja publiczna i wewnętrzna z firm

• Ścieranie się analizy technicznej z fundamentalną – obie analizy skazane są na porażki – ponieważ nie mają pełnej informacji

• Istnieje konkurencja rynkowa masowych analiz, konkurencja strategii, różnej podatkowej sytuacji inwestorów, zmiany w dywidendach

• Wycieki informacji prowadzą do ponadnormalnych zysków

• Problem szczęśliwych trafów, krótki vs długi horyzont zwrotu, seryjność zwrotów

• Interpretacje behavioralne (realni ludzie podejmują decyzje – nie komputery)

• Kahneman, Tversky – przywiązanie do ostatnich doświadczeń większe niż do wcześniejszych przekonań (memory bias)

• Nadmierne zaufanie (ocerconfidence), Konserwatyzm,

• Behavioralne odchylenia – Framing, unikanie rozczarowania (Regret avoidance)


RYNKOWYM

RYZYKO RYNKOWE – CZYNNIKI RYZYKA, DEFINICJA, BANCHMARK,

RYZYKO DYSKRETNE I NIEDYSKRETNE

RYZYKO RYNKOWE• Ryzyko rynkowe – straty wynikające z ruchu zmiennych na rynkach

finansowych lub inna definicja – fluktuacja portfela wartości na skutek zmian poziomu oraz zmienności cen rynkowych

• Celem analiz jest kwantyfikacja ryzyka wynikającego z ruchu zmiennych kształtowanych przez rynek (cen)

• Nie wszystkie stosowane w przeszłości miary są satysfakcjonujące, ponieważ czasami bazowały na intuicji, nie mierzyły prawdopodobieństwa i wysokości straty, nie uwzględniały korelacji etc. (analiza nominalnej ekspozycji, wrażliwości, analiza scenariuszowa…)

• Obecnie ryzyko rynkowe mierzy się najczęściej stosując wartość narażoną na ryzyko VaR.

• Podstawowe pytanie ILE MOŻNA STRACIĆ NA INWESTYCJI W OKREŚLONYM HORYZONCIE CZASU

RYZYKO RYNKOWE

• DEFINICJA: Ryzyko rynkowe - ekspozycja na niekorzystne zmiany wartości firmy pod wpływem wahania cen czynników rynkowych

• Ryzyko rynkowe wynika z mismatched pozycji w księgach firm, co naraża je na negatywne skutki ruchów cen.

• Rzadko daje się doskonale pokrywać pozycje (wartość, terminy, nieliniowość cen, zmiany volatility etc)

• Cena akcji

• stopa %

• FX

• Commodities

• - metale

• - bazowe towary

• - żywność

• Energia

• Pogoda

MARKET RISK

• Ryzyko rynkowe a ryzyko biznesowe - w przedsiębiorstwie

zarządzanie ryzykiem jest bardzo złożone, nonhedgeable market

risk, hedgeable market risk (FX,%,commodities..)

• Wyniki finansowe vs. wartość firmy, łatwiej jest wpływać na

wyniki finansowe niż na wartość firmy

• Krótki i długi horyzont, firmy finansowe patrzą głównie na wynik

z tradingu, przedsiębiorstwa korzystają z długiego okresu

• Kapitał ma charakter absorbera ryzyka i konfrontuje się ryzyko z

kosztem

• Wymogi ujawniania pozycji w derywatach IAS, FASB, SEC...

MIERZENIE RYZYKA

RYNKOWEGO• Źródłem strat są zmiany wartości aktywów lub pasywów

• POMIAR RYZYKA WYMAGA:

– danych o portfelu lub książce transakcji,

– horyzontu czasu, wyceny rynkowej: marking-to-market

– rozkładu prawdopodobieństwa zysków i strat.

• ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA POZWALA

NA RÓŻNORODNE SPOSOBY DEFINIOWANIA

SKALI RYZYKA.

• POŻĄDANE JEST:

– spójna koncepcja,

– jednolita miara ryzyka.

POMIAR RYZYKA

• Generalnie:

– Miary zmienności (np. Odchylenie

standardowe, semioodchylenie standardowe,

współczynniki zmienności, rozstęp, asymetrie)

– Miary wrażliwości (anliza luki, Greeks, bpv,

duration, convexity.)

– Miary zagrożenia (VAR, stress test, crash test,

expected shortfall)

RYZYKO RYNKOWE• Ryzyko rynkowe absolutne: mierzone relacją

zmniejszenia wartości do wartości początkowej

• Ryzyko relatywne: mierzy relację do benchmarku i

prezentuje skutki aktywnego zarządzania

zwrotustopaR

portfelP

dardowesodchylenie

PRPPP

P

P

tan

*)(*)/(

)(

*]//[*]([

TEVvolatilityerrortracking

indeksbenchmarkB

benchmarkuzzwrotR

PPBBPPPRR

B

BP

RYZYKO RYNKOWE

• Sharp Ratio

• Mierzy stopę zwrotu z portfela względem stopy

wolnej od ryzyka

• Information Ratio

• Mierzy stopę zwrotu z portfela powyżej benchmarku

TEV

)(/][ PFP RRRRatioSharp

/)](([ BP RRIR

IDENTYFIKACJA CZYNNIKÓW

RYZYKA

• Podstawą jest identyfikacja czynników ryzyka w odniesieniu do pozycji bilansowych, pozabilansowych oraz handlowych

• Negatywny skutek ryzyka wynika z dwóch czynników: ekspozycji nominalnej oraz zmiany czynnika ryzyka (separacja ryzyka na dwa komponenty: ekspozycję i czynnik ryzyka)

• Krytycznie:

• Low volatility = low risk ?

• People mistake low volatility for low risk. Banking is less volatile but vastly more dangerous that venture capital

DYSKRETNE I NIEDYSKRETNE

RYZYKO• Ryzyko dyskretne: ekspozycja na dyskretne ruchy

zmiennych finansowych (mierzone pierwszą pochodną, aproksymacja liniowa)– Beta β

– Duration

– Delta

• Ryzyko niedyskretne: nieliniowa ekspozycja na ryzyko, ekspozycja na hedge lub volatility (mierzone drugą pochodną lub wyżej)– Ryzyko bazowe – różnica stóp procentowych

– Ryzyko rezydualne – portfele akcji

– Convexity (wypukłość) druga pochodna w efekcie zmian stóp%

– Gamma druga pochodna w opcji

– Ryzyko zmienności

• Generalnie ryzyko dyskretne jest większe od niedyskretnego

POMIAR RYZYKA

METODY POMIARU, NARZĘDZIA POMIARU, MARK TO MARKET, WYCENY INSTRUMENTÓW – MODELE, MIARY ZMIENNOŚCI - STATYSTYCZNE, MIARY WRAŻLIWOŚCI (LUKI, SCENARIUSZE, WRAŻLIWOŚĆ ANALITYCZNA,

GREEKS, DURACJA, KONWEKSJA,), MIARY NARAŻENIA –VAR–PODEJSCIE HISTORYCZNE, ANALITYCZNE,

SYMULACYJNE, TESTY NARAŻENIA

GŁÓWNE MIARY OCENY

RYZYKAPODSTAWA – NOMINALNA WARTOŚĆ NARAŻONA NA

RYZYKO, WARTOŚĆ RYNKOWA

Wiele miar – miary ryzyka oraz miary stosunku decydenta do ryzyka

• Miary wynikające z rozkładu zmiennej ryzyka

– Miary zmienności, volatility, kwantyle, wartość dystrybuanty

• Miary wrażliwości

– sensitivity measures, pochodne cząstkowe, luka, bpv, greeks, modified duration, konweksja

• Miary zagrożenia

– VaR, Stress Test, Expected Shortfall

ANALIZA EKSPOZYCJI I

RYZYKA• Podstawa – wartość nominalna oraz wycena według wartości rynkowej

• Analiza zmienności – jakie są odchylenia od średniej wartości (nie mówi nic o prawdopodobieństwie)

• Analiza wrażliwości - o ile coś się zmieni, gdy zmieni się jeden z czynników?(nie ujmuje kwestii nieliniowości)

• Analityczne - badanie zmian przybliżonych na podstawie zmian funkcji pod wpływem czynników np. przy pomocy szeregu Taylora

• pierwsza (duration) i druga pochodna (wypukłość)

• Metody scenariuszowe - jakie zajdą zmiany, gdy spełni się scenariusz x? (może podejmować nieliniowość ale nie mówi nic o prawdopodobieństwie straty)

• Probabilistyczne - np. Drzewa decyzyjne, warunkiem zdarzenia b jest zajście zdarzenia a., zagrożenie VaR, CF at Risk, Stress Test (zakłada prawdopodobieństwo)

• Symulacyjne np. Monte Carlo

2

0

0

2

1

)()(

xxW

xW

xxx

ffW xx

MIARY RYZYKA PŁYNNOŚCI

• Ryzyko płynności po stronie aktywów oraz po stronie fundingu

• Zależy od zacieśnienia rynku (cena/wolumen), głebokości rynku (bid/offer), szybkości zmian cen na rynku

• Analiza cash flow

• Wartość nadwyżki płynności

• Analiza stabilności źródeł finansowania

• Luka płynności

• Stress-test płynności

MIARY RYZYKA RYNKOWEGO

• Luka stopy procentowej

• Miary wrażliwości dochodu odsetkowego

• Miary wrażliwości wartości rynkowej

(BVP, duracja, convexity )

• Warość zagrożona (VaR)

• Stress-test

• Cash flow at Risk

ANALIZA EKSPOZYCJI I

RYZYKA• Główne metody pomiaru i kontroli ryzyka:

• Metody statystyczne analizy portfeli (wariancja, odchylenie s. odchylenie

przeciętne, współczynniki ryzyka, skośność, kurtoza)

• Gap analysis - metoda badania luki - różnica strumienia wpływającego i

wypływającego (maturity buckets).

• Sensitivity - Można analizować o ile zmiani się wynik banku, jeżeli stopa % zmieni

się o 1%. (base point value, present value base point, PV01, Greeks).Duration

(Macaulay) mierzy procentową wrażliwość wartości rynkowej produktu opartego o

stopy %, przy jej zmianie o 0,01%. Wadą jest założenie, że cała krzywa zmienia się

równolegle, wypukłość (convexity).

• Value at risk - za pomocą jednej liczby (odchylenie standardowe) można opisać

portfel i historyczne zmiany jego cen. - wynika z teorii inwestycji portfelowych. To

podejście pozwala na określenie wielkości nieprzekraczalnej starty, która może

wystąpić z wcześniej założonym poziomem prawdopodobieństwa - czyli VaR.

Metoda pierwszy raz użyta w latach 90.

• Stress test scenarios, crash test, event risk scenarios (szok giełdowy 97, kryzys rosyjski 98,

kryzysy naftowe) Scenariusz (jednocześnie dewaluacja, wzrost stóp %, spadek giełdy, wzrost spreadów)

METODY BADANIA RYZYKA

• Analiza statystyczna

• Analizy wrażliwości

• Scenariusze

• Probabilistyczne

(np.drzewa decyzji)

• Analityczne

• Symulacyjne

(np.Monte Carlo)

• Zmienność – odchylenie standardowe…

• Zmiana wartości pod wpływem zmiany

składnika

• Budowa scenariuszy

• Warunkowy rozwój

• Jeżeli funkcję można rozwinąć w szereg

Taylora to można określić wpływ czynnika

na ryzyko (Duration pierwsza pochodna,

współczynnik wypukłości druga

pochodna)

• Inaczej modele pełnej wyceny wartości

(full valuation model) - generowanie

rozkładu prawdopodobieństwa, symulacja,

wartości progowe.

• Budowanie funkcji ryzyka i symulacja

dająca rozkład prawdopodobieństwa.

SZUKA SIĘ ODPOWIEDZI NA PYTANIE - JAK ŹLE MOŻE BYĆ?

MIARY EKSPOZYCJI I RYZYKAODCHYLENIE STADARD.

Odchylenie

przeciętneSEMIWARIANCJA

Kurtosis (kurioza)

ostrość rozkładu

Duration

Modified

Duration Key-Rate

Duration

Konweksja

Key-Rate

Modified

Duration

Basispointvalue

GREEKS

Value at Risk

Symulacja

historyczna

Varianz-Kovarianz

VaRDelta-Gamma

VaR

Monte Carlo

Simulation

C

Z

A

S

β z CAPM

STRESS TEST

CRASH TEST

EVENT SCENARIO

EXPECTED SHORTFALL

MIARY EKSPOZYCJI I

RYZYKA RYNKOWEGO

ANALIZA

WRAŻLIWOŚCIVALUE AT RISK

STRESS TEST

CRASH TEST

EVENT SCENARIO

Bada wrażliwość na zmiany

czynników, wpływ czynnika

ceteris paribus, GAP -

analiza luki

Np.

Present value np. Do analizy

cash flow różne kursy, ceny,

stopy %

basis point value

delta, vega, gamma, theta

β z CAPM

Jest miarą potencjalnej

zmiany wartości portfela

przy zakładanym poziomie

ufności, w danym czasie

np.cash flow at risk

Bada skutki spełnienia sie

ekstremalnych sytuacji

rynkowych i ich wpływu

na wartość portfela lub

cash-flow

np. Najgorszy kurs z 5 lat

lub najwyższe ceny

surowca

WARIANCJA

ODCHYL.STNAD PERCENTYLE

PRZEGLĄD

Interest Rates

Foreign Exchange

Rates

Commodities/Metals

Equities

Weather

Economic indices

Loans

Deposits

Bonds

Swaps

FRAs

Futures & Options

FX-Deals (Spot &

Forward)

Commodity Deals

(Spot & Forward)

Weather derivatives

Position Overview

Mark to Markets

Volatility

Sensitivities

BPV

Value-at-Risk

Asset Liability

Management

Gap Analyses

Scenario Analyses

Market Reports

Produkty RaportyCeny/czynniki

NOTIONAL & FAIR VALUE -

INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH• Pierwszym krokiem jest wycena według wartości

rynkowej składników majątku (aktywa, pasywa, pozycje pozabilansowe).

• Nominalne wartości oraz PV są podstawą zarządzania ryzykiem.

• Wycena zawiera parametry ekonomiczne wyceny, które mogą podlegać zmianom.

• Drugim krokiem jest uwzględnienie zmian parametru –czynnika ryzyka.

• SEC 30.09.08 zgodził się, że tam gdzie są aktywa czasowo trudne do wyceny – rynek nie działa – może być wycena z modelu (to robił Enron)

• UE 15.10.08 MSR 39 i MSSF 7 utrzymanie do wymagalności i przekwalifikowanie wartości

18

EKSPOZYCJA NOMINALNA

MARK-TO-MARKET /TO MODEL• Poziom pierwszy rozpoznanie nominalnej

ekspozycji (maksymalna wartość straty).

• Marking-to-Market: Pozycje finansowe muszą

być wyceniane po wartości rynkowej.

• Jeżeli ceny rynkowe są nieznane to zastępuje się

je cenami fair - fair value models (Marking-to-

Model).

• Marking-to-Market and Marking-to-Model są

jedynymi technikami wycen, które prawidłowo

mierzą bieżącą wartośc aktywów i pasywów.

• Obie techniki powinny być stosowane niezależnie

od metod rachunkowości

MODELE DLA AKCJI

• Wyceny z

Discounted Cash

Flow DCF

• Model wzrostu

M.J.Gordona

1959, Review of

Economics &

Statistics s.99-105

f lowcashdyskontastopawzrostoczekiwany

FlowCashr

gEV

t

t

t

t

,,

)1(

))(1(

0

gr

DV

gDD

Lub

gr

gDV

r

gprzezstronydzielac

r

gDV

tt

t

1

1

0

)1(

)1

(*

)1

11(

)1(

)1(

FAIR VALUE -METODY WYCEN

• Towary

• Papiery wartościowe

• Transakcje FX spot

• Transakcje FX

forward

• FRA

• IRS

• Opcje

• Ceny giełdowe..

• Cena na rynku aktywnym lub cena godziwa

• Spot porównuje się ze średnim NBP

• Europejskie Black-Scholes

SNSN S

rBD

SB

rBD

BeeLP ****/

*/*/

1

)*100

*(

2

1

*

100*

*1

1*

*100*)(/

100**)1(%

d

BAZA

FwdnBAZA

nFRAFwdNLP

ed

n

Baza

d

dFwd

BAZA

nr

zapadłaNPVLP

flowscashNPV

/

_

T

tt

t

ti

tt

t

i

CPobligacjiCena

eCPVi

CPV

1

*

)1(

,*,)1(

CZYNNIKI RYZYKA AKCJI I

OBLIGACJI

• Zmiana cen akcji

• Ryzyko inflacji, stopy

procentowej, płynności,

wycofania kapitału,

bankructwa

• Ryzyko efektywnej

stopy% - yield

• Ryzyko defaultu

(kredytowe)

• Ryzyko stopy %

• Ryzyko reinwestowania,

gdy YTM jest inny niż

stopa oprocentowania

obligacji

MARK-TO-MARKET – ANALIZA

EKSPOZYCJI

• Obligacja nominał 100 przynosi 5%, ale stopa YTM=i

na rynku spadła do 3%. W efekcie wartość rynkowa

wzrosła do 105.66

Obligacja t1 t2 t3

nominal 100 5 5 105

stopa swap 3%

Dyskonto 1,03 1,0609 1,092727

105,65722 4,854369 4,71298 96,08987

Market value 105.6572 vs. 100

t

ttt

t

t

i

K

i

OPV

)1()1(0

MIARY ZMIENNOŚCI

ciagladxxxfXE

skokowaXEi

ii px

})()(

)(

ji

n

i

n

jijjii

n

iip

n

i

n

jijjii

n

iip

n

jjjP

www

www

RwRE

1 1

2

1

22

1 1

2

1

22

1

)(

MIARY ZMIENNOŚCI

• Wartość oczekiwana i wariancja aktywu

• Wartość oczekiwana i wariancja portfela

2)]^([)(2

XExEXD

MIARY ZMIENNOŚCI

• Również takie miary jak semi wariancja i

semi-odchylenie stadardowe

• Miary zmienności wskazują jedynie na

skutki ryzyka (np. miary wrażliwości

pokazują również przyczyny – czynnik

ryzyka)

MIARY WRAŻLIWOŚCI

POMIAR WRAŻLIWOŚCI VS.

RYZYKO• WRAŻLIWOŚĆ OKREŚLA JAKI WPŁYW NA

ZMIANY WARTOŚCI MA ZMIANA CZYNNIKA

WPŁYWAJĄCEGO.

• WRAŻLIWOŚĆ NIE JEST MIARĄ RYZYKA.

• WRAŻLIWOŚĆ POZWALA NA UCHWYCENIE

WPŁYWU ZMIANY CZYNNIKA NA RACHUNEK

STRAT & ZYSKÓW.

• WYPOWIEDŹ NA TEMAT RYZYKA JEST MOŻLIWA,

GDY INFORMACJI O MOŻLIWEJ SKALI ZMIAN

PRZYPISANE JEST PRAWDOPODOBIEŃSTWO.

ANALIZA LUKI

• Analiza niedopasowania aktywów i pasywów w wybranych okresach

• Mierzy ryzyko niedopasowania terminów zmiany oprocentowania aktywów i pasywów dla pozycji o stałym oprocentowaniu

• Pozycja long i short w danych okresach i wpływ stopy procentowej

POMIAR WRAŻLIWOŚCI -

ANALIZA LUKI - GAPLUKA = RATE SENSITIVE ASSETS - RATE SENSITIVE LIABILITIES

WYMAGALNE AKTYWA/ZAPADALNE ZOBOWIĄZANIA

NET INTEREST INCOME (LOSS)= LUKA * %

AKTYWA MLN PASYWA MLN

DO 3

MIES

100 400

3-6 MIES 100 300

6-12 MIES 400 200

>12 MIES 400 100

RAZEM 1000 1000

LUKA DO 12 MIES:

600-900=-300

CZYLI WZROST STOPY O 0,01%

POWODUJE WZROST KOSZTÓW :

-300 * 0.0001 = -30 TYS

BADANIA LUKI ZWYKLE

DO 3 MIES

DO 6 MIES

DO 1 ROKU

16


ZALETY ANALIZY LUKI • Pozwala zarządzać ryzykiem

finansowym -

asset-liability management

• Pozwala zarządzać finansowaniem i

płynnością wynikającą z ograniczeń

cashflow oraz wymagalnych

zobowiązań

• Identyfikacja szans na redukcję

kosztów kapitału np. Swapy inne

derywaty

ANALIZA SCENARIUSZY

• Analizy scenariuszowe są stare jak świat

• Zawsze zastanawiano się jak statek przebędzie sztormy i jaki może być tego skutek

• A więc brano pod uwagę różne scenariusze z różnym prawdopodobieństwem

• Odpowiadano na pytanie what if?

• Dziś analiza scenariuszy jest sformalizowanym procesem

• Często analiza np. silny, średni i mały wzrost przychodów firmy

SCENARIUSZ LIBORCZAS 1 M

LIBOR

3 M

LIBOR

6 M

LIBOR

12 M

LIBOR

3 L

SWAP

0 3.11 3.33 3.54 3.79 4.07

6 3.06 3.27 3.47 3.71 3.96

12 3.01 3.21 3.40 3.63 3.88

18 2.93 3.15 3.35 3.59 3.87

24 2.95 3.06 3.25 3.48 3.74

To często prowadzi do przyjęcia założeń np. o wzroście stóp np. o 200, 100 bps flat lub spadku

O 200, 100 bps. To po włączeniu do tabeli pozwala budować wyniki scenariuszy

Analiza scenariuszowa jest bardzo elastyczna – może wpisywać również przyszłe decyzje

Managerskie, a także nierównoległe zmiany krzywej dochodowości – analiza gap, czy duration

Pozwala tylko na analizę ryzyka bazowego (równoległa zmiana krzywej dochodowości)

20

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI I

SCENARIUSZY• Głównym wyzwaniem dla firm jest

prognozowanie cen rynkowych w długim

okresie obejmującym najczęściej

planowanego cyklu - inwestycji,

produkcji.

• Mierzenie ryzyka rynkowego zawartego

w celach planowania finansowego o

horyzoncie (np. 2 do 12 miesięcy) wymaga

scenariuszy dla cen rynkowych.

• W celu opracowania scenariuszy, firma

musi wiedzieć jak każdy komponent

wyniku finansowego reaguje na małe

zmiany cen rynkowych - analiza

wrażliwości.

WRAŻLIWOŚĆ - POCHODNA

CZĄSTKOWA

• Formalną miarą wrażliwości jest pochodna

cząstkowa – pochodna cząstkowa funkcji P

względem czynnika ryzyka F

• Problem ceteris paribus, gdy istnieje wiele

czynników ryzyka i nie są one niezależne

• Mogą być funkcje liniowe oraz nieliniowe

mjdlaF

P

j

j ...1

Leibniz Gotfried Wilhelm 1686 współautor rachunku różnicowego

FUNKCJA LINIOWA

• Wtedy miarą wrażliwości jest parametr stojący przy

czynniku ryzyka:

nnFFFP ...2211

WRAŻLIWOŚĆ METODY

ANALITYCZNE ANALIZA

CZYNNIKOWA TAYLOR• W analizie ryzyka

interesuje nas co się stanie, jeżeli czynnik ryzyka wzrośnie o Δ:

• Można skorzystać ze „skrótu” rozwinięcie Taylor‟a.

• Brook Taylor 1685-1731 rachunek różniczkowy.

yyy 01

22

2

1

2

0001

2

2

1

10

2(.)",(.)'

....))(("2

1)('

...)()()(

ady

Pdfa

dy

dPf

yyfyyfPP

yayaayyP

WRAŻLIWOŚĆ METODY

ANALITYCZNE ANALIZA

CZYNNIKOWA• MODEL OGÓLNY:

• f: wartość funkcji (portfel/aktyw), RF:risk

factor, Stopa przychodu w modelu czynnikowym to

zważenie czynika RF przez wagę b oraz wartość

rezydualna. Waga ta mierzy wrażaliwość instrumentu

finansowego na jego ekspozycję

• Wzór Taylora rozwinięty do pierwszej (delta) i drugiej

(gamma) pochodnej

ijij

jijijRFaf

RFf RFRFf2

1

TAYLOR ROZWÓJ CIĄGU

• Niech Pt będzie wartością bieżącą

Portfela w czasie t. Pt zależy od

czynników ryzyka RF(1)=F1 oraz

RF(2)=F2 . Zmiana wartości

bieżącej może być przedstawiona

jako:

tt PPP 1

RYZYKO

LINEARNE

RYZYKO

KWADRATU

NIELINEARNE RYZYKO

WYŻSZEGO STOPNIA

..6

3

2

2

..6

1

2

1

...3*2*1

1

2*1

1

1

2

21

2

2

1

3

21

21

2

3

23

2

32

22

2

2

2

2

3

13

1

32

12

1

2

1

1

1

FFFF

PFF

FF

P

FF

PF

F

PF

F

P

FF

PF

F

PF

F

PPP tt

Częsro zapomina się

O czynnikach krzyżowych !

0

00

)(

)(!

)()(

n

nn

xxn

xfxf

ELASTYCZNOŚĆ

• Współczynnik elastyczności określa o ile % zmieni się cena, gdy czynnik ryzyka zmieni się o 1% (ceteris paribus):

•

P

F

F

PE

F

FE

P

P

POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI• Historia (sami Nobliści):

– Markowitz 1952,59 model dla risk averse investors optymalizują zysk i ryzyko

– Tobin 1958 dołączył do portfela stopę wolną od ryzyka i możliwość pożyczania środków inwestorom

– Modigliani Miller 1958,61 brak arbitrażu wolnego od kosztów na rynku

– Sharpe 1964 , Lintner 1965, Merton 1973 CAPM równowaga zysk/ryzyko na rynku

– Ross Arbitrage Price Theory

POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI

• Model CAPM dekomponuje ryzyko zmiany cen akcji

(stopa zwortu Ri) na relację zmiany stopy zwrotu z

akcji do stopy zwrotu całego rynku RM i wartość

rezydualną

• Zmiana ceny dekomponuje się na (tylko czynnik

rynkowy):

])([0)(

)(

)(

][2

),

cov(

**

fRMREifRiRE

MR

iR

iMM

R

MR

iR

i

MiiMiii RRR

Miiii RPPRP *)(Obok modeli jednoczynnikowych są modele wieloczynnikowe Arbitrage Pricing Theory (S.Ross)


• Ryzyko rynkowe (systemowe) & ryzyko specyficzne:

• Ryzyko specyficzne to reszta ryzyka, która pozostaje

po uwzględnieniu wpływu ryzyka rynkowego:

• Wariancja portfela rozkłada się na dwie części –

pierwszą ryzyko rynkowe i drugą ryzyko specyficzne

][][*)(][

:

)(*)(

2222

iiMii

iiMiiii

PRPP

Wariancja

PRPPRP


Obok modeli jednoczynnikowych są modele

wieloczynnikowe Arbitrage Pricing Theory

(S.Ross):

nnFFFR ....22110

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI

GREEKS

Delta:

Gamma:

Theta:

Vega:

RF

f

2

2

RF

f

f

t

f

f

JAK ZMIENIA SIĘ WARTOŚĆ PORTFELA

PRODUKTU FINASOWEGO,

GDY ZMIENIA SIĘ CZYNNIK RYZYKA(RF)?

JAK ZMIENIA SIĘ DELTA,

GDY ZMIENIA SIĘ CZYNNIK RYZYKA(RF)?


PRODUKTU FINANSOWEGO,

GDY ZMIENIA SIĘ HORYZONT CZASU(t)?


PRODUKTU FINANSOWEGO,

GDY ZMIENIA SIĘ VOLATILITY?

DURATION

WRAŻLIWOŚĆ INSTRUMENÓW

DŁUŻNYCH NA ZMIANĘ STOPY

PROCENTOWEJ

DURATION• Jest to rzeczywisty ekonomiczny cykl “życia”

obligacji (kredytu, należności…)

• Np. Gdy mamy obligację 30 lat zerokuponową to

okres dysponowania kapitałem oraz okres

kontraktowy są takie same.

• Ale, jeżeli mamy obligację, która wypłaca odsetki

lub kredyt spłacany ratami to czas dysponowania

kapitałem różni się od czasu kontraktowego

• Duration i konweksja są czynnikami opisującymi

wrażliwość ekspozycji na równoległe

przesunięcia krzywej spotowej (ryzyko stopy

procentowej)

WRAŻLIWOŚĆ OBLIGACJI NA

ZMIANY STÓP %• Obligacje i yields są odwrotni zależna, rośnie yield spada wartość

obligacji, spada yield cena obligacji rośnie

• Wzrost YTM powoduje mniejszą zmianę ceny niż spadek YTM w podobnej skali

• Ceny obligacji długoterminowych są bardziej wrażliwe na zmiany yields niż obligacji krótkich

• Wrażliwość cen obligacji na zmianę yields rośnie ale w malejącym tempie z rosnącym czasem do wygaśnięcia – czyli ryzyko stóp% proporcjonalnie maleje do wzrostu czasu wymagalności

• Ryzyko stopy % jest odwrotne do kuponu obligacji, ceny obligacji o wysokim kuponie są mniej wrażliwe na zmiany stóp% niż ceny obligacji o niskim kuponie

• Wrażliwość cen obligacji do zmiany ich yields są odwrotnie zależne do YTM, po którym aktualnie obligacje są sprzedawane

DURATION• Idea duration jest prosta,

jeżeli czas ekonomicznego życia obligacji (duration) jest 3 lata a stopy wzrosły o 1% to wartość obligacji spadnie o około 3%

• Gdyby obligacja miała duration 10 lat a stopy wzrosły o 1% to spadek wartości obligacji wyniósłby około 10%

• Ale w rachunku dyskonta 7,65%

• Średni okres * utrata odsetek ze wzrostu= Δi

CF Dyskonto PV(7%) Dyskonto PV(8%)

10 1,07 9,345794 1,08 9,259259

10 1,1449 8,734387 1,1664 8,573388

110 1,225043 89,79277 1,259712 87,32155

sum 107,8729 - 105,1542

strata = 2,718754

CF Dyskonto PV(7%) Dyskonto PV(8%)

10 1,07 9,345794 1,08 9,259259

10 1,1449 8,734387 1,1664 8,573388

10 1,225043 8,162979 1,259712 7,938322

10 1,310796 7,628952 1,360489 7,350299

10 1,402552 7,129862 1,469328 6,805832

10 1,50073 6,663422 1,586874 6,301696

10 1,605781 6,227497 1,713824 5,834904

10 1,718186 5,820091 1,85093 5,402689

10 1,838459 5,439337 1,999005 5,00249

110 1,967151 55,91842 2,158925 50,95128

121,0707 - 113,4202

strata= 7,650582

DURATION

• Ekonomiczny sens duracji – średni ważony czas angażowania kapitału

Odsetki Odsetki OdsetkiOdsetkiOdsetki

Odsetki

+

Kapitał

duration

Cash flow w okresach

1 2 3 4 5 6

DURATION

• Duration – (Frederic Macaulay, J.Hicks): zwykłe mierzy ekonomiczny czas trwania instrumentu – średni ważona zapadalność cash flow danego instrumentu, gdzie wagi wynikają z ich proporcji do present value

Im wyższa stopa % tym niższe duration

Im dłuższy termin tym wyższe duration

Im wyższy yield tym niższe duration

Karencja przedłuża duration

Im dłuższe duration tym większe volatility ceny

n

t

t

n

t

t

n

nn

n

n

nn

n

zwykle

PPPnPnPPzwykle

PV

PVt

YTM

CF

YTM

nCF

D

PV

iCF

gdzie PwPwPwD

1

1

1

1

(.)

(.)

(.)

..11

*

)1(

)1(

)1/(

,...

DURATION OBLIGACJI

DYSKONTO 5,00%

WARTOŚĆ KUPON OKRES CASH FLOW PRESENT VALUEWAGA WAGA*OKRES

1000 10,00% 1 100 95,23809524 0,080896 0,080896

2 100 90,70294785 0,077043 0,154087

3 100 86,38375985 0,073375 0,220124

4 1100 904,9727223 0,768687 3,074746

SUMA 1177,297525 1 3,529852

DURATION

DURATION

• Dla Macaulay duration oznaczała czas

ekonomiczny obligacji i tak oryginalnie

rozumiano duration

• Współcześnie zauważono, że przy Macauley

duration przy kalkulacji ciągłej składanej stopy

dyskonta i jest równa wrażliwości na stopę %

• Czyli dla stopy dyskonta ciągłej Macauley

duration = modified duration

DURATION MODYFIKOWANE

• Jest ważoną pochodną cząstkową – miarą tg kąta

nachylenia

idurationDuration

ii

PONIEWAZ

idurationi

iduration

i

iduration

P

P

zyblizenie

i

P

PP

P

1

1*(mod)

)1(

:

*(mod)1

*1

)1(*

:Pr

*1

0

00

POMIAR WRAŻLIOWŚCI

OBLIGACJI DURATION• Wpływ zmiany oprocentowania na

zmianę ceny papieru mierzy zmodyfikowane duration, czylimnożone przez zmianę stopy%zwykłe duration (Macaulay)

• Duration pieniężne bez dyskonta

• Duration modyfikowaneMD(tzw present value duration/indeks stopy%):

• Przybliżony wpływ:

• Value of a basis point

iD

PDdi

dPbiezaceDurationyf

Dzwykle

MD

MD

1

*)(' 00

0*0001,0*int

*11

lub

PDpobasisaofV

iii

i

P

P

iDP

P

MD

zwykle

zwykle

MD

DD

POMIAR WRAŻLIWOŚCI

DURATION/MODIFIED DURATION

PDurationidi

dP

Durationi

DurationModified

PV

iCFn

PV

iCF

idi

dPV

PV

PVdozmianyproporcja

i

nCF

di

dPV

i

CFPV

n

n

n

n

n

nn

n

**1

1

*1

1

)1/(...

)1/(

1

1*

1

:

))1(

(

)1(

1

11

DURATION

• Duration jest odwrotnie proporcjonalne do wysokości kuponu – im wyższy kupon tym krótsze duration

• Duration a maturity – im bardziej wydłuża się zapadalność tym większy dysparytet z maturity

• Duration spada, gdy rosnie yield, bo PV odleglejszych płatności spada bardziej

• Zakłada się dla duration płaską krzywą dochodowości

• Duration zakłada też równoległe zmiany krzywej dochodowości

• Duration jest aproksymacją ryzyka ceny w zasadzie tylko dla małych zmian stóp%

CENA INSTRUMENTU 20 LAT W

ZALEŻNOŚCI OD POZIOMU STOPY %PAR= 100

0,01 81,95445

0,02 67,29713

0,03 55,36758

0,04 45,63869

0,05 37,68895

0,06 31,18047

0,07 25,8419

0,08 21,45482

0,09 17,84309

0,1 14,86436

0,11 12,40339

0,12 10,36668

CENA INSTRUMENTU 20 LAT

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09 0,

10,

110,

12

STOPA %

CE

NA

100

POMIAR MODIFIED DURATION

PRZYKŁAD Z WCZEŚNIEJSZEGO WYKRESU

ZMIANA CENY Z 37,68895 OD PAR DLA 5% DO 31,18047 OD PAR DLA 6%

STĄD OCZEKIWANA ZMIANA CENY DLA 1%

= 1% (P/(1+i)) OD -551% (DURATION PRZYBLIŻONE, BIEŻĄCE)=-5,51%

MODYFIKOWANE DURATION=-0,14616/(1+6%)=-13,788

Value of a basis pointΔP/P= -13,788*0,0001*np.100 mln=1378,083$

CENY/STOPY P0 P1 i0 i1

0,37689 0,321805 0,05 0,06

ΔP/P -0,14616

DURATION BIEŻĄCEΔP/Δi-5,50848 -551% PRZYBLIŻENIE ZAŁ. P/(1+i)=1

MODYFIKOWANE DURATION PV-0,13788

ΔP/P= dla 100mln$ -1378,83 np..$


DURATION

• F.Macaulay‟s (J.Hicks) duration - średni ważony czas

cash flow (okres trwania).

• Np. 100$, 6%,4lata, bullet

• Przy równych ratach (n+1)/2

• np.5 lat (5+1)/2=3

okres platnosc zdyskontowana zdyskontowana wagi lat waga okresow

jako %

1 6 5,66 5,66 1 0,0566

2 6 5,34 5,34 2 0,1068

3 6 5,038 5,038 3 0,15114

4 106 83,962 83,962 4 3,35848

100 3,67302

INFORMACJE

6% 4 lata 100$

n

nn

n

n

nn

n

zwykle

YTM

CF

YTM

nCF

D

1

1

)1(

)1(


MODIFIED DURATION• Modyfikowane Duration=1/(1+i)*Macaulay‟s

Duration (zwykłe)

• Duration zwykłe*( i/(1+i)) = wpływ na zmianę ceny

• Np. (3.673/1,06)*0.0001=0.0003465

• Służy do określenia o ile zmieni się cena np. obligacji, jeżeli yield zmieni się np. o 0,01% (price sensitivity to small changes)

• VAR= Wartość ryzyka = cena* modified duration*Δi*(P(i))

• Np. 100$ * 3,465*(dla 95% ufności, max wzrost stopy% =1,645/100)= 5,7 mln $

0*1

* Pi

i

P

PDz

Obligacja 100000000

Duration 3,673

YTM 1,06

MD 3,46509434

Ufność 0,95

max u 1,645

u/100 0,01645

VAR 5700080,19


DURATION MODYFIKOWANE

DLA 0-COUPON

• Obligacja O-coupon 2 lata

15,5%

• PV = 100/ (1.155)^2=74.96

• Dmd=

2*100:[(1.155)^3]/PV=

1.73

PVfactordiscountNotionaltdurationModyf /./*.

OBLICZENIE Wynik OBLICZENIE

OBLIGACJA 0 Coupon

lata 2

nominal 100

stopa% 0,155

PV 74,96111 100/(1,155) 2̂

Sredni okres 2

Modified

Duration 1,731602 (2*100/(1,155) 3̂)/b6

Zmiana ceny PV01 0,000173

POMIAR WRAŻLIWOŚCI BVP

• PRESENT VALUE of BASIS POINT:

• Można estymować zmianę ceny obligacji pod wpływem

„małych” zmian stopy % przez np. liniową ekstrapolację

• Czyli np. obliczając jak zmienia się jej cena pod wpływem

zmiany stopy procentowej o 1 punkt bazowy czyli o 0,01%

(0,0001)

• Metoda nazywa się Present value of basis point PV01

• Jest podobna do duration i jest miarą wrażliwości ceny na

zmianę stopy o 1 bps

0001,0**

lub

)%01,0()(

PVMDBPV

valuemarketMV

paMVrMVPVBP

BASIS POINT VALUE

PRESENT VALUE BASIS POINT

• Jak na cenę obligacji wpływa ryzyko zmiany stopy

o 1 punkt bazowy, np. z 10% do 10,01%

• PV01 Present Value zmiany o 0,01%,czyli 0,0001

T=1 T=2 T=3

CF 10 10 110

Dyskonto 1,1 1,21 1,331

DCF 9,090909 8,264463 82,64463 100,000

Wzrost stopy % o 10bps

Dyskonto 1,1001 1,21022 1,331363

DCF 9,090083 8,26296 82,62209 99,97514

Różnica -0,025

KONWEKSJA INSTRUMENTÓW

DŁUŻNYCH

Linearne zależności są wyjątkami w

życiu – nielinearne są wszechobecne

N.Taleb

CENA INSTRUMENTU 20 LAT W

ZALEŻNOŚCI OD POZIOMU STOPY %PAR= 100

1% 81,95445

2% 67,29713

3% 55,36758

4% 45,63869

5% 37,68895

6% 31,18047

7% 25,8419

8% 21,45482

9% 17,84309

10% 14,86436

11% 12,40339

12% 10,36668

CENA INSTRUMENTU 20 LAT

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12%

STOPA %

CE

NA

100


WYPUKŁOŚĆ - CONVEXITY

• Duration w małych

przedziałach może być

stosowane ale przy

dużych zmianach stóp

% rośnie błąd

• Krzywa wypukła

pokazuje bardziej

prawdziwe relacje cen

i wartości – pochodna

drugiego rzędu2

2

1

1

2

122

2

0

11

*)("2

1*)(')()(

2

)1(

)1(*);1(*

)1(

)1(

)1(

*)1(

)1(

)1()("

))1(

(

yyfyyfyfyyf

rzedujaaproksymacTaylor

i

nnconvexitynnfactorconvexitystad

YTM

CF

YTM

CFnn

YTM

YTMConvexity

di

dDuration

i

CFnn

di

PVdif

pochodnaDruga

i

nCF

di

dPV

pochodnaPierwsza

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

KONWEKSJA - CONVEXITY• Pierwszym przybliżeniem delty zmiany ceny obligacji pod wpływem

zmiany ceny jest duracja – drugim źródłem informacji jest konweksja

• Konwekcja dolicza efekt zagięcia – paraboli

• Najlepiej dopasowana parabola definiuje się jako (Taylor

aproksymacja):

• Koweksja to stopa zmiany duracji pod wpływem zmiany yield

• Dodatnia konweksja, gdy cena instrumentu rośnie bardziej, gdy spada

yield niż cena instrumentu spada wtedy, gdy yield rośnie

• Graficznie konweksja mierzy zmianę nachylenia ceny instrumentu w

stosunku do zmiany yield curve (krzywej dochodowości)

2

0

2

mod

2

*1

:

*2

i

P

Pconvexity

Convexity

idurationiconvexity

P

P

KONWEKSJA - CONVEXITY

• Koweksja to stopa zmiany duracji pod wpływem

zmiany yield

• Dodatnia konweksja, gdy cena instrumentu rośnie

bardziej, gdy spada yield niż cena instrumentu

spada wtedy, gdy yield rośnie

• Graficznie konweksja mierzy zmianę nachylenia

ceny instrumentu w stosunku do zmiany yield

curve (krzywej dochodowości)

KRZYWA WYPUKŁA• Jeżeli stopa % jest czynnikiem ryzyka to trzeba

sumować pochodne wyższych rzędów

• Współczynnik wypukłości C: wykorzystuje

zmodyfikowane Duration oraz szereg Taylora

• Wypukłość to drugi wyraz w szeregu Taylora

nmianownikuwnfczęzęstogdy

f

i

nnPPConvexity

CiDP

P

fdid

iMD

222

2

)2(

)1(

)1(/

2

1

KRZYWA WYPUKŁA

P

Prawdziwa zależność P od i

Tg =dP/di Błąd duracji

Wypukłość tym większa im

niższy kupon

niższa stopa zwrotu

dłuższy termin wykupu

Aproksymacja zmiany wartości poprzez Duration zakłada równoległe przesunięcie krzywej stopy %.

Wyniki są prawdziwe tylko dla bardzo małych zmian stóp %

i WEWNĘTRZNA

STOPA PROCENTOWA

YIELD

P

CENA

OBLIGACJI

Duracja

Duracja+convexity

WYPUKŁOŚĆ

LATA CASH-FLOW PV WSPOLCZYNNIK WYPUKLOSC

WYPUKLOSCI

1 10 9,090909 2 A3*(A3+1) 18,18182 D3*C3

2 10 8,264463 6 A4*(A4+1) 49,58678 D4*C4

3 10 7,513148 12 A5*(A5+1) 90,15778 D5*C5

4 10 6,830135 20 A6*(A6+1) 136,6027 D6*C6

5 110 68,30135 30 A7*(A7+1) 2049,04 D7*C7

suma 100 Suma F3:F72343,569

n(n+1) wypuklosc 23,43569

mod.wypuk 19,36834 F10/(1,1) 2̂

)1(2

mod

'

)1(*)(

)1(*,

i

Cified

valuemarket

nnCFPVconvexity

nnfactorconvexity

WPŁYW WYPUKŁOŚCI I

DURATION NA SZACOWANĄ

ZMIANĘ CENY OBLIGACJI

DURACJA A B

ZMIANA STOPY% 0,01 0,05 WZROST STOP

DURACJA -3,79 -3,79

OSZACOWANIE DUR -0,0379 C5*C4 -0,1895 E5*E4

NOWA WARTOSC

OBLIGACJI 96,21 100*(1+C6) 81,05 100(1+E6)

CONVEXITY

WYPUKLOSC MOD. 19,37 19,37

WPLYW WYPUKLOSCI0,000969 0,024213 0.5E13*E4 2̂

DURACJA+WYPUKLOSC-0,03693 C6+C14 -0,16529 E6+E14

NOWA WARTOSC 96,30685 100*(1+C15) 83,47125 100(1+E15)

OBLIGACJI

2

2 1

)1(

)1(

)1(

m

im

nnConvexity

m

im

n

Duracja

m

i

PARCena

nm

PERCENTYLE

PERCENTYLE

• Dzielą zbiorowość na 100 równych części

• A więc znalezienie się w percentylu wynosi

1% (dla zmiennej losowej)

• np. Strata od - nieskończoności do wartości

dla granicznej dla pierwszego procenta

pojawia się z prawdopodobieństwem 1%, a

więc z prawdopodobieństwem 99% nie

pojawi się!

CZĘSTOŚĆ DECYLEŚrednia 4,163880488

Max 4,4211

Min 4,0567

Odchylenie standardowe 0,076232818

Przedziały Częstość w % Skumulowana

4,2567 4,05 0 0,00% 0,00%

4,1567 4,1 8 19,51% 19,51%

4,2378 4,14 11 26,83% 46,34%

4,2365 4,18 11 26,83% 73,17%

4,2435 4,22 2 4,88% 78,05%

4,4211 4,26 6 14,63% 92,68%

4,2234 4,28 1 2,44% 95,12%

4,3576 4,32 0 0,00% 95,12%

4,2786 4,36 1 2,44% 97,56%

4,2566 4,5 1 2,44% 100,00%

4,2134

4,1865 RAZEM 41

4,1754

4,1626

4,1637

4,1754

4,1675

4,1723

4,1643

4,156502468

1012

1 3 5 7 9

CZESTOSC

VALUE AT RISK

POJĘCIE VAR, MODEL VAR, METODY VAR –WARIANCJI-KOWARIANCJI, HISTORYCZNA, SYMULACYJNA, IMPLIKOWANY VAR, VAR

PORTFELA, VAR DLA RÓŻNYCH INSTRUMENTÓW, MIERNIKI RYZYKA MARGINALNEGO, TESTY

NAPIĘĆ – STRESS TEST, CRASH TEST

VALUE AT RISK

WARTOŚĆ POD RYZYKIEM

• Metoda Duration/Convexity okazała się

niewystarczająca

• J.P.Morgan w 1994 zaproponował Value At

Risk i system zwany RiskMetrics

• Cztery metody: a/parametryczna, b/historyczna,

c/ Monte Carlo d/(implikowana)

• a/ bazuje najczęściej na rozkładzie normalnym

zmian cen instrumentów

• b/ i c/ metody symulacyjne d/z rynku

KLUCZOWE POJĘCIA

• Horyzont czasowy i przedział ufności

• Przedział ufności stanowi podstawę metody VaR – jest on miarą stopnia ufności, którego ekwiwalentem jest prawdopodobieństwo wyniku zmiennej losowej. Przedział ufności X definiuje prawdopodobieństwo, że przy danym rozkładzie zmiennej losowej wynik znajdzie się w określonym zakresie (przedziale)

• Horyzont czasowy to okres przetrzymania aktywu – zmienność rośnie wraz z czasem

VALUE AT RISK

WARTOŚĆ POD RYZYKIEM

• VaR uznała Group of Thirty jako dobrą praktykę w 1993 roku

• Ale wcześniej rozwijano:

• 1938 bond duration

• 1952 Markowitz nadzieja matematyczna/wariancja

• 1963 Sharpe CAPM

• 1966 Multiple factor model

• 1973 Black-Scholes model opcji, Greeks

• 1988 Ważenie aktywów ryzykiem w bankach

• 1993 VaR

• 1994 RiskMetrics

• 1998 Integracja credit risk & market risk

• 1998 Budżetowanie ryzyka

VALUE AT RISK• VaR estymuje największą oczekiwaną stratę z inwestycji,

przy założeniu normalnych warunków, przy danym

poziomie ufności, w czasie przetrzymania (techniki

statystyczne), czyli potencjalnie maksymalne zmniejszenie

wartości z danym prawdopodobieństwem w czasie

przetrzymania

• VaR estymuje ryzyko poprzez model (stochastyczny –

losowość zmian cen), sprowadza wynik do jednej liczby

• VaR okeśla stratę w warunkach normalnych zmian na

rynku, a więc jest wartością szacunkową

• VaR jest rekomendowana przez Komitet Bazylejski i

GINB (pozwala ustalić ile potrzeba “kapitału ryzyka”)

• VaR informuje syntetycznie zarząd o sytuacji firmy

VALUE AT RISK• VaR charakteryzuje poziom dyspersji w rozkładzie

strat i zysków przez co jest dobrym narzędziem

monitorowania ryzyka

• VaR szacuje tylko wartość maksymalnej straty, przy

założonym poziomie ufności, a więc odnosi się tylko

do ryzyka downsize

• Notacja matematyczna:

),(

)exp(}{^))/2()(

)12(2)(

:

))((}}({

lub

)Pr(|inf{}}({

2

1

Nv

dxxerf

yerfY

gdzie

YVKYvVaR

YKvKKYvVaR

VALUE AT RISK• Ryzyko wynika z mismatchu pozycji ze względu na zmienność cen,

kursów, stóp etc.

• W starym podejściu dla ograniczenia ryzyka nakładano limity, ograniczano instrumenty, czas, ekspozycję.

• Najważniejszy jest rozkład ryzyka potencjalnej straty dla całej firmy a nie dla poszczególnego instrumentu.

• VaR ma służyć ograniczeniu potencjalnych start między dwoma punktami w czasie, przy założonym prawdopodobieństwie.

• VaR nie jest metodą na określenie „worst scenario” lecz tylko estymuje uzasadnioną stratę w normalnych warunkach rynkowych.

• Wyzwaniem w VAR jest właściwa estymacja zmienności

• W VAR arbitralnie określa się dwa parametry czas przetrzymania oraz poziom ufności

WARTOŚĆ NARAŻONA NA

RYZYKO• Koncepcja:inwestycja*wrażliwość*zmienność

• Przykład:

– Inwestycja 100000 akcji po 4$ = 400000

– Jednoprocentowa wrażliwość np.zmiana ceny o 1%

czyli o 4c daje zmianę wartości inwestycji o 4000$

– Zmienność oczekiwana np. “na jedną noc” wynosi

1,5%; czyli 1,5 wrażliwości jednoprocentowej

• Wartość narażona na ryzyko na okres

przetrzymania = 1 dzień:

– 400000$*1%*1,5=6000$

VAR DLA ROZKŁADU

NORMALNEGO

STANDARYZOWANEGO

PLNEURPLNPLNVaR

uEUREURwDepozytnp

istotnoscipoziomVaRVP

VuVaR

VinwestycjidlastadymnormarozkladzieW

istotnoscipoziomuxP

Stad

xu

godaryzowanesegonormarozkladuZ

i

ti

ij

ii

466/1000*)2,0*33,2(

8,3;2,0;33,2,1000.

)(

)*(

:0ln

)*(

:

*

:tanln

1

Jeżeli wziąć 5% z 252 dni tzn 12,6 dnia straty w przedziale do 5%

MODEL VALUE AT RISK

• Stopa zwrotu R ma rozkład normalny

• Wartość VaR przy poziomie ufności α to dolny percentyl*ekspozycja

• prawdopodobieństwo po prawej stronie

• Uα zmienna standaryzowana rozkładu normalnego, µ - średnia =0 dla rozkładu standaryzowanego, V ekspozycja

• Z- macierz prognozy kowariancji stóp zwrotów poszczególnych czynników ryzyka

ZBB

daryzowanysrozkladVuVaR

xugdzieux

dxxxf

ekspozycjiwartoscpercentylVxVaR

N

T

VAR

tan0

,

)(

]*[

),( 2

VALUE AT RISK VAR• VAR - pozwala określić skalę i

prawdopodobieństwo wystąpienia zwykłego ryzyka

• Korzystając z rozkładów symetrycznych można

estymować, jakie jest prawdopodobieństwo, że

cena danego instrumentu przekroczy określony

poziom w okresie przetrzymania

• VAR mierzy największą stratę w czasie

przetrzymania, na danym rynku, przy zakładanym

przedziale ufności (prawdopodobieństwo - czyli

tolerancja ryzyka, wrażliwość) - okres

przetrzymania - najczęściej 1 dzień

VAR

• VaR nie opisuje najgorszej straty, w rzeczywistości oczekuje się nawet, że wartość VaR będzie przekroczona raz na np. 100 dni. (współczynnik ufności 99%)

• VaR też nie opisuje strat po lewej stronie rozkładu – bo nic nie mówi na temat rozkłady prawdopodobieństwa strat, jedynie co mówi to że taka strata może wystąpić i z jakim prawdopodobieństwem

• VaR jest miarą obciążoną pewnym błędem, co zależy od okresu analizy danych do mierzenia zmienności.

• Im większy poziom ufności tym większy VaR.

• Im większy horyzont tym większy VaR TdzienVaRTdniVaR *)1()(

MODEL VALUE AT RISK

• W uproszczeniu VaR to:

• VaR=NSTD* *T^(0,5)*V

• Czyli:

– NSTD: number of standard deviations for chosen confidence level and chosen distribution

– : odchylenie standardowe

– T: czas przetrzymania

– V: Wartość aktywu

NAJCZĘŚCIEJ ZAKŁADA SIĘ ROZKŁAD NORMALNY, ALE DLA DUŻEJ

WYPUKŁOŚCI ZMIANY CEN NIE JEST TO NAJLEPSZE ROZWIĄZANIE

23

METODOLOGIA Value-at-Risk

• Value-at-Risk (VaR): Maksymalny spadek wartości

portfela w stosunku do określonego celu (np. budżetu),

którego można doświadczyć pod wpływem ryzyka

rynkowego w odniesieniu do wyspecyfikowanych

ekspozycji, w określonym czasie przetrzymania, przy

danym poziomie ufności.

• 1,65 wartości standaryzowanej

• zmienności rozkładu normalnego

• dla prawdopodobieństwa P=5%, czyli 95% ufności, że strata w

zwykłych warunkach nie przekroczy wyliczonego limitu

V

R

t

ttt

VaR

P

1

1,

**65,1

%5}65,1{

VALUE AT RISK• P(W<=Wo-VaR)=1-

• Wo - obecna wartość instrumentu,

• W - wartość instrumentu na koniec okresu

• 1- - poziom ufności/tolerancji, (1-poziom

istotności)

• P - z prawdopodobieństwem równym poziomowi

tolerancji zajdzie zdarzenie, że wartość instrumentu

będzie równa, mniejsza od obecnej wartości – VaR• Przedział ufności jest miarą stopnia ufności, że zmienna losowa znajdzie się powyżej

określonej wartości

• Horyzont czasu – im dłuższy tym większa zmienność

VAR założenie rozkładu normalnego

standaryzowanego

KALKULACJA VAR DLA PARAMETRÓW:

Ekspozycja V 1000000

Średnia R dzienna 0,005

Odchyelnie standardowe0,020,02

U 0,05 -1,64485 NORMSINV( )

VAR= 27897,07 /=-(D3+D5*D4)*D2

Dla 10 dni VAR= 88218,28 /=10 0̂,5

VAR

• VaR nie opisuje najgorszej straty, w rzeczywistości oczekuje się nawet, że wartość VaR będzie przekroczona raz na np. 100 dni. (współczynnik ufności 99%)

• VaR też nie opisuje strat po lewej stronie rozkładu – bo nic nie mówi na temat rozkłady prawdopodobieństwa strat, jedynie co mówi to że taka strata może wystąpić i z jakim prawdopodobieństwem

• VaR jest miarą obciążoną pewnym błędem, co zależy od okresu analizy danych do mierzenia zmienności.

• Im większy poziom ufności tym większy VaR.

• Im większy horyzont tym większy VaR TdzienVaRTdniVaR *)1()(

WSPÓŁCZYNNIKI VAR• Wskaźnika VAR%, który wynika z podzielenia VaR/wartość

aktywu – informuje o relatywnym ryzyku aktywu w normalnych warunkach rynkowych

• Marginalny VaR: mierzy wpływ małych zmian w pozycji aktywu na wartość VaR, czyli jak 1% zmiany wartości aktywu (lub rozkładu) wpływa na zmianę VaR

• Cząstkowy VaR mierzy jak zmiana pozycji jednego z aktywów wpływa na ryzyko całego portfela, szczególnie jak pozbycie się całkowite danego aktywu z portfela wpłynie na ryzyko portfela – pozwala ustalić, który aktyw wnosi najwięcej do ryzyka portfela

VAR PROCES• Określić wartość rynkową instrumentu

• Określić czynniki rynkowe decydujące o wartości

• Dokonać licznych rewaluacji instrumentu używając

zakładane zmiany cen

• Przeanalizować rozkład wartości instrumentu po

wszystkich wycenach

• Przedział ufności określa wielokrotność odchyleń

standardowych rozkładu zmiany ceny instrumentu -

wyższa ufność = wyższe prawdopodobieństwo

• 5% oznacza, że raz na 20 dni może być strata>VaR

7

VALUE-AT-RISK WPŁYW

MARKET RISKS NA POZYCJĘDEFINICJA:

5%-VaR estymuje stratę, która będzie

przekroczona z prawdopodobieństwem 5% (a

więc nie będzie przekroczona z

prawdopodobieństwem 95%) 5%-VaR wskazuje

kwotę najmniejszej możliwej straty w odniesieniu

do 5% największych możliwych strat

Present Value VaR uncert. future

Present Value

upper quantile

lower quantile

Prices

Rates of Returns

VALUE AT RISK• Graficzna interpretacja VaR dla rozkładu

normalnego standaryzowanego

• VaR jest to strata wartości rynkowej, taka że prawdopodobieństwo jej

przekroczenia w danym okresie jest równe zadanemu poziomowi tolerancji

F(W)

W

5%

U * *Notional=VaR

-poziom

istotności

1- :poziom ufności

95%

Wo

1

0

%5}65,1{1/ tttrP

Krzywa gęstości

Krzywa prawdopodobieństwa

VALUE AT RISK• Miarami rozkładu normalnego jest średnia i

odchylenie standardowe.

• Cechą jest np. 68% zdarzeń będzie się

mieścić w przedziale średnia +- odchylenie

standardowe

• 5% zdarzeń w rozkładzie mieści się poniżej:

średnia - 1.645 odchylenie standardowe

• a więc 95% ufności, że będzie powyżej:

średnia - 1.645 odchylenie standardowe

(przedział ufności)

VALUE AT RISK

• Na osi odciętych są wartości instrumentu na zakończenie okresu, na osi rzędnych dane w postaci krzywej gęstości (prawdopodobieństwo uzyskania wartości: suma =1 -powierzchnia pod krzywą gęstości)

• 5% prawdopodobieństwo, że wartość instrumentu będzie nie większa niż Ua*odchylenie standardowe

• VaR zależy od poziomu ufności i czasu

• 0.99 Komitet Bazylejski, 10 dni

• 0.95 J.P.Morgan BoA, 1 dzień

• 0.945 Citibank, 1 dzień

• VAR stosuje się do obliczeń analitycznych przy założeniu rozkłady logarytmiczno-normalnego stóp zwrotu (ze względu na przeskalowanie ln daje większą symetrię układu). Dla akcji stosuje się najczęściej stopy nadwyżkowe Ri-rf.

PODSTAWOWE METODY

WYLICZANIA VAR

• VaR parametryczny – nie bazuje na scenariuszach lecz na wrażliwości instrumentu na dany czynnik ryzyka (FX, i, indeks etc), nadaje się do instrumentów linearnych, gdzie zmienność jest mała (nie do opcji itp..)

• VaR historyczny – bazuje na scenariuszu wykorzystującym przeszłe informacje (zwykle 250 dni wstecz), czyli założeniu, że przeszłość powtórzy się w przyszłości

• VaR Monte Carlo – bazuje na scenariuszu, gdzie model generuje 1000-10000 scenariuszy, każdy scenariusz pokazuje wpływ czynnika ryzyka na portfel (macierz korelacji gdy wiele czynników ryzyka), zmiany pozwalają przeszacować portfel wg nowych cen i porównać z wartością bazową tworząc rozkład strat i zysków

• VaR z wartości implikowanej, czyli zmienności, która wyliczana jest na podstawie bieżącej wartości opcji na rynku

VAR WYBÓR POZIOMU

UFNOŚCI I OKRESUHORYZONT – okres

przetrzymania, okres w

którym może pojawić

się strata

POZIOM UFNOŚCI

- Dla banku przy

aktywach płynnych 1

dzień jest

akceptowalny

- Dla zarządzającego

portfelem – 30 dni

- Okres powinien się

zgadzać z okresem

upłynnienia

- Zależy od przeznaczenia

- Zależy od bufora w postaci kapitału

ryzyka

- Awersja do ryzyka lub wyższe koszty

skłaniają do wyższego poziomu

ufności

- Dla celów analitycznych mogą być

różne

8

MODELE KALKULACJI VALUE-

AT-RISK

Metody analityczne

• Delta-Normal

• Delta-Gamma

Strukturyzowane

Monte Carlo

Symulacja

--

-Symulacja

historyczna

-zmienność

implikowana

Stress Tests+

Specificcyfikacja

funkcji

dystrybucji

Brak funkcji

dystrybucji

...6

1

2

1 3

13

1

32

12

1

2

1

1

1 FF

PF

F

PF

F

PPP tt

SZEREG TAYLORA - STĄD WZORY NA DURACJĘ MACAULAY

I MODEL WYCENY OPCJI BLACK-SCHOLES

PIERWSZA POCHODNA N(d1), druga N(d2)

Pierwsza

pochodna

delta

duration

Druga

pochodna

gamma

convexity

METODY VAR CHARAKTERYSTYKA WSAD ZALETA WADA

DELTA NORMAL

NA

Lub

DELTA/ GAMMA

- Zakłada normalny rozkład - Zwrot jest liniową kombinacją linearnych

czynników - Liczone wariancje i kowariancje

- Ryzyko portfela jest liniową kombinacją normalnych czynników

-wtedy nieliniowe delta + convexity

- Prognoza zmienności i

korelacji dla każdego

czynnika - Pozycje na

czynniki ryzyka

- najprostsza - Zakłada rozkład

normalny - Linearne

czynniki ryzyka

(brak opcji)

Zmienność

implikowana

- Stan rynku - A priori lub

stan opcji

-

SYMULA

CJE HISTORY

CZNE

- Bada historyczne wagi

- Zwroty nie są aktualne ale odtwarzają na podstawie historii teoretyczny zwrot z

portfela - Rozkład normalny

- Ruchy dla

każdego czynnika

ryzyka - Pozycje na

czynniki ryzyka

- Relatywnie

prosta - Normalny

rozkład - Nielinearne

zmiany

Tylko jedna

historyczna ścieżka

rozkładu

MONTE

CARLO

Dwa kroki:

- Specyfikacja procesu stochastycznego, wybór rozkładów i parametrów

- Fikcja ścieżki cen dla zmiennych, mark to

market - Każda realizacja jest użyta do kompilacji

rozkładu zwrotów

- Specyfikacja

procesów stochastycznych dla każdego

czynnika - Model wyceny

portfela - Pozucjonowani

e czynników ryzyka

- Najbardziej

wyrafinowana - Każdy

rozkład

- Nielinearne aktywa

- Dużo

obliczeń - Dobre

rozumienie

procesów stochasrycz

nych

VaR PARAMETRYCZNY• VaR parametryczny nie szuka średniej i odchylenia

standardowego w danych empirycznych lecz przyjmuje się średnią i odchylenie standardowe jako parametry wrzucone z zewnątrz

• Zakłada się rozkład normalny

• Dla portfela przyjmuje się macierz wariancji i kowariancji (lub korelacji)

• VaR parametryczny nie bazuje na scenariuszu ale analizie wrażliwości aktywu na zmiany specyficznych czynników ryzyka (np. kurs walutowy, index etc.)

• Wprowadzając zmiany poziomów czynnika ryzyka dokonuje się rekalkulacji generując VaR

• Dobrze działa dla instrumentów liniowych dla nieliniowych wynik jest tylko aproksymacją

WADY I ZALETY VAR

PARAMETRYCZNEGO• Dane w zasadzie nie są konieczne ponieważ zakłada się

rozkład normalny i nadzieję matematyczną oraz odchylenie standardowe (dla portfela macierz Σ)

• Do tego przyjmuje się poziom ufności

• Można analizować dane po to, aby dobrze skalibrować parametry

• Można też poprzez delta t określić zmiany w czasie

• Wada – bo rozkład może być inny, szczególnie dla nielinearnych instrumentów

tutVaR **

9

DELTA-NORMAL VALUE-AT-

RISK Przykład: AkcjeValue-at-Risk Czynnik wrażliwości Zmienność dzienna Horyzont czasu Poziom ufności

80 EUR 2,33=4.697 EUR 252

..%40 ap1.000 akcje 1

1 Day

VaR

99%

Delta-Normal VAR DLA

PORTFELA• VAR DLA CAŁEGO PORTFELA MOŻNA

UZYSKAĆ:T

F

F

F

FFFF

FF

FFFFFF

F

F

F

T

ttt

nnnn

n

nVaR

VaR

VaR

VaR

VaR

VaR

XXVaR

2

1

1

12

12111

2

1

,,

,

,,,

1

VALUE AT RISK

• Aby obliczyć VaR trzeba zmienną standaryzowaną zależną od poziomu tolerancji pomnożyć przez parametr zmienności oraz obecną wartość.

• Parametr zmienności mierzony jest na 1 dzień, dla horyzontu innego stosuje się wzór

• N = liczba dni,

NN

Delta-Gamma-VAR• W PRZYPADKU INSTRUMENTÓW NIELIONOWYCH

(NP.OPCJE) NATRAFIA SIĘ PRZY PODEJŚCIU DELTA-

NORMAL NA PROBLEM.

• LINIOWOŚĆ JEST WŁAŚCIWĄ APROKSYMACJĄ MAŁYCH

ZMIAN KURSU

–POCHODNE WYŻSZEGO RZĘDU MOŻNA POMIJAĆ

• PRZY PODEJŚCIU DELTA-GAMMA UWZGLĘDNIA SIĘ

DODATKOWĄ RÓŻNICZKĘ.

• PRZY ZŁOŻONYCH OPCJACH TRZEBA BRAĆ POD UWAGĘ

NAWET POCHODNE WYŻSZEGO RZĘDU.

...6

1

2

1 3

13

1

32

12

1

2

1

1

1 FF

PF

F

PF

F

PPP tt

Delta

Duration

Gamma

Convexity

PORÓWNANIE DELTA-NORMAL,

DELTA-GAMMA I PEŁNEJ WYCENY

Delta

Delta-Gamma

Full Valuation

Preis Underlying

WARTOŚĆ

DERYWATU

PODEJŚCIE

WARIANCJA/KOWARIANCJA• ZALETY

–szybka metoda analityczna

–łatwa w zastosowaniu

–wymaga jedynie wrażliwości

na poziomie portfela

–możliwość dostosowań, aby

uzyskać konwektywność

•Delta-Gamma-podejście

–potrzebne zmienności i

korelacje

•Riskmetrics-Dane

• WADY

–zakłada rozkład

normalny zmiany

kursów

–nie stosowalna do

bardziej kompleksowych

portfeli

–nie ma ponownego

szacowania portfela

SYMULACJA HISTORYCZNA

• BAZUJE NA ZMIANACH CEN W PRZESZŁOŚCI.

• DANE HISTORYCZNE MAJĄ OBSERWOWALNY ROZKŁAD

ZMIAN n CEN.

• JAK ZACHOWAŁBY SIĘ AKTUALNY PORTFEL, GDYBY

WYSTĄPIŁO n SCENARIUSZY HISTORYCZNYCH?

• MOŻLIWOŚĆ KAŻDORAZOWO NOWEJ WYCENY

PORTFELA DLA HISTORYCZNYCH SCENARIUSZY I

OKREŚLENIA WARTOŚCI PORTFELA (P/L).

• OKREŚLENIE WAHAŃ DOCHODÓW (P&L)

• MOŻLIWOŚĆ POSORTOWANIA n WARTOŚCI (P&L) WG

WIELKOŚCI I OKREŚLENIE -KWANTYLA A STĄD I VAR

• NIE POTRZEBNE S.Ą ZAŁOŻENIA CO DO ROZKŁAÓW

VAR METODA

HISTORYCZNA• Ceny instrumentu za dany okres

• zmiana ceny dzienna ln(Ri/Ri-1)

• dzienna historyczna zmiana * portfel

• wybór pertencyla odpowiadającego poziomowi ufności 95% np. Pozycja 2 i to jest poszukiwana wartość VAR

• METODA: STANDARDOWA HISTORYCZNA LUB HISTORYCZNA FILTROWANA– Czasami przypisuje się wagi odpowiednie do upływu

czasu obserwacji (lub sezonowości np.. Ceny gazu latem i zimą) - metoda ważonej historycznej symulacji


OKREŚLENIE DOCHODÓW I ICH WPŁYWU

NA RENTOWNOŚĆ W PRZESZŁOŚCI

VAR

RENTOWNOŚCI

HISTORYCZNE

WYCENA PORTFELA NA BAZIE CIĄGÓW

DANYCH HISTORYCZNYCH

USTALENIE

CZYNIKA RYZYKA

POZYCJONOWANIE

OSZACOWANIE ROZKŁADU

ZYSK

HISTOGRAM

5%VaR

5%

HISTORYCZNA SYMULACJA

PROFIT/LOSS


CZAS

WYCENA

PORTFELI

WARTOŚĆ

DZIŚ

0

HISTORYCZNA SYMYLACJA

VALUE AT RISK FX

HISTORYCZNA OBSERWACJA

• VaR jest poziomem straty, który może zostać

przekroczony w okresie przetrzymywania pozycji

z prawdopodobieństwem = α

• Model VaR

• Pozycja walutowa =eo*Vfx, kurs*Wartość w fx

• po obserwacji np.250 dni można obliczyć

odchylenie standardowe - volatility

• dla a=1% uα=-2.33

• VaR=Po*od.stand.*uα

Np. Złoty/usd 4.12, odchylenie standardowe

2%, nominal 1$

VaR=-2.33*0.02*4.12=0.1920 PLN

czyli 99%, że złoty nie wzrośnie w okresie

przetrzymywania do 3.928PLN/$

FXFXFX VeuVAR ***

SYMULACJA HISTORYCZNA• ZALETY

– nie potrzeba założeń o

rozkładzie

– rozkład może mieć wszelkie

skrzywienia

– uwzględnienie implicite

korelacji i zmienności

ciągów zmiennych

– uwzględnione odchylenia od

rozkładu normalnego w

rozkładzie zmian cen

– łatwy dostęp do danych

historycznych

• WADY

– VAR bazuje tylko na danych

historycznych

• czyli bierze tylko pod uwagę zaszłe

scenariusze

• słaba podstawa statystyczna

• ograniczona ilość informacji

– pomiar wymaga dużej ilości

danych

– potrzeba dużej ilości ciągów

danych

– trzeba ważyć czas, sezonowość

oraz nadzwyczajne wydarzenia

METODA MONTE-CARLO• Metoda Monte-Carlo – bazuje na scenariuszach

• …przy pomocy sztucznie wygenerowanej próby losowej oszacowuje się przybliżone wartości interesujących zmiennych.

• Bloomberg 1000 losowych scenariuszy

• Każdy scenariusz reprezentuje zmianę specyficznego czynnika ryzyka, wpływ wszystkich czynników ryzyka wspomaga macierz wariancji i kowariancji

• Wiele problemów daje się przy pomocy Metody Monte-Carlo dostatecznie dokładnie i często relatywnie łatwo rozwiązać.

• Na przykład:

– Wycenę skomplikowanych instrumentów derywatywnych

• Oszacowanie wartości oczekiwanej (Monte-Carlo-Pricing)

– Określenie dokładności oszacowania

• Błąd standardowy poprzez Bootstrapping

– VAR przy niestandardowych założeniach

• Wygenerowanie kwantyli (Monte-Carlo-VaR)

Paul Davis fizyk : za słowem przypadek kryje się czasem subtelny porządek X2008.

Każdy stan kwantowy materii ma zarówno nieokreśloną przeszłość, jak i przyszłość.

Teza, że łączy je tylko jedna ścieżka historii jest prawdopodobnie błędne – jest wiele ścieżek historii

PROCES SYMULACJI

MONTE-CARLO• Ustalenie historycznej lub zadanej funkcji rozkładu czynników

ryzyka.

• Ustalenie / zadanie parametrów statystycznych do opisu rozkładu

(Wartość oczekiwana, zmienność, korelacje, odchylenia, Kurtosis ...).

• Przygotowanie scenariuszy zmiennych wpływających (kursy akcji,

zmienności, stopy procentowe, kursy walutowe...), determinujących

rozkłady.

• Nowa wycena portfela w zależności od scenariusza oraz określenie

jego rentowności (P&L).

• Określenie rozkładu rentowności P&L

• Ustalenie %-kwantylu (VaR %)

STRUKTURA SYMULACJI

MODELU MONTE-CARLO

PRZYSZŁA

RENTOWNOŚĆ

POZYCJA

PORTFELI

VAR

PORTFELA

MODEL

PAPIERÓW

WARTOŚCIOWEGO

OKREŚLENIE

CAŁKOWITEGO

ROZKŁADU

MODEL

STOCHASTYCZNY

PARAMETRY

MODELU

DANE

HISTORYCZNE

METODOLOGIA MONTE CARLO• Na rynku finansowym zmiany cen mają

charakter losowości kroczącej, postępują jak w procesie Markova, gdzie rozkład zależy tylko od ceny bieżącej

• Założenie, że ceny zmieniają się zgodnie z ruchami Browna (geometric Brownian motion)

• z – Wienner process

• Dalej założenie rozkładu normalnego dla dz

• Czyli zależy od oczekiwanego dochodu z trendu oraz random

• Ostatnie równanie zakłada rozkład normalny z wartością oczekiwaną µΔt oraz odchyleniem standardowym σ√Δt.

• Modelujemy generując przypadkowe wartości φ ze standardowego modelu o rozkładzie normalnym

ttSdS

dtośśprzypadkowdtdryf

dtdtSdS

dzdtSdS

/

;

/

/

MONTE CARLO PRZYKŁAD

• Kurs = 100,

oczekiwany zwrot

10%, zmienność 20%

• Jaka cena za tydzień?

• dt =1/52

• Cena będzie zależeć

od

dtdtSdS /

Kurs= 100

dt= 0,019231 0,138675

mi= 0,1

zmienność= 0,2

phi= 1

ds./s= 0,029658

VAR MODEL MONTE CARLO

0.25

0.5

1.0

0.0=-1,5 0.0 0 1 2 3 4 5

Generowanie zmiennych losowych Genrowanie rozkładu wartości

Np. et=f(et-1)

et=drift + random

t

historyczna/random

ZYSK

HISTOGRAM

5%VaR

5%

Monte Carlo Simulation -

Rozkład strat/zysków

PRZEBIEG SYMULACJI

MONTE-CARLO

0

WYCENA

PORTFELA

CZAS

WARTOŚĆ

DZIŚ

SYMULACJA MONTE-CARLO

SYMULACJA MONTE-CARLO

• ZALETY

• Elastyczny poprzez

zadawanie różnych

rozkładów

– można uwzględniać nawet

skomplikowane produkty

derywatywne

– działa nawet przy nieliniowych

rodzajach ryzyka (np. Dla

opcji)

– nieciągłych instrumentach

– może uwzględniać scenariusze

• WADY

– intensywny obliczeniowo

– generowany ze scenariuszy

– wymaga założeń co do rozkładu i korelacji, zakładana liniowość

– mniej transparentny niż poprzednie metody

– każdy przebieg rachunkowy może wpłynąć na wyniki

– zakłada rozkład normalny ale często nachylenie lub kurtoza są różne od zera

– Zakłada się stalą wariancję a często ona się też zmienia

– problem, że niektóre aktywa (np. commodities) mają gwałtowne skoki cen

MODELE BINOMINALNE

• Symulacje są korzystne w celu minimalizacji ryzyka

• Można też stosować dyskretne drzewa, gdy są dwa kierunki po każdym kroku mówi się – to binominalne

• Są jakby dyskretną wersją geometrycznych ruchów Browna

• Horyzont jest dzielony na n okresów T/n

• Na koniec okresu jest prawdopodobieństwo jednego kierunku p oraz drugiego 1-p

• Parametry

• u w górę, d=1/u w dół, p prawdopodobieństwo

t

tt

edppuSSE

du

depudeu

)1()/(

,/1,

01

0 1 2 3 …

u^2S

uS u^2dS

S udS

dS d^2uS

d^2S

ZMIENNEOŚĆ IMPLIKOWANA

• Wynika z analizy rynku i teoretycznej

wycenie

• Bazować można na wzorze Black Scholees

oraz użycie estymatora Nadaraya-Watsona

• Analiza PCA

VAR PORTFELA

• Składniki portfela mogą mieć korelację 1, 0

do -1.

• Wtedy ryzyko nie jest sumą VAR dla

każdego składnika ale musimy obliczyć

zmienność dla portfela (wzory wcześniej)

• Np. Ryzyko kursu walutowego i stopy

procentowej mogą być skorelowane

FXFXFXP %,%

22**22

%

VAR PORTFELA

.

**

nspmacierztra

elacjimacierzkorC

vektorVaRV

CV

V

VVaR

T

T

P

IBM 1.74% 450000 12933

Du Pont 2.08% 250000 8579

GM 2.73 300000 13532

IBM 1 0.45 0.53

DuPont 0.45 1 0.68

GM 0.53 0.68 1

]}

13532

8579

12933

[

168.053.0

68.0145.0

53.045.01

[]13532857912933{[VaRP

ZAAWANSOWANE

ZASTOSOWANIE

• Wpływ pojedynczych transakcji na VaR

portfela

• DelVaR

• Component VaR

• Incremental VaR

VALUE AT RISK

• Nie dajmy sie zVARiować, ponieważ VaR nie

rozwiąże wszystkich problemów.

• Czy mając jeden wskaźnik w samochodzie

odpowiemy czy jedziemy bezpiecznie?

• VaR nie potrafi:

• - dać jednej spójnej miary: różne model dają różne

wartości

• - mierzy tylko ryzyko ilościowe - nie mierzy

ryzyka politycznego, płynności, operacyjnego etc.

VAR ZALETY I WADY

• ZALETY:

• Ustrukturyzowana metoda

mierzenia ryzyka

• dobra dla produktów

finansowych

• agreguje ryzyko

• estymuje

prawdopodobieństwo straty

• uwzględnia korelacje

różnych aktywów

• WADY:

• zależy od metody i

założeń

• dobra ale w warunkach

normalnych

• zwodzi przy rynku strat

(bear)

• VAR jest „niekompletną”

miarą ryzyka (dlatego np..

Stress test)

BACKTESTING MODELI VAR

• Backtesting – analiza po fakcie efektywnosci estymacji ryzyka przez modele. Pozwala ustalić dobroć modelu

• I. Analiza ex ante i ex post VAR

– Ile razy strata była większa od limitu VAR – czy częściej niż poziom ufności?

• II. Porównanie estymowanych VAR z hipotetycznym P/L wynikającym z przeliczenia przez ceny końca okresu

• Generalnie można zakładać niezależność zdarzeń i rozkład normalny ale czasami na rynek przychodzi jakaś wieść, która przesuwa rynek w jednym kierunku i wtedy zanika niezależność zdarzeń

MIERNIKI RYZYKA

MARGINALNEGO• Ryzyko może być mierzone w kategoriach marginalnych - np. Zmiana

ryzyka portfela przez dodanie kolejnego instrumentu.

• Mierzy efekt dywersyfikacji

• A mała wartość ekspozycji, przy takim ryzyku

• B największa relacja ryzyka do ekspozycji

• C największa ekspozycja

• D największe ryzyko do ekspozycji

C

B

A

DS%

Wartość portfela

OCENY WZGLĘDNE

ZWROTU I RYZYKA

• Współczynnik :

• Ocena ryzyka zmiana

wartości dochodu

zdyskontowanego do

ryzyka:

• Inna miara - zmiana

wartości dochodu do

wartości pod ryzykiem

(kapitał ekonomiczny)

Zysk

PV

VaR

PV

OCENY WZGLĘDNE

WSPÓŁCZYNNIKI

• Sharp

• Treynor

• Jensen

• Wskaźnik wyceny

freeriskrzwrotustopar

especyficznryzykoCAPMzparam

rrrr

stalarr

rr

fp

ePp

ep

fmpfpp

pppfp

rfp

p

p

p

,

,.,,

/

]}[{

//][

/][

)(

)(

)(

KRYTYKA• Złożone metody statystyczne nie dają lepszych wyników niż proste metody

– Spyros Makridakis

• Robert Engel wymyślił skomplikowaną metodę GARCH i dostał Nobla, ale nikt nigdy jej nie testował czy daje lepsze wyniki w rzeczywistości

• Podobnie teoria gier Jon Nasha nie daje lepszych wyników prognoz niż proste modele

• VAR w czasie kryzysu dał bardzo słabe rezultaty, zmieniała się gwałtownie zmienność i brak było normalności rozkładów

• Krytyka Nassim Taleb też Pablo Triany w odniesieniu do „pseudonauki” R.Mertona, M.Scholsa, H.Markowitza, W.Sharpa

• VaR niedoszacowuje ryzyka, błędy modeli, korelacji, disater myopia,

• Nie wszystko jest kwestią statystyki ale również zdrowego osądu

STRESS TEST

Nassim Taleb: history is littered with

high-impact rare events…

STRESS TEST• Bada wpływ szoku na system finansowy

• Stress testy – to statystyczne techniki badania wrażliwości systemu finansowego na rzadkie ale możliwe wydarzenia

• Rzadkie wydarzenia wiąże się definicyjnie z fat tail

• Bada jak ryzyko jednej instytucji może stać się ryzykiem systemowym

• Stress test jest komplementarny w stosunku do metody VaR, tworząc bardziej kompletny obraz ryzyka rynkowego firmy

• Stress test odtwarza często sytuacje kryzysowe z przeszłości (wielkie dewaluacje, gwałtowne wzrosty stóp procentowych, spreadów kredytowych etc)

• Dziel ryzyko na poszczególne komponenty i przypisz im największe zmiany w historii

J.Stiglitz Fat tail - co miało zdarzać się raz na 100 lat zdarza się co dziesieć lat

STRESS TEST• Stress Test. Test napięć. VaR nie odpowiada, jak wielkie

mogą być straty w przypadku krachu lub załamania

walutowego (np. Załamanie giełd 1987, czy Rosja 1998,

subprime 2007) – czyli nie jest użyteczny przy ryzyku

systemowym – wtedy gdy wszyscy tracą.

• Stress test (testowanie napięć) bazuje na różnych

założeniach - to jest analiza skrajnych warunków np.+-10%.

• Skrajne wydarzenie może prowadzić nawet do upadłości

firmy - krach giełdy, systemu walutowego

• Zadaniem zarządzania ryzykiem w tym przypadku jest

zapobieganie takiemu zdarzeniu

• Prawdopodobieństwo jest małe ale istnieje

STRESS TEST

• Testy napięć dzieli się na 3 typy:

– Analiza wrażliwości – jak portfel firmy reaguje na wyjątkowe wydarzenia

– Analiza scenariuszowa – wpływ scenariusza na ryzyko

– Contagion exposure – transmisja szoku indywidualnego na ryzyko systemowe

• Komplementarnym podejściem jest analiza Financial Soudness Indicators

STRESS TEST

• Def: metoda kwantyfikacji potencjalnego, przyszłego ekstremalnego skutku dla portfela– Market risk stress testing

– Credit risk stress testing

– Operational risk stress testing

• Problem integracji testów napięć

• Paliatyw (Środek) przeciw obawie wystąpienia znaczącej ekspozycji na ryzyko

• Stress test nie jest statystyczną miarą ryzyka niemniej jest to miara kwantyfikowalna

• Kalibracja dużych rodzajów ryzyka: „worst case”, „treshold” (jaka granica musi być przekroczona any czynnik stał się groźny systemowo),

Nassim Taleb: CDS it would be like buying insurance on the Titanic from

Someone on the Titanic

STRESS TEST

• Metodologia w stress testach jest podobna do stosowanej w kalkulacji VaR

• Bada się zmianę wartości inwestycji generowaną dużą zmianą czynników ryzyka

• Scenariusze w Stress Test:

– Historyczne – np. efekty 11. września, dewaluacje w Azji Pd-Wsch

– Zmiany specyficznych czynników (Special Factor Change) – np. wzrost spredów o 50%, stóp o 100 bps, wzrost korelacji etc.

– Algorytmy – wprowadzanie czynników działających jednokierunkowo na wzrost ryzyka – push approach

SCENARIUSZE SYMULACJI

Standard

Scenario

Historical

Scenario

Individual

Scenario

Crash

Scenario

Planning

Scenario

Jak reaguje P&L przy znaczących zmianach czynników ryzyka, np. Kiedy czynniki ryzyka poruszają

się w górę lub w dół o jedno odchylenie standardowe?

Przy Portfolio Opcji (I stóp %) mogą zamiany rynku powodować dramatyczne skutki - większe od

analiz wrażliwości.

STRESS TEST

• Metoda parametryczna, historyczna, hipotetyczna, algorytmiczna ,

• Parametry – z założeń

• Historia – z doświadczeń (kryzys giełdowy 1987, obligacji 1994, Meksyk peso 1994, kryzys azjatycki 1997, kryzys rosyjski 1998, Barrings bank, płynność LTCM 1998, WTC 11.IX.2001, konflikty interesów analityków

• Hipotetyczne scenariusze – np.. Modyfikacja macierzy cov, gdy kryzys wszystko idzie w jednym kierunku, podwyższenie wariancji, analiza wrażliwości

• Podejście algorytmiczne – factor push czyli popychanie czynników ryzyka w jednym, krytycznym kierunku np.. O 4 odchylenia standardowe, przeliczenie portfela po wyższej wartości ryzyka np.. Sklar m.; maksymalna strata – przez podwyższenie prawdopodobieństwa straty

• Extreme Value Theory – na podstawie ekstremalnych obserwacji i rozkładów

– Modelowanie rozkładu P&L na końcach rozkładu, tzn. Dla bardzo dużych wartości .

– Ta metoda pozwala, kwantyfikować stratę rzadszych wydarzeń, w celu określenie potrzeb w zakresie własnego kapitału.

STRESS TEST - METODY

Podejście Opis metody Zalety Wady

Scenariusze

historyczne

Powtórzenie

zdarzenia

Już tak się stało Brak interpretacji

probabilistycznej,

brak gwarancji

najgorszego

Hipotetyczne

scenariusze

1.Macierz cov

2.Kreowane

zdarzenie

3.Analiza

wrażliwości

1.Łatwe

2.Elastyczne

3.Może być

detaliczne

1.Słaba empiria

2.Brak worst case

3.Słaba informacja

Algorytmy 1.Czynnik push

2.Max.strata

1.Minimalne

elementy

2.Worst case

1.Brak worst case,

ignoruje korelacje

2.Dużo obliczeń

STRESS TEST

• VAR alokacja

aktywów, analiza

zyskowności przy

zkładanym ryzyku

• Stress Test -

zapobieganie

bankructwu,

stabilizacja wyników

finansowych

• Pomiar rozkładu z

pomocą statystyki

matematycznej

• Analiza scenariuszy -

sytuacje historyczne,

analizy makro

STRESS TEST

• Historycznie ceny ropy wzrastały o 50%, kurs

dolara zmianiał się o 20%, kurs złotego nawet o

360%, stopy procentowe o kilkanaście %

• Metoda sceneriuszy polega na odtworzeniu zdarzeń

z przeszłości (symulacja historyczna) i

przetestowaniu ich

• Tu wybiera się cenę historyczną i dokonuje się

przeliczenia portfela lub strumienia po tej cenie

• Testowanie może dotyczyć klasy aktywów, ale też

towarów, grupy państw

CRASH TEST

• NP.+-50% -SKUTEK DLA FIRMY PRZY

DRAMATYCZNYCH ZMIANACH

• Parametr ryzyka pochodzi nie z kalkulacji odchylenia

standardowego, ale ze scenariusza katastroficznego (disaster

secenario, worst case scenario)

• Finansowe trzęsienia – Rynek akcji 1987, obligacji 1994,

Orange County, Barings rzeczywiste trzęsienie ziemi w

Kobe, NY 11.09.2001

• Wymagania regulatorów Standard Portfolio Analysis

System SPAN, Basel , US Comptroller

HEDGING A WARTOŚĆ

DODANA

• Czy zarządzanie ryzykiem dodaje wartości?

• Teoretycznie nie dodaje akcjonariuszom, bo

oni mogą to zrobić sami (restrykcyjne

założenia - brak podatków, doskonałe rynki,

symetryczna informacja)

• Np. wyższa stopa % odzwierciedla wyższe

ryzyko pożyczki cost of financial distress

(hedging na stopę % może zmniejszyć

ryzyko pożczkodawców)

PRAKTYCZNE ASPEKTY

ZARZĄDZANIA RYZYKIEM

KRZYSZTOF KALICKI

ANALIZA RYZYKA -

POCZĄTEK

• Jakie są oczekiwania

zmian rynkowych?

• Jakie są potrzeby w

zakresie zarządzania

ryzykiem?

• Porównanie

alternatyw

• Określ ryzyko

• Ustal miary określające

dopuszczalne ryzyko

• Zbadaj alternatywy

• Określ rekomendowane

rozwiązania

• Okeśl koszty

• Określ ryzyko & korzyści

• Plan działania

DALSZE PYTANIA

• Jak firma powiększa wartość

dla inwestorów

• Które zmienności wpływają na

biznes i finanse firmy

• Jaka jest strategia zarządzania

ryzykiem

• Jakie są efekty:

– przewidywalność wzrostu

– redukcja zmienności

– wzrost wartości

• Jakie są główne

ekspozycje:

– taktyczne

• ryzyko transakcyjne

• ryzyko transalcyjne

– strategiczne

• konkurencyjności

• ekonomiczne

• Jak bitwa i wojna

ANALIZA RYZYKA

POCZĄTEK

• Rodzaj klienta:

konserwatywny,

agresywny,

wyrafinowany,

lekceważacy

• Rodzaj rynku: stopa

%,spread kredytowy,

spread swapowy,

volatility, FX,

commodity, equity

• Pogląd klienta:

• stopy - rosną, maleją

• spread kredytowy - szerszy,

węższy

• spread swapowy - tani,

drogi

• volatility - rośnie, maleje

• kursy walut - aprecjacja,

deprecjacja

• towary - wzrost, spadek

ANALIZA RYZYKA

• Matryca ryzyka:

– analiza wskaźników

– zmiany rynkowe

– wpływ na zmiennne

• Współczynniki

• Analiza finansowa

– funding

– debt/equity

– maturity

– fixed/floating

– waluty

• Ryzyko transakcyjne

– obroty

zagraniczne/sprzedaż

– dług float/fixed

– dług krajowy/zagraniczny

– koszty odsetek

• Ryzyko translacyjne

– aktywa walutowe/ogółem

– straty/zyski translacyjne

– market/book value

– debt/capital

– debt/equity

ORGANIZACJA ANALIZY

RYZYKAWaluta towar stopa% akcje kredyty inne

Przychody

COGS

Koszty stałe

Koszty fin.,

Kapitał obr.

Struktura

AiP

MATRYCA ZARZĄDZANIA

RYZYKIEMDziałąnia Waluta towar stopa% akcje kredyty kraj

Identyfikacj

a ryzyka

Pomiar

ryzyka

Badanie

wrażliwości

Strategia

Instrumenty

Kontrola

zmian

pozycji

ZARZĄDZANIE W TEORII...Motywacje akcjonariuszy/udziałowców:

• Ryzyko sektora

• Umiejętność utrzymania wysokiego poziomu zyskowności

firmy

• Optymalizacja zysku przy danym poziomie

ryzyka inwestycji

• Umiejętność poszerzenia udziału w rynku

• Umiejętność osiągania zaplanowanych wyników

Kompleksowe zarządzanie ryzykiem zapewnia:

• Ograniczoną zmienność przepływów finansowych

• Maksymalizację zysku w długim terminie

• Większą przejrzystość zarządzania

• Mocniejszą pozycję w relacjach z partnerami:

- udziałowcami/inwestorami,

- bankami

- ubezpieczycielami

- partnerami handlowymi

FD

P(FD)’

P(FD)

Wynik finansowy

Rozkład po

zabezpieczeniu

Naturalny

rozkład

FD Skala problemów finansowych

P(FD) Naturalne prawdopodobieństwo wystąpienia

problemów finansowych

P(FD)’ Prawdopodobieństwo wystąpienia problemów

finansowych po zabezpieczeniu ryzyk

System zarządzania ryzykami finansowymi

wspiera management w ich relacjach z

inwestorami

13

2CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 2

1

2

1

2

0 ,,, mxxx

1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF3

1

3

1

3

0 ,,, mxxx

1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF4

1

4

1

4

0 ,,, mxxx

1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CF1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx 1CFN

m

NN xxx 110 ,,,

3CF

4CF

NCF

1CF9CF

24CF

3NCF

11CF

7CF

1

1

1

1

1

0 ,,, mxxx … O …

… R …

… D …

… E …

… R …

CFaR80%

2CF

Market risk factor

scenariusze

Result

CF=CF(Exposure)CF-Distribution

WYZWANIA

MODELOWANIA RYZYKA

• Analiza ilościowa:

• -Wycena finansowa derywatów

podstawowych I egzotycznych

– Wycena warunkowych roszczeń

przy zakupach I sprzedaży (np.

Opusty, prowizje)

– Liczby i techniki kalibracji

• Dzrewa

• Ostateczne luki

• Monte Carlo

– Dynamika stochastycznej

zmienności

• Modelowanie biznesu

– Modele

prognozowania

przychodów I kosztów

– Modelowanie gotówki

I ryzyka w modelach

wielowalutowych

– Planowanie finansowe

kontrola

– Analiza efektywności

CORPORATEMETRICS

• Główne narzędzia:

• Earnings-at-Risk

• Earnings-per-Share-at-Risk

• Cash Flow-at-Risk

ZARZĄDZNIE RYZYKIEM

FINANSOWYM I

KORPORACYJNYMParametr Finanse Korporacja

Zakres RiskMetrics CorporateMetrics

Miara wartości Portfolio

value

Earnings, cash

flow

Rachunkowość Fair value

market to

market

Accrual, market

to market, hedge

accounting

Horyzont Dzień

miesiąc

Plan roczny,

analizy prognozy

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM FINANSOWYM - kozminski.edu.pl · Albert Einstein - wszystko może być tak...

Documents

Transcript of ZARZĄDZANIE RYZYKIEM FINANSOWYM - kozminski.edu.pl · Albert Einstein - wszystko może być tak...