ZAPISY LICZB

Systemy liczbowe

Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczenia liczebności. Innych cyfr używano w Babilonii, jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Umiejętność nazywania liczb wyprzedziła umiejętność ich zapisywania, z czasem jednak wprowadzono znaki, za pomocą których zapisywano liczby. Powstawały zasady tworzenia nowych liczb i tak powstały systemy liczbowe.

Co to jest system liczbowy?

System liczbowy nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach.

System jedno-cyfrowy

Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym, jest system jedynkowy, w którym występuje tylko jeden znak. W tym systemie liczby są tworzone poprzez powtarzanie tego znaku.

Systemy liczbowe

System: karbowy, babiloński, egipski, grecki, rzymski, Majów, arabski, pozycyjny, binarny, oktogonalny, heksodecymalny.

System którego używamy.

System którym się posługujemy to system dziesiętny.

Jest dziewięć znaków hinduskich, oto one: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.Za pomocą tych znaków i znaku 0, który po arabsku zwie się ‘’sifr’’, napisać można wszelką, jaką kto zechce liczbę.

Tak powiedział włoski kupiec z Pizy-Leonardo Fibonacci w swojej księdze ‘’Liber abaci’’.

System dziesiętny został zapoczątkowany w Indiach w V w. n.e., a rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki matematykowi al.-Chwarizmi, który w połowie VIIIw. Przetłumaczył na arabski indyjską książkę o matematyce.

System Rzymski

I=1 V=5 X= 10 L=50 C=100 D=500 M=1000

Podczas zapisywania liczb musimy pamiętać o zasadach.

1.Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród I, X, C, M.

2.Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D.3.Nie może być dwóch znaków oznaczających

liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą.

System karbowy

Potrzeba liczenia pojawiła się wraz z posiadaniem przedmiotów, powstał więc w

naturalny sposób pewien prosty system liczenia.

Był to tzw. system karbowy, który pojawił się około 30.000 lat p.n.e. i

polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną

liczbę. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego,

więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka.

Kości z karbami z przed 30.000 lat p.n.e.

Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski:

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Jednak zapis ten jest mało czytelny, gdyż

łatwo można się pomylić. Aby więc zwiększyć czytelność zapisu

liczb, co piątą kreskę stawiano pod innym katem niż pozostałe karby.| | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | |

Dzięki zaburzeniom łatwiej było zorientować się w wartości liczby.

Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę

zapisywano jeszcze inaczej.| | | | / | | | | X | | | | / | | | | X | | | | / |

System oktogonalny

Systemem dziesiętnym posługujemy się w życiu codziennym, system binarny wykorzystywany jest w informatyce.

System binarny pomimo zalet ma jedną wielką wadę, mianowicie liczby w tym systemie są po prostu długie i do

zapisania dużej liczby potrzeba wielu cyfr. Rozwiązaniem są dwa inne systemy liczbowe, które również mają duże

znaczenie w informatyce. Są to system oktogonalny (ósemkowy) oraz system heksadecymalny (szesnastkowy).

Systemy te wprowadzono dla wygody informatyków, służą do skracania długości zapisu dużych liczb.

  

Nietrudno zauważyć, że liczba 8 i 16 to odpowiednio trzecia i czwarta potęga dwójki. Okazuje się, że każdym

trzem cyfrom systemu binarnego odpowiada jedna cyfra systemu ósemkowego, a każdym czterem cyfrom systemu

binarnego odpowiada jedna cyfra systemu szesnastkowego. 

W systemie oktogonalnym wyróżniamy 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a podstawową jest cyfra 8.

System heksadecymalny

System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na

liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę.

Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb

w mniejszych przestrzeniach pamięci.   W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

System babiloński

Cywilizacja babilońska rozkwitła w Mezopotamii wypierając wcześniejsze cywilizacje Sumerów i Akadyjczyków. Piętno Babilonu odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata starożytnego, a jego echo jest obecne nawet w naszej kulturze współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60 (do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund .Cechą systemu pozycyjnego jest ograniczona ilość cyfr. Te same cyfry są używane wielokrotnie w zapisie liczby. Wartość cyfry zależy od jej pozycji - stąd nazwa system pozycyjny.

Z naszego punktu widzenia system babiloński na pierwszy rzut oka może wydawać się skomplikowany - konieczność operowania aż 59 cyframi (cyfra zero nie była jeszcze znana ani stosowana). W rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla jedności i dla dziesiątek. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków zapisywanych końcem ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd pochodzi charakterystyczny, klinowy kształt pisma:

System Egipski

Powszechnie znany jest fakt, iż Egipcjanie do zapisu słów stosowali hieroglify, czyli obrazki przedstawiające różne przedmioty, postacie czy zwierzęta. Podobnie było z liczbami. System zapisu liczb opierał się na siedmiu hieroglifach przedstawiających kolejne potęgi liczby 10.Aby zapisać w tym systemie określoną wartość, należało powtórzyć odpowiednią liczbę razy właściwe liczebniki. Sposób żmudny, ale skuteczny.

Przykład

System Majów

Starożytni Majowie jako pierwsi na Ziemi odkryli dwie fundamentalne dla matematyki idee - system pozycyjny oraz koncepcję zera. Wynalezienie systemu pozycyjnego przypisuje się kulturze hinduskiej, lecz z badań historycznych wynika jasno, iż Majowie znali i stosowali system pozycyjny przynajmniej 300 lat wcześniej niż Hindusi.

Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Dlaczego? Możemy się jedynie domyślać. Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia.

Do zapisu cyfr Majowie używali tylko trzech symboli (podobnie jak Babilończycy). Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę (tyle mamy palców u ręki). Muszla oznaczała zero. Obok można zobaczyć w tabelce, jak wyglądały kolejne liczebniki Majów. Wartość liczby w tym systemie obliczamy mnożąc cyfry przez kolejne potęgi podstawy, czyli 20, i sumując te iloczyny częściowe.

Przykład

Koniec

Wykonał: Michał Przyślak

i Jacek Pirzecki