Projekt pn. „Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych”realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Wstęp do matematyki

– listy zadań

Piotr Jędrzejewicz

UMK Toruń 2014

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Spis treści

Listy zadań 31. Przykłady zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Rachunek kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Twierdzenia i dowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. Metoda indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146. Zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208. Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239. Teoria mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi 281. Przykłady zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282. Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283. Rachunek kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294. Twierdzenia i dowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305. Metoda indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306. Zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328. Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329. Teoria mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

LISTY ZADAŃ 3

Listy zadań

1. Przykłady zdań

Spójniki logiczne: „∼” – nie, „∧” – i, „∨” – lub, „⇒” – jeśli . . . , to . . . , „⇔” –wtedy i tylko wtedy, gdy, „∨” – albo.

Kwantyfikatory: „∀” – dla każdego, „∃” – istnieje.

1. Czy poniższe zdania są zdaniami logicznymi? Jeśli tak, czy są prawdziwe, czyfałszywe?

(a) Liczba 111 dzieli się przez 3 i przez 11.

(b) Czy 2 · 2 = 4?

(c) 2 · 2 = 4

(d) Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych.

(e) Zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych.

(f) Oblicz 11112.

(g) Zbiór liczb wymiernych.

(h) sinα = 12

(i) Liczba całkowita n dzieli się przez 10.

(j) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2. Sformułuj negacje następujących zdań. W podpunktach (c) – (e) litery a, boznaczają pewne dane liczby rzeczywiste.

(a) Liczba 111 jest nieparzysta i jest liczbą pierwszą.

(b) Kwadrat jest prostokątem lub rombem.

(c) Liczba a jest dodatnia, a liczba b nie jest dodatnia.

(d) a = 0 i b = 0

(e) a = 0 lub b = 0

3. Określ prawdziwość poniższych zdań. Dla każdego z nich sformułuj negację, wmiarę możliwości, na różne sposoby.

(a) Niektóre liczby rzeczywiste są niewymierne.

(b) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

(c) Trójkąt prostokątny nie może być trójkątem równoramiennym.

(d) Suma dwóch liczb nieparzystych jest zawsze nieparzysta.

(e) Każda liczba rzeczywista jest mniejsza od 1010.

(f) Równość x7 + 123x2 − 1 = 0 zachodzi dla pewnej liczby rzeczywistej x.

4. Dane są liczby rzeczywiste a, b. Zapisz symbolicznie poniższe zdania.

LISTY ZADAŃ 4

(a) Jeśli ab = 0, to a = 0 lub b = 0.

(b) Równość 10a = 10b zachodzi dokładnie wtedy, gdy a = b.

(c) Liczba a jest dodatnia, a liczba b – nie.

(d) Liczba a jest mniejsza od b lub liczba b jest mniejsza od a, lub te liczbysą równe.

5. Dane są liczby całkowite m, n. Zapisz symbolicznie poniższe zdania.

(a) Jeśli m jest większe od n, to n nie jest większe od m.

(b) Jeśli iloczyn m · n jest parzysty, to co najmniej jedna z liczb m, n jestparzysta.

(c) Jeśli suma kwadratów liczb m i n jest podzielna przez 3, to liczby m i nteż dzielą się przez 3.

6. Odczytaj zdania:

(a) ∀x∈R x2 6= −1,

(b) ∀a,b∈R a · b = b · a,

(c) ∃x∈Z x2 6 0,

(d) ∼ ∃x∈Z 2x = 1.

7. Zapisz symbolicznie następujące zdania:

(a) Dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność a10 > −10.

(b) Dla dowolnych liczb wymiernych x, y suma x+ y jest liczbą wymierną.

(c) Nie istnieje liczba wymierna w, której kwadrat jest równy 2.

(d) Istnieją liczby całkowite a, b, takie że a · b = −1.

8. Zapisz symbolicznie zdania z zadania 3 (oprócz zdania z 3c) oraz ich negacje.

9. Na płaszczyźnie dany jest czworokąt X. Rozważmy zdania:p = ”wszystkie boki czworokąta X są równe”,q = ”wszystkie kąty czworokąta X są proste”,r = ”czworokąt X jest kwadratem”.

Zapisz przy użyciu powyższych oznaczeń i symboli logicznych zdania:

(a) Wszystkie boki czworokąta X są równe i wszystkie jego kąty są proste.

(b) Czworokąt X jest kwadratem i nie wszystkie jego kąty są proste.

(c) Jeśli czworokąt X jest kwadratem, to ma równe boki.

(d) Jeśli nie wszystkie boki czworokąta X są równe lub nie wszystkie jegokąty są proste, to czworokąt X nie jest kwadratem.

(e) Czworokąt X jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jegoboki są równe i wszystkie jego kąty są proste.

LISTY ZADAŃ 5

2. Rachunek zdań

Spójniki logiczne: „∼” – nie (negacja), „∧” – i (koniunkcja), „∨” – lub (al-ternatywa), „⇒” – jeśli . . . , to . . . (implikacja), „⇔” – wtedy i tylko wtedy, gdy(równoważność), „∨” – albo (alternatywa rozłączna).

Wartość logiczną „fałsz” oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną „prawda”symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe,to piszemy v(p) = 1. Wartości logiczne zdań złożonych określiliśmy następująco:

v(p) v(∼ p)0 11 0

v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p⇒ q) v(p⇔ q) v(p∨ q)0 0 0 0 1 1 00 1 1 0 1 0 11 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 0

1. Zapisz za pomocą spójników logicznych:

(a) alternatywę negacji zdania p i negacji zdania q,

(b) negację koniunkcji zdań p i q,

(c) implikację, której poprzednikiem jest zdanie p, a następnikiem jest alter-natywa zdań p i q,

(d) równoważność zbudowaną ze zdania p oraz implikacji o poprzedniku p inastępniku będącym negacją zdania p.

2. Wyznacz wartość logiczną zdań złożonych, jeśli v(p) = 0 i v(q) = 1:

(a) ∼ (p⇒ q)⇒ (p ∧ (p ∨ q)),(b) ((p ∨ q)∧ ∼ (p ∨ q))⇒ (p⇒ q),

(c) (p ∧ (q ⇒ p)) ∨ (p∨ ∼ (p⇒ q)).

3. Wyznacz wartość logiczną zdań złożonych mając dane wartości logiczne zdańprostych:

(a) (p ∧ q) ∨ (q ∧ (p ∨ q)), v(p) = 0, v(q) = 1,

(b) p⇒ (p⇒ (p⇒ q))), v(p) = 1, v(q) = 0,

(c) ((p ∨ (∼ p)) ∧ (q ∨ (∼ q)))⇒ ((∼ p) ∨ (∼ q)), v(p) = 1, v(q) = 1,

(d) ((∼ (∼ p)) ∧ (∼ (∼ (∼ q)))) ∨ (∼ (∼ (∼ (∼ r)))), v(p) = 1, v(q) = 0,v(r) = 1.

4. Załóżmy, że zdanie ((p∧q)∨r)⇒ (r∨s) jest fałszywe. Znajdź wartości logicznezdań p, q, r, s.

5. Załóżmy, że zdanie p jest fałszywe, a zdanie (r ⇒ s)⇔ (p∧ q) jest prawdziwe.Wyznacz wartości logiczne zdań r i s.

LISTY ZADAŃ 6

6. (a) Jaka jest wartość logiczna zdania p, jeśli wartość logiczna zdania p ⇒ qwynosi 1 dla dowolnego zdania q?

(b) Jaka jest wartość logiczna zdania q, jeśli wartość logiczna zdania p ⇒ qwynosi 1 dla dowolnego zdania p?

7. Sporządź tabele wartości logicznych następujących zdań:

(a) p ∨ (∼ p),

(b) (p ∧ q) ∨ q,(c) (∼ p) ∧ (∼ q),

(d) (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p),

(e) (p ∧ q)⇒ r,

(f) p∨ ∼ (q ⇒ r).

8. Sporządź tabele wartości logicznych następujących zdań:

(a) (p⇔ q)⇔ r,

(b) p⇔ (q ⇔ r),

(c) (p⇔ q) ∧ (q ⇔ r),

(d) (p⇒ q)⇒ r,

(e) p⇒ (q ⇒ r),

(f) (p⇒ q) ∧ (q ⇒ r),

(g) (p⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ∧ (r ⇒ s).

9. Korzystając z logicznej równoważności wyrażeń ∼ (p⇒ q) i p∧(∼ q) sformułujnegacje następujących zdań.

(a) Jeśli trójkąt o bokach a, b, c jest prostokątny, to a2 + b2 = c2.

(b) Jeśli a > 0, to funkcja f(x) = ax+ b jest malejąca lub stała.

(c) Jeśli n jest liczbą pierwszą, to√n jest liczbą niewymierną.

(d) Jeśli x ∈ (0, π), to sinx < 0.

10. Wyraź:

(a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji,

(b) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji,

(c) implikację za pomocą alternatywy i negacji,

(d) implikację za pomocą koniunkcji i negacji,

(e) koniunkcję za pomocą implikacji i negacji,

(f) alternatywę za pomocą implikacji i negacji.

11. Czy można wyrazić:

LISTY ZADAŃ 7

(a) implikację za pomocą alternatywy i koniunkcji,

(b) alternatywę za pomocą koniunkcji i implikacji (*),

(c) koniunkcję za pomocą implikacji i alternatywy (*)?

12. Sprawdź, czy następujące wyrażenia są logicznie równoważne:

(a) ∼ ((∼ p) ∨ q) i p∨ ∼ q,

(b) (∼ p) ∧ (p⇒ q) i ∼ (q ⇒ p),

(c) p i (∼ p)⇒ (q∧ ∼ q),

(d) (p ∧ q)⇒ r i p⇒ (q ⇒ r).

13. Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami:

(a) p ∨ q ∨ (p ∧ q),(b) p ∨ ((∼ p) ∧ q) ∨ ((∼ p) ∧ (∼ q)),

(c) (p⇒ q) ∨ (q ⇒ p),

14. Wyrażenie rachunku zdań nazywamy spełnionym, jeśli przyjmuje wartość „praw-da” dla pewnego układu wartości logicznych zmiennych zdaniowych. Sprawdź,które z poniższych zdań są spełnione:

(a) (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q),(b) (p⇒ q) ∧ (p⇒ ¬q),(c) ((p ∧ q) ∨ (q ∧ r))⇒ ¬(p ∧ r).

LISTY ZADAŃ 8

3. Rachunek kwantyfikatorów

Kwantyfikatory: „∀” – dla każdego, „∃” – istnieje.

Oznaczenia zbiorów: N, N1, Z, Q, R, Q+, R+.

1. Odczytaj zdania:

(a) ∀x<01x< 0,

(b) ∃x>0 x2 = 1000,

(c) ∀x (x 6= 0⇒ ∃y xy = 1),

(d) ∃y ∀x x+ y = x,

(e) ∀x,y [x < y ⇒ ∃z (x < z ∧ z < y].

2. Zapisz symbolicznie poniższe zdania.

(a) Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba naturalna n, taka że sumax+ n jest większa od 1000.

(b) Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna większa od niej o1000.

(c) Nie istnieje największa liczba naturalna.

(d) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od zera.

(e) Między dwiema dowolnymi liczbami rzeczywistymi istnieje trzecia liczbarzeczywista.

(f) Liczba x jest sumą kwadratów pewnych dwóch liczb naturalnych.

3. Sformułuj poniższe zdania z ukrytymi kwantyfikatorami w podanej postacisymbolicznej i określ ich prawdziwość.

(a) Sześcian liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

∀n∈Z (. . . )⇒ (. . . )

(b) Iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest zawsze parzysty.

∀a,b∈Z (. . . )⇒ (. . . )

(c) Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest nieparzysta.

∀n∈Z (. . . )

(d) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych jest parzysta.

∀n∈Z (. . . )

LISTY ZADAŃ 9

(e) Suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

∀a,b∈R (. . . )⇒ (. . . )

(f) Suma dwóch liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną.

∀a,b∈R (. . . )⇒ (. . . )

4. Wskaż zmienne wolne i związane w poniższych wyrażeniach:

(a) ∃x (x > 0⇒ x > 1000),

(b) ∀x (x− 5 = 5⇒ ∃y 2y = x),

(c) ∀x ∀y ϕ(x, y, z),

(d) ∃z ϕ(x, y, z),

(e) (∀x ∃y x < y) ∨ (x < z),

(f) ∃x ∀y [x < y ⇒ (x < z ∨ z < y)].

5. Znajdź zbiory spełniania poniższych form zdaniowych:

(a) (x− 1)(x− 2)(x− 3) = 0, x ∈ N,

(b) (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) = 0, x ∈ N,

(c) x = x, x ∈ R,

(d) ∃x xy = 1, x, y ∈ Q,

(e) ∀x xy = 1, x, y ∈ Q.

6. Jakimi kwantyfikatorami należy poprzedzić formy zdaniowe określone w zbio-rze R, aby otrzymać zdania prawdziwe?

(a) x+ 1 = 1000

(b) x6 + 50 > 0

(c) x+ 17 = 17 + x

(d) x− 17 = 17− x(e) x2 + 2x+ 1 = 0

7. Które z poniższych zdań są prawdziwe?

(a) ∀x∈R ∃y∈R x+ y = 0

(b) ∃y∈R ∀x∈R x+ y = 0

(c) ∀x∈R ∃y∈R x+ y = x

(d) ∃y∈R ∀x∈R x+ y = x

(e) ∀x∈R ∃y∈R y > x

(f) ∃y∈R ∀x∈R y > x

LISTY ZADAŃ 10

(g) ∀m∈N ∃n∈N m > n

(h) ∃n∈N ∀m∈N m > n

(i) ∀m∈N ∃n∈N m > n

(j) ∃n∈N ∀m∈N m > n

8. Zapisz poniższe zdania nie używając kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:

(a) ∀x 6=0 x2 > 0,

(b) ∃x<0 x2 > 1000.

9. Zapisz poniższe zdania używając kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:

(a) ∀x [x < 0⇒ ∀y (y < 0⇒ xy > 0)],

(b) ∃t [t > 0 ∧ ∀x cos(x+ t) = cos x].

10. Określ prawdziwość poniższych zdań. Dla każdego z nich zapisz negację.

(a) ∃x<0 x2 > 1000

(b) ∀x∈Z\{0} ∃y∈Z\{0} xy = 1

(c) ∃b∈N ∀a∈N a+ b = a

(d) ∀x∈Q (x 6= 0⇒ ∃y∈Q xy = 1)

(e) ∃x∈R ∀y∈R ∃z∈R(z = y2 ∧ xyz = 1)

11. Niech n ∈ N. Zdanie ∼ (∀k∈N k2 = n) jest równoważne zdaniu

(a) ∀k∈N k2 = n,

(b) ∀k∈N k2 6= n,

(c) ∃k∈N ∼ (k2 = n),

(d) ∃k∈N k2 6= n.

12. Zdanie ∀x∈R\{0} ∃y∈R\{0} xy = 1 jest równoważne zdaniu

(a) ∃y∈R\{0} ∀x∈R\{0} xy = 1,

(b) ∼ (∃x∈R\{0} ∀y∈R\{0} xy 6= 1),

(c) ∼ (∀x∈R\{0} ∃y∈R\{0} xy 6= 1).

13. Poniższe wyrażenia są prawami rachunku kwantyfikatorów. Podaj przykładyna to, że implikacji nie można zastąpić równoważnościami.

(a) [(∀x∈X ϕ(x)) ∨ (∀x∈X ψ(x))]⇒ [∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x))]

(b) [∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))]⇒ [(∃x∈X ϕ(x)) ∧ (∃x∈X ψ(x))]

(c) prawo przestawiania kwantyfikatorów: (∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y))⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y))

LISTY ZADAŃ 11

4. Twierdzenia i dowody

1. Dla danych liczb całkowitych m, n przez p = p(m,n) oznaczmy zdanie:

”m i n są liczbami nieparzystymi”,

a przez q = q(m,n) zdanie:

”m+ n jest liczbą parzystą”.

(a) Czy p jest warunkiem wystarczającym dla q?

(b) Czy p jest warunkiem koniecznym dla q?

(c) Czy q jest warunkiem wystarczającym dla p?

(d) Czy q jest warunkiem koniecznym dla p?

2. Czy 3 | n jest warunkiem koniecznym, czy wystarczającym, dla:

(a) 6 | n,

(b) n jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych,

(c) suma cyfr liczby n dzieli się przez 3,

(d) n > 2?

3. Które warunki są konieczne, a które wystarczające, na przystawanie trójkątówABC i A′B′C ′:

(a) trójkąty mają odpowiednio równe kąty,

(b) trójkąty mają odpowiednio równe dwa boki i kąt między nimi,

(c) trójkąty się pokrywają,

(d) dwa wierzchołki trójkątów się pokrywają?

4. Sformułuj twierdzenia odwrotne do następujących twierdzeń i zbadaj ich praw-dziwość.

(a) Dla dowolnych x, y ∈ R, jeśli xy = 0, to x = 0 lub y = 0.

(b) Dla dowolnego x ∈ R, jeśli x+ 1 = 2, to (x+ 1)2 = 4.

(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli 2 | a lub 2 | b, to 2 | ab.(d) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli 2 | a i 2 | b, to 2 | a+ b.

(e) Dla dowolnego x ∈ R, jeśli x2 + x = 0, to x3 + 3x2 + 2x = 0.

(f) Dla dowolnego x > 0, jeśli√x+ 1 +

√x+ 4 = 1, to x = 0.

5. Sformułuj twierdzenie: ”W trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższybok” w postaci zamkniętego układu implikacji

p1 ⇒ q1

p2 ⇒ q2

p3 ⇒ q3.

LISTY ZADAŃ 12

6. W trójkącie ABC niech D będzie środkiem boku BC. Wprowadźmy oznacze-nia: x = |AD|, y = 1

2 · |BC|, α = |�BAC|. Uzasadnij, że zachodzi zamkniętyukład implikacji

x > y ⇒ α < 90◦

x = y ⇒ α = 90◦

x < y ⇒ α > 90◦.

Sformułuj zamknięty układ implikacji odwrotnych.

7. Przeprowadź dowody dedukcyjne następujących twierdzeń. Zapisz symbolicz-nie ciągi implikacji składające się na te dowody.

(a) Niech a, b, c będą liczbami całkowitymi różnymi od zera. Jeśli a2 | b ib3 | c, to a6 | c.

(b) Jeśli w trójkącie ABC zachodzi nierówność |AC| > |BC|, to |�ABC| >|�BAC|.

8. Przeprowadź dowody redukcyjne następujących twierdzeń. Zapisz symbolicz-nie ciągi implikacji składające się na te dowody.

(a) Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b zachodzi nierówność

(a+ b)(1a

+1b

) > 4.

(b) Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b zachodzi nierówność

21a

+ 1b

6√ab.

9. Przeprowadź dowody dedukcyjne następujących twierdzeń metodą ”przez przy-padki”, tzn. przez rozważenie możliwych reszt z dzielenia.

(a) Dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n2 + 3n+ 5 jest nieparzysta.

(b) Jeśli liczby całkowite m i n nie są podzielne przez 3, to mn też nie dzielisię przez 3.

(c) Jeśli liczby całkowite m i n nie są podzielne przez 3, to m2 + n2 też niedzieli się przez 3.

10. Udowodnij następujące twierdzenia metodą ”nie wprost”.

(a) Dla dowolnego x ∈ R, jeśli x2 + 3x < 0, to x < 0.

(b) Dla dowolnego x ∈ R, jeśli 2x3 − 3x2 + 3x− 2 > 0, to x > 0.

(c) Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c jeśli a · b > c2, toa > c lub b > c.

(d) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d, jeśli a+ b+ c > d, to a >d

3lub b >

d

3, lub c >

d

3.

LISTY ZADAŃ 13

(e) Jeśli x jest dodatnią liczbą niewymierną, to√

2x+ 3 też jest liczbą nie-wymierną.

(f) Dane są liczby całkowite m i n. Jeśli mn dzieli się przez 3, to m lub ndzieli się przez 3.

(g) Jeśli suma kwadratów liczb całkowitych m i n jest podzielna przez 3, toliczby m i n też dzielą się przez 3.

11. Udowodnij następujące twierdzenia metodą ”przez sprzeczność”.

(a) Dla dowolnego n ∈ N, n > 2, liczba n√

3 jest niewymierna.

(b) Równaniex+ 1x− 1

= 1 nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

(c) Równanie x2 = 4y + 3 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

(d) W każdym trójkącie są co najmniej dwa kąty ostre.

(e) W każdym trójkącie co najmniej jeden z kątów ma miarę > 60◦.

(f) Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, jeśli a2 + b2 = c2, to a lub b jestparzyste.

(g) Niech n będzie liczbą naturalną większą od 1. Jeśli d jest najmniejszymdzielnikiem liczby n większym od 1, to d jest liczbą pierwszą.

LISTY ZADAŃ 14

5. Metoda indukcji matematycznej

Dowód twierdzenia T (n) dla n > 1 metodą indukcji matematycznej składa się zdwóch elementów – bazy indukcji i kroku indukcyjnego.(I) Baza indukcji: T (1).(II) Krok indukcyjny: ∀n>1(T (n)⇒ T (n+ 1)).

1. Co oznacza zapis ∀n>1(T (n) ⇒ T (n + 1)), a co oznacza zapis (∀n>1T (n)) ⇒T (n+ 1). Na czym polega różnica między tymi zdaniami?

2. (a) Przypuśćmy, że sprawdziliśmy pewien wzór dla n = 2 i udowodniliśmy,że dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości tego wzoru dla liczby nwynika jego prawdziwość dla liczby 2n. Dla jakich n możemy ten wzóruważać za udowodniony?

(b) Wiadomo, że do pewnego zbioru A należy liczba 3. Wiadomo również, że(dla dowolnej liczby naturalnej n) jeśli n należy do zbioru A, to n2 należydo zbioru A. Jakie liczby „muszą” należeć do zbioru A?

(c) Ułóż pytanie podobne do postawionych wyżej i znajdź na nie odpowiedź.

3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 zachodzą równości:

(a) 1 + 2 + 3 + . . .+ n = n(n+1)2 ,

(b) 11·2 + 1

2·3 + 13·4 + . . .+ 1

n·n+1 = nn+1 ,

(c) 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = (n(n+1)2 )2,

(d) 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 = n(4n2−1)3 ,

(e) 1 + q + q2 + . . .+ qn−1 = 1−qn1−q , gdzie q 6= 1,

(f) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . .+ n · n! = (n+ 1)!− 1,

(g) 12! + 2

3! + 34! + . . .+ n

(n+1)! = 1− 1(n+1)! .

4. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnego rzeczywistegox > −1 zachodzi nierówność

(1 + x)n ­ 1 + nx.

5. Dowieść, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi nierówność

122

+132

+142

+ . . .+1n2

<n− 1n

.

6. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Wykaż, że:

(a) liczba 7n+2 + 82n+1 jest podzielna przez 57,

(b) liczba 26n+1 + 32n+2 jest podzielna przez 11,

(c) liczba 2n+2 · 3n + 5n− 4 jest podzielna przez 25,

LISTY ZADAŃ 15

(d) liczba 33n+2 + 5 · 23n+1 jest podzielna przez 19,

(e) liczba 32n+2 − 8n− 9 jest podzielna przez 64,

(f) liczba 33n − 26n− 1 jest podzielna przez 169.

7. (a) Wiadomo, że twierdzenie T (n) jest prawdziwe dla n = 3 i n = 5. Ponadto,dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeń T (n) i T (n + 2)wynika prawdziwość twierdzenia T (n+ 4). Dla jakich n twierdzenie T (n)jest prawdziwe?

(b) Do zbioru A należą liczby 10, 11 i 12. Ponadto, dla dowolnej liczby na-turalnej n, jeśli n, n+ 1, n+ 2 ∈ A, to n+ 3 ∈ A. Jakie liczby na pewnonależą do zbioru A?

(c) Ułóż pytanie podobne do postawionych wyżej i znajdź na nie odpowiedź.

8. (a) Ciąg (xn) spełnia warunki: x1 = 1, x2 = 3, xn+2 = 2xn+1 + xn dlan = 1, 2, 3, . . . Wykaż, że

xn =(1 +

√2)n + (1−

√2)n

2

dla n = 1, 2, 3, . . .

(b) Funkcja f : N→ N jest określona następująco:

f(0) = 2, f(1) = 5, f(n+2) = 5f(n+1)−6f(n) dla każdego n ∈ N.

Udowodnij, że f(n) = 2n + 3n dla każdego n.

9. Dane są liczby rzeczywiste a, b, p, q. Udowodnij, że istnieje dokładnie jeden ciągliczb naturalnych (xn) spełniający warunki: x0 = a, x1 = b, xn+2 = pxn+1+qxndla n = 0, 1, 2, . . .

LISTY ZADAŃ 16

6. Zbiory

Symbole dotyczące zbiorów: „∈” – należy, „⊂” – jest zawarty, „∩” – część wspól-na,„∪” – suma, „\” – różnica.

1. Podaj elementy następujących zbiorów:

(a) {1},(b) {{1}},(c) {1, {1}},(d) ∅,

(e) {∅},(f) {a, {a, b}}.

2. Zapisz poniższe zbiory wypisując ich elementy i, ewentualnie, używając wielo-kropka.

(a) Zbiór kolejnych liczb naturalnych od 100 do 110.

(b) Zbiór reszt z dzielenia przez 5.

(c) {x ∈ Z : x2 < 25}(d) Zbiór reszt z dzielenia przez 100.

(e) Zbiór całkowitych wielokrotności liczby 7.

(f) {3k + 1, k ∈ Z}

3. Zbiór parzystych liczb całkowitych można zapisać jako zbiór wszystkich liczbcałkowitych podzielnych przez 2:

{n ∈ Z : 2 | n}.

W podobny sposób, tzn. jako zbiór wszystkich elementów danego zbioru speł-niających pewien warunek, zapisz następujące zbiory.

(a) Przedział (−√

2,√

3].

(b) Zbiór liczb wymiernych leżących między 0 i 1.

(c) {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}(d) Zbiór całkowitych wielokrotności liczby 10.

4. Zbiór nieparzystych liczb całkowitych można zapisać jako zbiór wszystkichliczb postaci 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą:

{2k + 1, k ∈ Z}.

W podobny sposób, tzn. jako zbiór liczb pewnej postaci, zapisz następującezbiory.

LISTY ZADAŃ 17

(a) Zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 11.

(b) Zbiór liczb naturalnych, których cyfrą jedności (w zapisie dziesiętnym)jest 7.

(c) Zbiór rozwiązań rzeczywistych równania sinx = 0.

5. Zbadaj, czy pomiędzy zbiorami A i B zachodzą relacje inkluzji, a następniewyznacz A ∪B, A ∩B, A \B, B \ A dla

(a) A = [0, 2], B = [−1, 1) ∪ [10,∞),

(b) A = {x ∈ N; x < 1000}, B = {x ∈ N; x > 1000},(c) A = {x ∈ R; x > 1000}, B = {x ∈ N; x > 1000},(d) A = {{a, {b}}, c, {b}, {a, b}}, B = {{a, b}, c, {b}},(e) A = {a, {b}}, B = {{a}, {b}}.

6. Dany jest zbiór wszystkich wielokątów na płaszczyźnie i jego trzy podzbiory:A – zbiór wielokątów foremnych,B – zbiór trójkątów,C – zbiór wielokątów posiadających co najmniej jeden kąt prosty.Jakie figury należą do zbiorów: A∩B, A∩B∩C, B∩C, A∩C, B \(A∩C)?

7. Zilustruj graficznie zbiory A, B, A ∪B, A ∩B, A \B, B \ A, A′, B′ dla:

(a) A = {(x, y) ∈ R× R : x+ y > 0},B = {(x, y) ∈ R× R : x− y 6 0},

(b) A = {(x, y) ∈ R× R : y < 1− x2},B = {(x, y) ∈ R× R : y > x2 − 1}.

8. Wykaż, że dla podzbiorów A i B zbioru X zachodzą równości:

(a) A∩ ∼ B = A \B,

(b) A∪ ∼ B =∼ (B \ A).

9. Sprawdź, czy poniższe równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów. Jeśli tak,zilustruj je korzystając z diagramów Venna. Jeśli nie, podaj kontrprzykłady.

(a) A ∩ (A ∪B) = B,

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

10. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości:

(a) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

(b) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),

(c) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

(d) (A \B) ∩ C = (A ∩ C) \B,

LISTY ZADAŃ 18

(e) (A \B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),

(f) (A \B) \ C = A \ (B ∪ C).

11. Niech A, B, C, D będą dowolnymi zbiorami. Udowodnij, że jeśli A ⊂ C iB ⊂ D, to:

(a) A ∩B ⊂ C ∩D,

(b) A ∪B ⊂ C ∪D.

12. Wyznacz zbiory A×B oraz B × A dla:

(a) A = {−1, 0, 1}, B = {0},(b) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}.

13. Zilustruj graficznie zbiory A×B oraz B × A dla:

(a) A = (−1, 1), B = [0, 2],

(b) A = R+, B = Z,

(c) A = (−∞,−10) ∪ (10,+∞), B = {x ∈ Z : |x| > 10}.

14. Wyznacz iloczyn kartezjański

{0, 1} × {1, 2} × {2, 3}.

15. Znajdź zbiór potęgowy 2X dla następujących zbiorów:

(a) X = {1, 2},(b) X = {10},(c) X = {−1, 0, 1},(d) X = {0, 1, 2, 3},(e) X = ∅,

(f) X = {∅},(g) X = {0, 1}2.

16. (a) Znajdź wszystkie elementy indeksowanej rodziny zbiorów (An)n∈I , gdzieI = {1, 2, 3}, An = {k ∈ Z : k2 6 n}.

(b) Znajdź pięć pierwszych elementów indeksowanej rodziny zbiorów (An)n∈N1 ,gdzie An = (n− 5, n+ 5).

17. Znajdź∞⋃n=1

An oraz∞⋂n=1

An dla następujących zbiorów An:

(a) An =[0, 1

n

],

(b) An =(0, 1

n

),

(c) An = [(−1)n, 3 + (−1)n],

LISTY ZADAŃ 19

(d) An =(− 1

n, n2

).

18. Znajdź⋃t∈IAt oraz

⋂t∈IAt, gdy

(a) I = R+, At = (0, t),

(b) I = R+, At = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > t2}.

LISTY ZADAŃ 20

7. Funkcje

Funkcję f : X → Y nazywamy:– różnowartościową, jeśli ∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2), równoważnie: ∀x1,x2∈X f(x1) =f(x2)⇒ x1 = x2,– funkcją „na”, jeśli ∀y∈Y ∃x∈X f(x) = y, czyli Y jest zbiorem wartości,– wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), jeśli jest różnowartościowa i „na”.

Złożeniem funkcji f : X → Y i g : Y → Z nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z, takąże (g ◦ f)(x) = g(f(x)) dla x ∈ X.

Rozważmy funkcję f : X → Y . Dla zbioru A ⊂ X określamy obraz: f(A) ={f(x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x∈A f(x) = y}. Dla zbioru B ⊂ Y określamy przeciwo-braz: f−1(B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}.

1. Która z poniższych funkcji jest różnowartościowa, „na”, a która jest bijekcją?W przypadku funkcji odwracalnych, znajdź, o ile to możliwe, wzór funkcjiodwrotnej.

(a) f : [10, 20]→ R, f(x) = 3x− 7.

(b) f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6}, x 1 2 3 4 5 6f(x) 6 4 2 5 3 1

.

(c) f : (−∞, 0]→ [0,∞), f(x) = x2.

(d) f : N→ N, f(n) = n3 + 10.

(e) f : R→ R, f(x) =

2x+34x+5 , x 6= −5

4 ,12 , x = −5

4 .

(f) f : N→ Z, f(n) =

n2 , gdy n jest liczbą parzystą,−n+1

2 , gdy n jest liczbą nieparzystą.

2. Dla jakich a, b, c, d ∈ R (c 6= 0) funkcja f : R \ {−dc} → R określona wzorem

f(x) = ax+bcx+d jest różnowartościowa?

3. Czy funkcja f : R\{−dc} → R określona wzorem f(x) = ax+b

cx+d , gdzie a, b, c, d ∈R (c 6= 0), może być „na”?

4. Dla jakich a, b, c, d ∈ R (c 6= 0) funkcja f : R \ {−dc} → R \ {a

c} określona

wzorem f(x) = ax+bcx+d jest bijekcją? Znajdź w tym przypadku funkcję odwrotną

do f .

5. Znajdź funkcję odwrotną do danej.

(a) f : R2 → R2, f(x, y) = (2x+ 3y, 4x+ 5y).

(b) f : R× (−π2 ,

π2 )→ R× [0,∞), f(x, y) = (ex cos y, ex sin y).

6. Wyznacz złożenia f ◦ g oraz g ◦ f (o ile istnieją).

(a) f(x) = x2 + 1, x ∈ R; g(x) = x3, x ∈ R.

LISTY ZADAŃ 21

(b)x 1 2 3 4 5

f(x) 5 4 3 2 1,

x 1 2 3 4 5g(x) 1 3 5 2 4

.

7. W jakiej kolejności można złożyć poniższe funkcje? Dla każdej z tych funkcjiokreśl jej przeciwdziedzinę.

(a) f : [0,+∞)→ . . . , f(x) =√x, g : R→ . . . , f(x) = x2 − x+ 1

4 ,

(b) f : [1,+∞)→ . . . , f(x) =√x− 1, g : R→ . . . , f(x) = x2 + x+ 1,

(c) f : R \ {1,−1} → . . . , f(x) = 1+x21−x2 , g : (−∞, 1]→ . . . , f(x) =

√1− x.

8. Przedstaw poniższe funkcje jako złożenia dwóch oraz trzech funkcji:

(a) f(x) =√x6 + 10, x ∈ R,

(b) f(x) = 2x−20 + 30, x ∈ R.

9. Niech X będzie dowolnym alfabetem. Rozważmy funkcje:

rev : X∗ → X∗, rev(a1a2 . . . an) = an . . . a2a1,

head: X∗ \ {ε} → X, head(a1a2 . . . an) = a1,

tail : X∗ \ {ε} → X, tail(a1 . . . an−1an) = an.

Znajdź złożenia funkcji:

(a) rev ◦ rev,

(b) head ◦ rev,

(c) tail ◦ rev.

10. Dla danej funkcji f : X → Y i zbiorów Ai ⊂ X, Bj ⊂ Y wyznacz f(Ai) orazf−1(Bj).

(a) X = Y = R, f(x) = x2 + 2x− 8,

– A1 = (0, 1], A2 = [−2, 2),– B1 = (−∞,−3], B2 = {−7,−6}.

(b) X = Y = R, f(x) = sgnx,

– A1 = [−10, 20), A2 = {1000}, A3 = [−111, 0), A4 = (−12 , 0],

– B1 = [0, 1), B2 = [−1, 1], B3 = {−1}, B4 = (12 , 10).

(c) X = Y = R, f(x) = 1− sinx,

– A1 =[0, 3

2 π], A2 = {0, π}, A3 =

{12 π,

14 π,

16 π}

,

– B1 =(

12 ,∞

), B2 = (−∞, 0], B3 = {2}.

11. Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcjag ◦ f jest różnowartościowa, to funkcja f jest różnowartościowa.

12. Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcjag ◦ f jest „na”, to funkcja g jest „na”.

LISTY ZADAŃ 22

13. (a) Podaj przykład funkcji f : X → Y i takich zbiorów A,B ⊂ X, że A $ Bi f(A) = f(B).

(b) Podaj przykład funkcji f : X → Y i takich zbiorów C,D ⊂ Y , że C $ Di f−1(C) = f−1(D).

14. Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Udowodnij, że:

(a) dla dowolnych zbiorów A,B ⊂ X zachodzi inkluzja

f(A) \ f(B) ⊂ f(A \B),

(b) dla dowolnych zbiorów C,D ⊂ Y zachodzi równość

f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D).

15. Podaj przykład funkcji f : X → Y i takich zbiorów A,B ⊂ X, że:

(a) f(A ∩B) $ f(A) ∩ f(B),

(b) f(A) \ f(B) $ f(A \B).

LISTY ZADAŃ 23

8. Relacje

Mówimy, że relacja % ⊂ X ×X jest:– zwrotna, jeśli ∀x∈Xx%x,– przeciwzwrotna, jeśli ∀x∈X ∼ x%x,– symetryczna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ⇒ y%x,– asymetryczna (antysymetryczna), jeśli ∀x,y∈Xx%y ⇒∼ y%x,– słabo antysymetryczna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ∧ y%x⇒ x = y,– spójna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ∨ y%x ∨ x = y,– przechodnia, jeśli ∀x,y,z∈Xx%y ∧ y%z ⇒ x%z.

Relację binarną nazywamy relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, słaboantysymetryczna i przechodnia. Porządkiem liniowym nazywamy relację częściowegoporządku, która jest spójna.

Relację binarną nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetrycz-na i przechodnia.

1. Rozważmy dowolny niepusty podzbiór A ⊂ R. Określ, które z powyższychwłasności mają następujące relacje binarne w zbiorze A:

(a) xρy ⇔ x < y,

(b) xρy ⇔ x 6 y,

(c) xρy ⇔ x = y,

(d) xρy ⇔ x 6= y.

2. Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze Z \ {0}:

(a) xρy ⇔ x i y są względnie pierwsze,

(b) xρy ⇔ x | y,

(c) xρy ⇔ x | y ∧ y | x.

3. Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze R:

(a) xρy ⇔ |x| < |y|,(b) xρy ⇔ |x| 6 |y|,(c) xρy ⇔ xy > 0,

(d) xρy ⇔ xy > 0.

4. Jakie własności mają następujące relacje binarne określone w zbiorze A:

(a) relacja pusta ρ = ∅ ⊂ A× A,

(b) relacja pełna 4A = A× A?

5. Opisz wszystkie relacje ρ ⊂ A× A, które są:

(a) jednocześnie symetryczne i słabo antysymetryczne,

LISTY ZADAŃ 24

(b) jednocześnie symetryczne i antysymetryczne,

(c) jednocześnie zwrotne i antysymetryczne.

6. Podaj przykład relacji, która:

(a) jest słabo antysymetryczna i nie jest antysymetryczna,

(b) jest przechodnia i symetryczna, ale nie jest zwrotna.

7. Sprawdź, czy następujące relacja „|” jest w danym zbiorze relacją częściowegoporządku.

(a) |⊂ N1 × N1, a | b⇔ ∃c∈N1 b = ac;

(b) |⊂ N× N, a | b⇔ ∃c∈N b = ac;

(c) |⊂ Z× Z, a | b⇔ ∃c∈Z b = ac;

(d) |⊂ Q+ ×Q+, a | b⇔ ∃c∈Q+ b = ac;

8. Określmy relację binarną „4” w zbiorze R2 (czyli 4⊂ R2×R2) w ten sposób,że

(x, y) 4 (z, t)⇔ x 6 z ∧ y 6 t,

dla dowolnych x, y, z, t ∈ R. Sprawdź, że relacja „4” jest częściowym porząd-kiem. Zbadaj analogiczną relację w Rn.

9. Wykaż, że jeżeli (A, ρ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to dla dowol-nego podzbioru B ⊂ A, zbiór (B, ρ ∩ (B × B)) też jest częściowo uporządko-wany.

10. Znajdź (jeśli istnieją) elementy maksymalne, minimalne, największe i naj-mniejsze w zbiorach częściowo uporządkowanych z zadań 7 i 8.

11. W danym zbiorze A ⊂ R2 określmy relację binarną „4” jak w zadaniu 8.Znajdź, jeśli istnieją, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniej-sze.

(a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1},(b) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},(c) A = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| 6 1},(d) A = {(x, y) ∈ R2 : |x+ y|+ |x− y| 6 1},(e) A = {(x, 0); x ∈ R},(f) A = {(x, x); x ∈ R},(g) A = {(0, 0), (−1, 0), (1, 0), (−1

2 , 1), (12 , 1), (0, 2)},

(h) A = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.

12. Uzasadnij, że jeżeli w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje element naj-większy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (mini-malnym).

LISTY ZADAŃ 25

13. Sprawdź, że następujące relacje są relacjami typu równoważności:

(a) ρ1 ⊂ N2×N2, (k, l)ρ1(m,n)⇔ k+n = l+m, gdzie (k, l), (m,n) ∈ N2×N2,

(b) ρ2 ⊂ (Z × (Z \ {0})) × (Z × (Z \ {0})), (a, b)ρ2(c, d) ⇔ ad = bc, gdzie(a, b), (c, d) ∈ (Z× (Z \ {0})).

Dla dowolnej funkcji f : X → Y , w zbiorze X określamy relację binarną (kerf)w ten sposób, że x1(kerf)x2 ⇔ f(x1) = f(x2).

14. Sprawdź, że relacja (kerf) jest relacją typu równoważności.

15. Przeanalizuj przykłady relacji postaci (kerf) dla funkcji head, tail, rev.

16. Jaką zależność między punktami na płaszczyźnie z układem współrzędnych(R2) określają relacje (kerf) dla następujących funkcji:

(a) f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2,

(b) f : R2 → R, f(x, y) = |x|+ |y|.

17. Opisz zbiór klas abstrakcji dla relacji typu równoważności z poprzednich zadań.

LISTY ZADAŃ 26

9. Teoria mocy

1. Podaj przykład ustawienia w ciąg wszystkich elementów zbioru A. Podaj wzórfunkcji f : N1 → A określającej ten ciąg.

(a) A = {n ∈ N : n > 1000}(b) A = {2n, n ∈ N}(c) A = N \ {10, 20, 30}(d) A = N ∪ {−10,−20}(e) A = Z

2. Podaj trzy przykłady ustawienia w ciąg wszystkich elementów zbioru N× N.

3. Podaj nieskończenie wiele przykładów ustawienia w ciąg wszystkich elementówzbioru N.

4. Udowodnij z definicji, że zbiory A i B są równoliczne:

(a) A = (a,+∞), B = (b,+∞), a, b ∈ R,

(b) A = (0, 1), B = (0, 1000),

(c) A = (0, 1], B = [0, 1),

(d) A = {x ∈ Q : x > 0}, B = {x ∈ Q : x < 0},

(e) A ={ 1n, n = 10, 11, 12, 13, . . .

}, B =

{ 1n, n = 100, 101, 102, 103, . . .

},

(f) A = R, B = (1000,+∞),

(g) A = (0, 1), B = (0, 1],

(h) A = (0, 1), B = [0, 1],

(i) A = R, B = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R, y = ax+ b}, a, b ∈ R,

(j) A = R, B = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R, y = x2},(k) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 10}.(l) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : (x−a)2 + (y− b)2 <

r2}, a, b, r ∈ R, r > 0.

5. Wykaż, że następujące zbiory są przeliczalne:

(a) zbiór wszystkich przedziałów otwartych w R o końcach całkowitych,

(b) zbiór wszystkich przedziałów otwartych w R o końcach wymiernych.

6. Uzasadnij, że następujące zbiory figur na płaszczyźnie z kartezjańskim ukła-dem współrzędnych, są przeliczalne:

(a) zbiór wszystkich odcinków, których oba końce mają obie współrzędnewymierne,

LISTY ZADAŃ 27

(b) zbiór wszystkich kół o promieniach wymiernych, których środki mają obiewspółrzędne wymierne,

(c) dowolny zbiór rozłącznych kół.

7. Udowodnij, że następujące zbiory są mocy c:

(a) dowolny zbiór A, taki że (0, 1) ⊆ A ⊆ (0, 2),

(b) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},(c) zbiór wszystkich punktów w R2 o dokładnie jednej współrzędnej wymier-

nej.

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 28

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi

1. Przykłady zdań

1h Uwaga. Odpowiedź zależy od kontekstu, a dokładniej od tego, co jest oznaczo-ne przez α. Jeśli α jest zmienną, za którą możemy podstawić konkretną liczbęrzeczywistą, to dane wyrażenie nie jest zdaniem logicznym. Jeśli α oznaczapewną konkretną liczbę rzeczywistą, to dane wyrażenie jest zdaniem logicz-nym.

1j Dyskusja. Rozpoznajemy tu znany wzór – zdanie prawdziwe dla dowolnychliczb rzeczywistych a, b. W takim zapisie a i b są zmiennymi, więc to niejest zdanie logiczne. W tym przykładzie pojawia się nowy kontekst – na danewyrażenie można patrzeć jak na równość wyrażeń algebraicznych, i wówczasto jest zdanie logiczne.

2b Kwadrat nie jest prostokątem ani rombem.Nieprawda, że kwadrat jest prostokątem lub rombem.

3b Odpowiedź: zdanie prawdziwe. Negacja:Istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest dodatni.Nieprawda, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

6a Dla dowolnego x należącego do R, x do kwadratu jest różne od −1.Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, x kwadrat jest różne od −1.Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest różny od −1.

9d (∼ p∨ ∼ q)⇒∼ r

9e r ⇔ p ∧ q

2. Rachunek zdań

1d p⇔ (p⇒∼ p)

2 (a) 1, (b) 1, (c) 0.

3 (a) 1, (b) 0, (c) 0, (d) 1.

7bp q p ∧ q (p ∧ q) ∨ q0 0 0 00 1 0 11 0 0 01 1 1 1

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 29

8cp q r p⇔ q q ⇔ r (p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)0 0 0 1 1 10 0 1 1 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 1 01 0 0 0 1 01 0 1 0 0 01 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1

9d x ∈ (0, π) i sinx > 0.

10a (p ∧ q)⇔∼ (∼ p∨ ∼ q)

10b (p ∨ q)⇔∼ (∼ p∧ ∼ q)

14a Sposób I. Zdanie (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) jest prawdziwe, gdy oba zdania: p ∨ q,¬p∧¬q są prawdziwe. Zdanie ¬p∧¬q jest prawdziwe tylko, gdy oba zdania pi q są fałszywe. Ale wówczas zdanie p∨ q jest fałszywe. Zatem dane wyrażenienie jest spełnione.Sposób II: tabelka.

3. Rachunek kwantyfikatorów

2b ∀n∈N∃m∈Nm = n+ 1000

2f ∃a,b∈Nx = a2 + b2

4e Zmienne wolne: x, z. Zmienne związane: x, y.

4f Zmienna wolna: z. Zmienne związane: x, y.

8a ∀x(x 6= 0⇒ x2 > 0)

8b ∃x(x < 0 ∧ x2 > 1000)

10a Przykładem liczby x < 0, dla której zdanie x2 > 1000 jest prawdziwe, jestx = −100. Zatem zdanie ∃x<0 x

2 > 1000 jest prawdziwe.

10b Zauważmy, że dla x = 2 zdanie ∃y∈Z\{0} xy = 1 jest fałszywe, ponieważ nie ist-nieje liczba całkowita y 6= 0, taka że 2y = 1. Zatem zdanie ∀x∈Z\{0} ∃y∈Z\{0} xy =1 jest fałszywe.

13c Przykład: ∀y∈R ∃x∈R x < y – prawda, ∃x∈R ∀y∈R x < y – fałsz.

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 30

4. Twierdzenia i dowody

2a Czy 3 | n jest warunkiem koniecznym na to, by n było podzielne przez 6,ponieważ zachodzi implikacja 6 | n⇒ 3 | n. Nie jest to warunek wystarczający,gdyż np. 3 | 3 i 3 - 6, więc dla n = 3 implikacja 3 | n⇒ 6 | n jest fałszywa.

4e Twierdzenie odwrotne:Dla dowolnego x ∈ R, jeśli x3 + 3x2 + 2x = 0, to x2 + x = 0.Zauważmy, że x2 + x = x(x+ 1) oraz x3 + 3x2 + 2x = x(x+ 1)(x+ 2). Zatemdla x = −2 mamy: x3 + 3x2 + 2x = 0, a x2 + x 6= 0. Tym samym twierdzenieodwrotne jest fałszywe.

5 Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Wprowadźmy oznaczenia: a = |BC|, b =|AC|, α = |�BAC|, β = |�ABC|. Wówczas zachodzi zamknięty układ impli-kacji:

α > β ⇒ a > b

α = β ⇒ a = b

α < β ⇒ a < b.

10c Rozważmy dowolne liczby rzeczywiste dodatnie a, b, c. Załóżmy, wbrew tezie,iż nie jest prawdą, że a > c lub b > c, czyli a 6 c i b 6 c. Wówczas a · b 6 c2,więc nie jest prawdą, że a · b > c2. Z negacji tezy wywnioskowaliśmy negacjęzałożenia, co kończy dowód.

11e Przypuśćmy, wbrew tezie, że w pewnym trójkącie każdy kąt ma miarę mniejsząod 60◦. Wówczas suma miar kątów tego trójkąta byłaby mniejsza od 3 · 60◦ =180◦ – sprzeczność.

7b Wskazówka: na boku AC obierz punkt D, taki że |DC| = |BC| i skorzystaj ztego, że trójkąt BCD jest równoramienny.

5. Metoda indukcji matematycznej

1 Odpowiedź. Zapis ∀n>1(T (n)⇒ T (n+ 1)) to inna forma zapisu

(T (1)⇒ T (2)) ∧ (T (2)⇒ T (3)) ∧ (T (3)⇒ T (4)) ∧ . . .

Natomiast zapis (∀n>1T (n))⇒ T (n+ 1) to inna forma zapisu

(T (1) ∧ T (2) ∧ T (3) ∧ . . .)⇒ T (n+ 1).

Powyższe zdanie oznacza, że z prawdziwości twierdzenia T dla wszystkich liczbnaturalnych wynika prawdziwość twierdzenia T dla n+ 1, co jest w oczywistysposób prawdziwe, ale nie na tym polega metoda indukcji. Dlatego w krokuindukcyjnym nie wolno pisać: „Załóżmy, że dla każdego naturalnego n twier-dzenie jest prawdziwe.”

2 Odpowiedź.(a) Dla n = 2k, gdzie k = 1, 2, 3, . . .(b) Liczby postaci 32k , gdzie k = 0, 1, 2, . . .

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 31

4 Rozwiązanie.Dla n = 1 twierdzenie jest prawdziwe, gdyż nierówność

(1 + x)1 ­ 1 + 1 · x

jest prawdziwa dla każdego x.Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że twierdzenie jest praw-dziwe dla n, czyli nierówność

(1 + x)n ­ 1 + nx

jest spełniona dla dowolnego x > −1.Wówczas dla n+ 1 i dowolnego x > −1 mamy

(1+x)n+1 = (1+x)·(1+x)n ­ (1+x)·(1+nx) = 1+nx+x+nx2 ­ 1+(n+1)x,

co kończy dowód kroku indukcyjnego.Na mocy indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego naturalnego n.

7 Odpowiedź.(a) Dla n = 3 + 2k, gdzie k = 0, 1, 2, . . .(b) Liczby naturalne większe lub równe 10.

9 Wskazówka. Tezę zadania należy sformułować, tak aby nadawała się do zasto-sowania metody indukcji. Pokaż indukcyjnie, że dla każdego m istnieje dokład-nie jeden ciąg skończony (x0, x1, . . . , xm) spełniający warunki: x0 = a, x1 = b,xn+2 = pxn+1 + qxn dla n = 0, 1, . . . ,m− 2.

6. Zbiory

1c Zbiór {1, {1}} ma dwa elementy: liczbę 1 i zbiór {1}.

1d Zbiór pusty ∅ nie ma elementów.

1e Zbiór {∅} ma jeden element, tym elementem jest zbiór pusty ∅.

3c {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} = {x ∈ Z : −3 6 x 6 3}

4b {10n+ 7, n ∈ N}

10d Dowód: x ∈ (A \B)∩C ⇔ x ∈ (A \B)∧ x ∈ C ⇔ (x ∈ A∧ x 6∈B)∧ x ∈ C ⇔(x ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ x 6∈B ⇔ x ∈ (A ∩ C) ∧ x 6∈B ⇔ x ∈ (A ∩ C) \B.

10f Dowód: x ∈ (A\B)\C ≡ x ∈ (A\B)∧¬(x ∈ C) ≡ (x ∈ A∧¬(x ∈ B))∧¬(x ∈C) ≡ x ∈ A ∧ (¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C)) ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) ≡ x ∈A ∧ ¬(x ∈ B ∪ C) ≡ x ∈ A \ (B ∪ C).

17a∞⋃n=1

[0, 1

n

]= [0,+∞),

∞⋂n=1

[0, 1

n

]= {0}

17b∞⋃n=1

(0, 1

n

]= (0,+∞),

∞⋂n=1

(0, 1

n

]= ∅

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 32

7. Funkcje

3 Wskazówka. Sprawdź z definicji, czy dla każdego y ∈ R istnieje x ∈ R \ {−dc},

takie że ax+bcx+d = y.

5a f−1 : R2 → R2, f−1(x, y) = (−52x+ 3

2y, 2x− y).

10a f(A1) = (−8,−7], f(A2) = [−9, 0), f−1(B1) = [−1−√

6,−1+√

6], f−1(B2) ={−1−

√3,−1−

√2,−1 +

√2,−1 +

√3}

11 Wskazówka. Jeśli f(x1) = f(x2), to g(f(x1)) = g(f(x2)).

13a Wskazówka. Tu można podać dużo różnych przykładów. Dopasuj zbiory A iB do funkcji f : R→ R określonej wzorem f(x) = x2. Inny przykład: dopasujfunkcję f do zbiorów A = {a}, B = X = Y = {a, b}.

14b Dowód. Weźmy dowolny element x ∈ X. Wówczasx ∈ f−1(C \ D) ⇔ f(x) ∈ C \ D ⇔ f(x) ∈ C ∧ f(x)6∈D ⇔ x ∈ f−1(C) ∧x 6∈f−1(D)⇔ x ∈ f−1(C) \ f−1(D).

8. Relacje

4 Odpowiedź.(a) Relacja pusta ρ = ∅ ⊂ A × A nie jest zwarta (o ile A 6= ∅), jest syme-tryczna, antysymetryczna, słabo antysymetryczna i przechodnia.(b) Relacja pełna 4A = A × A jest zwarta, symetryczna, nie jest antysyme-tryczna (o ile A 6= ∅), jest przechodnia. Jeśli zbiór A jest pusty lub jedno-elementowy, to relacja 4A jest słabo antysymetryczna. Jeśli zbiór A ma conajmniej dwa elementy, to relacja 4A nie jest słabo antysymetryczna.

5 Wskazówka.(a) Dla dowolnych elementów a, b ∈ A, jeśli aρb, to a = b. Zatem ρ ⊂ . . .(b) Założenie, że aρb dla pewnych a, b ∈ A, doprowadza do sprzeczności. Zatemjedyną relacją spełniającą te warunki jest ρ = . . .(c) Założenie, że aρa dla pewnego a ∈ A, doprowadza do sprzeczności. Zatemjedyna możliwość to A = . . .

11 Odpowiedź.(a) Zbiór elementów maksymalnych:

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, x > 0, y > 0} ={

(cos t, sin t); t ∈[0,π

2

]}.

Zbiór elementów minimalnych:

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, x 6 0, y 6 0} ={

(cos t, sin t); t ∈[π,

3π2

]}.

ROZWIĄZANIA, WSKAZÓWKI, ODPOWIEDZI 33

Nie ma elementu największego ani najmniejszego.(b) Nie ma.(c) Zbiór elementów maksymalnych:

{(x, y) ∈ R2 : x+ y = 1, x > 0, y > 0} = {(t, 1− t); t ∈ [0, 1]}.

Zbiór elementów minimalnych:

{(x, y) ∈ R2 : x+ y = −1, x 6 0, y 6 0} = {(−t, t− 1); t ∈ [0, 1]}.

Nie ma elementu największego ani najmniejszego.(d) Element maksymalny i największy: (1

2 ,12). Element minimalny i najmniej-

szy: (−12 ,−

12).

9. Teoria mocy

3 Dla każdego n mamy ciąg:

1, 2, 3, . . . , n, 0, n+ 1, n+ 2, n+ 3, . . .

4c Dwa proste przykłady bijekcji:1) funkcja liniowa f : A→ B, taka że f(1) = 0, czyli f(x) = 1− x,2) funkcja f : A→ B, taka że f(1) = 0 i f(x) = x dla x ∈ (0, 1).

4j Naturalnym przykładem bijekcji jest funkcja f : A → B, f(x) = (x, x2) dlax ∈ A.

7a Skoro (0, 1) ⊆ A ⊆ (0, 2), |(0, 1)| = c i |(0, 2)| = c, to na mocy twierdzeniaCantora – Bernsteina, |A| = c.

6c Wskazówka. Szukaj punktów o obu współrzędnych wymiernych.