Andrzej Łukasik

Wykłady z filozofii przyrody

Część pierwsza

Filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej

1

SPIS TREŚCI

Wstęp ......................................................................................................................................... 3 Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej ........................................................................ 7

Kwantowy charakter zjawisk ................................................................................................ 7 Dualizm korpuskularno-falowy ........................................................................................... 12

Elementy matematyki mechaniki kwantowej ........................................................................... 25

Wektory ............................................................................................................................... 26 Liczby zespolone................................................................................................................. 30 Algebra macierzy ................................................................................................................ 34 Przestrzeń Hilberta .............................................................................................................. 54 Operatory liniowe ............................................................................................................... 60 Elementy rachunku różniczkowego i całkowego ................................................................ 72

Postulaty mechaniki kwantowej ............................................................................................... 79

I: Reprezentacja stanu układu ............................................................................................. 79 II: Reprezentacja wielkości fizycznych ............................................................................... 84 III: Ewolucja stanu układu kwantowego w czasie ............................................................... 86 IV: Postulat pomiaru ........................................................................................................... 87 Podsumowanie .................................................................................................................... 90

Indeterminizm mechaniki kwantowej ...................................................................................... 96

Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa ....................................................... 100 Zasada nieoznaczoności Heisenberga ............................................................................... 118

Problem pomiaru w mechanice kwantowej ............................................................................ 132

Eksperyment z opóźnionym wyborem .............................................................................. 133 Kot Schrödingera .............................................................................................................. 138 Przyjaciel Wignera ............................................................................................................ 140 Pomiar zerowy .................................................................................................................. 140

Kwantowe splątanie ............................................................................................................... 145

Paradoks EPR .................................................................................................................... 145 Nierówność Bella .............................................................................................................. 152 Realizm i lokalność w mechanice kwantowej ................................................................... 154

2

Interpretacje mechaniki kwantowej ....................................................................................... 158

Interpretacja kopenhaska ................................................................................................... 160 Ukryty porządek ................................................................................................................ 165 Interpretacja wielu światów .............................................................................................. 169 Sumy po historiach ............................................................................................................ 173 Wszechświat uczestniczący............................................................................................... 189 Interpretacja transakcyjna ................................................................................................. 190 QBism ............................................................................................................................... 192 Interpretacja statystyczna .................................................................................................. 193 OR ..................................................................................................................................... 194 Dekoherencja .................................................................................................................... 197

Kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składników materii ..................................... 199 Zakończenie ........................................................................................................................... 219 Bibliografia ............................................................................................................................ 220 Indeks ..................................................................................................................................... 229

3

Wstęp

W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki kwan-

towej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […] Fizyka

klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się bezpo-

średnio z zagadnieniem podstawowych składników materii.

Eyvind H. Wichmann1

Sposób, w jaki musimy opisać Naturę, jest dla nas na ogół niepojęty.

Richard P. Feynman2

Praca niniejsza przeznaczona jest głównie dla studentów kierunków hu-

manistycznych, przede wszystkim filozofii i kognitywistyki, zainteresowa-

nych podstawami i filozoficznymi zagadnieniami mechaniki kwantowej.

Jej celem jest również dostarczenie wiedzy niezbędnej do samodzielnego

studiowania fachowej literatury dotyczącej filozoficznych zagadnień me-

chaniki kwantowej.

W trakcie wykładów monograficznych o filozoficznych zagadnieniach

mechaniki kwantowej, jakie prowadziłem dla studentów filozofii i kogni-

tywistyki Instytutu Filozofii Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w

Lublinie okazało się, że zagadnienia te cieszą się dużym zainteresowaniem

adeptów nauk humanistycznych. Pewien problem jednak związany jest z

tym, że w szkolnej edukacji poprzestaje się zwykle na fizyce klasycznej (i

to w bardzo ograniczonym zakresie), a informacje na temat mechaniki

kwantowej mają charakter szczątkowy. Ponadto ze względu na brak wiedzy

_____________ 1 E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, tłum. W. Gorzkowski, A. Szymacha, Państwowe

Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, s. 17. 2 R. P. Feynman, QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska, Pań-

stwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992, s. 81.

4

na temat podstaw formalizmu matematycznego studenci kierunków huma-

nistycznych zainteresowani filozoficznymi zagadnieniami mechaniki

kwantowej skazani są niemal wyłącznie na literaturę o charakterze popu-

larnonaukowym. Oczywiście jest wiele godnych polecenia książek i arty-

kułów na ten temat, jednak ograniczenie się do literatury popularnonauko-

wej, w której na ogół unika się symboli matematycznych, często prowadzi

do powierzchownego rozumienia zagadnień, a nawet do nieporozumień.

Dobrym przykładem może być utożsamienie nieoznaczoności, o jakiej

mowa w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga z potocznie rozumianą nie-

dokładnością lub niepewnością, podczas gdy w rzeczywistości chodzi o

średnie odchylenie standardowe, wielkość precyzyjnie zdefiniowaną w sta-

tystyce matematycznej. Podobnie, fakt, że cząstki elementarne, takie jak

elektrony czy fotony przejawiają również własności falowe jest dość po-

wszechnie znany, ale większość osób skłonna jest wyobrażać sobie fale

mechaniki kwantowej na podobieństwo fal na wodzie, a więc jako drgania

jakiegoś ośrodka materialnego, podczas gry naprawdę chodzi o całkowicie

abstrakcyjne obiekty, a mianowicie o fale prawdopodobieństwa, zdefinio-

wane przy użyciu liczb zespolonych. Przyjąłem założenie, że Czytelnik nie

posiada żadnej ugruntowanej wiedzy na temat mechaniki kwantowej, a

znajomość matematyki najwyżej na poziomie szkoły średniej, dlatego za-

mieściłem elementarne wiadomości na temat formalizmu matematycznego

wykorzystywanego w mechanice kwantowej.

Rozdział Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej zawiera pod-

stawowe informacje na temat kwantowego charakteru zjawisk i dualizmu

korpuskularno-falowego. Rozdział Elementy matematyki mechaniki kwan-

towej stanowi elementarne wprowadzenie do formalizmu mechaniki kwan-

towej. Ponieważ praca niniejsza w żadnym wypadku nie jest podręczni-

kiem mechaniki kwantowej, to jedynym celem tego rozdziału jest omówie-

nie znaczenia używanych symboli i pokazanie na bardzo prostych przykła-

dach, jak działa ten formalizm. Wektory, liczby zespolone, macierze, prze-

strzeń Hilberta, operatory liniowe oraz rachunek różniczkowy i całkowy to

elementy języka mechaniki kwantowej. Zapewne dla adepta studiów hu-

manistycznych będzie to najtrudniejsza część książki, ale włożony w jej

5

zrozumienie wysiłek sowicie się opłaci. Po przedstawieniu podstaw forma-

lizmu omówione są Postulaty mechaniki kwantowej. Pierwsza część pracy

ma więc bardziej matematyczny i fizyczny niż filozoficzny charakter, po-

winna jednak pomocna w zrozumieniu filozoficznych zagadnień mecha-

niki kwantowej. W rozdziale Indeterminizm mechaniki kwantowej przepro-

wadzono dyskusję zasady nieoznaczoności Heisenberga i kwantowome-

chanicznego pojęcia prawdopodobieństwa. W rozdziale Problem pomiaru

w mechanice kwantowej omówione są takie paradoksy, jak kot Schrödin-

gera, eksperyment z opóźnionym wyborem, przyjaciel Wignera i pomiar

zerowy. Rozdział Kwantowe splątanie dotyczy paradoksu Einsteina, Po-

dolsky’ego i Rosena, nierówności Bella oraz zagadnienia realizmu i lokal-

ności w mechanice kwantowej. W rozdziale Interpretacje mechaniki kwan-

towej przedstawiona jest kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej

Bohra i Heisenberga oraz wybrane kontrpropozycje – m.in. koncepcja

ukrytego porządku Bohma, interpretacja wielu światów Everetta, interpre-

tacja sumy po historiach Feynmana, interpretacja transakcyjna Cramera,

interpretacja statystyczna, model dekoherencji Żurka oraz interpretacja

obiektywnej redukcji Penrose’a. Rozdział Kwantowomechaniczne pojęcie

elementarnych składników materii ukazuje różnice między pojęciem

cząstki klasycznej a cząstki kwantowej. W Bibliografii poza specjalistycz-

nymi publikacjami dotyczącymi mechaniki kwantowej i jej zagadnień filo-

zoficznych starałem się umieścić również prace o charakterze popularno-

naukowym, z których mogliby korzystać studenci. Wiele ciekawych arty-

kułów dotyczących różnych zagadnień mechaniki kwantowej można zna-

leźć w czasopismach „Świat Nauki” i „Wiedza i Życie”. Polecam również

stronę internetową arXiv.org, która zawiera nieprzebrane wprost bogactwo

prac dotyczących omawianych tu zagadnień. Wybrane kluczowe terminy

podaję również w języku angielskim, co ma na celu ułatwienie Czytelni-

kowi studiowanie tekstów anglojęzycznych.

Mechanika kwantowa jest powszechnie uznawana za najdoskonalszą

teorię fizyczną, jaką kiedykolwiek skonstruowano, a dokładność jej prze-

widywań jest wprost imponująca. Na przykład w elektrodynamice kwanto-

wej (QED – quantum electrodynamics), opisującej oddziaływanie światła i

6

materii (czyli elektronów i fotonów), zgodność przewidywań teoretycz-

nych z wynikami pomiarów pewnej wielkości fizycznej, zwanej momen-

tem magnetycznym elektronu jest rzędu 10-11, co odpowiada zmierzeniu

odległości z Los Angeles do Nowego Jorku (ok. 4 400 km) z dokładnością

grubości włosa ludzkiego (ok. 0,05 mm).3 Zastosowania praktyczne me-

chaniki kwantowej spotykamy zaś dosłownie na każdym kroku – od kom-

putera, przy użyciu którego piszę te słowa, przez telefony komórkowe i

fotokomórki po nanotechnologię i – zapewne w niedalekiej przyszłości –

komputery kwantowe. Co więcej, nawet wydawałoby się tak proste zjawi-

ska jak to, że siedząc na krześle nie przenikam przez jego powierzchnię i

nie spadam w wyniku przyciągania grawitacyjnego Ziemi, chociaż nasze

ciała (jak również krzesła) „zbudowane są” w 99,99 % z próżni, uzyskuje

wyjaśnienie dopiero na gruncie mechaniki kwantowej.

Z fantastyczną dokładnością przewidywań i olbrzymią skalą zastosowań

praktycznych osobliwie kontrastuje fakt, że nie ma jak dotąd jednej, po-

wszechnie przyjmowanej interpretacji mechaniki kwantowej, a obraz

świata, do jakiego teoria ta prowadzi, radykalnie różni się od obrazu świata

ukształtowanego na podstawie naszego codziennego doświadczenia, jest

pełen paradoksów i tajemnic, przeczy naszym intuicjom, a nawet – jak się

wydaje – naszej „zwykłej” klasycznej logice. Rozważnie paradoksalnych

aspektów mechaniki kwantowej, takich jak żywy/martwy kot Schrödin-

gera, Einsteina „upiorne działanie na odległość” czy pomiar zerowy, jest

doskonałym ćwiczeniem umysłu, pozwala zobaczyć rzeczy w nowym

świetle i wykroczyć poza ciasne ramy zdroworozsądkowego pojmowania

świata. Studiowanie mechaniki kwantowej i jej filozoficznych konsekwen-

cji pozwala również pozbyć się pewnych przesądów na temat tego, jaki –

naszym zdaniem – „powinien być” świat i poszerza horyzonty umysłowe,

chociaż, być może, na koniec Czytelnik będzie zmuszony zgodzić się z

opinią Feynmana, że „nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”.4

_____________ 3 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 13. 4 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-

ka, Warszawa 2000, s. 137.

7

Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej

Spór o to czy materia ma naturę ciągłą, czy też dyskretną rozpoczął się

jeszcze w starożytnej filozofii przyrody. Znakomita większość filozofów

była przekonana o tym, że materia jest ciągła i nie istnieją ostateczne, dalej

już niepodzielne składniki materii. Pogląd ten implikował oczywiście prze-

konanie, że nie może istnieć próżnia, rozumiana wówczas jako całkowicie

pusta przestrzeń. Taki pogląd głosił między innymi jeden z największych i

zarazem najbardziej wpływowych filozofów starożytności Arystoteles.

Odmiennego zdania byli atomiści Leukippos i Demokryt, którzy utrzy-

mywali, że istnieją ostateczne, wieczne, niezmienne i niepodzielne cząstki

materii, zwane przez nich atomami, które poruszają się odwiecznie w nie-

skończonej przestrzeni. Pogląd ten aż do wieku XVII miał niewielu zwo-

lenników, do czego przyczyniły się zarówno względy naukowe jak i poza-

naukowe, w tym religijne. Dyskusje na temat ciągłości lub nieciągłości ma-

terii oraz możliwości istnienia próżni miały przez wieki charakter całkowi-

cie spekulatywny. Atomizm uzyskał status teorii naukowej dopiero w XIX

wieku – najpierw za sprawą prac Johna Daltona, a następnie dzięki kine-

tyczno-molekularnej teorii materii. Dziś nikt nie ma wątpliwości, że zwy-

kła materia5 składa się z atomów (chociaż wiemy, że nie są one ani niepo-

dzielne, ani wieczne).

Kwantowy charakter zjawisk

Pod koniec XIX wieku, gdy odkryto elektrony, cząstki materii drobniej-

sze niż atomy (J. J. Thomsom, 1897) powstała jakościowo nowa sytuacja

w fizyce: obok pytań o to, jak materia jest zbudowana z atomów, powstał

_____________ 5 Jednak zauważyć należy, że „zwykła materia”, czyli materia, z jakiej zbudowane są

obiekty dane nam w codziennym doświadczeniu, a także odległe galaktyki i inne wi-

dzialne obiekty kosmiczne, stanowi jedynie jakieś 5% zawartości Wszechświata. Około

95% zawartości Wszechświata to ciemna materia i ciemna energia. Nie wiadomo obecnie,

jakiego rodzaju obiekty stanowią ciemną materię, która oddziałuje wyłącznie grawitacyj-

nie.

8

problem o charakterze bardziej fundamentalnym, a mianowicie jak zbudo-

wane są same atomy. Odkrycie jądra atomowego (E. Rutherford, 1911) do-

prowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu, w którym nie-

mal cała masa i cały ładunek dodatni atomu są skoncentrowane w bardzo

małym obszarze (o wielkości rzędu 10-15 m), zwanym jądrem atomowym,

a po orbitach, podobnie jak planety wokół Słońca, krążą ujemnie nałado-

wane elektrony. Rozmiary atomów są rzędu 10-10 m, a więc o pięć rzędów

wielkości większe niż rozmiary jądra. Jeżeli wyobrazimy sobie, że powięk-

szamy rozmiary atomu tak, że jądro atomowe ma wielkość główki od

szpilki, czyli ok. 1 mm (10-3 m), to wówczas pierwsza orbita elektronu

znajdowałaby się w odległości około 100 m od jądra. Okazuje się, że rów-

nież same atomy są „zbudowane” w ponad 99,99 % z pustej przestrzeni.

Model Rutherforda był oparty na koncepcjach fizyki klasycznej, zaś

atomy wydawały się przypominać miniaturowe układy planetarne. Planety

krążą po orbitach, ponieważ są przyciągane siłą grawitacji przez Słońce.

Siła przyciągania elektrycznego między jądrem a elektronem na niemal

taką samą postać matematyczną, jak siła grawitacji, co wydawało się uza-

sadniać analogię budowy atomu z budową układu planetarnego. Jednak

elektron posiada ładunek elektryczny, a poruszając się po orbicie, porusza

się ruchem przyspieszonym (siła przyciągania elektrycznego nadaje mu

przyspieszenie dośrodkowe). Z klasycznej elektrodynamiki Maxwella wia-

domo, że cząstka naładowana poruszająca się ruchem przyspieszonym po-

winna w sposób ciągły promieniować energię, a w rezultacie utraty energii

w bardzo krótkim czasie (jak pokazują obliczenia w czasie rzędu 10-8 s,

czyli stumilionowej części sekundy) elektron powinien spaść na jądro, co

przeczy obserwowalnej stabilności atomów. Poza tym ciągłe promieniowa-

nie atomów było niezgodne ze znanym już wówczas faktem, że każdy pier-

wiastek emituje i absorbuje jedynie ściśle określone dyskretne linie wid-

mowe.6

_____________ 6 Podane tu informacje mają charakter jedynie szkicowy. Czytelnikom zainteresowa-

nym historycznym rozwojem mechaniki kwantowej polecam klasyczną już pracę: M. Jam-

mer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company,

9

Niels Bohr w 1913 roku sformułował model atomu wodoru,7 w którym

wprowadził koncepcję nieciągłych, czyli skwantowanych orbit (wartości

promieni takich orbit mogą przybierać jedynie ściśle określone wielkości).

Zgodnie z nią w atomie istnieją pewne wyróżnione orbity, zwane stanami

stacjonarnymi, na których krążący elektron nie promieniuje energii. Zało-

żenie to było oczywiście sprzeczne z elektrodynamiką klasyczną, ale po-

zwoliło na wyjaśnienie nieciągłego widma atomów oraz zrozumienie bu-

dowy układu okresowego pierwiastków. Zdaniem Bohra, elektrony emitują

lub absorbują światło, gdy „przeskakują” pomiędzy orbitami stacjonar-

nymi. Przeskoki te mają charakter nieciągły – elektron może znajdować się

na jednej orbicie stacjonarnej, w następnej chwili na innej orbicie, ale nie

znajduje się nigdzie pomiędzy tymi orbitami. Postulat Bohra był niewątpli-

wie niezgodny z naszymi intuicjami dotyczącymi ciągłości ruchu. Ponie-

waż wartości energii na orbitach są skwantowane, również emisja lub ab-

sorpcja światła przez elektrony zachodzi w postaci nieciągłych porcji ener-

gii, zwanych kwantami.

Hipotezę kwantów energii wprowadził w 1900 Max Planck.8 Pracował

on wówczas nad problemem zwanym promieniowaniem ciała doskonale

czarnego, czyli – mówiąc prosto – chciał otrzymać matematyczny wzór

_____________

New York 1966. Ukazało się również wydanie poszerzone w 2014 r. Historię odkryć czą-

stek elementarnych i opis metod eksperymentalnych fizyki cząstek elementarnych zawiera

godna polecenia praca: F. Close, M. Marten, Ch. Sutton, The Particle Odyssey. A Journey

to the Heart of the Matter, Oxford University Press, Oxford, New York 2004. O począt-

kach teorii kwantów: Th. Kuhn, Black-Body Theory and Quantum Discontinuity: 1894-

1912, Clarendon Press, Oxford 1978. 7 N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, „Philosophical Magazine”

1913, Series 6, Vol. 26, [w:] http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-Hi-

story/Bohr/Bohr-1913a.html. 8 M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum, „Annalen der

Physik” 1901, Vol. 4, s. 553–563, [w:] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/hi-

story/historic-papers/1901_309_553-563.pdf.; tłum. polskie: M. Planck, O teorii prawa

rozkładu energii w widmie normalnym, tłum. K. Napiórkowski, [w:] S. Butryn (red.), Max

Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa

2003, s. 2–7.

10

opisujący, w jaki sposób ciała promieniują energię w zależności od ich tem-

peratury. Podejmowane wcześniej próby sformułowania teorii promienio-

wania ciała doskonale czarnego na podstawie elektrodynamiki klasycznej,

zgodnie z którą światło jest ciągłą falą elektromagnetyczną, nie dawały po-

prawnych rezultatów. Planckowi udało się sformułować poprawną teorię

przy założeniu, że podczas oddziaływania z materią promieniowanie elek-

tromagnetyczne jest emitowane i absorbowane w sposób nieciągły, czyli

właśnie kwantami. Energia kwantu świetlnego jest proporcjonalna do jego

częstości:

hE

gdzie jest częstością, natomiast h pewną stałą, zwaną współcześnie stałą

Plancka. Jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych i pojawia się

w większości równań mechaniki kwantowej. Jest to stała o wymiarze dzia-

łania, dlatego też nazywana bywa również elementarnym kwantem działa-

nia. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze energia x czas. W ukła-

dzie SI wartość stałej Plancka wynosi w przybliżeniu 6,63 10-34 Js (dżul

razy sekunda). Jest to wielkość niezmiernie mała, co – jak się okazuje –

powoduje, że większości efektów kwantowych nie obserwujemy w świecie

bezpośredniego doświadczenia. Ponieważ w wielu równaniach często po-

jawia się stałą Plancka podzielona przez 2 , oznaczono ją specjalnym

symbolem i nazwano „zredukowaną stałą Plancka”, „kreśloną stałą

Plancka” lub po prostu „h kreślone”.

Albert Einstein w 1905 roku sformułował teorię zjawiska fotoelektrycz-

nego zewnętrznego.9 Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z po-

wierzchni metalu pod wpływem padającego światła. W celu poprawnego

opisu zjawiska założył on, że światło nie jest ciągłą falą elektromagne-

tyczną, jak dotychczas przyjmowano w klasycznej elektrodynamice

Maxwella, ale jest zbiorem cząstek poruszających się z prędkością światła,

które później nazwano fotonami. Energia E fotonu i jego pęd p wyrażają

_____________ 9 A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden

heuristischen Gesichtspunkt, „Annalen der Physik” 1905, Series 4, Vol. 17, s. 132–148.

11

się następującymi wzorami:

hE

c

hhp

gdzie jest częstością, jest długością fali światła, c oznacza prędkość

światła w próżni.

Louis Victor de Broglie w 1924 roku wysunął hipotezę,10 że skoro fale

świetlne mogą zachowywać się jak cząstki, to również cząstki materii, takie

jak elektrony, mogą przejawiać własności falowe. Zgodnie z hipotezą de

Broglie’a, z każdą cząstką o pędzie p (p = mv) związana jest pewna fala

materii o długości:

p

h

Hipoteza ta została potwierdzona w doświadczeniach Davissona i Ger-

menra (1927), w których zaobserwowano interferencję elektronów, czyli

zjawisko typowe dla fal. De Broglie traktował te fale jako realne fale w

trójwymiarowej przestrzeni fizycznej, wiadomo jednak obecnie, że fale

mechaniki kwantowej są tworami nieco bardziej abstrakcyjnymi – falami

prawdopodobieństwa, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.

_____________ 10 W pracy doktorskiej Badania z teorii kwantów (Recherches sur la théorie des Qu-

anta) obronionej na Sorbonie w 1924 roku. Por. Radiation — Waves and Quanta, Note of

Louis de Broglie, presented by Jean Perrin, „Comptes rendus” 1923, Vol. 177, s. 507–510,

trans. by B. & B. Lane, [w:] http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml; L.

de Broglie, The Wave Nature of the Electron, [w:] Nobel Lectures…, Physics 1922–1941,

s. 244–259

12

Dualizm korpuskularno-falowy

W schemacie pojęciowym fizyki klasycznej dysponujemy takimi poję-

ciami, jak cząstki i fale. Są one, podobnie jak inne pojęcia fizyczne, takie

jak na przykład pojęcie siły, idealizacjami mającym swe źródło w świecie

codziennego doświadczenia. Pojęcie cząstki, to w istocie pojęcie „kawałka

materii”. Cząstką możemy nazwać elektron, ziarenko piasku, ale równie

dobrze na przykład kulę bilardową. Co jednak właściwie mamy na myśli

mówiąc, że coś jest cząstką? Przede wszystkim zapewne to, że cząstka ist-

nieje w pewnym dobrze określonym miejscu w czasie i przestrzeni (lub –

używając pojęcia ze szczególnej teorii względności: w czasoprzestrzeni).

Jeżeli w jednym miejscu przestrzeni znajduje się jakaś cząstka, to w tym

samym miejscu w tym samym czasie nie może się znajdować inna cząstka.

Przypisujemy bowiem cząstkom atrybut nieprzenikliwości, zupełnie po-

dobnie, jak traktowano atomy w starożytnej filozofii przyrody. Sądzimy

ponadto, że cząstki posiadają pewne cechy, takie jak kształt, wielkość czy

masę. Traktujemy je również jako obiekty rozróżnialne, posiadające pewną

indywidualność. Jeżeli na przykład na stole bilardowym zamienię miej-

scami kulę białą z czarną, to otrzymam nowy układ kul, czyli nowy stan

rzeczy, przynajmniej zasadniczo rozróżnialny od poprzedniego. Jeżeli za-

mienię miejscami na przykład dwie kule czerwone (powiedzmy przy grze

w snookera), to nawet jeśli nie jestem w stanie rozróżnić, czy kule zostały

zamienione miejscami czy też nie, to – obiektywnie rzecz biorąc – po za-

mianie miejscami kul otrzymuję inny układ niż był wcześniej. Cząstki za-

liczamy do kategorii ontologicznej rzeczy: są to przedmioty istniejące w

czasie i przestrzeni, jednostkowe i konkretne, a ponadto dookreślone pod

względem charakterystyki treściowej.

Poświęćmy teraz nieco uwagi pojęciu fali. Zapewne każdy obserwował

fale na wodzie – mogą się one przenikać i nakładać, czego efektem będzie

zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy drgań. Trudno wyobrazić sobie

fale na wodzie… bez wody. Ruch falowy polega bowiem na drganiu cząstek

pewnego ośrodka materialnego. Fala nie jest rzeczą, lecz należy do ontolo-

13

gicznej kategorii procesu: nie jest obiektem samodzielnym bytowo, to zna-

czy mówiąc prościej: jeśli nie ma wody, to również nie ma fal na wodzie,

ponieważ po prostu nie ma co drgać. W odróżnieniu od cząstek fale po-

nadto nie są obiektami dobrze zlokalizowanymi w przestrzeni, lecz obiek-

tami rozciągłymi; w odróżnieniu od cząstek dwie fale w tym samym czasie

mogą znajdować się w tym samym obszarze przestrzeni (zjawisko interfe-

rencji) i wreszcie w odróżnieniu od cząstek fale nie posiadają indywidual-

ności, to znaczy jeśli przenikają się przez siebie (czyli w pewnej chwili

dwie fale znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni), to nie da się

wskazać na jedną z tych fal i powiedzieć, że to jest „ta” fala w odróżnieniu

od „tamtej”.

Z matematycznego punktu widzenia cząstkę zwykle reprezentujemy

graficznie jako punkt, falę zaś jako sinusoidę (ponieważ falę o dowolnie

skomplikowanym kształcie możemy otrzymać w rezultacie nałożenia na

siebie wielu fal sinusoidalnych o różnych amplitudach i długościach). Z

punktu widzenia fizyki klasycznej coś, co jest cząstką, nie może być zatem

falą i vice versa. Okazuje się jednak, że mikroobiekty przejawiają własno-

ści właściwe zarówno dla cząstek, jak i dla fal.

Omówimy teraz pewien eksperyment, który – jak twierdzi Feynman –

zawiera wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej.11 Jeśli nawet nie

wszystkie, to wiele zdumiewających aspektów mikroświata rzeczywiście

można opisać odwołując się do tego eksperymentu lub do różnych jego

_____________ 11 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński

i S-ka, Warszawa 2000, s. 138. Historyczne ujęcie zagadnienia można znaleźć w pracy: P.

Achinstein, Particles and Waves. Historical Essays in the Philosophy of Science, Oxford

University Press, New York, Oxford 1991; L. V. de Broglie, The Revolution in Physics. A

Nonmathematical Survey of Quanta, transl. by R. W. Niemeyer, The Noonday Press, New

York 1958. Wiele interesujących artykułów na temat różnic między klasycznym a kwan-

towomechanicznym pojęciem elementarnych składników materii można znaleźć w pracy:

E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies. Classical and Quantum Objects in Modern Phy-

sics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1998. O pojęciu cząstek i fal na

gruncie kwantowej teorii pola por. P. Teller, An Interpretive Introduction to Quantum Field

Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1995. O zagadnieniu indywi-

dualności cząstek elementarnych por. S. French, D. Krause, Identity in Physics. A Histo-

rical, Philosophical, and Formal Analysis, Clarendon Press, Oxford 2008.

14

modyfikacji. Dlatego szczegółowa analiza eksperymentu na dwóch szcze-

linach jest niezmiernie ważna dla zrozumienia dalszej części materiału do-

tyczącego mechaniki kwantowej.

Opisany zostanie eksperyment interferencyjny na dwóch szczelinach

najpierw dla klasycznych cząstek, później dla klasycznych fal, a wreszcie

dla cząstek kwantowych, takich jak elektrony czy fotony. W tym ostatnim

wypadku rezultaty są dość zaskakujące.12 Będziemy w dalszej części od-

woływać się do bardzo prostego modelu, podkreślić jednak należy, że nie

mówimy o eksperymentach wyłącznie myślowych, ale eksperymenty tego

typu były wielokrotnie przeprowadzane i przebiegają dokładnie tak, jak tu

zostanie opisane.

Przeprowadźmy najpierw eksperyment z klasycznym cząstkami (por.

rys. #). Układ doświadczalny składa się ze źródła cząstek Z, przesłony z

dwiema wąskimi równoległymi szczelinami S1 i S2 oraz ekranu E, na któ-

rym rejestrujemy liczbę cząstek trafiającą w poszczególne miejsca ekranu.

Odległość między szczelinami jest dużo większa niż rozmiary cząstek i

dużo większa niż długość fali fotonu (w przypadku eksperymentu ze świa-

tłem).

Źródło Z emituje cząstki w kierunku przesłony z dwiema wąskimi

szczelinami S1 i S2. O cząstkach zakładamy, że są trwałe – nie rozpadają się

na części po zderzeniu z przeszkodą czy po trafieniu w ekran. Sytuacja, w

której otwarte są dwie szczeliny przedstawia się następująco: klasyczne

cząstki są niepodzielne i poruszają się po dobrze określonych trajektoriach.

Niektóre z nich przejdą przez szczelinę S1 i trafią w pewien punkt ekranu,

inne zaś przejdą przez szczelinę S2. Każda cząstka może dotrzeć do ekranu

albo przez szczelinę S1 albo przez szczelinę S2. Rozkład cząstek na ekranie

jest następujący (por. rys. #): te cząstki, które przeszły przez szczelinę S1

_____________ 12 Opis tego eksperymentu zawiera każdy podręcznik mechaniki kwantowej i niemal

każda popularnonaukowa praca na ten temat. Osobiście szczególnie polecam opis w: R.

P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 135-156 oraz R. Penrose, Nowy umysł cesa-

rza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo Na-

ukowe PWN, Warszawa 1996. Rozdział 6 książki Penrose’a zatytułowany „Tajemnica

kwantowej magii” stanowi znakomite wprowadzenie do mechaniki kwantowej na pozio-

mie niewymagającym znajomości zaawansowanej matematyki.

15

skupią się w niewielkim obszarze tuż za pierwszą szczeliną, te, które prze-

szły przez szczelinę S2 wylądują naprzeciwko drugiej szczeliny. Gdybyśmy

teraz zamknęli jedną ze szczelin, powiedzmy S1, cząstki mogłyby przele-

cieć tylko przez szczelinę S2 (analogiczną sytuację otrzymujemy przy za-

mknięciu drugiej szczeliny). Obraz, jaki obserwujemy na ekranie, czyli

liczba cząstek w danym miejscu jest równa sumie liczb cząstek, które prze-

szły przez szczelinę S1 i trafiły w ten punkt ekranu plus liczba cząstek, które

przeszły przez S2. Inaczej mówiąc prawdopodobieństwo (czyli w tym wy-

padku względna częstość) znalezienia cząstki w pewnym punkcie ekranu

jest równe sumie prawdopodobieństw cząstek przechodzących niezależnie

przez szczeliny S1 albo S2.

Rys. #. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Możemy to zapisać następująco:

N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S1

N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S2

N12 – prawdopodobieństwo, czyli średnia liczba cząstek trafiających w

dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny S1 i S2

W tym przypadku N12 = N1 + N2. Wykres liczby klasycznych cząstek

trafiających w określone punkty ekranu przedstawia rysunek #.

Rezultat eksperymentu jest łatwy do zrozumienia, ponieważ cząstka kla-

syczna porusza się po określonej trajektorii zupełnie niezależnie od tego,

16

czy jest otwarta jedna szczelina czy też obydwie – cząstka albo trafi w

szczelinę pierwszą albo w drugą albo odbije się od przesłony. Cząstka po

prostu „nie wie” czy otwarta jest jedna szczelina, czy też dwie szczeliny.

Rys. #. Wykresy reprezentujące średnią liczbę cząstek klasycznych przechodzących a)

przez szczelinę S1 (S2 zamknięta) – krzywa N1 albo przez szczelinę S2 (S1 zamknięta) –

krzywa N2, b) obydwie szczeliny otwarte – krzywa N12 = N1 + N2.

Rozważmy teraz podobny eksperyment z klasycznymi falami. Źródło

emituje falę, która dociera do układu dwóch szczelin. Zgodnie z zasadą

Huyghensa, znaną z teorii klasycznego ruchu falowego, szczeliny stają się

źródłami nowych fal, które interferują ze sobą (por. rys. #). Interferencja

jest to zjawisko typowe dla wszelkiego ruchu falowego. Polega ono na na-

kładaniu się fal. Interferują fale na wodzie, fale świetlne, a także fale dźwię-

kowe. W najprostszym przypadku falę możemy przedstawić jako sinuso-

idę, w której położenie względem osi OY odpowiada drganiu cząsteczek

ośrodka. Na przykład na rysunku # punkt A reprezentuje maksymalne wy-

chylenie w górę, punkt B maksymalne wychylenie w dół, natomiast punk

C – brak drgań.

Jeżeli w tym samym obszarze przestrzeni spotykają się dwie fale, to na-

kładają się na siebie – w miejscach, w których drgania cząsteczek ośrodka

17

zachodzą w tym samym kierunku (fale zgodne w fazie) następuje wzmoc-

nienie drgań (interferencja konstruktywna), w miejscach, w których drga-

nia zachodzą w przeciwnych kierunkach następuje wygaszenie drgań (in-

terferencja destruktywna).

Gdy fale docierają do ekranu obserwujemy efekt interferencji: najwięk-

szą amplitudę będzie mieć fala wypadkowa, w której grzbiet fali docho-

dzącej ze szczeliny S1 pokrywa się z grzbietem fali pochodzącej ze szcze-

liny S2. Jest to oczywiście miejsce położone dokładnie pośrodku odległości

między szczelinami – w tym obszarze obserwujemy maksimum drgań, po-

nieważ fale docierające do tego miejsca z obydwu szczelin mają taki sam

dystans do przebycia, czyli będą zgodne w fazie. W miarę oddalania się w

jedną albo drugą stronę od środka ekranu, zaobserwujemy zmniejszenie się

amplitudy drgań a następnie kolejne maksimum drugiego rzędu itd. Otrzy-

mamy zatem charakterystyczny obraz interferencyjny. W przypadku eks-

perymentu ze światłem jest to układ jasnych i na przemian ciemnych prąż-

ków interferencyjnych, przy czym najjaśniejszy prążek znajduje się wła-

śnie pośrodku ekranu.

Rys. #. Interferencja fal: a) konstruktywna, b) destruktywna.

18

Rys. #. Interferencja fal na dwóch szczelinach.

Interesuje nas natężenie fali w poszczególnych punktach ekranu. Natę-

żenie fali jest proporcjonalne do kwadratu modułu amplitudy 2

AI . Je-

żeli mamy do czynienia z dwiema falami, to aby obliczyć natężenie fali w

pewnym miejscu ekranu najpierw musimy dodać do siebie amplitudy fal

pochodzących od szczelin S1 i S2, a następnie podnieść tę sumę do kwa-

dratu:

2

212,1 AAI

Przez 2,1I oznaczyliśmy natężenie fali w danym punkcie ekranu w przy-

padku gdy otwarte są obydwie szczeliny. Oczywiście natężenie sumy fal

nie jest równe sumie natężeń, ponieważ amplituda może mieć wartość do-

datnią albo ujemną, w związku z czym drgania mogą się wzmacniać albo

wzajemnie się tłumić: 2

2

2

12,1 AAI . W przypadku gdy zasłonimy

jedną ze szczelin, to nie wystąpi interferencja. Wykres natężenia fali w po-

szczególnych punktach ekranu dla eksperymentu z klasycznymi falami

przedstawione są na rysunku #.

19

Rys. #. Natężenie fal dla eksperymentu interferencyjnego z klasycznymi falami w przy-

padku, gdy otwarte są obydwie szczeliny.

Rozważmy teraz rezultaty eksperymentu z cząstkami kwantowymi.

Strumień elektronów (lub fotonów) przepuszczamy przez układ dwóch

szczelin. Niech źródło emituje cząstki o bardzo małym natężeniu tak, że w

zadanej jednostce czasu przez układ szczelin przechodzi tylko jedna

cząstka. Ustalmy przede wszystkim, dlaczego w eksperymencie tym mo-

żemy mówić o elektronach jako o cząstkach. Otóż gdy elektron dotrze do

ekranu, pozostawia zawsze ślad w ściśle określonym miejscu, czyli zacho-

wuje się dokładnie tak, jakby był klasyczną cząstką: obiektem o ściśle okre-

ślonej masie, ładunku itd. Nigdy nie obserwujemy aby po wyemitowaniu

ze źródła jednej cząstki powstał ślad w dwóch lub większej liczbie miejsc

na ekranie. Wysyłamy następny elektron i znów otrzymujemy na ekranie

ślad cząstki, kolejny elektron i kolejny ślad itd. Jednak obserwujemy, że w

miarę jak liczba śladów rośnie, zaczyna dziać się coś zaskakującego – ślady

elektronów tworzą charakterystyczny wzór interferencyjny, dokładnie taki,

jak w przypadku interferencji fal.

20

Rys. #. Obraz na ekranie w eksperymencie z dwiema szczelinami dla: a) jednego; b) dzie-

sięciu; c) stu; d) tysiąca elektronów. Stopniowo pojawiają się charakterystyczne prążki

interferencyjne. Obydwie szczeliny otwarte.

Zgodnie z myśleniem opartym na fizyce klasycznej, cząstki poruszają

się po dobrze określonych torach. Zatem elektron przechodząc przez prze-

słonę z dwiema szczelinami, powinien przejść albo przez jedną szczelinę

albo przez drugą – skoro jest niepodzielną cząstką materii nie może przejść

przez obydwie szczeliny równocześnie. Jednak gdyby elektron przechodził

albo przez jedną szczelinę albo przez drugą, wówczas moglibyśmy elek-

trony podzielić na te, które dotarły do ekranu przechodząc przez pierwszą

szczelinę i na te, które dotarły przez szczelinę drugą. Zatem obraz na ekra-

nie powinien być tak sam jak ten, który otrzymaliśmy dla klasycznych czą-

stek. Obserwujemy jednak zupełnie inny obraz – obraz interferencyjny

właściwy dla fal. Wiemy jednak, że elektrony są cząstkami, a w każdym

razie trafiając na ekran zachowują się jak cząstki. Jak zatem cząstki mogą

interferować, skoro interferencja jest zjawiskiem typowym dla fal, a poję-

cie fali i pojęcie cząstki odnoszą się do radykalnie odmiennych obiektów?

Czy zatem jeden niepodzielny elektron przechodzi w jakiś sposób przez

dwie szczeliny równocześnie? Oczywiście możemy tę hipotezę sprawdzić

umieszczając na przykład przy szczelinach odpowiednie detektory: gdy

21

elektron przejdzie w pobliżu jednej szczeliny detektor zareaguje, przeka-

zując nam informację o tym, przez którą szczelinę przeszedł elektron. Oka-

zuje się jednak, że wówczas reaguje tylko jeden detektor, nigdy zaś dwa,

co znaczy, że elektron przechodzi tylko przez jedną szczelinę, nigdy przez

obydwie równocześnie. Jeżeli podjęliśmy próbę określenia, przez którą

szczelinę przechodzi detektor, to znika nam obraz interferencyjny i rozkład

prawdopodobieństw na ekranie jest taki jak w przypadku klasycznych czą-

stek.

Podsumujmy: gdy otwarte są dwie szczeliny i nie podejmujemy próby

określenia przez którą z nich przeszedł elektron, to obserwujemy na ekranie

obraz interferencyjny charakterystyczny dla zjawisk falowych – w tym sen-

sie elektrony zachowują się jak fale. Jednak obraz ten składa się z pojedyn-

czych śladów, takich jakie zostawiłyby pojedynczo trafiające na ekran

cząstki. Gdybyśmy chcieli twierdzić, że wprawdzie nie wiemy, przez którą

szczelinę przeleciał elektron, ale – skoro jest niepodzielną cząstką – to mu-

siał przelecieć albo przez jedną albo przez drugą szczelinę, to takie twier-

dzenie jest z pewnością fałszywe, ponieważ wówczas nie nastąpiłaby wów-

czas interferencja, czyli obraz na ekranie byłby zupełnie inny ot tego, który

obserwujemy. Najbardziej zdumiewające jest nie to, że elektrony inaczej

zachowują się, gdy „nie są obserwowane”, a inaczej, gdy „są obserwo-

wane” – obserwacja, przez którą szczelinę przechodzi elektron jest przecież

związana z oddziaływaniem między elektronem a detektorem, ale to, że

elektrony jak gdyby „wiedziały” czy otwarta jest tylko jedna ze szczelin,

czy też obydwie, ponieważ sytuacje te prowadzą do całkowicie odmien-

nych obrazów cząstek na ekranie. Jeszcze bardzie zdumiewające jest to, że

otwarcie drugiej szczeliny, czyli otwarcie elektronowi drugiej drogi spra-

wia, że w pewne punkty ekranu, w które mógł elektron trafić, gdy otwarta

była tylko jedna szczelina, teraz trafić nie może. Wszelkie porównania z

zachowaniem rzeczy ze świata makroskopowego wypadają w mechanice

kwantowej dość sztucznie, ale niektóre z nich pozwalają bardziej uświado-

mić sobie niezwykły charakter zjawisk na poziomie kwantowym: po-

wiedzmy, że mam w pokoju dwa okna, z których jedno jest zasłonięte za-

słoną. W słoneczny dzień odsłaniam w pewnej chwili zasłonę i w rezultacie

22

w niektórych miejscach pokoju robi się… ciemniej. Odsłaniając elektro-

nowi (lub fotonowi) drugą drogę sprawiam, że pewne miejsca na ekranie

stają się dla niego nieosiągalne.

Rys. # Interferencja elektronów na dwóch szczelinach.

Poprawny opis eksperymentu interferencyjnego polega na przypisaniu

poszczególnym elektronom pewnej liczby zespolonej, zwanej amplitudą

prawdopodobieństwa. Jeżeli elektron może dotrzeć do ekranu dwiema róż-

nymi drogami, to aby uzyskać zgodny z doświadczeniem rezultat, musimy

dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla tych dwóch możliwo-

ści, a następnie obliczyć prawdopodobieństwo trafienia elektronu w okre-

ślony punkt podnosząc sumę tych amplitud do kwadratu:

2

212,1 AAP

23

Zauważmy w przypadku klasycznych fal mówimy o amplitudach trój-

wymiarowych fal w przestrzeni fizycznej, natomiast w wypadku zjawisk

kwantowych są to zespolone (czyli wyrażane wielkościami zespolonymi)

amplitudy prawdopodobieństwa (pojęcie to zostanie szerzej omówione w

dalszej części pracy). W tym wypadku prawdopodobieństwo znalezienia

elektronu w pewnym punkcie ekranu nie jest równe sumie prawdopodo-

bieństw znalezienia elektronu, który dotarł do ekranu przez szczelinę

pierwszą plus prawdopodobieństwo tego, że dodarł do ekranu przez szcze-

linę drugą. „Elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak pociski,

ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone takim wzo-

rem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się jednocześnie

jak cząstka i jak fala”.13

Nasuwa się pytanie, czy elektrony (lub fotony lub jakiekolwiek inne

obiekty opisywane przez mechanikę kwantową) są „naprawdę” cząstkami

czy też falami? Pytanie takie chyba odzwierciedla jedynie ograniczoność

naszej wyobraźni w odniesieniu do mikroświata. W fizyce klasycznej,

która wyrosła przecież z obserwacji świata codziennego doświadczenia,

rzeczywiście dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstka i fala, jednak w

mikroświecie odległym od naszego bezpośredniego doświadczenia takie

pojęcia mają ograniczony zasięg stosowalności. Jak pisze Leon N. Cooper

„światło jest falą lub cząsteczką w stopniu nie większym, niż ten, w jakim

siła jest wektorem a kamyki liczbami. Znajomość matematycznej struktury

fal i nasze obserwacje światła, nasuwają nam przekonanie, że możemy połą-

czyć z fizyczną realnością, jaką jest światło, twór matematyczny znany nam

jako fala i że struktura i relacje matematyczne fal w ich świecie, są w jakiś

sposób odbiciem struktury i relacji światła w świecie realnym”.14 Mikroob-

iekty nie są podobne do niczego, co znamy z naszego codziennego doświad-

_____________ 13 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 147. 14 L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, tłum. J. Kozubowski, Z. Majewski, A. Pindor, J.

Prochorow, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, s. 270.

24

czenia. „Fotony i elektrony zachowują się w sposób nie mający żadnego od-

powiednika klasycznego, w sposób kwantowomechaniczny”.15 Nie potra-

fimy sobie poglądowo przedstawić ruchu elektronów pomiędzy aktem emi-

sji ze źródła i aktem detekcji na ekranie, ale potrafimy to zjawisko precy-

zyjnie opisać formalizmem matematycznym mechaniki kwantowej.

_____________ 15 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 136.

25

Elementy matematyki mechaniki kwantowej

Przed prezentacją pojęciowych podstaw i dyskusją filozoficznych za-

gadnień mechaniki kwantowej omówione zostaną na dość elementarnym

poziomie elementy formalizmu matematycznego, niezbędnego dla zrozu-

mienia omawianych zagadnień.16 Ponieważ stan układu kwantowomecha-

nicznego w pewnej chwili t jest reprezentowany przez wektor z zespolonej

przestrzeni Hilberta, należy nieco miejsca poświęcić najpierw wektorom i

liczbom zespolonym, a następnie omówić strukturę przestrzeni Hilberta.

Wielkości mierzalne w mechanice kwantowej są reprezentowane przez

operatory działające w przestrzeni Hilberta, dlatego podano podstawowe

informacje na temat rachunku operatorowego. Operatory natomiast są re-

prezentowane przez odpowiednie macierze, stąd paragraf dotyczący ra-

chunku macierzowego. Dynamikę układu opisuje równanie Schrödingera,

_____________ 16 Szerzej o matematycznych podstawach mechaniki kwantowej w ujęciu na prze-

strzeni Hilberta szczególnie polecam następujące prace: R. Shankar, Mechanika kwan-

towa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007; S. Szpi-

kowski, Podstawy mechaniki kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006; L. I. Schiff,

Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977; M. Grabow-

ski, R. S. Ingarden, Mechanika kwantowa. Ujęcie w przestrzeni Hilberta, Państwowe Wy-

dawnictwo Naukowe, Warszawa …; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana

wykłady z fizyki, t. III. Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, War-

szawa 1974 (i wydania późniejsze); D. Z. Albert, Quantum Mechanics and Experience,

Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 1992; J. Bub, The

Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht – Hol-

land / Boston – U. S. A. 1974; R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący prze-

wodnik po prawach rządzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka,

Warszawa 2006. Omówienie matematycznych podstaw mechaniki kwantowej z ukierun-

kowaniem na zastosowania w kognitywistyce zawiera praca: J. R. Busemeyer, P. Bruza,

Quantum Models of Cognition and Decision, Cambridge University Press, Cambridge

2014. Znakomite wprowadzenie do mechaniki kwantowej zawierające niezbędny aparat

matematyczny stanowi praca: L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics. The Theo-

retical Minimum, Penguin Random House UK 2015. Warto również polecić całkowicie

pozbawione matematyki wprowadzenie J. Al.-Kalili, Kwanty. Przewodnik dla zdezorien-

towanych, tłum. U. i M. Seweryńscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

26

które jest równaniem różniczkowym. Zrozumienie znaczenia tego równa-

nia wymaga zatem znajomości podstaw rachunku różniczkowego i całko-

wego. Przyjęto założenie, że Czytelnik dysponuje wiedzą z matematyki na

poziomie szkoły średniej i nie posiada wiedzy na temat liczb zespolonych,

macierzy, operatorów czy równań różniczkowych. Rozdział ten jednak w

żadnym wypadku nie pretenduje do podręcznikowego ujęcia mechaniki

kwantowej – jego celem jest wyłącznie wyjaśnienie najważniejszych for-

muł matematycznych używanych w tej teorii, które kryją się za takimi po-

jęciami, jak superpozycja stanów, splątanie, wektory i wartości własne czy

redukcja wektora stanu. Czytelnicy znający wspomniane elementy forma-

lizmu matematycznego mogą oczywiście ten rozdział pominąć.

Wektory

Pojęcie wektora znane jest ze szkolnej matematyki. Przedstawiamy go

zwykle jako strzałkę i mówimy, że wektor ma określoną długość, kierunek

i zwrot. Wektory odgrywają bardzo ważną rolę w fizyce, ponieważ wiele

wielkości fizycznych to właśnie wielkości wektorowe. Przykładami takich

wielkości są wektor położenia r

, prędkość v

, przyspieszenie a

, pęd

vmp

, moment pędu vrml

czy siła F

(znaczenie symbolu „” zo-

stanie wyjaśnione niebawem). Innym rodzajem wielkości fizycznych są

wielkości skalarne, takie jak masa m, temperatura T, energia E, czy czas t.

Wartości wielkości skalarnych wyrażane one po prostu liczbami, czyli ska-

larami.

Jeżeli mówimy, że ciało porusza się ruchem zmiennym pod wpływem

działającej siły, to sensowne jest zapytanie: w jakim kierunku działa siła?

Od kierunku i wartości działania siły zależy bowiem ruch ciała. Jeżeli na-

tomiast ktoś mnie pyta o godzinę, odpowiem po prostu, że jest, na przykład,

12:36 i nikt nie będzie pytał „w którą stronę”.

Na wektorach można wykonywać określone działania. Wektor można

pomnożyć przez liczbę rzeczywistą a. Otrzymujemy wówczas wektor rów-

noległy do naszego wyjściowego wektora o długości większej (gdy 1a )

lub mniejszej (gdy 1a ). Gdy 0a otrzymujemy wektor skierowany

27

przeciwnie (por. rys. #). W szczególności gdy 1a , to wektor taki nazy-

wamy wektorem przeciwnym. Wektor 0

nazywamy wektorem zerowym, na-

tomiast wektor 1

wektorem jednostkowym.

Dodawanie wektorów vuw

odbywa się następująco: początek dru-

giego wektora przykładamy w punkcie reprezentującym koniec pierwszego

wektora. Wektor wypadkowy ma początek w początku pierwszego wektora

i koniec w końcu drugiego wektora (por. rys. #). Rezultatem dodawania

wektorów jest wektor.

Wektory można również mnożyć przez siebie (dzielenie przez wektor

nie jest zdefiniowane). Określone są dwa rodzaje iloczynów wektora przez

wektor.

Iloczyn skalarny (oznaczany symbolem „ ”) dwóch wektorów u

i v

jest liczbą o wartości równej iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa

kąta pomiędzy nimi:

cosvuvu

,

gdzie v

oznacza długość wektora. Zauważmy, że jeżeli dwa wektory są

do siebie prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0 ( 090cos o ).

Długość wektora obliczmy następująco: każdy wektor możemy rozło-

żyć na składowe w kartezjańskim układzie odniesienia, albo – inaczej mó-

wiąc – w pewnej bazie. Na rysunku # przedstawiono składowe wektora na

płaszczyźnie XY. Oznaczymy jest ),( yx vv .

Rys. #. Składowe wektora na płaszczyźnie

28

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

222

yx vvv

stąd:

22

yx vvv

W przypadku płaszczyzny dowolny wektor możemy zapisać jako:

),( yx vvv

,

dla przestrzeni trójwymiarowej:

),,( zyx vvvv

.

Chociaż nasza wyobraźnia jest trójwymiarowa i nie potrafimy sobie wy-

obrazić przestrzeni cztero- czy dziesięciowymiarowej, to jednak z matema-

tycznego punktu widzenia możemy mówić o cztero-, pięcio- a nawet nie-

skończeniewielowymiarowej przestrzeni. Wówczas wektor możemy zapi-

sać następująco:

...),...,( 21 ivvvv

,

gdzie symbole i = 1, 2, … oznaczają kolejne składowe wektora. Długość

składowej wektora jest równa długości rzutu prostokątnego tego wektora

na kierunek i-tego wektora bazy.

Biorąc pod uwagę składowe wektorów w danej bazie mnożenie wektora

przez liczbę, sumę wektorów i iloczyn skalarny możemy zapisać następu-

jąco:

,...),( 21 avavva

,

29

,...),( 2211 vuvuvu

,

,...),( 2211 vuvuvu

.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów (oznaczany symbolem „”) jest

wektorem w

skierowanym prostopadle do płaszczyzny, na której leżą wek-

tory u

i v

o długości równej:

sinvuw

Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0, to wektory te

są do siebie równoległe ( 00sin o).

Rys. #. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Możemy sobie wyobrazić, że jeżeli prawą

ręką „kręcimy” pierwszy wektor na drugi, to wówczas odchylony prostopadle kciuk po-

każe nam kierunek wektora będącego iloczynem. Jest on zawsze prostopadły do płaszczy-

zny, w której leżą wektory u

i v

.

Zbiór wektorów, dla których zdefiniowane jest mnożenie wektora przez

skalar, dodawanie wektorów oraz iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią

wektorową (vector space). Strukturę taką tworzą „wektory-strzałki”, ale

30

również zupełnie innego rodzaju obiekty, takie jak na przykład macierze, o

czym będzie mowa w dalszej części.

Liczby zespolone

W szkolnej matematyce na ogół poprzestaje się na tak zwanych liczbach

rzeczywistych (real numbers). Mówi się na przykład, że nie istnieje pier-

wiastek kwadratowy z liczby ujemnej, co oznacza, że równanie 12 x

nie ma rozwiązań. Jednak zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć,

wprowadzając tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną symbolem i (ima-

ginary), którą definiujemy następująco:

1i

Liczbą zespoloną (complex number) nazywamy liczbę postaci:

iyxz ,

gdzie Ryx , , gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych (tę postać liczby

zespolonej nazywamy postacią algebraiczną). Zbiór liczb postaci

iyxz nazywamy zbiorem liczb zespolonych, przy czym pierwszą

część sumy nazywamy częścią rzeczywistą (co oznaczamy często symbo-

lem Re), drugą zaś częścią urojoną (oznaczaną symbolem Im). Nazwy

„liczba rzeczywista” i „liczba urojona” są czysto konwencjonalne i z filo-

zoficznego punktu widzenia obydwa zbiory liczb są równie „rzeczywiste”

lub równie „urojone” („nierzeczywiste”) – to już zależy od przyjmowanego

stanowiska w filozofii matematyki, którym zagadnieniem nie będziemy się

tu zajmować. Nadmienimy jedynie, że niektórzy filozofowie, zwani plato-

nikami, utrzymują, że liczby (i inne obiekty matematyczne) istnieją nieza-

leżnie od umysłu poznającego podmiotu, a nawet niezależnie od świata fi-

zycznego i są przez matematyków odkrywane (i w tym sensie zarówno

liczby rzeczywiste jak i zespolone są dla nich „rzeczywiste”), inni zaś

twierdzą, że liczby są jedynie konstrukcjami umysłu i poza umysłem nie

31

przysługuje im żadne istnienie.

Liczbę postaci

iyxz *

nazywamy liczbą sprzężoną (conjugate) do liczby zespolonej z.

Liczby zespolone nie są porównywalne. Wiemy doskonale, jak porów-

nywać liczby rzeczywiste. Wiemy na przykład, że 3 jest większe niż 2 oraz,

że π jest większe niż 2 . Nie wiemy jednak, jak porównać, powiedzmy,

iz 211 oraz iz 32 . Porównywać możemy jednak moduły liczb ze-

spolonych. Liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie

zespolonej (por. rys. #) albo jako wektory na płaszczyźnie zespolonej za-

czepione w początku układu. Na osi OX odkładamy część rzeczywistą, na

osi OY – część urojoną liczby zespolonej.

Rys. #. Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej. Liczbie zespolonej z = x + iy odpo-

wiada punkt o współrzędnych (x, y), albo wektor [x, y] zaczepiony w początku układu.

Odległość od początku układu współrzędnych, gdzie znajduje się dany

punkt reprezentujący liczbę zespoloną z wynosi r. Zatem:

32

r

y

z

ysin ,

r

x

z

xcos .

Otrzymujemy stąd coszx oraz sinzy . Dowolną liczbę ze-

spoloną iyxz możemy więc zapisać w postaci:

)sin(cos izz .

Postać tę nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Wielkość zr nazywamy modułem liczby zespolonej. Z twierdzenia

Pitagorasa mamy:

222yxz ,

czyli

22 yxz .

Zauważmy przy tym, że kwadrat modułu liczby zespolonej jest równy

iloczynowi tej liczby i liczby sprzężonej:

22* ))(( yxiyxiyxzz ,

zatem moduł liczby zespolonej można wyrazić wzorem:

*zzz

Liczby zespolone możemy do siebie dodawać i odejmować (dodajemy

33

bądź odejmujemy część rzeczywistą do rzeczywistej a zespoloną do zespo-

lonej), mnożyć przez siebie i dzielić. Podstawowe wzory na sumę, różnicę,

iloczyn i iloraz liczb zespolonych są następujące:17

)()()()( 2121221121 yyixxiyxiyxzz ,

)()()()( 2121221121 yyixxiyxiyxzz ,

)()())(( 12212121221121 yxyxiyyxxiyxiyxzz ,

2

2

2

2

21212121

22

11

2

1 )()(

yx

yxxyiyyxx

iyx

iyx

z

z

.

Zauważmy, że wyrażenie występujące po prawej stronie w mianowniku

ostatniego równania jest kwadratem modułu liczby zespolonej 2z :

2

2

2

2

2

2 yxz .

Podamy jeszcze wyrażenie na kwadrat sumy dwóch liczb zespolonych,

ponieważ będziemy się do niego odwoływać w dalszych rozważaniach.

Rozważmy dwie liczby zespolone w i z. Niech kąt między wektorami wy-

nosi α. Wówczas korzystając z twierdzenia kosinusów otrzymujemy:

cos2222

zwzwzw

Układ współrzędnych na płaszczyźnie, w którym położenie punktu jest

określone przez podanie współrzędnej x-owej i współrzędnej y-owej nazy-

wamy kartezjańskim układem współrzędnych. Nie jest to jednak jedyna

możliwość jednoznacznego określenia położenia punktu na płaszczyźnie.

Położenie punktu P (x, y) możemy również jednoznacznie wyznaczyć po-

dając długość promienia wodzącego r i kąt , jaki tworzy promień wo-

_____________ 17 Określone są również działania: potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych,

które nie będą potrzebne dla niniejszych rozważań.

34

dzący z osią OX. Taki układ nazywamy układem biegunowym (polar coor-

dinates). Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci wykładniczej:

iezizz )sin(cos ,

gdzie 7183,2e jest podstawą logarytmów naturalnych. Liczbę sprzę-

żoną oraz iloczyn dwóch liczb zespolonych możemy wówczas zapisać na-

stępująco:

iezz ,

)(

2121212121

iii ezzezezzz .

Algebra macierzy

Macierzą (matrix) nazywamy tablicę liczb złożoną z m wierszy i n ko-

lumn:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

.

Wielkości występujące w macierzy nazywamy jej elementami macie-

rzowymi. Elementy macierzowe mogą być liczbami rzeczywistymi, licz-

bami zespolonymi lub funkcjami. Element macierzowy i-tego wiersza i j-

tej kolumny będziemy oznaczać symbolem ija (zawsze pierwszy wskaźnik

odnosi się do wiersza, drugi do kolumny macierzy).

Jeżeli liczba wierszy równa jest liczbie kolumn ( nm ), to macierz taką

nazywamy macierzą kwadratową (square matrix). Liczbę n nazywamy

35

wówczas wymiarem macierzy (dimension). W dalszej części rozważań

ograniczymy się wyłącznie do macierzy o skończonej liczbie wierszy i ko-

lumn, chociaż rozważania można uogólnić na przypadek macierzy o nie-

skończonej liczbie wierszy i kolumn.

Przekątną główną (diagonal) macierzy kwadratowej A nazywamy ciąg

),...,,( 2211 nnaaa .

Specjalnymi rodzajami macierzy są macierz diagonalna, macierz jed-

nostkowa i macierz zerowa.

Macierzą diagonalną albo przekątniową (diagonal matrix) nazywamy

macierz, której wszystkie elementy znajdujące się poza przekątną główną

wynoszą zero:

nnd

d

d

D

...00

............

0...0

0...0

22

11

Macierz diagonalną zapisujemy często w następującej postaci:

nndddD ,...,, diag 2211

Macierz jednostkową I (identity matrix) definiujemy jako macierz dia-

gonalną, której wszystkie elementy leżące poza przekątną główną wynoszą

0, natomiast wszystkie elementy na przekątnej głównej wynoszą 1. Ele-

menty macierzowe macierzy jednostkowej możemy zapisać następująco:

ji

jiij

dla 0

dla 1 ,

gdzie symbol ij nazywa się deltą Kroneckera.

Macierz jednostkowa ma więc następującą postać:

36

1...00

............

0...10

0...01

I .

Macierzą zerową 0 nazywamy macierz, której wszystkie elementy są

równe zero:

0...00

............

0...00

0...00

0 .

Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której elementy

macierzowe spełniają warunek: jiij aa . Na przykład następująca macierz

jest macierzą symetryczną:

10

01 iA .

Macierzą transponowaną AT (transpose matrix) nazywamy macierz B,

która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy i kolumn:

B = AT, mnb = nma .

Jeżeli

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

, to

nmnn

m

m

T

aaa

aaa

aaa

AB

...

............

...

...

21

22212

12111

.

Na przykład:

37

21

01

20

11

i

iA

T

T .

Macierzą sprzężoną (conjugate transpose) A† (czytaj „a z krzyżem”,

ang. dagger – sztylet) nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A

przez transpozycję (zamianę wierszy i kolumn) i sprzężenie zespolone (ad-

joint) każdego elementu macierzowego.

Jeżeli

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

, to

**

2

*

1

*

2

*

22

*

12

*

1

*

21

*

11

†

...

............

...

...

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

BA ,

co możemy zapisać również następująco:

*† , ijji abAB .

Na przykład:

10

1

1

01†

†ii

i

iA .

Macierzą hermitowską (Hermitian matrix) lub samosprzężoną (self-ad-

joint) nazywamy macierz, która spełnia następujący warunek:

HH †.

Po wykonaniu transpozycji i sprzężenia zespolonego każdego elementu

macierzowego, poszczególne elementy macierzowe macierzy hermitow-

skiej spełniają zależność: *

jiij aa . Zauważmy, że aby powyższy warunek

38

mógł być spełniony, elementy diagonalne macierzy muszą wyrażać się licz-

bami rzeczywistymi. Macierze hermitowskie pełnią fundamentalna rolę w

mechanice kwantowej, ponieważ reprezentują wielkości fizyczne mie-

rzalne, czyli obserwable.

Na przykład macierz A jest hermitowska, ponieważ

Ai

i

i

iA

2

1

2

1†

† ,

natomiast macierz B nie jest hermitowska:

Bi

iB

2

01

20

1†

† .

Macierze można mnożyć przez skalar (liczbę rzeczywistą lub zespo-

loną), dodawać do siebie (i odejmować) oraz mnożyć przez siebie. Zdefi-

niowanych jest kilka rodzajów mnożenia macierzy: iloczyn wewnętrzny,

iloczyn zewnętrzny oraz iloczyn Kroneckera.

Mnożenie macierzy przez skalar (multiply by scalar) a polega na po-

mnożeniu przez skalar każdego elementu macierzowego:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaA

...

............

...

...

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

...

............

...

...

21

22221

11211

.

Dodawanie i odejmowanie (adding and substracting) macierzy jest

określone, gdy obydwie macierze mają taką samą liczbę wierszy m i taką

samą liczbę kolumn n. Dodawanie macierzy polega na dodaniu elementu

macierzowego ija macierzy A do elementu macierzowego ijb macierzy B:

39

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

BA

...

............

...

...

21

22221

11211

+

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

21

22221

11211

=

=

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

.

Analogicznie definiujemy odejmowanie macierzy – wystarczy zauwa-

żyć, że BABA )1( .

Na przykład sumę dwóch macierzy 22 obliczamy następująco:

2

22

110

)(0)1(1

10

1

1

01

i

ii

i

iiiii

i

i.

Mnożenie macierzy (iloczyn wewnętrzny macierzy – matrix inner pro-

duct, który oznaczany symbolem „ ”) jest zdefiniowane, gdy liczba ko-

lumn pierwszej macierzy A jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy B

i przebiega według następującego algorytmu: mnożymy „wiersz przez ko-

lumnę”, przy czym rezultat mnożenia jest następujący: element macie-

rzowy pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy C jest równy su-

mie iloczynów elementów macierzowych pierwszego wiersza macierzy A

i pierwszej kolumny macierzy B, drugiej kolumny elementu macierzowego

pierwszego wiersza macierzy A i drugiego wiersza pierwszego elementu

macierzowego macierzy B itd. Element macierzowy ijc jest równy iloczy-

nowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B:

40

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

BA

...

............

...

...

21

22221

11211

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

21

22221

11211

=

=

mnmnnmnmmmnmm

mnnnnmn

mnnnnmn

babababababa

babababababa

babababababa

.........

.........

.........

.........

22111212111

22221211221221121

12121111121121111

.

Macierz BAC jest macierzą o liczbie wierszy równej liczbie wier-

szy macierzy A i liczbie kolumn równej liczbie macierzy B.

Na przykład:

1

23

1100120

1)(0)1()()1(2

1

02

10

1

i

ii

i

iiiii

i

ii.

W zastosowaniach rachunku macierzowego w mechanice kwantowej

często będziemy mieć do czynienia z mnożeniem macierzy nn (repre-

zentującą operator odpowiadający mierzonej wielkości fizycznej) przez

wektor kolumnowy (reprezentujący wektor stanu układu). Mnożenie prze-

biega wówczas następująco:

nmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

=

nnnnn

nn

nn

bababa

bababa

bababa

12211

2222112

1212111

...

...

...

...

.

Zauważmy, że w odróżnieniu od mnożenia zwykłych liczb, iloczyn

dwóch macierzy może być macierzą zerową, pomimo tego, że żadna z nich

nie jest macierzą zerową. Na przykład:

41

00

00

00

01

10

00.

Jeżeli elementy macierzowe macierzy A, B i C oznaczymy odpowiednio

ija , ijb i ijc , natomiast skalar symbolem „a”, wówczas działania te możemy

zapisać następująco:

ijaaaA ,

ijijijijij cbabaBA ,

ij

n

k

kjikijij cbabaBA 1

.

Symbol

n

i 1

(grecka litera „sigma”) oznacza sumę kolejnych wyrażeń od i

= 1 do i = n. Wyrażenie

n

i

ia1

oznacza więc naaa ...21. W dalszej

części, w celu uproszczenia zapisu, górną granicę sumowania n będziemy

często pomijać i sumowanie będziemy oznaczać symbolem i

.

Zdefiniowaliśmy mnożenie macierzy przez skalar, dodawanie macierzy

oraz mnożenie macierzy przez macierz. Dodawanie macierzy jest prze-

mienne i łączne:

ABBA ,

CBACBA )()( .

Mnożenie macierzy nie zawsze jest przemienne, w odróżnieniu od mno-

żenia skalarów, co ma bardzo ważne konsekwencje w mechanice kwanto-

wej. Jeśli ABBA , wówczas macierze takie nazywamy macierzami

przemiennymi. Spełnione są prawa łączności mnożenia i rozdzielności

mnożenia względem dodawania:

42

CBACBA )()( ,

CABACBA )( .

Dla macierzy jednostkowej I i macierzy zerowej 0 zachodzą następujące

związki:

AAIIA

000 AA

Macierz jednostkowa i macierz zerowa pełnią więc analogiczną rolę jak

liczby 0 i 1 w zwykłej algebrze liczb.

Macierzą odwrotną (inverse matrix) do macierzy A nazywamy macierz

A-1, taką, że:

IAAAA 11 ,

co znaczy, że iloczyn danej macierzy i macierzy odwrotnej równy jest ma-

cierzy jednostkowej. Macierz odwrotna jest zdefiniowana tylko dla macie-

rzy kwadratowej nn . Nie każda macierz kwadratowa posiada macierz

odwrotną. O macierzy, która posiada macierz odwrotną, mówimy, że jest

nieosobliwa, o macierzy, która nie posiada macierzy odwrotnej mówimy,

że jest osobliwa. Warunkiem koniecznym istnienia macierzy odwrotnej

jest, aby jej wyznacznik był różny od zera (por. niżej).

Dla przykładu znajdziemy macierz odwrotną do macierzy

21

0iA .

Nieznane elementy macierzowe macierzy odwrotnej oznaczmy a, b, c,

d. Wiemy, że iloczyn pewnej macierzy i macierzy do niej odwrotnej jest

macierzą jednostkową, zatem:

43

11

11

2221

01

dbca

ibia

dc

baiAA .

Macierze są równe, jeśli poszczególne elementy macierzowe są sobie

równe, zatem otrzymujemy układ równań:

1ia

1ib

12 ca

12 db

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy elementy macierzowe ma-

cierzy odwrotnej:

ia

ib

2

1 ic

2

1 id

Macierz odwrotna do macierzy A ma więc następującą postać:

2

1

2

11 iiii

A .

Macierz kwadratowa A stopnia n nazywa się macierzą ortogonalną (or-

thogonal), gdy iloczyn macierzy transponowanej AT przez macierz A jest

macierzą jednostkową:

IAAT

44

Sprzężenie hermitowskie iloczynu macierzy jest iloczynem ich sprzężeń

w odwrotnej kolejności:

††††)( ABCCBA .

Podobną regułę stosujemy również w odniesieniu do wszystkich ope-

racji na iloczynie macierzy: należy wykonać określone operacje nad po-

szczególnymi macierzami a następnie zmienić kolejność czynników.

Jeżeli sprzężenie hermitowskie macierzy jest jednocześnie macierzą do

niej odwrotną, to macierz taką nazywamy macierzą unitarną (unitary ma-

trix):

1† UU .

Z powyższego wynika, że

IUU † , IUU † .

Macierzą podobną do macierzy A jest macierz B powstająca z macierzy

A przy pomocy nieosobliwej macierzy S w sposób następujący:

ASSB 1 .

Jeżeli A jest macierzą jednokolumnową, wówczas tworząc z niej ma-

cierz sprzężoną po hermitowsku †A możemy ją pomnożyć przez inną ma-

cierz kolumnową B. Tak uzyskaną wielkość nazywamy iloczynem skalar-

nym (matrix inner product):

nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA *

2

*

21

*

1

2

1

**

2

*

1

† ......

...

.

45

Podstawowe własności iloczynu skalarnego omówione zostaną w para-

grafie następnym.

Zdefiniowany jest również iloczyn macierzy kolumnowej A przez ma-

cierz wierszową B†, zwany iloczynem zewnętrznym (matrix outer product),

który jest macierzą o następującej postaci:

**

22

*

1

*

2

*

22

*

12

*

1

*

21

*

11

**

2

*

1

2

1

†

...

............

...

...

......

nnn

n

n

n

n bababa

bababa

bababa

bbb

a

a

a

BA .

Dokładniejsze informacje na temat znaczenia tego obiektu zostaną po-

dane przy omawianiu operatorów rzutowych. Zauważmy w tym miejscu

jedynie, że iloczyn skalarny jest liczbą zespoloną, natomiast iloczyn ze-

wnętrzny jest macierzą.

Jeszcze jednym ważnym rodzajem iloczynu macierzy jest iloczyn Kro-

neckera (Kronecker product), który definiujemy następująco:

BaBaBa

BaBaBa

BaBaBa

BA

nmnn

m

m

...

............

...

...

21

22221

11211

,

gdzie

nmijnijnij

mijijij

mijijij

nmnn

m

m

ijij

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aBa

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

.

Rozważmy konkretny przykład. Niech A będzie macierzą 23 oraz B

46

macierzą 22 . Wówczas iloczyn Kroneckera BA jest macierzą 46 :

ii

ii

ii

ii

i

ii

i

122

242

11

212

001

0021

1

21

2

1

01

.

Iloczyn Kroneckera jest nieprzemienny, spełnia zaś prawa łączności i

rozdzielności:

ABBA

CBACBA )()(

)()()( CABACBA

Iloczyn Kroneckera jest często wykorzystywany w reprezentacji macie-

rzowej iloczynu tensorowego (tensor product) dwóch wektorów kolumno-

wych:

nnnn uv

uv

uv

u

u

u

v

v

v

uv.........

22

11

2

1

2

1

Dla macierzy kwadratowej A definiujemy wyznacznik macierzy (detrmi-

nant). Jest to odwzorowanie, które macierzy kwadratowej przyporządko-

wuje dokładnie jedną liczbę (rzeczywistą lub zespoloną). Oznaczamy jest

symbolem Adet lub A :

47

n

i

ijij

ji AaA1

det)1(det ,

gdzie ijAdet oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez

skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Macierz, której wyznacznik

0det A nazywamy macierzą nieosobliwą. Jeżeli 0det A , to macierz

taką nazywamy macierzą osobliwą. Jeżeli A i B są macierzami kwadrato-

wymi tego samego rzędu, to:

BABA detdet)det( .

Dla macierzy kwadratowych rzędu drugiego i trzeciego znane są proste

wzory obliczania wyznaczników:

det

2221

1211

aa

aa= 22212211 aaaa .

det

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= 332211 aaa + 312312 aaa + 133221 aaa

– 132231 aaa – 331221 aaa – 112332 aaa .

Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową, zaś λ skalarem. Wów-

czas macierz IA nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A,

natomiast równanie:

0)det( IA

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to mo-

żemy również zapisać w postaci:

48

0

...

............

...

...

det

2

22221

11211

nnnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.

Pierwiastki tego równania nazywamy wartościami własnymi macierzy A.

Równanie

aXAX ,

gdzie A jest macierzą kwadratową wymiaru n, X jest wektorem (czyli ma-

cierzą kolumnową), natomiast a jest skalarem nazywamy równaniem wła-

snym macierzy. Podobnie jak w rachunku operatorowym, którego pod-

stawy są omówione w dalszej części pracy, wektory X nazywamy wekto-

rami własnymi (eigenvectors), zaś liczby a – wartościami własnymi (eige-

nvalue) macierzy A. Jeżeli dla danej wartości własnej istnieje tylko jeden

wektor własny, to mówimy o przypadku niezdegenerowanym, jeśli jednej

wartości własnej odpowiada więcej niż jeden wektor własny, to mówimy o

przypadku zdegenerowanym (degeneracy). Zagadnienie własne pełni bar-

dzo ważną rolę w mechanice kwantowej, a jego rozwiązanie przedstawia

się następująco.18 Po pomnożeniu przez macierz jednostkową I równanie

nasze możemy przedstawić w następującej postaci:

0)( XaIA

Otrzymujemy jednorodny układ n równań liniowych z n niewiadomymi,

które są współrzędnymi wektora X. Układ taki posiada nietrywialne (tzn.

poza rozwiązaniem X = 0, które nazywamy trywialnym) rozwiązanie

wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik układu jest równy zeru:

0)det( aIA .

_____________ 18 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 446n.

49

Równanie to jest jednocześnie równaniem charakterystycznym macie-

rzy (characteristic equastion). Rozwiązując je otrzymujemy wszystkie

wartości własne ia , i = 1, 2, …, n. Następnie dla każdej z wartości wła-

snych ia rozwiązujemy równanie 0)( XaIA wyznaczając wektory

własne.

Rozważmy prosty przykład wyznaczania wektorów własnych i wartości

własnych dla pewnej macierzy A reprezentującej przekształcenie obrotu:19

010

100

001

A .

Rozwiązujemy równanie charakterystyczne macierzy i wyznaczamy jej

wartości własne:

0)1)(1(

010

100

001

det)det( 2

IA .

Rozwiązanie równania charakterystycznego daje nam następujące war-

tości własne: 11 , i2 , i3 . Następnie rozwiązujemy równanie

własne dla pierwszej wartości własnej 0)( 1 XIA i wyznaczamy skła-

dowe pierwszego wektora własnego:

0

0

0

1010

1100

0011

3

2

1

x

x

x

,

_____________ 19 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 49n.

50

skąd otrzymujemy równania:

00

032 xx

032 xx

zatem 032 xx .

Nasze równanie spełnia więc każdy wektor o składowych:

0

0

1x

.

Ponieważ pierwsza składowa wektora jest dowolna, to możemy przyjąć

taką jej wartość, aby wektor własny był unormowany do jedności, czyli

0

0

1

)1( 1X .

Symbol )1( 1 X oznacza w tym przypadku wektor własny odpowia-

dający pierwszej wartości własnej. Rozwiązujemy następnie równanie wła-

sne odpowiadające wartości własnej i2 :

0

0

0

010

100

001

3

2

1

x

x

x

i

i

i

skąd otrzymujemy:

51

0)1( 1 xi

032 xix

032 ixx

Dwa ostatnie równania są liniowo zależne (aby się o tym przekonać,

wystarczy jedno z nich pomnożyć stronami przez i), co znaczy, że otrzy-

mujemy następujące zależności na składowe drugiego wektora własnego:

01 x

32 ixx

Równanie spełniają więc wszystkie wektory postaci:

3

32

0

)(

x

ixiX .

Podobnie, jak poprzednim przypadku, możemy wybrać rozwiązanie

unormowane, czyli takie, że długość wektora (wyrażona przez iloczyn ska-

larny wektora sprzężonego po hermitowsku i danego wektora) jest jednost-

kowa:

10

0

0 2

3

2

3

3

333

xx

x

ixxix ,

stąd otrzymujemy:

2

13 x

Nasz drugi wektor własny ma więc postać:

52

1

0

2

1)( 2 iiX

Postępując w podobny sposób otrzymujemy trzeci wektor własny odpo-

wiadający wartości własnej i3 :

1

0

2

1)( 3 iiX .

Wyznaczyliśmy w ten sposób wszystkie wartości własne i wektory wła-

sne macierzy A, czyli rozwiązaliśmy zagadnienie własne.

Śladem macierzy (trace) nazywany sumę elementów macierzowych le-

żących na przekątnej, czyli sumę elementów diagonalnych macierzy:

nn

i

ii aaaatrA ...2211 .

Podamy jeszcze kilka prostych zastosowań macierzy. Układ równań li-

niowych

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............

...

...

2211

22222112

11212111

możemy zapisać jako BXA , gdzie A jest macierzą współczynników,

X – wektorem niewiadomych, natomiast B – kolumną wyrazów wolnych:

53

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

nx

x

x

...

2

1

=

mb

b

b

...

2

1

.

Obraz P’ (x, y) punktu P (x, y) w rezultacie obrotu o kąt φ na płaszczyź-

nie możemy zapisać następująco:

cossin'

sincos'

yxy

yxx

Współrzędne punktu P’ (x, y) otrzymujemy mnożąc kolumnę współ-

rzędnych punktu P (x, y) przez macierz M, związaną z przekształceniem

obrotu, gdzie

cossin

sincosM .

Podobnie, obraz P’ (x’, y’) punktu P (x, y) w symetrii osiowej względem

prostej o równaniu y = x, otrzymujemy w wyniku działania macierzy M na

kolumną współrzędnych punktu P (x, y):

y

x

y

x

01

10

'

'.

Otrzymujemy:

xyxy

yyxx

01'

10'.

Macierz związana z symetrią osiową względem prostej y = x ma więc

następującą postać:

54

01

10M .

W mechanice kwantowej operatorom reprezentującym wielkości fi-

zyczne przyporządkowane są macierze. Macierze reprezentują pewne ope-

racje (działania) wykonywane na wektorach reprezentujących stan układu

fizycznego. Szczegóły omówione zostaną w rozdziale dotyczącym postu-

latów mechaniki kwantowej.

Przestrzeń Hilberta

Stosować będziemy notację zaproponowaną przez Paula Diraca,20 po-

wszechnie używaną w mechanice kwantowej. W notacji tej wektory ozna-

czamy symbolem (czytaj „ket” – jest to część angielskiego terminu

oznaczającego nawias – bracket). Symbol „bra” oznacza sprzężenie ze-

spolone do keta .

Przestrzeń liniowa (linear space) V jest to zbiór wektorów (ketów), dla

których zdefiniowana jest suma wektorów oraz mnożenie wektora przez

skalar (liczbę rzeczywistą lub zespoloną), przy czym spełnione są następu-

jące aksjomaty: jeżeli kety v , Vw oraz Cba , , to:

1. Vwv , Vva . Przestrzeń V jest zamknięta ze względu na

dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar.

_____________ 20 P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon

Press 1947. Polecam jako bardzo dobre wprowadzenie: R. B. Griffiths, Consistent Quan-

tum Theory, Cambridge University Press 2002. Praca jest również dostępna w Internecie:

http://quantum.phys.cmu.edu.CQT.

55

2. wavawva )( . Mnożenie wektora przez skalar jest roz-

dzielne względem dodawania wektorów (distributivity towards vec-

tors).

3. vbvavba )( . Mnożenie wektora przez skalar jest roz-

dzielne względem dodawania skalarów (distributivity towards sca-

lars).

4. vabvba )( . Mnożenie wektora przez skalar jest łączne (asso-

ciativity).

5. vwwv . Dodawanie wektorów jest przemienne (com-

mutativity).

6. uvwuwv )()( . Dodawanie wektorów jest łączne

(associativity).

7. vv 0 . Istnieje element zerowy 0 .

8. 0 vv . Do każdego wektora istnieje wektor przeciwny.

Zbiór liczb a, b,… nazywa się ciałem, nad którym określona jest prze-

strzeń liniowa. Jeśli zbiór ten jest zbiorem liczb rzeczywistych, to prze-

strzeń nazywa się liniową przestrzenią rzeczywistą, jeśli zbiór jest zbiorem

liczb zespolonych, to przestrzeń nazywa się zespoloną przestrzenią li-

niową.

Zbiór wektorów 1 , 2 … n nazywa się niezależny liniowo (linearly

independent), jeżeli równanie

01

n

i

i ia

jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ia są równe zero.

W przeciwnym wypadku zbiór jest liniowo zależny (linearly dependent),

co oznacza, że przynajmniej jeden z tych wektorów może być wyrażony

56

jako kombinacja liniowa pozostałych.

Wymiarem (dimension) n przestrzeni V nazywamy maksymalną liczbę

wektorów niezależnych liniowo. Zbiór n liniowo niezależnych wektorów

i przestrzeni n-wymiarowej nazywamy bazą (basis) w tej przestrzeni.

Każdy wektor może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej (li-

near combination) wektorów bazy:

n

i

i ivv1

,

gdzie wektory i są wektorami bazy, a współczynniki iv są składowymi

wektora w tej bazie. Jest to analogiczna sytuacja, jak w przypadku „wekto-

rów-strzałek” w elementarnej algebrze: każdy „wektor-strzałkę”

),,( zyx vvvv

możemy rozłożyć na składowe w kartezjańskim układzie

współrzędnych XYZ, w którym wersory kji

,, stanowią bazę:

kvjvivv zyx

.

Sumę dwóch wektorów definiujemy przez sumę ich składowych. Jeśli

i

i ivv

oraz

i

i iww ,

to

i

ii iwvwv )( .

Mnożenie wektora przez skalar polega na pomnożeniu przez skalar każ-

dej składowej wektora:

i

i iavva .

57

Iloczyn skalarny (inner product) wv dwóch wektorów jest liczbą ze-

spoloną spełniającą następujące aksjomaty:

1. 0vv . 0vv wtedy i tylko wtedy, gdy 0v .

2. *

vwwv . Iloczyn skalarny jest symetryczny względem sprzę-

żenia zespolonego (conjugate symetry).

3. uvbwvaubwav )( . Iloczyn skalarny jest liniowy (li-

nearity).21

Jeżeli 0wv , to wektory v i w nazywamy ortogonalnymi (or-

thogonal). Ortogonalność jest pewnym uogólnieniem pojęcia prostopadło-

ści wektorów na płaszczyźnie, jednak nie należy tych pojęć utożsamiać. Na

przykład – dokładniej będzie o tym mowa w dalszej części pracy – stany

ortogonalne (określone w przestrzeni Hilberta) takiej własności cząstek

elementarnych jak spin odpowiadają przeciwnym kierunkom w przestrzeni

fizycznej (na przykład i – „w górę” i „w dół”, albo i –

„w prawo” i „w lewo” względem określonych kierunków w przestrzeni,

natomiast stany i (prostopadłe w przestrzeni fizycznej) nie są do

siebie ortogonalne.

Normą (norm) lub długością (lenght) wektora nazywamy wyrażenie:

vvv .

_____________ 21 Liniowość określamy względem drugiego czynnika w iloczynie. Iloczyn skalarny

jest antyliniowy (anti-linearity) względem pierwszego czynnika w iloczynie, co zapisu-

jemy następująco: uwbuvaubwav **)( . Własność ta wynika bezpośrednio z

aksjomatu 2.

58

Jeżeli wektor ma normę jednostkową, to wektor taki nazywamy unor-

mowanym do jedności (normalized vector). Przestrzeń liniową nad ciałem

liczb zespolonych (linear space over complex numbers) z iloczynem ska-

larnym nazywamy przestrzenią Hilberta (Hilbert space). Przestrzeń Hil-

berta jest przestrzenią stanów mechaniki kwantowej, co znaczy, że stan

układu w mechanice kwantowej reprezentowany jest przez wektor z prze-

strzeni Hilberta. Iloczyn skalarny odgrywa fundamentalną rolę w mecha-

nice kwantowej, ponieważ jest używany do obliczania prawdopodobieństw

wyników pomiarów wielkości fizycznych.

Zbiór wektorów bazy, z których każdy ma normę (długość) jednostkową

i które są parami ortogonalne nazywamy bazą ortonormalną (orthonor-

mal). Wektory bazy ortonormalnej spełniają warunek:

ji

jiji ij

dla 0

dla 1 .

Jeżeli dwa wektory przedstawione za pomocą składowych w bazie i-tej

i j-tej następująco:

i

i ivv ,

j

j jww ,

wówczas iloczyn skalarny może być przedstawiony jako:

i j

ji jiwvwv * .

Po skorzystaniu z własności delty Kroneckera )( ijji , wyrażenie

na iloczyn skalarny redukuje się do następującej postaci:

59

i

ii wvwv * .

Podprzestrzeń (subspace) jest to podzbiór elementów przestrzeni linio-

wej V, które stanowią przestrzeń liniową. Na przykład dla wektorów na

płaszczyźnie XY podprzestrzenią jest zbiór wektorów równoległych do osi

OX i zbiór wektorów równoległych do osi OY.

Sumę dwóch podprzestrzeni ji VV definiujemy jako zbiór zawierający

wszystkie elementy pierwszej przestrzeni, wszystkie elementy drugiej

przestrzeni i wszystkie ich kombinacje liniowe.

Podkreślić należy, że obiektów przestrzeni Hilberta, zwanych „wekto-

rami”, nie należy utożsamiać z „wektorami-strzałkami” znanymi z elemen-

tarnej matematyki. Mogą to być zupełnie inne obiekty, takie jak na przy-

kład funkcje, macierze albo jeszcze inne obiekty (oczywiście funkcji ani

macierzy nie można przypisać długości i kierunku).

Ponieważ każdy wektor (ket) jest jednoznacznie wyznaczony przez

składowe w pewnej bazie, to możemy go przedstawić jako macierz jedno-

kolumnową:

nv

v

v

v...

2

1

Wektorom wierszowym nwww ...21 można jednoznacznie przy-

porządkować obiekty w , zwane „bra”. Każdemu wektorowi kolumno-

wemu (czyli ketowi) v można przyporządkować wektor bra v przez

transpozycję (kolumnę zamieniamy na wiersz) i sprzężenie zespolone:

**

2

*

1 ... nvvvv .

60

Otrzymujemy w ten sposób dwie przestrzenie wektorowe: przestrzeń

ketów i przestrzeń bra (zwaną przestrzenią dualną – dual space). Każdemu

ketowi odpowiada pewien bra. Iloczyn skalarny wektorów jest iloczynem

macierzy transponowanej względem wektora kolumnowego v ze sprzę-

żeniem zespolonym i wektora kolumnowego w , co zapisujemy następu-

jąco:

i

iinn

n

n wvwvwv

w

w

vvwv **

1

*

1

1

**

1 ......]...[ .

Jeżeli ketowi v odpowiada bra v , wówczas ketowi avva od-

powiada bra av , przy czym *avav .

Operatory liniowe

Operatorem (operator) działającym na przestrzeni liniowej V nazy-

wamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje inny

wektor, albo – inaczej mówiąc – przekształca jeden ket w inny ket:

'vv .

Operator nazywamy operatorem liniowym (linear operator) wtedy i

tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek (w dalszej części bę-

dziemy rozważać jedynie operatory liniowe):

61

ubvaubva )( .22

Najprostszym operatorem jest operator jednostkowy I (zwany też ope-

ratorem tożsamościowym lub identycznościowym – identity operator).

Operator jednostkowy działając na dowolny ket v nie zmienia jego po-

staci:

vvI .

W celu zilustrowania działania operatorów na dowolny ket rozważmy

następujący przykład.23 Niech R będzie operatorem obrotu o kąt ½π wokół

osi OX w przestrzeni trójwymiarowej. Działanie tego operatora na wektory

bazy, które oznaczymy 1 , 2 i 3 możemy zapisać następująco (por.

rys. #):

11 R

32 R

23 R

_____________ 22 Podobnie, operator nazywamy operatorem antyliniowym (anti-linear operator), je-

żeli spełniony jest warunek: wvwv **)( .

23 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 36-37.

62

Rys. #. Operator R obrotu o kąt ½π wokół osi OX w przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli znamy działanie dowolnego operatora na wektory bazy, wówczas

znamy również działanie tego operatora na dowolny wektor. Jeżeli i są

wektorami bazy, to:

'ii .

Wiemy, że każdy wektor v można rozłożyć na składowe w pewnej

bazie:

i

ivv 1 .

Działając operatorem Ω na ten wektor otrzymujemy:

i

i

i

i

i

ivivivv '1 .

W przestrzeni trójwymiarowej dowolny wektor możemy zapisać w po-

staci następującej kombinacji liniowej wektorów bazy:

321 321 vvvv

W przypadku rozważanego operatora obrotu R otrzymujemy:

231321 321321 vvvRvRvRvvR .

Iloczyn dwóch operatorów spełnia następujący warunek:

63

vAvAvA )( .

Rezultat działania iloczynu operatorów na dowolny ket obliczamy dzia-

łając najpierw operatorem znajdującym się przy kecie v (i uzyskując pe-

wien nowy ket v ), a następnie działając drugim operatorem na ket, bę-

dący rezultatem działania pierwszego operatora.

Podobnie jak w przypadku macierzy mnożenie operatorów na ogół nie

jest przemienne. Wyrażenie

AAA ],[

nazywamy komutatorem operatorów (commutator). Jeżeli komutator

dwóch operatorów jest równy zero 0 AA , to mówimy, że operatory

takie komutują ze sobą (są przemienne). Wówczas kolejność działania tych

operatorów na dowolny wektor nie ma znaczenia: AA . Jeżeli komu-

tator operatorów nie jest równy zero 0 AA , to operatory takie nie

komutują ze sobą (nie są przemienne). Wtedy AA i rezultat działania

na dowolny wektor stanu zależy od kolejności.

Operatorem odwrotnym (inverse operator) Ω-1 do operatora Ω nazy-

wamy taki operator, że iloczyn danego operatora i operatora do niego od-

wrotnego jest operatorem jednostkowym:

I 11.

Operator może również działać na wektory bra – warunki liniowości i

pozostałe są podobne, jak w przypadku operatorów działających na kety:

'vv ,

ubvabuav )( .

64

Przestrzeń wektorów bra tworzy przestrzeń dualną (dual space). Wek-

tory bra i wektory ket są różnymi, ale związanymi ze sobą obiektami. Każ-

demu ketowi avva odpowiada pewien wektor bra *avav . Po-

dobnie każdemu ketowi

vv

odpowiada pewien wektor bra:

† vv .

Operator † (czytaj: omega z krzyżem, ang. dagger – sztylet) nazy-

wamy operatorem sprzężonym (adjoint operator) do operatora , gdy

spełniony jest następujący warunek:

vuvu † .

Elementy macierzowe operatora w pewnej bazie można zapisać nastę-

pująco:

jiij ijjiji **†† .

Oznacza to, że macierz odpowiadająca operatorowi sprzężonemu †

jest macierzą transponowaną i sprzężoną w sensie zespolonym w stosunku

do macierzy odpowiadającej operatorowi .

Operator nazywamy operatorem samosprzężonym (self-adjoint opera-

tor), albo operatorem hermitowskim (Hermitian operator), jeżeli

HH †.

Operatory hermitowskie pełnią fundamentalną rolę w mechanice kwan-

65

towej – wielkości fizyczne mierzalne (obserwable) są reprezentowane wła-

śnie przez operatory hermitowskie. Wartości własne operatorów hermitow-

skich wyrażają się liczbami rzeczywistymi (real numbers) i są interpreto-

wane jako wyniki pomiarów wielkości fizycznych reprezentowanych przez

dany operator.

Operatory hermitowskie spełniają następujące zależności:

uHvuHvHuv † .

Operator nazywamy operatorem unitarnym (unitary operator), jeżeli

IUU †.

Po wprowadzeniu operatora unitarnego do iloczynu skalarnego nie

zmienia się wartość norm wektorów (co znaczy również, że wartość ilo-

czynu skalarnego pozostaje taka sama):

vuUvUu .

Ponieważ

UvUuUvUu † ,

to iloczyn operatora unitarnego i operatora doń sprzężonego jest równy

operatorowi jednostkowemu:

1† UU .

Załóżmy, że mamy pewną bazę i n wektorów ortonormalnych (unor-

mowanych do jedności i parami ortogonalnych). Baza taka jednoznacznie

określa n-wymiarową przestrzeń Hilberta, w której dowolny ket v jest

reprezentowany przez n współrzędnych:

66

vn

v

v

v...

2

1

.

Wektor bazy k jest wówczas reprezentowany przez wektor kolum-

nowy, w którym występują same zera i jedynka na k-tym miejscu:

0

...

1

...

0

0

...

...

2

1

kn

kk

k

k

k .

Podobnie jak każdy wektor (ket) można przedstawić w postaci składo-

wych w pewnej bazie za pomocą n liczb, tak każdy operator może być

przedstawiony w postaci macierzy nn , czyli za pomocą n2 liczb. Ele-

menty macierzowe tej macierzy nazywamy elementami macierzowymi

operatora (matrix elements).

Załóżmy, że mamy pewną bazę i .24 Wówczas transformację wektorów

bazy do nowej bazy 'i można zapisać jako

'ii .

Transformację dowolnego wektora obliczamy następująco:

_____________ 24 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 38n; R. G. Griffiths, Consistent Quantum

Theory, s. 32n.

67

'ivivivvi

i

i

i

i

i

Wektory nowej bazy 'i są znane, jeśli znane są ich składowe w bazie

pierwotnej, czyli liczby

jiijij ' .

Liczby te nazywamy właśnie elementami macierzowymi operatora w

danej bazie.

Składowe dowolnego wektora 'v powstającego z wektora v po trans-

formacji bazy z i do 'i można wyrazić za pomocą składowych wektora

v i elementów macierzowych operatora ij :

j

ji jviviviv '' = j

j jiv = j

j

ij v .

Transformację wektora możemy zapisać również następująco:

nn v

v

v

nnnn

n

v

v

v

...

...21

............

22...2212

1...2111

'

...

'

'

2

1

2

1

.

Poszczególne kolumny tej macierzy są składowymi wektora otrzyma-

nego przez przekształcenie kolejnych wektorów bazy.

Przejdziemy teraz do omówienia bardzo ważnej klasy operatorów sto-

sowanych w mechanice kwantowej, a mianowicie operatorów rzutowych.

Wiemy, że dowolny ket v można zapisać w bazie i następująco:

68

i

viiv ,

gdzie iloczyn skalarny vi oznacza i-tą składową wektora w danej bazie.

Powyższe równanie możemy zapisać następująco:

viivi

)( .

Ponieważ równanie to jest spełnione dla dowolnego wektora, to wyra-

żenie w nawiasie musi być operatorem jednostkowym:

i

iiI .

Równanie to możemy zapisać w następującej postaci:

i

i

i

PiiI ,

gdzie iiPi nazywamy operatorem rzutowym (projection operator,

projector) na ket i . Jego działanie na dowolny ket polega na rzutowaniu

tego keta na ket bazy i , czyli wydziela z dowolnego keta v jego część

skierowaną w kierunku i :

viivPi .

69

Rys. #. Ilustracja działania operatora rzutowania iP na wektor v .

Zauważmy, że suma wszystkich operatorów rzutowych jest równa ope-

ratorowi jednostkowemu:

i

iPI .

Równanie to nosi nazwę relacji zupełności – suma rzutów wektora na

wszystkie kierunki bazy jest równa temu wektorowi. Fakt ten ma ważne

konsekwencje dla obliczania prawdopodobieństw rezultatów pomiarów w

mechanice kwantowej. Otóż proces pomiaru może być opisany właśnie za

pomocą operatorów rzutowych jako rzutowanie wektora stanu na podprze-

strzeń stanów własnych operatora odpowiadającego mierzonej wielkości

fizycznej. Wielkości vi nazywamy amplitudami prawdopodobieństwa.

Operator rzutowy jest hermitowski, czyli P† = P i idempotentny (indempo-

tent). Ostatni warunek oznacza, że P2 = P, co znaczy, że ponowne rzutowa-

nie na ten sam wektor bazy nie zmienia już postaci wektora:

iii PiiiiiiiiiiPP .

Wielkość ii , która jest iloczynem skalarnym (czyli liczbą zespoloną),

należy odróżnić od wielkości ii , która jest operatorem. Jest to iloczyn

pewnego keta i keta do niego sprzężonego (wzięty w odwrotnej kolejności

w stosunku do iloczynu skalarnego), co możemy zapisać następująco:

70

0...0

...1...

0...0

0...1...0

0

...

1

...

0

ii .

Odpowiadająca mu macierz ma wszystkie elementy macierzowe równe

zero, poza jedynką na i-tym miejscu na przekątnej. Iloczyn keta i keta do

niego sprzężonego nazywamy iloczynem zewnętrznym (outer product) w

odróżnieniu od iloczynu skalarnego, nazywanego niekiedy iloczynem we-

wnętrznym (inner product to dosłownie „iloczyn wewnętrzny”, ale w pol-

skiej literaturze używa się terminu „iloczyn skalarny”).

W mechanice kwantowej podstawowe znaczenie ma równanie własne

operatora. Ma ono następującą postać:

vv .

W tym wypadku działanie operatora na ket v sprowadza się do

pomnożenia tego keta przez liczbę, którą nazywamy wartością własną (ei-

genvalue) operatora. Ket v nazywamy wówczas wektorem własnym (ei-

genvector). Dla operatorów hermitowskich wartości własne są liczbami

rzeczywistymi. Możliwe wartości obserwabli są reprezentowane przez

wartości własne operatorów. Jeżeli dwa operatory komutują ze sobą, wów-

czas posiadają one wspólną bazę wektorów własnych i wartości wielkości

fizycznych reprezentowanych przez te operatory mogą być zmierzone jed-

nocześnie z dowolną dokładnością. Jeśli operatory nie komutują ze sobą,

to nie mają wspólnych wektorów własnych i wartości wielkości fizycznych

reprezentowanych przez te operatory nie mogą być zmierzone jednocześnie

z dowolną dokładnością. Nieprzemienność (noncommutativity) pewnych

operatorów jest charakterystyczną cechą formalizmu mechaniki kwanto-

71

wej. Proces pomiaru jest reprezentowany przed działanie operatora na wek-

tor stanu i pomiar na układzie kwantowym zmienia stan tego układu, co w

fundamentalny sposób odróżnia pomiary kwantowe od pomiarów klasycz-

nych. Kolejność wykonywanych pomiarów ma istotne znaczenie, o czym

będzie szerzej mowa w rozdziale dotyczącym zasady nieoznaczoności He-

isenberga.

Wektrory własne operatora hermitowskiego tworzą zupełną bazę wek-

torów własnych, zatem każdy wektor może być przedstwiony jako suma

wektorów własnych operatora hermitowskiego.25

Reprezentacja macierzowa operatora hermitowskiego w bazie jego wek-

torów własnych jest macierzą diagonalną o elementach przekątniowych

równych odpowiednim wartościom własnym operatora:

ijiijij ajiaji ,

Czyli

na

a

a

...00

............

0...0

0...0

2

1

.

Śladem operatora (trace) nazywamy sumę diagonalnych elementów

macierzowych operatora:

i

iiTr .

_____________ 25 Por. L. Susskind, Quantum mechanics…, s. 64.

72

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat ra-

chunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w

fizyce. Małymi literami x, y, z… oznaczać będziemy elementy zbiorów,

wielkimi literami X, Y, Z… – zbiory, natomiast symbolami f(x), g(x), … –

funkcje. Wyrażenie Xx znaczy „element x należy do zbioru X”. Zbiór

jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy.

Funkcją f (function) nazywamy przyporządkowanie każdemu elemen-

towi zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y, co symbolicznie

zapisujemy następująco:

.: YXf

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (domain of a function), zbiór Y –

zbiorem wartości funkcji (range of a function).

Funkcje mogą być określone na zbiorach liczbowych, przestrzeniach

wektorowych, macierzach, operatorach i innych obiektach matematycz-

nych. W przypadku funkcji liczbowej możemy wyrazić ją w postaci rów-

nania:

),(xfy

gdzie )(xf określa sposób przyporządkowania elementów jednego zbioru

elementom drugiego zbioru. Zależność )(xfy możemy przedstawić na

płaszczyźnie, otrzymując w ten sposób wykres funkcji. Na osi OX reprezen-

tujemy dziedzinę funkcji, natomiast na osi OY zbiór wartości funkcji.

Granica funkcji w punkcie. Funkcja )(xfy ma granicę (limit) równą

g w punkcie 𝑥 = 𝑎 wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie małej

liczby 0 istnieje taka liczba 0 , że jeżeli ax to

gxf )( . Zapisujemy to następująco:

73

gxfax

)(lim .

Czytamy „limes przy x dążącym do a )(xf równa się g” (łac. limes – gra-

nica). Występujący w definicji symbol x nazywamy wartością bez-

względną (modułem) liczby x i definiujemy następująco:

0 dla

0 dla

x-x

xxx

Z definicji wynika, że wartość bezwzględna każdej liczby jest nieu-

jemna.

Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że musimy określić gra-

nicę funkcji, gdy x rośnie nieograniczenie, co zapisujemy symbolicznie:

gxfx

)(lim ,

co czytamy: „limes przy x dążącym do nieskończoności )(xf równa się

g”. Na przykład wartość siły grawitacji w teorii Newtona jest proporcjo-

nalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu

odległości między przyciągającymi się ciałami (G jest pewną uniwersalną

stałą fizyczną, zwaną stałą grawitacji):

2

21

r

mmGF

Znaczy to, że jeżeli ciała odsuniemy na odległość dwa razy większą, to

będą się przyciągać cztery razy słabiej, jeżeli odsuniemy je na odległość

trzy razy większą, to będą się przyciągać dziewięć razy słabiej itd., ale dla

żadnej skończonej odległości nie otrzymamy wartości równej zero. War-

tość siły grawitacji asymptotycznie dąży do zera, gdy odległość między

74

ciałami dąży do nieskończoności (por. rys. #). Asymptotą funkcji nazy-

wamy prostą, do której dana krzywa zbliża się nieograniczenie, ale nigdy

jej nie osiąga.

Rys #. Wykres wartości siły grawitacji w teorii Newtona w zależności od odległości mię-

dzy dwoma ciałami.

Ciągłość funkcji. Funkcja )(xf jest ciągła w punkcie ax wtedy i

tylko wtedy, gdy posiada ona granicę w tym punkcie, posiada wartość w

tym punkcie i granica równa jest wartości:

)()(lim afxfax

Innymi słowy, funkcja )(xf jest ciągła w punkcie ax wtedy i tylko

wtedy, gdy jest ona określona w tym punkcie i dla każdej dowolnie małej

liczby 0 istnieje taka liczba 0 , że jeżeli ax to

)()( afxf .

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Jeżeli funkcja )(xf jest ciągła w

przedziale bxa oraz dla pewnego punktu x w tym przedziale istnieje

granica

75

x

xfxxf

x

)()(lim

0

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji (derivative) w tym punkcie i

oznaczamy symbolem )(' xf albo dx

xdf )(. Niekiedy możemy obliczyć po-

chodną pochodnej funkcji, co nazywamy drugą pochodną i zapisujemy

)('' xf albo 2

2 )(

dx

xfd. Ogólnie możemy mówić o n-tej pochodnej funkcji (o

ile taka istnieje).

Interpretacja geometryczna pochodnej. Na rysunku # przedstawiono

wykres funkcji w przedziale bxa . Sieczna przecina wykres funkcji w

punktach o współrzędnych ))(,( xfxA oraz ))(,( xxfxxB pod ką-

tem do osi OX. Jeżeli przyrost wartości argumentu x dąży do zera,

wówczas sieczna przechodzi w styczną do wykresu funkcji w punkcie x.

Tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x jest równy

pochodnej funkcji w tym punkcie (por. rys. #):

dx

xdftg

)(

Interpretacja fizyczna pochodnej. Jeżeli jakaś funkcja wyraża zależność

pewnej wielkości fizycznej od czasu t, co zapisujemy )(tfy , wówczas

pochodna po czasie danej wielkości fizycznej wyraża szybkość zmian tej

wielkości. Jeżeli pochodna po czasie funkcji jest równa 0, to znaczy, że

wielkość ta nie zmienia się w czasie (jest stała). Na przykład w mechanice

klasycznej, jeżeli zależność położenia od czasu poruszającego się ciała wy-

raża się funkcją )(tx , to pochodna tej funkcji po czasie jest prędkością

ciała:

dt

tdxv

)( .

76

Rys. #. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.

Różniczka (differential). W fizyce często mamy do czynienia z wielko-

ściami nieskończenie małymi (infinitezymalnymi). Jeżeli przyrost pewnej

wielkości dąży do zera, to zamiast x piszemy dx i obiekt taki nazywamy

różniczką, co znaczy właśnie, że mamy na myśli nieskończenie małą

zmianę x. Różniczką funkcji nazywamy iloczyn jej pochodnej przez róż-

niczkę zmiennej niezależnej, co zapisujemy następująco:

dxxfdy )('

Równanie różniczkowe (differential equation). Równanie różniczkowe

wyraża związek między funkcją )(xfy , jej pochodnymi i zmienną nie-

zależną x:

0),...,',( xyyF

77

Jeżeli najwyższy rząd pochodnej funkcji y wynosi n, to równanie róż-

niczkowe nazywamy równaniem n-tego stopnia. Wiele problemów w fi-

zyce sprowadza się do rozwiązania odpowiednich równań różniczkowych.

Na przykład druga zasada dynamiki Newtona dla cząstki o masie m poru-

szającej się wzdłuż osi OX pod działaniem siły F może być przedstawiona

w postaci następującego równania różniczkowego:

Fdt

xdm

2

2

Możemy je odczytać następująco: iloczyn masy cząstki i jej przyspie-

szenia (czyli drugiej pochodnej położenia po czasie) jest równy działającej

sile. Rozwiązanie tego równania pozwala na obliczenie trajektorii porusza-

jącej się cząstki, a zatem na jednoznaczne przewidywanie jej ruchu. Roz-

wiązanie równań różniczkowych otrzymujemy dzięki działaniu zwanym

całkowaniem, dlatego potrzebna będzie nam jeszcze definicja całki (inte-

gral).

Całka nieoznaczona (indefinite integral). Całką nieoznaczoną funkcji

)(xf nazywamy funkcję )(xF , której pochodna jest równa funkcji )(xf ,

co zapisujemy:

CxFdxxf )()(

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania i polega na

poszukiwaniu funkcji )(xF , zwanej funkcją pierwotną (antiderivative).

Ponieważ pochodna dowolnej stałej C z definicji wynosi 0, to wszystkie

funkcje pierwotne funkcji )(xf wyrażają się wzorem: CxF )( .

78

Rys. #. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej – wartość całki oznaczonej jest

równa polu powierzchni pod krzywą między punktami a i b.

Całkę oznaczoną (definite integral) obliczamy następująco (por. rys. #):

jeżeli )(xF jest funkcją pierwotną funkcji )(xf , to:

)()()( aFbFdxxfb

a

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej: całka oznaczona z funkcji

)(xf jest równa polu pod krzywą będącą wykresem funkcji )(xf ograni-

czoną wartościami ax i bx .

Przy rozwiązywaniu konkretnych problemów fizycznych często korzy-

sta się z gotowych wzorów na obliczanie pochodnych i całek, niekiedy ko-

nieczne jest stosowanie metod przybliżonych. Sformułowanie podstaw ra-

chunku różniczkowego i całkowego zawdzięczmy Isaacowi Newtonowi i

niezależnie Gottfiedowi Wilhelmowi Leibnizowi (XVII w.). Rachunek ten

stanowi niezwykle potężne narzędzie fizyki współczesnej i można śmiało

powiedzieć, że bez niego fizyka byłaby po prostu niemożliwa.

Przedstawione w niniejszym wprowadzeniu matematycznym elementy

matematyki mechaniki kwantowej są wystarczające do zrozumienia na

podstawowym poziomie postulatów mechaniki kwantowej, a następnie do

dyskusji jej filozoficznych zagadnień.

79

Postulaty mechaniki kwantowej

W sformułowaniu opartym na teorii przestrzeni Hilberta podstawowe

zasady mechaniki kwantowej można przedstawić w postaci czterech postu-

latów.

I: Reprezentacja stanu układu

Stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t (system state)

jest reprezentowany przez unormowany do jedności wektor z zespolonej

przestrzeni Hilberta .

Wektor stanu nazywany jest również funkcją falową (wave funkction),

co ma pewien historyczny związek z koncepcją fal materii de Broglie’a i

odzwierciedla „falowy aspekt” mikroobiektów (por. eksperyment z

dwiema szczelinami, w którym mamy do czynienia z interferencją praw-

dopodobieństw).

Rys. #. Trajektoria w przestrzeni fazowej dla ruchu wahadła a) bez tarcia; b) z tarciem.

Pojęcie stanu układu jest oczywiście stosowane również w mechanice

klasycznej – stan układu mechanicznego w pewnej chwili t wyznaczony

80

jest przez pędy i położenia wszystkich elementów układu: )(tp i )(tq . W

mechanice klasycznej wprowadza się pojęcie przestrzeni fazowej. Jest to

pewna abstrakcyjna przestrzeń matematyczna, wyznaczona przez pędy i

położenia, w której jeden punkt reprezentuje stan układu mechanicznego w

danej chwili. Na przykład dla ruchu wahadła bez tarcia trajektorią w prze-

strzeni fazowej jest okrąg reprezentujący cyklicznie zmieniające się pęd i

położenie wahadła, natomiast dla ruchu wahadła z uwzględnieniem opo-

rów środowiska trajektoria jest spiralą – wprawione w ruch wahadło poru-

sza się coraz wolniej i zatrzymuje się w punkcie o współrzędnych 0p i

0q reprezentującym spoczynek (por rys. #).

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią stanów mechaniki kwantowej.

Wektor stanu będący elementem przestrzeni Hilberta reprezentuje stan

układu kwantowego w pewnej chwili t. O ile jednak pędy i położenia są w

mechanice klasycznej wielkościami fizycznymi bezpośrednio mierzalnymi

(lub obserwowalnymi), o tyle wektor stanu w mechanice nie reprezen-

tuje on niczego, co można bezpośrednio zaobserwować lub zmierzyć, ale

znajomość wektora stanu pozwala na obliczenie prawdopodobieństw rezul-

tatów pomiarów różnych wielkości fizycznych, zgodnie z przedstawionym

w dalszej części postulatem pomiaru. Probabilistyczna interpretacja wek-

tora stanu (funkcji falowej) została sformułowana przez Maxa Borna

(1926) i stanowi jeden z fundamentów kopenhaskiej interpretacji mecha-

niki kwantowej Bohra i Heisenberga (o interpretacjach mechaniki kwanto-

wej będzie mowa w dalszej części pracy). Zgodnie z interpretacją kopen-

haską wektor stanu zawiera wszystkie informacje o układzie, czyli

może być utożsamiony ze zbiorem informacji o układzie, jakie pozwala

uzyskać fizyka.

W mechanice kwantowej obowiązuje zasada superpozycji stanów (su-

perposition), która jest bezpośrednią konsekwencją liniowości przestrzeni

Hilberta. Odpowiedzialna jest ona za wiele własności mikroświata, które

w ogóle nie mają analogii w świecie naszego codziennego doświadczenia,

81

dlatego też zasługuje na szczególną uwagę.26 Najprościej rzecz ujmując,

zasada superpozycji oznacza, że jeżeli układ może się znaleźć w stanie opi-

sanym wektorem stanu 1 i może się znaleźć w stanie opisanym wekto-

rem stanu 2 itd., to może się również znaleźć w stanie opisanym do-

wolną kombinacją liniową tych stanów (linear combination),27 co możemy

zapisać następująco:

...2211 aa ,

gdzie a1, a2, … oznaczają dowolne liczby zespolone, które nazywamy am-

plitudami prawdopodobieństwa (probability amplitude).

Co ten zapis właściwie oznacza, najłatwiej będzie zrozumieć odwołując

się do opisanego w rozdziale pierwszym eksperymentu na dwóch szczeli-

nach (por. rys. #). Ze źródła Z wysyłamy pojedynczy elektron, który może

dotrzeć do ekranu dwiema różnymi drogami, przechodząc przez szczelinę

S1 lub28 przez szczelinę S2. Myślenie oparte na schemacie pojęciowym me-

chaniki klasycznej podpowiada nam, że niepodzielna cząstka, jaką jest

elektron, może przejść albo przez jedną albo przez drugą szczelinę. Wiemy

jednak, że taki sposób rozumowania jest z pewnością błędny, ponieważ

uniemożliwia wyjaśnienie efektu interferencji. Jeżeli jakiekolwiek zjawi-

_____________ 26 Zasada superpozycji odegrała dużą rolę w historycznym rozwoju mechaniki kwan-

towej. Por. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics. 27 Pewne ograniczenia zasady superpozycji wynikają z zasad zachowania i symetrii. S.

Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 150n. 28 Terminu „lub” użyłem tutaj na oznaczenie alternatywy, a nie dysjunkcji. Przypo-

mnijmy, że alternatywa zdań p lub q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej

jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie wyklucza to sytuacji, w której obydwa zdania są praw-

dziwe. Wprawdzie jest to elementarny fakt z logiki, ale mówiąc o elektronach przecho-

dzących przez układ dwóch szczelin skłonni jesteśmy ujmować to zjawisko w kategoriach

dysjunkcji właśnie (albo, albo), która jest prawdziwa wtedy, gdy tylko jedno ze zdań jest

prawdziwe. Nie jest to jednak poprawne podejście do opisu eksperymentu interferencyj-

nego.

82

sko kwantowe może zajść na dwa lub więcej sposobów, to w celu jego po-

prawnego opisu, musimy uwzględnić wszystkie możliwości. W przypadku

eksperymentu na dwóch szczelinach możemy wprowadzić następujące

oznaczenia: – elektron dociera do punktu P na ekranie; 1 – elektron

przechodzi przez szczelinę S1 i dociera do punktu P na ekranie; 2 –

elektron przechodzi przez szczelinę S2 i dociera do punktu P na ekranie. Ze

względu na symetrię układu, amplitudy prawdopodobieństwa są sobie

równe i wynoszą 2

121 aa (wyrażenie z pierwiastkiem pojawia się

dlatego, że wektor stanu musi być unormowany do jedności – prawdopo-

dobieństwo zdarzenia zachodzącego jakąkolwiek drogą musi wynosić je-

den). Możemy zatem zapisać:

)(2

121 .

Zgodnie z interpretacją Borna, wektor stanu pozwala nam na obliczenie

prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym elemencie prze-

strzeni. Aby to zrobić musimy, podobnie jak w przypadku opisu klasycz-

nych fal, obliczyć kwadrat modułu wektora stanu. Prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w pewnym punkcie x ekranu przy założeniu, że

otwarte są obydwie szczeliny wynosi:

)2(2

1)(

2

1)( 21

2

2

2

1

2

21

2

xP .

Pierwsze dwa człony wyrażenia w nawiasie są proporcjonalne do praw-

dopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S1 i trafił w

punkt x ekranu oraz prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez

szczelinę S2 i trafił w punkt x ekranu, pojawia się natomiast dodatkowo

pewien człon interferencyjny, co sprawia, że prawdopodobieństwo sumy

zdarzeń nie jest równe sumie prawdopodobieństw (jeśli nie podejmujemy

83

próby określenia które z możliwych zdarzeń zaszło). W mechanice kwan-

towej obowiązują różne od klasycznych sposoby obliczania prawdopodo-

bieństwa: jeśli zdarzenie może zajść na wiele różnych sposobów, to mu-

simy najpierw dodać do siebie zespolone amplitudy prawdopodobieństwa

dla każdej z możliwości, a następnie podnieść je do kwadratu. Jeśli w do-

świadczeniu możemy określić, która z alternatywnych możliwości się zre-

alizowała (w naszym przykładzie: przez którą szczelinę przeszedł elek-

tron), wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdo-

podobieństw (brak interferencji).29 O różnicy między klasycznym (Kołmo-

gorowa) a kwantowomechanicznym (von Neumanna) pojęciem prawdopo-

dobieństwa powiemy jeszcze w dalszej części pracy.

Podsumujmy: jeśli jakieś zdarzenie może zajść na wiele alternatywnych

sposobów, to w celu jego poprawnego opisu musimy uwzględnić wszystkie

możliwości: dodajemy do siebie zespolone amplitudy prawdopodobień-

stwa i podnosimy sumę do kwadratu otrzymując prawdopodobieństwo zda-

rzenia.

Powróćmy jeszcze raz do eksperymentu interferencyjnego: wkłady od

alternatywnych dróg elektronu (lub fotonu) mogą dodawać się (interferen-

cja konstruktywna), mogą się znosić (interferencja destruktywna), ale rów-

nież możemy tworzyć również kombinacje typu

„droga przez szczelinę S1” + i „droga przez szczelinę S2”,

które odpowiadają punktom na ekranie o średniej liczbie elektronów (lub

fotonów). W rzeczywistości możemy tworzyć takie kombinacje z dowol-

nymi liczbami zespolonymi.30

Formalnie zasadę superpozycji możemy przedstawić następująco:

każdy wektor stanu możemy przestawić jako kombinację liniową

wektorów bazy:

_____________ 29 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 153. 30 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 266.

84

i i

i iaii ,

gdzie i

iiI jest operatorem jednostkowym, natomiast liczby

iai są amplitudami prawdopodobieństwa. Amplituda prawdopodo-

bieństwa jest iloczynem skalarnym wektora stanu i wektora bazy, czyli rzu-

tem wektora stanu na wektor bazy.

II: Reprezentacja wielkości fizycznych

Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie cząstki, pęd, energia

czy spin nazywane są w mechanice kwantowej obserwablami (observa-

bles).

Obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie działa-

jące w zespolonej przestrzeni Hilberta.

Jak już była o tym mowa, operatorem działającym na przestrzeni linio-

wej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporząd-

kowuje inny wektor:

' .

W mechanice kwantowej klasycznym zmiennym dynamicznym przypo-

rządkowujemy odpowiednio dobrane operatory hermitowskie. Można wy-

różnić trzy typy przyporządkowania: podstawowe, pochodne i niekla-

syczne.31

Przyporządkowanie podstawowe dotyczy operatorów położenia i pędu:

rr

ip

dt

rdmp ,

_____________ 31 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 34n.

85

co oznacza, że działanie operatora położenia sprowadza się do pomnożenia

wektora stanu przez liczbę x, y lub z w danym układzie współrzędnych;

symbol (czytaj: „nabla”) jest operatorem, który działając na wektor

stanu oblicza pochodne po x, y i z odpowiednio (pomnożone przez współ-

czynnik liczbowy i ). Nabla jest zatem operatorem różniczkowym o

składowych:

),,(dz

d

dy

d

dx

d .

Przyporządkowanie wtórne dotyczy wielkości fizycznych, które w me-

chanice klasycznej są funkcjami położenia i pędu. Na przykład energia ki-

netyczna wyraża się wzorem: m

pE

2

2

, zatem zastępując klasyczne wyra-

żanie na pęd operatorem pędu otrzymujemy operator energii, zwany hamil-

tonianem układu. Dla cząstki swobodnej o masie m ma on następującą po-

stać:

22

2

mH

.

W przypadku jednowymiarowym dla cząstki swobodnej działanie ope-

ratora położenia sprowadza się do pomnożenia wektora stanu przez x; ope-

rator pędu ma postać:

dx

dip ,

natomiast hamiltonian określony jest jako:

2

22

2 dx

d

mH

.

86

Przyporządkowanie nieklasyczne dotyczy takich wielkości fizycznych,

które nie mają analogii w mechanice klasycznej. Typowym przykładem jest

wewnętrzny moment pędu, czyli spin cząstki. Dla cząstki takiej, jak elek-

tron, rzut spinu na dowolny kierunek w przestrzeni wynosi zawsze 2

1.

Mówimy, że jest to typowo kwantowa wielkość, ponieważ operatora spinu

nie można wyrazić za pomocą operatorów położenia i operatorów różnicz-

kowania. Ponadto, chociaż występują pewne analogie między klasycznym

momentem pędu a spinem, to jednak spin nie poddaje się w ogóle poglą-

dowym wyobrażeniom. W szczególności zaś wyobrażenie sobie elektronu

jako „wirującej kulki” prowadziłoby do niezgodnego z teorią względności

wniosku, że „na równiku” prędkość wirowania elektronu musiałaby wielo-

krotnie przewyższać prędkość światła w próżni. Nieklasyczne operatory są

zdefiniowane przez odpowiednie warunki komutacji.

Jeżeli działanie operatora hermitowskiego na wektor stanu daje

w rezultacie ten sam wektor stanu pomnożony przez pewną liczbę rze-

czywistą a, wówczas równanie:

a

nazywamy równaniem własnym operatora, wektor – wektorem wła-

snym (eigenvector), zaś liczbę a – wartością własną operatora (eigenva-

lue). Operatory hermitowskie charakteryzują się tym, że ich wartości wła-

sne wyrażane są liczbami rzeczywistymi i są interpretowane jako możliwe

wyniki pomiarów wielkości fizycznych.

III: Ewolucja stanu układu kwantowego w czasie

87

Dynamikę układu kwantowomechanicznego opisuje (w przypadku nie-

relatywistycznym32) równanie Schrödingera:

)()( tHtdt

di ,

gdzie H jest hamiltonianem układu.

Równanie Schrödingera pełni w mechanice kwantowej rolę analogiczną

do równania Newtona w mechanice klasycznej: jeżeli dany jest stan układu

w pewnej chwili to, )( 0t to można w sposób jednoznaczny przewidzieć

stan układu w dowolnej chwili późniejszej )(t . W tym znaczeniu rów-

nanie Schrödingera jest równie deterministyczne, jak równanie Newtona.

Istotna różnica między mechaniką klasyczną a mechaniką kwantową po-

lega na tym, że wektor stanu nie reprezentuje żadnej wielkości fizycznej

mierzalnej, a może być powiązany z doświadczeniem jedynie wówczas,

gdy nastąpi pomiar jakiejś wielkości fizycznej. Formalizm matematyczny

mechaniki kwantowej pozwala na przewidywanie prawdopodobieństw re-

zultatów pomiarów i w tym sensie jest ona teorią indeterministyczną.

IV: Postulat pomiaru

Dla układu znajdującego się w stanie prawdopodobieństwo uzyska-

nia w rezultacie pomiaru wartości własnej ai odpowiadającej wektorowi

własnemu i operatora Ω wynosi:

2

)( iap i .

_____________ 32 W przypadku relatywistycznym, czyli uwzględniającym szczególną teorię względ-

ności Einsteina, jest to nieco inne równanie, zwane równaniem Diraca. Dla naszych roz-

ważań jednak różnica między relatywistyczną a nierelatywistyczną mechaniką kwantową

nie ma większego znaczenia.

88

Postulat pomiaru stanowi o fundamentalnej różnicy między mechaniką

klasyczną a mechanika kwantową, a także jest źródłem kontrowersji inter-

pretacyjnych wokół mechaniki kwantowej i dlatego wymaga szerszego

omówienia.33

Sytuacja jest następująca: dopóki nie obserwujemy układu kwantowego,

to jego zmiany w czasie opisywane są ciągłym i deterministycznym rów-

naniem Schrödingera (ewolucja unitarna). Proces pomiaru jest natomiast

opisany przez radykalnie odmienną procedurę – nieciągłą i indetermini-

styczną redukcję wektora stanu (state vector reduction). W rezultacie po-

miaru układ „przeskakuje” do jednego ze stanów własnych mierzonej ob-

serwabli. Można przewidzieć jedynie prawdopodobieństwo rezultatu po-

miaru. Wprawdzie wektor stanu zmienia się w czasie zgodnie z równaniem

Schrödingera w sposób całkowicie deterministyczny, to jednak wektor

stanu jest na ogół superpozycją wszystkich wektorów własnych odpowia-

dających mierzonej wielkości fizycznej, które reprezentują wszystkie moż-

liwe wyniki pomiarów. Możemy zatem powiedzieć, że deterministyczna

ewolucja dotyczy kwantowych możliwości, czy też potencjalności, nato-

miast akt pomiaru powoduje aktualizację jednej z tych potencjalności.

Warto w tym miejscu podać geometryczną interpretację wektora stanu i

procesu pomiaru.

Rozważmy najprostszy przypadek dwuwymiarowej przestrzeni Hil-

berta, którego bazę stanowią wektory własne i (por. rys. #). Wykonaniu

pomiaru wielkości fizycznej odpowiada rzutowanie wektora stanu na pod-

przestrzeń przestrzeni Hilberta (to znaczy w tym przypadku kierunek wy-

znaczony przez i . Prawdopodobieństwo określonego rezultatu pomiaru

jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na tę podprzestrzeń, czyli kwa-

dratowi iloczynu skalarnego: 2

)( iap i , czyli po prostu kwadratowi

zespolonej amplitudy prawdopodobieństwa. Po wykonaniu pomiaru stan

_____________ 33 Operatory rzutowe oznaczamy wielką literą z odpowiednim indeksem – np. Pi, na-

tomiast prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru oznaczamy mała literą – np. p(ai).

89

układu jest reprezentowany przez i (ściślej rzecz biorąc ten nowy wek-

tor stanu należy podzielić przez jego długość, czyli unormować, ponieważ

rzut wektora na dowolny kierunek ma mniejszą długość niż ten wektor, a

wektor stanu powinien być unormowany do jedności tak aby prawdopodo-

bieństwa otrzymania jakiegokolwiek wyniku sumowały się do jedności).

Procesy pomiarów różnych obserwabli możemy zatem opisać za po-

mocą operatorów rzutowych, których działanie na wektor stanu spro-

wadza się właśnie do ich rzutowania na odpowiednią podprzestrzeń wek-

torów własnych:

iiPi .

Prawdopodobieństwo otrzymania określonej wartości mierzonej wiel-

kości fizycznej jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na wektor wła-

sny odpowiadający mierzonej wielkości.

2

)( iap i .

Powróćmy na chwilę do eksperymentu z dwiema szczelinami. Mówili-

śmy, że w eksperymencie tym foton (czy elektron) porusza się „w pewnym

sensie” po dwóch drogach równocześnie oraz wspominaliśmy, że jest to

uproszczenie. Otóż poprawniej należałoby powiedzieć w sposób następu-

jący: to nie tyle foton ulega „rozszczepieniu”, lecz wektor stanu fotonu

znajduje się w superpozycji stanów odpowiadających drodze „przez szcze-

linę pierwszą” i „przez szczelinę drugą”. Nie znaczy to jednak, że foton

porusza się z prawdopodobieństwem ½ po jednej drodze i z prawdopodo-

bieństwem ½ po drodze drugiej, ponieważ określone prawdopodobieństwo

dotyczy wyłącznie rezultatu pomiaru, a nie zachowania fotonu pomiędzy

pomiarami. Po wykonaniu pomiaru (w tym przypadku po określeniu, którą

drogą porusza się foton) stan fotonu ulega redukcji i „urzeczywistnia się”

jedna z dróg. Przed pomiarem mamy do czynienia z superpozycją dwóch

stanów. W mechanice klasycznej pomiar ujawnia stan, w jakim znajdował

90

się układ przed pomiarem i niezależnie od niego. W mechanice kwantowej

otrzymujemy informację na temat stanu układu tuż po pomiarze w wyniku

oddziaływania kwantowego obiektu z przyrządem pomiarowym.

Podsumowanie

Kwantowomechaniczny opis rzeczywistości fizycznej możemy krótko

podsumować następująco: stan układu fizycznego jest reprezentowany

przez wektor z zespolonej przestrzeni Hilberta. Wszystkie możliwe

stany układu fizycznego są reprezentowane przez wektory bazy w tej prze-

strzeni. Obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie dzia-

łające w przestrzeni Hilberta. Możliwe wartości obserwabli są wartościami

własnymi tych operatorów. Amplitudy prawdopodobieństwa uzyskania w

pomiarze określonych wartości własnych określone są przez iloczyn ska-

larny wektora stanu i wektora bazy. Symetrie układu są reprezentowane

przez transformacje unitarne. Można to wyrazić w następującej tabeli:34

Przyroda Mechanika kwantowa

Układ fizyczny

Przestrzeń Hilberta H

Stan układu fizycznego Wektor z przestrzeni Hilberta

Możliwe stany układu Zbiór wektorów bazy

Obserwable Operatory hermitowskie

Możliwe wartości obserwabli Wartości własne operatorów

Amplitudy prawdopodobieństwa Iloczyn skalarny

Symetrie Transformacje unitarne

Zastosowanie formalizmu mechaniki kwantowej do opisu stanu układu

w pewnej chwili można streścić następująco:35

_____________ 34 Por. J. F. Dawson, Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications,

s. 3. 35 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 124-125.

91

1. Należy skonstruować odpowiedni operator hernitowski repre-

zentujący wielkość fizyczną mierzalną (obserwablę).

2. Należy wyznaczyć ortonormalne wektory własne i oraz wartości

własne ia operatora .

3. Należy zapisać wektor stanu w bazie tych wektorów wła-

snych:

iii

.

4. Prawdopodobieństwo )( iap otrzymania w wyniku pomiaru warto-

ści własnej ia operatora jest równe kwadratowi modułu rzutu wek-

tora stanu na wektor własny i , czyli 2

)( iap i. Wyko-

rzystując własności operatorów rzutowych możemy to zapisać na-

stępująco: iiiap i

2

)( = iP = ii PP =

ii PP .

Rozważmy pewne pomiary elementarne, które charakteryzują się tym,

że na każde z pytań elementarnych można uzyskać tylko jedną z dwóch

możliwych odpowiedzi: „tak” albo „nie”.36 Możemy przypisać wartości 1

albo 0 zmiennym dynamicznym, lub – co na jedno wychodzi – wartości

logiczne „prawda” lub „fałsz” odpowiednim zdaniom. Na przykład mo-

żemy przypisać wartość 1, gdy cząstka znajduje się w określonym obszarze

przestrzeni i wartość 0, gdy znajduje się poza tym obszarem, albo, inaczej

mówiąc, wartość „prawda” zdaniu stwierdzającemu, że cząstka znajduje

się w określonym obszarze i „fałsz”, gdy cząstka znajduje się poza danym

obszarem.37 Jeżeli w pomiarze elementarnym uzyskaliśmy odpowiedź

_____________ 36 Por. I. Białynicki-Birula, Z. Białynicka-Birula, Elektrodynamika kwantowa, War-

szawa 1974, s.16n. 37 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement…, 598.

92

„tak”, to znaczy, że nastąpiła redukcja wektora stanu do jednego ze

stanów własnych i operatora, co w interpretacji geometrycznej oznacza

rzutowanie wektora stanu na wektor własny i (dla unormowanego

do jedności wektora stanu prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru jest

oczywiście równe kwadratu długości rzutu 2

)( iap i). Po pomiarze

układ znajduje się w jednym dobrze określonym stanie i . Jeżeli uzyska-

liśmy odpowiedź „nie”, to oznacza rzutowanie wektora stanu na do-

pełnienie ortogonalne stanu i , czyli na podprzestrzeń wszystkich wekto-

rów ortogonalnych do i , co znaczy, że odpowiedź „nie” odpowiada wielu

różnym możliwościom.

Niech A oznacza podprzestrzeń odpowiadającą operatorowi rzutowemu

AP oraz prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 2

)( APAp . Wów-

czas prawdopodobieństwo zdarzenia nie-A obliczamy działając na wektor

stanu operatorem rzutowym API na podprzestrzeń ortogonalną do A (I

jest operatorem jednostkowym):

)(1)()(2

ApPPIPI AAA .

Operator I rzutujący na cała przestrzeń Hilberta reprezentuje pytanie, na

które odpowiedź zawsze brzmi „tak”.

Operator PI reprezentuje zaprzeczenie pytania P .

Jeśli odpowiedź „tak” na pytanie pierwsze zawsze pociąga za sobą od-

powiedź „tak” na pytanie drugie, to podprzestrzeń, na którą rzutuje 1P jest

zawarta w podprzestrzeni, na którą rzutuje 2P .

Pytanie reprezentowane przez połączenie pytań spójnikiem „i” repre-

zentowane jest przez iloczyn operatorów rzutowych 12PP (pod warunkiem,

ze jest on operatorem rzutowania),

93

Pytanie reprezentowane przez połączenie pytań spójnikiem „lub” repre-

zentowane jest przez sumę operatorów rzutowych 21 PP (pod warunkiem,

ze jest on operatorem rzutowania).

Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że stan układu, począt-

kowo reprezentowany przez wektor stanu, w rezultacie oddziaływań z oto-

czeniem staje się bardzo skomplikowany i nie ma możliwości operacyj-

nego rozróżnienia pomiędzy różnymi, bardzo podobnymi stanami. W takiej

sytuacji „dla wszystkich celów praktycznych” do opisu układu stosuje się

probabilistyczną mieszaninę różnych wektorów stanu. Stany takie nazy-

wamy stanami mieszanymi (mixed states) w odróżnieniu od stanów czys-

tych (pure states), reprezentowanych przez wektor (promień) w przestrzeni

Hilberta. Do matematycznego opisu takich stanów stosuje się macierz gę-

stości (density matrix). Reprezentuje ona właśnie probabilistyczną miesza-

ninę różnych stanów, co oznacza, że nie wiemy, w jakim stanie znajduje się

układ, lecz każdemu wektorowi stanu przypisujemy pewne prawdopodo-

bieństwo.38

Macierz gęstości jest obiektem (operatorem) o postaci:

W rozdziale # zdefiniowaliśmy ślad macierzy jako sumę elementów

przekątniowych. Ślad macierzy gęstości obliczamy po prostu przestawiając

kolejność czynników iloczynu tensorowego i otrzymujemy w ten sposób

iloczyn skalarny:

)(tr

Powiedzmy, że macierz gęstości ma opisywać pewną mieszaninę proba-

bilistyczną stanów i , które mogą występować z prawdopodobień-

stwem a i b odpowiednio. Wówczas macierz gęstości D przedstawia się

_____________ 38 Por. R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 390n.

94

następująco:

baD

Ponieważ suma prawdopodobieństw wszystkich możliwości musi być

równa jedności, to ślad macierzy gęstości musi wynosić jeden:

1)()( babaabatrDtr

Wykorzystaliśmy tu fakt, że kety i są unormowane do jedności,

zatem 1 .

Macierz gęstości stosujemy do obliczania prawdopodobieństw rezulta-

tów pomiarów w następujący sposób: powiedzmy, że przeprowadzamy po-

miar elementarny i chcemy stwierdzić, czy układ jest w stanie (odpo-

wiedź „tak”). Pomiar jest reprezentowany przez operator rzutowy:

P .

Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku „tak” gdy pomiar jest zdefinio-

wany przez operator rzutowy P, a układ jest reprezentowany przez macierz

gęstości D wynosi:

)))((()( batrDPtrp

))( batr

)( batr

ba

22 |||| ba

95

Otrzymujemy zatem kwantowe prawdopodobieństwo 2|| stanu

i kwantowe prawdopodobieństwo 2|| stanu z klasycznymi

wagami a i b, reprezentującymi ich wkład w całkowite prawdopodobień-

stwo.

96

Indeterminizm mechaniki kwantowej

Przewidywanie przyszłych zjawisk jest jedną z podstawowych funkcji

teorii w naukach przyrodniczych. Chcemy wiedzieć, jak będzie się poru-

szać wystrzelony pocisk, po jakiej trajektorii powinna się poruszać sonda

kosmiczna, aby wylądowała w precyzyjnie określonym obszarze na Mar-

sie, byłoby niezmiernie cenne, gdyby można było precyzyjnie przewidzieć

trajektorię tornada czy nadejście fali tsunami. Możliwość przewidywania

zjawisk ma znaczenie nie tylko czysto teoretyczne, ale również doniosłe

znaczenie praktyczne. Oczywiste jest, że gdyby w przyrodzie nie występo-

wały pewne regularności, zwane prawami przyrody, żadne przewidywanie

zjawisk nie byłoby możliwe. Determinizmem nazywamy pogląd, że każde

zdarzenie jest wyznaczone przez swoją przyczynę i całokształt warunków

na mocy praw przyrody (aspekt ontologiczny), a zatem dysponując odpo-

wiednią wiedzą, można w zasadzie przewidzieć przyszły bieg zdarzeń

(aspekt epistemologiczny).39

Powstanie mechaniki klasycznej i jej sukcesy w wyjaśnianiu i przewi-

dywaniu zjawisk sprzyjały rozpowszechnieniu się poglądu, że fundamen-

talne prawa przyrody mają charakter deterministyczny. Mówimy, ze me-

chanika klasyczna jest teorią deterministyczną, to znaczy, że stan układu

mechanicznego w pewnej chwili w sposób jednoznaczny wyznacza stan

układu w dowolnej chwili późniejszej. Stan układu fizycznego w mecha-

nice klasycznej jest jednoznacznie wyznaczony przez pędy i położenia ele-

mentów układu w pewnej chwili: )(),( 00 trtp

. Jeżeli znamy stan układu w

pewnej chwili, działające siły i odpowiednie prawa (równania Newtona),

to – przynajmniej teoretycznie – możemy przewidywać przyszłe zachowa-

nie układu. Możemy powiedzieć, że zgodnie z mechaniką klasyczną świat

ma tylko jedną historię: to, co się dzieje teraz (na gruncie mechaniki kla-

sycznej pojęcie równoczesności ma charakter absolutny) w sposób jedno-

znaczny determinuje przyszłe stany Wszechświata. Zdarzenia muszą dziać

_____________ 39 W. Krajewski (red.), Słownik pojęć filozoficznych, Wydawnictwo Naukowe Scholar,

Warszawa 1996, s. 34.

97

się tak a nie inaczej, ponieważ te same przyczyny w takich samych warun-

kach powodują takie same skutki. Pojęcie przypadku w mechanice klasycz-

nej nie ma obiektywnego znaczenia, lecz odzwierciedla jedynie naszą nie-

wiedzę o rzeczywistej sytuacji.

Precyzyjniej rzecz ujmując deterministyczny charakter mechaniki kla-

sycznej można przedstawić następująco: dynamikę układu opisuje równa-

nie Newtona (dla uproszczenia rozważmy ruch jednej o masie m cząstki

pod działaniem siły F

):

Fdt

trdm

2

2 )(

Jest to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu. Cechą

charakterystyczną liniowych równań różniczkowych jest to, że ich rozwią-

zania są jednoznaczne, co znaczy, że jeżeli znamy warunki początkowe

oraz matematyczną postać działających sił, to możemy z całkowitą pewno-

ścią przewidzieć przyszłe zachowanie układu. Warunki początkowe mu-

simy określić eksperymentalnie przez odpowiednie pomiary. Zgodnie z

mechaniką klasyczną nie istnieją zasadnicze ograniczenia na możliwą do-

kładność pomiaru pędu i położenia, zatem im dokładniej określimy wa-

runki początkowe, tym dokładniejsze będą nasze przewidywania.40 Teore-

_____________ 40 Warunek ten nie jest już jednak spełniony w układach nieliniowych opisywanych

przez teorię chaosu deterministycznego. Układy nieliniowe, czyli takie, których dynamika

opisywana jest nieliniowymi równaniami różniczkowymi wykazują wrażliwość na wa-

runki początkowe (tzw. efekt motyla). Dowolnie mały błąd w określeniu warunków po-

czątkowych może prowadzić do bardzo dużych błędów w przewidywaniu zachowania

układu. Długoterminowe przewidywanie dynamiki takich układów jest praktycznie nie-

możliwe, czego najbardziej znanym przykładem są zjawiska pogodowe. Szczególnie po-

lecam na ten temat: I. Prigogine, I. Stangers, Z chaosu ku porządkowi. Nowy dialog czło-

wieka z przyrodą, tłum. K. Lipszyc, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1990; I.

Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, tłum. M. Tempczyk, W. Komar,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995; J. Gleick, Chaos. Narodziny nowej nauki,

tłum. P. Jaśkowski, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1996; M. Tempczyk, Teoria chaosu

98

tycznie rzecz biorąc, możemy dowolnie zwiększać precyzję pomiarów pę-

dów i położeń, a zatem nieograniczenie zbliżać się do stanu perfekcji po-

znawczej, sformułowanej w koncepcji Laplace’a. Pierre Simon de Laplace

wymyślił pewną hipotetyczną istotę, zwaną obecnie demonem Laplace’a,

która zdobywałaby wiedzę o świecie w podobny sposób, jak fizyk posłu-

gujący się mechaniką Newtona, wolna byłaby jednak od naszych czysto

ludzkich ograniczeń poznawczych związanych z nieumiejętnością rozwią-

zania zbyt wielkiej liczby równań oraz błędów popełnianych podczas rze-

czywistych pomiarów. Laplace pisał: „Intelekt, który w danym momencie

znałby wszystkie siły działające w przyrodzie i wzajemne położenia skła-

dających się na nią bytów i który byłby wystarczająco potężny, by poddać

te dane analizie, mógłby streścić w jednym równaniu ruch największych

ciał wszechświata oraz najdrobniejszych atomów; dla takiego umysłu nic

nie byłoby niepewne, a przyszłość, podobnie jak przeszłość, miałby przed

oczami”.41 Na gruncie mechaniki klasycznej można mówić nie tylko o do-

wolnie dokładnym przewidywaniu przyszłych zdarzeń, ale również o do-

wolnie dokładnym odtwarzaniu zdarzeń przeszłych, ponieważ prawa me-

chaniki klasycznej są niezmiennicze względem inwersji w czasie (nie wy-

różniają żadnego kierunku czasu). Taki deterministyczny paradygmat pa-

nował w fizyce od powstania mechaniki Newtona aż do lat trzydziestych

XX wieku.

Mechanika kwantowa nie jest zgodna z ideałem deterministycznej prze-

widywalności sformułowanym w mechanice klasycznej – zamiast absolut-

nej pewności co do przyszłych zdarzeń możliwe jest jedynie przewidywa-

nie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów. Fakt ten budził niepokój

wielu uczonych, co Einstein ujął w sławnym aforyzmie „Bóg nie gra w

kości”. Wszystko jednak wskazuje na to, że pojęcie prawdopodobieństwa

odgrywa w mechanice kwantowej fundamentalną rolę i „musimy zastoso-

wać teorię prawdopodobieństwa nie z powodu niewiedzy lub złożoności

_____________

a filozofia, Wydawnictwo CiS, Warszawa 1998; M. Tempczyk, Świat harmonii i chaosu,

Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1995. 41 P. S. de Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, Paris 1814, [w:]

http://www.answers.com/topic/pierre-simon-laplace.

99

problemu, ale dlatego, że fundamentalne prawa fizyczne mają charakter

probabilistyczny”.42 Z punktu widzenia mechaniki kwantowej przyszłość

jest nieprzewidywalna. „Jeśli oryginalnym celem fizyki było – a wszyscy

sądzili, że tak właśnie było – poznanie praw, które pozwolą w danej sytua-

cji przewidzieć, co się stanie dalej, to w pewnym sensie fizycy skapitulo-

wali”.43

Rozważmy pewien przykład – rozpad promieniotwórczy.44 Proces ten

polega na spontanicznym przekształcaniu się jąder pierwiastków promie-

niotwórczych w jądra innych pierwiastków. Znane jest prawo rozpadu pro-

mieniotwórczego:

teNtN 0)( ,

zgodnie z którym liczba atomów pierwiastka promieniotwórczego )(tN po

_____________ 42 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 154. Klasyczne prawdopodobień-

stwo interpretowane jest zwykle w sposób czysto epistemiczny, to znaczy jako odzwier-

ciedlenie braku wiedzy idealnego obserwatora o układzie (por. M. Heller, Geneza praw-

dopodobieństwa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 2006, XXXVIII, s. 61-75). Zau-

ważyć jednak należy, że nawet takie „subiektywistyczne” rozumienie prawdopodobień-

stwa nie podważa obiektywnego charakteru praw statystycznych w nauce. 43 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 154. Szerzej o zagadnieniu granic

poznania z perspektywy współczesnych nauk przyrodniczych por. A. Łukasik, Prawda,

prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicznych konsekwencjach me-

chaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy

w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-

Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55; A. Łukasik, Fizyka i zagadnienie granic

poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnic-

two UMCS, Lublin 1998, s. 223-235; H. Eilstein, Uwagi o stosunku scjentyzmu do opty-

mizmu poznawczego, „Filozofia Nauki” 2007, nr 4 (60); H. Eilstein, Uwagi o sporze rea-

lizmu naukowego z instrumentalizmem, [w:] E. Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z

perspektywy nauki i filozofii, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 1998; H. Eilstein,

Uwagi o granicach potencji poznawczej podmiotu naturalnego, [w:] E. Kałuszyńska

(red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 1998. 44 Por. Cz. Białobrzeski, Podstawy poznawcze fizyki świata atomowego, Państwowe

Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1984, s. 43n.

100

czasie t jest proporcjonalna do początkowej liczby atomów 0N pomnożo-

nej przez czynnik te , gdzie jest charakterystyczną dla danego pier-

wiastka stała rozpadu, e jest podstawą logarytmów naturalnych. Dla każ-

dego pierwiastka promieniotwórczego znany jest ściśle określony czas po-

łowicznego zaniku, to znaczy czas, w którym średnio połowa atomów z

danej próbki ulegnie rozpadowi. Na przykład dla polonu wynosi on 138 dni

– po upływie tego czasu średnio połowa atomów polonu w danej próbce

ulegnie rozpadowi. Jeżeli jednak weźmiemy pod uwagę konkretny atom,

to – zgodnie z mechaniką kwantową – nie istnieją prawa, które określałyby,

czy atom ten rozpadnie się on po 138 dniach, po 1 dniu, czy też za 100 lat.

Prawo rozpadu promieniotwórczego ma charakter czysto statystyczny i jest

tym lepiej spełnione, im większą próbkę pierwiastka rozważamy.45 Czas

rozpadu poszczególnego atomu jest całkowicie niezdeterminowany.

Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa

Początki rachunku prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku i związane

były z oceną szans wygranej w grach hazardowych. Obecnie rachunek

prawdopodobieństwa jest fundamentalnym narzędziem mechaniki kwanto-

wej.

Laplace (1812) zdefiniował prawdopodobieństwo następująco: jeżeli

zdarzenie E może zajść na jeden z n wykluczających się i jednakowo moż-

liwych sposobów, to prawdopodobieństwo zdarzenia p (E) jest równe sto-

sunkowi m liczby zdarzeń sprzyjających zajściu E do wszystkich możli-

wych zdarzeń n:

n

mEp )( ,

przy czym prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbą rzeczywistą z prze-

działu [0, 1]:

_____________ 45 O różnych rodzajach praw statystycznych por. W. Krajewski, Prawa nauki,

101

.1)(0 Ep

Definicja ta może być stosowana jedynie wówczas, gdy m i n są licz-

bami skończonymi, jest ponadto niedoskonała pod względem formalnym,

ponieważ zawiera błędne koło (circulus vitiosus) – zakłada się mianowicie,

że wszystkie zdarzenia n są jednakowo możliwe, co znaczy tyle, co jedna-

kowo prawdopodobne. Może być jednak stosowana w wielu przypadkach,

takich jak na przykład obliczenie prawdopodobieństwa określonego rezul-

tatu podczas rzutu kostką czy prawdopodobieństwa wylosowania określo-

nej kombinacji liczb podczas gry w Lotto jako kombinatoryczny sposób

obliczania prawdopodobieństwa.

Na przykład w przypadku rzutu kostką możliwych jest 6 zdarzeń ele-

mentarnych: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia

szóstki wynosi p (6) = 1/6 (jedno zdarzenie sprzyjające 6); prawdopodo-

bieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi p (P) = 3/6 = 1/2 (trzy zda-

rzenia sprzyjające: 2, 4, 6).

Mechanika kwantowa powstała w ciągu pierwszych trzech dekad XX

wieku. W tym samym czasie sformułowano dwie różne teorie prawdopo-

dobieństwa – klasyczną (Andriej Kołmogorow, 1933)46 i kwantową (John

von Neumann, 1936).47 Definicja Laplace’a nazywana bywa „klasyczną

definicją prawdopodobieństwa”, definicja Kołmogorowa natomiast

„współczesną definicją prawdopodobieństwa”. W dalszej części również

dla definicji Kołmogorowa będziemy stosować określenie „klasyczna” w

celu odróżnienia jej od „kwantowej” definicji von Neumanna.

Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa zdarzenia losowe

(events) A, B, C… są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń ele-

mentarnych Ω (sample space). Pojęcie zdarzenia losowego jest tu trakto-

_____________ 46 A. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Com-

pany, New York 1956 (1933). 47 J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton

University Press, Princeton 1955 (1932).

102

wane jako pojęcie pierwotne, którego się nie definiuje, podobnie jak poję-

cie punktu, prostej i płaszczyzny w geometrii. Zdarzenie losowe jest to coś,

co może zajść lub nie, coś, co leży całkowicie poza możliwością naszej

kontroli. Typowymi przykładami zdarzeń losowych są wyrzucenie określo-

nej liczby oczek przy rzucie kostką, wypadnięcie określonej liczby w grze

w ruletkę czy też wylosowanie kuli z określonym numerem podczas gry w

Lotto.

Jeżeli mamy określone zdarzenia elementarne A, B, C… wówczas mo-

żemy tworzyć zdarzenia złożone – koniunkcję zdarzeń A i B, która zacho-

dzi, gdy zachodzi zarówno A, jak i B; alternatywę zdarzeń A lub B, która

zachodzi, gdy zachodzi A lub B lub obydwa zdarzenia równocześnie. Zda-

rzenie przeciwne nie-A polega na tym, że zdarzenie A nie zachodzi.

Rys. #. Koniunkcja zdarzeń A i B jako iloczyn zbiorów BA

Rys. #. Alternatywa zdarzeń A lub B jako suma zbiorów BA

103

Rys. #. Zdarzenie przeciwne do A nie-A jako dopełnienie zbioru A .

Ponieważ zdarzenia są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń

elementarnych Ω, to iloczynowi zdarzeń A i B odpowiada iloczyn zbiorów

BA (intersection), alternatywie A lub B suma zbiorów BA (union),

natomiast zdarzeniu przeciwnemu do A, czyli nie-A odpowiada dopełnienie

zbioru A (complement). Zdarzenia, które nie mogą zajść równocześnie na-

zywamy zdarzeniami wykluczającym się. Przykładem może być wyrzuce-

nie jednocześnie orła i reszki w rzucie monetą. Zdarzenie, które nigdy nie

zachodzi nazywamy zdarzeniem niemożliwym (na przykład AA ). Zda-

rzenie, które zawsze zachodzi nazywamy zdarzeniem pewnym (na przykład

AA ). Zdarzeniami niezależnymi nazywamy takie zdarzenia, dla któ-

rych zajście jednego nie wpływa na zajście drugiego. W przeciwnym wy-

padku zdarzenia nazywamy zależnymi.

Rozważmy następujący przykład: powiedzmy, że w urnie znajduje się 5

kul białych i 10 kul czarnych, czyli razem 15 kul. Prawdopodobieństwo

wylosowania kuli białej wynosi 3

1

15

5)( Bp , prawdopodobieństwo wy-

losowania kuli czarnej wynosi 3

2

15

10)( Cp . Obliczmy prawdopodo-

bieństwo wylosowania w dwóch kolejnych losowaniach kuli białej przy

następujących warunkach doświadczenia: 1) kulę po wylosowaniu zwra-

camy do urny; 2) kuli po wylosowaniu nie zwracamy do urny.

Jeżeli po wylosowaniu zwracamy kule do urny, to w następnym losowa-

niu prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest takie samo jak w

104

pierwszym losowaniu 3

1)( Bp . Zdarzenia te są niezależne i prawdopo-

dobieństwo wylosowania kuli białej zarówno w pierwszym jak i w drugim

losowaniu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

9

1

3

1

3

1)( BBp .

W przypadku losowania kul bez ich zwracania do urny mamy do czy-

nienia ze zdarzeniami zależnymi – prawdopodobieństwo wylosowania kuli

białej w drugim losowaniu próbie zależy od tego, czy w pierwszym wylo-

sowano kulę biała czy też czarną. Załóżmy, że w pierwszym losowaniu wy-

losowano kulę białą. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli

białej w drugim losowaniu wynosi 7

2

14

4)( Bp . Prawdopodobieństwo

wylosowania kuli białej w drugim losowaniu pod warunkiem, że w pierw-

szym losowaniu wylosowano kulę białą wynosi:

21

2

7

2

3

1)|( BBp .

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy następujące

wartości prawdopodobieństw: dla losowania ze zwracaniem 63

7)|( BBp

, dla losowania bez zwracania: 63

6)|( BBp , a zatem prawdopodobień-

stwo wylosowania kolejno dwóch kul białych w losowaniu bez zwracania

jest mniejsze.

W aksjomatyzacji Kołmogorowa prawdopodobieństwo zdarzenia E jest

funkcją określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω o wartościach w

przedziale [0, 1], spełniającą następujące aksjomaty:48

_____________ 48 A. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Com-

pany, New York 1956, s. 2.

105

1. 1)(0 EP .

2. Jeśli zdarzenia A, B, … wykluczają się parami (tzn. 0 BA ), to

prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie prawdopodo-

bieństw: )()()( BPAPBAP .

3. 1)( P . Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jed-

ności.

W kwantowej teorii prawdopodobieństwa zamiast zbioru zdarzeń ele-

mentarnych Ω mamy zespoloną przestrzeń Hilberta H.49 W teorii klasycz-

nej zdarzenia są reprezentowane przez podzbiory zbioru zdarzeń elemen-

tarnych, w teorii kwantowej zdarzenia są reprezentowane przez podprze-

strzenie przestrzeni Hilberta. W przestrzeni Hilberta (skończenie wymia-

rowej) zbiór wektorów ,...,1, Nii stanowi ortonormalną bazę. Jeżeli

zdarzenia A i B są reprezentowane podprzestrzenie AV i BV przestrzeni Hil-

berta, to koniunkcji zdarzeń A i B odpowiada podprzestrzeń rozpięta nad

BA VV , alternatywie zdarzeń A lub B odpowiada podprzestrzeń rozpięta

nad BA VV , zdarzeniu przeciwnemu do A, czyli zdarzeniu nie-A odpo-

wiada podprzestrzeń ortogonalna do AV .

Z każdą podprzestrzenią związany jest operator rzutowy AP , który rzu-

tuje wektor stanu na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie:

AP .

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe kwadratowi rzutu wektora

_____________ 49 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement: The Challenge of Quantum Mecha-

nics, „The British Journal for the Philosophy of Science” 2000, Vol. 51 (Special Supple-

ment), s. 597-615; Z. Wang, J. R. Busemeyer, H. Atmanspacher, E. M. Potos, The Potential

Using Quantum Theory…, .s. 685-686; J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s.

89n.

106

stanu na podprzestrzeń reprezentującą to zdarzenie i wyraża się wzorem

(twierdzenie Gleasona):50

AAAA PPPPAp2

)( .

Analogicznie do klasycznej definicji prawdopodobieństwa aksjomaty

definicji kwantowej można zapisać następująco:

1. 1)(02

APAP .

2. Jeśli zdarzenia A, B, … wykluczają się parami (tzn. 0 BA ), to

prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie prawdopodo-

bieństw: )()()( BPAPBAP .

3. 1)( HP . Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jed-

ności.

W teorii klasycznej, jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie,

czyli 0 BA , to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń równe jest sumie

prawdopodobieństw:

).()()( BpApBAp

Podobnie w teorii kwantowej dla dwóch wykluczających się zdarzeń A,

B prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wyraża się wzorem:

)()()()(222

BpApPPPPBAp BABA .

Prawdopodobieństwo sumy niewykluczających się zdarzeń równe jest

_____________ 50 Por. A. M. Gleason, Measures on the closed subspaces of a Hilbert space, „Journal

of Mathematical Mechanics” 1957, 6, p. 885-893 (http://www.iap.tu-darmstadt.de/tqp/ue-

bungen/qinfo11/Gleason.pdf).

107

sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodo-

bieństwo ich iloczynu:

).()()()( BApBpApBAp

Oczywiście, jeśli zdarzenia są niezależne A i B wykluczają się wzajem-

nie, czyli 0 BA , to prawdopodobieństwo sumy równe jest sumie

prawdopodobieństw.

W teorii klasycznej prawdopodobieństwo warunkowe (conditional pro-

bability) określone jest następująco: jeżeli zaobserwowano zdarzenie A,

wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem, że nastąpiło A

wyraża się wzorem:

)(

)()|(

Ap

BApABp

.

W teorii kwantowej prawdopodobieństwo warunkowe wyraża się nastę-

pującym wzorem:

)()|(

2

Ap

PPABp

AB .

W teorii klasycznej, jeżeli A i B są dwoma zdarzeniami, to zawsze mo-

żemy zdefiniować iloczyn zdarzeń ABBA , a prawdopodobień-

stwo iloczynu zdarzeń wyraża się wzorem:

).()|()()|()()( ABpBApBpABpApBAp

Kolejność zdarzeń nie ma przy tym znaczenia. Jeżeli zajście zdarzenia

A nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia B, czyli

)()|( BpABp , wówczas prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń jest

równe iloczynowi prawdopodobieństw (zdarzenia są wówczas niezależne):

108

)()()( BpApBAp .

W kwantowej teorii prawdopodobieństwa nie zawsze można zdefinio-

wać iloczyn zdarzeń – jest to możliwe jedynie wówczas, gdy reprezentu-

jące wielkości fizyczne mierzalne A i B operatory komutują ze sobą, czyli

posiadają wspólną bazę wektorów własnych. Jeżeli tak nie jest, czyli A i B

są niezgodne (incompatible), wtedy możemy zdefiniować jedynie sekwen-

cję zdarzeń „A, następnie B”, co oznaczymy ),( BA i kolejność zdarzeń ma

znaczenie, co nazywamy efektem kolejności (order effect). Prawdopodo-

bieństwo zdarzeń „A, następnie B” wyraża się wzorem:

2

)|()(),( ABPPABpApBAp .

Obliczanie prawdopodobieństwa „A, następnie B” ),( BA odpowiada

rzutowanie najpierw na podprzestrzeń reprezentującą A, a następnie – po

unormowaniu wektora stanu do jedności, czyli podzieleniu go przez jego

długość – rzutowanie na podprzestrzeń reprezentującą B (por. rys. #):

.

)|()(),(

2

2

222

AB

A

AB

AABA

PP

P

PPPPPABpApBAp

109

Rys. #. Ilustracja geometryczna obliczania prawdopodobieństwa „A, następnie B” w me-

chanice kwantowej. Wektor stanu rzutujemy najpierw na podprzestrzeń reprezentującą

zdarzenie A, a następnie (po unormowaniu do jedności przez podzielenie rzutu wektora

przez jego długość) rzutujemy go na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie B.

Korzystając z definicji długości wektora (kwadrat długości wektora to

iloczyn tego wektora i jego sprzężenia zespolonego) wzór na obliczanie

prawdopodobieństwa „A, następnie B” możemy zapisać następująco:

||),(2

ABAABBAAB PPPPPPPPPBAp ,

przy czym uwzględniliśmy własność idempotencji operatorów rzutowych

BBB PPP (rzutowanie ponownie na tę samą podprzestrzeń nie zmienia

wektora stanu) i ich hermitowskość BB PP †

.

Zdarzeniu nie-A odpowiada rzutowanie na podprzestrzeń ortogonalną

do A , co reprezentuje operator API , zatem prawdopodobieństwo nie-A

wynosi:

)(1)()(2

ApPPIPIAp AAA .

110

Prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń A lub B, a ściślej zdarzeń „A

lub następnie B” (dla zdarzeń reprezentowanych przez podprzestrzenie roz-

pięte na różnych bazach również alternatywna A lub B nie daje się zdefi-

niować), co oznaczymy symbolem )(AorB odpowiada negacja sekwencji

zdarzeń nie-A, a następnie nie-B,51 czyli

2

1)( AB

PPAorBp .

W odróżnieniu od teorii klasycznej, w kwantowym rachunku prawdo-

podobieństwa kolejność zdarzeń na ogół ma znaczenie. Jedynie wówczas,

gdy odpowiednie operatory komutują, czyli ABBA PPPP (operatory takie

posiadają wspólną bazę wektorów własnych), kolejność jest bez znaczenia

i tylko wówczas można zdefiniować koniunkcję zdarzeń BA . W przy-

padku przeciwnym, to znaczy jeżeli zdarzenie A jest reprezentowane przez

podprzestrzeń AV rozpiętą na wektorach bazy ,...,1, NiVV i , nato-

miast zdarzenie B jest reprezentowane przez podprzestrzeń BW rozpiętą na

innych wektorach bazy ,...,1, NiWW i , to koniunkcja A i B nie daje

się zdefiniować i można określić jedynie sekwencję zdarzeń ),( BA : „A, na-

stępnie B”. Sprowadza się to do obliczenia iloczynu prawdopodobieństwa

zdarzenia A )(Ap przez prawdopodobieństwo warunkowe )|( ABp zda-

rzenia B, czyli prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło

A: rzutujemy najpierw wektor stanu na podprzestrzeń reprezentującą zda-

rzenie A, a następnie (po unormowaniu do jedności) na podprzestrzeń re-

prezentującą zdarzenie B.

Kolejna ważna różnica między klasyczną a kwantową teorią prawdopo-

dobieństwa to niespełnienie w tej ostatniej prawa rozdzielności (distribu-

tive axiom):52

_____________ 51 Wynika to z tautologii (prawa de Morgana) baba )( .

52 Por. J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s. 92.

111

)()()( CABACBA .

Rozważmy pewien szczególny przypadek prawa rozdzielności:

)()()( BABABBAA .

Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Wówczas

według klasycznej teorii prawdopodobieństwa:

).|()()|()(

)()(

))()((

))(()()(

BApBpBApBp

BApBAp

BApBAp

BBApApAp

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, że jeżeli zacho-

dzi zdarzenie A, to może zajść ono na dwa wykluczające się i wyczerpujące

sposoby: albo A zachodzi razem ze zdarzeniem B, albo A zachodzi bez zda-

rzenia B (to znaczy ze zdarzeniem przeciwnym B ). W mechanice kwan-

towej lewa strona aksjomatu rozdzielności, czyli wyrażenie )( BBA

nie sprawia problemu, ponieważ operator BP odpowiadający zajściu zda-

rzenia B komutuje z operatorem B

P odpowiadającemu zajściu zdarzenia

przeciwnego B , zatem alternatywa BB jest dobrze określona. Odpo-

wiadający jej operator rzutowy IPPBB jest operatorem jednostkowym

i rzutuje na całą przestrzeń Hilberta. Oczywiście operator jednostkowy I

komutuje z każdym operatorem, zatem również z operatorem rzutowym

odpowiadającym zajściu zdarzenia A AP i koniunkcja ABBA )(

również jest dobrze zdefiniowana. Problem jednak sprawia prawa strona

aksjomatu, czyli alternatywa )()( BABA . Jeżeli zdarzenie A repre-

zentuje podprzestrzeń AV z wektorami bazy ,...,1, NiVV i , nato-

miast zdarzenie B reprezentuje podprzestrzeń BV z innymi wektorami bazy

112

,...,1, NiWW i , to operator rzutowy AP nie komutuje z operatorem

rzutowym BP . Relacja koniunkcji jest z definicji przemienna:

ABBA i nie może być identyfikowana z iloczynem BAPP , ponie-

waż ABBA PPPP . Jak była już o tym mowa, ściśle rzecz biorąc w tym przy-

padku koniunkcja w ogóle nie ma sensu, ponieważ można jedynie zdefi-

niować sekwencję zdarzeń „A, następnie B” ),( BA . Możliwe jest więc, że

zdarzeniu A odpowiada nietrywialna podprzestrzeń AV , która nie przecina

podprzestrzeni BV odpowiadającej zdarzeniu B i równocześnie nie przecina

ortogonalnego dopełnienia B

V podprzestrzeni odpowiadającej zdarzeniu

przeciwnemu B . W kwantowej teorii prawdopodobieństwa możemy za-

tem mieć przypadek, że )( BBAA , podczas gdy 0 BA oraz

0BA .

Naruszenie prawa rozdzielności prowadzi do naruszenia prawa prawdo-

podobieństwa całkowitego. W celu ilustracji tego stanu rzeczy rozważmy

dwa przypadki.53 W pierwszym po prostu obliczamy prawdopodobieństwo

zajścia zdarzenia B. W drugim najpierw stwierdzamy, czy zachodzi zda-

rzenie A, czy też nie-A, a następnie obliczamy prawdopodobieństwo zda-

rzenia B. W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

B wynosi po prostu:

2

)( BPBp .

W przypadku drugim możemy zaobserwować najpierw zdarzenie A, a

następnie zdarzenie B z prawdopodobieństwem

2

),( ABPPBAp ,

_____________ 53 Por. J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s. 93n.

113

albo najpierw zdarzenie A , a następnie zdarzenie B z prawdopodobień-

stwem

2

),( ABPPBAp .

Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi:

22

),(),()( ABABT PPPPBApBApBp

W mechanice kwantowej pojawiają się jednak efekty interferencyjne, co

sprawia, że prawdopodobieństwo zdarzenia B nie jest równe sumie praw-

dopodobieństw, jak to ma miejsce we wzorze na prawdopodobieństwo cał-

kowite. Wykorzystując własności operatorów rzutowych, prawdopodo-

bieństwo zdarzenia B możemy zapisać następująco:

222

)()(AABBB PPPIPPBp

)()(AABBAA PPPPPP

ABAABA PPPPPP

ABAABA pppppp

ABAABAABAB PPPPPPPPPP22

)()( BIntBpT .

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia B różni się od wzoru na praw-

dopodobieństwo całkowite o człon interferencyjny

ABAABA PPPPPPBInt )( ,

który korzystając z własności liczb zespolonych możemy zapisać następu-

jąco:

114

.cos||2

)(

*

ABA

ABAABA

ABAABA

PPP

PPPPPP

PPPPPPBInt

gdzie jest kątem fazowym w iloczynie skalarnym ABAPPP .54

Jeżeli operatory rzutowe odpowiadające pomiarom A i B komutują ze

sobą, czyli zdarzenia A i B są zgodne (compatible) wówczas człon interfe-

rencyjny znika: 0 BAAABAPPPPPP (rzutowanie na podprzestrzeń A, a

następnie na jej ortogonalne dopełnienie A daje oczywiście zero: 0AAPP

) i prawdopodobieństwo zdarzenia B jest takie samo, jak w przypadku kla-

sycznym. Dla zmiennych niezgodnych pojawia się jednak człon interferen-

cyjny, który może mieć dodatnią albo ujemną, co sprawia, że kwantowe

prawdopodobieństwo różni się od klasycznego prawdopodobieństwa cał-

kowitego )(BpT :

)()()( BIntBpBp T .

W przypadku operatorów komutujących odpowiednie wzory kwanto-

wego rachunku prawdopodobieństwa redukują się do klasycznych, co

oznacza, że kwantowa teoria prawdopodobieństwa jest ogólniejsza od teo-

rii klasycznej i zawiera ją jako przypadek szczególny.55

W klasycznej teorii prawdopodobieństwa zbiór zdarzeń tworzy struk-

turę zwaną algebrą Boole’a. Jest ona zbiorem konsekwencji logicznych

następujących aksjomatów:

1. ABBA

_____________ 54 Sumę liczby zespolonej i sprzężenia zespolonego można w postaci trygonometrycz-

nej zapisać w postaci: cos2)sin(cos)sin(cos* zizizzz .

55 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement…, s. 603.

115

2. ABBA

3. CBACBA )()(

4. CBACBA )()(

5. )()()( CABACBA

6. )()()( CABACBA

7. 1 AA

8. 0 AA

9. AA 0

10. AA 1

W kwantowej teoria prawdopodobieństwa, w której zdarzenia są mode-

lowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta, a nie przez podzbiory

zbioru zdarzeń elementarnych, mamy do czynienia z nie-booleowską alge-

brą, w której spełnione są wszystkie aksjomaty algebry Boole’a oprócz

prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:56

)()()( CABACBA .

Własność ta wynika z faktu, że operatory reprezentujące sprzężone ob-

serwable nie komutują ze sobą.57

Specyfiką logiki kwantowej jest również to, że alternatywa zdań może

_____________ 56 Por. G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of

Mathematics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830. Ramy niniejszej pracy nie pozwalają

na bardziej szczegółową dyskusję nad logiką kwantową, a ściślej rzecz biorąc nad logi-

kami kwantowymi, ponieważ jest ich wiele odmian. Szczególnie warto polecić na ten te-

mat: M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2,

6 Jan 2004; A. Wilce, Quantum Logic and Probability Theory, „The Stanford Encyclope-

dia of Philosophy” (Fall 2012 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stan-

ford.edu/archives/fall2012/entries/qt-quantlog/>. Nie brak również opinii, że modyfikacja

logiki nie prowadzi do głębszego rozumienia mechaniki kwantowej – por. R. B. Griffiths,

Consistent Quantum Theory…, s. 52. 57 Por. M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 58.

116

być prawdziwa nawet wówczas, gdy żaden z członów alternatywy nie jest

prawdziwy: wektor stanu może należeć do podprzestrzeni yx VV na-

wet wówczas, gdy nie należy on ani do xV , ani do yV (por. rys. #).

Rys. #.

Można to zilustrować następującym przykładem:58 załóżmy, że mamy

cząstkę o spinie połówkowym, taką jak elektron, dla której rzut spinu na

dowolny kierunek w przestrzeni może przyjmować tylko dwie wartości,

zwane umownie „spin w górę” i „spin w dół”. Zgodnie z zasadą nieozna-

czoności składowe x-owa i y-owa spinu są niewspółmierne ze sobą, to zna-

czy, jeżeli określona jest składowa x-owa, to składowa y-owa nie ma okre-

ślonej wartości. Załóżmy, że elektron jest w stanie, w którym ma określony

rzut spinu na oś x „w górę”, co oznaczę (p) „spinx w górę”. Wówczas, zgod-

nie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, wartość logiczna poszczegól-

_____________ 58 Por. M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, [w:] arxiv.org/pdf/quant-

ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność —

uwagi o epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E.

Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo

Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s.

47-55.

117

nych zdań (q) „spiny w górę” oraz (r) „spiny w dół” będzie całkowicie nie-

określona, natomiast alternatywa ( rq ) „spiny w górę lub spiny w dół”

musi być prawdziwa, ponieważ rzut spinu na dowolną oś może przyjmo-

wać jedynie jedną z dwóch wartości – „w górę” albo „w dół”.

Na zakończenie dodajmy, że niezależnie od różnic w aksjomatyzacji

prawdopodobieństwa Kołmogorowa i von Neumanna, istnieje kilka róż-

nych filozoficznych interpretacji prawdopodobieństwa. Pobieżnie przed-

stawimy niektóre z nich nie zagłębiając się w szczegółowe rozważania. W

interpretacji częstościowej (von Mises) prawdopodobieństwo jest rozu-

miane jako granica częstości zdarzeń w losowym ciągu doświadczeń. Mó-

wiąc na przykład, że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi ½ mam

na myśli to, że w granicy nieskończenie wielu prób częstość występowania

orła będzie się nieograniczenie zbliżać do wartości ½. W interpretacji lo-

gicznej (Keynes, Carnap) prawdopodobieństwo rozumiane jest jako miara

uzasadnienia hipotezy h na podstawie przesłanek empirycznych e, czyli

miara stopnia przekonania o prawdziwości h. W interpretacji skłonnościo-

wej (propensity-interpretation – Popper) przyjmuje się, że prawdopodo-

bieństwo jest cechą rzeczy wykazujących skłonności do pewnych zacho-

wań i nie jest tożsame z względną częstością określonych zachowań.59 In-

terpretacja subiektywna (Ramsey) traktuje prawdopodobieństwo jako

miarę behawiorystycznie rozumianych przekonań, wyrażających się w

określonych decyzjach na przykład podczas podejmowania zakładów.60

Zdaniem Heisenberga pojęcie prawdopodobieństwa w mechanice kwanto-

wej stanowi całkowitą nowość, ponieważ wektor stanu charakteryzuje

„tendencję do realizacji zdarzeń i naszą wiedzę o zdarzeniach”.61 Heisen-

berg twierdzi, że prawdopodobieństwo w mechanice kwantowej w specy-

ficzny sposób łączy elementy obiektywne z subiektywnymi.

Oczywiście informacje te nie wyczerpują zagadnienia – ich celem było

jedynie zwrócenie uwagi na bogatą problematykę filozoficzną związaną z

_____________ 59 Por. K. R. Popper, Świat skłonności… 60 Por. H. Mortimerowa, Prawdopodobieństwo, [w:] Filozofia a nauka. Zarys encyklo-

pedyczny, s. 513-519. 61 W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 28.

118

samym pojęciem prawdopodobieństwa.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Zasada nieoznaczoności (ucenrtainty principle) została sformułowana

przez Wernera Heisenberga w 1927 roku.62 Najczęściej formułuje się ją na-

stępująco: nie można jednocześnie z dowolną dokładnością zmierzyć po-

łożenia i pędu cząstki elementarnej, albo – im dokładniej znamy położenie

cząstki tym mniej dokładnie znamy jej pęd i vice versa. W zasadzie jest to

poprawne sformułowanie, ale wymaga pewnego komentarza i uściślenia.

Przede wszystkim zasada nieoznaczoności nie ma żadnego związku z

błędami popełnianymi podczas faktycznie wykonywanych pomiarów. Do-

tyczy ona bowiem również pomiarów idealnych, to znaczy przeprowadzo-

nych z maksymalną możliwą precyzją i nakłada nieprzekraczalne ograni-

czenia na możliwość jednoczesnego pomiaru wielkości sprzężonych.63 Jej

treść wynika bezpośrednio z formalizmu mechaniki kwantowej, a nie z

przyczyn – powiedzmy – technicznych.

Przypomnijmy, że komutatorem operatorów A i B nazywamy wielkość:

BAABBA , .

Jeżeli 0, BA to mówimy, że operatory A i B komutują ze sobą. Po-

siadają one wówczas wspólną bazę wektorów własnych i obserwable re-

prezentowane przez te operatory mogą być zmierzone jednocześnie z do-

wolną dokładnością. Dla komutujących operatorów kolejność wykonywa-

nia pomiarów nie ma żadnego znaczenia – jeżeli najpierw zmierzę wielkość

reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną

prze operator B, to otrzymam dokładnie taki sam wynik, jak gdybym prze-

_____________ 62 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik

und Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198. 63 Nieprzekraczalne oczywiście z punktu widzenia mechaniki kwantowej.

119

prowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Dla takich par wielkości fi-

zycznych nie istnieje zasadnicze ograniczenie na możliwość jednocze-

snego ich zmierzenia z dowolną dokładnością. Przykładem takiej pary

wielkości może być pęd i energia.

Jeżeli jednak komutator dwóch operatorów 0, BA , czyli operatory te

nie komutują ze sobą, to sytuacja jest zupełnie inna. Operatory takie nie

mają wspólnej bazy funkcji własnych. Obserwable reprezentowane przez

takie operatory nazywamy sprzężonymi i każda para sprzężonych obserwa-

bli spełnia relacje nieoznaczoności Heisenberga. Oprócz pędu i położenia

(a ściślej rzecz biorąc składowej pędu i odpowiadającej jej składowej po-

łożenia) przykładami wielkości sprzężonych są składowe spinu cząstki ele-

mentarnej oraz moment pędu i kąt. Istnieje również relacja nieoznaczono-

ści dla energii i czasu, ale ma nieco inny status niż pozostałe, ponieważ

czas nie jest reprezentowany w mechanice kwantowej przez operator, lecz

– podobnie jak w mechanice klasycznej – jest parametrem. Pary zmiennych

sprzężonych nie można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością, a

ponadto dla takich zmiennych kolejność pomiarów ma istotne znaczenie:

jeśli najpierw zmierzę wielkość reprezentowaną przez operator A, a następ-

nie wielkość reprezentowaną prze operator B, to otrzymam inny wynik, niż

gdybym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Pomiary wielko-

ści fizycznych reprezentowanych przez niekomutujące operatory zaburzają

się wzajemnie.

Rozważmy prosty przypadek jednowymiarowy i komutator operatorów

położenia i pędu (działanie operatora położenia x sprowadza się wówczas

do pomnożenia wektora stanu przez liczbę x, natomiast działanie ope-

ratora pędu dx

dip polega na obliczeniu pochodnej po x i pomnożeniu

przez odpowiedni współczynnik liczbowy):

)]()([,, x

dx

di

dx

dix

dx

dixpx x

)(xdx

di

dx

dxi

120

dx

dxi

dx

dxi

dx

dxi i ,64

skąd otrzymujemy:

Iipxdx

dix x

,, ,

gdzie I jest operatorem jednostkowym.

Komutator operatorów położenia i pędu nie jest równy zeru, co znaczy,

że operatory te nie komutują ze sobą, zatem składowa położenia i odpo-

wiadająca jej składowa pędu nie mogą być jednocześnie zmierzone z do-

wolną dokładnością.

Dla pędu i położenia zasada nieoznaczoności może być zapisana nastę-

pująco:

2

qp ,

gdzie p jest nieoznaczonością pędu, q – nieoznaczonością położenia

cząstki elementarnej.

Nieoznaczoność, o której tu mowa, nie jest potocznie rozumianą „nie-

dokładnością”, czy „niepewnością”, ale ma precyzyjną definicję matema-

tyczną – jest to odchylenie standardowe (zwane również średnim odchyle-

niem kwadratowym).

W rachunku prawdopodobieństwa wprowadza się pojęcie zmiennej lo-

sowej (random variable), przypisując zdarzeniu losowemu wartość licz-

bową wraz z odpowiadającym jej prawdopodobieństwem. Jest to pewna

_____________ 64 Wykorzystaliśmy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji f i g:

dx

dgfg

dx

dfgf

dx

d )( .

121

funkcja określona na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach w zbio-

rze liczb rzeczywistych. Na przykład dla rzutu kostką możemy poszczegól-

nym wynikom przypisać liczby ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6 z prawdopodo-

bieństwem p = 1/6 dla każdego zdarzenia; badanym osobom możemy przy-

pisać określony liczbowo IQ, wzrost czy inne wielkości mierzalne mno-

żone przez względną częstość ich występowania,. Przyporządkowanie każ-

dej zmienne losowej jej prawdopodobieństwa nazywamy rozkładem zmien-

nej losowej:

ii pxXp )( .

Prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedności: i

ip 1 . Roz-

kład może mieć charakter dyskretny (nieciągły) lub ciągły (w ostatnim

przypadku sumowanie nalży zastąpić całkowaniem).

Inaczej mówiąc, zmienna losowa, to wielkość, którą mierzymy, przy

czym wartości, które otrzymujemy pojawiają się z pewnym prawdopodo-

bieństwem. W mechanice kwantowej odpowiednikiem zmiennych loso-

wych są właśnie obserwable, czyli wielkości fizyczne mierzalne.

Ważnymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa i statystyki mate-

matycznej są wartość oczekiwana (expectation value), zwana też wartością

średnią, która jest miarą tendencji rozkładu zmiennej losowej oraz odchy-

lenie standardowe (standard deviation), które jest miarą rozrzutu wartości

zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej X nazywamy sumę

iloczynów zmiennych losowych przez odpowiadające im prawdopodo-

bieństwa:

i

ii xXpxXE )()( .

W mechanice kwantowej każdy operator możemy zapisać jako sumę

iloczynów jego wartości własnych ix i operatorów rzutowych iP :

122

i

ii PxX .

Prawdopodobieństwo, że obserwabla X przyjmuje wartość xi wynosi:

iiii PPxXp2

)( ,

zatem wartość oczekiwana obserwabli X wyraża się następującym wzorem:

.

)(2

XPx

PxPxxXpxX

i

ii

i

ii

i

iii

i

i

.

W statystyce matematycznej odchylenie standardowe X definiujemy

jako pierwiastek z wartości oczekiwanej (średniej) kwadratu odchyleń tej

zmiennej od jej wartości oczekiwanej:65

i

ii xXpXxX )()( 2 .

W mechanice kwantowej odchylenie standardowe jest nazywane wła-

śnie nieoznaczonością. Dla operatora hermitowskiego X:

_____________ 65 Samą wartość oczekiwaną kwadratu odchyleń tej zmiennej od jej wartości oczeki-

wanej nazywamy wariancją (variance). Odchylenie standardowe jest to pierwiastek kwa-

dratowy z wariancji.

123

.)(

)()(

)()()(

2

22

222

XX

pXxpXx

pXxxXpXxX

i

iii

i

i

i

i

ii

i

i

Nieco bardziej poglądowo zasadę nieoznaczoności można zilustrować

następująco: zgodnie z koncepcją de Broglie’a z każdą cząstką o pędzie p

jest związana fala o długości p

h . Pęd jest dobrze określony, gdy dobrze

jest określona długość fali – w skrajnym przypadku funkcja falowa będzie

sinusoidą rozciągającą się „od minus nieskończoności do plus nieskończo-

ności” i położenie cząstki będzie zupełnie nieokreślone. W takim przy-

padku cząstka może znajdować się w zasadzie w dowolnym miejscu w

przestrzeni. Jeżeli natomiast położenie cząstki jest określone, to funkcja fa-

lowa ma ostre maksimum w miejscu, w którym prawdopodobieństwo zna-

lezienia cząstki (w rezultacie przeprowadzonego pomiaru) jest bliskie jed-

ności. W takim przypadku pęd cząstki jest całkowicie nieokreślony. W

przypadkach pośrednich cząstkę reprezentuje „paczka falowa”, dla której

zarówno pęd jak i położenie jest określone w granicach zgodnych z zasadą

nieoznaczoności Heisenberga.

Rys. #. Poglądowa interpretacja zasady nieoznaczoności Heisenberga dla pędu i położe-

nia: a) dobrze określone położenie, pęd nieokreślony; b) dobrze określony pęd, położenie

nieokreślone; c) pęd i położenie określone z dokładnością do relacji nieoznaczoności.

124

Powróćmy jeszcze do pomiarów. W odróżnieniu od spadających jabłek,

poruszających się kul bilardowych, Księżyca okrążającego Ziemię i innych

przedmiotów makroskopowych, świat atomów i cząstek elementarnych

jest i pozostanie na zawsze poza zakresem naszego bezpośredniego do-

świadczenia zmysłowego. Dlatego w mechanice kwantowej podstawowe

znaczenie mają laboratoryjne procedury obserwacji i pomiarów. Oczywi-

ście pomiary różnych wielkości fizycznych zawsze związane są z material-

nym oddziaływaniem na badany układ.66 O układzie absolutnie izolowa-

nym nie można uzyskać żadnych informacji, dlatego interakcja przyrząd–

obiekt jest niezbędna zarówno w dziedzinie klasycznej, jak i w kwantowej.

Jednak zawsze dążymy do tego, aby wpływ, jaki wywieramy na badane

zjawisko, zminimalizować. Jak rzecz ujął Max Planck: „Kiedy fizyk chce

zmierzyć temperaturą jakiegoś obiektu, to nie wolno mu użyć takiego ter-

mometru, którego zastosowanie spowoduje zmianę temperatury ciała”.67

W fizyce klasycznej przyjmowano, że oddziaływanie między przyrządem

pomiarowym a mierzonym obiektem może być ograniczone do minimum

tak, że jest praktycznie zaniedbywalne. Przy takim założeniu pomiar ujaw-

nia cechę przedmiotu, jaką posiadał on przed pomiarem i całkowicie nie-

zależnie od pomiaru. Jeżeli na przykład chcę poznać położenie kuli bilar-

dowej, to muszę ją oświetlić – odbity foton trafia do mojego oka i pozwala

na lokalizację kuli. Rozsądne wydaje się założenie, że oddziaływanie mi-

kroskopowego obiektu, jakim jest foton, z kulą bilardową zbudowaną z

wielu miliardów atomów w najmniejszym stopniu nie ma wpływu na jej

tor ruchu. W takim przypadku obserwacja nie zaburza obserwowanego

układu. Rozważmy jednak, jak przedstawiałaby się sytuacja, gdyby jedy-

nym sposobem poznania położenia kuli na stole bilardowym było uderze-

nie w nią inną kulą bilardową. Wówczas na podstawie analizy sposobu, w

jaki odbiła się nasza kula bilardowa od tej, której położenie chcieliśmy

_____________ 66 Być może z wyjątkiem pomiaru zerowego omawianego w dalszej części pracy. 67 Por. M. Planck, Jedność fizycznego obrazu świata. Wybór pism filozoficznych, tłum.

R. i S. Kernerowie, Książka i Wiedza, Warszawa 1970, s. 84.

125

ustalić, można oczywiście określić położenie obserwowanej kuli, ale od-

działywanie, jakie wprowadziliśmy, powoduje istotne zaburzenie stanu ba-

danego obiektu. Pod pewnymi względami jest do sytuacja podobna do po-

miaru w mechanice kwantowej.

Jeżeli chcę na przykład poznać położenie elektronu, to również należy

go oświetlić, kierując na elektron foton, który po oddziaływaniu z elektro-

nem zarejestrowany będzie przez jakiś detektor. Dokładność, z jaką mogę

określić położenie elektronu jest proporcjonalna do długości fali fotonu.

Rozmiary elektronu są rzędu 10-15 m, zatem chcąc go dokładnie zlokalizo-

wać muszę użyć światła o odpowiednio małej długości fali – im mniejsza

będzie długość fali fotonu, tym dokładniejsza będzie lokalizacja elektronu.

Zgodnie jednak ze wzorem Plancka energia fotonu jest odwrotnie propor-

cjonalna do jego długości fali: /hchE , zatem im mniejsza jest

długość fali fotonu, tym większa jest jego energia. W chwili, gdy foton ule-

gnie rozproszeniu na elektronie, określone jest położenie elektronu, ale na-

stępuje wówczas nieokreślone zaburzenie pędu elektronu. Im dokładniej

znamy położenie elektronu, tym mniej dokładnie znany jest jego pęd i na

odwrót.68 W odróżnieniu od sytuacji poznawczej w mechanice klasycznej,

w mechanice kwantowej ingerencji w przebieg zjawiska nie można dowol-

nie minimalizować – każdemu procesowi pomiaru towarzyszy nie dające

się kontrolować zaburzenie układu.

Zasada nieoznaczoności prowadzi do ważnych wniosków dotyczących

wyobrażalności mikroświata i przewidywalności zjawisk. Ponieważ mi-

kroobiektom nie można jednocześnie przypisać ściśle określonego pędu i

położenia, to nie przysługują im klasycznie rozumiane trajektorie w czaso-

przestrzeni. Ruch mikroobiektów nie da się więc przedstawić w poglądo-

wych kategoriach fizyki klasycznej. W szczególności wyobrażenie atomu

na podobieństwo układu planetarnego z elektronami orbitującymi wokół

jądra (często przedstawiany symbol „wieku atomu”) jest całkowicie nie-

zgodne z mechaniką kwantową. Sposób, w jaki poruszają się elektrony w

_____________ 68 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik

and Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 174-175.

126

atomie jest i zapewne pozostanie dla nas całkowicie niewyobrażalny (po-

dobnie zresztą jak sposób, w jaki poruszają się elektrony przez układ szcze-

lin w eksperymencie interferencyjnym).

Jednak zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie ogranicza się

wyłącznie do mikroświata, ale ma charakter uniwersalny (a przynajmniej,

jak dotąd, nie stwierdzono granic stosowalności mechaniki kwantowej).

Pojawia się zatem naturalne pytanie, dlaczego w makroświecie nie obser-

wujemy na przykład interferujących kul bilardowych? Kule bilardowe czy

nawet ziarnka piasku poruszają się po dobrze określonych trajektoriach, a

ich ruch można z powodzeniem opisać prawami mechaniki klasycznej.

Otóż teoretycznie rzecz biorąc relacje nieoznaczoności spełnione są rów-

nież dla przedmiotów makroskopowych, ale ze względu na olbrzymie, w

porównaniu do mas cząstek elementarnych, masy poruszających się ciał

makroskopowych efekty wynikające z zasady nieoznaczoności są całkowi-

cie poza możliwością ich obserwacji nawet za pomocą najbardziej dokład-

nej aparatury. Na przykład dla ziarenka piasku o masie 1 g poruszającego

się z prędkością 1 cm/s długość fali jest rzędu 10-26 cm, zatem 1013 razy

mniejsza niż średnica protonu.69 Nieoznaczoność pędu i położenia są w ta-

kim wypadku zupełnie niemierzalne. Z drugiej strony, gdyby udało się zlo-

kalizować obiekt o rozmiarach liniowych rzędu 10-8 cm i gęstości 1g/cm3,

to nieoznaczoność prędkości wynosiłaby km/s 1v .

Laplace, formułując swoją koncepcję demona, ilustrującą przekonanie

o deterministycznym charakterze praw przyrody i zasadniczej przewidy-

walności zjawisk, przyjmował, że warunki początkowe (pędy i położenia

wszystkich ciał we Wszechświecie) można ustalić, przynajmniej w teorii,

z dowolnie małym błędem. Z zasady nieoznaczoności wynika jednak, że

nie można ustalić (zmierzyć) pędu i położenia z dowolną dokładnością na-

wet dla jednej cząstki elementarnej, takiej jak elektron, zatem przekonanie

o możliwości poznania stanu całego świata w pewnej chwili okazuje się

fikcją. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej zasada nieoznaczoności

_____________ 69 R. Shankar, Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 2007, s. 120.

127

nakłada nieprzekraczalne ograniczenia na dokładność jednoczesnego po-

miaru wielkości komplementarnych. Jeżeli mechanika klasyczna stawiała

sobie za ideał możliwość jednoznacznego przewidywania zjawisk, to mo-

żemy powiedzieć, że mechanika kwantowa ukazuje tu pewne granice po-

znania – należy porzucić marzenie o deterministycznej przewidywalności

zjawisk, musimy się zadowolić jedynie możliwością przewidywania praw-

dopodobieństw zjawisk.

Zdaniem zwolenników kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej

statystyczny charakter mechaniki kwantowej jest jej cechą ostateczną i

żadne przyszłe dokonania w dziedzinie fizyki mikroświata nie pozwolą na

przekroczenie ograniczeń związanych z zasadą nieoznaczoności. Indeter-

minizm mechaniki kwantowej wynika z tego, że badamy mikroświat przy

pomocy materialnych przyrządów pomiarowych.70 Istnienie elementar-

nego kwantu działania sprawia, że oddziaływanie między przyrządem a

obiektem z przyczyn czysto fizycznych nie może być dowolnie zminima-

lizowane. Arthur S. Eddington napisał kiedyś w związku z tym, że nie przy-

pisujemy sobie wiedzy o świecie, jak gdyby go badano w jakiś nadnatu-

ralny sposób, bez użycia przyrządów pomiarowych wchodzących w jego

skład.71 Pogląd ukształtowany w ramach nauki klasycznej, zgodnie z któ-

rym wiedzę o świecie fizycznym możemy zdobywać z punktu widzenia

„zewnętrznego obserwatora” (z jakiegoś „boskiego punktu widzenia”), cał-

kowicie pomijając materialne oddziaływanie na badany obiekt, okazuje się

na gruncie mechaniki kwantowej nie do utrzymania.

Możliwe są dwie interpretacje zasady nieoznaczoności – epistemolo-

giczna i ontologiczna. Pierwsza odnosi się do wiedzy o mikroświecie,

druga zaś do własności samego mikroświata. Heisenberg skłaniał się do

interpretacji epistemologicznej. Pisał, że nasza wiedza o systemie jest zaw-

sze niezupełna i dlatego „prawa mechaniki kwantowej muszą mieć charak-

ter statystyczny”.72 „Wiedza o położeniu cząstki jest komplementarna w

_____________ 70 Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, s. 234-235. 71 Por. A. S. Eddington, Nowe oblicze natury, tłum. A. Wundheiler, Mathesis Polska,

Warszawa 1934, s. 209. 72 W. Heisenberg, The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41.

128

stosunku do wiedzy o jej prędkości (lub pędzie). Im większa jest dokład-

ność pomiaru jednej z tych wielkości, tym mniej dokładnie znamy drugą.

Musimy jednak znać obie, jeśli chcemy określić zachowanie się układu”.73

Epistemologiczna interpretacja zasady nieoznaczoności jest zgodna z pod-

stawowymi założeniami kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej.

Zgodnie z nią mechanika kwantowa dostarcza schematu pojęciowego

umożliwiającego przewidywanie rezultatów pomiarów bez formułowania

twierdzeń ontologicznych na temat „natury” mikroświata.

Przykładem interpretacji ontologicznej jest stanowisko Eddingtona – pi-

sał on, że taki obiekt, jak elektron z równocześnie określonym pędem i po-

łożeniem po prostu w naturze nie istnieje.74

Warto w tym miejscu przytoczyć uwagę Feynmana odnośnie do „wiel-

kości nieobserwowalnych” w fizyce.75 Podkreśla on, że fakt, iż nie jeste-

śmy w stanie jednocześnie zmierzyć pędu i położenia z dowolną dokładno-

ścią, nie oznacza a priori, że nie możemy o nich mówić. Znaczy to jedynie,

że nie musimy o nich mówić. W szczególności zaś niemożliwość jednocze-

snego pomiaru z dowolną dokładnością pędu i położenia cząstki elemen-

tarnej w mechanice kwantowej nie oznacza w żadnym wypadku, że me-

chanika klasyczna jest błędna. Po prostu na gruncie mechaniki klasycznej

pojęcie cząstki z jednocześnie określonym pędem i położeniem jest uży-

teczne, natomiast na gruncie mechaniki kwantowej nie jest użyteczne.

Równie doniosłe są filozoficzne konsekwencje zasady nieoznaczoności

dla energii i czasu:

2

tE ,

_____________ 73 W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 31. 74 A. Eddington, …; por. A. Łukasik, „Selektywny subiektywizm” Arthura S. Edding-

tona, 75 R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics. Quantum Mechanics, s. 8. W

polskiej edycji Feynmana wykładów z fizyki pominięty został paragraf 2-6 Philosopical

implications.

129

gdzie E jest nieoznaczonością energii, natomiast t jest czasem, w któ-

rym ma tę energię.

Przede wszystkim ukazuje ona pewne ograniczenia jednej z najbardziej

podstawowych zasad w fizyce, a mianowicie zasady zachowania energii –

zgodnie z mechaniką kwantową jest ona spełniona jedynie w granicach za-

sady nieoznaczoności.

Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu ma też podstawowe znacze-

nie dla naszego rozumienia próżni. Zgodnie z klasycznym (Newtonow-

skim) obrazem świata pusta przestrzeń (próżnia) istnieje niezależnie od ciał

i jest bytem o czysto geometrycznych właściwościach. Pogląd ten w znacz-

niej mierze przypomina wyobrażenia starożytnych atomistów, zgodnie z

którymi „naprawdę istnieją tylko atomy i próżnia”. W klasycznym atomi-

zmie mamy do czynienia z dualizmem materii i przestrzeni – elementarne

składniki materii i próżnia stanowią nieredukowalne do siebie realności fi-

zyczne. W szczególności zaś elementarne składniki materii traktowano

jako obiekty absolutnie niezmienne i wieczne. Sądzono, że jeden atom nie

może przemienić się w inny atom, a tym bardziej w próżnię (greccy atomi-

ści nazywali ją „niebytem”). Tymczasem mechanika kwantowa zaciera du-

alizm materii i przestrzeni i przedstawia obraz próżni jako dynamicznego

ośrodka o bogatych właściwościach. Otóż w próżni zachodzą procesy

zwane fluktuacjami kwantowymi. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Hei-

senberga dla energii i czasu w kwantowej próżni nieustannie powstają

cząstki, zwane cząstkami wirtualnymi, których energia wynosi 2mcE .

Istnieją one jedynie przez czas 22mc

t

, a następnie znikają. Im więk-

sza jest masa cząstki wirtualnej, tym krótszy jest jej czas życia. Cząstki

wirtualne nie mogą być bezpośrednio zaobserwowane, powodują jednak

pewne obserwowalne efekty, takie jak efekt Casimira, zaobserwowany po

raz pierwszy przez holenderskiego fizyka Hendrika B. G. Casimira w roku

1948. Efekt ten polega na przyciąganiu się dwóch nienaładowanych elek-

trycznie płytek wykonanych z przewodnika, umieszczonych w odległości

d mniejszej niż 1 μm (10-6 m) od siebie. Zgodnie z mechaniką kwantową,

z każdą cząstką materii o pędzie p związana jest fala o długości ph /

130

(dotyczy to oczywiście również cząstek wirtualnych). Na zewnątrz płytek

mogą powstawać cząstki wirtualne o dowolnych długościach fali, pomię-

dzy nimi natomiast jedynie takie, dla których ,...3/,2/, ddd (kolejne

harmoniczne), ponieważ fale o innych długościach będą tłumione. Powo-

duje to powstanie różnicy ciśnień między cząstkami wirtualnymi na ze-

wnątrz płytek i pomiędzy nimi (ciśnienie na zewnątrz jest większe), a w

efekcie płytki będą się wzajemnie przyciągać.

Ponadto zgodnie z kwantową teorią pola każda cząstka elementarna oto-

czona jest chmurą cząstek wirtualnych i bez tego wirtualnego otoczenia nie

istnieje. Na przykład elektron, poruszając się w próżni, może wyemitować

wirtualny foton, który następnie może spowodować kreację pary elektron–

pozyton. W pobliżu elektronu znajduje się więcej wirtualnych pozytonów

niż wirtualnych elektronów, ponieważ dodatnie ładunki wirtualnych pozy-

tonów są przyciągane przez ładunek elektronu, natomiast ujemne ładunki

wirtualnych elektronów są przez niego odpychane. Z pewnej odległości ła-

dunek elektronu wydaje się mniejszy niż ładunek elektronu pozbawionego

swego wirtualnego otoczenia; gdy zaś wnikamy coraz głębiej w wirtualną

otoczkę elektronu, wydaje się, że ładunek elektronu wzrasta. Zjawisko to

nosi nazwę polaryzacji próżni.

Rys. # Ilustracja efektu Casimira.

131

132

Problem pomiaru w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej do opisu układu swobodnie ewoluującego (nie

poddawanego procesowi pomiaru) i opisu procesu pomiaru stosowane są

dwie całkowicie odmienne procedury – ciągła i deterministyczna ewolucja

wektora stanu zgodna z równaniem Schrödingera oraz nieciągła i indeter-

ministyczna redukcja podczas pomiaru.

Jednak zgodnie ze zdrowym rozsądkiem i myśleniem opartym na ideach

fizyki klasycznej, rzeczy istnieją i zachowują się tak a nie inaczej zupełnie

niezależnie od tego, czy są obserwowane czy też nie. Oczywiście, ludzie

często zachowują się inaczej, gdy wiedzą, że są obserwowani niż wówczas,

gdy ich nikt nie obserwuje. Z pewnością (przynajmniej według fizyki kla-

sycznej i przy pominięciu stanowiska filozoficznego, zwanego idealizmem

subiektywnym) Księżyc istnieje nawet wtedy, gdy „nikt nie na niego nie

patrzy” i znajduje się w dobrze określonym stanie. Ale skąd elektrony czy

fotony „wiedzą”, że ktoś na nie „patrzy”? Dlaczego układ znajdujący się w

stanie superpozycji stanów w rezultacie pomiaru nagle przeskakuje do

określonego stanu? Czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się

od innych oddziaływań? Czy redukcja wektora stanu odzwierciedla rzeczy-

wisty proces zachodzący w przyrodzie, czy też pojawia się ona w formali-

zmie mechaniki kwantowej jedynie jako „odzwierciedlenie stanu wiedzy

obserwatora o obserwowanym systemie”? Czy do wykonania pomiaru po-

trzebny jest świadomy obserwator, czy też pomiar może być wykonany

przez pozbawiony świadomości automat? Czy problem pomiaru jest rze-

czywiście najgłębszym filozoficznym problemem mechaniki kwantowej,

czy też może jedynie pseudoproblemem?76

Analiza procesu pomiaru ujawnia kolejne paradoksalne cechy mecha-

_____________ 76 Por. J. Bub, The Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Com-

pany, Dordrecht – Holland / Boston – U. S. A 1974, s. IX. Zbiór najważniejszych artyku-

łów dotyczących zagadnieniu pomiaru w mechanice kwantowej zawiera klasyczna już

praca: J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton Uni-

versity Press, Princeton, New Jersey 1983.

133

niki kwantowej, związane z takimi zagadnieniami, jak eksperyment Whe-

elera z opóźnionym wyborem, paradoks kota Schrödingera, paradoks przy-

jaciela Wignera, czy też problemy związane z pomiarem zerowym. Zostaną

one przedyskutowane w tym rozdziale.

Eksperyment z opóźnionym wyborem

Przedstawimy teraz pewną wersję eksperymentu interferencyjnego za-

proponowaną przez Johna A. Wheelera, która prowadzi do jeszcze bardziej

osobliwych wniosków dotyczących kwantowego świata – eksperyment z

opóźnionym wyborem (delayed choice experiment) Tym razem przeprowa-

dzimy eksperyment z fotonami i zmodyfikujemy nieco nasz układ ekspe-

rymentalny: zamiast przesłony z dwiema szczelinami użyjemy półprze-

puszczalnego zwierciadła, dwóch całkowicie odbijających zwierciadeł i

jeszcze jednego półprzepuszczalnego zwierciadła, zamiast ekranu zaś –

dwóch detektorów fotonów, na przykład dwóch fotokomórek. Aparatura ta

nosi nazwę interferometru Macha–Zehndera.

Niech źródło Z emituje wiązkę światła na półprzepuszczalne zwiercia-

dło BS ustawione pod kątem 450 (por. rys. #), które rozszczepia wiązkę

światła na dwie wiązki, z których pierwsza przechodzi przez zwierciadło

BS (nazwijmy jego drogę „drogą dolną”), następnie odbija się od zwiercia-

dła Z2 i trafia do fotokomórki D2. Drugi promień odbija się od zwierciadła

BS i podąża drogą, którą nazwiemy „drogą górną”, następnie odbija się od

zwierciadła Z1 i trafia do fotokomórki D1. Przyjmujemy, że mamy idealne

fotokomórki, które reagują zawsze, gdy dotrze do nich światło, zakładamy

również, że długość drogi równoległej światła i drogi prostopadłej są do-

kładnie równe.

W miejscu przecięcia się dwóch wiązek światła możemy wstawić drugie

zwierciadło półprzepuszczalne BS’ i w ten sposób spowodować, że światło

w wyniku interferencji destruktywnej ulegnie wygaszeniu w kierunku fo-

tokomórki D2 i całe światło będzie docierać do fotokomórki D1. Słowem:

po umieszczeniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego BS’ reaguje

zawsze tylko fotokomórka D1, fotokomórka D2 nie reaguje nigdy.

134

Aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, musimy poświęcić nieco miej-

sca działaniu zwierciadła półprzepuszczalnego.77 Jest to płytka szklana po-

kryta z jednej strony warstwą dielektryka. Padająca wiązka światła ulega

rozszczepieniu – połowa wiązki przechodzi przez płytkę, połowa ulega od-

biciu. Z optyki wiadomo, że podczas przejścia przez płytkę faza fali świetl-

nej nie ulega zmianie. Podczas odbicia światła od zwierciadła całkowicie

odbijającego faza fali świetlej zmienia się o π (to znaczy, że tam gdzie był

grzbiet fali teraz jest dolina). Również przy odbiciu od warstwy dielektryka

w zwierciadle półprzepuszczalnym faza fali świetlnej zmienia się o π, ale

jedynie w przypadku, gdy światło trafia na tę warstwę z zewnątrz. Gdy

światło trafia na warstwę dielektryka najpierw przechodząc przez szklaną

część zwierciadła półprzepuszczalnego, wówczas faza fali świetlej nie

ulega zmianie. Zatem wiązka światła poruszająca się po drodze górnej od-

bije się najpierw od BS (zmiana fazy o π), następnie od Z1 (również zmiana

fazy o π) i po przejściu przez BS’ całkowite przesunięcie w fazie wynosić

będzie 2π dla wiązki zmierzającej do fotokomórki D1. Wiązka poruszająca

się drogą dolną odbije się od zwierciadła Z2 (zmiana fazy o π), a następnie

od zewnętrznej powierzchni zwierciadła BS’ (kolejna zmiana fazy o π).

Dwie fale świetlne zmierzające do detektora D1 będą więc zgodne w fazie

i nastąpi interferencja konstruktywna. (Należy zwrócić uwagę na położenie

zwierciadeł półprzepuszczalnych: w BS’ wiązka dolna odbija się od zwier-

ciadła od strony zewnętrznej, natomiast wiązka dolna od strony szkła i w

tym wypadku nie następuje zmiana fazy.

_____________ 77 Bardzo dobry i szczegółowy opis zawiera artykuł K. P. Zetie, S. F. Adams, R. M.

Tocknell, How does a Mach–Zehnder interferometer work?, Phys. Educ. 35(1) January

2000, s. 46-48.

135

Rys. #. Schemat eksperymentu z opóźniony wyborem. W rezultacie interferencji konstruk-

tywnej wszystkie fotony trafiają do detektora D1, natomiast w rezultacie interferencji de-

struktywnej detektor D2 nie rejestruje nic (prawdopodobieństwo rejestracji fotonu wynosi

zero). Jeżeli jednak zablokujemy jedną z dróg przed przecięciem się wiązki fotonów (ob-

ojętnie którą), obydwa detektory rejestrują fotony z równym prawdopodobieństwem na-

wet wówczas, gdy zablokowanie drogi górnej lub dolnej nastąpiło już po tym, jak fotony

oddziaływały z pierwszym zwierciadłem półprzepuszczalnym.

Wiązka poruszająca się po drodze dolnej w kierunku detektora D2, po

odbiciu się od zwierciadła Z2 jest przesunięta w fazie o π (nastąpiło tylko

jedno odbicie, a przejście przez BS’ nie zmienia fazy), natomiast wiązka

poruszająca się po drodze górnej w kierunku D2 jest przesunięta w fazie o

2π (po odbiciu od BS, a następnie od Z1), ponieważ odbicie od wewnętrznej

części BS’ (tzn. gdy światło trafia na warstwę dielektryka przechodzą naj-

pierw przez warstwę szkła) nie zmienia fazy. Zatem wiązki zmierzające w

kierunku detektora D2 będą przesunięte względem siebie w fazie o π i na-

stąpi interferencja destruktywna (grzbiet jednej fali spotka się z dolina dru-

giej, analogicznie jak w przypadku doświadczenia z dwiema szczelinami).

Detektor D2 nie zarejestruje zatem żadnego fotonu.

Rozważmy światło o skrajnie małym natężeniu (natężenie światła to po

prostu liczba fotonów), takim mianowicie, że każdorazowo przez układ

przechodzi tylko jeden foton (wiemy z eksperymentu z dwiema szczeli-

nami, że można tak zrobić). Gdyby pojedynczy foton trafiając na pierwsze

136

zwierciadło BS po prostu przez nie przechodził albo odbijał się z prawdo-

podobieństwem p = ½ (czyli wybierał tylko jedną z dwóch możliwych

dróg), wtedy każda fotokomórka rejestrowałaby foton z prawdopodobień-

stwem ½. Tak jednak nie jest – w eksperymencie wszystkie fotony docie-

rają do fotokomórki D1 leżącej w kierunku wiązki światła, żaden natomiast

nie dociera do D2. Jedynym możliwym wyjaśnieniem jest właśnie to, że w

takiej sytuacji następuje interferencja pojedynczych fotonów. Zatem mu-

simy przyjąć, że pojedynczy foton porusza się w pewnym sensie po dwóch

drogach równocześnie, a precyzyjniej rzecz ujmując, że wektor stanu fo-

tonu znajduje się w superpozycji stanów odpowiadających dwóm różnym

drogom, które nazwiemy „górną” g i „dolną” d :

)(2

1gd .

Jeżeli jednak zablokujemy którąś z dróg, na przykład przegradzając ją

ekranem, to nie nastąpi interferencja (por. doświadczenie z dwiema szcze-

linami) i foton będzie mógł dotrzeć do obu fotokomórek D1 i D2 z równym

prawdopodobieństwem, podczas w sytuacji gdy były otwarte obie drogi,

mógł dotrzeć tylko do fotokomórki D2. Już to jest niezmiernie interesują-

cym rezultatem: zablokowanie fotonowi jednej z dróg otwiera drogę do D2,

podczas gdy otwarcie drugiej drogi blokuje możliwość dotarcia do D2.78

Istota eksperymentu z opóźnionym wyborem polega na tym, że możemy

zdecydować, czy zablokować jedną z dróg fotonu czy też nie (albo – co na

jedno wychodzi – czy umieścić drugie zwierciadło półprzepuszczalne, czy

też nie) „w ostatniej chwili”, to znaczy już po tym, jak foton oddziaływał

ze zwierciadłem BS. Jeśli to zrobimy, foton poruszać się będzie po jednej

określonej drodze i może trafić z równym prawdopodobieństwem do oby-

dwu fotokomórek. Jeżeli nie zablokujemy drogi, to foton porusza się po

dwóch drogach równocześnie i w wyniku interferencji może dotrzeć tylko

do fotokomórki D1. Ale jak nasza decyzja dotycząca umieszczenia ekranu

_____________ 78 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 287.

137

i zablokowania drogi fotonu mogła mieć wpływ na zachowanie fotonu w

BS, skoro nastąpiła już po tym, gdy foton oddziaływał z BS? Jeżeli już na-

wet możemy przyjąć, że zachowanie fotonu zależy od tego czy otwarte są

dwie drogi czy też tylko jedna, to w tym wypadku wydaje się, że nasza

decyzja co do otworzenia dwóch dróg dla fotonu lub tylko jednej podjęta

w teraźniejszości wpływa na zachowanie fotonu w przeszłości. Oczywiście

pojawia się w tym miejscu problem, czy w ogóle możemy mówić o zacho-

waniu fotonu pomiędzy dwiema kolejnymi obserwacjami. Bohr i Heisen-

berg byli zdania, że jest to niemożliwe, ale zagadnienia epistemologiczne

przeanalizujemy w dalszej części rozdziału.

Wheeler zaproponował również „kosmiczną wersję” eksperymentu z

opóźnionym wyborem.79 Otóż znamy kwazar usytuowany w odległości

około pięciu miliardów lat świetlnych, od którego światło dociera do nas

dwiema drogami w rezultacie zjawiska soczewkowania grawitacyjnego.

Światło z tego kwazara potrzebuje ponad pięciu miliardów lat, aby do nas

dotrzeć, zatem zostało wysłane zanim jeszcze powstała Ziemia. Jeżeli w

eksperymencie z opóźnionym wyborem użyjemy jako źródła fotonów wła-

śnie światła z kwazara, to otrzymujemy dość zaskakujący wniosek, że w

zależności od tego czy teraz zdecydujemy zablokować jedną z dróg fotonu

w naszej aparaturze czy też nie (możemy podjąć decyzję albo świadomie

albo w sposób czysto losowy, na przykład na podstawie rzutu monetą), to

pojedynczy foton poruszał się po jednej drodze albo po dwóch równocze-

śnie w zależności od naszego wyboru. Jednak foton został wysłany z kwa-

zara pięć miliardów lat temu… Zdaniem Wheellera, tego typu paradoksy

wynikają z niewłaściwego sposobu mówienia: nie ma sensu mówienie o

„zjawisku”, takim jak tor ruchu fotonu, dopóki nie zostanie ono zakoń-

czone przez nieodwracalny akt wzmocnienia. „Żadne elementarne zjawi-

_____________ 79 Por. J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum The-

ory and Measurement…, s. 190; P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie. Dyskusja

o paradoksach teorii kwantowej, tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo CIS, Warszawa

1996, s. 86.

138

sko nie jest zjawiskiem dopóki nie jest zarejestrowanym (zaobserwowa-

nym) zjawiskiem”.80

Kot Schrödingera

Erwin Schrödinger zaproponował w 1935 roku eksperyment myślowy,

który miał ukazywać, jak sądził, absurdalne konsekwencje do jakich pro-

wadzi kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej.81 Eksperyment ten

zwany jest współcześnie „paradoksem kota Schrödingera” i przebiega na-

stępująco: w pudle o ściankach doskonale izolujących od otoczenia

umieszczamy kota, atom pierwiastka radioaktywnego, fiolkę z trucizną, de-

tektor promieniowania oraz urządzenie, które uwalnia truciznę w momen-

cie, gdy detektor zarejestruje rozpad atomu. Niech prawdopodobieństwo

rozpadu atomu pierwiastka radioaktywnego w ciągu godziny wynosi ½.

Jeżeli atom się rozpadnie, detektor wychwytuje produkty rozpadu, urucha-

mia urządzenie rozbijające fiolkę z trucizną, która zabija kota. Jeżeli atom

się nie rozpadnie, kot pozostaje żywy.

_____________ 80 J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum Theory

and Measurement…, s. 192. O interpretacji Wheellera por. paragraf Wszechświat uczest-

niczący w niniejszej pracy. 81 E. Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, „Naturwis-

senschaften” 1935, 23, ss. 807-812, 823-829, 844-849; tłum. angielskie: The Present Si-

tuation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger’s „Cat Paradox” Paper,

[w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum…, s. 152-167.

139

Rys. # Kot Schrödingera.

Zgodnie z mechaniką kwantową, dopóki nie wykonamy pomiaru, atom

znajduje się w superpozycji stanów „przed rozpadem” i „ po rozpadzie”.

Jeżeli wypiszemy wektor stanu dla układu złożonego z atomu i kota, to

musimy stwierdzić, że wektor stanu kota ulega splątaniu z wektorem stanu

atomu, co oznacza, że zanim wykonamy pomiar (np. zajrzymy do pudła)

kot znajduje się w superpozycji stanów kota żywego i kota martwego:

)martwykot rozpadzie pożywykot rozpadem przed(2

1

Zgodnie z interpretacją kopenhaską, pomiar powoduje redukcję wektora

stanu: jeżeli zajrzymy do pudła, to zawsze zaobserwujemy kota żywego

albo kota martwego z prawdopodobieństwem p = ½. Przed wykonaniem

pomiaru kot nie znajduje się jednak w dobrze określonym stanie (którego

my po prostu nie znamy), ale znajduje się w stanie superpozycji, którą

Schrödinger opisał jako „obejmującą żywego i martwego kota zmiesza-

nego i rozsmarowanego w równych częściach”.

Jeżeli już jesteśmy w stanie zaakceptować fakt, że elektrony czy fotony

mogą znajdować się w osobliwym stanie superpozycji, to w przypadku ta-

kiego obiektu jak kot, przewidywania interpretacji kopenhaskiej wydają się

dość osobliwe. Mikroobiekty nie są i nigdy nie będą przedmiotem naszego

bezpośredniego doświadczenia, natomiast superpozycja stanów obiektów

makroskopowych wydaje się absurdalna. Wydaje się nam oczywiste, że kot

w pudle jest albo żywy albo martwy, a nie w osobliwym „zawieszeniu”

między życiem a śmiercią. Co więcej, pojawia się pytanie o to, czym po-

miar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań. Czy

do przeprowadzenia pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator? Czy

sam kot, gdyby miał świadomość, mógłby nam odpowiedzieć na pytanie,

w jakim stanie był przed przeprowadzeniem pomiaru?

140

Przyjaciel Wignera

Eksperyment myślowy z kotem Schrödingera można zmodyfikować,

czy też jeszcze bardziej skomplikować, jak to uczynił Eugene Wigner.82

Powiedzmy, że eksperyment z kotem w pudle przeprowadzany jest w odi-

zolowanym od otoczenia laboratorium. Do pudła zagląda fizyk-ekspery-

mentator – „przyjaciel Wignera”. Czy wówczas nastąpi redukcja wektora

stanu, czy też przyjaciel staje się częścią takiej superpozycji, dopóki jakiś

„zewnętrzny obserwator” nie dokona pomiaru? Zauważmy, że wprawdzie

Bohr i Heisenberg podkreślali, że przyrząd pomiarowy musi być przedmio-

tem makroskopowym, to jednak w istocie również przyrząd pomiarowy

składa się z atomów i cząstek elementarnych, czyli z obiektów, które same

podlegają prawom mechaniki kwantowej. Jeżeli tak, to podczas pomiaru

przyrząd może znaleźć się w superpozycji stanów przyrządu i mierzonego

obiektu, zatem aby pomiar mógł zostać wykonany i aby nastąpiła redukcja

wektora stanu, należałoby wprowadzić kolejny przyrząd, który również

może znaleźć się w superpozycji stanów… Rozumowanie to prowadzi do

regressus ad infinitum – pomiar nie mógłby zostać zakończony bez jakie-

goś dodatkowego elementu, takiego jak… akt świadomości obserwatora.

To oczywiście wikła nas w jeszcze bardziej złożony niż problem pomiaru

w mechanice kwantowej, problem relacji między umysłem a materią.

Pomiar zerowy

Była już mowa o tym, że używając operatorów rzutowych, pomiary

wielkości fizycznych można zinterpretować jako odpowiedzi typu „tak”–

„nie” na pewne pytania elementarne. Czy można jednak uzyskać odpo-

wiedź na pytanie, którego wprawdzie nie zadaliśmy, choć mogliśmy je za-

dać? Zdumiewające, ale mechanika kwantowa prowadzi do wniosku, że

tak: przyczyną zjawisk fizycznych mogą być zdarzenia, które mogły się

_____________ 82 Por. E. P. Wigner, Remarks on the Mind-Body Question, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek

(eds.), Quamtum…, s. 168-181.

141

zdarzyć, chociaż się nie zdarzyły. Opisany poniżej eksperyment myślowy

Elituzera i Vaidmana z testowaniem bomb ilustruje zjawisko zwane pomia-

rem zerowym.

Załóżmy, że w magazynie mamy odpowiednio dużą liczbę bomb wypo-

sażonych w tak czułe zapalniki, że ze stuprocentową skutecznością reagują

nawet na pojedynczy foton.83 Jeśli pojedynczy foton trafi na zapalnik –

bomba wybucha. W magazynie znajdują się zarówno sprawne bomby, jak

i bomby zepsute, w których zapalniki są zablokowane i oddziaływanie z

fotonem nie prowadzi do wybuchu. Załóżmy, że detonator składa się z lu-

stra przymocowanego do zapalnika bomby. Gdy w lustro trafi nawet poje-

dynczy foton, następuje odrzut lustra, uruchomienie zapalnika i wybuch

bomby. Czy ze zbioru bomb możemy wyselekcjonować sprawne bomby

nie doprowadzając jednocześnie do wybuchu? Z klasycznego punktu wi-

dzenia zadanie to nie ma rozwiązania: ponieważ zapalniki reagują ze stu-

procentową skutecznością nawet na pojedynczy foton, to każda próba

sprawdzenia bomby kończy się wybuchem (o ile bomba jest sprawna). Te-

stując przy użyciu fotonów nie jesteśmy w stanie ocalić żadnej sprawnej

bomby.

Inaczej jednak sprawa się przedstawia z punktu widzenia mechaniki

kwantowej. Do testowania użyjemy interferometru Macha–Zehndera, któ-

rego działanie zostało opisane szczegółowo przy omawianiu eksperymentu

Wheelera z opóźnionym wyborem. Foton emitowany ze źródła Z trafia na

zwierciadło półprzepuszczalne BS1. Po przejściu przez zwierciadło pół-

przepuszczalne foton porusza się równocześnie po dwóch drogach, które

określimy jako „drogę górną” g i „drogę dolną” d . Wektor stanu fo-

tonu jest wówczas superpozycją stanów:

dg 2

1 .

_____________ 83 Por. R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 298n.

142

Rys. # Pomiar zerowy. Testowanie bomb za pomocą interferometru Macha–Zahndera.

Przy drugim zwierciadle półprzepuszczalnym następuje interferencja i

wszystkie fotony trafiają do detektora D1 (interferencja konstruktywna).

Detektor D2 nie rejestruje żadnego fotonu (interferencja destruktywna), po-

nieważ obie drogi optyczne fotonu do detektora D1 są takie same (foton raz

przechodzi przez zwierciadło BS1 i ulega dwukrotnemu odbiciu), natomiast

drogi optyczne fotonu poruszającego się w kierunku detektora D2 są różne

(następuje przesunięcie w fazie – por. eksperyment z opóźnionym wybo-

rem).

Jeżeli bomba jest uszkodzona, to wszystkie fotony trafiają do detektora

D1 (zapalnik działa jak zwykłe zwierciadło). Jeżeli natomiast bomba jest

sprawna, to zapalnik odgrywa rolę przyrządu pomiarowego: w rezultacie

oddziaływania z fotonem następuje redukcja wektora stanu i foton znajdzie

się albo w stanie g (czyli będzie poruszał się górną drogą) albo w stanie

d (czyli będzie poruszał się drogę dolną). Prawdopodobieństwo określo-

nego rezultatu pomiaru wynosi p = ½. Jeżeli redukcja wektora stanu nastą-

piła do d (foton poruszał się po drodze dolnej), wówczas bomba wybu-

cha. Jeżeli natomiast w rezultacie oddziaływania fotonu ze zwierciadłem

(a więc i zapalnikiem bomby) nastąpiła redukcja do stanu g (co znaczy,

143

że foton poruszał się górną drogą), wówczas może on dotrzeć do detektora

D1 lub D2 z prawdopodobieństwem p = ½. Jeżeli foton został zarejestro-

wany przed detektor D1, to nie wiemy, czy bomba jest dobra, czy zepsuta

(zapalnik działa jak zwykłe zwierciadło), natomiast jeśli foton został zare-

jestrowany przez detektor D2, to wiemy z całkowitą pewnością, że ziden-

tyfikowaliśmy sprawną bombę. W ten sposób ½ sprawnych bomb dopro-

wadziliśmy do wybuchu, natomiast ¼ sprawnych bomb udało nam się zi-

dentyfikować nie doprowadzając do wybuchu.

Otrzymujemy zatem bardzo ciekawy rezultat: zapalnik sprawnej bomby

działa jak przyrząd pomiarowy, który redukuje superpozycję stanu fotonu

do jednego ze stanów klasycznych. Jeżeli foton zostanie zarejestrowany

przez detektor D2 i bomba wybuchła, to wiemy, że detonację spowodował

foton poruszający się po drodze dolnej, który trafiając w lustro zapalnika

spowodował odrzut i uruchomienie odpowiedniego mechanizmu. Nic nad-

zwyczajnego. Po prostu straciliśmy bombę. Jeśli natomiast foton zostanie

zarejestrowany przez detektor D2 i bomba nie wybuchła, to wiemy, że

bomba jest sprawna i zapalnik spełnił rolę przyrządu pomiarowego – na-

stąpiła redukcja superpozycji stanów fotonu, ale w rezultacie pomiaru zre-

alizował się stan g , czyli foton poruszał się po górnej drodze i nie spo-

wodował odrzutu zwierciadła zapalnika bomby (nie oddziałał z lustrem za-

palnika, chociaż mógł to zrobić). Na tym polega pomiar zerowy w mecha-

nice kwantowej, całkowicie niemożliwy do wyjaśnienia w kategoriach fi-

zyki klasycznej. Wygląda to tak, jakby sama możliwość poruszenia lustra

w zapalniku pozwalała fotonowi na dotarcie do detektora D2.84 „Teoria

kwantów ma niezwykle dziwną właściwość – zauważa Roger Penrose –

przyczyną zjawisk fizycznych bywają zdarzenia, które mogły się zdarzyć,

ale w rzeczywistości się nie zdarzyły, czyli – jak mówią filozofowie – kon-

trfakty”.85

Zauważmy, że pomiar zerowy to w istocie pomiar bez oddziaływania:

redukcja wektora stanu następuje pomimo tego, że foton w ogóle nie

_____________ 84 Por. R. Penrose, Cienie umysłu… s. 334. 85 R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 300.

144

wszedł w oddziaływanie z przyrządem pomiarowym.86 Detektor bomby

dokonuje więc pomiaru, że foton do niego nie dotarł.

_____________ 86 R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzą-

cych Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006, s. 520.

145

Kwantowe splątanie

Kwantowe splątanie (entanglement) to jeden z najbardziej zaskakujących

rezultatów mechaniki kwantowej. Pojawia się ono między obiektami, które

oddziaływały ze sobą w sposób opisany przez mechanikę kwantową a na-

stępnie zostały rozdzielone. Pomimo tego, że może je dzielić dowolnie duża

odległość przestrzenna, stany tych obiektów pozostają ze sobą skorelowane

tak, że pomiar wykonany na jednym z nich ustala stan drugiego, i to bez

żadnego oddziaływania. W stanie splątanym dwóch lub większej liczby

obiektów stan całego układu jest dobrze określony, natomiast stan poszcze-

gólnej cząstki w ogóle nie jest określony i wynik pomiaru własności poje-

dynczej cząstki daje zupełnie przypadkową wartość. Na przykład dla stanu

singletowego dwóch fotonów wiadomo, że jeżeli zmierzyć ich polaryzację

za pomocą dwóch identycznie ustawionych w przestrzeni i dowolnie odle-

głych polaryzatorów, to zawsze otrzymamy polaryzacje przeciwne. Jednak

wynik pomiaru polaryzacji każdego z tych fotonów jest zupełnie przypad-

kowy i nieprzewidywalny.

Obiekty znajdujące się w stanie splątanym tworzą jedną spójną całość

niezależnie od tego, jak daleko są od siebie oddalone. Pewne ich własności

pozostają skorelowane ze sobą w sposób wykraczający poza zwykłe oddzia-

ływania w czasoprzestrzeni. Kwantowe splątanie nie ogranicza się wyłącz-

nie do pojedynczych mikroobiektów – współcześnie fizycy wykonali wiele

eksperymentów, pokazujących, że stany splątane występują również w sfe-

rze makroskopowej.87

Paradoks EPR

Einstein, chociaż sam w znaczący sposób przyczynił się do powstania

mechaniki kwantowej, do końca życia nie mógł się pogodzić z jej „dziw-

nymi” rezultatami. „Mechanika kwantowa – pisał w liście do Maxa Borna

− robi imponujące wrażenie […] ale jestem przekonany, że Bóg nie gra w

_____________ 87 Por. V. Verdal, Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31.

146

kości”.88 Einstein niemal przez 30 lat prowadził z Bohrem dyskusję na te-

mat podstaw mechaniki kwantowej i przedstawiał coraz to nowe ekspery-

menty myślowe mające dowodzić jej niekompletności. Powiedzenie, że

„Bóg nie gra w kości” stanowi oczywiście wyraz przekonania Einsteina, że

fundamentalna teoria mikroświata nie może mieć charakteru probabili-

stycznego. Spór Einsteina z Bohrem nie dotyczył jednak wyłącznie kwestii

determinizmu, ale również problemu realizmu i statusu teorii fizycznych.

Einstein był realistą i podkreślał, że wiara w istnienie obiektywnego

świata niezależnego od świadomości podmiotu poznającego i jakichkolwiek

teorii jest podstawowym założeniem wszelkich badań naukowych.89 Pisał,

że „[w]szelkie poważne rozważanie teorii fizycznej musi brać pod uwagę

rozróżnienie pomiędzy obiektywną rzeczywistością, niezależną od wszel-

kiej teorii, a pojęciami fizycznymi, którymi operuje ta teoria. Pojęcia te są

pomyślane tak, aby odpowiadały obiektywnej rzeczywistości fizycznej i za

pomocą tych pojęć przedstawiamy sobie tę rzeczywistość”.90 Innymi

słowy: celem teorii naukowych, w tym oczywiście i mechaniki kwantowej,

jest opis świata takiego, jaki by on był nawet wówczas, gdyby nas (obser-

watorów) nie było.

Bohr miał odmienny pogląd na status teorii naukowych. Twierdził, że

celem nauki nie jest dociekanie „realnej istoty zjawisk” (the real essence),

ale „ustanowienie ilościowych zależności między wynikami pomiarów”.91

W sporze o status poznawczy teorii naukowych często stanowisko Ein-

steina podaje się jako typowy przykład realizmu naukowego, natomiast

stanowisko Bohra jako przykład antyrealizmu (instrumentalizmu).

W 1935 Einstein zaproponował wspólnie z Borysem Podolskym i Na-

thanem Rosenem92 sławny eksperyment myślowy (zwany „paradoksem

_____________ 88 [Born, Einstein, 1971, s. 91] 89 Por. A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych po-

jęć do teorii względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962, s. 260. 90 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 117–118. 91 N. Bohr, Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press,

Cambridge 1934, p. 118. 92 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Phy-

sical Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–780;

147

EPR”), który w zamierzeniu autorów miał dowodzić niekompletności me-

chaniki kwantowej. Według EPR każda cząstka ma jednocześnie dobrze

określony pęd i położenie, ale mechanika kwantowa nie jest w stanie tego

faktu opisać, dlatego też nie jest teorią kompletną. Eksperyment myślowy

został dopiero po pół wieku zrealizowany w rzeczywistych doświadcze-

niach Aspecta i − całkowicie wbrew oczekiwaniom Einsteina − jego rezul-

taty okazały się zgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, nie-

zgodne natomiast z założeniami lokalności i realizmu.

Podstawową rolę w argumentacji Einsteina odgrywa przyjęte kryterium

realności fizycznej:93 „Jeżeli, nie zakłócając układu w żaden sposób, mo-

żemy w sposób pewny (tzn. z prawdopodobieństwem równym jedności)

przewidzieć wartość jakiejś wielkości fizycznej, to istnieje element rzeczy-

wistości fizycznej odpowiadający tej wielkości fizycznej”.94

Zgodnie z mechaniką kwantową, jeżeli dwie obserwable reprezentowane

są przez niekomutujące operatory, to pomiar jednej z nich wyklucza równo-

czesny pomiar drugiej. Gdy ustalono w pomiarze wartość pierwszej wielko-

ści, to wszelka próba eksperymentalnego wyznaczenia drugiej wielkości za-

burza stan układu tak, że niszczy wiedzę o pierwszej. Jednak czym innym

jest twierdzenie, że pomiar drugiej wielkości zaburza stan układu tak, że tra-

cimy informację o pierwszej wielkości, a czym innym twierdzenie, że oby-

dwie te wielkości nie są równocześnie określone. Zdaniem Einsteina w pew-

nych przypadkach można przewidzieć zarówno położenie, jak i pęd cząstki

bez zakłócania stanu układu, zatem wielkości te należy uznać za jednocze-

śnie realne. Ponieważ, zgodnie z mechaniką kwantową, nie można zmierzyć

jednocześnie wielkości komplementarnych dla jednej cząstki, Einstein roz-

waża układ dwóch cząstek, które oddziaływały ze sobą − a zatem są opisane

przez wspólny wektor stanu i pokazuje, że dokonując pomiaru na układzie I,

można przewidzieć w sposób pewny stan układu II bez jego zakłócania, a

_____________

tłum. polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można uznać za

zupełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein…, s. 117–123. 93 Por. R. I. G. Hughes, The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Har-

vard University Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994, s. 158. 94 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 118.

148

zatem − zakładając przytoczone wyżej kryterium realności − należy uznać,

że wielkości te są realne. Einstein wnosi stąd, że mechanika kwantowa nie

jest teorią kompletną, czyli że nie opisuje wszystkich aspektów rzeczywi-

stości fizycznej, chyba że przyjmiemy, iż stan układu II zależy od procesu

pomiaru przeprowadzonego na odległym od niego przestrzennie układzie

I, co w żaden sposób nie zakłóca stanu układu II. „Nie można oczekiwać −

twierdzi jednak Einstein − by jakakolwiek rozsądna definicja rzeczywisto-

ści na to pozwalała”.95 Einstein zakładał, że teorie fizyczne muszą się wią-

zać z założeniem, że poszczególne rzeczy istnieją całkowicie niezależnie

od siebie „o ile «leżą w różnych częściach przestrzeni». Bez przyjęcia ta-

kiej wzajemnej niezależności egzystencji […] rzeczy odległych przestrzen-

nie, wypływającego przede wszystkim z myślenia potocznego, myślenie

fizyczne w znanym nam sensie byłoby niemożliwe”.96

Dla dalszych rozważań wygodnie będzie przedstawić paradoks EPR w

postaci zmodyfikowanej przez Davida Bohma, dotyczącej pomiaru spinu.

Rozważmy układ o zerowym spinie całkowitym złożony z dwóch cząstek I

i II o spinie ½ każda, który rozpadł się w sposób niepowodujący zmiany

spinu. Załóżmy, że cząstki te poruszają się w przeciwnych kierunkach. Zgod-

nie z mechaniką kwantową, jeden wektor stanu opisuje stan układu rów-

nież po rozpadzie i całkowity spin układu wynosi zero również wówczas,

gdy cząstki oddalą się na znaczącą odległość i przestaną ze sobą oddziały-

wać.97 Stan układu złożonego z dwóch cząstek, których całkowity spin wy-

nosi zero, możemy zapisać następująco: spin pierwszej cząstki jest skiero-

wany do góry 1, a spin drugiej w dół 2 oraz spin pierwszej cząstki

jest skierowany w dół 1, a drugiej do góry 2 :

)(2

1

2121 .

_____________ 95 Ibidem, s. 122. 96 A. Einstein, Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert Ein-

stein…, s. 163. 97 Por. D. Bohm, Ukryty porządek, s. 85.

149

Stany takie nazywamy stanami splątanymi (entanglement). Wektor stanu

układu nie może być zapisany jako iloczyn wektorów stanów podukładów.

Kwantowe splątanie dotyczy dwóch lub większej liczby obiektów i stany

splątane należy odróżnić od superpozycji stanów, która odnosi się do jed-

nego obiektu.

Jeżeli wykonamy pomiar rzutu spinu cząstki I, to możemy w ten sposób

z całkowitą pewnością i to bez żadnego oddziaływania przewidzieć rzut

spinu cząstki II na tę samą oś. Ponieważ w doświadczeniu spin jest zacho-

wany, czyli całkowity spin układu wynosi zero, to spin drugiej cząstki jest

zawsze skierowany przeciwnie. Jeżeli na przykład w rezultacie pomiaru do-

konanego na cząstce pierwszej otrzymamy „spin w górę”, to wektor stanu

układu redukuje się do składowej 1 2 , co znaczy, że spin drugiej

cząstki skierowany jest „w dół” na ten sam kierunek w przestrzeni. Zau-

ważmy, że kierunek w przestrzeni możemy wybrać dowolnie – jeśli otrzy-

mamy określoną wartość rzutu spinu cząstki I, to wiemy z całkowitą pew-

nością, jaki jest kierunek rzutu spinu cząstki II na ten sam kierunek w prze-

strzeni. Wydaje się zatem, że wartość spinu spełnia przyjęte przez Einsteina

kryterium realności fizycznej.

Spin jest to wewnętrzny moment pędu cząstki elementarnej. Jednak jest

to typowo kwantowa wielkość i analogia do klasycznego momentu pędu jest

dość ograniczona. Klasyczny momentu pędu zachowuje stały kierunek w

przestrzeni i posiada dobrze określone wszystkie trzy składowe prze-

strzenne. Zatem pomiar na układzie I pozwala z całkowitą pewnością okre-

ślić stan układu II. Po prostu przed pomiarem wektor momentu pędu każdej

z dwóch cząstek jest skierowany w określonym kierunku przestrzeni i po-

miar ujawnia wartość wielkości fizycznej, jaką była przed pomiarem i nie-

zależnie od niego. Jednak zgodnie z mechaniką kwantową, operatory skła-

dowych spinu nie komutują ze sobą, co znaczy, że gdy jedna składowa jest

określona (tzn. w wyniku pomiaru otrzymamy określoną jej wartość), dwie

pozostałe są nieokreślone (a nie tylko niemożliwe do zmierzenia) i mogą lo-

sowo fluktuować.

150

Rys. # Pomiar spinu elektronów.

Rozważmy następujący przykład: załóżmy, że przez urządzenie mierzące

spin kierujemy strumień elektronów (por. rys. #). Wykonujemy pomiar rzutu

spinu elektronów na pewien kierunek w przestrzeni. Z prawdopodobień-

stwem równym ½ otrzymujemy „spin w górę” albo „spin w dół” .

Jeżeli teraz ze strumienia cząstek wyeliminujemy te, których składowa spinu

względem osi z była skierowana „w dół” i wykonamy ponowny pomiar usta-

wienia spinu względem tego samego kierunku w przestrzeni, to z pewnością

uzyskujemy rezultat „w górę” dla wszystkich cząstek (ponowne działa-

nie tego samego operatora rzutowego nie zmienia stanu obiektu). Jeżeli jed-

nak pomiędzy pomiarami składowej spinu elektronów w kierunku z wyko-

nujemy pomiar względem jakiejś innej orientacji przestrzennej, powiedzmy

x, to sytuacja ulega zmianie. Podobnie jak dla osi z również w połowie przy-

151

padków otrzymamy ustawienie spinu, powiedzmy „w prawo” , a w po-

łowie przypadków ustawienie „w lewo” . Jeżeli jednak teraz wykonamy

ponownie pomiar rzutu spinu elektronów w kierunku z dla cząstek, które

przed przeprowadzeniem pomiaru rzutu spinu w kierunku x wszystkie miały

spin ustawiony „w górę” w kierunku osi z, to okazuje się, że jedynie w po-

łowie przypadków otrzymujemy ustawienie „spin w górę”, a w połowie

przypadków − „spin w dół”. Gdyby wszystkie składowe spinu elektronu były

dobrze określone i zachowywały stały kierunek w przestrzeni (jak klasyczny

moment pędu), wówczas przy powtórnym pomiarze rzutu spinu na oś z po-

winniśmy otrzymać wyłącznie rezultat „spin w górę”.

Rozważmy pewien eksperyment myślowy ilustrujący makroskopowy

przykład takiego zachowania. Eksperymentu takiego oczywiście nikt nie

wykonał, ale jego analiza pozwoli na zrozumienie osobliwości zachowania

obiektów kwantowych. Powiedzmy, że w urnie mamy kule białe i czarne, a

ponadto kule są ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi. Wycią-

gamy losowo kulę: jeżeli jest czarna, to umieszczamy ją w drugiej urnie, jeśli

biała – odkładamy na bok. Wykonujemy zatem „pomiar” dotyczący koloru

kuli – możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „biała” albo „czarna”.

Następnie z drugiej urny losujemy kulę i przeprowadzamy ponownie „po-

miar” koloru: biała czy czarna? Ponieważ uprzednio odłożyliśmy na bok

wszystkie kule białe, to w urnie znajdują się wyłącznie kule czarne i z cał-

kowitą pewnością zawsze wylosujemy kulę czarną. Używając języka me-

chaniki kwantowej możemy powiedzieć, że po wykonaniu pomiaru wszyst-

kie kule znajdują się w „stanie własnym koloru”. Powiedzmy teraz, że za-

miast sprawdzać, kolor kuli (co byłoby zadaniem dość nudnym, ponieważ

wszystkie kule w drugiej urnie są oczywiście czarne), losujemy kule i wyko-

nujemy „pomiar” sprawdzając, czy kula ma numer parzysty, czy nieparzysty.

Kule o numerach nieparzystych odkładamy na bok, natomiast kule o nume-

rach parzystych umieszczamy w trzeciej urnie. Teraz ponownie losujemy

kule z trzeciej urny i sprawdzamy, czy są białe czy czarne. Gdybyśmy prze-

prowadzali doświadczenie z rzeczywistymi kulami, to zachowywałyby się

one tak jak zwykłe przedmioty makroskopowe: kula jest biała albo czarna i

ma numer parzysty albo nieparzysty niezależnie od tego, czy ktoś sprawdza,

152

czy nie (powiedzielibyśmy, że określony kolor czy też numer jest obiek-

tywną własnością kuli). Ponieważ w pierwszym losowaniu odłożyliśmy na

bok wszystkie kule białe, a w drugim losowaniu wyeliminowaliśmy wszyst-

kie kule o numerach nieparzystych, to w trzeciej urnie powinny został wy-

łącznie kule czarne z parzystymi numerami. Jednak gdyby kule zachowy-

wały się w sposób kwantowomechaniczny, to – podobnie jak podczas pierw-

szego „pomiaru” – z prawdopodobieństwem ½ wylosowalibyśmy… kulę

białą pomimo tego, że w pierwszym losowaniu odrzuciliśmy wszystkie kule

białe. Wygląda to tak, jakby kula „stawała się” biała albo czarna (lub nosiła

numer parzysty albo nieparzysty) dopiero w rezultacie losowania, a nie przed

losowaniem i niezależnie od niego.

Powróćmy do pomiaru spinu: kierunek przestrzenny, na który zostanie

dokonany pomiar spinu w układzie I, może być wybrany bezpośrednio przed

dokonaniem pomiaru (na przykład w sposób losowy), co uniemożliwia ja-

kiekolwiek oddziaływanie fizyczne układu I z odległym układem II, czyli

przekazanie informacji o tym, w jakim kierunku będzie mierzony spin w

układzie I. Pomimo tego kierunki spinów cząstek w odległych obszarach

przestrzeni pozostają ze sobą ściśle skorelowane – jeżeli cząstka I w wyniku

pomiaru uzyska spin „w górę”, to stan cząstki II redukuje się do stanu spin

„w dół”. Einstein nazwał to „upiornym działaniem na odległość” (spooky

action at a distance).

Nierówność Bella

W 1964 roku John Stewart Bell (1928–1990) udowodnił nierówność do-

tyczącą korelacji spinowych, która powinna być spełniona, gdyby słuszny

był wniosek Einsteina, że mechanika kwantowa nie jest teorią kompletną.98

Twierdzenie Bella nie jest związane z jakąś konkretną własnością cząstek,

jak na przykład spin, ale ma znaczenie całkiem ogólnie i „w zasadzie nie

zależy od wyboru cząstek ani charakteru łączących je oddziaływań; dotyczy

_____________ 98 Por. J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s. 195–

200, [w:] http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf.

153

ono logicznych reguł, jakie obowiązują w każdym procesie pomiaru”.99 Taką

regułą jest na przykład stwierdzenie, że liczba rudych mieszkańców Polski

nie może być większa niż liczba rudych mężczyzn plus liczba wszystkich

kobiet bez względu na kolor włosów.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte jest na dwóch założeniach,

określanych jako realizm (lub założenie obiektywnej rzeczywistości) oraz

lokalność (separowalność). Są one rozumiane następująco:

1. Realizm – obiekty kwantowe mają jednocześnie określone wszystkie

wartości parametrów dynamicznych całkowicie niezależnie od doko-

nywanych pomiarów (nawet gdy pomiar w mechanice kwantowej nie

pozwala na jednoczesne określenie wielkości komplementarnych z

dowolną dokładnością),

2. Lokalność (einsteinowska) albo separowalność (separability) –

żadne oddziaływanie fizyczne nie może rozprzestrzeniać się szybciej,

niż wynosi prędkość światła w próżni c (co oczywiście wyklucza na-

tychmiastowe działanie na odległość).100

Szkicowo rozumowanie to można przedstawić następująco: niech X, Y, Z

oznaczają określone kierunki przestrzenne. W przypadku dowolnej osi war-

tość rzutu spinu (dla takich cząstek jak elektrony) może przyjmować tylko

dwie wartości, które oznaczymy tu jako „+” i „–” odpowiednio. Gdyby

cząstka miała własność X+Y–, to — przy założeniu, że wartości wszystkich

trzech rzutów spinów są określone, chociaż zmierzyć można każdorazowo

tylko jedną z nich — musi być ona oczywiście typu X+Y–Z+ albo X+Y–Z–.

_____________ 99 J. Gribbin, W poszukiwaniu…, s. 204. 100 Niekiedy jako trzecie założenie dodaje się „założenie wolnej woli” rozumiane w

ten sposób, że obserwator może wybrać, jaką własność układu będzie mierzyć, w przeci-

wieństwie do determinizmu, który (podobno) wyklucza taką możliwość. Por. M. Żurkow-

ski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki”

2009, nr 4 (212), s. 36-39. Bell mówił nawet o możliwości „superdeterminizmu”, który, jak

sądził, prowadził do wniosku, że obserwator nie ma wyboru, jaką wielkość obserwować, co

prowadzi do wniosku, że problem korelacji EPR po prostu „znika” (por. P. C. W. Dawies,

J. R. Brown, Duch w atomie, s. 65). Wydaje się jednak, że filozoficzny problem „wolnej

woli” jest znacznie bardziej skomplikowany i jego rozważnie wyłącznie w kontekście inter-

pretacji mechaniki kwantowej jest zbyt daleko posuniętym uproszczeniem, żeby nie powie-

dzieć nieporozumieniem.

154

Ponieważ jednak zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga tylko jedna

składowa spinu może być zmierzona dla danej cząstki, to zamiast rozpatry-

wać pojedyncze cząstki można zastosować to rozumowanie do par cząstek,

dla których sumaryczny spin wynosi zero.

Rozważmy parę cząstek o spinie równym zero, która rozpadła się tak, że

cząstki I i II poruszają się w przeciwnych kierunkach a ich sumaryczny spin

wynosi zero. Gdy cząstki znajdują się daleko od siebie wykonujemy pomiar

rzutu spinu na wybraną oś.

Bell wykazał, że przy założeniu lokalności i realizmu liczba par cząstek,

dla których dwie składowe rzutu spinu na kierunki X i Y mają wartość „+”

n(X+Y+), musi być mniejsza niż suma liczb par cząstek, dla których wszyst-

kie pomiary dały wartość „+”: n(X+Z+) i n(Y+Z+):

n(X+Y+) n(X+Z+) + n(Y+Z+).101

Ograniczenia na korelacje między pomiarami przeprowadzonymi równo-

cześnie na dwóch rozdzielonych przestrzennie cząstkach powinny być zatem

spełnione (przy założeniu lokalnego realizmu) zarówno w przypadku po-

miaru składowych spinu, jak również takich wielkości, jak na przykład po-

laryzacja fotonu.

Według mechaniki kwantowej w pewnych warunkach korelacje między

mierzonymi wielkościami powinny przekraczać ograniczenia wynikające z

nierówności Bella. Nierówność Bella umożliwia więc empiryczny test mię-

dzy stanowiskami Einsteina i Bohra.

Realizm i lokalność w mechanice kwantowej

Decydujące znaczenie dla rozstrzygnięcia sporu między stanowiskami

Einsteina i Bohra miały doświadczenia przeprowadzone w 1982 roku przez

_____________ 101 Jest to uproszczona postać nierówności Bella, co jednak dla niniejszych rozważań

nie ma istotnego znaczenia.

155

zespół Alaina Aspecta102. W doświadczeniach tych mierzono polaryzację fo-

tonów wyemitowanych podczas przejścia między poziomami energetycz-

nymi atomu wapnia, wzbudzonych światłem laserów (jest to wzbudzenie

dwufotonowe, które może się rozpaść tylko przez emisję dwóch fotonów).

Rezultaty doświadczeń potwierdzają korelacje przewidywane przez mecha-

nikę kwantową, falsyfikują natomiast nierówność Bella. Doświadczenia

Aspecta nie były pierwszymi doświadczeniami, których zadaniem był empi-

ryczny test nierówności Bella, ale – głównie z uwagi na zastosowanie loso-

wego (scil. pseudolosowego) ustawienia przełącznika kierującego fotony do

filtrów polaryzacyjnych – powszechnie uznaje się je za rozstrzygające. Od-

ległość między źródłem fotonów a każdym z detektorów wynosiła 6 metrów,

a odstępy czasu, między którymi zmieniano ustawienie przełącznika, były

kilkakrotnie krótsze niż czas lotu fotonów. Decyzja, w jakim kierunku mie-

rzyć polaryzację, podejmowana była dopiero wtedy, gdy fotony były już wy-

emitowane ze źródła, co uniemożliwiało przekaz informacji pomiędzy de-

tektorami, na jaki kierunek polaryzacji został on nastawiony. (Jedno przełą-

czeni trwało 10 ns, czas emisji – 5 ns, czas lotu fotonów – 40 ns).

W 1998 roku zespół Nicolasa Gisina z Genewy wytworzył i utrzymał

splątanie pary fotonów po przesłaniu cząstek na odległość 10 km, a Anton

Zeilinger zaprezentował udoskonaloną wersję doświadczenia Aspecta. W

2006 roku zespół Zeilingera wytworzył splątanie na odległość 144 kilome-

trów. Rok później zespół Marka Żukowskiego z Instytutu Fizyki Teoretycz-

nej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego we współpracy z grupą Zeilin-

gera przeprowadził doświadczalny test nielokalnego realizmu i ostatecznie

wykluczył pewną klasę wariantów mechaniki kwantowej ze zmiennymi

ukrytymi.

„Upiorne działanie na odległość”, które tak niepokoiło Einsteina, okazuje

się więc faktem. Ściślej rzecz biorąc, nie można jednak w tym wypadku mó-

wić o oddziaływaniu, ponieważ kwantowe splątanie nie może służyć do

przesyłania informacji: jeśli w obszarze I zaobserwujemy pewną własność

obiektu kwantowego, na przykład określone ustawienie spinu, to wiemy z

_____________ 102 Por. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Experimental Test of Bell’s Inequalities Using

Time Varying Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807.

156

całą pewnością, jaka jest jej własność w obszarze II dla drugiego obiektu, ale

informację o tym możemy przesłać do obszaru II wyłącznie drogą konwen-

cjonalną, to znaczy najwyżej z prędkością światła w próżni. Kwantowe splą-

tanie nie jest więc sprzeczne ze szczególną teorią względności, choć trzeba

przyznać, że fakt, iż własności dowolnie oddalonych od siebie przestrzennie

obiektów kwantowych pozostają ze sobą skorelowane (pomimo braku od-

działywań fizycznych między nimi) ma w sobie coś niesamowitego, co

trudno pogodzić ze zdroworozsądkowym, a także klasycznym obrazem

świata.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte było na założeniu lokalnego re-

alizmu, czyli lokalności einsteinowskiej i realizmu (w omówionych wcze-

śniej znaczeniach tych terminów). Rezultaty przeprowadzonych ekspery-

mentów są w pełni zgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, nie-

zgodne natomiast z nierównością Bella. Wynika stąd wniosek, że należy od-

rzucić albo realizm albo lokalność.103 Wśród uczonych nie ma współcześnie

zgody co do tego, jakie filozoficzne konsekwencje wynikają z faktu, że nie-

równość Bella nie jest spełniona. Odrzucenie realizmu jest w pełni zgodne z

kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej i poglądem Bohra, że rezul-

taty doświadczeń w mechanice kwantowej nie informują nas o niezależnych

od użytej aparatury pomiarowej (i w tym sensie „obiektywnych”) własno-

ściach mikroobiektów, ale informują nas o reakcji makroskopowych przy-

rządów pomiarowych. W pewnym sensie możemy powiedzieć, że „rzeczy-

wistość” zależy od decyzji obserwatora, ponieważ rezultat eksperymentu za-

leży od tego, jaki pomiar zdecyduje się on przeprowadzić.104 Jeżeli natomiast

odrzucimy lokalność, wówczas stanowisko takie prowadzi do poddania w

wątpliwość naszych poglądów na czas i przestrzeń. Kwantowe splątanie nie

_____________ 103 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 320. Rezultaty doświadczeń Aspecta wy-

kluczają lokalne teorie zmiennych ukrytych, nie wykluczają jednak teorii, w których za-

kłada się występowanie oddziaływań z prędkością ponadświetlną. D. Z. Albert, R. Galchen,

Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s.

28-36; M. Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina,

„Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39. 104 Por. A. Zeilinger, Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bieniok,

A. L. Łokas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 326.

157

maleje z odległością i obiekty znajdujące się w stanie splątanym w jakiś spo-

sób tworzą niepodzielną całość, trudno je zatem traktować jako odrębne re-

alności fizyczne, a ponadto są połączone ze sobą związkami, które – jak się

wydaje – całkowicie wykraczają poza czas i przestrzeń.

Kwantowe splątanie jest ponadto mocnym argumentem na rzecz stanowi-

ska antyredukcjonistycznego. Według stanowiska redukcjonistycznego ca-

łość może być rozłożona na części, z których każdą można scharakteryzo-

wać przez opis jej wewnętrznego, nierelacyjnego stanu, a wszystkie wła-

sności fizyczne całości są konsekwencją własności wewnętrznych części i

czasoprzestrzennych relacji między nimi.105 Jednak stan układu cząstek

splątanych jest dobrze określony, ale stan elementów składowych tego

układu jest w ogóle nieokreślony. Własności całości są więc nieredukowalne

do własności części. W tym znaczeniu mechanika kwantowa zawiera ele-

menty holistyczne.

_____________ 105 Por. T. Maudlin, Part…, s. 48.

158

Interpretacje mechaniki kwantowej

Uczeni zgodni są co do tego, że mechanika kwantowa jest najdoskonal-

szą teorią fizyczną jaką kiedykolwiek skonstruowano. Jak dotąd nigdy nie

natrafiono na zjawisko, które przeczyłoby przewidywaniom mechaniki

kwantowej, pozwoliła ona wyjaśnić zjawiska całkowicie niezrozumiałe z

punktu widzenia fizyki klasycznej, a ponadto ma olbrzymi, nieporówny-

walny z żadną inną teorią naukową, obszar zastosowań praktycznych.106

Jednak paradoksalne i wysoce nieintuicyjne zachowanie mikroobiektów

wciąż skłania uczonych do próby odpowiedzi na pytanie „co to wszystko

znaczy?”, czyli do sformułowania interpretacji mechaniki kwantowej.

Liczba interpretacji mechaniki kwantowej wciąż rośnie – formułowane są

coraz to nowe propozycje, tak że trudno nawet powiedzieć, ile dokładnie

jest różnych interpretacji mechaniki kwantowej.

Zanim omówimy wybrane interpretacje, zauważmy, że można wyróżnić

co najmniej dwa odmienne podejścia do samego zagadnienia interpretacji

mechaniki kwantowej. Pierwsze z nich określimy jako „egzegezę struktur

matematycznych”. Jego przykładem jest stanowisko Michała Hellera.107

Podkreśla on, że strukturę matematyczną teorii należy traktować dosłow-

nie, ponieważ jest to jedyny (oczywiście poza eksperymentem) sposób uzy-

skania „wglądu” w mikroświat. Heller postuluje przy tym „zasadę interpre-

tacyjnej oszczędności”, zgodnie z którą należy zakładać wyłącznie to,

czego wymaga struktura matematyczna teorii, bez narzucania jej jakichś

dodatkowych treści, w szczególności zaś wyobrażeniowych modeli

ukształtowanych na bazie naszej percepcji świata makroskopowego. Po-

gląd taki jest zbieżny z koncepcją ontologii w sensie Quine’a, zgodnie z

którą należy postulować wyłącznie istnienie tych bytów, których istnienie

zakłada formalizm danej teorii.

_____________ 106 Polecam opis najważniejszych zastosowań mechaniki kwantowej w rozdziale szó-

stym „Fizyka kwantowa w zastosowaniach” książki J. Al-Khalili, Kwanty. Przewodnik dla

zdezorientowanych (s. 229-260). 107 M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów, OBI, Kraków 1996, s. 14-15.

159

W drugim podejściu interpretacja mechaniki kwantowej jest często ro-

zumiana jako próba przełożenia na nasz codzienny język tego, co mówi

nam formalizm mechaniki kwantowej, a konsekwencji jako próba wypra-

cowania jakiegoś obrazu mikroświata, który pozwoliłby na zrozumienie

również tego, co dzieje się między pomiarami. Oczywiście tak rozumiane

interpretacje muszą zgadzać się z przewidywanymi przez mechanikę kwan-

tową wynikami eksperymentów, jednak różne interpretacje proponują ra-

dykalnie odmienne obrazy świata lub też – inaczej mówiąc – różne i często

niewspółmierne ontologie. Niekiedy interpretacje te przyjmują już postać

spekulacji całkowicie wykraczających poza możliwości jakiegokolwiek te-

stu empirycznego (przynajmniej na obecnym stanie rozwoju nauki).

Wydaje się dość paradoksalne, że teoria fizyczna, która tak doskonale

sprawdza się w doświadczeniu, doczekała się tak wielu odmiennych inter-

pretacji. Jednak superpozycja stanów, kwantowe splątanie czy redukcja

wektora stanu podczas pomiaru i inne paradoksy mechaniki kwantowej sta-

nowią niewątpliwie wyzwanie dla naszej wyobraźni. Jaki jest status róż-

nych interpretacji mechaniki kwantowej? John Gribbin na przykład określa

je jako „kule inwalidzkie naszej ograniczonej wyobraźni, sposoby uchwy-

cenia dziwności świata kwantów, która nigdy nie znika i pozostaje poza

zasięgiem naszego codziennego doświadczenia”.108

Jeżeli nie jesteśmy przywiązani do poglądu, że może istnieć tylko jeden

właściwy obraz świata fizycznego, to do wyboru mamy kilka różnych pro-

pozycji. Jak dotąd nie wykazano, by którakolwiek z interpretacji była lep-

sza niż inne. Być może zatem wybór jednaj z nich pozostaje kwestią oso-

bistych preferencji. Nie można jednak również a priori wykluczyć, że

pewna interpretacja, niekoniecznie jedna z obecnie znanych, okaże się wła-

ściwą interpretacją mechaniki kwantowej i przyczyni się do głębszego zro-

zumienia świata.109 W kolejnych paragrafach omówimy wybrane interpre-

tacje, przyjmując stanowisko agnostyczne w kwestii ich oceny.

_____________ 108 J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 143. 109 Takie sytuacje miały już miejsce w fizyce. Przykładem może być powstanie szcze-

gólnej teorii względności i interpretacja skrócenia ramion interferometru przez Lorenza i

160

Interpretacja kopenhaska

Interpretacja kopenhaska jest historycznie pierwszą interpretacją me-

chaniki kwantowej i często uważa się ją za interpretację „ortodoksyjną” lub

za „zwykłą” interpretację mechaniki kwantowej. Głównym jej twórcą był

Bohr, który sformułował zasadę komplementarności,110 ale równie ważne

są dla niej: statystyczna interpretacja wektora stanu sformułowana przez

Borna i postulat redukcji wektora stanu von Neumanna. Tak więc interpre-

tację kopenhaską wyznacza pakiet następujących idei: komplementarność,

statystyczna interpretacja wektora stanu oraz postulat redukcji.111

_____________

FitzGeralda jako rezultatu jego ruchu w eterze i odrzucenie koncepcji eteru przez Einste-

ina i wprowadzenie postulatu stałości prędkości światła w próżni. Por. J. Al-Khalili,

Kwanty…, s. 147–148. 110 Podczas międzynarodowego Kongresu Fizyków w Como w 1927 r. Por. N. Bohr,

The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supplement to

„Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590. 111 Dodać jednak należy, że w poglądach filozoficznych poszczególnych fizyków, zwo-

lenników interpretacji kopenhaskiej, zachodzą istotne różnice. Na przykład u Bohra wi-

dzimy charakterystyczne pragmatyczne podejście – przyjęcie pewnych zasad, które po-

zwalałyby dobrze stosować formalizm mechaniki kwantowej w praktyce, bez jakiejś

szczególnej troski o jednolitą filozofię leżącą u podstaw interpretacji mechaniki kwanto-

wej, poglądy filozoficzne Heisenberga ulegały ewolucji – od pozytywizmu do platonizmu,

poglądy von Weizsäckera bliskie były kantyzmowi, natomiast Eddington zajmował stano-

wisko „selektywnego subiektywizmu” (jak sam je określił). Nawet treść słynnej zasady

komplementarności rozumiana jest nieco inaczej przez Bohra, a inaczej przez Heisen-

berga. O filozoficznych poglądach fizyków zaliczanych do zwolenników kopenhaskiej in-

terpretacji mechaniki kwantowej por. A. Łukasik, Selektywny subiektywizm sir Arthura

Stanley’a Eddingtona, „Edukacja Filozoficzna” 1997, vol. 23, s. 247–261; A. Łukasik,

Niels Bohr i zagadnienie obiektywności poznania, „Annales Universitatis Mariae Curie-

Skłodowska” 1998, sectio I, vol. 23, s. 179–200; A. Łukasik, Filozofia nauki Wernera

Heisenberga, [w:] P. Bylica, K. J. Kilian, R. Piotrowski, D. Sagan (red.), Filozofia – nauka

– religia. Księga jubileuszowa dedykowana Profesorowi Kazimierzowi Jodkowskiemu z

okazji 40-lecia pracy naukowej, Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego,

Zielona Góra 2015, s. 345–362.

161

Interpretacja kopenhaska ma charakter czysto pragmatyczny w następu-

jącym sensie:112 mechanika kwantowa dostarcza formalizmu matematycz-

nego, za pomocą którego możemy przewidywać prawdopodobieństwa re-

zultatów pomiarów różnych wielkości fizycznych przeprowadzanych na

układzie kwantowym przy użyciu makroskopowych – to znaczy opisywal-

nych za pomocą pojęć fizyki klasycznej – przyrządów pomiarowych. Jest

ona opisem procedur przygotowania układu i obliczania odpowiednich

prawdopodobieństw.113 Podstawową cechą odróżniającą mechanikę kwan-

tową od dotychczasowych teorii fizycznych jest indywidualność (whole-

ness – całkowitość, całościowość lub jeszcze inaczej mówiąc niepodziel-

ność) procesów atomowych, co jest bezpośrednią konsekwencją istnienia

elementarnego kwantu działania Plancka. W odróżnieniu od sytuacji po-

znawczej w mechanice klasycznej, w której oddziaływanie między przy-

rządem pomiarowym a badanym obiektem może być w zasadzie pominięte

(ponieważ nie wpływa w istotny sposób na przebieg obserwowanego zja-

wiska), w mechanice kwantowej oddziaływanie przyrząd–obiekt stanowi

integralną część zjawiska. Dlatego nie można nawet nakreślić ścisłej linii

demarkacyjnej między reakcją przyrządu pomiarowego a niezależnym od

przyrządu pomiarowego zachowaniem badanego obiektu. Podczas po-

miaru przyrząd i obiekt muszą być traktowane jako niepodzielna całość

(stan przyrządu ulega splątaniu ze stanem badanego obiektu), w trakcie po-

miaru następuje niekontrolowalne zaburzenie badanego układu i to, że mo-

żemy przewidywać jedynie prawdopodobieństwo rezultatów pomiarów

wynika ostatecznie z faktu nieznajomości tego zaburzenia.114 Ponieważ

_____________ 112 H. P. Stapp, The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40,

1098 (1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja kopenhaska, tłum. A. Śliwiński,

„Hybris” 2011, nr 15. 113 H. P. Stapp, Mind, Matter, and Quantum Mechanics, s. 69. 114 Każdy przedmiot makroskopowy, taki jak przyrząd pomiarowy, składa się z 1025 do

1030 atomów. Trudno zatem oczekiwać, aby można było dokładnie przewidzieć wynik od-

działywania na przykład pojedynczego elektronu z taką liczbą atomów składających się

na przyrząd pomiarowy. „Niestety nie zapowiada się, żebyśmy mogli kiedykolwiek przy-

gotować realistyczny opis pracy takiego urządzenia w ujęciu kwantowym. Przygotowanie

modelu wymagałoby podania zbyt dużej ilości danych i nawet najlepsze komputery na

162

wykonywanie pomiarów jest jedynym sposobem uzyskania informacji o

mikroświecie, to w istocie pomiar daje nam informację o reakcji przyrządu

pomiarowego na oddziaływanie obiektu, a nie informację o tym, jak zacho-

wują się obiekty nieobserwowane („same w sobie”). Nie ma żadnego sensu

mówienie o tym, jak zachowują się mikroobiekty niezależnie od wykony-

wanych obserwacji i pomiarów, ponieważ ich stan kwantowy przed pomia-

rem opisywany jest w kategoriach zespolonych amplitud prawdopodobień-

stwa, a kwantowej superpozycji stanów nie da się w istocie wyrazić w ka-

tegoriach języka codziennego (i języka fizyki klasycznej). Używając ana-

logii do psychologii behawioryzmu można powiedzieć, że możemy mieć

dostęp poznawczy jedynie do stanów „na wejściu” i „na wyjściu”, nato-

miast to, co się dzieje pomiędzy pomiarami należy potraktować jako wnę-

trze „czarnej skrzynki” i znajduje się całkowicie poza naszymi możliwo-

ściami poznawczymi.

Pomiary są wykonywane przy użyciu makroskopowych (czyli podlega-

jących prawom fizyki klasycznej) przyrządów pomiarowych i rezultaty po-

miarów są zawsze wyrażane w języku fizyki klasycznej.115 Bohr i Heisen-

berg podkreślali, że nie potrafimy i nie możemy zastąpić tych pojęć innymi,

ponieważ stanowią one warunek intersubiektywnej komunikowalności re-

zultatów doświadczenia, co Bohr utożsamia z obiektywnością opisu zja-

wisk.116 Bohr proponuje jednocześnie nowe użycie terminu „zjawisko”. W

mechanice klasycznej termin ten oznaczał obiektywny przebieg procesów

w przestrzeni i czasie, natomiast w mechanice kwantowej termin „zjawi-

sko” powinnyśmy stosować do opisu „obserwacji otrzymanych w warun-

kach, w których opis uwzględnia cały układ eksperymentalny”.117 Mecha-

nika kwantowa jest, zdaniem Bohra, obiektywnym opisem tak pojmowa-

nych zjawisk. Na przykład w doświadczeniu na dwóch szczelinach w przy-

_____________

świecie nie zdołałyby ich przetworzyć. To właśnie stoi na przeszkodzie opisaniu procesu

badań za pomocą równania Schrödingera” (I. Stewart, 17 równań fizyki, które zmieniły

świat, tłum. J. Szajkowska, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 398). 115 Por. W. Heisenberg, Fizyka a filozofia, s. 116 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 117 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 111-112.

163

padku, gdy otwarte są obydwie szczeliny i obserwujemy interferencję, mo-

żemy posłużyć się klasycznym pojęciem fali w celu opisu zachowania elek-

tronów w takim układzie eksperymentalnym. Jeżeli otwarta jest tylko jedna

szczelina, wówczas nie występuje interferencja i elektrony zachowują się

jak cząstki klasyczne, dlatego też ich zachowanie możemy opisać w kla-

sycznych kategoriach korpuskuł. Jednak są to dwa różne układy ekspery-

mentalne i charakterystyka elektronów jako „fal” albo jako „cząstek” w

oderwaniu od opisu konkretnego zestawu eksperymentalnego traci jakie-

kolwiek znaczenie – relacje nieoznaczoności ograniczają zasięg stosowal-

ności pojęć klasycznych, takich jak „cząstka” czy „fala”.

Zasada komplementarności,118 stanowiąca fundament kopenhaskiej in-

terpretacji mechaniki kwantowej, ustala stosunek między wykluczającymi

się z punktu widzenia fizyki klasycznej pojęciami, takimi właśnie jak po-

jęcia cząstki i pojęcie fali. Dwa klasycznie wykluczające się opisy zjawisk

są komplementarne, jeżeli zastosowanie jednego z nich (np. korpuskular-

nego) wyklucza jednoczesne zastosowanie drugiego (np. falowego). Jed-

nak komplementarne opisy nie są ze sobą sprzeczne, ponieważ odnoszą się

do wykluczających się nawzajem sytuacji eksperymentalnych i nie istnieje

żaden zestaw aparatury pomiarowej, w którym komplementarne aspekty

zjawisk pojawiłyby się równocześnie. Wielkości komplementarne repre-

zentowane są przez niekomutujące operatory – są to pary wielkości fizycz-

nych występujące w relacjach nieoznaczoności Heisenberga. Według inter-

pretacji kopenhaskiej komplementarne opisy sytuacji obserwacyjnych wy-

kluczają się wzajemnie, ale jednocześnie uzupełniają się do pełnej wiedzy

o układzie. Bohr wyraził to powiedzeniem: contraria sunt complementa –

przeciwieństwa są komplementarne. Tak więc na przykład światło nie jest

ani ciągłą falą elektromagnetyczną ani nie jest strumieniem dyskretnych

cząstek – fotonów, ale może być opisane w pewnej klasie eksperymentów

jako fala, w innej zaś jako strumień fotonów, nigdy zaś jako jedno i drugie

równocześnie, ponieważ aspekt korpuskularny i falowy są niewspółmierne

_____________ 118 Koncepcja komplementarności wywodzi się z psychologii i pojawia się po raz

pierwszy w pracy Williama Jamesa The Principle of Psychology, New York 1880, s. 206.

164

ze sobą. Chcąc jednak znać własności światła, musimy poznać oba kom-

plementarne aspekty. Komplementarnych opisów uzyskanych we wzajem-

nie wykluczających się sytuacjach eksperymentalnych nie jesteśmy w sta-

nie „zobiektywizować”, czyli połączyć w poglądowym modelu samoistnej,

czy też niezależnej od sytuacji eksperymentalnej realności fizycznej. Ale

też – zdaniem Bohra – nie jest to celem nauki. Zamiast dociekania „istoty

rzeczy” wystarczy „ustanowienie ilościowych zależności między rezulta-

tami pomiarów”.119 Mechanika kwantowa mówi nam wyłącznie o tym, co

można zaobserwować i zmierzyć, a nie o tym jaka jest „rzeczywistość

obiektywna”, o ile pod pojęciem tym rozumiemy rzeczywistość niezależną

od sposobu, w jaki ją badamy. Przedmiotem poznania nie jest przyroda

„sama w sobie” (niezależna od nas), ale „przyroda wystawiona na nasze

pytania” (przyroda dla nas). To, jaką odpowiedź dostaniemy zależy od tego,

jakiej użyliśmy aparatury pomiarowej i w tym sensie (i jedynie w tym sen-

sie) przebieg zjawisk zależy od obserwatora.120 Wektor stanu nie re-

prezentuje żadnej realności fizycznej, ale należy go uważać za maksymalną

informację, jaką mechanika kwantowa pozwala uzyskać o badanym ukła-

dzie w określonej chwili czasu. Jest to stanowisko czysto instrumentali-

styczne, związane z inspirowanym filozofią pozytywistyczną przekona-

niem, że w teorii fizycznej można mówić jedynie o wielkościach obserwo-

walnych, danych nam w tym przypadku jako rezultaty pomiarów. Redukcja

wektora stanu podczas pomiaru jest traktowana jako osobny postulat, po-

nieważ nie wynika ona z unitarnej ewolucji układu nieobserwowanego,

opisanej równaniem Schrödingera. Nie istnieje jednak odpowiedź na pyta-

nie o to, dlaczego w pomiarze następuje redukcja wektora stanu do takiego,

a nie innego wektora własnego. Indeterminizm pojawia się w mechanice

kwantowej właśnie w procesach pomiarów i – zdaniem zwolenników in-

terpretacji kopenhaskiej – jest nieredukowalną i ostateczną cechą teorii.

Interpretację kopenhaską określa się niekiedy mianem „kwantowej

książki kucharskiej”121 – jest to zestaw procedur, który daje algorytm na

_____________ 119 N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 120 N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 41. 121 J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej…, s. 137.

165

operowanie kwantowomechanicznym formalizmem w praktycznych zasto-

sowaniach, przeprowadzania odpowiednich obliczeń i przewidywania

prawdopodobieństw zjawisk. W interpretacji tej właściwie rezygnuje się z

wszelkich prób skonstruowania ontologii mikroświata, w szczególności

odrzuca się możliwość opisania mikroobiektów jako realnych bytów ist-

niejących w czterowymiarowym kontinuum czasoprzestrzennym.122 Jest to

wyłącznie opis procedur pomiarów wykonywanych nad układem kwanto-

wym przez zewnętrznego wobec tego układu obserwatora, który posługuje

się makroskopowymi przyrządami pomiarowymi i wyraża wyniki pomia-

rów w kategoriach fizyki klasycznej, ponieważ jest to jedyny obiektywny

(w epistemologicznym sensie) opis rezultatów doświadczeń. Dobry ku-

charz wie, że np. gotując zupę należy dodać w odpowiednim momencie

„szczyptę soli” i zupa będzie dobra. Zupełnie może nie wiedzieć, czym jest

„istota soli” (o ile w ogóle coś takiego istnieje). Interpretację kopenhaską

określa się często mianem FAPP, co znaczy For all practical purposes –

dla wszystkich celów praktycznych. Jim Al-Kalili w książce Kwanty. Prze-

wodnik dla zdezorientowanych, określa ją bardziej dosadnie: „zamknij się

i licz”.123

W praktycznych zastosowaniach ten pragmatyczny pogląd Bohra

sprawdza się znakomicie. Niektórym fizykom takie podejście jednak nie

wystarcza – stąd konkurencyjne interpretacje mechaniki kwantowej.

Ukryty porządek

Interpretacja parametrów ukrytych jest dziełem Davida Bohma i została

sformułowana w 1952 r.124, a następnie rozwijana przez Bohma wspólnie

_____________ 122 Por. U. Röseberg, Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z za-

gadnień…, s. 85. 123 J. Al-Kalili, Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy,

Prószyński i S-ka, Warszawa 2015, s. 12. 124 D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden”

Variables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna także w:

http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Interpretation of

the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II, [w:] J. A. Wheeler, W.

166

z Basilem Hileyem. Opiera się ona na pewnych ideach wprowadzonych

wcześniej przez de Broglie’a (teoria fali pilota).125 Interpretacja ta ma cha-

rakter realistyczny, obiektywny i nielokalny (holistyczny). Podstawowym

założeniem interpretacji parametrów ukrytych jest, że interpretacja kopen-

haska jest niezupełna, to znaczy, że istnieje głębsza warstwa rzeczywistości

fizycznej – świat subkwantowy, której „zwykła” mechanika kwantowa nie

jest w stanie opisać.

Zdaniem Bohma interpretacja kopenhaska w istocie niczego nie wyjaśnia,

przeczy naszym podstawowym intuicjom fizycznym, a traktowanie formali-

zmu mechaniki kwantowej wyłącznie jako algorytmu pozwalającego na ob-

liczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów nie pozwala na zrozumie-

nie ontologii kwantowego świata i jest niezadowalające z filozoficznego

punktu widzenia. „Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię – twierdzi

_____________

Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton,

New Jersey 1983, s. 367-396. 125 De Broglie krytykował interpretację kopenhaską za subiektywizm. Podobne za-

rzuty formułowało wielu innych uczonych i filozofów. Na przykład Popper pisze, że in-

terpretacja kopenhaska sprawiła, iż fizyka „stała się twierdzą subiektywistycznej filozofii”

(K. R. Popper, Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmie-

lewski, Znak, Warszawa 1997, s. 213). Popper poza uwagami na temat mechaniki kwanto-

wej w rozmaitych pracach krytyce subiektywizmu poświęcił pracę: K. R. Popper, Quantum

Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982. Również Ein-

stein twierdził, że stanowisko szkoły kopenhaskiej nie różni się od idealizmu subiektywnego

Berkeleya (por. A. Einstein, Remarks Concerning the Essays Brought Together in this

Co-operative Volume, transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Phi-

losopher-Scientist, Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957, s. 669). Podob-

nego zdania był Reichenbach (por. H. Reichenbach, Powstanie filozofii naukowej, tłum. H.

Krahelska, Książka i Wiedza, Warszawa 1950, s. 257 i n.). Gell-Mann także twierdzi, że

odkrywcy mechaniki kwantowej „przedstawili jej dziwnie ograniczoną i antropocentryczną

interpretację” (M. Gell-Mann, Kwark…, s. 192). Imre Lakatos pisze, że „współczesna fizyka

kwantowa, w jej «interpretacji kopenhaskiej», stała się jednym z głównych, standardowych

filarów filozoficznego obskurantzmu”, co doprowadziło w fizyce współczesnej do „porażki

rozumu i do anarchistycznego kultu niezrozumiałego chaosu” (I. Lakatos, Falsyfikacja a

metodologia naukowych programów badawczych, [w:] idem, Pisma z filozofii nauk empi-

rycznych, tłum. W. Sady, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 94).

167

Bohm – ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjątkowo nieele-

gancka i prymitywna”.126 W szczególności zaś nie należy wymagać, aby w

teorii występowały jedynie te wielkości, które mogą być aktualnie (to zna-

czy na danym etapie rozwoju nauki) obserwowalne. Ponadto teoria po-

winna pozwalać na zbudowanie poglądowego modelu świata fizycznego

zgodnego z naszymi intuicyjnymi wyobrażeniami. Interpretacja kopenha-

ska nie mówi nic o tym, co się dzieje z mikroobiektami pomiędzy jednym

pomiarem a drugim i nie pozwala na zbudowanie żadnego modelu mikro-

świata.

Bohm postuluje istnienie głębszego, subkwantowego porządku, niedo-

stępnego dla standardowej mechaniki kwantowej, w opisie którego zacho-

wane byłyby klasyczne pojęcia przyczynowości, ciągłości i obiektywnej

realności indywidualnych mikroobiektów.127 Podstawowe założenia inter-

pretacji parametrów ukrytych są następujące:128 elektron jest klasyczną

cząstką z dobrze określonymi położeniem i pędem; funkcja falowa (wektor

stanu) nie jest jedynie narzędziem matematycznym pozwalającym na obli-

czanie prawdopodobieństw wyników pomiarów, ale reprezentuje pewne

pole fizyczne, zwane potencjałem kwantowym.129 Specyfiką potencjału

kwantowego jest to, że niesie on informacje o całym otoczeniu poruszają-

cej się cząstki – na przykład w eksperymencie na dwóch szczelinach za-

wiera on informacje na temat szerokości szczelin, odległości między nimi

i pędu elektronu, a zatem informacje na temat całego środowiska. W od-

_____________ 126 P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 158. 127 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 179–180. Niemal dokładnie takie same zarzuty stawia

interpretacji kopenhaskiej Feyerabend (por. P. Feyerabend, O interpretacji…). 128 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of

Quantum Theory, Routledge, New York 1993, s. 29–30; D. Bohm, Ukryty porządek…, s.

90n; D. Bohm, Przyczynowość…, s. 190; A. Łukasik, Filozofia atomizmu. Atomistyczny

model świata w filozofii przyrody, fizyce klasycznej i współczesnej a problem elementarności,

Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006, s. 337n. 129 W teorii Bohma nie ma zatem redukcji funkcji falowej (por. T. Muldin, Quantum

Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern Physics, Blacwell Pub-

lishers Ltd., Oxford 2002, s. 117).

168

różnieniu od pola elektromagnetycznego, oddziaływanie potencjału kwan-

towego na cząstkę zależy wyłącznie od jego postaci, a nie od natężenia,

może więc wpływać na ruch cząstki w bardzo dużej odległości – w istocie

poruszająca się cząstka (na przykład elektron w doświadczeniu z dwiema

szczelinami) posiada informacje na temat całego środowiska i zachowuje

się inaczej, gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, a inaczej, gdy otwarte są

obie.130 Potencjał kwantowy jest w stanie bardzo szybkich przypadkowych

fluktuacji, a uśredniony po czasie spełnia równanie Schrödingera. Fluktu-

acje te (które mogą pochodzić z głębszego poziomu subkwantowomecha-

nicznego) prowadzą do odpowiednich fluktuacji potencjału kwantowego i

cząstka porusza się nieregularną trajektorią, podobnie jak cząstka pyłku w

ruchach Browna. W rezultacie łącznego działania siły kwantowomechanicz-

nej i przypadkowych fluktuacji z poziomu subkwantowego można otrzymać

rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu prze-

strzeni zgodny z interpretacją Borna. Zdaniem Bohma jest to lepsze rozwią-

zanie niż traktowanie „rozkładu prawdopodobieństwa Borna jako absolut-

nej, ostatecznej i niewytłumaczalnej własności materii”.131

Zdaniem Bohma, w jego interpretacji można próbować wyobrażać sobie,

co się dzieje na poziomie kwantowym i przyczyniać się do rozwoju nauki

również przez sposoby myślenia oparte na poglądowych modelach, a nie

tylko na formalizmie matematycznym, natomiast interpretacja kopenhaska

tego nie umożliwia.

Potencjał kwantowy wprowadza nielokalne połączenia między róż-

nymi, nawet dowolnie odległymi, obiektami we Wszechświecie. Interpre-

tacja Bohma ma charakter holistyczny: „świat jest niepodzielną całością,

w której części ukazują się jako abstrakcje albo przybliżenia, ważne je-

dynie w granicy klasycznej”.132

_____________ 130 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe…, s. 31–32. 131 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 195. 132 D. Bohm, Quantum Theory…, s. 144. T. Maudlin, Part and Whole in Quantum

Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies…, s. 60.

169

Interpretacja wielu światów

Interpretację wielu światów (Many-Worlds Interpretation) sformułował

Hugh Everett III w roku 1957.133 Rozwijali ją John Wheeler, Neill Graham

i Bryce de Vitt, obecnie zaś – w zmodyfikowanej wersji multiświata (Mul-

tiverse) – David Deutsch.134

W interpretacji kopenhaskiej mechanika kwantowa traktowana jest jako

formalizm służący do opisu doświadczeń przeprowadzanych przez ze-

wnętrznego wobec mikroukładu obserwatora posługującego się makrosko-

powymi przyrządami pomiarowymi. Niezależnie od tego, że obserwator

nie musi być rozumiany jako istota obdarzona świadomością, to „świat kla-

syczny” i „świat kwantowy” traktowane są w całkowicie odmienny sposób.

Ewolucję w czasie układu nieobserwowanego opisuje ciągłe i determini-

styczne równanie Schrödingera, natomiast proces pomiaru opisany jest

przez nieciągłą i indeterministyczną redukcję wektora stanu. Redukcja

wektora stanu stanowi w interpretacji kopenhaskiej osobny postulat. Takie

stanowisko nie wyjaśnia jednak kiedy dokładnie następuje redukcja wek-

tora stanu, nie wyjaśnia również jakie czynniki są za nią odpowiedzialne,

prowadzi także do pewnych problemów w kosmologii kwantowej, która

jest zastosowaniem mechaniki kwantowej do Wszechświata jako całości.

Jeżeli badanym układem ma być Wszechświat, to jaki sens mogłoby mieć

pojęcie obserwatora zewnętrznego w stosunku do Wszechświata?135

Istotą interpretacji Everetta jest potraktowanie świata makroskopowego

tak samo, jak świata mikroskopowego, to znaczy eliminacja rozróżnienia

_____________ 133 H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of

Modern Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462; P. Byrne, Hugh Everett i jego światy,

„Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66–73; J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and

Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 315–323;

rozprawę doktorską Everetta, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics,

można znaleźć w Internecie pod adresem: http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/many-

worlds/pdf/dissertation.pdf. 134 Por. D. Deutsch, Struktura rzeczywistości, … 135 Por. H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics…, s. 454;

P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 110.

170

na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd”, co ma zapewnić całkowicie

obiektywną interpretację mechaniki kwantowej i eliminację zewnętrznego

w stosunku do układu obserwatora. Zdaniem Everetta interpretacja wielo-

światowa bezpośrednio wynika z formalizmu mechaniki kwantowej, to

znaczy z równania Schrödingera, daje dokładnie takie same przewidywa-

nia, jak interpretacja kopenhaska, a ponadto jest najprostszą interpretacją,

ponieważ przyjmuje najmniej dodatkowych założeń, w szczególności zaś

nie przyjmuje postulatu o redukcji wektora stanu podczas pomiaru.

W interpretacji kopenhaskiej, jeżeli przed pomiarem układ znajduje się

w superpozycji stanów, to podczas pomiaru realizuje się tylko jedna z

kwantowomechanicznych możliwości. Nie istnieje odpowiedź na pytanie

o to, dlaczego nastąpiła realizacja tej, a nie innej składowej superpozycji.

W interpretacji Everetta nie dochodzi do redukcji wektora stanu, lecz rea-

lizują się wszystkie składowe superpozycji. Każda z nich realizuje się jed-

nak w innym świecie, co znaczy, że każde przejście kwantowe prowadzi

do rozszczepienia Wszechświata na wiele nieoddziałujących ze sobą kopii,

które istnieją dalej równie realnie i niezależnie od siebie jako wszechświaty

równoległe.136 Obserwator, jako część świata podlega również takiemu

„rozszczepieniu”, ale brak oddziaływania między owymi światami spra-

wia, że nie może tego odczuć – jego pamięć jest związana tylko z jedną

gałęzią Wszechświata. Innymi słowy „stan świadomości obserwatora rów-

nież istnieje w superpozycji kwantowej, a różne stany świadomości są splą-

tane z rozmaitymi możliwymi wynikami eksperymentu”.137 Wszechświat

jako całość jest w tej interpretacji ściśle deterministyczny – bez „przesko-

ków kwantowych” i rządzą nim obiektywne prawa. Statystyczny charakter

praw kwantowomechanicznych związany jest wyłącznie z tym, że każdy

obserwator może postrzegać tylko jedną gałąź wszechświata.

Zgodnie z interpretacją Everetta każdy proces kwantowy, w którym

mogą zrealizować się dwie lub więcej kwantowe możliwości prowadzi do

_____________ 136 Por. J. Gribbin, W poszukiwaniu kota Schrödingera…, s. 228. 137 R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rzą-

dzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006, s. 753.

171

powstania liczby wszechświatów odpowiadającej liczbie składników su-

perpozycji. Zatem istnieje wiele, być może nieskończenie wiele równole-

głych wszechświatów, zawierających galaktyki, gwiazdy, planety i nie-

skończenie wiele kopii każdego z nas. Niektóre z nich różnią się jedynie

drobnymi szczegółami – na przykład ustawieniem spinu elektronu, drogą,

przez którą przeszła cząstka w eksperymencie na dwóch szczelinach, albo

tym, czy otwierając pudło znajdziemy żywego czy też martwego kota.

Zwolennicy tej interpretacji utrzymują, że uwalnia ona nas od paradoksów,

do jakich prowadzi interpretacja kopenhaska: na przykład w eksperymen-

cie z dwiema szczelinami każda cząstka przechodzi tylko przez jedną

szczelinę (w danym świecie), kot Schrödingera nie znajduje się w stanie

superpozycji kota żywego i martwego, lecz w jednym świecie znajdujemy

go żywego, martwego natomiast w świecie równoległym. Podobnie w eks-

perymencie EPR „dokonując wyboru składowej spinu cząstki, którą obser-

wujemy, nie zmuszamy składowej spinu innej cząstki, położonej daleko

stąd w innej części wszechświata, do przyjęcia uzupełniającego stanu, lecz

wybieramy gałąź rzeczywistości, której żyjemy”.138

Rys. #. Ilustracja wieloświatowej interpretacji mechaniki kwantowej.

_____________ 138 J. Gribbin, W poszukiwaniu kota Schrödingera…, s. 227.

172

Interpretacja Everetta jest dość niecodzienna, trudno zatem się dziwić,

że spotkała się z krytyką. Popper na przykład zarzucał jej niefalsyfikowal-

ność (wszechświaty równoległe nie oddziałują, zatem nie można stwierdzić

ich istnienia) i niezgodność z zasadą brzytwy Ockhama (dość kłopotliwy

„bagaż metafizyczny” w postaci nieskończenie wielu wszechświatów). Po-

pper139 utrzymywał ponadto, że rozszczepienie Wszechświata na wiele

równoległych gałęzi stanowiłoby rażące naruszenie zasad zachowania, a

ponadto równanie Schrödingera jest niezmiennicze względem inwersji w

czasie. Interpretacja, która rości sobie pretensję do tego, żeby być bezpo-

średnią konsekwencją formalizmu kwantowomechanicznego, powinna

również spełniać ten warunek. Tymczasem, gdyby rozszczepianie wszech-

świata rozpatrywać wstecz w czasie, wektor stanu powinien ulegać fuzji –

jego składowe odpowiadające różnym możliwościom (które zdaniem Eve-

retta istnieją realnie także po oddziaływaniu) powinny być skorelowane,

pomimo że przed fuzją nie ma między nimi żadnego oddziaływania.

Interpretacja wielu światów ma współcześnie wiele wariantów.140 Jedną

z nich jest koncepcja Wieloświata (Multiverse) sformułowana przez Davida

Deutscha, twórcę idei komputera kwantowego. Podstawowa róznica mię-

dzy ujęciem Everetta a koncepcją Deutscha polega na tym, że zdaniem

Everetta w procesie pomiaru wszechświat dzieli się (może lepiej byłoby

mówić o „mnożeniu” niż o „dzieleniu”) na wiele części odpowiadających

różnym rezultatom, natomiast według Deutscha wszystkie wszechświaty

równoległe istnieją równie realnie przez cały czas. Najprawdopodobniej

jest ich nieskończenie wiele – niektóre z nich są zupełnie różne od naszego

wszechświata i, być może, panują w nich różne od znanych nam praw fi-

zyki, inne różnią się jedynie drobnymi szczegółami.141 Argumentuje on, że

_____________ 139 Por. K. R. Popper, Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, To-

towa, New Jersey 1982, s. 92 n. 140 Por. J. A. Barret, The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University

Press, New York 1999; M. Lockwood, Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound „I”,

Blackwell 1989; J. D. Barrow, P. C. W. Davies, C. L. Harper Jr., Science and Ultimate

Reality. Quantum Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University Press 2004. 141 Waro przypomnieć, że podobną koncepcję – rzecz jasna bez związku z interpreta-

cjami mechaniki kwantowej – głosił twórca strożytnej teorii atomistycznej Demokryt z

173

chociaż na poziomie makroskopowym wszechświaty równoległe nie od-

działują ze sobą, to jednak w pewnych sytuacjach następuje interferencja

wszechświatów, czego dowodem są zjawiska zachodzące na poziomie

kwantowym. Właśnie eksperyment na dwóch szczelinach czy też zacho-

wanie fotonów w interferometrze Macha–Zehndera są, zdaniem Deutscha,

dowodem na interferencję różnych wszechświatów. Poszczególne fotony

są niepodzielne, zatem w interferometrze nie mogą poruszać się dwiema

drogami równocześnie. Należy zatem przyjąć, że następuje interferencja

między dwoma równoległymi wszechświatami – w jednym z nich foton

wybiera jedną drogę, w drugim zaś inną. W wyniku interferencji wszech-

światów obydwie historie wydarzają się równocześnie. Ponieważ jednak

interferencja jest tłumiona przez kwantowe splątanie, to im większy jest

obiekt, tym mniej podatny jest na zjawisko interferecji.142

Według Deutscha jest to interpretacja „zdecydowanie najprostsza, po-

nieważ wymaga przyjęcia nakmniejszej liczby dodatkowych założeń, poza

tymi, jakie są konieczne, aby poprawnie przewidzieć wyniki doświad-

czeń”.143

Sumy po historiach

Richard P. Feynman w latach czterdziestych XX wieku zaproponował

nowe ujęcie mechaniki kwantowej, zwane całkowaniem po trajektoriach

_____________

Abdery. W jednym z fregmentów czytamy, że „istnieje nieskończona ilość światów, róż-

niących się wielkością. W jednych z nich nie ma ani słońca, ani księżyca, w innych zaś są

one większe niż w naszym świecie, a w jeszcze innych jest ich więcej. Odległości między

światami są nierówne i w jednym miejscu jest więcej światów, w innym mniej, jedne

światy [jeszcze] rosną, inne znajdują się [już] w stanie rozkwitu, jeszcze inne ulegają za-

gładzie, w jednym miejscu powstają, w innym giną. Giną zaś [wtedy], kiedy wpadają na

siebie. Istnieją też pewne światy pozbawione zwierząt, roślin i wszelkiej wilgoci” (Hipolit,

Refutationes I 13, 2–4; FVS 68 A 40, [w:] W. F. Asmus, Demokryt…, s. 118). 142 Por. J. Gribbin, Kubity i kot Schrodingera. Od maszyny Turinga do komputerów

kwantowych, tłum. M. Krośniak, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015, s. 188. 143 P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 104.

174

(path-integral) albo sumą po historiach (sum-over-histories).144 Formalizm

Feynmana jest równoważny formalizmowi Schrödingera, ale w odróżnie-

niu od niego pozwala przywrócić sens pojęciu trajektorii czasoprzestrzen-

nej cząstki (choć, jak się okazuje, w dość specyficznym sensie) a ponadto

ukazuje „przejście” od mechaniki kwantowej do mechaniki klasycznej.

Zrozumienie tej interpretacji wymaga omówienia pochodzącej z fizyki kla-

sycznej zasady najmniejszego działania.

Zarówno w mechanice klasycznej jak i w mechanice kwantowej opis

dynamiki układu za pomocą równań różniczkowych jest związany z lokal-

nym punktem widzenia: stan układu w pewnej chwili t (położenia i pędy

cząstek) w sposób jednoznaczny wyznacza stan układu w chwili później-

szej (a także wcześniejszej – ze względu na niezmienniczość równań

względem inwersji czasu; ograniczymy jednak nasze rozważania do przy-

szłych stanów układu). Innymi słowy, to, jaki będzie stan układu w przy-

szłości zależy wyłącznie od tego, jaki jest stan układu w teraźniejszości.

Możliwe jest jednak inne podejście do zagadnienia – globalny punkt wi-

dzenia związany z zasadami wariacyjnymi.

_____________ 144 W rozprawie doktorskiej napisanej pod kierunkiem J. A. Wheelera. Tekst został

opublikowany w 1948 r: R. P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quan-

tum Mechanics, „Review of Modern Physics” 1948, Vol 20, No. 2, p. 367-387. Praca do-

stępna również w Internecie pod adresem http://www.fafnir.phyast.pitt.edu/py3765/Pa-

thIntegral.pdf. Feynman był jednym z największych fizyków XX wieku, laureatem Na-

grody Nobla i genialnym wykładowcą. Warto polecić jego Feynmana wykłady z fizyki a

także prace popularyzujące fizykę: Sześć łatwych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa

19…, Sześć trudniejszych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999, Charakter praw

fizycznych, Warszawa …, QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska,

Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992. Zainteresowanym życiem i twórczo-

ścią Feynmana polecam jego autobiografię Pan raczy żartować, panie Feynman. Przy-

padki ciekawego człowieka, tłum. T. Bieroń, Znak, Kraków 1996 oraz biografię pióra J.

Gleicka Geniusz. Życie i nauka Richarda Feynmana, tłum. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka

Wydawnictwo, Poznań 1999. Omówienie interpretacji mechaniki kwantowej zawiera

również wykład noblowski Feynmana: The Development of the Space-Time View of Qu-

antum Electrodynamics, [w:] Nobel Lectures – Physics, t. III, Elsevier Publishers, New

York 1972 (tekst dostępny również pod adresem: http://www.nobelprize.org/nobel_pri-

zes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html).

175

Zasada najmniejszego działania (the principle of least action) jest naj-

bardziej ogólnym sformułowaniem praw ruchu układów mechanicz-

nych.145 Zgodnie z nią każdy układ mechaniczny może być scharakteryzo-

wany przez pewną funkcję, zwaną funkcją Lagrange’a ),,( tqqL , albo la-

granżjanem zależną od położeń q , pędów q i czasu t.146 Dla cząstki o ma-

sie m, poruszającej się w polu sił potencjalnych o potencjale V funkcja La-

grange’a jest równa różnicy energii kinetycznej i energii potencjalnej

cząstki:

Vqm

tqqL 2

),,(2

Lagranżjan zawiera wszystkie dane o układzie. Definiujemy wielkość S,

zwaną działaniem (action) jako całkę z lagrażjanu w następujący sposób:

2

1

),,(

t

t

dttqqLS ,

gdzie t1 i t2 oznaczają chwile odpowiadające początkowemu i końcowemu

stanowi układu. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze energia razy

czas (stała Plancka h jest właśnie elementarnym kwantem działania). Zgod-

nie z zasadą najmniejszego działania ruch odbywa się po takiej trajektorii,

dla której działanie S jest najmniejsze.147 Jest to globalny (całkowy) punkt

_____________ 145 Por. L. Landau, E. Lifszyc, Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961,

s. 10; L. Susskind, G. Hrabovsky, Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć

zajmować się fizyką, tłum. J. i A. Skalscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 119-141. 146 Standardowo położenia cząstek oznacza się symbolem q a pędy przez q , gdzie

symbol kropki nad symbolem q oznacza pochodną po czasie (dt

dqq ).

147 Ogólniej rzecz biorąc poszukujemy ekstremum tej całki, w pewnych wypadkach

może to być maksimum, a nie minimum.

176

widzenia, w odróżnieniu od lokalnego (różniczkowego), ponieważ oblicza-

jąc działanie i poszukując minimum (ogólniej – ekstremum) tej wielkości,

musimy uwzględnić zarówno początkowy, jak i końcowy stan układu.

Można to sobie przedstawić w sposób następujący: cząstka poruszając się

z punktu A do punktu B może poruszać się po wielu różnych trajektoriach.

Faktycznie realizowana jest taka trajektoria, dla której działanie S jest naj-

mniejsze, co obliczamy z następującego warunku:148

0S

Różnicę między lokalnym, czyli różniczkowym punktem widzenia ru-

chu cząstki a globalnym, czyli całkowym punktem widzenia można zilu-

strować następująco (por. rys. #): załóżmy, że cząstka porusza się po płasz-

czyźnie. Niech w chwili początkowej t = t0 cząstka znajduje się w punkcie

początkowym A. Lokalny punkt widzenia polega na rozwiązaniu równania

Newtona – jest to liniowe równanie różniczkowe, które jest determini-

styczne w tym znaczeniu, że znajomość położenia cząstki r (t0) w chwili t

= t0 w sposób jednoznaczny wyznacza położenie cząstki w chwili później-

szej, nieskończenie bliskiej położeniu początkowemu, co oznaczymy jako

r (t0 + dt). Możemy na wykresie przedstawiającym trajektorię cząstki zna-

leźć punkt, w którym znajdzie się cząstka po upływie dowolnie krótkiego

czasu dt od chwili początkowej. Postępując tak dla kolejnych odcinków

czasu znajdziemy ostatecznie, że cząstka znajdzie się w punkcie końco-

wym B. Jest to sytuacja podobna do tej, jakbyśmy krzywą łączącą punkty

A i B rysowali przedłużając kolejno odcinek wychodzący z punktu A (zgod-

nie z kierunkiem prędkości cząstki, wyznaczonym przez działające siły),

aż wreszcie osiągniemy punkt końcowy B.

Globalny punkt widzenia odpowiadałby naszkicowaniu od razu całej

_____________ 148 Poszukiwanie ekstremum działania jest uogólnieniem procesu poszukiwania eks-

tremum funkcji. Działanie nie jest jednak zwykłą funkcją, ale funkcją funkcji, czyli funk-

cjonałem. Symbol (delta) oznacza w tym przypadku pewne działanie matematyczne,

zwane wariacją. Dział matematyki zajmujący się minimalizacją funkcjonałów nazywa się

rachunkiem wariacyjnym.

177

trajektorii. W przypadku podejścia lokalnego musimy znać jedynie punkt

początkowy A (i działające siły), natomiast w przypadku podejścia global-

nego musimy znać zarówno punkt początkowy A, jak i punkt końcowy B.

Rozważmy następujący przykład: powiedzmy, że chcemy wyznaczyć

trasę podróży używając GPS. Możemy wybrać trasę najkrótszą – przeje-

dziemy najmniej kilometrów, ale możemy być skazani na podróż wąskimi

drogami lokalnymi, po których będziemy się poruszać z małą prędkością,

albo trasę najszybszą – może ona być dłuższa nawet o kilkadziesiąt kilo-

metrów, ale poprowadzi nas autostradą, na której osiągniemy większą pręd-

kość i szybciej dotrzemy do celu (zużyjemy na podróż mniej czasu). Zasada

najmniejszego działania odpowiada w tym przykładzie wyborowi drogi

najszybszej, czyli takiej, dla której czas podróży będzie najkrótszy.

Niekiedy zasada najmniejszego działania zwana jest „zasadą lenistwa

natury”, co odzwierciedla fakt, że wszystkie układy w przyrodzie wykazują

tendencję do realizacji stanów o możliwie najmniejszej energii. Spadanie

ciał, kulisty kształt kropli cieczy, trajektorię promieni świetlnych w niejed-

norodnym optycznie ośrodku i wiele innych zjawisk można wyjaśnić za-

sadą najmniejszego działania.149

Oczywiście wiemy, że w mechanice klasycznej cząstki poruszają się po

jednoznacznie określonych trajektoriach w czasoprzestrzeni. Można zatem

zapytać, jaki jest sens rozważać wszystkie możliwe drogi i jaki mają one

status? Otóż możemy je nazwać drogami wirtualnymi, są one jedynie ma-

tematycznymi fikcjami potrzebnymi do znalezienia rzeczywistej drogi

cząstki – jest to właśnie ta droga, na której działanie okazuje się najmniej-

sze, czy też stacjonarne (por. lewa strona rys. # )

_____________ 149 Interesujące jest, że podobny mechanizm można dostrzec w funkcjonowaniu ludz-

kiego umysłu. Badania psychologiczne prowadzone przez Daniela Kahnemana wykazały,

że jeżli ten sam cel można osiągnąć na wiele różnych sposobów, to człowiek wybiera ten,

który wymaga najmniejszego wysiłku. Kahneman nazywa to „prawem minimalizacji wy-

siłku” i stwierdza, że „lenistwo jest głęboko wpisane w naszą naturę” (D. Kahneman, Pu-

łapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym, tłum. P. Szymczask, Media Rodzina 2012,

s. 50).

178

Rys. # Ilustracja zasady najmniejszego działania dla cząstki klasycznej (lewa strona ry-

sunku) i kwantowej (prawa strona rysunku). Na rysunku pokazano oczywiście jedynie

niektóre trajektorie cząstki. W rzeczywistości istnieje amplituda prawdopodobieństwa dla

każdego sposobu, w jaki zjawisko może nastąpić.150 Amplitudy te wnoszą wkład do praw-

dopodobieństwa zdarzenia.

Podobne rozumowanie można zastosować w mechanice kwantowej i

jest ono punktem wyjścia Feynmana ujęcia mechaniki kwantowej. Roz-

ważmy cząstkę, tym razem kwantową, poruszającą się a punktu A do

punktu B. Poruszająca się cząstka eksploruje w określonym sensie wszyst-

kie możliwe drogi.151 Nazwijmy wszystkie możliwe drogi cząstki w czaso-

przestrzeni historiami. Każdej historii przypisujemy odpowiednią ampli-

tudę prawdopodobieństwa – wkłady poszczególnych dróg mają taką samą

długość, lecz różne fazy:

_____________ 150 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 53. 151 Ogólnie rzecz biorąc poszczególne historie określone są w przestrzeni konfigura-

cyjnej. Dla pojedynczej cząstki sama przestrzeń jest przestrzenią konfiguracyjną i jej hi-

storia jest po prostu trajektorią w czasoprzestrzeni.

179

)]([

)]([

txiS

etx ,

gdzie S jest działaniem, czyli całką wzdłuż danej drogi x(t) z klasycznego

lagranżjanu:

dttxtxLtxS ))(),(()]([ .152

W mechanice klasycznej (w formalizmie Lagrange’a) poszukujemy ta-

kiej historii, w której działanie S jest najmniejsze (ściślej: stacjonarne) –

jest ona jedyną rzeczywistą drogą cząstki. W mechanice kwantowej w uję-

ciu Feynmana postępujemy nieco inaczej: wszystkie historie znajdują się

w stanie kwantowej superpozycji, każdej z nich przypisujemy odpowiednią

amplitudę prawdopodobieństwa i każda wnosi pewien wkład. Jeżeli jakieś

zjawisko kwantowe może zajść na wiele różnych sposobów, wówczas w

celu opisania go musimy dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa

odpowiadające wszystkim historiom. Prawdopodobieństwo obliczamy

podnosząc sumę zespolonych amplitud do kwadratu i dlatego w przypadku

trajektorii, których rozróżnienie nie jest możliwe nawet w zasadzie, obli-

czone prawdopodobieństwo nie jest sumą prawdopodobieństw dla po-

szczególnych historii. Występuje interferencja prawdopodobieństw, co od-

zwierciedla falowy aspekt zjawisk w mechanice kwantowej. Fale mecha-

niki kwantowej są tu traktowane wyłącznie jako abstrakcyjne fale prawdo-

podobieństwa pozwalające na obliczenie prawdopodobieństwa znalezienia

cząstki w danym obszarze i nie można im przypisywać żadnej realności,

jak na przykład fali dźwiękowej.153

Interpretację Feynmana (pomijając szczegóły matematyczne) można

sprowadzić do dwóch postulatów:154

1. Jeśli wykonamy idealny pomiar w celu określenia czy trajektoria

cząstki leży w określonym obszarze czasoprzestrzeni, wówczas

_____________ 152 R. P. Feynman, Space-Time Approach…, s. 371. 153 Por. Feynmana wykłady z fizyki, t. 3. Mechanika kwantowa, s. 18. 154 Por. R. P. Feynman, Space-Time Approach…, s. 371.

180

prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze jest równe

kwadratowi wartości bezwzględnej sumy zespolonych amplitud

prawdopodobieństwa dla poszczególnych trajektorii w tym obsza-

rze.

2. Amplitudy prawdopodobieństwa dla poszczególnych trajektorii są

proporcjonalne do eksponenty z działania, gdzie działanie jest

całką z klasycznego lagranżjanu obliczoną wzdłuż danej trajektorii.

Pamiętamy, że w mechanice kwantowej prawdopodobieństwo zdarzenia

obliczamy jako kwadrat wartości bezwzględnej amplitudy prawdopodo-

bieństwa. Zamiast dodawania prawdopodobieństw (różne możliwości zaj-

ścia zdarzenia) dodajemy amplitudy, zamiast mnożenia prawdopodo-

bieństw (zdarzenie zależne od innych zdarzeń) mnożymy odpowiednie am-

plitudy. Przy obliczaniu prawdopodobieństw pojawiają się efekty interfe-

rencyjne, właściwe dla zjawisk falowych.

Z matematycznego punktu widzenia fala jest reprezentowana przez

funkcję trygonometryczną (sinus, cosinus i dowolne ich kombinacje li-

niowe). Funkcja sinus może być interpretowana jako odwzorowanie na

płaszczyźnie obrotu wektora jednostkowego wokół punktu 0 (por. rys. #).

Niech wektor obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt φ

(kąt φ = 0 odpowiada sytuacji, gdy wektor skierowany jest w prawo rów-

nolegle do osi poziomej). Dla każdego kąta, którego wartość odkładamy na

osi OX możemy na osi OY wyznaczyć odpowiedni punkt – otrzymujemy

wówczas sinusoidę. Ponieważ istnieje jedno-jednoznaczne odwzorowanie

wartości sinusa i kąta obrotu wektora, to dodawaniu różnych fal (superpo-

zycja) odpowiada dodawanie wektorów. W ujęciu Feynmana wektory te

stanowią geometryczną interpretację amplitud prawdopodobieństwa. Dłu-

gość fali wiąże się z prędkością obrotu amplitudy – im mniejsza długość

fali, tym szybszy obrót amplitudy.

181

Rys. # Funkcja sinus jest odwzorowaniem na płaszczyznę wektora jednostkowego obra-

cającego się o kąt φ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rozważmy za Feynmanem prosty przykład (por. rys. #).155 Ze źródła Z

światło monochromatyczne (czyli o jednej barwie lub, co na jedno wycho-

dzi, o ściśle określonej częstości) pada na zwierciadło, rejestrujemy ilość

światła docierającego do detektora D. W ujęciu klasycznym (używając po-

jęć optyki geometrycznej) promień świetlny porusza się po dobrze określo-

nej trajektorii (po linii prostej) – podczas odbicia od zwierciadła kąt pada-

nia jest równy kątowi odbicia. Tylko wówczas, gdy ten warunek będzie

spełniony, detektor D zarejestruje światło. Zgodnie jednak z mechaniką

kwantową światło składa się z pojedynczych fotonów i dla każdego fotonu

musimy uwzględnić wszystkie możliwe trajektorie, nawet „niemożliwe” z

klasycznego punktu widzenia, to znaczy takie, dla których odbijcie nastę-

puje pod wszystkimi możliwymi kątami. Niektóre z nich przedstawiono na

rysunku #. Takich trajektorii jest oczywiście nieskończenie wiele. By upro-

ścić rozważania wyobraźmy sobie, że zwierciadło podzielone jest na kilka-

naście fragmentów i załóżmy, że od każdego fragmentu foton odbija się

pod ściśle określonym kątem (niekoniecznie jednak pod takim, że kąt pa-

dania równy jest kątowi odbicia). Każdej trajektorii (historii) przypisujemy

pewną amplitudę prawdopodobieństwa, którą możemy wykreślić w postaci

odpowiednio skierowanego wektora. Zwróćmy uwagę na fakt, że kierunek

tego wektora jest ściśle związany z odległością od źródła do danego punktu

_____________ 155 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 41n.

182

na zwierciadle, a zatem związany z czasem, jaki potrzebuje foton na dotar-

cie od Z do danego punktu zwierciadła a następnie do detektora D. Możemy

za Feynmanem wyobrazić sobie, że w chwili wysłania fotonu włączamy

stoper, który mierzy czas lotu do momentu odbicia się od powierzchni. Po-

łożenie wskazówki wyobrażonego stopera jest związane z kierunkiem am-

plitudy prawdopodobieństwa.156 Na rysunku # (u góry) przedstawiono kil-

kanaście trajektorii fotonów, a pod nim położenie amplitud w zależności

od czasu, jaki potrzebuje foton na dotarcie do określonego punktu zwier-

ciadła i wreszcie sumę amplitud prawdopodobieństwa odpowiadających

poszczególnym trajektoriom. Zgodnie z regułami mechaniki kwantowej

musimy dodać do siebie wszystkie amplitudy, zgodnie ze znanymi regu-

łami dodawania wektorów, aby otrzymać wypadkową amplitudę prawdo-

podobieństwa procesu. Zwróćmy uwagę na fakt, że w pobliżu środka

zwierciadła amplitudy skierowane są podobnie i wnoszą duży wkład (zbli-

żone czasy ruchu fotonów), natomiast dla trajektorii fotonów odbijających

się od skrajnych części lustra amplitudy mają różne kierunki i w rezultacie

sumowania ich wkłady się znoszą. Dominujący wkład odpowiada klasycz-

nej drodze, czyli takiej, na której światło biegnie drogą o najkrótszym cza-

sie, ale w celu poprawnych obliczeń należy uwzględnić wszystkie historie.

W ten sposób klasyczny opis światła jest przybliżeniem bardziej funda-

mentalnego opisu kwantowomechanicznego: „stwierdzenie, że światło roz-

chodzi się po prostych, jest wygodnym przybliżeniem do opisu znanych

nam zjawisk; podobnie dużym przybliżeniem jest to, że przy odbiciu od

zwierciadła kąt padania równy jest kątowi odbicia”.157

Powróćmy na chwilę do eksperymentu interferencyjnego na dwóch

szczelinach. Jeżeli cząstka ma do wyboru dwie drogi, to musimy uwzględ-

nić amplitudy odpowiadające obydwu możliwościom. Następnie możemy

rozważyć sytuację, w której zamiast dwóch szczelin mamy trzy, cztery, pięć

szczelin… Wówczas cząstka może poruszać różnymi drogami odpowiada-

jącymi różnym szczelinom i musimy uwzględnić wszystkie historie. Mo-

_____________ 156 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 32n. 157 R. P. Feynman, QED…, s. 59-60.

183

żemy dowolnie zwiększać liczbę szczelin tak, aż przesłona wreszcie znik-

nie i liczba szczelin będzie nieskończona. Wówczas rozważając ruch

cząstki między punktami A i B musimy uwzględnić dosłownie wszystkie

trajektorie dla każdej poszczególnej cząstki. Przy takim postawieniu zagad-

nienia twierdzenie, że cząstka kwantowa eksploruje wszystkie drogi oka-

zuje się… „niemal oczywiste”.158

Pozostaje do rozważenia zagadnienie, dlaczego w przypadku obiektów

makroskopowych zawsze obserwujemy tylko jedną określoną historię –

planety, kule bilardowe, czy nawet maleńkie ziarnka piasku poruszają się

po jednoznacznie określonych trajektoriach. Otóż dla obiektów makrosko-

powych przyczynki różnych trajektorii mają różne fazy i odpowiednie am-

plitudy znoszą się dla wszystkich trajektorii odległych od trajektorii kla-

sycznej – pojawia się interferencja destruktywna, konstruktywna natomiast

dla przyczynków związanych z trajektoriami klasycznymi. Można obli-

czyć,159 że dla cząstki klasycznej o masie, powiedzmy, 1 g, przebywającej

odległość rzędu 1 m w czasie 1 s wszystkie nieklasyczne trajektorie mo-

żemy całkowicie pominąć. Natomiast dla cząstki kwantowej, takiej jak

elektron, założenie, że porusza się ona po dobrze określonej trajektorii pro-

wadzi do sprzeczności z doświadczeniem. W przypadku cząstek kwanto-

wych wkłady nieklasycznych trajektorii okazują się istotne i nie można ich

pominąć.

_____________ 158 J. Gribbin, Kotki Schrödingera…, s. 110. Pamiętać jednak należy, że stwierdzenie

„cząstka eksploruje wszystkie możliwe drogi” oznacza jedynie, że każdej trajektorii przy-

pisujemy zespoloną amplitudę prawdopodobieństwa, a prawdopodobieństwo znalezienia

cząstki w pewnym miejscu obliczamy zgodnie z omówionymi regułami. 159 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 221.

184

Rys. # Ilustracja Feynmana sumy po historiach dla odbicia światła od zwierciadła. W od-

różnieniu od podejścia klasycznego w mechanice kwantowej każdemu fotonowi przypi-

sana jest amplituda prawdopodobieństwa poruszania się po dowolnej drodze ze źródła do

detektora.160

_____________ 160 Ilustracja w: R. P. Feynman, QED…, s. 47.

185

Z filozoficznego punktu widzenia równie interesujący jest opis oddzia-

ływań elektronów z fotonami w elektrodynamice kwantowej. Jego gra-

ficzną ilustracją są diagramy Feynmana. Na diagramie czasoprzestrzen-

nym (por. rys. #) oś czasu skierowana jest pionowo, współrzędne prze-

strzenne (zredukowane w tym wypadku do jednej) – poziomo (zwyczajowo

nie zaznacza się osi). Przyjmuje się zwykle konwencję, że trajektorię elek-

tronu reprezentuje linia prosta, trajektorię fotonu linia falista. Wszystkie

zjawiska związane ze światłem i elektronami mogą być sprowadzone do

trzech podstawowych procesów:161

1. Foton przemieszcza się z miejsca na miejsce.

2. Elektron przemieszcza się z miejsca na miejsce.

3. Elektron emituje albo absorbuje foton.

Rozważmy prosty przypadek: foton (w próżni) przemieszcza się z

punktu A do punktu B. Zgodnie ze szczególną teorią względności prędkość

światła w próżni jest stała i wynosi smc /1038

w każdym układzie od-

niesienia, co oczywiście oznacza, że każdy pojedynczy foton porusza się z

tą prędkością. Prędkość światła jest jednocześnie absolutną granicą pręd-

kości, co znaczy, że zgodnie za szczególną teorią względności żaden obiekt

nie może poruszać się szybciej niż światło w próżni. Zgodnie z ujęciem

Feynmana, jeżeli cząstka eksploruje wszystkie możliwe drogi, to fotonowi

musimy przypisać pewną amplitudę prawdopodobieństwa, że będzie poru-

szał się z punktu A do punktu B z prędkością mniejszą niż c, oraz pewną

amplitudę, że będzie się poruszał z prędkością większą niż c. Okazuje się

jednak, że amplitudy te znoszą się na dużych odległościach, ale na niewiel-

kich odległościach mają istotne znaczenie.162

Omówione poprzednio zjawisko odbicia fotonów od powierzchni zwier-

ciadła również zawierało istotne uproszczenie, ponieważ samo pojęcie po-

wierzchni jest pewną idealizacją. Wszystkie znane obiekty w przyrodzie

składają się z atomów, w skład których wchodzą jądra atomowe (zbudo-

wane z protonów i neutronów, których podstawowym składnikami są

_____________ 161 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 89n. 162 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 93-94.

186

kwarki) i elektrony. „Odbicie” fotonu polega w istocie na jego oddziaływa-

niu z elektronem – elektron absorbuje foton, a następnie wysyła inny foton

(QED opisuje to przez przypisanie elektronowi pewnej amplitudy wysłania

lub pochłonięcia fotonu). Podstawowy wierzchołek (vertex) diagramu

Feynmana przedstawia rysunek # Poruszający się elektron emituje lub ab-

sorbuje foton:

Rys. # Podstawowy wierzchołek diagramu Feynmana: poruszający się elektron emituje

foton.

Nieco bardziej skomplikowany proces, a mianowicie oddziaływanie

dwóch elektronów może być przedstawiony następująco: elektron emituje

foton, który następnie jest absorbowany przez inny elektron (por. rys. #).

W fizyce klasycznej mówimy o elektrycznym odpychaniu elektronów i in-

terpretujemy je w kategoriach siły elektrycznej (jak wiemy, ładunki jedno-

imienne odpychają się). W elektrodynamice kwantowej wszelkie oddziały-

wania między elektronami opisujemy jako „wymianę” fotonów. Wszelkie

procesy polegają na emisji lub absorpcji fotonów przez oddziałujące

cząstki.

187

Rys. # Oddziaływanie elektronów przez wymianę fotonu.

W diagramach Feynmana możemy uwzględniać coraz to bardziej zło-

żone procesy opisywane przez mechanikę kwantową – każdemu procesowi

przypisana jest amplituda prawdopodobieństwa, dzięki czemu można wy-

konać odpowiednie obliczenia.

Dla przykładu rozważmy następujący diagram (por. rys. #). „Na wej-

ściu” mamy elektron i foton, tak samo „na wyjściu”. Pamiętamy, że zgod-

nie z przyjętą konwencją kierunek osi czasu skierowany jest zgodnie z osią

pionową (w górę na rysunku). 163

Na diagramie przedstawiony elektron (nadlatujący z lewej strony) i fo-

ton (z prawej strony) zbliżające się ku sobie. W wierzchołku po prawej

stronie diagramu foton kreuje parę elektron-pozyton. Pozyton jest anty-

cząstką elektronu – posiada taką samą masę i inne własności, ale przeciwny

co do znaku ładunek elektryczny. Pozyton może być rozumiany jako elek-

tron poruszający się wstecz w czasie. Następnie pozyton anihiluje z elek-

tronem i tworzy nowy foton. Elektron wytworzony w procesie kreacji po-

rusza się do przodu w czasie.

_____________ 163 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 101n.

188

Rys. # Diagram Feynmana ilustrujący … Zmienić rysunek – Feynman QED s. 103.

Pogląd na mechanikę kwantową samego Feynmana najlepiej zapewne

wyraża cytat z jego książki QED. Osobliwa teoria światła i materii: „Mu-

simy pogodzić się dziwacznymi efektami: prawdopodobieństwa są wzmac-

niane i osłabiane, światło odbija się od całej powierzchni zwierciadła, świa-

tło biegnie nie tylko po liniach prostych, fotony poruszają się szybciej lub

wolniej niż przyjęta prędkość światła, elektrony biegną wstecz w czasie,

fotony z nagła tworzą pary elektron-pozyton i tak dalej. Musimy się z tym

pogodzić, aby pojąć, jak właściwie działa Natura pod powierzchnią niemal

wszystkich zjawisk, jakie obserwujemy w świecie”.164 „Z punktu widzenia

zdrowego rozsądku teoria elektrodynamiki kwantowej opisuje Naturę w

sposób absurdalny – i zgadza się znakomicie z doświadczeniem. Mam na-

dzieję, że zaakceptujecie Naturę taką, jaka jest – absurdalną”.165 Dodać jed-

nak należy, że zdaniem Feynmana poczucie absurdalności czy paradoksal-

ności jest wyłącznie rezultatem konfliktu między ukazywaną przez mecha-

nikę kwantową rzeczywistością a naszymi wyobrażeniami na temat tego,

jaka rzeczywistość „powinna być”.

_____________ 164 R. P. Feynman, QED…, s. 123. 165 R. P. Feynman, QED…, s. 15.

189

Zauważmy, że w interpretacji Feynmana w ogóle nie pojawia się zagad-

nienie redukcji wektora stanu, które jest jednym z centralnych punktów

rozważań wielu autorów, w tym Rogera Penrosa. Reguły składania ampli-

tud i obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń mają, zdaniem Feynmana po-

móc „uniknąć nieporozumień, gdy mówimy o «redukcji paczki falowej» i

tym podobnych cudach”.166

Wszechświat uczestniczący

Wszechświat uczestniczący (Participatory Universe) to koncepcja sfor-

mułowana przez Johna Archibalda Wheelera, głosząca, że istnienie

Wszechświa zależy od świadomości obserwatora.167 Jest to skrajne rozwi-

niećie kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej, zgodnie z którą re-

dukcja wektora stanu następuje wówczas, gdy zostanie wykonany po-

miar.168

Rys. # Rysunek Wheellera symbolizujący koncepcję Wszechświata uczestniczącego.

_____________ 166 R. P. Feynman, QED…, s. 79 (przypis). 167 Por. J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum The-

ory and Measurement…, s. 183-213. 168 Por. J. Gribbin, Encyklopedi fizyki kwantowej…, s. 338.

190

Wheeller podkreśla, że zdaniem Bohra żadne zjawisko kwantowe nie

jest „zjawiskiem”, dopóki nie zostanie zaobserwowane.169 Na przykład w

eksperymencie z użyciem interferometru Macha–Zehndera (por. rozdz. #)

w zależności od tego, czy umieścimy drugie zwierciadło półprzepuszczalne

na drodze fotonów, czy też tego nie zrobimy, foton porusza się dwiema

drogami równocześnie i w rezultacie interferencji może trafić tylko do jed-

nego z detektorów, albo porusza się tylko jedną drogą i wtedy z równym

prawdopodobieństwem może trafić do jednego lub do drugiego detektora.

W pierwszym wypadku opisujemy zachowanie fotonu w kategoriach falo-

wych, w drugim zaś w kategogiach korpuskularnych. Nie ma, zdaniem

Bohra, tu żadnej sprzeczności, ponieważ wówczas mamy do czynienia z

różnymi komplementarnymi zjawiskami, a mówiąc o „zjawisku” musimy

wziąć pod uwagę cały zestaw eksperymentalny i nie można mówić o za-

chowaniu fotonu pomijając opis całej aparatury służącej jego rejestracji.

Pewien proces fizyczny możemy określić mianem „zjawiska” dopiero

wówczas, gdy jest zakończony pewnym aktem „wzmocnienia”, w rezulta-

cie którego następuje, na przykład, słyszalny trzask w detektorze lub za-

czernienie płyty fotograficznej, a więc następuje pewna nieodwracalna

zmiana w przyrodzie.

…

Interpretacja transakcyjna

Interpretacja transakcyjna została sformułowana przez Johna Cra-

mera,170 a inspiracją dla niej jest elektrodynamika Wheelera–Feynmana.

Już w rozwiązaniach równań klasycznej elektrodynamiki Maxwella mamy

_____________ 169 J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum Theory

and Measurement…, s. 185. 170 J. G. Cramer, Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of Mo-

dern Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687; por. także J. G. Cramer, An Overview of

the Transactional Interpretation, „International Journal of Theoretical Physics” 1988, 27

(227).

191

dwa zbiory rozwiązań – fale opóźnione (retarded waves) oraz tzw. fale wy-

przedzone (advanced waves). Te ostatnie można interpretować jako fale

poruszające się wstecz w czasie. W standardowych zastosowaniach od-

rzuca się te rozwiązania, jako pozbawione sensu fizycznego – efekt „nad-

miarowości” formalizmu matematycznego.

W mechanice kwantowej jednak, obliczając prawdopodobieństwo re-

zultatu pomiaru jakiejś wielkości fizycznej posługujemy się następującym

wzorem: 2

)( iiap . We wzorze tym wektor stanu (ket) jest mno-

żony przez odpowiedni wektor bra, który jest sprzężeniem zespolonym do

keta. Przypomnijmy, że liczbę sprzężoną do liczby iyxz wyrażamy

wzorem iyxz . W wyrażeniu na sprzężenie zespolone wektora stanu

(funkcji falowej) w mechanice kwantowej znak „minus” pojawia się przy

parametrze reprezentującym czas, zatem – formalnie rzecz biorąc – sprzę-

żony wektor stanu może być interpretowany jako fala poruszająca się

wstecz w czasie. Ten matematyczny fakt stanowi podstawę interpretacji

transakcyjnej (transactional interpretation).

Przewidywania interpretacji transakcyjnej są dokładnie takie same, jak

przewidywania interpretacji kopenhaskiej. Funkcja falowa nie jest jednak

rozumiana jako twór czysto abstrakcyjny, ale jako realna fala fizyczna po-

ruszająca się do przodu w czasie i (jej sprzężenie zespolone) wstecz w cza-

sie. Rozważmy rzecz na przykładzie eksperymentu z dwiema szczelinami.

Jego opis w kategoriach interpretacji transakcyjnej wygląda następująco:

źródło (emiter) emituje falę („falę propozycję”), która z prędkością światła

przechodzi przez układ szczelin i dociera do ekranu (absorbera). Absorber

wysyła falę o ujemnej energii („falę potwierdzenie”) wstecz w czasie, która

interferuje z „falą propozycją”. Cramer nazywa to „uściskiem dłoni”

(handshake) przez czasoprzestrzeń.171 Urzeczywistnia się jedna z możli-

wości zgodnie z kwantowomechanicznymi regułami obliczania prawdopo-

dobieństwa. Ponieważ jedna fala porusza się do przodu w czasie, druga zaś

wstecz w czasie, proces ten wydaje się atemporalny (tak jakby cząstka po-

_____________ 171 J. G. Cramer, An Overview of the Transactional Interpretation…

192

ruszająca się przez układ szczelin „wiedziała”, czy są otwarte dwie szcze-

liny, czy tylko jedna).

Zdaniem Cramera interpretacja transakcyjna pozwala na poglądowy

opis zachowania mikroobiektów (jeśli zaakceptujemy fale przemieszcza-

jące się wstecz w czasie) i pozwala pozbyć się kategorii obserwatora wraz

ze związanej z nią dyskusją na temat zależności wyników eksperymentów

od naszych świadomych decyzji i rozumieniem funkcji falowej wyłącznie

jako reprezentacji „wiedzy obserwatora”. Proces pomiaru, w którym za-

chodzi redukcja wektora stanu, nie różni się zasadniczo od innych proce-

sów, obserwator nie odgrywa żadnej szczególnej roli. Na przykład w eks-

perymencie Wheelera z opóźnionym wyborem unikamy dość kłopotliwego

wniosku, że nasze decyzje mają wpływ na to, co się dzieje w przeszłości.

Podobnie, redukcja wektora stanu w eksperymencie myślowym z kotem

Schrödingera „nie musi czekać, aż obserwator zajrzy do środka, nie ma ta-

kiego momentu, w którym kot jest na pół żywy i na pół martwy”.172

QBism

QBism to skrót od nazwy interpretacji mechaniki kwantowej zwanej

Quantum Bayesianism – kwantowy bayesjanizm.173 Nazwa pochodzi stąd,

że w teorii prawdopodobieństwa Bayesa prawdopodobieństwo jest rozu-

miane jako stopień przekonania w odniesieniu do pojedynczego zdarzenia,

bez żadnych apriorycznych założeń na temat jego częstości. Zdaniem zwo-

lenników tej interpretacji wszelkie paradoksy mechaniki kwantowej po-

wstają na skutek niewłaściwej interpretacji funkcji falowej i pojęcia praw-

dopodobieństwa. QBism proponuje powrót do zdroworozsądkowego ob-

razu świata i eliminację kwantowych paradoksów dzięki subiektywnej in-

terpretacji funkcji falowej, która jest wyłącznie wyrazem wiedzy obserwa-

tora i w tym sensie istnieje tylko w umyśle indywidualnego fizyka. W

_____________ 172 J. Gribbin, Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń,

Zysk i S-ka, Poznań 1999, s. 266. 173 C. M. Caves, C. A. Fuchs, R. Schack, Quantum probabilities as Bayesian probabi-

lities, [w:] http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0106133v2.pdf.

193

szczególności funkcji falowej nie odpowiada żadna rzeczywistość, nawet

rozumiana jako „tendencja do realizacji zdarzeń” (Heisenberg). Pojęcie

prawdopodobieństwa interpretowane jest w czysto subiektywny sposób,

jako miara przekonania, że nastąpi określone zjawisko.

Gdy stosujemy pojęcie prawdopodobieństwa do takich zdarzeń, jak na

przykład rzut monetą, to możemy stosować interpretację częstościową – w

wystarczająco długiej serii rzutów odsetek orłów i reszek będzie wynosił

około 50% i w tym sensie mówimy, że prawdopodobieństwo poszczegól-

nego zdarzenia (wyrzucenia orła lub reszki) wynosi ½. Możemy to określić

mianem obiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa. Jeżeli natomiast

mówimy na przykład, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadów okre-

ślonego dnia wieczorem wynosi 60%, albo że kandydat X na prezydenta na

70% szans na zwycięstwo w wyborach, wówczas, ponieważ tego typu zda-

rzenia są niepowtarzalne, to nie możemy stosować interpretacji częstościo-

wej. Prawdopodobieństwo wyraża wówczas stopień naszego subiektyw-

nego przekonania odnoście do zaistnienia przyszłych stanów rzeczy. Taką

interpretację prawdopodobieństwa określamy mianem subiektywnej.

Zwolennicy QBismu proponują czysto subiektywną interpretację praw-

dopodobieństwa i funkcji falowej w mechanice kwantowej, co ma stanowić

„lekarstwo na kwantowe absurdy”.174 Rozważmy przypadek kota

Schrödingera: wedle zwolenników omawianej interpretacji kot jest żywy

albo martwy, a redukcja wektora stanu (czy też kolaps funkcji falowej)

oznacza po prostu, że obserwator kierując się nowymi informacjami w spo-

sób skokowy zmienił swoją ocenę prawdopodobieństwa.

Interpretacja statystyczna

Istotą interpretacji statystycznej mechaniki kwantowej jest założenie, że

teoria ta w ogóle nie stosuje się do pojedynczych zdarzeń, lecz jest teorią

zespołów statystycznych. Oznacza to, że jeżeli wykonujemy pomiar na ukła-

_____________ 174 Por. H. C. von Baeyer, Kwantowe paradoksy? Są tylko w naszych umysłach, „Świat

Nauki” 2013, nr 7, s. 33-37.

194

dzie kwantowym, to należy przyjąć, że w istocie wykonujemy pomiar na ze-

spole identycznie przygotowanych obiektów. Otrzymujemy zatem po jed-

nym wyniku dla każdego z identycznie przygotowanych obiektów. Rezultat

pomiaru przyjmuje zatem postać rozkładu prawdopodobieństwa możliwych

wyników pomiarów.175 Zgodnie z tą interpretacją poszukujemy wyłącznie

rozkładu statystycznego i nie interesujemy się pojedynczymi zdarzeniami.

Interpretacja ta, chociaż odegrała istotną rolę we wczesnych dyskusjach

na temat filozoficznych interpretacji mechaniki kwantowej ma dzisiaj – jak

się wydaje – jedynie znaczenie historyczne, choćby z tego powodu, że fizycy

potrafią wykonywać doświadczenia z pojedynczymi atomami.

OR

OR to skrót od terminu „obiektywna redukcja” (objective reduction, a

także po prostu „lub” w języku angielskim). Jest to interpretacja mechaniki

kwantowej z obiektywną redukcją wektora stanu, której autorem jest Roger

Penrose.

Dyskutując zagadnienie pomiaru w mechanice kwantowej Penrose

stwierdza, że zarówno w interpretacjach mechaniki kwantowej, w których

uznaje się, że wektor stanu nie reprezentuje rzeczywistości (np. inter-

pretacja kopenhaska – FAPP), jak i w interpretacjach, które przyjmują, że

reprezentuje rzeczywistość (np. interpretacja wielu światów) „musimy

wprowadzić czynnik świadomości eksperymentatora, aby zrozumieć, w

jaki sposób użyty formalizm odnosi się do obserwowanej rzeczywisto-

ści”.176 Zdaniem Penrose’a w obydwu przypadkach „«przeskoki» R nie są

uważane za fizycznie realne, a wszystko dzieje się, w pewnym sensie, wy-

łącznie w naszej świadomości”.177

_____________ 175 P. C. W. Davies, Duch w atomie, s. 127. [Terlecki, 1953] i Błochincew [Błochincew,

1953]. 176 R. Penrose, Droga do rzeczywistości…, s. 753. 177 R. Penrose, Droga do rzeczywistości…, s. 753.

195

Penrose wielokrotnie podkreśla kontrast pomiędzy „kwantowym” za-

chowaniem mikroobiektów – liniowa superpozycja stanów, a „klasycz-

nym” zachowaniem ciał, znanym z codziennego doświadczenia. Odrzuca

on jednak pogląd, że jest to rozwiązanie ostateczne, to znaczy, że mogłyby

istnieć dwa całkowicie różne zestawy praw fizycznych – jeden do opisu

mikroświata, drugi natomiast do opisu makroświata, ponieważ pogląd taki

prowadziłby nas do wizji świata sprzed powstania nowożytnego przyrodo-

znawstwa i byłby podobny przekonaniom starożytnych Greków, że inne

prawa rządzą zachowaniem ciał na Ziemi, inne zaś dotyczą obiektów na

niebie.178 Jednak prace Galileusza i Newtona wykazały, że ruchem ciał w

pobliżu powierzchni Ziemi, jak i ruchem planet rządzą dokładnie takie

same prawa. Należy zatem przypuszczać, że nie ma radykalnej różnicy

między prawami opisującycmi mikroświat i makroświat, lecz jeszcze nie

znamy właściwej teorii stanowiącej pomost między poziomem kwanto-

wym i poziomem klasycznym, a nielokalna i probabilistyczna procedura

redukcji wektora stanu w standardowej mechanice kwantowej stanowi je-

dynie przybliżenie i powinna ustąpić miejsca teorii z obiektywną redukcją

wektora stanu, która zawierać będzie czynniki fizyczne odpowiedzialne za

ten proces. Prace Penrose’a nie zawierają takiej gotowej teorii, lecz ukazują

raczej kierunek poszukiwań rozwiązania, które prowadziłoby do wyelimi-

nowania paradoksów mechaniki kwantowej, takich jak na przykład kot

Schrödingera.

Penrose rozróżnia „zagadki” i „paradoksy” mechaniki kwantowej (albo

Z-tajemnice i X-tajemnice).179 Do pierwszych należą dualizm korpusku-

larno-falowy, spin, pomiary zerowe i efekty nielokalne, co do których nie

ma poważniejszych wątpliwości, że mechanika kwantowa opisuje je po-

prawnie. Paradoksy natomiast związane są z procesem pomiaru i zastąpie-

niem ewolucji unitarnej U wektora stanu postulatem redukcji R podczas

przejścia od poziomu kwantowego do poziomu klasycznego, który to po-

_____________ 178 Por. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, tłum. P. Amsterdamski,

Prószyński i S-ka, Warszawa 1997, s. 62-63. 179 Por. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 71.

196

stulat nie wynika z równania Schrödingera. Radykalnie odmienne trakto-

wanie układu nieobserwowanego i procesu pomiaru jest – zdaniem Pen-

rose’a – dowodem na to, że mechanika kwantowa w obecnej postaci jest

„niekompletna lub błędna, a w każym razie wymaga dalszej pracy”.180

Jak już wspominaliśmy Penrose przedstawia raczej kierunek poszuki-

wań teorii OR niż gotowe rezultaty. W każym razie poszukuje on fizycz-

nych czynników odpowiedzialnych za redukcję wektora stanu, traktując

tym samym wektor stanu jako realność fizyczną, a nie jedynie jako nasz

sposób opisu rzeczywistości (interpretacja kopenhaska). „Procedura, ozna-

czona przeze mnie symbolem R, jest przybliżeniem procedury, której jesz-

cze nie znamy. Ten brakujący element fizyki nazwę skrótem OR, oznacza-

jącym obiektywną redukcję. Obiektywnie zdarza się albo jedna rzecz, albo

druga. Brakuje nam teorii, która pozwala określić, co się zdarzy. OR to od-

powiedni skrót, ponieważ po angielsku oznacza on «lub», a o to właśnie

chodzi: zdarza się jedno lub drugie”.181

Obszarem poszukiwań teorii z obiektywną redukcją jest dla Penrose’a

kwantowa teoria grawitacji: podstawowa idea głosi, że „redukcja wektora

stanu jest ostatecznie zjawiskiem grawitacyjnym”.182 Kwantowej teorii

grawitacji wprawdzie jeszcze nie sformułowano, co wynika ze znanych

problemów z uzgodnieniem ogólnej teorii względności z mechaniką kwan-

tową, jednak, zdaniem Penrose’a, w przyszłej teorii powinniśmy rozważyć

ideę superpozycji dwóch stanów czasoprzestrzeni, a następnie poszukiwać

reguły, zgodnie z którą „Natura wybiera jedną z geometrii zgodnie z pewną

regułą, której jeszcze nie znamy”.183

…

_____________ 180 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 72. 181 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 90. 182 R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 406. 183 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 92.

197

Dekoherencja

Model dekoherencji zaproponowany został przez polskiego fizyka Woj-

ciecha Żurka.184

Jeden z twórców modelu dekoherencji – Roland Omnes, The Interpre-

tation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton 1994,

s. 81.

W interpretacji kopenhaskiej wprowadza się podział na „kwantowy

obiekt” i „klasyczny przyrząd pomiarowy”. Jednak „granica” między

kwantową a klasyczną „rzeczywistością” nie jest dobrze zdefiniowana.

Bohr twierdził, że przyrząd pomiarowy musi być obiektem makroskopo-

wym, to znaczy takim, że w jego opisie można pominąć, z praktycznego

punktu widzenia, efekty kwantowe, takie jak superpozycja stanów. Rezul-

taty pomiarów wyrażamy zawsze w kategoriach fizyki klasycznej. Pozo-

staje jednak otwartym pytanie o to, kiedy następuje „wyłonienie się świata

klasycznego”,185 albo – inaczej mówiąc – dlaczego nie obserwujemy na co

dzień interferujących kul bilardowych lub żywo-martwych kotów.

Zgodnie z interpretacją Żurka, za proces redukcji wektora stanu odpo-

wiedzialne jest oddziaływanie układu kwantowego ze środowiskiem, które

tworzą inne cząstki elementarne, a także pola grawitacyjne, całkowicie bez

potrzeby wprowadzania do mechaniki kwantowej kategorii świadomego

obserwatora. Dekoherencja stanu kwantowego powodowana przez wpływ

otoczenia zapobiega trwaniu superpozycji.186 Proces redukcji wektora

stanu nie jest procesem natychmiastowym, lecz procesem fizycznym, któ-

rego prędkość zależy od wielkości rozważanego układu. Obliczenia prze-

_____________ 184 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics

Today” 1991, Vol. 44, p. 36-44; W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum

to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf; M. Zwolak, H. T. Quan, W.

Żurek, Quantum Darwinism in a hazy enviroment, arXiv:0904.0418v2 [quant-ph] 9 oct

2009; S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 378-385. 185 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 186 S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 381.

198

prowadzone przez Żurka pokazują, że dla obiektu makroskopowego o ma-

sie rzędu 1 g i rozmiarach rzędu 1 cm czas, w którym oddziaływanie śro-

dowiska powoduje dekoherencję jest rzędu 10-23 s, natomiast dla cząstki o

masie i rozmiarach rzędu elektronu (10-23 g, 10-13 cm) proces taki może

trwać 1014 s.187 Przy obiektach o dużej masie i rozmiarach (dużych w po-

równaniu z masami i rozmiarami elementarnych składników materii) na-

stępuje bardzo szybki (wykładniczy) zanik kwantowych superpozycji i

przejście do jednego ze stanów klasycznych.

W interpretacji tej „pomiaru” wykonuje po prostu środowisko, czyli od-

działywanie układu kwantowego z innymi obiektami, a sam pomiar nie jest

szczególnie wyróżnionym rodzajem oddziaływania. Nie ma zasadniczej

różnicy między światem klasycznym a kwantowym – jest ciągłe przejście

poprzez szereg stanów pośrednich.

_____________ 187 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited,

[w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf p. 14.

199

Kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych skład-

ników materii

Mechanika kwantowa spowodowała głębokie zmiany w naszym pojmo-

waniu materii, w szczególności zaś jej elementarnych składników.188

Zmiany te są tak radykalne, że niektórzy uczeni utrzymują nawet, że poję-

cie materii we współczesnej fizyce w ogóle przestało funkcjonować,189

albo że cząstki elementarne, o których mówi fizyka współczesna to raczej

abstrakcyjne obiekty matematyczne niż obiekty materialne.190 Twierdzenia

tego typu formułowane są na ogół przez teoretyków, lecz nie jestem prze-

konany, czy fizycy doświadczalni pracujący na przykład przy akcelerato-

rach cząstek elementarnych i detektorach zgodziliby się z poglądem, że

rozpędzają w nich, doprowadzają do zderzeń i śledzą ślady „czegoś niema-

terialnego”. Pojęcie materii jest niewątpliwie wieloznaczne, obciążone tra-

dycją filozoficzną i nie zamierzam tu się wdawać w metafizyczne spekula-

cje na temat „istoty materii”. Faktem jest natomiast to, że pojęcie cząstki

elementarnej według fizyki klasycznej i pojęcie cząstki elementarnej we-

dług mechaniki kwantowej dzielą głębokie różnice. Ponadto sam termin

„mechanika” często kojarzy się w świadomości potocznej z urządzeniami

_____________ 188 Por. A. Łukasik, Substancjalność cząstek elementarnych, [w:] M. Piwowarczyk

(red.), Studia Systematica 2. Substancja, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego,

Wrocław 2012, s. 145-157; Idem, Atomism Today. Classical and Quantum Concepts of

Elementary Particles, „Dialogue and Universalism” 2008, No. 2, p. 31-38; Idem, Ewolu-

cja pojęcia atomu, „Otwarte Referarium Filozoficzne” 2009, nr 2, s. 15-36; Idem, Atomizm

dawniej i dziś. O niewspółmierności ontologicznej klasycznego i kwantowomechanicznego

pojęcia elementarnych składników materii, „Studia Philosophiae Christianae” 2009, nr 1,

s. 133-162; Idem, Atomizm – dziś. Problem aktualności programu badawczego filozofii

atomizmu, [w:] Filozofia przyrody dziś. Philosophy of Nature Today, red. W. Ługowski, I.

Lisiejew, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 2010, s. 82-89; Idem, Filozofia atomizmu…, s. … 189 Por. M. Heller, 190 Por. W. Heisenberg, C. F. von Weiszäcker, S. Weinberg,

200

mechanicznymi typu zegar, w którym znajdują się rozmaite tryby i spę-

żyny, czy też – ogólnie rzecz biorąc – z koncepcją „świata-maszyny”

ukształtowaną na bazie dziewiętnastowiecznej fizyki. Ten prosty model

świata zakładał, że na fundamentalnym poziomie organizacji materii ist-

nieją pewne substancjalne elementy, niepodzielne cząstki materii, będące

miniaturowymi ciałami stałymi, które posiadają pewne obiektywne wła-

sności i w rezultacie wzajemnych oddziaływań opisywanych w kategoriach

sił (grawitacyjnych, elektromagnetycznych i innych) poruszają się w prze-

strzeni po jednoznacznie określonych trajektoriach zgodnie z determini-

stycznymi prawami Newtona. Taki obraz świata należy już niewątpliwie

do przeszłości,191 a kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składni-

ków materii dalekie jest od klasycznego pojęcia mikroskopijnych ciał sta-

łych. Celem niniejszego rozdziału jest porównanie klasycznego i kwanto-

womechanicznego pojęcia elementarnych składników materii.

Za twórcę pojęcia elementarnego składnika materii uznawany jest De-

mokryt z Abdery, który sformułował w starożytnej filozofii przyrody ato-

mistyczną koncepcję materii. Grecki termin atomos znaczy „niepodzielny”

i właśnie niepodzielność oraz niezmienność uznawano za konstytutywne

cechy elementarnych składników materii. Dla Demokryta stomy były rze-

czywistym bytem, z czego wynikało, że są wieczne – nie mogą ani powsta-

wać, ani ulegać zniszczeniu, ponieważ przyjmowano, za Parmenidesem z

Elei, że rzeczywisty byt, w odróżnieniu od przedmiotów świata zjawisk,

jest absolutnie niezmienny. Demokryt przypuszczał, że wszystkie atomy są

równie nieprzenikliwe, to znaczy w tym samym czasie w tym samym miej-

scu nie mogą znajdować się dwa lub więcej atomów, a różnią się od siebie

jedynie dwiema obiektywnymi cechami, a mianowicie kształtem i wielko-

ścią. Aż do czasów Daltona, który po raz pierwszy określił empirycznie

jedną z podstawowych własności atomów, a mianowicie ciężar atomowy,

_____________ 191 Analizy różnych aspektów filozofii mechanicyzmu zawiera godna polecenia praca

M. Heller, J. Życiński, Wszechświat – maszyna czy myśl? Filozofia mechanicyzmu: po-

wstanie – rozwój – upadek, Polskie Wydawnictwo Teologiczne Kraków 1988.

201

podstawowe własności elementarnych składników materii były przedmio-

tem czystej spekulacji, współcześnie własności te są przedmiotem badań

eksperymentalnych w fizyce cząstek elementarnych. Rozwój fizyki w XX

wieku doprowadził do sformułowania modelu standardowego cząstek ele-

mentarnych, który jest podsumowaniem współczesnych poglądów na te-

mat elementarnych składników materii.

Według modelu standardowego ostatecznymi składnikami materii, czyli

cząstkami fundamentalnymi są kwarki i leptony. Cząstki takie jak proton i

neutron nazywa się również cząstkami elementarnymi, ale według współ-

czesnych poglądów są one zbudowane z bardziej elementarnych składni-

ków – kwarków. Termin cząstki fundamentalne stosuje się na określenie

obiektów, które nie mają struktury wewnętrznej. Znanych jest sześć rodza-

jów kwarków,192 noszących nazwy (tzw. zapachy – ang. flavour): u – górny

(up), d – dolny (down), s – dziwny (strange), c – czarujący (charm), t –

szczytowy lub prawdziwy (top, true), b – denny, lub piękny (bottom, be-

auty) oraz sześć rodzajów leptonów: e – elektron, μ – mion, τ – taon, νe –

neutrino elektronowe, νμ – neutrino mionowe, ντ – neutrino taonowe.193 Ła-

dunki elektryczne kwarków przyjmują ułamkowe wartości ładunku ele-

mentarnego: Qu = +2/3, Qd = –1/3, Qs = +2/3, Qc = –1/3, Qt = +2/3, Qb = –

1/3 i kwarki występują w przyrodzie jako stany związane trzech kwarków

(na przykład proton, który składa się z dwóch kwarków górnych i jednego

kwarku dolnego – uud lub neutron, składający się z dwóch kwarków dol-

nych i jednego górnego – udd), albo jako pary kwark–antykwark, tworzą-

cych nietrwałe cząstki elementarne, zwane mezonami. Kwarki posiadają

ponadto pewną wielkość, zwaną ładunkiem kolorowym lub kolorem, przy-

pominającą do pewnego stopnia ładunek elektryczny, ale występującą w

trzech odmianach, zwanych czerwony (red – r), zielony (green – g) i nie-

_____________ 192 Hipotezę kwarkowej budowy hadronów wprowadził w 1964 r. Murray Gell-Mann

i niezależnie od niego George Zweig. Por. M. Gell-Mann, A Schematic Model of Baryons

and Mesons, „Physics Letters” 1964, Vol. 8, nr 3, s. 214–215. 193 Nie wiadomo, dlaczego istnieją właśnie trzy generacje cząstek elementarnych.

202

bieski (blue – b). Kwarki o trzech różnych kolorach przyciągają się, nato-

miast kwarki o takim samym kolorze działają na siebie siłami odpychają-

cymi. Nazwa „kolor”, choć ma charakter metaforyczny, ale odzwierciedla

pewną analogię ze swykłymi barwami, a mianowicie fakt, że barwy czer-

wona, zielona i niebieska, nałożone na siebie, są postrzegane jako światło

białe. W stanie naturalnym w przyrodzie istnieją jedynie „białe” kombina-

cje kwarków – na przykład proton jest zbudowany z trzech kwarków uud,

każdy w innym kolorze. Antykwarkom przypisane są atykolory – antyczer-

wony, antyzielony i antyniebieski (co odpowiada „barwie dopełniającej”).

Mezony zbudowane są z pary kwark–antykwark, przy czym kwark danego

koloru związany jest z antykwarkiem obdarzonym odpowiednim antykolo-

rem. Kwark dziwny s posiada pewną liczbę kwantową, zwaną dziwnością

S = –1, kwark powabny c wyposażony jest w liczbę kwantową zwaną po-

wabem C = 1.

Do każdej cząstki istnieje odpowiadająca jej antycząstka (cząstka anty-

materii), która posiada ładunek elektryczny przeciwnego znaku194, albo od-

powiedni antykolor. Oddziaływania między cząstkami opisywane są nie za

pomocą pojęcia „siły”, lecz jako „wymiana” cząstek – kwantów odpowied-

niego oddziaływania. Stosownie do czterech podstawocyh oddziaływań

znanych w fizyce współczesnej są to: foton – γ, kwant oddziaływania elek-

tromagnetycznego, osiem rodzajów gluonów g (ang. glue – klej) przeno-

szących oddziaływanie kolorowe między kwarkami, trzy rodzaje bozonów

W+ W- i Z0 przenoszące oddziaływanie słabe oraz bozon Higgsa, który we-

dług modelu standardowego jest odpowiedzialny za określone wartości

mas cząstek. Grawiton, hipotetyczny kwant oddziaływania grawitacyj-

nego, nie mieści się w modelu standardowym, ponieważ model ten w ogóle

nie uwzględnia oddziaływań grawitacyjnych. Model ten opisuje trzy spo-

śród czterech fundamentalnych oodziaływań: elektromagnetyczne, silne i

słabe jądrowe. Schematycznie listę fundamentalnych składników materii

można przedstawić na następującym diagramie:

_____________ 194 Cząstki nienaładowane, takie jak foton, są same swoimi antycząstkami.

203

Rys. #. Fundamentalne składniki materii według modelu standardowego fizyki cząstek

elementarnych.

Wszystkie ciała, z którymi mamy na co dzień do czynienia, a także cała

widzialna materia we Wszechświecie zudowane są ostatecznie z trzech ro-

dzajów cząstek: kwarków u i d, będących składnikami protonów i neutro-

nów, tworzących jądra atomowe oraz z elektronów. Współczesny pogląd

na budowę materii schematycznie został przedstawiony na rysunku #:

204

Rys. #. Ilustracja współczesnych poglądów na budowę materii.

Porównamy pojęcie elementarnego składnika materii według fizyki kla-

sycznej i kwantowej, stosując dla uproszczenia określenia „cząstka kla-

syczna” i „cząstka kwantowa” odpowiednio. Pomimo tego, że w odniesie-

niu do obiektów opisywanych przez mechanikę kwantową będziemy sto-

sować termin „cząstka”, pamiętać jednak należy, że obiekty te wykazują

„własności falowe” w sensie omówionym w poprzednich rozdziałach.

Klasyczne pojęcie cząstki można scharakteryzować następująco:195 1)

cząstki klasyczne to mikroskopijne ciała stałe, absolutnie niezmienne, nie-

podzielne i niezniszczalne; 2) są realnymi przedmiotami, istniejącymi w

czasie i przestrzeni; 3) posiadają określone pierwotne cechy, które są obiek-

tywne i przysługują im całkowicie niezależnie od tego, jakiego rodzaju

_____________ 195 Por. M. Redhead, P. Teller, Particle Labels and Indistinguishable Particles in Quan-

tum Mechanics, The British Journal for the Philosophy of Science 43(1992)2, 202.

205

układy złożone tworzą te cząstki oraz niezależnie od wykonywanych po-

miarów (obserwacji); 4) cząstki klasyczne są rozróżnialnymi indywiduami,

mogą być policzone i ponumerowane, a zamiana miejscami (stanami)

dwóch cząstek – nawet wówczas, gdy nie różnią się one od siebie żadną

cechą wewnętrzną – tworzy obiektywnie nowy układ; 5) cząstki klasyczne

są niezależnie od siebie istniejącymi obiektami, o ile znajdują się w róż-

nych obszarach przestrzeni.

Rozważmy teraz zagadnienie, jak się mają własności cząstek kwanto-

wych do przedstawionej wyżej charakterystyki cząstek klasycznych.

Przede wszystkim większość cząstek elementarnych fizyki współcze-

snej to obiekty nietrwałe, które ulegają „rozpadowi” na inne cząstki. Jedy-

nie elektron, pozyton, foton, neutrina i proton są trwałe (chociaż pewne

koncepcje przewidują rozpad swobodnego protonu, a jego czas życia sza-

cowany jest na co najmniej 1030 lat, a więc o wiele rzędów wielkości więcej

niż czas życia wszechświata, który szacuje się na około 13,8 miliardów,

czyli rzędu 1010). „Rozpadu” cząstki elementarnej nie możemy jednak ro-

zumieć w ten sposób, że cząstki, które są produktem rozpadu danej cząstki

elementarnej, są jej składnikami i istnieją w tej cząstce przed rozpadem, tak

jak elektrony i nukleony są składnikami atomów. Na przykład neutron, gdy

jest składnikiem jąder atomowych, zachowuje się jak cząstka trwała, jed-

nak neutron swobodny rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elek-

tronowe po czasie wynoszącym mniej więcej 11 minut:

eepn ~ .

Neutron nie jest jednak „zbudowany” z protonu, elektronu i antyneu-

trina elektronowego, lecz z trzech kwarków (dwóch kwarków d i jednego

kwarku u). Proces rozpadu cząstki elementarnej polega więc raczej na prze-

kształceniu się jednej cząstki „elementarnej” w inne cząstki, równie „ele-

mentarne”. Większość cząstek elementarnych fizyki współczesnej ulega

tego typu transformacjom, przy czym czas życia niektórych z nich jest nie-

zmiernie któtki – nawet rzędu 10-24 s. Na przykład mion rozpada się po

206

czasie ok. 10-6 s na elektron, antyneutrino elektronowe i neutrino mionowe

według następującego schematu:

ee ~ .

Zauważmy przy tym, że mion jest uważany za cząstkę równie elemen-

tarną jak elektron (należy do czastek fundamentalnych), dlatego też lepiej

jest mówić o transformacjach cząstek elementarnych, niż o ich „rozpa-

dach”. Cząstki elementarne fizyki współczesnej nie są więc obiektami nie-

zmiennymi i trwałymi.

Elektron jest wprawdzie uważany za cząstkę trwałą, co znaczy, że nie

ulega spontanicznemu przekształceniu w inne cząstki elementarne „rozpa-

dowi”) gdy porusza się swobodnie w przestrzeni. Jednak nie jest on cząstką

absolutnie niezniszczalną, ponieważ w rezultacie zderzenia ze swoją anty-

cząstką, czyli pozytonem, obydwie cząstki ulegają anihilacji – przestają

istnieć, przekształcając się w kwanty wysokoenergetycznego promienio-

wania elektromagnetycznego:

2 ee .

Każda cząstka materii w zderzeniu ze swoją antycząstką ulega anihila-

cji, zatem nawet te cząstki, których czas życia jest nieskończenie długi, nie

są obiektami absolutnie niezniszczalnymi.

W pewnych warunkach (określonych przez odpowiednie zasady zacho-

wania wielkości fizycznych) możliwy jest również proces odwrotny do ani-

hilacji, czyli kreacja par cząstka–antycząstka. Na przykład wysokoenerge-

tyczny foton może przekształcić się w parę elektron – pozyton:

ee .

207

Cząstki elementarne nie są również odwieczne, ponieważ nasz Wszech-

świat nie istnieje odwiecznie, ale miał początek w czasie – około 13,8 mi-

liarda lat temu powstał w gorącym Wielkim Wybuchu. W bardzo wcze-

snym etapie ewolucji Wszechświata, zwanym erą Plancka,196 panowały tak

ekstremalne warunki fizyczne, że materia w znanej nam postaci (nawet

cząstki elementarne) nie mogły wówczas istnieć.

O ile w tradycji filozoficznej i fizyce klasycznej przyjmowano, że naj-

bardziej podstawowy poziom organizacji materii, czyli poziom cząstek ele-

mentarnych stanowią absolutnie trwałe elementy, to obrazu takiego nie po-

twierdza mechanika kwantowa – na poziomie elementarnych składników

materii nie znajdujemy trwałych, substancjalnych elementów.

Klasyczne cząstki elementarne pojmowano jako obiekty niepodzielne.

Współcześnie bada się cząstki elementarne w akceleratorach cząstek ele-

mentarnych, a jedną z podstawowych metod są eksperymenty zderzeniowe.

Na przykład w największym na świecie akceleratorze LHC (Large Hadron

Collider – Wielki Zderzacz Hadronów) w CERN rozpędza się do prędkości

bliskiej prędości światła w próżni (0,999999991 c) dwie wiązki cząstek po-

ruszające się w przeciwnych kierunkach, a następnie doprowadza się je do

zderzenia i obserwuje się trajektorie powstających w wyniku zderzenia

cząstek w detektorach cząstek elementarnych. Okazuje się jednak, że w re-

zultacie zderzenia cząstek elementarnych nie otrzymujemy „fragmentów”

cząstek, czy też cząstek „bardziej elementarnych” niż te, które poddaliśmy

zderzeniom, ale otrzymujemy po prostu inne cząstki, „równie elemen-

tarne”. Ten stan rzeczy związany jest z efektami relatywistycznymi – za-

leżnością masy od prędkości ciała. Zgodnie ze szczególną teorią względ-

ności Einsteina masa cząstki zależy od prędkości v:

_____________ 196 Czas, odległość i gęstość Planka wynoszą odpowiednio: tp = √G/c5 ≈ 5,4 × 10 -44

s, lp = √G/c3 ≈ 1,6 × 10 -35 m, ρp = c5/G2 ≈ 5,2 × 10 96 kg/m3.

208

2

2

1c

v

mm o

,

gdzie m0 jest masą spoczynkową, c – prędkością światła w próżni. Jeśli

zatem w akceleratorach rozpędzamy cząstki do prędkości porównywalnych

z prędkością światła w próżni, to rośnie ich masa–energia ( 2mcE ) i dla-

tego w zderzeniach mogą powstawać nowe cząstki. W związku z tym może

pojawić się wątpliwość, czy w tego typy eksperymentach „rozbijamy”

cząstki czy je „produkujemy”; być może nawet – jak twierdził Heisenberg

– samo pojęcie „niepodzielności” całkowicie straciło pierwotny sens.197

Klasyczne cząstki traktowano jako realne przedmioty dobrze zlokalizo-

wane w czasie i przestrzeni. Relacje nieoznaczości Heisenberga prowadzą

jednak do wniosku, że cząstkom kwantowym nie możemy przypisywać

„prostego umiejscowienia w przestrzeni”,198 a ich ruch całkowicie wymyka

się możliwości poglądowego przedstawienia, co szczególnie dobitnie wi-

dać w analizie eksperymentu na dwóch szczelinach lub zachowania cząstek

w interferometrze Macha–Zehndera. Zgodnie z mechaniką kwantową

przed wykonaniem pomiaru można określić jedynie pewien rozkład praw-

dopodobieństwa obecności elektronu w pewnym obszarze przestrzeni, co

można wyrazić stwierdzeniem, cząstka elementarna jest „potencjalnie

obecna” w pewnym obszarze przestrzeni i dopiero w rezultacie pomiaru

„aktualizuje się w pewnym miejscu”. Bohr twierdził nawet, że tezie o ist-

nieniu elektronu lub fotonu między pomiarami w ogóle nie możemy nadać

„obiektywnego znaczenia”. Opisać możemy jedynie rezultaty obserwacji,

w których użyto makroskopowych przyrządów pomiarowych, co pociąga

za sobą konieczność zastosowania pojęć fizyki klasycznej, o których

_____________ 197 Por. W. Heisenberg, The Nature of Elementary Particles, w: red. E. Castellani, dz.

cyt., 212. 198 Por. A. N. Whitehead, Nauka i świat nowożytny, tłum. M. Kozłowski, M. Pieńkow-

ski OP, Kraków 1987, s. 79.

209

wiemy, że nie mogą być stosowane do świata atomów i cząstek elementar-

nych pomiędzy aktami obserwacji. Niektórzy współcześni autorzy wysu-

wają przypuszczenia, że cząstka kwantowa, taka jak elektron, istnieje

wprawdzie między dwoma pomiarami, ale istnieje „poza czasem i prze-

strzenią”, a dopiero wykonany pomiar „wciąga elektron w czasoprze-

strzeń”.199 Korelacje EPR również prowadzą do wniosku, że między do-

wolnie odległymi obiektami istnieje pewne nielokalne powiązanie, zatem

możliwe, że czas i przestrzeń są strukturą, w jakiej istnieją obiekty makro-

skopowe i nie mają podstawowego znaczenia na poziomie fundamental-

nych składników materii.

„Obraz” elementarnych składników materii według mechaniki kwanto-

wej radykalnie odbiega od prostego modelu świata fizyki klasycznej, we-

dług krórego niezmienne cząstki pojmowane jako nieprzenikliwe, mikro-

skopijne ciała stałe znajdują się w pustej przestrzeni i poruszają się po do-

brze określonych trajektoriach zgodnie z deterministycznymi prawami ru-

chu.

Cząstki klasyczne zaliczano do ontologicznej kategorii rzeczy, to znaczy

przedmiotów wykazujących autonomię bytową (w odróżnieniu od cech i

relacji), jednostkowość, konkretność i zupełność charakterystyki treścio-

wej.200 Zgodnie z ostatnim warunkiem uznawano, że wszystkie cechy czą-

stek klasycznych przysługują im niezależnie od przeprowadzanych pomia-

rów. Cząstki kwantowe mają wprawdzie pewne ustalone własności, takie

jak masa spoczynkowa czy ładunek elektryczny, które przysługują im cał-

kowicie niezależnie od przeprowadzanych pomiarów (np. masa spoczyn-

kowa elektronu i ładunek elementarny uznawane są za fundamentalne stałe

fizyczne), jednak nie dotyczy to wszystkich dynamicznych charakterystyk

cząstek kwantowych. Określone położenie, pęd, energia czy ustawienie

_____________ 199 Por. D. Aerts The Entity and Modern Physics: The Creation-Discovery View of Re-

ality, w: red. E. Castellani, dz. cyt., 223–257. 200 Por. M. Hempoliński, Filozofia współczesna. Wprowadzenie do zagadnień i kierun-

ków, Warszawa 1989, 64.

210

spinu cząstki elementarnej może być rozumiane jedynie jako rezultat prze-

prowadzonego pomiaru (przed pomiarem wektor stanu znajduje się na ogół

w superpozycji różnych możliwości). Pary wielkości fizycznych reprezen-

towanych przez niekomutujące operatory nie mogą być jednocześnie zmie-

rzone z dowolną dokładnością i – zgodnie ze standardową interpretacją me-

chaniki kwantowej – cząstki kwantowe nie posiadają jednocześnie określo-

nych wartości wielkości komplementarnych. Jeżeli określona jest jedna z

wielkości komplementarnych, to wartość drugiej może losowo fluktuować

i pozostaje nieokreślona. Można zatem wyrazić wątpliwość, czy cząstki

kwantowe można zaliczyć do ontologicznej kategorii rzeczy, ponieważ nie-

które ich własności wykazują – jak się wydaje – „miejsca niedookreślenia”,

charakterystyczne na przykład dla przedmiotów estetycznych.201

Klasyczne cząstki traktowano jak indywidua, do których stosuje się sfor-

mułowana przez Leibniza zasada identyczności nieodróżnialnych (princi-

pium identitatis indiscernibilium), zgodnie z którą „nie istnieją nierozróż-

nialne dwa indywidua”,202 co można zapisać następująco:

F [F(a) F(b)] a = b.

W zależności od tego, czy w zakres predykatu F włączamy jedynie ce-

chy wewnętrzne, czy też uwzględnimy również cechy relacyjne (lokaliza-

cję czasoprzestrzenną), otrzymujemy mocną lub słabą wersję PII: wersja

mocna nie zawiera własności lokalizacji przestrzennej; wersja słaba za-

wiera własność lokalizacji przestrzennej.203 Cząstki klasyczne uznawano

za indywidua, ponieważ – chociaż przyjmuje się, że istnieje wiele cząstek

_____________ 201 Por. R. Ingarden, … 202 G. W. Leibniz, Polemika z Clarkiem, Czwarte pismo Leibniza, [w:] Tenże, Wyznanie

wiary filozofa. Rozprawa metafizyczna. Monadologia. Zasady natury i łaski oraz inne pi-

sma filozoficzne, tłum. S. Cichowicz, J. Domański, H. Krzeczkowski, H. Moese, War-

szawa 1969, 347. 203 Por. S. French, M. Redhead, Quantum Physics and the Identity of Indiscernibles,

The British Journal for the Philosophy of Science 39 (1988), 234.

211

tego samego rodzaju, które nie różnią się od siebie żadnymi wewnętrznymi

cechami – to jednak cząstki te traktowano jako obiekty rozróżnialne na

podstawie położeń w przestrzeni. Można wyobrazić sobie, że „cząstki

wchodzące w skład danego układu fizycznego zostały w pewnej chwili

«ponumerowane», co umożliwiałoby śledzenie ich ruchów po torach; iden-

tyfikacja cząstek może być wówczas przeprowadzona w każdej chwili póź-

niejszej”.204

W mechanice kwantowej również zakłada się, że wszystkie cząstki ele-

mentarne danego gatunku nie różnią się od siebie żadną wewnętrzną cechą.

Na przykład wszystkie elektrony mają dokładnie taką samą masę spoczyn-

kową, ładunek elektryczny czy spin, choć oczywiście mogą mieć różne pa-

rametry dynamiczne zależne od stanu, takie jak pęd, energię lub położenie.

Fizycy na określenie cząstek danego gatunku, których własności we-

wnętrzne są standaryzowane, stosują termin „cząstki identyczne”. Termin

„cząstki identyczne” używany jest do oznaczenia cząstek, „które można

zamienić wzajemnie miejscami w najogólniejszych warunkach bez spowo-

dowania jakiejkolwiek zmiany w sytuacji fizycznej”.205

Podstawowa różnica między pojęciem cząstki klasycznej a pojęciem

cząstki kwantowej polega na tym, że cząstki identyczne są w mechanice

klasycznej rozróżnialne, natomiast w mechanice kwantowej są nierozróż-

nialne, co znaczy, że „nie istnieje eksperymentalna metoda, która pozwala-

łaby na ich rozróżnienie. Ogólniej rzecz biorąc, żadna wielkość obserwo-

walna nie pozwala na rozróżnienie między jednym stanem a drugim, który

różni się od pierwszego jedynie permutacją cząstek”.206 Zasada nierozróż-

_____________ 204 L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej, t. 2, Mechanika kwan-

towa, tłum. J. Jędrzejewski, Warszawa 1980, 152. 205 L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, tłum. Z. i Z. Rek, Warszawa 1977, 321. 206 M. Redhead, P. Teller, Particle Labels and Indistinguishable Particles Theory, The

British Journal for the Philosophy of Science 43(1992), 205.

212

nialności odgrywa podstawową rolę w kwantowej teorii układów jednako-

wych cząstek.207 Formalnie wyraża się je przez żądanie, by wartość ocze-

kiwana dowolnego operatora hermitowskiego Ω dla układu złożonego z N

identycznych cząstek, których stan reprezentowany jest przez wektor stanu

, nie zmieniała się w rezultacie permutacji dowolnych dwóch stanów:

PP ,

gdzie stan P powstaje ze stanu przez permutację dowolnych

dwóch stanów. Nie jest możliwe rozstrzygnięcie, czy dany układ znajduje

się w stanie , czy też w stanie P . Wystarczającym warunkiem, by

powyższa równość była spełniona, jest, by P = dla dowolnego

operatora hermitowskiego Ω. Warunki powyższe nakładają pewne ograni-

czenia na możliwe stany cząstek.208

Według klasycznej mechaniki statystycznej, jeżeli w jakimś układzie

znajduje się pewna liczba cząstek określonego gatunku, znajdujących się

w różnych stanach, to nawet wówczas, jeżeli cząstki te są standaryzowane

w ramach gatunku, to ich permutacja, czyli zamiana stanów między dwoma

cząstkami, daje w rezultacie nowy stan różniący się od poprzedniego.

Cząstki klasyczne podlegają statystyce Maxwella–Boltzmanna. Dla n czą-

stek i m dostępnych dla nich stanów liczba możliwych układów wyraża się

wzorem:

NM–B (n, m) = mn.

W najprostszym przypadku, gdy mamy dwie rozóżnialne cząstki kla-

syczne, z których każda może znajdować się w dwóch stanach, powiedzmy

_____________ 207 L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej, t. 2, Mechanika kwan-

towa, tłum. J. Jędrzejewski, Warszawa 1980, 153. 208 Por. S. French, M. Redhead, art. cyt., s. 238.

213

a i b , to, zgodnie ze statystyką Maxwella–Boltzmanna, możliwe są NM–

B (2, 2) = 22 = 4 stany, co możemy zapisać następująco:

1) )1(a )2(a – obydwie cząstki w stanie a ,

2) )1(b )2(b – obydwie cząstki w stanie b ,

3) )1(a )2(b – cząstka 1 w stanie a i cząstka 2 w stanie b ,

4) )2(a )1(b – cząstka 1 w stanie b i cząstka 2 w stanie a .

Ilustrację liczby sposobów rozmieszczenia dwóch cząstek klasycznych

w dwóch stanach stanowi poniższa tabela.

stan a 1 2 1 2

stan b 1 2 2 1

Wyobraźmy sobie, że mamy dwie takie same monety (1 i 2), które mo-

żemy umieścić w jednej (stan a) lub w drugiej (stan b) części pudła. Wów-

czas albo obydwie monety znajdą się w części a, albo obydwie w części b,

albo pierwsza w części a, zaś druga w części b, albo pierwsza w części b,

natomiast druga w części a. Dwie ostatnie sytuacje, czyli przypadki (3) i

(4) są traktowane jako różne sytuacje fizyczne, ponieważ zachodzi obiek-

tywna w różnica między stanem „pierwsza moneta w stanie a i druga mo-

neta w stanie b” a stanem „pierwsza moneta w stanie b i druga moneta w

stanie a”. Nie jest istotne, że – być może – w praktyce nie bylibyśmy w

stanie odróżnić tych dwóch sytuacji. Zamiana miejscami dwóch rzeczy (np.

monet, klasycznych cząstek) prowadzi do zaistnienia obiektywnie nowego

stanu rzeczy (możemy wyobrazić sobie, że cząstki są „etykietowane”). Je-

żeli przyjmiemy, że wszystkie przypadki są jednakowo możliwe, wówczas

prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki znajdują się w stanie a

wynosi 1/4, prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki są w stanie b

równe jest również 1/4, natomiast prawdopodobieństwo tego, że każda

214

cząstka znajduje się w innym stanie wynosi 1/2, co rzecz jasna jest równe

sumie prawdopodobieństw pojawienia się stanów (3) i (4).209

Sytuacja jest zupełnie zgodna ze zroworozsądkowym punktem widzenia

i wydaje się nawet trywialna. Rzecz jednak w tym, że kwantowe statystyki

radykalnie różnią się od klasycznej statystyki Maxwella–Boltzmanna i pro-

wadzą do filozoficznie interesujących wniosków dotyczących „indywidu-

alności” cząstek kwantowych. Wmechanice kwantowej, jeżeli P =

,gdzie P jest operatorem permutacji, to stan taki nazywa się stanem syme-

trycznym – po permutacji dwóch stanów otrzymujemy ten sam stan; jeżeli

natomiast P = – , to stan taki nazywa się stanem antysymetrycznym

– w rezultacie permutacji otrzymujemy ten sam stan ze znakiem minus.

Stan, który nie jest ani stanem symetrycznym, ani antysymetrycznym, na-

zywamy stanem niesymetrycznym i – zgodnie z regułami mechaniki kwan-

towej – stany takie należy wykluczyć, ponieważ prowadzą one do niezgod-

nej z doświadczeniem dla cząstek kwantowych klasycznej statystyki

Maxwella–Boltzmanna. Bozony opisywane są stanami symetrycznymi, na-

tomiast fermiony – antysymetrycznymi. Dla bozonów (statystyka Bosego–

Einsteina) dodajemy amplitudy prawdopodobieństwa, dla fermionów (sta-

tystyka Fermiego–Diraca) dodajemy amplitudy ze znakiem minus.

Oznacza to, że dla bozonów stany (3) i (4) muszą być traktowane jako

jeden stan. Zgodnie ze statystyką Bosego–Einsteina dla n cząstek i m sta-

nów otrzymujemy:

NB–E (n, m) = 1mn

n

możliwych układów. W powyższym przykładzie n = 2 i m = 2 i otrzymu-

jemy w rezultacie jedynie trzy możliwości:

_____________ 209 Por. P. Teller, An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory, Princeton,

New Jersey 1995, 24.

215

1) )1(a )2(a – obydwie cząstki w stanie a ,

2) )1(b )2(b – obydwie cząstki w stanie b ,

oraz stan symetryczny:

3) )1(a )2(b + )2(a )1(b 210,

który jest liniową superpozycją stanów (1) i (2).

Ilustrację sposobów rozmieszczenia dwóch bozonów w dwóch stanach

stanowi poniższa tabela (zamiast cyfr „1” i „2” symbolizujących rozróż-

nialne cząstki użyto symbolu „x”, aby podkreślić ich nierozróżnialność).

stan a x x x

stan b x x x

Prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki są w stanie a wynosi

1/3, prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki są w stanie b wynosi

1/3 oraz prawdopodobieństwo tego, że każda cząstka znajduje się w innym

stanie wynosi również 1/3. Ostatni przypadek jest jednak stanem syme-

trycznym )1(a )2(b + )2(a )1(b , czyli liniową superpozycją stanów

„pierwsza cząstka w stanie a i druga cząstka w stanie b” plus „druga czastka

w stanie a i pierwsza cząstka w stanie b”. Jest to bardzo interesujący rezul-

tat: jeżeli cząstki traktujemy jako odrębne realności fizyczne, to jak rozu-

mieć sytuację, w której cząstka znajduje się „częściowo” w jednym i „czę-

ściowo” w drugim stanie. Gdyby zastąpić cząstki kwantowe monetami, to

należałoby uznać, że jedna moneta znajduje się „częściowo” w jednej i

_____________ 210 Pomijamy tu nieistotne dla naszych rozważań współczynniki liczbowe.

216

„częściowo” w drugiej części pudła. Statystyki kwantowe prowadzą do po-

ważnych trudności pojmowania cząstek kwantowych jako rzeczy, czy też

substancji.

Dla fermionów, które podlegają zakazowi Pauliego, w układzie złożo-

nym z wielu identycznych cząstek tylko jedna cząstka może znajdować się

w danym stanie kwantowym. Wówczas otrzymujemy statystykę Fer-

miego–Diraca – dla n cząstek i m stanów jest

NF–D (n, m) = n

m

możliwych układów. W odniesieniu do układu dwóch cząstek i dwóch do-

stępnych dla każdej z nich stanów oznacza to, że możliwy jest tylko jeden

sposób obsadzenia stanów a i b przez cząstki 1 i 2 – każda cząstka

znajduje się w innym stanie. Jest to stan antysymetryczny:

)1(a )2(b – )2(a )1(b .

Ilustrację sposobów rozmieszczenia dwóch fermionów w dwóch sta-

nach stanowi poniższa tabela.

stan a x

stan b x

Przykładem może być pierwsza „orbita” w atomie, na której mogą znaj-

dować się co najwyżej dwa elektrony: wiadomo, że muszą one mieć skie-

rowane przeciwnie spiny, ale „nie istnieje eksperymentalna metoda, po-

zwalająca stwierdzić, że ten elektron ma spin w górę, a tamten ma spin w

217

dół”.211 Interpretując statystyki kwantowe ontologicznie, możemy powie-

dzieć, że zamiana stanami dwóch identycznych cząstek kwantowych nie

daje w rezultacie nowego stanu rzeczy. Stany powstające przez permutację

dwóch cząstek identycznych są nierozróżnialne nie dlatego, że my na ak-

tualnym stanie rozwoju nauki nie potrafimy ich rozróżnić (tak jak dawniej

w chemii nie rozróżniano izotopów), ale dlatego, że – mówiąc metaforycz-

nie – to sama Natura nie rozróżnia takich stanów.

Różnicę między pojęciem klasycznych cząstek identycznych rozróż-

nialnych a pojęciem kwantowych cząstek identycznych nierozróżnialnych

można poglądowo wyjaśnić, odwołując się do porównania z gospodarką,

w której nie ma kont bankowych, a gospodarką, w której wymiana jest wy-

łącznie bezgotówkowa.212 W pierwszym przypadku każda moneta jest

pewnym indywiduum, ma określoną lokalizację w czasoprzestrzeni i swoją

historię oraz jest (przynajmniej w teorii) odróżnialna od każdej innej mo-

nety. Natomiast w gospodarce bezgotówkowej ważne jest jedynie to, ile

jednostek jest na jakimś koncie, ale nie ma sensu pytanie o to, „który grosz”

został przesunięty z jakiegoś konta na inne. Jednostki na koncie bankowym

można policzyć, ale nie są one indywiduami i nie można używać w sto-

sunku do nich określeń takich, jak w stosunku do monet: „ta oto” w odróż-

nieniu od „tamtej”. Cząstki klasyczne mogą być ponumerowane – pierw-

sza, druga itd. i jest różnica w kolejności, w jakiej je numerujemy. Cząstki

kwantowe mogą być jedynie policzone, ale nie mogą być ponumerowane

(zaetykietowane).

Podsumujmy: materia składa się z atomów, które jednak – wbrew ety-

mologicznej treści pojęcia „atom” – są obiektami złożonymi, podzielnymi

i zniszczalnymi. Cząstki fundamentalne fizyki współczesnej to kwarki i

leptony będące fermionami, oddziaływania między cząstkami przenoszony

są przez bozony – kwanty pól (elektromagnetycznego, słabego, koloro-

wego oraz – jak dotąd hipotetycznie – grawitacyjnego). Cząstki kwantowe

_____________ 211 M. Redhead, P. Teller, Particles. Particle Labels, and Quanta: The Toll of

Unacknowledged Metaphysics, “Foundation of Physics” 21(1991)1, 204. 212 Por. P. Teller,

218

wykazują własności falowe, nie przysługują im klasycznie rozumiene tra-

jektorie w czasoprzestrzeni, mogą się w siebie wzajemnie przekształcać,

powstawać i przestać istnieć, nie mogą być traktowane jako indywidua.

219

Zakończenie

Przedstawione w niniejszej pracy filozoficzne zagadnienia mechaniki

kwantowej z pewnością nie wyczerpują bogactwa problematyki i, choćby

z racji czasu trwania i dość elementarnego poziomu kursu, pominięto wiele

interesujących filozoficznie zagadnień dotyczących na przykład kwanto-

wej teorii pola, superstrun czy supersymetrii.

Być może kiedyś mechanika kwantowa ulegnie istotnej modyfikacji, na

przykład w rezultacie unifikacji z ogólna teorią względności (o ile w ogóle

okaże się to możliwe), albo zostanie zastąpiona przez całkowicie nową teo-

rię, której postaci nie jesteśmy sobie dziś nawet wyobrazić. Możliwe za-

tem, że nad pewnymi problemami uczeni po prostu przestaną się zastana-

wiać i historycy nauki uznają kiedyś na przykład dyskusje nad paradoksem

kota Schrödingera za zwykłe marnowanie czasu. Możliwe jest również, że

przyszły rozwój nauki odsłoni nam takie tajemnice Wszechświata, w obli-

czu których superpozycja stanów czy kwantowe splątanie okażą się niemal

trywialne. Mechanika kwantowa z fantastyczną precyzją opisuje podsta-

wowe własności materii, ale cała materia, jaką znamy stanowi zaledwie

około 4% zawartości Wszechświata. Jakieś 96% jego zawartości (tzw.

ciemna materia i ciemna energia) jest czymś, o czym dziś po prostu nic nie

wiemy. Są więc na niebie i na ziemi rzeczy, o których filozofom się nie

śniło.

220

Bibliografia

Achinstein P., Particles and Waves. Historical Essays in the Philosophy of Science, Oxford

University Press, New York, Oxford 1991.

Aerts D., Gabora L., Sozzo S., Veloz T., Quantum Structure in Cognition: Fundamentals

and Application, http://arxiv.org/pdf/1104.3344v1.pdf (17 Apr 2011).

Albert D. Z., Galchen R., Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat

Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 28-36.

Albert D. Z., Quantum Mechanics and Experience, Harvard University Press, Cambridge,

Massachusetts, London, England 1992.

Al.-Kalili J., Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy, Pró-

szyński i S-ka, Warszawa 2015.

Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time Vary-

ing Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807.

Barret J. A., The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University Press, New

York 1999.

Barrow J. D., Davies P. C. W., Harper C. L. Jr., Science and Ultimate Reality. Quantum

Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University Press 2004.

Bell J. S. , On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s. 195–200, [w:]

http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf.

Białobrzeski Cz., Podstawy poznawcze fizyki świata atomowego, Państwowe Wydawnic-

two naukowe, Warszawa 1984.

Białynicki-Birula I., Białynicka-Birula Z., Elektrodynamika kwantowa, Państwowe Wy-

dawnictwo Naukowe, Warszawa 1974.

Birkhoff G., Neumann J. von, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Mathema-

tics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830.

Bohm D., A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Va-

riables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna także w:

http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Interpreta-

tion of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II [w:] J. A.

Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 367-396.

Bohm D., Hiley B. J. , The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of Quantum

Theory, Routledge, New York 1993.

Bohm D., Przyczynowość i przypadek w fizyce współczesnej, tłum. S. Rouppert, Książka i

Wiedza, Warszawa 1961.

Bohm D., Quantum Theory, Prentice–Hall, Inc., Englewood Clifs, New Jersey 1951.

221

Bohm D., Ukryty porządek, tłum. M. Tempczyk, Wydawnictwo Pusty Obłok, Warszawa

1988.

Bohr N., Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press, Cam-

bridge 1934.

Bohr N., Fizyka atomowa i wiedza ludzka, tłum. W. Staszewski, S. Szpikowski, A. Teske,

PWN, Warszawa 1963.

Bohr N., On the Constitution of Atoms and Molecules, „Philosophical Magazine” 1913,

Series 6, Vol. 26, [w:] http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-Hi-

story/Bohr/Bohr-1913a.html.

Bohr N., The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supple-

ment to „Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590.

Born N, Einstein, 1971, s. 91

Broglie L. de, Radiation – Waves and Quanta, Note of Louis de Broglie, presented by Jean

Perrin, „Comptes rendus” 1923, Vol. 177, s. 507–510, trans. by B. & B. Lane, [w:]

http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml.

Broglie L. de, The Wave Nature of the Electron, [w:] Nobel Lectures…, Physics 1922–

1941, s. 244–259

Broglie L. V. de, The Revolution in Physics. A Nonmathematical Survey of Quanta, transl.

by R. W. Niemeyer, The Noonday Press, New York 1958.

Bruza, ….Z. Wang, J. R. Busemeyer, H. Atmanspracher, E. M. Pothos, The Potential of

Using Quantum Theory to Build Models of Cognition, „Topics in Cognitive Sciences”

2013, Vol. 5, No 4, ss. 672–688.

Bub J., The Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dor-

drecht – Holland / Boston – U. S. A 1974.

Busemeyer J. R., Bruza P., Quantum Models of Cognition and Decision, Cambridge

University Press, Cambridge 2014.

Butryn S. (red.), Max Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo

IFiS PAN, Warszawa 2007.

Byrne P., Hugh Everett i jego światy, „Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66-73.

Cassidy D. C., Uncertainty…,.

Castellani E. (ed.), Interpreting Bodies. Classical and Quantum Objects in Modern Phy-

sics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1998.

Close F., Marten M., Sutton Ch., The Particle Odyssey. A Journey to the Heart of the

Matter, Oxford University Press, Oxford, New York 2004.

Cooper L. N., Istota i struktura fizyki, tłum. J. Kozubowski, Z. Majewski, A. Pindor, J. Pro-

chorow, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.

Cramer J. G., An Overview of the Transactional Interpretation, „International Journal of

Theoretical Physics” 1988, 27 (227).

Cramer J. G., Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of Modern

Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687.

222

Dalla Chiara M. L., Giuntini R., Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan

2004.

Davies P. C. W., Brown J. R., Duch w atomie. Dyskusja o paradoksach teorii kwantowej,

tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo CIS, Warszawa 1996, s. 86.

Dawson J. F., Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, .

Deutsch D., Struktura rzeczywistości, …

Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press

1947.

Eddington A. S., Nowe oblicze natury, tłum. A. Wundheiler, Mathesis Polska, Warszawa

1934.

Einstein A., Infeld L., Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do teorii

względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962.

Einstein A., Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert Ein-

stein…, s. 163.

Einstein A., Podolsky B., Rosen N., Can Quantum-Mechanical Description of Physical

Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–780; tłum.

polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można uznać za zu-

pełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein…, s. 117–123.

Einstein A., Remarks Concerning the Essays Brought Together in this Co-operative Volume,

transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Philosopher-Scientist,

Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957.

Einstein A., Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuris-

tischen Gesichtspunkt, „Annalen der Physik” 1905, Series 4, Vol. 17, s. 132–148.

Everett H. III, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, http://www-

tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf.

Everett H. III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of Modern

Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462.

Feyerabend P., O interpretacji relacyj nieokreśloności, „Studia Filozoficzne” 1960, nr 4 (19),

s. 21–76.

Feynman R. P., Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-ka,

Warszawa 2000.

Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, t. III. Mechanika

kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1974.

Feynman R. P., Pan raczy żartować, panie Feynman. Przypadki ciekawego człowieka,

tłum. T. Bieroń, Znak, Kraków 1996.

Feynman R. P., QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska, Państwowy

Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992.

Feynman R. P., Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, „Review

of Modern Physics” 1948, Vol 20, No. 2, p. 367-387. Praca dostępna również w Inter-

necie pod adresem http://www.fafnir.phyast.pitt.edu/py3765/PathIntegral.pdf.

223

Feynman R. P., Sześć łatwych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 19…,

Feynman R. P., Sześć trudniejszych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999.

Feynman R. P., The Feynman Lectures on Physics. Quantum Mechanics

Feynman R. P.: The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics,

[w:] Nobel Lectures – Physics, t. III, Elsevier Publishers, New York 1972 (tekst do-

stępny również pod adresem: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laurea-

tes/1965/feynman-lecture.html).

Filozofia a nauka. Zarys encyklopedyczny

French S., Krause D., Identity in Physics. A Historical, Philosophical, and Formal Analy-

sis, Clarendon Press, Oxford 2008.

Gell-Mann M., Kwark…,

Gleason A. M., Measures on the closed subspaces of a Hilbert space, „Journal of Mathe-

matical Mechanics” 1957, 6, p. 885-893 (http://www.iap.tu-darmstadt.de/tqp/uebun-

gen/qinfo11/Gleason.pdf).

Gleick J. Geniusz. Życie i nauka Richarda Feynmana, tłum. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka

Wydawnictwo, Poznań 1999.

Grabowski M., Ingarden R. S., Mechanika kwantowa. Ujęcie w przestrzeni Hilberta, Pań-

stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa …;

Gribbin J., Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 143.

Gribbin J., Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń, Zysk i

S-ka, Poznań 1999.

Gribbin J., In Search of Schrödinger’s Cat. Quantum Physics Reality, A Bantam Book /

September 1984. Tłum. polskie: W poszukiwaniu kota Schrödingera. Realizm w fizyce

kwantowej, tłum. J. Bieroń, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1997.

Griffiths R. B., Consistent Quantum Theory, Cambridge University Press 2002. Praca jest

również dostępna w Internecie: http://quantum.phys.cmu.edu.CQT.

Haven E., Khrennikov A., Quantum Social Science, Cambridge University Press, Cam-

bridge 2013.

Heisenberg W., Fizyka a filozofia…, s. 31.

Heisenberg W., The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41.

Heisenberg W., Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und

Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198.

Heller M., Geneza prawdopodobieństwa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 2006,

XXXVIII, s. 61-75.

Heller M., Mechanika kwantowa dla filozofów, OBI, Kraków 1996, s. 14-15.

Hughes R. I. G. , The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Harvard Uni-

versity Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994.

James W. The Principle of Psychology, New York 1880.

Jammer M., The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book

Company, New York 1966.

224

Kolmogorov A., Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company,

New York 1933 (1956).

Krajewski W. (red.), Słownik pojęć filozoficznych, Wydawnictwo Naukowe Scholar, War-

szawa 1996.

Kuhn Th., Black-Body Theory and Quantum Discontinuity: 1894-1912, Clarendon Press,

Oxford 1978.

Lakatos I., Falsyfikacja a metodologia naukowych programów badawczych, [w:] idem,

Pisma z filozofii nauk empirycznych, tłum. W. Sady, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 1995, s. 3–169.

Landau L., Lifszyc E., Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961.

Laplace, P. S. De, Essai philosophique sur les probabilités, Paris 1814, [w:]

http://www.answers.com/topic/pierre-simon-laplace.

Lockwood M., Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound „I”, Blackwell 1989.

Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo….

Łukasik A., Racjonalność a mechanika kwantowa, „Studia Philosophiae Christianae”

2015, s.

Łukasik A., Selektywny subiektywizm sir Arthura Stanley’a Eddingtona, „Edukacja Filo-

zoficzna” 1997, vol. 23, s. 247-261.

Łukasik A., Niels Bohr i zagadnienie obiektywności poznania, „Annales Universitatis Ma-

riae Curie-Skłodowska” 1998, sectio I, vol. 23, s. 179-200.

Łukasik A., Filozofia nauki Wernera Heisenberga, [w:] P. Bylica, K. J. Kilian, R. Pio-

trowski, D. Sagan (red.), Filozofia – nauka – religia. Księga jubileuszowa dedykowana

Profesorowi Kazimierzowi Jodkowskiemu z okazji 40-lecia pracy naukowej, Oficyna

Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego, Zielona Góra 2015, s. 345-362.

Łukasik A., Umysł a mechanika kwantowa. O zastosowaniu formalizmu przestrzeni Hil-

berta do modelowania procesów poznawczych, [w:] J. Michalczenia, J. Mizińska, K.

Ossowska (red.) Poszukiwania filozoficzne. I. Nauka. Prawda, Instytut Filozofii UW-

M, Olsztyn 2014, s. 199-217.

Maudlin T., Part and Whole in Quantum Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpreting

Bodies…, .

Mortimerowa H., Prawdopodobieństwo, [w:] Filozofia a nauka. Zarys encyklopedyczny,

s. 513-519.

Muldin T., Quantum Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern

Physics, Blacwell Publishers Ltd., Oxford 2002.

Neumann J. von, Mathematical Foundations of Quantum Theory, Princeton University

Press 1932 (1955).

Nęcka E., Orzechowski J., Szymura B., Psychologia poznawcza….

Penrose R., Cienie umysłu. Poszukiwanie naukowej teorii świadomości, tłum. P. Amster-

damski, Zysk i S-ska, Poznań 2000.

225

Penrose R., Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących

Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006.

Penrose R., Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, tłum. P. Am-

sterdamski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

Planck M., Jedność fizycznego obrazu świata. Wybór pism filozoficznych, tłum. R. i S.

Kernerowie, Książka i Wiedza, Warszawa 1970, s. 84.

Planck M., Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum, „Annalen der Phy-

sik” 1901, Vol. 4, s. 553–563, [w:] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/hi-

story/historic-papers/1901_309_553-563.pdf.; tłum. polskie: M. Planck, O teorii

prawa rozkładu energii w widmie normalnym, tłum. K. Napiórkowski, [w:] S. Butryn

(red.), Max Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo IFiS

PAN, Warszawa 2003, s. 2–7.

Popper K. R., Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmielew-

ski, Znak, Warszawa 1997.

Popper K. R., Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New

Jersey 1982.

Popper K. R., Świat skłonności…

Reichenbach H., Powstanie filozofii naukowej, tłum. H. Krahelska, Książka i Wiedza, War-

szawa 1950

Röseberg U., Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z zagadnień…, s.

85.

Schiff L. I., Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

Schrödinger E., Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, „Naturwissenscha-

ften” 1935, 23, ss. 807-812, 823-829, 844-849; tłum. angielskie: The Present Situation

in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger’s „Cat Paradox” Paper, [w:] J.

A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum…, s. 152-167.

Shankar R., Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 2007.

Stapp H. P., Mind, Matter, and Quantum Mechanics, Springer, New York 1993.

Stapp H. P., The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40, 1098

(1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja kopenhaska, tłum. A. Śliwiński, „Hy-

bris” 2011, nr 15.

Stewart I., 17 równań fizyki, które zmieniły świat, tłum. J. Szajkowska, Prószyński i S-ka,

Warszawa 2013.

Susskind L., Hrabovsky G., Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zaj-

mować się fizyką, tłum. J. i A. Skalscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013.

Szpikowski S., Podstawy mechaniki kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006.

Teller P., An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1995.

226

Tversky A., Kahneman D., Extensional Versus Intuitive Reasoning: The Conjuctive Fal-

lacy in Probability Judgement, „Psychological Review” 1984, Vol. 90, No 4, ss. 293–

315.

Tversky A., Kahneman D., Judgment Under uncertainty: Heuristic and biases, „Science”

1974, Vol.185, p. 1124–1131.

Verdal V., Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31.

Wang Z., Busemeyer J. R. Atmanspracher, H. Pothos, E. M., The Potential of Using Quan-

tum Theory to Build Models of Cognition, „Topics in Cognitive Sciences” 2013, Vol.

5, No 4, p. 672-688.

Wang Z., Busemeyer J. R., A Quantum Question Order Model Supported by Empirical

Test an A Priori and Precise Prediction, „Topics in Cognitive Sciences” 2013, Vol. 5,

No 4, ss. 689–710.

Wang Z., Busemeyer J. R., Atmanspacher H., Potos E. M., The Potential Using Quantum

Theory…, .s 685-686

Wheeler J. A., Żurek W. (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1983.

Wheeler J. A., Żurek W. (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1983.

Wichmann E. H., Fizyka kwantowa, tłum. W. Gorzkowski, A. Szymacha, Państwowe Wy-

dawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.

Wigner E. P., Remarks on the Mind-Body Question, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.),

Quamtum…, s. 168-181.

Wilce A., Quantum Logic and Probability Theory, „The Stanford Encyclopedia of Philo-

sophy” (Fall 2012 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/ar-

chives/fall2012/entries/qt-quantlog/>.

Zeilinger A., Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bieniok, A. L. Ło-

kas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013.

Zetie K. P., Adams S. F., Tocknell R. M., How does a Mach–Zehnder interferometer

work?, Phys. Educ. 35(1) January 2000, s. 46-48.

Żurek W., Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics Today”

1991, Vol. 44, p. 36-44

Żurek W., Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited, [w:]

http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf.

Żurkowski M., „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat

Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39.

Prigogine I., Stangers I., Z chaosu ku porządkowi. Nowy dialog człowieka z przyrodą,

tłum. K. Lipszyc, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1990.

227

Stewart I., Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, tłum. M. Temczyk, W.

Komar, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.

Gleick J., Chaos. Narodziny nowej nauki, tłum. P. Jaśkowski, Zysk i S-ka Wydawnic-

two, Poznań 1996.

Tempczyk M., Teoria chaosu a filozofia, Wydawnictwo CiS, Warszawa 1998.

Tempczyk M., Świat harmonii i chaosu, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa

1995.

Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicz-

nych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Ko-

ściuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filo-

zofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

Łukasik A., Fizyka i zagadnienie granic poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań

nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998, s. 223-235.

Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicz-

nych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Ko-

ściuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filo-

zofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

Łukasik A., Fizyka i zagadnienie granic poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań

nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998, s. 223-235.

Eilstein H., Uwagi o stosunku scjentyzmu do optymizmu poznawczego, „Filozofia Na-

uki” 2007, nr 4 (60).

Eilstein H., Uwagi o sporze realizmu naukowego z instrumentalizmem, [w:] E. Kału-

szyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wydawnictwo IFiS PAN,

Warszawa 1998.

Eilstein H., Uwagi o granicach potencji poznawczej podmiotu naturalnego, [w:] E.

Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wyd. IFiS PAN,

Warszawa 1998.

Krajewski W., Prawa nauki,

Bub J., Indeterminacy and Entanglement: The Challenge of Quantum Mechanics, „The

British Journal for the Philosophy of Science” 2000, Vol. 51(Special Supplement), p. 597-

615.

Susskind L., Friedman A., Quantum Mechanics. The Theoretical Minimum, Penguin

Random House UK 2015.

Al.-Kalili J., Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy,

Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

Gribbin J., Kubity i kot Schrodingera. Od maszyny Turinga do komputerów kwanto-

wych, tłum. M. Krośniak, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

W. F. Asmus, Demokryt…,

228

Kahneman D., Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym, tłum. P. Szymczask,

Media Rodzina 2012.

Penrose R., Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński

i S-ka, Warszawa 1997.

Heller M., Życiński J., Wszechświat – maszyna czy myśl? Filozofia mechanicyzmu:

powstanie – rozwój – upadek, Polskie Wydawnictwo Teologiczne Kraków 1988.

Gell-Mann M., A Schematic Model of Baryons and Mesons, „Physics Letters” 1964,

Vol. 8, nr 3, s. 214–215.

229

Indeks

230