Rozdział piąty

Strzałka czasu: termodynamika

Moim zdaniem, nasz obecny obraz rzeczywistości fizycznej, a w szczególności natury czasu, dojrzał do poważnej rewolucji, zapewne jeszcze głębszej, niż rewolucja spowodowana teoria względności i mechanika, kwantowa.

Roger Pcmose Nowy umyit cesarzu

Strzałka czasu staje się wyraźniejsza, w miarę jak opuszczamy mikroświat mechaniki kwantowej i wracamy do makroświata znanego z codziennego doświadczenia. W tym świecie rządzi termodynamika — teoria o ogromnym zakresie ważności, która ujmuje upływ czasu w takich samych obrazach jak te. które prześladują poetów i pisarzy. Robert Graves pisał kiedyś wymownie 0 „liczeniu uderzeń, powolnych uderzeń serca, wykrwawianiu się czasu na śmierć w powolnych uderzeniach serca" '. Termodynamika ma podobny efekt. Unaocznia ona rzeczywistość przemijania w nieodwracalnych procesach, które nadają ludzkiemu życiu jego sens i smak, od starzenia się do wysychania łez. Oczywiście nic znaczy to. że wszystkie jej zastosowania mają tak bogate znaczenie symboliczne. Termodynamika wyjaśnia również, jak działają silniki parowe i dlaczego stygnie kawa.

Termodynamika wiąże czas z koncepcjami organizacji i przypadkowości. Upływ czasu jest wyraźnie widoczny, ponieważ każdy układ pozostawiony sam sobie nieuchronnie staje się mniej zorganizowany i bardziej przypadkowy. Gdy dodamy mleka do kawy. cząsteczki mleka wymieszają się z cząsteczkami kawy. Po pewnym czasie rozkład cząsteczek mleka i kawy jest całkowicie jednorodny, dzięki czemu napój nabiera charakterystycznej barwy. Gdy mleko 1 kawa są już dobrze wymieszane, nic następują dalsze zmiany koloru. Gdy biała kawa osiągnęła stan ostateczny, molekularna przypadkowość — lub ściślej mówiąc, entropia — ma wartość maksymalną. Mamy wtedy stan równo­wagi: cząsteczki mleka i kawy są rozmieszczone jednorodnie i mieszanie traci sens. Nigdy nie obserwujemy procesu odwrotnego, w którym jednorodnie brązowy płyn spontanicznie rozdziela się na białe mleko i czarną kawę. Aby to zobaczyć, musielibyśmy wybrać się w przeszłość.

Strzałkę czasu expliciie zawiera tak zwana d r u g a z a s a d a te rmo­d y n a m i k i , która stwierdza, że wszystkie procesy fizyczne są nieodwracalne.

144

ponieważ część energii zawsze ulega dysypacji w postaci ciepła. Pisarz C.P. Snow napisał kiedyś, że każdy wykształcony człowiek powinien znać tę zasadę. Zdarzyło mu się spotkać bardzo wykształconych ludzi, którzy „z wielkim zapałem wyrażali zdumienie z powodu braków w oczytaniu uczonych. Raz czy dwa dałem się sprowokować i spytałem zgromadzonych, kto z nich potrafi opisać drugą zasadę termodynamiki. Spotkałem się z odpowiedzią równie zimną, jak negatywną. A przecież moje pytanie można uznać za naukowy równoważnik pytania: Czy czytałeś jakąś sztukę Szekspira?"2

Niestety, podobnie jak krytycy literaccy kłócą się o interpretację Szeks­pirowskich dramatów, tak samo naukowcy zawzięcie debatują, jakie jest właściwie znaczenie drugiej zasady termodynamiki. Podstawowe zasady termo­dynamiki są dość dwuznaczne i pozwalają na różne interpretacje. Jest to znakomita ilustracja absurdalności popularnych wyobrażeń uczonych jako koterii identycznie myślących osobników w białych fartuchach. W rzeczywis­tości różnice opinii między uczonymi są tak ostre, że czasami prowadzą do osobistych wycieczek i gwałlowych kłótni. Amerykański filozof David Hull zwrócił niedawno uwagę, że fizycy posługują się co najmniej dwudziestoma różnymi sformułowaniami drugiej zasady termodynamiki. Pozory konsensusu, który robi takie wrażenie na ludziach spoza nauki — pisze Hull — wynikają w głównej mierze z przekonania każdego uczonego, iż to on ma rację 3. I podobnie jak cała termodynamika, pytanie o naturę czasu często tylko podgrzewa atmosferę, a nic rzuca światło na interesujące problemy.

Niektóre z tych konfliktów staną się zrozumiałe, gdy omówimy różne podejścia do termodynamiki. Jedna wersja, tak zwana termodynamika równo­wagowa, jest do lego stopnia szczególna, że wykluczone są z niej wszelkie zmiany, stanowiące sedno teorii — a jednak większość uczonych zapoznaje się tylko z tą częścią termodynamiki. Wykażemy poniżej, że termodynamika równowagowa w istocie prowadzi donikąd. Niektórzy błędnie uważają, że termodynamika wyklucza powstanie porządku w naturalny sposób i skazuje wszechświat na nieustanne pogrążanie się w chaosie. Jak zobaczymy, to przekonanie również jest błędne: w rzeczywistości termodynamika stanowi klucz do zrozumienia zorganizowanego życia. W tej chwili jednak największe znaczenie ma dla nas pytanie, jak pogodzić termodynamikę z mikroskopowymi teoriami cząsteczkowymi, które — jak się przekonaliśmy — są symetryczne w czasie. Pozorną sprzeczność między dwiema teoriami naukowymi nazywa się często paradoksem nieodwracalności (niektórzy wolą mówić o paradoksie odwracalności). Trudność ta sprawiła, że zdaniem niektórych uczonych strzałka czasu istnieje tylko w naszych umysłach i jest czysto subiektywna.

145

Narodziny termodynamiki

Termodynamika powstała wraz z rozwojem silników parowych w czasie rewolucji przemysłowej w Wielkiej Brytanii w początkach XIX wieku. Pierw­szy silnik parowy zbudował James Watt w 1782 roku. Watt był przedtem producentem instrumentów naukowych dla uniwerstytetu w Glasgow. W sil­nikach parowych spalany jest węgiel; generowane ciepło służy do podgrzania wody i produkcji pary. która następnie wywiera nacisk na tłok lub łopatki turbiny. Jednak w celu obliczenia maksymalnej sprawności takiego silnika konieczne było pełne zrozumienie jego teorii. Tę dziedzinę nauki przyjęto nazywać termodynamiką, od greckiego wyrażenia oznaczającego ruch ciepła.

Przepływ energii podczas pracy rzeczywistego silnika parowego, wyrażo­ny przez ruch wszystkich atomów i molekuł, jest oszałamiająco skompliko­wany. Jednak termodynamika nie zajmuje się poszczególnymi atomami i mo­lekułami (proszę pamiętać, że w tych czasach teoria atomowa miała niewielu zwolenników). Zamiast tego termodynamika interesuje się zmianami wielko­ści makroskopowych, takich jak objętość, ciśnienie i temperatura. Szczegól­nie wybitną rolę w stworzeniu termodynamiki odegrał francuski inżynier. Sadi Carnot. Był on synem jednego /. przywódców I Republiki; zmarł pod­czas epidemii cholery w 1832 roku, w wieku 36 lat. Dziesięć lat wcześniej Carnot przedstawił niezwykle przenikliwą analizę termodynamiczną działania wyidealizowanego silnika cieplnego. Idealizacja polegała na zbadaniu działa­nia silnika odwracalnego, w którym nie następują nieodwracalne straty cie­pła. Carnot wykazał, że w takim przypadku sprawność silnika zależy od przepływu ciepła z ciała gorącego do zimnego. W przypadku silnika paro­wego oznacza to. że sprawność zależy tylko od różnicy temperatury kotła, gdzie produkowana jest para. i temperatury chłodnicy, gdzie ulega konden­sacji. Jednak nawet taki wyidealizowany silnik cieplny nie może osiągnąć stuprocentowej sprawności.

Z praktycznego punktu widzenia silnik parowy pozwala przekształcić ciepło w pracę, przy czym praca oznacza tylko użyteczną, uporządkowaną postać energii. Równoważność ciepła i pracy wykazał James Prescott Joule, syn piwowara z Manchesteru. Rozważył on ten problem z odwrotnej strony, niż zwykli czynić inżynierowie zajmujący się silnikami parowymi: zastosował pracę, żeby uzyskać ciepło (mieszając wodę łopatkami lub ściskając powietrze w zbiorniku). Doświadczenia wykazały, że dana ilość pracy dowolnego rodzaju wytwarza zawsze taką samą ilość ciepła. W uznaniu dla lego odkrycia nazwis­kiem Joule'a nazwano najbardziej podstawową jednostkę energii (jeden dżul

146

to w przybliżeniu energia potrzebna na podniesienie jabłka na wysokość jednego metra, na powierzchni Ziemi).

Równoważność pracy i ciepła jako różnych postaci energii jest podstawą p i e r w s z e j z a s a d y t e r m o d y n a m i k i , która stwierdza, że we wszyst­kich procesach fizycznych jest zachowana energia, choć może ona ulec przekształceniu z.jednej postaci w inną. Inaczej mówiąc, jeśli sporządzimy bilans energii dla dowolnego zdarzenia fizycznego, to „przed" i „po" otrzymamy taki sam wynik. Jedyna różnica polega na tym, że część energii początkowej zostaje przekształcona w ciepło. Jest tak dlatego, że część energii ulega ..zużyciu" — na przykład na pokonanie tarcia lub oporu powietrza. Energia ta w istocie nie znika, lecz ulega rozproszeniu, czyli d y s y p a c j i w postaci traconego ciepła.

Dysypacja energii w postaci ciepła zachodzi we wszystkich procesach przemiany energii, od sprintera spalającego energię chemiczną podczas biegu, do żarówki, w której następuje przemiana energii elektrycznej na światło (energia elektromagnetyczna). Zrozumienie głębokich konsekwencji dysypacji zawdzię­czamy Rudolfowi Clausiusowi. urodzonemu w 1812 roku jako syn pastora i nauczyciela. Clausius Zwrócił uwagę, że wprawdzie praca i ciepło są równoważ­ne w sensie, o jakim mówił Joule. ale dysypacja stwarza między nimi podstawową różnicę. W zasadzie praca w dowolnej postaci może być w pełni przekształcona w ciepło. Dysypacja oznacza natomiast, że odwrotny proces nie jest możliwy: podczas przemiany ciepła w pracę część ulega rozproszeniu. Na przykład nic jest możliwe wykorzystanie całego ciepła generowanego w kolie do poruszania tłoka silnika. Część energii zostaje zmarnowana na rozgrzanie maszyny, rąk mechanika i otaczającego silnik powietrza. Część pozostaje w kropelkach wody po wyłączeniu silnika. Clausius zdał sobie sprawę, początkowo jeszcze niezbyt jasno, że to oznacza, iż proces utraty ciepła jest nieodwracalny. Rozproszonego ciepła nie można odzyskać i wykorzystać do wykonania pracy. Jego przełomowa praca z 1850 roku sprawia, że w pełni zasługuje na miano naukowego ojca strzałki czasu, ale w tym czasie jego koncepcje nie były jeszcze jasno sformułowane. Urodzony w Belfaście matematyk William Thomson (późniejszy Lord Kelvin) nadał im uniwersalną i precyzyjną postać i lak powstała druga zasada termodyna­miki. Według niej w przyrodzie występuje nieubłagane dążenie do degradacji energii mechanicznej w ciepło, ale nic vice icrsa.

Z drugiej zasady termodynamiki wynika, że wszystkie przemiany energii są nieodwracalne. Wykonując korbą jeden pełny obrót, można ustawić mechanizm silnika w takim położeniu, że żaden mechanik nie zdoła go odróżnić od położenia początkowego. Jednak przemiana energii w ciepło, która temu towarzyszyła, spowoduje subtelne nieodwracalne zmiany. Uporządkowany,

147

mechaniczny ruch korby (praca) wymaga przezwyciężenia larcia. To powoduje przekształcenie części energii mechanicznej w ciepło, które możemy uważać za przypadkowe ruchy molekuł w częściach silnika. Energia tych ruchów jest następnie unoszona przez molekuły powietrza. Ostatecznym wynikiem jest nieodwracalna dysypacja energii w postaci ciepła.

Przede wszystkim należy pamiętać, że — jak stwierdził Carnot — ciepło zawsze przepływa od ciała cieplejszego do zimniejszego. To prowadzi do alternatywnego sformułowania drugiej zasady, zgodnie z którym jest rzeczą niemożliwą wykonać pracę kosztem ciepła pobranego z zimniejszego ciała i oddanego cieplejszemu.

W 1865 roku Clausius wprowadził pojęcie e n t r o p i i , co pozwoliło mu odróżnić procesy odwracalne i nieodwracalne oraz precyzyjniej sformułować drugą zasadę termodynamiki. Entropia to wielkość termodynamiczna, która stale wzrasta wskutek dysypacji i osiąga wartość maksymalną, gdy układ nic może już wykonać żadnej pracy. Zgodnie z tym sformułowaniem drugiej zasady, w procesach odwracalnych entropia się nie zmienia, a w procesach nieodwracalnych zawsze wzrasta. Nazwa wybrana przez Clausiusa wywodzi się od greckich stów en (w) i tropi (zmiana, zwrot ku) i zgodnie z jego intencjami miała oznaczać „zdolność do zmian". Jest to bez wątpienia najważ­niejsze pojęcie termodynamiki i dostarcza nam strzałki czasu: wzrost entropii zgadza się z kierunkiem czasu. Zakres stosowalności pojęcia entropii zrobił wielkie wrażenie na Eddingtonie, który tak pisał: „Pragnąłbym bardzo, abyście sobie uświadomili zdumiewający zasięg pojęcia entropji w badaniu nauko­wym" 4 . Porównywał je również do piękna i melodii, ponieważ te trzy pojęcia są związane z uporządkowaniem i organizacją5.

Aby lepiej zrozumieć pojęcie entropii, najlepiej odrzucić wszystko, co przesłania jego sens. Uczeni posługują się w tym celu wyidealizowanymi przykładami, w których rozważany proces definiuje układ termodynamiczny, a cały świat stanowi jego otoczenie. Fizycy często analizują szczególny przypadek u k ł a d u i z o l o w a n e g o , to znaczy takiego, który nie ma żad­nych kontaktów z otoczeniem (rys. 13a); może to być komora ze sztywnymi ścianami, które nie przepuszczają ani materii, ani energii w żadnym kierunku. Przykładem jest idealny termos z kawą, który nie pozwala ani na utratę ciepła, ani na ucieczkę pary wodnej. Choć w rzeczywistości żaden układ nie jest doskonale odizolowany od otoczenia (z wyjątkiem zapewne wszechświata jako całości), taka idealizacja jest bardzo przydatna. W termodynamice często rozważa się jeszcze dwa inne rodzaje układów: u k ł a d y z a m k n i ę t e (rys. 13b), które mogą wymieniać energię z otoczeniem, oraz u k ł a d y o t w a r t e

148

), wymieniające z otoczeniem energię i materię. Zgodnie z tą ter-żywe organizmy, takie jak ludzie, to układy otwarte, ponieważ

ają z otoczeniem zarówno energię, jak i materię, na przykład w postaci •kiełbasy, oddechu i odchodów.

— otoczenie

układ

(a) UKŁAD ODIZOLOWANY

idealnie izolująca ściana

(b) UKŁAD ZAMKNIĘTY

, Trzy rodzaje układów występujących w termodynamice: odizolowane (a), zamknięte (b) (c). Dwa wykresy przedstawiają wzrastająca entropię (d) i malejącą energię swobodną (e).

(Zaczerpnięto z: l'.V. Coveney. „La Recherche". 20, 190, 1989)

149

Zgodnie * druga zasadą termodynamiki każdemu procesowi zachodzącemu w układzie izolowanym towarzyszy wzrost entropii tego układu. Entropia definiuje zatem strzałkę czasu dla wszystkich takich układów. Ewolucja w cza­sie układu izolowanego kończy się. gdy entropia osiągnie wartość maksymalną, czyli gdy układ jest w stanie najbardziej przypadkowym. Taki układ wyczerpał wszystkie możliwości zmiany— czyli osiągnął stan r ó w n o w a g i termo-d y n a m i e z n c j .

Clausius zwrócił uwagę, że wszechświat jest układem idealnie odizolowa­nym (cóż istnieje poza wszechświatem?) i w 1865 roku sformułował dwie zasady termodynamiki w postaci kosmologicznej6. Pierwsza zasada stwierdza, że całkowita energia wszechświata jest stała, a druga, żc całkowita entropia wszechświata nieubłaganie zmierza do wartości maksymalnej. Niemiecki fizyk Hermann von Hclmholtz pierwszy wyprowadził z tej zasady wniosek, że ewolucja całego wszechświata jest w istocie procesem stałej degeneracji, aż wreszcie wszystkie zmiany ustają, gdy ws/echświat osiągu stan równowagi termodynamicznej, czyli maksymalnej entropii i przypadkowości. W takim wszechświecie niemożliwe jest istnienie organizmów żywych.

To dość przerażający wniosek jak na teorię, która powstała przy okazji badania własności obłoków pary. Jest on również doskonałą ilustracją uwagi Marka Twaina: ..Wpierw zapoznajcie się z faktami, a potem możecie je do woli naginać" 7. Rozumowanie Hclmhollza jest błędne, ponieważ nie uwzględnia grawitacji (i czarnych dziur). Gdy uwzględnimy ciążenie, okazuje się, że rozkład materii we wszechświecie staje się coraz bardziej niejednorodny, wbrew przewidywaniom teorii śmierci cieplnej wszechświata". Niezależnie od tego. taka długoterminowa prognoza nie ma znaczenia dla zjawisk zachodzą­cych w krótkiej i średniej skali czasu. Wiemy z obserwacji astronomicznych (rozdziały trzeci i czwarty), że wszechświat jako całość się rozszerza, a zatem nie może być nawet w przybliżeniu w stanie równowagi termodynamicznej. Poniżej przekonamy się. że gdy układ znajduje się daleko od równowagi, być może dzięki obecności lokalnego gorącego punktu, takiego jak gwiazda na niebie, to możliwe są interesujące zjawiska, na przykład powstanie życia.

W len sposób doszliśmy do pozornej sprzeczności między termodynamiką i darwinowską teorią ewolucji gatunków. W swej teorii doboru naturalnego Darwin wykazał, w jaki sposób przyroda może selekcjonować rzadkie zdarze­nia (mutacje), co prowadzi do powstania coraz bardziej złożonych organizmów. Zgodnie z jego teorią, siłą sprawczą ewolucji są przypadkowe zdarzenia. Jednak Ludwig Boltzmann (który często pojawiać się będzie na stronicach tego rozdziału) wykazał, żc w chmurze molekuł tworzących obłok gazu wszystkie

150

kanizowane konfiguracje szybko znikają wskutek efektów statystycznych, dnie z drugą zasadą termodynamiki Clausiusa. Jak ktoś powiedział: „Nicmoż-e. aby i Clausius. i Darwin mieli rację" 9. W rozdziałach szóstym i siódmym ^cimy do zagadnienia pogodzenia idei Darwina z termodynamiką, tu jedynie Jęlibyśmy wspomnieć, że Boltzmann darzył nieco starszego od siebie Darwina Ucim szacunkiem. Pod koniec XIX wieku Boltzmann pisał: .Jeśli pytasz mnie. Ł— zgodnie z moim najgłębszym przekonaniem — wiek ten będzie nazwany kiem żelaza, pary czy elektryczności, odpowiadam, bez najmniejszych pliwości, że będzie zwany wiekiem mechanicznej teorii przyrody, wiekiem jvina" "'. To samo powiedział w wykładzie o drugiej zasadzie termodynamiki {łoszonym w I88f> roku na posiedzeniu Austriackiej Akademii Nauk". Sdyby uczeni stwierdzili, że teorii Darwina i termodynamiki nie da się aden sposób pogodzić, większość fizyków z pewnością uznałaby, że wina [ po sironic teorii ewolucji, takim szacunkiem cieszy się druga zasada. Jak jjedzial Arthur Eddington: ..Prawo wzrostu cntropji — drugie prawo termo-Bmiki — zajmuje, jak sądzę, naczelne miejsce wśród praw przyrody. Jeżeli j Ci wytknie, że Twoja ulubiona leorja wszechświata jest sprzeczna z rów-iami Maxwella. tern gorzej dla równań Maxwella. Jeżeli okaże się, że ]czy jej doświadczenie — ach, ci eksperymentatorzy czasem okropnie pą. Ale jeżeli Twoja teorja przeczy drugiemu prawu termodynamiki, to nie Jla Ciebie nadziei: nie pozostaje Ci nic prócz ostatecznego upokorzenia"12.

Te miody nurnika równowagowa

dy ktoś interesuje się silnikami cieplnymi, to ciepło tracone wskutek pacji, zgodnie z drugą zasadą, jesi oczywiście problemem. Z tego powodu srwszym okresie rozwoju termodynamiki fizycy szukali sposobów pokona-ieodwracalności. W idealnym świecie Gedankene.rperimenten wydaje się tezą łatwą: wystarczy sprawić, aby silnik parowy pracował nieskończenie Oli. dzięki czemu w każdej chwili układ byłby w równowadze termodyna-aiej z oloezeniem. W takim „kwazistatycznym" stanie eniropia przez cały miałaby wartość maksymalną dla danych warunków, co zapobiegłoby

Jwracalnej utracie ciepła. Mamy wtedy idealny, odwracalny silnik cicpl-, Jednak nawet w takim przypadku, jak już wspomnieliśmy, sprawność ta nie mogłaby wynosić 100% — byłoby to sprzeczne z drugą zasadą, rwiście taki silnik ma pewną wadę: jeśli nawet dałoby się go zbudować, to

lie z jego pomocą najprostszej operacji trwałoby w nieskończoność.

151

Te problemy sygnalizują, że teoria równowagowa ma poważne W istocie równowaga oznacza, że rozważając procesy fizyczne, pomij; istotną rolę. jaką odgrywa czas. Wszystkie procesy zachodzą w skończon czasie, a zatem nic mogą polegać na przejściu przez wiele stanów równowi Mimo to wielu uczonych w dalszym ciągu usiłuje tak analizować termodynamiczne. Skupiając uwagę na równowadze, unikają oni truc jakie występują w teorii procesów nieodwracalnych, mimo że bez procesów niemożliwe byłoby osiągnięcie stanu równowagi. W istocie, przez Clausiusa definicja entropii odnosi się tylko do stanu równowagi i nie jest jasne, czy można w ogólny sposób zdefiniować entropię dla ukłu nic będących w równowadze l 4 .

Amerykański fizyk. Josiah Willard Gibbs. jest słusznie uważany za jedr z twórców nowoczesnej termodynamiki równowagowej. Jego zasługą ' rozszerzenie termodynamiki na zagadnienia wykraczające poza związki mię ciepłem i pracą i dotyczące wszelkich przemian energii. Jego trzy najwa* s/e prace zostały opublikowane w latach 1873-1878 (Gibbs urodził się w |( roku). Ukazały się w piśmie akademii stanu Connecticut, choć jak póź" przyznali członkowie komitetu redakcyjnego, nikt z nich nie rozumiał, o I Gibbsowi chodzi. Jeden z nich powiedział: .Znaliśmy Gibbsa i pr/.yję , : ' jego prace na wiarę" , s . Gibbs, a także wielu jego naśladowców, sta unikał wszelkich wzmianek na temat zjawisk nierównowagowych. Jego mają wielkie znaczenie dla zrozumienia układów w równowadze, ale prz) mina to nieco ograniczenie zainteresowań medycyny do zmarłych.

Zgodnie ze wszystkimi relacjami Gibbs był człowiekiem bardzo skromnyr nawet inni profesorowie mylili go ze znanym wówczas amerykańskim che kiem, Wolcottcm Gibbscm ' 6 . Minęło dużo czasu, nim jego pomysły zdób uznanie szerszego środowiska uczonych. Obecnie są dla nas interesuj głównie dlatego, że pozwalają zrozumieć, kiedy dobiega kresu ewoln układów termodynamicznych. Gdy układ izolowany (por. rys. 13a). na przyk gaz w dobrze izolowanym zbiorniku, znajduje się w stanie najbardziej przyf kowym. to tym samym osiągnął stan równowagi termodynamicznej. W sytuacji jedna wielkość, maksymalna możliwa wartość entropii wystarcza, opisać makroskopowy stan równowagi i końcowy stan. do jakiego doprov dziła ewolucja. Natomiast badając zachowanie układów zamkniętych (rys. I! i otwartych (rys. 13c), które oddziałują z otoczeniem, i poszukując stl maksymalnej entropii, musimy wziąć pod uwagę również, entropię otoczeń Na przykład gdy śledzimy zachowanie stygnącego kubka kawy na kuchci* musimy wziąć pod uwagę niewielki wzrost temperatury kuchenki wskr"

152

wu ciepła. Jeśli interesują nas wyłącznie własności kawy w równowadze jmamicznej, to jest to tylko utrapienie — dla uproszczenia analizy

libyśmy umknąć lozważań na temat kuchenki. wyeliminować kuchenkę, możemy skupić uwagę na nowej wielkości,

1 energią swobodną, która przyjmuje wartość minimalną w stanie równo-jEnergia swobodna układu jest równa maksimum użytecznej pracy, jaką on wykonać. Choć energia swobodna stanowi całkowitą entropię w pew-

pr zebrani u. to jej wartość można uważać za charakterystyczną cechę samej f a lym samym nie (r/cha brać pod uwagę, co dzieje się w całej kuchni,

swobodna odgrywa zasadniczą rolę w fizyce i chemii układów w rów-termodynamicznej, na przykład magnesów, lodówek i mieszanin

mych.

pia i energia swobodna należą do tak zwanych potencjałów termo-łcznych. Oznacza to. żc ich wartości ekstremalne — minimum energii Jnej i maksimum entropii — określają stan równowagi. Przypomina lo ruch wahadła zegara. W chwili początkowej wahadło ma grawitacyjną

potencjalną, która podczas ruchu ulega przekształceniu w energię ną. Opór powietrza powoduje stopniową dysypację energii wahadła,

lenia wahadła maleją i po pewnym czasie wahadło zatrzymuje się ji pionowej. Ta pozycja odpowiada minimum energii potencjalnej. To

można powiedzieć o reakcjach chemicznych w zamkniętym naczyniu. Po czasie mieszanina osiąga stan równowagi, określony przez minimum

swobodnej, i dalsze zmiany chemiczne są już niemożliwe.

B

Mechaniczna analogia potencjałów lermodynamicznych (entropii i energii swobodnej). A i C to lokalne minima. Punki B to położenie nierównowagi - najmniejsze zaburzenie

odujc, ze kulka slacza się do A lub C, tracąc przy lym energię wskutek dysypacji

153

Obecnie w modzie jesi mówić o ekstremach potencjałów termodynanni / nych, że stanowią a t r a k t o r y , do których dąży układ w czasie ewolucji Podobnie jak ostateczne miejsce spoczynku kulki staczającej się po zbodjH (rys. 14) jest takie samo, niezależnie od tego, / którego punktu zaczyna t ) f l staczać, tak samo stan równowagi reakcji chemicznej zależy od położenifl maksimum entropii lub minimum energii swobodnej, nie zaś od sianu pocąl kowego.

Atraktory równowagowe oznaczają punkt końcowy ewolucji, głoszą: , , ^ H kończą się wszystkie zmiany!" Podobnie jak śmierć sprawi, żc wszyscy znajdziemy się w grobach, niezależnie od zmiennych kolei życia, lak sanjfl atraktory nieubłaganie przyciągają układy do stanu równowagi. Jak się p f l f l konamy poniżej, istnieje wiele rodzajów atraktorów. Atraktor równowago\ ł reakcji chemicznej można porównać z lejkiem: niezależnie od icgo. w jakim punkcie lejka położymy kulkę, zawsze spada na dno. Jednak nie wszysiklij układy mają tak proste atraktory, składające się z jednego punktu. M ó w i ł metaforycznie, atraktor (nierównowagowy) może uwięzić kulkę i zmusić ją. M poruszała się po okręgu, takim jak rondo sombrera lub w bardziej rozlegly^J obszarze wielowymiarowej przestrzeni, takiej jak toroidalna powicrzchflB obwarzanka. Możliwe są także jeszcze dziwniejsze atraktory.

Naruszenie równowagi

Termodynamika równowagowa stanowi cenne narzędzie do badania własno ści układów makroskopowych, które nic zależą od czasu — mieszanin, w k l M rych ustały reakcje, popiołów i zimnej kawy. Pojęcie alraklora dostarcza ..celu"1

dla strzałki czasu. Jednak stan równowagi to kres ewolucji — w pewnym senslii stanowi śmierć układu l s . Termodynamika równowagowa interesuje się stanem końcowym ewolucji, a zatem również końcem czasu, natomicst nie opisuje] procesów, które prowadzą do tego stanu. Jak wyraził lo Peter LandsbedB „[...] skoro w termodynamice nie występuje współrzędna czasowa, tonie się w nirf nie z d a r z a " " . Rzeczywisty świat mało przypomina ponury stan równowagi „Przecież oddychamy, zmieniamy się' Tracimy włosy, zęby! Świeżość! IdcM ły!" 2 0 Żywe organizmy mogą osiągnąć stan równowagi dopiero po śmierci, g a ich ciała zmieniają się w proch. Na życie składają się liczne procesy, od podziału komórek i bicia serca do trawienia i myślenia, które są możliwe wyłącznie dlatego, że organizmy nie znajdują się w stanie równowagi. Możni

154

i prowokacyjnie stwierdzić, że termodynamika równowagowa jest równie Kująca jak przewidywania wróżki, która zapewnia cię, że kiedyś umrzesz, pmija wszystkie szczegóły i nic nic mówi o przystojnych osobach, które Iteni uda c i się poznać. Jak na teorię opartą na drugiej zasadzie termo-miki, rządzącej wszystkimi zmianami, laki wniosek wydaje się rozczaro-ly. Żeby dowiedzieć się czegoś więcej o czasie, musimy zbadać, co ma Wiedzenia termodynamika na temat nieodwracalnych procesów nicrów-jgowych. jrmodynamika nierównowagowa dzieli się w naturalny sposób na dwie pteorię liniową, która opisuje zachowanie układów w pobliżu równowagi, teorię nieliniową, dotyczącą układów dalekich od równowagi. O za-

J f c u liniowym mówimy w matematyce, gdy dany proces można przed-ić;na wykresie za pomocą prostej linii, przedstawiającej prostą propor-

l^Hlność między dwiema wielkościami. Na działanie układu liniowego su-i się działania jego części, natomiast układy nieliniowe są czymś więcej urną swych elementów. Różnicę można zrozumieć, porównując suszarkę losów z reaktorem w Czarnobylu, gdzie wydarzyła się największa —jak

•yeliczas — katastrofa nuklearna. Można oczekiwać, że dwie suszarki dają H ^ r a z y więcej ciepła niż jedna, trzy — trzy razy więcej i tak dalej. Mamy ^ B i o w ą zależność między ciepłem i liczbą suszarek. Natomiast w przypadku • M o r a przegrzanie jego jądra spowodowało wzrost lic/by reakcji jądrowych, H z kolei zwiększyło ilość generowanego ciepła. To spowodowało wzrost ^Heratury reaktora zupełnie nieproporcjonalny do początkowego zaburzenia. H [ e zachowanie nazywamy dodatnim sprzężeniem zwrotnym. Niedbałość ^ B g i w powiązaniu z. błędnym projektem reaktora doprowadziły do eks-^H>- 26 kwietnia 1986 roku reaktor uległ zniszczeniu, a wybuch miał Hutowe konsekwencje.

Porządek z chaosu

Układy makroskopowe w naturalny sposób dążą drogą wskazaną przez fcaiłkę czasu do stanu równowagi. Cóż jednak się stanic, gdy zatrzymamy •©łucję układu, nim osiągnie on stan końcowy? • Na rysunku 15 widzimy aparat, zawierający mieszaninę dwóch gazów — Hk>ru i siarkowodoru. Przykład ten doskonale ilustruje, jak, utrzymując układ w stanie nierównowagi, możemy okazać fałsz naiwnego przekonania, iż „en-

155

fi • • o

• • •

o O o •

o o o . ° • o O o •

o o o 0 •

Rys. 15. Aparat do termodyfuzji. Jeśli utrzymujemy stalą różnicę temperatur między zbiornikami, w jednym z nich znajduje się więcej molekuł. Ciradient gęstości jest proporcjonalny do rózm

temperatur (tj -/,). (Zaczerpnięto z: I. IMgogine. I. Slengers. Enlre U temps el lelernHe. s 50)

iropia oznacza nieuporządkowanie". Ktoś mógłby przypuszczać, ż podgrzewa jąc mieszaninę gazu, zwiększymy przypadkowość jego konfiguracji. Im wiek sza temperatura, tym szybciej molekuły gazu poruszają się wewnątrz naczynia, Wyobraźmy sobie teraz, że utrzymujemy stałą, lecz niewielką różnicę tem­peratur między oboma końcami naczynia. Doświadczenie wykazuje, *e w takiej sytuacji wzdłuż naczynia następuje stopniowa separacja gazów. W naczyni cieplejszym gromadzi się więcej lekkich cząsteczek wodoru, a w chłodniejszymi więcej cięższych cząsteczek siarkowodoru. Zjawisko to nazywamy lermodyfu-'1 zją; podobne profile gęstości różnych substancji występują w zbiornikach ropy. I

Na pierwszy rzut oka to zjawisko wydaje się sprzeczne z intuicją. Pod-fl grzewając zawartość naczynia, zwiększamy entropię, a mimo to otrzymujemy!! bardziej uporządkowaną konfigurację molekuł gazu, czego miarą jest gradient j gęstości. Wbrew popularnej interpretacji drugiej zasady termodynamiki, łączą- I cej w naiwny sposób entropię z nieuporządkowanicm. lermodyfuzja pokazuje, I jak z przypadkowej konfiguracji spontanicznie wyłania się strukturalna or-JJ ganizacja układu. W tym prostym przykładzie organizacja polega na stop-i niowym wzroście gęstości wodoru i jednoczesnym spadku gęstości siarko- I wodoru, w miarę jak przesuwamy się wzdłuż gradientu temperatury. Rzcctn jasna, szybkie ruchy cząsteczek gazu są wciąż przypadkowe, ale la przypad-j kowość jest niewątpliwie mniejsza niż w stanie równowagi. Termodylu/|.i wskazuje zatem, żc nieodwracalne procesy nierównowagowe mogą doprowiB dzić do pojawienia się organizacji. Istnieje zatem związek między strzałką I czasu i procesami powstawania struktur.

156

tencjały równowagowe pozwalają przewidzieć końcowy stan układu ter-"amicznego. Dzięki nim widzimy, że układ zachowuje się niczym toczą-po drodze piłka, która zawsze kończy w rynsztoku, niezależnie do tego,

zaczęła się toczyć. Czy to samo można powiedzieć o procesach nicrów-agowych. gdy otoczenie sprawia, że układ nie może osiągnąć stanu nowagi? Na ogół lak, pod warunkiem, żc układ nie znajduje się zbyt daleko równowagi. Korzystając z naszej mechanicznej analogii, można powie-x , że piłka zawsze wyląduje w rynsztoku, jeśli nie jest od niego zbyt ko. Jeśli natomiast zaczyna toczyć się w punkcie odległym od rynsztoka, I zatrzymać się gdzieś indziej, na przykład w dziurze w jezdni. W takim

,'padku przewidzenie jej losu jest znacznie trudniejsze. Potencjał termo-iczny dla termodyfuzji można określić, jeśli różnica temperatur w obu h naczynia — to znaczy, gradient temperatury — jest dostatecznie

Gradient temperatury jest tu czynnikiem, który uniemożliwia układowi jścic do stanu równowagi. Możemy go zatem uważać za termodynamiczną

". Takie siły powodują pojawienie się strumieni ciepła i materii, podobnie kopnięcie powoduje ruch piłki. W otoczeniu punktu równowagi strumienie

i materii zachowują się w sposób bardzo prosty: gdy siła wzrasta rotnic, tak samo zwiększa się strumień. W punkcie równowagi siły

©dynamiczne znikają, a zatem ustają również strumienie. Strumienie są proporcjonalne do wywołujących je sił. Z tego powodu mówimy, że w tym jigionic obowiązuje termodynamika liniowa. • p n i o w ą termodynamikę stworzył w lalach trzydziestych Lars Onsager K a l e University; w 1963 roku otrzymał on Nagrodę Nobla w dziedzinie ł jemii 2 ' . Jego relacje symetrii wykazują, że w termodynamice obowiązuje hgancka reguła: siły powodują strumienie, a strumienie są przyczyną po-Błania sil. W przypadku termodyfuzji, strumień materii wywołań) jest przez łilę termodynamiczną — gradient temperatury. Z relacji Onsagera wynika, że jradicni gęstości generuje z kolei przepływ ciepła. Ten efekt został sprawdzony

kświadczalnie. I W 1945 roku na termodynamicznej scenie pojawiła się nowa postać — Ilya

ftigogine. 1'ngogine urodził się w Moskwie w 1917 roku, tego samego roku, •Ody wybuchła rewolucja Dziesięć lal później jego rodzina wyjechała do •Mopy Zachodniej i osiedliła M C W Brukseli. Prigogine był czeladnikiem w tak wancj brukselskiej szkole termodynamiki, stworzonej przez belgijskiego fizyko-•emika . Theophile'a de Dondera. Niemal całą karierę akademicka spędził na •Wolnym Uniwcrytecie Brukselskim, instytucji założonej przez wolnomularzy,

157

aby przeciwdziałać — ich zdaniem — opresyjncj władzy Kościoła katolicki w sprawach czysto świeckich. Ta zasada wciąż jest podstawą oficjalnej poli uniwersytetu.

W wieku dwudziestu ośmiu lal Pngogine wykazał, że w dobrze o słonym reżymie liniowym termodynamiczna dysypacja zachodzi z minim możliwą szybkością. Tempo zmiany entropii, określane wewnętrzną dukcją entropii, stale maleje. W ogólnym przypadku układ zmierza stanu stałego lub stacjonarnego, w którym dysypacja osiąga wartość nimalną W naszym przykładzie termodyfuzji całkowita entropia wp dzie wzrasta, ale tempo wewnętrznej produkcji entropii ma wartość nimalną w chwili, gdy ustala się ostateczna wartość gradientu gęs gazów.

Rozprawa doktorska Prigoginc'a. zatytułowana ..Termodynamika zja nieodwracalnych" 2-\ została opublikowana w 1947 roku. Rozprawa zawie między innymi twierdzenie o minimalnej produkcji entropii 2 4: stanowiła wstęp do badań, którym Prigoginc poświęcił całe życic. Błyskawiczny rot naukowy sprawił, że wkrótce stał się liderem szkoły brukselskiej. Wraz starszym kolegą. Paulem Glansdorffem. dążył do rozszerzenia analizy te dynamicznej, lak aby obejmowała zupełnie nowe dziedziny zjawisk.

Koncepcja minimalnej dysypacji jest bardziej użyteczna niż równowag pojęcie maksimum entropii, ponieważ w rzeczywistości żaden układ f znajduje się w prawdziwym stanic równowagi. Zawsze możliwe są jaw zmiany. Ciecze mogą się mieszać, budynki rozpadać, gorące przedmi stygnąć. Dopóki jakiś niewielki czynnik zewnętrzny nic pozwala, aby u' J

przeszedł do stanu równowagi (taki jak niewielki gradient (emperatury w p ' padku termodyfuzji). dopóty układ pozostaje w s t a n i e s t ac jona rny* zamiast przejść do stanu zupełnie przypadkowego. Większość właści domów dobrze zna stany stacjonarne. Wiatr, deszcz i inne czynniki mu sferyczne dążą do zamiany domu w kupę gruzu, czyli do stanu rów nowi Jednak domy zazwyczaj pozostają w stanic stacjonarnym przez wiele lat, j tylko tempo wykonywanych napraw jest równe szybkości, z jaką budynek ul zniszczeniu. Dom rozpadnie się dopiero wtedy, gdy właściciel przestanie o niego troszczyć (rozpad jest jednak nieuchronny, choć może się zda' w odległej przyszłości).

W termodynamice równowagowej celem strzałki czasu jest punktowy at lor, w którym enlropia osiąga maksimum, a energia swobodna mini mum. J układ jest zmuszony do trwania w stanic nierównowagi, lecz pozostaje bl punktu równowagi, gdyż działające nań siły termodynamiczne są słabe.

» niewiele się zmienia. Układ przechodzi do stanu stacjonarnego, m takie wielkości jak gradient gęstości już się nic zmieniają. Analizując anie układów w otoczeniu stanu równowagi. Pngogine wykazał, że

J zą one do stanu, w którym tempo produkcji entropii ma minimum. :e Prigogine spróbował rozszerzyć analizę tak. aby obejmowała znacz-ziej skomplikowane sytuacje, gdy mamy nieliniowe układy w stanie od równowagi. Taka teoria pozwoliłaby zrozumieć ewolucję różnych

"w. Jednak zachowanie takich układów nie przypomina już zachowania w równowadze. Nowe problemy są znacznie trudniejsze do zro-

, ale również bardziej interesujące, gdyż mają więcej wspólnego "ającą nas rzcczywisiością i prowadzą do bardziej wyrafinowanego czasu i zmian.

Daleko, daleko od równowagi

da minimalnej produkcji entropii jest bardzo ważna, ale jej dowód między innymi od zachodzenia liniowych zależności między strumie-silami. które podał Onsager. Prigogine i jego koledzy z Brukseli zajęli

liem układów znajdujących się daleko od równowagi, kiedy nie ązują już takie liniowe zależności. Celem tych badań było stwierdzenie. Ożna lak uogólnić twierdzenie o minimalnej produkcji entropii, aby iło kryterium decydujące o ewolucji układów nieliniowych. Ich wysiłki adzily do fascynujących odkryć i zaciekłych polemik,

ijuż wspomnieliśmy, uczeni — podobnie jak inni — rywalizują i często się między sobą. Kontrowersje, jakie budzi szkoła brukselska, wciąż

żywe: niestety, czasami podsycają je przesadne twierdzenia człon-k i p y . zawarte w ich publikacjach i przedstawiane na seminariach,

problemu tkwi w sposobie prezentacji wyników, ale kłótnie do-ziły do bardzo nieprzyjemnej sytuacji: środowisko fizyków podzieliło zym partie polityczne. Takie zachowanie utrudnia racjonalną dyskusję ultalami otrzymanymi przez fizyków należących do szkoły bruksel-

ciągu dwudziestu lal Prigogine i jego koledzy stworzyli teorię, klórą 'O nazywać ..ugólnioną termodynamiką"; jej celem jest zastosowanie termodynamiki do układów dalekich od sianu równowagi 2 6. Glansdorff jine zastosowali przybliżenie, w którym układy dalekie od równowagi

wyglądają i zachowują się jak układy w równowadze; przypomina 10

159

sposób, w jaki w ogólnej teorii względności przedstawiamy zakrzyww|H czasoprzestrzeń za pomocą lokalnych, płaskich regionów odpowiednio zc aflfH połączonych2 7.

Glansdorff i Prigogine wykorzystali przybliżenie „lokalnej rów do badania układów dalekich od termodynamicznej równowagi. Podali jak to nazwali — „uniwersalne kryterium ewolucji", które ich zdaniem djjH starcza znacznie bardziej wyrafinowanego obrazu ewolucji układów li/vi / nych. Apoteozą ich pracy jest książka Thermodynamic Theory of StmcĘ^M Stabiłity and Fluctuations, opublikowana w 1971 roku2*. Niestety, teiniiiiy, którymi określili swoje kryterium, a zwłaszcza słowo „uniwersalne", spm wokowały wiele polemik. Glansdorff i Prigogine chcieli w ten spo- I- u i powiedzieć, że otrzymali czysto termodynamiczne kryterium ewolucji, ęM użyte sformułowania sugerowały, że chodzi o coś więcej. To naraziło łjjH na jadowite atak: ze stron) przeciwników, którzy czekali na okazję, UęM zaatakować szkołę brukselską.

Kryterium Glansdorffa i Prigogine'a dotyczy sytuacji, z jakimi mamy' najczęściej do czynienia, to znaczy silnie nieliniowego układu olwarteffl w stanie dalekim od równowagi, przez który przepływają strumienie c n o M i materii. Kryterium ma posiać ogólnego stwierdzenia o stabilności staflH stacjonarnych w miarę oddalania się od równowagi. Gdy takie stany • dostatecznie daleko od punktu równowagi, mogą się stać niestabilne. Pojuwfl się wtedy punkt krytyczny, któr) w języku nauki nazywany punktem bifurknajfl W tym punkcit układ przechodzi od jednego stanu stacjonarnego do inntffl (por. rys. 16).

Glansdorff i Prigogine stwierdzili, że po przekroczeniu pierwszego punki! krytycznego układ może zachowywać się w czasie i przestrzeni w spoail wysoce zorganizowan) W niektórych reakcjach chemicznych zachodzący^ daleko od równowagi można obserwować regularne zmiany koloru substanfl reagujących lub piękne, kolorowe fale. Są to stabilne stany, do których /mierni układ, ale nie odpowiada im już minimalna produkcja entropii.

Dobrą ilustracją związku między entropią i zorganizowanym zachowania jest analogia z możliwościami, jakie ma człowiek, który chce zaoszczędzi! tnx hę pieniędzy. Jeśli jest całkowicie bez grosza, to możliwa zmiana wyda ków — odpowiadająca zmianie entropii — wynosi zero. Z taką sytuacją mata do czynienia w przypadku stanu równowagi. Jednak rzeczywisty świat nic M w stanie równowagi. Nasz bohater ma zapewne trochę pieniędzy i i m wydawać pewną sumę na jedzenie i picie. W takiej sytuacji w najlepszy!

160

••i.-spadku może on zminimalizować wydalki na życie. Podobnie układy ^^^Hlynamic/nc w stabilnym stanie niedalekim od równowagi minimalizują

pnulukcję entropii. Teraz zastanówmy się. co dzieje się daleko od stanu ^^^H)wagi. to znaczy, jak może się zachować człowiek zamożny, który ^^Htza oszczędzać. W takim przypadku nie wystarczy, aby zminimalizował

luki. Ma on przed sobą wiele innych możliwości poza oszczędzaniem na |»il/.omu i piciu. Może złożyć pieniądze na wysoko oprocentowanym rachunku

anku, może przeznaczyć pieniądze na jakieś ryzykowne inwestycje, dające i/iinsę kolosalnych zysków. W krótkiej skali czasowej wszystkie te możliwości

^^^Bfa się zgodne z. jego rozsądnym pragnieniem zaoszczędzenia pieniędzy. ^^Btnicje uniwersalne kryterium, które pozwoliłoby mu podjąć decyzję, co

tfuhić z pieniędzmi, jak to było w przypadku biedaka, żyjącego w znacznie sposób. Teraz ma on przed sobą liczne możliwości zorganizowanego

i m a

Jest nadzwyczaj interesujące, żc choć daleko od równowagi całkowita ^^Hk lkc j a entropii błyskawicznie wzrasta, zgodnie z drugą zasadą, możemy

erwować nadzwyczaj zorganizowane zachowanie układów. Wobec tego ^ ^ ^ B o y odrzucić konwencjonalne przekonanie, zgodnie z którym strzałka

i su jest zgodna z postępującą degeneracją układu i wzrostem przypadków o-H ł , To prawda, że ostatecznie, gdy niemożliwe są już wszelkie zmiany,

^ ^ • p a d k o w o ś ć wygrywa. Jednak w krótszej skali czasowej możemy zaobser­wować pojawianie się zorganizowanych struklur, które trwają dopóty, dopóki

^ ^ H i przepływ materii i energii. Należy koniecznie pamiętać, że tylko układ ^ ^ B t y można zmusić do pozostania w stanie dalekim od równowagi. Dzięki

^ ^ • U entropia produkowana w układzie może zostać wyniesiona na zewnątrz. in pozwala na zachowanie organizacji, choć całkowita entropia układu i oto-

^ B a wzrasta. Twierdzenie Glansdorffa i Prigoginc'a jest „słabe" tylko w tym sensie, że •widuje możliwość wystąpienia termodynamicznego kryzysu, natomiast nic

^ ^ • M a warunków wystarczających29. Nic rządzi ono ewolucją układów równie rygorystycznie jak druga zasada termodynamiki. Twierdzenie to zależy od 'liugicj zasady i kilku założeń dodatkowych. W sianie dalekim od równowagi

^^Hjjgól nie istnieje żaden potencjał termodynamiczny — nie ma jednego Dli aktora, który może posłużyć za cci dla strzałki czasu. Na ten brak uniwersal-i i i i i /wrócili uwagę Joel Krcizer z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Davis

^Htonald Fo\ z Georgia Institulc of Technology w Atlancie 5 0.

161

Zaburzenia w sianie dalekim od równowagi

W opowiadaniu The Advei\ture of Siher Blazc Conan Doyle"a ShcrlocM Holmes wykorzystał fakt. że pies nic zaszczekał, jako kluczowy dowód, pozwalający rozwikłać sprawę 3 1 . Słabość kryterium Glansdorffa i PrigogindM można również odpowiednio wykorzystać. Kryterium to nic ma uniwersalnej! charakteru, ponieważ, układ w stanie dalekim od równowagi ma przed sobą bardzo wiele różnych możliwości dalszej ewolucji. Sama złożoność — ktdfl uniemożliwi.i ustalenie prostych relacji przyczynowych —pomaga zrozumtofl dlaczego wybór takiej, a nie innej drogi ewolucyjnej nadaje je szczególni znaczenie Można to /ilustrować za pomocą diagramu bifurkacji. czyli prostejJB rysunku przedstawiającego wszystkie możliwości (..bifurkacja" oznacza, U w punkcie krytycznym następuje rozwidlenie możliwych dróg ewolucjH W przypadku naszego dusigrosza, w pobliżu równowagi, diagram przedstawia tylko jedną możliwość — biedak stoi w kolejce po chleb. Z dala od równowagi] istnieje wiele możliwości (gałęzi). Tę sytuację pokazuje rysunek Iha: bifurkfl cja przedstawia wybór, przed jakim stoi układ po dojściu do lermodynamicB nego punktu krytycznego.

Zastosujmy takie rozumowanie do reakcji chemicznych, które stanowił doskonały przykład procesów nieodwracalnych. W miarę upływu czasu suM stancje łączą się ze sobą i przekształcają w inne związki chemiczne. WodflJ i tlen tworzą wodę, żelazo reaguje z. tlenem zawartym w atmosferze i powsMH rdza. czyli tlenek żelaza. Diagram bifurkacji przedstawia zachowanie pewrr reakcji chemicznej, w miarę jak układ oddala się od stanu równowagi, rysunku 16 oś pionowa reprezentuje stężenie substancji A w mieszani reagujących czynników. Na osi poziomej jest odłożona „odległość" (oznacz" grecką literą X) reakcji chemicznej od stanu równowagi, w którym prz.es! zachodzić. Punkt z l r i , w oznacza stężenie A w równowadze, czyli gdy X = 0. Je układ nie może przejść do równowagi, (na przykład gdy do układu otwarte stale dostarczamy substancje reagujące i eliminujemy produkty reakcji), stężenie A ma wartość inną niż z\ r , w . W tym przypadku substrat A jest dolew w takim samym tempie, w jakim jest zużywany w reakcji, a zatem jego stężę jest stałe. Różnica między faktycznym stężeniem i A n i w stanowi miarę dalcnia układu od równowagi termodynamicznej.

Co wynika z. tego wykresu? W punkcie równowagi i w jego otoczeniu X I w regularnym reżymie liniowym (gałąź termodynamiczna) i układ zachow się zgodnie z twierdzeniem Prigogine'a o minimalnej produkcji entro Mieszanina substancji reagujących pozostaje w stanie stacjonarnym.

162

nowe słany stabilne dla X > Xk

odległość od równowagi

, Wyk.es bifurkacji dla reakcji zachodzącej daleko od równowagi, (a) Pierwsza bifurkacja WT6.* SU"" rtW"OW*i'dla k , ó r e J "™odynamiczna pd*i minimalnej produkcji emrom, . niestabilna. ^ ,„ s l c z c n i e s u h s I r a l u w „„„„.„.j,. b i f u r k a e j i _ c z v l i w p u n l ; c | C ^ ,

V diagram b.furkacji. Gdy nieliniowa reakcja zachodzi coraz dalej od sianu równowagi, liczba możliwych sianów siabilnych gwałtownie wzrasta

163

Gdy jednak odległość od sianu równowagi przekroczy wartość krytyczną, stoi przed wyborem dalszej ewolucji, co przedstawiają dwie linie wych z punktu krytycznego, czyli z punktu bifurkacji A k . I.inia przerywana p stawia kontynuację gałęzi termodynamicznej, która obecnie jest już niesta"

Punkt krytyczny ma szczególne znaczenie, ponieważ po jego przekroc (zależnie od szczegółów badanej reakcji) czasami układ zachowuje się w sób zorganizowany. Ten region jest wyjątkowy, ponieważ reakcja chemi może przebiegać na dwa sposoby. W punkcie krytycznym reakcja może p do jednego z dwóch nowych stanów stabilnych; w miarę jak każdy z d stanów oddala się od reżymu liniowego, stężenie A przyjmuje radykalnie ró wartości. Punkt krytyczny sprawia, że w opisie reakcji zachodzących w szaninie pojawia się historia. W pewnym momencie układ musiał zdecydo którą gałąź wybrać w punkcie bifurkacji. a zatem jego stan obecny za ..pamięć" tego wyboru. Inna mieszanina w innym naczyniu mogłaby c" wać wzdłuż innej gałęzi. W danej chwili reakcja chemiczna może zac tylko w jednym stabilnym stanie. Nic można przy tym przewidzieć, którą g wybierze układ, ponieważ obie możliwości są równie prawdopodobne. W działach szóstym i siódmym przekonamy się. żc mogą się zdarzyć syt" w których układ może wybierać spośród bardzo licznych możliwych blis stanów stabilnych. Dalsza ewolucja dynamiczna takiego układu jest zupc nieprzewidywalna; takie zachowanie nazywamy deterministycznym chao" Wykres bifurkacji wygląda wtedy tak jak na rys. 16 b: w ślad za pierws punktem krytycznym pojawiają się liczne następne.

Nierównowagowa termodynamika Glansdorffa i Prigogine"a daje ty zarysy możliwych zachowań układu po przekroczeniu pierwszego pu" krytycznego. Wskazuje, że może się siać coś bardzo ważnego, ale nic ir nic, co stanie się naprawdę. W chemii może to oznaczać pojawienie się ze chemicznego, który okresowo zmienia kolory, lub też. kolorowego w w probówce W ekologii — pojawienie się nowych stanów stacjonarnych oscylacji liczebności różnych populacji zwierząt. Dla lekarza, może to t> czać zawał serca. Aby poprawnie opisać takie sytuacje, należy szczegół zbadać rozwiązania nieodwracalnych równań kinetycznych, które opisująi na przykład — przebieg konkretnej reakcji chemicznej. W rozdziale szósl zapoznamy się z interesującymi własnościami takich równań oraz. z opisy nymi przez nie. złożonymi zjawiskami.

Nowe stany, jakie pojawiają się daleko od równowagi, mogą być zwyczaj uporządkowane: tryliony molekuł poruszają się w przestrzeni w ordynowany sposób. Na określenie takich sytuacji Prigogine przyjął unnM

164

t u r y d y s y p a t y w n e . ponieważ powstają one wskutek wymiany i i materii między układem i otoczeniem, czemu towarzyszy produkcja ii (dysypacja) w układzie. Złożone i powiązane ze sobą procesy, prowadzące Wstania takich struktur, nazywamy procesami s a m o o r g a n i z a c j i ,

idzimy zatem, że spontaniczne pojawienie się porządku nie jest sprzeczne ©dynamiką, choć powszechnie — błędnie — uważa się. że druga zasada

odynamiki skazuje układy na stopniową degenerację i pogrążenie się wypadkowości. To jest najważniejszy wniosek z badań Glansdorffa i Pri-V a . W 1977 roku Ilya Prigogine otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie l i za wkład w rozwój termodynamiki nierównowagowej, a zwłaszcza (Struktur dysypatywnych.

można pogodzić istnienie struktur dysypatywnych z koncepcją śmierci Bej'.' Modele kosmologiczne, których autorzy lekkomyślnie stosują Icrmo-pikę równowagową, nie uwzględniając grawitacji, sugerują, że ewolucja jhświaia jest równoznaczna z nieuchronnym wzrostem przypadkowości Szy się wraz z osiągnięciem stanu równowagi termodynamicznej, gdy

łwszys tk ie zmiany. Jednak badania procesów nierównowagowych prowa-do wniosku, ze nie można lak prosto opisać wszechświata, będącego anie dalekim od równowagi. Dzięki temu możemy przyjąć znacznie "icj optymistyczny obraz wszechświata. W takim wszechświecie nieodwra-, nierównowagowe procesy termodynamiczne stwarzają możliwość spon-Bicj samoorganizacji, co pozwala na pojawienie się takich struktur, jak Jyki. planety, komórki i organizmy.

Paradoks n ieodwracaln ości

i uczeni uważają, że rozumieją jakieś zjawisko tylko wtedy, gdy je wyjaśnić, odwołując się do atomów i molekuł. Takie podejście się r e d u k c j o n i z m e m , ponieważ jego zwolennicy chcą zreduko-

zystkie zjawiska to procesów zachodzących na rzekomo najbardziej awowym poziomie. Redukcjonizm prowadzi jednak do trudności w ter-

amice i unicmożliwa zrozumienie strzałki czasu. Jak już się przckonaliś-na poziomie mikroskopowym nie istnieje strzałka czasu, niezależnie od czy korzystamy z teorii Newtona, teorii względności czy też mechaniki

wcj. Wynika z tego. żc nic może istnieć stan mikroskopowej równo-~nicważ. wszystkie chwile są równoważne, symetryczne w czasie prawa

gą wyróżnić szczególnego stanu końcowego, w którym wyczerpane są

165

wszystkie możliwości zmiany. Odwrncalność ruchu atomów i molekuł, stój: w jawnej sprzeczności z nieodwracalnością procesów termodynamiczny stanowi tak zwany paradoks nieodwracalności, sformułowany przez I.oschm ta w 1876 roku 3 2. Paradoks sugeruje, że dwie wielkie teorie fizyczne termodynamika i mechanika — są w najlepszym wypadku niekompl Mamy tu do czynienia z jasno sformułowanym, ważnym problemem, któ: nie należy ukrywać i pomijać. Nasze poszukiwania doprowadziły do uzyskał pewnego wglądu w procesy przemijania, ale nie możemy zakończyć prtflf dopóki nie pogodzimy ze sobą teorii rozważanych we wcześniejszych działach. Jak wskazał Lord Kelvin, mikroskopowy świat, który nic zwrtf uwagi na strzałkę czasu, może postawić świat makroskopowy na w pewnej chwili odwrócimy kierunek ruchu wszystkich cząstek materii wszechświecie, dalsza ewolucja przebiegać będzie w odwrotnym kicrun Pękające bąble wody u stóp wodospadu połączą się znowu, ruchy ci«j doprowadza do ponownej koncentracji energii i wyrzucą masę wody do tworząc zwartą kolumnę wznoszącej się wody... żywe organizmy będą roz się w odwrotnym kierunku, jednocześnie pamiętając swoją przyszłość, ale przeszłość, zmienią się w embriony i znikną" 3 3.

Most nad przepaścią

Mcchnika statystyczna jest próbą przerzucenia mostu nad przepaścią dzielającą dwa poziomy rzeczywistości fizycznej. Zadaniem mechaniki stat; tycznej jest zredukowanie ogromnej ilości informacji potrzebnej w mcehanł; klasycznej lub kwantowej do kilku parametrów termodynamicznych. W sposób możemy, na przykład, przejść od opisu ruchu wszystkich cząstec1

zawartych w jednym litrze gazu do opisu gazu za pomocą tempe i ciśnienia.

Na poziomie mikroskopowym gaz składa się z wielkiej liczby poruszaj się cząsteczek — rzędu 10 2 3 . Aby podać „pełny" opis ich zachowania, nieczna jest gigantyczna ilość informacji. W tym celu musielibyśmy z położenia i prędkości wszystkich cząsteczek w pewnej chwili. Nato-na poziomie makroskopowym wystarczy minimalna ilość informacji, opisać ogólne własności gazu. Na przykład w stanic równowagi po t -

są tylko trzy wielkości: ciśnienie, objętość i temperatura gazu 3 1. Przej do opisu termodynamicznego wymaga zatem ogromnej kompresji inform To właśnie jest zadaniem mechaniki statystycznej.

166

zowym krokiem jest uzupełnienie praw mechaniki teorią prawdopodo-I, co pozwoli nam obliczać wielkości średnic i posługiwać się nimi ych rozważaniach. To podejście opiera się na dwóch filarach. Po ;, musimy skorzystać z opisu probabilistycznego, nawet w modelu wskim, ponieważ nigdy nie znamy precyzyjnie położenia i prędkości ?ch cząsteczek (w rozdziale ósmym zajmiemy się głębszymi powodami tuacji). Wobec tego wszystkie nasze stwierdzenia muszą mieć charak-Styczny. podobnie jak w mechanice kwantowej (por. rozdział czwarty), zupełnie innych powodów. Inaczej mówiąc, możemy rozważać tylko i średnic. Na przykład możemy zdobyć informacje o średniej energii zek. gim filarem mechaniki statystycznej są duże rozmiary układów makro-"ych w porównaniu z atomami i cząsteczkami, z których się składają, ćmy, że chcemy sprawdzić, czy prawdopodobieństwo wyrzucenia orła

e monetą rzeczywiście wynosi 1/2. Nawet jeśli tak jest, nic oznacza to, ając monetą dwa razy, powinniśmy otrzymać raz orła, a raz reszkę. wym zachowaniu monety możemy się czegoś dowiedzieć, rzucając

śnie bardzo wiele identycznych monet lub wielokrotnie rzucając tą onetą. Im więcej prób, tym bliższy powinien być wynik do przewidy-na podstawie rachunku prawdopodobieństwa. Badając typowe obiekty

kopowc możemy opisywać zachowanie cząsteczek, posługując się wiel-i średnimi, ponieważ, takie obiekty składają się z mniej więcej kwad-

i cząsteczek. Wielkości średnie używane w mechanice statystycznej zają doskonałego opisu układu. Podobnie gdybyśmy rzucili monetą "lion razy. to odchylenie od wyniku przewidywanego probabilistycznie zupełnie zaniedbywalne.

ażnym problemem jest jednak fakt. że mechanikę statystyczną o wiele zastosować do sytuacji równowagowych, gdy układ się nie zmienia, niż

wisk nierównowagowych, gdy jeszcze trwa ewolucja. Zaczniemy od Wagowej mechaniki statystycznej, która pozwala ustalić jasny związek

własnościami molekularnymi i termodynamicznymi, na przykład mie­nią energią cząsteczek i temperaturą gazu. Najważniejszym pojęciem iki statystycznej jest skomplikowana wielkość, zwana s u m ą s ta ty-

zną, której znajomość pozwala na obliczenie wszystkich makroskopo-własności rozważanego układu w równowadze, takich jak entropia nie. Metodę tę można stosować do ciał stałych, płynów i gazów. Tutaj zy. abyśmy wiedzieli, że teoretycznie do obliczenia sumy statystycznej znać tylko poziomy energetyczne układu. Aby je znaleźć, należy

167

rozwiązać równanie Schrodingcra. z którym zapoznaliśmy się w rozdziało czwartym. Z praktycznego punktu widzenia jest to jednak bardzo trudne zadani W rzeczywistości konieczne są tu różne matematyczne sztuczki, które w istoc1

polegają na zręcznych przybliżeniach lub skonstruowaniu bardzo wyidealizow nego modelu55. Gdy jednak znamy już sumę statystyczną, możemy oblicz wszystkie własności materii w równowadze. Na przykład można wtedy oblicz" entropię lub energię swobodną jednego litra wodoru w równowadze i wyznacz jego ciśnienie w danej temperaturze, nie wykonując żadnego pomiaru.

Kłopoty pojawiają się, gdy usiłujemy zrobić to samo dla układów ni będących w równowadze, na przykład gdy usiłujemy opisać zachowanie ga~ po otwarciu naczynia. Nagle suma statystyczna traci znaczenie, poniew można ją zdefiniować tylko w stanie równowagi termodynamicznej16, elegancka metoda określania entropii i innych wielkości termodynamiczny okazuje się Ślepą uliczką.

Niestety, wracając do pierwszych zasad można się przekonać, że nic żadnego łatwego rozwiązania naszego problemu. Przyjrzyjmy się pierwszem z filarów mechaniki statystycznej — czyli postulatowi nakazującemu poslu wać się wielkościami średnimi zamiast dokładnych wartości położenia i p r kości każdej cząstki. Sposób uśredniania zależy od tego, czy na poziom mikroskopowym korzystamy z fizyki klasycznej, czy kwantowej. W rzeczywi tości nie mamy wyboru, ponieważ mikroświat należy opisywać za pom~ mechaniki kwantowej. Jednak mimo różnic między tymi metodami, w o przypadkach otrzymujemy na ogół podobną teorię makroskopową; wyraź różnice pojawiają się tylko w niezwykłych sytuacjach, na przykład gdy maj do czynienia z układem nadprzewodzącym. Nadprzewodnik to materiał, któ go opór elektryczny w niskiej temperaturze spada do zera 1'. (Podobietist wynika z bardzo ścisłej analogii matematycznej między klasyczną i kwanto mechaniką statystyczną. W istocie, dziwne efekty kwantowe znikają po uśr nieniu po bardzo dużej liczbie cząstek należących do badanego układu.)

Aby uniknąć beznadziejnego zadania, jakim jest próba określenia położę i prędkości wszystkich cząstek układu makroskopowego, stosujemy wiclk statystyczną, zwaną r o z k ł a d e m p r a w d o p o d o b i e ń s t w a . Podob jak sondaż przeprowadzony natychmiast po głosowaniu pozwala przewidzi prawdopodobny wynik wyborów, tak samo rozkład prawdopodobieństwa o' śla prawdopodobieństwo znalezienia układu w konkretnym stanie, w któ wszystkie cząsteczki mają zadane położenia i prędkości oraz poruszają zgodnie z równaniem Newtona.

Jeśli wolimy posługiwać się mechaniką kwantową, używamy funkcji f

168

, które w teorii kwantowej zastępują klasyczne trajektorie cząsteczek. Wiście, podobnie jak w teorii Newtona, wadą opisu kwantowego jest lar informacji z poziomu mikroskopowego: bardzo wiele stanów mikro-wych można pogodzić z obserwowanym zachowaniem makroskopowego

u, a zatem nic mamy szans, żeby stwierdzić, w jakim stanie rzeczywiście Uje się rozważany układ. Dla zwykłego gazu składającego się z bilionów czek liczba stanów kwantowych jest niewyobrażalnie duża. Wobec tego

my skorzystać z kwantowej wersji sondażu czy też rozkładu prawdopodo-Wa. Wielkość tę nazywamy macierzą gęstości; podaje ona prawdopodo-tv/o znalezienia układu w każdym możliwym stanie opisywanym od-ednią funkcją falową.

dotychczas, wszystko w porządku. Skoro już wiemy, jak opisać liczne zachowanie dużej liczby cząsteczek za pomocą mechaniki klasycz-

lub kwantowej, to musimy jeszcze znaleźć sposób, aby prześledzić pnacalną ewolucję układu w stanic nierównowagi. Potrzebujemy rów-

jk tóre określa, jak klasyczny rozkład prawdopodobieństwa lub kwantowa er/ gęstości zależą od czasu. Formalnie oba równania są identyczne, warny je równaniami Liouville'a-von Neumanna. Niestety, czeka nas

niespodzianka. Równania Liouvillc'a-von Neumanna można wy-fcić z mechaniki klasycznej lub kwantowej, a jak wiemy, obie te teorie

różniają dwóch kierunków upływu czasu. Wobec lego rówanania le też są symetryczne w czasie. Można z nich skorzystać zamiast metody statystycznej, żeby obliczyć własności układu w równowadze, ale same ie nie pozwalają wyjaśnić wzrostu entropii układów ewoluujących ie dalekim od równowagi, a zatem nie tłumaczą również strzałki czasu,

m właśnie polega fundamentalny problem nierównowagowej mechaniki ł c zne j .

Strzałka czasu Boltznianna

lelki Ludwig Boltzmann. z którym zetknęliśmy się po raz pierwszy logu, zasłużył na szczególną uwagę ze względu na swą próbę rozwiązania kłopotliwego paradoksu. Boltzmann urodził się 20 lutego 1X44 roku,

•zór poprzedzający Popielec, gdy kończył się ostatni karnawałowy bal. •jcicc był urzędnikiem podatkowym. Później zwykł żartować, że to

taka data urodzin jest przyczyną gwałtownych zmian jego nastroju, od do depresji<łl. Bolt/.mann pierwszy zinterpretował statystycznie fun-

169

damenlalne prawo fizyki — droga, zasadę termodynamiki — ale |cgo kntitv|t> cje wywołały gwałtowne protesty wielu fizyków teoretycznych i maleinaiyl Nim jego idee zyskały popularność, Boltzmann popełnił samobójstwo. Jod nu li miał również potężnych sojuszników. W 1900 roku. sześć lal pizcd sum • 1 | Boltzmanna, dwudziestojednoletni Einstein pisa! do swej dziewczyny. Mi M M Marić, że Boltzmann jest ..mistrzowskim wykładowca. Jestem przekonań' zasady jego teorii są poprawne, a zatem uważam również, żc w przyp-i gazów rzeczywiście mamy do czynienia / dyskretnymi cząsteczkami o okl*Jjfl lonej masie i skończonych rozmiarach, poruszającymi się zgodnie z pewnym warunkami" •.

Boltzmann wychowywał się w Salzburgu 1 I.inzu w czasach monai.liil austro-węgierskiej, w pobożnej katolickiej rodzinie. Był utalentowanym uialM matykiem; zrobił doktorat z fizyki teoretycznej na Uniwersytecie Wicdan skim. Jego promotorami byli fizyk Joseph Stefan i ekscentryczny malcmoJtjjfl Josel Petzval. Stefan zapoznał fizyków z Europy kontynentalnej z kinctycyjjfl teorią gazów Jamesa Clerka Maswclla. Boltzmann rozwinę! tę teorię. korSjfl tając z. metod statystycznych opracowanych przez, innego studenta Su i Josefa Loschmidta (1821-1895). W 1872 roku. wiele lat przed powstaniom mechaniki kwantowej. Boltzmann zastosował równanie Liouville'a do d u z f l zbioru cząsteczek gazu i zanalizował, jak dąży on do stanu równowojjjj Wydawało się, że jego prace wreszcie doprowadziły do znalezienia stizalkl czasu na poziomie mikroskopowym. Udało mu się wyprowadzić asymctryi zim w czasie równanie, znane jako równanie Boltzmanna, określające ewolucji jednocząstkowej funkcji rozkładu. Ta skomplikowana nazwa określa lun koji opisującą w statystyczny sposób pojedynczą cząstkę gazu. Następnie zdeliiilnjj wal nową funkcję matematyczną, tak zwaną funkcję H, i opierając się na sww równaniu wykazał, że wartość H maleje w czasie ewolucji. Funkcja H okrcśM zatem strzałkę czasu wskazującą w odwrotnym kierunku niż. entropia, ktca

wzrasta w miarę upływu czasu, gdy układ zbliża się do równowagi; w H jest równa entropii, lecz ma odwrotny znak. Boltzmann twierdził, że udaJM mu się rozwiązać paradoks nieodwracalności na poziomic molekularnym. <

To osiągnięcie miało dla niego zasadnicze znaczenie, ponieważ uważał, i« „mechanika stanowi fundament, na którym wznosi się cały gmach fizyi teoretycznej, pień. z którego wyrastają wszystkie inne dziedziny nauki"B Jednak w dowodzie swego twierdzenia Boltzmann musiał przyjąć założeń o „molekularnym chaosie". Zgodnie z lym założeniem, ruch cząsteczek m przed zderzeniem jest nieskorelowany, natomiast po zderzeniu jest skorelowa ny, gdyż zderzenie zmieniło trajektorie obu cząsteczek. Założenie molekular

170

1 chaosu jest asymetryczne w czasie, co wyjaśnia, dlaczego równanie manna opisuje nieodwracalną ewolucję układów.

I lipoteza molekularnego chaosu jest oczywiście sprzeczna z symetrycznymi W czasie zasadami dynamiki Newtona. 7. lego oraz jeszcze innych powodów

1 Zermelo, młody asystent Maxa Plancka, i jego przyjaciel Josef Loschmidt • skrytykowali Boltzmanna. Mówiąc w skrócie, twierdzili oni, żc nie można < źć wyróżnionej strzałki czasu, opierając się na równaniach, które są tryczne w czasie. W 1876 roku Loschmidt powoływał się na symetrię

^ K l a m k i " . Dwadzieścia lal później Zermelo zaatakował prace Boltzmanna, rając się na twierdzeniu o powrocie Poincarego, które —przypomnijmy —

i - 1, że każdy układ izolowany po dostatecznie długim czasie wraca do sweg.i • l i l i i początkowego.

Boltzmann był tak wstrząśnięty tymi atakami, że wycofał się z prób H u l c n i a strzałki czasu za pomocą wyłącznie mechaniki. Uznał, że druga ^HK> termodynamiki opiera się na teorii prawdopodobieństwa, a nie samej

lianicc, i odrzuci! mechanistyczny redukcjonizm na rzecz teorii atomowej, lórej atomy zachowują się zgodnie z prawami statystycznymi42. Doszedł

^ • K do wniosku, że wszechświat znajduje się już w stanie śmierci cieplnej. • t l i globalnej równowagi termodynamicznej. Jego zdaniem wskutek przypad-

naleźliśmy się w obszarze wielkiej fluktuacji, który teraz powraca do stanu Hnowagi , czemu towarzyszy wzrost entropii. W całym wszechświecie ist-• j e równie wiele lokalnych obszarów, w których fluktuacje jeszcze narastają. H I entropia maleje. Boltzmann twierdzi! zatem, żc w skali kosmicznej me B e strzałka czasu: istnieje tyle samo obszarów, w których strzałka czasu

żuje kierunek przeciwny niż w naszym, ile obszarów podobnych do K e g o ;

I o była bardzo pomysłowa hipoteza. Niestety, nie potwierdzają jej obser­wacje: nigdy nie zaobserwowaliśmy obszarów wszechświata, w których czas Mgnie w odwrotnym kierunku, byki stają się coraz, młodsze i potrafią zrobić ^ • ą d e k w zdemolowanym sklepie z porcelaną. Prócz tego. jak widzieliśmy ^fczdziale trzecim, zgodnie z nowoczesną astronomią i kosmologią cały Hechświat się rozszerza, a zatem nic jest w stanie równowagi tennodynamicż-• ) . Musi istnieć kosmologiczna sir/alka czasu, ponieważ we wczesny m Bechświccie odległości między galaktykami były znacznie mniejsze. Wszyst-• znane zjawiska przebiegają w sposób zgodny z jednokierunkowym upły­wem czasu przy c/y in stan równowagi termodynamicznej leży w przyszłości, Inie w przeszłości. Boltzmann miał rację, usiłując pogodzić nieodwracalność drniodynainic/ną z .symetrią w czasie mechaniki klasycznej i kwantowej.

171

Wyprzedził swoje czasy, lecz nic wiedział, jak odeprzeć argumenty krytyko Do tego problemu wrócimy jeszcze w rozdziale ósmym.

W późniejszych latach Boltzmann zacięcie bronił twierdzenia, że zjawi cieplne są przejawem zachowania atomów i molekuł. Jak wspomnieliś w pierwszym rozdziale, skłoniło to przeciwników, przede wszystkim Mac i Ostwalda, do podjęcia polemiki, którą zaognił niewątpliwie kwiecisty s Boltzmanna i skłonność do zmieniania poglądów bez stwierdzenia tego plicite. Jego przeciwnicy byli ludźmi o ustalonej reputacji. Prowadzenie d kusji utrudniał Boltzmannowi dodatkowo jego piskliwy głos. Podczas pob w Lipsku pod wpływem depresji usiłował popełnić samobójstwo. Jednak je przeciwnicy nic zawsze tryumfowali. Niemiecki fizyk matematyczny Ara Sommerfeld tak pisał o dyskusji na konferencji w Lubece w 1885 roku: ..Wal Boltzmanna z Ostwaldem przypominała starcie byka z wiotkim szermierz " Tym razem byk pokonał torreadora, mimo jego wprawy w posługiwaniu szpadą. Argumenty Boltzmanna były silniejsze. My, młodzi matemat" byliśmy wszyscy po jego stronie | . . . J " 4 4 . Na ogół jednak Boltzmann toc trudną walkę samotnic. Po kolejnej fali ataków Boltzmann tak pisał w j " klasycznej pracy Wykłady z teorii gazów: .Zdaję sobie sprawę, że jestem jednostką, z trudem idącą pod prąd naszych czasów" 4 5 .

W 1902 roku Boltzmann wrócił z Lipska na swoją katedrę w Wiedni Z triumwiratu teoretyków, którzy stworzyli teorię kinetyczną, pozostał już i ; on — Clausius i Maxwell zmarli. Cierpiał z powodu intelektualnej izol i pogarszającego się zdrowia — tracił wzrok, miał częste ataki astmy, dus i migreny. W 1903 roku jego żona Henriettę (która zwala go ..koc grubasek") napisała do córki Idy. żc ..stan ojca stale się pogarsza. Straciłam w przyszłość. Wyobrażałam sobie, że w Wiedniu czeka nas lepsze życie"

W 1904 roku, po bankiecie z okazji jego sześćdziesiątych urodzin. B mann wpadł w głęboką depresję. Pewien student lak wspomina jego st zakończeniu wykładu fizyki teoretycznej zimą 1905/1906: „Nerwowe d liwości (bóle głowy) uniemożliwiały mu kontynuowanie działalności & tycznej. Razem z jeszcze jednym sludcnlem zdawałem ustny egzamin ko w jego willi w Wahring. Wychodząc po egzaminie, słyszeliśmy w kory jego rozdzierające serce jęki"""1. Intensywne polemiki, obawa przed u zdolności twórczych i pogarszające się ataki dusznicy bolesnej doprow do kryzysu. 5 września 1906 roku Boltzmann popełnił samobójstwo. Już lat później jego idee atomowe zyskały powszechne uznanie, w znacznej m dzięki pracy Einsteina o ruchach Browna, której słuszność szybko spra eksperymentalnie Jean Pcrrin z Zurychu4''. W swym panoramicznym

172

Ąustrum Minii William Jolinston opisuje modę na samobójstwa jako środek zki przed irudnościami życia, jaka zapanowała wśród austriackich in-

tualistów w tych czasach. Sam Boltzmann stwierdził kiedyś, że „moje i i działania koncentrują się na jednej sprawie: rozwoju teorii. Żadna ofiara

dla mnie zbyt wielka: teoria jest treścią mego całego życia" 5".

To wszystko iluzja: „gruboziarniste uśrednianie"

wnanie Boli/manna zachowało swoje znaczenie. Jest często używane do nieodwracalnych ..procesów transportu", takich jak dyfuzja i lepkość

"eszaninach o małym stężeniu, gdy przyjęte przez niego założenia są brym przybliżeniu spełnione. Wiciu fizyków usiłowało również wzmocnić

jańe H. Jednym z najbardziej obiecujących wydawała się początkowo Jk gruboziarnistego uśredniania (podziału). Niestety, prowadzi ona do skn całkowicie sprzecznego z poglądami Boltzmanna, ponieważ, sugeruje, załka c/asu jesi zjawiskiem czysto subiektywnym i występuje tylko poza Tj i mikroskopowym, wskutek stosowanych przez nas przybliżeń, r u b o / i a r n i s i c u ś r e d n i a n i e jesl metodą używaną do opisywania

zachodzących w skali mniejszej niż możemy obserwować. Polega na eniu ruchu cząstek w arbitralnie wybranej komórce układu, na przykład

j próbce gazu. W len sposób można uratować twierdzenie // (równoważ-Erostowi entropii), a tym samym również nieodwracalność ewolucji, mujemy zatem związek między mikroskopową odwracalnością i strzałką

I jednak nie mówi nam. jak szczegółowe powinno być gruboziarniste lanie. Gdy obliczamy w len sposób entropię, wynik zależy od rozmiarów Ttj komórki, co jest sprzeczne z termodynamiką, w której zmiany ii mają charakter całkowicie obiektywny. Ponadto, jeśli dokonujemy riarnistego uśredniania ad hot; nic mamy żadnej gwarancji, żc entropia rosnąć — może nawet maleć. Jeśli gruboziarniste uśrednianie okazuje

Uteczne. jest lak tylko dlatego, że wskutek zastosowanego przybliżenia Bśmy wszystko, co dzieje się w mniejszych skalach. W ten sposób •dzamy arbitralną granicę między odwracalnym mikroświatem i nie-alnym makroświaicm. Inaczej mówiąc, o upływie czasu można sensow-ivić tylko w odniesieniu do zjawisk zachodzących w skali większej niż Jrwnie wybrana granica: gruboziarniste uśrednianie sprawia, żc cały

nieodwracalności i strzałki czasu staje się kwestią naszych wyobrażeń.

Za jednym pociągnięciem strzałka czasu znów slala się pojęciem subiektyw­nym. Przybliżenia, jakich dokonujemy, śledząc zachowanie układu termo-1

dynamicznego wynikają rzekomo z faktu, że nie jesteśmy w stanie analizowa ruchu bilionów cząsteczek, z jakich jest zbudowany. Jak zauważy! fizyk Jaynes: „to nie proces fizyczny jest nieodwracalny, lecz raczej nasze zdolnoś do badania jego zachowania'*51. Sugeruje to. że gdyby tylko nasze zmysły byl dostatecznie czułe, bylibyśmy w stanie obserwować ruch poszczcgólnyC cząsteczek (pomijając problemy kwantowe) i moglibyśmy potwierdzić, procesy zachodzące w skali mikroskopowej są rzeczywiście odwracalne, natychmiast prowadzi do koncepcji entropii jako miary naszej nieznajomofd szczegółów zachodzących procesów. W ten sposób narodziła się teoria infoJB macji.

Teoria informacji zajmuje się problemami kodowania i przesyłania wiadf l mości Każd) system łączności — od aparatur) muzycznej do konipułofB i telefonu —musi radzić solne z przypadkowymi zaburzeniami, czyli s/iimerflH Celem teorii informacji jest wykazanie, w jaki sposób odbierając komunikl można wydzielić z szumu prawdziwą wiadomość. Podstawy teorii stworzj w 1949 roku Claude Shannon i Warren Wcaver. Z ich punktu widz informacja może mieć postać całkowicie bezsensownego ciągu słów. Liczyć tylko to. jak taki ciąg można zakodować, przesłać, oddzielić od szuj i zdekodować. Shannon sformułował czysto matematyczną definicję inf macji. ważną dla dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa. Posługując sial definicją, można obliczyć prawdopodobieństwo oddzielenia informacji

wszystkich zaburzeń. Matematyczny wzór Shannona bardzo przypomina definicję entropii w«]

chanice statystycznej. Wielu uczonych uznało zatem, żc istnieje bezpośr związek między tymi pojęciami, co doprowadziło do powstania metody z» formalizmem maksymalnej entropii. Jest to niezwykle skuteczna leci" odnajdywania igły potrzebnej informacji w stogu siana — czyli szumów. U szumu jest przypadkowość, czym różni się on od zorganizowanej infor Teraz, trzeba już tylko zrobić mały krok. żeby uznać, iż im większa infor zawarta w przekazie, lym mniejsza jego entropia. Zgodnie z subiekt) interpretacją Jaynesa i jego akolitów entropia informacyjna jest miarą nfl nieznajomości procesów zachodzących poniżej wybranej skali obserwacji, ta odpowiada podziałowi między dziedziną procesów odwracalnych i nicc calnych. Sama informacja jest określona jako entropia Shannona wzięła z | nym znakiem; z lego powodu czasem używa się lerminu „negentropia".

Teoria informacji zawiera wiele płodnych idei, które mają ogromne Ml

174

H b w naukach komputerowych i analizie systemów łączności. Jednak duże ^ ^ ^ H e ń s t w o między pojęciami informacji i entropii nic oznacza, że któreś

H ^ B ma subiektywny charakter52. Shannon. jeden z pionierów teorii inloi-" i i. | i . wprowadzi! słowo „entropia" do swych rozważań pod wpływem mate-

I ,i lohna von Neumanna. który podobno powiedział mu: ,.Dzięki temu ••••kasz wielka przewagę w dyskusjach, ponieważ nikt naprawdę nie wie,czym | i ' M entropia!"51

e należy natomiast zakładać, że teoria informacji potwierdza słuszność ^ ^ ^ H ł a r n i s t c g o uśredniania i subiektywnej interpretacji strzałki czasu. W rzc-

• -1 w IMOŚCI w formalizmie maksymalnej entropii nic mamy do czynienia ^^^Hfeiarnistym uśrednianiem, lecz arbitralnym podziałem, w którym cal) ^ ^ B d traktujemy jako „czarną skrzynkę", o której wnętrzu nic nie wiadomo. ^ ^ ^ B e ż n i e od słabych argumentów, jakie wynikają z teorii informacji na rzecz

i' 1'iiwrnistego uśredniania, koncepcja ta jest błędna z zasadniczych powo-• I" 1 Jak wyrazili to Prigogine i Slengcrs: ..Nieodwracalność występuje albo

^ ^ ^ H y s t k i c h poziomach, albo na żadnym: nic może wziąć się z niczego przy isciu z jednego poziomu na inny" 5 4 . Powyżej już. wspomnieliśmy, jak

I' esy zachodzące w sianie dalekim od równowagi mogą spowodować spon-^^^Bta organizację w skali makroskopowej. Zajmiemy się tym dokładniej

^ ^ • p n y m rozdziale. W szczególności, taka spontaniczna samoorganizacja ^ ^ ^ H B kluczową rolę w najważniejszych procesach koniecznych do po-

niin i podtrzymania życia. Gdyby rację mieli zwolennicy koncepcji grubo-

i i > uśredniania łub subiektywnej leorii informacji, musielibyśmy przy-o' ze to wszystko złudzenie. Paradoksalnie okazałoby się, ze jawnie nie-

iitflalne procesy makroskopowe, takie jak działanie ludzkiego mózgu, są ^ ^ ^ K u t k i e m czynionych przez, nas przybliżeń.

Kosmologiczna strzałka czasu

a zasada termodynamiki pozornie prowadzi do wniosku, że wszech-cka cieplna śmierć, gdy pogrąży się w końcowym, całkowicie przypad-stanie. Co na to kosmolodzy? Jprzednich rozdziałach wspominaliśmy o problemie początku czasu ima wszechświata. Wiemy, żc wszechświat się rozszerza i możemy iłieć, iż w przyszłości zdarzy się jedno z dwojga: albo wszechświat się dalej rozszerzał, aż. osiągnie stan cieplnej śmierci 5 5 (choć niektórzy p, że nawel w takich warunkach możliwe jest odrodzenie się wszech-

175

świata — tę możliwość rozważamy w rozdziale ósmym), albo przyciąganie grawitacyjne wyhamuje ekspansję i spowoduje zapadnięcie się całego wszech świata do końcowej osobliwości. Która z tych możliwości — jeżeli w ogóle któraś — zostanie zrealizowana, w tej chwili nie wiadomo. Jak pisaliśmy w trzecim rozdziale, zależy to od gęstości materii we wszechświecie 5 6.

Przypuśćmy, żc wszechświat jest zamknięty i kiedyś się zapadnie. Skora zachodzi związek między kierunkiem wzrostu entropii i upływem czasu, czy czas zacznie biec w przeciwną stroną natychmiast po rozpoczęciu się fazy kontrakcji wszechświata? Niektórzy spekulują, żc tak właśnie będzie. Rzeki popłyną do źródeł 5 7. Mike Berry z Uniwersytetu Bristolskiego zażartował, że „gwiazdy będą absorbować światło wysłane z naszych oczu" 5 8. Za tymi dziwacznymi perspektywami kryje się twierdzenie, że podczas ekspansji strzał­ka czasu wskazuje od bardzo regularnej osobliwości początkowej do ma­ksymalnie nieuporządkowanego stanu pośredniego, po czym zmienia kierunek*] gdy wszechświat zaczyna zmierzać do równic regularnej osobliwości koń­cowej. Roger Penrose przekonująco argumentuje, że taka koncepcja jest błędnu, Nawet w czasie kontrakcji wszechświata druga zasada termodynamiki będzie obowiązywać, entropia będzie dalej wzrastać i nie zmieni się kierunek upływu czasu (choć Penrose nie uważa drugiej zasady za fundamentalne prawo przy* rody). Jest tak dlatego, że osobliwość początkowa ma zupełnie inną strukiuię niż końcowa. Wiciu kosmologów broni koncepcji symetrycznego wszeflH świata, w którym wielki wybuch nic różni się niczym od wielkiego kresu —j w obu przypadkach wszechświat ma postać jednorodnej, nieskończenie gęstw kuli ognistej. Penrose twierdzi jednak, żc osobliwość początkowa musi spełniaj warunek, który nie obowiązuje osobliwości w czarnych dziurach ani osobliwo ści końcowej. Wielki wybuch jest znacznie bardziej uporządkowany, a zatofl ma mniejszą entropię niż wielki kres 5 9. Ten zaskakujący rezultat wyniku z różnych geometrycznych własności czasoprzestrzeni w otoczeniu osobliwości początkowej i końcowej (rys. 17). Z obserwacji wynika, żc osobliwość poczaji kowa była izotropowa, to znaczy żaden kierunek nie był wyróżniony. Taka regularność oznacza niewielką entropię. Jednak en route do wielkiego kresu w czasoprzestrzeni pojawiły się takie zaburzenia jak czarne dziury. PodczM zapadania się wszechświata wszystkie zaburzenia łączą się ze sobą i struktura czasoprzestrzeni staje się bardzo chaotyczna. Wielki kres ma strukturę równlij przypadkową jak keks i odpowiednio dużą entropię. Gdyby osobliwość pocznjj kowa nie musiała spełniać podanego przez Penrose'a warunku, nic obowiązji wałaby druga zasada termodynamiki i równic prawdopodobne byłoby istnienie czarnych i białych dziur (por. rozdział trzeci)A0.

176

17 (a) Historia zamkniętego wszechświata rozpoczyna się od uporządkowanego wielkiego 'chu. mającego matą entropie, i kończy chaotycznym wielkim kresem, gdy entropia osiąga imum. (b) Jeśli nie obowiązuje specjalny warunek począikowy. to wielki wybuch ma również ną entropie. Według Penrose'a tylko (a) wyjaśnia, dlaczego w skali kosmologicznej obowiązuje

druga zasada termodynamiki. (Zaczerpnięto z: R. Penrose, Nowy umysł cesarza)

Jeśli hipoteza Penrose'a jest słuszna, to musimy wyjaśnić, skąd bierze się •fmetria w strukturze osobliwości, która gwarantuje, żc wielki wybuch miał małą entropie, a wielki kres będzie miał ogromną. Wielu fizyków przyjmuje •> prostu, że tak wynika i warunków początkowych (ustalonych przez Boga'1) •pezygnujc z prób wyjaśnienia tego faktu. Penrose natomiasl uważa, że •pnetria osobliwości dowodzi, iż pełna, kwantowa teoria grawitacji musi być •Mrnież asymetryczna w czasie. Jego zdaniem zadowalająca teoria musi Wyjaśnić zarówno ewolucję, jak i warunki początkowe 6 I. W chwili obecnej daleko nam do tego.

• jednak koncepcja Penrose'a zawiera wszystkie elementy potrzebne do •(jesienią strzałki czasu. Pozostaje jeden problem: jak sprawić, by czas płynął • stanu o malej entropii— wielkiego wybuchu do stanu o dużej ent B i i — wielkiego kresu. Narysowanie strzałki łączące- te dwa zdarzenia jesl Ipść trudne, ponieważ obecne prawa fizyki nic rozróżniają kierunku upływu • N u . Dlaczego nic mielibyśmy zacząć od wielkiego kresu i zdążać do Helkiego wybuchu? Penrose korzysta w swym rozumowaniu z gruboziar-Hatego uśredniania, co prowadzi do wszystkich znanych problemów z subiek-pwnością. Przyznaje wprawdzie, żc gruboziarniste uśrednianie powoduje, żc

177

entropia zależy od wyboru ziarna, ale twierdzi, że w zasadzie me ma znaczenia, ponieważ ta dowolność jest zaniedbywalna w porównaniu z różnlffl entropii w stanie końcowym i stanic początkowym 6 2.

Ze spekulacji Penrose'a wynika jeszcze jeden interesujący wniosek. Jeg(U zdaniem, asymetryczna w czasie kwantowa teoria grawitacji pozwoliłaby również rozwiązać jeden z najważniejszych problemów mechniki kwantowlH który rozważaliśmy w poprzednim rozdziale — mianowicie problem pomiaifl Kwantowa teoria grawitacji ze strzałką czasu mogłaby wyjaśnić nicocwracalni, redukcję funkcji falowej — według Penrose'a redukcja następuje, gdy ez.asflj przestrzeli ma dostateczna krzywiznę. To mogłoby wyjaśnić, dlaczego redukoB funkcji falowej zachodzi tylko na poziomie makroskopowym (gdy ma iM odpowiednio dużo cząstek, by oddziaływania grawitacyjne były wystarczająca silne)6 3. Jak przyznaje Penrose: „Dotychczas przedstawiłem tylko zarys kflj strukcji nowej teorii. Wierzę, że jest ona bardzo potrzebna. Sądzę, że zbudowania w pełni zadowalającej teorii konieczne są radykalnie nowe i na temat geometrii czasoprzestrzeni, przypuszczalnie uwzględniające w; oddziaływania nielokalne" fvt.

Na koniec warto zwrócić uwagę, żc koncepcja uporządkowanego wielki wybuchu podważa nieco zasadę antropiczną (por. rozdział trzeci). Praw podobieństwo powstania życia wc wszechświecie może być minimalne, zgodnie z zasadą antropiczną sam fakt, że istniejemy, dowodzi, iż los ni sprzyjał. Jednak prawdopodobieństwo powstania uporządkowanego wszeci świata w czysto przypadkowy sposób jest bez porównania mniejsze nj powstania życia w istniejącym już wszechświecie. Skrajne wersje zasad antropicznej — głoszące, że wszechświat powstał ze względu na nas -wydają się nieprzekonujące, skoro prawdopodobieństwo powstania odpowi niego wszechświata jest dużo mniejsze niż prawdopodobieństwo powsi ludzkości.

Wprawdzie teraz rozumiemy już znacznie lepiej pojęcie entropii, ale rozwiązaliśmy jeszcze konfliktu między rnikroświatein i makroświatem Dopiero w rozdziale ósmym wyjaśnimy, jak usunąć sprzeczność rni termodynamiką i mechaniką. Wpierw chcielibyśmy wykazać, że wnioski pływające z termodynamiki są zbyt ważne aby je odrzucić jako subiektywni aberacje, jakie przyjmujemy, postrzegając mechaniczny świat. To wymtH krótkiego przeglądu zjawisk nieodwracalnych w fizyce, chemii i biologii.

Rozdział szósty

Ewolucja twórcza

"">'• z a w a r ł » praw ach Sai my ujemną s z i u k c . luk aby chaos przemienił się w doskonały syslem Wiata.

lmmanue] K. u

• • t e j e chemiczne tworzą obszerną klasę procesów, w których występuje ilka czasu: są to procesy nieodwracalne. Niektóre przebiegają w tak ilarny i precyzyjny sposób, że można uważać je za swoiste chemiczne av. Jeśli lepiej zrozumiemy zachodzące w nich procesy, będziemy zapewne li powiedzieć, jak i dlaczego wskazują upływ czasu. Z drugiej strony, •waż istotą życia są takie reakcje zachodzące w komórkach, zegary

• In iniczne stanowią mikroskopowe tryby, kierujące maszynerią naszych ciał. • B C C lego strzałką czasu jest również strzałką życia. Działanie chemicznych

/ i T a r ó w łączy się z powstaniem tak wspaniałych obrazów, iż trudno uwierzyć, • i ł i o ż e to być tylko iluzja, jak głoszą redukcjoniści.

lermodynamiczna strzałka czasu me przejawia się tylko w procesach rozkładu, gdy układy zmierzają do stanu największego nicuporządkowania. h/eciwnie, badanie zasad rządzących nieodwracalnymi procesami zachodza-H | i w stanie dalekim od równowagi, które zaczęliśmy w poprzednim rozdzia­łu, |K)inaga nam zrozumieć granice między powolnym, nieubłaganym rozpa-•jta. złożonymi strukturami organizmów żywych i procesami turbulentnymi.

Inicrcsujące nas regularności występują, gdy układ jest zmuszony do przej-• U d o stanu dalekiego od równowagi. Świetnym tego przykładem jest butelka piwa'. Gdy Moi w normalna pozycji, zawartość pozostaję w stanie mechanicz-faj równowagi. Wytrawny piwosz pochyla butelkę tak, aby piwo znalazło się • (tanie bliskim równowagi i powoli przepłynęło do kufla. Gdyby jednak ktoś l y l bardzo spragniony, zapewne gwałtownie otworzyłby butelkę i spowodował­by pojawienie się stanu dalekiego od równowagi. Pochylając ją jeszcze bar-•ticj. aby wlać sobie piwo do gardła, zauważyłby zapewne, że piwo wylewa lię nierównomiernym strumieniem. Takie oscylacje strumienia zaczynają się, gdy butelka jest pochylona pod kątem większym niż pewien „magiczny kąi". Mamy tu punkt krytyczny — pozwalający na przeskok od nieporządku do ^Bnizacji .

179