WIELCYWIELCYMATEMATYCMATEMATYCYY

PITAGORASPITAGORASARCHIMEDESARCHIMEDESTALESTALESEUKLIDESEUKLIDES

PITAGORASPITAGORASPITAGORAS z SAMOS (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). PITAGORAS z SAMOS (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.).

Urodził się na wyspie Samos, a zmarł w Metaponcie. Ów Urodził się na wyspie Samos, a zmarł w Metaponcie. Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejskiej był także twórcą kierunku filozoficzno-szkoły pitagorejskiej był także twórcą kierunku filozoficzno-religijnego zwanego pitagoreizmem. Elementami religijnego zwanego pitagoreizmem. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do Boga. Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił zbliżeniu do Boga. Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związek Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związek pitagorejski. Tam też rozwinął żywą działalność naukową, pitagorejski. Tam też rozwinął żywą działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof filozoficzną i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci. zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci. Prąd filozoficzny, którego inicjatorem był Pitagoras, trwał Prąd filozoficzny, którego inicjatorem był Pitagoras, trwał ponad dwa wieki. Dziś niestety trudno dokładnie ustalić, co ponad dwa wieki. Dziś niestety trudno dokładnie ustalić, co szkoła pitagorejska zawdzięcza samemu mistrzowi, a co szkoła pitagorejska zawdzięcza samemu mistrzowi, a co jego uczniom. Dlatego też mówić raczej należy o jego uczniom. Dlatego też mówić raczej należy o dokonaniach pitagorejczyków i nie przypisywać wszystkich dokonaniach pitagorejczyków i nie przypisywać wszystkich odkryć samemu tylko założycielowi szkoły. Matematyka i odkryć samemu tylko założycielowi szkoły. Matematyka i mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny konglomerat, mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny konglomerat, z którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne z którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne pitagorejczyków, ceniących tylko to, co mogło być pitagorejczyków, ceniących tylko to, co mogło być dowiedzione na drodze rozumowej.dowiedzione na drodze rozumowej.

Twierdzenie Twierdzenie PitagorasaPitagorasa

""Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości suma kwadratów długości

przyprostokątnych jest równa przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości kwadratowi długości

przeciwprostokątnej"przeciwprostokątnej"

Pitagoras zajmował się – jak twierdzi Proklos – ze szczególnym zamiłowaniem ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi. Jest więc zupełnie możliwe, że idea kręgu pitagorejskiego pochodzi od samego mistrza.

Krąg pitagorejskiKrąg pitagorejski

Circulus Phytagoricus polega na pewnym ciekawym zestawieniu liczbowym. Jeśli mianowicie wzdłuż okręgu pisać będziemy naturalny ciąg liczbowy od 1, więc 1, 2, 3, ... do n, a następnie od n z powrotem do 1, to suma wszystkich tych liczb równać się będzie 2n

27491234567654321

Gwiazda Gwiazda pitagorejskapitagorejska

Umiłowaną figurą geometryczną Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pitagorejczyków był pentagrampentagram, , zwany również zwany również gwiazdą gwiazdą pitagorejskąpitagorejską

Tym znakiem pitagorejczycy Tym znakiem pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go rozpoznawali, kreśląc go na piasku.na piasku.

Suma kątów pentagramu Suma kątów pentagramu równa jest dwóm kątom równa jest dwóm kątom prostym, czyli tyle samo co prostym, czyli tyle samo co w trójkącie prostokątnym.w trójkącie prostokątnym.

Figura ta jest bardzo ciekawa, Figura ta jest bardzo ciekawa,

ma właściwości ma właściwości wyróżniające wyróżniające

ją spośród innych gwiazd. ją spośród innych gwiazd.

ARCHIMEDESARCHIMEDES ARCHIMEDES (ok. 287–212), gr. ARCHIMEDES (ok. 287–212), gr. matematyk, fizyk wynalazca; matematyk, fizyk wynalazca; jeden najwybitniejszych jeden najwybitniejszych uczonych starożytności. W uczonych starożytności. W czasie II wojny punickiej czasie II wojny punickiej kierował obroną Syrakuzy; kierował obroną Syrakuzy; zabity przez rzymskiego zabity przez rzymskiego żołnierza podczas zdobywania żołnierza podczas zdobywania miasta. W dziedzinie miasta. W dziedzinie matematyki podał m.in. metody matematyki podał m.in. metody obliczania objętości brył pól obliczania objętości brył pól figur ; oszacował dość figur ; oszacował dość dokładnie liczbę pi. U dokładnie liczbę pi. U współczesnych Archimedes współczesnych Archimedes zdobył sławę gł. dzięki zdobył sławę gł. dzięki wynalazkom takim, jak: wynalazkom takim, jak: udoskonalony wielokrążek, udoskonalony wielokrążek, machiny obronne, czerpadło machiny obronne, czerpadło ślimakowe; przypisuje mu się ślimakowe; przypisuje mu się też budowę planetarium, też budowę planetarium, zwierciadeł kulistych, zwierciadeł kulistych, konstrukcję zegara wodnego konstrukcję zegara wodnego organów wodnychorganów wodnych. .

Śruba Śruba ArchimedesaArchimedesa

Śruba ArchimedesaŚruba Archimedesa – jeden z – jeden z wielu wynalazków wielu wynalazków przypisywanych Archimedesowi. przypisywanych Archimedesowi. Jest to podnośnik zbudowany ze Jest to podnośnik zbudowany ze śruby umieszczonej wewnątrz śruby umieszczonej wewnątrz rury ustawionej skośnie do rury ustawionej skośnie do poziomu. W czasie pracy dolny poziomu. W czasie pracy dolny koniec śruby zanurzony jest w koniec śruby zanurzony jest w wodzie, a obrót śruby wymusza wodzie, a obrót śruby wymusza jej ruch do góry. Ponieważ ilość jej ruch do góry. Ponieważ ilość wody nabierana przez śrubę jest wody nabierana przez śrubę jest zazwyczaj duża, mimo strat zazwyczaj duża, mimo strat spowodowanych spowodowanych nieszczelnościami nie jest nieszczelnościami nie jest konieczne, by śruba przylegała konieczne, by śruba przylegała ściśle do wnętrza rury.ściśle do wnętrza rury.

Śruba Archimedesa jest maszyna Śruba Archimedesa jest maszyna prosta, używaną od czasów prosta, używaną od czasów starożytnych do nawadniania starożytnych do nawadniania kanałów irygacyjnych. W Holandii kanałów irygacyjnych. W Holandii z kolei służyła do osuszania z kolei służyła do osuszania terenów położonych poniżej terenów położonych poniżej poziomu morza.poziomu morza.

"Dajcie mi punkt "Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę podparcia, a poruszę

Ziemię". Ziemię". Równowaga zachodzi wtedy, gdy iloczyny długości ramion przez Równowaga zachodzi wtedy, gdy iloczyny długości ramion przez

odpowiednie ciężary (siły) są sobie równe.odpowiednie ciężary (siły) są sobie równe.

JEŚLI NA DŹWIGNI PO PRAWEJ STRONIE POŁOŻYMY 4 TALENTY JEŚLI NA DŹWIGNI PO PRAWEJ STRONIE POŁOŻYMY 4 TALENTY I 12 TALENTÓW, TO BĘDZIE ONA W RÓWNOWADZE. MIMO, ŻE I 12 TALENTÓW, TO BĘDZIE ONA W RÓWNOWADZE. MIMO, ŻE JEDNO RAMIĘ JEST TRZY RAZY DŁUŻSZE OD DRUGIEGO,JEDNO RAMIĘ JEST TRZY RAZY DŁUŻSZE OD DRUGIEGO,

Legenda o odkryciu Legenda o odkryciu prawa wyporuprawa wyporu

Władca Syrakuzy, Hieron II, powziął podejrzenie, że złotnik, któremu powierzono Władca Syrakuzy, Hieron II, powziął podejrzenie, że złotnik, któremu powierzono wykonanie korony ze szczerego złota, sprzeniewierzył część otrzymanego na to kruszcu i wykonanie korony ze szczerego złota, sprzeniewierzył część otrzymanego na to kruszcu i w zamian dodał pewną ilość srebra. W celu rozwiania trapiących go wątpliwości zwrócił się w zamian dodał pewną ilość srebra. W celu rozwiania trapiących go wątpliwości zwrócił się do Archimedesa z prośbą o ustalenie, jak sprawa ma się naprawdę. Prośbę swą Hieron II do Archimedesa z prośbą o ustalenie, jak sprawa ma się naprawdę. Prośbę swą Hieron II obwarował żądaniem, którego spełnienie przekreślało, wydawałoby się, możliwość obwarował żądaniem, którego spełnienie przekreślało, wydawałoby się, możliwość uczynienia zadość życzeniu władcy. Otóż w żadnym wypadku Archimedes nie mógł zepsuć uczynienia zadość życzeniu władcy. Otóż w żadnym wypadku Archimedes nie mógł zepsuć misternie wykonanej korony, istnego arcydzieła sztuki złotniczej. Długo, aczkolwiek misternie wykonanej korony, istnego arcydzieła sztuki złotniczej. Długo, aczkolwiek bezskutecznie, rozmyślał fizyk nad sposobem wybrnięcia z sytuacji. Pewnego razu bezskutecznie, rozmyślał fizyk nad sposobem wybrnięcia z sytuacji. Pewnego razu Archimedes, zażywając kąpieli w wannie i nieustannie rozmyślając nad powierzonym mu Archimedes, zażywając kąpieli w wannie i nieustannie rozmyślając nad powierzonym mu zadaniem, zauważył, że poszczególne członki jego ciała są w wodzie znacznie lżejsze niż w zadaniem, zauważył, że poszczególne członki jego ciała są w wodzie znacznie lżejsze niż w powietrzu. Nasunęło mu to myśl, że istnieje określony stosunek między zmniejszeniem się powietrzu. Nasunęło mu to myśl, że istnieje określony stosunek między zmniejszeniem się ciężaru ciała zanurzonego, a ciężarem wypartego płynu (prawo Archimedesa). ciężaru ciała zanurzonego, a ciężarem wypartego płynu (prawo Archimedesa). Zachwycony prostotą własnego odkrycia wybiegł nago z wanny z radością krzycząc Zachwycony prostotą własnego odkrycia wybiegł nago z wanny z radością krzycząc Eureka !Eureka ! EurekaEureka!, co znaczy po grecku !, co znaczy po grecku Znalazłem!Znalazłem! . .

Stanąwszy przed obliczem Pierona, Archimedes łatwo wykazał fałszerstwo złotnika.Stanąwszy przed obliczem Pierona, Archimedes łatwo wykazał fałszerstwo złotnika.Okazało się bowiem, że korona, niby Okazało się bowiem, że korona, niby szczerozłotaszczerozłota, wyparła więcej cieczy, , wyparła więcej cieczy,

niż równa jej co do wagi bryła złota, co oznacza, że miała większąniż równa jej co do wagi bryła złota, co oznacza, że miała większąobjętość, więc mniejszą gęstość – nie byłaobjętość, więc mniejszą gęstość – nie była

ze złota [2].Wbrew powszechnemu przekonaniu Archimedesze złota [2].Wbrew powszechnemu przekonaniu Archimedes nie zastosował jednak do tej korony swojego nowo odkrytegonie zastosował jednak do tej korony swojego nowo odkrytego

prawa – nie mierzył spadku jej ciężaru, lecz ilość wypartej wody.prawa – nie mierzył spadku jej ciężaru, lecz ilość wypartej wody.

TALESTALES Tales z Miletu ( ok. 640-

546 p.n.e.) jest uważany za jednego z siedmiu najwybitniejszych mędrców starożytności. Był nie tylko filozofem, ale także matematykiem i astronomem. Potrafił podobno przewidywać zaćmienia Słońca i Księżyca. Prawdopodobnie przewidziane przez niego zaćmienie Słońca w dniu 28 V 585 r. p.n.e. Wpłynęło na przebieg bitwy nad rzeką Halsy. Podobno Tales jako pierwszy ustalił, że rok trwa 365 dni. Określił także, w jaki sposób można kierować się w nawigacji położeniem gwiazd Małego Wozu.

Twierdzenie Twierdzenie TalesaTalesa

Jeżeli ramiona kąta Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi przetniemy prostymi

równoległymi, to równoległymi, to odcinki wyznaczone odcinki wyznaczone przez te proste na przez te proste na

jednym ramieniu kąta jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do są proporcjonalne do

odpowiednich odpowiednich odcinków na drugim odcinków na drugim

ramieniu kąta.ramieniu kąta.

Twierdzenia Twierdzenia geometryczne Talesageometryczne Talesa

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności

greckiego filozofa Proklosa, działającego w V w. p.n.e., Talesowi greckiego filozofa Proklosa, działającego w V w. p.n.e., Talesowi

przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:

. Średnica dzieli okrąg na połowy.. Średnica dzieli okrąg na połowy.

Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.

. Kąty wierzchołkowe, czyli kąty naprzeciw siebie, powstałe na . Kąty wierzchołkowe, czyli kąty naprzeciw siebie, powstałe na

skutek przecięcia dwóch linii prostych, są równe.skutek przecięcia dwóch linii prostych, są równe.

. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem . Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem

prostym.prostym.

. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są . Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są

równe, to te trójkąty są przystające.równe, to te trójkąty są przystające.

EUKLIDESEUKLIDES Euklides -ur. ok.365 . p.n.e., zm. ok. Euklides -ur. ok.365 . p.n.e., zm. ok.

300 r. p.n.e.– matematyk grecki 300 r. p.n.e.– matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor życia działający w Aleksandrii. Autor pierwszych prac teoretycznych pierwszych prac teoretycznych matematyki. Główne jego dzieło matematyki. Główne jego dzieło ”Elementy” (tytuł grecki ”Elementy” (tytuł grecki Stoicheia Stoicheia geometriasgeometrias). Są one syntezą ). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii , jak i zarówno w dziedzinie geometrii , jak i w teorii liczb. w teorii liczb. ElementyElementy są pierwszą są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Dzieło to może pochwalić się wieku. Dzieło to może pochwalić się wielką poczytnością, zostało ono wielką poczytnością, zostało ono przetłumaczone na olbrzymią ilość przetłumaczone na olbrzymią ilość języków, zaś liczbą wydań ustępuje języków, zaś liczbą wydań ustępuje jedynie Biblii. W dziele Elementy jedynie Biblii. W dziele Elementy usystematyzował ówczesną wiedzę usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki.astronomii, teorii muzyki.

LICZBY LICZBY PIERWSZEPIERWSZE

Najmniejszy różny od jedynki dzielnik liczby Najmniejszy różny od jedynki dzielnik liczby naturalnej większej od jedności jest liczbą naturalnej większej od jedności jest liczbą pierwszą.pierwszą.

EUKLIDESEUKLIDES pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych: Niech X będzie skończonym zbiorem liczb liczb pierwszych: Niech X będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech x będzie iloczynem wszystkich liczb występujących pierwszych. Niech x będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w X (gdy X jest puste, to x=1). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb x w X (gdy X jest puste, to x=1). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb x oraz x+1 jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w X, nie oraz x+1 jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w X, nie jest dzielnikiem liczby x+1. Ale x+1 > 1. Więc x+1 ma dzielnik p, jest dzielnikiem liczby x+1. Ale x+1 > 1. Więc x+1 ma dzielnik p, który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza p nie należy do X (bo jest który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza p nie należy do X (bo jest dzielnikiem liczby x+1).dzielnikiem liczby x+1).

Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.liczby.

ALGORYTM ALGORYTM EUKLIDESAEUKLIDESA

Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch liczb jest największą Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch liczb jest największą liczbą naturalną spośród tych, które dzielą obie te liczby bez resztyliczbą naturalną spośród tych, które dzielą obie te liczby bez reszty

W codziennej praktyce NWD służy nam do skracania ułamków do W codziennej praktyce NWD służy nam do skracania ułamków do postaci właściwej.postaci właściwej.

Dane:n, m – dwie liczby naturalne.

Dane wyjściowe: liczba naturalna będąca największym wspólnym dzielnikiem liczb n i m.

W pierwszej sekcji algorytmu sprawdzamy czy m > n i jeżeli tak jest to zamieniamy miejscami wartości zmiennych m i n, aby był spełniony wymagany warunek m <=n

wyk. Klasa II a gm.

08.01. 2013r., Jawornik Polski

Liczba jest istotą rzeczy…