Szanowni koledzy! Jak pewnie wi�kszo�ci z Pa�stwa wiadomo, postanowili�my układa� zadania na kolejne �wiczenia, które �wiczeniowcy mog� na swoich zaj�ciach wykorzysta� a w ka�dym razie s� zobowi�zani rozprowadzi� w�ród swoich studentów jako standard wymaga� egzaminacyjnych. Mam nadziej�, �e wkrótce uda mi si� uruchomi� w sieci SHG stron� wspomagaj�c� nauczanie matematyki na dziennych i popołudniowych studiach, gdzie b�dziemy umieszcza� te materiały z dost�pem dla wszystkich studentów. Na razie próbuj � rozpowszechni� to meilowo lub dla wybranych osób bezpo�rednio. Przesyłamy pierwsz� porcj� zada� do �wicze� nr3 za chwil� dostarcz� nast�pne i tak do ko�ca semestru.

Ci�gi liczbowe – własno�ci i granica

Własno�ci ci�gów

1. Niech 32 −−= nan dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy (an) jest ciągiem monotonicznym,

ograniczonym, arytmetycznym. 2. Dla następujących ciągów napisać ogólny wyraz:

a) ,...27

2,

9

2,

3

2,2 ; b) ,...6,

7

5,4,

5

3,2,

3

1; c) ,...

16

11,

12

8,

8

5,

4

2 −− .

3. Sprawdzić czy następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym

a) n

na

=5

3, b)

nn

na

2

!= , c) ( )

2

1

na

n

n

−= .

Dla ciągu geometrycznego obliczyć sumę 10S .

4. Czy następujący ciąg jest ciągiem arytmetycznym

a) 72 += nan , b) !

2

na

n

n = , c) nan 37 −= .

Dla ciągu arytmetycznego obliczyć sumę 10S .

5. Niech 123 −⋅= nna dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy:

a) 102 =a ,

b) 1261 −⋅=+n

na dla n = 1,2,...

c) ciąg ( na ) jest rosnący.

6. Niech n

na nn

162 +−= dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy

a) 322 −>a ,

b) ciąg na jest malejący,

c) ciąg na jest ograniczony z góry.

7. Niech nn

n

na42

)1( 1

+−=

+ dla n = 1,2,... Sprawdzić, czy spełnione ciąg ( na ) jest monotoniczny i

czy jego wyrazy spełniają warunek 61

201 ≤≤− na .

8. Ciąg an ma wyraz ogólny dany wzorem n n 3+ dla n = 1,2,3,... Zbadać, czy jest to ciąg arytmetyczny.

*9. Niech nn

nn

na25

25 22

+−= dla n = 1,2,... Wykazać, Ŝe nn

na 25 −= oraz sprawdzić, czy ( na )

jest ciągiem geometrycznym i czy jest monotoniczny. *10. Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 312 −=− aa . Wykazać, Ŝe jest on ciągiem malejącym, a ponadto: a) 53 +−= nan ,

b) 62 −=+ nn aa dla n = 1,2,...

*11. Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 2

1−=q . Wyznaczyć wzór

ogólny tego ciągu oraz wykazać, Ŝe nn aa 41

2 =+ dla n = 1,2,... .

Granica ci�gu

Obliczyć granicę ciągu (an), jeśli:

1. nn

nnan 52

232

2

+++=

2.384

7322

23

+++−−=

nn

nnan

3.869

37653

24

+++++−=

nn

nnnan

4. 44

44

)2()2(

)2()2(

−++−−+=

nn

nnan

5. )8(274

2)3)(1(423

2

−++

+−=nnn

nnnan

6. )3(5)1(

)5(32

32

+++

+=nnn

nnnan

7. nnnan 234 2 −+=

8. 2

32

)1(1

−+=nn

an

n

9. n

nn

na5

47 2−=

10. n

na

nn 3

12 −=

Zadania przygotował Prof. S. Dorosiewicz z zespołem.

11. 3 21 nna +=

12. 52

23

2 ++−

= n

nn

na

13. 152

32

2

3

1 ++−+

=nn

n

na

14. 1

1

5 += nna

15. n

n n

na

+= 2

16. 5

1

11

+

+−=

n

n na

17.

1

3

−

+=

n

n n

na

18. 2

2

31

−−

++=

n

n na

19. 12

3

7+

++=

n

n n

na

*20. 3

2

11

+

−=n

nn

a

*21. n

n nn

nna

+−=

)1(2

3

To kolejny zestaw zadao do dwiczeo nr. 4. Mam nadzieję, że tym razem dotrze

do wszystkich na czas. Pozdrawiam- W. Marcinkowska

Zadania 2 do matematyki 75h.

Funkcje, wykresy, podstawowe własności, granica i ciągłośd.

1.W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji

a następnie wyznaczyd

a) punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.

b) obrazy , jeśli

c) przeciwobrazy , jeśli .

2. W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji

a następnie

a) wyznaczyd punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.

b) dla każdej z tych funkcji wyznaczyd przedziały w których funkcji jest rosnąca,

c) zbadad różnowartościowośd każdej z tych funkcji.

3. W tym samym układzie współrzędnych narysowad wykresy trzech funkcji określonych

wzorami

Wyznaczyd zbiory

a)

b)

c)

4.Dla , podad wykres, określid zbiór wartości oraz wyznaczyd zbiór ,

jeśli

a) ,

b) ,

c)

5. Wiadomo, że

Wyznaczyd, o ile to możliwe następujące granice;

6. Obliczyd granice:

7. Dla podanych funkcji wyznaczyd dziedzinę oraz granice na wszystkich koocach przedziałów

określoności

a) b) c)

8. W zależności od wartości parametru , gdzie , wyznacz wartośd granicy lub granic

jednostronnych funkcji

9. Narysowad wykres funkcji

a) Określid przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji .

b) Wyznaczyd zbiór

10.Stosując definicję ciągłości funkcji, zbadad ciągłośd

11. W układzie współrzędnych narysowad przykładowy wykres funkcji , która jest ciągła w

oraz spełnia następujące warunki:

c) Ile najmniej miejsc zerowych musi mied funkcja w każdym z przypadków a) i b)?

12. Zbadad ciągłośd funkcji w punkcie , jeśli

13. Zbadad ciągłośd funkcji w punkcie , jeśli

14. Dla jakiej wartości parametru , gdzie , funkcja jest ciągła w , jeśli

Po ustaleniu wartości parametru narysowad wykres tej funkcji a następnie wyznaczyd przedziały

monotoniczności i ekstrema funkcji .

15. Dla jakiej wartości parametru , gdzie , funkcja jest ciągła w , jeśli

Po ustaleniu wartości parametru narysowad wykres tej funkcji a następnie wyznaczyd przedziały

monotoniczności i ekstrema funkcji .

16. Jedna z własności funkcji ciągłych:

Funkcja określona na przedziale <a; b> i ciągła na tym przedziale

przyjmuje wszystkie pośrednie wartości pomiędzy .

Na podstawie tej własności oraz przy zastosowaniu do obliczeo arkusza kalkulacyjnego, np. EXCEL,

wyznaczyd z dokładnością do wartośd rozwiązania równania

a) b)

17. Wyznaczyd asymptoty pionowe i poziome wykresu funkcji określonej wzorem:

a) b) c) h(x)= d) k(x)=

Zadania nr 3 do MATEMATYKI 75 Pochodna I-go rzędu. (A.Bryk i W. Marcinkowska)

Zadanie 1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie :

wyznaczyd, o ile istnieje, pochodną

a) funkcji w punkcie oraz w punkcie

b) funkcji w punkcie oraz w punkcie

c) funkcji w punkcie , punkcie oraz w punkcie .

Zadanie 2. Wykonad polecenie sformułowane w zadaniu 1, wykorzystując nie definicję pochodnej

lecz reguły różniczkowania funkcji. Dla kolejnych podpunktów a) ,b), c) zad.1.porównad wyniki,

otrzymane każdą z metod.

Zadanie 3. Na podstawie definicji (por. zad.1) wyznaczyd pochodne następujących funkcji w

dowolnym punkcie należącym do dziedziny tych funkcji

a) , gdzie

b) , gdzie

c) , gdzie

Zadanie 4. Korzystając z ogólnej reguły różniczkowania funkcji potęgowej:

,gdzie oraz

wyprowadzid wzory na pochodną następujących funkcji:

a) , b) , c) , d) , e)

Zadanie 5. Na podstawie reguły z zadania 3 i wzorów na pochodną sumy dwóch funkcji oraz

pochodną iloczynu funkcji przez stałą obliczyd pochodne

a) , gdzie

b) gdzie

c) , gdzie

d) , gdzie

Zadanie 6. Uzasadnid prawdziwośd następującego wzoru

gdzie pochodna jest liczona po zmiennej oraz , , … , .

Zadanie 7. Stosując reguły różniczkowania iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, wyprowadzid wzory na

pochodną następujących funkcji oraz . jeśli c jest

funkcją różniczkowalną w .

Zadanie 8. Napisad wzory na pochodną funkcji a następnie wyznaczyd

pochodną funkcji

a) gdzie : c)

b) , gdzie : d)

Zadanie 9. Pamiętając, że a także, że , zróżniczkowad funkcje

a) , gdzie d) , gdzie x

b) , gdzie e) gdzie ,

c) , gdzie x .

Zadanie 10. Na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonych:

ocenid, które z następujących zależności są prawdziwe, jeśli jest funkcją różniczkowalną w

całej swojej dziedzinie

a) czy ?

b) czy ?

c) czy ?

d) czy ?

e) czy ?

Zadanie 11. Obliczyd pochodne podanych niżej funkcji złożonych,

a) , b) ., c) , d) ,

e) ., f) , g) , h)

Zadanie 12. Korzystając z reguł różniczkowania, obliczyd wartośd w punkcie

a) w punkcie (odp.:-0,5)

b) w punkcie (odp.: 1)

c) w punkcie (odp.: )

d) w punkcie (odp 0)

e) w punkcie (odp 0,5)

f) w punkcie (odp )

Zadanie 13. Wyznaczyd równanie stycznych do wykresu funkcji , jeśli podane są punkty

styczności . W każdym przypadku narysowad wykres funkcji oraz na tym samym rysunku

wyznaczoną w zadanym punkcie styczną

a) …………

b) ,dla

c) , dla i

d) , i .

Zadanie 14. Wyznaczyd równania wszystkich tych stycznych do wykresu funkcji , które to

styczne są równoległe do dwusiecznej kąta drugiej dwiartki układu współrzędnych, jeśli funkcja jest

określona wzorem

Zadanie 15. Na wykresie wielomianu wskazad punkty, w których styczna jest

pozioma.

Zadania nr 4 do MATEMATYKI 75 Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1. Obliczyć granice następujących funkcji stosując w kaŜdym przypadku dwie

metody (jedna z nich to wykorzystanie reguły de L’Hospitala)

1.1. ������������� �

�� ����� 1.2. ����� √��

��

Zadanie 2. Korzystając z reguły de L’Hospitala, obliczyć granice funkcji:

2.1. lim�����

�� 2.6. lim������ �

�

2.2. lim������

�� � 2.7. lim������� ln �"

2.3. lim��� � ln � 2.8. lim���� �� #��

2.4. lim������

��$ 2.9. lim����

$

�

$

���$"

1.5. lim������ �

� 2.10. lim���

� %&� �����'

�'���� �"'

Zadanie 3 Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty ukośne wykresów funkcji w +∞ lub -∞

3.1 )��" *+�'����$

,��� 3.2 )��" *

�� √�-

√��$-

3.3 )��" * � · #�/� 3.4 )��" * � ln�

$

�0 #"

Wskazówka: Asymptotą ukośną wykresu funkcji )��" nazywamy prostą y= ax+b, gdzie

1 * 234���5��"

� oraz 6 * 234����)��" 1�". Asymptota ta istnieje tylko wówczas, gdy

obie granice a i b istnieją i są skończone.

Zadanie 4 Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji

4.1. )��" *�

78� 4.2. )��" *

78�

√� 4.3. )��" * ��29�

Zadanie 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

5.1. )��" * $

+�+ 0

$

��� 6� 0 7 5.2. )��" *

$

+�+ 0

+

��� 10� 0 12

5.3. )��" *��$

�√� 5.4 )��" * ��� 5" · #�'

5.5. )��" * |�| · #��' 5.6. )��" * ln�1 ��)

Zadanie 6. Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne

6.1.)��" *$

A�A

$

+3 �� 0 2 6.2. )��" *

78�

√� 6.3. )��" *

$

78�0 29�

6.4. )��" * |� 0 3| 1 6.5. )��" * #/

/C�' 6.6. )��" * ��29�

Zadanie 7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale:

7.1. )��" *$

A�A

$

+3 �� 0 2 � D E 4, 1H

7.2. )��" * ��� 3"#|�| � D E 4, √3H

7.3. )��" * |� 5|#/� � D E$

�, 10H

Zadanie 8.

ZaleŜność popytu p na dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta x (x>0)

wyraŜa się wzorem:

a) I��" *+

�#�

/�

b) I��" *+

�' #�/�

c) I��" *+

�#�

/

�'

W kaŜdym przypadku naleŜy ustalić poziom dochodu konsumenta, przy którym popyt jest

największy.

Zadanie 9

Cena zbytu pewnego wyrobu (J Kł za jednostkę tego wyrobu) jest określona następującym

wzorem

I��" * 0,2�+ 0 12�� 0,

�,

gdzie x oznacza wielkość produkcji tego wyrobu. Koszt całkowity produkcji w zaleŜności od

jej wielkości wynosi

M��" * 0,05�A 0 4�� . a) Wyznaczyć produkcję, przy której przedsiębiorstwo uzyskuje największy zysk.

b) Wyznaczyć maksymalną i minimalną wielkość produkcji, przy której przedsiębiorstwo nie

wykazuje strat.

Zadanie 10

Niech K(x) oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego dobra.

M��" * �+ 40�� 0 490� a) Wyznaczyć dla tego dobra poziom produkcji, przy którym koszt przeciętny jest najniŜszy

b) Określić funkcję kosztów krańcowych.

Zadanie 11

Wyznaczyć cenową elastyczność popytu dla cen I�$ * 10 3 I�� * 100 , jeŜeli zaleŜność

popytu od ceny towaru p wyraza się wzorem

)�I" * $

O0 I.

Podać interpretację uzyskanego wyniku.

Zadanie 12

Wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w punkcie �� * 10, jeśli cena zbytu towaru wynosi

I��" * 0,1�� 0,5� 0 20, gdzie x jest wielkością produkcji.

(J. Nowakowski z zespołem)

Zadania nr 5 do MATEMATYKI 75 Pochodna II-go rzędu. (M. Dędys)

1. Wyznacz pochodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie 0x .

a) 5)(3

3

1 +−= xxxxf , 40 =x (odp. 4

61)4( =′′f )

b) xxxf ln)( = , ex =0 (odp. 1

)(−=′′ eef )

c) x

exf

x−=)( , 10 =x (odp.

15)1(

−=′′ ef ).

2.Wyznacz pochodne drugiego rzędu funkcji f oraz przedziały., w których ta funkcja

i) rośnie coraz szybciej; ii) maleje coraz szybciej; iii) jest wklęsła; iv) jest wypukła gdy

a) xxxf −= 3)(

b) ...4,3,2,)( =−= nnxxxfn

c) ,....3,2,1),1()( =−= nxxxfn

d)* nxxxf )1()( −= , ,...2,1=n

e)* .....3,2,1,,)1()( =−= mnxxxfmn

f) xxxf sin)( += .

3. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji f .

a)x

xxf1

)( += b)2

1

1)(

xxf

+= c)

2)(

+=

x

exf

x

d)x

exxf−= 3

)( e)x

xxf

ln)( = .

4. Zbadaj tempo zmian funkcji f .

a) 496)(23 +−+−= xxxxf b) 4)(

2 −= xxf

c) xxexf

1

)( = ; d) 2

1ln)(

xxxf = .

5.* Naszkicuj wykres funkcji f .

a)4

)(2

2

−=

x

xxf ; b)

1)(

2 +=

x

xxf c)

2)(

xexf

−= .

6.Zbadaj dla jakich wartości parametrów R∈γβα ,, funkcja γβα ++= xxxf )( jest

wklęsła, a dla jakich wartości jest wypukła w przedziale ),0( ∞ .

7.Zbadaj, dla jakich wartości parametru R∈α funkcja x

exf

α+=

1

1)( jest wklęsła, a dla

jakich wartości wypukła w przedziale ),0( ∞ .

8.Zbadaj tempo zmian funkcji 2

)(axax

eexf

−+= w zaleŜności od wartości parametru

Ra ∈ .

9. Dana jest funkcja wielkości produkcji ( )23),( yxyxf += , gdzie yx, są nakładami

na czynniki produkcji. A i B odpowiednio Jeśli nakłady na czynnik A rosną, zaś nakłady na czynnik B pozostają bez zmian, to w jakim tempie zmienia się wielkość produkcji? 10. Kupiec zastanawiając się nad sprzedaŜą skrzynki wina analizuje aktualną wartość tejŜe skrzynki w zaleŜności od momentu sprzedaŜy t oraz stopy dyskontowej r. Funkcja

aktualnej wartości dana jest wzorem 1),( += −tertf

rt . Określić moment t , w którym,

przy ustalonej stopie dyskontowej r obecna wartość skrzynki wina będzie największa ?

11. Wyznacz z definicji pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie

)00 ,( yx , o ile istnieją.

a) yxyyxf += 2),( , )1,2(,( )00 −=yx

b) xyyxf 2),( = , )1,0(,( )00 =yx .

12. Oblicz pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji f po kaŜdej ze zmiennych x oraz y.

a) xyxyxyxf ++= 22),( b) yyxyxf += cos),( c)

yxxeyxf

−= 2),(

d) yx

yxyxf

+

−=),( e) xyxyxf 2),(

4 −= f) )3ln(),(2

xyxyxf += .

13. Dane są funkcje róŜniczkowalne RRg →: oraz RRh →: . Wyznacz obie pochodne

cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f .

a) )()(3),( ygxhyxf +=

b) )()(),( ygxhyxf =

c) )(

)(),(xg

exhyxf = .

14. Dana jest funkcja RRf →2: , yyxyxyxf 32),(

423 ++= . Sprawdź, Ŝe

),(),( yxfyxf yxxy ′′=′′ dla 2),( Ryx ∈ .

15. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f .

a) 532),(33 +++= xyxyxyxf b)

x

yyxf =),( c)

yxyxf =),(

d) yxeyxf

2

),( = e) yxxyeyxf

+=),( f)yx

yxf3

1),(

2 += .

1

Zadania nr 6 do MATEMATYKI 75. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

1. Narysowa¢ warstwice funkcji f dla podanych warto±ci c:a) f(x, y) = 2x + 5; c = −1, c = 1, c = 3;b) f(x, y) = −3x + y + 7; c =0, c = 2, c = −2;c) f(x, y) = x2 + y2 − 1; c = −3, c = −1, c = 3, c = 8;d) f(x, y) = ex2+y2−2x+4y; c = 1, c = e, c = 1

e3 ;e) f(x, y) = x+y

x−y, dla x 6= y; c = 1, c = 0, c = −2;

f) f(x, y) = ye−x + 3; c = −1, c = 3, c = 4;g) f(x, y) = |x + 3|+ |y − 1|; c ≥ 0;h) f(x, y) = max{|x| , |y|}; c ≥ 0;i) f(x, y) = ln(1−x+y

x2+y2 ), dla 0<x− y < 1; c ≥ 0.

2. Wyznaczy¢, korzystaj¡c z warstwic, najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f na zbiorze X,je±li:

a) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1), X = {(x, y) ∈ R2 : 2 |x|+ |y| ≤ 2};b) f(x, y) = x− y, X = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1};c) f(x, y) = x2 − 2xy + y2, X = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 4}.

3. Sprawdzi¢, czy funkcja f(x, y) = 3x3 + 3x2y − y3 − 15x ma ekstrema lokalnew punktach P1(1,−1), P2(1, 1), P3(

√5,−√

5).

4. Wyznaczy¢ (o ile istniej¡) ekstrema lokalne funkcji:a) f(x, y) = 4x2 + y2 + 10x− 8y − 5;b) f(x, y) = 3x2 + 3xy − y2 − 15x;c*) f(x, y) = x3 + 3xy2 − 6xy;d) f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2;e) f(x, y) = x2 + y4 − 2xy + 1;f) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy + 2;g) f(x, y) = x3 + y2 − 6xy − 48x;h) f(x, y) = 4xy + 1

x+ 1

y;

i) f(x, y) = 1−√

x2 + y2 ;j) f(x, y) = (1 + ex) cos y − xex;k*) f(x, y) = xy ln(x2 + y2), gdzie (x, y) 6= (0, 0).

5. Liczb¦ a > 0 zapisa¢ w postaci sumy 3 liczb, których iloczyn jest maksymalny.

6. Firma produkuje dwa wyroby w warunkach doskonaªej konkurencji. Ceny produkowanychwyrobów wynosz¡ odpowiednio P1 i P2. Oznaczmy przez Q1 i Q2 poziomy produkcji wyrobupierwszego i drugiego. Zakªadamy, »e funkcja kosztów caªkowitych rozwa»anej �rmy ma posta¢C(Q1, Q2) = Q2

1 + Q1Q2 + Q22. Wyznaczy¢ poziomy produkcji przy których zysk �rmy jest

maksymalny.

7. Zaªó»my, »e �rma rozwa»ana w poprzednim zadaniu jest teraz monopolist¡ na rynku. Oznaczato, »e ceny obu produktów zale»¡ od wielko±ci produkcji. Przyjmujemy, »e funkcje popytu zjakimi styka si¦ monopolista s¡ nast¦puj¡ce:

Q1(P1, P2) = 40− 2P1 + P2, Q2(P1, P2) = 15 + P1 − P2.

2

Funkcja kosztów caªkowitych jest taka sama jak poprzednio. Wyznaczy¢ poziomy produkcjimaksymalizuj¡ce zysk �rmy.

8. Wyznaczy¢ i zinterpretowa¢ elastyczno±ci cz¡stkowe funkcji w podanych punktach:a) f(x, y) = 5x + 2y + 3, P (4, 10);b) f(x, y) = x ln y, P (2, e);c) f(x, y) = 9K1/4L3/4, P (k, l).

9. Oszacowana funkcja produkcji przedsi¦biorstwa ma posta¢

Y = 6K3/2L1/2,

gdzie Y oznacza wielko±¢ produkcji, K � warto±¢ maj¡tku produkcyjnego, L � zatrudnienie.W pewnym okresie otrzymano warto±ci: K=50, L=400.a) Jaka byªa w tym okresie elastyczno±¢ produkcji przedsi¦biorstwa wzgl¦dem: 1) maj¡tku

produkcyjnego? 2) zatrudnienia?b) Planuje si¦ na koniec okresu zmniejszenie zatrudnienia o 10%. Jaki wzrost maj¡tku

produkcyjnego pozwoliªby utrzyma¢ wielko±¢ produkcji na niezmienionym poziomie?

10. Popyt zewn¦trzny na eksport (X) zale»y od dochodu za granic¡ (Y ) i ±redniego poziomucen (P ):

X = Y 1/2 + P−2.

Znale¹¢ elastyczno±¢ cz¡stkow¡ zagranicznego popytu na eksport wzgl¦dem poziomu cen.

Zadania nr 7 do MATEMATYKI 75

1. Dane są wektory ]2,1[=x , ]1,1[−=y oraz ]3,3[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać

interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.

a) x3− b) zx − c) z2yx31++ .

2. Dane są wektory ]0,1,2[=x , ]1,0,2[ −−=y oraz ]1,1,1[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać

interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.

a) x2 b) zx − c) z2yx +− .

3.W przestrzeni wektorowej 4

R rozwiązać równanie:

a) ]0,2,3,2[]3,2,0,1[ −−=− x ;

b) ]1,0,4,2[2 −=x ;

c) xx 3]1,5,2,2[]0,3,2,0[ −−=−+ .

4. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów k21 xxx ...,,, , gdy:

a) ]4,1[ −=y , ]2,1[1 −=x , ]1,1[2 −=x ;

b) ]4,1[ −=y , ]2,1[1 −=x , ]1,1[2 −=x , ]1,5[3 =x ;

c) ]0,1[=y , ]2,1[1 =x , ]1,[2 −= ax , gdzie Ra ∈ jest parametrem;

d) ]3,2,2[ −−=y , ]1,0,1[1 −=x , ]1,2,0[3 =x ;

e) ]1,1,1[=y , ]1,0,1[1 −=x , ]1,2,0[2 =x ;

f) ]1,1,4,5,6[ −=y , ]0,1,0,1,1[1 −=x , ]0,1,0,1,1[2 −=x , ]2,1,1,0,0[3 =x .

5. Sprawdzić, czy wektory k21 xxx ...,,, są liniowo niezaleŜne, gdy:

a) ]2,1[1 =x , ]6,3[2 −−=x ;

a) ]2,1[1 =x , ]3,1[2 −=x ;

b ) ]2,1[1 =x , ]3,1[2 −=x , ]1,0[3 =x ;

c) ]1,1[1 −=x , ],1[2 a−=x , gdzie Ra ∈ jest parametrem;

d) ]0,1,1[=1x , ]2,0,1[2 −=x , ]1,1,0[3 −=x ;

e) ]0,1,1[=1x , ]1,3,2[2 −−=x , ]1,1,0[3 −=x ;

f) ]1,0,1,3[2 −=x , ]2,1,0,0[3 =x ]0,0,1,1[1 −=x .

6. Pokazać, Ŝe jeśli wektor y jest kombinacją liniową wektorów k21 xxx ...,,, , to wektory y ,

k21 xxx ...,,, są liniowo zaleŜne.

7. Wektory zyx ,, są liniowo niezaleŜne. Zbadać liniową niezaleŜność wektorów:

a) yzyx2xz −−− 2,,4 ;

b) zyxyxx −+− ,, .

8. Podać interpretację geometryczną zbioru },:{ 2RttRV ∈+=∈= vaxx , gdy:

a) ]1,2[],0,0[ == va ;

b) ]1,2[],3,0[ == va ;

c) ]1,2[],4,2[ == va ;

d) ]1,2[],1,1[ =−−= va .

9. Sprawdzić, czy punkty 3,, xxx 21 naleŜą do jednej prostej, gdy:

a) ]2,0,1[=1x , ],3,1,3[2 −=x , ]1,1,1[3 −−−=x ;

b) ]2,0,1[=1x , ],3,1,3[2 −=x , ]2,1,2[3 =x ;

c) ]0,1,0,1[ −=1x , ]1,0,1,1[2 =x , ]2,1,2,1[3 =x .

10. Niech ]1,1,1[ −=a oraz ]2,1,1[=b . Sprawdzić, czy x naleŜy do

I. prostej przechodzącej przez punkty a i b ;

II. odcinka o końcach w punktach a i b , gdy:

a) ]0,2,1[=x , b) ]0,3,1[ −=x , c) ],,1[47

21=x .

11. Dany jest zbiór }2:{ 3213

bxxxRVb =+−∈= x gdzie parametr b jest ustaloną liczbą rzeczywistą

oraz ]1,0,2[],0,1,1[ 21 −== xx .

a) Pokazać, Ŝe },,:{ 213

0 RRV ∈+=∈= βαβα xxxx

i podać interpretację geometryczną zbioru 0V .

b) Podać przykład wektora 10 V∈x , a następnie uzasadnić, Ŝe 10 V∈+ yx dla kaŜdego 0V∈y .

c) Pokazać, Ŝe },,:{ 2103

1 RRV ∈++=∈= βαβα xxxxx . Podać interpretację geometryczną

zbioru 1V .

d) Sprawdzić, czy dla dowolnych wektorów jeśli 1, V∈zy , to 1V∈+ zy ?

12. Dany jest zbiór }132:{ 3213 ≤−+∈= xxxRV x . Pokazać, Ŝe jeśli V∈ba, , to

VtttR ⊂>∈<−+=∈ }1,0,)1(:{ 3 baxx . Podać interpretację geometryczną tego faktu.

13. Dane są zbiory }22:{ 313 =−∈= xxRV x oraz }33:{ 321

3 =++−∈= xxxRW x .

a)Wyznaczyć zbiór WV ∩ i podać interpretację geometryczną tego zbioru.

b)Podać interpretację geometryczną zbioru }5:{ 323 =+∈∩∩ xxRWV x .

c)Pokazać, Ŝe dla kaŜdego Ra ∈ zbiór }:{ 3213

axxxRWV =++∈∩∩ x jest jednoelementowy.

14. Dane są wektory ]1,1[1 −=x , ]1,0[2 =x .

a) Pokazać, Ŝe dowolny wektor 2

R∈x jest kombinacją liniową wektorów 1x i 2x .

b) Uzasadnić, Ŝe 2

212 },,:{ RRR =∈+=∈ βαβα xxxx .

c) Czy wektory 1x , 2x , oraz 2

R∈x tworzą, przy dowolnie ustalonym wektorze x układ wektorów liniowo

zaleŜnych?

15. . Dane są wektory ]0,1,1[1 −=x , ]1,0,0[2 =x , ]1,0,1[3 =x .

a)Pokazać, Ŝe dowolny wektor 3

R∈x jest kombinacją liniową wektorów 1x , 2x i 3x .

b)Uzasadnić, Ŝe 3

3213 },,,:{ RRR =∈++=∈ γβαγβα xxxxx .

c)Czy wektory 1x , 2x , 3x , x , gdzie 3

R∈x jest dowolnym wektorem, są liniowo niezaleŜne?

Zadania nr 8 Matematyka 75 Macierze, działania na macierzach

1. Wykonać wskazane działania na macierzach A, B, C i D w celu wyznaczenia elementów

macierzy X lub uzasadnić, Ŝe macierz X nie istnieje, jeśli:

� � �3 2 �1 14 0 1 10 �1 �2 0 , � ��1 10 12 �1 , � � ��3 2 11 �2 05 1 1 , � � � 4 0 12�4 6 �8� oraz

a) � � ��� � � c) � � �� � 2�� e) � � � � ���

b) � � ��� � � 4�� � d) � � ����� ��� f) � � ��� � ��

2. Dana jest macierz A o wymiarach 4 � 5 i o elementach !" �# � 1, 2, 3, 4, $ � 1, 2, 3, 4, 5�,

których wartości są następujące:

� � %�12 0 4 10 3�2 1 �5 2 00 �1 3 �2 215 3 �9 6 �2'

Wyznaczyć opisane w podpunktach sumy.

a� ) � *�2 !+ � 3 !��

!,� � b� ) � *� �" � 3 +"�

",� � c� ) � * �/ /+�

/,�

3. Dane są macierze

� � �3 2 �32 �1 01 0 �1 , � ��1 �3 01 2 10 1 �2 oraz 3 � �1 0 00 1 00 0 1

Uprościć wzory określające macierz X, a następnie wyznaczyć w kaŜdym przypadku

elementy tej macierz, jeśli:

a� � � � 4�� � 3��� c) �3 � � � 3��� � � 4� � 3� b� � � � �4� � 2 ��� d) �� � �� � 4� � 3 � ��

4. Wykonać mnoŜenie macierzy.

a) � 5 65 �5 06 0 · � 5 65 �5 06 0

b) 8� 0 50 6 05 0 9+

Uwaga. �+ � � · � · �, ogólnie �: � � · � · … · � �<-krotnie)

c) � 5 60 �5 =�= 0 0 · �1 0 01 1 01 1 1 oraz �1 0 01 1 01 1 1 · � 5 60 �5 =�= 0 0

5. Wykonać mnoŜenie macierzy.

a) >? @ AB C DE F GH I JK �111 b) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK

c) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK �111

6. Posługując się przykładem konkretnej macierzy o wymiarach 4 � 2 i znanych elementach

liczbowych, podać ilustrację twierdzenia:

Dla dowolnej macierzy A macierze N � OPO oraz Q � OOP są macierzami symetrycznymi.

7. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy trzeciego stopnia, podać

ilustrację twierdzenia:

JeŜeli macierze A i B są kwadratowe tego samego stopnia oraz jeŜeli są to macierze

trójkątne górne, to N � OR teŜ jest macierzą trójkątną górną.

8. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy tego samego stopnia, zilustrować

twierdzenie:

Iloczyn macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierzą diagonalną.

9. Niech A � �a bc d� , B � �VW4XY � d �b�c a �, gdzie ad Z cb. a) Sprawdzić, Ŝe przy dowolnych liczbach a, b, c, d, jeśli ad Z cb, to AB � I� oraz BA � I�.

b) Wyznaczyć macierze � 3 �2�10 7 �4� oraz ^0,5 0,30,2 1 _4�

na podstawie punktu (a).

10. Niech A stopnia n będzie macierzą diagonalną:

� � % �� 0 ` 00 �� ` 0` ` ` `0 0 ` ::', przy czym !! Z 0 dla # � 1, 2, … , <. Zilustrować na podstawie

konkretnych przykładów macierzy trzeciego i czwartego stopnia, Ŝe

�4� �abbbbbc 1 �� 0 ` 0

0 1 �� ` 0` ` ` `0 0 ` 1 ::deeeeef

11. Dana jest macierz � � � 3 �4 0 1�2 1 �5 �14 7 6 �3 oraz wektory g, h i j+, gdzie

g � �308 , h � k?@Al, oraz wektory m, n i j�, gdzie m � %�1121 ' , n � %?�?�?+?�'.

Podany poniŜej związek zapisać w postaci układu równań.

a) �h � g c) ?�H� � ?�H� � ?+H+ � ?�H� � g

b) ��n � m d) ?D�� � @D�� � AD+� � m

gdzie wektory H" dla $ � 1, 2, 3, 4 oraz D!� dla # � 1, 2, 3 są odpowiednio kolejnymi

kolumnami i wierszami macierzy A.

12. Dla kaŜdego z poniŜszych układów równań liniowych podać jego macierzowy zapis, tj. �? � 5, gdzie A jest macierzą o wymiarach J � <, ? i j:, 5 i jo. a) p3?� �7?� �4?� � 2�?� �8?+ �9?� � 12q b) r ?� �6?� � �2�?� �8?� � 43?� �10?� � 25?� �22?� � �2q c) s 4?� �12?+ � 0 �5?� �7?+ � 0�?� �?� �6?+ � 0q przygotowała prof. W. Marcinkowska-Lewandowska z zespołem

Zadania do MATEMATYKI 75 Układy równań liniowych

Zadanie 1*

Dla kwadratowej macierzy ���� zbudowano macierze blokowe:

� � �� 0� , � � � �0 ��

Wyznacz blokową postać macierzy ��, � � �, ��, ��. Czy � � � jest macierzą symetryczną?

Zadanie 2*

Niech B i C będą macierzami nieosobliwymi. Wyznaczyć postać blokową macierzy A-1

, gdzie

a/ � � � 00 � b/ � � �� 00 �.. c/� � � �0

d/� � �� �0 .. e/� � �� �0 � f/� � �0 �� �

Zadanie 3

Dana jest macierz A=[aij]mxn oraz wektor λλλλ0000=�λ�λ��λ�

�.

• Wyznaczyć wektor b=Aλλλλ0000.

• Zapisać macierz A w postaci kolumnowej � � ��� �� … ��� tj. takiej, że

blokami są kolumny macierzy A (oznaczone � , k=1,…,n).

• Wyznaczyć blokową postać iloczynu Aλλλλ0000.

• Przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn macierzy A:

a/ � � �2 33 1, λλλλ0000====�12λλλλ0000====$120%, c/ � � $1 22 40 20 3'1 01 1%, λλλλ0000====( 1'102 ).

Zadanie 4

Dany jest układ równań liniowych

*2+� � 3+� � 83+� � +� � 5 . (*)

a/ Wyznacz elementarnie liczby x1 i x2. Zapisz macierz rozszerzoną �� |0.� tego układu

równań. Macierz współczynników tego układu zapisz w postaci kolumnowej � ���� ��� (por. Zadanie 3) i w postaci wierszowej � � ����� tj. takiej, że blokami są

wiersze �1 i �2 macierzy A.

b/ Wykorzystując blokowa postać iloczynu Ax0 = ��� ��� �+�+�, gdzie wektor �+�+� jest

wektorem kolumnowym, przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn a1 oraz

a2 macierzy A. Zilustrować układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów

kolumnowych R2.

c/ Wykorzystując iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni liniowej wektorów

wierszowych R2, zapisz układ (*) jako

*34�|+56 � 834�|+56 � 5., gdzie x0=[x1, x2].

Zilustruj układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów wierszowych R2.

Zadanie 5

Dana jest macierz � � 71 12 1 3 24 13 1 1 28. Niech � � $�����9% oraz � � ��� �� �9 �:�

będą odpowiednio postacią wierszową postacią kolumnową macierzy A.

a/ Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy A sprowadzić tę macierz do

postaci bazowej względem kolumn I, II oraz III.

Odp. � ; �1 00 1 0 ' ��0 40 0 1 ' ���.

b/ Przedstawić wektor a4 jak kombinację liniową wektorów a1, a2, a3.

c/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3, a4). Czy zachodzi równość L(a1, a2, a3, a4)= L(a1, a2, a3)? Czy

L(a1, a2, a3)=R3?

d/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3)?

e/ Ile wynosi rząd macierzy A?

Zadanie 6.

Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej �� |0.� wyznaczyć

rozwiązanie ogólne układu jednorodnego. Przedstawić zbiór rozwiązań X(0) jako

przestrzeń liniową o danym układzie generatorów.

a/ *2+� � +� ' 4+9 � 03+� � +9 � 0 ., b/ *+� ' +� ' 5+9 � +: � 0'+� � +� � 2+: � 0 ., c/ <2+� � +� ' 5+9 � 05+� � +9 � 0+� � 3+� ' 2+9 � 0. d/ <+� � +� � 0+� � +9 � 0+� � +9 � 0.

Zadanie 7

Dany jest niejednorodny układ równań liniowych

• Zapisać macierz rozszerzoną �� |0.� tego układu równań.

• Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy �� |0.� sprowadzić macierz

rozszerzoną układu do postaci bazowej.

• Zapisać rozwiązanie ogólne tego układu równań.

• Przedstawić zbiór rozwiązań X(b) jako rozmaitość liniową.

• Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe danego układu równań wskazać

rozwiązania bazowe nieujemne.

• a/ *2+� � +� ' 4+9 � '13+� � +9 � 4 ., b/ *+� ' +� ' 5+9 � +: � '4'+� � +� � 2+: � 2 ., • c/ <2+� � +� ' 5+9 � '25+� � +9 � 6+� � 3+� ' 2+9 � 2 . d/ <+� � +� � 2+� � +9 � 4+� � +9 � 6.

WYZNACZNIKI

1. Obliczyć wyznacznik, stosując rozwinięcie Laplace’a względem wybranego wiersza lub kolumny:

a) b) c)

2. a) Stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciego wiersza, obliczyć wyznaczniki macierzy:

b) Powtórzyć obliczenia, stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciej kolumny.

3. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:

.

4. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy, sprowadzając je uprzednio do postaci macierzy trójkątnej.

5. Obliczyć podane wyznaczniki, wykorzystując własności wyznacznika:

a) b) .

6*. Nie obliczając wyznaczników, znaleźć rozwiązanie podanego równania:

7. Znaleźć dopełnienie algebraiczne elementu 422a oraz 513a macierzy A:

8. Obliczyć wyznacznik macierzy A metodą Sarrusa. Znaleźć macierz dopełnień, a następnie obliczyć jej

wyznacznik, wykorzystując wzór na macierz odwrotną oraz odpowiednie własności wyznaczników:

9. Pokazać, że detAB = detA detB, jeśli:

10. Wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych dla podanych macierzy:

11. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A za pomocą dopełnień algebraicznych:

a) , b) , c) , d) .

12. Rozwiązać równanie z niewiadomą x.

a) b) ,

c) .

13. Rozwiązać układy równań metodą Cramera

a) b)

14. Rozwiązać powyższe układy, wyznaczając z macierzowego równania AX = b macierz X.

15. Rozwiązać układ równań:

16. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru k:

17. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera? Rozwiązać ten układ dla

znalezionych wartości parametru.

18. Wyzanczyć macierz X z równania macierzowegp , gdzie A, B, C są danymi

macierzami nieosobliwymi stopnia 3. Obliczyć det X, wiedząc, że det A = 2, det B = 3, det C = 4.

19. Dane są macierze:

a) Wyznaczyć macierz C daną wzorem C = ATA + 4 det (I – B)B

−1 .

b) Wyznaczyć rząd każdej z macierzy: A, B oraz I – B.

20. Zbadać, dla jakich wartości parametru k macierz jest odwracalna. Dla znalezionych

wartości k wyznaczyć macierz X spełniającą równanie .

21. Dane są macierze:

oraz macierz C stopnia 3 taka, że det C = 1. Obliczyć det (3B−1

CTA).