Układ współrzędnych, zasady rzutowania · Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska 2 Jacek...

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

1

Rzutowanie równoległe i perspektywiczne

Wykład 2


Plan wykładu

1. Układ współrzędnych, zasady rzutowania

2. Rzutowanie równoległe

3. Rzutowanie perspektywiczne

4. Ogólny przypadek rzutowania


Układ współrzędnych, zasady rzutowania

x

y

z

rzutnia (ekran)

obserwator

Lewoskrętny układ współrzędnych i rzutnia:

yxzoś

xzyoś

zyxoś

→

→

→

Jeśli patrzymy z dodatniego kierunku osi w stronę środka układu

współrzędnych, to obrót o 90° w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek

zegara, przekształci jedną dodatnią oś w drugą. Wartości współrzędnej z sąwiększe dla punktów leżących dalej od obserwatora.



Zadanie rzutowania:

Dane:

• opis obiektu w układzie współrzędnych xyz.

• płaszczyzna rzutowania (rzutnia ΠΠΠΠ ).

Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ?

Stosuje się zwykle jeden z dwóch sposobów rzutowania.

1. Rzutowanie równoległe

2. Rzutowanie perspektywiczne


2



x

y

z

rzutnia

obserwator

ΠΠΠΠ

P1

P2

P1’

P2’

Rzutowanie równoległe

Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż

prostych równoległych. Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów.



x

y

z

rzutnia

obserwator (środek projekcji)

P1

P2

P1’

P2’

ΠΠΠΠ

Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż

prostych przecinających się w jednym punkcie (środku projekcji). Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów.

Rzutowanie perspektywiczne


Rzutowanie równolegle

Wyróżnia się zwykle dwa przypadki :

• proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym (rzut pionowy),

• proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt prosty (rzut ukośny).

1. Rzut pionowy

Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym.

Obiekt - sześcian jednostkowy

Rzutnia ΠΠΠΠ - płaszczyzna (x-y)

Przykład:

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1) (2,1,1)

(1,2,1)(2,2,1)

(1,2,2) (2,2,2)



Jeśli proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym, to rzut obiektu wygląda następująco.

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1) (2,1,1)

(1,2,1)(2,2,1)

(1,2,2) (2,2,2)

x

y

Jeśli rzutnią ΠΠΠΠ jest płaszczyzna (x-y), to równania opisujące

związek między współrzędnymi rzutowanego punktu (x, y, z) a

współrzędnymi jego rzutu (xp, yp, zp) przyjmują postać:


3



0z

yy

xx

p

p

p

=

=

=

Własności obrazów wykonanych techniką rzutu pionowego:

• rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką samądługość jak te odcinki,

• rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są punktami.



Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.

Definiując rzutnie jako płaszczyzny (x-y), (x-z), (y-z), bądźpłaszczyzny do nich równoległe, można uzyskać rzuty z przodu, z boku, z góry itd.

Dla przykładu:

z

y

x

z

rzut z boku rzut z góry



(xp, yp )(x, y, z )

x

y

z

ΠΠΠΠ

αΦ

(x, y)

L

2. Rzut ukośny

Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niżkąt prosty.

Jak jednoznacznie zorientować proste rzutowania względem rzutni ?



Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania względem

rzutni, prócz kąta αααα trzeba zadać dodatkowy parametr np. kąt Φ.

(xp, yp )(x, y, z )

x

y

z

ΠΠΠΠ

αΦ

(x, y)

L

Z rysunku widać, że

ΦΦΦΦ

ΦΦΦΦ

sinLyy

cosLxx

p

p

+=

+=

podstawiając

1L

1

L

ztg ==αααα i dalej

1LzL =

uzyskuje się równania


4



+=+=

+=+=

αααα

ΦΦΦΦΦΦΦΦ

αααα

ΦΦΦΦΦΦΦΦ

tg

sinzy)sinL(zyy

tg

coszx)cosL(zxx

1p

1p

Parametrami definiującymi rzut ukośny są wiec kąt Φ

i odległość lub para kątów Φ i α.ααααtg/1L1 =



Dla przykładu sześcianu jednostkowego, można pokazaćinterpretację parametrów rzutowania na utworzonym obrazie.

ΠΠΠΠ

L1

Φ

x

y

Powyższy rysunek wyjaśnia także metodę konstrukcji rysunkowej rzutu ukośnego sześcianu.



Przykład:

Wyprowadzone wcześniej równania pozwalają na wykonywanie

rzutów ukośnych dla dowolnych zestawów parametrów L1 i Φ. W praktyce stosuje się jednak najczęściej pewne typowe zestawy

parametrów rzutowania.

Wykonane zostaną cztery rzuty ukośne sześcianu jednostkowego.

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1) (2,1,1)

(1,2,1)(2,2,1)

(1,2,2) (2,2,2)



o

1 45,1tg/1L === αααααααα1. (rzut kawaleryjski)

o30=ΦΦΦΦ

o45=ΦΦΦΦ


5



o

1 63,2/1tg/1L ≈== αααααααα2. (rzut gabinetowy)

o30=ΦΦΦΦ

o45=ΦΦΦΦ



Jak na płaszczyźnie zobrazować obiekty trójwymiarowe, aby obserwator patrzący na taki obraz odniósł wrażenie, że widzi świat trójwymiarowy ?

Niektóre czynniki jakie należy uwzględnić przy próbie osiągnięcia wrażenia „przestrzenności” na obrazie płaskim:

• Geometria obrazu

- obiekty, które są w rzeczywistości dalej, wydają się mniejsze,

- linie, które są w rzeczywistości równoległe, wydają się zbieżne.

• Wpływ oświetlenia sceny na to, co widzi obserwator

- oświetlenie powierzchni obiektów sceny,

- interakcje świetlne pomiędzy obiektami, cienie.



Przykład (miniatura średniowieczna):

La Somme le Roy (1290)

British Museum, LondonJacek Jarnicki Politechnika Wrocławska


Filip Brunelleschi (1377-1446) - architekt, rzeźbiarz

Baptysterium św. JanaKopuła katedry we Florencji

Filip Brunelleschi jest uważany za odkrywcę świadomie stosowanej metody rzutu perspektywicznego. Narysował on obraz perspektywiczny baptysterium św. Jana, posługując się systemem dwóch zwierciadeł.


6



Paweł Uccello (1397-1475) - malarz

P. Uccello – Bitwa pod san Romano



Masaccio (1401-1428) - malarz

Masaccio – Grosz czynszowy



Rafael Santi (1483-1520) - malarz

Rafael – Szkoła ateńska



Urządzenie do wykonywania rzutów perspektywicznych:

Albrecht Dürer (1471- 1528)

Pouczenie o mierzeniu cyrklem i linią - 1525 r.

Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą [tymi nićmi] można dosięgnąć narysować na desce.

Czyń tedy tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchami przyjmij, że to jest oko. Przez to [ucho]

przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej ołowiany ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz od ucha

szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową] ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką

zechcesz stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które można by otwieraći zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by

były tak długie jak pionowa rama jest szeroka i długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak wisiały. Potem zrób długi

metalowy sztyft, który na przedzie, na ostrzu miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest przez

ucho szpili w ścianie i przenieś igłę i długą nić przez ramę na zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych

nici, które wiszą przy ramie.

A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez zmiany

tak długo jak będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę z nicią do najbardziej istotnych punktów lutni.

A ile razy zatrzyma się ona na którymś z tych punktów i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici przy ramie na krzyż, w

miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i przylepiaj je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił

długą nić. Wtedy zamykaj drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj

znów drzwiczki i czyń tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na desce. Potem połącz liniami

wszystkie punkty lutni, które znajdują się na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób odrysować

i inne rzeczy.


7





Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu (x, y, z )

a współrzędnymi jego rzutu ( xp, yp ) przy pomocy równań ?

rama

drzwiczki ucho

ciężarek

długa nić

krótkie

nici

(x, y, z)

(xp ,yp)



x

y

z

d środek projekcji

(x’, y’, z’)

(x, y, z )

(xp, yp, 0)

Zależność pomiędzy współrzędnymi punktu (x, y, z ) a punktu

(x’, y’, z’ ) opisuje układ równań parametrycznych:

u)dz(zz

1u0yuyy

xuxx

+−=′

≤≤−=′

−=′



Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu (xp, yp, 0 ) należy więc

obliczyć u, dla którego 0u)dz(zz =+−=′

Rozwiązaniem równania jest

dz

zu

+=

Podstawiając obliczone u do układu równań parametrycznych

opisujących współrzędne punktu (x’, y’, z’) otrzymuje się

równania

+=

+=

dz

dyy

dz

dxx

p

p


8



Jak wyglądają obrazy perspektywiczne ?

Przykład:

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1) (2,1,1)

(1,2,1)(2,2,1)

(1,2,2) (2,2,2)

d = 3

yy

xxd = 20d = 20

yy

xx

Gdy d →∞ rzut perspektywiczny staje się rzutem pionowym.Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

W poprzednich rozważaniach rzutnia leżała na płaszczyźnie (x-y).

Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ?

Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ?

Sformułowanie problemu:

1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych zewnętrznych(world coordinates) i opisany w tym układzie obiekt.

2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany jest drugi układ współrzędnych prostokątnych zwany układem obserwatora (viewing coordinates).



xw

zw

yw

xvyv

zv

obiekt

Model syntetycznej kamery:

xw, yw, zw – układ zewnętrzny

xv, yv, zv – układ obserwatora

Rozwiązanie:

1. Zapisać obiekt w układzie współrzędnych obserwatora

(przeliczyć współrzędne obiektu z układu (xw, yw, zw ) na

układ (xv, yv, zv ).

2. Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę

(xv - yv ) .Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska


Aby wykonać krok 1 najlepiej jest określić transformacje złożoną (z transformacji elementarnych). Składanie transformacji elementarnych może odbywać się według następującej procedury:1. Przesunięcie środka układu obserwatora do środka

układu współrzędnych zewnętrznych.

2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi xw ,

tak aby oś zv znalazła się na płaszczyźnie (xv-zv ).

3. Obrót układu obserwatora wokół osi yv , tak by oś zv pokryła

się z osią zw .

4. Obrót układu obserwatora wokół osi zw , aby osie xv i yv

pokryły się z osiami xw i yw.


9



Zastosowanie dla rzutu perspektywicznego:

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych

Kryterium klasyfikacji - liczba osi układu współrzędnych

zewnętrznych ( xw, yw, zw ) , które przecinają rzutnię ( xvyv).

xw

obiekt

zw

yw

xv

yv

zvzw

obiekt

xw

yw xvyv

zv

jedna oś (zw) przecina rzutnię trzy osie przecinają rzutnię



Jak wyglądają obrazy perspektywiczne dla różnych położeń

rzutni ?

1. Perspektywa jednopunktowa (rzutnia (xv - yv ) leży na

płaszczyźnie (xw- yw) ).

Pozorny punkt zbieżności

Na obrazie perspektywicznym proste, na których leżą obrazy niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w jednym punkcie (pozorny punkt zbieżności, vanishing point).



Canaletto (1735 - 45) - Plac św. Marka w Wenecji



2. Perspektywa dwupunktowa. Dwie osie układu współrzędnych

zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xvyv )

P1 P2

Sześcian jednostkowy w perspektywie dwupunktowej

Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się dwa pozorne punkty zbieżności.


10



E. Hopper (1923) - The Mansard Roof



3. Perspektywa trójpunktowa. Trzy osie układu współrzędnych

zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xvyv )

Sześcian jednostkowy w perspektywie trójpunktowej

Na obrazie perspektywicznym sześcianu można zaznaczyć trzy pozorne punkty zbieżności.



G. O'Keefe (1926) - City Night



Przykład:

Pietro Lorenzetti (1432) - Birth of Mary Hans Memling (1490) - Flower still-life

Układ współrzędnych, zasady rzutowania · Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska 2 Jacek...

Documents

Transcript of Układ współrzędnych, zasady rzutowania · Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska 2 Jacek...