Wymagania z wiedzy

i umiejętności

na poszczególne stopnie szkolne

z matematyki

Technikum Mechaniczne nr 15

Uczeń, aby otrzymać daną ocenę powinien opanować umiejętności

wymagane na daną ocenę oraz wymagania na oceny niższe

Klasa I technikum

Liczby rzeczywiste. Język matematyki

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

podać przykład zbioru skończonego, nieskończonego, pustego

wymienić podzbiory danego zbioru

podać rozwinięcie dziesiętne liczby

wykonywać obliczenia na liczbach rzeczywistych

znajdować NWW i NWD

sprawnie wykonywać działania na potęgach o wykładniku całkowitym

rozróżnić podzbiory liczb rzeczywistych i podać związki między nimi

zilustrować przedział na osi liczbowej

wyznaczyć sumę, różnicę i część wspólną zbiorów skończonych i przedziałów

pozbyć się niewymierności z mianownika typu: 5

1

, 52

3

wykonać działania na pierwiastkach

wykonać działania na liczbach typu: cba

zdefiniować wartość bezwzględną liczby, obliczać wartości bezwzględne liczb, np.:

21

rozwiązać równanie i nierówność, np.: | x | = 6, | x | < 12, | x | >14

podać przybliżenie liczbowe danej wartości i błąd tego przybliżenia

zamieniać liczby na procenty i odwrotnie, stosować pojęcie procentu

w obliczeniach

wskazać przykłady zastosowania procentów w życiu codziennym

podać i zastosować wzory skróconego mnożenia: ,2

ba ,)( 2ba .22 ba

dostateczny

wyznaczyć dopełnienie zbioru

sprawnie wykonywać działania na liczbach wymiernych i wyrażeniach

algebraicznych

zapisywać liczbę wymierną w postaci ilorazu liczb całkowitych (także

o rozwinięciu dziesiętnym okresowym)

wykonywać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym

stosować pojęcie procentu w rozwiązywaniu zadań praktycznych

wykonać działania na dowolnych zbiorach

stosować interpretację geometryczną wartości bezwzględnej

zapisać równanie ( nierówność) z wartością bezwzględną, znając zbiór rozwiązań

rozwiązać równanie i nierówność, np.: 72,81 xx

obliczyć podwyżkę, obniżkę, rabat, lokaty w trudniejszych zadaniach

obliczyć cenę towaru wraz z podatkiem VAT

wykonać porównanie procentowe kilku wielkości

przedstawić dane w postaci diagramu

odczytać związki między wielkościami przedstawionymi w postaci dowolnego

diagramu

zastosować wzory skróconego mnożenia: .,)( 333 baba

sprawnie wyznaczać pierwiastki ( w tym nieparzystego stopnia z liczb ujemnych)

wykonać działania łączne w zbiorze R

dobry

sprawnie wykonywać działania na wyrażeniach zawierających pierwiastki

rozwiązać równanie i nierówność z wartością bezwzględną, np.:

| 5x + 10 | = 8, | 2x +7 |< 9, | 4x + 12 | > 14, 5442 xx

rozwiązać zadanie tekstowe o tematyce realistycznej, wykorzystując własności

działań na liczbach rzeczywistych

zilustrować ogólne własności działań na zbiorach przy pomocy grafów

zapisać zbiór różnymi sposobami

zastosować symbole matematyczne przy zapisie zależności między obiektami

matematycznymi

bardzo dobry

rozwiązać równanie i nierówność z wartością bezwzględną, np.:

|2x + 3| + 4x - 6 = 0, |3x + 8| - 7x + 5 0

rozwiązać zadanie o tematyce ekonomicznej dotyczącej procentów

podać twierdzenie o niewymierności 2 i je udowodnić

pozbyć się niewymierności z mianownika typu:3 52

3

celujący

wykreślić w układzie współrzędnych figury podane zapisem np.:

6|| yx , | x + y | < 5

zanalizować i przewidzieć wyniki przy rozwiązywaniu zadań o nietypowych

problemach

Funkcja liniowa. Funkcje

Stopień Wymagania i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

zdefiniować funkcję

podać przykłady i kontrprzykłady funkcji

rozpoznać funkcję, wskazać jej dziedzinę, zbiór wartości i miejsce zerowe

zapisać funkcję różnymi sposobami

odczytać z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca

zerowe, wartość najmniejszą i największą, maksymalne przedziały

monotoniczności, zbiory, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub

ujemne)

odczytać z wykresu największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym

przedziale

obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu

wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej

wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji wymagającej jednego założenia,

np.:,

52

63

x

xy

,92 xy 82 xy

wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu

współrzędnych

podać postać kierunkową i ogólną równania prostej

podać wzór na współczynnik kierunkowy prostej

podać warunek równoległości i prostopadłości prostych i zastosować go

w prostych zadaniach

wyznaczać równanie prostej, której wykres przechodzi przez dane 2 punkty

podać postać kierunkową i ogólną równania prostej

rozwiązać równanie i nierówność liniową

zdefiniować funkcję liniową

narysować wykres i podać własności funkcji liniowej

zinterpretować współczynniki ze wzoru funkcji liniowej

rozpoznać typ układu równań na podstawie wykresu w układzie współrzędnych

rozwiązać układ równań liniowych algebraicznie i podać interpretację graficzną

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykres

a) y = f(x - a) + b

b) y = -f(x)

c) y = f(-x)

zdefiniować wektor

wykonywać działania na wektorach, obliczać długość i współrzędne wektora

wykonywać proste zadania dotyczące wektorów w układzie współrzędnych

dostateczny

wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji, które wymaga kilku założeń

wykonać wykres funkcji, np.: y = x3, y = |x + 3|,

,2

xy

,xy i odczytać jej

własności

wykonać wykres funkcji, której wzór jest określony różnymi równaniami

w poszczególnych przedziałach

zbadać z definicji monotoniczność funkcji

wykonać wykres funkcji spełniającej podane warunki

rozróżnić na grafie funkcję różnowartościową

rozróżnić na podstawie wykresu funkcje parzyste, nieparzyste

przekształcić wykres funkcji wykorzystując dwa przekształcenia geometryczne

równocześnie

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) naszkicować :

a) y = |f(x)|

b) y = - f(-x)

znać i zastosować wzór na współczynnik kierunkowy prostej

zastosować wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

wyznaczyć równania prostych prostopadłych i równoległych w trudniejszych

zadaniach

opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę

zinterpretować rozwiązanie układu równań zależnych, niezależnych

i sprzecznych

dobry

narysować wykres funkcji, której wzór jest dany przedziałami liniowymi

zapisać wzorem zależności między danymi

zinterpretować dane z prasy, rocznika statystycznego, literatury fachowej

przetwarzać informacje wyrażone w postaci wzoru funkcji lub wykresu funkcji

zastosować warunki równoległości i prostopadłości prostych w trudniejszych

zadaniach

napisać wzór funkcji przekształconej w symetrii osiowej, środkowej,

przesunięciu w trudniejszych przypadkach

rozwiązać układ równań liniowych z trzema niewiadomymi

odczytać z wykresów funkcji rozwiązania równań i nierówności typu: f(x) = g(x),

f(x) ≥ g(x)

bardzo dobry

rozwiązać układ równań liniowych z wartością bezwzględną

uzasadnić własności funkcji, np.: monotoniczność, parzystość, nieparzystość

przeprowadzić dyskusję nad rozwiązalnością układu równań liniowych

z parametrem

opisać zależności w życiu codziennym za pomocą funkcji w trudniejszych

przypadkach

zbadać parzystość i nieparzystość funkcji

przekształcić wykres funkcji wykorzystując kilka przekształceń geometrycznych

równocześnie

rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji

celujący

biegle stosować poznane wiadomości w sytuacjach nietypowych

wskazać algorytm rozwiązalności równania liniowego (nierówności liniowej)

z wartością bezwzględną lub parametrem oraz zastosować go w zadaniach

Funkcja kwadratowa

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

podać na podstawie wykresu własności jednomianu stopnia drugiego

rozpoznać postać trójmianu kwadratowego i przekształcić jej wzór z postaci

kanonicznej i iloczynowej na ogólną i odwrotnie

naszkicować wykres funkcji qpxay 2)( i odczytać jej własności

wykonać wykres funkcji kwadratowej f(x) = ax2

+ bx + c i podać jej własności

stwierdzić czy równanie kwadratowe ma pierwiastki (funkcja kwadratowa ma

miejsca zerowe)

rozwiązać dowolną metodą równanie kwadratowe (wyznaczyć miejsca zerowe

funkcji kwadratowej)

wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli

przekształcać wykresy funkcji kwadratowej

wyznaczyć algebraicznie współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu

współrzędnych

odczytać miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej

rozwiązać nierówność kwadratową

określić znak trójmianu kwadratowego

dostateczny

sprawnie rozwiązywać równanie i nierówność kwadratową wymagających

dodatkowych przekształceń

wyznaczyć najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej

wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnościach lub na podstawie jej

wykresu

stosować wzory Viète’a do wyznaczania sumy i iloczynu pierwiastków równania

kwadratowego oraz do określania znaków pierwiastków trójmianu kwadratowego

rozwiązać algebraicznie i graficznie układ równań, z których jedno jest stopnia

drugiego

rysować wykres y = |f(x)|

rozwiązać proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem

dobry

przeprowadzić dyskusję nad rozwiązalnością równania i nierówności kwadratowej

z parametrem

narysować wykres y = f(|x|)

rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

na podstawie wykresu określić liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od

parametru m

rozwiązać równania dwukwadratowe oraz inne równania sprowadzalne do równań

kwadratowych przez podstawienie niewiadomej pomocniczej

rozwiązać zadania tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych

znajdywać iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań nierówności kwadratowych

bardzo dobry

wyprowadzić wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, postać kanoniczną,

wzory Viète’a

zastosować własności funkcji kwadratowej w zadaniach praktycznych

w trudniejszych sytuacjach

rozwiązać równanie i nierówność kwadratową z wartością bezwzględną lub

parametrem o wyższym stopniu trudności

celujący

wskazać algorytm rozwiązalności równania kwadratowego (nierówności

kwadratowej) z wartością bezwzględną lub parametrem oraz zastosować go

w zadaniach

zaproponować i przewidzieć rozwiązania nietypowych równań i nierówności

kwadratowych

Klasa II technikum

Planimetria

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ podać i stosować w prostych przypadkach poznane twierdzenia (w tym m.in.

twierdzenie o sumie kątów w trójkącie, twierdzenie o odcinku łączącym środki

dwóch boków trójkąta, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do niego,

twierdzenie o wysokościach w trójkącie, twierdzenie o środkowych w trójkącie)

♦ stosować w rozwiązywaniu zadań twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do

niego

♦ podać i stosować cechy przystawania trójkątów w rozwiązywaniu zadań

♦ podać i stosować cechy podobieństwa trójkątów w rozwiązywaniu zadań

stosować w zadaniach twierdzenie o stosunku pól figur podobnych

podać wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30o, 45

o, 60

o

♦ wyznaczyć funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

♦ podać i zastosować w prostych zadaniach podstawowe związki między funkcjami

trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego

znając wartości jednej funkcji wyznaczać wartości pozostałych funkcji

trygonometrycznych tego samego kąta ostrego

♦ stosować poznane wzory do obliczania pól trójkątów i czworokątów

wykorzystać wzory na przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

♦ zastosować wzór na pole koła i długość okręgu w rozwiązywaniu zadań

sprawdzić, czy z trzech odcinków o danych długościach można zbudować trójkąt

stosować własności czworokątów do rozwiązywania zadań

dostateczny

zastosować poznane twierdzenia w trudniejszych zadaniach

wykorzystać funkcje trygonometryczne w zadaniach dotyczących wielokątów

♦ zastosować wzór na pole wycinka koła i długość łuku

przekształcać wyrażenia trygonometryczne stosując związki między funkcjami

trygonometrycznymi tego samego kąta

dobry

wykazać tożsamości trygonometryczne

♦ zastosować funkcje trygonometryczne do rozwiązywania trudniejszych zadań

geometrycznych

♦ stosować zależności między funkcjami trygonometrycznymi w różnego typu

zadaniach

bardzo dobry

♦ rozwiązywać trudniejsze zdania geometryczne wykorzystując poznane wiadomości

z trygonometrii

♦ wykazać bardziej skomplikowane tożsamości trygonometryczne

celujący ♦ udowodnić twierdzenie Talesa i Pitagorasa

♦ biegle stosować poznane wiadomości w sytuacjach nietypowych

Geometria analityczna

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

zdefiniować punkty symetryczne względem prostej

zdefiniować punkty symetryczne względem punktu 0 = (0,0)

wyjaśnić pojęcia: symetria osiowa, symetria środkowa,

przesunięcie, obrót

rozpoznać figurę osiowo- i środkowo-symetryczną

podać i stosować równanie okręgu

rozwiązywać proste zadania z zastosowaniem poznanych wzorów, równań

i twierdzeń

podać i stosować wzory na odległość punktów i środek odcinka

określić wzajemne położenie okręgów, okręgu i prostej

znać i stosować wzory na współrzędne wektora i długość wektora

wykonywać działania na wektorach

dostateczny

narysować obraz figury w symetrii osiowej, środkowej, przesunięciu

obliczyć odległość punktu od prostej

wyznaczyć środek symetrii i oś symetrii figury

wyznaczyć równanie okręgu o podanych własnościach

zdefiniować jednokładność i podać przykłady figur jednokładnych

wykazać się umiejętnością stosowania definicji jednokładności w zadaniach

tekstowych

obliczyć współrzędne punktów przekształconych w jednokładności

znać i stosować nierówność koła

stosować pojęcie i własności wektora w trudniejszych zadaniach

sprawdzać czy dane równanie jest równaniem okręgu

dobry

♦ stosować własności jednokładności w trudniejszych zadaniach

♦ wyznaczać wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg

♦ rozwiązać algebraicznie i graficznie układy równań drugiego stopnia

opisać układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny

bardzo dobry

♦ wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej

wykorzystać działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń

rozwiązywać zadania z geometrii analitycznej o znacznym stopniu trudności

celujący ♦ wykazać się umiejętnością zastosowania poznanych wiadomości w sytuacjach

nietypowych

Wielomiany

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ podać przykłady wielomianów, określić ich stopień i podać wartości ich

współczynników

♦ zapisać wielomian w sposób uporządkowany

♦ obliczyć wartość wielomianu dla danego argumentu, sprawdzić, czy dany punkt

należy do wykresu danego wielomianu

♦ wyznaczyć sumę, różnicę, iloczyn wielomianów i określić ich stopień

♦ szkicować wykres wielomianu będącego sumą jednomianów stopnia pierwszego

i drugiego

♦ określić stopień wielomianu bez wykonywania mnożenia

♦ podać współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny iloczynu

wielomianów, bez wykonywania mnożenia wielomianów

♦ stosować wzory na kwadrat i sześcian sumy i różnicy oraz wzór na różnicę

kwadratów do wykonywania działań na wielomianach oraz do rozkładu wielomianu

na czynniki

♦ rozkładać wielomian na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów i wyłączania

wspólnego czynnika poza nawias

♦ obliczać resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian bez wykonywania dzielenia

sprawdzić podzielność wielomianu przez dwumian x - a bez wykonywania dzielenia

oraz podać twierdzenie Bèzouta

sprawdzić, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

wyznaczyć pierwiastki wielomianu i podać ich krotność, mając dany wielomian

w postaci iloczynowej

rozwiązać proste równanie wielomianowe

szkicować wykres wielomianu, mając daną jego postać iloczynową

dostateczny

obliczać wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów

stosować wzory na sumę i różnicę sześcianów

dzielić wielomian przez dwumian x – a

sprawdzić poprawność wykonanego dzielenia

zapisać wielomian w postaci w(x) = p(x)q(x) + r

wyliczać liczby, które mogą być pierwiastkami całkowitymi wielomianu

wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianu mając podany jeden

znając stopień wielomianu i jego pierwiastek, badać, czy wielomian ma inne

pierwiastki oraz określić ich krotność

wyznaczyć punkty przecięcia się wykresu wielomianu i prostej

dobrać wzór wielomianu do szkicu wykresu

rozwiązać nierówności wielomianowe, korzystając ze szkicu wykresu lub

wykorzystując postać iloczynową wielomianu

opisywać wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznaczyć jego dziedzinę

zapisać wielomian dowolnego stopnia, mając dane jego pierwiastki

rozwiązać typowe zadania tekstowe za pomocą równań wielomianowych

rozkładać wielomian na czynniki możliwie najniższego stopnia

porównywać wielomiany

rozwiązywać równanie i nierówności wielomianowe

dobry

wyznaczyć współczynniki wielomianu, mając dane warunki

stosować wielomiany wielu zmiennych w zadaniach różnych typów

stosować wzór: a n

– 1 = ( a – 1 )( a n-1

+ … + 1 )

stosować rozkład wielomianu na czynniki w zadaniach różnych typów

analizować i stosować metodę podaną w przykładzie, aby rozłożyć dany wielomian

na czynniki

sprawdzać podzielność wielomianu przez wielomian (x - p)(x - q) bez wykonywania

dzielenia

wyznaczyć iloraz danych wielomianów

wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu, mając dane warunki, podać i zastosować

twierdzenie o reszcie

szkicować wykres wielomianu, wyznaczając jego pierwiastki

stosować nierówności wielomianowe do wyznaczenia dziedziny funkcji zapisanej za

pomocą pierwiastka

wykonywać działania na zbiorach określonych nierównościami wielomianowymi

wyliczać liczby, które mogą być pierwiastkami wymiernymi wielomianu

bardzo dobry

rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące pierwiastków wielokrotnych

rozwiązywać zadania z parametrem oraz wartością bezwzględną

opisywać za pomocą wielomianu objętość lub pole powierzchni bryły oraz określać

dziedzinę powstałej w ten sposób funkcji

stosować równania i nierówności wielomianowe oraz własności wielomianów do

rozwiązywania zadań praktycznych

stosować schemat Hornera przy dzieleniu wielomianów

celujący

rozwiązywać zadanie z parametrem, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące

wyznaczania reszty z dzielenia wielomianu przez np. wielomian stopnia drugiego

przeprowadzać dowody twierdzeń dotyczących wielomianów, np. twierdzenia

Bèzouta, twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianów

Funkcje wymierne

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

wskazywać wielkości odwrotnie proporcjonalne i stosować taką zależność do

rozwiązywania prostych zadań

wyznaczać współczynnik proporcjonalności

podawać wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego

do wykresu

szkicować wykres funkcji x

axf )( (w prostych przypadkach także w podanym

zbiorze), gdzie 0a i podawać jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały

monotoniczności)

przesuwać wykres funkcji x

axf )( , gdzie 0a

o wektor i podawać jej własności

wyznaczać dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego

obliczać wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej

skracać i rozszerzać wyrażenia wymierne

wykonywać działania na wyrażeniach wymiernych w prostych przypadkach

i podawać odpowiednie założenia

rozwiązywać proste równania wymierne

wyznaczać ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej

dostateczny

podawać wzór wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji x

axf )( , gdzie

0a , aby otrzymać wykres q

px

axg

)(

dobrać wzór funkcji do jej wykresu

przekształcić wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej w prostych

przypadkach

wyznaczać asymptoty wykresu funkcji homograficznej

rozwiązywać, również graficznie, proste nierówności wymierne

wykorzystywać wyrażenia wymierne do rozwiązywania prostych zadań tekstowych

stosować własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania prostych równań

i nierówności wymiernych

rozwiązywać zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną

dobry

wyznaczyć równania osi symetrii i współrzędne środka symetrii hiperboli opisanej

równaniem

przekształcić wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej

szkicować wykresy funkcji homograficznych i określać ich własności

wyznaczać wzór funkcji homograficznej spełniającej podane warunki

wykonywać działania na wyrażeniach wymiernych i podawać odpowiednie założenia

wykazać równość wyrażeń wymiernych

rozwiązywać równanie i nierówności wymierne

bardzo dobry

rozwiązać zadania z parametrem dotyczące funkcji homograficznej

szkicować wykresy funkcji y = |f(x)|, y = f(|x|), y = |f(|x|)|, gdzie y = f(x) jest funkcją

homograficzną i opisuje ich własności

przekształcać wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych

rozwiązywać układy nierówności wymiernych

wykorzystywać wyrażenia wymierne do rozwiązywania trudniejszych zadań

tekstowych

rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące funkcji wymiernej

stosować własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności

wymiernych

zaznaczać w układzie współrzędnych zbiory punktów spełniających określone

warunki

celujący

stosować własności hiperboli do rozwiązywania zadań

stosować funkcje wymierne do rozwiązywania zadań z parametrem o podwyższonym

stopniu trudności

Klasa III technikum

Funkcje trygonometryczne

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

zaznaczyć kąt w układzie współrzędnych, wskazać jego ramię początkowe

i końcowe

wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kata, gdy dane są współrzędne

punktu leżącego na jego końcowym ramieniu

określić znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta

obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np. 90º, 120º,

135º, 225º

określić w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta, mając

dane wartości funkcji trygonometrycznych

wykorzystywać funkcje trygonometryczne do rozwiązywania prostych zadań

zamienić miarę stopniową na łukową i odwrotnie

odczytać okres podstawowy funkcji na podstawie jej wykresu

szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych w danym przedziale i określić jej

własności

szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując przesunięcie o wektor

i określić jej własności

szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi

układu współrzędnych oraz symetrię względem początku układu współrzędnych

i określić jej własności

podać i zastosować tożsamości trygonometryczne

obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta znając

wartość funkcji sinus lub cosinus

wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem

wzorów redukcyjnych

stosować wzory trygonometryczne w prostych sytuacjach

rozwiązać proste równania i nierówności trygonometryczne

posłużyć się tablicami lub kalkulatorem do wyznaczenia kąta przy danej wartości

funkcji trygonometrycznej

dostateczny

szkicować wykresy funkcji y = a f(x) oraz y = |f(x)|, gdzie y = f(x) jest funkcją

trygonometryczną i określić jej własności

dowodzić prostych tożsamości trygonometrycznych, podając odpowiednie

założenia

wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kątów z zastosowaniem wzorów

na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

stosować wzory na funkcje trygonometryczne kata podwojonego

rozwiązać trudniejsze równania i nierówności trygonometryczne

dobry obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np. - 90º, 315º,

1080º

zastosować funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań

obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów

obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta znając

wartość funkcji tangens lub cotangens

wyznaczyć kąt, mając daną wartość jednej z jego funkcji trygonometrycznych

zilustrować ogólne własności działań na zbiorach przy pomocy grafów

szkicować wykres funkcji okresowej

zastosować okresowość funkcji do obliczania wartości tej funkcji dla danego kąta

szkicować wykresy funkcji y = f(a x) oraz y = f(|x|), gdzie y = f(x) jest funkcją

trygonometryczną i określić jej własności

na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych naszkicować wykresy funkcji

będące efektem wykonania kilku operacji oraz określić ich własności

zastosować wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego do

przekształcania wyrażeń, w tym również do uzasadniania tożsamości

trygonometrycznych

bardzo dobry

rozwiązać równanie i nierówność trygonometryczną wymagającą zastosowania

podstawienia

zastosować związki między funkcjami trygonometrycznymi do rozwiązywania

trudniejszych równań i nierówności trygonometrycznych

dowodzić trudniejsze tożsamości trygonometryczne, podając odpowiednie

założenia

celujący

wyprowadzić wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów oraz

funkcje kąta podwojonego

rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji

trygonometrycznych

Ciągi

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

zdefiniować ciąg liczbowy

podać przykład ciągu liczbowego skończonego i nieskończonego

wyznaczyć kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych

wyrazów

wyznaczyć wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

wyznaczyć wzór ogólny mając danych kilka jego początkowych wyrazów

narysować wykres ciągu i podać jego własności

wyznaczyć, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość

rozpoznać ciąg rosnący, malejący, stały

zbadać w prostych przypadkach monotoniczność ciągu

wyznaczyć wyraz an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

zdefiniować i rozpoznać ciąg arytmetyczny i geometryczny oraz wymienić ich

własności

podać i zastosować wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego

podać i zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego

wyznaczać wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany pierwszy wyraz i różnicę

wyznaczać wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane dowolne dwa jego

wyrazy

zastosować średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów ciągu

arytmetycznego

wyznaczyć ciąg arytmetyczny i geometryczny na podstawie danych

rozróżnić i obliczyć procent prosty i składany

obliczyć oprocentowanie lokaty i okres oszczędzania (proste przypadki)

dostateczny

wyznaczyć początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym

obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

i geometrycznego

podać przykład ciągu spełniającego zadane warunki

zbadać, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny

wyznaczyć wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane dowolne dwa jego

wyrazy

rozwiązać zadanie tekstowe z wykorzystaniem własności ciągów

obliczyć oprocentowanie lokat i kredytów bankowych

obliczyć wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji

obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

dobry

przekształcić wzory dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego

i zastosować w rozwiązywaniu zadań tekstowych

♦ wyznaczyć wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły

ciąg arytmetyczny i geometryczny

♦ zbadać monotoniczność ciągów

♦ rozwiązać równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu

arytmetycznego i geometrycznego

♦ zastosować średnią geometryczną do rozwiązywania zadań

♦ rozwiązać zadania związane z kredytami dotyczące okresu oszczędzania

i wysokości oprocentowania

bardzo dobry

zastosować wiedzę o ciągach w zadaniach geometrycznych

rozwiązać zadania o podwyższonym stopniu trudności związane ze wzorem

rekurencyjnym ciągu

rozwiązać zadania z parametrem dotyczące monotoniczności ciągu

♦ rozwiązać zadanie tekstowe łączące wiadomości o ciągach arytmetycznych

i geometrycznych

♦ zbadać monotoniczność iloczynu i ilorazu ciągów

celujący

uzasadnić rozwiązanie zadania z treścią dotyczącą ciągów o nietypowym

problemie

dowieść prawdziwość niektórych wzorów dotyczących ciągów

wykazać się umiejętnością rozwiązywania zadań tekstowych z różnych dziedzin

z zastosowaniem wiadomości o ciągach

rozwiązać zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące ciągów,

w szczególności monotoniczności ciągu

Planimetria

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

zdefiniować okrąg wpisany w trójkąt, czworokąt i okrąg opisany na trójkącie,

czworokącie

wyjaśnić pojęcie wielokąta opisanego i wpisanego w okrąg

podać i zastosować wzory na długość okręgu, długość łuku, pole koła i pole

wycinka koła

rozpoznać kąty wpisane i środkowe w okręgu, oraz wskazać łuki na których są one

oparte

podać i zastosować twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym, opartych na tym

samym łuku oraz twierdzenie o kącie między styczną a sieczną

rozwiązać zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

rozwiązać zadania związane z okręgiem opisanym na trójkącie prostokątnym lub

równoramiennym

określić własności czworokątów i zastosować je do rozwiązywania prostych

zadań

♦ sprawdzić, czy w dany czworokąt można wpisać okrąg, na danym czworokącie

można opisać okrąg

♦ zastosować twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym

w czworokąt w rozwiązywaniu prostych zadań

podać wzór sinusów i cosinusów

dostateczny

zapisać wzór sinusów i cosinusów dla danego trójkąta

zastosować twierdzenie sinusów do obliczania długości boków i miar kątów

trójkąta oraz długości promienia okręgu opisanego na trójkącie

zastosować twierdzenie cosinusów do obliczania długości boków i miar kątów

trójkąta

zastosować twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym

w czworokąt w rozwiązywaniu prostych zadań także o kontekście praktycznym

zastosować twierdzenia o kątach w okręgu w trudniejszych przypadkach

dobry

♦ zastosować twierdzenia o kątach w okręgu oraz kącie między styczną a cięciwą

okręgu do rozwiązywania zadań o większym stopniu trudności

♦ rozwiązuje zadania związane z okręgiem wpisanym w dowolny trójkąt i opisanym

na dowolnym trójkącie

♦ zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów w figurach innych niż trójkąt

♦ zastosować i przekształcić różne wzory na pole trójkąta

bardzo dobry

♦ zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów w rozwiązywaniu zadań o kontekście

praktycznym

♦ zastosować własności czworokątów wypukłych oraz twierdzenia o okręgu

opisanym na czworokącie i wpisanym w czworokąt do rozwiązywania

trudniejszych zadań z planimetrii

♦ udowodnić twierdzenie sinusów i cosinusów

celujący

♦ wykazać się umiejętnością stosowania wzoru sinusów i cosinusów w sytuacjach

nietypowych

♦ wykazać się umiejętnością zastosowania poznanych wiadomości w sytuacjach

nietypowych

Stereometria

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

wskazywać w wielościanach proste prostopadłe, równoległe i skośne

wskazywać w wielościanach rzut prostokątny danego odcinka

określać liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi graniastosłupów i ostrosłupów

sporządzać rysunek wielościanu wraz z oznaczeniami

obliczać pola powierzchni bocznej i całkowitej graniastosłupów i ostrosłupów

prostych

rysować siatkę graniastosłupa lub ostrosłupa prostego, mając dany jej fragment

obliczać długości przekątnych graniastosłupów prostych − w prostych przypadkach

stosować definicje i własności funkcji trygonometrycznych do obliczania pól

powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów − w prostych sytuacjach

obliczać objętości graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych

wskazywać kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy tego

graniastosłupa

wskazywać kąt między danym odcinkiem w ostrosłupie a płaszczyzną podstawy

tego ostrosłupa

wskazywać kąt między sąsiednimi ścianami wielościanów

rozwiązywać proste zadania dotyczące kąta między prostą a płaszczyzną

obliczać pola powierzchni i objętości brył obrotowych − w prostych sytuacjach

wyznaczać skalę podobieństwa brył podobnych

dostateczny

obliczać pola powierzchni bocznej i całkowitej graniastosłupów i ostrosłupów

prostych w trudniejszych przypadkach

obliczać długości przekątnych graniastosłupów prostych

zastosować definicje i własności funkcji trygonometrycznych do obliczania pól

powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów

rozwiązać zadania z zastosowaniem kąta między prostą a płaszczyzną

rozwiązać proste zadania z zastosowaniem kąta między sąsiednimi ścianami

wielościanów

obliczać pola powierzchni i objętości brył obrotowych

dobry

stosować i przekształcać wzory na pola powierzchni i objętości wielościanów

obliczać pola powierzchni i objętości wielościanów z zastosowaniem funkcji

trygonometrycznych i twierdzeń planimetrii

wyznaczać, w trudniejszych przypadkach, kąt między danym odcinkiem

w ostrosłupie a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa

obliczać miarę kąta dwuściennego między ścianami wielościanu

obliczać pola powierzchni i objętości brył obrotowych z zastosowaniem funkcji

trygonometrycznych

wykorzystywać podobieństwo brył do rozwiązywania zadań

bardzo dobry

przeprowadzać wnioskowania dotyczące położenia prostych w przestrzeni

rozwiązywać, w trudniejszych przypadkach, zadania z wykorzystaniem miary kąta

między prostą a płaszczyzną

obliczać pola powierzchni i objętości brył obrotowych z zastosowaniem funkcji

trygonometrycznych i twierdzeń planimetrii

obliczać miarę kąta dwuściennego między ścianami wielościanu

celujący

rozwiązywać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące stereometrii

przeprowadzać dowody twierdzeń dotyczących związków miarowych

w wielościanach i bryłach obrotowych

Statystyka

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

obliczyć średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę

obliczyć średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę danych

przedstawionych na diagramie − w prostych przypadkach

obliczyć wariancję i odchylenie standardowe

obliczyć średnią ważoną liczb z podanymi wagami

odczytać dane z diagramu, i przedstawić dane za pomocą diagramu

dostateczny

obliczyć średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę danych

przedstawionych na diagramie w prostych przypadkach

obliczyć wariancję i odchylenie standardowe w trudniejszych przypadkach

swobodnie operować pojęciami średniej, mediany i dominanty w rozwiązywaniu

zadań

dobry

♦ obliczyć średnią arytmetyczną, wyznaczać medianę i dominantę danych

przedstawionych na diagramie w trudniejszych przypadkach

wykorzystać średnią arytmetyczną, medianę, dominantę i średnią ważoną do

rozwiązywania zadań

obliczyć wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych przedstawionych

w tabeli

bardzo dobry ♦ interpretować średnią arytmetyczną, medianę, dominantę i średnią ważoną

♦ rozwiązywać trudniejsze problemy z zastosowaniem poznanych wiadomości

celujący

♦ wykazać się umiejętnością zastosowania poznanych wiadomości w sytuacjach

nietypowych

♦ rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące statystyki

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ obliczać potęgę o wykładniku całkowitym

♦ obliczać potęgę o wykładniku wymiernym

♦ zapisać potęgę o wykładniku wymiernym jako pierwiastek i odwrotnie

♦ podać i stosować prawa działań na potęgach

♦ podać definicję i podstawowe własności funkcji wykładniczej

♦ podać definicję logarytmu i obliczać logarytm danej liczby dodatniej

♦ podać i stosować podstawowe własności logarytmów

dostateczny

wykonywać sprawnie obliczenia na potęgach o wykładniku rzeczywistym

porównywać liczby przedstawione w postaci potęg

wykonywać sprawnie obliczenia na logarytmach

♦ rysować wykres funkcji wykładniczej oraz jego przesunięcie wzdłuż osi układu

współrzędnych

wyznaczać dziedzinę funkcji logarytmicznej

♦ rysować wykres funkcji wykładniczej oraz jego przekształcenie względem osi

układu współrzędnych

rysować wykres funkcji logarytmicznej i określać jej własności

wyznaczać wzór funkcji wykładniczej lub logarytmicznej na podstawie

współrzędnych punktu należącego do wykresu tej funkcji oraz szkicuje ten wykres

rysować wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej, stosując przesunięcie

o wektor

szkicować wykres funkcji y = - f(x), y = f(-x), y = |f(x)|, y = f(|x|), mając dany

wykres funkcji wykładniczej lub logarytmicznej y = f(x)

stosować twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przy przekształcaniu wyrażeń

z logarytmami

dobry

sprawnie operować prawami działań na potęgach i pierwiastkach

przekształcać wyrażenia zawierające potęgę, logarytm o podwyższonym stopniu

trudności

posługiwać się własnościami funkcji wykładniczej

podawać przybliżoną wartość logarytmów dziesiętnych z wykorzystaniem tablic

stosować twierdzenie o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi do uzasadniania

równości wyrażeń

szkicować wykresy funkcji wykładniczej lub logarytmicznej otrzymane w wyniku

złożenia kilku przekształceń

rozwiązywać proste równania wykładnicze, korzystając z różnowartościowości

funkcji wykładniczej

wykorzystywać własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej do rozwiązywania

zadań o kontekście praktycznym

bardzo dobry

rozwiązywać zadania praktyczne z zastosowaniem potęg i logarytmów

rysować wykresy funkcji łącząc wiele przekształceń

wykorzystać własności funkcji wykładniczej

rozwiązywać proste nierówności wykładnicze, korzystając z monotoniczności funkcji

wykładniczej

rozwiązywać proste równania i nierówności logarytmiczne, korzystając z własności

funkcji logarytmicznej

rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące funkcji wykładniczej lub

logarytmicznej

celujący

rozwiązywać zadania z zastosowaniem potęg i logarytmów w rozwiązywaniu

nietypowych problemów

dowodzić twierdzenia o logarytmach

wykorzystywać twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu w zadaniach na

dowodzenie

rozwiązywać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji wykładniczej

i logarytmicznej

zaznaczać w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny (x,y) spełniających

podany warunek

Klasa IV technikum

Rachunek prawdopodobieństwa

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ wypisywać wyniki danego doświadczenia

♦ stosować w typowych sytuacjach regułę mnożenia

♦ przedstawiać w prostych sytuacjach drzewo ilustrujące wyniki danego

doświadczenia

♦ wypisywać permutacje danego zbioru

♦ stosować definicję silni

♦ obliczać w prostych sytuacjach liczbę permutacji danego zbioru

♦ obliczać w prostych sytuacjach liczbę wariacji bez powtórzeń

obliczać w prostych sytuacjach liczbę wariacji z powtórzeniami

obliczać wartość symbolu Newtona

określać zbiór zdarzeń elementarnych danego doświadczenia

określać zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu losowemu

określać zdarzenia przeciwne, zdarzenia niemożliwe, zdarzenia pewne i zdarzenia

wykluczające się

obliczać prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

stosować w prostych sytuacjach twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń

określać iloczyn zdarzeń

dostateczny

obliczać w prostych sytuacjach liczbę kombinacji

stosować w prostych sytuacjach regułę dodawania do wyznaczenia liczby wyników

doświadczenia spełniających dany warunek

♦ stosować w prostych, typowych sytuacjach klasyczną definicję prawdopodobieństwa

do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych

♦ podawać rozkład prawdopodobieństwa

obliczać w prostych sytuacjach prawdopodobieństwo warunkowe

obliczać w prostych sytuacjach prawdopodobieństwo całkowite

ilustrować doświadczenie wieloetapowe za pomocą drzewa

dobry

stosować regułę mnożenia i regułę dodawania do wyznaczenia liczby wyników

doświadczenia spełniających dany warunek

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach liczbę permutacji danego zbioru

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach liczbę wariacji bez powtórzeń

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach liczbę wariacji z powtórzeniami

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach liczbę kombinacji

rozwiązywać równania i nierówności, w których występuje symbol Newtona

zapisywać zdarzenia w postaci sumy, iloczynu oraz różnicy zdarzeń

stosować własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń

ilustrować doświadczenia wieloetapowe za pomocą drzewa i na tej podstawie

obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń

bardzo dobry

stosować w bardziej złożonych sytuacjach klasyczną definicję prawdopodobieństwa

do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych

stosować w bardziej złożonych sytuacjach twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy

zdarzeń

stosować własności prawdopodobieństwa w dowodach twierdzeń

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach prawdopodobieństwo warunkowe

obliczać w bardziej złożonych sytuacjach prawdopodobieństwo całkowite

celujący

wykorzystywać wzór dwumianowy Newtona do rozwinięcia wyrażeń postaci (a+b)n

i wyznaczania współczynników wielomianów

uzasadniać zależności, w których występuje symbol Newtona

rozwiązywać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące prawdopodobieństwa

rozwiązywać zadania dotyczące niezależności zdarzeń

stosować wzór Bayesa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń

Granice ciągów

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ bada na podstawie wykresu, czy dany ciąg ma granicę i w przypadku ciągu

zbieżnego podaje jego granicę

♦ bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile

jest większych (mniejszych) od danej wartości (proste przypadki)

♦ rozpoznaje ciąg rozbieżny na podstawie wykresy i określa, czy ma on granicę

niewłaściwą, czy nie ma granicy

♦ oblicza sumę szeregu geometrycznego w prostych przypadkach

♦ podać definicję logarytmu i obliczać logarytm danej liczby dodatniej

♦ podać i stosować podstawowe własności logarytmów

dostateczny

podaje granicę ciągów nq dla 1;1q oraz

kn

1 dla k > 0

oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych

i rozbieżnych (proste przypadki)

♦ podaje twierdzenie o rozbieżności ciągów: nq dla q > 0 oraz k

n dla k > 0

♦ sprawdza, czy dany szereg geometryczny jest zbieżny

dobry

bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile

jest większych (mniejszych) od danej wartości

oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych

i rozbieżnych

bardzo dobry

stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywania zadań, również

osadzonych w kontekście praktycznym rozwiązywać zadania praktyczne

z zastosowaniem potęg i logarytmów

celujący

rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące ciągów,

w szczególności monotoniczności ciągu

oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach

Rachunek różniczkowy

Stopień Wiadomości i umiejętności

dopuszczający

Uczeń potrafi:

♦ uzasadnia w prostych przypadkach, że funkcja nie ma granicy w punkcie

♦ oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z twierdzeń o granicach (proste

przypadki)

♦ oblicza granice jednostronne funkcji w punkcie (proste przypadki)

♦ oblicza granice niewłaściwe jednostronne w punkcie i granice w punkcie (proste

przypadki)

♦ oblicza granice funkcji w nieskończoności (proste przypadki)

oblicza pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji (proste przypadki)

♦ korzysta ze wzorów (c)' = 0, (x)' = 1, (x2)' = 2x oraz (x

3)' = 3x

2 do wyznaczenia

funkcji pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie

podaje ekstremum funkcji, korzystając z jej wykresu

wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny istnienia ekstremum

uzasadnia, że dana funkcja nie ma ekstremum (proste przypadki)

dostateczny

wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji (proste

przypadki)

sprawdza ciągłość nieskomplikowanych funkcji w punkcie

stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia

współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt,

jaki ta styczna tworzy z osią OX (proste przypadki)

stosuje pochodną do wyznaczenia prędkości oraz przyspieszenia poruszających się

ciał (proste przypadki)

korzysta, w prostych przypadkach, z własności pochodnej do wyznaczenia

przedziałów monotoniczności funkcji

wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym

i stosuje do rozwiązywania prostych zadań

zna i stosuje schemat badania własności funkcji

szkicuje wykres funkcji na podstawie jej własności (proste przypadki)

dobry

uzasadnia, także na podstawie wykresu, że funkcja nie ma granicy w punkcie

uzasadnia, że dana liczba jest granicą funkcji w punkcie

oblicza granice w punkcie, także niewłaściwe

stosuje twierdzenie o związku między wartościami granic jednostronnych w punkcie

a granicą funkcji w punkcie

oblicza w granice funkcji w nieskończoności

wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji

sprawdza ciągłość funkcji

oblicza pochodną funkcji w punkcie

stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia

współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt,

jaki ta styczna tworzy z osią OX

korzysta ze wzorów 1)'(

nnx

nx dla }0{\Cn i x ≠ 0 oraz

xx

2

1)'( dla x > 0

do wyznaczenia funkcji pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie

wyznacza przedziały monotoniczności funkcji

uzasadnia monotoniczność funkcji w danym zbiorze

wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny i wystarczający istnienia

ekstremum

wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym

i stosuje do rozwiązywania trudniejszych zadań w tym optymalizacyjnych

bardzo dobry

oblicza granicę funkcji )(xfy w punkcie

oblicza granice funkcji w punkcie, stosując własności granic funkcji sinus i cosinus

w punkcie

wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja jest ciągła w danym punkcie lub

zbiorze

stosuje twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich oraz twierdzenie

Weierstrassa

uzasadnia istnienie pochodnej w punkcie

wyprowadza wzory na pochodną sumy i różnicy funkcji

wyznacza wartości parametrów tak, aby funkcja była monotoniczna

uzasadnia, że funkcja nie ma ekstremum

bada własności funkcji i szkicuje jej wykres

celujący

wyprowadza wzory na pochodną iloczynu i ilorazu funkcji

rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące rachunku

różniczkowego

POWTÓRZENIE

Wymagania dotyczące powtarzanych wiadomości zostały opisane w propozycjach przedmiotowego systemu

oceniania dla klas pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej.