Warsztaty metod fizyki teoretycznej

Zestaw 8

Teoria Ginzburga-Landauasuperconductivity made easy

Jan Kaczmarczyk

08.05.2014

Wstęp

Teoria Ginzburga-Landaua została sformułowana [1] w roku 1950, a więc na kilka lat przedpodaniem mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa przez Bardeena, Coopera i Schrieffera [2].W obecnym czasie mechanizm parowania się elektronów w nadprzewodnikach nie był jeszczedo końca jasny. Ginzburg i Landau postanowili rozszerzyć teorię Landaua przejść fazowychII rodzaju na przypadek nadprzewodnictwa i otrzymali w ten sposób bardzo prostą teorięfenomenologiczną. Jak się później okazało, wiele zjawisk jest dobrze tłumaczonych właśnieprzez tą teorię, a nie przez mikroskopową teorię BCS, co może dziwić, biorąc pod uwagę jejprostotę. Dodatkowo, w roku 1959 Gorkov pokazał, że formalizm Ginzburga-Landaua da sięwyprowadzić z teorii mikroskopowej BCS.Piękno teorii GL polega na tym, że pozwala ona rozwiązać wiele problemów z dziedziny nad-przewodnictwa bez odwoływania się do mikroskopowej (skomplikowanej) teorii BCS. Międzyinnymi Abrikosovi udało się na gruncie formalizmu GL pokazać, że w nadprzewodnikach II ro-dzaju blisko krytycznego pola magnetycznego tworzy się sieć wirów (vortexów), za co przyznanamu została nagroda Nobla (razem z Ginzburgiem i Leggettem) w roku 2003 (patrz rys. 1).W obecnym zestawie postaramy się od zera sformułować teorię Ginzburga-Landaua zaczynającod najprostszego przypadku jednorodnego i stopniowo udoskonalając model przez uwzględnienieniejednorodności oraz pola magnetycznego. Następnie poznamy przykładowe zastosowania tejprostej i równocześnie potężnej teorii.

Zad. 1. Przypadek jednorodny - funkcjonał energii swobodnej

Teoria przejść fazowych drugiego rodzaju rozwinięta przez Landaua w latach 30-tych wyko-rzystuje fakt, że takie przejścia zwykle wiążą się ze zmianą symetrii w rozważanym układzie.Przykładowo magnes w temperaturze powyżej temperatury Curie nie posiada momentu ma-gnetycznego, natomiast poniżej tej temperatury spontanicznie pojawia sie namagnesowanie wpewnym arbitralnym kierunku.W teorii Landaua przejścia fazowe charakteryzuje parametr porządku, który jest zerowyw stanie nieuporządkowanym powyżej Tc, a staje się niezerowy dla niższych temperatur. Wprzypadku magnesu odpowiednim parametrem porządku jest magnetyzacja M(r).

1

Rysunek 1: Sieć wirów w nadprzewodniku (STM, NbSe2, 1.9T , 4.3K, A. M. Troyanovski etal., Leiden University, Nature 399, 665 (1999)) i nagroda Nobla dla Abrikosova.

Kluczowym krokiem w teorii Landaua przejść fazowych jest rozwinięcie energii swobodnej wpobliżu przejścia w szereg potęgowy względem parametru porządku.Zastanów się, co może być parametrem porządku w przypadku nadprzewodnika. Następnie roz-wiń energię swobodną (na jednostkę objętości) w pobliżu T = Tc w szereg potęgowy względemtego parametru.Wskazówki:

• Taki parametr dla nadprzewodnika jest liczbą zespoloną, natomiast energia musi byćrzeczywista,

• Energia musi być analityczna w pobliżu parametr porzadku = 0,

• Zastanów się jaka jest najmniejsza liczba potrzebnych wyrazów,

• Rozwinięcie powinno mieć postać fs(T ) = fn(T ) + ..., gdzie fs(T ) i fn(T ) to energiaswobodna na jednostkę objętości dla nadprzewodnika i stanu normalnego, odpowiednio,natomiast ... oznacza wyrazy zależne od parametru porządku.

Wyrazy rozwinięcia powinieneś dobrać tak, aby otrzymać zawsze minimum energii dla skończo-nej wartości parametru porządku oraz aby dla T < Tc rozwiązanie z niezerowym parametremporządku miało niższą energię.Dla jakiej wartości parametru porządku wprowadzony funkcjonał energii swobodnej osiągawartość minimalną?Jaką mamy degenerację? (Dla magnesu była degeneracja rozwiązań ze względu na obrót wektoramagnetyzacji)Oblicz entropię s = S/V oraz ciepło właściwe CV = Tds/dT na jednostkę objętości.

Zad. 2. Przypadek niejednorodny

Sformułowanie

Wystartuj z funkcjonału dla przypadku jednorodnego Ψ(r) = Ψ = const.

2

fs(T ) = fn(T ) + a(T )|Ψ|2 +b(T )

2|Ψ|4 (1)

i uwzględnij przestrzenne zmiany Ψ(r). Wskazówki:

• Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanicekwantowej zmiany przestrzenne funkcji falowej wpływają na energetykę układu (równanieSchroedingera). Jaki w związku z tym (w analogii do r. Schroedingera z Hamiltonianemcząstki swobodnej) należy dodać wyraz do naszego funkcjonału fs(T )?

• Co teraz będzie wielkością, którą należy zminimalizować (w związku z tym, że fs(T ) zależyod r)?

Znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej (a raczej równanie je definiu-jące). W tym celu należy albo rozważyć Ψ(r) które daje minimum i małą odchyłkę od niegoΨ(r)→ Ψ(r)+δΨ(r), albo zróżniczkować funkcjonał po Ψ(r) oraz Ψ(r)∗ (functional derivatives)i otrzymane pochodne przyrównać do zera.Powinieneś otrzymać równanie nieliniowe na Ψ(r).

Zastosowanie - powierzchnia nadprzewodnika

Ciekawym problemem jest jak parametr porządku zachowuje się w pobliżu powierzchni nad-przewodnika, a w szczególności na jakiej głębokości ξ osiąga swoją maksymalną wartość.W celu zbadania tego zjawiska rozważ jednowymiarowy problem, w którym dla x < 0 mamypróżnię i warunek brzegowy Ψ(r) = 0, natomiast dla x > 0 nadprzewodnik i Ψ(r) 6= 0.Przy takim warunku brzegowym rozwiąż równanie

− h̄2

2m∗d2Ψ(r)dx2

+ a(T )Ψ(r) + b(T )Ψ3(r) = 0. (2)

w obszarze x > 0. Co zmieni się, jeśli przyjmiemy warunek brzegowy Ψ(r) = C dla pewnejstałej C?Wskazówki: Przejdź do zmiennych bezwymiarowych, rozwiązaniem jest Ψ(r) = g(a, b) tgh(...)

Zad. 3. Uwzględnienie pola magnetycznego

Sformułowanie

Wystartuj z funkcjonału dla przypadku niejednorodnego z Ψ(r)

Fs(T ) = Fn(T ) + ... (3)

i uwzględnij pole magnetyczne B.Wskazówki:

• Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanicekwantowej uwzględnialiśmy pole magnetyczne :). Postąp analogicznie.

• Oprócz powyższej zmiany należy jeszcze dodać do naszego funkcjonału jeden wyraz (zwią-zany z obecnością pola). Jaki?

3

Rysunek 2: Pierścień nadprzewodzący w polu magnetycznym.

W domu znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej. Teraz nie mamy nato czasu (skomplikowane różniczkowanie względem Ψ(r), Ψ(r)∗, A(r)) :).Powinnieneś otrzymać dwa równania. Pierwsze analogiczne do (2), a drugie następujące

js = −2eh̄i2m∗

(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)− (2e)2

m∗|Ψ|2A. (4)

Zastosowanie do obliczenia kwantu strumienia pola magnetycznego

Zastosujemy teraz teorię Ginzburga-Landaua do przypadku nadprzewodzącego pierścienia, przezktóry przenika pole magnetyczne (patrz rys. 2). Będziemy opisywali nadprzewodnictwo przyużyciu zmiennych cylindrycznych r = (r, φ, z). Oś z ustalamy jako prostopadłą do płaszczyznypierścienia i przechodzącą przez jego środek.Jest oczywistym, że parametr porządku musi być periodyczną funkcją φ. Zakładamy, że zmianyΨ(r) w przekroju pierścienia są nieistotne, więc możemy zaniedbać zależność Ψ od r oraz z.Wobec tego postać parametru porządku jest następująca

Ψ(φ) = Ψ0einφ, (5)

gdzie n jest liczbą całkowitą, a Ψ0 to pewna stała.

1. Zakładając, że przez pierścień przenika strumień magnetyczny Φ pokaż, że potencjał wek-torowy A może być wybrany jako A(r) = (0, Φ

2πR , 0), gdzie R jest promieniem pierścienia.Wystartuj z definicji Φ.

2. Oblicz energię swobodną pierścienia dla funkcji falowej (5) oraz wprowadzonego powyżejpotencjału wektorowego. Wskazówka: ∇ = ∂rer + 1

r∂φeφ + ∂zez

3. Dla jakich wartości strumienia magnetycznego Φ energia swobodna osiąga minimum?Wskazówka: Energia pola magnetycznego może być zapisana jako const.Φ2

Literatura

[1] V. L. Ginzburg and L. D. Landau, Zh. Eksperim. i. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950).

[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108,1175 (1957).

4