Teoria sterowania

Wykład 14

Regulacja dwupołożeniowa

2

• Charakterystyka statyczna regulatora

• Sygnał sterujący w układzie regulacji dwupołożeniowej.

• Metody analizy układu regulacji dwupołożeniowej:

- metoda klasyczna, - metoda płaszczyzny fazowej.

3

Charakterystyka regulatora dwupołożeniowego.

u

e0 h-h

U

Regulator dwupołożeniowy jest regulatorem nieliniowym.

4

Wyznaczanie sygnału sterującego

2e

Uu u

U

12–h h

=t

2

1

2

00

0A0

e(t) = A0 + Asin

e

5

Gob(s)e(t)w(t)=w0 u(t)

Regulatordwupołożeniowy

Obiektregulacji

– y(t)

u

e0

Analiza układu regulacji dwupołożeniowej

1)(

Ts

kG sob

osTob e

Ts

ksG

1)(

6

T

t

ekUty 1)(

1. Metoda klasyczna

hwe 0)0(

T

tt

ehwty1

)()( 0

)(1)( 0

2

hwekUty T

tt

Obiekt inercyjny I-go rzędu

y

t0

w0+h

w0–hw0

u

U

t1 t2 t3 t4

t t1 t2 t3 t4 t50

odłączenieregulatora

załączenieregulatora

Tosc

2h

7

Obiekt inercyjny z opóźnieniem

y

t0

w0+h

w0–hw0

u

U

t1 t1+T0 t2 t2+T0 t3 t3+T0

t t1 t2 t3 0

odłączenieregulatora

załączenieregulatora

Tosc

T0

M

)(11)( oT

Tt

TtekUtyo

T

Tt

T

Tt o

eekUty

01

1)(

8

2. Metoda płaszczyzny fazowej

Obiekt inercyjny I-go rzędu

kuyyT - równanie obiektu

uT

ky

Ty

1

T

kUy

Ty

1Dla Utu )(

Dla 0)( tu yT

y1

y0

w0–hw0 w0+h

T

kUy

9

Obiekt inercyjny z opóźnieniem

)()( oTtkutyyT - równanie obiektu

)(1

oTtuT

ky

Ty

y0

w0–h

w0

w0+h

T

kU

y

10

Sterowalność i obserwowalność stacjonarnych obiektów liniowych

11

)Bu()Ax(x

ttdt

td

)(

Du(t)Cx(t)y(t)

- równanie stanu

- równanie wyjścia

)(tx - wektor stanu o składowych );(,),(),( 21 txtxtx n

A – macierz obiektu o wymiarach ;nn

B – macierz sterowania o wymiarach ;pn

)(tu - wektor sterowania o składowych );(,),(),( 21 tututu p

)(ty - wektor odpowiedzi o składowych )(,),(),( 21 tytyty q

C – macierz wyjścia o wymiarach ;nq

D – macierz transmisyjna o wymiarach .pq

(1)

12

Definicja sterowalności

Definicja 1. Stan obiektu x0 w chwili t0 nazywa się sterowalnym, jeżeli stosując ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie u(t) można go przeprowadzić w skończonym czasie tk do zadanego stanu końcowego, przyjmowanego zwykle xk = 0. Inaczej mówiąc stan obiektu x0 = x(t0) jest sterowalny, jeżeli istnieje rozwiązanie układu równań (1) spełniające w chwili tk warunek

.0)],,(,( 00 xx kk ttut

Jeżeli każdy stan x0 jest sterowalny w chwili t0, to mówimy, że obiekt jest sterowalny w chwili t0.Jeżeli każdy stan x0 jest sterowalny w każdej chwili t0, to mówimy, że obiekt jest całkowicie sterowalny.Definicja 2. Obiekt nazywa się całkowicie sterowalnym, jeżeli stosując ograniczone , przedziałami ciągłe sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego zadanego stanu początkowego x0 do stanu końcowego xk = 0

13

Definicja obserwowalnościDefinicja 1. Stan obiektu x0 w chwili t0 nazywa się obserwowalnym, jeżeli przy zadanym dowolnym sterowaniu u(t) istnieje skończona chwila tk taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t0,tk] i odpowiedzi y(t0,tk] w przedziale (t0,tk] można wyznaczyć stan x0 w chwili początkowej t0. Jeżeli każdy stan x0 w chwili t0 jest obserwowalny, to mówimy, że obiekt jest obserwowalny w chwili t0.Jeżeli każdy stan x0 jest obserwowalny w każdej chwili t0, to mówimy, że obiekt jest całkowicie obserwowalny.

Definicja 2. Obiekt nazywa się całkowicie obserwowalnym, jeżeli przy zadanym dowolnym sterowaniu istnieje skończona chwila tk taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t0,tk] i odpowiedzi y(t0,tk] w przedziale (t0,tk] można wyznaczyć każdy stan x0 w każdej chwili początkowej t = t0.

Warunek sterowalności obiektu

Stacjonarny obiekt liniowy opisany równaniami (1) jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

BABAABBH 1n2 jest równy n.

Warunek obserwowalności obiektuStacjonarny obiekt liniowy opisany równaniami (1) jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

T1n2 CACACACW

jest równy n.

14

15

Przykład. Na ciało o masie m, poruszajace się w srodowisku bez tarcia, działa zmienna w czasie siła u(t). Zbadać całkowitą sterowalność i obserwowalność tego obiektu, gdy wielkością wyjściową jest:

1) przebyta przez ciało droga,

2) prędkość tego ciała.

Rozwiązanie

Ruch ciała opisany jest równaniami

)t(udt

dxm

xdt

dx

2

21

Równania stanu w zapisie wektorowo-macierzowym mają postać

)t(umx

x

dt

dxdt

dx

10

00

10

2

1

2

1x1 – przebyta droga,

x2 – prędkość.

16

W przypadku 1, gdy wielkością wyjściową y jest przebyta przez ciało droga x1, równanie wyjścia ma postać

2

101x

xy

a macierz wyjścia C jest równa 01C

W przypadku 2, gdy wielkością wyjściową y jest prędkość ciała x2, równanie wyjścia ma postać

2

110x

xy

a macierz wyjścia C jest równa 10C

17

Sterowalność.

0

1

10

m

mABBH det H = 2

1

m

Rząd macierzy H jest równy 2. Obiekt jest całkowicie sterowalny.

Obserwowalność.Przypadek1.

10

01

CA

CW

det W = 1

Przypadek2.

00

10

CA

CW

det W = 0

Obiekt jest całkowicie obserwowalny.

Obiekt nie jest całkowicie obserwowalny.