Teoria gier - pjuszczuk.plpjuszczuk.pl/wp-content/uploads/2012/12/Teoria-gier-wyk-4.pdf · Teoria...

Teoria gier

prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka

Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Wykład 4 - Gry o sumie zero

prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka Teoria gier

Gry o sumie zero

Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszymtypem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania. często określane sąteż jako ściśle konkurencyjne, gdzie interesy graczy są przeciwstawne.

u1(a) = −u2(a), a ∈ A

Teoria gier

Gry o sumie zerowej były podstawą matematycznej teorii gieropracowanej przez J. von Neumanna i O Morgensterna


Rysunek: John von Neumann

Jeden z pionierów informatyki;Twórca teorii gier oraz teoriiautomatów komórkowych;Istotny wkład w dziedzinach;logika matematyczna, teoriamnogości, analizamatematyczna, mechanikikwantowej;udowodnił twierdzeniemin-max;


Rysunek: Oskar Morgenstern

Wspólnie z von Neumannemstworzył podstawy teorii gier;Istotny wkład w dziedzinieekonomii;


Przykłady gier o sumie zero:

Szachy;Warcaby;GO;gry karciane;

Kamień-Papier-Nożyczki;Orzeł-Reszka;

Należy pamiętać, że gry w postaci ekstensywnej takie jak szachy czywarcaby, mogą zostać przedstawione jako gra w postaci macierzowej.


Rysunek: Gra o sumie zero


W grze o sumie zero:

każdy z graczy posiada skończoną liczbę strategii;

strategie poszczególnych graczy wybierane są jednocześnie;

przy wyborze strategii gracz może za każdym razem wybierać tylkojedną strategię - w takiej sytuacji jest to strategia czysta;

profil strategii czystych, to sytuacja, w której gracze wybrali jedną zeswoich strategii czystych:

s = (xn, ym), gdzie xn ∈ X oraz ym ∈ Y .

xn oraz ym oznaczają odpowiednio n-tą oraz m-tą strategię czystągraczy.


W przeciwieństwie do strategii czystej, strategia mieszana określaczęstotliwość wyboru danej strategii czystej w n kolejnych grach.

Rysunek: Gra o sumie zero

Wartości obok wierszy gracza niebieskiego oraz wartości pod kolumnamigracza czerwonego oznaczają częstości wyboru poszczególnych strategii.W tym wypadku strategię mieszaną można odczytać następująco: nakażde 12 gier, 5 razy stosuj strategię pierwszą, natomiast pozostałe 7razy strategię drugą.


Twierdzenie o minmaksie

Dla każdej 2-osobowej skończonej gry o sumie zero:1 Istnieje punkt siodłowy;2 Istnieje v∗ taka, że v1 = v2 = v∗, gdzie v1 oznacza maksimum z

minimów dla wierszy, natomiast v2 to minimum z maksimów kolumn;3 Jeżeli s = (xn, ym) jest punktem siodłowym to wypłata graczy

stosujących strategie xnorazym wynosi v∗;4 s = (xn, ym) jest punktem siodłowym, gdy pierwszy z graczy gra

strategię maksminową, natomist gracz drugi - minmaksową.


Rysunek: Przykład wyznaczania punktu siodłowego

Wiersze : Maksimum z minimów : max z {4, 1}Kolumny : Minimum z maksimów : min z {7, 4}Siodło istnieje, jeżeli : max min = min max


Rysunek: Obliczanie strategii mieszanych w grze 2x2


Rysunek: Dodanie stałej do komórek macierzy

Dodanie określonej stałej c do każdej z komórek macierzy wypłat niewpływa w żaden sposób na częstość wyboru strategii poszczególnych

graczy.


Rysunek: Istnienie punktów siodłowych w grach 2xm


Rysunek: Dominowanie strategii w grach 2xm


Rysunek: Dominowanie strategii w grach mx2


Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier


Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier poprzedzona usuwaniemstrategii zdominowanych


Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier 2xm


Rysunek: Punkt siodłowy w grze 3x3


Ogólne zasady postępowania:

1 Czy istnieje punkt siodłowy?

2 Czy można usunąć strategie zdominowane oraz dominujące?

3 Wyznacz częstości stosowania strategii poszczególnych graczy.

4 Wybierz losowo po 2 strategie graczy sprowadzając problem do gry2x2.

5 W przypadku dużych gier zastosuj rozwiązanie przybliżone.


Rysunek: Algorytm przybliżony - krok 1


Rysunek: Algorytm przybliżony - po 6 kroku


Rysunek: Algorytm przybliżony - po 14 krokach


Dziękuję za uwagę.


Teoria gier - pjuszczuk.plpjuszczuk.pl/wp-content/uploads/2012/12/Teoria-gier-wyk-4.pdf · Teoria...

Documents

Transcript of Teoria gier - pjuszczuk.plpjuszczuk.pl/wp-content/uploads/2012/12/Teoria-gier-wyk-4.pdf · Teoria...