TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH

Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

Przypomnienie

� Gra o sumie zerowej

� Kryterium dominacji

� Kryterium wartości oczekiwanej

� Diagram przesunięć� Diagram przesunięć

� Równowaga

Can a Round of Poker Solve Afghanistan's Problems? Richard J.H. Gash

Wioska północna

Za Koalicją Za TalibanemZa Koalicją Za Talibanem

Wio

ska

połu

dni

owa Za Koalicją 2,2 -6,6

Za Talibanem 6,-6 -2,-2

Gry o sumie niezerowej – konkurencja i współpraca

W grach o sumie niezerowej interesy

obu graczy nie są ani dokładnie

przeciwstawne, ani przeciwstawne, ani też w pełni ze sobą zgodne: mamy do

czynienia z konkurencją, nie

wykluczającą jednak w pełnych sytuacjach

współpracy.

Poziomy wymiany informacyjnej

1. Całkowity brak możliwości komunikacji między graczami

2. Możliwość komunikacji przed wyborem strategii (obietnice, zobowiązania)strategii (obietnice, zobowiązania)

3. Uzgadnianie strategii kooperacyjnych

Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii czystej

Kolumna

A B

Wie

rsz A (2,3) (3,2)

B (1,0) (0,1)

Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii mieszanej

Kolumna

A BA B

Wie

rsz A (2,4) (1,0)

B (3,1) (0,4)

Strategia wyrównująca

Strategia wyrównująca – strategia mieszana, która równoważy wartość oczekiwaną dla gracza, niezależnie od decyzji przeciwnika

KolumnaA B

Wie

rsz A (2,4) (1,0)

B (3,1) (0,4)

Strategia wyrównująca Wiersza: A: 3/7B: 4/7

Wo: 16/7≈2,29

Strategia wyrównująca Kolumny:A: ½B: ½

Wo: 3/2=1,5

Twierdzenie Nasha (1950)

Każda dwuosobowa gra o sumie niezerowej ma przynajmniej jedną równowagę, albo w równowagę, albo w strategiach czystych, albo w mieszanych. Równowagę taką nazywamy Równowagą Nasha.

Piękny Umysł

Gra z dwiema nieekwiwalentnymi i niewymiennymi równowagami

Kolumna

A BA B

Wie

rsz A (1,1) (2,5)

B (5,2) (-1,-1)

Nieekwiwaletność i niewymienność

� Gra ma 2 równowagi w strategiach czystych:

AB (2,5) i BA (5,2)

� Równowagi te nie są ekwiwaletne

Kolumna

A Bekwiwaletne

� Równowagi te nie są wymienne

� Jeżeli oboje wybiorą strategie prowadzące do tych równowag, uzyskają wynik najgorszy z możliwych BB (-1,-1)

Wie

rsz A (1,1) (2,5)

B (5,2) (-1,-1)

Gra z jedną równowagą, nieoptymalną w sensie Pareto

Kolumna

A BA B

Wie

rsz A (3,3) (-1,5)

B (5,-1) (0,0)

Optymalność w sensie Pareto

Wynik gry jest nieoptymalny w sensie

Pareto (albo subparetooptymalny, lub nieefektywny Pareto), jeśli gra ma inny

wynik, dający obu graczom wyższe wynik, dający obu graczom wyższe

wypłaty, lub jednemu z graczy taką

samą, a drugiemu wyższą. Wynik jest paretooptymalny, jeśli takiego innego wyniku nie ma.

Kryterium Pareto

Kryterium Pareto.

Tylko wynik optymalny w sensie Pareto może być akceptowany jako rozwiązanie gry

Metoda znajdywania strategii optymalnych w sensie Pareto

Kolumna

A B

Wie

rsz A (2,3) (3,2)

B (1,0) (0,1)

Kolumna

A B

Wie

rsz A (2,4) (1,0)

B (3,1) (0,4)

Kolumna

A B

Wie

rsz A (1,1) (2,5)

B (5,2) (-1,-1)

Kolumna

A B

Wie

rsz A (3,3) (-1,5)

B (5,-1) (0,0)

Równowagi Nasha – wady i zaletyZa

lety Są stabilne

Istnieje przynajmniej jedna dla

Wa

dy Mogą być

nieekwiwaletne

Mogą być niewymiennejedna dla

każdej gryniewymienne

Mogą być nieoptymalne w sensie Pareto

Zastosujmy metodę minimaksową…

Kolumna

A BA B

Wie

rsz A (2,4) (1,0)

B (3,1) (0,4)

Strategia bezpieczeństwa i poziom bezpieczeństwa

W grze o sumie niezerowej strategię optymalną Wiersza w grze Wiersza nazywamy strategią bezpieczeństwa

Wiersza, zaś wartość gry Wiersza Wiersza, zaś wartość gry Wiersza nazywamy poziomem bezpieczeństwa

Wiersza

Co, jeśli oboje zagrają swoje strategie bezpieczeństwa?

� Jeśli Wiersz zagra A, zaś Kolumna 4/7A i 3/7 B, wynikiem będzie 4/7AA+3/7AB=(11/7,16/7)

Kolumna

A B16/7)

Wie

rsz A (2,4) (1,0)

B (3,1) (0,4)

Strategia kontrbezpieczeństwa

W grze o sumie niezerowej strategią kontrbezpieczną

nazywamy strategię będącą nazywamy strategię będącą najlepszą odpowiedzią na strategię bezpieczeństwa przeciwnika

Niestabilność w grach o sumie niezerowej

Strategia Wiersza Strategia Kolumny Wypłata Wiersza Wypłata Kolumny

bezpieczeństwa bezpieczeństwa 1,57 2,29bezpieczeństwa kontrbezpieczna 2,00 4,00kontrbezpieczna Bezpieczeństwa 1,71 2,29kontrbezpieczna Bezpieczeństwa 1,71 2,29kontrbezpieczna Kontrbezpieczna 3,00 1,00

Strategia bezpieczeństwa Wiersza A

Strategia bezpieczeństwa Kolumny 4/7A, 3/7 B

Strategia kontrbezpieczna Wiersza B

Strategia kontrbezpieczna Kolumny A

Rozwiązywalność w ścisłym sensie

� Dwuosobowa gra jest rozwiązywalna w

ścisłym sensie, jeżeli:

�Ma co najmniej jedną równowagę optymalną w sensie Pareto, orazw sensie Pareto, oraz

�Jeśli równowag takich jest więcej, to są one ekwiwalentne i wymienne

Ile równowag? Które paretooptymalne?

Kolumna

A B C

Wie

rsz

A (0,-1) (0,2) (2,3)

B (0,0) (2,1) (1,-1)

C (2,2) (1,4) (1,-1)

Dwie równowagi, która paretooptymalna?

Kolumna

A B C

Wie

rsz

A (0,-1) (0,2) (2,3)

B (0,0) (2,1) (1,-1)

C (2,2) (1,4) (1,-1)

Znajdź równowagę Nasha i sprawdź, czy jest ona paretooptymalna

Kolumna

A B

Wie

rsz

A (3,2) (2,1)

B (4,3) (1,4)

Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?

Kolumna

A B

Wie

rsz

A (2,2) (4,3)

B (3,4) (1,1)

Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?

Kolumna

A B

Wie

rsz

A (2,2) (4,1)

B (1,3) (3,4)

Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?

Kolumna

A B C

Wie

rsz

A (3,0) (5,2) (0,4)

B (2,2) (1,1) (3,3)

C (2,1) (4,0) (1,0)

Czy są jakieś pytania?

Następne zajęcia