TEORIA GIER

21 kwietnia 2023

Gra to dowolna sytuacja konfliktowa, gracz natomiast to dowolny jej uczestnik każda strona wybiera pewną strategię postępowania,

po czym zależnie od strategii własnej oraz innych uczestników każdy gracz otrzymuje wypłatę w jednostkach użyteczności (pieniądze, wzrost szansy na przekazanie własnych genów czy też cokolwiek innego, z czystą satysfakcją włącznie)

wynikowi gry zwykle przyporządkowuje się pewną wartość liczbową.

istota tej gry nie polega na próbie odgadnięcia intencji gracza, lecz na skrywaniu własnych zamiarów.

Podstawowym założeniem teorii gier jest racjonalne działanie wszystkich podmiotów decyzyjnych (graczy).

21 kwietnia 2023

21 kwietnia 2023

Aby dana sytuacja mogła być nazwana grą, musi spełniać następujące warunki:

istnieje skończona liczba uczestników, każdy uczestnik posiada skończoną liczbę

sposobów działania (strategii), uczestnik, który chce posłużyć się teorią gier, musi

znać wszystkie dostępne pozostałym graczom strategie, lecz nie może wiedzieć, która z nich będzie obrana,

wygrana każdego uczestnika zależy zarówno od działania pozostałych graczy, jak i od jego własnego działania,

wszystkie możliwe wyniki są mierzalne.

21 kwietnia 2023

Teoria gier

to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów

21 kwietnia 2023

21 kwietnia 2023

Badania w zakresie teorii gier i jej zastosowań wielokrotnie zostały uznane przez Komitet Nagrody Nobla

1978 Herbert Simon – za wkład w rozwój ewolucyjnej teorii gier, w

szczególności za koncepcję ograniczonej racjonalności.

– Komitet nagrody określił te rezultaty jako przełomowe badania nad procesem podejmowania decyzji wewnątrz organizacji gospodarczych oraz teorię ich podejmowania.

21 kwietnia 2023

1994 John Nash, Reinhard Selten i John Harsanyi – za rozwój teorii gier i jej zastosowania w

ekonomii. 1996 William Vickrey i James Mirrlees

– za stworzenie modeli przetargów i badanie konfliktów z niesymetryczną informacją uczestników.

21 kwietnia 2023

2005 Thomas C. Schelling i Robert J. Aumann – za zastosowanie teorii gier w naukach społecznych i

mikroekonomii (dot. zachowania jednostek i rozwiązywania konfliktów) . Ich teoria pozwoliła zastosować teorię gier – lub teorię decyzji interaktywnej – do poszukiwania odpowiedzi na pytanie, dlaczego niektóre grupy, organizacje i kraje odnoszą sukcesy we współpracy, natomiast inne popadają w konflikty.

– Thomas Schelling stosował teorię gier do analizy negocjacji międzynarodowych w okresie "zimnej wojny". Analizował takie zagadnienia, jak: polityka wzajemnych ustępstw, gróźb, zastraszania.

– Aumann użył teorii gier by zanalizować Talmud. Między innymi rozwiązał starą tajemnicę "podziału spadku zmarłego męża pomiędzy jego trzy żony". Rozwiązaniem było podanie zmniejszenia wartości spadku (porównanego do jego pierwotnej wartości).

21 kwietnia 2023

2007 Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson– za prace nad teorią wdrażającą systemy matematyczne

w procesy gospodarcze, która przy zastosowaniu równań matematycznych i algorytmów pozwala ocenić prawidłowość funkcjonowania rynków.

– Teoria ta pomogła określić ekonomistom skuteczne mechanizmy rynkowe, schematy regulacji i procedury wyborów i dziś odgrywa główną rolę w wielu dziedzinach ekonomii oraz w naukach politycznych.

21 kwietnia 2023

Zalety teorii gier:

pozwala ustrukturyzować proces decyzyjny i wyznaczyć racjonalne rozwiązanie.

możliwość wyznaczenia dobrego rozwiązania zależy jednak od tego, jak dobrą informacją dysponuje dany podmiot.

bada jakie strategie powinni wybrać gracze żeby osiągnąć najlepsze wyniki.

21 kwietnia 2023

Gry ze względu na wartość dzielą się na:

gry o sumie stałej (zysk jednego gracza jest równoważny stracie drugiego) i na gry o sumie zmiennej

gry sprawiedliwe (gdy wartość oczekiwana wypłaty każdego z graczy jest taka sama) oraz gry niesprawiedliwe

21 kwietnia 2023

Gra w kasynie

uznając za wypłatę sumę pieniężną, jest grą o sumie zerowej (wygrana gracza to strata kasyna, i na odwrót; nie rozpatrujemy tu zadowolenia z samego faktu gry), jednakże nie jest ona grą sprawiedliwą (z przyczyn oczywistych prawdopodobieństwa wygranej są dla gracza niekorzystne, a wartość oczekiwana wygranej pieniężnej ujemna).

21 kwietnia 2023

Gry

W zależności od liczby tych przeciwników i ich interesów rozróżniamy różne rodzaje gier, na przykład:

gry dwuosobowe, gry wieloosobowe, gry koalicyjne.

21 kwietnia 2023

Macierz wypłat

jest tablicą, która przedstawia kwoty otrzymane przez gracza wymienionego po lewej stronie tej tablicy po wszystkich możliwych partiach gry. Wypłat dokonuje gracz wymieniony u góry tablicy macierz ta składa się z tylu kolumn, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego u góry tablicy, i z tylu wierszy, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego po lewej stronie tablicy).

21 kwietnia 2023

Przykład normalnej formy macierzy wypłat dla gry dwuosobowej i dwóch możliwych strategii

Gracz 2 wybiera lewą kolumnę

Gracz 2 wybiera prawą kolumnę

Gracz 1 wybiera górny wiersz

4, 3 -1, -1

Gracz 1 wybiera dolny wiersz

0, 0 3, 4

21 kwietnia 2023

Historycznym przykładem gry niekooperacyjnej jest dylemat więźnia.

Problem decyzji aresztowanego A

D z i a ł a n i a A D z i a ł a n i a B Nie przyznawać się wsypać kompana

Nie przyznawać się 1 rok 10 lat

Wsypać kompana 0 lat 5 lat

Problem decyzji aresztowanego B

D z i a ł a n i a B D z i a ł a n i a A Nie przyznawać się wsypać kompana

Nie przyznawać się 1 rok 10 lat

Wsypać kompana 0 lat 5 lat

Gra dwuosobowa aresztowanych

D z i a ł a n i a A D z i a ł a n i a B Nie przyznawać się wsypać kompana

Nie przyznawać się 1 rok 1 rok 10 lat 0 lat

Wsypać kompana 0 lat 10 lat 5 lat 5 lat

21 kwietnia 2023

Gra dwuosobowa o sumie zero

Grami dwuosobowymi o sumie zero są takie sytuacje, gdy w grze biorą udział tylko dwie strony, a przegrane jednej ze stron są wygranymi drugiej.

21 kwietnia 2023

Macierz wypłat

mmn

n

mm

ij

d

d

a

a

aa

aa

a ........

...

...

...

........

s...ss

11

21

1211

n21

21 kwietnia 2023

Przykład Dwie konkurencyjne firmy Alfa i Beta są dealerami dobrze

znanej marki odbiorników telewizyjnych. Roczne zyski tych dwóch firm wynoszą odpowiednio 4 i 8 mln zł.

Alfa chce rozszerzyć swoją działalność i otworzyć zakład montażu odbiorników zakładając, że przyniesie to jej roczny zysk równy 10 mln zł. Oczekuje przy tym, że firma Beta będzie kontynuować swoją działalność bez podejmowania montażu odbiorników u siebie. Jednakże szef firmy Beta usłyszał o planach firmy Alfa i obliczył, że jeśli plany firmy Alfa będą urzeczywistnione, to zyski firmy Beta spadną do 2 mln zł.

Natomiast jeśli Beta uruchomi zakład montażu, a Alfa nie zrobi tego, to zysk firmy Beta wzrośnie do 11 mln zł, a zysk firmy Alfa spadnie do 1 mln zł.

Gdyby obydwie firmy uruchomiły zakłady montażu, to wtedy obie zarobiłyby po 6 mln zł na rok.

Jaką strategię powinna wybrać firma Alfa, a jaką Beta, aby zyski ich były możliwie jak największe?

21 kwietnia 2023

Macierz

Strategie firmy Beta

Kontynuowanie sprzedaży

Uruchomienie zakładu montażu

odbiorników telewizyjnych

Strategie firmy Alfa


0 -3



6 2

21 kwietnia 2023

Gra jest rozwiązana, gdy wyznaczymy:

wartość gry, strategię, którą ma zastosować gracz

umieszczony w macierzy wypłat po lewej stronie, aby zapewnić sobie średnią wygraną na partię co najmniej równą wartości gry,

strategię, którą ma zastosować gracz umieszczony w górnej części macierzy wypłat, aby średnia przegrana na partię nie była większa niż wartość gry.

21 kwietnia 2023 dr inż. Iwona Staniec

Strategie firmy Beta




Najmniejsze wartości w wierszach

Min a ij

Strategie firmy Alfa


0 -3 -3



6 22

Max (Min a ij)

Największe wartości w kolumnach

Max a ij

62

Min (Max a ij)

21 kwietnia 2023

strategia zdominowana

występuje, kiedy gracz posiada strategię dającą mu wyższą wypłatę bez względu na to, jak zagra konkurent.

Strategia dominująca

to najlepsza możliwa reakcja na dowolną strategię zastosowaną przez konkurenta.

Jej logika nieuchronnie prowadzi do pogorszenia wyniku, gdy gra ma charakter niekooperacyjny.

21 kwietnia 2023

21 kwietnia 2023

Punkt siodłowy gra posiada punkt siodłowy, jeżeli każdy z graczy

podczas całej gry stosuje tylko jeden sposób działania. Punktem siodłowym jest punkt w macierzy wypłat

znajdujący się na przecięciu tych dwóch sposobów działania, natomiast wypłata w tym punkcie stanowi wartość gry

V = VA =Max (Min aij) = VB=Min (Max aij)

Wartość gry jest średnią kwotą przypadającą na partię, którą wygrałby w długim okresie jeden z graczy, gdyby obaj stosowali swe najlepsze strategie.


KRYTERIA WYBORU DECYZJI W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI

Kryteria nieprobabilistyczne

Kryteria probabilistyczne


Kryteria nieprobabilistyczneMaxiMin

Pesymista (asekurant) określa dla każdej swojej decyzji najgorszy możliwy wynik (minimalna wypłatę) , a następnie wybiera taką decyzję , dla której określona minimalna (gwarantowana) wypłata jest największa.

p

iw

kd

},max{: p

i

p

kk wwd }{min ijj

p

i aw


Kryteria nieprobabilistyczne MaxiMax

Optymista (ryzykant) określa dla każdej swojej decyzji najwyższy możliwy wynik (maksymalną wypłatę) , a następnie wybiera taka decyzję , dla której tak określona maksymalna (ale nie gwarantowana) wypłata jest największa.

o

iwkd

},{max: o

ii

o

kk wwd }{max ijj

o

i aw


Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza

Reguła Hurwicza przyporządkowuje każdej decyzji indeks , który jest ważoną przeciętną minimalnej i maksymalnej wypłaty wynikającej z decyzji. Wybierana jest strategia, której odpowiada maksymalna wartość

Oznaczmy przez - skłonność do bycia pesymistą przy wyborze strategii

id )( idh

)(h

]1,0[i


Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza

Dla każdej decyzji wyznaczamy hipotetyczną wygraną postaci:

Należy wybrać taką decyzję, dla której hipotetyczna wygrana jest największa

o

i

p

ii wwdh )1()(

id

)( idh

)}({max)(: iikk dhdhd

)( idh


Macierz"żalu"

Macierz wypłat transformujemy do postaci macierzy "żalu" .

W tym celu: określamy maksymalną wypłatę dla każdego "stanu natury"w dalszym postępowaniu obliczamy wartości

elementów według wzoru:

Elementy macierzy "żalu" wyrażają stratę z powodu podjęcia decyzji nieoptymalnej z punktu widzenia zaistniałego stanu natury.

ija

ijr

}{max ijij aa

ijr ijjij aar


Kryteria nieprobabilistyczne Minimax "żalu"

Do macierzy "żalu" stosujemy postępowanie według reguły MinMax, tzn. wskazujemy decyzję, dla której największa strata ("żal") z powodu źle podjętej decyzji będzie możliwie najmniejsza, czyli

},{min: iikk rrd }{max ijjj rr


Kryteria probabilistyczneMaksymalna oczekiwana wygrana

Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej wygranej (zysku) będzie największa, tj.

)( jsP

}{max: a

ii

a

kk EEd j

ijj

a

i asPE )(


Kryteria probabilistyczne Minimalny oczekiwany "żal" (strata)

Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej straty ("żalu") będzie najmniejsza, tj.

}{min: r

ii

r

kk EEd j

ijj

r

i rsPE )(


W zarządzaniu działalnością gospodarczą wynik decyzji jest zwykle rozpatrywany z punktu widzenia rentowności danego przedsięwzięcia, a poszczególne stany natury są wyrażane w postaci efektów finansowych wynikających z różnych wyników podjętej decyzji. W takiej sytuacji wartość oczekiwana ma wymiar finansowy i stąd nazywamy ją oczekiwanym efektem finansowym.

Parametr ten często oznacza się angielskim skrótem EMV (Expected Monetary Value) i oblicza się dla każdej strategii według równania:

gdzie: - efekt finansowy j-tego stanu natury (wartości dodatnie dla zysku,

wartości ujemne dla strat), - prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu finansowego.

j

n

jj PVEMV

1

jV

jP


Przykład

Przedsiębiorstwo ma możliwość uruchomienia produkcji i sprzedaży produktu luksusowego lub produktu popularnego. Dla każdej opcji decyzyjnej określono - na podstawie prognoz i analiz danych statystycznych - prawdopodobieństwa uzyskania sprzedaży dobrej, średniej i miernej oraz efekty finansowe tych wyników.

Dla produktu luksusowego prawdopodobieństwo wystąpienia dobrej sprzedaży (z której dochody wyniosą 120000 zł) wynosi 0,4, sprzedaży średniej (o dochodzie 65 000 zł) - 0,3 oraz sprzedaży miernej (dochód 12 000 zł) - 0,3.

Analogicznie dla produktu popularnego - prawdopodobieństwo dobrej sprzedaży wynosi 0,5 (dochód 105 000 zł), sprzedaży średniej - 0,4 (dochód 55 000 zł) i sprzedaży miernej - 0,1 (dochód tylko 20000 zł).

Oceń, która z opcji decyzyjnych dotycząca wyboru nowej produkcji jest bardziej opłacalna dla przedsiębiorstwa.


Rozwiązanie

Obliczamy wartość oczekiwaną dochodu dla produktu luksusowego (PL):EMV(PL) = 0,4*120000 + 0,3*65000 + 0,3*12000 = 71100 zł.Tak więc wartość oczekiwana dla PL wynosi 71 100 zł.Podobnie liczymy dla produktu popularnego (PP):EMV(PP) = 0,5*105000 + 0,4*55000 + 0,1*10000 = 75500 zł.

Z porównania wartości EMV(PL) i EMV(PP) wynika, że korzystniejszą opcją decyzyjną jest wprowadzenie na rynek produktu popularnego.

STRATEGIA CZYSTA gracz wybiera jedna konkretną strategię

STRATEGIA MIESZANA gracz wybiera z określonym prawdopodobieństwem jedną z kilku strategii

21 kwietnia 2023

Gra 3 o sumie nie zerowej

F

I

R 1

M

A

F I R M A 2oszustwo uczciwość

oszustwo 2 2 3,5 1,5

uczciwość 1,5 3,5 3 3

21 kwietnia 2023

21 kwietnia 2023

Pretooptymalny

Wynik gry jest nieooptymalny w sensie Pareto jeżeli gra ma inny możliwy wynik dający oby graczom co najwyżej nie gorsze wygrane

Kryterium Pareto jest podstawową zasada racjonalności grupowej (wchodzi w konflikt z zasadą racjonalności indywidualnej)

21 kwietnia 2023

TEORIA GIER

Documents

Transcript of TEORIA GIER