Teoria dei numeri 2

Alberto Saracco

Universita di Parma

alberto.saracco@unipr.it

Udine, 18 ottobre 2015

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 1 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Esercizio

Es. 12 gara distrettuale - 2001

Sia n il piu piccolo intero positivo maggiore di 200 che si puo scrivere siacome somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 intericonsecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?

Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora

n = 5 · 2x + 4

2= 6 · 2y + 5

2= 7 · 2x + 6

2

n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)

Quindi n e multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.In effetti:

n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55

n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 2 / 16

Divisione euclidea - fattorizzazione

Divisione euclidea

Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con0 ≤ r < |a| tali che

b = aq + r

r si dice resto.

Se r = 0 si dice che a e un divisore di b: a|b.

Numeri primi

Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 ep).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non e primo!

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come

n =k∏

i=1

pαii

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 3 / 16

Divisione euclidea - fattorizzazione

Divisione euclidea

Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con0 ≤ r < |a| tali che

b = aq + r

r si dice resto. Se r = 0 si dice che a e un divisore di b: a|b.

Numeri primi

Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 ep).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non e primo!

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come

n =k∏

i=1

pαii

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 3 / 16

Divisione euclidea - fattorizzazione

Divisione euclidea

Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con0 ≤ r < |a| tali che

b = aq + r

r si dice resto. Se r = 0 si dice che a e un divisore di b: a|b.

Numeri primi

Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 ep).

N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non e primo!

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come

n =k∏

i=1

pαii

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 3 / 16

Divisione euclidea - fattorizzazione

Divisione euclidea

Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con0 ≤ r < |a| tali che

b = aq + r

r si dice resto. Se r = 0 si dice che a e un divisore di b: a|b.

Numeri primi

Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 ep).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non e primo!

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come

n =k∏

i=1

pαii

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 3 / 16

Divisione euclidea - fattorizzazione

Divisione euclidea

Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con0 ≤ r < |a| tali che

b = aq + r

r si dice resto. Se r = 0 si dice che a e un divisore di b: a|b.

Numeri primi

Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 ep).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non e primo!

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come

n =k∏

i=1

pαii

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 3 / 16

MCD - mcm

Massimo Comun DivisoreDati n interi positivi a1, . . . , an si dice massimo comun divisore di a1, . . . , an il piugrande intero positivo che divide tutti gli ai :

MCD(a1, . . . , an)

Per due numeri a1, a2 si indica anche con (a1, a2).

La fattorizzazione del MCDcontiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevatiall’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.

minimo comune multiplo

Dati n interi positivi a1, . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1, . . . , an il piupiccolo intero positivo che e diviso da tutti gli ai :

mcm(a1, . . . , an)

La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nellafattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 4 / 16

MCD - mcm

Massimo Comun DivisoreDati n interi positivi a1, . . . , an si dice massimo comun divisore di a1, . . . , an il piugrande intero positivo che divide tutti gli ai :

MCD(a1, . . . , an)

Per due numeri a1, a2 si indica anche con (a1, a2). La fattorizzazione del MCDcontiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevatiall’esponente minimo.

Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.

minimo comune multiplo

Dati n interi positivi a1, . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1, . . . , an il piupiccolo intero positivo che e diviso da tutti gli ai :

mcm(a1, . . . , an)

La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nellafattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 4 / 16

MCD - mcm

Massimo Comun DivisoreDati n interi positivi a1, . . . , an si dice massimo comun divisore di a1, . . . , an il piugrande intero positivo che divide tutti gli ai :

MCD(a1, . . . , an)

Per due numeri a1, a2 si indica anche con (a1, a2). La fattorizzazione del MCDcontiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevatiall’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.

minimo comune multiplo

Dati n interi positivi a1, . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1, . . . , an il piupiccolo intero positivo che e diviso da tutti gli ai :

mcm(a1, . . . , an)

La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nellafattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 4 / 16

MCD - mcm

Massimo Comun DivisoreDati n interi positivi a1, . . . , an si dice massimo comun divisore di a1, . . . , an il piugrande intero positivo che divide tutti gli ai :

MCD(a1, . . . , an)

Per due numeri a1, a2 si indica anche con (a1, a2). La fattorizzazione del MCDcontiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevatiall’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.

minimo comune multiplo

Dati n interi positivi a1, . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1, . . . , an il piupiccolo intero positivo che e diviso da tutti gli ai :

mcm(a1, . . . , an)

La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nellafattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 4 / 16

MCD - mcm

Massimo Comun DivisoreDati n interi positivi a1, . . . , an si dice massimo comun divisore di a1, . . . , an il piugrande intero positivo che divide tutti gli ai :

MCD(a1, . . . , an)

Per due numeri a1, a2 si indica anche con (a1, a2). La fattorizzazione del MCDcontiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevatiall’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.

minimo comune multiplo

Dati n interi positivi a1, . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1, . . . , an il piupiccolo intero positivo che e diviso da tutti gli ai :

mcm(a1, . . . , an)

La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nellafattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 4 / 16

Esercizio

Es.8 gara distrettuale 1999

Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale deiseguenti e un divisore di M?(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020

Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!

1990 = 2 · 5 · 199

2000 = 24 · 53 = 16 · 125

2002 = 2 · 7 · 11 · 13

2004 = 22 · 3 · 167

2020 = 22 · 5 · 101

E’ 2002.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 5 / 16

Esercizio

Es.8 gara distrettuale 1999

Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale deiseguenti e un divisore di M?(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020

Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!

1990 = 2 · 5 · 199

2000 = 24 · 53 = 16 · 125

2002 = 2 · 7 · 11 · 13

2004 = 22 · 3 · 167

2020 = 22 · 5 · 101

E’ 2002.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 5 / 16

Esercizio

Es.8 gara distrettuale 1999

Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale deiseguenti e un divisore di M?(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020

Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!

1990 = 2 · 5 · 199

2000 = 24 · 53 = 16 · 125

2002 = 2 · 7 · 11 · 13

2004 = 22 · 3 · 167

2020 = 22 · 5 · 101

E’ 2002.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 5 / 16

Esercizio

Es.8 gara distrettuale 1999

Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale deiseguenti e un divisore di M?(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020

Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!

1990 = 2 · 5 · 199

2000 = 24 · 53 = 16 · 125

2002 = 2 · 7 · 11 · 13

2004 = 22 · 3 · 167

2020 = 22 · 5 · 101

E’ 2002.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 5 / 16

Teorema di Bezout

Siano a, b ∈ Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che

ma + nb = d

Come si calcolano m, n? Con l’algoritmo delle divisioni euclidee iterate.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 6 / 16

Teorema di Bezout

Siano a, b ∈ Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che

ma + nb = d

Come si calcolano m, n? Con l’algoritmo delle divisioni euclidee iterate.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 6 / 16

Congruenze

Sia m > 1 intero.

Definizione

Se a, b ∈ Z si dice che a ≡ b (m) (a e congruo a b modulo m) se e solo se

a = b + km

per un qualche k ∈ Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lostesso resto r (0 ≤ r < m). r si dice rappresentante privilegiato dellaclasse di congruenza di a (o di b) modulo m.

Comportamento rispetto a somma e prodotto.

Se a1 ≡ a2 e b1 ≡ b2 allora

a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2

dove l’operazione ∗ puo essere la somma, la differenza o il prodotto.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 7 / 16

Congruenze

Sia m > 1 intero.

Definizione

Se a, b ∈ Z si dice che a ≡ b (m) (a e congruo a b modulo m) se e solo se

a = b + km

per un qualche k ∈ Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lostesso resto r (0 ≤ r < m). r si dice rappresentante privilegiato dellaclasse di congruenza di a (o di b) modulo m.

Comportamento rispetto a somma e prodotto.

Se a1 ≡ a2 e b1 ≡ b2 allora

a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2

dove l’operazione ∗ puo essere la somma, la differenza o il prodotto.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 7 / 16

Congruenze

Sia m > 1 intero.

Definizione

Se a, b ∈ Z si dice che a ≡ b (m) (a e congruo a b modulo m) se e solo se

a = b + km

per un qualche k ∈ Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lostesso resto r (0 ≤ r < m). r si dice rappresentante privilegiato dellaclasse di congruenza di a (o di b) modulo m.

Comportamento rispetto a somma e prodotto.

Se a1 ≡ a2 e b1 ≡ b2 allora

a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2

dove l’operazione ∗ puo essere la somma, la differenza o il prodotto.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 7 / 16

Esercizio

Es.8 - gara distrettuale 2004

Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1, . . . , an ∈ N,ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza emultipla di 10.

Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, laloro differenza e multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10− b(10) allora la lorosomma e multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprieta.Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: oci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al piu tre classi di resto,quindi c’e almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 8 / 16

Esercizio

Es.8 - gara distrettuale 2004

Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1, . . . , an ∈ N,ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza emultipla di 10.

Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, laloro differenza e multipla di 10.

Inoltre se a ≡ 10− b(10) allora la lorosomma e multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprieta.Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: oci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al piu tre classi di resto,quindi c’e almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 8 / 16

Esercizio

Es.8 - gara distrettuale 2004

Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1, . . . , an ∈ N,ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza emultipla di 10.

Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, laloro differenza e multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10− b(10) allora la lorosomma e multipla di 10.

L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprieta.Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: oci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al piu tre classi di resto,quindi c’e almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 8 / 16

Esercizio

Es.8 - gara distrettuale 2004

Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1, . . . , an ∈ N,ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza emultipla di 10.

Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, laloro differenza e multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10− b(10) allora la lorosomma e multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprieta.

Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: oci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al piu tre classi di resto,quindi c’e almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 8 / 16

Esercizio

Es.8 - gara distrettuale 2004

Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1, . . . , an ∈ N,ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza emultipla di 10.

Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, laloro differenza e multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10− b(10) allora la lorosomma e multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprieta.Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: oci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al piu tre classi di resto,quindi c’e almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 8 / 16

Congruenze

Divisione

La divisione tra classi di resto non e ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma

14

2= 7 ≡ 3 6≡ 2 =

2

1(4)

Inverso

b si dice inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (m). a e invertibile modulo mse e solo se (a,m) = 1.

Infatti il teorema di Bezout ci dice che (a,m) = 1 se e solo se ∃h, k ∈ Ztali che

ah + km = 1

ovvero se e solo se h e l’inverso di a modulo m.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 9 / 16

Congruenze

Divisione

La divisione tra classi di resto non e ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma

14

2= 7 ≡ 3 6≡ 2 =

2

1(4)

Inverso

b si dice inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (m). a e invertibile modulo mse e solo se (a,m) = 1.

Infatti il teorema di Bezout ci dice che (a,m) = 1 se e solo se ∃h, k ∈ Ztali che

ah + km = 1

ovvero se e solo se h e l’inverso di a modulo m.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 9 / 16

Congruenze

Divisione

La divisione tra classi di resto non e ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma

14

2= 7 ≡ 3 6≡ 2 =

2

1(4)

Inverso

b si dice inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (m). a e invertibile modulo mse e solo se (a,m) = 1.

Infatti il teorema di Bezout ci dice che (a,m) = 1 se e solo se ∃h, k ∈ Ztali che

ah + km = 1

ovvero se e solo se h e l’inverso di a modulo m.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 9 / 16

Criteri di congruenza

In questa pagina n ∈ N e scritto in base 10.

2 n e congruo modulo 2 alla sua ultima cifra.

3 n e congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre.

4 n e congruo modulo 4 al naturale costituito dalle sue ultime 2 cifre.

5 n e congruo modulo 5 alla sua ultima cifra.

9 n e congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.

10 n e congruo modulo 5 alla sua ultima cifra.

11 n e congruo modulo 11 alla somma a segni alterni delle sue cifre,usando il segno positivo per la cifra delle unita.

2k n e congruo modulo 2k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.

5k n e congruo modulo 5k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.

10k n e congruo modulo 10k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 10 / 16

Esercizio

Differenze di numeri

Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno ncifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:

A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}

e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeriin An.Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10

Notiamo che tutti gli elementi di An sono multipli di 4, e che due elementidi An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Notiamo che perogni n, 36 = xxxxxxx40− xxxxxxx04 ∈ Bn, pertanto il massimo comundivisore cercato e 36.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 11 / 16

Esercizio

Differenze di numeri

Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno ncifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:

A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}

e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeriin An.Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10

Notiamo che tutti gli elementi di An sono multipli di 4, e che due elementidi An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36.

Notiamo che perogni n, 36 = xxxxxxx40− xxxxxxx04 ∈ Bn, pertanto il massimo comundivisore cercato e 36.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 11 / 16

Esercizio

Differenze di numeri

Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno ncifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:

A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}

e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeriin An.Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10

Notiamo che tutti gli elementi di An sono multipli di 4, e che due elementidi An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Notiamo che perogni n, 36 = xxxxxxx40− xxxxxxx04 ∈ Bn, pertanto il massimo comundivisore cercato e 36.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 11 / 16

Esercizio

Differenze di numeri

Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno ncifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio:

A1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951}

e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeriin An.Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10

Notiamo che tutti gli elementi di An sono congrui alle loro ultime due cifremodulo 4, ovvero a uno fra 15, 19, 51, 59, 91, 95 e che questi sono tuttinella stessa classe di resto modulo 4: ∀k ∈ An k ≡ 3 (9) e che dueelementi di An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di restomodulo 9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Comeprima concludiamo che il massimo comun divisore cercato e 36.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 12 / 16

Esercizio

Differenze di numeri

Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno ncifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio:

A1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951}

e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeriin An.Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10

Notiamo che tutti gli elementi di An sono congrui alle loro ultime due cifremodulo 4, ovvero a uno fra 15, 19, 51, 59, 91, 95 e che questi sono tuttinella stessa classe di resto modulo 4: ∀k ∈ An k ≡ 3 (9) e che dueelementi di An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di restomodulo 9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Comeprima concludiamo che il massimo comun divisore cercato e 36.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 12 / 16

Teorema Cinese del resto

Sistema di congruenze

Siano m1, . . . ,mk ∈ N maggiori di 1 e a1, . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema dicongruenze

x ≡ a1 (m1)

. . .

x ≡ ak (mk)

significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte lecongruenze.

Osservazioni

1 Un tale sistema puo non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)sono incompatibili, dato che x non puo essere simulaneamente pari e dispari.

2 Se x e una soluzione, e una soluzione modulo m1 · · ·mk ;

3 ... anzi: modulo mcm(m1, . . . ,mk)

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 13 / 16

Teorema Cinese del resto

Sistema di congruenze

Siano m1, . . . ,mk ∈ N maggiori di 1 e a1, . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema dicongruenze

x ≡ a1 (m1)

. . .

x ≡ ak (mk)

significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte lecongruenze.

Osservazioni

1 Un tale sistema puo non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)sono incompatibili, dato che x non puo essere simulaneamente pari e dispari.

2 Se x e una soluzione, e una soluzione modulo m1 · · ·mk ;

3 ... anzi: modulo mcm(m1, . . . ,mk)

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 13 / 16

Teorema Cinese del resto

Sistema di congruenze

Siano m1, . . . ,mk ∈ N maggiori di 1 e a1, . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema dicongruenze

x ≡ a1 (m1)

. . .

x ≡ ak (mk)

significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte lecongruenze.

Osservazioni

1 Un tale sistema puo non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)sono incompatibili, dato che x non puo essere simulaneamente pari e dispari.

2 Se x e una soluzione, e una soluzione modulo m1 · · ·mk ;

3 ... anzi: modulo mcm(m1, . . . ,mk)

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 13 / 16

Teorema Cinese del resto

Sistema di congruenze

Siano m1, . . . ,mk ∈ N maggiori di 1 e a1, . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema dicongruenze

x ≡ a1 (m1)

. . .

x ≡ ak (mk)

significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte lecongruenze.

Osservazioni

1 Un tale sistema puo non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)sono incompatibili, dato che x non puo essere simulaneamente pari e dispari.

2 Se x e una soluzione, e una soluzione modulo m1 · · ·mk ;

3 ... anzi: modulo mcm(m1, . . . ,mk)

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 13 / 16

Teorema Cinese del resto

Teorema Cinese del resto

Se m1, . . . ,mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammetteun’unica soluzione modulo m1 · · ·mk qualunque siano a1, . . . , ak .

E come la trovo? Per i = 1, . . . , k sia

bi =∏j 6=i

mj

e ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione e

x =k∑

i=1

aibici

... ovviamente a volte le cose sono piu semplici...

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 14 / 16

Teorema Cinese del resto

Teorema Cinese del resto

Se m1, . . . ,mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammetteun’unica soluzione modulo m1 · · ·mk qualunque siano a1, . . . , ak .

E come la trovo? Per i = 1, . . . , k sia

bi =∏j 6=i

mj

e ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione e

x =k∑

i=1

aibici

... ovviamente a volte le cose sono piu semplici...

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 14 / 16

Teorema Cinese del resto

Teorema Cinese del resto

Se m1, . . . ,mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammetteun’unica soluzione modulo m1 · · ·mk qualunque siano a1, . . . , ak .

E come la trovo? Per i = 1, . . . , k sia

bi =∏j 6=i

mj

e ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione e

x =k∑

i=1

aibici

... ovviamente a volte le cose sono piu semplici...

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 14 / 16

Esercizio

Le uova

Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vedeche nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 enell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila glieneavanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?

Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguentesistema:

x ≡ 6 (7)

x ≡ 5 (6)

x ≡ 4 (5)

Poiche 5, 6, 7 sono a due a due coprimi, il sistema ammette una e una solasoluzione modulo 5 · 6 · 7 = 210.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 15 / 16

Esercizio

Le uova

Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vedeche nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 enell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila glieneavanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?

Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguentesistema:

x ≡ 6 (7)

x ≡ 5 (6)

x ≡ 4 (5)

Poiche 5, 6, 7 sono a due a due coprimi, il sistema ammette una e una solasoluzione modulo 5 · 6 · 7 = 210.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 15 / 16

Esercizio

Le uova

Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vedeche nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 enell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila glieneavanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?

Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguentesistema:

x ≡ 6 (7)

x ≡ 5 (6)

x ≡ 4 (5)

Poiche 5, 6, 7 sono a due a due coprimi, il sistema ammette una e una solasoluzione modulo 5 · 6 · 7 = 210.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 15 / 16

Modificando il sistema in

x ≡ 6 ≡ −1 (7)

x ≡ 5 ≡ −1 (6)

x ≡ 4 ≡ −1 (5)

ci accorgiamo che x = −1 risolve il sistema, cosı come 209, 419...Con il vincolo dato, 209 e l’unica soluzione possibile.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 16 / 16

Modificando il sistema in

x ≡ 6 ≡ −1 (7)

x ≡ 5 ≡ −1 (6)

x ≡ 4 ≡ −1 (5)

ci accorgiamo che x = −1 risolve il sistema, cosı come 209, 419...

Con il vincolo dato, 209 e l’unica soluzione possibile.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 16 / 16

Modificando il sistema in

x ≡ 6 ≡ −1 (7)

x ≡ 5 ≡ −1 (6)

x ≡ 4 ≡ −1 (5)

ci accorgiamo che x = −1 risolve il sistema, cosı come 209, 419...Con il vincolo dato, 209 e l’unica soluzione possibile.

Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 16 / 16