Ekonomia matematyczna I

Badania operacyjne

mgr in. Piotr Betlej

Badania operacyjneProwadzcy wiczeniamgr in. Piotr BetlejTeoria decyzjiTeoria decyzji zajmuje si zagadnieniami wyboru optymalnego rozwizania z uwzgldnieniem ryzyka, na jakie naraony jest decydent. Wielu decydentw uwzgldnia w praktyce ryzyko w sposb niejawny, przez odpowiednie korygowanie wynikw uzyskanych z oblicze ekonomicznych i optymalizacyjnych. Wykorzystuj oni przy tym swoj intuicj, dowiadczenie menederskie oraz pogldy innych osb uczestniczcych w procesie podejmowania decyzji.

W niniejszym temacie zapoznamy si ze sposobem jawnego uwzgldniania ryzyka. Sposb ten polega na tym, e decydent musi wpierw skwantyfikowa (czyli okreli ilociowo) stopie ryzyka, a nastpnie wyznaczy optymaln decyzj przy uyciu rachunku prawdopodobiestwa.

Definicja ryzyka

Przez ryzyko rozumie si zwykle moliwo poniesienia straty. Podejmujc dziaalno gospodarcz musimy liczy si z ryzykiem: budujc fabryk musimy liczy si z faktem, e nie znajdziemy nabywcw na jej produkty, obsiewajc pole musimy pamita o klsce nieurodzaju itd. Takie potoczne ujcie ryzyka nie jest jednak zbyt przydatne do podejmowania optymalnych decyzji.

Dziaanie w warunkach ryzyka w badaniach operacyjnych oznacza sytuacj, gdy kadej moliwej do podjcia decyzji odpowiada kilka (co najmniej dwa) wzajemnie si wykluczajcych wynikw (efektw) rzeczowych, a osoba majca podj decyzj jest w stanie okreli w tej sytuacji (bezporednio lub porednio):

liczb tych wynikw,

ocen finansow kadego wyniku rzeczowego,

prawdopodobiestwo wystpienia kadego efektu rzeczowego.

Wzajemnie wykluczajce si wyniki rzeczowe s niezalene od decydenta i dlatego nazywa si je stanami natury.

Oczekiwany efekt finansowy

Optymaln decyzj w warunkach ryzyka znajduje si przy uyciu wartoci oczekiwanej. Warto oczekiwana jest w teorii decyzji wykorzystywana jako kryterium decyzyjne - maksymalizowane lub minimalizowane w zalenoci od natury problemu decyzyjnego. Jeli decydent ma do wyboru i decyzji (moliwoci, strategii), oblicza dla kadej z nich warto oczekiwan - w tym przypadku wedug rwnania:

gdzie:

i - numer strategii,

j - numer stanu natury,

n - liczba stanw natury (n>=2)

- prawdopodobiestwo wystpienia j-tego stanu natury przy realizacji i-tej strategii,

- wynik realizacji i-tej strategii w warunkach j-tego stanu natury.

Ze zbioru otrzymanych wartoci Ei wybiera si t strategi, ktrej odpowiada warto Emax lub Emin zalenie od natury problemu decyzyjnego.

W zarzdzaniu dziaalnoci gospodarcz wynik decyzji jest zwykle rozpatrywany z punktu widzenia rentownoci danego przedsiwzicia, a poszczeglne stany natury s wyraane w postaci efektw finansowych wynikajcych z rnych wynikw podjtej decyzji. W takiej sytuacji warto oczekiwana ma wymiar finansowy i std nazywamy j oczekiwanym efektem finansowym. Parametr ten czsto oznacza si angielskim skrtem EMV (Expected Monetary Value) i oblicza si dla kadej strategii wedug rwnania:

gdzie:

- efekt finansowy j-tego stanu natury (wartoci dodatnie dla zysku, wartoci ujemne dla strat),

- prawdopodobiestwo uzyskania j-tego efektu finansowego.Przykad 1Obliczy warto oczekiwan liczby wyrzuconych oczek przy wielokrotnym rzucaniu kostk do gry.Rozwizanie

i = 1 [tylko jedna strategia]

n = 6

P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = 1/6

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 6,

Po wstawieniu do rwnania EMV otrzymamy:E = 21/6 = 3,5

Zatem przy wielokrotnym rzucaniu kostk naley oczekiwa, e rednia liczba oczek przypadajca na jeden rzut wyniesie 3,5.

Przykad 2

Porwnaj dwa regulaminy gry w koci, polegajce na rzucaniu jedn kostk i nastpujcych wypatach i wybierz korzystniejszy dla ciebie regulamin.

regulamin A: rzucajcy paci wacicielowi kostki 1 z, jeeli wyrzuci liczb parzyst, a otrzymuje od niego 0,5 z, gdy wyrzuci liczb nieparzyst,

regulamin B: rzucajcy paci wacicielowi kostki 1 z, jeeli wyrzuci liczb parzyst, wygrywa natomiast 5 z tylko w przypadku wyrzucenia pitki.

Rozwizanie

Tym razem mamy do czynienia z finansami, wykorzystamy wic dwukrotnie (dwa regulaminy, czyli dwie strategie) rwnanie EMV.

regulamin A: n = 2

- stan natury 1 (liczba parzysta) V1 = - 1,0 z P1 = 1/2

- stan natury 2 (liczba nieparzysta) V2 = 0,5 z P2 = 1/2

regulamin B: n = 3- stan natury 1 (liczba parzysta) V1 = - 1,0 z P1 =

- stan natury 2 (1 oczko lub 3 oczka) V2 = 0,0 z P2 = 1/3

- stan natury 3 (5 oczek) V3 = 5,0 z P3 = 1/6Po wstawieniu do rwnania EMV otrzymamy odpowiednio:

Z oblicze wynika, e EMV(B)>EMV(A). Powinien by wic wybrany regulamin B jako znacznie lepszy od regulaminu A.

Mwic dokadniej, strategia B jest dla grajcego znacznie korzystniejsza, gdy przy dugotrwaej grze zapewnia mu wygran wynoszc 1/3 z w przeliczeniu na jeden rzut, podczas gdy strategia A - gdyby gracz j wybra - przyniesie mu przegran rednio 1/4 z na jeden rzut.Nie wyklucza to jednak zupenie innych wynikw przy krtkotrwaej grze. Przy niekorzystnym regulaminie A moe nastpi szczliwa seria liczb nieparzystych i gracz moe wsta od stou z pokan wygran. Po zdecydowaniu si na korzystny regulamin B, gracz moe mie pecha i wyrzuci duo liczb parzystych. Tak wic podejmowanie decyzji na podstawie wartoci EMV ma sens jedynie w warunkach dziaa prawa wielkich liczb.Drzewo decyzyjne

Problem z zakresu teorii decyzji znacznie atwiej jest rozwizywa przy uyciu wykresu zwanego drzewem lub dendrytem decyzyjnym. Jego uyteczno praktyczna polega na tym, e na jednym schemacie zestawione s wszystkie zdarzenia, jakie mog zaistnie w wyniku podjcia poszczeglnych decyzji i wystpienia poszczeglnych stanw natury. Drzewo decyzyjne jest szczeglnie uyteczne w przypadku wystpowania wikszej liczby decyzji i stanw natury. Drzewko decyzyjne skada si z dwu rodzajw wzw i gazi czcych te wzy ze sob.

Rozrnia si wzy decyzyjne (oznaczone prostoktem), w ktrych decydent dokonuje wyboru, oraz wzy natury (oznaczone kkiem), w ktrych zachodzi losowe dziaanie przypadku.

Zasady rozwizywania problemw decyzyjnych za pomoc drzewa decyzyjnego s nastpujce:- rozwizywanie drzewka rozpoczyna si od najcieszych gazi" przechodzc stopniowo do grubych konarw",- dla kadego wza natury oblicza si warto EMV, wykorzystujc do tego celu efekty finansowe i prawdopodobiestwa odpowiadajce poszczeglnym stanom natury,- w wle decyzyjnym porwnuje si wartoci EMV obliczone dla poszczeglnych wzw natury i wybiera si t decyzj, ktrej odpowiada optymalna warto oczekiwana.Przykad 3Przedsibiorstwo ma moliwo uruchomienia produkcji i sprzeday produktu luksusowego lub produktu popularnego. Dla kadej opcji decyzyjnej okrelono - na podstawie prognoz i analiz danych statystycznych - prawdopodobiestwa uzyskania sprzeday dobrej, redniej i miernej oraz efekty finansowe tych wynikw.Dla produktu luksusowego prawdopodobiestwo wystpienia dobrej sprzeday (z ktrej dochody wynios 120000 z) wynosi 0,4, sprzeday redniej (o dochodzie 65 000 z) - 0,3 oraz sprzeday miernej (dochd 12 000 z) - 0,3. Analogicznie dla produktu popularnego - prawdopodobiestwo dobrej sprzeday wynosi 0,5 (dochd 105 000 z), sprzeday redniej - 0,4 (dochd 55 000 z) i sprzeday miernej - 0,1 (dochd tylko 20000 z).

Oce, ktra z opcji decyzyjnych dotyczca wyboru nowej produkcji jest bardziej opacalna dla przedsibiorstwa.

Rozwizanie

Obliczamy warto oczekiwan dochodu dla produktu luksusowego (PL):

EMV(PL) = 0,4*120000 + 0,3*65000 + 0,3*12000 = 71100 z.

Tak wic warto oczekiwana dla wza natury B wynosi 71 100 z.

Podobnie liczymy dla produktu popularnego (PP):

EMV(PP) = 0,5*105000 + 0,4*55000 + 0,1*10000 = 75500 z.

Obliczona warto jest wartoci oczekiwan dla wza natury C.

Z porwnania wartoci E(B) i E(C) wynika, e korzystniejsz opcj decyzyjn jest wprowadzenie na rynek produktu popularnego.

Zadania

Zadanie 1

Ponisze zestawienie (ponisza tabelka) przedstawia moliwe do osignicia dochody z realizacji trzech alternatywnych opcji strategicznych A1-A3 w warunkach trzech moliwych do zaistnienia stanw natury.

Okrel najkorzystniejsz strategi i zbuduj drzewo decyzyjne.

Stan natury

Prawdopodobiestwo

Dochody (tys. z)

A1A2A3

S1S2

S30,3

0,5

0,21000

-100

-20000

0

0-400

100

500

A3 EMV = 30000z

Zadanie 2

Przedsibiorstwo rozwaa zmian opakowania dobrze sprzedajcego si produktu. Drzewo rozwaanych opcji decyzyjnych ma nastpujc posta:

Wybierz najkorzystniejsz decyzj z punktu widzenia dochodu przedsibiorstwa i uzasadnij wybr.

Nowe opakowanie EMV = 11400 z

Zadanie 3

Zarzd spki handlowej rozwaa celowo budowy nowego kompleksu handlowego. Dysponuje si danymi wskazujcymi, i uruchomienie kompleksu spowoduje z prawdopodobiestwem 20% spadek zysku spki o 300 000 z i z prawdopodobiestwem 50% wzrost zysku o 150 000 z. Szansa, e zysk si nie zmieni, wynosi oczywicie 30%. Rwnoczenie szacuje si, i prawdopodobiestwo otrzymania zezwolenia na budow kompleksu w intratnym regionie wynosi 60%, co spowoduje dodatkowy wzrost zysku o 150000 z. Jeeli zostanie przyznana inna lokalizacja, zysk spki spadnie o 100000 z. Zbuduj odpowiednie drzewo decyzyjne i okrel celowo realizacji omawianej inwestycji.

Inwestycj realizowa EMV = 65000 z

Zadanie 4

Pan Kowalski rozwaa rne moliwoci ulokowania swoich oszczdnoci. Dopuszcza nastpujce alternatywy:

depozyt bankowy z minimalnym zyskiem po roku (600 z),

zainwestowanie gotwki w zakup obligacji, ktre po roku przynios 1 800 z zysku,

zainwestowanie w zakup udziaw przedsibiorstwa z 30% prawdopodobiestwem osignicia 10000 z zysku, ale z 70% prawdopodobiestwem poniesienia 1 500 z straty.

Zbuduj odpowiednie drzewo decyzyjne i podaj najkorzystniejsz alternatyw zainwestowania oszczdnoci.

Zakupi udziay EMV = 1950 z

Zadanie 5

Ponisza tabela zawiera zestawienie zyskw moliwych do osignicia przez przedsibiorstwo. Pozycje I-V s alternatywnymi strategiami dopuszczalnymi, a pozycje S1-S5 s stanami natury. Prawdopodobiestwo wystpienia poszczeglnych stanw natury wynosi odpowiednio: 0,3, 0,2, 0,1, 0,15 i 0,25.

Ktra strategia pozwala na zmaksymalizowanie EMV?Stan naturyEfekt finansowy (tys. z)

IIIIIIIVV

S1

S2S3S4S510311139541767132243545131832351992935455184045

Strategia V EMV = 41750 z

Materia przygotowany na podstawie ksiki:

Matematyczne techniki zarzdzania pod red. Zbigniewa uckiego Wyd. AGHStrona 6/6

_1193994640.unknown

_1193994642.unknown

_1194026152.unknown

_1194026214.unknown

_1193994643.unknown

_1193994641.unknown

_1193994481.unknown

_1193994475.unknown