Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Jak opisać taki ruch?

Położenie i przemieszczenie

Do określenia położenia cząstki stosujemy zwykle wektor położenia r. Wektor r ma początek w początku układu współrzędnych, a koniec w punkcie, w którym znajduje się cząstka.

Jeśli w pewnym przedziale czasu, wektor położenia zmienia się, przemieszczenie w tym przedziale czasu wynosi:

r = r2 - r1

r

x

y

z

r = rxi + ryj + rzk

Prędkość średnia i chwilowa

Jeśli w przedziale czasu t cząstka doznała przemieszczenia r:

Kierunek vsr jest taki sam jak kierunek przemieszczenia r.

vsr = r/ t

Prędkość chwilowa:

dt

rd

t

rv

t

lim0

Kierunek prędkości chwilowej v cząstki jest zgodny z kierunkiem stycznej do toru cząstki w punkcie, w którym się ona znajduje.

r1

y

x

r2

1

2 v

r

styczna

Przyśpieszenie średnie i chwilowe

Gdy prędkość cząstki się zmienia z v1 na v2, w przedziale czasu t, to jej przyśpieszenie średnie:

asr = v/ t

dt

vda

Przyśpieszenie chwilowe:

Rzut ukośny

Cząstka porusza się z pewną prędkością początkową v0 oraz z przyśpieszeniem ziemskim g, skierowanym pionowo w dół.

Rzut ukośny - przykłady

Rzut ukośny – analiza Rozważmy ruch cząstki wyrzuconej z prędkością początkową v0.

v0 = v0xi + v0yj

v0x = v0cosoraz v0y= v0sin

Zasięg rzutu R – droga, którą przebywa cząstka w poziomie do chwili jej powrotu na wysokość, z której została wyrzucona.

Dwie piłki

Jedna z piłek została upuszczona, druga wystrzelona poziomo. Ruch w pionie obu piłek jest taki sam. Oznacza to, że ruch w poziomie nie wpływa na ruch w pionie.

Wniosek: w rzucie ukośnym ruchy cząstki w kierunku poziomym i w kierunku pionowym można traktować jako niezależne.

Paradoks Buddyjskiego Mnicha

Pewnego dnia, dokładnie o świcie, Buddyjski Mnich zaczął wędrówkę krętą ścieżką do klasztoru na szczycie wysokiej góry. Mnich szedł ze zmienną prędkością, zatrzymując się wiele razy by odpocząć i zjeść suszone owoce, które miał ze sobą. Dotarł do klasztoru na krótko przed zachodem słońca. Po wielu dniach medytacji, rozpoczął podróż powrotną, idąc tą samą drogą, rozpoczynając również o świcie, idąc ze zmienną prędkością oraz robiąc wiele postojów. Jego średnia prędkość w dół była większa niż średnia prędkość pod górę. Czy istnieje miejsce na drodze, w którym mnich przebywał podczas wędrówki pod górę i w dół, dokładnie o tej samej porze?

Rozwiązanie: wyobraźmy sobie dwóch mnichów wyruszających o świcie. Jeden idzie do góry, drugi schodzi w dół. Muszą się oni po drodze spotkać!

Rzut ukośny – analiza

Ruch w poziomie:

Jesteśmy przygotowani do analizy rzutu ukośnego, tzn. niezależnego opisu ruchu cząstki w kierunku poziomym i w kierunku pionowym.

200 2

1tatvxx xx

x0 = 0

v0x = v0cos

ax = 0

x = (v0costDostajemy:

Dla:

Rzut ukośny – analiza

Ruch w pionie:2

00 2

1tatvyy yy

v0y = v0sin

ay = -g

Dostajemy:2

00 2

1)sin( gttvyy

vy = v0y+ ayt

Podobnie, z:

Dostajemy:

vy = (v0sin)t - gt

Dla:

Rzut ukośny – równanie toru

Równanie toru cząstki można wyznaczyć eliminując t z równań ruchu. Po przekształceniach dostajemy:

20

2

)cos(2cos

sin

v

gxxy

Równanie ma postać:

y = ax+bx2

Jest to równanie paraboli.

Parabola

y = x2

http://www.zapiks.com/7d-slow-motion-bmx-1.html

Rzut ukośny – zasięg rzutu

Zasięg rzutu R – droga, którą przebywa cząstka w poziomie do chwili jej powrotu na wysokość, z której została wyrzucona.

Podstawiamy:

x = R = (v0cost2

0 2

1)sin(0 gttvy

Po rozwiązaniu:

cossin2 2

0

g

vR

2sin2

0

g

vR

0 90 180 270 360 450 540 630 720-1

-0.5

0

0.5

1

0 90 180 270 360 450 540 630 720-1

-0.5

0

0.5

1

sin

sin2

Wniosek: zasięg R w poziomie jest największy dla pocisku wystrzelonego pod kątem 45o

Opór powietrza

Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu

Ruch cząstki jest ruchem jednostajnym po okręgu jeśli porusza się ona po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej wartości bezwzględnej.

Wartość prędkości jest stała ale zmienia się jej kierunek, ruch cząstki jest więc ruchem przyśpieszonym.

Przyśpieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu nazywamy przyśpieszeniem dośrodkowym.

Ruch jednostajny po okręgu

Wektor prędkości jest zawsze styczny do okręgu i skierowany w kierunku ruchu cząstki.

Wektor przyśpieszenia jest zawsze skierowany wzdłuż promienia okręgu, ku jego środkowi (przyśpieszenie dośrodkowe).

Ruch jednostajny po okręgu

dt

vd

t

va

t

lim0

r

va

2

Przyśpieszenie dośrodkowe:

T

rv

2

Okres obiegu:

v

rT

2

Przeciążenie

Przyśpieszenie dośrodkowe:

Ile wynosi przyśpieszenie, w jednostkach g, pilota myśliwca F-22 pokonującego z prędkością o wartości v = 2500 km/h (694 m/s) kołowy łuk o promieniu krzywizny r = 5.8 km?

a = v2/r = (694 m/s)2/5800 m = 83m/s2 = 8.5g

Roller-coaster: poniżej 3g

Zanik świadomości u osób bez treningu: 4 - 6g

Osoba po treningu i w skafandrze może wytrzymać do 9g.

Wirówka

http://www.youtube.com/watch?v=FBJegTfF9Kg

http://www.youtube.com/watch?v=tMVNWZ4FzwM&feature=fvw

G-Force

Test

W piątek 28.10 na wykładzie odbędzie się test z działów jednostki, wektory i kinematyka