Wykład VIIRuch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty

F=-kx

• W dowolnej chwili FF = maa

• Ale tutaj F = -kx•

ma =

• Więc: -kx = ma =

k

x

m

FF = -kx

aa

md x

dt

2

2

d x

dt

k

mx

2

2 Tj różniczkowe równ. na x(t)!

md x

dt

2

2

Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny prosty d x

dt

km

x2

2

d x

dtx

2

22

km

Niech x = A cos(t)

tsinAdtdx

xtcosAdt

xd 222

2

niech

gdzie jest szybkością kątową

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie

• Pokazaliśmy, że

ma rozwiązanie x = A cos(t) .

• Ale x = A sin(t) tez może być rozwiązaniem.

d x

dtx

2

22

km

T 2 km

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie

• Wykres A cos(t )

• A = amplituda drgań

=t

T = 2/

A

A

=t = 0 =T = 2

Ruch harmoniczny prosty cd.

• Wykres A cos(t + )

Ruch harmoniczny prosty

• Wykres A cos(t - /2)

A

=/2

= A sin(t)!

Prędkość i przyśpieszenie

k

x

m

0

położenie: x(t) = A cos(t + )

prędkość: v(t) = -A sin(t + )

przyspieszenie: a(t) = -2A cos(t + )

a tdv t

dt( )

( )

v tdx t

dt( )

( )xMAX = A

vMAX = AaMAX = 2A

Ruch harmoniczny prosty -parametry

• x = A cos(t + )

A = amplituda t + = faza = szybkość kątowa (częstość) frequency

= faza początkowa

• T –okres (czas trwania jednego drgania).• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu)

f = 1/T = 2f = 2/ T

Wahadło matematyczne

d

dt

2

22 g

Lgdzie

gl

T 2

Wahadło fizyczne

d

Mg

z-axis

R

xCM

d

dt

2

22

MgRI

gdzie

= 0 cos(t + )

MgRI

T 2

Ruch Harmoniczny Prosty: Podsumowanie

d s

dts

2

22

rozwiązanie:

s = A cos(t + )

Siła:

k

m

k

s

m

0

k

m

s

0

s LI

MgL

EnergEnergia potencjalna sprężystościia potencjalna sprężystości

constUKE

Ruch harmoniczny z tłumieniem• tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=constant)

• Z II zasady dynamiki Newtona

k

x

m

FF = -kx

aa

Tj inne równanie różniczkowe

na x(t)!

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx

v

-bv

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

Ruch harmoniczny z tłumieniem - rozw. ogólne

2

2

4'

m

b

m

k

x(t) = A(t) cos(’t + )

gdzie A(t) = x0 exp(-bt/2m) i

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

x(t) = A(t) cos(’t + )

Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t)

Bez tłumienia: E = 1/2 k x02 = constant

Z tłumieniem: E(t) = 1/2 A(t)2 = 1/2 k x02 exp(-bt/m)

(całkowita energia mech. maleje z czasem)

Drgania wymuszone -rezonans

k

m

d

REZONANS d