Rozwiązywanie ram płaskich – wyznaczanie reakcji i ... · PDF file7.2 Wytrzymałość...

Rozwiązywanie ram płaskich – wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7

Obciążenie ramy płaskiej, podobnie jak w przypadku belek (rozdział 6), mogą stanowić siły skupione P , momenty skupione M oraz obciążenia ciągłe q (rys. 6.1).

Przed przystąpieniem do wyznaczenia wykresów sił przekrojowych konieczne jest wyznaczenie reakcji. W tym celu, rozpatrywaną ramę uwalnia się z więzów, zastępu-jąc podpory/utwierdzenia odpowiednimi reakcjami (rys. 6.2).

Wartość reakcji określamy wykorzystując równania równowagi statycznej: — suma rzutów sił na oś x jest równa zeru

0Σ ixP (7.1a)

— suma rzutów sił na oś y jest równa zeru

0Σ iyP (7.1b)

— suma momentów względem dowolnego punktu jest równa zeru

0Σ iM (7.1c)

W przypadku ram płaskich wystąpić mogą obciążenia zarówno poprzeczne, jak i wzdłużne, a zatem do wyznaczenia reakcji należy wykorzystać wszystkie trzy rów-nania równowagi statycznej (7.1a–c). Wielkości przekrojowe w ramach płaskich to siła osiowa (normalna) N , siła tnąca T oraz moment gnący M .

Sposób wyznaczania sił osiowych N został opisany w rozdziale 2, natomiast spo-sób wyznaczania sił tnących T i momentów gnących M przedstawiono w poprzed-nim rozdziale.

7.2 Wytrzymałość materiałów

Zadanie 7.1. Wyznaczyć reakcje oraz wykresy sił normalnych N , sił tnących T i momentów gną-

cych M dla ramy płaskiej przedstawionej na rys. 7.1. Dane: P , l , lPM , lPq / .

Rys. 7.1

Rozwiązanie

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 7.2) i wyznaczamy wartości reakcji, korzystając z równań równowagi statycznej (7.1a–c). Obciążenie ciągłe zastępujemy siłą skupioną o wartości P2 .

:0Σ ixP

0A PR x

PR x A

:0Σ iyP

02DA lqRR yy

PRR yy 2DA

:0Σ A iM

0)2(2D llqlPMlR y

022 D lPlPlPlR y

PR y D

PPPRPR yy 22 DA Rys. 7.2

Wyznaczamy siły normalne N , siły tnące T oraz momenty gnące M w poszczegól-nych przedziałach – linią przerywaną zaznaczono włókna uprzywilejowane (dolne): — przedział AB: lx 0 (rys. 7.3)

PRxN y A)( (ściskanie)

PRxT x A)(

xPxRxM x A)(

00)0( PxM

lPlPlxM )(

Rozwiązywanie ram płaskich – wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7.3

Rys. 7.3 Rys. 7.4

— przedział BC: lxl 2 (rys. 7.4)


0)( A PPPRxT x

lPlPxPxPlxPxRxM x )()( A

— przedział CD: lx 20 (rys. 7.5)

0)()( AA PPPRPRxN xx

xlP

PxqRxT y A)(

PlP

PxT 0)0(

PllP

PlxT 2)2( Rys. 7.5

22

AA

222

22)(

xl

PxPx

lP

lPlPxPlP

xxqlPlRxRMxM xy

002

0)0( 2 l

PPxM

0)2(2

2)2( 2 ll

PlPlxM

Określamy położenie przekroju, w którym siła tnąca jest równa zeru:

0 xlP

P

lx

W tym przekroju moment gnący osiąga lokalne ekstremum, równe:

lPll

PlPlxM

21

2)( 2

Wykresy sił przekrojowych przedstawiono na rys. 7.6.


Rys. 7.6



cych M dla ramy płaskiej przedstawionej na rys. 7.7. Dane: P , l .

Rys. 7.7

Rozwiązanie

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 7.8) i wyznaczamywartości reakcji, korzystając z równań równowagi sta-tycznej (7.1a–c):

:0Σ ixP 0A PR x

PR x A

:0Σ iyP 0EA PRR yy

PRR yy EA

:0Σ A iM 0243E lPlPlR y

lPlR y 63 E

PR y 2E

PPPPRR yy 2EA Rys. 7.8


PRxN y A)( (rozciąganie)

PRxT x A)(

xPxRxM x A)(

00)0( PxM

lPlPlxM 22)2(

— przedział BC: lx 20 (rys. 7.10)

0)( xN

PxT )(


Rys. 7.9

Rys. 7.10

xPxM )(

00)0( PxM

lPlPlxM 22)2(

— przedział DE: lx 0 (rys. 7.11)

0)( xN

PRxT y 2)( E

xPxRxM y 2)( E

002)0( PxM

lPlPlxM 22)(

— przedział BD: lxl 3 (rys. 7.12)

0)( xN

PPPPRxT y 2)( E

lPxPlPxPxPlxPxRxM y 2)()( E

lPlPlPlxM 2)(

lPlPlPlxM 43)3(

Rys. 7.11

Rys. 7.12



Rys. 7.13



cych M dla ramy płaskiej przedstawionej na rys. 7.14. Dane: P , l , lPM .

Rys. 7.14

Rozwiązanie

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 7.15) i wyznaczamy wartości reakcji, korzystając z równań równowagi statycznej (7.1a–c):

:0Σ ixP 0A PPR x

PR x 2A

:0Σ iyP 02EA PRR yy

PRR yy 2EA

:0Σ A iM 022E lPlPMlR y

022 E lPlPlPlR y

lPlR y 22 E

PR y E

PPPRPR yy 22 EA

Rys. 7.15




PRxT x 2)( A

xPxRxM x 2)( A

002)0( PxM

lPlPlxM 22)(

Rys. 7.16

— przedział BC: lx 0 (rys. 7.16)

PPPPRxN x 2)( A (rozciąganie)

PPPPRxT y 22)( A

xPlPxPxPlPxPxRlRxM yx 2222)( AA

lPPlPxM 202)0(

lPlPlPlxM 2)(

Rys. 7.17


— przedział CD: lx 0 (rys. 7.18)

0)( xN

PxT )(

xPxM )(

00)0( PxM

lPlPlxM )(

— przedział EF: lx 0

(rys. 7.19)

0)( xN

0)( xT

lPMxM )(

— przedział CF: lxl 2

(rys. 7.20)

0)( xN

PRxT y E)(

xPlPxPlP

lxRMxM y

)()( E

lPlPlxM )(

lPlPlxM 22)2(

Rys. 7.18

Rys. 7.19

Rys. 7.20



Rys. 7.21



cych M dla ramy płaskiej przedstawionej na rys. 7.22. Dane: P , l , lPM , lPq / .

Rys. 7.22

Rozwiązanie

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 7.23) i wyznaczamy wartości reakcji, korzystając z równań równowagi statycznej (7.1a–c). Obciążenie ciągłe zastępujemy siłą skupioną o wartości P2 . Moment gnący w przegubie D jest równy zeru.

:0Σ ixP

0EA PRR xx

PRR xx EA

:0Σ iyP

02EA lqRR yy

PRR yy 2EA

:0Σ A iM

0)2(22 EE llqlPMlRlR yx

0222 EE lPlPlPlRlR yx

PRR yx EE

:0D PM

02

)(E l

lqlR y

PR y 21

E

PPPRPR yx 21

21

EE

PPPRPR yy 23

21

22 EA

PPPRPR xx 21

21

EA

Rys. 7.23



PRxN y 23

)( A (ściskanie)

PRxT x 21

)( A

xPxRxM x 21

)( A

0021

)0( PxM

lPlPlxM21

21

)(

— przedział BC: lxl 2 (rys. 7.25)

PRxN y 23

)( A (ściskanie)

PPPPRxT x 21

21

)( A

lPxPlPxPxP

lxPxRxM x

21

21

)()( A

lPlPlPlxM21

21

)(

0221

)2( lPlPlxM

— przedział CE: lx 20 (rys. 7.26)

)ściskanie(21

21

)()( AA

PPP

PRPRxN xx

xlP

PxqRxT y 23

)( A

PlP

PxT23

023

)0(

PllP

PlxT21

223

)2(

lPxPxl

P

xl

PlPlPxPlP

xxqlP

lRxRMxM xy

23

2

223

2

2)(

2

2

AA

Rys. 7.24

Rys. 7.25

Rys. 7.26


lPlPPl

PxM 0

23

02

)0( 2

023

2)( 2 lPlPl

lP

lxM

0223

)2(2

)2( 2 lPlPll

PlxM

Określamy położenie przekroju, w którym siła tnąca jest równa zeru:

023

xlP

P

lx23

W tym przekroju moment gnący osiąga lokalne ekstremum, równe:

lPlPlPll

PlxM

81

23

23

23

223 2


Rys. 7.27

Rozwiązywanie ram płaskich – wyznaczanie reakcji i ... · PDF file7.2 Wytrzymałość...

Documents

Transcript of Rozwiązywanie ram płaskich – wyznaczanie reakcji i ... · PDF file7.2 Wytrzymałość...