PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl

Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�

Skrypt do laboratorium

PRACOWNIA FIZYCZNA I

�wiczenie 3: Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ konden-

satorow¡.

Opracowanie: mgr Tomasz Neumann

Gda«sk, 2011

Projekt �Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi¦dzywydziaªowe�

wspóª�nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.


USTALENIA WST�PNE

Wymagania wst¦pne:

Zapoznanie si¦ z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem ¢wiczenia zawartymi w

instrukcji do ¢wiczenia.

Cele ¢wiczenia:

1. Usystematyzowanie wiadomo±ci z elektrostatyki.

2. Zapoznanie studentów z metod¡ pomiaru wzgl¦dnej przenikalno±ci elektrycznej.

3. Wykonanie pomiaru pojemno±ci kondensatora powietrznego oraz kondensatora z die-

lektrykiem.

4. Analiza zebranych danych pomiarowych, bª¦dów pomiarowych oraz wykonanie odpo-

wiedniego wykresu wykresu w celu wyznaczenia przenikalno±ci elektrycznej materiaªu.

5. Oszacowanie niepewno±ci pomiarowych.

6. Sformuªowanie wniosków.

Wykaz przyrz¡dów niezb¦dnych do wykonania ¢wiczenia:

Rys. 1: Ukªad pomiarowy: 1 - okªadki kondensatora pªaskiego z regulacj¡ odlegªo±ci po-

mi¦dzy okªadkami za pomoc¡ ±ruby mikrometrycznej; 2 - multimetr cyfrowy; 3 - pªytki

dielektryczne.

Wykaz literatury podstawowej:

1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy �zyki.

2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych.

3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników.

4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma.

5. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z �zyki.

Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.

2


WPROWADZENIE DO �WICZENIA

Pole elektryczne jest to przestrze« wokóª ªadunku tj. ¹ródªa pola elektrycznego w której,

na inne umieszczone ªadunki dziaªa siªa elektrostatyczna. Pole elektryczne mo»emy zobra-

zowa¢ za pomoc¡ linii siª pola elektrycznego. W przypadku ªadunku punktowego linie te

b¦d¡ póªprostymi (pole centralne), wychodz¡cymi w ka»dym kierunku jak na rysunku 2.

W zale»no±ci od tego, jaki ªadunek rozpatrujemy, linie te b¦d¡ zwrócone �od ªadunku� w

przypadku ªadunku dodatniego lub �do ªadunku� w przypadku ªadunku ujemnego. Z liniami

siª pola elektrycznego jest zwi¡zany wektor nat¦»enia pola elektrycznego, który jest zawsze

styczny do linii siª pola o zwrocie zgodnym ze zwrotem linii siª pola. Warto±¢ nat¦»enia pola

Rys. 2: Linie pola oraz powierzchnie ekwipotencjalne ªadunku a) dodatniego, b) ujemnego.

elektrycznego w odlegªo±ci r od ªadunku punktowego jest opisana zale»no±ci¡

E =1

4πεoεr

|Q|r2, (1)

w której ε0 jest przenikalno±ci¡ elektryczn¡ pró»ni (teoretycznie ε0 = 8, 85 · 10−12 F/m), za±

εr jest wzgl¦dn¡ przenikalno±ci¡ dielektryczn¡ o±rodka. Zale»no±¢ 1 opisuje nam siª¦ elek-

trostatyczn¡ (Coulomba) dziaªaj¡c¡ na ªadunek umieszczony w tym polu. Nat¦»enie pola

elektrycznego jest wielko±ci¡ wektorow¡, wi¦c oprócz warto±ci musimy zna¢ równie» zwrot

wektora ~E.

Wygodniejsz¡ wielko±ci¡ opisuj¡c¡ pole elektryczne jest potencjaª elektryczny V , który in-

formuje nas o energii potencjalnej ªadunku q umieszczonego w polu ªadunku Q, do warto±ci

tego ªadunku, co mo»na zapisa¢ zale»no±ci¡

V =Epq

=1

4πεoεr

Q

r. (2)

Jednostk¡ potencjaªu elektrycznego jest wolt. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e potencjaª mo»e

przyjmowa¢ zarówno warto±ci dodatnie (ªadunki dodatnie) lub ujemne (ªadunki ujemne). W

przypadku pola elektrycznego bezwirowego, które jest wytwarzane wokóª ªadunku punkto-

wego, istnieje zale»no±¢ pomi¦dzy nat¦»eniem pola elektrycznego a potencjaªem postaci

~E = −gradV = −~∇V, (3)


3


w którym operator nabla (~∇), jest operatorem ró»niczkowym przeksztaªcaj¡cym pole ska-

larne w pole wektorowe. W przypadku pola jednorodnego zwi¡zek ten mo»na zapisa¢ w

postaci~E = −i d

drV, (4)

w której i wyró»nia nam pewien kierunek w przestrzeni. Z zale»no±ci 4 wynika, »e jednostk¡

nat¦»enia pola elektrycznego jest wolt na metr.

Je»eli ukªad skªada si¦ z wi¦kszej ilo±ci ªadunków, o rozkªadzie dyskretnym w celu wyznacze-

nia wypadkowego potencjaªu lub nat¦»enia pola elektrycznego, mo»na posªu»y¢ si¦ metod¡

superpozycji dla potencjaªów

Vw =n∑i=1

Vi, (5)

oraz nat¦»enia pola elektrycznego

~Ew =n∑i=1

~Ei. (6)

W przypadku ci¡gªego rozkªadu ªadunku, do wyznaczenia nat¦»enia pola elektrycznego

mo»na posªu»y¢ si¦ prawem Gaussa∮S

~E ◦ d~S =1ε0εr

∑i

Qi, (7)

które informuje, »e liczba linii siª pola elektrycznego przechodz¡ca przez dowoln¡ powierzch-

ni¦ zamkni¦t¡ (tzw. powierzchnia Gaussa), otaczaj¡ca ci¡gªy rozkªad ªadunków, jest równa

caªkowitemu ªadunkowi ograniczonemu przez t¡ powierzchni¡ podzielon¡ przez ε0εr. Prawo

to mo»na stosowa¢ to ka»dego rozkªadu ªadunku jak i mo»na wybiera¢ dowoln¡ powierzchni¦

Gaussa, jednak cz¦sto istnieje problem obliczenia caªki po lewej stronie.

Jednak w prosty sposób mo»na zastosowa¢ prawo Gaussa do niesko«czonej pªaszczyzny naªa-

dowanej jednorodnie z g¦sto±ci¡ powierzchniow¡ σ+ jak na rysunku 3. Dla sytuacji z rysunku

Rys. 3: Niesko«czona pªaszczyzna naªadowana ªadunkiem σ+ i jej nat¦»enie pola elektrycznego

wytwarzane w odlegªo±ci rod pªaszczyzny.


4


3 speªniona jest równo±¢∮S

~E ◦ d~S =∮SE · dS = E

∮S

dS = 2ES =1ε0εr

σ+S, (8)

z której wynika, »e nat¦»enie pola elektrycznego w odlegªo±ci r od niesko«czonej pªaszczyzny

wynosi

E =σ+

2ε0εr. (9)

Nat¦»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci¡ 9 nie zale»y od odlegªo±ci r od pªyty. Poza

tym, wektor nat¦»enia pola elektrycznego jest zawsze prostopadªy do powierzchni pªaszczy-

zny, wi¦c pªaszczyzna wytwarza pole jednorodne.

Gdy rozwa»ymy dwie równolegªe niesko«czone pªaszczyzny odlegªe o d od siebie oraz naªa-

dowane ró»noimiennie z g¦sto±ci¡ powierzchniow¡ σ, wówczas nat¦»enie pola elektrycznego

b¦dzie ró»ne od zera wyª¡cznie pomi¦dzy pªaszczyznami i b¦dzie wynosi¢

E =σ

ε0εr. (10)

Rozwi¡zuj¡c równanie 4 oraz znaj¡c nat¦»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci¡ 10,

wyznaczymy napi¦cie pomi¦dzy dwoma pªaszczyznami, które wynosi

U = Ed. (11)

Nale»y pami¦ta¢, i» formuªa opisana wzorem 11 jest prawdziwa wyª¡cznie dla pola jedno-

rodnego.

Kondensator jest to ukªad dwóch przewodników rozdzielonych dielektrykiem, który sªu»y

do gromadzenia ªadunku. Zdolno±¢ do gromadzenia ªadunku jest opisana przez pojemno±¢

elektryczn¡ w postaci

C =Q

U, (12)

w którym Q jest ªadunkiem zgromadzonym na okªadce, a U ró»nic¡ potencjaªów pomi¦dzy

okªadkami kondensatora. Jednostk¡ pojemno±ci jest farad.

Rozwa»my kondensator pªaski, o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi¦dzy okªadkami d jak

na rysunku 4 Pojemno±¢ kondensatora pªaskiego zgodnie z równaniem 12, 11 i 10 wynosi

Rys. 4: Schemat kondensatora pªaskiego.


5


C = ε0εrS

d. (13)

Poniewa» εr = 1 w pró»ni, a dla ka»dego innego medium przyjmuje warto±ci wi¦ksze od

jedno±ci, wi¦c umieszczenie dielektryka pomi¦dzy okªadkami powoduje zwi¦kszenie jego po-

jemno±ci. Pomimo, i» dielektryk nie posiada swobodnych no±ników ªadunku, mo»e on ulec

polaryzacji. W przypadku substancji polarnych - posiadaj¡cych trwaªy moment dipolowy

(polaryzacja orientacyjna), zewn¦trzne pole elektryczne d¡»y do ustawienia momentów di-

polowych cz¡steczek zgodnie ze swym kierunkiem, poprzez co w dielektryku powstaje pole

elektryczne przeciwstawiaj¡ce si¦ polu zewn¦trznemu. Stopie« polaryzacji jest uzale»niony od

zewn¦trznego pola elektrycznego i temperatury. W przypadku substancji niepolarnych mo»-

liwe jest zaindukowanie momentu dipolowego poprzez umieszczenie dielektryka w zewn¦trz-

nym polu elektrycznym. Pole zewn¦trzne mo»e powodowa¢ deformacj¦ chmury elektronowej

(polaryzacja elektronowa), lub przesuni¦cie jonów w strukturze substancji (polaryzacja jo-

nowa). Zaindukowane pole elektryczne przeciwdziaªa polu zewn¦trznemu, które je wywoªuje.

W wyniku tego wypadkowe pole elektryczne pomi¦dzy okªadkami maleje (¹ródªo napi¦cia

Rys. 5: a) Kondensator pªaski bez dielektryka podª¡czony do ¹ródªa napi¦cia; b) Kondensator z

umieszczonym dielektrykiem po odª¡czeniu od ¹ródªa napi¦cia; c) kondensator z umieszczonym

dielektrykiem podª¡czony do ¹ródªa zasilania.

odª¡czone), poprzez co maleje tak»e napi¦cie pomi¦dzy okªadkami. �adunek na okªadkach

pozostaje staªy, wi¦c pojemno±¢ kondensatora zgodnie z de�nicj¡ 12 wzrasta. W przypadku,

gdy okªadki kondensatora s¡ ci¡gle podª¡czone do ¹ródªa napi¦cia, musi nast¡pi¢ napªyw ªa-

dunku, aby skompensowa¢ zaindukowane pole elektryczne w dielektryku (napi¦cie pomi¦dzy

okªadkami musi by¢ staªe), co te» zgodnie z de�nicj¡ 12 prowadzi do zwi¦kszenia pojem-

no±ci. Pojemno±¢ kondensatora po wypeªnieniu caªkowicie dielektrykiem jest zawsze εr razy

wi¦ksza ni» kondensatora bez dielektryka i wynosi

Cd = εrC0. (14)


6


PRZEBIEG �WICZENIA

Pierwszym krokiem ¢wiczenia jest ustalenie pozycji zero ±ruby mikrometrycznej, za po-

moc¡ której kontrolujemy odlegªo±¢ pomi¦dzy okªadkami. Nast¦pnie ustawiamy niezerow¡

odlegªo±¢ pomi¦dzy okªadkami kondensatora, po czym wª¡czamy multimetr cyfrowy. Dokonu-

jemy pomiarów pojemno±ci kondensatora powietrznego i wypeªnionego w peªni dielektrykiem

zgodnie z tabelami pomiarowymi oraz zgodnie ze wskazówkami prowadz¡cego zaj¦cia.

Zadania

1. Zmierzy¢ pojemno±¢ C0 kondensatora powietrznego w funkcji odlegªo±ci pomi¦dzy

okªadzinami.

2. Zmierzy¢ pojemno±¢ Cd kondensatora wypeªnionego kompletnie badanym dielektry-

kiem w funkcji odlegªo±ci pomi¦dzy okªadzinami.

4. Narysowa¢ wykres zale»no±ci C0 oraz Cd od 1/d wraz z niepewno±ciami.

5. Wyznaczy¢ przenikalno±¢ dielektryczn¡ powietrza oraz wzgl¦dn¡ przenikalno±¢ elek-

tryczn¡ εr badanego materiaªu metod¡ regresji liniowej.

6. Wyznaczy¢ pojemno±ci monta»owe Cm dla kondensatora powietrznego i wypeªnianego

dielektrykiem.

OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH

W do±wiadczeniu dokonywali±my pomiaru pojemno±ci kondensatora C0 i Cd oraz odle-

gªo±ci pomi¦dzy okªadzinami d zgodnie z równaniem

C = ε0εrS

d. (15)

Z wyników pomiarów mo»emy wyznaczy¢ przenikalno±¢ dielektryczn¡ powietrza oraz dielek-

tryka sprowadzaj¡c równanie 15 do równania liniowego postaci

y(x) = ax+ b, (16)

w którym y = C, x = 1/d, a = Sε0εr. W wyrazie wolnym b jest zawarta informacja o pojem-

no±ci ukªadu. Jednak w wyniku pomiarów uzyskali±my wspóªrz¦dne punktów pomiarowych

xi i yi wraz z ich niepewno±ciami maksymalnymi ∆xi i ∆yi. Po naniesieniu punktów po-

miarowych wraz z niepewno±ciami na wykres, powinni±my zauwa»y¢ ukªadanie si¦ punktów

pomiarowych wzdªu» prostej. Najlepiej dopasowana prosta do punktów pomiarowych (xi, yi),

to taka , która przechodzi mo»liwie �najbli»ej� wszystkich punktów pomiarowych. Narzuca

do warunek, aby suma kwadratów odchyªek warto±ci dopasowanych y(xi) do zmierzonych yi

byªa minimalna i speªniaªa warunek

n∑i=1

[yi − (axi + b)

]2= min . (17)


7


Zgodnie z równaniem 17 minimum funkcji wyznaczymy licz¡c pochodne cz¡stkowe tej funkcji

i przyrównanie je do zera. Otrzymamy do rozwi¡zania ukªad równa« postaci∂

∂a

n∑i=1

[yi − (axi + b)

]2= 0

∂

∂b

n∑i=1

[yi − (axi + b)

]2= 0.

(18)

Po rozwi¡zaniu ukªadu równa« 18 otrzymamy warto±¢ parametru a postaci

a =

n∑i=1

xin∑i=1

yi − nn∑i=1

xiyi( n∑i=1

xi)2− n

n∑i=1

x2i

, (19)

oraz b, który wynosi

b =

n∑i=1

xin∑i=1

xiyi −n∑i=1

yin∑i=1

x2i( n∑i=1

xi)2− n

n∑i=1

x2i

. (20)

Warto±ci¡ oczekiwan¡ wielko±ci mierzonej w eksperymencie jest ±rednia arytmetyczna z n

pomiarów, wi¦c wzór 19 mo»emy przedstawi¢ nast¦puj¡co

a =xy − x · y

x2 −(x)2 , (21)

a b mo»emy wyliczy¢ z zale»no±ci

b = y − ax. (22)

Znaj¡c warto±ci a i b mo»emy nanie±¢ nasz¡ prost¡ na wykres, na którym znajduj¡ si¦ za-

znaczone punkty pomiarowe wraz z niepewno±ciami. Dobrze dopasowana zale»no±¢ liniowa

do punktów pomiarowych powinna mie¢ tyle samo punktów pomiarowych �nad� jak i �pod�

dopasowan¡ prost¡ oraz przechodzi¢ przez co najmniej 68% sªupków bª¦dów. Je»eli powy»-

sze warunki nie s¡ speªnione to mo»emy podejrzewa¢, i» badana zale»no±¢ nie jest liniowa

b¡d¹ podczas pomiaru zostaªy zani»one warto±ci niepewno±ci pojedynczego pomiaru. Nale»y

jednak mie¢ na uwadze, »e dopasowane parametry prostej a i b s¡ tak»e obarczone niepewno-

±ci¡. Jest to odchylenie standardowe, które zgodnie z prawami statystyki dla wspóªczynnika

a wynosi

Sa =

√√√√√ 1n− 2

y2 − axy − by

x2 −(x)2 , (23)

natomiast Sb mo»emy wyznaczy¢ z zale»no±ci

Sb = Sa

√x2. (24)


8


Aby ustali¢, czy badana wspóªzale»no±¢ jest liniowa nale»y wyznaczy¢ wspóªczynnik korelacji

liniowej r dla serii pomiarów postaci

r =xy − x · y√[

x2 − (x)2][y2 − (y)2

] . (25)

Wspóªczynnik korelacji liniowej r zawiera si¦ w przedziale −1 ¬ r ¬ 1. Korelacja jest

tym wi¦ksza im warto±¢ bezwzgl¦dna z |r| zmierza do jedno±ci. W tablicy statystycznej

na ostatniej stronie zostaªy podane graniczne warto±ci r w zale»no±ci od liczby pomiarów i

poziomu istotno±ci, od których wzwy» mo»na wnioskowa¢ o istnieniu istotnej wspóªzale»no±ci

pomi¦dzy badanymi wielko±ciami.

Dopasowanie prostej do danych pomiarowych mo»emy tak»e wykona¢ metod¡ gra�czn¡.

W tym celu nale»y narysowa¢ prost¡ przechodz¡c¡ przez mo»liwie najwi¦ksz¡ ilo±¢ sªupków

pomiarowych, przy czym poªowa punktów pomiarowych powinna znajdowa¢ si¦ nad prost¡,

a druga poªowa punktów pomiarowych pod prost¡. Odczytujemy z wykresu wspóªczynnik a

jako tangens nachylenia prostej oraz wspóªczynnik b jako przeci¦cie z osi¡ odci¦tych. W celu

wyznaczenia niepewno±ci maksymalnych ∆a i ∆b wielko±ci a i b nale»y przeprowadzi¢ dwie

skrajne proste o minimalnym i maksymalnym k¡cie nachylenia jak na rysunku 6, dla których

speªniona jest jeszcze metoda regresji liniowej. Wówczas warto±¢ niepewno±ci maksymalnej

Rys. 6: Metoda regresji liniowej wykonana metod¡ gra�czn¡.

∆a mo»e by¢ oszacowana jako

∆a =amax − amin

2, (26)

natomiast ∆b jako

∆b =bmax − bmin

2, (27)


9


SPRAWD� CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE

1. Mi¦dzy okªadki pªaskiego powietrznego kondensatora o pojemno±ci C, poª¡czonego z

akumulatorem o sile elektromotorycznej SEM , wprowadzono dielektryk o wzgl¦dnej

przenikalno±ci εr. O ile zmieni si¦ ªadunek kondensatora i nat¦»enie pola elektrycznego

mi¦dzy okªadkami?

2. Dwa kondensatory o pojemno±ci C1 i C2 naªadowano odpowiednio do napi¦cia U1 i

U2, a nast¦pnie po odª¡czeniu od ¹ródªa, poª¡czono przewodnikami okªadki jednego

kondensatora z przeciwnie naªadowanymi okªadkami drugiego kondensatora. Znale¹¢

ªadunki Q1 i Q2 na okªadkach ka»dego z kondensatorów po poª¡czeniu.

3. Do kondensatora pªaskiego o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi¦dzy okªadzinami d

wsuni¦to materiaª o staªej dielektrycznej εr jak na rysunku 7a i 7b. Jak¡ pojemno±¢

posiadaj¡ te ukªady po wsuni¦ciu dielektryka?

Rys. 7: Rysunek do zadania problemowego nr 3.


10


PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW

�WYZNACZANIE STA�EJ DIELEKTRYCZNEJ

METOD� KONDENSATOROW��

................................................. ......................................

nazwisko i imi¦ data wykonania

1) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora powietrznego

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C0i[ ]

di[ ]

2) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora wypeªnionego caªkowicie dielektrykiem

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CdF i[ ]

di[ ]

Wspóªczynniki do niepewno±ci odczytu pojemno±ci z miernika cyfrowego - dane producenta:

c1 = ............(zakres:............); c2 = ............(pomiar);

�rednica okªadek kondensatora:

φ1 = ............

..............................................

podpis prowadz¡cego zaj¦cia


11


Tabela wzgl¦dnych przenikalno±ci dielektrycznych ró»nych materiaªów.

Tabela krytycznych warto±ci wspóªczynnika korelacji r(n;α) dla ró»nych pozio-

mów istotno±ci α oraz liczby pomiarów n.


12

PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl

Documents

Transcript of PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl