Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

Skrypt do laboratorium

PRACOWNIA FIZYCZNA I

Ćwiczenie 2: Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał.

Opracowanie: mgr Tomasz Neumann

Gdańsk, 2011

Projekt ”Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna - studia międzywydziałowe”

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

USTALENIA WSTĘPNE

Wymagania wstępne:

Zapoznanie się z wiadomościami teoretycznymi oraz przebiegiem ćwiczenia zawartymi w

instrukcji do ćwiczenia.

Cele ćwiczenia:

1. Usystematyzowanie wiedzy z zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii me-

chanicznej punktu materialnego.

2. Zapoznanie studentów z metodą pomiaru zjawisk fizycznych, które zachodzą w czasie

rzędu mikro sekund.

3. Wykonanie pomiaru napięcia ładowania i rozładowania kondensatora dla różnych sta-

łych czasowych i różnych energii kinetycznych ciał.

4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewności pomiarowych oraz wyznaczenie

czasu zderzeń badanych obiektów.

5. Oszacowanie niepewności czasu zderzeń.

6. Sformułowanie wniosków.

Wykaz przyrządów niezbędnych do wykonania ćwiczenia:

Rys. 1: Układ pomiarowy: 1 - masywna i nieruchoma szyna; 2 - badane ciała; 3 - stojak z

regulacją wysokości; 4 - układ RC; 5 - zasilacz prądu stałego; 6 - woltomierz analogowy; 7)

przymiar liniowy.

Wykaz literatury podstawowej:

1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy fizyki.

2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wyższych technicznych studiów zawodowych.

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.2

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

3. H. Szydłowski - Pracownia fizyczna wspomagana komputerem.

4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma.

WPROWADZENIE DO ĆWICZENIAZderzeniami ciał rządzą zasady zachowania pędu i zachowania energii. Ze względu, które

wielkości są zachowane rozróżniamy zderzenie niesprężyste (tylko zachowany jest pęd całko-

wity układu) oraz sprężyste (tu spełnione są obydwie ww. zasady zachowania). W wyniku

zderzenia niesprężystego ciał, łączą się one w jeden obiekt jak na rysunku 2. Dla tego zde-

Rys. 2: Przykład zderzenia idealnie centralnie niesprężystego.

rzenia zasadę zachowania pędu w postaci skalarnej możemy zapisać w postaci

m1v1 −m2v2 = (m1 +m2)v3, (1)

na podstawie której wyznaczymy prędkość v3 ciał po zderzeniu

v3 =m1v1 −m2v2m1 +m2

. (2)

W wyniku zderzenia ciała straciły energię o wartości

∆Es = 2m1m2m1 +m2

v1v2 (3)

Zderzenie sprężyste pokazane na rysunku 3 wymaga spełnienia jednocześnie zasady zacho-

wania pędu i energii postaci

Rys. 3: Przykład zderzenia idealnie centralnie sprężystego.

ZZP : m1v1 −m2v2 = −m1u1 +m2u2

ZZE :12m1v

21 +

12m2v

22 =

12m1u

21 +

12m2u

22.

(4)

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.3

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

Rozwiązując układ równań 4 uzyskamy prędkości ciał po zderzeniu idealnie centralnie sprę-

żystym w postaci

u1 =(1− m1

m2)v1 + 2v2

1 +m1m2

, (5)

u2 =(1− m2

m1)v2 + 2v1

1 +m2m1

. (6)

Z wzoru 5 i 6 wynika, że jeżeli ciała mają taką samą masę tj. m1 = m2 = m, to w wyniku zde-

rzenia idealnie sprężystego ciała te wymienią się prędkościami. Jeżeli rozważamy przypadek

w którym m2 → ∞, to ciało m1 w wyniku zderzenia idealnie sprężystego zmieni wyłącznie

zwrot swojej prędkości na przeciwny. Należy jednak zwrócić uwagę, że podczas zderzenia

sprężystego, ciała pozostają przez pewien czas w kontakcie ze sobą - ciała te ulegają od-

kształceniu. Deformacja kul polega na wgnieceniu się sprężystym tych ciał. Zakładając takie

Rys. 4: Odkształcenie w zderzeniu sprężystym ciał.

przybliżenie, możemy określić odległość najbliższego zbliżenia ciał poprzez formułę

xmax =τvwzgπ

, (7)

w którym τ jest czasem zderzenia, a vm prędkością względną kul przed zderzeniem. Wzór 7

wynika wprost z zamiany energii kinetycznej ciał na energię potencjalną sprężystości. Zmiana

energii potencjalnej sprężystości będzie powodowana poprzez siłę sprężystości

Fs = −kx, (8)

w którym k opisuje współczynnik sprężystości ciał natomiast x jest względnym odkształce-

niem ciał. Wiedząc, że siła ta będzie miała największą wartość w xmax oraz współczynnik

sprężystości k możemy przedstawić za pomocą częstości ω oraz masy zredukowanej µ, war-

tość największego oddziaływania ciał wynosi

Fmax = µπvwzgτ

. (9)

Masę zredukowana układu dwóch ciał obliczamy za pomocą zależności

µ =m1m2m1 +m2

(10)

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.4

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

Należy jednak pamiętać, że parametry zderzenia xmax i Fmax określone wzorem 7 i 9

są pewnym oszacowaniem tych wielkości. W rzeczywistym zderzeniu ciał, odkształcenie ciał

jest funkcją wielu zmiennych, czyli jest wiele parametrów, aby w prosty sposób wyjaśnić cały

proces zderzenia.

PRZEBIEG ĆWICZENIACzas trwania zderzenia dwóch ciał można wyznaczyć za pomocą układu przedstawionego

na rysunku 5.

Rys. 5: Schemat układu pomiarowego.

Gdy kula znajduje się w pozycji ′B′ wówczas następuje ładowanie kondensatora do wartości

U0 zgodnie z równaniem

Ul(t) = U0[1− exp(− t

RC)], (11)

w którym iloczyn RC jest stałą czasową i odpowiada za szybkość ładowania kondensatora

(napięcie zasilania U0 jest ustalane na początku ćwiczenia i nie jest zmieniane w trakcie

trwania pomiarów). W momencie, kiedy kula zostanie zwolniona z pozycji ′B′ i osiągnie po-

zycję ′A′, to przez pewien czas, w wyniku zderzenia, układ ponownie będzie tworzył układ

zamknięty, z tą różnicą, że następować będzie rozładowanie kondensatora. Tempo rozłado-

wania jest opisane zależnością

Ur(t) = U0 exp(− t

RC

). (12)

Po pojedynczym akcie zderzenia i spadku napięcia na kondensatorze do wartości U1 możemy

wyznaczyć czas zderzenia poprzez przekształcenie równania 12 do postaci

τ = RC lnU0U1

(13)

Prędkość ciała tuż przed zderzeniem możemy wyznaczyć z zasady zachowania energii.

Przyjmując energię potencjalną równą zero na poziomie ′A′ oraz zaniedbując wszelkie opory

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.5

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

ruchu, można zapisać zasadę zachowania energii mechanicznej w postaci

0 +mg(h2 − h1) =mv2

2+ 0. (14)

Przekształcając równanie 14 wyznaczymy prędkość kuli v tuż przed zderzeniem

v =√

2g(h2 − h1). (15)

Pomiar napięcia ładowania Ul, napięcia rozładowania Ur oraz wysokości h1 i h2 jest niezbędny

do wyznaczenia czasu zderzenia oraz wyznaczenia parametrów zderzenia xmax oraz Fmax. Do

pomiarów należy także dobrać odpowiednie wartości oporu R, aby stała czasowa nie miała

zbyt dużej lub zbyt małej wartości co może utrudnić odczytanie napięcie rozładowania Ur

lub wpłynąć na wartości niepewności pomiarowe.

Zadania do wykonania

1. Wyznaczyć czas zderzenia kul o różnych masach (masę wyznaczamy na podstawie zna-

jomości materiału kulki oraz poprzez pomiar średnicy) i prędkościach z szyną (prędkość

wyznaczamy z zależności 15). Wszystkie pomiary napięcia na kondensatorze po zde-

rzeniu powtarzamy kilkukrotnie.

2. Oszacować parametry zderzenia xmax i Fmax.

3. Zastanowić się, czy są przesłanki, by przeprowadzić analizę wpływu prędkości i rodzaju

materiału na czas zderzenia. Porównać wartości Fmax z ciężarem kul.

OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCHDo obliczenia wartości czasu zderzenia τ potrzebne są wartości U0, U1, R i C, dlatego

w pierwszym rzędzie należy ocenić niepewności standardowe pomiaru tych wielkości. Ponie-

waż wartość napięcia U0 powinna być stała podczas wykonywania ćwiczenia, wnioskujemy,

że niepewność eksperymentatora ∆eU0 oraz odchylenie wyników od średniej SUo są równe

zero. Wówczas niepewność maksymalna napięcia U0 jest zależna od klasy przyrządu oraz

wybranego zakresu i wynosi

∆U0 =klasa przyrządu · zakres

liczba działek+ ∆dzU0; (16)

gdzie: ∆dzU0 = ∆dzU to najmniejsza działka na skali miernika.

Niepewność standardowa kilkukrotnie mierzonego napięcia U1 wynosi

SU1 =

√(∆dzU1)2

3+ S2

U1, (17)

zaś jej maksymalna niepewność wynosi

∆U1 =√

3SU1 . (18)

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.6

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

Względna niepewność oporu R podana przez producenta wynosi δR = 1%. Do niepewno-

ści podanej przez producenta dodajemy także niepewność związaną z oporem przewodów

doprowadzających o wartości 0, 5Ω. Niepewność maksymalna oporu R wynosi więc

∆R =(δR ·R

100+ 0, 5

)Ω. (19)

Na podstawie danych producenta niepewność względna pojemności C wynosi δC = 2% czyli

maksymalna niepewność ∆C wynosi

∆C = δC · C. (20)

Mając określone powyższe niepewności oraz stosując metodę różniczki zupełnej obliczamy

maksymalną niepewność ∆τ czasu zderzenia z zależności

∆τ =∣∣∣ τR

∣∣∣∆R +∣∣∣ τC

∣∣∣∆C +∣∣∣RCU0

∣∣∣∆U0 +∣∣∣− RC

U1

∣∣∣∆U1. (21)

Parametry zderzenia xmax oraz Fmax są tylko oszacowaniem, więc nie trzeba określać ich

niepewności, jednak na podstawie uzyskanych wartości należy przedyskutować we wnioskach

przebieg zderzenia ciał.

SPRAWDŹ CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE

1. Pocisk o masie m lecący poziomo, uderza w drewniany klocek o masie M zawieszony

na nieważkiej i nierozciągliwej linie o długości l. W wyniku uderzenia pocisk pozostaje

w klocku, a lina, na której jest on zawieszony odchyla się kąt α od pionu. Wyznacz

prędkość, z jaką poruszał się pocisk przed zderzeniem.

2. Kula o masie m1 poruszająca się z prędkością v1 uderza w poruszającą się z naprzeciwka

z tą samą prędkością kulę o masie m2. Jaki musi być stosunek mas tych kul, aby w

wyniku zderzenia sprężystego kula pierwsza odbiła się od kuli drugiej i poruszała się z

prędkością o 50% większą niż przed zderzeniem? Jaka będzie w tym przypadku prędkość

kuli drugiej?

3. Dwie kule, jedna o masie m1 i druga o masie m2, wiszą na nieważkich niciach o długości

l tak, że w położeniu równowagi stykają się ze sobą. Kulę o masie m1 wychylono z

położenia równowagi podnosząc ją o h1 względem położenia równowagi tak, że nić jest

nadal napięta. Po uwolnieniu kuli o masie m1, zderza się ona doskonale niesprężyście

z kulą o masie m2. Wyznaczyć maksymalną wysokość, na jaką wzniosą się kule po

zderzeniu.

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.7

Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek „Inżynieria Biomedyczna”

PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW

”WYZNACZANIE CZASU ZDERZEŃ DWÓCH CIAŁ”

................................................. ......................................

nazwisko i imię data wykonania

1) Wyznaczenie średnicy kulek

lp Materiał i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I φi[ ]

II φi[ ]

III φi[ ]

2) Pomiary dla kulki I

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h1i[ ]

h2ia[ ]

h2ib[ ]

U1ia[ ]

U1ib[ ]

R = ..........; C = ..........; U0 = ..........; ∆dzU0 = .........; klasa:.........;liczba działek = ..........;

3) Pomiary dla kulki II

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h1i[ ]

h2ia[ ]

h2ib[ ]

U1ia[ ]

U1ib[ ]

R = ..........; C = ..........; U0 = ..........; ∆dzU0 = .........; klasa:.........;liczba działek = ..........;

4) Pomiary dla kulki III

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h1i[ ]

h2ia[ ]

U1ia[ ]

R = ..........; C = ..........; U0 = ..........; ∆dzU0 = .........; klasa:.........;liczba działek = ..........;

..............................................

podpis prowadzącego zajęcia

Pracownia Fizyczna I - „ Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał”.8