Wyznaczenie momentu

bezwładności przy użyciu

wahadła torsyjnego

Wahadło torsyjne

2r

Równanie ruchu obrotowego krążka

Mdt

dI =

2

2

0

α

α

drut

00

2

2

=+ αα

I

D

dt

d

I0 – moment bezwładności

krążka

M – moment siły

D – moment kierującyαDM −=

)sin( ϕωα += tA

0I

D=ω

Równanie oscylatora

harmonicznego

1) Informacja o momencie bezwładności

2) Informacja o własnościach sprężystych

drutu

2R

D

IT 0

0 2π=

Częstość kołowa

Okres drgań

Wahadło torsyjne

2R

Dwa walce o masie m

Moment bezwładności

walca względem osi

Iw=1/2mr2

2rw

Nowy moment bezwładności

z tw. Steinera:

]2

1)([2 22

01 mrrRmII +−+=

D

IT 0

0 2π=

D

IT 1

1 2π=

Wyznaczając doświadczalnie T0 oraz T1

znajdziemy D oraz nieznany moment

bezwładności I0

Podczas drgań wahadła zachodzi odkształcenie drutu polegające na ścinaniu…

Odkształcenia sprężyste

Sprężystość (elastyczność) – własność powodująca, że odkształcone ciało

dąży do stanu początkowego.

Dla idealnie sprężystych ciał naprężenia w nich wywoływane są

jednoznacznymi funkcjami odkształceń.

Przy niewielkich odkształceniach własności ciał stałych

można opisywać traktując je jak ciała idealnie sprężyste, wtedy, jak to

wykrył R. Hooke dla prostych odkształceń, odkształcenie jest

proporcjonalne do naprężenia (sprawdźmy czy ono działa…).

… a potem zajmijmy się przypadkiem odkształcenia postaci bez zmiany

objętości jakim jest tzw. ścinanie…

ŚcinanieRozważmy kostkę prostopadłościenną przyklejonej do podłoża*

γγ σt

Każdy element górnej powierzchni kostki poddany jest naprężeniu stycznemu…

S

Ft

=σF – siła działająca stycznie do górnej powierzchni kostki

S – powierzchnia górnej ścianki kostki

Odkształcenie kostki polega przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia,

bez zmiany kształtu tej ścianki. Ścianka przednia i tylna przyjmują kształt

równoległoboków, ścianki boczne pochylają się o kąt γγγγ

W tym wypadku prawo Hooke’a ma postać:G

tσ

γ = G – moduł sztywności

*Aby naprężenia powstające na brzegach nie miały znaczenia wysokość kostki powinna znacznie mniejsza od

pozostałych wymiarów

Skręcanie (ścinanie) pręta

drr

ϕ

l

rϕγ =

l

Fz

-Fz

Pręt dzielimy na rurki o promieniu r i grubości dr

Górny koniec rurki jest zamocowany.

Do dolnego końca przykładamy parę sił o tej

samej wartości i przeciwnych zwrotach – tworzą

one moment skręcający pręt, który równoważą

naprężenia ścinające powstałe w pręcie.

Każdy element rurki ulega ścinaniu o kąt γ

G

tσγ = G – moduł sztywności

Ponieważ

l

rϕγ =

ϕ - kąt skręcenia końca

rurki

l – długość rurki

Zatem naprężenie ścinające:

Gl

rt

ϕσ =

Skręcanie pręta

drrl

GdM

drrGl

rdM

rdrrdM

rSdM

FrdM

t

t

3

2

2

2

2

ϕπ

πϕ

πσ

σ

=

=

=

∆=

∆=

∆ F – siła styczna

∆S – powierzchnia przekroju rurki

Moment sił sprężystości

równoważący moment sił zewnętrznych:

Sumując przyczynki od rurek o różnych promieniach

dostajemy całkowity moment sił sprężystości równoważący

moment sił zewnętrznych

ϕϕπ

ϕπ

DR

l

Gdrr

l

GM === ∫ 2

2 4

R

0

3 Jl

GR

l

GD ==

2

4π

D – moment kierujący

J – geometryczny moment bezwładności ∫∫=S

dSrJ2

S

Ft

∆

∆=σ z definicji

naprężenia ścinającego

0.2-0.317-30szkło

0.17132wolfram

0.2982stal

0.3540-48miedź

0.46-0.491.6·10-3guma

Współczynnik

Poissona

GPa

Moduł sztywności

GPa

Materiał

Badając drgania torsyjne wahadła fizycznego

możemy wyznaczyć moduł sztywności G materiału,

z którego wykonany jest drut…

Skręcanie wałów napędzających maszyny

Moc przekazywana przez wał napędowy:

P=Mωωωω

Zamiast wałów stosuje się czasem rury…

2

)(

2

)(

2

4

1

4

2

4

1

4

2R

R

32

1

RRJ

Jl

GRR

l

Gdrr

l

GM

r

r

−=

=−

== ∫π

ϕϕπ

ϕπ

Jaki powinien być promień zewnętrzny R2 rury o promieniu

wewnętrznym R1, aby dawała ona taki sam moment

skręcający jak pręt o promieniu R1

R2

R1

2

)(

2

4

1

4

2

4

1RRR −

=ππ

122

19,12

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

−=−

=

≅=

R

RR

S

S

RR

Warto używać pustych wałków!

SprężynaPrzy rozciąganiu sprężyny drut, z którego jest ona wykonana

ulega skręceniu o kąt θ (nie jest to jednak tak proste jakby się wydawało –trudno zauważyć skręcenie drutu, gdy rozciągamy sprężynę – jak to się

dzieje - patrz dodatek).

sR

h∆=ϕ Rs – promień sprężyny

Skręcenie to wywoła pojawienie się momentu siły:

FRMs

=

Moment sił sprężystości równoważy moment siły zewnętrznej F przyłożonej

dokładnie wzdłuż osi sprężyny

ϕπ

l

GrM

2

4

=r – promień drutu

l – długość drutu

hNR

GrF

s

∆=3

4

4

Łącząc powyższe wzory i biorąc pod uwagę, że długość drutu sprężyna wynosi

l = 2πNRs (gdzie N – liczba zwojów sprężyny) dostajemy ostatecznie:

hkFz

∆−=NR

Grk

s

3

4

4=

Rozciąganie drutu

Fn

l0l

ε=∆

=−

00

0

l

l

l

llWydłużenie względne:

Prawo Hooke’a (dla niewielkich odkształceń)

E

σε = σ- naprężenie normalne

E – moduł Younga

S

Fn=σ

0l

lSEF

n

∆=

Przewężenie względne:

d 0d

dt

∆−=ε

Dla odkształceń sprężystych:

µεε =t

µ - współczynnik Poissona

ε

εµ t=lub

Moduł Younga

72Szkło (SiO2,Na2CO3, CaCO3)

69Stop glinu (aluminium) (Al)

45Magnez (Mg)

30Beton wysokiejwytrzymałości (ściskany)

11Drewno dębowe(wzdłuż włókien)

2-4Nylon

3,0-3,5Polistyren (PS)

2,0-2,5Poli(tereftalan etylenu)(PET)

1-3Osłonka wirusa

1,5-2,0Polipropylen (PP)

0,2Polietylen (LDPE)

0,01-0,10guma

ModułYounga (E)

GPa

Materiał

Moduł Younga (E)

GPa

Materiał

1 050-1 200Diament (C)

>1 000Nanorurka[1]

47Cyna

16Ołów

84Cynk

100-115Miedź

450-650Węglik tytanu (TiC)

450Węglik krzemu(SiC)

400-410Wolfram (W)

190-210Żelazo kute i stal

150Kompozyt zwłókna węglowego

105-120Tytan (Ti)

103-124Mosiądz (Cu, Zn) iBrąz (Cu, Sn)

72Szkło (SiO2,Na2CO3, CaCO3)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Modu%C5%82_Younga

Współczynnik Poissona

0,17Wolfram

0,2Kwarc

0,2-0,3Szkło

0,29Stal

0,34Aluminium

0,45Ołów

0,46-0,49Guma

µMateriał

Zmiana objętości pręta przy rozciąganiu

z

x

yl0

l0+∆l

r0 + ∆r

r0

Zmiana objętości przy rozciąganiu:

)21(22π

π)()(π

00

00

0

2

0

0

2

00

2

0

µσσ

µσ

−=

−=

∆+

∆≈

=−∆+∆+=∆

EV

EEV

r

r

l

llr

lrllrrV

Doświadczenie pokazuje, że ∆∆∆∆V/V≥≥≥≥0 µ ≤ 1/2

Odkształcenie objętości

p

p

p

p p

p

κ

κδ

1

0

=

−=∆

=

K

pV

V

p – ciśnienie

κ- współczynnik ściśliwości

K – moduł ściśliwości

Względna zmiana objętości:

Doświadczenie myślowe:- każda z krawędzi ulega skróceniu o czynnik

(1-p/E)

- jednocześnie w wyniku działania ciśnienia

w kierunku poprzecznym poissonowskiemu

w stosunku (1+µµµµp/E)(1+µµµµp/E)

ε

εµ t= Długość krawędzi po deformacji:

l=l0(1-p/E)(1+µp/E)2

−−≅+−≅

+

−= p

EV

E

p

E

pV

E

p

E

plV

)21(31)61)(31(11

00

63

3

0

µµµ

pEV

V )21(3

0

µ−=

∆−

)21(3 lub

)21(3

µ

µκ

−=

−=

EK

E

Ścinanie płytki

F

F

F

F

D

a

a

ad

Ft =σ

d – grubość płytki

2

γ

2

a

a∆

a∆

2a∆

γπ

+2

γπ

−2

Naprężenie styczne:

Naprężenie normalne:

tnad

F

ad

Fσσ ===

2

2

222 aD ∆=∆

Naprężenia normalne

rozciąga przekątną

a

a

a

a ∆=

∆=≅

2

2/22tg

γγ

Zmiana kąta

pomiędzy bokami G

tσ

γ = G – moduł

sztywności

Ga

at

2

2 σ=

∆

Zmiana długości przekątnej:

- rozciąganie „podłużne”

- rozciąganie poissonowskie

DE

DE

DE

D nnn σ

µσµ

σ +=+=∆

12

21

22 aE

a tσµ+

=∆

tEa

aσ

µ+=

∆ 12

tt

EGσ

µσ +=

1

2

)1(2 µ+=

EG

G mniejsze niż E (od 1/3 do 1/2 E) 1−>µograniczenie na

wsp. Poissona

H. Szydłowski Pracownia Fizyczna (PWN)

Zginanie belki

- przed odkształceniem przekroje p, q były równoległe (odległe od punktu

zamocowania o x, x+ ∆x

- po ugięciu przekroje tworzą kąt ϕϕϕϕ- warstwa V znajdująca się w odległości y od warstwy W (neutralnej) wydłuża

się o ϕϕϕϕy

- element belki o długości ∆x i grubości ∆y i szerokości b jest odkształcany

pod wpływem siły Fn = σ ∆S

h

SESFn

∆=∆=∆ εσ

Powierzchnia elementu V :

∆S=b∆y

Wydłużenie względne (rysunek):x

y

∆=

ϕε

ybx

yEFn ∆

∆=∆

ϕStąd:

Moment tej siły względem warstwy W

ybyx

EFyM n ∆∆

=∆=∆ 2ϕ

Sumując przyczynki od wszystkich warstw mamy:

Jx

Edybyx

EMh

h ∆=

∆= ∫−

ϕϕ 2/

2/

2

gdzie geometryczny moment

bezwładności

(element powierzchni zamiast masy)

∫∫ ≡=−

s

h

hdSydybyJ

22/

2/

2

Dla belki o przekroju prostokątnym (zginanej prostopadle do h)

3

12

1bhJ =

h

b

y

Moment sił sprężystości

wytworzony w elemencie belki o

długości ∆x :J

xEM

∆=

ϕ

Belkę odkształca moment siły

zewnętrznej F FxlM )( −=

Ponieważ pomiędzy stycznymi do belki w punktach p, q wynosi ϕ, to

przyczynek ∆S do ugięcia belki S wyniesie:

)( xlS −=∆ ϕ

xEJ

M∆=ϕ

xxlEJ

F∆−= )(ϕ

xxlEJ

FS ∆−=∆ 2)(

Dla belki o przekroju prostokątnym:

3

0

2

3

1)( l

EJ

Fdxxl

EJ

FS

l

=−= ∫

Sumując ugięcia od wszystkich przyczynków ∆x dostajemy:

FEJ

l

bhS

3

3

4=

4

4RJ

p

π=

Ugięcie zależy od kształtu przekroju!

)(4

4

1

4

2 RRJr

−=π

)2(12

1 33dhDHJ

t−=

d/2

D

h H

RR

R2

R1

Im większy moment

Geometryczny, tym trudniej

zginać!Materiał powinien być więc

jak najdalej od osi zginania.

Puste w środku wytrzymalsze?

Mosty, konstrukcje i kości…

Jx

EM∆

=ϕ

Moment siły jeszcze raz…

R

∆x

ϕ

Rx

1=

∆

ϕ

Promień krzywizny

)()(

xR

EJxM =

Z matematyki wiadomo, że krzywizna

z

y

2/322

2

1

11

∂

∂+

∂

∂=

x

zx

z

R2

21

x

z

R ∂

∂=

Dla małych ugięć:

Stąd można uzyskać informacje

kształcie belki…

równanie na

kształt belki2

2

)(x

zEJxM

∂

∂=

)(2

2

xlEJ

F

x

z−=

∂

∂dla x = 0 0,0 =

∂

∂=

x

zz

3

3

1)( l

EJ

Flz =

Strzałka ujęcia belki zamocowanej na jednym z końców

Mikroskop AFM

AFM

~25cm

podstawa

mikroskop

optyczny

z kamerą

MultiMode AFM

+Nanoscope IIIa

Digital Instruments

(obecnie Veeco)

Budowa mikroskopu AFM: ruchoma próbka

Głowica

Skaner

Uchwyt dźwigni

PrzewodyBaza

Wyświetlacz

Mikroskop optyczny

z kamerą

Regulacja położenia dźwigni

w płaszczyźnie

Mocowanie skanera

Podstawka

www.nanosensors.com

Dźwignia „tapping mode”

Długość 125 µµµµm

Szerokość 30 µµµµm

Grubość 3 µµµµm

Wysokość 10 µµµµm

Stała sprężystości 100 N/m

Częstość rezonansowa ~300 kHz

Promień krzywizny 10 nm

Kąt rozwarcia stożka 30°°°°

Tryb kontaktowy („contact mode”)

Tryb kontaktowy („contact mode”)

(TappingModeTMAFM)

EFM −−−− Electric Force Microscopy (Kelvin Probe Microscopy)

Przyciąganie ⇔⇔⇔⇔ Wzrost częstości

Odpychanie ⇔⇔⇔⇔ Spadek częstości

Siła elektryczna (gradient) ⇔ zmiana częstości rezonansowej

Pętla sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu

( ) ...)()( 00 +∂

∂−+=

x

FxxxFxF

k

f

x

Ff 0

02

1

∂

∂=∆

Doświadczenie w skali makro

z ciężarkiem na brzeszczocie

i magnesami…

Dioda Schottky’ego Au/GaN

topografia

granica półprzezroczystej warstwy Au

potencjał

(złącze metal-półprzewodnik)

GaN 2.2µµµµm

LT Buffer

sapphire

potecjał (KPFM) topografia (AFM)

GaN

MFM −−−− Magnetic Force Microscopy

Przyciąganie ⇔ Wzrost częstości

Odpychanie ⇔ Spadek częstości

Siła magnetyczna (gradient) ⇔ zmiana częstości rezonansowej

Pętla sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu

( ) ...)()( 00 +∂

∂−+=

x

FxxxFxF

k

f

x

Ff 0

02

1

∂

∂=∆

Mikroskop sił magnetycznych (MFM)

Nanorurki węglowe

L. Forroro et al. Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes,

Moduł Younga dla nanorurki

L. Forroro et al. Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes

(Wikipedia)Palaci

A. Volodin et al.,Phys. Rev. Lett. 84, 3342 (2000)

Palaci et al., Phys. Rev. Lett. 94, 175502 (2005)

www.veeco-europe.com