ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

12 Zginanie płaskie belek prostych.doc 131

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH

Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciąże-nia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie prze-chodzącej przez oś belki

Zginanie proste: kierunek wektora momentu zginającego po-krywa się z kierunkiem osi symetrii przekroju poprzecznego belki.

Do wyznaczania sił wewnętrznych wykorzystuje się me-todę myślowych przekrojów. Przy stałym przekroju belki gra-nicami odcinków, w których należy dokonać myślowych prze-krojów, są punkty przyłożenia sił zewnętrznych – czynnych i biernych (reakcji podporowych). Na rysunku pokazano zasto-sowanie metody myślowych przekrojów, układ współrzędnych (oś Y skierowana jest w dół, oś X wzdłuż osi belki) oraz siły wewnętrzne w belce.


W odróżnieniu od rozciągania i skręcania, w zginaniu wystę-pują dwie siły wewnętrzne – siła poprzeczna T w płaszczyźnie obciążenia XY oraz moment zginający M, którego wektor jest prostopadły do płaszczyzny XY. W obliczeniach wytrzymało-ściowych belek rzeczą podstawową jest wyznaczenie rozkła-dów T i M. Maksymalne wartości tych sił wskazują na przekroje najbardziej obciążone, na przekroje niebezpieczne. Umowne określenie znaków sił wewnętrznych pokazano na rysunku.

UMOWA: Belka zginana „wypukłością w dół” – dodatnie siły wewnętrzne. Belka zginana „wypukłością w górę” – ujemne siły wewnętrzne.


RÓWNANIA STATYKI

Sposoby podparcia belek

Układy sił:

a) Płaski układ sił równoległych z dwoma równaniami sta-tyki.

b) Płaski układ sił dowolnych z dwoma równaniami statyki (suma rzutów sił na oś poziomą nieaktywna).

Dla wyznaczania reakcji podporowych można sformułować dwa układy równań równowagi, zawierające po dwa równa-nia.

(1)

n

1i

n

1ii0yi ,0M,0P 0 – dowolny punkt.

(2)

n

1iBi

n

1iAi .0M,0M

UWAGA PRAKTYCZNA: korzystnie jest stosować układ (2). Dla sprawdzania poprawności obliczeń można wykorzystać dodatkowo drugie równanie układu (1).


Przykład Dla belki przedstawionej na rysunku wykonać wykresy sił poprzecznych i momen-

tów zginających.

Zadanie jest statycznie wyznaczalne. Dla L = a + b reakcje podporowe (rys. a):

.L

PbR0PbLR0M

,L

PaR0PaLR0M

AAB

BBA

Sprawdzenie prawidłowości obliczeń: PL

Pa

L

PbRR0yP BA

Ponieważ belka ma stały przekrój poprzeczny, myślowe przekroje wyznacza się w przedziałach ograniczonych punktami przyłożenia obciążeń (rys. b,c):

Przedział 1–1: 0 x1 a

.L

PabM,0M;xRM,

L

PbRT ax0x1AxAx 1111

Przedział 2–2: a x2 a + b

.0M,

L

PabM,axPxRM

,L

PaRPRT

baxax22Ax

BAx

222

2

Podobnie jak dla prętów i wałów, aby sprawdzić poprawność obliczeń, należy sprawdzić prawy koniec belki (rys. c).

Przedział 2’–2’: 0 2'x b

.L

PabM,0M,xRM,

L

PaRT bx0x'2BxBx '2'2'2'2

Wykresy T oraz M pokazano na rys. a. Analizując je należy pamiętać, że na wy-kresach sił wewnętrznych muszą być widoczne wszystkie siły zewnętrzne. Na wykre-sie T uskoki odpowiadają siłom P, RA i RB. Na podporach A i B moment musi być równy zeru – na podparciu przegubowym nie ma momentu zewnętrznego. Musi być także zachowana ciągłość wykresu M na końcu I i początku II przedziału.


PRZYKŁAD Dla belki obciążonej w sposób ciągły obciążeniem o stałej intensywności q wyko-

nać wykresy sił poprzecznych i momentów zginających.

Obciążenie ciągłe q = const działające na odcinku L można zastąpić siłą wypad-

kową qL, przyłożoną w połowie długości odcinka (wypadkowa układu sił równole-głych). Z sumy momentów względem podpór A i B otrzymuje się RA = RB = qL/2

(rys. a). W belce wystarczy rozpatrzyć tylko jeden przedział 0 x L, w którym

.0M,0M

;2

qxxRM

,2

qLqLRT,

2

qLRT

;qxRT

Lxox

2

Ax

ALxA0x

Ax

Do wykonania wykresu momentów potrzebny jest trzeci punkt, który można otrzy-mać, obliczając ekstremum funkcji opisującej moment zginający:

.8

qL

2

Lq

2

1

2

LRMM

,L2

1

q

Rx0TqxR

dx

dM

22

Axxmax

AmxA

m

Ekstremum momentu występuje w przekroju, w którym siła poprzeczna jest równa zeru (por. zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem a siłami wewnętrz-nymi). Sprawdzenie poprawności obliczeń można przeprowadzić rozpatrując prawy koniec belki (rys. b).


PRZYKŁAD

Dla belki obciążonej momentem M wykonać wykresy sił poprzecznych i momen-tów zginających.

Z równań statyki oblicza się reakcje podporowe (rys. a):

.L

MR0MLR,0M

,L

MR0MLR,0M

AAB

BBA

Sprawdzenie: RA – RB = 0.

W przedziale 1–1 (0 x1 a) siły wewnętrzne wynoszą (rys. b):

,L

MaM,0M,

L

MxxRM,

L

MRT ax0x

11AxAx 1111

natomiast w przedziale 2–2 (a x2 L):

.0M,L

MbM,MxRM,

L

MRT Lxax2AxAx 2222

Wykresy sił wewnętrznych pokazano na rys. a.


PRZYKŁAD

Dla belki przedstawionej na rysunku wykonać wykresy sił poprzecznych oraz mo-

mentów zginających. Przyjąć dane: P = 1200 N, q = 1500 N/m, M = 1000 Nm, L = 4 m. Wykonać dodatkowo wykres momentów, korzystając z zasady superpozycji.

Równania statyki (rys. a):

.N5050L

MP

2

3

2

qLR0M

2

LqLL

2

3PLR,0M

,N2150L

M

2

P

2

qLR0M

2

LqL

2

LPLR,0M

AAB

BBA

Sprawdzenie: RA + RB = P + qL = 7200 N. Siły wewnętrzne w trzech myślowych przekrojach (rys. b):

Przedział 1–1: 0 x1 L/2

.mN24002

PLM,0M;PxM,N1200PT 2/Lx0x1xx 1111

Przedział 2–2: L/2 x2 3/2L

,2

LxqRPT 2Ax2

,N21504150050501200T,N385050501200T L2/3x2/Lx 22

,2

2

Lxq

2

LxRPxM

2

2

2A2x2

,mN240021200M 2/Lx2


.mN1000120002020072202

41500450504

2

31200M

2

L2/3x2

Ponieważ w przedziale II siła poprzeczna zmieniła swój znak, można wniosko-wać, że w przekroju, w którym T = 0 moment osiągnie w tym przedziale wartość eks-tremalną

.mN2541MM

,m567,4q

PR

2

Lx0T

2

LxqRP

dx

dM

567,4xmaxx

Am2x2A

2

x

22

2

2

Przekrój, w którym moment jest równy zeru obliczyć można rozwiązując trójmian kwadratowy i wybierając pierwiastek znajdujący się w granicach drugiego przedziału

.m73,2x02

2

Lxq

2

LxRPxM 20

2

2

2A2x2

Przekrój 3–3: 3/2L x3 2L

.mN1000M,mN1000M

,LxqLL2

3xR

2

LxRPxM

,0qLRRPT

L2xL2/3x

33B3A3x

BAx

33

3

3

Siły wewnętrzne w przedziale III można również określić w prostszy sposób,

przyjmując granice przedziału 0 x’3 L/2 (patrz rys. b). Sposób ten umożliwia rów-nież sprawdzenie poprawności obliczeń.

Wykresy sił wewnętrznych przedstawiono na rys. a. Analizując te wykresy należy po raz kolejny zwrócić uwagę, że wszystkie siły zewnętrzne muszą być na nim widoczne. W przekrojach, w których nie ma sił zewnętrznych (czynnych i bier-nych) obowiązuje ciągłość odpowiednich wykresów.

Wykres momentów zginających w bardzo prosty sposób można otrzymać stosując zasadę superpozycji. Na rysunku c pokazano sposób rozdzielenia obciążenia na trzy proste przypadki oraz sumowania odpowiadających tym przypadkom wykresów mo-mentów zginających. Przedstawiony sposób otrzymywania wykresów M ma duże znaczenie praktyczne.


NAPRĘŻENIA NORMALNE W ZGINANEJ BELCE

Moment zginający naprężenia normalne

Siła poprzeczna naprężenia styczne (ze względów prak-tycznych – pomijane).

Założenia: hipoteza płaskich przekrojów. Z doświadczenia: W zginanej belce istnieje warstwa obojętna, prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego, w której włókna

nie ulegają odkształceniom naprężenia = 0. Naprężenia normalne w warstwie odległej o y od warstwy obo-jętnej:

.yJ

M

Z

JZ – osiowy moment bezwładności przekroju porzecznego belki. Naprężenia normalne są liniową funkcją odległości od osi ob-

ojętnej. Maksymalne wartości naprężeń normalnych występują w włóknach skrajnych, najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Rozkład naprężeń normalnych pokazano na rysunku.

Naprężenia normalne w zginanej belce o przekroju prostokątnym

Naprężenia normalne w zginanej belce o przekroju trapezowym


Dla belki o przekroju trapezowym: po wyznaczeniu położenia środka ciężkości przekroju znane są odległości skrajnych włó-kien od osi obojętnej. Na rysunku przyjęto, że odległości skraj-

nych włókien h1 > h2, stąd |1| > |2|. Naprężenia te wynoszą:

.hJ

M,h

J

M2

Z21

Z1

Maksymalne naprężenia normalne przy zginaniu:

.W

M

Zmax

Wz – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, zdefi-niowany jako iloraz momentu bezwładności oraz maksymalnej odległości skrajnego włókna od osi obojętnej.

.h

JW

max

Z

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY dla zginanej belki o rów-nej wytrzymałości na rozciąganie i na ściskanie ma postać

.W

Mdop

Zmax

Z warunku wytrzymałościowego można wyznaczyć:

– obciążenia dopuszczalne dla zadanego przekroju belki,

– wymaganą wielkość przekroju dla zadanego obciążenia.


Przykłady przekrojów belek

Dla przekroju prostokątnego (rys. a) moment bezwładności

względem osi Z (oś obojętna) oraz wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie wynoszą:

.6

bh

h

JW,

12

bhJ

2

21

ZZ

3

Z

Dla przekroju okrągłego (rys. b)

.4

r

32

D

D

JW,

4

r

64

dW

2

1J

33

21

ZZ

44

0Z

O wytrzymałości belki decyduje moment bezwładności prze-

kroju względem osi obojętnej. Z wytrzymałościowego punktu widzenia najbardziej korzystne są te przekroje, których większa część pola powierzchni położona jest możliwie daleko od osi obojętnej (rys. c). W praktyce przekrojami przeznaczonymi do pracy w warunkach zginania są przekroje dwuteowe (na rys. d pokazano model takiego przekroju). Przekroje dwuteowe (rów-nież teowe, ceowniki, kątowniki itp.) są przekrojami znormali-zowanymi (patrz tabele wyrobów hutniczych). Warto zwrócić uwagę, że niewłaściwe usytuowanie dwuteownika znacznie zmniejsza zdolność konstrukcji do przenoszenia obciążeń, np.

obrócenie dwuteownika z rys. d o kąt 90 spowoduje znaczące obniżenie wytrzymałości rzędu kilkudziesięciu procent.


PRZYKŁAD

Dla belki wspornikowej obliczyć wymiary przekroju poprzecznego. Przyjąć naprę-

żenia dopuszczalne dop = 140 MPa. Z wykresu momentów zginających wi-dać, że maksymalny moment w utwier-

dzeniu wynosi Mmax = PL = 8 kNm. Warunek wytrzymałościowy ma postać:

.W

Mdop

max

P = 10 kN

L = 0,8 md

d=0,8

d

PL

Z warunku tego wyznacza się wartość liczbowa wskaźnika wytrzymałości na zginanie:

.cm14,5710140

8MW 33

dop

max

Dla belki o przekroju pierścieniowym wskaźnik ten wynosi:

.d058,0W,d02898,0

64

)d8,0(dJ,

d5,0

JW 34

44

Z zależności 0,058 d3 = 57,14 otrzymuje się: d = 9,95 cm.

PRZYKŁAD

Dla belki jednoprzęsłowej obciążonej siłą skupioną P określić wymiary 4 ty-pów przekrojów poprzecznych pokaza-nych na rysunku. Wybrać przekrój naj-lepszy z ekonomicznego punktu wi-dzenia.

d a b

2b h

t

a

1 2 3 4

P = 50 kN

L = 3 m

RA B

R

PL

4

= 0,5 P = 0,5 P

Do obliczeń przyjąć dop = 150 MPa.

Z wykresu momentów zginających określić można maksymalna wartość momentu

zginającego Mmax = PL/4 = 503/4 = 37,5 kNm. Z warunku wytrzymałościowego wy-znacza się wymaganą wartość wskaźnika wytrzymałości na zginanie:

.cm25010150

5,37MW,

W

M 33

dop

maxdop

max

Dla porównania przekrojów wykorzystane zostaną ich pola powierzchni. Dla po-szczególnych przekrojów otrzymano następujące wartości.


1. Przekrój kołowy

.cm46,1464

dF,cm66,13

25032W32d,

32

dW 2

2

133

3

2. Przekrój kwadratowy

.cm1,131aF,cm45,112506W6a,6

aW 22

233

3

3. Przekrój prostokątny

.cm104b2F,cm21,72502

3W

2

3b,

3

b2

6

)b2(bW 22

333

32

4. Przekrój dwuteowy: z tabel wyrobów hutniczych (Polskie Normy) znajduje się dwu-teownik I220, posiadający wskaźnik W = 278 cm3 (h = 220 mm, t = 98 mm). Pole po-wierzchni tego dwuteownika wynosi F4 = 39,6 cm2. Z porównania pól powierzchni w odniesieniu do dwuteownika

F1 : F2 : F3 : F4 = 3,70 : 3,31 : 2,63 : 1,00

wynika, że przekrój dwuteowy jest najlżejszy (to porównanie ma więc aspekt eko-nomiczny).

W zginanej belce występują naprężenia normalne

dopZ

maxW

M oraz naprężenia styczne obliczane ze wzoru

dopZ

maxmax

bJ

ST

(Smax – max moment statyczny przekroju). Dla

belki o przekroju dwuteowym na rysunku pokazano rozkłady

naprężeń. W punktach 1 i 3 sprawdzane są warunki na max

i max. Szczególnej uwagi wymaga punkt 2, w którym występują

razem duże wartości i - tutaj znajduje zastosowanie hipote-

za Hubera: .3 dop22

22red

Rozkłady naprężeń normalnych i stycznych w dwuteowniku

Z praktyki wiadomo, że naprę-żenia styczne mają znacznie mniejszy wpływ niż naprężenia normalne, jednakże sprawdzenie warunku na maksymalne naprę-

żenia styczne max, a przede wszystkim sprawdzenie punktów, w których działają łącznie naprę-żenia normalne i styczne jest ko-nieczne.


ODKSZTAŁCENIA BELEK

Odkształceniami belki są: – ugięcie belki y, zdefiniowane jako pionowe przemieszczenie

środka ciężkości przekroju poprzecznego belki,

– kąt obrotu przekroju .tgdx

dy , zdefiniowany jako kąt obrotu

normalnej do przekroju poprzecznego belki lub ze względów praktycznych – prostopadłej do normalnej.

Odkształcenia zginanej belki

Obliczanie odkształceń belek możliwe jest za pomocą metody całkowania tzw. równania różniczkowego linii ugięcia belki. Me-toda ta pozwala na wyznaczanie ugięcia oraz kata obrotu w dowolnym przekroju x. W praktyce inżynierskiej stosowane są również uproszczone metody wyznaczania odkształceń belek. Jedną z metod jest metoda superpozycji.

Metoda superpozycji obliczania odkształceń belki

Metoda superpozycji pozwala wyznaczać odkształcenia tylko w wybranych punktach (np. poparcia, końce belki). Dla szybkie-go stosowania metody należy korzystać z gotowych rozwiązań dla podstawowych typów prostych belek (patrz tabela).


Przemieszczenia prostych belek

Belka Kąt obrotu Przemieszczenie

EJ16

PL

EJ16

PL

2

B

2

A

EJ48

PLy

3

max

dla x = L/2

EJ24

qL

EJ24

qL

3

B

3

A

EJ

qL

384

5y

4

max

dla x = L/2

EJ3

ML

EJ6

ML

B

A

EJ39

MLy

EJ16

MLy

2

max

2

L2

1x

EJ2

PL2

B EJ3

PLy

3

B

EJ6

qL3

B EJ8

qLy

4

B

EJ

MLB

EJ2

MLy

2

B


PRZYKŁAD 7.8 Dla belki przedstawionej na rysunku obliczyć ugięcie i kąt obrotu punk-

tu C. Przyjąć: P = 40 kN, q = 2,5 kN/m, EJ = 50 MNm2. Aby zastosować metodę superpozycji, należy rozdzielić obciążenia na

siłę skupioną P oraz obciążenia ciągłe q. Ponieważ q działa na części belki znajdującej się poza podporami, należy uwzględnić moment M od-działujący na część belki AB.

AB

P = 40 kN

L a = 5 m

b = 4 ma = 5 m

q = 5 kN/mRA B

R

B1

B2a

B2b

P1y

y2a

2b

y

(qb)q

q

M = qb /22

1

2

2a

2b

1. Belka obciążona siłą P:

.mm2010005,04atgay

,29,0rad005,010504

540

EJ4

Pa

EJ16

PL

31B1B1

3222

1B

2. Belka obciążona rozłożoną równomiernie siłą q. 2a. Odkształcenie przęsła AB:

,12,0rad00208,010

503

55,2

EJ3

qa

EJ3

a22

qa

EJ3

ML 333

2

a2B

.mm3,81000208,04ay 3a2Ba2

2b. Odkształcenie wspornika BC:

,mm1610508

45,2

EJ8

qay

44

b2

.03,0rad00053,010506

45,2

EJ6

qa 333

b2B

Całkowite ugięcie końca C: .mm3,4163,80,20yyyy b2a21C

Kąt obrotu przekroju belki na podporze B:

.17,012,029,0a2B1BB

Kąt obrotu przekroju belki na końcu C:

.17,003,017,0b2BBb2Ba2B1BC


BELKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji pod-

porowych jest większa od liczby równań statyki. Różnica pomiędzy tymi wielkościami określa stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Rysunek pokazuje, jak belka statyczne wyznaczalna staje się belką sta-tycznie niewyznaczalną.

A

C

P

A

B

B

C

P CR

AR

AR

RB

RB

a)

b)

Belka statycznie wyznaczalna i statycznie niewyznaczalna

Belka pokazana na rysunku a jest belką statycznie wyzna-czalną (płaski układ sił równoległych). Z dwóch równań statyki wyznacza się reakcje RA i RB. Ze względów konstrukcyjnych może się okazać, że ugięcie belki w przekroju C przekracza wartości dopuszczalne i konieczne jest podparcie belki w tym punkcie (rys. b). Skutkiem dodatkowego podparcia jest poja-wienie się trzeciej reakcji RC i belka staje się jednokrotnie sta-tycznie niewyznaczalna.


Przykład Dla belki pokazanej na rysunku wyznaczyć reakcje, korzystając z me-

tody superpozycji.

Równania równowagi:

,02

qLMLR0M)1(

2

ABA

.02

qLMLR0M)2(

2

AAB

Zdanie jest jednokrotnie statycznie wyznaczalne – należy ułożyć jedno równanie geometryczne. Zadanie rozwiązano dwoma sposobami.

1. Równanie geometryczne yB = 0 (rys. a). Po uwolnieniu belki z podparcia B należy obliczyć jej ugięcie wywołane obciążeniem q oraz siłą RB

.qL8

3R

EJ3

LR

EJ8

qLyy,

EJ3

LRy,

EJ8

qLy B

B4

2B1BB

2B

4

1B

2. Równanie geometryczne A = 0 (rys. b). Po uwolnieniu belki z utwierdzenia, należy porównać kąty obrotu na podporze A:

.8

qLM

EJ3

LM

EJ24

qL,

EJ3

LM,

EJ24

qL 2

AA

3

2A1AA

2A

3

1A

Z układu dwóch równań statyki oraz jednego z przedstawionych wyżej

równań geometrycznych otrzymuje się:

.qL8

1M,qL

8

3R,qL

8

5R 2

ABA

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

Documents

Transcript of ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH