PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl · PDF filePolitechnika Gda«ska,...
Transcript of PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl · PDF filePolitechnika Gda«ska,...
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Skrypt do laboratorium
PRACOWNIA FIZYCZNA I
�wiczenie 4: Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.
Opracowanie: mgr Tomasz Neumann
Gda«sk, 2011
Projekt �Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi¦dzywydziaªowe�
wspóª�nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
USTALENIA WST�PNE
Wymagania wst¦pne:
Zapoznanie si¦ z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem ¢wiczenia zawartymi w
instrukcji do ¢wiczenia.
Cele ¢wiczenia:
1. Usystematyzowanie wiedzy z elektrodynamiki i optyki falowej.
2. Zapoznanie studentów z metodami pomiaru wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.
3. Wykonanie pomiaru wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa materiaªu za pomoc¡ metody
de Chaulnes i k¡ta Brewstera.
4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewno±ci pomiarowych oraz wykonanie
odpowiedniej statystyki danych pomiarowych.
5. Oszacowanie niepewno±ci wielko±ci wyznaczanych.
6. Sformuªowanie wniosków.
Wykaz przyrz¡dów niezb¦dnych do wykonania ¢wiczenia:
(a) Ukªad pomiarowy 1: 1 - lampka laboratoryjna;
2 - mikroskop; 3 - badane obiekty, 4 - ±ruba mi-
krometryczna.
(b) Ukªad pomiarowy 2: 1 - ruchome ¹ródªo ±wia-
tªa ; 2 - soczewka skupiaj¡ca 1; 3 - obrotowy sto-
lik z polaryzatorem, 4 - pionowa ni¢ celownika, 5
- analizator.
Rys. 1: Ukªady pomiarowe wykorzystywane w ¢wiczeniu.
Wykaz literatury podstawowej:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - �Podstawy �zyki�.
2. M. Skorko - �Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych�.
3. I. Tarjan - �Fizyka dla przyrodników�.
4. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z �zyki.
5. K. A. Tsokos - �Physics for IB diploma�.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
2
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
WPROWADZENIE DO �WICZENIA
Podstawy optyki geometrycznej
W o±rodku jednorodnym i izotropowym ±wiatªo rozchodzi si¦ po liniach prostych. W optyce
geometrycznej operuje si¦ poj¦ciem promienia ±wietlnego, czyli bardzo w¡skiej wi¡zki ±wia-
tªa wyznaczaj¡cej kierunek rozchodzenia si¦ fali ±wietlnej. Zgodnie z zasad¡ Fermata, pro-
mie« ±wietlny biegn¡cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog¦, do której przebycia
potrzebny jest ekstremalny czas (najmniejszy lub najwi¦kszy). Z zasady tej mo»na wypro-
wadzi¢ prawo odbicia i zaªamania ±wiatªa na granicy dwóch o±rodków.
Na rysunku 2 zostaª przedstawiony promie« padaj¡cy z punktu A pod k¡tem α do normalnej
oraz promie« odbity od granicy dwóch o±rodków w punkcie P pod k¡tem α′ do normalnej.
Caªkowita dªugo±¢ drogi promienia ±wietlnego pomiedzy punktem A i B wynosi
Rys. 2: Odbicie promienia ±wietlnego od granicy dwóch o±rodków.
s =√a2 + x2 +
√b2 + (d− x)2 (1)
W równaniu 1 na drog¦ promienia ±wietlnego x jest zmienn¡ zale»n¡ od poªo»enia punktu
P . Aby obliczy¢ ekstremum funkcji 1 musi by¢ speªniony warunek
dsdx
= 0. (2)
Po obliczeniu pochodnej i przeksztaªceniu otrzymujemy zwi¡zek
x√a2 + x2
=d− x√
b2 + (d− x)2. (3)
Z rysunku 2 mo»na zauwa»y¢ nast¦puj¡ce zale»no±ci trygonometryczne
sinα =x√
a2 + x2oraz sinα′ =
d− x√b2 + (d− x)2
, (4)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
3
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
a wi¦c
sinα = sinα′. (5)
Z równania 5 wynika, »e zgodnie z zasad¡ Fermata k¡t padania jest równy k¡towi odbicia
α = α′. (6)
Analogicznie mo»na wyprowadzi¢ prawo zaªamania, które zilustrowane zostaªo na rysunku
3. W tym przypadku, czas przej±cia promienia ±wietlnego od punktu A do punktu B przez
Rys. 3: Zaªamanie promienia ±wietlnego na granicy dwóch o±rodków.
punkt P wynosi
t =s1
v1+s2
v2, (7)
w którym przez v1 i v2 rozumiemy pr¦dko±¢ propagacji promienia ±wietlnego w danym
o±rodku. Korzystaj¡c ze zwi¡zku pomi¦dzy pr¦dko±ci¡ promienia ±wietlnego, a wspóªczyn-
nikiem zaªamania wzgl¦dem pró»ni
n =c
v, (8)
gdzie c jest pr¦dko±ci¡ ±wiatªa, równanie 7 mo»na przeksztaªci¢ do postaci
t =n1s1 + n2s2
c=soptc. (9)
Wielko±¢ sopt = n1s1 + n2s2 jest drog¡ optyczn¡ promienia ±wietlnego i jest ró»na od drogi
geometrycznej, która wynosi sgeom = s1 + s2.
Zgodnie z prawem Fermata droga optyczna promienia ±wietlnego powinna by¢ ekstremalna,
wi¦c »¡damy, aby speªniony byª warunek
dsoptdx
. (10)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
4
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Po zró»niczkowaniu i przeksztaªceniach otrzymamy równanie
n1x√
a2 + x2= n2
d− x√b2 + (d− x)2
. (11)
Z rysunku 3 wida¢ nast¦puj¡ce zwi¡zki trygonometryczne
sinα =x√
a2 + x2oraz sin β =
d− x√b2 + (d− x)2
, (12)
co prowadzi do prawa zaªamania postaci
sinαsin β
=n2
n1= n21 (13)
Wielko±¢ n21 nazywamy wzgl¦dnym wspóªczynnikiem zaªamania ±wiatªa o±rodka drugiego
wzgl¦dem ±rodka pierwszego i wynosi
n21 =n1
n2. (14)
Wspóªczynniki zaªamania s¡ odwrotnie proporcjonalne do pr¦dko±ci rozchodzenia si¦ ±wia-
tªa w o±rodkach. O±rodek, w którym ±wiatªo rozchodzi si¦ z wi¦ksz¡ pr¦dko±ci¡, nazywamy
optycznie rzadszym, za± o±rodek, w którym pr¦dko±¢ ±wiatªa jest mniejsza - optycznie g¦st-
szym. Nale»y pami¦ta¢, »e promie« padaj¡cy na granic¦ dwóch o±rodków ulega zarówno
odbiciu jak i zaªamaniu.
Prawo odbicia i zaªamania mo»na równie» wyprowadzi¢ korzystaj¡c z podstawowych praw
falowych oraz zasady Huygensa. Zgodnie z tre±ci¡ tej zasady, ka»dy punkt o±rodka do któ-
rego dociera czoªo fali, staje si¦ ¹ródªem nowej fali elementarnej. Wyprowadzenie to jednak
pozostawiam czytelnikowi do samodzielnego rozwi¡zania.
Polaryzacja ±wiatªa
�wiatªo jest to fala elektromagnetyczna, która jest szczególnym rozwi¡zaniem równa« Ma-
xwella. S¡ to naprzemienne zmiany wektora nat¦»enia pola elektrycznego ~E i pola magne-
tycznego ~H na pªaszczyznach wzajemnie prostopadªych. Kierunek propagacji ±wiatªa jest
zawsze prostopadªy do pªaszczyzny zmian wektorów ~E i ~H zgodnie z kierunkiem przepªywu
energii. Nie ma jednak wyró»nionej pªaszczyzny drga«, wi¦c kierunki drga« tych wektorów
w przestrzeni s¡ jednakowo prawdopodobne. Przez polaryzacj¦ ±wiatªa rozumiemy uporz¡d-
kowanie drga« wektora ~E i ~H wzdªu» wyró»nionego kierunku. Kierunek drga« wektora pola
elektrycznego i magnetycznego ±wiatªa spolaryzowanego nie zmienia si¦ w przestrzeni lub
zmienia si¦ wedªug okre±lonego prawa. Pªaszczyzna utworzona z kierunku drga« wektora ~E i
kierunku rozchodzenia si¦ fali to pªaszczyzna drga«, natomiast pªaszczyzna utworzona z kie-
runku drga« wektora ~H i kierunku rozchodzenia si¦ fali nosi nazw¦ pªaszczyzny polaryzacji.
�wiatªo mo»na spolaryzowa¢ poprzez polaroid, pryzmaty polaryzuj¡ce, rozproszenie oraz w
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
5
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
wyniku odbicia i zaªamania ±wiatªa od granicy dwóch o±rodków. Przy padaniu ±wiatªa na
granic¦ dwóch o±rodków nast¦puje polaryzacja zarówno promienia odbitego, jak i zaªama-
nego. Polaryzatorem jest powierzchnia odbijaj¡ca ±wiatªo - granica dwóch o±rodków. Dla
dowolnego k¡ta padania polaryzacja ta jest cz¦±ciowa. Stopie« polaryzacji zmienia si¦ ze
zmian¡ k¡ta padania ±wiatªa i jest opisany zale»no±ci¡
P =Imax − IminImax − Imin
, (15)
w którym Imax i Imin oznaczaj¡ nat¦»enie wi¡zek skªadowych o drganiach wzajemnie prosto-
padªych, odpowiednio o najwi¦kszym i najmniejszym nat¦»eniu za analizatorem. Caªkowita
liniowa polaryzacja ±wiatªa odbitego zachodzi dla takiego k¡ta padania αB, dla którego pro-
mie« odbity jest prostopadªy do promienia zaªamanego - promie« ten jest jedynie cz¦±ciowo
spolaryzowany. K¡t αB nosi nazw¦ k¡ta caªkowitej polaryzacji albo k¡ta Brewstera. Drgania
wektora E w ±wietle odbitym zachodz¡ prostopadle do pªaszczyzny, w której le»y promie«
padaj¡cy i odbity, a w ±wietle zaªamanym odbywaj¡ si¦ w pªaszczy¹nie równolegªej do pªasz-
czyzny, w której le»¡ te promienie.
Zgodnie z prawem zaªamaniasinα1
sinα2= n21, (16)
oraz warunkiem, »e
αB + β = 90◦, (17)
otrzymujemy
tgαB = n21. (18)
Polaryzacj¦ ±wiatªa wykrywamy i badamy za pomoc¡ analizatorów - mo»e to by¢ np. pryzmat
Nikola (nikol). Je»eli pªaszczyzna polaryzacji nikola b¦dzie równolegªa do pªaszczyzny pola-
ryzacji ±wiatªa odbitego od pªytki, ±wiatªo przechodz¡ce przez analizator b¦dzie posiadaªo
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
6
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
maksymalne nat¦»enie. Przy pªaszczyznach prostopadªych obserwujemy caªkowite wygasza-
nie ±wiatªa. W wypadkach po±rednich, gdy pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa przez pªytk¦ i
przez nikol tworz¡ ze sob¡ pewien k¡t γ, obowi¡zuje prawo Malusa
I = I0 cos2 γ, (19)
w którym I0 - nat¦»enie ±wiatªa wychodz¡cego z analizatora dla k¡ta γ = 0, I - nat¦»enie
±wiatªa wychodz¡cego z analizatora, gdy jest on skr¦cony o k¡t γ wzgl¦dem polaryzatora.
PRZEBIEG �WICZENIA
CZ��� I: Obserwuj¡c przedmioty w o±rodkach optycznie g¦stszych z o±rodka optycznie
rzadszego mamy wra»enie, »e przedmioty te znajduj¡ si¦ bli»ej ni» w rzeczywisto±ci (np.
ryba w wodzie). Wykorzystanie tej obserwacji pozwala w prosty sposób zmierzy¢ wspóªczyn-
niki zaªamania prze¹roczystych pªytek. Obserwuj¡c punkt P przez pªytk¦ pªaskorównolegª¡,
Rys. 4: Powstawanie obrazu pozornego.
widzimy go w poªo»eniu P ′ - otrzymamy pozorne podniesienie obrazu na wysoko±¢ h. Roz-
patruj¡c trójk¡ty ABP i ABP ′, w których
AB = e,
AP ′ = d− h,
tgα =e
d≈ sinα,
tg β =e
d− h≈ sin β.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
7
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
otrzymamy warto±¢ wspóªczynnika zaªamania o±rodka w postaci
n =d
d− h. (20)
Z wzoru 20, wynika, »e wyznaczaj¡c do±wiadczalnie d oraz h wyznaczymy wspóªczynnik za-
ªamania n danej pªytki.
Pomiar grubo±ci pªytki d wykonujemy za pomoc¡ ±ruby mikrometrycznej. Grubo±¢ mierzymy
10 razy w ró»nych miejscach pªytki, aby w obliczeniach uwzgl¦dni¢ ewentualne niejednorod-
no±ci grubo±ci pªytki. Na podstawie tych pomiarów, obliczamy ±redni¡ warto±¢ dr.
Warto±¢ pozornego podniesienia obrazu h mierzymy, posªuguj¡c si¦ mikroskopem. �ruba
przesuwaj¡ca tubus mikroskopu jest ±rub¡ mikrometryczn¡. Peªny obrót ±ruby powoduje
przesuni¦cie o z = 0, 5 mm. Ten peªny obrót podzielony jest jeszcze na 50 cz¦±ci tak, »e do-
kªadno±¢ odczytu wynosi 0, 01mm. Na stoliku umieszczamy zarysowan¡ pªytk¦ i ustawiamy
mikroskop tak, aby brzegi rysy byªy ostro widoczne. Nast¦pnie przykrywamy rys¦ badan¡
pªytk¡ o nieznanym wspóªczynniku zaªamania i ponownie szukamy ostrego obrazu rysy, prze-
suwaj¡c tubus mikroskopu za pomoc¡ ±ruby. Liczymy peªn¡ ilo±¢ obrotów ±ruby k, a ze skali
odczytujemy setne cz¦±ci milimetra r. Pozorne podniesienie obrazu w pªytce wyniesie
h = kz + r [mm]. (21)
Dla badanej pªytki pomiar h wykonujemy dziesi¦ciokrotnie po czym obliczamy ±redni¡ war-
to±¢ hr.
Cz¦±¢ II: Wykorzystuj¡c prawo Brewstera
tgαB = n21, (22)
do±wiadczalnie wyznaczamy k¡t αB, posªuguj¡c si¦ przy tym ukªadem optycznym jak na
rysunku 5 Na ªawie optycznej umieszczona jest, w ruchomej podstawce, badana pªytka P
b¦d¡ca polaryzatorem ±wiatªa oraz nikol A, speªniaj¡cy w tym ukªadzie rol¦ analizatora.
Monochromatyczne ¹ródªo ±wiatªa Z znajduje si¦ na ruchomym ramieniu obracaj¡cym si¦
wokóª polaryzatora. W celu znalezienia k¡ta caªkowitej polaryzacji ustawiamy ¹ródªo tak,
aby promie« padaª na pªytk¦ w ±rodku skali k¡towej. Speªnione to b¦dzie wówczas, je»eli na
tle plamki ±wietlnej b¦dziemy widzie¢ pionow¡ ni¢ celownika C umieszczonego mi¦dzy P i
A. Obracamy analizator wokóª kierunku biegu promienia odbitego. Zmiany nat¦»enia wi¡zki
±wiatªa ±wiadcz¡ o pewnym uporz¡dkowaniu drga« wektora E. Je»eli przy obrocie nikola
natra�my na takie jego poªo»enie, przy którym nat¦»enie promienia odbitego b¦dzie równe
zeru, wówczas znaleziony k¡t padania jest k¡tem caªkowitej polaryzacji αB. Odnajdujemy
ten k¡t metod¡ kolejnych prób dla ró»nych k¡tów padania ±wiatªa na pªytk¦ P . Nale»y
pami¦ta¢, »e przy zmianie poªo»enia ¹ródªa ±wiatªa nale»y odpowiednio zmienia¢ poªo»enie
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
8
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Rys. 5: Schemat ukªadu pomiarowego do wyznaczania wspóªczynnika zaªamania materiaªu,
wykorzystuj¡c zjawisko polaryzacji ±wiatªa przez odbicie.
pªytki P . K¡t Brewstera mierzymy pi¦ciokrotnie z jednej i drugiej strony ªawy optycznej.
Odczytu warto±ci k¡ta caªkowitej polaryzacji αB dokonujemy na tarczy obracaj¡cej si¦ razem
z pªytk¡ P . Warto±¢ wspóªczynnika zaªamania obliczamy dla warto±ci ±redniej k¡ta Brewstera
zgodnie z formuª¡
n = tgαr. (23)
Zadania
1. Wyznaczy¢ wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa metod¡ mikroskopow¡ de Chaulnesa, mie-
rz¡c grubo±¢ pªytki d oraz pomiar pozornego podniesienie obrazu h.
2. Wyznaczy¢ wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa, stosuj¡c prawo Brewstera przez pomiar
k¡ta Brewstera dla badanej pªytki.
OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH
Niepewno±¢ pomiarów wspóªczynnika zaªamania metod¡ mikroskopow¡ de Chaulnesa
wyznaczamy jako niepewno±¢ standardow¡ wielko±ci zªo»onej w postaci
Sn =
√√√√√[ h̄
(d̄− h̄)2
]2
(Sd̄)2 +[
d̄
(d̄− h̄)2
]2
(Sh̄)2,
w której Sd̄ i Sh̄ s¡ niepewno±ciami standardowymi wielko±ci wyznaczonych d i h, które
mo»na wyliczyc z formuªy
Sd̄ =
√√√√√√n∑i=1
(d̄− di)2
n(n− 1), Sh̄ =
√√√√√√n∑i=1
(h̄− hi)2
n(n− 1). (24)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
9
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Niepewno±¢ maksymalna wspóªczynnika zaªamania ∆n, wyznaczona t¡ metoda wynosi
∆n =√
3Sn. (25)
Niepewno±¢ wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa wyznaczonego metod¡, opart¡ na prawie Brew-
stera, wyznaczamy metod¡ ró»niczki zupeªnej. Wyliczaj¡c pochodn¡ ze wzoru 23 po k¡cie α
uzyskamy ∆n w postaci
∆n =1
cos2 αsr∆αsr. (26)
We wzorze 26 ∆αsr =√
3Sαsr , natomiast Sαsr jest odchyleniem standardowym wyznaczonego
±redniego k¡ta Brewstara i wynosi
Sαsr =
√√√√√√n∑i=1
(αsr − αi)2
n(n− 1). (27)
Nale»y pami¦ta¢, aby przed podstawieniem zale»no±ci 27 do 26 zamieni¢ miar¦ k¡tow¡ wy-
ra»an¡ w stopniach na radiany.
SPRAWD� CZY ROZUMIESZ. ZADANIA PROBLEMOWE
1. Korzystaj¡c z zasady Huygensa wyprowad¹ prawo odbicia i prawo zaªamania.
2. Pªaska bªonka mydlana widziana w ±wietle odbitym, gdy promienie ±wietlne wpadaj¡
do oka pod k¡tem α = 30◦ (jest to k¡t mierzony od normalnej) ma zabarwienie zie-
lone. Jak¡ grubo±¢ ma ta bªonka? Jaka jest barwa bªonki, gdy patrzymy na ni¡ pod
k¡tem α = 0◦. Wspóªczynnik zaªamania bªonki przyj¡¢ n = 1, 33, dªugo±¢ fali ±wiatªa
zielonego λziel = 501, 6 nm. ODP. dmin = 0, 1µm, barwa zielona-»óªta.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
10
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW
�WYZNACZANIE WSPÓ�CZYNNIKA ZA�AMANIA
�WIAT�A CIA� STA�YCH�
................................................. ......................................
nazwisko i imi¦ data wykonania
1) Metoda mikroskopowa - pªytka I
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d[ ]
h[ ]
2) Metoda mikroskopowa - pªytka II
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d[ ]
h[ ]
2) Metoda oparta na polaryzacji ±wiatªa odbitego
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ϕL[ ]
ϕR[ ]
..............................................
podpis prowadz¡cego zaj¦cia
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
11
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Wspóªczynniki zaªamania ±wiatªa n ró»nych materiaªów wyznaczonych dla
»óªtej linii sodu λ = 589 nm.
O�RODEK n
pró»nia 1,0
powietrze (0◦ C, 1 atm 1,00029
woda (20◦ C 1,33
aceton 1,36
alkohol etylowy 1,36
roztwór cukru (30%) 1,38
kwarc topiony 1,46
roztwór cukru (80%) 1,49
szkªo typowe (kron) 1,52
chlorek sodu 1,54
polistyren 1,55
dwusiarczek w¦gla 1,63
ci¦»kie szkªo (�int) 1,65
sza�r 1,77
diament 2,24
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.
12