Podstawy automatyki i robotyki - Politechnika...

PodstawyPodstawyautomatyki i robotykiautomatyki i robotyki

Specjalności okrętoweSt. niestacjonarneSt. niestacjonarneSem. IIIWykład

Sem. 1-2013/14Hossein Ghaemi

Hossein GhaemiKatedra Energetyki i Automatykig y y

Wydział Oceanotechniki i OkrętownictwaPolitechnika Gdańska

pok. 188 WOiOTel.: 58 348 6053Tel.: 58 348 6053

e-mail: [email protected] pg gda pl/~ghaemiwww.pg.gda.pl/ ghaemi

Konsultacje: wtorek 12.00-12.55

Podstawy automatyki i robotyki

Tematyczny zakres przedmiotu1 POJĘCIA PODSTAWOWE1. POJĘCIA PODSTAWOWE

Sprzężenie zwrotne – podstawowy mechanizm sterowania, techniczne problemy projektowania układów sterowania.

2. KLASYFIKACJA UKŁADÓW STEROWANIAUkłady sterowania liniowe i nieliniowe, układy sterowania o parametrach skupionych i rozłożonych, układy sterowania stacjonarne i niestacjonarne, układy sterowania jednowymiarowe i wielowymiarowe, układy sterowania o działaniu ciągłymi dyskretnym, układy sterowania optymalne, układy sterowania adaptacyjne, układy sterowania ekstremalne.

3. ELEMENTY UKŁADÓW AUTOMATYKIRównanie podstawowych elementów liniowych, elementy powodujące straty energii, elementy magazynujące energię potencjalną, elementy magazynujące energię kinetyczną, wprowadzenie równań układów dynamicznych, równanie Lagrange’a, linearyzacja.g g , y j

4. FUNKCJA PRZEJŚCIARodzaje modeli matematycznych równanie różniczkowe, transformacja Laplace’a, transmitancja, rozwiązanie równań różniczkowych, odpowiedzi czasowe, charakterystyki skokowe i impulsowe.

5. SCHEMATY BLOKOWEZwiązek pomiędzy schematem blokowym a równaniem różniczkowym, związek pomiędzy równaniem różniczkowyma transmitancją, związek pomiędzy schematem blokowym a transmitancją, połączenie równoległe, połączenie szeregowe, połączenie ze sprzężeniem zwrotnym, algebra schematów blokowych.

6. ANALIZA UKŁADÓW STEROWANIA W PRZESTRZENI STANUPrzestrzeń stanu, stan otoczenia, rozwiązanie liniowego równania różniczkowego, model stacjonarny, model


niestacjonarny, zastosowanie transformacji Laplace’a do rozwiązania równań stanu i obserwacji, macierz transmitancji układu sterowania w metodzie przestrzeni stanu.

Tematyczny zakres przedmiotu7. METODA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA OPISU I ANALIZY UKŁADÓW STEROWANIA

Transmitancja widmowa, charakterystyki A-F Nyquist’a, logarytmyczne charakterystyki Bodego, pasmo przenoszenia.

8. STABILNOŚĆ UKŁADÓW STEROWANIADefinicje i pojęcia, stabilność w sensie Lapunov’a, kryterium stabilności Hurwitza, kryterium stabilności Nyquista, zapas amplitudy, zapas fazy.

9 REGULATORY9. REGULATORYRodzaje działania regulatorów, struktura regulatorów, zastosowanie sprzężenia zwrotnego w kształtowaniu charakterystyki regulatora, kształtowanie charakterystyki regulatora w układzie równoległym, kształtowanie charakterystyki regulatora w czujniku lub wzmacniaczu, dobór

l t l d k t bil ś i kł d t iregulatora ze względu na warunek stabilności układu sterowania.10. WSKAŹNIKI JAKOŚCI STEROWANIA

Uchyb ustalony , proces przejściowy, Kryteria całkowe, kryterium całki kwadratu uchybu, kryterium całki ważonego kwadratu uchybu, Kryterium całki wartości bezwzględnej uchybu, y g y , y g ę j y ,kryterium całki ważonej wartości bezwzględnej uchybu, metoda Zieglera-Nicholsa doboru nastawień regulatora.

11. DYSKRETNE UKŁADY STEROWANIATransformacja z” transformacja z” sygnału wyjściowego układu sterowania odwrotnaTransformacja „z , transformacja „z sygnału wyjściowego układu sterowania, odwrotna transformacja „z”, analiza stabilności na płaszczyźnie „z”, przetwornik analogowo-cyfrowy, przetwornik cyfrowo-analogowy.

12. NIELINIOWE UKŁADY STEROWANIA


Funkcja opisująca, stabilność układów nieliniowych, płaszczyzna fazowa i portret fazowy.

LiteraturaBubnicki Z., Teoria i algorytmy sterowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.2. Domachowski Z., Automatyka i robotyka – podstawy, Wydawnictwo PG, Gdańsk, 2003.3. Friedland B., Control System Design, McGraw Hill Co., 1986.4. Kaczorek T., Teoria sterowania i systemów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999.5. Nise N. S., Control System Engineering, John Whiley & Sons Inc., 2008.6 O t K M d C t l E i i 4th diti P ti H ll 20026. Ogata K., Modern Control Engineering, 4th edition, Prentice Hall, 2002.7. Perycz S., Podstawy automatyki, skrypt dla Instytutu Okrętowego PG, Gdańsk, 1983.8. Próchnicki W., Dzida M., Zbiór zadań z podstaw automatyki, skrypt dla studentów Wydziału Oceanotechniki i Okrętownictwa PG Gdańsk 1993Wydziału Oceanotechniki i Okrętownictwa PG, Gdańsk, 1993.9. Raven, F. H., Automatic control engineering, McGraw Hill Co., 1986.


Zasady zaliczenia2 pisemne kolokwia, 2x50 pkt.Obecność i aktywność: 5 pktObecność i aktywność: 5 pkt.Suma: 105 pkt.Ocena = 'suma pkt.'/20, przy minimum: 51 pkt.p p y p


TerminySesja podstawowa:Kolokwium I (50 pkt.): 8.12.2013, godz. 08.15Kolokwium I (50 pkt.): 8.12.2013, godz. 08.15Kolokwium II (50 pkt.): 2.02.2014, godz. 08.30

Kolokwium końcowe (100 pkt.): 9.02.2014, godz. 08.30

Sesja poprawkowa:Sesja poprawkowa:Kolokwium poprawkowe (100 pkt.), 16.02.2014, godz. 8.30


Układy otwartey


Regulacja automatyczne?g j y


Zamknięty układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnymsprzężeniem zwrotnym?sprzężeniem zwrotnymsprzężeniem zwrotnym?

1. Procesy nie są dokładnie znane2 Nie zawsze można dokładnie określić2. Nie zawsze można dokładnie określić

wartość syg. wej. - niepewność3 Brak możliwości wprowadzenia syg wej3. Brak możliwości wprowadzenia syg. wej.

w sposób dokładny


Sprzężenie zwrotne w naturzeSprzężenie zwrotne w naturze


Regulacja źrenice Regulacja cukru

Sprzężenie zwrotne w techniceSprzężenie zwrotne w technice

Regulacja prędkości kątowejsilnika elektrycznego

Regulacja kursu i trajektorii


y g

Sprzężenie zwrotne historiaSprzężenie zwrotne - historia

1788• James Watt

1788

J C M ll1868

• James C. Maxwell

1934• Harold Hazen• (serwomechanizm)


Sprzężenie zwrotne

Wielkość (syg )

Wielkość (syg.)nastawiana

Energia zew.

Wielkość (syg.) regulowana

(syg.)zadana Uchyb

regulacji

Mierzona wartość sygMierzona wartość syg. regulowanego (np. syg. elektryczny)


Energia zew.

Sprzężenie zwrotne

Wielkość (syg.)zadana

Wielkość (syg.) sterująca

Selektorsyg

zadana sterująca

syg. sterują-cego

Element pomiarowy


Uchyb regulacji

)()()( txtxte −= )()()( txtxte −=

)(te)(tx )(tx


Możliwości układu sterowania

Wzmocnienie energetyczneZdalne sterowanieOddziaływanie na wej.Oddziaływanie na wej.Kompensacja zakłóceńD i ł i ś d i k i b iDziałanie w środowisku niebezpiecznym Działanie w środowisku niedostępnymDziałanie w środowiskach małej skali


Etapy projektowania układu sterowania

1. Modelowanie oraz identyfikacja i weryfikacja modelu obiektu2 Symulacja obiektu2. Symulacja obiektu3. Struktura układu sterowania4. Typ i struktura regulatora5. Elementy pomiarowe (czujniki, przetworniki, interfejsy

komunikacyjne)6 Element wykonawczy6. Element wykonawczy7. Symulacja działania układu sterowania8. Prototypyp


Równoważność układów dynamicznychRównoważność układów dynamicznych

f p*f pSyg. wej. Syg. wyj.

pfmoc ⋅≡

El. Mech. Term. Hydr./pneumat.

p u F T pf i Q Qf i v Q Q

moc u.i T.Q p.QxF &⋅


Klasyfikacja układów sterowania (wykorzystujących mechanizm sprzężenia zwrotnego)

1 Typ zadań regulacyjnych (stałowartościowy1. Typ zadań regulacyjnych (stałowartościowy, programowy, nadążny)

2 Liczba syg regulowanych (jedno lub wielowymiarowe)2. Liczba syg. regulowanych (jedno lub wielowymiarowe)3. Rodzaj elementów (lin., nielin.)4 Rodzaj parametrów (skupionych przestrzennie4. Rodzaj parametrów (skupionych, przestrzennie

rozłożonych)5 Zmienność parametrów w czasie (stacjonarny,5. Zmienność parametrów w czasie (stacjonarny,

niestacjonarny)6. Ciągłość w czasie (ciągły, dyskretny)ąg ( ąg y, y y)7. Algorytm sterowania (optymalny, adaptacyjny,

ekstremalny)


…

Charakterystyki układu sterowania

Charakterystyka y ydynamicznaCharakterystykaCharakterystyka statycznaCharakterystykaCharakterystyka częstotliwościowa


Model matematyczny

Model strukturalnyIdentyfikacjaRównania zachowania masy pędu i energiiRównania zachowania masy, pędu i energiiRównanie Lagrange’aPostaci równania różniczkowego


Rodzaje modeli matematycznych

Ró i S h t T it j ModelRównanie różniczkowe Transmitancja Schemat

blokowyTransmitancja

widmowaModel

w przestrzeni stanu

D ied ina D ied ina D ied ina D ied ina D ied inaDziedzina czasu

Dziedzina Laplace’a

Dziedzina czasu /

Dziedzina Laplace’a

Dziedzina częstotliwości

Dziedzina czasu

p


Równanie różniczkowe

)()()()()()( )2()1()( tytatytatyta nnn ++++ −−

)()()()()()()()()()(

01

)(2

)(1

)(

tytatytatytatytatyta nnn

++++++ −−

&

L

)()()()()()( )2()1()( tutbtutbtutb mmm ++++

=−− L

)()()()()()()()()()(

01

21

tutbtutbtutbtutbtutb mmm

++++++ −−

&

L

y (t)u (t) y (t) u (t)


Równanie różniczkoweukładu/procesu/obiektu:- liniowego,

t j- stacjonarnego,- jednowymiarowego oraz- z parametrami skupionymiz parametrami skupionymi

)()()( )2()1()( tyatyatya nnn ++++ −−

)()()()()(

01

)(2

)(1

)(

tyatyatyatyatya nnn

++++++ −−

&

L

)()()( )2()1()( tubtubtub mmm ++++

=−− L

)()()()()(

01

21

tubtubtubtubtub mmm

++++++ −−

&

L


Linearyzacja

K+−⋅+−⋅+−⋅+= 3)3(

2"

' )(!3

)()(!2

)()()()()( axafaxafaxafafxf!3!2

K+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δ 33

32

2

2

!31

!21)( xfxfxfxf

)(xf

)arctan(kϕ

⎟⎠

⎜⎝ ∂

⎟⎠

⎜⎝ ∂⎠⎝ ∂ 0

30

20 !3!2

)(xxx

f

)( 0xf

)arctan(k=ϕxky ⋅=

f ⎞⎛ ∂xΔ xΔ x

xfxf Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

≈Δ0

)(


0x x

Transmitancja

Transformata Laplace’a dtetftfLsF st∫∞ −⋅==

0)()(()(

Ró iu(t) y (t)Równanieróżniczkowe

u(t) y (t)

U(s) Y (s) )()()(

sUsYsG =

G(s)( ) ( ) )(sU

przy zerowychk h tk h


warunkach początkowych

Schemat blokowy

Węzeł j W i i

Blok łk i Węzełsumacyjny

(sumator)Wzmocnienie całkowania

(integrator)

Węzeł zaczepny


)2()1()(

[ ]mibi ,1;0 ∈=jeżeli

)()()()()()( 001)2(

2)1(

1)( tubtyatyatyatyatya n

nn

nn

n =+++++ −−

−− &L

aaaab∫∫∫∫

⎫⎧ ⎤⎡dtty

aaty

aaty

aaty

aatu

abty

nn

n

n

nn

n

n

n∫∫∫∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−= −−−− )()()()()()( 01)2(2)1(10 &LL

n razyy


Algebra schematów blokowychPołączenie

g y)(1 sG +)(sU )(sY ∑GsG )(równoległe)(2 sG

+

)( )(sY ∑= iGsG )(

Połączenie)(1 sG )(2 sG

)(sU )(sY∏= iGsG )(szeregowe

)(1 sG )(2 sG ∏ iGsG )(

Sprzężeniet

)(1 sG+)(sU )(sY

1)( GsG =zwrotne)(2 sG

_211

)(GG+


PodstawyPodstawyautomatyki i robotykiautomatyki i robotyki

EnergetykaSem. VSem. VWykład(część druga)

Sem. 1-2013/14Hossein Ghaemi

Funkcja przejścia

{ } )()()(0

dttfetfLsF st==∞ −∫Transformacja Laplace’a:

{ } )()(1 tfsFL =−Odwrotność transformacji Laplace’a:

)(G)(sU )(sY)(sG)(sU )(sY

)()()( UGY )()()( sUsGsY =

∫t

dutgty )()()( τττ

∫∫

−=

−=t

dtug

dutgty0

)()(

)()()(

τττ

τττ


∫ dtug0

)()( τττ

1 2

Dziedzina czasu Dziedzina Laplace’a

LRównanie różniczkowe )(

)()(sUsYsG =

1 2

)(

)()()( sUsGsY =∫ −=t

dutgty )()()( τττ 1−L

34

)()()(∫ gy0

)()()( L

)(Syg wej1 2

L )(sUSyg. wej.

)(tu


Charakterystyka impulsowa)( 0tt −δ

1)( 0

t⎩⎨⎧ ≠

=− 00 ;1

;0)(

tttt

ttδ t⎩ = 0;1 tt0t0

⎧dla :00 =t

⎩⎨⎧

=≠

=0;10;0

)(tt

tδ { } 1)( =tL δ⎩

)(sG1)( =sU )()( sGsY =

tt

∫∫{ } )()(

)()()()()()(1

00

tgsGL

tgdtgdtgtytt

==

=−=−=−

∫∫ ττδτττδτ


{ } )()( tgsGL ==

Charakterystyka skokowa )( 0tt −11

t⎩⎨⎧

≥<

=− 00 ;1

;0)(

tttt

tt1 t⎩ ≥ 0;1 tt0t0

⎧dla :00 =t

⎩⎨⎧

≥<

=0;10;0

)(tt

t1 { }s

tL 1)( =1⎩

)(sGs

sU 1)( =ssGsY )()( =

−=−= ∫∫ dtgdtgtytt

)()()()()( ττττττ 11

s s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −

∫∫sGL

ggy

)(

)()()()()(

1

00


⎭⎬

⎩⎨ s

Podstawowe elementy układów automatyki

1. Element proporcjonalny (bezinercyjny): KsG =)(

KG 1)(2. Element całkujący:

3 Element proporcjonalny z inercyjnością

TsssG )( ==

K3. Element proporcjonalny z inercyjnościąpierwszego rzędu (inercyjny):

TsKsG+

=1

)(

4. Element proporcjonalny z inercyjnościądrugiego rzędu (dwuinercyjny): ( )( )sTsT

KsG21 11

)(++

=

K5. Element różniczkujący rzeczywisty:TssKsG

+=

1)(

sTG )(6. Element opóźniający:

7 Element oscylacyjny drugiego rzędu:2

)( nsG ω=

sTesG −=)(


7. Element oscylacyjny drugiego rzędu:22 2

)(nn ss

sGωςω ++

=

7) Element oscylacyjny7) Element oscylacyjny

Ruch harmoniczny


y(mass-sprężyna)


Położenie, prędkość oraz przyspieszenie

)(tx

m)(. txk

)(* tfm)(. txz &

)(tf

)()()()( tfktxktxztxm =++ &&&

)()( sXG)()()(

sFsG =

kkszsm ++

= 2

k

kszs

m

++=

2


ms

ms ++

k

kkmk

sG⎞⎛

=1

)(

mks

mk

mkzs +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2122

22

2

2n

ss ωςωω

++=

2 nn ss ωςω ++

kd imk

n =ω częstość własnagdzie:

mkz

21

=ς wsp. tłumienia


Charakterystyka skokowa2ω

)2()( 22

nn

n

ssssY

ωςωω

++=

21 ssC

ssB

sA

−+

−+=

222,1 )( nnns ωωςως −−= m

12−−= ςωως nn m

1A =

2

1sB

A

=

=

tsts esesty 21 121)( ++=

1

21

sC

ss

=

− ess

ess

ty2121

1)(−

+−

+=


21 ssC

−=

a. 1>ςωj

erzeczywistliczby:i 21 ss0<ss

)1( 2−+− ςςωn σ0, 21 <ss

)1( 2−−− ςςωn)1( 22,1 −−= ςςω mns

tT

tT eTeTty 2

1

1

1

211)(−−

++=

1Step Response

TTTTy

2121

)(−−

0 5

0.6

0.7

0.8

0.9

tude

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Amplit


0 1 2 3 4 5 6 70

Time (seconds)

b. 1=ςωj

erzeczywistliczby:i 21 ss

ωj

yy21

nss ως−== 21nως−

σ

Tłumienie krytyczne

tn

netty ωω −+−= )1(1)(

Tłumienie krytyczne

0.8

0.9

1Step Response

0.5

0.6

0.7

Ampl

itude

0.1

0.2

0.3

0.4

A

Aperiodyczna


0 1 2 3 4 5 6 7 80

Time (seconds)

graniczna

c. 10 << ς

eliczby:i 21 zespolonss ωjj

y21 p0),Re( 21 <ss

σ

dωα j+−

1j 22,1 −−= ςωως nns m

ωα jm=

σ

ωα jdωα jm−= dωα j−−

12−=

=

ςωω

ωςα n

Częstość drgań swobodnych1= ςωω nd Częstość drgań swobodnych


( )⎪⎧

( )⎪⎪⎪⎪

⎟⎞

⎜⎛

−−− −

ς

ϕωςςω teA ntn 1cos1 2

⎪⎪

⎪⎨ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+−−= − ςω

ςςςωςω ttety nn

tn 1sin1

1cos1)( 2

2

2

( )⎪⎪⎪

⎩−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− − ϕω

ωω α te d

t

d

n cos1⎩ ⎠⎝ωd

1

⎞⎛

−=

211ς

A

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

21arctg

ςςϕ


⎠⎝ 1 ς

)(ty1.6

)(ty

1.2

1.4

0.8

1

0.4

0.6

0

0.2

0 5 10 150

(sec)


d. 0=ςωj

zespoloneliczby:i 21 ss

ωj

py21

nss ωj21 m==nως−

σ

Bez tłumienia

tty nωcos1)( −=

Bez tłumienia

2

Step Response

1

1.5

Ampl

itude

0

0.5


5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

Time (seconds)

Charakterystyki częstotliwościoweCharakterystyki częstotliwościoweDla układów liniowych w stanach ustalonych, po zaniknięciu stanu przejściowego, syg wyj ma postać ustalonych drgań sinosuidalnych o częstotliwości równejsyg. wyj. ma postać ustalonych drgań sinosuidalnych o częstotliwości równej częstotliwości syg. wej., o innej amplitudzie i przesunięciu względem syg. wej.

G)(sin)( tAtu ϕω += )sin()( tBty ϕω +=G)(sin)( utAtu ϕω += )sin()( ytBty ϕω +=

tjAe uϕω =+ )(

( ) ( )( )tjBe yϕω =+ )(

G( ) ( )( )uu tjtA ϕωϕω +++ sincos ( ) ( )( )yy tjtB ϕωϕω +++ sincosG


)(i)( A )(sin)( utAtu ϕω +=

)sin()( ytBty ϕω +=

Stan nieustalony


Równanie różniczkowe:

)()()()(

)()()()()1()(

01)1(

1)(

tubtubtubtub

tyatyatyatyamm

nn

nn

++++

=++++−

−−

&

&L

)()()()( 01)(

1)( tubtubtubtub mm ++++ − L

)()( tjAt ϕω + )()( utjAetu ϕω +=

0=uϕdla)()( ϕωϕω jtjtj eBeBety == + )()(

ϕωϕω ωω jtjtj eejBejBty == + )()(&

)()( tjAetu ω=)()( tjejAtu ωω=&

M

( ) ( ) ϕωϕω ωω jtjtj eejBejBty 2)(2)( == +&&( ) )(2)( tjejAtu ωω=&&

M M

( ) )()( )( tjmm ejAtu ωω=

M

( ) ( ) ϕωϕω ωω jtjntjnn eejBejBty == + )()( )(


( ) ( ) ( ) jtjjtjjtjnjtjn eeBaeejBaeejBaeejBa ϕωϕωϕωϕω ωωω 011

1 =++++ −L( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) tjtjtjmm

tjmm

nn

eAbejAbejAbejAb

eeBaeejBaeejBaeejBaωωωω ωωω

ωωω

011

1

011

++++

++++−

−

−

L

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

jtjnn

nn eeajajajaB ϕωωωω

101

11 =++++ −− L

( ) ( ) ( )[ ] tjmm

mm ebjbjbjbA ωωωω 01

11 ++++ −− L

( ) ( ) ( )ωωω mm Bbjbjbjb ++++ −1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ϕ

ωωωωωω j

nn

nn

mm eAB

ajajajabjbjbjb

=++++++++

−−

−

011

1

011

L

L

ϕ

ω

j

jsn

nn

n

mm

mm e

AB

asasasabsbsbsb

=++++++++

=−

−

−−

011

1

011

1

L

L

ωjs

ϕϕ αω jjj

eeABjGsG === )()( Transmitancja


ωjs Aj

=)()( Transmitancja

widmowa

( )jes j

+==

ϕϕαα ϕ

sincoss ( )

QjPj

+=+ ϕϕα sincos

⎧ 22

⎩⎨⎧

==

ϕαϕα

sincos

QP

⎪

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

Q

QP

arctg

22

ϕ

α

⎩ ⎪⎩

⎟⎠

⎜⎝ P

arctgϕ


Charakterystyki częstotliwościowe – c dCharakterystyki częstotliwościowe – c.d.

Amplitudowo-fazowe charakterystyki Nyquist’aAmplitudowo-fazowe charakterystyki Nyquist aAmplitudowe i fazowe charakterystyki Nichols’aLogarytmiczne charakterystyki amplitudowei fazowe Bode’goWyznaczenie transmitancji widmowej dla połączenia szeregowegoWyznaczenie transmitancji widmowej dla połączenia równoległegop ą g gIdentyfikacja na podstawie charakterystyk częstotliwościowych


częstotliwościowych

Charakterystyki częstotliwościowe elementu oscylacyjnegoCharakterystyki częstotliwościowe elementu oscylacyjnego

11211

2)(

22

22

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

=++

=

ssss

sGnn

n

ςωςω

ω

2 ⎟⎠

⎜⎝⎟

⎠⎜⎝ nn ω

ςω

11

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

jjj

jGωςωωςω

ω

21

1

12

1)(22

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝⎥⎦⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ nnnn

jω

ςωωω

2

22

2

21)()()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+= nn jQjPjGωως

ωω

ωωω222222

2121

)()()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

nnnn

jQjj

ωως

ωω

ωως

ωω


⎦⎣⎦⎣

( ) ( )222

22 1)()()()(⎤⎡ ⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛

=+== QPjG ωωωωα22

21 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

nn ωως

ωω

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

ωως

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎜⎝−== 2

1

arctg)(arg)( njG

ωω

ωωωϕ

⎥⎦⎢⎣⎟⎠

⎜⎝ nω

⎤⎡==

222

1log20)(log20)(L ωαωα

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

222

21nn ωως

ωω

⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

222

21log10ωως

ωω


⎪⎭⎪⎩ ⎦⎣ ⎠⎝⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ nn ωω

25

Axis

15

20

[ ]{ }0,4,0,2,5,1,0,1,9,0...,,3,0,2,0,1,0

rad/s5,02

)( 22

2

∈=

++=

ςω

ωςωω

n

nn

n

sssG

Imag

inar

y

10

{ },,,,,,,,,,,,,,,,ς

0

5

4=ς

10

-5

-15

-10

1,0=ς

10 5 0 5 10 15-25

-20


Real Axis

-10 -5 0 5 10 15

20

40 1,0=ς

-20

0de

(dB) 4=ς

-40

-20

Mag

nitu

d

0-80

-60

-45

1,0=ς

4=ς

-90

Phas

e (d

eg)

[ ]rad/s5,02

)( 22

2

=++

=

ωωςω

ω

n

nn

n

sssG

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135[ ]

{ }0,4,0,2,5,1,0,1,9,0...,,3,0,2,0,1,0rad/s5,0

∈ςωn


Frequency (rad/s)

10 10 10 10 10 10

RegulatoryRegulatory

Element

Wzmacniacz

Element kształtujący

prawo sterowaniesterowanie

Energia


Energia zewnętrzna

Podstawowe działania regulatorów:Podstawowe działania regulatorów:Proporcjonalne (P)Całkujące (I)Różniczkujące (D)

Rodzaje liniowych regulatorów idealnych:

1. P RR KsG =)(

2. PI ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

sTKsG

iRR

11)(

3. PD ( )sTKsG DRR += 1)(

1. PID ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= sT

sTKsG DRR

11)(


⎠⎝ sTi

Uchyb regulacji w stanie ustalonym(dokładność stat c na)(dokładność statyczna)

)()()()()()(sYsRsE

tytrte−=

−=

)(lim)(lim0

sEsteests →∞→

==

)()()(1

)()()()(1

)()(00

0 sZsGsG

sGsRsGsG

sGsYM

S

M ++

+=

)()()(0 sGsGsG SR=Gdzie:

( ) )()()(1

)()()()(11)()(1)(

00

0 sZsGsG

sGsRsGsG

sGsGsEM

S

M

M

+−

+−+

=


)()()()( 00 MM

Uchyb regulacji w stanie ustalonym(dokładność stat c na) c d(dokładność statyczna) – c.d.

( ) ⎤⎡ ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

−+=

→)(

)()(1)()(

)()(11)()(1lim

00

0

0sZ

sGsGsGsR

sGsGsGsGse

M

S

M

M

ss

dla: 1)( =sG

)()()(1)( sZsGsRsE S−=

dla: 1)( =sGM

)()(1

)()(1

)(00

sZsG

sRsG

sE++

⎤⎡ )(1 G⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

=→

)()(1

)()()(1

1lim00

0sZ

sGsGsR

sGse S

ss


Stabilność układu sterownia

1

Step Response1.4

Step Response12

x 1025

11)( 2 ++

=ss

sG

0 8

1

1.2

8

10

Ampl

itude

0.4

0.6

0.8

Ampl

itude

4

6

11)(+

=s

sG1

1)(−

=s

sG

Time (seconds)0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

Time (seconds)0 10 20 30 40 50 60

0

21s

Odpowiedzi na syg. wej. impulsowy


DefinicjeJeżeli po ustąpieniu sygnału wzbudzającego układ wraca do punktu równowagi układ jestukład wraca do punktu równowagi układ jest stabilny asymptotyczny:

.)(lim constyty st==

∞→(definicja Lapunov’a)

Step Response

1

1.2

1.4Step Response

10

12x 10

25

1 4

1.6

1.8

2Step Response

Ampl

itude

0.4

0.6

0.8

1

Ampl

itude

2

4

6

8

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ampl

itude

Stabilność Stabilność niestabilność

Time (seconds)0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

Time (seconds)0 10 20 30 40 50 60

0

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

Time (seconds)


asymptotyczna nieasymptotyczna niestabilność

DefinicjeStabilność (lub jej brak) jest cechą nierozłączną danego układu i nie zależy od warunków czasowych (npukładu i nie zależy od warunków czasowych (np. początkowych), brzegowych lub rodzaju i wartości (ograniczonej) sygnału wejściowego.

Sygnał wej., który umożliwia badanie stabilności układu yg j yto impuls jednostkowy Dirac’a (y(t) w powyższych rozważaniach).

Aby zbadać stabilność układu sterowania należy ć h kt t k i l kł dwyznaczyć charakterystykę impulsową układu, a

następnie zastosować definicję stabilności Lapunov’a.


Badanie stabilności układu sterowania

∑∑−+n

ijii k

G1

)(α

∑∑= =

−+−=

i ijji

i

ij

isssG

1 )()( α

gdzie:n - liczba pierwiastków (bez uwzględnienia krotności powtórzenia) –

rząd układu

is - i-ty pierwiastek

spółc nnik (stała artość)k - współczynnik (stała wartość)

- krotność powtórzenia i-tego pierwiastka

ijk

iα

∑∑ −+

−+

==n

jiij

ii

i

ksGsY

1

)()()(

α

αDla charakterystyki impulsowej:


∑∑= = −i ij

ji

iss1 )(impulsowej:

⎫⎧ −+n ii k1α

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= ∑∑

= =−+

−n

i ijji

i

ij

issk

Lty1

1

)()( α

⎭⎩ i ij i1 )(

∑∑ +−+n

tsjiijii k )1(

1α

α∑∑= =

−−+

−−+=

i ij

tsji

i

ij ii etji1

)1(

)!1(α

α

∑∑−+

=n

tsij

ii

iij etc1α

β∑∑= =i ij

ij etc1

.1;.)!1(

constjiconstji

kc iij

i

ijij =−−+==

−−+= αβ

α


)!1( jii +α


∞→

?

∑∑−+n

tsii

iijtt1

li)(liα

β

t ∞→

∑∑= =

∞→∞→=

i ij

tsijtt

iij etcty1

lim)(lim β

i 1

( )∑∑ +

∞→

−+

=n

tQPijt

ii

iiij etc j1

limα

β

= =∞→ i ijt 1

tQn

tP i

ii

iijt j1

li ∑∑−+α

β tQ

i ij

tPijt

iiij eetc j

1lim∑∑

= =∞→

= β

( )∑∑∞→

−+

+=n

iitP

ijt

ii

iij tQtQetc1

sinjcoslimα

β


= =∞→ i ijt 1


∞→

?

[ ] znyasymptotycstabilny0,,1 ⇒<∈∀ iPni

[ ]( ) [ ]( ) tycznynieasymptostabilny0,,,10,,1r ⇒<≠∈∀∧=∈∃ ir PriniPn

yniestabilnhprzypadkacinnych w ⇒

Wniosek:Wniosek:

Jeżeli wszystkie pierwiastki mianownika (BIEGUNY) transmitancji zastępczej układusterowania posiadają części rzeczywiste mniejsze od zera, układ jest stabilnyasymptotyczny.

Równanie charakterystyczne układu 0)( =sM )(

)()(:gdziesMsLsG =


sterowania:)( )(sM

Postaci równana charakterystycznego układu sterowania:

0)()()(1 =+ sGsGsG SRM

dla 1)( =sGM

0)(1 0 =+ sG 0)(1 0+ sG

)()()()()( sLsLGGG SRd)()(

)()()()()(0 sMsM

sGsGsGS

S

R

RSR ⋅=⋅=gdy

0)()()()( MMLL 0)()()()( =⋅+⋅ sMsMsLsL SRSR

dla układu przedstawionego w przestrzeni stanu:dla układu przedstawionego w przestrzeni stanu:

0=−AIsPodstawy automatyki i robotyki

0AIs

Interpretacja graficznap j gUkład jest stabilny jeżeli pierwiastki te leżą w lewej stronie półpłaszczyźnieliczb zespolonych (płaszczyzna Gauss’a-Laplace’a).

)Im(s )Im(s )I ()Im(s

)Re(s

)Im(s

)Re(s

)Im(s

)Re(s


Stabilność asymptotyczna Stabilność nieasymptotyczna niestabilność

Kryteria stabilności układu sterowania

Wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego stwarza pewne trudności w przypadku układów wyższych rzędów, dlatego stosujemy kryteria t bil ś i (H it 1854 R th 1877 H it 1895)stabilności (Hermit 1854, Routh 1877, Hurwitz 1895).

1 Kryterium analityczno algebraiczne Hurwitz’a1. Kryterium analityczno-algebraiczne Hurwitz a

Równanie charakterystyczne:

0)( 012

21

1 =+++++= −−

−− asasasasasM n

nn

nn

n L

Układ jest stabilny, jeżeli spełnione są dwa następujące warunki:j y, j p ą ęp ją

1. Warunek konieczny: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są jednakowego znaku:y y g j j g

[ ] 0;,1np. >∈∀ iani


2. Warunek wystarczający: macierz Hurwitz’a, H, jest dodatnio określona.

⎤⎡ 531 0aaa K

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−

−−−

42

531

000

0 aaaaaaaa

nnn

nnn

K

K

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

= −

−−

2

31

00000

00

aaaa

nn

nn

K

K

H

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−1

00

0000

aa

n

n

K

K

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 0

0000 aK

KKKK

H jest dodatnio określona jeżeli spełnione są kryterium Sylwestr’a:

[ ] 0,,1 >Δ∈∀ ini


Podstawy automatyki i robotyki - Politechnika...

Documents

Transcript of Podstawy automatyki i robotyki - Politechnika...